L n1
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1900 Plancksches Strahlungsgesetz
Planck postulierte 1900 die Existenz einer Naturkonstanten h mit der Einheit einer Wirkung
h: Planckes Wirkungsquantum [h]=Js
Zur Regularisierung der Energiedichte der Hohlraumstrahlung. Sei L3 ein Hohlraum mit Temperatur T.
Die Elektromagnetische Wellen im Hohlraum haben also die mittlere Energie kBT. Es können sich im
Hohlraum stehende elektromagnetische Wellen bilden.
n1
n ; n i∈ℕ
F
k , x ∝sin x k x , sin y k y , sin z k z Mit k =
L 2
n3
Die Energie ist gegeben durch das Integral über den Hohlraum:
L
L
L
dx ∫ dy ∫ dz E 2 k , x =∑ k B T
∑
∫
k
0
0
0
k
x
1 1
n1= − sin x n1
L
2 2
und die Summation über die erlaubten Wellenzahlen
L3
...
∑
∫ d k ...
k
2 3
Gesamtenergie
∞
Kugelkoordinaten k B T
E kBT
=
d
k
=
k 2 dk
∫
3∫
V 2 2
2 0
sin 2
mit der relativistischen Beziehung für elektromagnetische Wellen k =
8 m
; c≈3⋅10
????
c
s
kBT ∞ 2
E
=
2
⋅ 2 3 ∫ d =∞
V Polarisationsrichtungen
2 c 0
wenn wir E als Integral über eine Energiedichte e(ω) definieren so ist also e(ω) gegeben durch
2
e =k B T 2 3 Raleigh-Jeansches Gesetz
c
man findet experimentell dieses Verhalten für niedrige Frequenzen und hohe Temperaturen
Das das Raleigh Jeansches Gesetz nicht für alle Frequenzen gültig sein kann erkennt man daran, dass das
Integral über e(ω), also die Gesamtenergie des schwarzen Strahlers, divergiert. Dies nennt man
Ultraviolettdivergenz oder Ultraviolettkatastrophe.
für hohe Frequenzen und kleine Temperaturen fand Wien
g
e ∝w3 exp −
; g : Konstante Wiensches Verschiebungsgesetz
kBT
[
]
Planck interpolierte zwischen beiden Formeln und fand das Plancksche Strahlungsgesetz:
ℏ
3
e = 2 3⋅
h
−34
c
ℏ
mit ℏ= ≈2,05⋅10 J s
exp
−1
k BT
[ ]
Quantentheorie Kohler
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WS1011
1905 Einsteins Wunderjahr
Einsteins Erklärung des Photoelektrischen Effekts (Brownsche Bewegung, spezielle Relativitätstheorie)
m v 2e
E e=
=ℏ −W
2
Licht besteht aus Photonen der Energie E=ℏ
Photonengeschwindigkeit ist immer c
Aus der speziellen Relativitätstheorie ist bekannt: E= p2 c 2m20 c 4 mit m0 Ruhemasse
Photonen haben keine Ruhemasse, daher: E= p c
1
Da für elektromagnetische Wellen außerdem =c k mit Wellenzahl k =
gilt, folgt die Beziehung
zwischen Impuls und Wellenvektor
p =ℏ
k ∧ p=h k
2
2
2
Konvention Sei x ein 3D Vektor, dann x=∣x∣= ∣x 1∣ ∣x 2∣ ∣x 3∣
1911 Rutherfordsches Atommodell
Hat die Inkonstenz, dass das Elektron beschleunigt ist und eine beschleunigte Ladung strahlt nach den
Maxwellschen Gleichungen elektromagnetische Wellen ab. Das System wird also ständig Energie
verlieren und das Elektron irgendwann im Kern einschlagen.
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WS1011
1913 Bohrsches Atommodell
Stationäre Bahnen sind Bahnen mit quadratischer Wirkung
T
!
I =∫ p t q̇ t dt=2 ℏ n , n∈ℕ ,[ I ]=Js
0
1913-1930: Formulierung der Quantenmechanik: Heisenberg, Bohr, Dirac, Sommerfeld, Fermi...
1924: Heisenbergsche Unschärfe-Relation
1935: Einsteins Arbeit zum EPR-Paradoxon ("Der Herrgott würfelt nicht")
1970: Quantenoptik ("nicht klassisches Licht") beschäftigt sich mit Eigenschaften des Lichts die nur
durch dessen Teilchencharakter erklärbar sind.
1.2 Experimente
Seit 1850 Spektroskopie
1910
Millikan-Versuch: Quantisierung der elektrischen Ladung
1913
Franck-Hertz Versuch
1922
Stern Gerlach Versuch zur Quantisierung des Drehimpulses, Existenz des Spins
1922
Compton Effekt. Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit
1927
Davisson, Germer: Elektronenbeugung am Kristall
1961
Doppelspaltversuch an Elektronen
1982
Aspect Experiment, welches die Verletzung der Bellschen Ungleichungen bei verschränkten
Photonen beweist
2002
Beugung von Fullerenen C70 PRL, 88, 100404 (2002)
1.3 Doppelspaltversuch
Der Doppelspaltversuch ist von entscheidener Bedeutung für die Entwicklung der Quantenmechanik.
2002 wurde der Versuch von den Lesern der Physikzeitschrift "Physics world" zum schönsten Experiment
aller Zeiten gewählt.
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sin '=
s
x
, tan =
B
R
sR
B
s=n
⇒
wenn
konstruktive Interferenz, Maxima
R
d.h. Maxima bei n
B
2n−1 R
Minima bei
2
B
für kleine Winkel gilt sin '≈tan ⇒ x=
Entscheidend ist, dass das Interferenzmuster verschwindet sowie ein Spalt geschlossen wird. Das gleiche
Interferenzmuster würde man auch für ein einzelnes Elektron erhalten. Das Elektron befindet sich in einer
Überlagerung (Superposition) der beiden Wege durch den Spalt 1 und 2.
2. Formalismus der Quantenmechanik
2.1. Klassisches Mechanik
Im folgenden wollen wir die klassische Mechanik eines Punktteilchens betrachten, welches sich in einem
äußeren Potential bewegt. Unter diesem Punktteilchen können wir uns zB ein Elektron vorstellen.
Die Bewegung der Punktladung wird durch Newtons Gesetz beschrieben
x t= me ⋅ a
Kraft F
t
träge Masse Beschleunigung
2
a t=
d
x t =̈x t
dt 2
F x t =0
Klassische Bewegungsgleichung (*) m ̈x t −
Die klassische Bewegungsgleichung eines Punktteilchens ist eine bzw 3 gewöhnliche
Differentialgleichung 2ter Ordung
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Satz: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 2ter Ordung ist durch die Anfangswerte
x 0 , ̇x 0 eindeutig bestimmt.
Physikalisch bedeutet dies: Kennen wir den Ort und die Geschwindigkeit eines Punktteilchens zu einem
bestimmten Zeitpunkt, so können wir, sofern wir in der Lage sind die Bewegungsgleichung zu lösen, das
Verhalten dieses Teilchens für alle Zeiten voraussagen.
Nebenbemerkung: Da diese Aussage nicht nur für ein Punktteilchen sondern auch für mehrere
Punktteilchen, ja sogar für alle Punktteilchen gilt, kann man sagen: Wenn jemand zu einem bestimmten
Zeitpunkt Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen dieser Welt kennt und dazu in der Lage ist die
Bewegungsgleichungen zu lösen, kann er das Weltgeschehen für alle Zeiten vorhersagen. Dieser jemand
heißt Laplacescher Dämon und war wichtig für den klassichen Determinismus, eine philosophische
Richtung des ausgehenden 18. Jahrhunderts.
Zum Lösen der klassischen Bewegungsgleichung ist oft folgende Umformulierung nützlich.
t =̇x t
∇
Impuls: p t=m v t
Einsetzen in (*) liefert
x t =0
m ̇
v t− F
x t
̇pt = F
bzw
Hamiltonsche Bewegungsgleichung
p t
̇x t=
m
Durch diesen Trick haben wir drei Dgls zweiter Ordnung in 6 Dgls erster Ordnung umgewandelt. Dies ist
prinzipiell immer möglich, auch wenn die Lösung nicht unbedingt einfacher wird. Bevor wir diese für
einen einfachen Fall lösen betrachten wir eine andere wichtige Größe.
Energie E = Ekin + Epot
m 2
kinetische Energie E kin= v t
2
potentielle Energie E pot =V x t
∂ V x
∂x
V x=− ∂ V x
x =− ∇
F
∂y
∂ V x
∂z
Ein Kraftfeld, das sich als Gradient einer Funktion V x schreiben lässt, heißt konservativ. Die
Funktion V x heißt Potential
Die Energie ist prinzipiell eine Funktion von Ort (durch das Potential) und Impuls (durch die kinetische
Energie)
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WS1011
H x t , p t Hamiltonfunktion
Es hat sich eingebürgert, diese Funktion Hamiltonfunktion zu nennen.
Es gilt aber der:
Satz der Energieerhaltung: Die Energie ist eine Konstante der Bewegung
d
H x t , pt =0
dt
Achtung: Dies gilt nur für isolierte Systeme
Gegenbeispiel: gekicktes Pendel
Beweis:
p 2 t
V x t
2m
d
1
V⋅̇x t=v t ⋅ ̇p t ∇
V x t =0
H = p t⋅̇p t ∇
dt
m
H t=E kinE pot =
=m ̈x t
=− F
x t
wegen der klassischen Bewegungsgleichung
Das heißt die Energieerhaltung ist eine direkte Konsequenz der klassischen Bewegungsgleichungen.
Die Frage ist: Läßt sich dieses Argument nicht umdrehen und die Bewegungsgleichung aus einer
Energie/Hamiltonfunktion konstruieren?
Die Antwort ist ja.
Die Bewegungsgleichungen lassen sich aus der Hamiltonfunktion H x , p wie folgt gewinnen.
∂H
,i=1,2,3
∂ pi
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen.
∂H
ṗi=−
, i=1,2 ,3
∂ xi
ẋi =
Diese sind identisch mit den klassischen Bewegungsgleichungen a la Newton.
Wir beachten, dass die Hamiltonfunktion zwar konstant bleibt entlang einer Lösung der klassischen
Bewegungsgleichung aber natürlich bei beliebigen Veränderungen von x , p sich ändern kann.
Die Gleichung H x , p=E
muss also so gelesen werden, dass sich das Teilchen nur auf Bahnen bewegen kann auf denen H=E.
Definition: xi und pi heißen kanonisch konjugierte Koordinaten.
Definition: Der durch x und p aufgespannte Raum heißt Phasenraum.
Wie schon erwähnt haben wir bei Kenntnis von x und p vollkommene Kenntnis von dem
Punktteilchen. Eine beliebige Eigenschaft des Teilchens können wir also durch eine Funktion von
x und p ausdrücken.
f x , p Eine solche Funktion heißt Phasenraumobservable
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Beispiel: Harmonischer Oszillator in einer Dimension
1
2 2
V x= m x
2
p2 1
2 2
m x
2m 2
Newtonsche Bewegungsgleichung m ẍm 2 x=0 ⇒ ẍ2 x=0
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen:
∂H p
ṗ
ẋ=
= ⇒ ẍ=
∂p m
m
∂H
2
ṗ=−
=−m x ⇒ ẍ=−2 x
∂x
Lösung der Bewegungsgleichung
d2
cos t =− 2 cos t
2
dt
d2
sin t=− 2 sin t
2
dt
allgemeine Lösung:
ẋ 0
x t=x 0 cos t
sin t
E
ẋ 0= 2 −2 x 2 0
m
Energie:
H x , p=
für
x 0=
2E
⇒ ẋ 0=0 maximale Auslenkung
m 2
Man kann sich auch noch für andere Größen interessieren zB die "Varianz" über eine Periode.
T
T
{
0
0
mit t ' =t∧T =
2
}
2
Var T =∫ dt x 2 t=∫ x 2 0 cos 2 t
v 0
v 0
sin t 2 x 0
cos tsin t
2
{
}
v 2 0
v 2 0 2 m 2
m
Var T = ∫ dt ' x 2 0 2 = x 2 0
=
v 0 2 x 2 0
2 0
m 2
2
2
Var T =
E
m
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Beweis siehe Übung
WS1011
2. Beispiel: Teilchen im Coulombpotential
1 2 e2
H x , p =
p − , r= x 2 y 2z 2
2m
r
2
e
x
Newton m ̈x− 3 x =0 , er =
r
r
Hamilton: ̇x= p ⇒ ̈x = ̇p
m
m
−∂ H e 2
e2
ṗi =
= 3 x i ⇒ ̈x= 3 x
∂ xi
r
mr
Wir sehen, dass auch hier die Newton'sche Mechanik und die Hamilton'sche Mechanik identisch sind.
Insgesamt kann man sagen, dass in der Newton'schen Mechanik aus den Bewegungsgleichungen die
Energieerhaltung folgt.
Newton: Bewegungsgleichung --> Energieerhaltung
In der Hamilton'schen Mechanik ist es umgekehrt: Energieerhaltung --> Bewegungsgleichung
Für die Quantenmechanik ist die Hamiltons'che Sichtweise nützlicher.
2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundbegriffe
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein komplexer Bereich der modernen Mathematik und eine
vollständige Behandlung ist an dieser Stelle nicht möglich aber auch nicht nötig.
Entscheidend in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff der Zufallsvariable. Dies ist eine
Abbildung von einem Ereignisraum Ω auf die reellen Zahlen
X : ℝ
In der Praxis wird eine Zufallsvariable durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben:
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P :ℝ [0,1]
WS1011
P X ≤x ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte kleiner x annimmt.
P X ≤x muss monoton wachsend sein.
