Formelsammlung für das Modul „Theoretische Grundlagen der

TU Bergakademie Freiberg
Fakultät für Geowissenschaften, Geotechnik und Bergbau
Institut für Geotechnik
Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau
Formelsammlung für das Modul
„Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
(Stand: März 2017)
Prof. Dr.-Ing. habil. H. Konietzky
Dr. rer. nat. M. Herbst
Dr.-Ing. A. Hausdorf
Richtigkeitsvorbehalt:
Trotz gründlicher Überarbeitung können inhaltliche Fehler nicht völlig
ausgeschlossen werden. Deshalb erfolgt die Freigabe dieser Formelsammlung unter Ausschluss jeglicher Gewährleistung durch die Autoren und durch das Institut für Geotechnik.
Hinweise auf Fehler und Anregungen für inhaltliche und formale Verbesserungen nehmen die Autoren gern entgegen.
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Formelsammlung
„Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Inhaltsverzeichnis:
Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau ......................................................... 1 1 Ebene Deformation und Deformationsfelder ................................................................. 4 1.1 Verschiebungen ......................................................................................................... 4 1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung) ............................................. 4 1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation ................................................................ 6 1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen ...................................................... 7 1.5 Deformationstensor  .............................................................................................. 8 1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung) ............................................... 8 1.7 Feldgrößen in Polarkoordinaten ................................................................................. 9 2 Ebene Spannungsfelder .............................................................................................. 10 2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht ............................................................................. 10 2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen ............................................................................... 10 2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors ................................... 11 2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz .................................................................. 12 2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen ................................................ 13 2.6 Der Mohrsche Spannungskreis ................................................................................ 15 2.7 Invarianten des Spannungstensors .......................................................................... 17 2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen ............................................... 17 2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten ............................................................................... 18 3 Ebene Elastizitätstheorie ............................................................................................. 19 3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz ........................................................... 19 3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie ....................................................... 22 3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme ............................................................ 22 3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion ............................................................... 22 3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie ..................... 22 3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip ................ 23 3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten ..................... 23 4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität ............................................................. 27 4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen .................................... 27 4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes ............................. 27 5 Rheologisches Materialverhalten ( zeitabhängiges Verhalten) ................................ 29 1/43
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5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens ....................................................... 29 5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften ................................................................. 30 5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke ................................................................ 34 6 Sickerströmung in Böden und Fels ............................................................................. 35 6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy ................................................................. 35 6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar ............................................. 36 7. Bruch- und Schädigungsmechanik............................................................................. 37 2/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Literaturempfehlungen
Grundlagen Mechanik
Backhaus, G.:
„Deformationsgesetze”, Akademie-Verlag Berlin, 1983
Betten, J.:
“Kontinuumsmechanik”, Springer-Verlag, 1993
Becker, W.; Gross, D.:
„Mechanik elastischer Körper und Strukturen“, SpringerVerlag, 2002
Gross, D.; u. a.:
“Technische Mechanik 4”, Springer-Verlag, 2002
Kreißig, R.; Benedix, U.:
„Höhere technische Mechanik“, Springer-Verlag, 2002
Chandrasekharaiah, D.S.;
„Continuum Mechanics“
Debnath, L.:
Academic Press, 1994
Ottosen, N.S., Ristinmaa, M.
“The Mechanics of Constitutive Modeling”, Elsevier, 2005
Grundlagen Geomechanik
Obert, L.; Duvall, W. I.:
Rock Mechanics and the Design of Structures in Rock“, John
Wiley & Sons, 1967
Jaeger, J.C.; Cook, N.G.W.
“Fundamentals of Rock Mechanics”
Zimmermann, R.W.
Blackwell Publishing, Fourth Edition, 2007
Bell, F. G. (Editor):
“Engineering in Rock Masses”, Butterworth – Heinemann,
1992
Ramsay, J.G.; Lisle, R.J.:
“The techniques of modern structural geology, Vol. 3: Applications of continuum mechanics in structural geology”, Academic Press, 2000
Hudson, J. A. (Editor)
“Comprehensive Rock Engineering”
Pergamon Press, 1993, Vol. I – V
Brady, B.H.G.; Braun, E.T.:
“Rock Mechanics for underground mining”, George Allen &
Unwin, 1985
Charlez, Ph. A.:
"Rock Mechanics”, Vol. I: Theoretical Fundamentals Editions
Technip, 1991
Pariseau, W.G.:
“Design Analysis in Rock Mechanics”, Taylor & Francis, 2007
Hudson, J.A.:
“Engineering Rock Mechanics”, Pergamon Press, 1997
Mandl, G.
“Faulting in brittle Rocks”, Springer-Verlag, 2000
Atkinson, B.K. (Ed.)
“Fracture Mechanics of Rocks”, Academic Press, 1987
Singh, R.N.
“Engineered Rock Structures in Mining and Civil
Ghose, A,K.
Constructions”, Taylor & Francis, 2006
Zeitschriften
1. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science
2. Rock Mechanics and Rock Engineering
3. Geotechnik
4. Felsbau
5. Bautechnik
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
1 Ebene Deformation und Deformationsfelder
1.1 Verschiebungen
y
K

