Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 1 Algebraische Grundlagen Binomische Formeln Absolutbetrag (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b) × (a - b) = a2 - b2 a3 - b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2 ) ì x für x ³ 0 |x|= í î – x für x < 0 Wurzeln und Potenzen a× a =a a ³ 0 a × b = a×b a a = b b an = a × ... × a 123 a2 =|a| n n a × ... × a = a 14243 n Faktoren a0 = 1 a1 = a n Faktoren -x a 1 = x a ( ) ax 1 n a Logarithmen y x y a ×a =a ax × bx = ( a × b ) = ax × y m an n = a n logb a = z Û bz = a logb uz = z × logb u Parabelgleichung u = logb u - logb v v logb a logc a = logb c logb y = m× x + t (allgemeine Form) y = m × (x - x 0 ) + y 0 (Punkt-Steigungs-Form) y = ax2 + bx + c (allgemeine Form) y = a × (x – x s )2 + y s (Scheitelform) y = a × (x – x1 ) × (x – x 2 ) Lösungsformel für die quadratische Gleichung x ax = ax - y y a x ax æ a ö =ç ÷ bx è b ø = am logb (uv ) = logb u + logb v Geradengleichung x+y 2 (Linearfaktorform) 2 ax + b x + c = 0 und b - 4ac ³ 0 Seite 1 von 8 Þ x1;2 - b ± b2 - 4ac = 2a Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 2 Analysis Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems Grenzwerte f(-x) = f(x) ü ý Þ für alle x Î Df þ f(-x) = - f(x) ü ý Þ für alle x Î Df þ Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse (f heißt dann gerade Funktion) Gf ist punktsymmetrisch zum Ursprung (f heißt dann ungerade Funktion) für r > 0 gilt: x ® - ¥ Þ xr × ex ® 0 x®0 Þ xr × lnx ® 0 lnx x ® +¥ Þ ®0 xr xr x ® +¥ Þ x ® 0 e Differenzenquotient f(x) - f(x 0 ) x - x0 Ableitung f / (x 0 ) (Differentialquotient) Besitzt der Graph Gf an der Stelle x 0 eine eindeutige Tangente, Ableitung der Grundfunktionen Ableitungsregeln (Sekantensteigung bzgl. x 0 und x ) so wird die Steigung dieser Tangente mit f / (x 0 ) bezeichnet. f(x) - f(x 0 ) ® f / (x 0 ) x - x0 Dann gilt: x ® x0 Þ Schreibweisen: f / (x) = df(x) d = f(x) dx dx s&(t) ds(t) dt = d r (x ) = r × xr -1 dx d x (e ) = ex dx d (sinx) = cosx dx dæ1ö r = – dx çè xr ÷ø xr+1 d 1 (lnx) = dx x d (cosx) = - sinx dx f(x) = u(x) + v(x) Þ f / (x) = u/ (x) + v / (x) f(x) = c × u(x) Þ f / (x) = c × u/ (x) f(x) = u(x) × v(x) Þ f / (x) = u/ (x) × v(x) + u(x) × v / (x) u(x) f(x) = v(x) Þ f(x) = u ( v(x)) u/ (x) × v(x) - u(x) × v / (x) f (x) = [v(x)]2 Þ f / (x) = u/ ( v(x) ) × v / (x) Seite 2 von 8 / Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Monotoniekriterium f / (x) < 0 im Intervall I Þ Gf fällt streng monoton in I. f / (x) > 0 im Intervall I Þ Gf steigt streng monoton in I. Art von relativen Extrema f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) > 0 Þ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Minimum. Þ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Maximum. f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) < 0 Graphenkrümmung f // (x) < 0 im Intervall I Þ Gf ist in I rechtsgekrümmt. f // (x) > 0 im Intervall I Þ Gf ist in I linksgekrümmt. Wendepunkt Ist f // (x 0 ) = 0 und wechselt f // (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. Terrassenpunkt Ist f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) = 0 