5.1.5 Pendel = Sinusbewegung ****** 1 Motivation 2

V050105
Pendel = Sinusbewegung
5.1.5 Pendel = Sinusbewegung
******
1 Motivation
Dieser sehr schöne Versuch zeigt, dass die Projektion einer Kreisbewegung eine Sinusbewegung
ergibt. Damit deckt sie sich mit einer simultanen Pendelbewegung derselben Frequenz.
2 Theorie
2.1 Fadenpendel
z
x
ϕ
`
s
S
m
Fk
F⊥
mg
Abbildung 1: Mathematisches Pendel.
Wir betrachten einen Massenpunkt der Masse m, welcher über einen masselosen Faden der Länge
` an einem Punkt drehbar aufgehängt ist. Reibungskräfte am Drehpunkt sowie Luftwiderstand
vernachlässigen wir. Damit wirken die Schwerkraft mg und die Seilkraft S. Einen solchen idealisierten Aufbau nennt man das mathematische Pendel (siehe Abb. 1). Sei ϕ der Winkel zwischen
dem Faden und der Vertikalen. Zur Herleitung der Schwingungsgleichung wenden wir den Satz
von Newton an:
F = ma
(1)
Die Seilzugkraft S hebt die Wirkung der zur Bahn senkrechten Komponente F ⊥ der Schwerkraft
auf:
S + F⊥ = 0
(2)
Damit wird der Massenpunkt m vom Faden auf eine Kreisbahn mit Radius ` gezwungen, da
die von der Schwerkraft verursachte Beschleunigung nur eine Komponente tangential zu dieser
Kreisbahn hat.
Sei s die vom Tiefpunkt des Pendels aus gemessene Bogenlänge, dann finden wir
m
d2 s
= −mg` sin ϕ ,
dt2
Physikdepartement ETH Zürich
1
(3)
V050105
Pendel = Sinusbewegung
und, da die Bogenlänge s = `ϕ ist,
m`
⇒
d2 ϕ
= −mg sin ϕ
dt2
d2 ϕ g
+ sin ϕ = 0
dt2
`
(4)
(5)
Für kleine Auslenkungen gilt die Näherung sin ϕ ≈ ϕ, so dass man schliesslich die Differentialgleichung
d2 ϕ g
(6)
+ ϕ=0
dt2
`
erhält. Es fällt auf, dass die Bewegung des Pendels unabhängig von der Masse m ist, die sich
ja aus aus der Gleichung herausgekürzt hat! Es handelt sich hier um eine homogene lineare
Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Dies ist die Gleichung des harmonischen Oszillators:
r
g
`
(7)
ϕ(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt
(8)
2
ϕ̈ + ω ϕ = 0
mit ω =
Die allgemeine Lösung lautet:
Das Pendel beschreibt also eine harmonische Schwingung mit der Periode
2π
T =
= 2π
ω
r
`
g
(9)
Die Periode ist demnach unabhängig von der Masse des Pendels!
2.2 Kreispendel
Wir können die Kreisbewegung als eine zweidimensionale Bewegung betrachten. Wir wählen
dafür ein Koordinatensystem. Siehe Abb. 2. Die Kreisbewegung der Kugel wird durch den Winkel
ϕ parametrisiert, und die Koordinaten der Kugel sind gleich:
x(t)
R cos ϕ(t)
R cos ωt
=
=
(10)
y(t)
R sin ϕ(t)
R sin ωt
wobei R der Radius des Kreises ist. Weil die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit auf dem
Kreis umläuft, ist die Winkelgeschwindigkeit konstant als Funktion der Zeit, so dass der Winkel
linear mit der Zeit zunimmt:
ϕ(t) = ωt
(11)
Um die Bewegung des Pendels zu beschreiben, müssen wir die Projektion der Kreisbewegung
betrachten. Wir werden z.B. die Projektion der umlaufenden Kugel auf die y-Achse betrachten:
Physikdepartement ETH Zürich
2
V050105
Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008
Lichtquelle
π
2
Pendel = Sinusbewegung
99
sin ωt
y
1
1
2
ϕ
π
0 x 0
− 12
ω
ωt
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
-1
3π
2
Abbildung
Die Pendelbewegung
der Projektion
einer KreisbeweAbbildung
2: Die 9.5:
Pendelbewegung
ist gleich ist
dergleich
Projektion
einer Kreisbewegung.
