Experimentalphysik E1

Experimentalphysik E1
23. Nov.
Systeme von Massepunkten - Stöße
Alle Informationen zur Vorlesung unter :
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html
Schwerpunkt
m2
Def.
M = ∑ mi
Gesamtmasse
m ⋅r
∑
r =
∑m
i
i
s
Schwerpunkt
m1
rs
m3
i
€
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der Schwerpunkt gemäß :
2
d rS
M 2 = Fext
dt
(Schwerpunktsatz)
Beispiel: Schwerpunkt einer Hantel

rs =

∑ mi ⋅ ri
i
∑m
i

  
m ⋅ r1 + 3m ⋅ r2 r1 + 3r2
=
=
4m
4
3*m
i
rS
m
r1
Versuch: Praktische Bestimmung des Schwerpunktes
r2
Behandlung von Zwei-Körperproblemen
In einem abgeschlossenen System kann die Bewegung zweier Körper in die
Schwerpunktsbewegung vs und Relativbewegung v12 zerlegt werden
m
m2
1
v S = ⋅ ∑ mi ⋅v i
M i
v1
v2
v12 = v1 − v 2
1
€
€
1
1
1
2
2 €
2
€E€kin = (m1v1 + m2v 2 ) = Mv S + µv122
2
2
2
€
Die Relativbewegung von 2 Teilchen kann als Bewegung EINES Teilchens
mit der reduzierten Masse µ unter dem Einfluss der Kraft F12 beschrieben
werden!

