v = v ⇒ v⋅dv

Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld
(g nicht const.)

m⋅M 
F (r) = −G ⋅ 2 ⋅ er
r
Nur r-Komp.
€
a=
(später mehr)
v = vr (Abschuss vom Pol)
dv dv dr
=
⋅
dt dr dt
=
r
dv
⋅v
dr
⇒
∫
M
Gaub
R
Erde
G⋅M
v ⋅ dv = €∫ − 2 ⋅ dr
r
1 2 G⋅M
⋅v =
+ C1
2
r
1 2 G⋅ M
C1 = ⋅ v 0 −
2
R
€
v0

er
⇒ a ⋅ dr = v ⋅ dv
€
}{
h=r-R
€
1 2
= ⋅ v0 − g⋅ R
2
E1 WS14/15
1
1 2 G⋅M 1 2
⋅v =
+ ⋅ v0 − g ⋅ R
2
r
2
mit
a(R) = −g = −G ⋅
€
€
M
R2
r
1 2 g ⋅ R2 1 2
⇒ ⋅v =
+ ⋅ v0 − g ⋅ R
2
r
2
R
⇒ rmax =
→∞
2
v0
1− (
)
2⋅ R⋅g
km
s
v0 ≥ v2 = 2 ⋅ R€
⋅ g = 11.2€
€
€
}{
v0

er
v(rmax ) = 0
M
für
h=r-R
R
Erde
v0 → 2 ⋅ R ⋅ g
€
Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit)
Kleinste Kreisbahn (→Newton)
1. Kosmische Geschwindigkeit
v2
G⋅M
v12 G ⋅ M €
=
⇒ v1 =
= g⋅ R
=
2
2
R
R
R
Gaub
E1 WS14/15
= 7.9
km
s
2
Gesamtimpuls
(Rakete+Gas)
im All
Newtons Sicht:
Actio = Reactio! dm = −dmʹ′
Rakete
m v

mʹ′ v ʹ′
Gas
€€



dp
dv
dv ʹ′ dm  dmʹ′ 
= m ⋅ + mʹ′ ⋅
+
⋅v +
⋅ v ʹ′ = 0
dt
dt
dt dt
dt
€
bezogen auf
Erdoberfläche
€
Ausstoßgeschwindigkeit   
ve = v ʹ′ − v = const relativ zur Rakete
€

dv
dm 
m⋅
=−
⋅ ve
dt
dt
€
€€
m
€
m0
⇒ dv = −ve ⋅
v(t)
mT
Für t< T
0
T
t
Viel Treibstoff€
schnell verbrennen
€
Gaub
∫ dv = −ve ⋅
v(0)
€
≈0
dm
m
Raketengleichung
Triebwerks-Schub
Nur z-Richtung
m(t)
1
∫ m ⋅ dm
m(0)
v(t) = −ve (ln mt − ln m0 )
m0
⇒ v(t) = ve ⋅ ln
mt
E1 WS14/15
bei Start von
der Erde:
m0
⇒ v(t) = ve ⋅ ln
− g⋅t
mT
3
Bsp.:
1. Stufe Saturn V
km
ve = 4 ⋅
s
6
m0 = 3⋅10 ⋅ kg
6
}
km
⇒ v(T) = 4, 4 ⋅
s
g=0
km
⇒ v(T) = 3,4 ⋅
s 2
g = 9, 81m / s
€
mT = 1⋅10 ⋅ kg
T = 100⋅ s
⇒ unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit
€
⇒ Mehrstufige Trägerraketen
Apollo 11 Saturn V lauch
http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCk
Gaub
E1 WS14/15
4
 
dW = F ⋅ dr
§2.7 Energiesatz der Mechanik
Arbeit + Leistung
 
d
r
= v ⋅ dt
z
Bahnkurve
p2
W1→2 =
p1
P2

F

r (t)
€P1
y
x
€ „Arbeit“[W]= Nm = Joule
p2
€
∫
 
F ⋅ dr =
p1
x2
∫
x1
  y2   z 2  
Fx ⋅ d x + ∫ Fy ⋅ d y + ∫ Fz ⋅ dz
 
Anmerkung:
W = 0 für
F⊥dr
€
€
∫
 
F ⋅ dr
Linienintegral
dW  
€ Leistung:
P = dt = F ⋅ v
[P]=
z1
J
=Watt=W
s
€



Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung:
v = v ⋅ et ;
F = F ⋅ er
 
