Präferenzrelationen

Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Seminararbeit aus Finanz- und Versicherungsmathematik
Technische Universität Wien
12. Juli 2013
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Inhaltsverzeichnis
1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
2
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
3
Risikoaversion
Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Einführung
Modelle, die den Finanzmarkt beschreiben, müssen stochastisch
sein, um Risiko adäquat modellieren zu können. Ein Markt ist ein
Ort, an dem Güter und Dienstleistungen von Agenten ausgetauscht
werden, deren Handlungen durch ihre Präferenzen bestimmt
werden.
Zu Beginn beschreiben wir Präferenzrelationen in einer nichtleeren
Menge X die aus Wahlmöglichkeiten eines Agenten besteht. In den
finanziellen Rahmenbedingugen können solche Wahlmöglichkeiten
als ”Payoff Profiles” bezeichnet werden.
Im Kapitel 2 und 3 beschreiben wir das Konzept des erwarteten
Nutzens. Daher werden wir uns mit Entscheidungen unter
Unsicherheit beschäftigen die als Lotterien modelliert werden.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Strikte Präferenzrelationen
Sei X eine nichtleere Menge und x, y ∈ X Wahlmöglichkeiten
eines Agenten.
Definition 1.1
Eine binäre Relation ⊆ X × X heißt Präferenzrelation, falls sie
folgende Eigenschaften erfüllt:
Asymmetrie: ∀x, y ∈ X : Wenn x y =⇒ y x.
Negative Transitivität: ∀x, y, z ∈ X :
Wenn x y =⇒ x z oder z y oder beide.
• Bedeutung der negativen Transitivität?
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Schwache Präferenzrelationen und Indifferenzrelationen
Definition 1.2
Eine Schwache Präferenzrelation ist definiert als:
x y :⇐⇒ y x.
Eine Indifferenzrelation ist definiert als:
x ∼ y :⇐⇒ x y und y x.
Bemerkung 1.3
Asymmetrie und negative Transitivität von sind äquivalent zu
den folgenden Eigenschaften von :
1
Vollständigkeit: ∀x, y ∈ X : x y oder y x oder beide.
2
Transitivität: Wenn x y und y z =⇒ x z.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Numerische Repräsentation
Hat man eine vollständige und transitive Präferenzrelation so kann
der Nutzen mittels einer Nutzenfunktion U numerisch repräsentiert
werden, d.h durch Zahlen dargestellt werden.
Definition 1.4
Eine numerische Repräsentation einer Präferenzordnung ist eine
Funktion
U : X −→ R, so dass x y ⇐⇒ U (x ) > U (y)
und das ist äquivalent zu x y ⇐⇒ U (x ) ≥ U (y)
Bemerkung 1.5
Eine numerische Repräsentation ist nicht eindeutig: Sei f eine
e (x) := f (U (x ))
streng monoton wachsende Funktion, dann ist U
auch eine numerische Repräsentation.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Existenz der numerischen Repräsentation
Um die Existenz der numerische Repräsentation zu beweisen
betrachten wir folgendes Theorem.
Theorem 1.6
Für die Existenz einer numerischen Repräsentation einer
Präferenzrelation ist es notwendig und hinreichend dass X eine
abzählbare Teilmenge Z enthält, die dicht in X liegt.
Insbesondere, hat jede Präferenzordnung eine numerische
Repräsentation falls X abzählbar ist.
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Beweis von Theorem 1.6
Beweis
Für eine abzählbare Teilmenge Z aus X , sei
Z(x) := {z ∈ Z|z x} und Z(x) := {z ∈ Z|x z}
Aus der Präferenzordnung x y folgt dass Z(x) ⊆ Z(y) und
Z(x) ⊇ Z(y).
Für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung µ auf Z sei
X
X
U (x) :=
µ(z)
µ(z) −
z∈Z(x)
z∈Z(x)
Mit obiger Bezeichnung gilt U (x) > U (y) ⇐⇒ x y. Daher ist
U die numerische Repräsentation.
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Ein Beispiel
,→ Selbst wenn es eine eindeutige Wahlmöglichkeit gibt, eine
gegebene Präferenzenordnung hat nicht immer eine numerische
Repräsentation, was folgendes Gegenbeispiel illustriert.
