Theoretische Mechanik rxyz

Theoretische Mechanik
Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.
Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig
zu überprüfen.
Hinweise und Anregungen bitte an:
[email protected]
Jens Kortus
[email protected]
TU Bergakademie Freiberg
Literatur:
1. Torsten Fließbach: Mechanik
2. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1
3. Joos: Lehrbuch der Theoretischen Physik
4. Goldstein: Klassische Mechanik
5. Stephani + Kluge: Theoretische Mechanik
Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die
Bilder von http://de.wikipedia.org/ oder wurden selbst erstellt.
1
1.
1.1.
Prinzipien der Mechanik
Grundbegriffe
2
•
•
Unter Bewegung versteht man die Änderung des Ortes als Funktion der Zeit.
Die Bewegung erfolgt unter dem Einfluss von Kräften, die in der Mechanik als
bekannt vorausgesetzt werden.
Ein Bezugssystem mit bestimmten Koordinaten heißt Koordinatensystem.
Zusätzlich soll die Zeit t durch eine geeignete Uhr angezeigt werden. t wird
auch als Zeitkoordinate bezeichnet.
Massenpunkt:
Ein Massenpunkt ist ein Körper, für dessen Bewegung nur sein Ort relevant (oder
von Interesse) ist.
-> Die Bewegung eines Massenpunktes ist vollständig beschrieben durch die
Angabe des Ortes r zu jeder Zeit t:
r(t) = x(t) ex + y(t) e y + z(t) ez
Bezugssystem
Die Bewegung eines Körpers können wir nur als Bewegung zu
etwas anderem beschreiben (relativ zu anderen Gegenständen).
Ein einzelner Körper in einem an sonst leeren Universum kann nicht mit
Bewegungsgleichungen beschrieben werden.
Ein mögliches Bezugssystem ist z. B. der Hörsaal.
•
Wir wählen einen beliebigen Punkt
z
als Ursprung.
•
Alle anderen Punkte können durch
r
Ortskoordinaten r = (x,y,z)
beschrieben werden.
y
Diese Abhängigkeit nennt man Bahnkurve.
Beispiele für Massenpunkte:
Elementarteilchen (Elektronen, Protonen)
Atome in einem Gas
Billardkugeln (manchmal)
Planeten im Sonnensystem
Sonnen in Galaxie
Galaxien in Galaxienhaufen
x
3
4
Kugelsternhaufen M80
1
* 14. März 1879 in Ulm
† 18. April 1955 in Princeton, USA)
Nobelpreis Physik 1921
--> Massenpunkt ist die Idealisierung (Modellvorstellung), dass die Bahnkurve nur
von der Gesamtmasse abhängt und nicht von anderen Eigenschaften.
r(t) bezieht sich auf den Schwerpunkt des Körpers.
Zeitmessung
„ Zeit ist das, was man an der Uhr abliest.“
Albert Einstein
(Drehung einer Billardkugel hat wesentlichen Einfluss auf die Bahn, Drehung
der Erde ist vernachlässigbar auf die Planetenbahn).
Die Definition der Zeit erfolgt durch die Festlegung eines Verfahrens zur
Messung durch eine Uhr.
Eine Uhr ist ein Instrument, dass die Periodenzahl eines periodischen,
kontinuierlichen Vorgangs anzeigt.
Eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung des Modells „Massenpunkt“ ist,
dass die Abmessung des Körpers klein gegenüber den anderen Abmessungen des
Systems ist.
(z. B. Erdradius ist klein gegenüber den Halbachsen der Erdbahn)
Periodische Vorgänge:
Pulsschlag
Erdrotation (Tag – Nacht)
Pendeluhr
Atomfrequenz
Die Definition einer Bahnkurve in Form
r(t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) e z
setzt bereits ein Bezugssystem mit kartesischen Koordinaten und eine bekannte
Zeitkoordinate voraus. Diese Definition benötigt also eine Längen-und
Zeitmessung, um brauchbar zu sein.
5
Euklidischer Raum
Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem,
dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand sind.
Ein kartesisches Koordinatensystem existiert nur im euklidischen oder ebenen
Raum.
In gekrümmten Räumen, z.B. auf einer Kugeloberfläche, sind keine
kartesischen Koordinaten möglich.
Die Umkehrung gilt aber nicht. Im euklidischen Raum kann man auch
gekrümmte Koordinaten (z. B. Kugelkoordinaten) verwenden. Der Raum bleibt
trotzdem eben.
SI Definition der Sekunde:
Die Sekunde ist die Dauer von 9 192 631 770 Perioden der Strahlung, die dem
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes
des Atoms Zäsium 133 entspricht.
1.2. Newtons Axiome
1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
1. Axiom (lex prima)
Es existieren Bezugssysteme, in denen die kräftefreie Bewegung durch
r t = v = const. beschrieben wird.
Euklid von Alexandria
* ca. 365 v. Chr. † 300 v. Chr.
griechischer Mathematiker,
der in Alexandria lebte
René Descartes
* 31. März 1596 in La Haye/Touraine, Frankreich
† 11. Februar 1650 in Stockholm, Schweden
6
Diese Bezugssysteme heißen Inertialsysteme (IS).
r = const. besagt, dass die gleichförmige Bewegung (oder Ruhe) ein
Zustand ist, in dem ein Körper verharrt.
Sir Isaac Newton
nach Gregorianischem Kalender:
4. Januar 1643 in Woolsthorpe-by-Colsterworth
in Lincolnshire;
† 31. März 1727 in Kensington
Summe der Innenwinkel größer bzw.
7
kleiner als 180°.
nach dem damals in England noch geltenden
Julianischen Kalender:
25. Dezember 1642; † 20. März 1727
8
2
Definition der Masseneinheit Kilogramm
2. Axiom (lex secunda)
d p
= F
dt
(Kräfte ändern die Bewegung)
Wir definieren nun willkürlich die Masse eines bestimmten Körpers als
Masseneinheit (Ur-Kilogramm in Paris).
(im IS)
Seit 1889 bildet das Urkilogramm in
Paris den Vergleichswert für die
Maßeinheit Kilogramm. Seine Masse
beträgt per Definition 1 kg. Es wird in
einem Tresor des Internationalen Büros
für Gewichte und Maße (BIPM) in
Sèvres bei Paris aufbewahrt.
p ist der Impuls, definiert als Produkt von Masse m und der
Geschwindigkeit v
p = mv
Wenn die Masse m sich nicht mit der Zeit ändert, ist
m r¨ = m a = F
Das 2. Axiom beinhaltet:
1. Definition der Masse
2. Definition der Kraft
3. Aussagen über die Bahn
Es handelt sich um einen Zylinder von
39 Millimetern Höhe und Durchmesser,
der aus einer Legierung von 90 % Platin
und 10 % Iridium besteht. Länder, die
dem metrischen System beigetreten
sind, sind im Besitz von Kopien dieses
Urkilogramms.
Wenn Länge und Zeit als Messgrößen definiert sind, dann ist die
Beschleunigung a = r¨ eine messbare Größe.
9
m r¨ = m a = F
10
Das 2. Axiom liefert auch eine Aussage über die Dynamik:
m a = m r¨ = F
Nach dem 2. Axiom ist die Masse ein Maß für den Widerstand, den ein Körper der
Änderung seiner Geschwindigkeit entgegensetzt. Je größer m ist, umso kleiner (bei
gegebener Kraft) die Änderung der Geschwindigkeit.
Die Größe m nennt man deshalb auch träge Masse.
Die schwere Masse ist proportional zur Stärke der Gravitationskraft.
Die schwere Masse wird experimentell durch Kraftmessung festgelegt.
Mit einer relativen Genauigkeit von 10-12 wurde experimentell gefunden, dass das
Verhältnis von träger zu schwerer Masse immer gleich groß ist.
sind 3 gekoppelte Differenzialgleichungen 2. Ordnung, deren Lösung mit
den entsprechenden Anfangsbedingungen die Bahnkurve r(t) zu allen Zeiten t
liefert.
Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ist das 2. Axiom
falsch. --> Einschränkung auf
v
c
1
2
F 21
3. Axiom (lex tertia)
F actio = F reactio
Die Gleichheit von schwerer und träger Masse ist die zentrale Annahme für die
Allgemeine Relativitätstheorie.
F 12
1
Im Rahmen der Newtonschen Mechanik und Gravitationstheorie ist diese Gleichheit
zufällig und kann nicht erklärt werden.
F 12 = F 21
Diese Aussage gilt im allgemeineren Sinn in allen Teilen der Physik. Jede
Wirkung, die die Umgebung auf einen Körper ausübt, ruft eine entsprechende
Gegenwirkung hervor.
11
12
3
Die drei Newtonschen Axiome sind im strengen mathematischen Sinne, dass aus
ihnen alle Aussagen der Theorie folgen, keine Axiome.
Zur Lösung eines Problems der Newton'schen Mechanik:
1. Aufstellen des Kraftgesetzes
2. Lösung der Differenzialgleichung 2. Ordnung
1. Zusatz: Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, wirken entlang
der Verbindungslinie der Massenpunkte.
m r¨ t = F r t , r t , t 2. Zusatz: Wirken mehrere Kräfte Fi auf einen Massenpunkt, so ist die
3. Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anfangsbedingungen für Ort
und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t.
4. Diskussion der Lösung
(graphische Darstellung, Erhaltungsgrößen)
Gesamtkraft die Summe der Einzelkräfte
F =
F
i
i
(Superpositionsprinzip der Kräfte)
In der Mechanik beschränken wir uns auf Kräfte, die nur vom Ort, der
Geschwindigkeit des Teilchens und der Zeit abhängen
F = F r t , r t , t Geschwindigkeitsabhängige Kräfte sind z. B. die Reibungskraft und die
Lorentzkraft.
13
14
Drehimpuls für Bewegung auf einem Kreis
1.3. Erhaltungssätze, Potenzial, konservative Kräfte
l = r t × pt = r × m r Impulserhaltung: wirkt auf ein Teilchen keine Kraft, so ist sein Impuls konstant
2. Axiom
d p
= F ,
dt
Drehimpulserhaltung:
Def. Drehimpuls
Def. Drehmoment
F = 0 d p = 0
dt
p = const.
d
d l
= r × m r = r × m r r × m r¨
dt
dt
l = r t × pt = r × m r M = r × F
da
Drehimpuls und Drehmoment beziehen sich auf den Ursprung des gewählten
Inertialsystems. Bei einer Verschiebung des IS ändern sich l und M (im Gegensatz
zu p und F, die sich nicht ändern).
15
r × r = 0
(Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren)
d l
M
= r × m r¨ = r × F = dt
--> Wenn das Drehmoment Null ist, dann ist der Drehimpuls erhalten.
16
4
Arbeit:
Ein Teilchen bewege sich unter dem Einfluss einer äußeren Kraft von r nach r + dr.
Das Skalarprodukt dW = F•dr ist die Arbeit dW, die die Kraft an dem Teilchen
leistet. Die längs eines endlichen Weges C von r1 nach r2 geleistete Arbeit ist dann
Zentralkräfte:
Für F 0 ist M = r x F nur dann gleich Null, wenn F parallel zu r ist.
Die Kraft muss also in Richtung des Zentrums (Ursprung) des Bezugssystems
wirken. Der Drehimpuls für ein Teilchen, das sich auf Grund einer Zentralkraft
bewegt, bleibt erhalten.
r 2
W =
dW
=
c
r
s
l = r × p
Fd r
r1
Energie:
Die Arbeit W ist gleich der Energie, die vom Kraftfeld F auf das Teilchen
übertragen wird.
p
Leistung: Pro Zeit verrichtete Arbeit wird Leistung genannt.
Kinetische und potenzielle Energie:
Wir multiplizieren die Newtonsche Bewegungsgleichung skalar mit
--> Flächensatz: In gleichen Zeitintervallen überstreicht der Fahrstrahl
gleiche Flächen
d m r 2
= Fr = P
dt 2
Energieerhaltungssatz:
Für konservative Kräfte ist die Summe aus kinetischer Energie T und
potenzieller Energie U erhalten.
Wir teilen die Kraft in einen konservativen und dissipativen Anteil auf.
Der konservative Anteil enthält alle Anteile für die gilt:
Dissipative Kräfte führen zu einer Umwandlung von mechanischer Energie (T+U)
in andere Energieformen (Wärme, Reibung ...).
F konsr = dU r dt
Potenzial: Die vollständige Zeitableitung für
Eine konservative Kraft besitzt ein Potenzial U(r)
lautet:
1 D
grad U =
19
U r = U x , y , z U dx U dy U dz
d
= grad U r
F konsr = U r = dt
x dt y dt z dt
U x = mg x
d mg x
dU
=
= mg x
dt
dt
d m r 2
F dissr
U r = dt 2
Damit erhalten wir
Diese Form der kinetischen Energie folgt also direkt aus dem 2. Axiom.
F konsx = mg x = F dissx
dt
m 2
T = r
2
m ẍ = mg x
18
F diss = x , für Fdiss kann kein Potenzial U(x) existieren, da
quadratisch in x ist, während dU x nur linear in x ist.
P ist die an das System übertragene Leistung. Die zu- oder abgeführte
Energie ändert die Geschwindigkeit des Teilchens. Damit definieren wir als
kinetische Energie des Teilchens
F kons = mg
r
m r¨ r = Fr
17
Beispiel:
Fd r
dW
=
= Fr
dt
dt
P =
Wenn l = const. können wir die z-Achse unseres Koordinatensystems in
Richtung von l legen
l = l e z = m r × r U U U
,
,
x y z
20
5
Hieraus können wir schließen, dass
Im Folgenden beschränken wir uns auf konservative Kräfte der Form
F kons = grad U r × B r ,t
B ist ein beliebiges Vektorfeld.
r ×B r
F = grad U r ohne den Index „kons“.
B ein Vektor ist, der senkrecht auf r steht.
= 0, da r × Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine gegebene Kraft
F(r) eine Potenzialkraft ist, ist das Verschwinden von rot F
Ein Beispiel für den zweiten Term ist die Lorentzkraft auf ein geladenes
Teilchen im Magnetfeld B
rot F = 0
F Lorentz = q v × B
F r = grad U r Beweis:
A) Wenn F = - grad U --> rot F = rot (-grad U) = 0, da stets gilt
rot grad = 0
Diese Kraft ist konservativ, weil sie die Energie erhält und erfüllt mit
U = const.
dU
F konsr =
dt
B) Wir betrachten zwei unabhängige Wege Ca und C b, die beide von r0 nach
r führen.
ca
r0
Hendrik Antoon Lorentz
* 18. Juli 1853 in Arnhem
† 4. Februar 1928 in Haarlem
Nobelpreis für Physik 1902
cb
r
21
22
Die Differenz der beiden Integrale
Fd r ' Fd r '
Ca
Äquipotenzialflächen sind Flächen gleichen Potenzials U(r) = const.