⇒ F ⋅ dr = 0 ⇒ W = 0
€
Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von 0 → x :
€
W€=
∫ F ⋅d
x
x
x
=
E1 WS14/15
∫ D ⋅ x ʹ′ ⋅ dx ʹ′
0
€
=
Gaub
y1
1
⋅ D⋅ x2
2
5
Konservative Kraftfelder
I
z
WI =
∫
P1

Fg
P2
W II =
P2

r (t) II
€
 
F ⋅ dr
P2

dr
∫
 
F ⋅ dr
P1
€
P1
Wenn
WI = WII = WIII = …
€
€
y
€
x
=> Integral wegunabhängig

€
⇒ Kraftfeld
F (r) konservativ
Konservatives Kraftfeld:
P2
W I − W II =
∫
P1
I
  P1  
F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr
P2
II
P2
=
∫
P1
II
 
F ⋅ dr +
P1
∫
€ 
F ⋅ dr =
P2
I
∫
 
F ⋅ dr = 0
Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.
€
€

Vektoranalysis:
Stokes´scher
Satz ⇒ konservativ falls rot
F = 0
€
Gaub
E1 WS14/15
6
€
⎛ 0 ⎞
 ⎜ ⎟
Fr = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝ Fz ⎠
Bsp.: homogenes Kraftfeld
z
P2
z2
z1
P2
WI =
∫ F ⋅ dr
z2
=0+
P1
II
€
I
x1
z
z1
22
W II =
P1
∫ F ⋅ dz
∫ F ⋅ dz + 0
z
z1
x2
⇒
x
∫
 
F ⋅ dr = 0 ⇒ Konservatives Kraftfeld

Bsp.: zentrales Kraftfeld
F = f (r)
€
€
P2
P2
∫
P1
€
II
⇒
Gaub
r1
r2
∫ F ⋅ dr + 0
r
r1
= − ∫ Fr ⋅ dr
r2
 
F ⋅ dr = 0 ⇒ konservativ
€
€
I
P1
∫
 
F ⋅ dr =
€
E1 WS14/15
7
Potentielle Energie
konservatives Kraftfeld ⇒
P2
  Def !
W = ∫ F ⋅ dr = E p (P1 ) − E p (P2 ) = ΔE p
P1

F
€
v
dr
€
€
I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am
Körper verrichtet wird, dessen E p erhöht
Bemerkung:
∞
WP→∞ =
∫
 
Arbeit die geleistet wird um P
=
E
(P)
=
F ⋅ dr
p
ins Unendliche zu bringen
P
II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass
E p (∞) = 0
€
Gaub
E1 WS14/15
8
Bsp. Gravitationsfeld
Nahe Erdoberfläche ⇒ g = const.
W =
mit
∫
h
 
F ⋅ dr = − ∫ m ⋅ g ⋅ dz = −m ⋅ g⋅ h = E p (0) − E p (h)
0
E p (0) = 0 ⇒ E p (h) = m ⋅ g ⋅ h
Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der E p geführt
€
Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz
€
∞
G⋅ M ⋅ m
G⋅ M ⋅ m
G⋅M ⋅m  
= E p (r) − E p (∞)
⋅ dr = −
⇒W =−∫
⋅ er ⋅ dr = − ∫
2
2
r
r
r
r
r
∞
Ep
R
r
€
−m ⋅ g ⋅ R
Gaub
Ep = −
€
G⋅M ⋅m
r
E1 WS14/15
9
Energiesatz der Mechanik


