Definition - Satz - Beweis

FORMULIEREN VON AUSSAGEN KONSTANTEN VARIABLEN
MENGEN DEFINITIONEN SÄTZEN BEWEISEN LOGIK
VERSTEHE, WIE ES FUNKTIONIERT
Dirix Workbooks, Seefeld am Pilsensee
Autor: Martin Dirix
ISBN 978-3-7347-7405-8
1. Auflage 2015
Herstellung und Verlag: BoD – Books on Demand.
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Aussagen ....................................................5
Aussagen ...................................................... 6
Aussagen übersetzen .................................... 8
Wahrheitswert bestimmen ........................ 16
Aussagen verknüpfen ................................. 22
Aussagen umformen .................................. 32
Aussagen beweisen .................................... 36
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Aussageformen ......................................... 47
Variablen definieren ................................... 48
Aussageformen ........................................... 50
Aussageformen umformen ......................... 56
Aussageformen übersetzen ........................ 56
3
3.1
3.2
3.3
Definitionen .............................................. 61
Namen definieren ....................................... 62
Konstanten definieren ................................ 62
Aussageformen definieren ......................... 72
4
4.1
4.2
4.3
4.4
Mengen .................................................... 81
Lösungsmenge bestimmen ......................... 82
Mengen definieren ..................................... 86
Mengen umformen .................................... 92
Aussagen beweisen .................................. 102
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Sätze ....................................................... 109
All-Sätze und Existenz-Sätze ..................... 110
Sätze übersetzen ...................................... 116
Sätze umformen ....................................... 120
All Beweise ............................................... 136
Nicht-Existenz-Beweise ............................ 142
Sätze begründen ....................................... 148
Existenz Beweise ...................................... 152
Nicht-All-Beweise ..................................... 158
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Gemischte Sätze ..................................... 165
Gemischte Sätze ....................................... 166
Gemischte Sätze übersetzen .................... 168
Gemischte Sätze umformen ..................... 174
Gemischte Sätze begründen ..................... 178
Gemischte Sätze beweisen ....................... 184
7
7.1
7.2
7.3
Weitere Beweistypen ............................. 195
Direkte Beweise ........................................ 196
Widerspruchs-Beweise ............................. 206
Induktions-Beweise .................................. 220
8
Glossar .................................................... 239
III
1 Aussagen
6
Aussagen
Dieses Workbook enthält viele kleine Aufgaben. Wir laden Sie herzlich ein, diese Aufgaben mit einem Stift
zu bearbeiten. Dazu können Sie Ihre Lösung direkt unter die Aufgabenstellung schreiben. Die
dazugehörige Musterlösung finden Sie immer auf der gegenüberliegenden Seite. Wir beginnen mit der
folgenden Frage:
1.1 Aussagen
Was ist eine Aussage? Wir bezeichnen die Gleichung 1 + 1 = 2 zum Beispiel als eine Aussage. Eine
Aussage ist entweder wahr oder falsch. Das bedeutet, wir können jeder Aussage einen Wahrheitswert
zuordnen. Das probieren wir nun aus: Wir sehen uns verschiedene Aussagen an und fragen uns, welchen
Wahrheitswert diese besitzen:
A1 Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
1+1 =2
wahr
A2 Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
15 = 2 ⋅ 5
A3 Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
10 = 2 ⋅ 5
Auf eine Aussage können wir antworten mit „Ja“, „Nein“ oder „Vielleicht“. Dazu folgendes Beispiel:
A4 Ist der folgende Term eine Aussage?
3⋅5
Das ist keine Aussage.
Denn auf 3 ⋅ 5 können wir nicht mit „Ja“, „Nein“ oder „Vielleicht“ antworten.
A5 Ist der folgende Term eine Aussage?
1+2+3−6
A6 Ist die folgende Gleichung eine Aussage?
1+2+3= 6
A7 Ist die folgende Zahl eine Aussage?
1
A8 Ist das folgende Symbol eine Aussage?
𝑥
Aussagen
Diese Aussage ist wahr.
Diese Aussage ist falsch.
Diese Aussage ist wahr.
Dieser Term ist keine Aussage.
Diese Gleichung ist eine Aussage.
Diese Zahl ist keine Aussage.
Dieses Symbol ist keine Aussage.
7
8
Aussagen
1.2 Aussagen übersetzen
In diesem Kapitel lernen wir, Aussagen aufzuschreiben. Wir können eine Aussage in Worten aufschreiben
oder formal aufschreiben. Mischformen zwischen beiden Schreibweisen sind auch möglich. Dazu
folgendes Beispiel:
In Worten:
Als Mischform:
Formal:
Eins plus Eins ergibt Zwei.
