Grundlagen der Elektrotechnik III - Klausuren Elektrotechnik Uni
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Universität Bremen Institut für elektrische Antriebe, Leistungselektronik und Bauelemente Prof. Dr.-Ing. B. Orlik Otto-Hahn-Allee NW1 28359 BREMEN Telefon: +49 421 218-4436 Telefax: +49 421 218-4318 E-Mail: [email protected] Skript zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik III Prof. Dr.-Ing. B. Orlik Stand 01.10.2005 Symmetrisches Drehspannungssystem 1. Symmetrisches Drehspannungssystem 1.1. Allgemeines 1. Abbildung 1.1. Symmetrisches Drehspannungssystem Abbildung 1.2. Graphische Darstellung der Drehspannungen U 10 (t ) = 2 U 10 cos(ω t + α ) , ~ U10 = U10 e jα U 20 (t ) = 2 U 10 cos(ω t + α − γ ) , ~ ~ U 20 = U 10 e ι (α − γ ) = U 10 e − j γ U 30 (t ) = 2 U 10 cos(ω t + α − 2γ ) , γ = 2π 3 ~ ~ U1 I1 = ~ , Z1 1-1 ~ ~ U2 I2 = ~ Z2 , ~ ~ U3 I3 = ~ Z3 ~ U 30 = U 10 e ι ( α − 2γ ) = U 10 e − j 2γ Symmetrisches Drehspannungssystem Wenn ~ ~ ~ ~ Z = Z1 = Z2 = Z3 , dann folgt aus ~ ~ ~ ~ I 0 = I1 + I 2 + I 3 ~ 1 ~ U10 1 3 1 3 ~ ~ − jγ = ~ [U 10 + U 20 + U 30 ] = ~ [1 + e + e j 2γ ] = 1 − − − + =0 2 2 2 2 Z Z ~ ~ ~ Dabei gilt ein Spannungsverhältnis von U 10 + U 20 + U 30 = 0 ~ D.h. Die Rückstromleitung mit dem Strom „ I 0 “ ist überflüssig, wenn die Spannungen ~ ~ ~ und Impedanzen symmetrisch sind. Die Ströme I1 , I 2 , I 3 bilden dann ein symmetrisches Drehstromsystem ( I10 + I20 + I30 = 0 ) Deshalb: Bei großen Leistungen wird die Energieübertragung nicht mit Doppelleitern sondern mit Mehrfachleitern durchgeführt. Allgemeines m - Phasensystem u1 (t ) T ) m T T u3 (t ) = u2 (t − ) = u1 (t − 2 ) m m T (n − 1)T un (t ) = un−1 (t − ) = ... = u1 (t − ) m m u2 (t ) = u1 (t − m = 3 ist der Sonderfall des Drehspannungssystems 1.2. Spannungsverhältnisse in Stern- oder Dreieckschaltungen Abbildung 1.3. Generatorwicklung in Sternschaltung Abbildung 1.4. Zeigerdiagramm der Sternschaltung 1-2 Symmetrisches Drehspannungssystem Praktische Anwendung einer Generatorwicklung in Sternschaltung: Abbildung 1.5. Ersatzschaltbild eines im Hausanschluss üblichen Vierleiters Verkettete oder Außenleiterspannungen: Abbildung 1.6. Zeigerdiagramm der Außenleiterspannungen Formeln zur Verkettung: ~ ~ ~ ~ ~ U 12 = U 10 − U 20 = U 10 (1 − e − j γ ) = 3 U 10 e j 30° ~ ~ ~ ~ ~ U 23 = U 2 −U 3 = U 12 e − j γ = 3U 10 e − j 90° ~ ~ ~ ~ ~ U 31 = U 3 −U 1 = U 12 e − j 2γ = 3U 10 e − j 210° Dreieckschaltung der Generatorwicklung: 2 ~ U23 3 ~ U12 1 ik ~ U31 Abbildung 1.7. Dreieckschaltung einer Generatorwicklung 1-3 Symmetrisches Drehspannungssystem Kreisstrom ik = 0 wenn u12 (t ) + u23 (t ) + u31 (t ) = 0 ; kein Nulleiter vorhanden 1.3. Drehstrombelastung bei Stern- oder Dreieckschaltungen Sternschaltung: ~ U10 2 1 ~ U10 ~ Z1 ϕ ~ Z2 ~ U20 0 ~ U30 ~ I1 ~ I3 ~ Z3 ~ I2 3 Abbildung 1.18. Sternschaltung ~ ~ U 10 I1 = ~ Z1 , Abbildung 1.9. Zeigerdiagramm der Sternschaltung ~ ~ U 20 ~ − j γ I 2 = ~ = I1 e Z2 , ~ ~ U 30 ~ − j 2γ I 3 = ~ = I1 e Z3 ~ ~ ~ I1 + I2 + I 3 = 0 ! ~ ~ ~ ~ Bei symmetrischer Drehstromlast gilt: Z = Z1 = Z 2 = Z3 ~ Daraus folgt für I 0 : ⇓ ~ ~ 1 ~ U 10 1 3 1 3 ~ ~ I 0 = ~ [U 10 + U 20 + U 30 ] = ~ [1 + e − jγ + e j 2γ ] = 1 − − − + =0 2 2 2 2 Z Z (siehe unter „1.1. Allgemeines“) Laut Knotenregel gilt immer: Dreieckschaltung: Abbildung 1.10. Dreieckschaltung Strombeziehung in der Dreieckschaltung (Abb.1.10.): ~ ~ ~ Weiterhin gilt I1 + I2 + I3 = 0 1-4 Symmetrisches Drehspannungssystem Dabei sind ~ ~ ~ I 1 = I12 − I 31 ⇒ ~ ~ I1 = 3 * I12 * e − j 30° (1.1) ~ ~ ~ I 2 = I 23 − I 31 ⇒ ~ ~ I 2 = 3 * I23 * e − j150° (1.2) ~ ~ ~ ~ ~ I 3 = I 31 − I 12 ⇒ I3 = 3 * I31 * e − j 270° Beweis: ~ ~ ~ ~ Bei symmetrischer Last, d.h. Z 12 = Z 23 = Z 31 = Z gelten folgende Ströme: ~ ~ ~ U 23 U 31 ~ ~ ~ U 12 I12 = ~ , I 23 = ~ , I 31 = ~ Z Z Z ~ U ~ 1 ~ ~ ⇒ I1 = ~ [U 12 − U 31 ] = ~12 [1 − e − j 240° ] Z Z 1 − e − j 240° = 1 + 3 1 1 3 − j = 3( − j ) = 3 * e − j 30° 2 2 2 2 ~ U12 ~ ~ I1 = 3 * ~ * e − j 30° = 3 * I12 * e − j 30° Z ~ ~ Diese Rechnung analog zu I 2 und I 3 ergibt die Gleichungen (1.2) und (1.3). Phasenbeziehungen : ~ ~ U 12 I12 = ~ Z ~ ~ ~ U 23 U 12 − j γ ~ − j γ I 23 = ~ = ~ e = I12 e Z Z ~ ~ 2π ~ U U ~ I 31 = ~31 = ~12 e − j 2γ = I12 e − j 2γ , mit γ = 3 Z Z Leiterströme aus Knotengleichungen: ~ ~ ~ ~ I 1 = I12 − I 31 = 3 I 12 e − j 30° ; 1 − e − j 2γ = 1 + ~ ~ ~ ~ ~ I 2 = I 23 − I 12 = 3 I12 e − j 150° = I1 e − j γ ~ ~ ~ ~ ~ I 3 = I 31 − I 23 = 3 I 12 e − j 270° = I 1 e − j 2γ 1-5 (1.3) 1 3 − j = 3 e − j 30° 2 2 (1.1) Symmetrisches Drehspannungssystem 1.4. Leistung in Drehstromsystemen Vierleitersystem [⇒ 3 Wattmeter]: Abbildung 1.11. Drehstrom-(Vierleiter-)system mit angeschlossenem Wattmeter (Mitte) Hochspannungsleitungen haben keinen Nulleiter. Zunächst zur Leistung am Vierleitersystem (Abb.1.11.): p(t )=u10 (t )⋅i1 (t )+u 20 (t )⋅i 2 (t )+u30 (t )⋅i3 (t ) = p(t ) = (u10 − u30 ) ⋅ i1 + (u20 − u30 ) ⋅ i 2 + u30 (i1 + i 2 + i 3 ) Drehstromsystem ohne Nulleiter [⇒ ⇒ 2 Wattmeter]: Abbildung 1.12. Drehstromschaltung mit angeschlossenem Wattmeter Das heißt i1 + i2 + i3 = 0 wird erzwungen. Somit gilt für die Leistung an dieser Drehstromschaltung: p(t ) = (u10 − u30 ) ⋅ i1 + (u20 − u30 ) ⋅ i 2 + u30 (i1 + i 2 + i 3 ) ↓ ↓ ↓ − u31 ( t ) = u13 ( t ) u23 ( t ) 0 Das heißt also: p(t ) = u13 (t ) i1 (t ) + u23 (t ) i2 (t ) 1-6 Symmetrisches Drehspannungssystem Abbildung 1.13. Zeigerdiagramm der auftretenden Spannungen und Ströme Symmetrische Drehstromschaltung: Im symmetrischen Fall sind die Impedanzen immer identisch. Der Augenblickswert der Leistung in einem symmetrischen Drehstromsystem: p(t ) = 2 U 10 2 I 1 cos(ω t + ϕ U ) cos(ω t + ϕ I ) + [ cos(ω t − γ + ϕ U ) cos(ω t − γ + ϕ I ) + cos(ω t − 2γ + ϕ U ) cos(ω t − 2γ + ϕ I ) cos α cos β = ϕ =ϕ U −ϕ ⇒ p(t ) = 1 1 cos(α − β ) + cos(α + β ) 2 2 I 2 U 10 2 I1 2 [ cos ϕ + cos(2ω t + ϕ U + ϕ I) + cos ϕ + cos(2ω t + ϕ U + ϕ I − 2γ ) + cos ϕ + cos( 2ω t + ϕ I − 4γ ) ] + U +ϕ p( t ) = 3 ⋅ U 10 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ Die Augenblicksleistung ist konstant. Wichtig bei Drehstrommaschinen: -konstantes Moment -leichte Konstruktion und gute Werkstoffausnutzung Strangleistung / Leistung in den Phasen ϕ =ϕ 1-7 U −ϕ ] I Symmetrisches Drehspannungssystem p1 (t ) = 2 U 10 = 2 I 1 cos(ω t + ϕ U ) cos(ω t + ϕ I ) = (1.4) 2 ⋅ U 10 ⋅ 2 ⋅ I1 [cos ϕ + cos(2 ⋅ ω ⋅ t + ϕ u + ϕ I )] = 2 [ U [ ] = U 10 I1 cos ϕ + cos( 2 (ω t + ϕ I ) + ϕ (1.5) ] −ϕ I ) = = U 10 I 1 cos ϕ + cos(2 (ω t + ϕ I ) + ϕ ) = = U10 ⋅ I1 [cos ϕ + cos( 2 ⋅ ω ⋅ t + 2ϕ I ) cos ϕ − sin( 2(ω ⋅ t + ϕ I )) sin ϕ ] = [ ] = U 10 I1 cos ϕ 1 + cos(2 ω t + 2 ϕ I ) − U 10 I1 sin ϕ sin( 2 ω t + 2 ϕ I ) Nochmals komplex: p (t ) = 2 ⋅ U 10 ⋅ [ e 2 (1.4) j (ω t + ϕ u ) + e − j ( ω t +ϕ ) ] ⋅ u 2 ⋅ I 1 .[ e j ( ω t + ϕ 2 i ) + e − j ( ω t +ϕ ) ] i ~ ~ U 10 ⋅ e j ⋅ϕ u = U 10 ; I 1 ⋅ e j ⋅ϕ = I10 ~ ~ U 10 ⋅ e − j ⋅ϕ = U 10 ; I 1 ⋅ e − j ⋅ϕ = I10 1 ~ ~ ~ ~ p(t ) = [U 10 ⋅ e jωt + U 10 ⋅ e − jωt ] ⋅ [I 1 ⋅ e jωt + I1 ] 2 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = [U 10 ⋅ I 1 ⋅ e j 2ωt + U 10 ⋅ I 1 ⋅ e − j 2ωt + U 10 ⋅ I 1+U 10 ⋅ I 1 ] 2 u u u 1 = [U 10 ⋅ I 1 ⋅ e j ( 2ωt +ϕu +ϕi ) + U 10 ⋅ I 1 ⋅ e − j (2ωt +ϕu +ϕi ) + U 10 ⋅ I 1 ⋅ e − j (ϕu −ϕi ) + U 10 ⋅ I 1 ⋅ e j (ϕu −ϕi ) ] 2 = U 10 ⋅ I1 ⋅ cos(ϕ u − ϕ i ) + U 10 ⋅ I 1 ⋅ cos(2ω ⋅ t + ϕ u + ϕ i ) mit ϕ = ϕu − ϕi = U 10 ⋅ I1 ⋅ [cos ϕ + cos(2ω ⋅ t + ϕ u + ϕ i )] (1.5) 1-8 Symmetrisches Drehspannungssystem Abbildung 1.14. Symmetrisches Drehstromsystem (Sternschaltung) Komplexe Betrachtung der Leistung, quasi der Scheinleistung: (Bezogen auf Abb.1.14.) ~ ~ ~ S1 = U 10 ⋅ I1 = U 10 ⋅ I1 ⋅ e j ( ϕ −ϕ ) = U 10 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ + j ⋅ U10 ⋅ I1 ⋅ sin ϕ = P1 + Q1 u i [ Bei 3 Strängen: S = P + j Q = 3U 10 I 1 cos ϕ + j sin ϕ P = 3 U 10 I 1 cos(ϕ U − ϕ I) Q = 3 U 10 I 1 sin(ϕ U − ϕ I) ] ~ Bzw.: S = 3 ⋅ U 10 ⋅ I1 [cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ] U ~ ~ ~ S = 3 ⋅ U1 ⋅ I1 = 3 12 ⋅ e j⋅ϕ ⋅ I1 ⋅ e − j⋅ϕ 3 ~ ~ U12 = 3 ⋅ U 10 ⋅ e j ⋅30° ust i = 3 ⋅ U 10 ⋅ e j ( ϕu +30° ) ; mit ϕ u∆ = ϕ ust + 30° = 3 ⋅ U10 ⋅ e j⋅ϕu∆ ~ S = 3 ⋅ U12 ⋅ I1 ⋅ e j ( ϕu∆ −30°−ϕ I ) ; mit ϕ ust = ϕ u∆ − 30° = 3 ⋅ U 12 ⋅ I1 ⋅ e j (ϕust −ϕi ) Abbildung 1.15. Symmetrisches Drehstromsystem (Dreieckschaltung) Scheinleistung in diesem Fall (Abb. 1.15): ~ ~ ~ S = U 31 ⋅ I31 ~ I ~ I 31 = 3 ⋅ e j⋅30° 3 ~ I ~ I12 = 1 ⋅ e j30° 3 ~ ~ I3 − j30° I ~ ~ S = 3 ⋅ U 31 ⋅ ⋅e = 3 ⋅ U 31 ⋅ 3 ⋅ e jϕ ⋅ e − j( ϕ 3 3 u 1-9 ist + 30° ) = 3 ⋅ U 31 ⋅ I 31 ⋅ e jϕ ⋅ e − jϕ ) u i∆ Symmetrisches Drehspannungssystem ~ ~ ~ I3 S = 3 ⋅ U 31 ⋅ e j⋅ϕ ⋅ e − j ( ϕ 3 u ist ~ ~ ~ I3 S = 3 ⋅ U 31 ⋅ e j (ϕ −ϕ 3 u ϕ * =ϕ I −ϕ U i∆ +30 ° ) ; mit ϕ i∆ = ϕist + 30° ) = −ϕ ~ ~ ~ S * = P * + j Q * =U 10 I10 =U 10 e − j ϕ I10 e jϕ =U 10 I10 e jϕ =U 10 I10 e − jϕ Sternschaltung ,symmetrisch ~ S =3 ⋅ U st ⋅ I L ⋅ e jϕ st * U I ohne Nulleiter ist Ust nicht messbar U U ∆ ⋅ ist messbar U st = ⋅ ∆ 3 ~ jϕ st S = 3 ⋅U ∆ ⋅ I L ⋅ e ~ jϕ S =3 ⋅U ∆ ⋅ I ∆ ⋅ e Strangstrom nicht messbar I I∆ = ⋅ L 3 ~ S = 3 ⋅ U ∆ ⋅ I L ⋅ e jϕ ∆ Unsymmetrische Drehstromsysteme: Vierleitersystem Abbildung 1.16. Unsymmetrisches Drehstromsystem (4 Leiter) ~ ~ ~ ~ I 0 = Y1 U 10 + Y2 U 20 + Y3 U 30 1-10 Symmetrisches Drehspannungssystem Dreileitersystem ~ I3 ~ I2 ~ I1 ~ U30 ~ U20 ~ U10 ~ U1m ~ U2m ~ Y1 ~ Y2 ~ ~ Y3 U 2m ~ Um0 Abbildung 1.17. Unsymmetrisches Drehstromsystem (3 Leiter) ~ ~ ~ ~ ~ ~ I1 = U1m ⋅ Y1 = (U 10 − U m0 ) ⋅ Y1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ I 2 = U 2 m ⋅ Y2 = (U 20 − U m0 ) ⋅ Y2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ I 3 = U 3m ⋅ Y3 = (U 30 − U m0 ) ⋅ Y3 ~ ~ ~ Dabei ergeben, erzwungen durch Fehlen des Nulleiters: I 1 + I 2 + I 3 = 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ⇒ U10 ⋅ Y1 + U 20 ⋅ Y2 + U 30 ⋅ Y3 = U m0 (Y1 + Y2 + Y3 ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ U10 ⋅ Y1 + U 20 ⋅ Y2 + U 30 ⋅ Y3 ~ ⇒ U m0 = ~ ~ ~ Y1 + Y2 + Y3 ~ U20 ~ U10 ~ Um0 ~ U1m ~ U 2m ~ U30 ~ U3m Abbildung 1.18. Zeigerdiagramm des Drehstromsystems Starke Unsymmetrie ⇒ auch die Verbraucherspannungen unsymmetrisch Hochspannungsnetz ⇒ viele Verbraucher gleichen die Unsymmetrie aus 1-11 Transformatoren 2. Transformatoren Transformatoren dienen zur Kopplung von Stromkreisen mit unterschiedlichen Spannungen Beispiel Energieversorgung: Abbildung 2.1. Schematische Darstellung zwischen Generator und Verbraucher (Mittelspannung - 20kV Hochspannung - 380 V Niederspannung - 380 V) 2.1. Magnetische Kopplung zweier Stromkreise Abbildung 2.2. Transformator Φ h : Hauptfluss Φ iσ : Streufluss r r Durchflutungsgesetz: ∫ H ⋅ ds = Θ = H ⋅ l = ( N 1 ⋅ i1 − N 2 ⋅ i2 ) ⋅ k Magnetische Flussdichte: B = µ0 ⋅ µr ⋅ H Magnetischer Fluss: r r A Θ φ h = ∫ BdA = B ⋅ A = k ⋅ µ 0 ⋅ µ r ⋅ ⋅ Θ = , l RmE mit Θ = ( N1 ⋅ i1 − N 2 ⋅ i2 )k k=Kopplungsfaktor Magnetischer Widerstand: l Rm = k ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ A 2-1 Transformatoren Über den Hauptfluss sind die beiden Stromkreise gekoppelt: dΦ h dΦ1σ U 1h = N 1 ; U1σ = N1 dt dt U 2h = N 2 dΦ h dΦ 2σ ; U 2σ = N 2 dt dt u1(t ) = R1 ⋅ i1 + N1 ⋅ φh = (2.2) dφiσ dφ + N1 ⋅ ih ; dt dt u2 (t ) = − Ri ⋅ i2 − N 2 u1 (t ) = R1 ⋅ i1 + N 1 ⋅ (2.3) dΦ 2σ dΦ h + N2 ; dt dt N1i1 − N 2 i 2 N = 1 RmE RmE (2.1) (2.4) N ⋅ i1 − 2 i2 ; N1 142 43 im eingesetzt in Gl. (2.3) und Gl. (2.4) dφ1σ N 1 2 di1 N 1 ⋅ N 2 di 2 + ⋅ − ⋅ dt RmE dt RmE dt 14444244443 (2.5) U1 h dφ 2σ N 2 di2 N 1 ⋅ N 2 di1 − ⋅ + ⋅ dt R mE dt R mE dt 14444244443 2 u 2 (t ) = − R2 ⋅ i 2 − N 2 (2.6) U 2h Aus den Gl. (2.5) und (2.6) folgt : U1h N di N di = 1 ⋅ 1− 2 ⋅ 2 N1 RmE dt RmE dt → ⇒ U 2h N di N di = 1 ⋅ 1− 2 ⋅ 2 N2 RmE dt RmE dt U 2h U 1h = N2 → idealer Transformator N1 → ð Die Hauptspannungen ( U ih ) sind in Phase, ihre Beträge verhalten sich wie die Windungszahlen ( Ni ). Die primäre Hauptfeldspannung wird nun mit dem primären Magnetisierungsstrom im ausgedrückt: N12 dim di U1h = ⋅ = L1h m ; RmE dt dt N1 dΦ1σ di = L1σ 1 ; dt dt U 2h = N2 N2 N di ⋅ U 1h = 2 ⋅ L1h m N1 N1 dt di 2 di = L2σ 2 dt dt 2-2 Transformatoren Diese Beziehungen in Gl. (2.5) und Gl. (2.6) eingesetzt ergeben: di di u1 (t ) = R1 ⋅ i1 + L1σ 1 + L1h m dt dt u 2 (t ) = − R2 ⋅ i 2 − L2σ (2.7) di 2 N 2 di + ⋅ L1h ⋅ m dt N 1 dt 1 424 3 (2.8) M N ⋅N N M = 1 2 = 2 L1h RmE N1 Dabei ist L1h die Induktivität und M die Gegeninduktivität. 2.2. Ersatzschaltbild eines Transformators Ein realer Transformator kann zerlegt werden in einen idealen Transformator und Magnetisierungsinduktivität + Streuung + ohmsche Verluste. ~ I1 R1 N2 L1σ ~ /N1 I2 L2σ R2 ~ I2 ~ Im ~ U1 L1h ~ U1h ~ U 2h ~ U2 idealer Transformator Abbildung 2.3. Ersatzschaltbild eines Transformators Komplexe Darstellung der Gl. (2.7) und Gl. (2.8): ~ ~ ~ ~ U 1 = R1 I1 + jω L1σ I1 + jω ⋅ M ⋅I m 14243 (2.9) ~ U 1h ~ ~ ~ ~ U 2 =− R2 I 2 − jω L2σ I 2 + jω M I m 1 424 3 (2.10) ~ U 2h Somit gilt für die beiden Hauptspannungen: ~ ~ ~ N ~ U1h = j ⋅ ω ⋅ L1h ⋅ I m = j ⋅ ω ⋅ L1h ⋅ [ I1 − 2 I2 ] ; N1 ~ ~ ~ N ~ U 2h = j ⋅ ω ⋅ M ⋅ I m = j ⋅ ω ⋅ M ⋅ [ I1 − 2 I2 ] N1 2-3 ~ ~ N ~ mit I m = I1 − 1 ⋅ I 2 N2 Transformatoren Abbildung 2.4. Idealer Transformator Beim idealen Transformator gilt: 1 ~ ~ B = µ0 ⋅ µr ⋅ ⋅ [ N1 ⋅ i1 − N 2 ⋅ i2 ] ; µ r → ∞ ; B = endlich; ⇒ N1 I1 − N 2 I 2 = 0 l ~ N2 ~ ⇒ I1 = I2 N1 2 N Gleichung (2.10) multipliziert mit 1 ergibt N2 2 2 2 ~ N ~ N ~ N ~ N U 2 ⋅ 1 = − R2 ⋅ I 2 ⋅ 1 − j ⋅ω ⋅ L2σ ⋅ I 2 ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ M ⋅ I m ⋅ 1 N2 N2 N2 N2 N Diese Gleichung mit 2 multipliziert führt zu folgender Beziehung: N1 2 2 2 N N N1 ~ N ~ N ~ N ~ U 2 = − 1 R2 ⋅ 2 I 2 − jω 1 L2σ ⋅ 2 I2 + jω 1 M I m N2 N N1 N1 N2 2 1N4 12 3 1422 4 3 3 12 3 3 12 243 12 ′ ′ ′ ′ L ' U 2′ I 2 I L σ R2 2 2 h ~ ~ U 2′ =− R2′ I 2′ − jω L2σ I 2′+ jω L1h I m ~ I1 R1 L1σ L2σ' R2' ~ I2' ~ Im ~ U1 ~ U1h ~ U2' L1h Z2' ~ Abbildung 2.5. Transformator mit anliegender Last Z 2' ~ ~ ~ I m = I1 + I2 ~ ~ ~ ~ , ) I1 ; ca. I m ≈ I1 Beim praktischen Transformator gilt: I m ≈ ( 0,05...01 ~ U1R ~ U1σ ~ U1 ~ U2σ' U1h ~ U2R' ~ U2' ~ I1 ~ I2 ~ Im Abbildung 2.6. Zeigerdiagramm zu Abb.2.5. 2-4 Transformatoren 2.3. Eisenverluste Bei zeitlich veränderlichen Magnetfeldern treten im Eisen Verluste auf. 3 wm = ∫ H ( B) dB • 2.3.1. Hystereseverluste Abbildung 2.7. Hysteresekurve eines Magneten Zur Ummagnetisierung ist während einer Periode eine Energiemenge erforderlich, die proportional zur Fläche der Hystereseschleife ist. Verluste sind proportional der pro Zeit durchlaufenen Zyklen (Hystereseverluste) Näherung: PVH ~ f B$ 2 2.3.2. Wirbelstromverluste Zeitlich veränderliches magnetisches Feld durchdringt leitfähiges Material → Wirbelströme → → d → → Induktionsgesetz: ∫ E ⋅ d s = − ∫ B ⋅ d A dt r v E = ρ⋅S dA dA φh ds φh Abbildung 2.8. o.l.: gesamter Eisenkern; o.r.: Querschnitt des Eisenkerns; u.l.: Magnetfeld im Querschnitt des Eisenkerns; u.r.: geblechter Eisenkern 2-5 Transformatoren PVW ~ f 2 ⋅ Bˆ (Wirbelstromverluste) Minimale Wirbelstromverhältnisse erhält man durchs „Blechen“ (mehrere aneinander geklebte Bleche, die voneinander isoliert sind, Abb.2.8 u.r.). Bei fester Frequenz sind PVW und PVH proportional zum Scheitelwert der Induktion. U 2 PVFe = PVH + PVW ~ B̂2 ~ 1h R Fe Dabei belaufen sich die Eisenverluste nur auf U 1h 2 PVW = RFE 2.3.3. Ergänzung des Ersatzschaltbildes (ESB) eines Transformators ~ IFe ~ ~ I 2Fe+ I m ~ Im RFe L1h ~ U 1h Abbildung 2.9. Teil des Transformators mit Berücksichtigung der Eisenverluste R Fe ist ein fiktiver Widerstand zur Berücksichtigung der Eisenverluste. ~ ~ ~ U 1h = jω L1h I m = RFe I Fe ~ I1 ~ I2' ~I +~I Fe m ~ Im Abbildung 2.10. Zeigerdiagramm der Ströme L 1h ~ ~ I Fe = j ω I RFe m ~ ~ U1h U1h ~ 1 1 ~ RFe + jωL1h ~ ~ I m + I Fe = + = U1h + = U 1h jω L1h RFe jω RFe jωL1h RFe Somit gilt Bei ~ U1h = jωL1h RFe ~ ~ I + I Fe jωL1h + RFe m [ ] RFe → ∞ betragen die Eisenverluste 0 2-6 Transformatoren Transformator Gleichungen (sichtbar an Abb.2.5): ~ ~ ~ ~ U 1 = R1 I 1 + jω L1σ I1 + U 1h ~ ~ ~ ~ U 2′ = − R2′ I 2′ + − jω L2′ σ I 2′ + U1h ~ ~ ~ mit U 1h = jω L1h I m = RFe I Fe 2.4. Einige Sonderfälle 2.4.1. Leerlaufender Transformator I 2′ = 0 ~ ~ U 2′ = U 1h R Fe ⟩⟩ ω L 1h ~ ⇒ U 2′ = jω L1h ~ U 1 Spannungsteiler R1 + jω (L1h + L1σ ) R1⟨⟨ω 1 L1h Abbildung 2.11. Messtransformator L1h ~ ~ N ~ N U 2 = 2 U 2′ ≈ 2 U1 N1 N1 L1h + L1σ Phasentreue Abbildung → Messtransformator (Spannungswandler zur potentialfreien Messung hoher Wechselspannungen, Sekundärseite darf nur schwach belastet werden.) 2.4.2. Sekundär kurzgeschlossener Transformator Abbildung 2.12. Stromwandler ~ U 2′ = 0 Normaler Kurzschlussstrom 2-7 Transformatoren ~ I k = 10 ....20 I N → Zerstörung Primärspannung hinreichend absenken, so dass Nennstrom nicht überschritten wird → Dauerbetrieb im Kurzschluss möglich. RFe ⟩⟩ ω L 1h ~ ~ ~ U1h U1h I1 = + jωL1h jωL2σ '+ R2 ' ~ I 2′ = jω L1h R2′ + jω ( L1h + L2′ σ ) ~ I1 ~ ~ ~ ~ mit U1h = jωL1h ( I1 − I2 ' ) = ( R2 '+ jωL'2σ )I 2 ' Stromteiler ! R2′ ⟨⟨ω L1h ~ I2 ' = L1h L2δ '+ L1h ~ I1 L 1h N1 N1 ~ ~ ~ I I 2′ ≈ I2 = N 2 L 1h + L ′2σ 1 N2 Phasentreue Abbildung 2.5. Vereinfachtes Ersatzschaltbild , Dauerkurzschluss Beschreibung des Betriebsverhalten: Magnetisierungsstrom und Eisenverluste in der Regel vernachlässigbar ~ RFe → ∞ , I Fe → 0 ~ ~ ⇒ I1 = I 2′ ω L 1h → ∞ , ~ Im → 0 ~ ~ ~ ~ U 1 = ( R1 + R2′ ) I1 + jω ( L 1σ + L ′2σ ) I 1 + U 2′ ~ ~ ~ ~ U1 = Z k I1 + U ´2 , ~ Z k = Rk 2 + X k 2 = ( R1 + R2 ' )2 + ω 2 ( L1σ + L2σ ' )2 = Z k Messung des Innenwiderstandes: → sekundärer Kurzschluss, über steuerbare Spannungsquelle wird I 2 Nenn eingestellt. Beträge: ~ U 1K = Z K I1N = Nennkurzschlussspannung uK = U 1K = relativeKurzschlussspannung U 1N 2-8 Transformatoren Abbildung 2.13. Messaufbau Bestimmen von RK gemessen wird U 1K , I1 N , Wirkleistung PK P = U 1 K ⋅ I1N cos ϕ K ⇒ cosϕ K = PK U 1K I 1N ⇒ RK = R1 + R2 ' = Z K cos ϕ K X K = ω ( L1σ + L2σ ' ) = Z K sin ϕ K R K I 1N = uK cosϕ U 1N X K I1 N = u K sinϕ ux = U 1N uR = relativer Wirkspannungsabfall relativer Streuspannungsabfall Kurzschlussstrom I1K = K K U1N U1N I = I1N = 1N ZK ZK I1N u1K u K = 4% K 12% nimmt mit der Trafoleistung zu, um Kurzschluss zu begrenzen Beispiel: u K = 5% ⇒ I 1 K = 20 I 1 N 2.6. Spartransformator Abbildung 2.14. Spartransformator; z.B.: Zündspule eines Autos 2-9 Transformatoren 2.7. Drehstromtransformatoren φU i2V i 1U u 1U N1 i 2U u2U N2 u 1W u 2W Abbildung 2.15. „Dreifachtransformator“ 2.7.1. Wirkungsweise Speisung aus Drehspannungssystem und bei symmetrischer sekundärer Belastung φU +φV +φW =0 Flüsse sind um 120° verschoben; ~ ~ ~ ~ ~ ~ φhV ~ I1V ; φhW ~ I1W ; wobei φhu ~ I1U ; ~ ~ ~ φhU + φhV + φhW und somit mittlere Schenkel zusammenfassen →weglassen → Anordnung in einer Ebene; praktischer Aufbau Transformatorbank: ~ U1U ~ U2U ~ I1U ~ I2U ~ ~ I1V U1V ~ U2V ~ I 2V ~I 1W ~ U1W ~ U2W ~ I2W Abbildung 2.16. Drehstromtransformator in vereinfachter Darstellung Die Schenkel sind unterschiedlich lang ⇒ Magnetisierungsströme der drei Phasen unterschiedlich 2-10 Transformatoren ⇒ Unterschiede vernachlässigbar klein ⇒ Betriebsverhalten von Drehstromtransformatoren mit symmetrischer Belastung läßt sich mit ESB des einphasigen Transformators beschreiben. 