K
y
(x, y)
y

(x, y)
uy
u
ux
x
x

x
 
u = (ux, uy) = x  x

x
u = ( x - x, y - y)
x
Differenz der Ortsvektoren
Koordinatendifferenzen
1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung)
- Punkt P und infinitesimale Kreisumgebung
y
dl 
P

x

- Punkt P und infinitesimale elliptische Umgebung
dl 
P
x
x
K
Verformung
K

Verzerrung des Koordinatennetzes: Die Lage benachbarter Punkte wird verändert!
Ein Linienelement in K hat vor der Deformation die Länge dl und den Orientierungswinkel (dl,x) = 
(: Winkel zwischen dem Linienelement und der positiven x - Achse).
Nach der Deformation gilt: dl  d l und Winkel (dl, x)  Winkel ( d l , x) und   
D. h., es sind eine absolute Längenänderung dl - d l und eine absolute Winkeländerung  -  möglich.
Allgemein: Jedes Linienelement kann bei einer ebenen Deformation Längenänderungen
und Winkeländerungen erfahren.
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Definition relative Längenänderung:
 
d l  dl 
0
dl 
 =  (x,y,)
0    2
Deformation einer Probe der Höhe h0:  
hneu  h0
h0
Einheit von (): dimensionslos, % oder ‰
Es gilt:
 () = 0
d l = dl
(keine Längenänderung)
 () > 0
d l > dl
(Dehnung)
 () < 0
d l < dl
(Zusammendrückung oder
Stauchung)
Spezielle Linienelemente (Sonderfälle ohne Winkeländerung)
a) dl = dx:
d l = dx (dx: infinitesimal kleines Linienelement II zur x-Achse)
   0    x 
dx  dx ux

(relative Längenänderung in x-Richtung)
dx
x
: partielle Ableitung, da ux = f(x, y) gilt
b) dl = dy:
d l = dy (dy: infinitesimal kleines Linienelement II zur y-Achse)

dy  dy uy

      y 

(relative Längenänderung in y-Richtung)
2
dy
y

Relative Winkeländerung (ohne Längenänderung)
Im Punkt werden 2 im unverformten Zustand senkrecht aufeinander stehende Linienelemente dl1 und
dl2 betrachtet und die bei der Verformung entstehenden Winkeländerungen beobachtet.
 (d l1, dl1 ) = 1;
 (d l2 , dl 2 ) = 2
 (dl1, dl2) =  / 2
12 = 1 + 2 (relative Winkeländerung)
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Allgemein:
du x 
tan  1   1 
u
u x
 dx  x  dy
y
x
duy
u
 y
dx
x
du y 
tan  2   2 
u y
x
 dx 
du x
u
 x
dy
y
u y
y
 dy
 12   1   2 
ux uy

x
y
Deformationsgrößen zu ux = ux (x, y); uy = uy (x, y):
u
u x  ( x  x )
 (y  y )
y  y 

x
x
y
y
u
u
 ( x  x)  (y  y )
 x  y 

y
x
y
x
x 
 xy
Begriff: Gradienten des Verschiebungsfeldes sind die Deformationen x, y und xy.
1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation
Zusammenhang zwischen den Längen- und Winkeländerungen von Linienelementen
beliebiger Lage mit den Längen- und Winkeländerungen der Linienelemente parallel zu
den Koordinatenrichtungen (x, y) in einem festen Körperpunkt.

Gegeben sind die Deformationsgrößen x, y und xy in einem Körperpunkt x . Dann gilt
für die relativen Längenänderungen () eines beliebig orientierten Linienelementes dl in
diesem Punkt:
   x  cos 2    xy  cos   sin    y  sin 2    
sowie


       x  sin2    xy  cos   sin    y  cos2     .
2

Die Winkeländerungen zwischen zwei beliebigen Linienelementen (dl1  dl2) in diesem
Punkt berechnen sich zu:


 ()   y   x  sin 2   xy  cos 2    , wobei  = (dl1, dx).
dl 2: 
y
dy : y
dl 1: 

dx : x
x
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1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
 Extremwerte der Deformationen und deren Winkel (1. Ableitung Null setzten!)
d ( )
  2   x  sin   cos    xy  cos 2   sin2   2   y  sin   cos 
d
 ( y   x )  sin 2   xy  cos 2  0


 Auflösen nach   Hauptdehnungsrichtungen (Richtungen mit 1 und 2):
tan 21/ 2 
 xy
x  y
Diese Gleichung ist für 2 Winkel erfüllt: 1 = * (gehört zu 1) und 2 = * + /2 (gehört
zu 2), d. h., die beiden Richtungen 1 und 2 liefern die Extremwerte für (). Es gilt:
1,2 = 0.5·arctan(xy /(x – y) ),
2 = 1 + 90°
 Zuordnung: (1) und (2) ausrechnen und festlegen.
Hauptdehnungen
1
1
2
2
  x   y     x  y    xy
2
2
1
1
2
2
min ()   2    x   y     x  y    xy
2
2
max ()  1 
1 = max () und 2 = min () existieren, falls () nicht in allen Richtungen gleich groß ist.
Extremwerte der Längenänderungen 1 und 2 treten in den Hauptdehnungsrichtungen
1 und 2 auf.
Aus
d ()
 ( y   x )  sin 2   xy  cos 2  0   () folgt:
d
Die Hauptdehnungsrichtungen 1 und 2 sind winkeländerungsfrei, d. h., es treten
nur Längenänderungen ein.
y
dl 1
dl 2
Es gibt im Kreis 2 Richtungen dl1 und dl2 (mit
dl1  dl2 vor der Deformation), die nach der
 dl
1
dl 2
Deformation den Richtungen d l1 und d l2 ent-
  
sprechen, die wiederum senkrecht aufeinan
x
der stehen.
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1.5 Deformationstensor 
 
1

 xy   
xx
2
  

 y   xy


 x

 1 
xy
2
 xy 
;
 yy 
0


    1
 0 2 
(Hauptachsendarstellung)
Fundamentalsatz zeigt:
 () +  ( + /2) = x + y = const. = spur 
(1. Invariante des Deformationstensors)
1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung)
ux
uy
x
y
2 Verschiebungsgrößen
xy
3 Deformationsgrößen im ebenen Fall
- gleiche Indizes  Längenänderungen
Erläuterungen:
- gemischte Indizes  Winkeländerungen
-  ist eine auch im räumlichen Fall symmetrische Matrix
- vereinfachend: x = xx und y = yy
Zusammenhänge:
x 
u x
;
x
y 
u y
;
 xy 
 2 y
 3u y
y
u x u y

y
x
Wir bilden:
 2 x
 3u x

;
y 2
xy 2
x 2

x 2 y
Daraus folgt: Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung):
2
 2  xy
 2 x   y


y 2
x 2
xy
2 Verschiebungsgrößen
3 Deformationsgrößen
ux, uy
x, y und xy und Verträglichkeitsbedingung
 = 2 Größen
 = 3 - 1 = 2 Größen
Verschiebungsfeld
Deformationsfeld
ux (x, y)
x (x, y), y (x, y), xy (x, y)
uy (x, y)
und eine zu erfüllende Zusatzbedingung (Verträglichkeitsbedingung)
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1.7 Feldgrößen in Polarkoordinaten
y
y
y = const.
r = const. (Kreise)
x
r