Die Kraft F = - grad U steht senkrecht auf diesen Äquipotenzialflächen.
Sie ist groß, wo das Potenzial U sich stark ändert.
Fd r '
=
Cb
Stokes'scher Integralsatz:
Fd r '
=
rot Fd A
= 0
Beispiel: U(x,y) = x2 + y2
A
grad U =
da rot F = 0
Fd r ' = 0 ist die mathematisch hinreichende Bedingung, das für
Ca
=
Fd r '
U U
,
= 2x ,2y x y
F =grad U =2 x , y
Fd r ein totales Differenzial, also ein Potenzial existiert.
Wenn dieses Integral Null ist, dann
Fr '
y
= W
U
Cb
Die Arbeit W, die diesem Integral entspricht, hängt damit nicht vom Weg
ab, sondern nur von den Anfangs- und Endpunkten des Weges. Das Potenzial
U(r) kann nun als die Arbeit -W bestimmt werden, die man aufbringen muss,
um das Teilchen gegen die Kraft F von r0 zum Punkt r zu bringen
x
r
U r U r0 = W = Fd r '
r0
x
23
24
6
Def. Schwerpunkt:
1.4. System von Massenpunkten
Verallgemeinerung auf ein System von N Massenpunkten
Die Bahn des v-ten Massenpunktes sei rv(t), seine Masse m v , die auf ihn
N
mit
Die Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt ergibt sich als
v=1, ... , N N
F vµ
v ,µ
mv r¨v =
F a
v F µv
v µ
µ=1
µv
=
F µv
µ, v
L =
Gesamtdrehimpuls
= F
N
= const.
P = M R
N
rv ×F v µ
N
v, µ
µv
mv r¨v =
F F µv
d
dt
mv rv × rv v=1
µ=1
µv
=
N
N
v= 1
v= 1
v=1
=
N
rµ×F µv
v ,µ
µv
N
3.Axio m
= rµ×F vµ
v,µ
µv
=
1
2 rv rv×F vµ
v,µ
µv
=
1
2
rv rµ×F v µ
= 0
v,µ
µv
Die inneren Kräfte ergeben kein resultierendes Drehmoment.
v=1
N
N
mv rv×rv =
Mit Hilfe des 1. Zusatzes r1 r2 ×F 12 = 0
a
v
N
v v,µ
µv
Drehimpuls: Wir multiplizieren die Bewegungsgleichungen vektoriell mit rv
und summieren über .
rv×F v
N
lv
v=1
rv ×F vµ
=
v ,µ
µv
Der Term mit den inneren Kräften gibt
N
Für ein abgeschlossenes System (keine äußeren Kräfte) ist der Gesamtimpuls
N
= Fv µ
vµ
26
v=1
v=1
F µv
v ,µ
=
µv
25
Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Masse im
Schwerpunkt vereinigt ist und die Summe der äußeren Kräfte auf ihn wirkt.
rv×mv r¨v
a
=1
Beweis durch Vertauschung der Indizes und Anwendung des 3. Axioms
N
a
v
F Null wegen Newtons 3. Axiom
Äußere Kräfte Fv(a) sind alle Kräfte, die von außen auf das System
F
N
N
F µ
=1 µ=1
µ
=1
und µ abhängen und nicht von den anderen Teilchen.
M
R¨ =
N
m r¨=M R¨ =
Innere Kräfte sind Kräfte, die die Massenpunkte aufeinander ausüben
(z. B. Coulombkraft bei geladenen Teilchen). Wir beschränken uns auf
Zweikörperkräfte Fvµ, die nur von den Koordinaten der Teilchen v
wirken (z. B. Schwerkraft).
=1
M =
m als Gesamtmasse des Systems.
Bei den Kräften unterscheiden wir innere und äußere Kräfte.
N
m r
=1
wirkende Kraft Fv
mv r¨v t=
Fv
1
R=
M
d L
=
dt
rv × F av rv × F vµ
N
rv ×F av =
M
v=1
Für ein abgeschlossenes System ist L = const.
µ =1
µ v
27
28
7
1.5. Freiheitsgrade und Nebenbedingungen
Energie: völlig analog zum einzelnen Massenpunkt
T =
1
2
Ein frei beweglicher Massenpunkt hat drei Freiheitsgrade.
Wenn er gezwungen ist, in einer Ebene (oder Fläche) zu bleiben, besitzt er
zwei Freiheitsgrade.
Wenn er an eine Gerade (oder Kurve) gebunden ist, besitzt er nur einen
Freiheitsgrad.
Jede Einschränkung der Bewegung entspricht einer Nebenbedingung, die
gleichzeitig erfüllt werden muss. Damit verringert sich der Freiheitsgrad.
N
mv rv2
v=1
F v , kons sei eine Kraft, für die ein Potenzial U existiert, so dass
N
F v , konsrv
v=1
= N
dU r1, r2, ... , rN U rv
= dt
v=1 rv
mit der partiellen Ableitung nach dem Vektor rv = x v , y v , z v U r1, ... , rN U
U
U
=
e e e
rv
x v x yv y z v z
Für die Energie gilt dann
N Massenpunkte, die durch r Bedingungen gekoppelt sind, haben
f=3N–r
Freiheitsgrade.
a) starrer Körper (= N fest miteinander verbundene Massenpunkte)
d
T U =
dt
N
F v ,dissr
Ein beliebiger Punkt des Körpers besitzt 3 Freiheitsgrade. Ein zweiter Punkt
kann sich wegen der konstanten Entfernung nur noch auf einer Kugel um den
ersten Punkt bewegen, was 2 weiteren Freiheitsgraden entspricht.
v=1
In Abwesenheit dissipativer Kräfte gilt der Energieerhaltungssatz.
Nur konservative Kräfte: T + U = E = const.
29
Um die Achse durch diese beiden Punkte kann ein dritter eine Kreisbahn
beschreiben, was einem Freiheitsgrad entspricht.
30
F=3+2+1=6
b) Pendel (starrer Körper mit fester Achse)
Diese Koordinaten werden im Allg. mit q bezeichnet und heißen verallgemeinerte Koordinaten. Für f Freiheitsgrade benötigen wir f verallgemeinerte
Koordinaten q1, q2, ..., qf .
Die verallgemeinerten Koordinaten werden so gewählt, dass die
Nebenbedingungen automatisch erfüllt sind. In diesem Fall tauchen die
Nebenbedingungen bei der weiteren Behandlung des Systems nicht auf.
f=1
c) sphärisches Pendel = punktförmiger Körper, der an eine Kugeloberfläche
gebunden ist.
f=2
1.5.1. Holonome Nebenbedingungen
Bedingungen der Form r1, ... , rN , t =const.
heißen holonom.
Massenpunkt auf Kugel: x2 + y2 + z2 = R2
Massenpunkt auf einem Tisch: z = 0
d) deformierbarer Körper oder Flüssigkeit
f =
Die Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Zahl der unabhängigen Koordinaten,
die zur Bestimmung der Bewegung des Systems benötigt werden.
Diese Koordinaten müssen nicht rechtwinklig sein, z. B. bietet sich der Winkel
für das Pendel an.
Für r holonome Nebenbedingungen benötigen wir r Gleichungen der Form
r1, ... , rN , t =const.
31
32
8
Damit geben holonome Nebenbedingungen Einschränkungen für die
Koordinaten und Geschwindigkeiten.
Die Bewegung erfolgt auf Schnittflächen im 3N-dimensionalen Raum.
Die holonomen Bedingungen lassen sich auch in differenzieller Form
schreiben
d r = 0 =
i
r
r
r
r
dx i dy i dz i dt
xi
yi
zi
t
grad i = , , ,
xi y i z i
da
d r =
1.5.2. Nicht-holonome Nebenbedingungen
Bei nicht-holonomen Nebenbedingungen existieren nur Bedingungen für die
Geschwindigkeiten, aber nicht für die Orte (z. B. scharfkantiges Rad auf
einer rauhen ebenen Fläche).
z
d
r i = dx i , dy i , dz i r
grad i rd ri t
dt = 0
Die Lage des Rades ist bestimmt durch
1. Koordinaten x,y des Berührungspunktes zur Fläche
y
2. Winkel zwischen Radachse und z-Achse
x 3. Schnitt der Radebene und Fläche (Tangente)
4. Winkel zwischen dem zum Berührungspunkt gerichteten Radius und
einem vorher gewählten festen Radius.
i
Für einen sich bewegenden Körper sind d r i 0 und dt 0 , so dass eine
Beziehung zwischen den räumlichen und zeitlichen Veränderungen existiert.
r
t
r
0 = gradi r vi t
d r
= 0 =
dt
d r
grad i r dt i i
33
1.6. Begriff der Wirkung
Die Bedingung des Rollens (ohne Gleiten) schränkt jedoch die Bewegung weiter
ein, da der in der Fläche zurückgelegte Weg s = a rad (arad = Radius des Rades) betragen muss.
x = a rad cos ,
34
Pierre Louis Moreau de Maupertuis
* 7. Juli 1698, Saint-Malo
† 27. Juli 1759, Basel
„Die Natur wählt unter allen möglichen Bewegungen diejenige
aus, die ihr Ziel mit dem kleinsten Aufwand von Aktion (Wirkung)
erreicht.“
y = a rad sin (Projektion auf die Koordinatenachsen)
Diese Bedingungen lassen sich nicht in der Form x , y , , = 0 ausdrücken.
Maupertuis 1747
1. Was ist mit dem Begriff „Wirkung“ gemeint?
1.5.2. Skleronome Nebenbedingungen
Skleronome Nebenbedingungen sind zeitunabhängige Nebenbedingungen.
2. Was bedeutet „alle möglichen Bewegungen“?
Wirkung ist eine Größe von der Dimension Energie x Zeit.
1.5.3. Rheonome Nebenbedingungen
Rheonome Nebenbedingungen sind zeitabhängige Nebenbedingungen.
Das Plancksche Wirkungsquantum h besitzt zum Beispiel diese Dimension
h = 6.626 * 10 -34 Js
Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass die Bewegungen einem Minimum
des Produktes von Energie mal Zeit folgen.
35
36
9
Wir ordnen jeder Bahnkurve q(t) das Wirkungsfunktional
2. Variationsrechnung
2.1. Variation ohne Nebenbedingungen
t2
S = S [q ] =
dt Lq , q , t t1
zu.
L ist eine Funktion mit der Dimension der Energie (L = T – U). Das Prinzip der
kleinsten Wirkung (auch Hamilton'sches Prinzip) fordert eine Bahnkurve q(t),
für die die Wirkung S ein Minimum darstellt.
Eine Funktion y = y(x) ordnet jedem x-Wert eine Zahl (den y-Wert) zu.
In der Variationsrechnung betrachtet man Funktionale, die jeder Funktion
eine Zahl (den Wert des Funktionals) zuordnen.
S [q] = 0
y(x)
Solche Minimalprinzipien besitzen eine sehr große Bedeutung in der Physik in
praktisch allen Teilbereichen der Physik.
P2
J = J [ y] =
Prinzip der kürzesten Ankunft (Fermat) beschreibt die Brechung und
Reflexion des Lichtes
x2
ds
=
P1
dx 1 y ' x2
x1
ist ein Funktional, das die Wegstrecke entlang der Kurve y = y(x) zwischen
den Punkten P1 = (x1, y(x1)) und P2 = (x2, y(x2)) angibt. Dieses Funktional ordnet
Lichtgeschwindigkeit
in Glas < Vakuum
Prinzip des kürzesten Weges, welches die kräftefreie Bahn eines Massepunktes auf einer krummen Fläche als geodätische Linie bestimmt, führt
zur allgemeinen Relativitätstheorie. (Die Eigenzeit eines Körpers wird
minimiert.)
P2
P1
jeder Kurve y=y(x), die die beiden Punkte verbindet, eine Zahl (die
Weglänge) zu.
Das Wegelement ds ergibt sich aus:
dy
2
d s2=d x 2 d y 2=1
37
dy
d x 2=1 y ' x 2d x 2
dx
P1
P2
dx
38
2.1.1. Euler-Lagrange-Gleichung
Die allgemeine Problemstellung lautet:
Welche Funktion y(x) minimiert das Funktional J[y] ?
Zur Unterscheidung von Funktionalen von Funktionen geben wir das
Argument y des Funktionals in eckigen Klammern an J[y].
x2
J = J [ y] =
Für welche Funktion y(x) wird nun ein bestimmtes Funktional extremal?
dx
F y , y ' ,x
x1
F(y,y',x) und die Randwerte y(x1) = y1 und y(x2) = y2 werden als gegeben
In Analogie zu Funktionen suchen wir eine notwendige Bedingung für einen
Extremwert. Im Allgemeinen liefert diese Bedingung einen maximalen oder
minimalen Wert, der Einfachheit halber beschränken wir uns auf Minima.
vorausgesetzt.
P2
P1
Fragestellung:
Für welche Kurve ist die Wegstrecke zwischen zwei gegebenen Punkten minimal?
Physikalisch suchen wir also die Bahnkurve, für die die Wegstrecke ein Minimum ist.
Mathematisch suchen wir also die Funktion y(x), für die das Funktional J[y] minimal
wird.
39
Angenommen, wir kennen die gesuchte Funktion y(x), die das Funktional minimiert,
dann muss J[y+y] mit einer beliebigen kleinen Abweichung y größer als J[y]
sein. Eine beliebige infinitesimale Abweichung y(x) von y(x) schreiben wir als
y x = x
P2
P1
40
10
Würde dies für irgendein 0 nicht gelten, so könnte J [ y0 ] durch 0
Der Faktor ist infinitesimal (klein). Die Funktion (x) ist insofern eingeschränkt,
dass alle Kurven durch die Randpunkte gehen
kleiner als J[y] gemacht werden. Dann würde aber die neue Funktion
y(x) + .0(x) das Funktional minimieren und nicht y(x), entgegen unserer
x 1 = x 2 = 0.
Annahme. Damit erhalten wir die folgende Bedingung für ein lokales Extremum
Die Funktion (x) ist ansonsten eine beliebige, differenzierbare Funktion in dem
uns interessierenden Bereich.
y
d J [ y]
=0
d
=0
y x y x x Zur Berechnung schreiben wir J[y+] als Reihenentwicklung in x2
x
x1
J [ y ] = dx F y , y ' ' , x x2
x1
x2
Das Funktional J[y + ] ist selbst eine Funktion von , die wir mit J()
bezeichnen. Für die gesuchte Funktion y(x) muss J() bei minimal sein für
beliebiges (x).