1 plus 1 ergibt 2.
1+1= 2
Die folgende Tabelle zeigt Formulierungen für die vier Grundrechenarten:
𝑎+𝑏 =𝑐
𝑎−𝑏 =𝑐
𝑎⋅𝑏 =𝑐
𝑎 ⁄𝑏 = 𝑐
𝑎 addiert mit 𝑏 ergibt 𝑐.
𝑎 subtrahiert mit 𝑏 ergibt 𝑐.
𝑎 multipliziert mit 𝑏 ergibt 𝑐.
𝑎 dividiert durch 𝑏 ergibt 𝑐.
𝑐 ist die Summe von 𝑎 und 𝑏.
𝑐 ist die Differenz von 𝑎 und 𝑏.
𝑐 ist das Produkt von 𝑎 und 𝑏.
𝑐 ist der Quotient von 𝑎 und 𝑏.
Wir beginnen damit, Aussagen in die formale Schreibweise zu übersetzen:
A9 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1 addiert mit 1 ergibt 2.
1+1 =2
Die formale Schreibweise 2 = 1 + 1 ist auch richtig.
A10 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Das Produkt von 1 und 2 ergibt 2.
A11 Wie lautet die folgende Aussage formal?
2 subtrahiert mit 2 ergibt 0.
A12 Wie lautet die folgende Aussage formal?
2 dividiert durch 2 ergibt 1.
Nun betrachten wir Formulierungen für Ungleichungen:
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
<𝑏
≤𝑏
>𝑏
≥𝑏
𝑎 ist kleiner als 𝑏.
𝑎 ist kleiner oder gleich 𝑏.
𝑎 ist größer als 𝑏.
𝑎 ist größer oder gleich 𝑏.
A13 Wie lautet die folgende Aussage formal?
3 ist größer als 0.
A14 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1 ist kleiner oder gleich 1.
𝑎 ist kleiner-gleich 𝑏.
𝑎 ist größer-gleich 𝑏.
Aussagen
1⋅2=2
2−2 =0
2⁄2 = 1
3>0
1≤1
9
10
Aussagen
A15 Wie lautet die folgende Aussage formal?
−2 ist kleiner als 0.
A16 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1 ist größer-gleich 0.
Nun übersetzen wir Aussagen in eine beliebige Mischform. Dabei müssen wir darauf achten, dass unsere
Formulierungen vollständig und eindeutig sind. Folgendes Beispiel:
A17 Wie lautet die folgende Aussage in Mischform?
15 = 3 ⋅ 5
15 ist das Produkt aus 3 und 5.
Die Formulierung „3 mulitipliziert mit 5 ergibt 15“ ist auch richtig.
Eine falsche Formulierung lautet: „15 ist ein Produkt“. Denn diese Formulierung ist nicht vollständig.
A18 Wie lautet die folgende Aussage in Mischform?
2⋅2=4
A19 Wie lautet die folgende Aussage in Mischform?
1≤2
A20 Wie lautet die folgende Aussage in Mischform?
0<2⋅2
A21 Wie lautet die folgende Aussage in Mischform?
1⁄2 > 1⁄3
Ein Beispiel für eine Menge lautet:
{1,2,3}
Wir können uns die obige Menge wie einen Behälter vorstellen, in dem sich die Zahlen 1, 2 und 3 befinden.
Diese Zahlen bezeichnen wir als Elemente der Menge. Es gilt:
{1,2,3} = {3,2,1} = {1,2,3,1}
Die obigen Mengen sind alle gleich, denn auf die Reihenfolge der Elemente kommt es bei Mengen nicht
an und mehrfach auftretende Elemente werden zu einem Element zusammengefasst. Dass Die Zahl 1 ein
Element von der Menge {1,2,3} ist, können wir formal aufschreiben als: 1 ∈ {1,2,3}. Dabei haben wir das
Element-Symbol ∈ verwendet. Wir sprechen das Element-Symbol aus als „ist ein Element von“.
A22 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Die Zahl 1 ist ein Element von der Menge {1,2,3}.
Aussagen
−2 < 0
1≥0
2 multipliziert mit 2 ergibt 4.
1 ist kleiner oder gleich 2.
0 ist kleiner als das Produkt von 2 und 2.
Der Quotient von 1 und 2 ist größer als der Quotient von 1 und 3.
1 ∈ {1,2,3}
11
12
Aussagen
A23 Wie lautet die folgende Aussage formal?
0 ist ein Element von der Menge, welche nur die Zahlen 0 und 1 enthält.