 = const. (Strahlen)
x
x = const.
x = r  cos 
Polarkoordinaten:
y = r  sin 
Verschiebungen und Verformungen in Polarkoordinaten
ur
u
y



 r

r

r


x
2 Komponenten des Verschiebungsvektors:
u = (ur, u) ur: radiale Verschiebung
u: tangentiale Verschiebung
3 Komponenten des Deformationstensors:
r

r
Zusammenhang Verschiebungen - Deformationen: (geometrische Ableitungen)
r =
ur
r
 
u 
1 

  ur 
r 
 
 r 
 u
1  ur
 
 u   
r  
 r
Spezialfall Drehsymmetrie: alle Ableitungen nach  = 0 sowie u = 0
r =
ur
r
 
ur
r
 r  0
Verträglichkeitsbedingung:
 2 r   r 
 2 r    
 r  2 r  r    
r

r



 r
 r 
 r2
r
 2
r
Fundamentalsatz der Deformationen: (sind die Komponenten des Deformationstensors
bekannt, so ist  für jede andere Richtung  bestimmbar; Analogie zum x-y-System)
() = r  cos2  + r  sin  cos  +   sin2 
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2 Ebene Spannungsfelder
2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht
y

- bisher: Körper (Koordinatensystem, Rand, Wer-
P3
P 2
tevorrat im Inneren)
- neu: Rand wird belastet
P1 = (Px1 , Py1 )

x
Ebene Gleichgewichtsbedingungen:
n
m
 Px  R x  0
- :  Px = 0:
Rx: Resultierende Kraft in x-Richtung
m 1
n
m
 Py  R y  0
- :  Py = 0:
Ry: Resultierende Kraft in y-Richtung
m 1

n
n
m 1
m 1

m
m
 Mm   x m  Py  y m  Px  0
-   M = 0:
Moment = Kraft * Abstand
2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen
- innere Kräfte sind die Folge einer äußeren Belastung (äußere Kraft als Ursache)
- innere Kräfte werden zur Definition der Spannung genutzt
- belasteter Körper K befindet sich im Gleichgewicht
- nach der Schnittführung (Zerlegung in die beiden TeilT
körper K1 und K2) sollen sich beide Teilkörper ebenfalls
K1
im Gleichgewicht befinden,
T
- auf den Schnittufern existieren die Schnittkräfte T (re-
2 Schnittufer
K2
sultierende Kraft, die notwendig ist, um beide Körperhälften wieder zusammenzufügen).
- T: Resultierende Schnittkraft (Aufsummation der einzelnen Spannungsvektoren)
K1
ds
ds
- t: Spannungsvektoren (wirken an jedem
ds
Linienelement)
ds
T
t = (tx, ty)
-
dT
 t   (t x , t y )
ds
- Innere Flächenkraft = Spannung
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2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors
y
t
ty
m
- t: Spannungsvektor (zerlegbar in tx und ty)

 
n
- : Winkel (n, x)
- n = (nx, ny) = (cos , sin )
tx
ds
Normalenrichtung
- m = (mx, my) = (- sin , cos ) Tangentenrichtung

x
Projektion von t (Zerlegung in Normalen- und Tangentenrichtung)
 = t  n = tx  nx + ty  ny
 = t  m = tx  mx + ty  my
 = tx  cos  + ty  sin 
 = - tx  sin  + ty  cos 
: Normalkomponente des Spannungsvektors
: Tangentialkomponente des Spannungsvektors
 = |  |:
Normalspannung (z. B. Druck- bzw. Zugfestigkeit einer Probe als
Maximalwerte aufnehmbarer Normalspannungen beim Bruch)
 = |  |:
Schubspannung (z. B. Scherfestigkeit einer Probe als Maximalwert
der aufnehmbaren Schubspannung beim Bruch)
Sonderfälle für die Lage des Linienelementes
y
y
ty

tx
ty

ds = dx


yx xy
y

 = 0: ds = dy
x
tx


ds = dy



x

x
 = tx  x (Normalspannung am Linienelement  = 0)
 = ty  xy (Schubspannung am Linienelement  = 0)
 = /2: ds = dx
 = ty  y (Normalspannung am Linienelement  = /2)
 = tx  xy (Schubspannung am Linienelement  = /2)
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2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz
Für 2 senkrecht aufeinander stehende und parallel zu den x-y-Koordinaten liegende Linienelemente sind die Spannungsvektoren gegeben:
 = x, y
- Vektorpaar:  = (t,x, t,y)
- der ebene Spannungstensor hat dann die Form
 x
   
  yx
 xy 

 y 
spur  = x + y
Geometrische Interpretation
y

x
t x  yx
 xy
y
t y
x

Fundamentalsatz der Spannungstheorie:
y
n
t
ty

x



tx
ds
 yx
 xy

y
x

Kräftegleichgewicht 
tx = x  cos  + xy  sin 
ty = y  sin  + xy  cos 
Vektoriell:
t =   n
n = (nx, ny) = (cos , sin )
cos  
dy
ds
sin  
Matrizenschreibweise:
Spannungsvektor = Spannungstensor
 tx 
 
 ty 
 

 x

  xy

 xy 

 y 
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 Einheitsvektor (Skalarprodukt)