In vielen Fällen lässt sich P X ≤x als Integral schreiben
x
P X ≤x =∫
−∞
px
dx
Wahrscheinlichkeitsdichte
entsprechend können wir auch Erwartungswerte für Funktionen von Zufallsvariablen definieren
⟨ f x ⟩=∫ f x p x dx
Besonders wichtig sind die Momente einer Verteilung.
Momente
n
m n =∫ x p x dx heißt n-tes Moment.
Das zweite Moment in ein Maß für die Breite einer Verteilung. Dies gilt allerdings nur, wenn der
Erwartungswert verschwindet. Ansonsten muß man den Erwartungswert von der Zufallsvariable abziehen
um die Verteilung zu zentrieren. Dies führt auf die Varianz
Var X = ⟨ X −⟨ X ⟩2 ⟩ =⟨ X 2 ⟩−⟨ X ⟩ 2
Beweis: ⟨ X −⟨ X ⟩ 2 ⟩= ⟨ X 2 −2X ⟨ X ⟩⟨ X ⟩ 2 ⟩ =⟨ X 2 ⟩−2 ⟨ X ⟩ ⟨ X ⟩⟨ X ⟩2
mit ⟨ ⟨ X ⟩⟩=⟨ X ⟩ ∧ ⟨ 1⟩=1
Beispiel: Momente der Gaußverteilung.
Wir betrachten die Gaußverteilung
1
1
p x=
exp − 2 x− 2
2
2
2
∞
1
x2
⟨ X ⟩= ∫ x p x dx=
∫ x exp − 2 dx=
−∞
2
Höhere Momente für µ=0: ungerade Momente verschwinden
1
Setze a=
2
2
n ∞
⟨ X 2n ⟩ = − ∂ ∫ 1 2 exp [−a x 2 ] |a = 1
∂ a −∞ 2
2
[
]
2
∞
Gauß'sches Integral
∫ exp [−a x 2 ] dx=
−∞
⟨ X 2n ⟩ =
1
− ∂
2
2 ∂ a
n
a
−
1
| 1 =
a
a a = 2 2 2
2n1
2
2
n
∏
k =1
n
2n1
2k−1
1
2
=
2
= 2n
∏ 2k−1
2
2
2
k=1
2
Eine Funktion ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfüllt.
∞
1.
2.
∫ p x dx =1
Normierbarkeit
−∞
p x 0 positiv definit.
Beispiele:
1
1
exp − 2 x− 2
2
2
2
1
2. Lorentz-Verteilung: p x =
x− 2 2
etwas breiter als die Gaußverteilung, langsamerer Abfall für große Abweichungen
1. Gaußverteilung:
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p x =
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3. δ-Verteilung:
Um auch diskrete Ereignisse durch Wahrscheinlichkeitsdichten beschreiben zu können, führt man
die δ-Distribution ein.
∞
Diese ist definiert durch: 0=∞ ∧ x ≠0=0 so dass
x dx=1
∫
Außerdem gilt:
4. Gleichverteilung:
−∞
∞
∫ f x x−x 0 dx= f x 0
∀ f
−∞
{
1
p x = L
0
L
L
für − x
2
2
ansonsten
Den Erwartungswert einer Zufallsvariable X kennzeichnen wir durch eckige Klammern und er ist
gegeben durch:
∞
⟨ X ⟩=∫ x p x dx
−∞
Für mehrere Zufallsvariable gelten ähnliche Sätze.
Seien X1,...,Xn n Zufallsvariable, dann ist p x 1 , ... , x n eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn gilt:
∞
∞
∞
∫ dx 1 −∞
∫ dx 2 .. −∞
∫ dx n p x 1 , ... , x n=1
−∞
∧ p x 1 , ... , x n ≥0 ∀ x 1 , ... , x n
1. Unabhängigkeit: Zwei Zufallsvariable X1, X2 heißen unabhängig, wenn für ihre
Verteilungsfunktion gilt: p x 1 , x 2 = p1 x 1 p2 x 2
p x 1 , ... , x n heißt: Verbundwahrscheinlichkeit, joint propability density function
Addition zweier unabhängiger Zufallsvariablen:
Seien X1 und X2 zwei unabhängige Zufallsvariablen die gemäß p 1 x 1 p 2 x 2 verteilt sind. Dann ist
deren Summe, dh die Zufallsvariable X 1 X 2 gemäß p y =∫ p1 y −x p 2 x dx
(Faltungstheorem) verteilt.
2.3 Einführung in die Funktionalanalysis
Funktionalanalysis könnte man definieren als lineare Algebra auf unendlich dimensionalen Vektorräumen
und Funktionenräumen. Sie bildet das mathematische Grundgerüst der Quantenmechanik. De facto kann
man viele Konepte aus der linearen Algebra auf endlichdimensionalen Vektorräumen eins zu eins
übernehmen. Da auch endlich dimensionale Vektorräume in der QM wichtig sind, beginnen wir mit
diesen.
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2.3.1 Endlich dimensionale Vektorräume
Definition: Ein Vektorraum ℵ über ℂ besteht aus Elementen ∣ ⟩ für die gilt
(mit w , z ∈ℂ ∧ ∣ ⟩ ,∣ ⟩ ∈ℵ )
1. Assoziativgesetz: wz ∣ ⟩=w z ∣ ⟩
2. Distributivgesetz w ∣ ⟩∣ ⟩ =w∣ ⟩ w∣ ⟩ bzw. wz ∣ ⟩=w∣ ⟩z ∣ ⟩
Wir benutzen die in der QM übliche Bezeichnung: Ket ∣ ⟩ für einen Vektor anstelle von
Ein solcher Vektor wird auch ket gennant. Ein Vektor wird wie üblich durch sine Komponenten
dargestellt.
1
∣ ⟩= 2 , N ∈ℂ ∧ dim ℵ= N
...
N
Wir definieren ein Skalarprodukut zweier Vektoren ∣ ⟩ und ∣ ⟩ wie folgt:
N
⟨ | ⟩=∑ *n n ∈ℂ
n=1
Es gilt die wichtige Beziehung
⟨ | ⟩=⟨ | ⟩* (1)
Definition: Ein Hibertraum ist ein Vektorraum auf dem ein Skalarprodukt definiert ist.
Der Vektor ⟨ ∣ ist aus dem Dualraum zu ℵ . Wir bezeichnen ihn mit ℵ* . Der Vektor ⟨ ∣ wird
als bra bezeichnet in der QM. In der linearen Algebra ist ⟨ ∣ ein Zeilenvektor
t
⟨ ∣= *1 , *2 ,... , *N
1
⟨ | ⟩= , ,... , ⋅ 2
...
N
*
1
*
2
*
N
N
∑ *n n
=
Matrixmultiplikation n=1
Die Komponenten eines Vektors sind nur bezüglich seiner Basis definiert.
0
1
..
0
1
nte
Stelle
e1= 0 , en=
0
..
..
0
0
Wir wollen die orthogonalen Basisvektoren statt mit en einfach mit ∣n ⟩ bezeichnen.
⟨ n| ⟩= n (2)
Für das Skalarprodukt mit Einheitsvektoren findet man:
∣
⟩
Die n-te Komponente des Vektors
ist gerade das Skalarprodukt mit dem n-ten Basisvektor.
Das Skalarprodukt eines Basisvektors mit einem anderen ist besonders einfach:
⟨ n| ⟩=
= 1 wenn n=m Diese Beziehung wird Orthogonalitätsrelation genannt.
nm
0 wenn n≠m
Kronecker-delta
{
Mit Beziehung (1) und Beziehung (2) lässt sich das Skalarprodukt zweier Vektoren wie folgt schreiben:
N
N
N
n=1
n=1
n=1
⟨ ∑ ⟩
⟨ | ⟩=∑ *n n = ∑ ⟨ n| ⟩* ⟨ n | ⟩ =∑ ⟨ | n ⟩ ⟨ n | ⟩= |
(1)
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N
∣n ⟩ ⟨ n∣ |
n=1
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Aus der Gleichheit beider Seiten folgt, dass
N
∑ ∣n ⟩ ⟨ n∣=1̂
n=1
gelten muss, wobei hier 1̂ die Einheitsmatrix ist. Diese Beziehung wird wird Vollständigkeitsrelation
genannt. Wichtig ist zu erkennen, dass diese Beziehung unabhängig von der Wahl der Basisvektoren ist.
Dies gilt ebenso für das Skalarprodukt.
Regel: Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt nicht von der Wahl der Basisvektoren ab.
Matrizen werden in der Quantenmechanik Operatoren genannt. Sie wirken auf Vektoren durch
Matrixmultiplikationen. Sei
̂ ein Operator
A
̂ H→H
A:
̂ ∣ψ ⟩=∣φ ⟩ ∈ H (*)
A
In Komponenten bedeutet dies
N
∑ Anm ψ m=φn (**)
m=1
∣
A11 ...
̂
A=
... ...
... ...
∣
...
...
Amn
Wir können dies auch eleganter in Bra-Ket-Schreibweise formulieren. Wir agieren von links auf beide
Seiten der Gleichung (*) mit einem Basisvektor ⟨ n∣
⟨ n∣Â ∣ψ ⟩ = ⟨ n∣φ ⟩
N
̂ ∑ ∣m ⟩ ⟨ m∣
1=
(Vollständigkeit)
m=1
N
∑ ⟨ n∣Â ∣m ⟩ ⟨ m∣ψ ⟩= ⟨ n∣φ ⟩
m=1
Ein Vergleich mit (**) zeigt
̂ ∣m ⟩
Anm=⟨ n∣A
Die Matrixelemente von  sind also gegeben durch die Wirkung der Matrix  auf Basisvektoren.
Es ist wichtig, sich die unterschiedlichen Bedeutungen der Gleichungen (*) und (**) klarzumachen.
Während (*) basisunabhängig formuliert ist, nimmt (**) Bezug auf vorher definierte Basisvektoren.
̂ ∣ψ ⟩ im Dualraum aussieht.
Wir müssen uns auch noch überlegen, wie der Vektor ∣φ ⟩= A
̂ t und suchen eine Beziehung zwischen
Wir schreiben ⟨ φ∣=⟨ ψ∣A
̂ und A
̂t .
A
In Komponenten
N
⟨ φ∣n ⟩= ∑ ⟨ ψ∣m ⟩ ⟨ m∣Â t∣n ⟩
m =1
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Andererseits gilt:
*
*
( ∑ ⟨ ∣ ∣ ⟩ ⟨ ∣ ⟩)
N
̂ m mψ
nA
⟨ φ∣n ⟩=⟨ n∣φ ⟩ =
m =1
N
*
̂ ∣m ⟩ ⟨ m∣ ψ ⟩
= ∑ ⟨ n∣A
m=1
N
*
*
̂ ∣m ⟩
= ∑ ⟨ ψ∣m ⟩ ⟨ n∣A
m=1
*
⇒
̂ t heißt der zu
A
̂ t aus
A
⟨ m∣Â t∣n ⟩ =⟨ n∣Â ∣m ⟩
A tmn =
A*nm
̂ adjungierte Operator. Oder is A
̂ t t die zu
A
̂ indem man
A
̂ adjungierte Matrix. Man erhält
A
̂ zunächst transponiert und dann alle Einträge komplex konjugiert.
A
Beispiel: 2x2-Matrix
( )
*
*
a c ⇒A
̂
̂ t = a* d *
A=
d b
c b
( )
Eine besonders wichtige Klasse von Operatoren sind solche, für die gilt:
̂ A
̂t
A=
Diese Operatoren heißen Hermitesch oder selbstadjugiert.
Beispiel: 2x2-Matrix
( )
( )
a c
̂
̂ t = a* c
A=
, a ,b∈ℝ ⇒ A
*
c b
c b
Eine Hermitesche Matrix hat auf der Diagonalen reelle Einträge.
Ein Operator kann auf einen Vektor wirken, so dass er diesen bis auf ein Vielfaches reproduziert.
Also:
̂ ∣αn ⟩=α n∣αn ⟩
A
Der Vektor
einer Matrix
∣α n ⟩
heißt Eigenvektor zum Operator
α∈ℂ
̂ und α n heißt Eigenwert. Um die Eigenwerte
A
̂ zu bestimmen, berechnet man das charakteristische Polynom
A
1̂
̂
det ( A−α
N )=0
Dies ist ein Polynom N-ten Grades in
α . Entsprechend hat dieses Polynom N Nullstellen. Wir wollen
uns im folgenden auf Hermitesche Operatoren beschränken. Für diese Operatoren kann man folgende,
stärkere Aussagen treffen:
Quantentheorie Kohler
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Spektralsatz: Sei
̂ ein Hermitescher Operator
A
̂ A
̂ t der Dimension N, dann existiert ein
A=
∣α n ⟩ , n=1,... , N
vollständiges Orthogonalsystem von Eigenvektoren
zu diesem Operator.
D.h. Es gilt
̂ ∣αn ⟩=α n∣αn ⟩
A
n=1,... , N
N
⟨ α n∣α n ⟩ =δnm=∑ ⟨ αn∣k ⟩⟨ k ∣α m ⟩
k=1
N
∑ ∣αn ⟩ ⟨ α n∣=1̂
n=1
Die Eigenwerte
α n können hierbei auch identisch sein. Es kann also gelten α1 =α2 =α3 , etc, aber
dennoch < α1 |α 2 >=< α1 |α3 >=0 .
Beispiel: 2x2-Matrizen
( )
a c
̂
A=
c* b
⟨ 1∣Â ∣1 ⟩ =a
⟨ 1∣Â ∣2 ⟩ =c
⟨ 2∣Â ∣2 ⟩=b
,
1.) Berechnung der Eigenwerte
̂
det ( A−α
)=0
a−α
c
det
=0
*
c
b−α
(
)
Dies liefert ein charakteristisches Polynom zweiten Grades
α 2−α (a+b)+ab−∣c∣2=0
Dieses hat zwei Lösungen
√
2
( a−b)
a+b
2
α1,2 =
±
+∣c∣
2
4
Wir sehen, dass beide Eigenwerte reelle Zahlen sind. Dies ist kein Zufall. Allgemein kann man zeigen:
Satz: Alle N Eigenwerte einer Hermiteschen Matrix sind reell.