2.7.2. Schaltgruppen Drehstromtransformatoren → verschiedene Stern / Dreieck Verschaltungsmöglichkeiten Man unterscheidet verschiedene Schaltgruppen (vgl. VDE 0532) Definitionen: Klemmen der Oberspannungswicklung (OS) 1U, 1V, 1W Klemmen der Unterspannungswicklung (US) 2U, 2V, 2W Strangspannungen: UU,UV, UW Außenleiterspannungen: UUV, UVW, UWU Kennzahl: K = 0, 5, 6 oder 11 ϕ US = − k ⋅ 30° → Zeiger der US-Wicklung eilt nach U '2U = N1 ~ ~ U 2U = U 1U N2 Übersetzungsverhältnis ü: Verhältnis der Außenleiterspannungen des idealen Transformators U ü = 1UV ; ist abhängig von der Schaltung der Wicklung. U 2UV idealer Transformator: Verluste, Streuung und Magnetisierungsstrom werden vernachlässigt. ~ U 1UV − jk 30° ~ U 2UV = e ü Die Spannungen der Wicklungen auf dem gleichen Schenkel haben dann die gleiche Phase und ihre Strangspannungen verhalten sich wie die Windungszahlen (vgl. idealer Trasformator) 2-11 Dreiecksschaltung: Primärseite D Sekundärseite d Sternschaltung: Primärseite Y Sekundärseite y Transformatoren Zick-Zack-Schaltung: Primärseite Z Sekundärseite z Mittelpunkt herausgeführt n ↓ für unsymmetrische Belastung ∆-Schaltung : U∆= U Strang ∧-Schaltung : U∆= 3 ⋅ U Strang Beispiel Schaltgruppe Dy5: U 2UV = 3 ⋅ U 2U = 3⋅ mit U 2U = N2 N U 1U = 2 U 1UV N1 N1 N2 U N 1 1UV ⇒ü= ~ 1U U 1V 1UV ~ I 1U N1 3 ⋅ N2 1W ~ I1V ~ I 1W ~ U1U ~ U1V ~ U1W ~ U2U ~ U2V ~ U2W ~ ~ I2U I2V ~ 2U U2UV 2V Oberspannungsseite Unterspannungsseite ~ I2W 2W Abbildung 2.17. Drehstromtransformator der Schaltgruppe Dy5 Abbildung 2.18. Zeigerdiagramme von Abbildung 2.17. 2-12 Transformatoren Weiteres Beispiel: Y z 5 - Schaltgruppe U 2U U 2U 0 = 3 2 U 1uv = 3U 1U U 2uv = 3U 2U 0 N2 U 2U = U ⇒ N 1 1U U 1 U 1U 2 U 1U 2 N1 = = = ⋅ U 2 U 2U 0 3 U 2U 3 N2 U1 2 N1 = U2 3 N2 1U 1V 1W 2U 2V 2W Abbildung 2.19. Drehstromtransformator der Schaltgruppe Yz5 1 .~ - /2 U2u 1 ~ U1v ~ U1u 1 ~ - /2 U 2w ~ U1uv . ~ /2. U2v ~ U20 .~ /2 U2u 1 ~ /2.U2w 1 1 .~ - /2 U2v Abbildung 2.20. Zeigerdiagramme zu Abbildung 2.19. 2-13 ~ U2uv Transformatoren 2.8. Gebräuchlichsten Schaltgruppen nach VDE 0532: Bezeichnung Kenn- Schaltzahl gruppe 0 Yy0 5 Zeigerbild Oberspannungsseite Schaltungsbild Unterspannungsseite Oberspannungsseite Unterspannungsseite Übersetzung U1∆ : U2∧ N1 N2 Dy5 N1 1 ⋅ N2 3 Yd5 N1 ⋅ 3 N2 Yz5 N1 2 ⋅ N2 3 Einphasige Belastung Y y n 0 → nicht zulässig wegen φ 1 =φ 2 =φ 3 in Betrag und Phase D y n 5 → möglich Y z n 5 → voll einphasig belastbar Diese Belastungstypen werden als Verteilertransformatoren in Ortsnetzen eingesetzt. 2-14 Gleichstrommaschine 3. Gleichstrommaschinen 3.1 Allgemeine Grundlagen 3.1.1 Induzierte Spannung Induktionsgesetz: r r r r d dφ ∫ E d s = − dt (∫A) B d A = − dt Abbildung 3.1. Homogenes Magnetfeld mit verschiebbaren stromdurchflossenen Leiter r r d r r d E d s = − u = − Bd A= BA ∫ dt ∫ dt d dx u = (B ⋅ l ⋅ x) = B ⋅ l dt dt ( ) mit A = x ⋅ l dx =v dt u = B ⋅ l ⋅v allgemein gilt: r r r r r r ∂B r E d s = − d A + ϑ ∫ ∫ ∂t ∫ ×B d s ( ) mit W (Windungszahl) multipliziert bezieht sich die Formel auf mehrere in reihe Geschaltete Spulen ∂B −ϑ Bl ∂t ⇒ u = ϑ ⋅B⋅l − u =− A 3-1 Gleichstrommaschine N B ds l ω dA u S Abbildung 3.2. Leiterschleife zwischen Magnetpolen ω B α dA Abbildung 3.3. Seitenansicht der Leiterschleife Auf dieses Beispiel bezogen: r r dφ mit φ = B A cos α ∫ E d s = − u = − w dt d dα u= B A cos α ) = − B A sin α ; ( dt dt ... gilt: u = ω ⋅ B ⋅ A ⋅ sin ω ⋅ t u = uˆ ⋅ sin ω ⋅ t Fluss, der Spule durchsetzt mit dα = ω = konst. undα = ω ⋅ t dt Abbildung 3.4. Ausgangssignal der Leiterschleife in Abbildung 3.2. 3-2 Gleichstrommaschine Abbildung 3.5. Bild wie Abbildung 3.3. allerdings mit Kommutator an der Leiterschleife Abbildung 3.6. Ausgangssignal der Leiterschleife aus Abbildung 3.5. (geglättete Spannung) 3.1.2 Lorentzkraft v FL + QL B Abbildung 3.7. Kraft auf bewegte Elementarladung Abbildung 3.8.Stromdurchflossener Leiter Aus der Experimentalphysik ist bekannt: r r FL = Qel (V × B) , die Kraft auf eine Probeladung im Magnetischen Feld. In Bezug auf Abbildung 3.8.: In einem Leiterstück der Länge x befinden sich Qel ( x ) = N ⋅ QL ⋅ A ⋅ x Elementarladungen. N = Zahl der Ladungen / Volumen QL = Elementarladung l i x x, v= dx dt Abbildung 3.9. Leiter mit Einzelausschnitt 3-3 q Gleichstrommaschine r Stromdichte im Leiter = S r S zeigt in Bewegungsrichtung der Ladungen Für den Leiter gilt: sq=i r Zusammenhang zwischen Strom i und Geschwindigkeit v : ⇒ Für gesamten Leiter mit der Länge l Qel = N ⋅ QL ⋅ A ⋅ l , dabei bilden A ⋅ l das Volumen. Für eine Scheibe der Länge dx gilt also dQel = N ⋅ QL ⋅ A ⋅ dx . r r dx Die Scheibe bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = . dt dQel dx ⇒ = N ⋅ QL ⋅ A ⋅ =i dt dt i = N ⋅ QL ⋅ A ⋅ v r Die Richtung des Leiters bestimmt die Richtung von v . r r Qel ⋅ϑ = l ⋅ N ⋅ Q ⋅ A ⋅ v v mit erweitert v r v = Einheitsvektor v r r v Qel ⋅ ϑ = l ⋅ N ⋅ Q ⋅ A ⋅ ϑ ⋅ v r r r ϑ l Qel ⋅ ϑ = ⋅ i ⋅ l = ⋅ i ⋅ l ϑ l r l zeigt in Bewegungsrichtung. Die Bewegungsrichtung der Ladungen stimmt mit der Leiterrichtung überein: r r v l = v l r r r r r l v Qel = il =il ⇒ FL = Qel (V × B) l r r ⇒ FL = ( i ⋅ l × B) 3.2 Lorentzkraft Allgemeines günstige Betriebseigenschaften → Einsatz in drehzahlgeregelten Antrieben Beispiele: Hebefahrzeuge Fahrzeuge Walzstraßen heute Wickler → geringe Drehmomentschwankungen Schwachpunkt: Stromwender (Kommutator) - begrenzt Leistung und Drehzahl - erfordert sorgfältige Wartung ⇒ lieber Drehstromantriebe 3-4 Gleichstrommaschine S N N S Abbildung 3.10. Schematischer Aufbau einer Gleichstrommaschine 3.3 3.3.1 Wirkungsweise der Gleichstrommaschine Feldwicklung, Erregerfeld Erklärung einiger Begriffe: Erregerfeld: Von den Spulen in den Polen erregtes magnetisches Feld Das in den Läufer eindringende Feld ist verantwortlich für die Kraftund Induktionswirkung. Polteilung: Abstand von Polmitte zu Polmitte, am Läuferumfang gemessen π da τp = = Polteilung ; p = Zahl der Polpaare 2p bp Polbreite α= ≈ 0,55 ... 0,7 ; Polbedeckung = τp Polteilung Abbildung 3.11. Feldbild des Erregerfeldes und Feldkurve 3-5 Gleichstrommaschine Mittlere Induktion: Bm i 1 = τp τp ∫ Bf ( x ) dx 0 Hauptfluss, der durch eine Polteilung in den Läufer der Länge l eintritt: τp φ =l ∫ Bf ( x ) dx = Bm i τ p l 0 ideelle Polbedeckung = αi = mittlere Induktion ; Luftspaltinduktion α = Polabdeckung Bm i ≈α ; Bm i ≈ α BL BL π da Umfang τn = = Na Ankernutenanzahl Einfluss der Läufernutung: Abbildung 3.12. Feldverteilung im Bereich einer Nutteilung; a) Feldbild; b) Flussdichte an der Polschuoberfläche 3-6 Gleichstrommaschine Flussdichte über der Nut ist kleiner als über dem Zahn berücksichtigt durch Ersatzluftspalt δ ' ’: δ ' ' = kc ⋅ δ ; wegen der Nutung: δ ' '≥ δ ; k c = Carterscher Faktor Ankeroberfläche glatt. Durchflutungssatz: BL 2δ ′ + VFe = 2 Θ f µ0 Θ f = WF I f BL VL VFe BL(Θf ) Θf Abbildung 3.13. „Luftspaltgerade“ bezogen auf die Flussdichte in Abhängigkeit von der Erregerdurchflutung Nennpunkt: VL ≈ VFe 3.3.2 Läuferwicklung, induzierte Quellenspannung Abbildung 3.14. Prinzip einer Gleichstrommaschine Praktische Ausführung: werden. Spule 1 ist Na ⟩ 8 , da in der Praxis Zweischichtwicklungen gebraucht 2p Oberlage in Nut 1 Unterlage in Nut 2 Spulenweite w ist gleich der Polteilung 3-7 Gleichstrommaschine Fluss der die Spule durchsetzt: ξ+ φ (ξ ) = l w 2 ∫ B( x) d ( x) ξ− w s Abbildung 3.15. a) Die Zeitfunktion der induzierten Spannung u sp (t ) entspricht der Ortsfunktion der Flussdichte B(x) ; b) Funktion B(x) im Querschnitt, mit dem Maximum bei BL und dem Minimum bei − BL u sp = wsp dφ dφ dξ d =wsp ⋅ =wsp v a l dt dξ dt dξ ξ+ w 2 ∫wB( x)d ( x) ξ− 2 Regel: d dξ b (ξ ) ∫ f ( x ) d ( x ) = f (b) a (ξ ) db da − f (a ) dξ dξ somit gilt : w w u sp = wsp ⋅ l ⋅ v a B(ξ + ) − B(ξ − ) = l ⋅ v a ⋅ wsp [BL − (− BL )] = 2wsp ⋅ v a ⋅ l ⋅ BL 2 2 mit wa = 4wsp 1 wa ⋅ l ⋅ v a ⋅ B L ; 2 ⇒ u i = 2 wa ⋅ l ⋅ v a ⋅ B L u sp = ui = 4u sp ui = induzierte Spannung oder Quellenspannung Zusammenhang zwischen u sp und ua : ua = Ankerspannung über die zwischen zwei Bürsten in Reihe geschaltete wirksame Windungszahl 3-8 Gleichstrommaschine wa = Ankerwindungszahl = zwischen zwei Bürsten in Reihe geschaltete wirksame Windungszahl Abbildung 3.16. Wicklungsschema a) Schleifenwicklung; b) Wellenwicklung Rotierende Maschine: ω =2 v a / d a ⇒ v a = ω ⋅ da 2 φ = Bmi l τ p ⇒ Bmi = BL = ; ω = Winkelgeschwindigkeit φ l ⋅τ p In ui eingesetzt: d d φ ui =2 wa l a ω =wa a ω φ 2 lτ p τp π ⋅ da = 2 p ⋅ τ p ⇒ ui = wa 3-9 2p ωφ =cωφ π da 2 p = τp π ui = c ⋅ ω ⋅ φ Klemmspannung Gleichstrommaschine 3.3.3 Strombelag, Ankerrückwirkung Die Spulenströme bilden die Nutdurchflutung I sp ( x ) z n = Θ n ( x ) = An ⋅ τ n ; z n = Zahl der Leiter einer Nut Abbildung 3.17. Anker eines Gleichstrommotors Θ An = n τn Definition: Θ n ( x ) z n ⋅ Isp = ; τn τn Ortskoordinate x abhängiger Wert von Aa ( x ) : Θ n (x) Aa ( x ) = τn Na Θn 2.) Aa = = Ankerstrombelag (Betrags-Mittelwert); N a = Zahl der Ankernuten π da Zusammenhang zwischen I sp und I a : Allgemein gilt hier für den Ankerstrombelag: N a ⋅ Θ n N a ⋅ z n ⋅ I sp I N ⋅z Aa = = mit I sp = a ; wa = a n π ⋅ da π ⋅ da 2a 2a ⋅ 2 4a ⋅ wa ⋅ I a 2 ⋅ wa ⋅ Ia wa ⋅ I a = = = mit π ⋅ d a = 2 p ⋅ τ p 2a ⋅ π ⋅ d a π ⋅ da p ⋅τ p Beispiel: 1 16 Nuten, 4 Zweige sind parallel geschaltet, I sp = I a 4 z n N a I sp z n N a I a 2 wa I a Aa = = = π da 2a 2 p τ p 2p τp 1.) Aa ( x ) = 3-10 Gleichstrommaschine Abbildung 3.18. Feldbild und Feldkurve des vom Ankerstrombelag erregten Feldes. Ankerstrombelag = charakteristische Größe für E-Maschinen GM : Aa = 250 A cm K 500 A cm Ankerdurchflutung erzeugt Magnetfeld: ds V(x) V(x+dx) x x+dx δ A(x) Abbildung 3.19. Resultierendes Magnetfeld einer Ankerspule (bzw. das auftretende Potential) Das Ankermagnetfeld läßt sich berechnen, Berechnung des magnetischen Potentials V: r r ∫ Hds = Θ ⇒ − H ( x) ⋅ δ '+ H ( x + dx) ⋅ δ ' ' = Aa ( x)dx → H ⋅δ ' = V − V ( x ) + V ( x + dx ) = Aa ( x )dx dV ( x ) − V ( x) + V ( x) + dx ≈ Aa ( x )dx dx ⇒ dV ( x ) = Aa ( x )dx dV ( x ) = Aa ( x ) → Aa ( x ) = ± Aa dx V ( x ) = ∫ Aa ( x ) ⋅ dx = ± Aa x + C B( x ) = µ0 ⋅ H ( x ) = ± H ( x ) ⋅ δ '' = V ( x ) = ± Aa x + C µ0 ⋅ Aa x + C1 δ '' 2π ∫0 BdA = 0 3-11 (!) ⇒ C1 = 0 ⇒C=0 Gleichstrommaschine Abbildung 3.20. Feldbild und Feldkurve des von der Erregerwicklung und dem Anker erregten Feldes. Abbildung 3.21. Überlagerung der von der Erregerwicklung und der Ankerwicklung erregten Feldkurven; a) Erregerfeld B f (x ) ; b) Ankerstrombelag Aa (x ) und Ankerfeld Ba (x ) ; c) resultierende Feldkurve; d) Drehschub σ (x ) Ankerrückwirkung • Verschiebung der Neutralen Zone • erhöhte Lamellenspannung • Eisensättigung 3-12 Gleichstrommaschine 3.3.4 Kraftbildung Abbildung 3.22. Kraftwirkung in der Ankerspule durch den Strombelag z n ⋅ I sp = Θ n τn τn Fn ( x ) = − Aa ( x ) ⋅ B( x ) ⋅ l ⋅ τ n Oberflächenkraft Fn = − Θ n ⋅ l ⋅ B( x ) ⋅ ð F =l⋅ ; − Aa ( x ) ⋅ B( x ) tangentiale 2 πd a τp τp 0 0 0 ∫ Aa ( x ) ⋅ B( x ) ⋅ dx = − l ⋅ 2 p ∫ − Aa ⋅ B( x ) ⋅ dx = 2 ⋅ l ⋅ p ⋅ Aa ⋅ ∫ B( x ) ⋅ dx ð F = 2 ⋅ p ⋅ τ p ⋅ l ⋅ Aa ⋅ Bmi F = Aa ⋅ Bmi = δ 2⋅ p⋅τp ⋅ l Ma = d 1 ⋅ d a ⋅ F = p ⋅ τ p ⋅ l ⋅ d a ⋅ Bmi ⋅ Aa = l ⋅ d a ⋅ wa ⋅ I a ⋅ Bmi = wa ⋅ a ⋅ I a ⋅ φ τp 2 mit π ⋅ da = 2 p ⋅ τ p → = da 2 p = τp π 2p ⋅ wa ⋅ I a ⋅ φ π => M a = c ⋅ I a ⋅ φ 3-13 Drehschub ;c = Drehmoment 2p ⋅ wa π Gleichstrommaschine 3.3.5 Ersatzschaltbild von Erreger- und Läuferwicklung Vereinfachung: Erreger- und Ankerwicklung konzentrierte Elemente einer quasi 2-poligen Maschine If Rf Lf Φ φ If Uf Uf W.A.f Ui Ui Ra La Ra La n M W.A.a Ia Ia Ua Ua Abbildung 3.23. Links: Ersatzschaltbild einer Gleichstrommaschine; rechts: Kennzeichnung der Wicklungsachsen W.A. Abbildung 3.24. Erläuterung der Stromwendung in einer Spule 3-14 Gleichstrommaschine 3.3.6 Stromwendung, Wendepolwicklung, Kompensationswicklung Strom in Ankerspule → periodischer Wechselstrom Bürstenstrom gleiche Polarität Kommutator ↔ mechanischer Gleichrichter: Abbildung 3.25. Kommutator Richtungswechsel, wenn Lamellen a. d. Spule angeschlossen an Bürsten vorbeiläuft. Bürstenbreite Kommutierungszeit Tk = Umfangsgeschwindigkeit Wegen Selbstinduktivität: ⇒ ⇒ ⇒ 3-15 Selbstinduktion in kurzgeschlossener Spule bei Stromwendung verzögerte Stromwendung ablaufende Bürstenkante wird überlastet Ablaufspannung am Ende d. V.Sicherer Betrieb Gleichstrommaschine ⇒ Komutierung Wendepe in NZ. Abbildung 3.26. a) Magnetischer Kreis einer vierpoligen Maschine mit Wendepolen, Feldlinie des Wendefeldes; b) Feldbild und Feldkurve des resultierenden Feldes, erzeugt von Erreger-, Anker-, und Wendepoldurchflutung Betrag der Ableitung des Stromes nach der Zeit am Ende der Stromwendung klein Wendefeldspannung (rot. induz.) - beschleunigt Stromwendung , - wirkt induzierter Spannung entgegen (Überkompensation) Wendefeldfluss gleiche Richtung wie Wicklungsachse der Ankerwicklung ⇒ keine Rotationsspannung Wendepolfluß : φ W = a ww I a Ankerrückwirkung → Feldverzerrungen kompensieren ⇒ Kompensationswicklung in Hauptpolen 3-16 Gleichstrommaschine Abbildung 3.27. Querschnitt einer vierpoligen Maschine mit Wendepol und Kompensationswicklung; a) Kennzeichnung der Wicklungsachsen; b) Feldbild und Feldkurve des resultierenden Feldes, erzeugt von Erreger-, Anker-, Wendepol- und Kompensationsdurchflutung Durchflutung der Kompensationswicklung ΘK = YK I a = Aa τ p Θ K = Ankerdurchflutung im Bereich des Polschuhs Elektrische Schaltung an Wicklungen: If Φ Rf Lf Uf Ui Ra La Rw Lw Rk Lk Ia Ua Abbildung 3.28. Elektrische Schaltung der Wicklungen einer Gleichstrommaschine Indizes: a: Anker-, f: Erreger-, w: Wendepol-, k: Kompensationswicklung Dabei gilt: 3-17 Rges = Ra + Rw + Rk und Lges = La − Lk + Lw ≡ La Gleichstrommaschine 3.4 3.4.1 Betriebsverhalten Gleichungssystem, Leistungsbilanz di f u f = Rf if + Lf dt di u a =uq +(Ra + RW + R K )ia + Lag a + u i 1442443 { dt Ra La Einfache Schreibweise: Lag: Gegenschaltung von Anker-, Wendepol- und Kompensationswicklung → reduzierte Gesamtinduktivität stationärer Betrieb : U f = Rf I f φ =φ (I f ) U i =c ⋅Ω⋅ φ U a = Ra I a + U i M a =c ⋅φ I a Linearer Zustand für einen Betriebspunkt: c ⋅ φ = M ' d ⋅I f U i = M ' d ⋅Ω ⋅ I f M a = M ' d ⋅I a ⋅ I f 3.4.2 Motorbetrieb Nennwerte = Werte von Leistung, Spannung, Strom, Fluss, Drehzahl, für die Maschine angelegt ist Motor : Nennleistung = M ⋅Ω =Wellenleistung Generator : Nennleistung = U a ⋅ Ia = Klemmenleistung Pel = U a ⋅ Ia + U e ⋅ I e = Pzu Pvf = R f ⋅ I f 2 zugeführte Leistung (elektrische) Stromwärmeverlust in der Erregerwicklung Pva = Ra ⋅ Ia 2 Stromwärmeverlust in der Ankerwicklung 2 Ankerleistung Pa = Pab + PvFe + Pv Re ib + Pva ≡ U a ⋅ I a = U i ⋅ I a + Ra I a PvFe Eisenverlustleistung PvR = Pv Re ib Reibungsverlustleistung Pab = M ⋅ Ω = M a ⋅ Ω − Pvfe − Pv Re ib abgegebene Leistung (dabei M a ≈ M ) 3-18 Gleichstrommaschine Pa = M a ⋅ Ω = U i ⋅ I q M a =cφ I a M a Ω=cφ Ω I a = I aU i = Pi innere Leistung meistens reicht aus: M ≈M a Wirkungsgrad η = Pab <1 Panf Motor Panf = Pel η = f ( Pab ) Abbildung 3.29. Schematische Darstellung der Leistungsbilanz 3.4.2.1 Nebenschluss, Fremderregung Einteilung nach Schaltung der Wicklung: Abbildung 3.30. Links: Nebenschlusserregung; rechts: Fremderregung Bei Vernachlässigung der Reibung und der Eisenverluste gilt: 3-19 Gleichstrommaschine Leerlauf : I a = 0, M a = 0 U a =U q ΩO = UO = Nenn − Winke lg eschwindigkeit im Leerlauf cφ 0 Ausdrücke Ω(U ,φ ,M a ) U − Ra I a U a Ra M a Ω= a = − ⋅ cφ cφ cφ cφ Betrieb im Nennpunkt U a = U a 0 ; φ = φ0 U R M Ω = a0 − a ⋅ a cφ 0 cφ 0 cφ 0 n= 60 s ∗ ∗ Ω, 2π min Ω= 2π min ∗ ∗n 60 s Drehzahl - Drehmoment Kennlinie: n n0 1 1-εa Mw2 Ma0 Lastkennlinien Mw1 Ma0 1 Mi MN Abbildung 3.31. Schnittpunkt von Motor- und Widerstandskennlinie Moment M a hängt ab vom Lastmoment M a = M w , stationärer Zustand Beispiele: Ma ~ Ia = U a − U q U − c Ωφ = Ra Ra U q Gegenspannung zu U a 3-20 Gleichstrommaschine M a = cφ ⋅ I a M i = konst.⇒ φ kleiner → I a größer Maximales Moment ist begrenzt durch: I a max = I a0 Im Dauerbetrieb ⇒ Grenzkurve n n0 mit Ankerrückwirkung ohne 1 Ma Ma0 Abbildung 3.32. Drehzahl-, bzw. Drehmomentkennlinie Ankerrückwirkung bewirkt Feldschwächung. Drehzahlsteuerung eines fremderregten Gleichstrommotors: Leerlauf M a = cφ ⋅ I a = 0 Ua cφ Möglichkeiten : 0 ≤U a ≤U a 0 Änderung An ker spannung φ =φ 0 U − Ra I a U a R Ma Ω= a = − a cφ0 cφ 0 cφ 0 c φ0 Ω= φ < φ0 , Feldschwäc hung U a =U a 0 U − Ra I a U a 0 Ra M a Ω = a0 = − cφ cφ cφ c φ Drehzahlabfall wird bei kleinerem Fluss größer. 3-21 Gleichstrommaschine n n0 2 1,5 FlußSteuerung 1 SpannungsSteuerung 0,5 1 Ma Ma0 Abbildung 3.33. Drehzahl-, bzw. Drehmomentenkennlinie bei Spannungs- und Flusssteuerung Dabei gelten für die Spannungssteuerung folgende Bedingungen: − U a 0 ≤ U a ≤ U a0 und φ = φ0 Bedingungen für die Flusssteuerung => Feldschwächung: U a = U a0 und φ = φ0 Abbildung 3.34. Grenzkurven von Moment und Leistung Leistung bei Feldschwächung φ U i 0 =U a0 − Ra I a 0 für ≤1 φ0 U i 0 = maximale induzierte Spannung 3-22 Gleichstrommaschine M a = cφ ⋅ I a 0 = 0 Ω ⋅ M a = cφ ⋅ Ω ⋅ I a 0 = U q0 I a 0 = konst. = P0 123 =U q 0 ⇒Ω= U q0 I a 0 Grenz − Hyperbel für max imalen Dauerstrom Ma 3.4.2.2 Reihenschlusserregung Reihenschlussmotor: Abbildung 3.35. Ersatzschaltbild eines Reihenschlussmotors U = ( Re + Ra ) ⋅ I a + U i M a = c ⋅φ (Ia ) ⋅ Ia U i = c ⋅ φ (I ) ⋅ Ω dabei gilt: c ⋅ φ( Ia ) = M d '⋅Ia also: ⇒ M a = M d '⋅I a und U = ( R f + Ra ) I a + M d '⋅I a ⋅ Ω 2 Ω= = U i = M d '⋅ I a ⋅ Ω U − ( R f + Ra ) ⋅ I a M d '⋅ Ia U − R f + Ra = R f + Ra U − Md ' M d '⋅M a Md' Ma Md ' Stillstand: Ω=0 R f + Ra U U2 ⋅ Md ' = ⇒ Ma = Md' ( R f + Ra ) 2 M d '⋅M a Leerlauf: Ma = 0 ; Ω → ∞ M d '⋅ 3-23 mit I a = Ma Md ' Gleichstrommaschine Φ Φ0 1 Näherung Ia IaN Abbildung 3.36. Fluss in Abhängigkeit vom Ankerstrom (Gerade); mit Berücksichtigung der Sättigung (Exponentialfunktion) Näherung kann auch bei Nebenschlussmaschinen verwendet werden, reicht aber nicht immer aus. n nN MW Uq> 1 Uq< 1 mit Sättigung ohne Ma MN Abbildung 3.37. Drehzahl-, Drehmomentkennlinie des Reihenschlussmotors Anwendungsbeispiel : Traktionsantriebe, z.B. Straßenbahn, hohes Anfahrmoment 3.4.2.3 Universalmotor ma = M 'd ⋅ia (t ) ⋅ i a (t ) ia (t ) = iˆa (t ) ⋅ cos(ωt ) 2 1 ma = M ' d ⋅iˆa ⋅ cos2 ⋅ ω t = M ' d ⋅iˆa ⋅ [1 + cos(2ωt )] 2 ma = M 'd ⋅ I a 2 3-24 Gleichstrommaschine ma M ⋅ î a d M d ⋅ îa 2 2 2 ωt Abbildung 3.38. Ausgangssignal eines Universalmotors iˆ Ia = a 2 Ra → Effektivwert ~ Ui ~ Ui La ~ UL ~ Ua ~ Ia ~ Ua ~ Ia ~ UR Abbildung 3.39. Ersatzschaltbild eines eines Universalmotors Abbildung 3.40. Zeigerdiagramm Universalmotors ui (t ) = M ' d ⋅i (t ) ⋅ Ω M a = M ' d ⋅I 2 ~ ~ U i = M ' d ⋅Ω ⋅ I a ~ ~ ~ ~ ~ U = ( R + jωL ) I a + U i = ( R + jωL ) ⋅ I a + M ' d ⋅Ω ⋅ I a ~ ~ ~ ~ U − M ' d ⋅Ω ⋅ I a ~ U − Uq I = = R + jωL R + jωL ~ U U ~ ~ ⇒I = ⇒I = 2 R + jωL + M ' d ⋅Ω ( R + M 'd ⋅Ω ) 2 + X L M 'd Ω + R cos ϕ = (M ' d Ω + R)2 + X L 2 1 M a = M ' d ⋅ I 2 = M ' d ⋅U 2 2 ( R + M ' d ⋅Ω ) 2 + X L [ ] M a ( R + M ' d ⋅Ω ) + X L = M ' d ⋅U 2 2 2 2 Ω= 3-25 U2 X R − L2 − M ' d ⋅ M a M 'd M 'd φ Gleichstrommaschine 3.4.3 Anlassen von Gleichstrommotoren 3.4.3.1 Anlassen eines Nebenschlussmotors 1. Erregerwicklung einschalten sonst unkontrollierter Hochlauf wegen Remanenz → Zerstörung Abbildung 3.41. Erregerwicklung mit Schutzbeschaltung Erregerwicklung zuletzt abschalten 2. Ankerspannung einschalten Anlaßwiderstände Stillstand : U=0 I astill = I ak = U a0 Kurzschlußstrom Ra { R Al klein ⇒ Ankerspannung stellen If Rf Lf Ia Rva Ra La Uf Uq Ua Ua0 Abbildung 3.42. Nebenschlussmotor mit Vorwiderstand im Ankerkreis 3-26 Gleichstrommaschine → I a < I a 2 = vorgegebener Maximalstrom I a2 ∗ ( Ra + Rva )=U a0 ⇒ Rva = U a0 −R a I a2 M i 2 = cφ ⋅ I a2 Ia1 IaN n n0 Ia2 IaN 1 R (ν−1 ) R(ν)=R va(n)+Ra 0,5 R(m) MW 1 2 Ma2 Ma0 Abbildung 3.43. Anfahrdiagramm eines Nebenschlussmotors mit Vorwiderstand im Ankerkreis Spannungsstellung über Gleichstromschalter: Abbildung 3.44. Darstellung eines Schalters Graphische Darstellung : Abbildung 3.45. Darstellung der Spannungen und Ströme innerhalb des Schalters in Abbildung 3.43. 