 cos  


 sin  
dx
ds
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Aufgabe: Für eine gegebene Normalenrichtung  ist der Spannungsvektor in der Form
(, ) zu ermitteln, wenn  gegeben.
 = tx  cos  + ty  sin 
 = – tx  sin  + ty  cos 
 tx und ty mit Hilfe des Fundamentalsatzes substituieren!
y
() = ½ (x + y) + ½ (x - y)  cos 2  + xy  sin 2 


x

 yx
= x  cos2  + 2  xy  sin   cos  + y  sin2 
= x  cos2  + xy  sin 2  + y  sin2 

 xy

()
y

= - ½ (x - y)  sin 2  + xy  cos 2 
x
2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen (analog zu Hauptdehnungen)
Aufgabe: Gesucht sind die Richtungen, in denen  oder  Extremwerte annehmen
A.
Extremwerte für 

tan 2 * 
2   xy
x  y
1* und 2* sind die in jedem Punkt des Spannungsfeldes senkrecht aufeinander stehenden Hauptnormalspannungsrichtungen, die schubspannungsfrei (frei von Winkeländerungen) sind. Es gilt:
1,2* = 0.5·arctan( 2·xy / (x – y))
2* = 1* + 90°
Lage der Winkel 1* (zu 1) und 2* (zu 2) in Abhängigkeit vom Spannungstensor  
a)
x  y
(1  2 )
b)
x y
x y
c)
x  y
x  y
xy beliebig
 xy  0
 xy  0
  1 *  45
 2 *  135
 1 *  0
 2 *  90
  1 *  90
2 *  0
  1 *  0, 45 
 2 *  90,135
  1 *  45, 90 
 2 *  135,180
13/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Für die Hauptnormalspannungen 1 und 2 gilt:
1
  x   y  
2
1
2    x   y  
2
1 
1

2
1

2
x  y 2  4  xy 2
 max
x  y 2  4  xy 2
 min
allgemeiner Fall:
 x
   
  xy
y

 xy 

 y 
x
yx
 xy
 Normalspannungen und Schubspannungen treten auf
y
Hauptnormalspannungsform:
y

0


   1
 0 2 
1
 schubspannungsfrei
B.
x

2
1
2

x
Extremwerte für 

tan 2  
1 und  2  1 
x  y
 1,2  0.5·arctan(– (x – y) / (2 · xy))
2 xy

sind die Hauptschubspannungsrichtungen.
2
Einsetzen von 1 und  2 in  () ergibt die Hauptschubspannungen

max  
1

2
x  y 2  4  xy 2
=  ½ (1 - 2)
Aus dem Vergleich:
tan 2 * 
2  max
x  y
und
tan 2  
x  y
2  max
folgt die Orthogonalitätsbedingung (weil cot x = 1/tan x):
tan 2 *  tan 2  1
2  2 * 

2
bzw.
14/43
  * 

4
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
2.6 Der Mohrsche Spannungskreis
y

Wir drehen unser Koordinatensystem so,
x2
dass die Koordinatenachsen mit den
x1
1
Hauptnormalspannungsrichtungen zu-
2
sammenfallen.
1
x2

1
dx 2 

x

Die Linienelemente dx1 und dx2 sind jetzt

schubspannungsfrei. Nach dem Funda-
ds

2

 dx 1
Linienelement ds der Spannungsvektor
angeben.

Mit cos  
mentalsatz lässt sich für jedes beliebige
90- 
x1
dx 2
dx
und sin   1 ergeben sich folgende Zusammenhänge für die Kräfteds
ds
gleichgewichte in Normalen- und Tangentialenrichtung:
 Fn = 0:
  ds - 1  cos   dx2 - 2  sin   dx1 = 0
 = 1  cos2  + 2  sin2 
 Ft = 0:
  ds - 1  sin   dx2 - 2  cos   dx1 = 0
 = (1 - 2)  sin   cos 
Daraus folgt für die Spannungen ( = Winkel (n, x1)):
 = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2)  cos 2 
 = ½ (1 - 2)  sin 2 ;
Verknüpfen beider Gleichungen:
[ - ½ (1 + 2)]2 + 2 = ¼ (1 - 2)2
Kreisgleichung:
allgemein:
x2 + y2 = r2 oder mit verschobenen Mittelpunkt x  x 0   y 2  r 2
speziell:
[ - 0]2 + 2 = max2
2
Kreismittelpunkt:
0 = ½  (1 + 2)
Kreisradius:
max = ½  (1 - 2)
15/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
 = 0 - max  cos 2  = 0 + max  cos 2 
 = max  sin 2  = max  sin 2 
weil: cos 2 = - cos 2 und  +  = 90 °
weil: sin x = sin (180° - x)
1 > 2
 = 0:
Normale und 1 - Richtung sind identisch

= :
2
Normale und 2 - Richtung sind identisch
Zugeordnete rechtwinklige Schnitte:

P1
 xy
2
y

0
x

1
 xy

P1:
 = y = 0 - max  cos 2 
 = xy = max  sin 2 
P2:
 = x = 0 + max  cos 2 
 = xy = max  sin 2 
P2
x = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2)  cos 2 
 = 0:
x = 1; y = 2; xy = 0
y = ½ (1 + 2) - ½ (1 - 2)  cos 2 
 = /2 :
x = 2; y = 1; xy = 0
 = ½ (1 - 2)  sin 2 
16/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Zusammenhang   
( – Winkel zwischen der Normalenrichtung des Linienelements zur x-Achse)
allgemeiner Fall (xy > 0):
x > y:  = 1* –  + 90°
x < y:  = – 1* + 90°
spezieller Fall (xy = 0):
x > y:  = 90° –  1* = 0°)
x < y:  = 1* = 90°)
2.7 Invarianten des Spannungstensors
 x
  
  xy
 xy 

 y 

Drehung des

Koordinatensystems
 'x '
'  
 'x ' y '
Erste Invariante (Spur der Matrix):
I1 = (x + y) = (’x’ + ’y’) = (1 + 2)
Zweite Invariante (Determinante der Matrix):
I2 = det  = det
x
 xy
 xy
= x  y - xy2 = x’’  ’y’ - ’x’y’2 = 1  2
y
2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen
y 
y
 y
y
 dy
 yx 
y  dy
:  Yi = 0:
 dy
 xy
dy
 xy
 yx
x
x 
dx
 dx
 x
 dx
x
y
x  dx
x
 :  Xi = 0:
y
xy 
x
y
 yx
x
 yx
 x
 dx dy 
 dx dy  0
x
y
 y
y
 dx  dy 
 xy
x
 dx dy  0
17/43
'x ' y ' 