Sei zunächst
X = R2 und die lexikographische Ordnung auf X , also
(x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ⇐⇒ x1 > y1 oder x1 = y1
und (gleichzeitig!) x2 > y2 .
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Ein Beispiel
Beispiel 1.7
Angenommen es existiert eine numerische Repräsentation, also eine
Funktion U (x ). ∀r ∈ R und r ≥ 0:
(r, 2) (r, 1) =⇒ U ((r , 2)) > U ((r , 1)) und es ∃q ∈ Q sodass
U ((r , 2)) > q > U ((r , 1))
Für r > r0 ≥ 0: (r, 1) (r0 , 2) =⇒ U ((r , 1)) > U ((r 0 , 2)) und
qr > U ((r , 1)) > U ((r 0 , 2)) > qr0
Daher gilt dass aus r 6= r0 =⇒ qr 6= qr0 , aber dann würde r 7−→ qr
eine injektive Abbildung von R in Q sein was ein Widerspruch
ist.
• Wo liegt das Problem bei der Lexikographische Ordnung?
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Präferenzrelationen
Numerische Repräsentation
Zwei wichtige Definitionen
Definition 1.8
Sei X ein topologischer Raum. Eine Präferenzrelation heißt
stetig falls ∀x ∈ X :
B(x) := {y ∈ X |y x} und B(x) := {y ∈ X |x y}
offene Mengen in X sind.
Definition 1.9
Sei X ein topologischer Raum für den mindestens eine von den
folgenden Eigenschaften erfüllt ist:
X hat eine abzählbare Basis von offenen Mengen
X ist separable und zusammenhängend
Dann hat jede stetige Präferenzordnung auf X eine stetige
numerische Repräsentation.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Jede Wahlmöglichkeit eines Agenten soll duch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Menge von Szenarien beschrieben
werden.
,→(S, S) · · · messbarer Raum
,→M1 (S, S) · · · Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (S, S)
,→X = M · · · Teilmenge von M1 (S, S)
Die Elemente von M werden Lotterien gennant. Wir setzen voraus das
M konvex ist, d.h ∀µ, ν ∈ M und ∀α ∈ [0, 1] : αµ + (1 − α)ν ∈ M .
Definition 2.1
Eine numerische Repräsentation einer Präferenzordnung wird von
Neumann-Morgenstern-Repräsentation genannt, falls sie sich darstellen
lässt als:
R
U (µ) = u(x)µ(dx) ∀µ ∈ M,
wobei u eine reele Funktion auf S ist.
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Risikoaversion
Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Jede von-Neumann-Morgenstern Repräsentation ist affin, das heißt:
U (αµ + (1 − α)ν) = αU (µ) + (1 − α)U (ν)
∀µ, ν ∈ M und α ∈ [0, 1]
Aus der Affinität lassen sich 2 wichtige Eigenschaften bzw Axiome
für eine Präferenzrelation auf M herleiten.
I Unabhängigkeitseigenschaft
I Archimedeseigenschaft / Stetigkeitseigenschaft
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Die Unabhängigkeits- und Archimedeseigenschaft
Definition 2.2
Eine Präferenzordnung erfüllt die Unabhängigkeitseigenschaft
wenn für alle µ, ν ∈ M mit µ ν gilt:
αµ + (1 − α)λ αν + (1 − α)λ
∀λ ∈ M und ∀α ∈ (0, 1].
Definition 2.3
Eine Präferenzordnung erfüllt die Archimedeseigenschaft wenn
zu jedem Tripel µ λ ν Konstante α, β ∈ (0, 1) existieren, so
dass gilt:
αµ + (1 − α)ν λ βµ + (1 − β)ν
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Existenz der numerischen Repräsention
• Ist eine numerische Repräsentation die obige Axiome erfüllt,
immer eine VNM Repräsentation?
Theorem 2.4
Sei eine Präferenzordnung auf M welche die 2 Axiome erfüllt.
Dann existiert eine affine numerische Repräsentation U von .
Dabei ist U , bis auf alle positiven affinen Transformationen,
eindeutig.