3-27 Gleichstrommaschine ua = t ein t U N = ein U N t ein + t aus Tast f T hoch Nebenschlussmotor mit Schutzbeschaltung (Diode und Schalter): If Rf Lf Ia Ra La Uf Uq ua s Ua0 Abbildung 3.46. Nebenschlussmotor mit Schutzbeschaltung Motor steuerbar. 3.4.3.2 Anlassen eines Reihenschlussmotors Rf Lf Ia Ra La Uq U0 Abbildung 3.47. Reihenschlussmotor mit veränderlichen Vorwiderstand im Ankerkreis 3-28 Gleichstrommaschine n nN 1 1 Ma Ma0 Abbildung 3.48. Drehzahl, Drehmomentkennlinie vom Reihenschlussmotor 3.4.4 Generatorbetrieb (Erzeugerzählpfeilsystem) Abbildung 3.49. Ersatzschaltbild eines fremderregten Gleichstromgenerators 3-29 Gleichstrommaschine Leistungsbilanz: Abbildung 3.50. Leistungsbilanz eines fremderregten Gleichstromgenerators U a =U i − Ra I a 2 Leerlauf :U a =U a 0 = U i U i = c φI a Ω U a = c ⋅ φ ⋅ Ω − Ra ⋅ I a ⇒ Ua Ua0 1 Hysterese Ω ΩN =1 Remanenz 1 If If0 Abbildung 3.51. Leerlaufkennlinie des fremderregten Gleichstromgenerators 3-30 Gleichstrommaschine Abbildung 3.52. Klemmspannuing in Abhängigkeit vom Ankerstrom Abbildung 3.53. Ersatzschaltbild eines selbsterregten Gleichstromgenerators 3-31 Drehfeldmaschinen 4. Grundlagen der Drehfeldmaschinen 4.1. Erzeugung eines Drehfeldes durch ein Polrad Umkehrung der Gleichstrommaschine Abbildung 4.1. Polrad mit Erregerwicklung, Ständerring als magnetischer Rückschluss; a) zweipolig; b) vierpolig Abbildung 4.2. Vom Polrad erzeugte Feldkurven; a) zweipolig; b) vierpolig 4-1 Drehfeldmaschinen Abbildung 4.3. Spektrum der Oberwellenamplituden bezogen auf die Grundwelle der Feldkurve in „Abbildung 4.2. a)“ Sonderfall: ⇒ B1 (γ S )= Bˆ cos(γ S ) rotatorisch π γ S = γ R ⇒ B1 ( x )= Bˆ cos x S translatorisch τ p π mit γ S = ⋅ xS τp Allgemein γ S ≠ γ R B (γ )= Bˆ cos(γ ) 1 R R B1 (γ S , γ )= Bˆ cos(γ S − γ ) γ = p⋅Ω⋅t π π mit γ = x= ⋅ p ⋅v ⋅t τp τp da γ + γ R =γ S → γ R = γ S −γ ⇒ B1 (γ S , t ) = Bˆ cos(γ S − p ⋅ Ω ⋅ t ) für folgt: Drehwelle (4.1) π π B1 ( x s , x) = Bˆ cos( ( x s − x )) = Bˆ cos ( x s − p ⋅ v ⋅ t ) τp τp 2 p ⋅ τ p = π ⋅ Di τp = π Di 2p Di = Innendurchmesser des Stators ← Polteilung Abbildung 4.4. Verdrehung des Polrades um den Winkel γ ; a)Koordinatenbezeichnungen; b) Verschiebung der Feldkurve gegenüber dem Koordinatenursprung um den Winkel γ = pΩ t 4-2 Drehfeldmaschinen 4.2. Drehspannungssystem Abbildung 4.5. Ständerspule mit Wicklungsachse W.A. um den Winkel γ µ verdreht; a) Koordinatenbezeichnungen; b) Abwicklung W =τp ⇒ Spulenweite r r ⇒ B ⋅ A = B ⋅ A cos δ r r φh ( t ) = ∫ BdA φh ( t ) = γµ+ Die Feldlinien der Induktion treten senkrecht zur Oberfläche in den Stator ein; Hüllfläche = Oberfläche des Stators ⇒δ =0 τp ⇒ dA = l ⋅ dγ s π π 2 τp B1 (γ s , γ ) l dγ s π24 π 1 4 3 γµ− 2 =dA ∫ φ h durchsetzt Spule: φ h ( t ) = Bˆ l τp π π sin γ µ + − pΩt − sin γ µ − − pΩt π 2 244 4424444 144444444 3 cos(γ µ − pΩt )+cos(γ µ − pΩt ) =2cos( pΩt −γ µ ) ( 2 φh ( t ) = B$ lτ p cos pΩt − γ µ π 12 4 4 3 ) φ$h usp 4-3 2 $ 2 $ B mittlere Flußdichte, φ$h = Bl τp π π dφ = − wSp h = wSp pΩ φ$h sin pΩt − γ µ dt ( ) (4.2) Drehfeldmaschinen Kreisfrequenz der Spannung ω S = p ⋅ Ω u = w ⋅ ω ⋅ φˆ ⋅ sin(ω − γ ) sp sp S h st s Mit dem Effektivwert : ω U sp = S wSp φˆh 2 ⇒ ( uSp = − 2 U Sp sin ωS t − γ µ ) γ 1 =0 : u Sp1 * = − 2U Sp sin ω s t γ2= 2π 2π : u Sp2 * = − 2U Sp sin ω S t − 3 3 γ3= 4π 4π : u Sp3 * = − 2U Sp sin ω S t − 3 3 Abbildung 4.6. Drehspannungssystem; a) geometrische Anordnung; b) Zeigerdiagramm der induzierten Spulenspannungen 4-4 Drehfeldmaschinen 4.3. Drehstromwicklungen Abbildung 4.7. Vierpolige Drehstromwicklung; a) geometrische Anordnung der Spulen; b) Zeigerdiagramm der Spulenspannungen; c) Wicklungsschema mit Zonenplan 4.3.1. Einschichtwicklungen Vierpolige Maschine mit 2 * 3 Spulen Zeigerdiagramm : Spannungen der gegenüberliegenden Spulen phasengleich → Reihenschaltung der Spulen Spulengruppe : Spulen in benachbarten Nuten, die zusammengeschaltet werden Lochzahl : Zahl der Spulen einer Gruppe oder Zahl der Nuten pro Pol und Strang qs = 4-5 Ns 2 pm s Drehfeldmaschinen Abbildung 4.8. Vierpolige Wicklung mit q S = 2 ; a) Spulen gleicher Weite; b) Spulen gleicher Wicklungsachse Beispiel: vierpolige Wicklungen; 24 Nuten; 3 Stränge 24 =2 4∗ 3 Bezogen auf Abbildung 4.8. a) Spulen gleicher Weite: Die Wicklungsachsen der Spulen sind um den elektrischen Winkel 2π γn = p N s verteilt. qs = b) Spulen unterschiedlicher Weite: Haben aber gleiche Spulenachse. Beide Schaltungen sind elektrisch Gleichwertig. Abbildung 4.9. Geometrische Addition der Spulenspannungen γ sin q s n U gr 2 ξ stZ = = q sU sp γ q s sin n 2 U gr =q sξ szU g = ωS ;Zonen- oder Gruppenfaktor ˆ q sω S ξ SZ Φ h 2 Windungszahl eines Stranges : 4-6 Drehfeldmaschinen wS = wSp qs p aS wS = wSp Lochzahl ⋅ Zahl der Polpaare Zahl der parallel geschalteten Spulengruppen in Worten : Quellenspannung bzw.induzierte Spannung eines Stranges: ω ˆ U qs = S wS ξ SZ Φ h 2 hochwertige Wicklungen q S > 2 3 lim ξ SZ = =0,955 π qs →∞ 4.3.2. Zweischichtwicklungen Gesehnte Spule, verkürzte Spule W <τp Abbildung 4.10. Gesehnte Spule: W 4 = τp 5 Spule umfaßt nur einen Teil von B1, Us1 um kleiner als bei Durchmesserspulen W π Sehnungsfaktor ξ SZ =sin τ p 2 Beispiel : W 4 = τp 5 ⇒ v. Spule umfaßter Fluss der 5. Oberwelle = 0 ⇒ 5. Oberwelle induziert keine Spannung in Spule Voraussetzung für Sehnung: Zweischichtwicklung qS = 3 ; 2p = 4 ; m=3; W 8 = τp 9 4-7 ⇒9 Nuten / Pol Drehfeldmaschinen Zweischichtwicklung: Zahl der Spulengruppen = Zahl der Pole (2p) Abbildung 4.11. Vierpolige Zweischichtwicklung mit q S = 3 und den Strängen U Zahl der Windungen pro Strang: 2p wS = wSp q s aS Quellenspannung: ω ˆh U qs = S wSξ S Φ 2 ˆ = Spulenflußoder Ψh = w S ξ S Φ 14444h42444443 Flußverkettungdes Hauptfeldes ; ξ S =ξ SZξ S = Wicklungsfaktor (4.3) wS = Lochzahl in ω S Der Wicklungsfaktor berücksichtigt die unvollständige Verkettung mit dem Hauptfluss. 4.4. Erzeugung eines Drehfeldes durch eine Drehstromwicklung 4.4.1. Prinzip Speisung mit symmetrischem Drehstromsystem ω s = 2πf s 4-8 Drehfeldmaschinen Abbildung 4.12. Durchflutungsverteilung in einer Drehstromwicklung; a) ω S t = 0° ; b) ω S t = 60° iU ( t ) = I$S cosωs t 2π iV ( t ) = I$S cosω s t − 3 4π iW ( t ) = I$S cosωs t − 3 Bei: a) t1 = 0: i = Iˆ U mit I$S = 2 ⋅ I S b) S IˆS 2 Iˆ iW = − S 2 iV = − Tatsächliche Stromrichtung eingezeichnet. Durchflutung direkt synchron mit Zeitlinie 4-9 π ω S t1 = : 3 Iˆ iU = + S 2 Iˆ iV = + S 2 ˆ iW = − I S Drehfeldmaschinen 4.4.2. Drehstrombelag Abbildung 4.13. Erzeugung eines Drehstrombelages durch eine Drehstromwicklung; a) Wicklungsschema; b) Festlegung der Bezugspfeile für die Ströme, Zonenplan; c) aktuelle Stromrichtungen für ω S t = 0° ; d) Strombelagsverteilung für ω S t = 0° ; e) aktuelle Stromrichtungen für ω S t = 60° ; f) Strombelagsverteilung für ω S t = 60° 4-10 Drehfeldmaschinen Θn ( xS ) τn AS ( xS ) = Θ n (γ S ) τn Fourieranalyse A$ S = 2 AS ξ S AS (γ S ) = mωξ A$S = S S S 2 I S = mittlerer Strombelag der Drehstromwicklung pτ p 18 1 2 3 (4.4) 9 10 11 θu γs A1u γs Abbildung 4.14. Erzeugung eines Drehstrombelages ( A1u ) durch eine Drehstromwicklung ω S t1 = 0: A (γ , t )=− Aˆ sin γ = − Aˆ sin(γ − ω t ) S1 s ωS t 2 = 1 S Ss S S S 1 π : 3 π AS1 (γ s ,t 2 )=− Aˆ S sin γ s − =− Aˆ S sin (γ s −ω S t 2 ) 3 Folgerung : Eine mit symmetrischem Drehstrom gespeiste Dreiphasenwicklung erzeugt einen Drehstrombelag konstanter Amplitude, der an der Innenbohrung des Stators entlang läuft. Verallgemeinert: 4-11 Drehfeldmaschinen ( ) ( AS 1 γ s , t = − A$ S sin γ s − ω S t ( = A$ S sin ω S t + γ s ) ) Winkelgeschwindigkeit des Strombelages relativ zum Stator : ( ) ( AS1 γ s ,t =− Aˆ S sin γ s −ω S t ( d = Aˆ S sin ωSt +γ s dt dγ d ω S t + γ s = 0⇒ s = dt dt ( ) ) ) pΩ S ω = {S { elektrischeWinkel − mechanischeWinkel − geschwindigkeit geschwindigkeit Abbildung 4.15. Erzeugung von stehenden Strombelagswellen; a) Strang U; b) Strang V; c) Stang W Ständerströme erzeugen Strombelag → Strombelag erregt magnetisches Feld → Magnetisierungsstrombelag → Aµ 4-12 Drehfeldmaschinen Berechnung der Flussdichte: µ Fe → ∞ δ" > δ berücksichtigt Nutzung und Sättigung ⇒ Feldlinien treten senkrecht aus Eisen aus, verlaufen im Luftspalt geradlinig Abbildung 4.16. Erzeugung eines Drehfeldes; a) Abwicklung, Zonenplan mit aktueller Stromrichtung für ω S t = 0° , wie in „Abbildung 4.13. c)“, Schema der Feldlinienverteilung; b) Strombelagsverteilung; c) Feldstärke im Luftspalt r ∫ H dsr =Θ Umlauf 1: H ( x1 ) + H ( x1′ ) δ ′′ = Θn = z n 2 I Zeichnung: [ ] Abbildung 4.17. Magnetische Feldstärke beim Umlauf um einen Nut 4-13 Drehfeldmaschinen H ( x1 ) = H ( x1′ ) H ( x1 ) = gleiche Beträge zn 2 I 2δ ′′ Umlauf 2: umfaßt 3 Nuten H ( x2 ) + H ( x 2′ ) δ ′′ = 3Θn = 3 2 Izn I [ ] H ( x2 ) = 3 2 zn I = 3H ( x1 ) 2δ ′′ Umlauf 3: umfaßt 5 Nuten, nur halbe Durchflutung in Nut 9 + 13 H ( x3 ) = 4 H ( x S1 ) ⇒ Induktionsverlauf (siehe „Abbildung 4.16. c)“) ⇒ Grundwellenbetrachtung Mathematische Berechnung: V ( xS ) = ∫ Aµ ( xS ) d xS + C V = Hδ ′′ ⇒ B( xS ) = τp µ0 V δ ′′ ∗γ S π Vergleiche mit Gleichstrommaschine: Anker → Grundwelle τp µ B1 (γ s , t )= 0 ∫ Aˆ µ sin (ω 1 t − γ s ) s dγ s +C π δ ′′ µτ p s = Aˆ µ cos(ω S t − γ s ) s +C πδ ′′ C folgt aus der Quellenfreiheit: xS = Di π ∫ B( x ) d x s s =0 0 ⇒ B$ = C = 0 , kein Unipolarfluss ... durch Maschine µ0 τ p πδ ′′ A$ µ ⇒ B1( γ s , t ) = B$ cos(ω S1 t − γ s ) (4.5) 4-14 Drehfeldmaschinen 4.5. Spannungsgleichung einer Drehstromwicklung Symmetrische Speisung ( ) ~ ~ d ~ 2 U S e jω st = RS 2 I S e jωst + ΨS e jωst dt 4243 1 ~ ~ ⇒U S =RS