J[y] minimal
x1
0
= dx F y , y ' , x F y , y' ,x
F y , y' ,x
x ' x O 2 y
y'
41
42
Damit erhalten wir
0 =
dJ [ y]
=
d
=0
x2
dx
x1
F y , y ' , x
F y , y ' , x
x 'x
y
y'
x2
0= dx
x1
F y , y ' , x
, g = x
y'
x2
0=
x2
F y , y ' , x
d F y , y ' , x
=
dx y '
y
x2
F y , y ' , x
F y , y' ,x
d F y , y' , x
x dx
x x dx
y'
dx y '
y
x
x
x
1
1
F y , y ' ,x d F y , y ' ,x
x y
dx y '
Da (x) eine beliebige Funktion sein kann, muss der Klammerausdruck
verschwinden.
Durch partielle Integration f g ' = fg f ' g kann man im zweiten Term
die '(x) nach (x) umformen
f =
1
Euler-Lagrange-Gleichung
Der 1. Term verschwindet, da (x1) = (x2) = 0.
43
Die Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung ist eine
Differenzialgleichung 2. Ordnung für die gesuchte Funktion y(x). Sie ist
eine notwendige Bedingung für ein Extremum des Funktionals J[y].
44
11
Beispiel: kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten
x2
J [ y ]= dx 1 y' x2
y(x) = (x) wird auch Variation von y(x) genannt.
Für das gesuchte y(x) ist J stationär, d.h. J ändert sich nicht bei
infinitesimalen Änderungen y von y(x)).
Die Variation J von J verschwindet. Als übliche Kurznotation schreibt man
x2
F
F
J = J [ y y ] J [ y ] = dx
y
y'
y
dy '
x
1
x2
x1
F = 1 y ' x2
Für die Euler-Lagrange-Gleichung benötigen wir
F 1 y ' 2
=
=0
y
y
y ' x
F
1 y ' 2 1 2y '
=
=
=
y' y'
2 1 y ' 2 1 y ' x2
d F
F
= dx
y
y
dx y '
x
1
Damit erhalten wir als Euler-Lagrange-Gleichung
F d F
=0
y
dx y '
y ' x
d
=0
dx 1 y ' x 2
Da y eine beliebige Variation ist, folgt die Euler-Lagrange-Gleichung aus J=0
F d F
=0 J =0
y
dx y '
45
Die Integration dieser Gleichung liefert
y' = const.
Y=ax+b
Die Konstanten a, b werden durch die Randpunkte festgelegt.
Wir erhalten das erwartete Ergebnis: Die kürzeste Verbindung zwischen zwei
Punkten ist die Gerade.
46
Damit erhalten wir N Euler-Lagrange-Gleichung
F
d F
=0
dx y i ' y i
Verallgemeinerungen der Euler-Lagrange-Gleichung
I. Mehrere Funktionen
i = 1,... , N Dies sind N Differenzialgleichungen 2. Ordnung für die N gesuchten
Funktionen y1, ..., yN.
x2
J = J [ y 1, ... , y N ] = dx F y1, ... , y N , y ' 1, ... , y ' N , x x1
II. Mehrere Argumente
Wir betrachten mehrere Argumente x1,..., xD anstelle von x. Gesucht sei die
N-Funktionen y1(x), y2(x), ..., yN(x) mit festen Randwerten
yi(x1) = yi1 , yi(x2) = yi2
Funktion y(x1,..., xD), die das Funktional
(i= 1, ..., N)
Wir suchen die Funktionen yi(x), für die J minimal wird. Für diese Funktionen
yi gilt wieder
y
y
, ... ,
, x , ... , x D
x1
xD 1
extremal macht. Dabei sei y(x1,..., x D) auf dem Rand des Integrationsbereichs
J 1 , 2 , ... , N = J [ y 11 1 , y 2 2 2 , ... , y N N n ]
mit
J = J [ y ] = dx 1 ... dx D F y ,
fest vorgegeben. Für die Variation y = (x1, ..., xD) ergibt sich wieder eine
Funktion J(), aus dem Verschwinden der Variation J folgt die EulerLagrange-Gleichung
J 1 , 2 , ... , N =0
i
=0
D
i
47
x
i=1
i
F
F
= 0.
y / x i y
48
12
3. Lagrange-Formalismus
3.1. Hamilton'sches Prinzip
Für die partiellen Ableitungen nach / y und / y / x i ist zunächst
y
F
die Form F y ,
, x zu nehmen. Für
ist
dann als Funktion
xi i
xi
y / x i Die Lagrange-Funktion L eines mechanischen Systems ist definiert als
Differenz der kinetischen Energie T und der potenziellen Energie U
L=T–U
Das Wirkungsfunktional S[q]
allein der x i aufzufassen.
*** 2.2. Variation mit Nebenbedingung (Ergänzung: wird nicht geprüft)
t2
S = S [q ] = dt Lq , q , t
In manchen Problemen sind nicht alle möglichen Funktionen als Lösung erlaubt,
sondern nur Funktionen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen.
t1
ordnet jeder Bahnkurve q(t) einen Wert S zu. Die tatsächliche Bahnkurve
ergibt sich aus dem Hamilton'schen Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)
Beispiel:
Ein Seil sei an zwei Punkten im Schwerefeld aufgehängt. Durch welche Kurve
wird die Gleichgewichtslage beschrieben?
S [q] = 0.
Jede Bewegung eines mechanischen Systems verläuft derart, dass die
Wirkung stationär ist.
y(x)
y1
Interessenten: siehe Webseiten Theorie.
Die mathematische Lösung dieses Problems ist uns bereits bekannt!
y2
x1
x2
x
49
Joseph Louis Lagrange
25. Januar 1736 in Turin
† 10. April 1813 in Paris
3.2. Lagrange-Gleichungen 2. Art
Im Allgemeinen ist sie eine sehr einfache Funktion der verallgemeinerten Koordinaten.
F y , y ' , x Lq , q , t entsprechen die Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung den
gesuchten Lösungen.
Die allgemeine Lösung dieser f Differenzialgleichungen 2. Ordnung benötigt 2f
Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen des physikalischen Problems
bestimmt werden.
d L L
=
dt q
q
d L L
=
dt q i q i
In der Mechanik heißen diese Gleichungen Lagrange-Gleichungen 2. Art.
Für mehrere Freiheitsgrade f müssen wir die verallgemeinerten Koordinaten
qi nehmen, die Lagrange-Gleichungen 2. Art lauten:
d L L
=
dt q i q i
50
Die Lagrange-Funktion ist eine mathematische Hilfsfunktion, die keiner direkt
messbaren physikalischen Größe entspricht.
Mit der Korrespondenz
y x qt und
Sir William Rowan Hamilton
4. August 1805 Dublin
† 2. September 1865 bei Dunsink
i=1,... , f Zyklische Koordinate
Falls eine verallgemeinerte Koordinate qk nicht explizit in der LagrangeGleichung vorkommt,
L
=0
qk
i=1,... , f Für komplizierte Systeme ist die Aufstellung der Lagrange-Funktion einfacher
als die Aufstellung der Bewegungsgleichungen nach Newton, da die LagrangeFunktion eine einzige skalare Größe ist.
nennt man diese Koordinate zyklisch. Aus den Lagrange-Gleichungen folgt die
Erhaltung des zugehörigen verallgemeinerten Impulses pk
51
d L
d
L
=
p =
=0
dt qk dt k q k
52
13
3.3. Einfache Anwendungen
Die Lösung konkreter Probleme erfordert
z
A) schiefe Ebene, reibungsfrei
s
1. Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q = q1 , ..., qf und Angabe der
Transformation zu kartesischen Koordinaten xi=x i(q,t)
2. Bestimmung der Lagrange-Funktion
mg
2
2
1. Die Weglänge s = x z
werden. x = x(s) = s cos L q , q ,t x
kann als verallgemeinerte Koordinate gewählt
y=0
z = z(s) = s sin 2. Das System besitzt einen Freiheitsgrad. Die kinetische Energie ergibt sich als
3. Aufstellen der Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2. Art)
T=
4. Bestimmung von Erhaltungsgrößen
m 2 2 2 m
m
x y z = s cos 2s sin 2 = s 2
2
2
2
und die potenzielle Energie ist
5. Lösung der Bewegungsgleichungen (unter Verwendung der Erhaltungsgrößen)
U = m g z = m g s sin .
Die Lagrangefunktion lautet
L = TU =
6. Bestimmung der Integrationskonstanten
m 2
s mg ssin 2
Die Lagrangegleichung 2. Art lautet (q = s)
7. Diskussion der Lösung
53
54
B) Pendel mit fester Länge l
3. Bewegungsgleichung
d L L
=
dt s
s
0
x
l
d
m s =m g sin dt
Nebenbedingungen:
y=0
l2 = x 2 + z 2
z
m s̈ =m g sin Das System hat einen Freiheitsgrad, als verallgemeinerte Koordinate bietet
sich der Winkel an.
4./5. Lösung durch Integration
x = l sin z = l cos m 2 2
m 2 2 2 m
2
2
x y z = l cos l l sin =
2
2
2
Die potenzielle Energie muss beim
U = m g z = m g l cos g
st = t 2 sin v 0 t s0
2
T=
Energieerhaltung
„Runterfallen“ abnehmen.
E = T U =
d L d
2
2
= m l = m l ¨
dt dt
g
¨ = sin l
m
m 2
2
s t m g st sin = v0m g z0=const.
2
2
55
L
= m g l sin 56
14
Diese Differenzialgleichung ist nur formal lösbar mit Hilfe von elliptischen Integralen.
Das elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet:
B) Pendel mit fester Länge l
0
Nebenbedingungen:
y=0
l2 = x2 + z 2
x
l
z
F k , =
0
d
1k 2 sin 2 Die Lösung für das Pendel ist gegeben durch F(k,)=t.
Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhängig von der Amplitude des Pendels.
z-Achse nach oben!
Das System hat einen Freiheitsgrad, als verallgemeinerte Koordinate bietet
sich der Winkel an.
x = l sin z = l cos m 2 2 2 m
m 2 2
2
2
x y z = l cos l l sin =
2
2
2
U = m g z = m g l cos T=
d L d
2
= m l2
=ml ¨
dt dt
g
¨ = sin l
L
=m g l sin 57
58
Drei verschiedene Anfangsauslenkungen /2-0.2, /2 und /2+0.2.
Für kleine Winkel sin g
¨ =0
l
2
t = sin t , ¨ = - sin t
2!
g
l
g
2
Lösung falls - = 0 ,
=
=
T=2!
.
l
l
T
g
Für kleine Auslenkung ist das Pendel isochron, T ist unabhängig von der Amplitude.
m
x
d L d
= m x = m ẍ
dt x
dt
L
= k x
x
Nebenbedingungen y = 0, z = 0
1 Freiheitsgrad
L=T U =
} m ẍ kx = 0
0
t
2 ei
0
t
= Acos
0
t Bsin
0
t
mit
0
=
k
m
Mit Hilfe der Additionstheoreme für Winkelfunktionen lässt sich die Lösung
auch schreiben als
x t = C cos Eine verallgemeinerte Koordinate q = x
Die rücktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage.
F=-kx
Die Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U,
k
U = + x2
2
m 2 k 2
x x
2
2
Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet
xt = 1 ei
C) ungedämpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)
k
Die Lagrangefunktion lautet
0
t
C = Amplitude der Schwingung, 0 = Kreisfrequenz der Schwingung,
= Phasenverschiebung
0
= 2 !v 0 =
2!
k
=
T
m
v0 = Frequenz, T = Periodendauer
59
60
15
John William Strutt, seit 1873 3. Lord Rayleigh
12. 11. 1842 in Langford Grove, Meldon, England
† 30. Juni 1919 Terlins Place bei Witham, England
Nobelpreis Physik 1904
3.4 Reibung
3.5. kompliziertere Beispiele
3.5.1 Massenpunkt auf einem Kreiskegel
Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die
Berücksichtigung von Reibung.
Reibungskräfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit. In kartesischen
Koordinaten lassen sich Reibungskräfte durch folgenden Ansatz beschreiben:
z
#
g
F diss ,i = x i
Diesen Kräften kann kein Potenzial zugeordnet werden.
Wir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als:
3N
D x =
i =1
3N
i 2
x
2 i
D q , q , t =
i =1
i
2
[ x q , q , t ]
2 i
2
2
obiger Form erhalten wir v . Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion
der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung.
Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung berücksichtigt werden.
2
2
2
2
2
2
" z tan = x y z tan = 0
Sie ist befriedigt, wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom
Nullpunkt und den Winkel (Drehung um die z-Achse) entsprechend
x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos i=1,... , f 61
2. Man schreibt kinetische Energie T , potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion
L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf:
T =
x
1. Man führe geeignete generalisierte Koordinaten ein, die die Nebenbedingungen
automatisch erfüllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind. Die
Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet:
Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist – Fdiss v. Für die Reibungskraft mit
D
d L L
= 0
dt q i qi
q i
Massenpunkt, der sich im
Schwerefeld reibungsfrei auf
einem Kegel bewegt.
r
m 2
x y 2 z 2 = m r 2 r 2 2 sin 2 2
2
einführen, also Kugelkoordinaten mit $ = = const benutzen.
62
Die Lagrange-Funktion hängt nicht explizit von der Zeit ab, so dass der Energieerhaltungssatz gilt:
T U =
m 2
r r 2 2 sin 2 m g r cos = E
2
U = m g z = m g r cos L =
m 2
r r 2 2 sin 2 m g r cos 2
3. Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2. Art auf, und formuliere die Erhaltungssätze:
d L L
2
2
= m r̈ m r sin m g cos = 0
d t r
r
=
L
d
d L
2
m r 2 sin
=
= 0
dt dt
L hängt nicht explizite von ab. Die entsprechende Erhaltungsgröße ist die z-Komponente
des Drehimpulses, da dieses Problem gegenüber Drehungen um die z-Achse invariant ist.
2
63
2
lz
2
E =
2
m r sin lz
m 2
m g r cos = const.
r 2
2 m r 2 sin 2 Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines
Massenpunktes im Ersatzpotential
2
U eff r =
2
m r sin
=l z
4. Man löse die Lagrange-Gleichungen 2. Art unter Ausnutzung der Erhaltungssätze.
Jede Erhaltungsgröße stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar, spart
also eine Integration (DGL 1. Ordnung!). Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen
(DGL 2. Ordnung!) ersetzt werden.
Elimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt
lz
2
2 m r sin 2 m g r cos 64
16
Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch lösen können, beschränken wir uns
auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes
3.5.2 Doppelpendel
y
U eff r x
l1
m g r cos g
1
E
m1
r
r1
2
Ersatzpotential des Massenpunktes auf einem Kegel
m2
r2
Als verallgemeinerte Koordinaten wählen wir die beiden Winkel 1 und 2:
Ist der Drehimpuls Null, l z = = 0 , rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung
g cos in die Spitze hinein. Ist ein Drehimpuls vorhanden, dann zeigt die Abbildung,
x 1 = l 1 sin 1
y 1 = l 1 cos 1
z1 = 0
dass die Bewegung ständig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht,
der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der
Höhe z1 = r1 cos und z 2 = r2 cos mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem
Kegelmantel, er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen.
x 2 = l 1 sin 1 l 2 sin 2
y 2 = l 1 cos 1l 2 cos 2
z2 = 0
65
Daraus folgt die kinetische Energie,
66
Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen
m1 2
m
x y1 2 z1 2 22 x 22 y 22 z22 2 1
m
m
= 1 l 21 12 2 [ l 12 12l 22 22 2l 1 l 2 cos 12 1 2 ]
2
2
m1 m2 l 1 ¨ 1 m2 l1 l 2 ¨ 2 cos1 2 2 1 2 sin 1 2 = m2 l 1 l 2 1 2 sin 1 2 m1 m2 g l 1 sin 1
2
T =
m 2 l 22 ¨ 2 m2 l 1 l 2 ¨ 1 cos1 2 1 1 2 sin 1 2 = m2 l 1 l 2 1 2 sin 1 2 m2 g l 2 sin 2
.
Zusammen mit der potentiellen Energie U = m1 g y 1 m2 g y 2 erhalten wir L=T-U
Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt
werden. Es wäre aber sehr schwierig, die verschiedenen Kopplungsterme im
Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen.
m m
m
L = 1 2 l 21 1 2 2 l 22 2 2 m2 l 1 l 2 1 2 cos1 2
2
2
.
m1m2 g l1 cos1 m2 g l 2 cos2
Für kleine Schwingungen gilt sin 1 2 12 und cos 12 1 . Auch
sonst lassen wir alle in i quadratischen (oder höheren) Terme weg:
Lagrangegleichungen 2. Art aufstellen:
d L
L
=
dt 1 1
l2
m1 m2 l 1 ¨ 1 m 2 l 2 ¨ 2 m1 m 2 g 1 = 0
m2 l 2 ¨ 2 m2 l 1 ¨ 1 m 2 g 2 = 0
L
d L
=
dt 2 2
67
68
17
Der Ansatz
1 t a i
= 1 e
2 t a2
führt zu
2
2
m 1 m 2 g l 1
m 2 l 1
Im Fall m1 << m2 erhalten wir
t
2
2
m 2 l 2
m2 g l 2
2
2
a1
= 0
a2
2
gl 2
2
m2 l 1 l 2
4
=
2
l1l2
m1
g m1 m2 l 1 l 2
1± 1 4
2
m1
l1 l 2
m1 m2 l 1 l 2 2
l2
a
l1 2
a1 a 2
Im Fall m1 >> m2 erhalten wir
= 0
ist eine quadratische Gleichung für 2. Sie hat die Lösungen +2 und -2,
2
±
a1 Im ersten Fall schwingen die Massen gegenläufig. Im zweiten Fall bilden die beiden
Stangen l1 und l2 eine gerade Linie.
Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Lösung,
wenn die Determinante verschwindet. Diese Bedingung
m1m 2 gl 1
m 2 l 1l 2
m1 l 1 l 2
g
l 1l 2
g
g
l2
und
2
g
l1
Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel. In diesem Fall schwingen die Pendel
praktisch unabhängig voneinander. Weil m1 so groß ist, wird seine Schwingung durch
das „Anhängsel“ m 2 praktisch nicht gestört.
69
70
Im Fall m1 = m 2 = m und l 1 = l2 = l erhalten wir
2
±
=
g
2± 2
l
mit a1 = %
a2
4. Hamiltonformalismus
2
Für die praktische Lösung von Problemen bietet der Hamiltonformalismus meist
keinen Vorteil gegenüber dem Lagrangeformalismus. Allerdings bietet der
Hamiltonformalismus einen direkten Ausgangspunkt für die Quantenmechanik.
Der Begriff des Phasenraumes ist in vielen Gebieten der Physik
von großer Bedeutung.
Dies ist entweder eine schnellere gegenläufige oder eine langsamere gleichläufige
Schwingung. In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den
Faktor 2 größer.
4.1. Hamilton-Funktion
Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen
Prozessen.
Die Lagrangefunktion L q , q ,t ist eine Funktion der verallgemeinerten
Koordinaten und Geschwindigkeiten. Im Hamiltonformalismus werden die
verallgemeinerten Geschwindigkeiten q i durch die verallgemeinerten Impulse
pi ersetzt
Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster,
welches exponentiell auf Störungen reagiert. Das Verhalten ergibt sich aus der
nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten).
pi =
71
L
q i
i=1,&, f 72
http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/lagrange/doublependulum.html
18
Damit können wir die q i als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und
Impulse ausdrücken
Beispiel: linearer harmonischer Oszillator
m 2 k 2
x x
2
2
p
L
= m x
x =
p=
x
m
2
p
k
m p
p2
k
H x , p = p x2 =
x2
m
2 m
2
2m 2
qk = qk q , p , t L=
Zur Vereinfachung der Notation verwenden wir die Abkürzungen
q = q1 ,&,q f ,
q = q1 ,&, qf ,
p = p1 ,&, p f Die Hamiltonfunktion ist definiert als
f
H q , p , t = q i q , p , t p i Lq , q q , p ,t ,t Die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse werden als von einander
unabhängige Größen betrachtet,
i=1
Da die q i q , p , t als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und Impulse
ausgedrückt wird, ist die Hamiltonfunktion auch nur von q und p abhängig.
pi
=0 .
qk
73
74
Für feste Randwerte
4.2. kanonische (Hamiltonsche) Gleichungen
qt 1 = qt 2 = 0
Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamiltonsches Prinzip)
erhalten wir
t2
f
S [ q , p] = dt pi q i pi q i t2
S [q] = dt L q , q ,t = 0
i=1
t1
H
H
qi pi
qi
pi
t1
Der zweite Term kann durch partielle Integration (fg' = fg| - f'g)
umgeschrieben werden
besagt, dass die tatsächliche Bahnkurve q(t) die Wirkung S minimiert. Die
Variation nach f Funktionen qi(t) mit festen Randwerten für ein System mit
t2
t2
S [q , p ] = dt
t1
f
i =1
t2
dt pi qi = pi qi t dt p i qi
f Freiheitsgraden liefert f Differenzialgleichungen 2. Ordnung (LagrangeGleichungen).
Wir ersetzen L durch H
t1
1
Nach Ausnutzen der Randwerte erhalten wir
t2
pi qi H q , p , t = 0
f
[
S [q , p] = dt q i t1
i=1
]
H
H
pi p i qi = 0
pi
qi
Da q und p unabhängige Variablen sind, müssen wir nach 2f-Größen variieren.
Da die Variationen pi und qi beliebige Funktionen sind, müssen die ( )
Klammern Null werden.
75
76
19
Kanonische (Hamiltonsche) Gleichungen
q i =
H
pi
p i = H
q i
Die kanonischen Gleichungen für die x-Koordinate lauten:
i = 1,... , f p x = sind die kanonischen oder Hamilton'schen Gleichungen. Die kanonischen Gleichungen
sind 2f Differenzialgleichungen 1. Ordnung und völlig äquivalent zu den f
Differenzialgleichungen 2. Ordnung (Lagrange-Gleichungen 2. Art).
p = gradU r , t ,
m 2 2 2
m r
U r , t =
x y z U x , y , z , t 2
2
2
px
H
=
px
m
p
r =
m
Ableiten des zweiten Ausdruckes und einsetzen des Ergebnisses in den ersten gibt
Die verallgemeinerten Impulse sind
L
= m x ,
p x=
x
x =
Die Ausdrücke für die y- und z-Koordinate sind ähnlich, so dass die kanonischen
Gleichungen in Vektorform zusammen gefasst werden können.
Bewegung eines Teilchens in einem Potenzial U(x,y,z,t):
L =
U
H
= ,
x
x
p y = m y ,
p
r¨ =
m
p z = m z
m r¨ = gradU r , t
Die Hamiltonfunktion lautet:
3
H q , p , t =
q
i
p i Lq , q , t =
i =1
2
x
i=x , y , z
2
pi
p 2 p 2
m p
p x y z U r , t
m i 2 m
m
m
Die Äquivalenz mit den Lagrangegleichungen bzw. den Newtonschen Axiomen ist
hoffentlich offensichtlich.
2
p p 2y p 2z
p
U r , t =
U r , t =
2m
2m
77
78
Energieerhaltung:
d
dH
=
dt
dt
f
p i q i L =
i=1
d
dt
f
4.3. Phasenraum
L H
L
=
qi L = t
t
i=1 q i
Die Angabe von 2f Werten qi ,... , qf und p1 , ... , pf legt den Zustand eines
Systems zu einer bestimmten Zeit fest. Wir ordnen nun jedem Zustand einen
Punkt in einem abstrakten, 2f-dimensionalen Raum zu, der durch die Größen qi
Wenn L nicht explizit von der Zeit abhängt, ist der Klammer-Ausdruck
konstant (siehe auch Kapitel 5.1 Homogenität der Zeit). Wenn die kinetische
Energie nur quadratisch von den Geschwindigkeiten
abhängtq i
f
f
i=1
i =1
qL qi = mi q 2i = 2T
f
T =
i =1
und pi aufgespannt wird. Dieser Raum wird Phasenraum genannt.
mi 2
q
2 i
Die zeitliche Entwicklung eines Systems wird durch eine Kurve im Phasenraum
dargestellt.
2
Beispiel: linearer harmonischer Oszillator
Dann ist die Hamiltonfunktion H = 2T - L
p
H q , p , t = T U
gleich der Energie. Wenn die Koordinaten kartesisch sind und das Potenzial nicht
von den Geschwindigkeiten abhängt, hat die Hamiltonfunktion die obige einfache
Form als Summe von kinetischer und potenzieller Energie, im allgemeinen Fall gilt
dieser Zusammenhang nicht.
79
H x , p =
k
p
x2
2m 2
pmax
x
xmax
80
20
4.4 Poissonklammer
Da die Energie erhalten bleibt H(x, p) = E = const.
Wenn ein System durch qi und pi bestimmt ist, kann eine beliebige
1
k 2
p2 x =1
2m E
2E
physikalische Größe nur von diesen Variablen und der Zeit abhängen.
Zwei physikalische Größen
ist eine Ellipse im Phasenraum. Die Halbachsen der Ellipse sind
a =
2E
k
b =
F = F q 1 ,& , q f , p 1 ,& , p f ,t x2 y 2
= 1
a2 b2
2m E
K = K q1 ,& , q f , p 1 ,& , p f , t seien gegeben.
Wir definieren die Poissonklammer in der Form
Das Phasenraumvolumen ist gleich der von der Kurve H(q, p)=E eingeschlossenen
Fläche. Für die Ellipse des harmonischen Oszillators erhalten wir
f
{F , K } = i=1
2!E
2! E
=
V PR E = ' dq dp = ! a b =
k / m
H q , p(E
F K
F K
q i pi
pi q i
Eigenschaften:
{F , K } = { K , F }
{F , F } = 0
81
82
Die vollständige Zeitableitung einer beliebigen physikalischen Größe F(q,p,t)
ist
Im Hamiltonformalismus sind q und p unabhängige Variablen
pi
q
= i = ij
pj qj
Damit erhalten wir z. B.
qi
pi
=
=0
pj qj
f
dF
F
F
q i =
dt
t
i=1 q i
F
{F , H }
=
t
qi pi
=
=0
t
t
{ qi , q j } = { pi , p j } = 0
{ p i , q j } = ij
f
i=1
f
{F , p j } =
i =1
i=1
p i
i
unter Ausnutzung der kanonischen Gleichungen.
Wenn F nicht explizit von der Zeit abhängt, dann ist diese Größe eine
Erhaltungsgröße, falls die Poisson-Klammer mit H verschwindet.
Wenn wir in der Poissonklammer für K=qj oder K=p j einsetzen, erhalten wir
{F ,q j} = f
Fp
f
F qj
F
F
F qj
ij = =
qi pi
pi qi
pj
i =1 p i
z. B.
F=H
H
H
dH
=
{H , H } =
dt
t
t
f
F pj
F pj
F
F
ij =
=
q i pi
pi qi
qj
i=1 q i
Falls H nicht explizite von der Zeit abhängt, folgt die zeitliche Konstanz von
H, d.h. die Energie des Systems bleibt erhalten.
83
84
21
4.5 Hamilton-Jacobi-Gleichung
5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze
Durch Variablentransformation (q, p) -> (Q,P) lässt sich eine neue
Hamiltonfunktion H' finden, für die gelten soll:
Unter Symmetrie versteht man die Invarianz unter einer bestimmten Operation.
Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber
Symmetrieoperationen invariant ist, d.h. im Erscheinungsbild unverändert ist.
W q , Q ,t )0
H ' Q , P , t = H q , p , t t
W q , t W q , t
W q , t
H q 1 ,& , q f ,
,&,
,t =0
q1
qf
t
Man unterscheidet diskrete Symmetrien:
Spiegelung
Drehungen um einen bestimmten Winkel (z.B. 90°)
Für die tatsächliche Bahn entspricht die Größe W der Wirkung. Die HamiltonJacobi-Gleichung ist eine partielle DGL 1. Ordnung für die Funktion W. Sie kann
ebenso wie die Lagrange-Gleichungen oder Hamiltonschen Gleichungen als
Grundgleichung für die Bewegung mechanischer Systeme aufgefasst werden.
Allerdings dient die Hamilton-Jacobi-Gleichung weniger zur Lösung von
konkreten mechanischen Bewegungen, sondern zeigt Beziehungen zwischen
Mechanik, Optik und Quantenmechanik.
85
Verschiebung um Gittervektoren im unendlichen Kristall (Translationsinvarianz)
kontinuierliche Symmetrien, die von einem kontinuierlichen Parameter
(z. B. Drehwinkel um den Mittelpunkt einer Kugel) abhängen.
87
86
Die physikalischen Systeme und deren Dynamik werden durch mathematische Modelle
beschrieben.
Symmetrien müssen sich also in den Bewegungsgleichungen oder der Lagrange-Funktion zeigen. Da Symmetrien Invarianzen in der Lagrange-Funktion entsprechen und
jede Invarianz einem Erhaltungssatz entspricht, folgt aus jeder Symmetrie des
Systems ein entsprechender Erhaltungssatz.
88
22
Galileo Galilei
15. Februar 1564 in Pisa
† 8. Januar 1642 in Arcetri bei Florenz
Drehmatrizen
Wichtige Drehmatrizen für Drehungen um den Ursprung um einen festen Winkel:
Galilei-Transformation:
Die Galilei-Transformation beschreibt die Transformation von
einem Inertialsystem (x1, x2, x 3, t) in ein anderes Inertialsystem
(x1*, x 2*, x3*, t*).
