Logisches Schließen Das ist doch logisch!

Mathematik
und Logik
Mathematik
und Logik
2009W
2009W
Was ist Logik?
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Elementare
Zahlentheorie
Mathematik und Logik
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Teilerfremde Zahlen
2009W
Primzahlen
Logik
Institut für Algebra
Johannes Kepler Universität Linz
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Vorlesung im 2009W
http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Students/Win/ml
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Inhalt
Was ist Logik?
Elementare Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz, ⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische
Disjunktion,
∨
Das
ist doch
logisch!
Curry-Howard-Isomorphismus
Listen
I Dieser Stein fällt zu Boden.
Lineare Algebra
I Ist das wirklich logisch?
Abstrakte
Algebra
I N E I N !
I
Um dies zu erkennen, ist ein Experiment notwendig.
I
Bedeutung der Begriffe: „Dieser Stein“, „fällt“, „zu Boden“?
RSA-Verschlüsselung
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Was ist Logik?
I
Elementare
Zahlentheorie
Wir nehmen an:
I
Natürliche Zahlen
I
Teilbarkeit
Jeder Körper fällt zu Boden.
Dieser Stein ist ein Körper.
I
Dann gilt:
I
Dieser Stein fällt zu Boden.
I
Das ist LOGISCH.
Logik
I
Dafür ist kein Experiment notwendig.
Aussagenlogik
I
Die Bedeutung der Begriffe „Dieser Stein“, „fällt“, „zu Boden“,
„Körper“ ist dabei irrelevant.
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
I
I
Ebenfalls irrelevant: Wahrheitsgehalt der Annahmen.
Dieselbe logische Schlußregel kann auf gänzlich andere
Situationen angewandt werden, z.B.:
I
I
I
Jeder Mensch ist sterblich.
Aristoteles ist ein Mensch.
Also: Aristoteles ist sterblich.
0, S0, S(S0), S(S(S0)), . . . , S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S0))))))))))))), . . .
oder einfacher:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logisches Schließen
Beispiel
Existenzquantor, ∃
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
2009W
Zwei natürliche Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie gleich
konstruiert wurden.
Allquantor, ∀
Aussagenlogik
Curry-HowardIsomorphismus
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf diese Weise konstruieren
I
Datentypen
Logische Konjunktion, ∧
Existenzquantor, ∃
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen Nachfolger Sn;
I
Logik
Logik
Datentypen
0 ist eine natürliche Zahl;
I
RSA-Verschlüsselung
Logische Implikation, ⇒
Logische Disjunktion, ∨
I
Primzahlen
Aussagenlogik
Allquantor, ∀
Definition
Natürliche Zahlen
RSA-Verschlüsselung
Prädikatenlogik
Definierende Eigenschaften
Elementare
Zahlentheorie
Logik
Mathematik
und Logik
Bedeutung der Begriffe: „Dieser Stein“, „fällt“, „zu Boden“?
Logik
Logische Implikation, ⇒
Natürliche Zahlen
Um dies zu erkennen, ist ein Experiment notwendig.
I
Existenzquantor, ∃
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Elementare
Zahlentheorie
NEIN!
I
Allquantor, ∀
Allquantor, ∀
Was ist Logik?
Ist das wirklich logisch?
I
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
2009W
Dieser Stein fällt zu Boden.
I
RSA-Verschlüsselung
RSA-Verschlüsselung
Mathematik
und Logik
I
Natürliche Zahlen
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
Das ist doch logisch!
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Eukidsche Division
Wir gruppieren:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m =q·b+r
und
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
|
|
|
r < b.
Diese Idee läßt sich wiederholen:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 · 52 + 4 · 5 + 2 = (342)5 (Stellenwertsystem zur Basis 5).
Stellenwertsystem
Satz
Seien m und b natürliche Zahlen, mit b 6= 0.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Liste von natürlichen
Zahlen r0 , r1 , . . . , rn−1 , sodaß
I rk < b, für alle k { 1, . . . , n − 1 }
I
rn−1 6= 0.
und
I
m = rn−1 · bn−1 + . . . + r1 · b + r0
=
n−1
X
rk · bk .
k=0
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
|
Seien m und b natürliche Zahlen
und b 6= 0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahl q, r, sodaß
Logische Konjunktion, ∧
Prädikatenlogik
|
Satz (Euklidsche Division)
Beispiel
Dezimalsystem Basis 10, in den meisten Kulturen üblich;
Sexagesimalsystem Basis 60, altbabylonisch;
Dualsystem
Basis 2, verwenden die meisten Digitalcomputer;
Oktalsystem Basis 8, Variante des Dualsystems, da 8 = 23 ;
2
Hexadezimalsystem Basis 16 = 22 , heute gängigere Variante.
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Beweis für b-adische Darstellung
Mathematik
und Logik
2009W
Beweis.
Was ist Logik?
Ist m = 0, so erfüllt die leere Liste (und nur diese) die gewünschten
Eigenschaften.
Ansonsten bestimmen wir mittels Euklidscher Division natürliche
Zahlen q und r, sodaß m = q · b + r und r < b.
Wir nehmen an, daß q die eindeutige Darstellung
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
RSA-Verschlüsselung
q=
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Existenzquantor, ∃
rk · b
k
·b+r =
=
Logische Implikation, ⇒
Logische Disjunktion, ∨
Lineare Algebra
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
rk · b
k+1
Logische Disjunktion, ∨
+r
Prädikatenlogik
n
X
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
k
0
rk−1 · b + r · b .
k=1
Logische Konjunktion, ∧
Listen
n−1
X
k=0
Datentypen
Curry-HowardIsomorphismus
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
k=0
Allquantor, ∀
Logik
Logische Konjunktion, ∧
n−1
X
m=
Prädikatenlogik
rk · bk
k=0
besitzt. Dann gilt
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
n−1
X
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Disjunktion, ∨
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
Datentypen
Logische Konjunktion, ∧
Damit haben wir eine passende Darstellung gefunden.