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, ….
Die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnen wir als ℕ.
Es gilt: ℕ = {1,2,3, … }
A24 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Die Zahl 1 ist ein Element von der Menge aller natürlichen Zahlen.
A25 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1 ist eine natürliche Zahl.
Die ganzen Zahlen sind die Zahlen … , −1,0,1, ….
Die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnen wir als ℤ.
Es gilt: ℤ = {… , −1,0,1, … }
A26 Wie lautet die folgende Aussage formal?
−4 ist eine ganze Zahl.
Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, welche wir als Quotient von zwei ganzen Zahlen schreiben können.
Die Menge aller rationalen Zahlen bezeichnen wir als ℚ.
A27 Wie lautet die folgende Aussage formal?
3⁄2 ist eine rationale Zahl.
Die reellen Zahlen sind alle Dezimalzahlen.
Die Menge aller reellen Zahlen bezeichnen wir als ℝ.
A28 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1,234 ist eine reelle Zahl.
A29 Wie lautet die folgende Aussage formal?
1, 1̅ ist eine reelle Zahl.
Aussagen
0 ∈ {0,1}
1∈ℕ
1∈ℕ
−4 ∈ ℤ
3⁄2 ∈ ℚ
1,234 ∈ ℝ
1, 1̅ ∈ ℝ
13
14
Aussagen
Die Kreiszahl 𝜋 ist der Quotient von dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Die Kreiszahl ist
eine reelle Zahl. Die Kreiszahl beginnt mit den Ziffern 3,1415 ….
A30 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Die Kreiszahl ist eine reelle Zahl.
Beispiele für Teilmengenbeziehungen sind:
{1,2} ⊆ {1,2}
{2} ⊆ {1,2}
Das Teilmengensymbol ⊆ besagt: Jedes Element, welches in der Menge auf der linken Seite vorkommt,
kommt auch in der Menge auf der rechten Seite vor. Das Teilmengensymbol sprechen wir aus als „ist eine
Teilmenge von“.
A31 Wie lautet die folgende Aussage formal?
{1} ist eine Teilmenge von {1,2,3}.
A32 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Die Menge aller natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge von der Menge aller ganzen Zahlen.
A33 Wie lautet die folgende Aussage formal?
Die Menge aller natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge von sich selbst.
Die Schnittmenge {1,2} ∩ {2,3} von zwei Mengen enthält die Elemente, welche beide Mengen
gemeinsam haben. Es gilt: {1,2} ∩ {2,3} = {2}.
Die Vereinigungsmenge {1,2} ∪ {2,3} von zwei Mengen enthält alle Elemente aus beiden Mengen.
Es gilt: {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3}.
Die Differenzmenge {1,2} ∖ {2,3} enthält alle Elemente aus der linken Menge ohne den Elementen aus
der rechten Menge. Es gilt: {1,2} ∖ {2,3} = {1}
Die folgende Liste enthält Formulierungen für Mengenoperationen:
𝐴∩𝐵 =𝐶
𝐴∪𝐵 =𝐶
𝐴∖𝐵 =𝐶
𝐴 geschnitten 𝐵 ergibt 𝐶.
𝐴 vereinigt 𝐵 ergibt 𝐶.
𝐴 ohne 𝐵 ergibt 𝐶.
A34 Wie lautet die folgende Aussage formal?
{0} ist die Schnittmenge von {−1,0} und {0,1}.
𝐶 ist die Schnittmenge von 𝐴 und 𝐵.
𝐶 ist die Vereinigungsmenge von 𝐴 und 𝐵.
𝐶 ist die Differenzmenge von 𝐴 und 𝐵.
Aussagen
𝜋∈ℝ
{1} ⊆ {1,2,3}
ℕ⊆ℤ
ℕ⊆ℕ
{0} = {−1,0} ∩ {0,1}
15
16
Aussagen
A35 Wie lautet die folgende Aussage formal?
{−1,0,1} ohne {0} ergibt {−1,1}.
A36 Wie lautet die folgende Aussage formal?
ℤ geschnitten ℕ ergibt ℕ.
A37 Wie lautet die folgende Aussage formal?
ℤ vereinigt ℕ ergibt ℤ.
A38 Wie lautet die folgende Aussage formal?
4 ist ein Element von der Menge aller ganzen Zahlen ohne Null.
Die leere Menge ∅ enthält keine Elemente. Es gilt: ∅ = { }.
A39 Wie lautet die folgende Aussage formal?
{1,2} geschnitten {3,4} ergibt die leere Menge.
A40 Wie lautet die folgende Aussage formal?