1
0
0
0 cos sin 0 sin cos x-Achse als Drehachse
Dabei sind folgende Transformationen möglich:
1. Räumliche Verschiebung zum r = v t
2. Räumliche Verschiebung um konstanten Vektor r0
cos * 0 sin *
0
1
0
sin * 0 cos *
cos sin 0
sin cos 0
0
0
1
y-Achse als Drehachse
z-Achse als Drehachse
Eine beliebige Drehung lässt sich durch drei aufeinander folgende
Drehungen mit bestimmten Winkeln um die Koordinatenachsen erzielen.
Es werden also drei Winkel für die Beschreibung einer beliebige Drehung
benötigt.
3. Drehung, die durch eine Matrix ij beschrieben wird.
4. Zeitliche Verschiebung um t0.
z*
z
r *
r
y
x
y*
v tr 0
x*
89
Eulersche Winkel sind eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung von
Objekten im dreidimensionalen Raum. Es handelt sich um drei Winkel, welche
jeweils eine Drehung um bestimmte Achsen beschreiben und somit eine
Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen, z.B. dem Laborsystem und
dem körperfesten System, definieren.
Es existieren verschiedene Definitionen für die Eulerschen Winkel, die sich in
90
der Wahl der Drehachsen unterscheiden.
Luftfahrtnorm (DIN 9300)
Der Gierwinkel (Steuerkurs, Azimut, heading, azimuth angle) dreht in der xg-yg-Ebene um die
In der Luftfahrtnorm ist die Transformation vom erdfesten (geodätischen, Labor-) System
mit dem Index g in das flugzeugfeste (körperfeste) System mit dem Index f über die drei
Lagewinkel , und definiert:
überführt.
zg-Achse. Dabei wird die xg-Achse in die Knotenachse k1 und die y g-Achse in die Knotenachse k2
Der Nickwinkel (Längsneigung, pitch angle, inclination angle) dreht in der xf-zg-Ebene um die
k2-Achse. Dabei wird die k1-Achse in die xf-Achse und die zg-Achse in die Knotenachse k3
überführt.
Der Rollwinkel (Querneigung, Hängewinkel, bank angle) dreht in der y f-zf-Ebene um die xfAchse. Dabei wird die k2-Achse in die yf-Achse und die k3-Achse in die zf-Achse überführt.
Die Transformationsmatrix setzt sich dann aus dem Produkt von drei Einzeldrehmatrizen für
die jeweiligen Winkel zusammen. Dabei ist die Drehreihenfolge von rechts nach links zu lesen:
1
0
0
cos , 0 sin , cos - sin - 0
T g f = 0 cos+ sin +
sin - cos- 0
0
1
0
0 sin + cos+ sin , 0 cos,
0
0
1
91
92
23
5.1. Homogenität der Zeit
Die allgemeine Galilei-Transformation
Homogenität der Zeit: Das Ergebnis eines Experiments hängt nicht davon ab,
wann es durchgeführt wird.
3
x i * = ij x j vi t r 0i
i=1, ... , 3
j =1
t * = t t0
Eine Drehung wird durch 3 Winkel festgelegt, vi und r0i hängen jeweils von 3
Parametern ab, t0 liefert einen weiteren. Damit hängt die Galilei-Transformation von
10 Parametern ab.
Die Transformation rv rv * = rv , t t * = t t 0 beschreibt eine zeitliche
Verschiebung um eine konstante Zeit t0. Die Uhren „ticken“ in beiden Systemen
gleich schnell dt* = dt.
Da
Wir betrachten ein System von N-Massepunkten mit der Lagrange-Funktion
N
L r1 , ... , rN , r1 , ... , rN ,t =
N
rv * = rv , folgt auch
d rv *
dt *
=
d rv
dt
r v * = r v Für die Lagrange-Funktion gilt daher
v1
1
m r2 U r r 2 v=1 v v v=2 µ=1 v µ v µ
L * ... , rv * ,... , rv * , ... , t * = L ... , rv ,... , rv , ... , t t 0 und suchen Invarianzen bei der Galilei-Transformation zwischen zwei
Inertialsystemen für abgeschlossene Systeme mit paarweiser Wechselwirkung.
Notation:
v
v
v
rv = q1 , q2 ,q3 93
Die Lagrange-Funktion eines abgeschlossenen Systems hängt aber nicht
explizit von der Zeit ab, so dass L* = L. Vollständige Zeitableitung:
94
oder
L
dL L
L
=
q q̈
dt
t
qi i
q i i
i
i
Für unsere Lagrange-Funktion gilt
0
L
= mi qi ,
q i
Wir ersetzen mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen die partiellen Ableitungen
L d L
=
qi dt q i
m q
i
i
L
q
qi i
i
= 2T
damit erhalten wir
2T – T + U = T + U = E = const.
Die Energie eines abgeschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße, die sich
aus der Homogenität der Zeit ergibt.
Daraus folgt
2
i
L
q = mi q i2
q i i
i
d
dL
d L
L
d L
=
q q̈ = q =
dt
dt q i i
q i i
dt q i i dt
i
i
i
d
dt
L
q L = const.
qi i
i
L
q L = 0
q i i
95
96
24
5.2. Homogenität des Raumes
Die Ableitung der Lagrange-Funktion nach den verallgemeinerten
Geschwindigkeiten q i heißt verallgemeinerter Impuls
Homogenität des Raumes : Das Ergebnis eines Experiments hängt nicht davon
ab, wo es durchgeführt wird.
pi =
Die Transformation
rv rv * = rv n ,
t t*=t
(In kartesischen Koordinaten entsprechen die verallgemeinerten Impulse dem Impuls.)
beschreibt eine konstante Verschiebung um , wenn n ein Einheitsvektor in die
Richtung der Verschiebung ist.
Wegen drv* = drv ändern sich die Geschwindigkeiten nicht r v * = r v .
*
L
q i
z.B. freies Teilchen, U = 0
m
T = x y z 2
L T
=
= m x = p x
x
x
2
*
r v r µ = rv rµ hängen nicht von ab. (d. h. die
Die Koordinatendifferenzen
Abstände zwischen Massepunkten sind unverändert). Damit ist die Lagrange-Funktion unseres abgeschlossenen Systems invariant unter dieser Transformation.
2
2
Damit entspricht die Erhaltungsgröße
L*& ,r v ,&, r v ,&t = L&, rv n ,& , r v ,&t *
*
*
N
dL
d
L
=
n =
d =0 v=1 rv
dt
d
dt
N
Lr n = 0
v=1
v
unter Nutzung der Lagrange-Gleichung 2. Art
97
N
v=1
v =1
v
mit P, dem Gesamtimpuls, dem Impulserhaltungssatz. Da n ein beliebiger
Vektor ist, folgt aus der Konstanz von n.P die Konstanz von P.
98
r v = r v O rv * rµ* 2 = rv rµ 2 O2 *
L = L & , rv
n × rv ,& , r v n ×r v , &, t * 2
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße, die
aus der Homogenität des Raumes folgt.
N
d
Lr n = dt
Pvn = ddt Pn = 0
2
2
Wir berechnen die Ableitung nach 5.3. Isotropie des Raumes
Isotropie bedeutet, dass sich die Eigenschaften eines abgeschlossenen
Systems bei einer beliebigen Drehung des Gesamtsystems nicht ändern.
rv r = rv n× rv *
r
r
N
n×r
Die Transformation beschreibt
nur Drehungen um kleine Winkel
korrekt (linear in ).
d pv
dL
d
=
n × rv pv n × rv d =0 v =1 dt
dt
*
=
*
N
Unter Nutzung der Lagrange-Gleichungen ersetzen wir L/ rv und pv =
*
t t =t
entspricht einer infinitesimalen Drehung um einen konstanten Winkel um die
Drehachse n (|n|=1).
n
N
*
dL
L
L
n ×r v =
n× rv d =0 v=1 rv
r v
v=1 =
d
dt
d
dt
N
L
r v
N
p n× r = ddt n r × p v
v
N
nl =
v
v= 1
v
v
v=1
v= 1
d
nL
dt
mit L dem Gesamtdrehimpuls des Systems.
99
100
25
Runge-Lenz-Vektor
Da L nur von 2 und höheren Gliedern abhängt, ist die Invarianzbedingung
d
dL
= 0 = nL
dt
d =0
Für Zentralpotenziale der Form V(r)= - /r (z. B. Gravitation) ist der Laplace-RungeLenz Vektor eine Erhaltungsgröße:
Da n beliebig ist, folgt die Konstanz von L.
Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße,
die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt.
A = v × LV r r
Der Runge-Lenz-Vektor liegt in der Bahnebene und zeigt zum Perihel
(zentrumnächster Punkt) der Bahn.
Zusammenfassung
Damit erhalten wir 7 Erhaltungsgrößen, die auch Bewegungsintegrale genannt
werden.
Homogenität der Zeit
--> Energieerhaltung, E
Homogenität des Raumes --> Impulserhaltung, p
Isotropie des Raumes
--> Drehimpulserhaltung, L
Erhaltungssätze sind von der Form Q x , x , t = const. und stellen Differenzialgleichungen 1. Ordnung dar. Sie können die Lösung eines Problems wesentlich
erleichtern.
Den 10 möglichen Parametern in der Galileo-Transformation entsprechen
genau 10 Erhaltungsgrößen. Mehr Erhaltungsgrößen sind nicht möglich.
101
Der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen kann mit dem
Hamilton'schen Prinzip viel allgemeiner formuliert werden.
102
6. Erzwungene Schwingungen
Ein durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregtes (gezwungenes)
System führt erzwungene Schwingungen durch. Bedeutsam sind vor allem periodische
Erregungen und im Besonderen die harmonische Anregung.
Amalie „Emmy“ Noether
* 23. März 1882 in Erlangen
† 14. April 1935 in Pennsylvania, USA
Emmy Noether (1882 – 1935): Noether-Theorem
Jede kontinuierliche Transformation, unter der die Wirkung S invariant
ist, führt zu einer Erhaltungsgröße.
Symmetrie
S* = S
Erhaltungsgröße
--->
Q x , x ,t =const .
Erzwungene Schwingungen sind von großer praktischer Bedeutung, z.B. führen
mechanischen Uhren und auch Musikinstrumente erzwungene Schwingungen durch.
Symmetrie ist hier völlig allgemein gefasst und beschränkt sich nicht
auf die Galilei-Transformation.
(z.B. folgen die Eigenschaften von Elementarteilchen aus den
Symmetrien einer unitären Rotationsgruppe SU(3). Murray Gell-Mann
postulierte 1964 aufgrund von mathematischen Symmetrien den Aufbau
des Protons aus drei Quarks).
Reale schwingenden Systeme unterliegen natürlich einer Dämpfung. Sie benötigen
deshalb für eine dauerhafte Schwingung mit konstanter Amplitude immer einen äußeren
Antrieb.
103
http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm
104
26
Das einfachste System ist ein 1D harmonischer Oszillator, der durch eine äußere Kraft
f(t) angetrieben wird. Die äußere Kraft soll von der Zeit abhängen. Dieser Kraft lässt
sich ein Potenzial zuordnen:
U e = f t x
f t = grad U = Aus den Lagrangegleichungen 2. Art folgt die Bewegungsgleichung
d L
L
=m ẍ=
= k x f t d t x
x
U e
f t x
=
x
x
mit der Eigenfrequenz
Die Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators mit dieser äußeren Kraft f(t)
lautet:
m 2 k 2
x x f t x
2
2
L x , x , t =
2
0
ẍ 0
=
x =
f t m
k
m
Die Eigenfrequenz entspricht der freien Schwingung des Systems ohne äußere Anregung.
Da jedes System Verluste hat, lassen wir als Verallgemeinerung noch eine Reibungskraft
zu, die zu einer Dämpfung der Schwingung führt. Die Reibungskraft kann durch die
Rayleighsche Dissipationsfunktion beschrieben werden.
D
= 2 . m x
x
D = . m x 2
Rein prinzipiell ist dieses Modellsystem von allgemeiner Bedeutung, da es für
beliebige Schwingungen um eine Ruhelage mit kleinen Amplituden angewandt
werden kann. Dieses Modell könnte zum Beispiel auf die Schwingung eines
zweiatomigen Moleküls in einem elektromagnetischen Feld angewandt werden.
Die zu lösenden DGL lautet dann:
2
0
ẍ 2 . x x =
105
Z t = Z hom t Z part t Wir bestimmen die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung, also die Lösung
des gedämpften, harmonischen Oszillators mit einer äußeren Kraft.
Dazu betrachten wir zunächst eine periodische Kraft f(t) = fcos t.
Dabei ist Zpart (t) eine partikuläre (also irgendeine spezielle) Lösung, und
Z hom(t) ist die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung.
Die Erregerfrequenz ist im allgemeinen unterschiedlich zur Eigenfrequenz 0.
2
0
Z̈ hom 2 . Z hom f
x =
cos t m
2
0
f
exp i
Z =
m
Z hom = 0
Wir setzen
Z hom t = C expi v t t
mit einer komplexen Amplitude C ein und erhalten
2
identisch mit
2
0
Homogene Lösung
Alle Größen in dieser Gleichung sind reell. Daher ist der Realteil (Re) von
Z̈ 2. Z 106
Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist von der Form
Allgemeine Lösung
ẍ 2. x f t m
v 2 i . v x t = Re Z t 2
0
= 0
Diese Bedingung hat die Lösungen
Wir können also eine komplexe Kraft ansetzen und anschließend den Realteil der
Lösung nehmen. Dieser Lösungsweg ist üblich und etwas einfacher. Er beruht darauf,
dass die DGL linear in x ist und dass alle Koeffizienten reell sind.
107
v 1,2 = ±
2
0
2
. i . = ±/0 i .
Dabei haben wir 0 = ( 02 - 2)½ eingeführt.
108
27
B) Für > 0 erhalten wir zwei imaginäre Lösungen:
v 1,2 = ± 2
0
2
. i . = ±i / 0 i .
1 = - i1 und 2 = - i2, wobei 1 und 2 beide positiv sind. Damit erhalten wir eine
exponentiell abfallende Lösung der Form
x hom t = A exp.1 t B exp .2 t
.0
0
Es findet keine Schwingung im eigentlichen Sinne statt, sondern das System kriecht
in die Ruhelage zurück.
C) Zwischen der periodischen Lösung für 0 < und der exponentiell abfallenden
für 0 > gibt es den Grenzfall 0 = . Dann fallen die beiden Frequenzen
zusammen und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet
x hom t = A B t exp .t .=
0
Dies ist der Grenzfall der aperiodischen Bewegung.