Ein Punkt
bewegtgung.
sich mit
konstanter
Geschwindigkeit
auf
dem
Kreis
mit
Radius
1.
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Kreis
mit Radius 1.
y(t) = R sin ϕ(t) = R sin ωt
wobei R der Radius des Kreises ist. Weil die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit auf daraus:
dem Kreis umläuft, ist die Winkelgeschwindigkeit konstant als FunkWir schliessen
tion der Zeit, so dass der Winkel linear mit der Zeit zunimmt:
(12)
Die Masse des Pendels bewegt sich in der Projektion auf eine Achse sinusförmig um ihre Gleichgewichtslage:
ϕ(t) = ωt
y(t) = A sin (ωt + δ)
(9.32)
(13)
wobei Um
A die
ω die
Kreisfrequenz
und δ die
Phasewir
ist die
(Siehe
Abb. 3). der
dieAmplitude,
Bewegung des
Pendels
zu beschreiben,
müssen
Projektion
Kreisbewegung
betrachten.
Wir werden Schwingung.
z.B. die Projektion der umlaufenden
Offensichtlich
ist das ebenfalls
eine harmonische
Kugel auf die y-Achse betrachten:
Wir bemerken schliesslich, dass harmonische Bewegungen auch als Summe von Kosinus- und
y(t) = R sin ϕ(t) = R sin ωt
(9.33)
100
Sinusfunktionen
ausgedrückt werden können. Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008
y
π daraus:
Wir schliessen
sin ωt
2
1
Die Masse des Pendels bewegt sich in der Projektion auf eine Achse sinusförmig
1
um ihre Gleichgewichtslage:
2
π
3π
5π
π
2π
2
2
2
ωt
δ
π
0 x
y(t) = δA sin (ωt + δ)
(9.34)
− 21
ω A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz
wobei
und δ die Phase ist (Siehe
-1
3π
Abb. 9.6). 2
Offensichtlich ist das ebenfalls eine harmonische Schwingung.
Abbildung
9.6:
Die
graphische
Darstellung
der
Phase.
Abbildung
3: Die
graphische
DarstellungBewegungen
der ursprünglichen
ursprünglichen
Phase.
Wir
bemerken
schliesslich,
dass harmonische
auch als
Summe von
Kosinus- und Sinusfunktionen ausgedrückt werden können. Aus der Gleichung
folgt
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(9.35)
Physikdepartement ETH Zürich
x(t) = A sin (ωt + δ)
= A sin ωt cos δ + A cos ωt sin δ
3
= (A cos δ) sin ωt + (A sin δ) cos ωt
= B sin ωt + C cos ωt
(9.36)
V050105
Pendel = Sinusbewegung
Pendel
Kreisbewegung
Abbildung 4: Das Pendel bewegt sich sinusförmig: Die Bewegung der aufgehängten Masse (Pendel) und die Projektion der Kugel auf die Wand werden verglichen.
Aus der Gleichung
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(14)
folgt
x(t) = A sin (ωt + δ)
= A sin ωt cos δ + A cos ωt sin δ
= (A cos δ) sin ωt + (A sin δ) cos ωt
= B sin ωt + C cos ωt
(15)
wobei B = A cos δ and C = A sin δ neue Konstanten (d.h. Amplituden) sind, die die ursprüngliche Phase enthalten.
3 Experiment
Eine Pendelkugel wird durch einen Elektromagneten in einer vorgegebenen Auslenkung festgehalten (siehe Abb. 4). Die Kreisbewegung einer zweiten Kugel unterbricht an einem vorgegeben
Punkt den Versorgungsstrom des Magneten und löst damit die Pendelbewegung der Pendelkugel
aus. Beide Kugeln werden mit einer Lichtquelle beleuchtet, so dass man ihre Bewegungen als
Schattenriss auf der Hörsaalwand beobachten kann.
Physikdepartement ETH Zürich
4
V050105
Pendel = Sinusbewegung
Experimentell beobachten wir:
Für kleine Auslenkungen ist die Pendelbewegung gleich der Projektion einer Kreisbewegung.
Physikdepartement ETH Zürich
5