Modellierung des Raumes - Institut für Geodäsie und

Institut für Kartographie und Geoinformation
Prof. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation I
Vorlesung 4
WS 2000/2001
Modellierung des Raumes
Neuer Abschnitt:
Modellierung des
Raumes
Bisher:
Modellierung von Objekten
Übersicht I
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Räume I
Räume II
Topologische Räume
Topologische Invarianten (Beispiele)
Nicht-topologische Eigenschaften
Punktmengentopologie
Beispiele
Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele
Die „Fahrtzeittopologie“
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Übersicht II
•
•
•
•
•
•
Nähe, Offen + Geschlossen
Der Rand oder die Grenze
Beispiele
Zusammenhang
Diskret und indiskret
Topologische Eigenschaften
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Räume I
• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer
Anschauung
• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere
Wahrnehmung organisieren
• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung)
voraus
• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante
• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche
Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu
vertreten
• Geschwindigkeit Invariante gegenüber
– Tachometer
– Radarmessung der Polizei
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Räume II
• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern
mehrere Räume
• abhängig von der Fragestellung
• 4 große Bereiche
– Betrachungen auf der Erdoberfläche
• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)
– Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)
• Netzentwürfe, Kartographie
– Abbildungen im Raum und in der Ebene
• euklidische Geometrie, lineare Algebra
– Projektion auf das Bild
– Verzerrende Abbildungen, Topologie
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Operationen
Invarianten
Abbildungen
Geradentreue
Projektivität
Parallelentreue
Affinität
... + Scherung
Winkeltreue
Ähnlichkeit
Zoom  + r + t
Abstandstreue
Bewegung
r+t
Verschiebung t
Translation
Koordinatendifferenzen
... + Parallelenkonvergenz
Rotation
Richtungswinkel
-differenzen
Rotation r (um 0)
Topologische Räume
• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die
– alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können
– trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten
• Paradigma: elastische Verformung
– Metapher: Gummihauttransformation
– anderes Beispiel: Tätowierung
• (kartographisches) Beispiel:
– Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)
– Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes
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Übersichtskarte Hamburg und
Umgebung
Schnellbahnen
Hamburg und
Umgebung
Ausgangspunkt
Elastische
Verformung
Topologische Invarianten (Beispiele)
• Ein Knoten ist Endpunkt
einer Kante
• Zwei Kanten kreuzen sich /
sind kreuzungsfrei
• Ein Punkt liegt im Inneren
einer Fläche
• Ein Punkt liegt auf dem
Rand einer Fläche
• Eine Fläche hat ein Loch
• Eine Fläche ist
zusammenängend / nicht
zusammenhängend
• Zwei Flächen sind
benachbart
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Nicht-topologische Eigenschaften
•
•
•
•
•
Abstand
Fläche
Winkel
Umfang
Durchmesser
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Mathematik
Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller
Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S
und einer Menge von Teilmengen von S (nicht
notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:
T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S.
T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines Punktes
x  S enthält eine Nachbarschaft von x.
Punkt
Nachbarschaft
Beispiele
• Die offene Kreisscheibe
in der euklidischen Ebene
– Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden,
aber nichtauf demselben
liegen
• punktierte Linie: offen
• durchgezogene Linie:
geschlossen
Punkt
Offene
Kreisscheibe
• Beachte: T2 ist erfüllt
– Der Durchschnitt zweier
Nachbarschaften eines x  S
enthält eine Nachbarschaft von x.
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Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:
– S und die Menge aller Teilmengen von S
– die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)
• Die indiskrete Topologie
– S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der
reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Die „Fahrtzeittopologie“
• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz
erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des
Gebiets.
• Sei d(x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung
zwischen x und y.
• Annahme Für alle x, y  S gilt: d(x,y) = d(y,x)
– Symmetrie, keine Einbahnstraßen
• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t
Minuten erreichbar ist.
• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.
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Die 1-Stunden-Zone um Liége
Jetzt kommen
mehrere auf den
ersten Blick recht
abstrakte Definitionen
Zielbegriff:
Der Rand oder die Grenze
Teilziel:
Offene und geschlossene
Flächen
Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein
topologischer Raum,
X  S, x  S
x ist nahe an X, falls jede
Nachbarschaft von x einen Punkt
von X enthält.
X ist offen, wenn jeder Punkt y  X
eine Nachbarschaft hat, die ganz in
X ist.
X ist geschlossen, wenn X alle
nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die
offene Kreisscheibe um den
Ursprung mit Radius 1.
Nicht nahe
nahe
geschlossen
offen
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Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer
Teilmenge X  S ist die
Vereinigung von X mit allen
nahen Punkten.
Notation: X¯
Komplement: X‘
Das Innere von X ist die
Menge aller Punkte von X, die
nicht zugleich nahe Punkte
von X‘ sind.
Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von
X ist die Menge aller Punkte, die
nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.
Notation: dX
Es gilt:
dX = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen
Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu
erwarten)
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Beispiele
Die Menge S
Das Innere von S
Abschluß von S
Rand von S
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Zusammenhang
Ein Punktmenge X heißt
zusammenhängend, wenn
für jede Partition (disjunkte
Zerlegung) in nichtleere
Teilmengen A und B gilt:
Entweder enthält A einen
Punkt nahe an B oder
umgekehrt.
Nicht zusammenhängend
zusammen
hängend
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Diskret und indiskret
Übung 1:
Zeigen Sie:
In der diskreten Topologie ist
jede nichtleere Menge
gleichzeitig offen und
geschlossen.
Übung 2:
Zeigen Sie:
In der indiskreten Topologie ist
jede nichtleere Menge weder
offen noch geschlossen.
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transformation (Homeomorphismus)
oder eine elastische
Verformung bildet Nachbarschaften auf Nachbarschaften
ab.
Ferner ist jede Nachbarschaft
Bild eine Nachbarschaft.
Euklidische Topologie
äquivalent
nicht äquivalent
Topologische Eigenschaften
sind die Invarianten
topologischer Abbildungen.
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