Es bleibt noch zu zeigen, daß diese eindeutig ist. (Übung!)
Teilbarkeit
Axiom
(Introduktionsregel
für Teilbarkeit)
Bemerkung
Wenn d, n, q ganze Zahlen sind,
sodaß q · d = n,
Dann gilt: d teilt n.
Example
Weil 6 · 2 = 12, gilt: 2 teilt 12.
Example
Wenn wir die Aussage
„4 teilt 20"beweisen möchten, so
reicht es, eine ganze Zahl q zu
konstuieren, sodaß q · 4 = 20.
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
beweisen möchten, so reicht es,
dazu eine ganze Zahl q zu
konstuieren (abhängig von d und
n), sodaß q · d = n.
Axiom
(Eliminationsregel für
Teilbarkeit)
Seien d und n ganze Zahlen,sodaß
gilt: d teilt n.
Dann gibt es eine ganze Zahl q,
sodaß q · d = n.
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Gemeinsame Teiler
Teilbarkeit
Mathematik
und Logik
2009W
Definition
Z
Z
Z
Eine Zahl d heißt ein Teiler von n , wenn es ein q gibt,
sodaß n = q · d. Man sagt dann auch, d teilt n, und schreibt d | n.
Es gilt also
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
∃ n = q · d.
q
Z
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Teilbarkeit ist transitiv, d.h. für alle a, b, c :
Z gilt
a | b ∧ b | c =⇒ a | c
Prädikatenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Logische Implikation, ⇒
Teilbarkeit
Logik
Satz
Logische Disjunktion, ∨
Existenzquantor, ∃
Natürliche Zahlen
RSA-Verschlüsselung
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Datentypen
Elementare
Zahlentheorie
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Aussagenlogik
Was ist Logik?
Diophantische Gleichungen
d | n ⇐⇒
Teilerfremde Zahlen
Logik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Beweis.
Datentypen
Seien a | b und b | c.
Dann gibt es x, y , sodaß b = x · a und c = y · b.
Einsetzen ergibt c = y · (x · a) = (y · x) · a,
d.h. a | c.
Z
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Abstrakte Algebra
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Satz
Seien a, b :
Satz
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Z gilt:
Transitivität: a | b ∧ b | c =⇒ a | c;
„Fast“-Antisymmetrie: a | b ∧ b | a ⇐⇒ |a| = |b|.
Für alle a Z gilt:
I
I
a | 0;
I
0 | a ⇐⇒ a = 0.
Somit ist 1 die kleinste und 0 die größte Zahl (bezüglich Teilbarkeit).
Z
Man nennt d einen gemeinsamen Teiler von n, m , wenn d | n und
d | m gilt.
Satz
Jeder Teiler eines gemeinsamen Teilers ist wieder ein gemeinsamer
Teiler.
Beweis.
Dies folgt direkt aus der Transitivität der Teilbarkeitsrelaion.
Definition
N
Ein gemeinsamer Teiler d heißt ein größter gemeinsamer Teiler,
wenn jeder weitere gemeinsame Teiler ein Teiler von d ist.
Lemma
Gibt es zu zwei Zahlen einen größten gemeinsamen Teiler, so ist
dieser eindeutig bestimmt.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
Theorem (Euklidscher Algorithmus)
Z
Seien m, n . Dann gibt es genau einen größten gemeinsamen
Teiler d von m und n.
N
Beweis.
Wir beweisen mit Induktion nach |n|.
Ist n = 0, so ist |m| ein größter gemeinsamer Teiler von m und n.
Ist |n| > 0, dann gibt es Zahlen q, r mit m = qn + r und 0 ≤ r < |n|.
Laut Induktionsvoraussetzung haben n und r einen größten
gemeinsamen Teiler d. Da die gemeinsamen Teiler von m und n
dieselben sind wie die gemeinsamen Teiler von n und r, ist d auch
der größte gemeinsame Teiler von m und n.
Definition
Den größten gemeinsamen Teiler von m und n bezeichnen wir mit
ggT(m, n). Laut obigem Beweis erfüllt dieser die beiden Gleichunen:
ggT(m, 0) = |m| ,
ggT(m, n) = ggT(n, r),
Elementare
Zahlentheorie
für m = q · n + r.
Gleichungen über den ganzen Zahlen
Problem
Z
Es seien m, n, d . Wir suchen nach ganzzahligen Lösungen der
Gleichung
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
x · m + y · n = d.
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Bemerkung
I
Jeder gemeinsame Teiler von m und n teilt auch d;
insbesondere ggT(m, n) | d.
I
Falls x1 · m + y1 · n = d gilt, dann erhalten wir daraus für jedes
q : , q · x1 · m + q · y1 · n = q · d, und somit auch eine Lösung
von x · m + y · n = q · d.
I
Es ist daher von Interesse, ob diese Gleichung stets lösbar ist,
wenn d = ggT(m, n).
I
Die Differenz zweier Lösungen dieses Systems ist eine Lösung
von x · m + y · n = 0 (die zugehörige homogene Gleichung).
Logische Implikation, ⇒
1 | a;
a | 1 ⇐⇒ |a| = 1;
I
2009W
Was ist Logik?
⇐⇒ |a| | |b|
Reflexivität: a | a;
Satz
Mathematik
und Logik
Natürliche Zahlen
Für alle a, b, c Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Z. Dann gilt: a | b
Definition
Listen
Abstrakte Algebra
Ordnungseigenschaften der Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Curry-HowardIsomorphismus
Lineare Algebra
2009W
Annahmen: d | n, m = qn + r. Wir haben zu zeigen, daß
d | m ⇐⇒ d | r.
Aus d | n erhalten wir sofort d | qn.
Wenn d | m, dann gilt auch d | (m − qn), und somit d | r.
Wenn d | r, dann gilt auch d | (qn + r), und somit d | m.