I S + jω Sψ~ S ΨS = ˆ e jω st jω S Ψ S Ψ + Ψ Sh Sδ { { Hauptflußverkettung Streuflußverkettung a) Hauptflussverkettung Selbstinduktion: ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ΨShu I U =ω S ξ S Φ h ( I u ) = Lh I u Gegeninduktion : ~ ~ ~ ~ ΨShv I u =ω S ξ S Φ h I u ( ) ( ) 2π cos 33 4 142 W . A.V gegenW . A.U .um 2π L ⇒ Lh cos =− h = M 2 3 ~ ~ ~ ~ 2π ΨShv I u =ω S ξ S Φ h I u cos 3 L ~ ~ = − h I u = MI u 2 ~ ~ 1 ~ 1 ~ ΨShu = Lh I u − I v − I w (t ) 2 2 ~ 1 1~ ~ ΨShv = Lh − I u + I v (t ) − I w 2 2 ( ) ( ) ~ 1~ 1~ ~ ΨShw = Lh − I u − I v + I w 2 2 2 π ~ ~ −j 3 Iv = Iv ⋅ e − j 4π 3 ~ ~ Iw = Iw ⋅ e ~ 3 ~ ~ ⇒ ΨShu (t )= Lh I u = LSh I u 2 stationär gilt: 3 ψˆ Sh = ⋅ Lh 2 ⋅ I S 2 4-15 ~ =M I u 2π verdreht 3 Drehfeldmaschinen ˆ = 2 Bˆ ⋅ l ⋅ τ Φ Sh p π → bereits hergeleitet (siehe: (4.2)) ψˆ Sh = wS ⋅ ξ S ⋅ Φ Sh = wS ⋅ ξ S ⋅ Bˆ = µ0 ⋅τ p Aˆ S π ⋅δ '' m ⋅ω ⋅ξ Aˆ S = S S S p ⋅τ p ψˆ Sh = wS ⋅ ξ S 2 ˆ ⋅ B ⋅ l ⋅τ p π → bereits hergeleitet (siehe: (4.3)) → bereits hergeleitet (siehe: (4.5)) → bereits hergeleitet (siehe: (4.4)) 2 ⋅ IS µ 0 ⋅ τ p ⋅ m S ⋅ wS ⋅ ξ S 2 ⋅ l ⋅τ p π π ⋅ δ ''' ⋅ p ⋅ τ p 2m µ 0τ p l = 2S (ω Sξ S ) ′′ 44 π 44 πδ2 1 4 4 3 L Sh 2 ⋅ IS 2 2I S ω ~ˆ ~ ~ U Sh = j S ΨSh = j X Sh I S 2 b) Streuflussverkettung: ~ ψ~ Sσu = LSσ I u verallgemeinert für alle Stränge gilt: ~ ~ U Sh = j ω S LSh I S ~ ~ U Sσ = jω S L Sh I S ~ Rs L sσ Is ~ Us ~ U sh L sh Abbildung 4.18. Ersatzschaltbild einer Drehstromwicklung ω S LSσ = X Sσ ω S LSh = X Sh ~ ~ ~ ⇒ U S = ( RS + jX Sδ )I S + U Sh Abbildung 4.19. Zeigerdiagramm der ruhenden Zeiger 4-16 Asynchronmaschine 5. Asynchronmaschine 5.1. Aufbau Die Asychronmaschine ist ein weit verbreiteteter Energieerzeuger für z.B.: -Haushaltsgeräte -Werkzeugmaschinen -ICE Aufbau: Gehört zu den Drehfeldmaschinen. Ständer : 3-strängige Drehstromwicklung Rotor : Schleifringläufer (Drehstromwicklung) Kurzschlussläufer 5.2. Wirkungsweise 5.2.1. Drehtransformator Abbildung 5.1. a) Wicklungsanordnung von Ständer und Läufer, Zeigerdiagramm der Spannungen bei gleicher Richtung der Wicklungsachsen; b) Festgebremster Läufer, gegnüber dem Ständer verdreht 5-1 Asynchronmaschine Statorwicklung an Drehspannungssystem Drehfeld, dreht mit : ωS Ωd = p induziert in Rotorwicklung : ~ Ur wie ein Transformator 5.2.2. Läuferspannung, Läuferstrombelag Beim Stillstand : Ω = 0, Quellenspannung Uir0 Rotor dreht mit Ω ⇒ Drehzahldifferenz zwischen Drehfeld/Rotor ∆Ω =Ω d − Ω Schlupf : s = Ω ∆Ω =1− Ωd Ωd s =1 ⇒ Ω =0 s =0 ⇒ Ω =Ω d QuellenspannungU ir = s ⋅U ir 0 Umdrehung auf elektrische Winke lg eschwindigkeit: p∆Ω = pΩ d − pΩ ω r =ω s −ω ω = sω s ω r =ω s 1 − ωs Abbildung 5.2. Läuferspannung und Frequenz in Abhängigkeit vom Schlupf Abbildung 5.3. Koordinatensysteme von Ständer und Läufer Läuferwicklung geschlossen : wegen U ir fließen Ströme in der Rotorwicklung und dem erzeugen Rotorstrombelag: A ( γ , t ) = A$ cos(ω t − γ + ϕ ) r1 r r s r A 5-2 Asynchronmaschine γS = γ +γ r ⇒ γr = γ s −γ ⇒ω r t − γ r + ϕ A =ω r t − γ S + γ + ϕ A =ω S t −γ + ϕ A γ = pΩt =ωt (bereits bekannt (4.1)) A (γ , t )= Aˆ cos(ω t − γ + ϕ ) r1 r r1 s s A Die Rotorstrombelagswelle läuft relativ zum Stator mit der synchronen Winkelgeschwindigkeit des Drehfeldes. 5.2.3. Drehmoment Die beiden synchron laufenden Drehwellen Ar1 (γ s , t ) und Br1 (γ s , t ) bilden eine tangentiale Oberflächenkraft σ (γ s , t ) = − B1 (γ s , t ) Ar1 (γ s , t ) Integration über Oberfläche ⇒ M i τp D l 2πp M i =− i ∫ Bˆ cos(ω s t − γ s + ϕ B )Aˆ r1 cos(ω s t − γ s + ϕ A ) dγ 2 0 π Produkt der Winkelfunktionen 1 1 = cos( ϕ A − ϕ B ) + cos( 2ω st − 2γ r + ϕ B + ϕ A ) 2 2 4444 1 4244444 3 π2p ∫= 0 0 2τ pπ p Di l Mi = − B$ A$ r1 cos(ϕ A − ϕ B ) π 2 ∗2 Di pτ p l B$ A$ r1 cos(ϕ A − ϕ B ) 2 D D 2π ⇒ p τ p = i ∗π τp = i ∗ 2 2p 2 Mi = − ϕ A − ϕB = α ⇒ Mi = − Di2π ⋅ l $ $ B Ar l cos α 4 M ist zeitunabhängig. 5-3 Asynchronmaschine 5.3. Betriebsverhalten 5.3.1. Spannungsgleichungen d ψ Su (t ) beschreibt Ständerkoordinaten dt d u Ru (t )= RR i Ru (t ) + ψ Ru (t ) beschreibt Rotorkoordinaten dt Läuferwicklung auf Windungszahl des Stators umgerechnet (vgl. Transformator) u Su (t )= RS i Su (t ) + ΨSu (t ) = ΨShu + ΨSσu , ΨRu (t ) = ΨRhu + ΨRσu 1 1 2π ψ Shv (t ) = L h iSu (t ) − i Sv (t ) − iSw (t ) + L h i Ru (t ) cos γ + i Rv (t ) cos γ + 2 2 3 4π + iRw (t ) cos γ + 3 Windungszahl im Stator und Rotor gleich: 1 1 2π 2π ψ Shv (t ) = Lh i Sv (t ) − i Su (t ) − i Sw (t ) + Lh i Rv (t ) cos γ + i Ru (t ) cos γ + + i Rw (t ) cos γ + 3 2 2 3 1 1 4π 2π ψ Shw (t ) = Lh i Sw (t ) − iSu (t ) − i Sv (t ) + Lh i Rw (t ) cos γ + i Ru (t ) cos γ + + i Rv (t ) cos γ + 2 2 3 3 Dabei haben die Ströme folgende Werte: i Su ( t ) = 2 ⋅ I S cos(ωS t ) ; i Ru (t ) = 2 ⋅ I R cos(ω R t ) 2π 2π i Sv (t ) = 2 ⋅ IS cos(ω S t − ) ; i Rv (t ) = 2 ⋅ I R cos(ω R t − ) 3 3 4π 4π i Sw (t ) = 2 ⋅ IS cos(ωS t − ) ; i Rw (t ) = 2 ⋅ I R cos(ω R t − ) 3 3 1 mit: cos γ = [e jγ + e − jγ ] 2 2 ~ jω t ~ − j ω t 2 ~ ~ ; i Ru (t ) = i Su ( t ) = [ IS ⋅ e + IS ⋅ e ] [ IR ⋅ e jω t + IR ⋅ e − jω t ] 2 2 2π 2π 2π 2π j ( ω t − ) − j ( ω t − ) j( ω t − ) 2 ~ 2 ~ ~ ~ − j (ω t − 3 ) 3 3 3 i Sv (t ) = [ IS ⋅ e + IS ⋅ e ] ; i Rv (t ) = [ IR ⋅ e + IR ⋅ e ] 2 2 4π 4π 4π 4π j( ω t − ) 2 ~ j( ω t − 3 ) ~ − j (ω t − 3 ) 2 ~ ~ − j( ω t − 3 ) 3 i Sw (t ) = [ IS ⋅ e + IS ⋅ e ] ; i Rw (t ) = [ IR ⋅ e + IR ⋅ e ] 2 2 In z.B. ψ Shu ( t ) eingesetzt: S S R S S S ψ Shu ( t ) = R R S R R R 3 2 ~ jω t ~ − jω t 3 2 ~ ~ Lh ⋅ [ IS ⋅ e + IS ⋅ e ] + ⋅ Lh ⋅ [ IR ⋅ e j ω t ⋅ e jγ + IR ⋅ e − jω t ⋅ e − jγ ] 2 2 2 2 S S R R 3 ⋅ L h = LSh ; stationär: ω S = ω R + ω und ωt = γ ; 2 2 ~ jω t ~ − jω t 2 ~ ~ ψ Shu (t ) = L Sh ⋅ [ IS ⋅ e + IS ⋅ e ] + L Sh ⋅ [ IR ⋅ e j( ω + ω) t + IR ⋅ e − j( ω + ω) t ] 2 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ ; Im = Magnetisierungsstrom ψ Shu ( t ) = L Sh ⋅ [( IS + IR ) ⋅ e j ω t + ( IS + IR ) ⋅ e − jω t ] 1 4 2 4 3 2 ~ S S S R R S Im 5-4 Asynchronmaschine Diese Rechnung kann analog in anderen Fällen (v,w) angewandt werden. Analog folgt für die Flussverkettung des Rotorstragnes u: 2 ~ ~ ~ ~ ψ rhu (t ) = L Sh ⋅ [( I R + I S ) ⋅ e jωr t + ( I R + I S ) ⋅ e − jωr t ] 2 ~ ~ ~ Mit I S + I R = I m folgen daraus die Spannungsgleichungen: ~ ~ ~ ~ U Su = RS I S + jX Sσ I S + jX Su I m ~ ~ ~ ~ U Ru = Rr I R + jω R L Rσ I S '+ jω R LSh I m ω ω R LRσ = R ω S L Rσ ω S 123 { X ′rσ S ω R LSh = s ⋅ X Sh mit ~ ~ ~ ~ U Ru = RR I R + j ⋅s ⋅ X Rσ I R + j ⋅s X Sh I m ~ ~ ~ ~ U Su = RS I S + j X Sσ I S + U Sh ~ U Ru RR ~ ~ ~ = I R + j X Rσ I R + U Sh s s ~ Eisenverluste: U Sh = RFe I~Fe , analog zum Transformator. Definition : Abbildung 5.4. Vollständiges Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine 5.3.2. Leistungsfluss Luftspalt Leistung Pδ . Vom Ständer am Rotor übertragene Wirkleistung Pδ = P − PVCu − PVFe { { Kupferverluste Eisenverluste imStänder Pδ = Pmech + PVR { Kupferverluste im Rotor 5-5 Asynchronmaschine Pmech = Pab + PV Reib 123 Reibung Pab Pab =η − P Pab + PV P PvCu Pδ PvFe Pmech Pvr PvReib Pab Abbildung 5.5. Leistungsbilanz zwischen der zugeführten ( P ) und der abgegebenen Leistung ( Pab ). { } ~ ~ P = Re U S IS = mS I S cos ϕ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P= m S Re (RS + jX Sσ )I S I S + U Sh I S =m S RS I S 2 + Re U Sh I S ~ ~ ~ ~ I S = I m + I Fe − I r ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ U Sh I S = U Sh I m + U Sh I Fe − U Sh I r 123 123 imaginär U 2 Sh RFe { } [ { }] ~ Ush ~ ~ IS +Ir ~ IFe ~ Im Abbildung 5.6. Zeigerdiagramm P= m S RS I S + m S 2 { } U Sh 2 ~ ~ + m S Re U Sh I r 1 4 4 2 44 3 RFe Pδ 5-6 Asynchronmaschine 5.3.3. Betriebskennlinien 5.3.3.1 Vereinfachtes Ersatzschaltbild RS = 0 für PW > 15kW , f S =50 Hz kaum spürbar R ~ ~ ~ ~ U Sh = U S − jX Sσ I S = − r + jX rσ I r s ~ ~ ~ ~ I S = I m + I Fe − I r ~ +I ) (1~I42 4 3 ~ ~ U Sh = U S − jX Sσ m R ~ = − r + jX Sσ + jX rσ I r s Fe ~ =Leerlaufstrom<<Ir 144424443 Spannungsabfall vernachlässigen X Sσ + jX rσ = X σ ~ R ~ ~ U Sh = − r + jX σ I r =U Sh = jX Sh I m s ~ I Fe vernachlässigenr ~ ~ ~ ⇒ I S =I m − I r ~ Is Xσ ~ Iµ ~ Ir Xsh Rr s ~ Us Abbildung 5.7. Vereinfachtes Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine 5.3.3.2 Läuferstrom, Ständerstrom ~ Ir = − ~ US ′ Rr + jX σ s − jX Sδ ; Ir = US 2 Rr 2 + Xσ s ~ U S = U S → in reelle Achse gelegt ~ s = 0: I r = 0 U ~ s→ ∞: I r ∞ = j S ← Bezugsgröße Xσ 5-7 Asynchronmaschine U ~ I r′ = − S ⋅ Xσ 1 1 =− I r ∞ ⋅ sk Rr + j + j s s ⋅ Xσ R' r =S k s ⋅ Xσ Kippschlupf sk − j ~ Ir s =− s s I r∞ k + j k − s s Ir = I r∞ s 1+ k s s 1+ k s U ~ ~ I S = S −I r jX Sh ~ X IS =−j σ X Sh I r∞ sk − =− s j 1 + s k s j 2 2 2 1 = s 1+ k s 2 ( Betrag) sk sk − j s = s + − 2 2 s s 1+ k 1+ k s s Xσ 1 + j 2 X Sh 1 + s k s Ortskurve : Re s=sk ~ Us Motorbetrieb s>0 ; ω<ωs ~ Is ~ Ir´ s= s=0 s= -sk 8 ϕ jIm Generatorbetrieb s=0 ; ω>ω s Abbildung 5.8. Kreisdiagrammder Ströme (Stromortskurven) 5-8 Asynchronmaschine 5.3.3.3 Luftspaltleistung {} ~ Pδ = m S U S ⋅ Re I S ; Pδ = Wirkleistung sk s Pδ = m S U S I r∞ 2 sk 1+ s 2 US Xσ Pδ = m S s sk 2 US sk s m ⋅ = ⋅ S 2 2 Xσ s s 1+ k 1+ s sk Gesucht ist die maximale Luftspaltleistung Pδ ,max in Abhängigkeit von d Pδ s d sk s 1 + sk =0⇒ 2 s − 2 sk 2 N 2 =0 2 s s = ±1 ⇒ = 1 > sk sk s = s k ⇒ Pδ = Pδ max = Pδk 2 Pδk = m s 5-9 Us ⇒ Pδ = Pδk 2Xσ 2 s sk s 1 + sk 2 sk . s Asynchronmaschine Verlustleistung im Rotor : 1 PVr = m s Rr I r 2 = m s Rr I r2∞ s 1+ k s ; Pδ = Wirkleistung 2 2 PVr = m s Rr Us X σ2 2 PVr = m s 2 s sk ∗ 2 s 1 + sk Us ⋅ 2⋅ Xσ 2⋅ s sk s 1 + sk 2 ⋅ s Rr ⋅ sk X σ PVr = s ⋅ Pδ Pmech = Pδ − PVr =(1 − s) Pδ = M a ⋅ ⇒ Mi = ⇒= Ω { M i ⋅(1− s )Ω el = M (1 − s )Ω a el Pδ Ω el Mi P = δ ⇒ M i = M ik M ik Pδk 2 s sk s 1 + sk 2 s s <<1 ⇒ M a ≈ M ak ⋅ 2 sk sk (Gerade) s s >>1 ⇒ M a ≈ M ak ⋅ 2 k sk s (Hyperbel ) Abbildung 5.9. Graphische Darstellung der Momente einer Asynchronmaschine in Bezug auf den Schlupf. 