Bemerkung 2.5
So eine numerische Repräsentation muss keine
VNM-Repräsentation sein.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Existenz der VNM-Repräsentation
Zieht man Wahrscheinlichkeitsverteilungen heran, so existiert ein
Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf S das sich als Linearkombination
N
P
µ=
αi δxi von x1 , · · · · · · , xN ∈ S mit Koeffizienten
i=1
α1 , · · · · · · , αN ∈ (0, 1] darstellen lässt.
Theorem 2.6
Sei M die Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf S und
sei eine Präferenzordnung auf M welche die 2 Axiome erfüllt.
Dann existiert eine VNM-Repräsentation U von .
Dabei sind U und u, bis auf alle positiven affinen
Transformationen, eindeutig.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Beweis von Theorem 2.6
Beweis
Laut Theorem 2.4 existiert eine affine numerische Repräsentation
U . Wir definieren u(x) := U (δx ) für x ∈ S. Ist µ ∈ M der Form
µ = α1 δx1 + · · · · · · + αN δxN , so ergibt die Affinität von U :
U (µ) =
N
X
Z
αi U (δxi ) =
u(x)µ(dx)
i=1
Das ist die erwünschte von-Neumann-Morgenstern
Repräsentation.
Bemerkung 2.7
Auf einer endlichen Menge S, ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß
einfach. Daher ist Theorem 2.6 für endliche Mengen S gültig.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Unendliche Mengen
Beispiel 2.8
Sei M die Menge aller Borelmaßen auf S:=[0,1] und sei λ das
Lebesgue Maß auf S. Es gilt µ = µs + µα
Definiere U : M −→ [0, 1] mit
R
U (µ) := xµα (dx).
=⇒ U ist affine Funktion auf M
=⇒ U induziert eine Präferenzordnung auf M
I Unabhängigkeitseigenschaft X
I Archimedeseigenschaft X
Keine VNM-Repräsentation: Da U (δx ) = 0 ∀x ⇒ u ≡ 0 aus
(2.1). Aber dann würde die Präferenzrelation trivial sein, im
Sinne von µ ∼ λ ∀µ ∈ M und das ist ein Widerspruch z.B
zu U (λ) = 12 und U (δ 1 ) = 0
2
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Risikoaversion
Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Unendlich Mengen
• Folgerung? Für unendliche Mengen S gibt es nicht immer eine
VNM-Repräsentation. Um eine VNM-Repräsentation zu
bekommen verlangt man zusätzliche Stetigkeitseigenschaften
und unterscheidet zwischen beschränkte und nicht
beschränkte Funktionen.
Definition 2.9 - Schwache Topologie
Die schwache Topologie auf M(S, S) ist die gröbste Topologie für
die gilt:
Z
µ ∈ M,
µ 7−→ f dµ
f ∈ Cb
Diese Abbildungen sind stetig. Cb ist die Menge aller beschränkten
stetigen Funktionen.
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
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VNM-Repräsentation für unendliche Mengen und
beschränkte Nutzenfunktionen
Theorem 2.10
Sei M = M1 (S, S) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaßen
versehen mit der schwachen Topologie und sei eine stetige
Präferenzordnung auf M die das Unabhängikeitsaxiom erfüllt.
Dann existiert eine VNM-Repräsentation
Z
U (µ) = u(x)µ(dx)
wobei u : S −→ R stetig ist. U und u sind eindeutig.
• Archimedesaxiom?
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Zwei Hilfssätze für den Beweis von Theorem 2.10
Hilfssatz 2.11
Der Raum M(S, S) aller nicht-negativ endlichen Maßen ist
separabel und metrisierbar. Ist S0 eine dichte Teilmenge in S, so
ist die Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit rationalen
Gewichten dicht in M(S, S).
Hilfssatz 2.12
Sei X ein zusammenhängender metrischer Raum mit einer stetigen
Präferenzordnung . Ist U −→ R eine stetige Funktion und ist
ihre Einschränkung auf der dichten Teilmenge Z eine numerische
Repräsentation für die Einschränkung von auf Z, so ist U auch
eine numerische Repräsentation für auf X .