dv12
F12 = µ
dt
µ=
m1m 2
m1 + m 2
Elastische Stöße im Laborsystem
Zielmasse ruht
→P =0
2
Keine Massenübertragung → m! = m ; m! = m
P
P!
P!
→Q =0⇒
=
+
Elastisch
2m
2m 2m
1
1
2
2
2
1
1
Spezialfall: Zentraler Stoss
θ1 = θ2 = 0, Alle Impulse sind colinear
m1v1 = m1v1" + m 2v "2
m 2v "2 = 2µv1 ⇒ v "2 =
€
€
2m1
v1
m1 + m 2
2
2
1
2
1
2
Energieübertragung beim zentralen Stoß
ΔE kin
ΔE
E
P2#2
2m12 m 2
2
=
=
2 v1
2m 2
( m1 + m2 )
m1m 2
µ2
=4
E kin1 = 4
E kin1
2
M
m1m 2
Bei m1 = m2 wird beim
zentralen Stoss die Gesamte
Energie übertragen.
€
m1 m2
Beispiel elastischer Stoss gegen Wand:
m 2 → ∞ ⇒ E = 0 ⇒ P1% = −P1
€
P1"+ P2" = P1 ⇒ P2" = 2P
Doppelter Impuls aber keine Energieübertragung!
€
€
Stöße zwischen zwei
Teilchen
Impulserhaltung
Energiesatz
€
"
"
p1 + p2 = p1 + p 2
"2
"2
2
2
p1
p2
p1
p2
+
=
+
+Q
2 m1" 2 m "2 2m1 2m 2
Q: Energieverlust (d.h. Anteil kinetische Energie der in „innere Energie“
z.B. Wärme, oder Bindungsenergie umgewandelt wurde)
€ Q = 0 Elastischer Stoss
Q < 0 Inelastischer Stoss; innere Reibung – Wärme
Q > 0 Superelastischer Stoss z.B. Chemische Reaktion
den Schwerpunkt S. Es gibt zwar keine analytische Lösung dieses Problems, wohl aber sehr gute
numerische Näherungslösungen [4.1].
2. Das Wasserstoffatom ist ein System aus Proton (Masse m p ) und Elektron (Masse m e ). Aus
m p = 1836 · m e folgt: µ = 0,99946 · m e ≈ m e .
Der Schwerpunkt S liegt (1/1837) · rpe vom Mittelpunkt des Protons entfernt, wenn rpe der Abstand
Proton–Elektron ist.
Die Bewegung der beiden Teilchen im Wasserstoffatom kann aufgeteilt werden in eine Translation des
Schwerpunktes S mit der Geschwindigkeit vS und
die Bewegung eines Teilchens der Masse µ ≈ m e
mit der Relativgeschwindigkeit vpe2um den Schwerpunkt. Die gesamte kinetische Energie des H-Atoms
Stoss in x-y-Ebene
Laborsystem: p =0
wirkungszone lässt sich nur dann berechnen, wenn
das genaue Wechselwirkungspotential bekannt ist. Man
→
m1 v1'
→
m1 v1
Θ1
Θ2
→
m2 v2
→
m2 v2'
Wechselwirkungsgebiet
Abb. 4.5. Schematische Darstellung eines Stoßes mit den
asymptotischen Streuwinkeln θ1 und θ2
P
2
P1 = P "1 + P "2
m
m
1
" m1v1 % " m1v1( cos θ1 % " m 2v (2 cos θ 2 %
$
'=$
'+$
'
(
(
# 0 & # m1v1 sin θ1 & # m 2v 2 sin θ 2 &
y
€
P
2
P
1
θ
1
!
P
1
2
!
2
x
θ
2
y
P
1
⇒ x 2 + y 2 = P2#2 ;( P1 − x ) + y 2 = P1#2
!
P
1
2
€x
€
P1 − x ) + y 2
P12
x2 + y2
(
⇒
=
+
2m1
2m1
2m 2
!
1
Stoß erhalten
(4.16a)
(4.17a)
tems in Rich), sodass gilt:
drehimpulses
odass wegen
wegung beider
Die Spitze des
definiert. Aus
zierten Masse
Nullpunkt liegen müssen,
wenn man sie vom Nullpunkt 1. m 1 = 1,1m 2 ⇒ µ = 0,52m 2 ⇒ si
!
Vektoren p2 auf diesem Kreis um M durch den
⇒ θ1max = 65◦ .
auschen
aufträgt
(Abb. 4.9).
→
Die Winkel θ1 und θ2 geben
die beim Stoß erfolgten
p'2
= 0,67m 2 ⇒ sin
Ablenkungen der beiden Stoßpartner
an. Der maximale 2. m 1 = 2m 2 ⇒ µmax
Θ2
◦
⇒
θ
=
30
.
max
→
→
1
→
des
stoßenden
Teilchens
wird
erAblenkwinkel
θ
m1
Θ1 p' = p1
1
m2
p1
→
!
reicht, wenn p1 Tangentep'an
den Kreis wird. Für m 1 >
1
3. m 1 = 100m 2 ⇒ µ = 0,99m 2
2m 1 m 2
2m 1 v1
m 2Abb.
→ p4.7.
=
m
v
>
v
=
=
2µv
,
d.
h.
1 Stoß1eines
1 Teilchens
1 p1
m 12 und Impuls
m 1 +m 2 1mit Masse
1+m 1 /m
⇒ θ1max = 0,6◦ .
2 Nach
2
| p|auf
isteine
größer
alsMasse
der Durchmesser
des
Kreises.
ruhende
m , dargestellt im
Laborsystem
⇒ ( x − µv1 ) + y 2 = (µv1 )
Mit Reduzierter Masse2 µ
Abb. 4.9 gilt daher für m 1 > m 2 die Beziehung:
& µv #
Alle möglichen Endpunkte
vonµP! liegen
µv1
m 2 auf einem Kreis um M = $ 0 !
max
% "
sin θ 1 =
=
=
. (4.19)
Mit R = µv1 (m 1 − µ)v1 m 1 − µ m 1
€
1
2
y
P(x,y)
.
→
p2'
→
0
sin θ1max =
p2€
'
Θ2
r = µ . v1
M
→
p1'
→
p1'
µv1
µ
m
=
= 2
( m1 − µ)v1 m1 − µ m1
max
Θ1
Θ1
→
p1
x
m1 > m2
Abb. 4.9. Impulsdiagramm von elastischen Stößen für den
Fall m 1 > m 2 . Alle möglichen Endpunkte des Vektors p!2
Elastische Streuung von α-Strahlung (He4)
m1>m2
m1=m2
m1<m2
Zwei Spezialfälle des Nicht-zentralen Stoßes
1
m1 = m 2 = m ⇒ µ = m
2
m1 << m 2 ⇒ µ =
y
y
m1
+1
m2
≈ m1
€
€
P!
P!
P!
2
R = µv
2
1
P
1
1
Thaleskreis
⇒ P #2⊥P #1
€
m
P!
1
x
P = mv
1
1
1
θ
x
1
Elastische Proton-Proton Streuung
nach dem Stoß schließen die
Bahnen einen Winkel von 90° ein.
Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt)
aus Dransfeld et al.
Elastische Stöße im S - System
∑P
is
=0
⇒ P1s# = P1s = P2s# = P2s
z
€
€
P
2
!
P
P!
S
P
P
Beim elastischem Stoss
drehen sich die
Impulsvektoren um S
2s
2
2s
P
x
P
1s
!
1s
P
!
1
1
Elastisch entspricht Q
=0
Im S – System behält jeder
Partner seine kinetische Energie
Entdeckung des Neutrinos durch fehlenden Impuls beim Betazerfall
0
+
−
n → p +e +ν
Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)
Stöße bei relativistischen Energien
Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)
Relativistische Energie-Impuls Beziehung
relativistischer Impuls
m0 v
p(v) = m(v) ⋅ v =
relativistische
Energie
2
1− v c
2 4
0
2
E = m c +c p
2
2
€
Kinetische Energie:
Ruheenergie:
€
€
m0c
E kin = E − m0c
2
2
Elektron
Proton
Neutron
0.511 MeV
938.3 MeV
939.6 MeV
Chemische Reaktionen :
auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
K
A + BC !!→ AB + C




