Logik für Informatiker - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Christian Herrmann
Richard Holzer
Tobias Löw
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2004
7. Juni 2004
Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum achten Übungsblatt
Präsenzübungen
(P 25) Einheitsresolution
Folgende Variante der Resolution wird Einheitsresolution genannt:
Es darf nur dann ein Resolvent der Klauseln K1 , K2 gebildet werden, wenn |K1 | = 1 oder |K2 | = 1.
(a) Zeige mit Einheitsresolution, daß die Formel
(X → W ) ∧ (Z ∧ U → Y ) ∧ (Z ∧ V → W ) ∧ (Y ∧ Z ∧ U → V ) ∧ ¬(U → X) ∧ (Y ∧ Z ∧ W → X) ∧ (U → Z)
unerfüllbar ist. Die Formel ist äquivalent zu
(X → W ) ∧ (Z ∧ U → Y ) ∧ (Z ∧ V → W ) ∧ (Y ∧ Z ∧ U → V ) ∧ U ∧ ¬X ∧ (Y ∧ Z ∧ W → X) ∧ (U → Z)
und wir erhalten folgende Klauselmenge
{{¬X, W }, {¬Z, ¬U, Y }, {¬Z, ¬V, W }, {¬Y, ¬Z, ¬U, V }, {U }, {¬X}, {¬Y, ¬Z, ¬W, X}, {¬U, Z}}
Mit Einheitsresolution erhalten wir nun folgende neue Klauseln:
1. Mit {U }: {¬Z, Y }, {¬Y, ¬Z, V }, {Z}
Mit {¬X}: {¬Y, ¬Z, ¬W }
2. Mit {Z}: {Y }, {¬Y, V }, {¬Y, ¬U, V }, {¬Y, ¬W }
3. Mit {Y }: {V }, {¬U, V }, {¬W }
4. Mit {V }: {¬Z, W }
Mit {¬W }: {¬Z}
5. Mit {¬Z}: ∅
Also ist die Formel unerfüllbar.
(b) Gib ein Gegenbeispiel an, welches zeigt, daß die Einheitsresolution im allgemeinen nicht vollständig ist.
Hinweis: D. h. gib eine Formel an für die mit normaler“ Resolution die Unerfüllbarkeit gezeigt werden kann,
”
jedoch nicht mit Einheitsresolution.
Ein mögliches Gegenbeispiel ist die Klauselmenge {{A, B}, {¬A, B}, {A, ¬B}, {¬A, ¬B}}. Man sieht leicht,
daß die Formel unerfüllbar ist, jedoch kann man dies mit Einheitsresolution nicht zeigen, da alle Klauseln
mehr als ein Element enthalten.
(P 26)
(a) Bestimme im folgenden ungerichteten Graphen (G, %) (mit symmetrischer Relation %) die von den Vorgaben
bϑc,
b%ϑ d
erzwungene Kongruenzrelation (ϑ, %ϑ ). Ist die zugehörige Faktorstruktur auch ein ungerichteter Graph?
Skizziere die Faktorstruktur.
b
a
q
q
@
@
q
q
d
e
@
@
@
@q
c
Die erzwungene Kongruenz (ϑ, %ϑ ) ist gegeben durch
ϑ = {(b, c), (c, b)} ∪ {(x, x) | x ∈ G}
%ϑ = % ∪ {(b, d), (c, d)}
Die Faktorstruktur ist nicht mehr symmetrisch, also ein gerichteter Graph:
a
b, c
q
-q
-
q
-q
d
e
(b) Sei A = {a, b, c, d} und τ A = {(a, b), (b, c), (c, a), (a, d)}. Sei τ 0 die von τ A erzeugte Quasiordnung auf
A (reflexive, transitive Hülle von τ A ). Begründe, warum τ 0 keine Ordnung ist. Berechne die von den
Ordnungsaxiomen erzwungene Kongruenzrelation in der Struktur (A, τ A ), und zeichne das zugehörige
Ordnungsdiagramm der Faktorstruktur.