'y' 
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Ebene Gleichgewichtsbedingungen (Feldgleichungen)
x  xy

0
x
y
(1)
 y
(2)
y

 xy
x
0
xy = yx
(3)
2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten
Flächenelement und Spannungstensor:
y
 r



r


r rd
orthogonale Linienelemente:
dr
d

 r
  '  
 r
x
dl1 = dr
dr: Zuwachs an Radius
dl2 = r  d
d: Zuwachs an Winkel
dl1  dl2
r  

 
Normalspannungen: r, 
Schubspannungen: r
Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungskomponenten:
 r 1  r  r   
 

0
r
r 
r
 r 1   2 r
 

0
r
r 
r
Gleichgewichtsbedingung bei Drehsymmetrie:
r r  

0
r
r
Berechnung der Spannungen in Polarkoordinaten aus den kartesischen Koordinaten:
r = ½  (x + y) + ½  (x - y)  cos 2 + xy  sin 2
 = ½  (x + y) - ½  (x - y)  cos 2 + xy  sin 2
r = - ½  (x - y)  sin 2 + xy  cos 2
Beachte: Auch die Invarianten müssen in Polarkoordinaten gelten.
I1 = (r + ) = (x + y) = (1 + 2) = spur 
I2 = (r   - r2) = (x  y - xy2) = 1  2 = det 
18/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Hauptspannungen und Mohr‘scher Kreis:
r   2  4 r 2
1/2 = ½  (r + )  ½ 
0 = ½  (r + )
max = ½ 
r   2  4r2
= ½  (1 - 2)
tan 21/ 2 
Hauptrichtungen 1 und 2:
2r
r  
3 Ebene Elastizitätstheorie
3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz
(Allgemeines linear-elastisches Gesetz; 3-dimensional; später wieder 2-dimensional):
 
  xx

   yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
 
  xx

   yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
 z
z
x
y
x
y




Hinweis zur Indizierung:
Index 1  Kraftrichtung
Index 2  Richtung der Flächennormalen
die 6 Deformationsgrößen hängen im allgemeinsten Fall von 6 Spannungsgrößen ab:
x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15xz + a16yz
ij  A ijKl  Kl 3D
y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25xz + a26yz
z. B.
z = ...................................................................
11  A1111 11  A1112 12  A1113 13
xy= ...................................................................
A1121 21  A1122 22  A1123 23
xz= ...................................................................
A1131 31  A1132 32  A1133 33
yz= ........................................................+ a66yz
19/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
  x   a11 a12
 

  y   a 21 a 22
   a
 z    31
  xy   a 41
 

  xz   a 51
  yz   a
  61 a 62

a 63
(Spaltenvektor)
=
a13
a14
a15
a 33
a 44
a 55
a 64
a 65
a16    x 
  
  y 
  
 z
   xy 
  
  xz 
a 66    yz 
aij = aji; i, j = 1,...,6
(Matrix der Materialparameter)  (Spaltenvektor für  und )
Volumendeformation:
v = x + y + z =
1  2
1
1
 x  y  z 
  x  y  z 
 KK
E
3K
3 K




HOOKE’sches Gesetz in Hauptachsenform:
E  1 = 1 -   (2 + 3)
E  2 = 2 -   (1 + 3)
E  3 = 3 -   (2 + 1)
Zusammenhänge E-Modul / Poissonzal (E/)  Schub- und Kompressionsmodul (G, K)
E
2 1   
E
K 
3 1  2  
G
E = 2G (1 + ) = 3K (1 – 2 )
 
E
3K  2G
1
2G
6K  2G
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Sonderfälle - Spezialfälle der ebenen Elastizitätstheorie:
1. Scheibenproblem
a) Ebener Verzerrungszustand (Verformungszustand)
Merkmale:
y
x
z = xz = yz = 0
z
z =   (x + y)
Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert:
x 
1  2
E
y 
1  2
E
 xy 



 x 
 y 
1 





  y 
 x 
1 


1
  xy
G
b) Ebener Spannungszustand
Merkmale:
z = xz = yz = 0
z = 

 x  y
E


Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert:


x 
1
  x    y
E
y 
1
 y    x
E
 xy 


1
  xy
G
21/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
2. Axialsymmetrische Probleme
Karman - Versuch (gesteinsmechanischer Triaxialversuch)
- Hauptachsendarstellung
1
z = 1
z
x = y = 2 = 3
2
xy = xz = yz = 0
- es bleiben 2 Gleichungen, da  = 0 ist:
2
y
E  1 = 1 - 22
x
E  2 = E  3 = 2 -   (2 + 1)
E  2 = (1 - ) 2 -   1
1
3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie
3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme
 2
2 
 2  2   x   y   0
 x
y 

 x   y   0
- : ist der Laplace - oder Delta - Operator (2. partielle Ableitungen nach den Ortsko-
ordinaten)
3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion
Ansatz von Airy:
F = F (x, y)
 aus F werden x, y und xy durch partielle Differenzierung erzeugt
 2F
 y ;
x 2
 2F
 x ;
y 2
 2F
   xy
yx
3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie
Zusammenfassung:
Gegeben sind ein belasteter und im Gleichgewicht befindlicher ebener elastischer Körper K und die Randbelastung
(px, py) oder (pn, pt) längs L.
22/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Gesucht ist das Spannungsfeld x (x, y), y (x, y) und xy (x, y) in K, wobei die Spannungen die elastischen Grundgleichungen
 x  yx