und wechselt f // (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt. / Bestimmtes Integral F (x) = f(x) Þ b ò f(x)dx = [F(x)] a = F(b) - F(a) b a Partielle Integration b ò u(x) × v (x) dx = [u(x) × v(x)] / b a a Integration durch Substitution Unbestimmte Integrale b g -1 (b) a g ò f(x) dx = -ò1 b - ò v(x) × u/ (x) dx a f(g(t)) × g / (t) dt mit x = g(t) (a) xr+1 ò x dx = r + 1 + C (r ¹ -1) ò x dx = ln|x|+ C òe ò lnx dx = -x + x·lnx + C r x dx = ex + C 1 f / (x) ò f(x) dx =ln|f(x)|+ C ò f (x) × e 1 f(ax + b)dx = × F(ax + b) + C ò a wobei F eine Seite 3 von 8 / f(x) dx = ef(x) + C Stammfunktion von f ist Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung W sei der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments und A, B Í W seien zwei beliebige Ereignisse. Gesetze der Mengenalgebra A = W\A A ÇA ={ A=A A \ B = A ÇB Gesetze von De Morgan A ÇB = A È B A ÈB = A Ç B Unvereinbarkeit A ÇB = { Ereigniswahrscheinlichkeiten P({ }) = 0 Satz von Sylvester P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) Bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B ) = Unabhängigkeit von zwei Ereignissen PA (B ) = P (B ) oder P ( A Ç B ) = P ( A ) × P (B ) Fakultät n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 × 1 Der Wert n! gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, n unterscheidbare Elemente in einer Reihe anzuordnen. Binomialkoeffizient Laplace-Experiment } Û } A und B heißen unvereinbar. P(W) = 1 P(A) = 1 – P(A) P( A Ç B) P( A) Û A und B sind stochastisch unabhängig. n × (n - 1) × ... × (n - k + 1 ) ænö n! ç k ÷ = k! × n - k ! = k! ( ) è ø Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen Teilmengen mit k Elementen zu bilden. Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse des zugehörigen Ergebnisraumes gleich wahrscheinlich sind. |A| Es gilt dann: P ( A ) = |W| Seite 4 von 8 Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Maßzahlen von Zufallsgrößen Die Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x2 , ... , xn jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , ... , pn an. Dann gilt: · Erwartungswert m = E( X ) = n å xi ×pi i=1 = x1 × p1 + x2 × p2 + ... + xn × pn · Varianz Var ( X ) = n å ( xi - m ) 2×pi i=1 = ( x1 - m ) 2 × p1 + ( x2 - m ) 2 × p2 + ... + ( xn - m ) 2 × pn ( ) Var ( X ) = E X2 - m2 (Verschiebungsregel) · Standardabweichung s = Var ( X ) Binomialverteilung Eine Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt: · Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heißt Binomialverteilung. · X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt. Ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt: ænö n-k · P(X = k) = B (n; p; k ) = ç ÷ × pk × (1 - p ) für k = 0, 1, ... , n k è ø · Erwartungswert: E(X) · Varianz: Hypothesentest = n×p Var(X) = n × p × ( 1 - p ) Beim Testen der Nullhypothese H0 in einem Signifikanztest mit Signifikanzniveau a können zwei Fehler auftreten: · Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. · Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Das Signifikanzniveau α des Tests ist die größtmögliche noch akzeptierte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. Seite 