Algebraische Geometrie 1

Algebraische Geometrie 1
Nils Romaker
21. März 2016
1
Inhaltsverzeichnis
1 Der Hilbert’sche Nullstellensatz
3
2 Das Tensorprodukt
8
3 Die Zariski-Topologie
10
3.1 Grundbegriffe der Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
n
3.2 Die Zariskitopologie auf k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Das Spektrum eines Ringes
12
5 Garben
16
5.1 Direkter Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Schemata
20
6.1 Projektive Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Unterschemata
25
7.1 Reduzierte Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8 Das Faserprodukt
28
9 Separierte Morphismen
32
10 Endlichkeitseigenschaften von Morphismen
35
11 Eigentliche Morphismen
37
12 Dimension
39
2
1
Der Hilbert’sche Nullstellensatz
In diesem Kapitel seien fortan alle Ringe mit 1. Wir möchten mit einem Einstieg in die
kommutative Algebra beginnen, das heißt mit der Ideal-Theorie von kommutativen Ringen
mit 1, wie etwa der Polynomring k[T1 , ..., Tn ] in n Unbestimmten über einem Körper k.
Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems der Form
f1 (T1 , ..., Tn ) = 0
..
.
fm (T1 , ..., Tn ) = 0
ist eine Teilmenge des k n , wenn f1 , ..., fn ∈ k[T1 , ..., Tn ] gilt und wird als algebraische
Varietät bezeichnet.
Sei k ein Körper und f1 , ..., fm ∈ k[T1 , ..., Tn ] Polynome in n Unbestimmten. Sei weiter
a = (f1 , ..., fm ) das von den fi in k[T1 , ..., Tn ] erzeugte Ideal, d.h.
{ n
}
∑
a=
gi fi : gi ∈ k[T1 , ..., Tn ] .
i=1
Weiter sei
V (f1 , ..., fm ) = {a = (a1 , ..., an ) ∈ k n : fi (a) = 0 ∀1 ≤ i ≤ m}.
Wir werden im Laufe dieses Kapitels zeige, dass für algebraisch abgeschlossene Körper
folgene Beziehung gilt:
1:1
V (f1 , ..., fm ) ←→ { maximale Ideale von k[T1 , ..., Tn ]/a}.
Satz 1.1 (Hilbert’scher Nullstellensatz). Seo k algebraisch abgeschlossen. Dann sind
die maximalen Ideale von k[T1 , ..., Tn ] von der Form
(T1 − a1 , ..., Tn − an )
mit a1 , ..., an ∈ k
Notation. Für einen Ring R bezeichnen wir mit Max(R) die Menge der maximalen Ideale
von R.
Korollar 1.2. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien f1 , ..., fm ∈ k[T1 , ...Tn ]
Polynome. Es sei a = (f1 , ..., fm ) das von den Polynomen in k[T1 , ..., Tn ] erzeugte Ideal.
Dann ist die Abbildung
V (f1 , ..., fn ) −→ Max(k[T1 , ..., Tn ]/a)
(a1 , ..., an ) 7−→ (T1 − a1 , ..., Tn − an )/a
eine Bijektion.
3
Lemma 1.3. Sei k ein Körper, a = (a1 , ..., an ) ∈ k n und φa : k[T1 , ..., Tn ] → K mit
φa (f ) = f (a1 , ..., an ) der Einsetzungshomomorphismus. Dann ist
ker(φa ) = (T1 − a1 , ..., Tn − an )
und insbesondere ist (T1 − a1 , ..., Tn − an ) ein maximales Ideal von k[T1 , ..., Tn ].
Beweis. Da φa (Ti − ai ) = ai − ai = 0 für 1 ≤ i ≤ n, so ist (T1 − a1 , ..., Tn − an ) ∈ ker(φa )
klar. Sei nun f ∈ k[T1 , ..., Tn ] ein Polynom, so ist
f (T1 , ..., Tn ) ≡ f (a1 , ..., an ) mod (T1 − a1 , ..., Tn − an ).