Ein Beispiel für schwingende Systeme in diesem Zustand sind die Stoßdämpfer von
110
Autos.
Partikuläre Lösung
Suszeptibilität
Die Lösungen für die Fälle A), B) und C) hängen von zwei Integrationskonstanten ab.
Sie sind daher im jeweiligen Fall die allgemeine homogene Lösung.
Man überprüft leicht, dass
Z part t =
f
1 expi
m
t
f
exp i
m
t
Das Verhältnis zwischen der Reaktion oder Antwort (Response) des Systems und der
äußeren Störung ist dann die Suszeptibilität. Die Funktion wird auch ResponseFunktion genannt.
eine Lösung unserer DGL
Z̈ 2. Z 2
0
Z =
2
0
ist, wenn
1 =
Ein bekanntes Beispiel ist die Polarisation von Materie, wenn ein äußeres
elektromagnetisches Feld angelegt wird.
So bestimmt die elektrische Suszeptibilität e die Polarisation P = e E im
1
2i .
2
elektrischen Feld E .
Damit haben wir eine partikuläre Lösung gefunden.
Die Funktion ( ) wird dynamische Suszeptibilität genannt. Sie hängt von den
Eigenschaften ( 0 und ) des Systems ab und bestimmt das dynamische
(zeitabhängige) Verhalten. Der Grenzwert (0) heißt statische Suszeptibilität.
Die Suszeptibilität ist das Verhältnis zwischen der Auslenkung Zpart(t) des Systems
und der antreibenden Kraft fexp(it) .
Der Begriff Suszeptibilität wird allgemein dann verwendet, wenn ein System einer
äußeren Störung (etwa einer Kraft oder einem Feld) ausgesetzt wird.
111
Für kleine Störungen ist die Reaktion des Systems im Allgemeinen proportional zur
Störung. Die Response-Funktion ist dann unabhängig von der Stärke der Störung. Dies
bedeutet zum Beispiel, dass e nicht vom angelegten elektrischen Feld abhängt.
1 =
2
0
1
2 i .
2
112
28
Diskussion
Allgemeine Lösung
Wir betrachten eine periodische Kraft f(t) = f exp(i t) mit einer festen
Die allgemeine Lösung für eine beliebige Kraft f(t) erhalten wir durch die
Zerlegung der Kraft in periodische Anteile, also durch die Fouriertransformation
2
f t =
Erregerfrequenz im Fall kleiner Dämpfung < 0 .
Die komplexwertige Suszeptibilität kann durch ihren Betrag und Phase beschrieben
werden.
ai b
ai b
1
1 = 1 expi =
=
ai b ai bai b a 2b 2
2
d
t ,
f expi
=
f
2
1
d t f t exp i
2! 2
t
Da die Bewegungsgleichung linear in Z(t) ist, erhalten wir eine partikuläre Lösung als
Überlagerung (linear Kombination) vieler partikulärer Lösungen.
2
x part t = Re
f
1 expi
m
d
2
t
2
0
1
2i .
2
1 =
Für < 0 lautet die allgemeine Lösung dann:
1 =
2
0
=
2
0
2
0
1
4. 2
2 2
2
2 i .
2 2
4 . 2
2
2
tan =
,
2.
2
2
0
Für diese periodische Kraft lautet die Lösung dann:
2
f
x t = Re C exp . t i /0 t d
m
2
1 exp i
t
f
m
1 exp i
t
/0 =
2
0
2
.
113
114
Phase
Die zwei Integrationskonstanten stecken in Re C und Im C.
Für 0 müssen wir die homogene Lösung x hom des Falles B) bzw. C) nehmen.
x t = Re C exp . t i /0 t Der Realteil ergibt sich dann als
xt = A exp.t cos /0 t f
1 cos t m
0
Die Konstanten A und werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
-
Für große Zeiten wird die Lösung unabhängig von Anfangsbedingungen, da der erste
Term verschwindet:
xt = B cos t !
2
t 31/ .
-!
Eigenfrequenz
Erregerfrequenz
Diese Lösung entspricht der durch die äußere Kraft erzwungenen Schwingung im
eingeschwungenen Zustand.
B =
Die Amplitude der Schwingung ist
f
B =
1 m
f
1 m
Das Maximum der Amplitude B() liegt bei
res
Die Phase () ist die Phase der komplexen Suszeptibilität
1 =
1
02 2 2 4.2
2
,
tan =
2.
2
= arctan
=
2
0
2.2
1 =
2.
2
2
0
1
2
0
2 2
4.
2
2
Die Resonanzfrequenz liegt unter der Eigenfrequenz des Systems, die Breite der
Resonanzkurve ist proportional zu , die Höhe des Maximums proportional 1/.
2
0
115
116
29
Im statistischen Fall (=0) ist die Auslenkung B(0)=f 0/m 02, die Phase ist Null
Energiebilanz
und die Auslenkung erfolgt in Richtung der Kraft. Für kleines und << 0 gilt
= arctan
2.
2
2
0
2.
2
2
0
F diss = 2 . m x
Durch die Reibungskraft wird Energie absorbiert. Im eingeschwungenen Zustand
wird die absorbierte Leistung laufend durch die äußere Kraft in das System eingespeist.
Während der Bewegung um dx wird die Energie f diss dx absorbiert.
2.
2
0
Die absorbierte Leistung P=-fdissv oszilliert mit der Schwingung.
Die kleine negative Phase bedeutet, das die Auslenkung etwas hinter der antreibenden
Kraft zurück bleibt. Je langsamer die Kraft oszilliert, desto kleiner ist die Phase.
2
P = f diss x = 2. m x = 2 . m B
2
x t = B cos t 2
2
sin t x t = B sin t Für =0 beträgt die Phase -/2, die Auslenkung und die Kraft sind außer Phase:
x t = B cos t!/2 = B sin t Wir benötigen die zeitliche Mittelung über eine Schwingsperiode.
Das zeitliches Mittel einer Größe A(t) über eine Schwingungsperiode T ist definiert als:
f t ~ cos t
T
Für großes >> 0 geht die Phase gegen - und die Schwingung ist gegenläufig
At =
zur antreibenden Kraft.
x t = B cos t! = B cos t f t ~ cos t D Übergang zwischen gleich- und gegenläufiger Auslenkung findet in einem
Der
e
Bereich
der Größe um 0 herum statt.
r
http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm
1
A t d t
T 0
Damit erhalten wir als pro Schwingungsperiode absorbierte Leistung:
P = f diss x = 2 . m B 2
T
117
1
sin 2 t d t= 1T
T 0
2
T
sin 2 0
t d t =
sin 2 t = . m B 2
1
T
T sin 2 x dx =
[
2
1 1
2 x sin 2x
T 4
]
T =
1
2
118
Ü
Resonanzkatastrophe
Mit Hilfe der Ausdrücke für die Amplitude und Suszeptibilität können wir dieses
Ergebnis noch umschreiben.
B =
Die Resonanzkatastrophe bezeichnet die Zerstörung eines Bauwerkes oder einer
technischen Einrichtung durch angeregte Schwingungen aufgrund von Resonanz.
Die Energie wird bei periodischer Anregung in der Nähe der Eigenfrequenz des
Systems optimal übertragen und im System gespeichert. Durch weitere Energiezufuhr
schwingt das System immer stärker, bis die Belastungsgrenze überschritten ist.
f
1 m
Im 1 = Im
2
0
1
=
2 i .
2
2
0
2 .
2 2
4. 2
2
2
=2. 1 Tacoma-Narrows-Brücke
„Galloping Gertie“
Eröffnet: 1. 7. 1940
Einsturz: 7. 11. 1940
Nach Einsetzen und zusammenfassen erhalten wir:
P = f diss x = .m B2
2
= .m
2
2
f
f2
1 = Im 1 m
2m
Bauten sollten Eigenfrequenzen besitzen, die normalerweise nicht angeregt werden. In
Erdbebengebieten richtet man sich dabei nach lokal typischen Schwingungsfrequenzen der
Erderschütterungen. Beim höchsten Bauwerk 2005, dem Taipei 101, wurde ein massives Pendel
über mehrere Stockwerke zum Schutz als Schwingungsdämpfer verbaut.
Der Imaginärteil der Suszeptibilität bestimmt die absorbierte Leistung.
Die Energieabsorption erfolgt überwiegend im Frequenzbereich 0 ± .
119
Im Jahr 1850 marschierten 730 französische Soldaten im Gleichschritt über die Hängebrücke von
Angers. Die Brücke geriet in heftige Schwingungen und stürzte ein. 226 Soldaten fanden dabei
120
den Tod.
30
7. Gekoppelte Harmonische Schwingungen
Die kleinen Auslenkungen um die Ruhelage bezeichnen wir mit
Ausgehend von einer allgemeinen Lagrange-Funktion wollen wir in
harmonischer Näherung die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen eines
Systems mit vielen Freiheitsgraden bestimmen. Mit diesen Methoden lassen
sich die Schwingungen von Molekülen und Festkörpern beschreiben.
Der konstante Term beinhaltet nur eine Verschiebung der Energie ohne physikalische
Bedeutung und wird weg gelassen. Wir brechen die Reihe beim quadratischen Term ab,
diese Näherung heißt harmonische Näherung.
0
x i = qi qi
U
6.1 Eigenfrequenzen und Eigenmoden
System mit f Freiheitsgrade, die durch q1, ..., qf beschrieben werden.
f
V ij xi x j
1
m q q U q1 , ... , q f 2 i , j=1 ij i j
Die stabile Gleichgewichtslage sei bei q10,..., q f0 . Wir entwickeln U an dieser Stelle:
f
U q1 ,... , q f = U q1 ,... , q f 0
0
i=1
f
U
2 U
1
0
0
0
q q q q q j q j ...
qi 0 i i
2 i , j=1 q i q j 0 i i
T kin q , q
=
2 U
qi q j
0
1
2
f
mij q i q j
i,j=1
Hierin setzen wir q i = x i ein und kürzen die Koeffizienten mit Tij ab,
T kin Der lineare Term fällt weg, da im Gleichgewicht die Kräfte verschwinden.
=grad U
F
V ij = V ji =
mit
i,j=1
In der kinetischen Energie ist bereits der niedrigste Term quadratisch in der
Auslenkung, also
f
L 0 = L 0 q1 , ... , q f , q1 , ... , q f =
1
2
1
2
f
T ij x i x j
mit
T ij = T ji = m ij
i,j=1
121
122
In Matrizenschreibweise:
Tij und V ij sind reelle Konstanten und symmetrisch zur Vertauschung der Indizes.
Die Tij und Vij können als effektive Massen und Kraftkonstanten interpretiert
werden.
Sie beschreiben die Eigenschaften des Systems und müssen zur Berechnung der
Schwingungen bekannt sein.
T =
Im Rahmen der harmonischen Näherung wird die Lagrange-Funktion zu
x =
L0 = L 0 x 1 ,... , x f , x 1 , ... , x f 1
2
f
T
ij
x i x j V ij x i x j i, j=1
T 11 T 12
T 21 T 22
4
4
T f1 T f2
x1
x2 ,
...
xf
... T 1f
... T 2f
,
5 4
... T ff
V =
V 11 V 12
V 21 V 22
4
4
V f1 V f2
... V 1f
... V 2f
5 4
... V ff
x T = x 1 , x 2 , ... , x f Die Bewegungsgleichungen können nun in Matrixform geschrieben werden:
Die Lagrange-Gleichungen lauten
T ẍ V x = 0
f
f
j=1
j =1
T ij ẍ j = V ij x j
123
124
31
Bei xi = 0 gilt U = i,jVi,j xixj = 0 . Das Gleichgewicht ist genau dann stabil, wenn
Alle Größen in der Bewegungsgleichung sind reell. Es ist aber etwas bequemer, den
komplexen Ansatz zu verwenden. Da die Lagrange-Gleichung linear in x ist und
reelle Koeffizienten hat, ist mit x(t) auch Re x(t) Lösung.
Wir rechnen zunächst komplex und gehen später durch die Ersetzung
für beliebige Auslenkungen U > 0 gilt. Außerdem ist Tkin immer positiv. Dies
bedeutet, dass alle Eigenwerte der Matrizen V und T positiv sind:
f
V ij xi x j 0 0
für
x 0
Eigenwerte von V sind positiv
für
x 0
Eigenwerte von T sind positiv
x t i,j=1
f
T ij xi x j 0 0
Re x t zur gesuchten, reellen Lösung über.
i,j=1
Wir setzen unseren komplexen Lösungsansatz in die Bewegungsgleichung ein:
Die Lagrange-Gleichung ist ein System von f linearen, homogenen Differenzialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösungen sind daher
von der Form
x j t = A j exp i
x t = A exp i
t oder
x j t = A j exp i
t
t oder
x t = A exp i
t
f
V ij 2
T ij A j = 0
oder
V 2
TA= 0
j=1
A ist hier ein Spaltenvektor mit f-Komponenten A1, ..., A f. Üblicherweise wird auf
Dies ist ein lineares, homogenes Gleichungssystem für die Größen A1, ..., A f . Wenn
die explizite Kennzeichnung der Vektoren verzichtet, und vorausgesetzt das der
Vektorcharakter aus dem Kontext ersichtlich ist.
125
die Determinante nicht verschwindet, ist die Lösung eindeutig, die triviale Lösung
A = 0 wäre dann die einzige Lösung.
126
Triviale Schwingungsmoden: =0
Damit eine nichttriviale Lösung existiert, muss die Determinante also
verschwinden:
det V 2
T= P
f
2
Falls ein k 2=0, dann ist die Determinante auch Null. Dann ist mindestens ein
Eigenwert von V gleich Null. Wir werden diesen Spezialfall zulassen.
Für = 0 wird die Schwingungsgleichung zu:
=0
ẍ
Die Determinante ist ein Polynom P(f) vom Grad f in 2 mit reellen Koeffizienten.
Ein solches Polynom hat f Nullstellen:
f
2
P =0
2
1
,
2
2
, ... ,
2
f
Im Allgemeinen können die Nullstellen des Polynoms komplex sein. Wenn aber eine
der Nullstellen k2 komplex oder negativ reell wäre, dann hätte entweder (k2) oder
-(k2) einen positiven Imaginärteil. Solch eine Lösung würde exponentiell wachsen
im Widerspruch mit der Stabilitätsbedingung.
Die k2 müssen reell und nicht negativ sein:
2 *
k
=
2
k
,
2
k
60
k = 1, .. . , f Mathematisch folgt diese Bedingung aus den Eigenschaften der symmetrischen
Matrizen T und V, die nur positive Eigenwerte besitzen können.