Somit gilt d | m ⇐⇒ d | r.
Logische Disjunktion, ∨
Lineare Algebra
Mathematik
und Logik
Beweis.
Listen
Abstrakte Algebra
Teilbarkeit
Z
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
d teilt n
Lineare Algebra
Natürliche Zahlen
Z
Lineare Algebra
Was ist Logik?
Seien d, n beliebige ganze Zahlen.
Wenn wir eine Aussage der Form
Listen
Elementare
Zahlentheorie
Z
Seien m, n und m = qn + r, mit q, r , und d ein Teiler
von n.
Dann ist d genau dann ein Teiler von m, wenn es ein Teiler von r
ist.
Curry-HowardIsomorphismus
2009W
Curry-HowardIsomorphismus
Was ist Logik?
Lemma
Listen
Mathematik
und Logik
Logische Disjunktion, ∨
2009W
Z
Seien d, n, m, z und d | n, d | m. Dann gelten auch
d | n + m, d | n − m, und d | z · n.
Abstrakte Algebra
Logische Konjunktion, ∧
Mathematik
und Logik
Satz
Teilbarkeit
Primzahlen
Logik
Teilbarkeit und Grundrechnungsarten
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Z
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Lösung Diophantischer Gleichungen
Theorem (Erweiterter Euklidscher
Algorithmus)
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Was ist Logik?
Z
Z
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
d = xm + yn.
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
2009W
Seien m, n , und d = ggT(m, n). Dann gibt es x, y , sodaß
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Mathematik
und Logik
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Beweis.
Modulare Arithmetik
Wir beweisen mit Induktion nach |n|.
Ist n = 0, so ist d = |m|. Aus d = sgn m · m + 0n ergibt sich die
passende Lösung.
Ist |n| > 0, dann gibt es Zahlen q, r mit m = qn + r und 0 ≤ r < |n|.
Es gilt dann d = ggT(n, r) und laut Induktionsvoraussetzung gibt es
x, y , sodaß d = xn + yr. Wegen r = m − qn ergibt sich somit
d = xn + yr = xn + y(m − qn) = ym + (x − yq)n. Damit haben wir
eine passende Lösung gefunden.
Z
Bemerkung
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
xggT(m, 0) = (sgn m, 0),
xggT(m, n) = (y, x − yq), wobei m = qn + r und (x, y) = xggT(n, r).
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Teilerfremde Zahlen
Definition
Zwei Zahlen m, n Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Z heißen teilerfremd, wenn ggT(m, n) = 1.
Satz
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Teilbarkeit
Teilt eine Zahl ein Produkt und ist zu einem der beiden Faktoren
teilerfremd, dann teilt sie den anderen Faktor. Genauer: Für alle
a, b, d : gilt:
Z
d | ab ∧ ggT(d, a) = 1 =⇒ d | b.
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
2009W
Natürliche Zahlen
Logik
Logische Implikation, ⇒
Mathematik
und Logik
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Beweis.
Logische Konjunktion, ∧
Z
Wegen ggT(d, a) = 1 gibt es x, y , sodaß dx + ay = 1.
Dann ist b = 1b = (dx + ay)b = dxb + aby.
Da d | ab teilt d auch diese Summe, somit d | b.
Existenzquantor, ∃
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Kongruenz modulo m
Definition
N
Mathematik
und Logik
2009W
Z
Sei m ; dann heißen ganze Zahlen a, b kongruent modulo m
falls m ein Teiler von deren Differenz a − b ist:
Teilbarkeit
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Reflexivität: a ≡m a;
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Symmetrie: a ≡m b =⇒ b ≡m a;
Logische Implikation, ⇒
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Satz
Prädikatenlogik
Die Kongruenz modulo m ist mit der Addition, der Subtraktion und
der Multiplikation verträglich, d.h. sind a ≡m b und c ≡m d, so
gelten auch
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
a + c ≡m b + d
a − c ≡m b − d
a · c ≡m b · d.
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Restklassenring
Logische Konjunktion, ∧
I
I
Logische Disjunktion, ∨
I
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Z
I
Folgerung
Die Gleichung a · x ≡m b ist genau dann lösbar wenn ggT(a, m) | b.
Satz
a ist modulo m invertierbar (d.h. es gibt eine Lösung von
a · x ≡m 1), wenn ggT(a, m) = 1.
Eulersche ϕ-Funktion
Definition
Die Menge der invertierbaren Elemente von
bezeichnet.
Z
Z
Z
Zm sei mit Z∗m
Satz
Z∗m ist gegenüber Multiplikation abgeschlossen.
Beweis.
Ist a · a −1 ≡m 1 und b · b−1 ≡m 1, dann ist wegen der Vertäglichkeit
auch (a · a −1 ) · (b · b−1 ) ≡m 1, bzw. (a · b) · (a −1 · b−1 ) ≡m 1. Somit
ist auch a · b invertierbar und (a · b)−1 = a −1 · b−1 .
Bemerkung
Z
Man nennt daher m auch eine Gruppe, weil Multiplikation und
Invertieren nicht aus der Menge hinaus führen und die üblichen
Rechenregeln gelten.
Definition
N
Z
Sein m . Dann bezeichnet ϕ(m) die Anzahl der Elemente von m
(bzw die Anzahl der Zahlen k , k < m, welche zu m teilerfremd
sind). Die Funktion ϕ heißt die Eulersche ϕ-Funktion.
N
Potenziern mit der ϕ-Funktion
N und a Z∗m (d.h. ggT(a, m) = 1) gilt
a ϕ(m) ≡ 1
(mod m).
Beweis.
Später.
Folgerung
Z
Sei a ∗m und e ≡ϕ(m) f .
Dann gilt a e ≡m a f .
Natürliche Zahlen
Folgerung
Z
Sei a m ∗ und e · d ≡ϕ(m) 1.
Dann gilt (a e )d ≡m a.