Es ist φa (f ) = f (a1 , ..., an ) und somit ist f ∈ ker(φa ), genau dann wenn f (a1 , ..., an ) =
0, also gerade wenn f ∈ (T1 − a1 , ..., Tn − an ). Damit folgt die andere Inklusion. Die
Maximalität von (T1 − a1 , ..., Tn − an ) folgt dann mit
k[T1 , ..., Tn ]/(T1 − a1 , ..., Tn − an ) ≃ k.
Beweis von 1.1⇒1.2. Setze a = (T1 − a1 , ..., Tn − an ) und betrachte die Abbildung
Max(k[T1 , ..., Tn ]/a) −→ {m : m ∈ Max(k[T1 , ..., Tn ]), m ⊇ a}
e 7−→ p−1 (m)
e
m
wobei p : k[T1 , ..., Tn ] → k[T1 , ..., Tn ]/a die kanonische Projektion ist. Nach 1.1 und Lemma
1.3 ist ein m ∈ Max(k[T1 , ..., Tn ]) von der Form m = (T1 − a1 , ..., Tn − an ) = ker(φa ) für ein
gewisses a ∈ k n . Dann ist aber a ⊆ m, genau dann wenn (f1 , ..., fm ) ∈ ker(φa ), also genau
dann wenn fi (a1 , ..., an ) = 0 für 1 ≤ i ≤ m und somit genau dann wenn a ∈ V (f1 , ..., fm ).
Satz 1.4 (Hilbert’scher Nullstellensatz, 2. Version). Sei K ein beliebiger Körper
und a ⊊ K[T1 , ..., Tn ] ein echtes Ideal und sei R = K[T1 , ..., Tn ]/a der Quotientenring. Ist
m ⊂ R ein maximales Ideal, so ist L = R/m eine endliche Erweiterung von K.
Beweis 1.4⇒1.1. Sei K algebraisch abgeschlossen und a = (0). Sei weiter m ⊂ K[T1 , ..., Tn ]
maximal, dann ist zu zeigen, dass m = ker(φa ) für ein a ∈ K n ist. Nach 1.4 ist L/K endliche Erweiterung. Die Abbildung
p
ψ : K −→ K[T1 , ..., Tn ] −→ L
x 7→ x + m
ist dann ein Isomorphismus. Definiere eine Abbildung
φ : K[T1 , ..., Tn ] −→ K
via φ = ψ −1 ◦ p, wobei p : K[T1 , ..., Tn ] → L wieder die kanonische Projektion ist. Setze
1.4
dann a = (φ(T1 , ..., Tn ) ∈ K n , dann ist φ = φa und (T1 − a1 , ..., Tn − an ) = ker φ = m.
Definition 1.1. Es seien R ⊆ S zwei Ringe.
4
1. Eine R-Algebra ist ein Ring A zusammen mit einem Ringhomomorphismus R → A.
Durch die Einbettung R ,→ S wird S zu einer R-Algebra.
2. Seien s1 , ..., sn ∈ S. Setze dann
∩
R[s1 , ..., sn ] =
S ′ = {f (s1 , ..., sn ) : f ∈ R[T1 , ..., Tn ]}.
R⊆S ′ ⊆S
s1 ,...,sn ∈S ′
R[s1 , ..., sn ] heißt die von s1 , ...sn erzeugte R-Unteralgebra von S.
3. Man nennt S eine endlich erzeugte R-Algebra, wenn es s1 , ..., sn ∈ S gibt, sodass
S = R[s1 , ..., sn ]. Äquivalent dazu ist, dass S ≃ R[T1 , ..., Tn ]/a für ein Ideal a von
R[T1 , ..., Tn ].
∑
4. S ist als R-Modul endlich erzeugt, wenn es s1 , ..., sn ∈ S gibt mit S = ni=1 si Ri .
Bemerkung. Für Ringe sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Es gibt s1 , ..., sn ∈ S, sodass S = R[s1 , ..., sn ].