ℕ ohne ℤ ergibt die leere Menge.
1.3 Wahrheitswert bestimmen
In diesem Kapitel bestimmen wir die Wahrheitswerte von Aussagen. Die Aussage 𝑎 ∈ 𝑀 ist wahr, wenn
𝑎 ein Element von der Menge 𝑀 ist. Wenn 𝑎 kein Element von der Menge 𝑀 ist, dann ist diese Aussage
falsch.
A41 Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
1∈ℕ
Das Symbol für Unendlich ∞ ist keine Zahl, sondern ein mathematisches Objekt mit der Eigenschaft,
größer zu sein als alle reellen Zahlen.
A42 Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
∞∈ℕ
Aussagen
{−1,0,1} ∖ {0} = {−1,1}
ℤ∩ℕ=ℕ
ℤ∪ℕ=ℤ
4 ∈ ℤ ∖ {0}
{1,2} ∩ {3,4} = ∅
ℕ∖ℤ =∅
Diese Aussage ist wahr.
Diese Aussage ist falsch.
17
…
…
KAPITEL AUSSAGEN ABGESCHLOSSEN.✓
In diesem Kapitel haben Sie Aussagen kennengelernt. Gleich zu Beginn haben Sie gelernt zu unterscheiden,
welche Ausdrücke wir als Aussagen bezeichnen und welche nicht. Dabei haben wir uns nur solche
Ausdrücke angesehen, welche Sie mit den bisherigen Informationen klar zuordnen können. Es gibt auch
andere Ausdrücke, welche Sie mit den bisherigen Informationen noch nicht klar zuordnen können. Aber
Sie werden es können – Nachdem Sie dieses Workbook bearbeitet haben. In diesem Workbook werden
Sie alle Arten von Aussagen kennenlernen, welche für Ihr Studium relevant sind. Und Sie werden lernen,
diese von ähnlichen Ausdrücken klar zu unterscheiden.
Im Laufe dieses Kapitels haben Sie gelernt, dass wir Aussagen und Beweise in Worten aufschreiben
können oder formal aufschreiben können. Mischformen zwischen beiden Schreibweisen sind auch
möglich. Sie haben Aussagen und Beweise in einer formalen Schreibweise formuliert und Sie haben
Aussagen und Beweise in einer Mischform formuliert. Zudem haben Sie zwischen diesen beiden
Formulierungen übersetzt. In der Tat spielt die Wahl einer geeigneten Formulierung und das Übersetzen
zwischen Formulierungen eine entscheidende Rolle für Ihren Erfolg im Studium: Schreiben wir einen
mathematischen Text für uns Selbst, dann ist die formale Schreibweise die geeignete Wahl. Denn mit der
formalen Schreibweise können wir einfacher sicherstellen, dass unsere Argumentationsstruktur
vollständig ist und wir können einfacher Umformungsschritte durchführen. Schreiben wir einen
mathematischen Text für den Professor, dann ist die Mischform oft die geeignete Wahl. Denn um die
Verständlichkeit unseres mathematischen Textes zu erhöhen, können wir zwischen Worten und formaler
Schreibweise beliebig wechseln. Lesen wir einen mathematischen Text vom Professor, dann versuchen
wir zuerst die Kernaussagen zu verstehen. Danach übersetzen wir diesen Text in die formale Schreibweise.
Dadurch können wir die Argumentationsstruktur nachvollziehen, die Argumentationsstruktur auf
Vollständigkeit überprüfen und gegebenenfalls Argumentationslücken füllen. Diesen Vorgang bezeichnen
wir als Interpretation eines mathematischen Textes. Damit Sie erfolgreich Mathematik studieren,
trainieren Sie hier, mathematische Texte richtig aufzuschreiben, sowie mathematische Texte richtig zu
interpretieren. Dieses Feature gibt es nur in diesem Workbook.
In diesem Kapitel haben Sie verknüpfte Aussagen kennengelernt. Sie haben die wichtigsten
Verknüpfungen kennengelernt und Sie haben verknüpfte Aussagen formuliert sowie den Wahrheitswert
von verknüpften Aussagen bestimmt. Übrigens: die Und-Aussage und das logische Und werden als
Konjunktion bezeichnet und die Oder-Aussage und das logische Oder werden als Disjunktion bezeichnet.