dv
F = m⋅
⇒
dt
t
∫
 
F ⋅ v ⋅ dt ʹ′ =
t
∫
t0

t
 
dv 
F ⋅ v ⋅ dt ʹ′ = m ⋅ ∫
⋅ v ⋅ dt ʹ′
t 0 dt ʹ′
konservatives Kraftfeld
P
∫
 
F ⋅ dr = E p (P0 ) − E p (P) = W
P0
€t 0
€v1

t
m 2 m 2
dv 
 
m⋅ ∫
⋅ v ⋅ dt ʹ′ = m ⋅ ∫ v ⋅ dv = ⋅ v1 − ⋅ v 0
2
2
t 0 dt ʹ′
v0
€
Def.:
€
E kin
m 2
= ⋅v
2
⇒ ΔEkin = W
Die Zunahme der kinetischen Energie eines
Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit
E = E p (P0 ) + E kin (P0 ) = E p (P) + Ekin (P)
⇒ Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus
potentieller Energie und kinetischer Energie konstant
€
Gaub
€
E1 WS14/15
10
Bsp: freier Fall
v(h) = 0 ;
z = h ;
E P (0) = 0
z
E P (z) = − ∫ −m ⋅ g⋅ dz = m ⋅ g⋅ z
0
m 2 m
2
E kin (z) = ⋅ v = ⋅ (g ⋅ t) = m ⋅ g⋅ (h − z)
2
2
E = E P (z) + E kin (z) = m ⋅ g⋅ h
€
Gaub
E1 WS14/15
weil1/ 2 ⋅ g ⋅ t 2 = (h − z)
Unabhängig von z!
11

F (x + Δx, y + Δy)
P ʹ′
€

F (x, y)
P
ΔE P =
E P (x + Δx,y + Δy)

Δr
€
Potential ⇔ Kraftfeld
∂E P
∂E
∂E
⋅ Δx + P ⋅ Δy + P ⋅ Δz
∂x
∂y
∂z
Δy
Dafür benötigte Arbeit
E P (x, y)
€
 
ΔW = F ⋅ dr = −ΔE P
Δx
⎛ ∂E
∂E
∂E
⎞
⇒ Fx ⋅ Δx + Fy ⋅ Δy + Fz ⋅ Δz = −⎜ P ⋅ Δx + P ⋅ Δy + P ⋅ Δz
⎝ ∂x
⎠
€
∂y
∂z
Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse
ME
r

=> Schwerkraft
F (r) = −grad(V )m
Bsp.: Gravitation
V(r) = −G ⋅
Gaub
€
⎛ ∂EP ⎞
⎜
⎟
Nabla
∂
x
 ⎜ ∂EP ⎟
⎟ = −grad(E P ) = −∇EP
⇒ F = −⎜
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂EP ⎟
⎜
⎟
⎝ ∂z ⎠
E1 WS14/15
€
12
Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage
= 2 L FG
Drehmoment des
verdrillten Fades

Schema Gravitationswaage
Gaub
E1 WS14/15
13
Drehimpuls
Ebene beliebig gekrümmte Bahn

ω
€

L
 vϕ
O
r (t 2 )
ϕ

r (t)
€
 
r (t), v (t)
vr
Def.:
Drehimpuls

 
L = ⊥r , ⊥v
In Polarkoordinaten:

 € 
 
 
L = m(r × (vr + vϕ )) = m(r × vr ) + m(r × vϕ )
€



p = m⋅v
€
€
  
 
L = (r × p ) = m ⋅ ( r × v )
0 weil
r vr


und
v
Ebene
€ von r
€
€
Kreisbewegung:
€
Gaub
€weil
r × v = r 2 ⋅ ϕ˙ €⇒
ϕ
ϕ˙ = ω ;
v = vϕ ⇒
€
€ E1 WS14/15

L = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ˙
€


L = m ⋅ r2 ⋅ω
14
Drehmoment:
Newton



dL ⎡ dr  ⎤ ⎡  dp ⎤
 
 ˙
 
= ⎢ × p⎥ + ⎢r × ⎥ = (v × p ) + (r × p ) = (r × F )
⎦ ⎣
dt ⎣ dt
dt ⎦

D
 
0 weil
v p
€
€
Def:
Drehmoment
€

dL 
 
= D = (r × F )
€
dt
€
Für zentrale Kraftfelder

F = f (r)⋅ eˆr

⇒ L = const. bzgl. Kraftzentrum
.

r
€
ist
 
D=0
.