5-10 Asynchronmaschine S N = Schlupf im Nennbetrieb η= Pab P P − PVr ≈ mech = δ = 1− SN Pauf Pδ Pδ Große Leistung < 1% SN mittlere Leistung 2-3% kleine Leistung 5-10% 5.3.3.4 Blindleistung Abbildung 5.10. Betriebsbereiche einer Asynchronmaschine { } ~ ~ Q = mS Im U S I S = mSU S I S sin ϕ Anlauf (s = 1): ⇒ M WA < M aA BedingungM iA =2M iK M aA =2M iK sk 1 + (s k ) Rr = sk ⇒ Rr ↑ Xδ 5-11 2 = M aA ( s k ) 1 sk 1 1 + sk 2 Asynchronmaschine Skineffekt: Der Leiter ist vom Nutstromfeld durchsetzt f r = s ⋅ f s , es entstehen Wirbelströme. Induzierter Strom Wirbelströme Abbildung 5.11. Schematische Darstellung des Skineffektes ω S = ω + ω R ; ω = 0; ⇒ ωS = ω R r r d r r E ⋅ d s = − B ⋅ dA ∫ dt ∫ r r r r E = ρ ⋅ S; S = σ ⋅ E Käfigläufer Nutformen: Abbildung 5.12. 5-12 Asynchronmaschine M Mk 1 0 1 s Abbildung 5.13. Drehmoment-, Schlupfkennlinie in Abhängigkeit von verschioedenen Laüferausführungen M MN MA MN 1 MS MN MB MN MW MN 0 n nN 1 nd nd Abbildung 5.14. Mittlere Drehmoment-, Drehkennlinie eines Käfigläufers mit Berücksichtigung der Oberwellenmomente 5-13 Asynchronmaschine Abbildung 5.15. Mittlere Drehmoment-, Drehzahlkennlinie eines Doppelstab-Spritzgußläufers M S − Sattelmoment M B − Beschleunigungsmoment ; MW − angenommene Kennlinie der Last 5-14 Synchronmaschine 6. Synchronmaschine 6.1. Vollpolmaschine Erregung mit Gleichstrom L´r1 R´r i´r1 u´f ,reell L´r2 R´r i´r2 L´r3 R´r i´r3 Abbildung 6.1. Ersatzschaltbild einer Synchronmaschine i r1 =− 2i r 2 = −2i r3 = 2 I f j i 3 i r = i r1 − r1 e 2 2 2π 3 j i − r1 e 2 4π 3 23 = 3 2 i r1 123 reell u f = 2U f (Gleichspannung) 3 Rr ⋅ 2 ⋅ I f 2 stationär: U f = Rf I f 2U f = Rotor dreht mit der mechanischen Winkelgeschwindigkeit Ωd. ω ω = pΩd , Ωd = s = Ω p Synchronismus , ωr = 0 nur wenn ω = ω s ergibt sich ein konstantes Moment Bei der Asynchronmaschine war 2 ~ ~ ~ ~ ψ shu (t ) = Lsh ⋅ [ I s ⋅ e jω st + I s ⋅ e jω st + I r ⋅ e j (ωr t +ωt ) + I r ⋅ e j (ω rt +ωr ) ] 2 für ω r = 0 und ω = ω s wird damit ~ ~ ~ ψ~ [I + I ] ; hier wird I = I reel gewählt shu =Lsh s ~ ~ I m = I s +I f 6-1 f f f Synchronmaschine ~ ~ Ψsh = Lsh I m ~ ~ ~ U sh = jω s Lsh I µ = jω s Lsh I s + I f [ ] = jω s Lsh I s + jω s Lsh I f 123 14243 ~ U p = j X sh I f X sh Synchrone Reaktanz: X d = X Sh + X Sσ ~ ~ ~ ~ ⇒ U S = RS I S + jX d I S + U p Vollpol-Synchronmaschine: Abbildung 6.2. Ersatzschaltbild einer Vollpolmaschine 6.2. Betriebsarten Leerlauf : ~ I S = 0, ~ ~ U S = U p = jX Sh I f Dauerkurzschluss: ~ Up ~ ⇒ IK = j Xd ; für Rs = 0 Unterscheidung zum Stoßkurzschluss: Stoßkurzschluss I S → 15 ∗ I N → Dauerkurzschluss ↑ { Ausgleichsvorgänge klingen ab IS < I N 6-2 Synchronmaschine 6.2.1. Betriebskennlinien Polradspannung: ~ U p = jX Sh I f In Betrag und Phase durch Erregung vorgegeben → Orientierung auf reelle Achse des Feldstromvektors zweckmäßig ~ U p = jU p ; rein imaginär ~ U s = U d + jU q ; U s = U d 2 + U q 2 ~ ~ U s = jU s e jϑ → Verdrehung gegen U p ~ I s = Id + jI q ; I s = I d 2 + I q 2 ~ ~ I s = jI s e jϑ e − jϕ → Verdrehung gegen U s ⇒ U d = − U s sinϑ U q = U s cosϑ I d = − I s sin(ϑ − ϕ ) I q = I s cos(ϑ − ϕ ) Aus Ständerspannungsgleichung folgt : U d + jU q = Rs (I d + jI q ) + jX d (I d + jI q ) + jU q ⇒ U d =Rs I d − X d I q U q = Rs I q + X d I d + U p Im ~ Ud ~ Us jUq ~ Is jI q ϑ ϕ Re Id Abbildung 6.3. Zeigerdiagrammdarstellung der Spannungen und Ströme 6-3 Synchronmaschine Leistung, Drehmoment: ( ( )( ) ~ ~ ~ S = P + jQ = m sU s I s = m s U d + jU q I d − jI q ~ S = m s Rs I d + jI q + jX d I d + jI q + jU p I d − jI q [ ( ) [ ( ) ( P = m [R I + U I ] Q = m [X I + U I ] ) ) ][ = m s Rs I d2 + I q2 + jX d I d2 + I q2 + jU p I d + U p I q s 2 s s s 2 d s ] ] p q p d Drehmoment : ( Rs = 0; Pvs = 0 ) Ω d M a = Pmech=msU p I q =P Rs =0⇒ I q = − Pmech =− ms Ud Xd U p −Ud Xd = Ωd M a = Ma = = ms U pU S Xd sin ϑ ωs Ma p ms p U pU S sin ϑ ωs X d M a = f (ϑ ) , ϑ =Polradwinkel Ma Mak −π −π 2 stabil instabil π 2 MW π Abbildung 6.4. Graphische Darstellung des Drehmomentes ( M i ) in Abhängigkeit zum Polarwinkel (ϑ) M aK = m s p U pU S ; sin ϑ K = 90° ωs X d Überbelast barkeit= M aK =ü M aN 6-4 Synchronmaschine Blindleistung : U d2 = X d2 I q2 ( U q2 = I d X d + U p ) 2 = X d2 Iq2 + 2 I d X dU p + U p2 ⇒ U s2 = X d2 I s2 + 2 I d X dU p + U p2 2 U s2 U p ⇒X I = − − 2U p I d Xd Xd 2 d s U s 2 U p 2 U p ⋅ U q U p 2 U s2 U p2 Uq − U p U s2 U p ⋅ U q − − −Up − − + Q =m s = ms = ms X d Xd Xd X d Xd Xd Xd Xd X d mit U q = U s cosϑ U 2 U p ⋅U s Q = ms s − cos ϑ Xd Xd Q < 0 Blindleistungsabgabe, induktive Q > 0 induktive Blindleistungsaufnahme Stromortskurve : Id = Uq −U p Iq = − Xd = U s cos ϑ − U p Xd U d Us = sin ϑ Xd Xd Up U U ~ I s = I d − jI d = s cosϑ + j s sin ϑ − Xd Xd Xd U p U s jϑ ~ Is = − e = jI s e − jϕ e jϑ + Xd Xd I s e − jϕ = I W + jI b ⇒ I W + jI b = − j 6-5 U p − jϑ Us e + j Xd Xd Synchronmaschine Re -XqIq -jX qIq ~ Us Im -j ~ IS -j U p -jqϑ e Xd Motor Us Xd ~ IS übererregt Genarator untererregt Abbildung 6.5. Zeigerdiagramm einer Vollpolmaschine 6-6 Synchronmaschine 6.3. Betriebsverhalten der Schenkelpolmaschine Vollpolläufer : Luftspalt konstant, unabhängig von Rotorstellung Abbildung 6.6. Durchflutungsverteilung in einer Drehstromwicklung bei ω S t = 0° ⇒ Statordurchflutung sieht immer gleiche magnetische Leitfähigkeit Schenkelpolläufer : Luftspalt abhängig von Rotorstellung 6-7 Synchronmaschine Abbildung 6.7. Zweipoliges Polrad mit Erregerwicklung, Ständerring als magnetischer Rückschluss Abbildung 6.8. Verdrehung des Polrades um den Wi nkel γ ; a)Koordinatenbezeichnungen; b) Verschiebung der Feldkurve gegenüber dem Koordinatenursprung um den Winkel γ = pΩ t d-Achse : δ klein q-Achse : δ groß 6-8 Synchronmaschine Feldbilder: Abbildung 6.9. Das vom Polrad erregte Feld; a) Feldbild; b) Strombelag der Erregerdurchflutung; c) Feldkurve mit Grundwelle; d) Zeigerdiagramm Erregerfeld immer in d-Achse 6-9 Synchronmaschine Abbildung 6.10. Das von der Ständerstrombelagskomponente Ad erregte Feld; a) Feldbild; b) sinusförmig verteilter Strombelag Ad1 (γ S ) ; c) Feldkurve mit Grundwelle Bd1 (γ S ) ; d) Zeigerdiagramm Statorfeld d-KomponenteAchse : δ groß ⇒ für Spannungsgleichung 6-10 Synchronmaschine ~ ~ ~ ~ ⇒ U S = RS I S + jX d I S + U p d − Achse:δ ↓ ⇔ Ldh ↑ , Ld = Ldh + Lsσ q − Achse:δ ↑ ⇔ Ldh ↓ , Lq = Lqh + Lsσ ⇒ U d = R S I d − ω s Lq I q 123 Xq U q = R S I q − ω s Ld I q + U p 123 Xd U p = ω s Ldh I ′f RS = 0 ⇒I d = I q =− Uq −U p Xd Ud Xq ~ ~ ~ S = P + jQ = m S U S I S [ ( = m S − X q I d I q + X d I d I q + U p I q + j X d I d2 + X q I q2 + U p I d2 [( ) P= Pmech = m S X d − X q I d I q + U p I q U q U p U d − I d I q = − X X d X d d U qU d U pU d =− + Xd Xq Xd Xq ] 1 U pU d 1 Pmech = m S U qU d − U pU d − − Xq X d X q ( 1 U pU d 1 Pmech = m S U qU d − − Xd X d X q 6-11 ) )] Synchronmaschine U d = −U s sin ϑ U dU q = −U s sin ϑU s cos ϑ = − U s2 2 sin 2ϑ 2 U U 1 1 U s p s Pmech = m S sin 2ϑ sin ϑ + − X Xd X d 2 q 14 44 424444 3 Reaktionsmoment ent 6Reaktionsm Vollpolmom 444 474oment 444 8 64748 2 U U Us 1 m p 1 p s sin 2ϑ − Ma = S sin ϑ + ωS X d 2 Xd Xd Reluktanzmaschine Up = 0 , If =0 ( nur Reaktionsmoment ) Mar etwa 25% Mn Ma Mak Ma(ϑ) Mav −ϑk −π ϑk π 2 π − 2 ϑk< π Mar π 2 Abbildung 6.11. Drehmoment in Abhängigkeit vom Polradwinkel bei einer Schenkelpolmaschine M aV = Komponente der Vollpolmaschine M ar = Reaktionsmoment Blindleistung : 6-12 ϑ Synchronmaschine [ Q = mS X d I d2 + X q I q2 + U p I d ] 2 U U 2 U d U p (U q − U p ) p q + + X q − Q = mS X d Xd X d Xd U q2 − 2U pU q + U q2 + U pU q − U q2 U 2 + d = mS X d X X d q U 2 U 2 U U = mS d + d − p q X d X d X q UU U2 U2 Q = mS s cos2 ϑ + s sin 2 ϑ − p s cosϑ Xd Xq Xd 1 cos 2 ϑ = (1 + cos 2ϑ ) 2 1 sin 2 ϑ = (1 − cos 2ϑ ) 2 U 2 1 1 Q = mS s + 2 X d X d UU U s2 1 1 − − cos 2ϑ − p s cosϑ Xd 2 Xq Xd U −U p ~ U I s = I d + jI q = q −j d Xd Xq ~ U s cosϑ − U p U Is = + j s sin ϑ Xd Xq =− U p Us U + cosϑ + j s sin ϑ Xd Xd Xq ( ) 1 jϑ e + e − jϑ 2 1 j sin ϑ = e jϑ − e − j ϑ 2 U ~ U U I s =− p + s e jϑ + e − jϑ + s e jϑ − e − jϑ X d 2X d 2Xq cosϑ = ( ( ) ) ( ) U p Us 1 1 jϑ U s 1 1 − jϑ + + e − − e X d 2 X q X d 2 X q X d ~ I s = j (IW + jI b )e jϑ laut Definition =− IW + jI b =− j 6-13 U p − jϑ U s 1 1 U s 1 1 − j 2ϑ + + j e + j − e Xd 2 X q X d 2 X q X d Synchronmaschine Re ~ Us ~ 2,5US Up ~ U p=U S U p=0 ϕ 2ϑ Motor ϑ Im Genarator übererregt untererregt Abbildung 6.12. Stromortskurve einer Schenkelpolmaschine Abbildung 6.13. Zeigerdiagramm einer Schenkelpolmaschine Synchronmaschinen ⇒ große Bedeutung in der Energieerzeugung Turbogeneratoren ⇒ 1500 Up/M - 3000 Up/M Wasserkraftgeneratoren ⇒ 100 Up/M - 750 Up/M 6-14 Leitungstheorie 7. Leitungstheorie 7.1. Einleitung Elektrische Leitungen → → Energieübertragung Signalübertragung Zylindrische Struktur d. h. Querschnittsabmessungen, elektrische Eigenschaften : ändern sich nicht entlang der Leitung Elektromagnetische Vorgänge: Verteilung in der Natur und räumliche Ausdehnung maßgebend Ausbreitung elektromagnetischer Vorgänge: Höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ⇒ keine konzentrierten Schaltelemente. Strom - und Spannungsänderungen pflanzen sich mit endlicher Geschwindigkeit fort. Untersuchung der Ausbreitungsvorgänge: ⇒ grundsätzlich andere Betrachtungsweisen als bei Schaltkreisen mit konzentrierten Schaltelementen Beispiele für Leitungen Koaxial-; Paralleldraht-; Hohlleiter (rund, eckig); 7-1 Drehstrom-; Streifen (z.B. Leiterplatten); Leitungstheorie 7.2. Differenzialgleichung (DGL) der Leitung Doppelleitung: Abbildung 7.1. Leitungsstück + Ersatzschaltbild des Leitungsstückes → Strom i Fluss: ψ s = Ls ∗ i magnetisches Feld innerhalb und außerhalb der Leitung im Abschnitt s Spannung u → elektrisches Feld C s Kapazität Ladung im Abschnitt s Qs = C∗ u Messung von Ls : A ~ U Abbildung 7.2. Messungsaufbau zur Bestimmung der Induktivität Ls ~ I = ~ U jω ⋅ L s 7-2 Leitungstheorie Messung von Cs: A ~ US Abbildung 7.3. Messaufbau zur Bestimmung der Kapazität C s ~ I = jω ⋅ C s ⋅ U Ausbreitung qualitativ: Abbildung 7.4. Ersatzschaltbild eines längeren Leiters 1. 