Beweis: Übung
2.) Berechnung der Eigenvektoren: Wir suchen die Vektoren ∣α 1 ⟩ ,∣α 2 ⟩ für die gilt:
̂ ∣αn ⟩=α n∣αn ⟩
A
in Komponenten
n=1, 2
⟨ 1∣α n ⟩ = x n
⟨ 2∣α n ⟩ = y n
( a−αn ) x n+c y n=0
c * x n+( b−α n ) y n =0
finden wir die Gleichungen
Quantentheorie Kohler
( )
α n−b ← x n
∣α n ⟩=λ n c*
← yn
1
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x n aufzulösen. Die Eigenvektoren α n sind nur bis auf eine
Es reicht, eine Gleichung nach
Konstante λ n
bestimmt, die komplex sein kann. In der Quantenmechanik wollen wir die Vektoren auf
Eins normieren. Dies bestimmt die
λ n (fast) eindeutig.
3.) Normierung:
⟨ α1∣α 1 ⟩= ⟨ α 2∣α 2 ⟩ =0
⟨ α1∣α 2 ⟩ =0
2
⟨ αn∣αn ⟩ =∣λ n∣
(
2
(αn−b)
2
∣c∣
+1
2
)
(
∣c∣
1
1
= 1∓
∣λn∣ =
2
2
(α n−b) +∣c∣ 2
2
( )
√
2
4∣c∣
1+
(a−b)2
(
λ ei φ
∣α1 ⟩ = ∣ 2∣
∣λ1∣
−∣λ1∣e i φ
∣λ2∣
∣α 2 ⟩=
2
)
)
2
2
∣c∣
∣c∣
∣c∣ 1
=
=
2
2
(z
+w)(
z
+w+z
−w)
z
+w
2z
( w+ z) +∣c∣
2
2
∣c∣
∣c∣ 1
2
=
∣λ2∣ =
(z−w)(z −w+z +w) z−w 2z
2
∣λ2∣ =
z −w
2z
z
+w
λ22 =
2z
λ21 =
1
= (1±
2
√
z
1
√
z+w
c*
1
c
√ z −w
√ z −w
c
z−w
1
=
=
z−w
2z
√ 2z
1
2
1
w
∣λ1,2∣ = (1± )
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
√
z −w
∣α1 ⟩=
2z
=
∣c∣2
1+ 2
w
)
(
2
1
√ 2z
c
1
√ z −w = √ 2z
z-
√ z+w e i φ
√ z−w
)
z−w ( z+w)
1
+1 = (z +w+z −w)=1
2
2
2z
2z
z −w
1
∣α 1 ⟩=
√2
Die Eigenvektoren u ∣α 1 ⟩ und
Basisvektoren
(√ )
√
z iφ
e
w
z
1−
w
1+
( )
z+w −c
∣α 2 ⟩=
2z z +w
1
=−√ z−w e
√
∣α 2 ⟩ bilden ebenso ein Orthogonalsystem wie die ursprünglichen
∣1 ⟩ , ∣2 ⟩
Quantentheorie Kohler
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WS1011
∣α 1 ⟩ und ∣α 2 ⟩ als Basisvektoren benutzen wie die
Man kann natürlich ebensogut die Eigenvektoren
ursprünglichen Basisvektoren. In dieser Basis wird der Operator
Matrixelemente von
̂ diagonal. In der ∣α ⟩ -Basis sind die
A
̂ gegeben durch
A
⟨ α n∣Â ∣α m ⟩=α m ⟨α n∣α m ⟩
da
̂ ∣α m ⟩=α m∣α m ⟩
A
=α m δnm da ∣α n ⟩ orthogonal
Das heißt, es gibt für jeden hermitschen Operator eine Basis, in der dieser diagonal ist. Die neueBasis ist mit der
alten Basis durch einen Basistranformation verknüpft. Eine Basis, in der der Operator
̂ diagonal ist, heißt die
A
̂ -Darstellung
A
⟨ α 'n∣Â ∣ψ ⟩=∑ α n ⟨ α n∣ψ ⟩
(in
̂ Darstellung)
A
Basistransformation:
Da die neuen Vektoren
∣α n ⟩ , n=1, ... , N ein vollständiges Orthogonalsystem bilden, gilt die Vollständigkeit
N
∑ ∣α n ⟩ ⟨ α n∣=1̂
n=1
altes Matrixelement
⟨ n∣Â ∣m ⟩
→
neues Matrixelement
∑ ⟨ n∣α i ⟩ ⟨ αi∣Â ∣α j ⟩ ⟨ α j∣m ⟩
i,j
Da
̂ ∣α j ⟩≡α j∣α j ⟩ → ∑ ⟨ n∣α i ⟩ α i ⟨ α i∣m ⟩
A
⟨ n∣αi ⟩
⟨ αi∣m ⟩
i
sind die neuen Basisvektoren, dargestellt in der alten Basis.
sind die alten Basisvektoren dargestellt in der neuen Basis.
Wir können diese als Matrixelemente einer Matrix U auffassen:
⟨ n∣αi ⟩ =Û n i
⟨ αi∣m ⟩ =Û *n i= Û ti n
Es gilt offenbar
Quantentheorie Kohler
⟨ %n∣m ⟩ =δnm=∑ ⟨ n∣α i ⟩⟨ αi∣m ⟩
̂ n i Û ti m=( Û Û t )nm
=δ nm= U
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oder
̂U
̂ t =1
U
Matrizen, die diese Eigenschaft erfüllen, werden unitär genannt.
∣ψ ⟩ transformieren wie
Vektoren
ψn=⟨ n∣ψ ⟩ =∑ ⟨ n∣α i ⟩ ⟨ α i∣ ψ ⟩
̂ ni ψ
̃i
=U
Wobei
̃ i die Komponente in der neuen Basis bezeichnet. Wichtig ist, dass sich der Vektor
ψ
Operatoren
∣ψ ⟩ nicht ändert.
̂ transformieren wie
A
̂ ∣m ⟩ =∑ ⟨ n∣αi ⟩ ⟨ αi∣A
̂ ∣α j ⟩ ⟨ α j∣m ⟩
Anm =⟨ n∣A
i, j
̃ ij U tjm
=U n i A
Zusammenfassung:
•
Die Komponenten eines Vektors sind Skalarprodukte des Vektors mit orthonormalen Basisvektoren
•
Hermitesche Operatoren lassen sich immer diagonalisieren.
•
Die Eigenwerte eines Hermiteschen Operators sind die Einträge in Diagonalform.
•
Seien
̃ i die Komponenten des Vektors ∣ψ ⟩ in der Darstellung in der
ψ
̂ diagonal ist. Dann wirkt
A
̂ ∣ψ ⟩ =α ψ̃
A
i i
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2.3.2 Funktionalanalyse
Alles, was wir über Matrizen und Vektoren gelernt haben, besitzt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume
seine Gültigkeit.
Definition: Eine Funktion
ψ( ⃗x )∈ℂ heißt quadratintegrabel, wenn das Integral
∫ d ⃗x ψ(⃗x ) ψ*( ⃗x )=I
existiert und endlich ist.
Die quadratintegrablen Funktionen bilden einen Vektorraum L².
Addition:
Skalarprodukt:
ψ(⃗x )+φ(⃗x) ,∈L
2
∫ ψ* (⃗x )φ( ⃗x )d ⃗x
Wenn eine Funktion quadratintegrabel ist, lässt sie sich so normieren, dass gilt:
∫ ψ* (⃗x ) ψ(⃗x )=1
Elemente des Vektorraums L² nennen wir Wellenfunktion.
Die Dimension des Vektorraumes L² ist unendlich, d. h. Es lassen sich unendlich viele Funktionen
ψ1( ⃗x )
finden, so dass gilt:
∫ d ⃗x ψ*1( ⃗x ) ψn (⃗x )=δnm
n=1,.... ,∞
Orthogonalität
Vergleich:
N-endlich
N
∑ ⟨ α*n∣k ⟩ ⟨ k∣α m ⟩ =δ nm
k =1
D.h. Im Übergang von endlicher Matrixdimension zu unendlicher Matrixdimension wird die Summe zum Integral,
sonst ändert sich nichts. Aufgrund der Normierung hat die Funktion ∣ψ( ⃗
x )∣2 =ψ* ( ⃗x)ψ( ⃗x)≥0 die
Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichte.
Es gilt auch die Vollständigkeit:
Sei
φ( ⃗x) eine beliebige Funktion
∈ L2 . Dann lässt sich φ( ⃗x) wie folgt entwickeln in Basisvektoren
ψn ( ⃗x )
∞
φ( ⃗x)=∑ ψk ( ⃗x )∫ ψ*k ( ⃗x ) φ( ⃗x ' ) d ⃗x '
k=1
Vergleich:
∞
φn =⟨ n∣φ ⟩ =∑ ⟨ n∣α k ⟩ ∑ ⟨ α k∣m ⟩ ⟨ m∣φ ⟩
k =1
N
m
N
k =1
m =1
=∑ U nk ∑ U km φm
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Operatoren: Sei
⃗x der Ortsraum
Beispiel:
1) Ortsoperator
⃗x̂ : Multiplikation mit ⃗x
( )
x1 ψ( ⃗x )
⃗x̂ ψ( ⃗x )=⃗x ψ(⃗x )= x 2 ψ( ⃗x )
x3 ψ(⃗x )
2) Ableitungsoperator
⃗̂ :
−i ∇
( )
δ ψ(⃗x )
δ x1
̂⃗
−i ∇ ψ(⃗x )=−i δ ψ( ⃗x )
δ x2
δ ψ(⃗x )
δ x3
Die einfache Wirkung des Ortsoperators zeigt, dass wir uns in einer Basis befinden, in der der Ortsoperator
diagonal ist. Dies ist die Ortsraumbasis.
Wellenfunktion
ψ(⃗x )
=
Vektor in Ortsraumbasis
⟨ x∣ψ ⟩
Die Wirkung des Ortsoperators auf einen Vektor wird in der Ortsraumbasis extrem einfach:
⃗x̂ ∣x ⟩ = ⃗x∣ x ⟩
daher
⟨ x∣⃗x̂ ∣ψ ⟩=⃗x ⟨ x∣ψ ⟩ =⃗x ψ( ⃗x )
Das heißt: eine Funktion
ψ( ⃗x ) können wir als einen Vektor ∣ψ ⟩ in einer Basis, in der der Ortsoperator ⃗x̂
diagonal ist, interpretieren.
Die Menge der Eigenwerte eines Operators wird Spektrum genannt. Im Falle endlicher Dimension hat ein Operator
genau N Eigenwerte. Im Falle unendlicher Matrixdimensionen kann es sein, dass jede reelle Zahl Eigenwert ist.
N endlich
←→
̂
Spec( A)={ α1, ... , α 2 }
N unendlich
Spec( x̂ i)=ℝ
Der Ortsoperator hat offenbar ein kontinuierliches Spektrum.
Basistransformationen:Auch das Konzept der Basistransformationbehält für den Funktionenraum L² seine
Gültigkeit. Als wichtigstes Beispiel betrachten wir hierzu den Ableitungsoperator
⃗̂ . Eigenfunktionen von
−i ∇
⃗̂ sind Funktionen, für die gilt:
−i ∇
⃗̂ ψ(⃗x )=⃗
−i ∇
k ψ(⃗x)
⃗
1
⇒ ψ( ⃗k , ⃗x )=
e i k ⃗x
3
√2 π
Diese Eigenfunktionen sind vollständig und orthogonal, denn es gilt:
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1
⃗'
∫ ψ* (⃗k , ⃗x )ψ( k⃗' , ⃗x )d ⃗x = (2 π)3 ∫ e−i( k −k ) ⃗x d ⃗x
⃗
=δ ( ⃗
k − k⃗ )
Orthogonalität
'
ψ( ⃗
k ,⃗x ) entwickeln:
Andererseits kann man jede Funktion aus L² in
φ( ⃗x)=
1
i⃗
kx
d⃗
k e ⃗ φ(
k)
̃ ⃗
3∫
2
π
√
wobei
φ(
k )=
̃ ⃗
⃗
1
d ⃗x e−i k ⃗x φ( ⃗
k)
3∫
√2π
Dies ist gerade die Fouriertransformation.
D. h. wir fassen die Fouriertransformation als einen Basiswechsel von der Ortsraumbasis in die Basis, in der der
Ableitungsoperator diagonal ist, auf.
∣ x ⟩ ← →∣k ⟩
⟨ x∣ψ ⟩ ← → ⟨ k ∣ψ ⟩=∫ d ⃗x ⟨ k ∣x ⟩ ⟨ x∣ψ ⟩
⃗
1
⟨ k∣ x ⟩=
e−i k ⃗x
x: Eigenvektor im k-Raum
3
√2π
⃗
⟨ x∣k ⟩= 1 3 e i k ⃗x
k: Eigenvektor im Ortsraum
√2π
Der k-Raum wird Impulsraum genannt. Einige Eigenschaften der Fouriertransformation sind
⃗̂ φ( ⃗x ) ← → ⃗
−i ∇
k φ(
̃ ⃗k )
3
3
2
̂ x)
Δ φ(⃗x )=∑ δ 2 φ( ⃗x ) ← → ∑ k 2i φ(⃗
i=1 δ x
i=1
1
'
'
̂ ⃗k −⃗
̂ x ' ) ψ(
φ(⃗x) ψ( ⃗x ) ← →
d⃗
k φ(⃗
k)
3∫
√2 π
Faltungssatz
Wichtig ist hierbei zu sehen, dass auch der Ableitungsoperator basisabhängig ist. Wirkt er doch in der
Ortsdarstellung als Ableitung , aber in der Impulsdarstellung als Multiplikation. Beides sind zwei Darstellungen ein
und desselben Operators. Diesen Operator wollen wir Impulsoperator nennen.