F
€
€
 Drehimpulserhaltung
€
€
Zeitliche Veränderung
des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment
€
Gaub
E1 WS14/15
15


Man Beachte:
L und
D werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert
O1
€
€

L1 = 0

v
m
€
Gerade Bewegung kann Drehimpuls
haben bzgl.
O2

r
θ
€
L2 = m ⋅ r ⋅ v ⋅ sinθ ≠ 0
O2
€
Analogie:
€
€
€
€
Später noch:
Gaub

r
v
F
p
€m
€E
kin
€
€

ϕ
ω
D

L
I
E rot
E1 WS14/15
16
Johannes Keppler
Tycho Brahe
Gaub
E1 WS14/15
17
Planetenbewegung:
Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))
I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt
II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen
P(t1 )
A1
S
P(t2 + Δt)
A2
P(t2 )
P(t1 + Δt)
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen
ihrer großen Halbachsen T12 a13
=
oder
T2 2 a2 3
Gaub
€
2
Ti
3 = const
ai
E1 WS14/15
€
für alle Planeten
18
Zum 2. Kepplerschen Gesetz

r (t + dt)
 
ds = v ⋅ dt
h
ds
dA
S
€
α

r (t)
€
€
p
Bogen ≈ Sehne
1
⇒ dA = ⋅ r ⋅ v ⋅ dt ⋅ sin α
2

dA 1
1  
1
⇒
= ⋅ r ⋅ v ⋅ sinα =
⋅r×p=
⋅L
dt 2
2⋅m
2⋅m
+ 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst

€
⇒ L = const
€
€
Gaub
E1 WS14/15
19
Newtons Analyse:
Planetenbahnen
Selbe Axiomatik
Gravitation !
!!
Fallender Apfel

aus
L = const. ⇒
aus Actio = Reactio ⇒
€
€
!!

FG (r) = f (r) ⋅ eˆr
(Zentralkraft)
FG ~ m1 ⋅ m2

FG (r) = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ f (r) ⋅ eˆr
2
Mit Ellipse ~ Kreis =>
−m p ⋅w p ⋅ rp = G ⋅ mp ⋅ ms ⋅ f (ri )
3. Keppler
€
mp ⋅ M S
w 2 ~ T −2 ~ r −3 ⎫
⋅ eˆr
⎬ ⇒ F = −G ⋅
2
−2
r
⇒ f (r) ~ r ⎭
Newtonsches Gravitationsgesetz
G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2
Gaub
€
E1 WS14/15
20
Bestimmung von g: Mathematisches Pendel
Ft = m ⋅ at
m ⋅ g ⋅sin ϕ = −m ⋅l ⋅ ϕ˙˙
ϕ 3 ϕ5
sin ϕ = ϕ −
+ ...
3! 5!
ϕ
l
v
Ft
sin ϕ ≈ ϕ
v
Fr
g
⇒ ϕ˙˙ = − ⋅ ϕ
l
l ⋅(1− cos ϕ )
m⋅ g
Lösung der DGL:
⇒ ϕ (t ) = A ⋅ sin
g
⋅t
l
l
⇒ T = 2 ⋅π ⋅
⇒g
g
Gaub
E1 WS14/15
21
Genauer:
m 2 m 2 2
Ekin = ⋅ v = ⋅ l ⋅ ϕ˙
E p = m ⋅ g ⋅ l ⋅ (1− cos ϕ )
2
2
Start
m 2 2
E = E kin + E p = m⋅ g⋅ l ⋅ (1− cosϕ ) + ⋅ l ⋅ ϕ˙ = E p0 = m⋅ g⋅ l ⋅ (1− cosϕ 0 )
2
⇒
ϕ0
l
⋅ ∫
g ϕ =0
dϕ
=
cos ϕ − cos ϕ 0
l
T =4⋅
⋅
g
€
T (ϕ 0 ) = 2 ⋅ π ⋅
Gaub
π
2
∫
0
T
4
∫
0
dϕ
2 ⋅ g ⋅ (cos ϕ − cos ϕ 0 )
=
dt
l
€
ϕ
2
dt = T mit
sinα =
ϕ
4
sin 0
2
€
dα
1− k 2 ⋅ sin 2 α
;
k = sin
l
1
2
⋅ (1+ ⋅ ϕ 0 + .....)
g
16
E1 WS14/15
ϕ0
2
sin
+ Bronstein oder
Mathematica
T (ϕ 0 )
T0
1.02
€ 1.01
1.00
10 o 20 o 30o
ϕ0
22
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) Gravitation Kugelschale
da
a
α
y
r
mʹ′