Bemerkung
Wir können also im Restklassenring auch Wurzelziehen, sofern wir
ϕ(m) kennen.
Sukzessives Quadrieren
Satz
N
In m kann es vorkommen, daß das Produkt zweier von Null
verschiedener Zahlen gleich Null ist (Nullteiler).
Beispiel: 2 · 3 ≡6 0, obwohl 2 6≡6 0 und 3 6≡6 0.
Z
Die Berechnung von a n m ist durch sukzessives Quadrieren (und
sofortiges Reduzierem modulo m) effizient möglich.
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Beweis.
Wir verwenden die Gleichungen;
Primzahlen
Weil die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation ist,
kommt sie als Gleichheitsbegriff in Frage.
Die Tatsache, daß die Kongruenz modulo m mit Addition,
Subtraktion und Multiplikation verträglich ist, garantiert, daß
diese Operationen auch in m wohldefiniert sind.
Zu jedem n gibt es genau ein r , sodaß n ≡m r und
r < m. D.h. die Menge m besteht aus m Elementen.
Z
Elementare
Zahlentheorie
Modulare Arithmetik
Bemerkung
Prädikatenlogik
Existenzquantor, ∃
Was ist Logik?
N
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Allquantor, ∀
2009W
Sei m . Wir betrachten jetzt ganze Zahlen bereits als gleich, wenn
sie modulo m gleich sind. Dadurch entsteht eine neue Menge, die
Faktormenge /≡m . Sie heißt der Restklassenring modulo m und
wird mit m bezeichnet.
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Mathematik
und Logik
Definition
Z
Z
Z
Logische Konjunktion, ∧
Transitivität: a ≡m b ∧ b ≡m c =⇒ a ≡m c.
Listen
Was ist Logik?
Z
Seien a, b : .
Dann gibt es genau dann ein x : , sodaß a · x ≡m b,
wenn es x, y : gibt, sodaß a · x + m · y = b.
Für m Primzahlen
Z gibt, sodaß
Bemerkung
Natürliche Zahlen
Modulare Arithmetik
Die Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation, d.h sie erfüllt:
Curry-HowardIsomorphismus
2009W
Z
Seien a, b : .
Dann gilt a ≡m b genau dann wenn es ein y :
a + m · y = b.
Satz (Euler)
Teilerfremde Zahlen
Satz
Logische Disjunktion, ∨
Mathematik
und Logik
Bemerkung
Elementare
Zahlentheorie
Diophantische Gleichungen
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Wir versuchen eine lineare Gleichung modulo m zu lösen, d.h. wir
suchen eine Lösung von a · x ≡m b.
Was ist Logik?
Gemeinsame Teiler
a ≡m b : ⇐⇒ m | (a − b)
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
Problem
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Dividieren modulo m
a 0 = 1;
a 2n = (a n )2 ;
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
a 2n+1 = a(a n )2 .
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Bemerkung
Für ganze Zahlen bringt das nichts, weil sie bei jedem Quadrieren
doppelt so lange werden.
Wenn wir aber in jedem Schritt modulo m reduzieren können, bleiben
alle Zwischenergebnisse durch m beschränkt.
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Simultane Kongruenzen
Z
Primzahlen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
⇔
x ≡q b
Modulare Arithmetik
a ≡d b,
x ≡v s ·
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Sei p ein Primzahl, a Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
·a+r ·
p
d
Teilerfremde Zahlen
· b.
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Beweis.
Z
x ≡p a gilt genau dann wenn x = a + k · p, für ein k .
Einsetzen in die 2. Kongruenz: a + k · p ≡q b.
Umformen ergibt: k · p ≡q b − a.
Dies gilt genau dann wenn d | (b − a) und und k ≡q r · a−b
d .
Einsetzen in die 1. Kongruenz und Vereinfachen ergibt dann die
gewünschte Form.
Zur Eindeutigkeit:
Sei y eine zweite Lösung.
Wegen x ≡p a und y ≡p a gilt x − y ≡p 0, d.h. p | (x − y).
Analog ist q | (x − y).
Und somit v | (x − y).
Logik
Aussagenlogik
Primzahlen
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
2009W
Was ist Logik?
Ein natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl wenn sie keine echten
Teiler hat (also nur 1 und n selbst. 1 ist per Definition keine
Primzahl.
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Lemma
Teilerfremde Zahlen
Eine natürliche Zahl p > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt:
p | n · m =⇒ p | n ∨ p | m .
∀
n,m N
Primzahlen
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Existenzquantor, ∃
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Beweis.
Logische Disjunktion, ∨
Sei n = q · p + r.
Falls r = 0, dann gilt p | n.
Falls 0 < r < p, dann ist ggT(n, p) = ggT(p, r) = 1. Gemäß einem
Satz über teilerfremde Zahlen, muß somit p | m gelten.
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Eindeutige Zerlegung in Primfaktoren
Mathematik
und Logik
2009W
Theorem (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl n > 0 hat eine eindeutige Zerlegung in
Primfaktoren
km
n = p1k1 . . . pm
,
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
I
Prädikatenlogik
I
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
1
Existenz: Wenn n eine Primzahl ist, dann ist n = n bereits die
gewünschte Zerlegung. Ansonsten gibt es eine nicht-triviale
Faktorisierung n = a · b. Die eindeutigen Zerlegungen von a und
b müssen dann nur noch kombiniert werden.
k10
0
km
0
0
Eindeutigkeit: Sei n = p10 . . . pm
eine zweite derartige
0
0
k0
0 km 0
Zerleung. Dann muß gelten: p1 | p10 1 . . . pm
. Da p1 eine
0
Primzahl ist, muß sie einen der Faktoren teilen. Sei pi0 dieser
Faktor, d.h. p1 | pi0 . Weil beide Primzahlen sind, folgt daraus
p1 = pi0 . Wir dividieren beide Seiten durch diesen Faktor und
fahren in der selben Weise fort.