 0,
x
y
entweder
 2F
oder
x 2
 y,
 2F
y 2
 y
y

 x,
 xy
x
 0,


 x  y  0
 2F
   xy ,
yx
 F = 0
erfüllen und auf den Rändern L von K vorgegebene Randwerte (px, py) annehmen, so
dass gilt:
tx (L) = px = x  cos L + xy  sin L
ty (L) = py = y  sin L + xy  cos L
mit L: Normalenrichtung längs L
3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip
Problem:
•
Wie findet man spezielle Lösungen eines RWP?
 „Suchen“ von speziellen Lösungen (partikuläre Integrale) der Bipotenzialgleichung
 F 
 4F
 4F
 4F

2


0
x 4
x 2 y 2 y 4
3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten
a) Koordinaten
(r, )
b) Feldgrößen
Verschiebungen
(ur, u)
Deformationen
(r, , r)
Spannungen
(r, , r)
Gleichgewichtsbedingungen:
r 1 r r   
0
 

r 
r
r
r 1   2r
 

0
r
r 
r
23/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Über Kompatibilitätsbedingung und HOOKE’sches Gesetz folgen:
(r,) (r + ) = 0
(r,) : Delta - Operator bezüglich r und 
wobei gilt:
2
1 2
1 
(r,) = 2  2  2  
r r
r
r 
Diese 3 Gleichungen lassen sich mit Hilfe des Airy - Ansatzes zu einer Gleichung
zusammenfassen:
(r,) (r,) F = 0
F (r, )
Die Spannungskomponenten ergeben sich folgendermaßen aus dem Airy - Ansatz:
r 
1 F 1  2F



r r r 2 2
 
 2F
r 2
r  

r
 1 F 
1  2F
1 F
  
   
 2
r r r 
 r  
Lösungen der Bipotenzialgleichung in Polarkoordinaten:
(r,) (r,) F = 0
Drehsymmetrische Spannungsfelder:
 d2
1 d   d2
1 d






 dr 2 r dr   dr 2 r  dr  F(r )  0




d 4F 2 d 3F
1 d2F




0
dr 4 r dr 3 r 2 dr 2
24/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Spezielle Lösungen der Airy – Funktion bei Drehsymmetrie:
A. Kreisscheibe unter konstantem Außendruck p
p: konstante Normalbelastung
r = p
 = p
B. Kreisring unter konstantem Innen- und Außendruck
Randbedingungen:
Innenradius r = a: r = q
Außenradius r = b: r = p
b2  a2 q  p p  b2  q  a2
r = 2
 2 
b  a2
r
b2  a2
b2  a2 p  q p  b2  q  a2
 2 
b2  a2
r
b2  a2
 =
C. Kreisförmiger Hohlraum mit konstantem Innendruck q
Randbedingungen:
0
x  p
0
y  p
0
d. h. r  p
r = (q - p) 
a2
+p=p
r2
2
 a2 
 +q a
1 

r2
r 2 

 = (p - q) 
a2
+p=p
r2
2
 a2 
 -q a
1 

r2
r 2 

25/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Spezialfälle:
C1 Scheibe mit Kreisloch unter Innendruck
Randbedingungen: p = 0; q  0
a2
r  q  2
r
a2
   q  2
r
C2 Kreisförmiger Hohlraum unter hydrostatischem Grundspannungszustand
Randbedingungen: p  0; q = 0

a2 

r = p   1  2 
r 


a2 
 = p   1  2 
r 

26/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität
4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen
1 HOOKE
1
Verfestigung
2 elasto-plastisch (ideal plastisch)
h
c
s
i
t
s
a
3l
k
o
t
s
a
l
e
Entfestigung
1
4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes
- Gleichung der Hüllgeraden:  =   tan  + c
c: Kohäsion
: Winkel der inneren Reibung
- Bruchwinkel  =
 

4 2
Festigkeits- oder Plastizitätskriterium im 1 - 2 – Diagramm:
1
>1
=1
u
2
27/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Bemerkungen:
- u: einaxiale Druckfestigkeit; einaxiale Plastizitätsgrenze
- Gleichung des Kriteriums: 1 = u +   2
- folgende Zusammenhänge gelten:
u 
2c  cos 
;
1  sin 
t 
2c  cos 
;
1  sin 
 
Berechnung der Sicherheit gegen Versagen:

1  sin 
 u
t
1  sin 
1   
S = |0·sin + c·cos| / max
Beispiele elasto-plastischer Spannungsfelder:
 Ideal elasto-plastisches Materialverhalten
F: einaxiale Fließgrenze
 = 0  max = const.
Material ohne innere Reibung
Grenzgerade ist Parallele zur -Achse
 Traglast einer Halbebene (Lösung von Prandtl)
elastische Lösung: p = p* =   k
plastische Lösung: p = p** = (2 + )  k
[k = F/2 (für ideale Plastizität)]
S  F  p **  2  c mit: S = Sicherheit
F = p**·2·c / S
relativeTraglast pro Meter  2 c = 1 m
F = p**/ S · 1 m
28/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
5 Rheologisches Materialverhalten ( zeitabhängiges Verhalten)
5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens
Grundtyp
Name
HOOKE
(elast.
Feder)
Symbol Charakteristische Kurve
ST.
VENANT
(plast.
Reibklotz)
Formeln
Beschreibung des Verhaltens
streng proportionaler Zu-
=E

sammenhang zwischen 

und  (zeitunabhängig)
 < F:  = 0

 = F:  =  (t)
F
plastische Verformungen
nach Erreichen der Fließgrenze (belastungsabhängig)