127
2
x =0
ẍ=0
Anstelle von x = Re C exp(-it) erhalten wir dann die Lösungsform
x t = C 1 C 2 t
für
=0
Damit erhalten wir anstelle einer Schwingung eine gleichförmige Bewegung.
In der betrachteten Näherung ist das Potenzial für diese Auslenkung Null.
Solche eine Bewegung entspricht zum Beispiel der Translation eines Moleküles
mit gleichförmiger Geschwindigkeit.
Im Allgemeinen hat ein Körper 6 solche trivialen Frequenzen mit =0, die den
Translationen und Rotationen des gesamten Körpers entsprechen.
Für einen linearen Körper ergeben sich nur 5 solche trivialen Frequenzen.
Ein System von N-Massenpunkten hat damit 3N-6 bzw. 3N-5 nicht-triviale
Schwingungsfrequenzen
128
32
Eigenfrequenzen und Eigenmoden
Insgesamt ergeben sich immer f Eigenvektoren:
Ak
1
k k A = A2 ,
4
Akf Für jedes positive k2 ergibt sich ein positives und ein negatives k . Wegen
t ] = Acos t ± B sin t
Re[ AiBexp ±i
genügt es, eine dieser Lösungen zu betrachten. Wir können uns daher auf positive
Eigenfrequenzen k beschränken
k
k
x t = A ReC k exp i
Die zugehörigen Eigenvektoren A
V Eine reelle Lösung mit einem beliebigen komplexen Normierungsfaktor Ck ergibt
k =1 , ... , f 60
k = 1 ,... , f 2
k
(k)
ergeben sich aus der Lösung der Eigenwertgleichung
k TA = 0
k = 1 , ... , f Dies ist ein System von f linearen Gleichungen für die f unbekannten Konstanten
A 1(k), ...,Af(k) für jede Eigenfrequenz k. Unterschiedliche k besitzen unterschiedliche
t k = 1 ,... , f f
xt = Ak B k cos Eigenvektoren A(k) . Der Spaltenvektor ist nicht eindeutig festgelegt, eine Komponente
kann frei gewählt werden.
129
k
Diese Lösung ist eine spezielle Lösung der Bewegungsgleichung, die als Eigenmode
oder Eigenschwingung bezeichnet wird. Da die Bewegungsgleichungen linear sind,
ist eine beliebige Überlagerung auch eine Lösung. Damit erhalten wir die
allgemeine Lösung:
k
t k Allgemeine Lösung
k=1
130
Die komplexen Amplituden C wurden durch die reellen Amplituden B und Phasen ersetzt.
Für l gilt: (Umbenennung der Indizes i <-> j , vertauschen der Indizes der
7.2 Normalkoordinaten
symmetrischen Matrizen T und V )
Die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten xi = qi – qi0 ist nicht eindeutig. Durch
x i = x i Q 1 , Q 2 ,... , Q f f
f
V ij ail =
eine Transformation
2
l
i = 1, ... , f T ij ail
i=1
i=1
Wir multiplizieren mit ail bzw. ajk und summieren über i bzw. j. Die Differenz
kann man zu f anderen Koordinaten Qi übergehen. Im Folgenden führen wir die
beider Gleichungen ist dann
Normalkoordinaten ein, die gleich den Amplituden der Eigenschwingungen sind.
f
Das Verfahren der Bestimmung der Normalkoordinaten Qi entspricht der
k a = aik = Ai =
2
1
2
2
A
A
A
A
4
4
2
1
Af Af
f
1
f
2
& A
& A
5 4
f
& Af
j=1
2
k
T ij a jk
j=1
T ij ail a jk = 0
für l k . Für l k muss dann die Summe verschwinden. Für l = k normieren
wir die A(k) so, dass die Summe gleich 1 ist. Dann gilt insgesamt
f
T ij ail a jk = Al T T
Ak = lk
oder
T
a Ta=1
i,j=1
Dies ist eine verallgemeinerte Orthogonalitätsrelation für die Eigenvektoren A (k).
Für Tij=ij entspricht das dem üblichen Beweis der Orthogonalität der Eigenvektoren
f
f
2
l
Wir nehmen zunächst an, dass die Eigenwerte nicht entartet sind, also l k
Damit wird die Eigenwertgleichung zu
V ij a jk =
i,j=1
Hauptachsentransformation einer quadratischen Form.
Aus den Eigenvektoren A(k) bilden wir die quadratische Matrix a :
1
1
1
2
2
k
131
der symmetrischen Matrix V.
132
33
Wir betrachten nun noch den Fall, dass zwei Eigenwerte zusammenfallen, also
k = l für k l . Dann ist A (k) + A (l) ebenfalls ein Eigenvektor. In diesem
Damit werden sowohl T wie V durch die Matrix a = (A i(k) ) diagonalisiert. Deshalb
führt die Transformation
Fall kann man zwei Linearkombbinationen so wählen, dass die verallgemeinerte
Orthogonalitätsrelation ebenfalls gilt.
f
x i t = x i Q 1 ,... , Q f = aij Q j t oder
x = aQ
bzw. a1 x = Q
j=1
Die so normierten Eigenvektoren A(k) diagonalisieren nicht nur T , sondern
auch V . Das Eigenwertproblem in Matrixschreibweise lautet.
zu den gesuchten Normalkoordinaten Q i . Wir setzen diese Transformation in
die Lagrange-Funktion ein.
f
f
V ij a jk =
2
k
T ij a jk
f
V a = T a.
2 L0 = T ij x i x j V ij x i x j = x T T x x T V x
j=1
j=1
T T a Q a QT V a Q = Q T Q Q T .Q
= a Q
mit der Diagonalmatrix
.=
i,j=1
2
k
2
1
0
2
2
0
kl =
4
0
4
0
&
&
5
&
0
0
4
2
f
f
=
Q k 2
2
k
2
Qk
k =1
Hieraus erhalten wir f- entkoppelten 1D-Bewegungsgleichungen
Q̈ k Wir multiplizieren von links mit aT und verwenden aT T a = 1 :
2
k
Qk = 0
k = 1 ,... , f Als Lösungen erhalten wir das bekannte Resultat für eine harmonische Schwingung:
f
T
a Va=.
V ij ail a jk =
oder
2
k
Q k t = ReC k exp i
kl
i,j=1
k
t = B k cos
k
t k 133
134
7.3 Äußere Kräfte
Hierbei haben wir die äußere Kraft in Normalkoordinaten transformiert:
In Analogie zu erzwungenen Schwingungen fügen wir ein äußeres Störpotential Ue
f
F k t = aik f i t hinzu:
i=1
L = L0 U e q1 ,... , q f , t Die Bewegungsgleichungen mit äußerer Kraft lauten dann:
Wir entwickeln dieses Potenzial um die Gleichgewichtslage des ungestörten Systems
f
U e q1 , ... , q f ,t = U e q1 , ... , q f , t f i t x i ...
0
0
Q̈ k t 2
k
Q k t = F k t k = 1 , ... , f i =1
Der erste Term ist nur eine Funktion der Zeit und kann daher in der LagrangeFunktion weggelassen werden. Wir setzen voraus, dass Ue so schwach ist, dass
An dieser Stelle können auch noch Reibungskräfte zugelassen werden. Jede
der f Bewegungsgleichungen beschreibt eine erzwungene Schwingung,
deren Lösung uns bereits bekannt ist.
die Entwicklung beim linearen Term abgebrochen werden kann. In diesem Term
ist fi(t) = (U e / qi)0 die Kraft, die auf die Koordinate xi wirkt. Damit wird L zu
f
f
i=1
k=1
L = L0 f i t x i = 2
1 2
Q k Q 2k F k tQ k
2 k
2
135
136
34
7.4 Anwendungen
A) Zweidimensionale Bewegung
Zunächst betrachten wir die zweidimensionale Bewegung eines Massenpunktes in
einem beliebigen Potenzial U(x,y) .
Dieses Beispiel soll die Hauptachsentransformation deutlich machen.
Die Lagrange-Funktion dieses Systems ist
L=
m 2
2
x y U x , y
2
Das Potenzial habe bei (x0,y0) ein Minimum. Dann lautet die Entwicklung von
U(x,y) nach x1 = x – x0 und x 2 = y – y0 :
1 2 U
1 2 U
2 U
2
2
x x x 1 x 2 ...
2 x 2 0 1 2 y2 0 2
xy 0
1
2
2
= U 0 V 11 x 1 V 22 x 2 2 V 12 x 1 x 2 ...
2
U = U0 137
Wir führen nun ein um den Winkel gedrehtes System mit den Koordinaten 1
und 2 ein. Die Transformation zu den neuen Koordinaten lautet
71 = cos sin x1
sin cos x2
72
oder
7= x
Die Transformationsmatrix bezeichnen wir mit , die Spaltenvektoren mit und x . Wegen T = 1 ist die Rücktransformation durch
T
x= 7
gegeben. Wir setzen dies in die Näherung für die Äquipotenziallinien ein
2
V ij xi x j = xT V x = T 7T V T 7 = 7T V T 7 = 7T V ' 7
i,j=1
Wir wählen nun so, dass das Nebendiagonalelement V' 12 = V'21 verschwindet,
also
V ' = V T =
k1 0
0 k2
139
35
Da die Matrix T der kinetischen Energie proportional zur Einheitsmatrix ist, ändert
sie sich bei der orthogonalen Transformation nicht, T'= T T = T. Damit wird die
Lagrange-Funktion im gedrehten Koordinatensystem zu
=
L7 , 7
k
k
m 2 2
7 7 21 712 22 722
2 1 2
B) Zwei gekoppelte Pendel
Die triviale Transformation
g
1
l
2
Qi = m 7i t 2
2
i
Q
2
i
m
ki
i =
m
mit
Die Eigenmoden sind Schwingungen in Richtung der Hauptachsen der Ellipsen.
Wir sind hier etwas von dem allgemeinen Lösungsweg abgewichen.
Nach diesem Lösungsweg hätten wir zunächst aus
det(V – 2T) = det(V – m2I) = 0 die Eigenwerte i2 = ki/m bestimmt. Dann ergibt
V A(k) = m k2A(k) die Spaltenvektoren A(k) , die die Richtung der Eigenschwingungen
(und Hauptachsen) angeben. Die hier gewählte Behandlung zeigt die Verbindung des
allgemeinen Verfahrens mit einer Hauptachsentransformation.
141
Wegen der quadratischen Form und der Abhängigkeit von (1 – 2) liegt es
Für kleine Auslenkungen ist die Gravitationsenergie jedes der beiden Pendel von
der Form m g z = m g l (1 – cos ) m g l 2/2 . Der Abstand der beiden Massen
ändert sich bei kleinen Auslenkungen um x = l (2 – 1) . Die Feder soll für 1 = 2
= 0 entspannt sein, dann ist ihre potenzielle Energie gleich k x2/2 . Die
Lagrange-Funktion für kleine Schwingungen lautet damit
2
L =
2
ml
mgl 2
kl
2
2
2
2
1
2 1 2 1 2
2
2
2
82 = 1 2
81 t = A cos
8
2 = 81 2
2
8
1 = 81 2 ,
2
und
zu Normalkoordinaten
2
L =
2
2
ml 2
m g l 82
8 m g l 812 k l 2 4 2
2
2
Q 1 = 2 m l 2 81
1
Q 2 2 i=1 i
2
i
Q2 =
g
,
l
2
=
2k g
m l
1
t ,
82 = 0 1 t = 2 t = A cos
1
t
In diesem Fall schwingen beide Pendel parallel oder gleichphasig. Die Feder bleibt
entspannt und ist ohne Einfluss auf die Frequenz.
Bei der anderen Eigenschwingung
in die Lagrange-Funktion ein und erhalten
Dann führt die triviale Transformation
Die erste Eigenschwingung ist
einzuführen. Wir setzen die Rücktransformation
L = ml 2 8 21 =
1
1 2
,
2
142
Die Qi(t) ~ i(t) beschreiben die Eigenschwingungen mit den Frequenzen
nahe, die neuen Koordinaten
81 =
l
k
m
führt dann zu Normalkoordinaten:
1
2
L = Q i 2 i=1
Zwei gekoppelte Pendel im Schwerefeld:
Jedes Pendel hat die Länge l und die Masse
m . Die beiden Massen seien durch eine
(masselose) Feder mit der Federkonstanten
k verbunden. Die Feder sei entspannt, wenn
beide Pendel sich im tiefsten Punkt befinden.
Die Gleichgewichtslage ist daher durch
1 = 2 = 0 gegeben.
z
82 t = B cos 2
t* ,
81 = 0 1 t = 2 t =
B
cos
2
2
t *
schwingen die Pendel gegenphasig. Die Rückstellkräfte der Feder und des Schwerefelds addieren sich in 22 .
ml2
8
2 2
Die allgemeine Lösung ist eine Überlagerung aus den beiden Lösungen.
Für schwache Kopplung, k « m g/l , liegen die Frequenzen nahe beieinander. In diesem
Fall scheinen die beiden Pendel zunächst unabhängig voneinander zu schwingen. Der
Austausch von Schwingungsenergie zwischen den Pendeln benötigt die relativ lange
Zeit t ~ 1/(2 – 1) » (l/g)½ . Wenn etwa das zweite Pendel anfangs ruht, dann über-
Q i2 143
nimmt es nach dieser Zeit die Schwingungsenergie des ersten Pendels.
144
36
C) Dreiatomiges Molekül
1=
Damit sind lediglich zwei der drei Größen y10 , y20 und y30 festgelegt, die wir im
m
M
m
y2
y3
g 2k g
, = l 2 ml
Allgemeinen für die Entwicklung benötigen. Das Potenzial ist in diesem Fall aber
von vornherein quadratisch in den Auslenkungen xi = yi – yi0 :
y
1
2
Ein dreiatomiges Molekül mit zwei gleichen
Randatomen soll nur eindimensionale
Schwingungen ausführen. Die drei sich
ergebenden Schwingungs-typen sind
darunter skizziert. Die erste Lösung besteht
in der Translation des gesamten Moleküls.
k
[ y y b2 y 3 y2 b 2 ]
2 2 1
k
2
2
= [ x 2 x 1 x 3 x 2 ]
2
U y 1 , y 2 , y3 =
Die kinetische Energie lautet
3
T y 1 , y 2 , y3 =
Die Lagrange-Funktion ist damit von der Form
Die drei Atome des Moleküls sollen sich nur längs einer Geraden bewegen können.