Impulsoperator ⃗̂p
ℏ ⃗
→ ∇
i
im Ortsraum
→ ⃗p=ℏ ⃗k
im Impulsraum
In Komponenten:
̂ |k >< k | ψ>
< x | ⃗̂p | ψ >=∫ d ⃗k < x | ⃗p
=∫ d ⃗k ℏ ⃗k < x | k >< k | ψ >
=2
1
√2 π
⃗
3
∫ d ⃗k ℏ ⃗k e i k ⃗x < k | ψ >
⃗ < x |ψ>
=−i ℏ ∇
⃗ ψ( ⃗x )
=−i ℏ ∇
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*
⟨ k ∣⃗̂p∣ψ ⟩=( ⟨ ψ∣⃗̂p∣k ⟩ )
da ⃗̂p hermitesch
*
=ℏ ⃗
k ⟨ ψ∣k ⟩ =ℏ ⃗
k ⟨ k ∣ψ ⟩
⃗
⃗
=ℏ k ψ( k )
Ortsoperator ⃗̂x
{
→x
im Ortsraum
⃗
→i ∇
k
im Impulsraum
2.4 Axiome der Quantenmechanik
Wir wollen nun die Quantenmechanik durch einige wenige Grundregeln (Axiome) formulieren
1. Ein physikalischer Zustand wird durch einen normierten Vektor ∣ψ(t) ⟩ ∈H beschrieben, der
Element eines Hilbertraumes H ist.
2. Physikalische Größen werden Observablen genannt. Observable sind Hermitesche Operatoren, die
auf den Zustand ∣ψ(t) ⟩ wirken.
3. Sei
{∣α n ⟩ }
ein vollständiges Orthonormal-System im Hilbertraum H, dann hat der Vektor
2
∣⟨ α n∣ψ(t)⟩∣
∣ψ(t) ⟩ die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsamplitude, d.h.
ist eine
Wahrscheinlichkeitsdichte. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, das durch ∣ψ(t) ⟩ beschriebene
System im Zustand ∣α n ⟩ anzutreffen. Das heißt, sei
Eigenvektoren des Operators
{∣α n ⟩ }
ein vollständiges System von
̂
A
̂ ∣αn ⟩=α n∣αn ⟩
A
n=1, ... , ∞
dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der Observablen
gemessen wird, gegeben durch
2
∣⟨ α n∣ψ(t)⟩∣ .
̂ der Wert α n
A
Für Operatoren mit einem diskreten Spektrum
heißt das, dass nur die Eigenwerte α n des Operators als Messwerte in Frage kommen.
̂ im Zustand ∣ψ(t) ⟩ ist gegeben
4. Der Erwartungswert bei einer Messung der Observablen A
durch
⟨ ψ(t)∣Â ∣ψ(t)⟩ =∑ αn∣⟨ α n∣ψ(t)⟩∣2
n =1
Ortsmessung
⟨ ψ(t)∣⃗x̂∣ψ(t )⟩=∫ d ⃗x
⃗x∣⟨ x∣ψ(t ) ⟩∣
=∫ d ⃗x
⃗x∣ψ( ⃗x , t)∣
2
2
Befindet sich ein Teilchen im Zustand ∣ψ(t) ⟩ , so wird es im Mittel an der Stelle
∫ d ⃗x
2
⃗x∣ψ( ⃗x , t)∣ anzutreffen sein.
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̂ den Wert α n ergeben hat, geht die Wellenfunktion in den
5. Wenn die Messung von A
entsprechenden Eigenzustand ∣α 1 ⟩ über.
Dies nennt man „Kollaps“ der Wellenfunktion. Die Details des quantenmechanischen
Messprozesses sind auch heute noch Gegenstand vieler Untersuchungen.
6. Die Zeitentwicklung des Zustandes ∣ψ(t) ⟩ wird vom Hamiltonoperator gemäß der SchrödingerGleichung bestimmt:
∣ ⟩
i ℏ δ ψ(t) = Ĥ ∣ψ(t ) ⟩
δt
Der Hamiltonoperator ergibt sich aus der Hamiltonfunktion durch Quantisierung.
Hamiltonfunktion ← → Hamiltonoperator
2
2
p
̂ p̂ +V( ⃗̂x )
H( ⃗x , ⃗p )=
+V( ⃗x )
H=
2m
2m
In der Ortsdarstellung ergibt sich
δ
⟨ x∣ψ(t)⟩ =⟨ x∣Ĥ ∣ψ(t ) ⟩
δt
1
=
⟨ x∣ ̂p 2∣ψ( t)⟩+⟨ x∣V( ⃗x )∣ψ(t)⟩
2m
p̂ 2=∑ ( ̂p2x + p̂ 2y + ̂p2z )= ⃗̂p ⃗̂p
iℏ
2
()
⃗∇
⃗ ∣x ⟩
⃗p̂ ∣ x ⟩= ⃗̂p ⃗p̂ ∣ x ⟩= ℏ ∇
⃗i
2
=−ℏ Δ∣x ⟩
Da
2
p̂ Hermitesch ist, können wir es nach hinten auf ⟨ x∣ wirken lassen.
(
2
)
ℏ
i ℏ δ ψ(⃗x , t)= −
Δ+V( ⃗x ) ψ(⃗x , t)
δt
2m
Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
2
2
2
Δ= δ 2 + δ 2 + δ 2 ist der Laplaceoperator.
δx δ y δz
7. Vergleich klassische Mechanik ⇔ Quantenmechanik
Klassische Mechanik
Quantenmechanik
Zustand
Punkt im Phasenraum
Observable
Phasenraumfunktion
Element eines Hilbertraumes
Operatoren ⃗x̂ , ⃗̂p ,... , etc
Zeitentwicklung
Klassische Bewegungsgleichung
Schrödingergleichung
Messung
exakt
Erwartungswerte
Quantentheorie Kohler
f ( ⃗x , ⃗p)
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2.5 Ehrenfest'sches Theorem
Natürlich sollte das klassische Verhalten, also insbesondere die klassischen Bewegungsgleichungen,
irgendwie auch wieder in der Quantenmechanik auftauchen.
Wir betrachten den Erwartungswert des Ortsoperators
⟨ ψ(t )∣⃗x̂∣ψ(t)⟩=∫ d ⃗x ψ* (⃗x ,t )⃗x ψ(⃗x , t )
und dessen Zeitableitung
d
d
< ψ(t )| ⃗x̂ | ψ(t )>=∫ d ⃗x [ψ* ( ⃗x ,t ) ⃗x δ ψ( ⃗x , t )+ψ( ⃗x , t ) ⃗x ψ*( ⃗x , t )]
dt
δt
dt
Da aber die Schrödingergleichung gilt
̂ ψ(⃗x , t)
i ℏ δ ψ(⃗x , t) = H
δt
̂ ψ* (⃗x , t)
−i ℏ δ ψ*(⃗x , t)=H
δt
folgt
d
1
⟨
ψ( t)∣⃗x̂ ∣ψ(t) ⟩ = ∫ d ⃗x
dt
iℏ
[
*
*
̂ ψ( ⃗x , t )− ⃗x ψ( ⃗x ,t ) H
̂ ψ ( ⃗x ,t ) ]
ψ ( ⃗x , t) ⃗x H
ℏ 2 Δ+V ( x )
̂
H=−
⃗ enthält unter anderem auch Ableitungsoperatoren. Diese können wir durch partielle
2m
Integration jeweils auf den einen oder den anderen Teil des Integrals wirken lassen.
∫ dx ψ(x ) δδx φ( x)=−∫ dx φ( x) δδx ψ( x)
wobei die Grenzen jeweils verschwinden, da die Wellenfunktionen bei ±∞ verschwinden.
Ebenso gilt:
2
2
∫ d ⃗x ψ(⃗x ) δδx 2 φ( ⃗x )=∫ dx φ(x ) δδx 2 ψ(x )
Mehrdimensional:
∫ d ⃗x ψ(⃗x )(−i ∇⃗ )φ (⃗x )=∫ d ⃗x ψ(⃗x)i ∇⃗ ψ(⃗x )
∫ d ⃗x ψ(⃗x)Δ φ( ⃗x )=∫ d ⃗x ϕ( ⃗x ) Δ ψ( ⃗x )
Wir benutzen die letzte Regel, um den Hamiltonoperator im zweiten Term nicht auf ψ*(⃗x , t) , sondern
auf den vorderen Teil wirken zu lassen.
d
1
̂ H
̂ ⃗x ) ψ( ⃗x ,t)
< ψ(t) | ⃗x̂ | ψ(t ) >= ∫ d ⃗x ψ* ( ⃗x , t)( ⃗x H−
dt
iℏ
̂ in der Ortsdarstellung. Er
Die Größe, die im Integral erscheint, heißt der Kommutator von ⃗x̂ und H
wird mit
̂ H
̂ ⃗̂x
[ ⃗̂x , Ĥ ]=⃗̂x H−
Quantentheorie Kohler
bezeichnet. In obiger Ortsdarstellung ist er explizit.
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(
2
−
=−
2
ℏ
ℏ
Δ ⃗x −V( ⃗x ) ⃗x
⃗x Δ+⃗x V ( ⃗x )+
2m
2m
( )
ℏ2
ℏ2 [ x , Δ ]
ℏ2
[ ⃗x , Δ ]=−
[
y , Δ ] =−
2m
2m
2m
[ z , Δ]
)
()
[
[
[
2
x, δ 2
δx
2
y, δ 2
δy
2
z, δ 2
δz
]
]
]
es reduziert sich also auf den Kommutator
[
2
]
2
2
2
x , δ 2 = x δ 2 − δ 2 x =x δ 2 − δ − δ x δ
δx
δx δx
δx δx δx δx
=−2 δ
δx
Daraus folgt
2
⃗
− ℏ [ ⃗x Δ ]= ℏ ∇
2m
m
d
⃗ ψ( ⃗x , t)
⟨ ψ( t )∣⃗x̂∣ψ(t)⟩=− imℏ ∫ d ⃗x ψ* (⃗x , t) ∇
dt
⃗ ist aber gerade der Impulsoperator in der Ortsdarstellung. Das heißt, wir können die rechte Seite auch
−i ℏ ∇
schreiben als
=
⟨ ψ(t )∣ ⃗p̂ ∣ψ(t )⟩
(1)
Dies ist aber nichts anderes als die erste Hamilton'sche Bewegungsgleichung. Ähnlich erhält man auch hier den
Erwartungswert des Impulses
d
⃗ V ( ⃗x )∣ψ(t ) ⟩ (2)
⟨ ψ( t)∣⃗p̂ ∣ψ(t)⟩=−⟨ ψ(t)∣∇
dt
Hieraus lässt sich nun das quantenmechanische Analogon zu Newtons Bewegungsgleichung herleiten
d2
⟨ ψ(t )∣⃗x̂∣ψ(t )⟩=−⟨ ψ(t)∣∇⃗ V(⃗x )∣ψ(t)⟩ (3)
2
dt
Die Gleichungen (1), (2) und (3) werden als Ehrenfest'sche Theoreme bezeichnet.
3. Anwendungen
Die sechs Grundprinzipien reichen im Prinzip aus sämtliche QM-Probleme zu beschreiben. Jedoch sind
die Konsequenzen derart tief und weitreichend, dass wir uns hier auf wenige besonders interessante
Anwendungen beschränken müssen.
3.1. Einfache 1D Probleme
Wir wollen die zeitabhängige Schrödingergleichung zunächst in einer Dimension betrachten.
ℏ ∂2
i ℏ ∂ x , t = −
V x x , t
∂t
2m ∂ x 2
Das heißt wir können den Vektorpfeil unterdrücken um modellhaft zu zeigen, wie man diese Gleichung
löst, bzw wie man physikalische Größen damit ausrechnet, wählen wir den harmonischen Oszillator, der
in vielerlei Hinsicht sogar noch einfacher ist, als das freie Teilchen.
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3.1.1. Harmonischer Oszillator
ℏ2 ∂ 2 m 2 2
H =−
x
2m ∂ x 2 2
Die Schrödingergleichung ist eine partielle lineare DGL
ℏ 2 ∂2 m 2 2
∂
i ℏ x , t= −
x x ,t
∂t
2m ∂ x 2 2
Gesucht ist die Lösung dieser Gleichung zu einer bestimmten Anfangswellenfunktion x ,0 .
Wir wissen, dass H ein hermitischer Operator ist und daher ein vollständiges Basissystem von
Eigenvektoren besitzt. Nehmen wir an, wir kennen diese Eigenfunktionen x , ≥0∈ℕ so dass
ℏ2 ∂ 2 m 2 2
−
x x= E x
2m ∂ x 2 2
gilt, wobei wir hier angenommen haben, dass das Spektrum diskret ist, was sich erst später als richtig
herausstellen wird.
Dann können wir die Anfangswellenfunktion nach der Zeit der entwickeln.
Der Hamiltonoperator wird zu:
∞
x ,0=∑ c x mit c =∫ * x ' x ' ,0 dx '
=0
Obige Gleichung wir stationäre Schrödingergleichung genannt:
H ∣ ⟩= E ∣ ⟩ (allgemein)
Für diese Zustände ist die Zeitentwicklung besonders einfach. Wir setzen an:
t
x ,t = x exp i E
(Produktansatz)
ℏ
dann löst x ,t offenbar die Schrödingergleichung. Ein Zustand dieser Form wird stationärer
Zustand genannt, denn das Betragsquadrat hängt nicht von der Zeit ab:
2
2
∣ x , t∣ =∣ x ∣
Die gesuchte Lösung x , t ergibt als als obige Superposition stationärer Zustande:
∞
t
x , t=∑ c x exp −i E
ℏ
=0
diese Wellenfunktion erfüllt per Konstruktion die Schrödingergleichung und liefert die richtige
Anfangsbedingung.
