Logische Strukturen“ ¨Ubungsblatt 2, SS 2009

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut Theoretische Informatik
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. (USA) M. Dietzfelbinger, U. Schellbach
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/Logische-Strukturen.ls ss080.0.html
Logische Strukturen“
”
Übungsblatt 2, SS 2009
Aufgabe 1 (Craigscher Interpolationssatz)
Zeigen Sie folgende Aussage:
Seien F, G aussagenlogische Formeln mit mindestens einer gemeinsamen Variable und
sei F → G eine Tautologie (kurz: |= F → G). Dann findet man eine aussagenlogische
Formel H, in der nur gemeinsame Variable von F und G vorkommen, und für die
sowohl |= F → H als auch |= H → G gilt.
H heißt eine Interpolante für F → G.
Hinweis: Seien A1 , . . . , An , n ≥ 1, die gemeinsamen Variablen von F und G, B1 , . . . , Bs die
nur in F und C1 , . . . , Ct die nur in G vorkommenden Variablen. Auf Ihrer Suche nach einer
Interpolante H für F → G, betrachten Sie den Wertverlauf zF bzw. zG von F bzw. G:
zF : {w, f }{A1 ,...,An } × {w, f }{B1 ,...,Bs } → {w, f }
bzw.
zG : {w, f }{A1 ,...,An } × {w, f }{C1 ,...,Ct } → {w, f } ,
gegeben durch (α, β) 7→ (α, β)(F ) bzw. (α, γ) 7→ (α, γ)(G). Sei nun z : {w, f }{A1 ,...,An } → {w, f }
definiert durch
w falls zF (α, β) = w für ein β
z(α) :=
f falls zF (α, β) = f für alle β .
Verwenden Sie den Wertverlauf z zur Definition von H und weisen Sie nach, dass Sie tatsächlich
eine Interpolante für F → G gefunden haben.
Aufgabe 2 (mehr Philosophisches)
Unter der Annahme, dass zusätzlich zu den Aussagen in Beispiel 2 von Stunde 0 (siehe Folien
im Netz) noch gilt, dass Platons Einschätzung des Sokrates stimmt, folgt dann, dass Sokrates
kein großer Philosoph war?
(a) Formulieren Sie diese Frage als Unerfüllbarkeitsproblem für eine Formel F 0 .
(b) Formen Sie die soeben erhaltene Formel F 0 in KNF um.
(c) Zeigen Sie die Unerfüllbarkeit von F 0 mittels des Resolutionskalküls.
Aufgabe 3 (unerlaubte und überflüssige Resolventen)
(a) Zeigen Sie, dass man keine zwei Literale zugleich resolvieren darf. Mit anderen Worten,
0 } zwei Klauseln und setzt man C =
sind C1 = {l1 , l2 , . . . , ln } und C2 = {¬l1 , ¬l2 , l30 , . . . , lm
3
0 }, so ist die Klauselmenge {C , C , C } nicht äquivalent zu {C , C }.
{l3 , . . . , ln , l30 , . . . , lm
1
2
3
1
2
(b) Zeigen Sie: Wenn C = {l1 , ¬l1 , l3 , . . . , ln }, dann hat jede Klauselmenge {C1 , . . . , Cr } dieselben erfüllenden Belegungen wie {C, C1 , . . . , Cr }. (Man kann C weglassen.)
2
Logische Strukturen“
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Übungsblatt 2, SS 2009
Aufgabe 4 (Bauingenieurwesen für Anfänger)
Nachdem Ensel und Krete die Hexe in den Ofen gestoßen haben, wollen sie sich nun über das
Knusperhäuschen hermachen. Aber wie allgemein bekannt ist, muss man beim Verspeisen eines solchen Hauses sehr vorsichtig sein, da diese Häuser zur Instabilität neigen. Die beiden
wenden sich zunächst einer Wand zu, die aus drei Lebkuchen besteht. Da Ensel erfolgreich
Knusperhäuschenarchitektur studiert hat, erkennt er, dass folgende drei Regeln aus Sicherheitsgründen unbedingt einzuhalten sind:
(1) Von den beiden ersten Lebkuchen darf höchstens einer entfernt werden.
(2) Wenn man den dritten entfernt, muss man auch den zweiten entfernen.
(3) Wenn man den zweiten entfernt und den ersten nicht, dann darf man den dritten nicht
entfernen.
Da Krete in Logik aufgepasst hat, weiss sie, dass man vom dritten Lebkuchen besser die Finger
lässt.
(a) Zeigen Sie, dass sich dies beweisen lässt, indem man die Unerfüllbarkeit der folgenden
Formel nachweist:
F = (¬(A ∧ B)) ∧ (C → B) ∧ ((¬A ∧ B) → ¬C) ∧ C
(b) Bringen Sie F in konjunktive Normalform.
(c) Vereinfachen Sie F so, dass die Unerfüllbarkeit von F durch bloßes Hinschauen erkennbar
ist.
Aufgabe 5 (Die Geburtstagsfeier)
Emil möchte seinen Geburtstag feiern. Leider sind seine Freunde Anne, Bernd, Christine und
Dirk recht schwierig. Und zwar ist es so, dass Anne nur kommt, wenn Bernd kommt. Bernd
kommt nur, wenn Christine kommt. Wenn wiederum Christine kommt, kommt auch Dirk. Wenn
allerdings Bernd und Dirk kommen, kommt Christine nicht. Dirk kommt nur, wenn Anne oder
Bernd kommen.
(a) Stellen Sie eine aussagenlogische Formel auf, die die obige Situation beschreibt.
(b) Zeigen Sie durch Anwendung der Resolutionsmethode, dass keiner dieser vier Freunde zu
Emils Geburtstagsfeier kommt.