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
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Beweis von Theorem 2.10 - Skizze
Beweis
1 Aus der Stetigkeit folgt die Archimedeseigenschaft. Da die
Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaßen Ms Teilmenge von
M1 ist, so folgt dass eingeschränkt auf Ms eine
VNM-Repräsentation hat.
2
Wir können zeigen dass Ru beschränkt und stetig ist. So bleibt
zu zeigen dass U (µ) = u(x)µ(dx) eine numerische
Repräsentation ist.
3
Da u beschränkt und stetig ist, so folgt dass U (µ) stetig bzgl
der schwachen Topologie ist.
4
Aus Hilfssatz 2.11 folgt dass Ms dichte Teilmenge von einem
zusammenhängenden metrisierbaren Raum M ist.
5
Anwedung von Hilfssatz 2.12 vervollständigt den Beweis.
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Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
VNM-Repräsentation für unbeschränkte Funktionen
Sei ψ eine stetige Funktion mit ψ : S 7−→ [1, ∞) .
Cψ bezeichnet den Vektorraum aller stetigen Funktionen
f : R −→ R, also
Cψ (S) := {f ∈ C(S)|∃c : |f (x)| ≤ c · ψ(x), ∀x ∈ S}
,→ Ist ψ=1 so ist Cψ (S) die Menge aller beschränkten stetigen
Funktionen.
Mψ bezeichnetRdie Menge aller nicht-negativen endlichen
Maßen, sodass ψd(µ) < ∞, also
R
Mψ
1 (S) := {µ ∈ M1 (S)| ψ(x)µ(dx) < ∞}.
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Definition 2.13 - ψ-schwache Topologie
Die ψ-schwache Topologie ist die gröbste Topologie für die alle
Abbildungen
Mψ (S) 3 µ 7−→
R
f d(µ),
f ∈ Cψ (S)
stetig sind.
Theorem 2.14
Sei eine Präferenzordnung auf Mψ
1 (S) welche das
Unabhängigkeitsaxiom erfüllt und stetig in der ψ-schwachen
Topologie ist. Dann existiert eine VNM-Repräsentation
R
U (µ) = u(x)µ(dx)
mit u ∈ Cψ (S). U und u sind eindeutig.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Allais-Paradoxon
Tabelle 1
WS/Gewinn
0.66
0.33
0.01
Lotterie µ1
2400
2500
0
Lotterie µ2
2400
2400
2400
Lotterie ν1
0
2500
0
Lotterie ν2
0
2400
2400
,→ Nachdem Unabhängigkeitsaxiom sollte der Inhalt der ersten
Zeile keinen Einfluss auf das Entscheidungsverhalten haben.
,→ Die Mehrzahl der Versuchspersonen wählt im Experiment
µ2 und ν1 =⇒ µ2 µ1 und ν1 ν2
µ2 µ1 : u(2400) > 0.66u(2400) + 0.33u(2500) + 0.01u(0)
ν1 ν2 : 0.67u(0) + 0.33u(2500) > 0.66u(0) + 0.34u(2400)
Umformung liefert:
0.34u(2400) > 0.33u(2500) + 0.01u(0)
0.34u(2400) < 0.33u(2500) + 0.01u(0)
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Eigenschaften und Axiome
Endliche Mengen und einfache WS-Verteilungen
Unendliche Mengen und das Allais-Paradoxon
Allais-Paradoxon
• Folgerung?
Die zwei letzten Aussagen widersprechen sich. Daher ist das
Unabhängigkeitsaxiom nicht erfüllt.
Würde das Unabhängigkeitsaxiom erfüllt sein, dann sollte gelten:
αµ2 + (1 − α)ν1 αµ1 + (1 − α)ν1 αµ1 + (1 − α)ν2
∀α ∈ (0, 1)
1
, so bekommen wir
2
1
(µ2 + ν1 ) 2
das ein Widerspruch zu
1
(µ2 + ν1 ) =
2
ist.
Wählen wir α =
Alexios-Vasileios Alexopoulos
1
(µ1 + ν2 )
2
1
(µ1 + ν2 )
2
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Risikoaversion
Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
Risikoaversion
Wir betrachten Anlagemöglichkeiten (z.B Aktien), deren
Verteilung zu einen fixen Zeitpunkt bekannt ist. Die Verteilung
wird als WS-Verteilung auf S ⊂ R angenommen.