[
]
[
]
Wir widmen uns nun der Bestimmung der Eigenwellenfunktionen x des Hamiltonoperators
ℏ2 ∂ 2 m 2 2
−
x x= E x
2m ∂ x 2 2
Wir skalieren zunächst die Gleichung mit einer charakteristischen Länge
ℏ
x 0=
∧ x= x 0 y
m
2
1
− ℏ ∂ 2 y 2 x 0 y =E x 0 y
2
∂y
Gesucht ist also das Spektrum des Operators:
2
1
− ℏ ∂ 2 − y 2 x 0 y =E x 0 y
2
∂y
Wir benutzen eine sehr elegante algebraische Methode und führen die beiden Operatoren
1
a =
y ∂ Vernichtungsoperator
∂y
2
1
a t =
y− ∂ Erzeugungsoperator
∂y
2
ein. Die Bedeutung der Namen erklärt sich später. Wir können nun schreiben
2
− ∂ 2 − y 2 =a a t a t a
∂y
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Wir bemerken, dass die Reihenfolge der Operatoren wirchtig ist, denn die Operatoren vertauschen nicht
(kommutieren nicht).
Wir sehen das zB daran, dass wir â,ât auf eine beliebige Testfunktion hintereinander anwenden.
1
1 2
1 2
t
a a x = y ∂ y − ' = y − y ' y ' − ' ' = y − ' '
2
∂y
2
2
andererseits
1
1 2
t
a a y = y− ∂ y ' = y − ' '−
2
∂y
2
dh
a a t− a t a y = y
Da dies aber für jede beliebige Testfunktion gilt, können wir allgemein sagen
a a t− a t a ≡[ a , a t ]=1
Die Klammer wird "der Kommutator" genannt. Er spielt in der QM eine entscheidene Rolle, wie wir
später noch sehen werden.
Nun können wir den Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators mit Hilfe des Kommutators auch
schreiben als:
1
t
H =ℏ a a
2
zu beachten ist, dass ât der zu â adjungierte Operator ist und umgekehrt.
⟨ | a t | ⟩= ⟨ | a | ⟩*
1
* x x − ∂ x dx=∫ x x ∂ * x dx= ∫ * x x ∂ x
∫
∂x
∂x
∂x
2
t
der Operator a a≡
n ist aber wieder hermitisch
t
t
t
B
=B
A folgt a t a t= a t a
mit A
Der Operator n wird Besetzungszahloperator genannt.
Es sei x 0 y eine Eigenfunktionen zum Eigenwert von n :
n ∣ ⟩ = ∣ ⟩
*
⇒ ⟨ | ⟩= ⟨ | n | ⟩= ⟨ | a t a | ⟩=⟨ a t | a ⟩ ≥0
da letzter Ausdruck das Betragsquadrat einer quadratintegrablen Funktion ist, ist sein Wert positiv daraus
folgt: ⇒ ≥0
Der niedrigste Eigenwert von n ist also null.
!
Für diesen Eigenwert folgt das: a ∣ ⟩ = 0
Dies übersetzt sich in folgende Differentialgleichung
1
y ∂ 0 x o y =0
∂y
2
x0 x
∂ x =0
2 x 20 ∂ x 0
Diese gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lässt sich mit einem Exponentialansatz lösen:
0 x =exp F x
x
F ' x 0 x=0
x 20
oder wieder in der ursprünglichen Ortskoordinate ausgedrückt:
−x
x2
⇒ F ' x = 2 ⇒ F x =− 2 const
x0
2x 0
[ ]
1
x2
⇒ 0 x =
exp − 2
2x 0
x 0
Quantentheorie Kohler
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WS1011
Damit haben wir die Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators
1
1
H ∣ 0 ⟩ =ℏ n ∣ 0 ⟩ = ℏ ∣ 0 ⟩
2
2
ℏ
Die Energie des Grundzustandes ist also nicht etwa 0 sondern
. Dies ist typisch für die
2
Quantenmechanik. Das Teilchen kann sich nicht im Zustand der klassisch niedrigsten Energie aufhalten
aufgrund von Quantenfluktuationen die eine natürliche Ortsunschärfe erzeugen.
2
Wir berechnen Var x=⟨ 0 | x | 0 ⟩=
ℏ
2 m
T
1
ℏ
für E=ℏ
∫ x 2 t dt= mE 2 = 2 m
T 0
Des gleichen finden wir für den Impuls
2
2
ℏm
Var p=⟨ 0 | p 2 | 0 ⟩=−ℏ ∫ 0 x ∂ 2 0 x dx =
2m
2
∂x
Wenn wird die Varianzen multiplizieren:
2
Var p Var x= ℏ
4
Man kann zeigen, dass dies der minimale Wert ist, den dieses Produkt annehmen kann. Es ist eine
spezielle Eigenschaft der Gaussfunktion. Würde man die Erwartungswerte bezüglich einer beliebigen
ℏ2
Wellenfunktion bilden, käme ein Wert
heraus.
4
ℏ2
Dies ist ein spezieller Fall der Heisenbergschen Unschärferelation: Var p Var x≥
4
2
Wir erinnern uns: Var T x =
Mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter lassen sich nun die restlichen Eigenfunktionen vom Grundzustand
aus erzeugen.
Wir betrachten den Besetzungszahloperator n .
t
Sei ∣ ⟩ Eigenfunktionen von n zum Eigenwert , dann ist a ∣ ⟩ Eigenfunktion zum
Eigenwert 1
n a t∣ ⟩= a t a a t∣ ⟩= a t a t a
[ a , a t ] ∣ ⟩ =a t n 1 ∣ ⟩ = 1 a t∣ ⟩= 1∣ 1 ⟩ qed
desgleichen: n a ∣ ⟩ =−1 a ∣ ⟩=−1∣ −1 ⟩
Damit haben wir ausgehend vom Grundzustand unendlich viele Eigenvektoren zu H konstruiert.
∣ ⟩ ∝ a t ∣ 0 ⟩
, 0∈ℕ
Wobei zu beachten ist, dass die so erzeugten Zustände noch nicht auf eins normiert sind.
⟨ | ⟩ =1
Sei nämlich ∣ ⟩ auf eins normiert:
t
dann folgt
⟨ | a a | ⟩= =⟨ a | a ⟩
das heißt a ∣ ⟩ hat die Norm , da wir aber wissen, dass a ∣ ⟩ Eigenzustand zu n zum
Eigenwert −1 ist, wissen wir, dass a ∣ ⟩ ∝∣ −1 ⟩ gelten muss.
Quantentheorie Kohler
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a ∣ ⟩ = ∣ −1 ⟩
a t∣ ⟩= 1∣ 1 ⟩
Das Spektrum des Hamiltonoperators ist, wegen:
1
1
H ∣ ⟩=ℏ n ∣ ⟩ =ℏ ∣ ⟩
2
2
=ℏ 1 , ≥0 ∈ℕ
gegeben aus Spec H
2
Die Frage besteht ob wir auch alle Eigenfunktionen konstruiert haben, man kann mit Hilfe eines
Widerspruchbeweises argumentieren. Wir wollen dies aber an dieser Stelle nicht tun und die Vollständig
auf eine andere Art zeigen. Wir betrachten den Erzeuger in Ortsdarstellung.
x0
x
∂ x= x
−
2 x 20 ∂ x 0
wirkend auf den Grundzustand mit:
2
2
x
∂ =exp x − ∂ exp − x
−
2
2
2
∂x
x0 ∂ x
x0
x0
folgt:
x2
x2
∂
∝exp
−
exp − 2
∂x
2x 20
x0
Der Ausdruck
2
x2
∂ exp − x =H x
exp
−
∂x
x0
2x 20
x 20
ist ein Polynom:
2
H 0=1 ∧ H 1 x=2x ∧ H 2 x =4x −2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Die so erzeugten Polynome haben einen Namen. Sie heißen Hermite-Polynome. Sie gehören zur Klasse
der orthogonalen Polynome. Diese sind von mathematischer Seite sehr gut studiert. Insbesondere weiß
man, dass man mit Hilfe orthogonaler Polynome eine beliebige quadratintegrable Funktion entwickeln
kann. Also orthogonale Polynome sind vollständig. Eine beliebige Eigenfunktion von H lässt sich also
kompakt schreiben als:
1
x
x2
x =
H
exp
−
2x02
! 2 x 0 x 0
wobei der Faktor 1/ eine Normierungskonstante ist. Es gilt Orthogonalität:
[ ]
∞
∫
* x x dx=
−infinty
Wobei das komplex konjugierte hier eigentlich überflüssig ist, da die Wellenfunktionen reell sind.
Es gilt aber ebenfalls Vollständigkeit
∞
∑ * x y = x− y
=0
Quantentheorie Kohler
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Wir wollen nun einige Eigenschaften der Wellenfunktion diskutieren, die allgemein sind und nicht nur für
den harmonischen Oszillator gelten.
1. Diskretes Spektrum: Das Spektrum ist diskret, dh wir können nur für ganz bestimmte Energien
überhaupt Lösungen der stationären Schrödingergleichung finden:
H ∣ ⟩= E ∣ ⟩
Die ist typisch für gebundene Zustände, also Zustände, deren Wellenfunktion nur in einem
begrenzten Bereich von Null verschieden ist, an den Grenzen aber sehr schnell, meistens
exponentiell abfällt. Wie wir sehen werden, deutet ein kontinuierliches Spektrum auf ungebundene
Zustände hin, die sich über den ganzen Raum ℝ3 bzw ℝ erstrecken können.
2. Existenz eines Grundzustandes, die ist essentiell damit ein System wohldefiniert ist.
Auf den Folien geben wir zunächst die Wellenfunktion zu den Eigenwerten
1
E =ℏ mit =0,1 ,2,3 ,5 ,10,20
2
es ist auch das Oszillatorpotential eingezeichnet auf genau die Art und Weise, daß an der Stelle, wo das
Potential die x-Achse schneidet, das klassische Teilchen mit der entsprechenden Energie seinen
Umkehrpunkt hat.
2E
x max =
m 2
Wir sehen folgendes:
1. Die Anzahl der Knoten, Stellen an denen die Wellenfunktion verschwindet, nimmt mit
zunehmender Energie immer mehr zu. In der Tat entspricht die Anzahl der Knoten der
Quantenzahl , also dem Eigenwert des Besetzungsoperators. Dies ist immer so in
eindimensionalen Modellen:
Die Anzahl der Knoten entspricht dem Anregungszustand des Systems.
Ebenfalls charakteristisch ist, dass der Grundzustand keine Knoten hat. Dies gilt allgemein, nicht nur in
einer Dimension, wenn es keine sonstigen topologischen Gründe gibt, die einen knotenfreien
Grundzustand verbieten.
2. Bemerkenswert ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des QM-Teilchens auch dort nicht
verschwindet, wo das klassische Teilchen mit der gleichen Energie nicht mehr hinkommt. Dies ist
ein typischer QM-Effekt. Eine nicht verschwindene Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens
in klassisch verbotenem Gebiet. Dieser Effekt ist Grundlage für das
Rastertunnelelektronenmikroskop. Wir sehen auch, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner wird, je
größer die Energie/Anregung ist.
Nun kommen wir zur Zeitentwicklung. Wir können eine beliebige Anfangswellenfunktion x ,0
entwickeln nach Eigenfunktionen. Die Zeitentwicklung der Eigenfunktionen ist ja einfach:
t
x , t= x exp −i E
ℏ
t
⇒ x ,t =∑ c x exp −i E
ℏ
Eine beliebige Anfangswellenfunktion enthält also prinzipiell Komponenten von allen
Oszillatoreigenfunktionen. De facto muss man sich auf eine begrenzte Anzahl von Eigenfunktionen
beschränken. Wir haben gesehen, dass die Eigenfunktionen oszillierende Funktionen mit einer
x
Wellenlänge ≈ 0 sind. Man benötigt Wellen der Wellenlänge um Strukturen x≈
aufzulösen.
[
]
[
]
In den folgenden Bildern haben wir als Anfangszustand ein Gaussches Wellenpaket gewählt, welches bei
2x0 zentriert ist.
Quantentheorie Kohler
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[
[
]
1
1
2
exp − 2 x−2x 0
2
Mit der Breite 2 =0,1 x 0
2
2
1
1
∣ x ,0∣ =
exp − 2 x−2x0
Es ist klar, dass je spitzer unser Anfangswellenpaket gewählt ist, desto mehr Eigenzustände muss man
mitnehmen um die Anfangswellenfunktion gut zu approximieren. In der Animation haben wir einmal die
wichtigsten drei, zehn bzw zwanzig Eigenzustände gewählt um x ,0 zu approximieren. Wir sehen
2
wie sich das Wellenpaket bewegt. Zu beachten ist die Periodizität mit der Periode T =
. Auch wenn
das Paket zwischendurch verläuft, ist es zum Zeitpunkt T und T/2 immer wieder das alte.
x ,0 =
]
3.1.2 Teilchen im Kastenpotential
ℏ2 ∂ 2
H =−
2m ∂ x 2
Wir betrachten zunächst den Fall, dass der Kasten unendlich tief (die Wände unendlich hoch) ist. Wir
L
fordern, dass die Wellenfunktion für ∣x∣
verschwindet. Außerdem fordern wir Stetigkeit der
2
Wellenfunktion.
Die stationäre Schrödingergleichung H x = E x hat dann wiederum nur für bestimmte
Eigenwerte Lösungen. Die Lösungen des freien Hamiltonoperators sind Linearkombinationen von
2mE
x= sin kx ∨ x= exp ikx mit: k=
ℏ
cos kx
exp −ikx
{
{
Wir arbeiten mit ersterem.