(ii) Es gibt eine Surjektion von R-Algebren R[T1 , ..., Tn ] ↠ S.
Lemma 1.5 (Artin-Tate). Seien A ⊆ B ⊆ C Ringe und es gelte
1. A ist Noethersch.
2. C ist endlich erzeugte A-Algebra.
3. C ist endlich erzeugter B-Modul.
Dann ist B eine endlich erzeugte A-Algebra.
Beweis. C ist endlich erzeugte A-Algebra, dann gibt es c1 , ..., cn ∈ C, sodass C =
A[c1 , ..., cn ] und
ist, gibt es ebenso c′1 , ..., c′m ∈ C;
∑n da′ C ein endlich erzeugter B-Modul
′
sodass C = i=1 ci B. OE gelte n ≤ m und c1 = c1 , ..., cn = c′n . Dann ist
c′i · c′j =
m
∑
bk (ij)c′k
i=1
Für geeignete Elemente bk (ij) ∈ B abhängig von c′i , c′j . Wir setzen B ′ = A[bk (ij) : i, j, k ∈
{1, ..., n}].
∑
′
′ ′
C ist klar. Betrachte dann
Dann ist aber C ′ := m
i=1 ci B = C. Die Inklusion C ⊆∑
m
′
′
′
′
′ ′
C ⊆ C und wähle c1 , ..., cn ∈ C . Es ist ci cj = ci cj =
k=1 bk (ij)ck ∈ C für alle
1 ≤ i, j ≤ n. Dann ist aber C = A[c1 , ..., cn ] ⊆ C ′ und C ist eine B ′ -Algebra.
Da B ′ ≃ A[T1 , ..., Tn ]/a für ein a ⊆ A[T1 , ..., Tn ] und B ′ nach dem Hilbertschen
Basis∑
′
b
B
. Es
satz Noethersch ist, muss B ein endlich erzeugter B ′ -Modul sein, also B = M
i=1 i
ist dann
B = B ′ [b1 , ..., bM ] = A[b1 , ..., bM , bk (ij) : i, j, k ∈ {1, ..., m}].
Also ist B eine endlich erzeugte A-Algebra.
5
Satz 1.6 (Hilbert’scher Nullstellensatz, Körperversion). Es sei L/K eine Körpererweiterung,
sodass L = K[l1 , ..., ln ] für gewisse l1 , ..., ln eine endlich erzeugte K-Algebra ist. Dann ist
L/K eine endliche Körpererweiterung.
Lemma 1.7. Es sei k ein Körper. Der rationale Funktionenkörper k(T ) = Quot(k[T ])
ist keine endlich erzeugte k-Algebra.
Beweis. Angenommen k(T ) ist endlich erzeugte k-Algebra, dann gibt es Q1 , Qr , P1 , ...., Pr ∈
r
1
k[T ], sodass k(T ) = k[ Q
, ..., Q
]. Weiter gibt es ein irreduzibles Polynom P ∈ k[T ]
P1
Pr
−1
r
1
mit P ∤ P1 · · · Pr . Dann ist P
∈
/ k[T ]. Angenommen P −1 ∈ k[ Q
], dann ist
, ..., Q
P1
Pr
Q1
Qr
−1
P
= f ( P1 , ..., Pr ) für ein gewisses f ∈ k[T1 , ..., Tn ]. Es gibt ein hinreichend großes
N ∈ N, sodass
spruch!
(P1 ···Pr )N
P
r
1
= f(Q
, ..., Q
)(P1 · · · Pr )N ∈ k[T ], aber dies ist ein WiderP1
Pr
Beweis von 1.6. Wir führen diesen Beweis via Induktion nach n
Korollar 1.8 (Hilbert’scher Nullstellensatz, 3. Version). Sei k algebraisch abgeschlossen und seien f1 , ..., fm ∈ k[X1 , ..., Xn ] mit m ≤ n. Das Gleichungssystem
f1 (X1 , ..., Xn ) = 0
..