Berechnung der ϕ-Funktion
Satz
Elementare
Zahlentheorie
I
Sei p eine Primzahl. Dann ist ϕ(p) = p − 1.
I
Ist weiters k > 1, dann ist ϕ(pk ) = k · pk−1 .
I
Sind n und m teilerfremd, dann ist ϕ(n · m) = ϕ(n) · ϕ(m).
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Primzahlen
Aussagenlogik
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Problem
Man finde die Primfaktorzerlegung für eine gegebene Zahl n Satz
Sei p der kleinste nicht-triviale Teiler einer Zahl n I
n = p, und somit n eine Primzahl, oder
I
p2 < n.
Curry-HowardIsomorphismus
N, dann ist
I
Um den kleinsten Teiler
√ von n zu finden, muß man maximal
alle Primzahlen bis n testen.
I
Ist n ≈ 2k , dann ca O(2k/2 ) Teilbarkeitstests.
I
Grundrechnungsarten: ca O(k).
I
Es ist keine deutlich bessere allgemeine Methode bekannt.
I
Faktorisieren viel schwieriger als Multiplizieren.
I
Die Korrektheit einer Faktorisierung läßt sich leicht überprüfen.
I
Ein Quantencomputer mit mindestens k Qubits könnte das
Problem effizient lösen.
Primzahltests
Problem
Man entscheide, ob eine gegebene Zahl p Satz
Für jede Primzahl p und jedes a N eine Primzahl ist.
N, a > 0, gilt: ap−1 ≡p 1.
Bemerkung
I
Wenn a p−1 6≡p 1, dann muß p eine zusammengesetzte Zahl sein.
I
Diese Tatsache gibt jedoch keinen Hinweis darauf, wie eine
Faktorisierung aussehen könnte.
I
Dieser Test läßt sich beliebig oft wiederholen.
I
Wenn a p−1 ≡p 1, für viele verschiedene a, dann ist das ein
deutlicher Hinweis, daß p eine Primzahl sein könnte.
I
Durch eine Verfeinerung dieses Verfahres kann man die
Fehlerwahrscheinlichkeit beliebig klein machen.
I
Es gibt inzwischen auch ein halbwegs effizientes Verfahren,
welches gegebenenfalls einen Beweis liefert, daß p eine Primzahl
ist.
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
N.
Bemerkung
Logische Implikation, ⇒
Listen
Lineare Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Satz (Euklid)
Elementare
Zahlentheorie
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Bemerkung
Die ϕ-Funktion kann damit leicht berechent werden, wenn die
Primfaktorzerlegung bekannt ist.
Unendlich viele Primzahlen
Was ist Logik?
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Berechnung der Primfaktorzerlegung
Existenzquantor, ∃
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Datentypen
Z
Allquantor, ∀
Logische Konjunktion, ∧
Allquantor, ∀
a n ≡m a.
Wir zeigen zuerst, daß a n ≡p a.
Wenn a ≡p 0, dann trivial.
Wenn a 6≡p 0, dann ist a ∗p (weil p prim). Sei n = 1 + k · ϕ(m).
Somit
k·ϕ(q)
a n = a 1+k·ϕ(m) = a 1+k·ϕ(p)·ϕ(q) = a · (a ϕ(p) )
≡p a · 1ϕ(q) ≡p a.
Analog ist a n ≡q a.
Der Chinesische Restsatz (Eindeutigkeitsteil) liefert die Kongruenz
modulo dem Produkt p · q.
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Prädikatenlogik
Beweis.
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Z
Abstrakte Algebra
Was ist Logik?
Natürliche Zahlen
Modulare Arithmetik
Logik
Abstrakte Algebra
2009W
Teilbarkeit
RSA-Verschlüsselung
Beweis.
Logische Disjunktion, ∨
Mathematik
und Logik
Natürliche Zahlen
Diophantische Gleichungen
wobei alle pi Primzahlen sind, mit pi < pi+1 , und ki > 0.
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Existenzquantor, ∃
Elementare
Zahlentheorie
Teilerfremde Zahlen
Logische Konjunktion, ∧
Allquantor, ∀
Was ist Logik?
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Seien p und q verschiedene Primzahlen, m = p · q, und n ≡ϕ(m) 1.
Dann gilt für beliebige a RSA-Verschlüsselung
Logik
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Datentypen
Satz
Modulare Arithmetik
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Seien p, q teilerfremd. Dann gilt: x ≡p y ∧ x ≡q y =⇒ x ≡p·q y.
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Allquantor, ∀
Folgerung (von Chinesischem Restsatz)
Logische Implikation, ⇒
Mathematik
und Logik
Definition
Logische Implikation, ⇒
Prädikatenlogik
Z beliebig. Dann gilt ap ≡p a.
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
Satz (Fermat)
Elementare
Zahlentheorie
Diophantische Gleichungen
q
d
Potenzieren modulo Primzahlen
Was ist Logik?
Gemeinsame Teiler
x ≡p a,
Teilerfremde Zahlen
Aussagenlogik
N
Seien p, q , d = ggT(p, q) = r · p + s · q, v = kgV(p, q), und
a, b . Dann gilt
Diophantische Gleichungen
RSA-Verschlüsselung
2009W
Satz (Chinesischer Restsatz)
Gemeinsame Teiler
Logik
Mathematik
und Logik
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Beweis.
Zu jeder endlichen Mengen von Primzahlen konstruieren wir eine
weitere Primzahl, die nicht darin vorkommt:
Es seien p1 , . . . , pn Primzahlen.
Wir bilden das Produkt m = p1 · . . . · pn + 1.
Wegen dem Fundamentalsatz der Arithmetik gibt es eine Primzahl,
die m teilt.
Aber m ≡pi 1, für alle i = 1, . . . , n.
Es muß also mindestens eine weitere Primzahl geben.
Bemerkung
I
Mit etwas mehr Theorie gelangt man zu wesentlich besseren
Schranken.