,→ M ist konvex und enthält alle Punktmaße δx .
Für alle µ ∈ M ist die Erwartung
Z
m(µ) := xµ(dx) ∈ R
wohldefiniert.
Definition 3.1
Eine Präferenzrelation auf M heißt monoton, wenn
x > y =⇒ δx > δy
Eine Präferenzrelation heißt risikoavers, falls ∀µ ∈ M
δm(µ) µ sonst gilt δm(µ) = µ
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
Theorem 3.2
Sei eine Präferenzrelation mit der VNM-Repräsentation U (µ) =
Dann gilt:
1
ist monoton ⇐⇒ u streng monoton wachsend ist.
2
ist risikovers ⇐⇒ u streng konkav ist.
R
udµ.
Beweis von Theorem 3.2
1
Sei x > Ry. Monotonie ist äquivalent zu
u(x) = u(s)δx (ds) = U (δx ) > U (δy ) = u(y).
2
Sei risikoavers. Dann gilt für verschiedene x, y ∈ S und α ∈ (0, 1)
δαx+(1−α)y αδx + (1 − α)δy
=⇒ u(αx + (1 − α)y) > αu(x) + (1 − α)u(y) =⇒ u streng konkav.
Sei u streng konkav. Risikoaversion
folgtRaus der Jensen-Ungleichung
R
U (δm(µ) ) = u(m(µ)) = u( xµ(dx)) ≥ u(x)µ(dx) = U (µ)
Es gilt Gleichheit für µ = δm(µ) .
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Risikoaversion
Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
Nutzenfunktionen
• Ist die Annahme der Risikoaversion ”klar”?
Wir betrachten nun jene Präferenzrelationen
auf M die eine
R
VNM-Repräsentation U (µ) = udµ mit einer Nutzenfunktion
u : S −→ R haben.
Definition 3.3
Eine Funktion u : S −→ R heißt Nutzenfunktion, falls sie streng konkav,
streng monoton wachsend und stetig ist.
Definition 3.4
Das Sicherheitsäquivalent einer Lotterie µ ∈ M ist die reelle Zahl
c(µ) ∈ S, die
R
u(c(µ)) = U (µ) = udµ
(*)
löst.
Die Risikoprämie von µ ist definiert als ρ(µ) := m(µ) − c(µ).
Jensen Ungleichung ergibt c(µ) ≤ m(µ) und c(µ) < m(µ) ⇔ µ 6= δm(µ)
Alexios-Vasileios Alexopoulos
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Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
,→ Betrachten wir die Lotterie
µ=
∞
X
2−n δ2n−1
n=1
Glücksspiel mit Teilnahmegebühr von einem Euro (1e)
Faire Münze wird geworfen.
Zahl: Spiel fortsetzen, Kopf: Spiel beenden.
Der Gewinn verdoppelt sich falls Zahl erscheint.
1
Man gewinnt also 2n−1 nach n würfen mit WS: P = n .
2
z.B
1
1
⇒ Gewinn = µ = 1e, P = ⇒ Gewinn = µ = 2e,
2
4
1
1
P = ⇒ Gewinn = µ = 4e, P =
⇒ Gewinn = µ = 8e, · · · )
8
16
(P =
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
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Risikoaversion
Tabelle
Wurf
1
2
3
..
.
n
..
.
2
Gewinn
1
2
4
..
.
2n−1
..
.
m(µ) =
Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
WS
1/2
1/4
1/8
..
.
Erwarteter Gewinn
1 · 1/2 = 1/2
2 · 1/4 = 1/2
4 · 1/8 = 1/2
..
.
1/2n
..
.
2n−1 · 1/2n = 1/2
..
.
∞
∞
X
1 n−1 X 1
2
=
=∞
2n
2
n=1
n=1
,→ Der Veranstalter verlangt das die Teilnahmegebühr ≥ des
durchschnittlichen Gewinnes ist (sodass er auch einen Gewinn hat!).