p A + pBC = p AB + pC
Ekin ( A) + Ekin ( BC ) =
Ekin ( AB) + Ekin (C ) + ΔEchem
Die kinetische Energie ist nicht
erhalten, sondern hängt von der
Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz
für endotherme und exotherme Reaktionen
Bsp: 2 Massen
EKin =
=
1
2 1
2
⋅ m1 ⋅ v1 + ⋅ m2 ⋅ v2
2
2
1
 2
 2 1
2 


⋅ (m1 ⋅ v1S + ⋅m2 ⋅ v2 S ) + ⋅ (m1 + m2 ) ⋅ vS + vS (m1 ⋅ v1S + m2 ⋅ v2S )

2
2
= p1S + p2 S =0
€
€
EKin im S-System
Dito für n > 2
EKin der Gesamtmasse vereinigt in S
Chemische Reaktionen :
auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
K
A + BC !!→ AB + C




p A + pBC = p AB + pC
Ekin ( A) + Ekin ( BC ) =
Ekin ( AB) + Ekin (C ) + ΔEchem
Die kinetische Energie ist nicht
erhalten, sondern hängt von der
Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz
für endotherme und exotherme Reaktionen

3⋅ m ⋅ rS
z
Systeme von Massenpunkten
m

r2
Massenschwerpunkt

 1
rSP ⋅ ∑ mi ⋅ ri
M i
110
 S

rS
2
⋅
m
⋅
r
1
v
r1 2 ⋅ m

m ⋅ r2
x
€
4. SystemeSchwerpunktgeschwindigkeit
von Massenpunkten. Stöße
€
y
€


drS dP 1
dri
1

dv !
Für ein abgeschlossenes System aus nur zwei Mas=
=
⋅
m
⋅
=
∑
p
i
∑
F= S
pi =
,
(4.4)
i
sen m 1 , m 2 ergibt sich damit für die kinetische Energie
dt dt M i
dt
dt
M
woraus mit (4.2b) und der Schwerpunktbeschleunigung
aS = dvS /Schwerpunktsatz
dt folgt:
 .
 €
F = M ⋅ aSP
F = MaS
(4.5)
Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems von
Massenpunkten bewegt sich so, als ob er ein Körper mit der Gesamtmasse M wäre, auf den die
gesamte äußere Kraft wirken würde.
Oft ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem zu
wählen, das den Schwerpunkt als Nullpunkt hat und
im Laborsystem:
E kin = 12 m 1 v12 + 12 m 2 v22
"
# 1
2
2
= 12 m 1 v1S
+ m 2 v2S
+ 2 (m 1 + m 2 ) vS2
+ (m 1 v1S + m 2 v2S ) · vS .
(4.7a)
Der letzte Term ist Null wegen p1S + p2S = 0, und wir
erhalten
(S)
E kin = E kin
+ 12 MvS2
.
(4.7b)
Zerlegung in Schwerpunkt- und innere Bewegung


pges = M ⋅ v SP
E
ges
kin

∑ piS = 0
1
1 2
2
= Mv + ∑ mv iS
2
i 2
Die Summe aller Impulse
im Spkt-System ist immer Null
EKin der Gesamtmasse vereinigt in S





Lges = rSP × Mv SP + ∑ riS × mv iS
i
Bahndrehimpuls
+ Eigendrehimpuls
+ EKin im S-System
Spezialfall – zwei Körper


dv12
F12 = µ
dt
m1m2
mit µ =
m1 + m2
Reduzierte Masse
€


pges = M ⋅ v SP
E
ges
kin
€
v12 = v1 − v 2
Relativ-Geschw.
m
m2
v1
v2
1
1
1 2
2
= Mv + µ v12
2
2
gebundenes System
€



Lges = rSP × Mv SP + r12 × µ v12
€€
m
1
v1
€
m2
Stoß