I
Der durchschnittliche Abstand zwischen zwei n-stelligen
Primzahlen betägt ungefähr 2n.
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Verschlüsselung
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
I
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
I
I
Mathematik
und Logik
Man wähle zwei große Primzahlen p und q.
Sei m = p · q. Es gilt: ϕ(m) = (p − 1)(q − 1).
Wähle e ∗ϕ(m) .
Sei a m , die Nachricht, Klartext.
Berechne: b ≡m a e . (Verschlüsselung)
(m, e) ist der öffentliche Schlüssel.
b ist das Kryptogramm (Geheimtext).
Sei d das Inverse von e (mod ϕ(m)).
Dann gilt bd ≡m a. (Entschlüsselung)
(m, d) ist der geheime Schlüssel.
Um aus aus dem öffentlichen Schlüssel (m, e) das d für den
geheimen Schlüssel zu bestimmen, brauchen wir ϕ(m), und dazu
brauchen wir die Faktorisierung von m.
Diese Methode (das RSA-Verfahren) funktioniert, weil das
Problem der Faktorisierung schwierig ist.
Das Verfahren gilt als sicher, wenn m ≈ 21024 ≈ 10308
. . . und noch ein paar zusätzliche Nebenbedingungnen gelten.
Z
Z
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Aussagen
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Logische Disjunktion, ∨
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
I
Ein Beweis stellt sicher, daß eine Aussage wahr ist.
Primzahlen
I
Definition: Eine Aussage ist eine Konstruktion, durch welche
festgelegt wird, wie ihre Beweise zu konstruieren sind.
I
Eine Aussage, die wir nicht beweisen können, muß nicht
unbedingt falsch sein.
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
RSA-Verschlüsselung
Logik
Logische Disjunktion, ∨
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Curry-HowardIsomorphismus
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Definition der Implikation, ⇒
2009W
Was ist Logik?
Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P ⇒ Q ebenfalls eine
Aussage, die Implikation von P und Q.
Introduktion
Hat man einen Beweis von P ⇒ Q, so reicht ein Beweis von P, um
auch Q zu beweisen.
Schlußregeln
Q
Logische Disjunktion, ∨
P⇒Q
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
P
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Definition der Konjuktion, ∧
Existenzquantor, ∃
2009W
Was ist Logik?
Formation
Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P ∧ Q ebenfalls eine
Aussage, die Konjunktion von P und Q.
Logische Implikation, ⇒
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
P
∨I0
P ∨ Q
Q
∨I1
P ∨ Q
P⇒R Q⇒R
∨E
P ∨ Q
R
Allquantor, ∀
I
Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x X eine Aussage.
Dann bezeichnet ∀x X P[x] eine All-Aussage.
I
Die All-Aussage drückt eine universelle Quantifizierung aus.
Ein Beweis von ∀x X P[x] konstruiert für jedes beliebige x X
einen Beweis von P[x].
I
Teilerfremde Zahlen
Um P ∧ Q zu beweisen, muß man sowohl P als auch Q beweisen.
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Elimination
I
Praktisch: Es sei ∀x X P[x] zu beweisen.
Vorgangsweise: Annahme x X ; beweise P[x].
I
Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Implikation
vor: ∀x X P ist dasselbe wie X → P.
Logik
Hat man einen Beweis von P ∧ Q so auch einen Beweis von P, und
auch einen Beweis von Q.
Schlußregeln
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
P ∧ Q
∧E0
P
P ∧ Q
∧E1
Q
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Schlußregeln
Elementare
Zahlentheorie
Diophantische Gleichungen
Introduktion
P Q
∧I
P ∧ Q
Folgt irgendeine Aussage R sowohl aus P als auch aus Q, dann folgt
sie auch aus P ∨ Q (Beweis durch Fallunterscheidung).
Curry-HowardIsomorphismus
Mathematik
und Logik
Allquantor, ∀
Datentypen
Elimination
Listen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Um P ∨ Q zu beweisen, genügt es, P zu beweisen, oder Q zu
beweisen.
Logische Disjunktion, ∨
⇒E
Abstrakte Algebra
Elementare
Zahlentheorie
Introduktion
Logische Konjunktion, ∧
P⇒Q
Q
⇒I
Lineare Algebra
Was ist Logik?
Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P ∨ Q ebenfalls eine
Aussage, die Disjunktion von P und Q.
Logische Implikation, ⇒
Abstrakte Algebra
2009W
Formation
Datentypen
Lineare Algebra
Mathematik
und Logik
Definition der Disjunktion, ∨
Existenzquantor, ∃
..
.
Logische Konjunktion, ∧
Teilbarkeit
Logische Disjunktion, ∨
P
Logische Implikation, ⇒
Natürliche Zahlen
Logik
Elimination
Datentypen
Elementare
Zahlentheorie
Diophantische Gleichungen
Um P ⇒ Q zu beweisen, muß man Q beweisen, wobei man einen
Beweis von P voraussetzen darf.
Existenzquantor, ∃
Listen
Mathematik
und Logik
Formation
Allquantor, ∀
Curry-HowardIsomorphismus
Zwei Aussagen sind äquivalent wenn sie vom logischen Standpunkt
aus betrachtet gleichwertig sind.
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Listen
Logik
Bemerkung
Logische Konjunktion, ∧
Listen
RSA-Verschlüsselung
Die logische Äquivalenz wird mit P ⇐⇒ Q bezeichnet und ist
lediglich eine Abkürzung für (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
Logische Implikation, ⇒
Logische Disjunktion, ∨
Primzahlen
Notation
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Modulare Arithmetik
Definition der Äquivalenz, ⇐⇒
Prädikatenlogik
Curry-HowardIsomorphismus
Teilerfremde Zahlen
⇒I
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Diophantische Gleichungen
A ∧ B⇒B ∧ A
Datentypen
Logische Disjunktion, ∨
Gemeinsame Teiler
A ∧ B
A ∧ B
∧E1
∧E0
B
A
∧I
B ∧ A
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Konjunktion, ∧
Teilbarkeit
A ∧ B
Logische Konjunktion, ∧
Logische Implikation, ⇒
Natürliche Zahlen
Beweis.