Die Bedingung
L
−L
=
=0 liefert die Diskretisierung/Quantisierung der Impulse bzw. der Energie.
2
2
kL
2
sin
=0 ⇒ k =
n , n0∈ℕ
2
L
cos
kL
=0⇒ k = 2n1 , n≥0∈ℕ
2
L
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2
E=
2
{
n2
1
n
2
ℏ 2
2m L
n0∈ℕ ungerade (sin)
2
n≥0∈ℕ gerade (cos)
Wir sehen wir hier das für den harmonischen Oszillator gesagte wieder zutrifft.
Der Grundzustand ist 0 x=cos
x
L
Er hat keine Knoten. Die Grundzustandsenergie
Druck
p=
E 0=
∂ E0
1
∝− 3
∂L
L
ℏ22
wächst, je kleiner wir L wählen.
2 m L2
∂ E0
1
ℏ
ℏ
∝− 3 mit E 0=
∧ x 20=
∂ x0
2
m
x0
Das heißt, es kostet Kraft das Teilchen weiter einzuschränken für L 0 geht die benötigte Kraft sogar
gegen unendlich. Dieses Phänomen heißt Quantendruck und kann experimentell beobachtet werden.
Die Anzahl der Knoten wächst mit dem Grad der Anregung.
2
1 x =sin
x
1ster angeregter Zustand:
L
3
2 x=cos
x
2ter angeregter Zustand:
L
Beim harmonischen Oszillator galt:
p=
wobei sich Sinus und Cosinus immer abwechseln.
Es ist bemerkenswert und ebenfalls typisch für eindimensionale gebundene Systeme, dass alle
Wellenfunktionen reell sind. Dies ändert sich wenn wir die Wände im Kasten nicht mehr unendlich hoch
machen, sondern endlich lassen.
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ℏ 2 ∂2
L
H =−
V 0 , ∣x∣
2
2m ∂ x
2
2
2
ℏ ∂
L
H =−
, ∣x∣
2
2m ∂x
2
Wir berechnen Lösungen der stationären Schrödingergleichung in beiden Fällen. In beiden Fällen lässt
sich die Lösung offenbar wieder als Exponentialfunktion angeben.
x−
L
2
I x =A I exp [ i k ' x ]B I exp [−i k ' x ] , k '=
2m
E −V 0
ℏ2
L
L
− x
2
2
2m
E
ℏ2
2m
III x= AIII exp [ i k ' x ]B III exp [−i k ' x ] , k '=
E −V 0
ℏ2
II x = AII exp [ i k x ]B II exp [−i k x ] , k =
Wir fordern neben der Stetigkeit auch Stetigkeit der ersten Ableitung von x an beiden Nahtstellen
L
L
L
L
I − = II − ∧ II = III
2
2
2
2
L
L
L
L
I ' − = II ' − ∧ II ' = III '
2
2
2
2
Dies sind 4 Gleichungen für 6 Unbekannte, so ein Gleichungssystem hat immer Lösungen für beliebige
k, k' (bzw für beliebige Energie)- Dies deutet schon an, dass wir es hier mit einem System zu tun haben in
dem das Spektrum auch einen kontinuierlichen Anteil hat.
Wir müssen zwei Fälle unterscheiden:
2m
reell
für E V 0
k '=
E−V 0 ist
2
rein imaginär für E V 0
ℏ
{
Wir betrachten zunächst den Fall E<V0, dann ist k ' =i k rein imaginär dh Terme wie ekx entstehen, die
die Wellenfunktion im ∞ explodieren lassen und die Quadratintegrabilität zerstören. Dh wir müssen,
um solche Terme zu verhindern A I =B III =0 setzen.
Jetzt haben wir nur noch 4 Gleichungen für 4 Unbekannte.
L
L
L
B I exp −ik ' =A II exp −ik B II exp ik
2
2
2
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
−i k ' B I exp −ik '
L
L
L
=ik AII exp −ik −B II exp ik
2
2
2
L
L
L
=ik AII exp ik −B II exp −ik
2
2
2
L
L
L
AIII exp ik ' = A II exp ik B II exp −ik
2
2
2
Diese Gleichung hat im allgemeinen keine Lösung für BI, AII, BII und AIII es sein denn die Determinante
der Matrix
* * * 0 BI
* * * 0 A II =0
verschwindet.
0 * * * B II
0 * * * AIII
i k ' A III exp ik '
Quantentheorie Kohler
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Dies liefert eine Bedingung an E setzen wir
−i k '
kL
=tan
k
2
dies lässt sich auch schreiben als:
m V 0 L 2 kL 2
−
2
2 ℏ2
kL
=tan
kL
2
2
A II =B II folgt:
mV 0 L 2
Es tritt also die dimensionslose Größe =
auf, die so etwas wie die Stärke des Potentials
2 ℏ2
kL
charakterisiert. Bezeichnen wir noch a=
, so finden wir eine anszendente Gleichung für a.
2
2−a 2 =tan a für A =B
II
II
a
2−a 2 =−cot a für A =−B
II
II
a
2 m E L mit der Energie in Verbindung steht. Wann immer eine der beiden Gleichungen
Wobei a=
2ℏ
für ein a erfüllt ist, haben wir
2
eine Eigenfunktion von
H gefunden. Die Lösung lässt sich nur graphisch finden.
3.1.3. Tunneleffekt
Wir wollen das eindimensionale Streuproblem noch etwas allgemeiner betrachten. Wir betrachten eine
Potentialschwelle der Form
Wir können die Wellenfunktion wieder ansetzen mit
I =eikx R e−ikx
2mE
2
ℏ
für eine von links einlaufende Welle. Wenn EV max ist, wird das klassische Teilchen nicht über den
Potentialberg hinüberkommen. Das heißt, klassisch ist T E =0 für EV max . Quantenmechanisch
ist die Transmissionswahrscheinlichkeit ∣T∣20 für beliebig niedrige Energien.
Sei V a=V b=E dann kann man die Transmissionswahrscheinlichkeit nähern durch
b
2
2
| T E | ≈exp − ∫ 2m V x −E dx
ℏ a
III =T eikx
Quantentheorie Kohler
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; k=
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d.h. Die Fläche des Potentials über der Energie des Teilchens ist entscheidend für die
Tunnelwahrscheinlichkeit. Für hohe und für breite Potentialbarrieren ist die Wahrscheinlichkeit
vernachlässigbar klein.
In vielen Fällen ist der „Tunneleffekt“ jedoch auch beobachtbar. Der Tunneleffekt ist ein spektakulärer
QM-Effekt, den man sich im Rastertunnelektronemikroskop auf geniale Weise zunutze machen konnte.
a) Raster-Tunnel-Mikroskop
b) α-Zerfall von Kernen
Der Atomkern besteht aus etwa gleich vielen Protonen und Neutronen
Aus Gründen, die bis heute nicht vollständig verstanden sind, neigen sich jeweils zwei Protonen und zwei
Neutronen zu α-Teilchen zusammenzuschließen
α-Teilchen
In einem effektiven Modell des Atomkerns werden die starken aber kurzreichweitigen Kernkräfte durch
einen Potentialtopf der Breite ~10−18 m beschrieben. Zudem gibt es die langreichweitige CoulombAbstoßung zwischen den Protonen untereinander. Es ergibt sich folgendes Potential für ein α-Teilchen:
Quantentheorie Kohler
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Man findet für die Tunnelwahrscheinlichkeit
2m k Z a e 2 Z T 4 Z T R
−
ℏ
E Z e
wobei Z =2 die Ladungszahl des α-Teilchens und Z T die Ladungszahl des Tochterkerns sind.
Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist dimensionslos im Gegensatz zur normierbaren Wellenfunktion, die die
| T F |2=exp −
d
Einheit [ ] =m − 2 hat.
Kerne mit α-Teilchen mit Energien E > 0 sind instabil. Man kann zeigen, dass sie einem exponentiellen
Zufallsgesetz folgen
Nt =e− t
wobei die Zerfallsrate proportional zu | T E |2 ist.
2R
die mittlere Geschwindigkeit des α-Teilchens im Kern ist. Setzt man
=
|T E |2 , wobei,
V
V
realistische Werte für R und E in MeV ein, so folgt für die Halbwertszeit
1
N T 1 /2 =
2
ZT
2/ 3
T
1,61
− Z −28,9
2
T 1 /2=ln ≈10 E
8
Diese phänomenologische Formel von Taagepera and Nurmia wurde experimentell von Geiger und Nutall
1
bestätigt. Insbesondere die Abhängigkeit ln T 1 /2 ∝−
E
3.2. Dreidimensionale Systeme
Wir betrachten nun Systeme in drei Raumdimensionen. Dies bedeutet für die Schrödingergleichung, dass
wir die zweifache Ableitung nach x durch den Laplace-Operator ersetzen müssen
2
2
x
Das Teilchen bewege sich in einem „Zentralpotential“
V x =V
= x 2 y 2 z 2
Beispiele:
e2
Coulomb-Potential:
V x =
3-dimensionaler harmonischer Oszillator:
Quantentheorie Kohler
V x =
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20 m 2
2
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3.2.1. Drehimpuls
Bei kugelsymmetrischen Systemen spielt klassisch wie quantenmechanisch der Drehimpuls, oder genauer
gesagt, der Bahndrehimpuls eine große Rolle. Klassisch ist der Drehimpulst definiert als
=x x p
L = x x p
L
klassisch
QM
in der Ortsdarstellung wird dies zu
L =−ℏ i x x ∇
Wir hatten in einer Übungsaufgabe gesehen, dass der klassische Drehimpuls bei der Bewegung in einem
Zentralpotential eine Konstante der Bewegung ist. Dies überträgt sich in die Quantenmechanik durch
folgende Aussage
mit allen drei
Satz: Für kugelsymmetrische Potentiale vertauscht der Hamiltonoperator H
Komponenten des Drehimpulses.
i=1, 2, 3
[ H , L i ]=0
Beweis:
i 2
H=
p V
2m
1 2
[ p , L i ][ V , L i ]
[ H , L i ]= 2m
L i=∑ ijk x j p k
ik
1
[ H , L i ]= 2m
∑ ∑ ijk p2l , x j pk −∑ ijk [ x j pk , V ]
l
jk
jk
Der erste Term (der kinetische Anteil zur Gesamtenergie) verschwindet. Für den zweiten Term ergibt sich
in Ortsdarstellung
V x k
ℏ ∑ i ijk x j
, V =i ℏ ∑ ijk x j
=0
xk
jk
jk
das heißt, die drei Operatoren L1 , L 2 , L 3 vertauschen mit dem Hamiltonoperator. Es gilt aber der
[
[
]
]
folgende wichtige Satz:
Satz: Wenn der Kommutator zweier Operatoren verschwindet, dann gibt es eine Basis, in der beide
Operatoren diagonal sind.
Beweis: Man benutzt, dass der Kommutator in jeder Basis gleich ist.
[ A , B ]=0⇔ U−1 [ A , B ] U =0
Es bietet sich daher an, die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators eines kugelsymmetrischen Systems in der Basis
anzugeben, in der die Drehimpulskomponenten diagonal sind. Hier ist allerdings zu beachten, dass die
Drehimpulskomponenten untereinander nicht kommutieren. Wir betrachten die Drehimpulsoperatoren etwas
genauer, sie erfüllen folgende Kommutatorrelation:
[ L i , L j ]=i ℏ ∑ ijk L k
k
d.h. Sie vertauschen nicht untereinander.
finden kann, kann man
Aus demselben Grund, aus dem man also eine gemeinsame Eigenbasis von L i und H
also nur zusammen
keine gemeinsame Basis für zwei Drehimpulskomponenten gleichzeitig finden. Man kann H
mit einer Drehimpulskomponente diagonalisieren. Man wählt per Konvention die z-Komponente.
als auch mit allen 3 Komponenten des
Es gibt aber noch einen weiteren Operator, der sowohl mit H
Drehimpulses kommutiert.
Dies ist
L 2= L 2x L2y L 2z
Quantentheorie Kohler
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man kann zeigen:
[ L , L ]=0
∑ [ L , L ]=∑ L [ L
2
i
2
k
i
k
k
k
k
, L i ][ Lk , L i ] L k
=i ℏ ∑ Lk L l kil kil L l L k
kl
=i ℏ ∑ ikl − L x L l − L l L k
kl
=0
Wir bezeichnen die gemeinsame Eigenbasis von
L 2= L z mit ∣lm ⟩ .
L 2= L z bestimmen wir ähnlich wie im Fall des harmonischen Oszillators.
L + = L x i L y
Aufsteigesoperator
L -= L x −i L y
Absteigeoperator
2
L = L - L+ ℏ L z L 2z
Lt+ = L Sei E ∣lm ⟩ igenvektor zu L z zu EW ℏ m
L z ∣lm ⟩ =ℏ m ∣lm ⟩
Dann folgt mit [ L z , L± ]=±ℏ L±
Das Spektrum von
d.h.
L z L± ∣lm ⟩= L± L z [ L z , L± ] ∣lm ⟩
= ℏ m L±±ℏ L± ∣lm ⟩
=ℏ m±1 L± ∣lm ⟩
L± ∣lm ⟩ Ist ebenfalls Eigenvektor von L z zum EW ℏ m±1
Auch die weiteren Überlegungen folgen in Analogie zu dem Verfahren beim harmonischen Oszillator.
⟨ lm∣ L∓ L± ∣lm ⟩ =⟨ lm∣ L 2− L2z ∓m ℏ L z ∣lm ⟩
=⟨ lm∣ L 2 ∣lm ⟩−ℏ2 m m±1
Wir bezeichnen den Eigenwert von
≥0
2
2 mit
ℏ l l1
L
2
L ∣lm ⟩=ℏ 2 l l1 ∣lm ⟩
dann folgt
l l1 ≥m m1
l l1 ≥m m−1
m0
m0
Das heißt, m hat einen Maximalwert l und einen Minimalwert −l . Alle Werte
−ln , n∈ℕ
dazwischen können ebenfalls angenommen werden. Damit aber keine höheren/niedrigeren Werte angenommen
werden können muss beim Anwenden des Auf-/Absteigers 2 l ∈ℕ gelten.