In diesem Kapitel haben Sie Summenterme kennengelernt. In Aufgabe A115 haben wir uns mit der Summe
aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 beschäftigt. Dort haben wir die Aussage formuliert, dass dieser
Summenterm 5050 ergibt. Wir konnten zwar vermuten, dass diese Aussage wahr ist, ganz sicher konnten
wir uns allerdings erst sein, als wir diese Aussage bewiesen hatten. Dieser Beweis hat uns geholfen, diesen
Summenterm besser zu verstehen. Wir möchten Summenterme auch weiterhin untersuchen. Damit wir
bei unserer Untersuchung zuverlässige Ergebnisse erhalten, gehen wir immer so vor, dass wir zuerst
Aussagen formulieren und diese Aussagen anschließend beweisen.
Nun betrachten wir ganz genau das grundlegende Beweisschema: Zu Beginn eines Beweises notieren wir
immer, welche Aussage zu beweisen ist. Dann beginnen wir unseren Beweis mit einer wahren Aussage,
welche wir nicht mehr beweisen müssen. Diese sollte möglichst ähnlich zu der Aussage sein, welche wir
beweisen möchten. Danach formen wir diese wahre Aussage mit einer Äquivalenzumformung um.
Dadurch erhalten wir eine neue Aussage. Diese neue Aussage ist wahr, denn die Aussage, mit der wir
begonnen haben ist wahr und jede Äquivalenzumformung verändert den Wahrheitswert bei der
Umformung nicht. Jedes Mal, wenn wir eine Äquivalenzumformung anwenden, erhalten wir eine neue,
wahre Aussage. All diese Aussagen notieren wir in einer Liste. Diese Liste nennen wir die Liste von wahren
Aussagen. Wir fahren so lange damit fort, bis wir die Aussage erhalten haben, welche wir beweisen
möchten. Diese Aussage befindet sich auch in der Liste aller wahren Aussagen und ist folglich wahr. Damit
haben wir unseren Beweis vollständig durchgeführt. Ein mathematischer Beweis enthält also eine Liste
von wahren Aussagen. Neben der Äquivalenzumformung gibt es auch die Implikationsumformung. Bei
einer Implikationsumformung wird zumindest nicht aus einer wahren Aussage eine falsche Aussage. Mit
diesem Umformungstyp können wir somit auch die Liste von wahren Aussagen vergrößern. Mit diesem
grundlegenden Beweisschema können wir alle Beweise in der Mathematik führen. Nun fahren wir fort
mit dem nächsten Kapitel:
2 Aussageformen
48
Aussageformen
2.1 Variablen definieren
Ein Beispiel für eine Variablendefinition lautet:
𝑥 ∈ ℝ:
Diese Variablendefinition bedeutet: Das Symbol 𝑥 verwenden wir als eine Variable und diese Variable ist
ein Platzhalter für alle reellen Zahlen. An der rechten Seite befindet sich ein Doppelpunkt. Weitere
Beispiele lauten:
𝑥 ∈ {10,20,30, … }:
𝑥 ∈ {2,4,6, … }:
In der Variablendefinition geben wir immer eine Menge an. Diese Menge enthält alle zulässigen
Variablenwerte. Es muss mindestens einen zulässigen Variablenwert geben.
A123 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑛 ∈ ℕ:
A124 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑛 ∉ ℕ:
A125 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑎 ∈ {0,1}:
A126 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑥 ∈ ∅:
A127 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑥 ∈ ]0, ∞[:
A128 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑘∈ℤ
A129 Ist der folgende Ausdruck eine Variablendefinition?
𝑘 ∈ ℤ ∖ {0}:
Aussageformen
Dieser Ausdruck ist eine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist keine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist eine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist keine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist eine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist keine Variablendefinition.
Dieser Ausdruck ist eine Variablendefinition.
49
…
Aussageformen
49
…
Jede mathematische Vorlesung ist aus Definitionen, Sätzen und Beweisen aufgebaut. Das ist
natürlich neu und hier werden Sie gezielt darauf vorbereitet.
Sie werden sich im Mathematikstudium schnell zurechtfinden: Dieses Workbook lehrt
wirkungsvolle Arbeitstechniken. Sie werden verstehen, wie Sie Ihre Übungsaufgaben effektiv
bearbeiten und wie Sie ein mathematisches Skript richtig lesen.
Sie werden sehr behutsam an die Mathematik herangeführt: Wie es für ein Workbook üblich
ist, beginnen wir mit einfachen Beispielen und erhöhen schrittweise den Schwierigkeitsgrad.
Sie erhalten eine direkte Rückmeldung, ob Sie alle Inhalte verstanden haben: Dieses
Workbook enthält viele Aufgaben. Die Lösung können Sie direkt unter die Aufgabenstellung
schreiben. Das dauert nur wenige Sekunden. Auf der gegenüberliegenden Seite können Sie
Ihre Lösung sofort kontrollieren.
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