R
ds
dx
ds
y dϕ
x
€
Aufsicht
€
Schnittfläche
Gaub
X
P
dA
ds
dx
y = a sinα, ds = da / sinα
dA = y dϕ ds
2π
dV= y dϕ ds dx
mʹ′ ⋅ ρ ⋅ dV
⇒ dEP = −G ⋅
r
=> dVKR = y ⋅ ds ⋅ dx ⋅
∫ dϕ
0
= 2 ⋅ π ⋅ y ⋅ ds ⋅ dx
Nebenüberlegung: Kreisring in n Segmente dV unterteilen
und Beiträge zu Ep€
aufaddieren:
mʹ′ ⋅ ρ ⋅ dV
mʹ′ ⋅ dmKR
€
⇒ dEPKR = ∑ dEP = −n ⋅ G ⋅
=G⋅
r
r
n
E1 WS14/15
23
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring) Gravitation Kugelschale
da
a
α
r
y
dV = 2 π y ds dx, y = asinα, ds=da/sinα
mʹ′

P
R
ds
dm = ρ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ a⋅ da⋅ dx
mʹ′ ⋅ dm
⇒ dEP = −G ⋅
r +a
dx
E P = −2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ G ⋅ mʹ′ ⋅ a⋅ da⋅ ∫
x= −a r
dx
r 2 = y 2 + (R − x)2
2
2
2
= y + x + R −2⋅ R⋅ x



a2
2
dx / dr = −r / R
€
⇒ dx / r = −dr / R
€
Gaub
€
R− a
€ 2⋅ π ⋅ ρ ⋅ a ⋅ da ⋅ mʹ′
EP =
⋅ G ⋅ ∫ dr
R
r= R +a
mʹ′ ⋅ m
EP = −G ⋅
R
= a + R2 − 2 ⋅ R ⋅ x
€
dV = 2 π a dx da
X
mit
€
m = 4 ⋅ π ⋅ a 2 ⋅ ρ ⋅ da
E1 WS14/15
= Masse der KS
24
⇒ Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O
EP
R
a
0
Innerhalb Hohlkugel:
−G ⋅
m ⋅ mʹ′
a
−G ⋅
m ⋅ mʹ′
R
R innerhalb der Kugel!
r= a− R
€
€
F
0
a
E Pi ~
R
F =0
F = −G ⋅
∫ dr = −2⋅ R
r= a+ R
mʹ′ ⋅ m
⇒ E Pi = −G ⋅
= const. R ≤ a !
a

F = −gradEP = 0 für R < a
m ⋅ mʹ′
R2
€
Gaub
€
E1 WS14/15
25
Gravimetrie der Erdoberfläche
1 Gal = 1 cm/s² = 0,01 m/s²; also etwa ein Promille der durchschnittlichen Erdbeschleunigung
von ca. 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = 1000 Gal,
Gaub
E1 WS14/15
26
Varianten der Coulomb WW
Gaub
E1 WS14/15
27
Varianten der Coulomb WW
Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and
Biological Systems, Academic Press 1985
Gaub
E1 WS14/15
28
Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper
dw = nB β
∞
wAB =
2πydydξ
[(d + ξ )
2
+y
∞
∫∫
dw = − π
y =0 ξ =0
2
]
3
n Bβ
6d 3
Nochmalige Integration
=> Potetial zwischen 2 Wänden
WAB
π 2 nA nB β 1
H AB 1
=−
2 =−
12
d
12 d 2
HAB typisch ≈10-20 J Hamaker
Konstante Gaub
E1 WS14/15
29
Van der Waals Wechselwirkung hält den Gecko am Glas fest
Gaub
E1 WS14/15
30