Es gibt also zwei Fälle:
1 3 5
l= , , ,...
2 2 2
l=0 , 1 , 2 , ...
halbzahliger Drehimpuls
ganzzahliger Drehimpuls
l ist die Drehimpuls-Quantenzahl und m ist die „magnetische Quantenzahl“. Sowohl der halbzahlige als auch der
ganzzahlige Drehimpuls existieren in der Natur. Der durch
L =x x p beschriebene Drehimpuls heißt
„Bahndrehimpuls“ und man kann zeigen, dass dieser nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Um die Bedeutung
der Drehimpulsquantenzahl besser zu verstehen, erinnern wir uns an die klassische Bedeutung des Drehimpulses
eines Teilchens, welches mit Geschwindigkeit v um ein Zentrum kreist.
Quantentheorie Kohler
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Ist das Teilchen ein Elektron, dann entsteht die Kreisbewegung, ein Magnetfeld in Richtung des
Drehmoments L z . In der Skizze ist L 2=L 2z , d.h. L x = L y =0 .
Kreisbewegungen zum selben Gesamtdrehimpuls können auch noch auf anderen Bahnen stattfinden.
Die magnetische Quantenzahl nummeriert die Anzahl der möglichen Winkel zur Z-Achse auf der der
Orbit des Teilchen liegen kann. Die Drehimpulsquantenzahl quantisiert die Länge des Vektors
| L |=m r | v | . Da sie proportional zur E kin ist, ist es naheliegend, anzunehmen, dass mit steigender
Energie des Teilchens auch sein Gesamtdrehimpuls größer wird.
Da sowohl L 2 als auch
Vollständigkeit
L z Hermitesche Operatoren sind, gilt wiederum Orthogonalität und
⟨ lm∣l ' m' ⟩= l l m m
'
∞
'
l
∑ ∑ ∣lm ⟩ ⟨ lm∣=1
l=0 m =−l
Eigenvektoren zu EW der Drehimpulsquantenzahl haben die Namen
l=0
s−Schale
m=0
l=1
p−Schale p−Orbitale
m=−1, 0, 1
l=2
d −Schale d −Orbitale
m=−2,−1,0, ... , 2
l=3
e−Schale
Quantentheorie Kohler
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3.2.2 Wasserstoffatom
Wir sind nun in der Lage, das Spektrum des H-Atoms zu verstehen. Der Hamiltonoperator des H-Atoms
2
2
M p me
≈me für M p ≫me , da die Masse des Protons sehr viel größer
ist H = p − e wobei m=
M pm e
2m r
als die des Elektrons ist. M p≈1800 m e .
Wir können nun den Hamiltonoperator umschreiben, indem wir den Laplace-Operator
p 2=−ℏ 2 in Kugelkoordinaten ausdrücken. Eine einface Rechnung zeigt klassisch
2
2
L2= x x p =r 2 p2 − x p . Quantenmechanisch muss der Kommutator beachtet werden:
2
L2=r 2 p 2− x p i ℏ x p
2
1
iℏ
1
p 2= 2 x p − 2 x p 2 L 2
r
r
r
2
pr
wobei p r der radiale Impuls genannt wird. Dieser Operator ist in Cartesischen Koordinaten recht
kompliziert, vereinfacht sich jedoch, wenn wir in Kugelkoordinaten gehen.
x
r sin sin
y r sin cos
z
r cos
Dann sehen wir in einer längeren Rechnung, dass der Operator p r in Ortsdarstellung in
Kugelkoordinaten sich wie folgt schreiben lässt.
1
p r =−i ℏ r r
(Ortsdarstellung)
r
wobei r den Abstand vom Zentrum beschreibt. Es sei an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, dass
auch dieser Operator basisunabhängig definiert ist, allerdings nur in der Ortsdarstellung in
Kugelkoordinaten eine brauchbare Form annimmt. Die entscheidende Eigenschaft von p r ist
1 2
L2
2
H
=
p
V r .
Wir
können
nun
den
Hamiltonoperator
schreiben
als
p r , L =0.
2m r 2m r 2
Wir schreiben die stationäre Schrödingergleichung H ∣n lm ⟩ =E nlm ∣nlm ⟩ wobei die neue Quantenzahl n
die Zustände mit gleichem Drehimpuls und gleicher magnetischer Quantenzahl weiter klassifiziert.
[
]
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Zwei Teilchen können gleichen Gesamtdrehimpuls haben und gleiche z-Komponente, sich aber dennoch
auf unterschiedlichen Bahnen bewegen. Diese Bahnen unterscheiden sich in ihrem Abstand vom
Mittelpunkt. Auch dieser Abstand ist quantisiert. Man nennt n die Hauptquantenzahl.
In Kugelkoordinaten können wir die Eigenfunktion schreiben als
< r , ,| n , l , m>= nlm r , ,
=Rnl r Y lm ,
2
wobei Y lm , die Eigenzustände von
L , L z in der Ortsdarstellung sind. Dies sind spezielle
Funktionen, die im deutschen „Kugelflächenfunktionen“ heißen und im englischen „spherical
harmonics“.
Y lm , = ⟨ ,∣lm ⟩
Wir geben nur die allereinfachste an
1
Y ∞ , =
4
und visualisieren die Funktionen in einer polaren Grafik.
Die radiale Funktion Rnl r ist Lösung der radialen Gleichung
1 2 ℏ2 l l 1 e 2
p
−
Rnl r =E nl Rnl r
2
2m r
r
2mr
V eff
Der zweite Teil wird effektives Potential genannt. Der erste Teil des effektiven Potentials ist die
sogenannte Zentrifugalbarriere, die dafür sorgt, dass Teilchen mit hohem Drehimpuls nicht in die Nähe
des Kerns kommen. Wir finden, dass diese Differenzialgleichung nur für Energiewerte
4
me 1
E nl =E n=− 2 2 Lösungen hat, wobei n≥l1 sein muss. Wir beachten, dass E nl gar nicht von
2ℏ n
l und qua Konstruktion auch nicht von der magnetischen Quantenzahl abhängt. Dennoch sind die
Zustände | n , l , m > mit gleichem n aber unterschiedlichen l, m orthogonal.
'
'
< n , l , m| n , l , m >=l l m m
d.h. die Zustände mit gleichem n bilden einen endlichdimensionalen Unterraum von L 2 .
'
'
Definition: Hat ein Eigenwert eines Hermite'schen Operators m orthogonale Eigenvektoren, so heißt der
Eigenwert m-fach entartet.
n=1
l=0
m=0
E 1 1-fach
n=2
l=0
l=1
m=0
m=−1, 0, 1
E 2 4-fach
n=3
l=0
l=1
l=2
m=0
m=−1, 0, 1
m=−2,−1, 0,1, 2
E 3 9-fach
n=4
E 4 16-fach
E n n 2 -fach
Eine hohe Entartung deutet auf eine hohe Symmetrie hin. D.h. es gibt Operatoren, die mit H
vertauschen. Die Wellenfunktion Rnl r ist ebenfalls eine komplizierte spezielle Funktion, auf die wir
hier nicht weiter eingehen wollen. Wir geben lediglich die Grundzustandswellenfunktion an
1
R∞ r =2 3 /2 e−r / a
a
2
ℏ ≈0,5×10−10 m
wobei a=
der Bohr'sche Atomradius ist, und skizzieren einige höhrere Rnl r :
m e2
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Die Anzahl der Knoten wächst auch hier mit der Energie (wenn man die Nullstelle bei r = 0 als Knoten
hinzunimmt).
Nur Wellenfunktionen zum Drehimpuls l = 0 (s-Schale) haben eine nicht verschwindende
Wahrscheinlichkeit im Zentrum. Alle anderen radialen Wellenfunktionen verschwinden wie Rnl r ∝r l
für r = 0 aufgrund der Zentrifugalbarriere.
Das Spektrum hat wiederum einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil
Durch Wechselwirkung mit dem eingestrahlten Licht kann das Wasserstoff-Atom angeregt werden, bzw.
selbst Licht emittieren mit Frequenzen, die den Differenzen der Energieniveaus entsprechen.
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Endniveau
Orbitalübergang
Lyman-Serie
n=1
ps
≈100nm
Balmer-Serie
n=2
s p
≈500nm
n=3
dp
IF ≈2000nm
Paschen-Serie
Da ein Photon Drehimpuls 1 hat, sind nur Übergänge zwischen unterschiedlichen Orbitalen möglich. Das
Wasserstoffatom hat auch einen kontinuierlichen Teil im Spektrum.
Diese stationären Wellen der Coulomb-Streuung sind recht kompliziert und sollen nicht weiter betrachten
werden. Man kann bezüglich der Eigenfunktionen nlm r , , nun auch Erwartungswerte berechnen.
⟨ nlm∣r∣nlm ⟩ =∫ d x *nlm x r nlm x
a
= 32−l l1
2
1
2
2
< n n−1 m| r | n n−1 m >=< nn−1 m| r | n n−1 m > 2
=Var r
a2 n2
1
=
n
2
2
Var r = 1
bezügl. ∣n n−1 m ⟩
<r>
2n1
d.h. für große Quantenzahlen n , l≫1 werden die Bahnen immer besser definiert. Interessant ist auch
4
ℏ
2
das Unschärfeprodukt Var L x Var L y = l l1−m der beiden nicht kommutierenden Operatoren
4
L x und L y . Es wird maximal für m = l. Man kann sagen, dass dies die klassischsten Zustände sind.
Abschließend wollen wir noch erwähnen, dass das Spektrum des H-Atoms deutlich komplexer ist als
durch den einfachen Hamiltonian des Coulomb-Potentials.
< n n−1 m| r 2 | n n−1 m >=a 2 n2 n1 n
Es gibt
➔ Relativistische Korrekturen, relativistische QM
Auflösung der l-Entartung
Feinstruktur
➔ Lamb-Shift, Darwin-Term, QFT
➔ Hyperfeinstruktur, Wechselwirkung mit Kernspin
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3.3 Freies Teilchen
Zuletzt wollen wir noch den „im Prinzip“ allereinfachsten Fall betrachten, nämlich das freie Teilchen.
p 2
ℏ2
H =
=−
(in Ortsdarstellung)
2m
2m
Wie schon öfters erwähnt sind die Eigenfunktionen / vektoren des Hamiltonoperators ebene Wellen,
charakterisiert durch einen Impuls p =ℏ
k.
Dispersionsrelation
x=⟨ x∣k ⟩=ei x k
2mE
k 2= 2
x , t =ei k x−i E t /ℏ
ℏ
Diese Wellenfunktionen sind nicht normierbar. Man kann dieses Problem auflösen, indem man sich mit
Hilfe von ebenen Wellen eine normierbare Wellenfunktion bastelt.
d k
ℏ 2
exp i
k x −
k t
Wobei f k nun eine beliebige Form haben kann. Man wählt
∫ 2
3
2m
2
−
k − k0
d.h. der mittlere Impuls
f k allerdings zweckmäßigerweise Gauss'sch f k ∝exp
2
2
d k
−
k − k0
∫
ℏ 2
x
,t
∝
exp
i
k
x
−
k t
k
3
2
bezüglich der Wellenfunktion
ist
2m
2
o
Gauss'sches Wellenpaket
⟨ ∣∣
⟩
k p k0 =ℏ k0= p0 .
0
Man kann das obige Integral auch lösen. Dies ist in 3 Dimensionen allerdings recht kompliziert. Wichtig
sind die beiden Lösungsskalen −1 und k 0−1 . Wenn k 0 ≫ dann ist das Gauss'sche Wellenpaket
auf der Skala k 0−1 ungefähr eine ebene Welle, auf der Skala −1 aber eine nahezu Glatte
Gausskurve. Das Gauss'sche Wellenpaket ist normierbar und ist das, was der klassischen Anschauung in
der Quantenmechanik am nächsten kommt.
Für die Dispersionsrelation
E
ℏc
ist dies auch die geeignetste Vorstellung von einem Photon mit Wellenzahl k 0=0 c.
k=
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4. Verallgemeinerungen
Wir haben im bisherigen Verlauf der Vorlesung das Spektrum von einem Punktteilchen in einer und drei
Dimensionen analysiert. Dies ist nur der allereinfachste Fall. In der Realität haben wir es oft nicht nur mit
einem Elektron, sondern mit einer Vielzahl von Elektronen zu tun. Desweiteren haben die Teilchen häufig
noch weitere charakteristische Eigenschaften, die klassisch durch sogenannte „innere Freiheitsgrade“
charakterisiert werden.
Wie nicht anders zu erwarten, sind auch diese inneren Freiheitsgrade quantisiert. Etwas überraschend
hängen diese inneren Freiheitsgrade und die Vielteilchen-Eigenschaften eng miteinander zusammen.
4.1. Vielteilchensysteme
Klassisch ist ein Vielteilchensystem durch die N Positionen und Impulse des 6N-dimensionalen
Phasenraums bestimmt
x1 , x2 ,... , xN , p1 , p2 ,... , pN
Quantenmechanisch ist das System durch die N-Teilchen-Wellenfunktion x1 , ... , xN , t bestimmt,
2
bzw. durch die N-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsdichte p x1 ,... , xN ,t =∣ x1 ,... , xN , t ∣ . gibt die
Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen bei x1 , ein Teilchen bei x2 , etc. zu finden. Hier wird nun das Konzept
der Ununterscheidbarkeit von Teilchen wichtig. Betrachten wir der Einfachheit halber ein System mit zwei
Teilchen. Dann gibt uns ∫ d x2 x1 , x2 die Wahrscheinlichkeit an, irgendeines der beiden Teilchen an der Stelle
x1 zu finden. Da sich die beiden Teilchen durch nichts außer durch ihre Position unterscheiden. Die beiden
Wellenfunktionen x1 , x2 ≈ x2 , x1 beschreiben also für ununterscheidbare Teilchen das selbe
physikalische System.
p x1 m x2=∣ x1 , x2 ∣2=∣ x2 , x1∣2
D.h. die Wahrscheinlichkeitsdichte muss symmetrisch sein in x1 und x2 . Wir definieren den
Vertauschungsoperator
P 12 x1 , x2 = x2 , x1
2
Offenbar gilt P 12 P 12 x1 , x2 = x1 , x2 für eine beliebige Wellenfunktion. Das heißt P 12 =1 hat den
Eigenwert 1. Daraus folgt, dass P 12 selbst die Eigenwerte ±1 haben kann.