NEWTON
(Zylinder
mit viskoser
Flüssigkeit)
Dimensionen: E [Pa];
für  = 0:
(t)
 
t
 [-];
0

  0 t


viskose, zeitabhängige
Verformungen
: Viskosität
 [Pa];
 [1/s];
29/43
 [Pa  s]
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften
MAXWELL - Körper:
= Reihenschaltung von Feder und Zylinder
2
1
Kriechen:
  =  gesamt =  1 +  2
 
 

E 
(lineares Fließen)
( = 0 = const.):
  0
(t)
0 /E




  0  t  0


0  0
 
= const. = 0
0 /·t
0 /E

t
E
 zeitunabhängige elastische Reaktion (Feder)
Relaxieren ( = const.):
 
 (t)
0
 

E 

DGL
.
= const.  = 0
  A e

t
R
  0
Lösungsansatz:
mit
t

t  0;
bei
  0  e

R 

E
t
R
Die Relaxationszeit R ist die Zeit, in der  auf den e-ten Teil von 0 abgefallen ist.
30/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
KELVIN - Körper:
= Parallelschaltung von Feder und Zylinder
 : ges = 1 + 2
1
 = E   +   
(Nachwirkungskriechen)
2
Kriechen

0
( = 0 = const.):

 elast
 viskos
(t)

t


1  e  R



  
0


t


1  e  R


t
1   t 



0
 viskos       
e R   0 e R
 R E



0   elast   viskos
 elast
t



EE 0
E


max = E0
 

E
  0



DGL
= const. = 0
Lösungsansatz:
  e  t

t


 0
E
t


R

 1  e






R 
mit

E
d

Relaxieren:    E      
dt 

d

  E     
dt 

 (t)
= const.
  const.

t
31/43

  const.
  0

 E




Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
BURGERS - Typ:
(t)
 (t)

 Kelvin
 Maxwell_viskos
0 /E
= const.
= const.
 Maxwell_elastisch
t

t
Kriechkurve des BURGERS-Körpers
t




 ( t )  0  0  t  0  (1  e tR )
E M M
EK
elastisch = Maxwell_elastisch
 ( t)   el   viskos  nachw.
Viskos = Maxwell_viskos
tR 
K
EK
Kelvin = Nachwirkung
BINGHAM - Typ:

Diagramm  =  (t) für   F

(t)
 (t)
F

 F
F
F
el.

-
 
t
t
  F


E

32/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
LOONEN - Typ:
(t)
0 /E

= const.
F
F
F
F

= const.
t
t
33/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke
* ur 
1 
pa
E
* ur ( t ) 
1 
pa
E*
* E*  ur (t) = (1 + )  p  a
Maxwell
Kelvin
d
dt
E* 
1 d 1


E dt 
E* = E +  
d
dt
 u (t)  (1  )  p  a
1 d 1
 
E dt 
E + 
d
dt
d
 u(t) = (1+)  p  a
dt
 1 d 1
u  (1   )       p  a
 E dt  
E  u    u  (1   )  p  a
pa
u  (1   ) 

1
(1   )
 u  u 
pa


u  (1   ) 
pa
t c

u1 = A  e
u=
t = 0: u = c =
1 
p a
E
u ( t)  (1  )  p  a 
u (t) 
t (1  )

pa
E

(1   )
t

 p  a  1  
E
 
Diagramm u (t) über t
t

u2 =
1  
 p a
 E

1 
p a + A  e
E
t

t = 0; u = 0:
A
1
 (1   )  p  a
E
t

(1   )
u (t) 
 p  a  (1  e  )
E
Diagramm u (t) über t
u
u

t
34/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
6 Sickerströmung in Böden und Fels
6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy
Man führt eine Filtergeschwindigkeit vF ein, die sich als Quotient aus strömender Wassermenge q und durchströmter Querschnittsfläche F ergibt.
vF 
q
F
Nach dem empirischen Gesetz von Darcy ist diese Filtergeschwindigkeit proportional
zum vorhandenen Gradienten I.
vF  K F  I
KF bezeichnet man als Durchlässigkeitsbeiwert, als die unter Umständen richtungsabhängige Durchlässigkeit des Ersatzmediums.
I
h
L
Der Gradient I ist die Differenz der piezometrischen Höhen längs des Fließweges L.
Dimensionen:
I:
dimensionslos
vF:
m/s
KF:
Eine alternative Definition der Permeabilität basiert auf dem Druckgradienten:
q K
dP
dh
in Analogie zum Gefälle: q  k 
dx
dx
Dimensionen:
P:
Pa
K:
35/43
m/s
k:
m2
m/s
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Die Beziehung zwischen K und k lautet:
k
K
g  w
Während die oben genannten Permeabilitätskenngrößen die Abhängigkeit von der Viskosität des Fluides implizit beinhalten, ist bei der Verwendung der ‚Intrinsic Permeability’
Kint die kinematische Viskosität ν als Parameter enthalten:
K int 
Dimensionen:
Kint:
m2
v k
g
m2/s
ν:
g:
m/s2
6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar
I
2ai
h2
d
F
VFT / q
2ai
h1
L
vFT 
q K t  I  n  (2ai )
2a

 Kt  i  I
F
nd
d
Kt 
2ai
 KT
d
36/43
1,0
m
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Kt 
g   w  (2ai )2
12v
3
g   w  (2ai )2
g   w  ai  2
q
 I  n  2ai  1,0 m 
 I  n  1,0 m
12v
3v
z'
v FT,x '  K T

 
 v FT,y'    0
v

 FT,z'   0
y'
x'
mit:
vFT,*’: Vektorkomponenten der Filtergeschwindigkeit
KT:
Durchlässigkeitsmatrix
I *:
Vektorkomponenten des hydraulischen Gradienten
7. Bruch- und Schädigungsmechanik
„Griffith“-Rissmodell: ebener riss der Länge 2a in unendlicher Scheibe:
Spannungsfeld auf Rissebene vot der Rissspitze:
37/43
0
KT
0
0 Ix ' 
 