Logische Implikation, ⇒
Teilerfremde Zahlen
Existenzquantor, ∃
Elementare
Zahlentheorie
ist allgemeingültig.
Aussagenlogik
Problem: Wie definiert man wahr und falsch?
Datentypen
Was ist Logik?
A ∧ B⇒B ∧ A
Diophantische Gleichungen
I
Allquantor, ∀
2009W
Die logische Konjunktion ist kommutativ, d.h. die Aussage
Gemeinsame Teiler
2009W
Prädikatenlogik
Mathematik
und Logik
Satz
Teilbarkeit
Populäre Definition: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder
falsch oder wahr ist.
Logische Implikation, ⇒
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
I
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Elementare
Zahlentheorie
Mathematik
und Logik
Die mathematische Logik verwendet mathematische Methoden, um
das logische Denken formal zu beschreiben.
Diophantische Gleichungen
Modulare Arithmetik
Was ist Logik?
Kommutativität der Konjunktion
Abstrakte Algebra
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
2009W
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Allquantor, Introduktion und Elimination
I
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
I
Um ∀x X P[x] zu beweisen, muß man P[x] für ein beliebiges
x X beweisen.
∀-Introduktion:
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
I
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Primzahlen
I
RSA-Verschlüsselung
∀I
∀-Elimination:
Aussagenlogik
∀x X P[x] a X
∀E
P[a]
Existenzquantor, ∃
Logische Implikation, ⇒
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Allquantor, Beispiel
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Elementare
Zahlentheorie
∀x X A[x] ∨ ∀y Y B[y]
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
RSA-Verschlüsselung
Aussagenlogik
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
∀y Y
Logische Disjunktion, ∨
Modulare Arithmetik
Primzahlen
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
∀I
(A[x] ∨ B[y])
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
∀I
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Allquantor: Beispiel (Fortsetzung)
x X,
Annahmen: ∀x X A[x] ∨ ∀y Y B[y],
Zu beweisen:
Mathematik
und Logik
2009W
y Y
Natürliche Zahlen
∀y Y B[y]
..
.
..
.
A[x] ∨ B[y]
A[x] ∨ B[y]
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
∀x X A[x] ∨ ∀y Y B[y] ⇒ A[x] ∨ B[y]
Logik
Aussagenlogik
∀x X A[x] x X
∀E
A[x]
∨I0
A[x] ∨ B[y]
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Was ist Logik?
Diophantische Gleichungen
∨E
z P ∧ Q
∧E1
snd z Q
Ein Beweis der Konjunktion P ∧ Q ist ein Paar,
dessen Komponenten die Typen P bzw. Q haben.
Logik
I
Aussagenlogik
I
Verbunddatentyp (Direktes Produkt): P × Q.
Konstruktor: (, ) P → Q → P × Q;
I
Selektoren: fst P × Q → P,
RSA-Verschlüsselung
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
∀y Y B[y] y Y
∀E
B[y]
∨I1
A[x] ∨ B[y]
Introduktion und Elimination
z P ∧ Q
x P y Q
∧E0
∧I
fst z P
(x, y) P ∧ Q
I
Primzahlen
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
snd P × Q → Q.
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Existenzquantor, ∃
I
Elementare
Zahlentheorie
I
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
I
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
I
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
I
Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x X eine Aussage.
Dann bezeichnet ∃x X P[x] eine Existenz-Aussage.
Die Existenzaussage drückt eine existenzielle Quantifizierung
aus.
Ein Beweis von ∃x X P[x] konstruiert ein a X und einen
Beweis von P[a].
Praktisch: Es sei ∃x X P[x] zu beweisen.
Vorgangsweise: Man wählt ein passendes a X , und versucht
damit P[a] zu beweisen.
Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Konjunktion
vor: ∃x X P ist dasselbe wie X ∧ P.
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Kommutativität der Konjunktion
Satz
A ∧ B ⇒ B ∧ A.
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
I
Teilerfremde Zahlen
Beweis:
cA ∧ B
Modulare Arithmetik
Primzahlen
cA ∧ B
cA ∧ B
∧E1
∧E0
snd c B
fst c A
∧I
(snd c, fst c) B ∧ A
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
c 7→ (snd c, fst c) A ∧ B ⇒ B ∧ A
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
⇒I
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Existenzquantor, ∃
Datentypen
I
Modulare Arithmetik
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Logische Konjunktion, ∧
I
Teilerfremde Zahlen
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Selektor: Funktionsanwendung: apply.
Elementare
Zahlentheorie
Logische Implikation, ⇒
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Konstruktor: Abstraktion: (7→);
I
Gemeinsame Teiler
Datentypen
Logik
Funktionsdatentyp: Schreibweise: P → Q oder Q P .
I
Teilbarkeit
Die beiden Fälle:
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Modulare Arithmetik
der für jeden Input vom Typ P einen Output vom Typ Q liefert.
I
Natürliche Zahlen
∀x X A[x]
Teilbarkeit
Teilerfremde Zahlen
Der Beweis einer Implikation ist ein Algorithmus,
I
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Teilbarkeit
f P ⇒ Q x P
⇒E
fx Q
⇒I
I
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Natürliche Zahlen
x 7→ t[x] P ⇒ Q
RSA-Verschlüsselung
⇒I
∀x X A[x] ∨ ∀y Y B[y] ⇒ ∀x X ∀y Y (A[x] ∨ B[y])
Allquantor, ∀
..
.
t[x] Q
Teilerfremde Zahlen
∀x X ∀y Y (A[x] ∨ B[y])
Prädikatenlogik
x P
Diophantische Gleichungen
A[x] ∨ B[y]
Logische Implikation, ⇒
Schlußregeln:
Gemeinsame Teiler
..