P 12 ± x1 , x2 =± ± x1 , x2
Das heißt, es gibt zwei Arten ununterscheidbarer Teilchen, die sich durch ihr Verhalten unter
Vertauschung zweier Teilchen unterscheiden.
P 12 x1 , x2 = x1 , x2
Bosonen (symmetrisch)
P 12 − x1 , x2 =− − x1 , x2
Fermionen (antisymmetrisch)
Auch dieses Konzept lässt sich kompakter in der Bra-Ket-Schreibweise formulieren.
Sei K eine oder mehrere Quantenzahl, die einen Zustand beschreibt. Dann ist ein unsymmetrisierter
Vielteilchenzustand gegeben durch ∣k 1 , k 2 , k 3 , ... , k N ⟩ . Wenn die N Teilchen ansonsten
ununterscheidbar sind, muss der Zustand symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden.
1
S ∣k 1 ... k N ⟩=
∣k 1 ... k N ⟩ ∣k 2 k 1 ... k N ⟩ ∣k 2 k 3 k 1 ... k N ⟩ ... (Bosonen)
N !
=∣k 1 ... k N ⟩ B
1
A ∣k 1 ... k N ⟩ =
∣k 1 ... k N ⟩ −∣k 2 k 1 ... k N ⟩ ∣k 2 k 3 k 1 ... k N ⟩... (Fermionen)
N !
=∣k 1 ... k N ⟩ F
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Aus der Antisymmetrie einer fermionischen Wellenfunktion folgt das wichtige Pauli-Prinzip
− x2 , x1=− − x1 , x2
mit x1 = x2=x ⇒ − x , x =− − x ,x =0
Die fermionische Wellenfunktion verschwindet.
Pauli-Prinzip: Zwei ansonsten ununterscheidbare Fermionen können sich niemals am selben Ort
aufhalten.
Oder:
| k 1 , k 2 > F =−| k 2 , k 1 > F
| k , k > F =−| k , k > F
Zwei ununterscheidbare Fermionen können sich niemals in ein und demselben Quantenzustand befinden.
Um uns klarzumachen, welche Konsequenzen dies hat, betrachten wir nochmals das unendlich hohe
Kastenpotential.
Wir hatten als Eigenfunktion des Hamiltonoperators
2
n=
cos 2n−1 x
n=0, ... ,∞
L
L
2
n=
sin 2nx
n=1,... ,∞
L
L
Befindet sich nun ein Fermion im Grundzustand im Kasten, so sagt das Pauli-Prinzip, dass der niedrigstmögliche Zustand für ein neues Teilchen der erste angeregte Zustand ist. So wird der Kasten mit
Elektronen aufgefüllt.
Seien nun im Kasten sehr viele Elektronen vorhanden und in ihrem jeweils niedrigst-möglichen
Energiezustand
N ≫1
N : Anzahl der Elektronen
Dann ist die Energie des energiereichsten Teilchens
2
2
ℏ2 2
N
ℏ22 2
E F=
=
2m L
2
2m
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N
die Teilchendichte bezeichnet. Man benötigt also mindestens die Energie E max um ein
L
weiteres Elektron in den Kasten zu geben. E F Wird Fermi-Energie genannt.
ℏ k F =ℏ = p F
Fermi-Impuls
pF
v F=
Fermi-Geschwindigkeit
m
Die Teilchen, die die Energieniveaus vom Grundzustand bis zur Fermi-Energie auffüllen werden, heißen
Fermi-See.
wobei =
Der Fermi-See lässt sich graphisch durch obiges Bild beschreiben. Hierbei ist n(E) die
Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Elektron in einem Zustand mit Energie E befindet. Die harte FermiKante gibt es nur bei Temperatur T=0. Bei endlicher Temperatur wird sie aufgeweicht. Im Allgemeinen ist
n(E) gegeben durch die Fermi-Verteilung:
1
N E =
E−
exp
1
k0 T
wobei µ das chemische Potential ist. Das chemische Potential gibt die mittlere Energie an, die aufgebracht
1
werden muss, um ein Elektron hinzuzufügen. n = .
2
Für
T =0 :=E F
T 0 :≠E F aber ≈ E F
In vielen Fällen kann man chemisches Potential und Fermi-Energie gleichsetzen.
Für Bosonen gibt es keinen Bose-See, da sich auch unendlich viele Teilchen im Grundzustand aufhalten
können. Das Pendant zur Fermi-Verteilung ist die Bose-Verteilung.
1
n E =
E−
exp
−1
k bT
Man sieht, dass diese Größe für E= divergiert. ⇒ ≤0. Wenn n E eine Wahrscheinlichkeit
∞
ist, muss
∫ dE n E =N
0
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gelten. Hier sollte man den Grundzustand aber aus dem Integral aussparen:
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∞
∫
E
dE n E N 0= N mit
N 0 Teilchen im Grundzustand
ℏ
ℏ
3
3
Ŝ z ∣↑ ⟩ = ∣↑ ⟩ ∧ Ŝ z ∣↓ ⟩ =− ∣↓ ⟩ ∧ ⃗
Ŝ 2 ∣↑ ⟩ ℏ 2 ∣↑ ⟩ ; ⃗
Ŝ 2 ∣↓ ⟩ ℏ 2 ∣↓ ⟩ ;
2
2
4
4
d.h.
1 1
m s =− ,
2 2 für das Elektron
1
l=
2
Der Spin ist also ein halbzahliger Drehimpuls. Dies bedeutet, ein freies Elektron ist nicht nur durch seinen
Impuls, sondern auch noch durch seinen Spin gekennzeichnet.
∣k ⟩ ∣k , ⟩
= ,
Auch für gebundene Elektronen gilt:
∣nlm ⟩ ∣nlm ⟩
= ,
Der Hilbertraum eines punktförmigen Elektrons ist also nicht wie bisher angenommen L 2 , sondern
L 2⊗ℂ2 .
2
2
2
L L ⊗ℂ
Die elektronische Wellenfunktion lässt sich am günstigsten als Spinor darstellen
x x
x
Solange der Hamiltonoperator nicht vom Spin abhängt, ist der Haupteinfluss des Spins eine Verdopplung
der Entartung der jeweiligen Eigenwerte. Für ein Teilchen im Magnetfeld in Richtung
B wird der
Hamiltonoperator aber explizit spinabhängig.
2
H = H 0 B L ⋅
B ⊗1 2 B
S⋅B
ℏ
ℏ
wobei S i die in den Übungen schon oft benutzten Spinmatrizen sind
ℏ 0 1 ℏ 0 −i ℏ 1 0
S x =
, S y=
, S z=
2 1 0
2 i 0
2 0 −1
2
p
und H 0=
V x der Hamiltonoperator ohne Magnetfeld ist. Man schreibt H günstig in
2m
Blockform.
H 0 B L⋅Bℏ
Bz
B B x −iB y
ℏ
H =
B B x i B y
H 0 B
L⋅B−ℏ B z
ℏ
H wirkt jetzt auf einen Spinor. Es gibt auch Teilchen mit höherem inneren Drehimpuls als Spin
1
− . So kann man ja die Elektronen eines Atoms als dessen innere Freiheitsgrade auffassen. Ein Atom
2
kann also einem beliebig hohen Spin haben, je nachdem wie seine Schalen besetzt sind. Es gilt jedoch das
wichtige Spin-Statistik-Theorem:
}
[
[∣ ∣]
[∣ ∣]
∣
∣
[∣ ∣]
]
Fermionen haben halbzahligen inneren Drehimpuls/Spin
Bosonen haben ganzzahligen Spin
Der Beweis dieses fundamentalen Theorems erfordert QFT Methoden
1
2
Elektronen
Fermionen
Spin
Photonen
Bosonen
Spin 1
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4.2.2 Addition von Drehimpulsen
Wir betrachten das Helium-Atom
Es besteht aus einem -Teilchen und zwei Elektronen die im Grundzustand beide die (1s)-Schale
füllen.
∣
n
l
m
ms
⟩
1
∣GZ ⟩=
1
0
0 ,
∣1 0 0, ⟩−∣1 0 0, ⟩ ∣1 0 0, ⟩
2
Den zweiten Term mussten wir hinzufügen, um die Wellenfunktion antisymmetrisch zu machen.
Betrachten wir nur den Spinanteil, so lässt er sich schreiben als
∣0, 0 ⟩= 1 ∣ ⟩ ∣ ⟩−∣ ⟩ ∣ ⟩
2
Wir berechnen die Wirkung des Gesamtspins auf ∣0, 0 ⟩
2
S 1 S2
=
S 21 S 222
S 12
S 22
S 2ges ∣0, 0 ⟩
2 S1 S2
2 S1 S2 ∣0, 0 ⟩
=
S 2ges
3
=ℏ 2 ∣0, 0 ⟩2 S1 S2 ∣0, 0 ⟩
2
=2 ∑ S 21i S 22i
3
=− ℏ 2 ∣0, 0 ⟩ ⇒
S 2ges ∣0, 0 ⟩ =0
2
d.h. die beiden Spin ½-Elektronen haben sich zu einem Spin-0-Zustand gekoppelt.
Zustände des Heliums mit antisymmetrischem Spinanteil heißen Parahelium.
Wenn Spinanteil symmetrisch
∣nlm ⟩ ∣n' l' m' ⟩ −∣n ' l' m' ⟩ ∣nlm ⟩ ∣1, mS ⟩
Orthohelium
Die drei Zustände ∣1,−1 ⟩ , ∣1,0 ⟩ , ∣1, 1 ⟩ sind wie folgt definiert
∣1, 1 ⟩ =∣ ⟩ ∣ ⟩
1
∣1,0 ⟩= ∣ ⟩ ∣ ⟩ ∣ ⟩ ∣ ⟩ Spintriplett
2
∣1,−1 ⟩=∣ ⟩ ∣ ⟩
d.h. zwei Spin-½-Teilchen können zu einem Spin-0-Zustand oder zu einem Spin-1-Zustand koppeln
1
1 1
⊗
2 2
0
Allgemein:
l 1l 2
.
l 1⊗l 2
.
.
l
−l
∣ 1 2∣
}
{
{
Alle uns bekannten fundamentalen Teilchen sind entweder Fermionen oder Bosonen
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Fermionen
Bosonen
Elektron
Photon
Myon
Meson
Neutrino
Proton
He
4
Phonon
Neutron
Quarks
Auch zusammengesetzte Teilchen können entweder Fermionen oder Bosonen sein.
4.2. Innere Freiheitsgrade / Spin
Wir haben in der Natur unterschiedliche Arten von Fermionen und auch von Bosonen. Diese sind trotz
allem noch unterscheidbar untereinander. So lässt sich ein Elektron von einem Quark unterscheiden,
obwohl beide Fermionen sind. Man trägt dem Rechnung, indem man den Teilchen noch innere
Freiheitsgrade, bzw. innere Quantenzahlen zuteilt.
Bosonenquatenzahl
Leptonenquantenzahl
Farbe (Quarks)
Ein freies Quark ist also nicht nur durch seinen Impuls, sondern auch noch durch seine Farbe
charakterisiert
rot
∣k , c , ... ⟩
c=
grün
blau
Es ist typisch für diese inneren Freiheitsgrade, dass sie nur eine begrenzte Anzahl von Werten annehmen
können. Auch Elektronen haben einen innteren Freiheitsgrad, den sogenannten Spin.
{
4.2.1. Innerer Drehimpuls (Spin)
Im Jahr 1922 schossen O. Stern und W. Gerlach Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld.
Im Allgemeinen trägt ein Elektron mit der magnetischen Quantenzahl m einen Strom proportional zu m.
Dieser erzeugt nach dem Biot-Savart'schen Gesetz ein Magnetfeld in z-Richtung. Bringt man nun ein
Elektron im Zustand ∣lm ⟩ in ein Magnetfeld in z-Richtung,
so wird der Zustand ∣ll ⟩ gegenüber dem Zustand ∣l −l ⟩ energetisch begünstigt sein.
In der Tat haben wir eine Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld
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eℏ
= B Bohrsches Magneton.
2mc
= B m ez . Ist eine l-Schale
Ein Atom mit einem ∣lm ⟩ Elektron hat also das magnetische Moment
Man nennt die Größe
l
= B ez
voll mit Elektronen besetzt, ist das magnetische Moment
∑
m=0 . Das Silberatom ist so ein
m=−l
Fall. Alle Schalen von (1s) bis (4e) sind voll besetzt und die (5s)-Schale ist mit einem Elektron ebsetzt.
Dieses hat aber auch eine magnetische Quantenzahl m=0.
≈ z B ez .
Durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt erfährt das Atom die Kraft in z-Richtung K
Z
=0 für Silber, erwartet man, dass das Atom keine Ablenkung erfährt.
Da
Elektron hat inneres magnetisches Moment, den sog. Spin, oder äquivalent: Elektron hat inneren
Drehimpuls. Für diesen inneren Drehimpuls gelten die gleichen Regeln, wie für den Bahndrehimpuls,
bloß hier kann die z-Komponente genau zwei Werte annehmen.
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