Ihre jeweiligen Positionen kennzeichnen wir mit den Koordinatenwerten y1, y2 und
3
y3. Der Gleichgewichtsabstand zwischen benachbarten Atomen sei b , also
0
0
y2 y1 = b
0
m 2 2
y y M2 y 22 = m2 x 12 x 23 M2 x 22
2 1 3
L x , x =
1
T x x V ij xi x j 2 i,j=1 ij i j
0
y3 y 2 = b
145
Die Koeffizienten Tij und V ij können aus den Gleichungen für Potenzial und
146
Dies ergibt
2
beachten ist. Dies ergibt
T = T ij =
m
0
0
0
M
0
0
0 ,
m
k -k
V = V ij = - k 2k
0 -k
0
-k
k
Damit ist das Problem in Matrizenform gebracht. Die Bedingung für die
Eigenfrequenzen ist das Verschwinden der Determinante:
det V 2
T =
2
k m
k
k
2k 2 M
0
k
0
= 0
k
2
k m
(Lsg. mit Hilfe von Mathematica ist sehr einfach. Die Befehle Eigenvalues[A] und
147
Eigenvectors[A] liefern die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix A.)
2
2
2
2
0 = k m 2 k M 2 k k m
= 2 k 2 m 2 M m k 2 m M kinetischer Energie abgelesen werden, wobei die Symmetrie (etwa V 12 = V 21) zu
mit den Lösungen
1
= 0,
2
=
k
,
m
3
=
Die Eigenvektoren folgen aus (V – k2T) A (k) = 0 ,
1
A1 = 1 ,
1
A2 =
k
2m
1
m
M
1
0 ,
-1
1
A3 = - 2 m / M
1
Diese Eigenvektoren können beliebig normiert sein, da sie noch mit Konstanten
C k multipliziert werden. Die allgemeine Lösung lautet:
1
1
x t = 1 b 1 t a 1 0 B 2 cos
1
-1
2
1
t 2 - 2 m/ M B 3 cos
1
3
t3 Die sechs reellen Konstanten b1, a 1, B 2, 2, B3, 3 bestimmen sich aus den
Anfangsbedingungen für xi(0) und
x i 0 .
148
37
Bei der ersten Eigenmode 1 = 0 handelt es sich um keine Schwingung,
sondern eine gleichförmige Bewegung des gesamten Moleküls mit konstanter
Geschwindigkeit. Da die Schwerpunktkoordinate
X =
m x 1 x 3 M x 2
2m M
eine Linearkombination der behandelten Koordinaten ist, wird diese Bewegung
durch die Lagrange-Funktion beschrieben. Da das Potenzial keine
Rückstellkraft für den Schwerpunkt ergibt, ist die zugehörige Frequenz Null.
Bei einer dreidimensionalen Behandlung des Moleküls tritt eine analoge
Situation auch für Rotationen auf, denn ohne äußere Kräfte gibt es hierfür
ebenfalls keine Rückstellkraft und die zugehörigen Eigenfrequenzen
verschwinden. Alternativ zur gegebenen Behandlung könnte man die triviale
Schwerpunktbewegung von vornherein abspalten und nur zwei Freiheitsgrade
explizit behandeln.
Bei der zweiten Eigenmode ruht das mittlere Atom, und die beiden anderen
schwingen gegenphasig. Bei der dritten Eigenmode schwingen die beiden
äußeren Atome zusammen gegenüber dem mittleren. Alle Moden sind in der
Abbildung skizziert.
149
Was Einstein noch nicht sehen konnte Visualisierung relativistischer Effekte
v=0.95c
Physik Journal 8/2002 - Online-Version mit Filmsequenzen
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/
151
38
Lorentztransformation
Spezielle Lorentztransformation:
y
y'
9
x =
9'
x
x'
z
z'
t'
x' vt '
2
1
y = y' ,
,
z = z' ,
t =
v
2
c
v x'
2
c
2
1
v
2
c
t
v x'
2
c
v
bzw.
Gallilei: x = x' + vt, y = y', z = z', t = t'
absolute Zeit, überall gleich
Lichtgeschwindigkeit c' = c – v nicht gleich
: Lorentztransformation
bei ( t = t' = 0 ) jeweils ein Lichtsignal in Form einer Kugelwelle vom Ursprung
nach Zeit t Radius R = ct , ' : R' = ct'
x2 + y2 + z 2 – c2t2 = 0
)
x' =
x vt
2
1
y' = y ,
,
z' = z ,
t' =
v
2
c
2
1
v
2
c
x' 2 + y'2 + z' 2 – c2t'2 = 0
153
'
' 2
x vt x =
v2
1 2
c
2 2
2
c t =c
2
'
t
vx
c2
2
2
2
2
2
2 2
- im wird am Ort x 1 eine Zeitdauer t = t2 – t1 gemessen
v
2
c
x' 2v t' x' v t ' t' c 2t' v x' x c t =
Einige Folgerungen:
2
1
2
' 2
Beobachter in ' registriert (x1 = x2)
v x'
c
2
;t ' = t 2 ' t 1 ' =
2
2
x' 1 =
2
v
c2
v
1 2
c
2
v
2
2
c t' 1 2
c
2
v
1 2
c
c
,
10
2
1
v
1
= 1
= 0,995
100
c2
t2
v2
1 2
c
t1
v2
1 2
c
=
;t
1
v2
2
c
(gedehntes Zeitintervall)
Dieser Effekt ist experimentell gut überprüft.
Maryland-Versuch: Atomuhr auf Erde, Atomuhr im Flugzeug, Flughöhe 10 km, ca 15 h,
Höhe + Geschwindigkeit wurden gemessen. Die Uhren wurden ständig mit
Laserimpulsen synchronisiert und der Einfluss des Gravitationsfeldes eliminiert.
= x ' 2 c2t ' 2
t t': es existiert keine absolute Zeit mehr, ebenso gibt es keinen absoluten Raum
--> Übergang zur relativistischen Physik
da c = 3.108 m/s , sind diese Effekte typischerweise nicht sichtbar
v=
154
Myonenzerfall: Entstehen durch kosmische Strahlung, mittlere Lebensdauer 2,2 s,
v = 0,9998 c,
x = v t = 660 m, legen aber ca. 38 km zurück
;t ' = <' =
155
<
10,9998 2
1,1104 s
x ' = < ' c 33 km
156
39
;l ' = ;l 1
Längenkontraktion:
v2
c2
;l ' ( ; l
Äquivalenz von Masse und Energie
F die Masse m um die Strecke d s , wird Arbeit
- verschiebt die Kraft dWk =
Fd s
verrichtet
Abmessungen von Körpern (Gestalt) sind also von der Relativbewegung abhängig:
vd
F=
v
dt
Relativistische Addition der Geschwindigkeiten
vx' v
vx =
vv '
1 2x
c
Masse m =
Impuls
vx' = c = v
m0
cc
=c
vx =
c2
1 2
c
2
v
1 2
c
[
= m0 v
Damit erhalten wir
v2
1 2
c
2
v
1 2
c
v = v t ] 2
v
d v
1 2
dt
c
dWk = d
(für Teilchenbeschleuniger wichtig)
3
2
m0 c
1
2
1
v
c2
3
=
d v
m0 v
dt
2
v
1 2
c
3
2
=
2
v2
c2
Wk =
m0 c
d
dt
m0 c
2
2
=
v
1 2
c
d
2
mc
dt
2
v2
1 2
c
W0
Die Integrationskonstante W0 = m 0c2 , da für v -> 0 auch W gegen Null gehen muss
= d p
F
dt
Kraftgesetz
Wk =
157
Für Geschwindigkeiten v << c sollten wir das bekannte klassische Ergebnis erhalten:
2
1
Reihenentwicklung
m0 v
2
v d v
2
c dt
m 0: Ruhemasse, m = Impulsmasse
p = m v
Wk = 1 Fd s
Fv d t
dt = dt
dW = Fd s =
(in Bewegungsrichtung verkürzt)
2
1
v
2
c
=1
1v
. . .
2 c2
Wk =
m0 c 2
1
v2
c2
2
m0 c = mm0 c
2
1 v2
1
2
2
1 m0 c = m 0 v
2 c2
2
m0 c
1
2
v2
c2
m 0 c 2 = mm0 c 2
158
8.2 Allgemeine Relativitätstheorie 1916 (ART)
Äquivalenz von schwerer und träger Masse:
Eine gleichmäßige Beschleunigung ist völlig äquivalent zu
der Wirkung eines entsprechenden Gravitationsfeldes.
Gravitation ist ein Effekt der Raum-Zeit-Krümmung durch Massen.
Äquivalenz von Masse und Energie
Jeder Ruhemasse m0 entspricht die Energie W0 = m 0 c 2, auch ein ruhendes Teilchen
besitzt Energie. Die Gesamtenergie des Systems lautet E = Wk + W 0
Folgerungen der Einsteinschen Gravitationstheorie:
• gravitative Rotverschiebung von Licht in einem Schwerefeld
• relativistische Präzession von Himmelskörpern (Merkur)
• Gravitationslinsen
• Gravitationswellen
E = m c2
Bedeutung für Kernenergie, Paarvernichtung + Erzeugung
Massendefekt der Sonne: pro s m = 4·10 12kg
m Sonne ~ 2·1030kg entspricht 1013Jahre
159
Fotografie der verfinsterten Sonne am 29.
Mai 1919 mit den umgebenden Sternen
160
40
F Die träge Masse mt ist die Masse im zweiten Newtonschen Axiom. Die
ü Gravitationskräfte sind proportional zur schweren Masse m .
s
r
Für die vertikale Bewegung in einem homogenen Schwerefeld ergibt sich
d
mt z̈ = ms g . Die Lösung dieser Differenzialgleichung,
i
e
1 ms 2
z t = 2 mt
gt
v
ebeschreibt den freien Fall. Galileis Aussage „Alle Körper fallen gleich schnell“
rbedeutet, dass das Verhältnis m /m für alle Körper gleich ist.
s
t
t
iAnstelle des freien Falls kann man die Schwingungsperiode T eines Pendels
k
(Länge l) betrachten. Für kleine Auslenkungen gilt (T/2
)2 = (mt /ms)(l/g) . Newton
a
zeigt experimentell mit einer Genauigkeit von 10-3 , dass verschiedene Körper die
l
gleiche Schwingungsdauer T ergeben.
e
Eötvös baute 1890 ein anderes Experiment (Torsionswaage) auf, mit dessen
verbesserter Version 1922 schließlich Genauigkeiten von 5·10-9 erreicht wurden.
B
Neuere Experimente erreichen Genauigkeiten von bis zu 4·10-13.
e
161
w
e
Die Gleichheit von träger und schwerer Masse ermöglicht ein Koordinatensystem (KS),
in dem die Gravitationskräfte wegfallen. Im Bezugssystem „frei fallender Fahrstuhl“
spürt der Benutzer keine Schwerkraft.
Einstein geht von einer Verallgemeinerung dieses Befundes aus:
In einem frei fallenden KS laufen alle Vorgänge so ab, als ob kein Gravitationsfeld
vorhanden sei.
Damit wird zum einen die Aussage von mechanischen auf alle physikalischen Prozesse
(zu allen Zeiten, an allen Orten) ausgedehnt. Außerdem werden inhomogene
Gravitationsfelder zugelassen.
Das so verallgemeinerte Äquivalenzprinzip nennt man Einsteinsches Äquivalenzprinzip
oder auch starkes Äquivalenzprinzip. Die Gleichheit von träger und schwerer Masse
wird dagegen schwaches Äquivalenzprinzip genannt.
Das Äquivalenzprinzip erlaubt die Aufstellung von relativistischen Gesetzen mit
Gravitation.
SRT-Gesetz
ohne Gravitation
Koordinatentransformation
Relativistisches Gesetz
mit Gravitation
In der Koordinatentransformation ist die relative Beschleunigung zwischen SL
162
und KS enthalten, die dem Gravitationsfeld entspricht.
Einsteinsche Feldgleichung
frei fallend
G = g = 8! T SL d s 2 = * d7 d 7*
Koordinatentransformation
Erde
2
KS: d s = g xd x d x
Der Beobachter in SL stellt fest, dass physikalische Vorgänge nach den SRTGesetzen ablaufen. Dabei treten keine Gravitationskräfte auf.
Ein Beobachter auf der Erde sieht die Vorgänge im SL dagegen anders:
Für ihn bewegt sich SL im Gravitationsfeld. Zusätzlich treten im SL
Trägheitskräfte auf, weil das SL beschleunigt ist. Die Bewegung des SL
(freier Fall) ist gerade so, dass sich die Trägheitskräfte und die Gravitationskräfte
aufheben.
163
G  : Einstein-Tensor
T 
: Impuls-Energie-Tensor
g 
: metrischer Tensor
: kosmologische Konstante
10 gekoppelte partielle Differentialgleichungen
Einstein wandte diese Gleichung auf das gesamte Universum an, von dem
er glaubte, dass es statisch sei.
Voraussetzung für die Lösung war das Kosmologische Prinzip, Isotropie
und Homogenität des Weltalls auf großen Skalen.
164
41
Uhren im Gravitationsfeld
Karl Schwarzschild (1873-1916)
Wenn man die Schwarzschildlösung für die Einsteinschen Gravitationsgleichungen nimmt (rS=Schwarzschildradius), dann erhält man für Uhren im
Gravitationsfeld
1916 Lösung mit Einsteins Gravitationstheorie
Schwarzschildradius RS = Ereignishorizont
RS =
2G M
c2
v=
<B = < A
2G M
RS
g 00 r B g 00 r A g 00 r = 1
rS
r
Siehe N. Dragon: Geometrie der Raumzeit, http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/
Für GPS-Satelliten rA=6360km, r B=20200km, rS=1cm ergibt 46 Mikrosekunden
Sonne:
M= 2*1030 kg
RS= 3 km
Erde :
M= Msonne/330000
RS= 1 cm
Weißer Zwerg:
M= 0.8 Msonne
Neutronenstern: M= 2 Msonne
RS= 2.4 km
RS= 6 km
; t = t tag 1 165
g 00 r B = 0.000046 s
g 00 r A 166
Korrekturen für GPS-Satelliten durch Relativitätstheorie
Nach der allgemeine Relativitätstheorie vergeht die Zeit umso langsamer, je stärker
das Gravitationsfeld ist.
Die Satelliten bewegen sich auf Bahnen in 20200km Höhe in einem geringeren
Gravitationsfeld im Vergleich zu einem Beobachter auf der Erdoberfläche. In Bezug
auf diesen Beobachter gehen deswegen die Satellitenuhren zu schnell.
Dieser Effekt beträgt 46 Mikrosekunden und ist deutlich größer als die durch die
Geschwindigkeit hervorgerufene Zeitdilatation von -7 Mikrosekunden.
In der Summe gesehen scheinen die Uhren der Satelliten also insgesamt etwas zu
schnell zu laufen. Die Zeitverschiebung zum Beobachter auf der Erde wäre etwa
39 Mikrosekunden pro Tag und würde einen Gesamtfehler von etwa 11.7 km pro Tag
ergeben.
167
42