.
Logik
I
Teilbarkeit
y Y
Primzahlen
Was ist Logik?
∃E
Implikation, ⇒
Natürliche Zahlen
x X
Diophantische Gleichungen
2009W
Q
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Mathematik
und Logik
Q
∃x X P[x]
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Logische Konjunktion, ∧
P[y]
..
.
Existenzquantor, ∃
Logische Disjunktion, ∨
Logische Implikation, ⇒
y X
Allquantor, ∀
Listen
Elementare
Zahlentheorie
∃-Elimination:
Datentypen
Logische Konjunktion, ∧
Was ist Logik?
I
Logische Disjunktion, ∨
Logische Konjunktion, ∧
2009W
Wurde ∃x X P[x] bewiesen, so kann man für’s weitere
annehmen, daß es ein soches Objekt gibt.
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Implikation, ⇒
Mathematik
und Logik
I
Logische Konjunktion, ∧
Logische Implikation, ⇒
2009W
Um ∃x X P[x] zu beweisen, muß man ein a X finden und
damit P[a] beweisen.
a X P[a]
∃-Introduktion:
∃I
∃x X P[x]
Prädikatenlogik
Datentypen
Mathematik
und Logik
I
Logik
Wurde ∀x X P[x] bewiesen, und ist a X , dann hat man einen
Beweis von P[a].
Allquantor, ∀
I
Modulare Arithmetik
∀x X P[x]
Aussagenlogik
Elementare
Zahlentheorie
Gemeinsame Teiler
P[x]
RSA-Verschlüsselung
Logik
Was ist Logik?
Existenzquantor: Introduktion und
Elimination
Teilbarkeit
..
.
Diophantische Gleichungen
2009W
Natürliche Zahlen
x X
Gemeinsame Teiler
Mathematik
und Logik
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
I
commute A × B → B × A, c 7→ (snd c, fst c),
I
Intuitiver: (a, b) 7→ (b, a).
I
Äquivalenz:
c 7→ (snd c, fst c), c 7→ (snd c, fst c) A ∧ B ⇔ B ∧ A.
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Logische Disjunktion, ∨
I
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Mathematik
und Logik
2009W
Introduktion und Elimination
x P
∨I0
Left x P ∨ Q
Diophantische Gleichungen
Was ist Logik?
y Q
∨I1
Right y P ∨ Q
f P ⇒ R g Q ⇒ R
∨E
either f g P ∨ Q ⇒ R
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
I
Ein Beweis der Disjunktion P ∨ Q ist einer von P oder von Q,
und als solcher gekennzeichnet.
I
Disjunkte Vereinigung (Direkte Summe): P + Q.
Konstruktoren: Left P → P + Q, Right Q → P + Q;
Selektor: either (P → R) → (Q → R) → (P + Q → R).
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Elementare
Zahlentheorie
I
I
Datentypen
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Beispiel: A ∨ (B ∧ C ) ⇒ A ∨ B
y B ∧ C
a A
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
a A
∨I0
Left a A ∨ B
y B ∧ C
∧E1
fst y B
∨I1
Right(fst y) A ∨ B
⇒I
⇒I
a 7→ Left a A ⇒ A ∨ B
y 7→ Right(fst y) B ∧ C ⇒ A ∨ B
∨E
either(a 7→ Left a) (y 7→ Right(fst y)) A ∨ (B ∧ C ) ⇒ A ∨ B
Primzahlen
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
RSA-Verschlüsselung
Mit
Logik
Logik
Aussagenlogik
f A ∨ (B ∧ C ) ⇒ A ∨ B
g A ∨ (B ∧ C ) ⇒ A ∨ C
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
erhalten wir auch:
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
(f , g) A ∨ (B ∧ C ) ⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Es gibt auch: h (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) ⇒ A ∨ (B ∧ C )
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
Mathematik
und Logik
2009W
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Curry-Howard-Isomorphismus
Eine Aussage legt den Datentyp ihrer Beweise fest.
I
Ein Datentyp entspricht der Aussage, daß es ein Objekt dieses
Typs gibt.
I
Jeder Algorithmus, der ein Objekt eines bestimmten Datentyps
konstruiert, ist ein Beweis, daß es ein solches gibt.
I
Aussagen entsprechen Programmspezifikationen.
I
Beweise entsprechen Programmen.
Logik
I
Man kann Aussagen beweisen, indem man ein Objekt vom
passenden Typ konstruiert.
Aussagenlogik
I
Aus mathematischen Beweisen lassen sich verifizierte
Programme extrahieren.
Teilbarkeit
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logik
Aussagenlogik
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
2009W
I
Natürliche Zahlen
Gemeinsame Teiler
Mathematik
und Logik
I
Fehlerfreie Software beliebiger Komplexität ist möglich.
Was ist Logik?
Elementare
Zahlentheorie
Natürliche Zahlen
Teilbarkeit
Gemeinsame Teiler
Diophantische Gleichungen
Teilerfremde Zahlen
Modulare Arithmetik
Primzahlen
RSA-Verschlüsselung
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Äquivalenz,
⇐⇒
Logische Disjunktion, ∨
Prädikatenlogik
Allquantor, ∀
Existenzquantor, ∃
Datentypen
Logische Implikation, ⇒
Logische Implikation, ⇒
Logische Konjunktion, ∧
Logische Konjunktion, ∧
Logische Disjunktion, ∨
Logische Disjunktion, ∨
Curry-HowardIsomorphismus
Curry-HowardIsomorphismus
Listen
Listen
Lineare Algebra
Lineare Algebra
Abstrakte Algebra
Abstrakte Algebra
{ ab | a < x } |X | |x| , ∅, ∞
{ ab | a < x } |X | |x| { aεb, a b, a ∈ b, a ⊆ b, a ⊇ b, a \ b, a ≤ b, {X }.
a ∈ b 3 a, a ∈
/ b 63 a α a, |X |.
a | b, b - a.