¨Ubungen zur Vorlesung Theoretische Informatik II SS 2006 Blatt 10

Prof. Dr. Rolf Wanka
Sabine Helwig, Dr. Roman König, Christian Rieß
Erlangen, 5. Juli 2006
Abgabe bis 11. Juli 2006
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Informatik II
SS 2006
Blatt 10
AUFGABE 38 (4 Punkte):
[+ + +, ⋆⋆] Gegeben ist die folgende Grammatik G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, X , ➵, $} Σ = {,} und der
Menge P der folgenden sechs Produktionen:
S → $X $
➵$ → X X $
$X
X
→ $➵
→ ,
➵X → X X ➵
$ → ε
(a) Leiten Sie das Wort ,,,, her.
k
Je mehr Plus-Zeichen +, desto wichtiger, je mehr Sterne ⋆, desto schwieriger.
(b) Begründen Sie, warum L(G) = {,2 | k ≥ 0} ist, indem Sie die Arbeitsweise von G erklären. Dazu
gehört auch die Erklärung dafür, warum G keine anderen Wörter als die aus L erzeugen kann!
AUFGABE 36 (4 Punkte):
[++, ⋆] Zur Erinnerung: Das Problem Binary Programming ist die folgende Menge:
BP = {hA,~bi | A ist eine m × n-Matrix mit ganzzahligen Einträgen, ~b ist ein Vektor mit m
ganzzahligen Einträgen, und es gibt einen 0-1-Vektor ~x ∈ {0, 1}n mit A~x ≤ ~b}
Das Problem VC (Knotenüberdeckung, Vertex Cover) ist die folgende Menge:
VC = {hG, ki | G ist ein Graph, k ∈ IN, es gibt k Knoten in G, so daß jede Kante von G zu
einem der k Knoten inzident ist}
Zeigen Sie: VC ≤p BP
Hinweise: (i) Die Reduktion besteht also darin, daß Sie zum Graphen G = (V, E) und der Zahl k ein lineares
Ungleichungssystem bestimmen, das genau dann 0-1-Lösungsvektoren hat, wenn G eine eine Knotenüberdeckung aus k Knoten besitzt.
Interpretieren Sie den 0-1-Vektor ~x folgendermaßen: xi = 1 ⇐⇒ Knoten ui ist einer der überdeckenden
Knoten. Mit dieser Interpretation im Hinterkopf: Was muß für jede Kante {ui , u j } ∈ E gelten?
(ii) ∑ni=1 xi = k kann man durch zwei Nebenbedingungen beschreiben: ∑ni=1 xi ≤ k und ∑ni=1 −xi ≤ −k
AUFGABE 39 (4 Bonus- Punkte):
[+, ⋆⋆] Diese Aufgabe holt aus der Reduktion von 3SAT auf 3COl das Letzte heraus. , Ziel ist es, den
Graphen, für den man eine Knoten-3-Färbung berechnen soll, möglichst einfach zu machen, die Frage nach
der 3-Färbbarkeit aber weiterhin NP-vollständig zu halten.
In der Reduktion von 3SAT auf 3COL in Aufgabe 35 hängen die Grade der Knoten
des konstruierten Graphen GΦ von der Anzahl t der Klauseln und der Anzahl n
der Variablen der Eingabe-KNF Φ ab: Der Knoten T RUE hat den Grad 2t + 2, der
Knoten E GAL den Grad 2n + 2 und die Knoten xi bzw. x̄i können einen Grad von
bis zu t + 2 haben.
Benutzen Sie den rechts dargestellten Graphen als (mehrfach baumartig“ ange”
wandten) Baustein, um den maximalen Knotengrad auf 6 zu senken.
Hinweis: Welche Farbe muß vom linken und vom rechten Knoten angenommen werden?
Damit ist gezeigt: Das Problem zu entscheiden, ob die Knoten eines Graphen mit maximalem Grad 6 mit
drei Farben gefärbt werden können, ist NP-vollständig.
AUFGABE 37 (4 Punkte):
[+ + +, ⋆] Sei Σ ein Alphabet, und für a ∈ Σ und w ∈ Σ∗ bezeichne #a (w), wie oft a in w auftaucht. Also ist
z. B. #1 (01100) = 2.
Seien Σ = {a, b, c} und die Sprache
L = {w | w ∈ Σ∗ , #a (w) = 2 · #b (w) = #c (w)}
gegeben.
(a) Geben Sie eine Grammatik G = (V, Σ, P, S) an, die L erzeugt. Vergessen Sie nicht zu beweisen, daß
Ihre Grammatik korrekt ist, also L ⊆ L(G) und L ⊇ L(G) gilt.
(b) Leiten Sie das Wort acbac ∈ L mit Ihrer Grammatik her.
Bitte den Wochentag und die Uhrzeit Ihrer Übungsgruppe auf die Abgabe schreiben!
Abgabe im Briefkasten links vor dem Eingang zum blauen Hochhaus.
http://www12.informatik.uni-erlangen.de/edu/TheoInf2/SS06/