2. 3. Cs1 aufladen Spannung über C s1, bildet Strom über Ls1 Aufladung von C s2 Quantitative Untersuchungen (Verfeinerung des ESB): Induktivitätsbelag : L L′ = s s Kapazitätsbelag : C C′ = s s Widerstandsbelag : R R′ = s s Leitwertsbelag (dielektrische Verluste), Querleitwert: G G′ = s s 7-3 Leitungstheorie ⇒ Ersatzschaltbild (ESB) eines Leitungselementes mit Verlusten: Abbildung 7.5. Ersatzschaltbild eines Leiters unter Berücksichtigung der Widerstände und Leitwerte Spannungsgleichung ... ∂u ∂i dz + R′dzi + L ′dz = u ∂z ∂t ∂u ∂i = R′ i − L′ ∂z ∂t u+ ∂i ∂ u ∂ u ∂2u dz − dz i+ dz = i − G ′dz u − C′dz − G ′dz C ′ ∂z ∂ t ∂ z ≈{0 ∂ t ∂ z ≈{0 2 ( d z) 2 2 ≈0 ... wegen dz infinitesimal klein ∂i ∂ u = G ′ u − C′ ∂z ∂ t Differentialgleichungen der elektrischen Leitung System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung u und i sind jeweils verkoppelt Für alle anderen physikalischen Ausbreitungsvorgänge, solange es sich um ebene Probleme handelt (nur eine Ortskoordinate) haben u und i dann eine andere physikalische Bedeutung. In den meisten anderen physikalischen Ausbreitungsvorgängen sind eine oder mehrere Konstanten, also die Variablen für die Beläge der elektrischen Größen, null. Quasistationäre Lösung der Differentialgleichungen : Die Leitungsgleichungen 7-4 Leitungstheorie Lösung für den eingeschwungenen Zustand: jω t ~ u ( z, t ) = u$ ( z ) cos(ω t + ϕ ) = 2 Re {U ( z ) e } jω t ~ i ( z , t ) = i$ ( z) cos(ω t + ϕ ) = 2 Re { I ( z) e } Einsetzen in Differentialgleichungen : { { } } ~ dU ( z ) jω t jω t ~ 2 Re e = − 2 Re ( R′+ jω L ′ )I ( z )e dz ~ d I ( z ) jω t jω t ~ e 2 Re = − 2 Re (G ′+ jω C ′ )U ( z )e dz Gleichungen sind zu allen Zeiten erfüllt, wenn ~ d U ( z) ~ = − ( R′+ jω L′) I ( z) dz ~ d I ( z) ~ = − ( G ′ + jω C ′)U ( z) dz Lösung : ~ ~ d2U d I ( z) ~ = ( R′+ jω L′)( G ′+ jω C′)U 2 = ( R ′+ jω L′) 1 444 4 2 4444 3 dz dz γ2 ~ d2U ~ = γ 2U ← Wellengleichung d z2 Wellengleichung = Grundgleichung der Wellenausbreitung aller Art Lösungen sind : ~ U 1e −γz ~ U 2 e −γz , ~ ~ ~ ⇒U =U 1e −γz + U 2 e +γz ~ I= ~ γ ~ ~ 1 dU = U1e −γz − U 2 e +γz R ′+ jω L ′ d z R′+ jω L ′ ( γ G ′+ jω C ′ = = R′+ jω L ′ R′+ jω L′ ( ~ 1 ~ ~ ⇒ I = ~ U 1e −γz − U 2 e +γz Z γ 7-5 ) = Ausbreitungskonstante ) Leitungstheorie ~ Z = Wellenwiderstand ~ ~ U 1 ,U 2 festlegen durch Anpassung an Randbedingungen (am Anfang der Leitung) : z =0! ~ ~ ~ ~ U (0 )=U a =U 1 +U 2 ( ) ~ ~ 1 ~ ~ I (0)= I a = ~ U 1 −U 2 Z ~ ~~ ~ ~~ U a − ZI a ~ U a + ZI a ~ → U1 = →U2 = 2 2 Leitungsgleichungen, physikalische Form: ( ) ( ) ~ 1 ~ ~~ 1 ~ ~~ U (z )= U a + Z I a e −γz + U a − Z I a eγz 2 2 ~ ~ 1 U a ~ −γz 1 U a ~ γz ~ I ( z )= ~ + I a e − ~ + I a e 2 Z 2 Z Leitungsgleichungen, mathematische Form: ~ ~ ~~ U ( z ) = U a cosh γz − Z I a sinh γz ~ Ua ~ ~ I ( z ) = I a cosh γz − ~ sinh γz Z Randbedingungen am Ende der Leitung: ~ ~ ~ ⇒ U = U 1e − γt + U 2 e + γt z=l ! ~ ~ ~ ~ U (l )=U 1e −γl + U 2e + γl =U e ( ) 1 ~ ~ ~ ~ I (l )= ~ U 1e −γl − U 2 e +γl = I e Z ( ) ( ~ 1 ~ ~~ → U 1 = U e +Z I e e +γl 2 ) ~ 1 ~ ~~ → U 2 = U e −Z I e e −γl 2 Leitungsgleichungen, physikalische Form: ( ) ( ) 1 ~ ~~ 1 ~ ~~ ~ U (z )= U e +Z I e e γ (l − z ) + U e − Z I e e −γ (l − z ) 2 2 ~ ~ 1 U e ~ γ (l − z ) 1 U e ~ −γ (l − z ) ~ I ( z )= ~ + I e e − ~ − I e e 2 Z 2 Z 7-6 Leitungstheorie Leitungsgleichungen, mathematische Form ~ ~ ~~ U ( z ) = U e cosh γ ( l − z ) + Z Ie sinh γ ( l − z ) ~ Ue ~ ~ I ( z ) = I e cosh γ ( l − z ) + ~ sinh γ ( l − z ) Z 7.3. Wellenausbreitung physikalische Vorgänge auf Leitung ( R′ + jω L′)( G′ + jω C′) = α + jβ γ= α = Dämpfungskonstante β = Phasenkonstante → auf Zeitfunktion übergehen 1 u( z ,t )= 2 Re 2 1 ~ ~~ U a +Z I a = 2 1 ~ ~~ U a −Z I a = 2 (U~a + Z~ ~I a )e −αz e − jβ z e − jω t + 12 (U~a + Z~ I~a )eαz e jβ z e jω t ( ) ~ 2U 1 =uˆ1e jϕ1 ( ) ~ 2U 2 =uˆ 2 e jϕ2 u( z ,t )=uˆ1e −αz cos(ω t − β ⋅ z +ϕ1 )+uˆ 2e αz cos(ω t + β ⋅ z +ϕ 2 ) Die Spannung entlang der Leitung setzt sich aus 2 Spannungswellen zusammen: 1. Teilspannung nimmt mit z ab 2. Teilspannung nimmt mit z zu e -az cos(ωt- βz) z 2π λ= β Abbildung 7.6. Oszillierende Teilspannung in positiver z-Richtung 7-7 Leitungstheorie Jede Einzelspannung oszilliert für t = konst. entlang der Leitung, die 2. Einzelspannung oszilliert in entgegengesetzter Richtung zur 1. Phasenänderung bestimmt durch β Periodenlänge β λ = 2π ⇒ λ =2π/β λ = Wellenlänge Beide Einzelspannungen stellen Wellen dar, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Ausbreitung veranschaulichen: 1. Nulldurchgang der 1. Einzelspannung Zeitpunkt t = 0 u( z , t )=uˆ1e −αzz cos(ω t − β ⋅ z +ϕ ) π 2 π Nulldurchgang: ⇔ arg = ϕ π 2 ⇒− z 0 = 1 − β 2β ⇒− β ⋅ z 0 +ϕ1 = Zeitpunkt t1 : ω 1 t − β ⋅ z1 + ϕ 1 = ⇒ z1 = π 2 ϕ1 ω t1 π + − β β 2β ⇒ Nulldurchgang hat sich verschoben, um ω ⋅ t1 /β in positiver z-Richtung Ausbreitungsgeschwindigkeit: ω ⋅ t − β ⋅ z + ϕ = kons tan t d dz → (ω ⋅ t − β ⋅ z + ϕ ) = ω − β ⋅ =0 dt dt dz ω = dt β dz ω Teilwelle 2: =− dt β ~ ~ Betrachten wir die einzelnen Teilspannungen U h ( z ) und U r ( z ) und Teilströme: ~ ~ ~ ~ ~ U ( z ) = U 1 ⋅ e −γz + U 2 ⋅ e −γz = U h ( z ) + U r ( z ) ~ ~ ~ ~ ~ I ( z ) = I1 ⋅ e −γz + I 2 ⋅ e −γz = I h ( z ) + I r ( z ) Teilwelle 1: 7-8 Leitungstheorie ~ mit Z = ~ ~ U1 U 2 R'+ jω ⋅ L' ~ und ~ = ~ = Z G '+ jω ⋅ C ' I1 − I 2 1 ~ ~ ~ ~ U h ( z ) = (U e + Z ⋅ Ie ) ⋅ e γ ( l − z ) 2 ⇒ 1 ~ ~ ~ ~ U r ( z ) = (U e + Z ⋅ I e ) ⋅ e −γ ( l − z ) 2 Reflexion: Betrifft lange Leitungen. Für l → ∞ , folgt aus den Leitungsgleichungen: ~ 1 ~ ~ ~ U ( z ) = (U e + Z ⋅ I e ) ⋅ e γ (l − z) 2 ~ 1 Ue ~ ~ I ( z ) = ( ~ + I e ) ⋅ eγ (l − z) 2 Z ~ ~ 1 ~ ~ ~ U ( z = 0) = U a = (U e + Z ⋅ I e ) ⋅ e γ l 2 ~ 1 Ue ~ ~ ~ ~ I (z = 0 ) = I a = ( ~ + I e ) ⋅ e γ l ⋅Z 2 Z ~ ~ ~ U a = Z ⋅ Ia ~ ~ U ( z ) = U a ⋅ e −γ z ~ ~ I ( z ) = I a ⋅ eγ z (7.1) ~ US ~ Z Abbildung 7.7. Darstellung einer langen Leitung ~ ~ US = Ua ~ Am Amperemeter fließt der Strom I a . ~ An der folgenden Leitung hängt die Last Z . Somit gilt: 7-9 Leitungstheorie ~ ~ U ( z ) = U a ⋅ e − γz ~ U a −γz ~ I ( z) = ~ ⋅ e Z (Vergleiche mit Gleichungen 7.1) Anpassung: Sonderfall: ~ ~ Ue ~ Ze = ~ = Z Ie ~ ~ ~ U ( z ) = U e ⋅ e γ ( l − z ) = U a ⋅ e − γz ~ ⇒~ ~ γ ( l − z ) ~ −γz U a −γz ( ) I z = Ie ⋅ e = Ia ⋅ e = ~ ⋅ e Z ~ ~ Ze=Z ~ Z ~ Abbildung 7.8. Darstellung der Teilspannung im markierten Leitungsstück Z Allgemeiner Fall: ~ ~ ~ ~ ~ Ze ≠ Z → U e = Ze ⋅ Ie 1 ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ U ( z )= Z e + Z ⋅ I e ⋅ eγ (l − z ) + Z e −Z ⋅ I e ⋅ e −γ (l − z ) 2 44424443 1 2 44424443 1 ( ) ~ Uh ( ) ~ Ur ~ ~ ~ ~ 1 U e U e γ (l − z ) 1 U e U e −γ (l − z ) ~ − I ( z )= ~ + ~ e e ~ −~ 2 Z Ze 2 Z Ze 443 14442444 3 144424 ~ Ih ~ Ir 7-10 Leitungstheorie ~ ~ ~ U r Z e − Z −2γ (l − z ) ⇒ ~ = ~ ~ ⋅e U h Ze + Z 1 424 3 ~ r = Reflexionsfaktor ~ r ~ ~ ~ ~ I Z −Z U ⇒ ~r = − ~e ~ ⋅ e −2γ (l − z) = − ~ r Ih Ze + Z Uh ~ Ze ~ Z e -dz e-α(l-z) ~ Abbildung 7.9. Darstellung der Teilspannungen im Leitungsstück Z Fallunterschiede: ~ ~ Z =Z ⇒ ~ r =0 e ~ Ze → ∞ ⇒ ~ Ze = 0 ⇒ ~ r =1 ~ r = −1 7.4. Ersatzschaltungen von Leitungen Elektrische Leistung bildet Vierpol bezüglich der Klemmen. Passiv, linear Leitungsvierpol durch Ersatzschaltungen darstellen. Symmetrische Vierpole → ∏ − oder T- Schaltungen 7-11 Leitungstheorie Abbildung 7.10. Zwei Darstellungen eines Netzwerkes Spannungs- und Stromverhältnisse: ~ ~ ~ ~ ~ Yπ ~ ~ ~ ~ Yπ ~ ~ U a = Z π ⋅ (I e + ⋅ U e ) + U e = U e (1 + Z π ) + Zπ I e 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ Yπ ~ Yπ ~ ~ ~ Y Ia = I e + Ue + (U e + Z π (I e + π )) 2 2 2 ~ ~ ~ ~ Z Y ~ ~ ~ Z Y = (1 + π π ) I e + Yπ U e (1 + π π ) 2 4 Leistungsgleichungen: ~ ~ ~ ~ U a = U e ⋅ cos(hγ l ) + Z ⋅ I e ⋅ sin(hγ l ) ~ Ue ~ ~ I a = I e ⋅ cos(hγ l ) + ~ sin(hγ l ) Z Koeffizientenvergleich: ~ ~ Z π Yπ ; 2 ~ ~ Z ⋅ sin(hγ l ) = Z π ; cos(hγ l ) = 1 + ~ ~ Z π Yπ 1 ~ ) ~ sin( hγ l ) = Yπ (1 + 4 Z ~ ~ Z π = Z ⋅ sin(hγ l ) ⇒ ~ ∏ −Schaltung Z 1 Yπ = ~ ⋅ tan( γ l ) 2 Z Analog: ~ 1 YT = ~ ⋅ sin(hγ l ) Z ⇒ T − Schaltung 1 ~ ~ Z T = 2 ⋅ Z ⋅ tan( γ l ) 2 7-12 Leitungstheorie 7.5. Näherungen für kurze Leitungen Kurze Leitung: γ ⋅ l << 1 Elektrisch kurze Leitung kann durchaus geometrisch lang sein. Beispiel: Energieübertragung ( fN= 25 ... 60 Hz), γ immer sehr klein. Annäherung der Hyperbelfunktionen durch Potenzreihen: γ << 1 γ l << 1 ↓ ↓ 1 sin(γ l ) ≈ γ l + (γ ⋅ l ) 3 ≈ γ l 6 1 cos(γ l ) ≈ 1 + (γ l ) 2 ≈1 2 1 1 1 1 tan( γ l ) ≈ γ l − (γ l ) 3 ≈ γ l 2 2 24 2 ∏ -Schaltung: 1 ~ ~ Z π ≈ Z γ l (1 + γ 2 l 2 ) 6 ~ Z ⋅γ = R ' + jω L ' ⋅ ( R'+ jω L' )(G '+ jω C ' G '+ jω C ' ~ 1 Z π = ( R'+ jω C ' ) ⋅ l ⋅ [1 + γ 2l 2 ]≈ R' l + jω L ' l 6 1 1 ~ γl Yπ ≈ ~ (1 − γ 2 l 2 ) ≈ (G ' l + jω C ' l ) ⋅ [1 − γ 2l 2 ]≈ G ' l + jω C ' l 12 12 Z Abbildung 7.11. Darstellung einer ∏ -Schaltung 7-13 Leitungstheorie T-Schaltung: ~ 1 YT ≈ (G ' L + jω C ' l ) ⋅ [1 + γ 2 l 2 ] ≈ G ' l + jω C ' l 6 1 ~ Z T ≈ ( R' l + jω L ' l ) ⋅ [1 − γ 2 l 2 ] ≈ R' l + jω L ' l 12 R'l 2 L'l 2 L'l 2 G'l R'l 2 C'l Abbildung 7.12. Darstellung einer T-Schaltung Leitungsgleichungen für kurze Leitung. Näherung sinh, tanh, cosh einsetzen. 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ U a≈ U e (1 + γ 2l 2 ) + I e Zγ l ≈ U e + ( R' l + jω L ' l ) I e 2 ~ ~ ~ γl γ 2l 2 I a ≈ I e (1 + ) +Ue ~ 2 Z ~ ~ ≈ I e + (G ' l + jω C ' l )U e Für die Beschreibung der Verhältnisse bei der Energieübertragung in der Starkstromtechnik fast immer hinreichend genau. 7-14