0  Iy' 

0 Iz' 
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
x

 x   1; y  0 

a


x




a
 1

2

 x

 a 1

  
x
a
x

 y   1; y  0   
2
a

x
  1
a
Spannungsverlauf auf Rissebene (y=0)
In unmittelbarer Nähe der Rissspitze, d. h. für
 x 


 y 


  xy 
r
 1 gilt näherungsweise:
a



3  
 cos 1  sin sin  
2 
2
2

a 
3  



 cos 1  sin sin  
2r 
2
2
2 
3


 sin cos cos  


2
2
2


(11.2.1-5)
bzw. in Zylinderkoordinaten:
3 


 5 cos  cos  
2
2 
 r 
   a 
3

 3 cos  cos  
   

4
2
r
2
2 
 


3


r

 

 sin  sin
2
2 

38/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Vewrlauf des Rissfeldes an der Spitze bezüglich seiner Komponenten (Mode-I):
Allgemein gilt:
KI     a  y
[ Pa m ]
y: Formfunktion, KI: Spanungsintensitätsfaktor
Bsp.: y = 1.122 für Spannungskonzentration an einer Rissspitze



3 
 cos 1  sin sin  
2
2
2 

 x 



KI


3 
 y  
 cos 1  sin sin  
2
2
2 
2r 


  xy 


3
 sin cos cos  


2
2
2


Neben dem Zugriss (Mode-I) gibt es noch zwei andere Grundtypen:
- Mode-II: Scherriss (in-plane shear)
- Mode-III: Torsionsriss (out-of-plane shear)
39/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Praxis: wegen der 3-dimensionalen Belastung häufig gemischte Bruchmoden:
1
 ij 
2r
K
I

FijI   K II FijII   K III FijIII 
wobei Fij() die zu den einzelnen Moden gehörenden Winkelfunktionen sind.
„Energiefreisetzungsrate“ oder „Risserweiterungskraft“ G [N7/m]:
1   
E
1   

2
GI  K I2 
GII  K II2
GIII 
2
2
K III
E
1

2G



 EDZ



GI  K I2 / E
GII  K II2 / E
2
GIII  K III
/E



 ESZ



Für linear-elastisches Verhalten (linear-elastische Bruchmechanik) gilt (EDZ):
J
1    K
E
2
2
I

 K II2 
1 2
K III
2G
Das J-lntegral entspricht physikalisch also der Energiefreisetzungsrate, ist aber allgemeiner definiert (pfadunabhängig, gültig auch für nicht-elastische Prozesse).
Es gilt:
G
dE
J
da
mit:
G = Energiefreisetzungsrate
J = J-Integral
E = Potenzielle Energie
COD = crack opening displacement ()



4 1   2 K I2
3E


4 GI

3 
bzw.
GI     
3
4
Exemplarische Äquivalenz der Parameter G, K und COD.
40/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Das subkritische Risswachstum lässt sich über die sogenannte “Charles-Gleichung” beschreiben:
v  v 0  e( H / RT )  K n
wobei:
v0 = Materialkonstante
n = Stress-Corrosion-Index
T = Temperatur
R = Boltzmann-Konstante
H = Aktivierungsenthalpie
Logarithmiert man die Charles-Gleichung erhält man folgenden Ausdruck:

log v  n  log K  log v 0 e (H / RT )

Ermüdung durch Wechsellasten (sinusförmige Anregung):
K
Km
K max
K min
Zeit
Bruchmechanische Grundparameter einer zyklischen Belastung
41/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Dabei gilt:
N: Anzahl der Zyklen
K: Spannungsintensitätsfaktor
Folgende Parameter finden Verwendung:
K  K max  K min
K max  K min
2
K min
R
K max
Km 
Der Zuwachs an Risslänge pro Belastungszyklus (da/dN) lässt sich im halblogarithmischen Diagramm darstellen:
log( da )
dN
I
II
III
K th
K c
K
wobei:
Kth = Spannungsintensitätsamplitude, unter derer kein Risswachstum stattfindet
Kc = Spannungsintensitätsamplitude erreicht den kritischen Wert und damit kritisches
Risswachstum
In den Regionen gilt:
 da 
K ~ log 

 dN 
Region II (Paris-Erdogan-Beziehung):
da
m
 C K 
dN
m und C sind Materialkonstanten, wobei m meist 4 gesetzt wird.
Region III (Gesetz nach Forman):
da
C  K 

dN 1  R  K c  K
n
wobei C und n Materialkonstanten sind.
42/43
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Bereich I (Gesetz von Donahne):
da
m
 K K  K th 
dN
mit: K th  1  R  K th, 0
Kth, 0 ist der Schwellwert für R = 0 und  ist ein Materialparameter
Eine alle drei Phasen (Formel wurde von Erdogan und Ratwani):
da C 1    K  K th 

dN
K c  1   K
m
wobei  
n
K max  K min
, c, m und n Materialkonstanten sind.
K max  K min
CDM (Continuum Damage Mechanics):
- Schädigungsmaß D (D = Schädigung, Damage)
- D als Volumengröße:
D
VPoren
VGesamt
V = Volumen
- D als Flächengröße für fiktiven Schnitt im Volumen:
D
A Poren, Risse
A Gesamt

AP
AG
D=0

keine Schädigung
D=1

Schädigung
0D1
Das Schädigungsmaß D als Skalar (isotrope Sch.) oder als Tensor (anisotrope Sch.):
AP
AG
isotrope Schädigung:
D
anisotrope Schädigung:
ij  Dij n j dA  ~n  dA
Für isotrope Schädigung unter einaxialer Belastung gilt:
 eff 

1 D
weil

F
F

A AG  AP
F
AG



A
1 D
1 P
AG
Für isotrope Schädigung unter mehraxialer Belastung gilt:
ijeff 
ij
1 D
43/43