Die erzeugte Quasiordnung ist τ 0 = {a, b, c, d} × {d} ∪ {a, b, c}2 . Diese Quasiordnung ist nicht antisymmetrisch wegen aτ 0 bτ 0 a. Durch die Antisymmetrie wird die Gleichheit der Elemente a, b, c erzwungen, d.h. wir
erhalten die Kongruenzrelation ϑ = {(d, d)} ∪ {a, b, c}2 mit τ ϑ = {(d, d), (a, d), (b, d), (c, d)} ∪ {a, b, c}2 . Die
q d
Faktorstruktur enthält nur 2 Elemente:
c
q a
b
(P 27) Endliche Termalgebren
Gegeben sei die Signatur
• TYPEN: T1 , T2
• FUNKTIONEN: f : T1 → T2
• RELATIONEN: R : T1 × T2 , S : T2 × T2
und die Erzeugendenmenge E := {x1 , y1 , x2 }, wobei x1 , y1 : T1 und x2 : T2 .
(a) Bestimme die Termstruktur T(E).
Da T(E) gerade die frei erzeugte Termalgebra über der Menge E mit leeren Relationen ist, erhalten wir:
T(E)
• T1
•
T(E)
T2
= {x1 , y1 }
= {x2 , f (x1 ), f (y1 )}
• RT(E) = S T(E) = ∅
• f T(E) (x) = f (x)
(b) Sei nun R = {(x1 , x2 )} und S = {(x2 , x2 )}, und es gelten folgende Implikationen (wobei x und y jeweils vom
passenden Typ sind)
• (x, y) ∈ R → (f (x), y) ∈ S
• (x, y) ∈ S → x ≈ y
Berechne die von den Relationen und Implikationen erzwungene Kongruenzrelation auf T(E).
Sei ϑ die gesuchte Kongruenzrelation. Wir berechnen Schrittweise (die Äquivalenzrelationen auf T1 und T2
werden durch die entsprechenden Partitionen angegeben):
1.
∧
• ϑ1T1 = {{x1 }, {y1 }}
∧
• ϑ1T2 = {{x2 }, {f (x1 )}, {f (y1 )}}
1
• Rϑ = {(x1 , x2 )}
1
• S ϑ = {(x2 , x2 )}
2. Mit der 1. Implikation folgt
∧
• ϑ2T1 = {{x1 }, {y1 }}
∧
• ϑ2T2 = {{x2 }, {f (x1 )}, {f (y1 )}}
2
• Rϑ = {(x1 , x2 )}
2
• S ϑ = {(x2 , x2 ), (f (x1 ), x2 )}
3. Mit der 2. Implikation folgt x2 ϑf (x1 )
∧
• ϑ3T1 = {{x1 }, {y1 }}
∧
• ϑ3T2 = {{x2 , f (x1 )}, {f (y1 )}}
3
• Rϑ = {(x1 , x2 )}
3
• S ϑ = {(x2 , x2 ), (f (x1 ), x2 )}
4. Ersetzen von Elementen durch äquivalente ergibt
∧
• ϑ4T1 = {{x1 }, {y1 }}
∧
• ϑ4T2 = {{x2 , f (x1 )}, {f (y1 )}}
4
• Rϑ = {(x1 , x2 ), (x1 , f (x1 ))}
4
• S ϑ = {(x2 , x2 ), (f (x1 ), x2 ), (f (x1 ), f (x1 )), (x2 , f (x1 ))}
Weitere Elemente kommen nicht mehr hinzu, also ist ϑ = ϑ4 .
(c) Berechne die Termalgebra zu dieser Signatur über der Erzeugendenmenge E
Die Termalgebra ist T(E)/ϑ, welche zu
• T1 = {x1 , y1 }
• T2 = {x2 , y2 }
• R = {(x1 , x2 )}
• S = {(x2 , x2 )}
• f (x1 ) = x2 , f (y1 ) = y2
isomorph ist.