,→ Die Testperson würde nicht auf eine große Teilnahmegebühr A
zustimmen, (zB A ≈ ∞), weil sie davon ausgeht nicht so viel Glück zu
haben einen großen Betrag zu gewinnen, da die WS sehr klein ist.
Alexios-Vasileios Alexopoulos
Präferenzrelationen TEIL 1
Präferenzrelationen und Numerische Repräsentation
Von Neumann - Morgenstern Repräsentation
Risikoaversion
Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
• u ∈ C 2 zweimal stetig differenzierbar: u konkav ⇐⇒ u00 ≤ 0
• Aus Theorem 3.2: ist risikovers ⇐⇒ u streng konkav
• Jensen Ungleichung ergibt
c(µ) ≤ m(µ) und c(µ) < m(µ) ⇔ µ 6= δm(µ)
• Betrachte Agent mit Vermögen x, und Nutzenfunktion u ∈ C 2 .
• Bietet man ihm an einen contingent claim Y zu bekommen, so wird er
ihn genau dann annehmen, wenn
E[u(x + Y )] ≥ E[u(x)] = u(x)
Für kleines Y : Taylorentwicklung um x ergibt
0 ≤ E[u(x + Y ) − u(x)] ≈ E[u0 (x)Y + 12 u00 (x)Y 2 ]
• Der Agent wird Y haben wollen, falls
2EY
−u00 (x)
≥ 0
= α(x) =: ARA(x)
2
E[Y ]
u (x)
wobei ARA(·) den absoluten Risikoaversionskoeffizienten bezeichnet.
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Nutzenfunktion
St.Petersburg Paradoxon
Arrow-Pratt-Maß
• Alternativ investiert der Agent in eine risikobehaftete
Anlagemöglichkeit die zum Zeitpunk 1 den Wert
x(1 + Y ) hat.
• Der Agent wird Y haben wollen, falls
E[u(x + Y )] ≥ E[u(x)] = u(x)
Nach Taylor ist dann
0 ≤ E[u(x(1 + Y )) − u(x)] ≈ E[u0 (x)xY + 21 u00 (x)x2 Y 2 ]
=⇒
2EY
−xu00 (x)
≥
=α
e(x) =: RRA(x)
E[Y 2 ]
u0 (x)
wobei RRA(·) den relativen Risikoaversionkoeffizienten bezeichnet.
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Bemerkung 3.5
ARA(x) konstant =⇒ u ist CARA-Nutzenfunktion.
α(x) = −(ln u0 (x))0 =⇒ u(x) = α − βe−αx
RRA(x) konstant =⇒ u ist CRRA-Nutzenfunktion.
Der Agent will Y lieber haben, falls EY groß oder E[Y 2 ] klein
ist.
u : R −→ R heißt HARA-Nutzenfunktion
(”hyperbolic absolute risk aversion”), falls für u ∈ C 2 und für
Konstante γ < 1:

 ln x falls γ = 0
(1 − γ)
1
α(x) =
=⇒ u(x) =
 xγ falls γ < 0
x
γ
Die CARA-,CRRA-Nutzenfunktionen sind
HARA-Nutzenfunktionen.
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Nutzenfunktion
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u(x)
x
0
α = 0, 5
α=2
α=1
Abbildung 1 : Die CARA-Funktion: u(x) = −eαx ,
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α > 0.
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u(x)
ε = 0, 2
ε = 0, 4
0
ε = 0, 8
x
ε
Abbildung 2 : Die ”Nutzenfunktion” u(x) = x − x2 ,
2
ε > 0.
u(x) ist konkav, aber nicht monoton wachsend. Trotzdem
wird sie als ”Nutzenfunktion” verwendet, da sie einfach zu
handhaben ist.
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Quellenangaben
[1] Hans Föllmer, Alexander Schied, Stochastic Finance.
An Introduction in Discrete Time, 2. Auflage
[2] Norbert Kusolitsch, Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
[3] Wolfgang Wertz, Mass- & Wahrscheinlichkeitstheorie
[4] Martin Blömlinger, Analysis 3
[5] Wikipedia, http://en.wikipedia.org
[6] Dr. Veraart, Mitschrieb der Vorlesung “Finanzmathematik
1”, Wintersemester 08/09, Universität Karlsruhe
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Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!
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