5 von 8 Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 4 Geometrie Flächengeometrie A: Flächeninhalt U: Umfang Allgemeines Dreieck 1 A = × g ×h 2 Gleichseitiges Dreieck Kreis Trapez a+c A= ×h 2 U = 2 × r ×p A = r2 × p Raumgeometrie V: Volumen G: Grundfläche M: Mantelfläche O: Oberfläche Prisma a2 A= × 3 4 a h= × 3 2 Pyramide 1 V = × G ×h 3 V = G× h Gerader Kreiszylinder V = r 2 × p ×h M = 2 × r ×p ×h Gerader Kreiskegel 1 V = × r2 × p× h 3 M = r × p×m Geradengleichung Kugel 4 V = × r3 × p 3 O = 4 × r2 × p r r r g : x = a + l ×u (Parameterform) Ebenengleichung r r r r E : x = a + l ×u + m × v (Parameterform) E : a × x1 + b × x 2 + c × x 3 + d = 0 r r r E : n o (x – a) = 0 x x x E: 1 + 2 + 3 = 1 s t u mit den Achsenschnittpunkten S(s|0|0), T(0|t|0), U(0|0|u) Seite 6 von 8 (Koordinatenform) (Normalenform) (Achsenabschnittsform) Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Skalarprodukt im IR3 Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts æ a1 ö æ b1 ö r r a o b = çç a2 ÷÷ o çç b2 ÷÷ = a1 × b1 + a2 × b2 + a3 × b3 ç a ÷ çb ÷ è 3ø è 3ø r r r r a ^ b Û a ob = 0 · zueinander senkrechte Vektoren: r r r · Betrag eines Vektors: |a| = a o a r r0 a a = r · Einheitsvektor: |a| r r a ob cos j = r r · Winkel zwischen zwei Vektoren: |a|×|b| mit 0o £ j £ 180o Vektorprodukt Eigenschaften und Anwendungen des Vektorprodukts Lineare Unabhängigkeit Besondere Punkte æ a1 ö æ b1 ö æ a2 × b3 - a3 × b2 ö r r ç ÷ ç ÷ ç a ´ b = ç a2 ÷ ´ ç b2 ÷ = ç a3 × b1 - a1 × b3 ÷÷ ç a ÷ çb ÷ ç a ×b - a ×b ÷ è 3ø è 3ø è 1 2 2 1ø r r r r · a ´ b steht senkrecht auf a und b . r r r r · |a ´ b|= |a|×|b|× sin j mit 0o £ j £ 180o · Maßzahl F des Flächeninhalts des Dreiecks ABC: 1 uur uur F = ×|AB ´ AC| 2 · Maßzahl V des Volumens der dreiseitigen Pyramide ABCD: 1 uur uur uur V = × AB o AC ´ AD 6 ( ) r r r a, b, c Î IR 3 sind linear unabhängig. Û r r r r l × a + × b +n×c = 0 Die Gleichung Û ist nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar. r r r ao b´ c ¹ 0 ( ) Mittelpunkt M einer Strecke AB : Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC: Seite 7 von 8 uuur 1 uuur uur OM = × OA + OB 2 uur 1 uuur uur uur OS = × OA + OB + OC 3 ( ( ) ) Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 5 Trigonometrische Grundlagen Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2 Höhensatz: h2 = pq Kathetensatz: a2 = cp ; b2 = cq sin a = Beziehungen am Einheitskreis Additionstheoreme cos a = b c tan a = sin a a = cos a b · P(xP |yP ) liegt auf dem Einheitskreis Þ cos b = xP und sinb = yp · Trigonometrische Beziehungen a c b b = p 180° (sin j)2 + (cos j)2 = 1 sin( -j) = - sin j sin ( 90° - j) = cos j cos ( -j) = cos j cos ( 90° - j) = sin j sin(2j) = 2 × sin j× cos j j 2 1 (sin ) = × (1 – cos j) 2 2 cos(2j) = (cos j)2 – (sin j)2 j 2 1 (cos ) = × (1 + cos j) 2 2 sin(a +b) = sin a× cos b + cos a× sinb cos(a + b) = cos a× cos b – sin a× sinb sin a + sinb = 2 × sin a+b a -b × cos 2 2 sin a - sinb = 2 × sin a -b a +b × cos 2 2 2 × sin a × cos b = sin(a - b) + sin(a + b) Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt. Stand der Merkhilfe: 08.09.2017 Seite 8 von 8