Felder und Wellen Musterlösung zum 9. Tutorium - KIT

Felder und Wellen
WS 2015/2016
Musterlösung zum 9. Tutorium
1. Aufgabe (**)
a)
I
w
l
~ =Hz ~ez
H
Hz ℓ =wI
wI
Hz =
ℓ
~
~
B =µ H
µ0 w I
BzLuf t =
ℓ
b) magnetische Flußdichte:
µwI
µ0 µF e w I
=
ℓ
ℓ
1000µ0 w I
=
ℓ
BzF e =
~
~
Das H-Feld
wird also vom Eisenkern nicht beeinflußt, das B-Feld
wird um den
Faktor 1000 verstärkt.
c) Aus dem Durchflutungsgesetz folgt:
ℓ
ℓ
HzF e + HzLuf t = w I
2
2
Gleichzeitig gilt die Grenzbedingung
BzF e = BzLuf t
Da die Felder senkrecht auf der Grenzfläche stehen, gilt
µ0 µF e HzF e = µ0 HzLuf t
ℓ
ℓ
⇒ HzF e + µF e HzF e = w I
2
2
HzF e =
2wI
ℓ(1 + µF e )
HzLuf t =
2 w I µF e
ℓ(1 + µF e )
BzLuf t = BzF e =
µ0 µF e 2 w I
ℓ(1 + µF e )
~
Das B-Feld
ist also um den Faktor 2 größer als in der Spule ohne Eisenkern. Das
~
H-Feld ist im luftgefüllten Teil µF e = 1000 mal stärker als im eisengefüllten Teil
der Spule.
d)
HzF e (ℓ − d) + HzLuf t d = w I
BzF e = BzLuf t
⇒ µ0 µF e HzF e = µ0 HzLuf t
HzF e (ℓ − d) + µF e HzF e d = w I
wI
(ℓ − d) + µF e d
µF e w I
=
(ℓ − d) + µF e d
µ0 µF e w I
= BzF e =
(ℓ − d) + µF e d
HzF e =
HzLuf t
BzLuf t
~
Das B-Feld
ist um den Faktor
Spule. Für sehr kleine d geht
µF e ℓ
stärker als in der luftgefüllten
(ℓ − d) + µF e d
µF e ℓ
→ µF e
ℓ + (µF e − 1) d
~
das B-Feld
wird also um µF e verstärkt, dazu muß aber (µF e − 1) d ≪ ℓ sein,
eine recht starke Bedingung für µF e ≈ 1000.
Für d in der gleichen Größenordnung wie ℓ geht
µF e ℓ
µF e ℓ
ℓ
→
≈
ℓ + (µF e − 1) d
(µF e − 1) d
d
~
das B-Feld
ist also angenähert dem einer luftgefüllten Spule gleicher Windungszahl aber nur der Länge d.
µ 2
H
2
~
Im luftgefüllten Teil der Spule ist das H-Feld
um den Faktor µF e = 1000 stärker
die Energie konzentriert sich also immer im Luftspalt.
e) wmag =
2. Aufgabe (***)
Wichtig ist hier, allgemeine Symmetriebetrachtungen anzustellen, um die Berechnung
des Feldes zu vereinfachen.
Die Anordnung ist zwar nicht zylindersymmetrisch, aber symmetrisch bei Rotationen
~
um 120◦ um die z-Achse. Deshalb kann das H-Feld
in einem Punkt auf der z-Achse
keine Komponente in x- oder y-Richtung haben. Deshalb gilt:
Jede Seite des Dreiecks liefert den gleichen Betrag zum Magnetfeld im Inkreismittel~
punkt. Deshalb genügt es, das H-Feld
für eine Seite zu berechnen. Für den Radius des
Inkreises gilt
1
R= √ a
2 3
Die Rechnung ist am einfachsten wenn die untere Seite des gleichseitigen Dreiecks
betrachtet wird. Es gilt das Gesetz von Biot-Savart für dünne Leiter
Z
d~s ′ × (~r − ~r ′ )
~ r) = µ I
B(~
4π
|~r − ~r ′ |3
Leiter
Die magnetische Flußdichte wird am Punkt ~r berechnet, ~r ′ ist der laufende Punkt auf
dem Leiter. Die magnetische Flußdichte wird im Ursprung berechnet:
~r = 0
Die untere Dreiecksseite verläuft parallel zur x-Achse
1
~r ′ = x ~ex − √ a ~ey
2 3
r
′
1 2
′
a
⇒ ~r − ~r = −~r = x2 +
12
d~s ′ = dx ~ex
Berechnung des Kreuzproduktes:
1
′
′
d~s × ~r − ~r = dx ~ex × −x ~ex + √ a ~ey
2 3
~ex × ~ex = 0
~ex × ~ey = ~ez
a
d~s ′ × ~r − ~r = √ dx ~ez
2 3
Daraus kann das Integral zusammengesetzt werden
a
a
Z2
√
µI
2 3
Bz1 (0) =
dx
4π
1 2 3/2
2
a
x + a
−
12
2
′
Bronstein:
Z
1
(ax2 + bx + c)
3/2
dx =
2(2ax + b)
√
(4ac − b2 ) ax2 + bx + c

µI a 
x

r
Bz1 (0) = √

8 3π
1
1 2
x2 + a2
a
12
12

a
2



−
a
2


−a
a
µI a 


r
r
−
= √


2
2
2
2
8 3π
1 2 a
1 2 a
a
a
a
+
a
+
6
4
12
6
4
12
µI
12
r
= √
8 3π
1
a
3
3µI
=
2π a
Alle 3 Dreiecksseiten zusammen erzeugen folgende magnetische Flußdichte im Ursprung:
9µ I
~
~ez
B(0)
= 3 Bz1 ~ez =
2π a
Daraus ergibt sich die magnetische Feldstärke
9I
~
H(0)
=
~ez
2π a
3. Aufgabe (***)
Das exakte Magnetfeld einer Leiterschleife (Index: L) ist schwer zu berechnen. Die
Gegeninduktionskoeffizienten sind bei einer Anordnung aus 2 Leitern symmetrisch.
Das Problem kann deshalb umgekehrt betrachtet werden; der Fluß durch die Spule
(Index: S) bei einem Strom I in der Leiterschleife ist gleich dem Fluß durch die Schleife
~
bei einem Strom I durch die Spule. Das B-Feld
einer langen Spule ist einfach zu
berechnen:
~ L = µ0 n I
B
Der Fluß φm,SL durch die Leiterschleife ist
Z
~ L df~ = BL π a2 = µ0 n I π a2
φm,SL = B
. Daraus folgt der Gegeninduktionskoeffizient LSL
LSL = µ0 n π a2
Fließt der Strom durch die Schleife, ist der Fluß φm,LS durch die Spule
φm,LS = LLS I = LSL I
also ebenfalls
φm,LS = µ0 n I π a2