.
fm (X1 , ..., Xn ) = 0
hat genau dann eine Lösung (x1 , ..., xn ) ∈ k n , wenn
∑m (f1 , ..., fm ) ̸= k[X1 , ..., Xn ], also wenn
es keine g1 , ..., gm ∈ k[X1 , ..., Xn ] gibt mit 1 = i=1 gi fi .
Definition 1.2. Es sei k ein Körper.
(a) Für ein Ideal a ⊆ k[X1 , ..., Xn ] definieren wir die Nullstellenmenge von a als
V (a) := {a ∈ k n : f (a) = 0 für alle f ∈ a}.
(b) Für eine Teilmenge M ⊆ k n definieren wir das Verschwindungsideal von M als
I(M ) := {f ∈ k[X1 , ..., Xn ] : f (a) = 0 für alle a ∈ M }.
(c) Eine Teilmenge M ⊆ k n heißt algebraisch, wenn es ein Ideal a ⊆ k[X1 , ..., Xn ] gibt,
sodass M = V (a).
Bemerkung. Eine Teilmenge M ⊆ k n ist genau dann algebraisch, wenn es f1 , ..., fm ∈
k[X1 , ..., Xn ] gibt, sodass M = V (f1 , ..., fm ). Dies folgt aus dem Hilbert’schen Basissatz.
Definition 1.3. Sei R ein Ring.
(a) Sei a ⊆ R ein Ideal. Dann definieren wir das Radikal von a als
√
a := {f ∈ R : ∃n ∈ N mit f n ∈ a}.
6
√
(0) das Nilradikal von R.
√
(c) Ein Ideal a ⊆ R heißt Radikalideal, falls a = a.
(b) Im Spezialfall a = (0) heißt rad R =
Bemerkung. (a) Ist a ⊆ R ein Ideal, so ist auch
√
√
(b) Gilt a ⊆ b, so ist a ⊆ b.
√√
√
(c) Es gilt
a = a.
√
(d) Es gilt rad R/a = a/a.
√
(e) Für alle Primideale p gilt p = p.
Lemma 1.9. Es sei M ⊆ k n , dann gilt
√
√
a ein Ideal.
I(M ) = I(M ).
Definition 1.4. Ein Ring R heißt reduziert, wenn rad R = (0).
Lemma 1.10. Für ein Ideal a ⊆ R sind äquivalent:
(i) a ist ein Radikalideal.
(ii) R/a ist reduziert.
Satz 1.11 (Hilbert’scher Nullstellensatz, 4. Version). Sei
√ k ein algebraisch abgeschlossener Körper und a ⊆ k[X1 , ..., Xn ] ein Ideal. Dann gilt a = I(V (a)).
Korollar 1.12. Sei k algebraisch abgeschlossen. Dann sind die Abbildungen
M 7→I(M )
)
{a ⊆ k[X1 , ..., Xn ] :
{M ⊆ k n : M algebraisch}
i
a7→V (a)
zueinander inverse Bijektionen.
7
√
a = a}
2
Das Tensorprodukt
Definition 2.1. Es sei R ein Ring und seien M, N und P R-Moduln.
(a) Eine Abbildung ψ : M × N → P heißt R-bilinear,wenn gilt
(a) ψ(m1 + m2 , n) = ψ(m1 , n) + ψ(m2 , n) für alle m1 , m2 ∈ M und n ∈ N .
(b) ψ(m, n1 + n2 ) = ψ(m, n1 ) + ψ(m, n2 ) für alle m ∈ M und n1 , n2 ∈ N .
(c) ψ(am, n) = aψ(m, n) = ψ(m, an) für alle a ∈ R, m ∈ M und n ∈ N .
(b) Man nennt ein Paar (Q, φ) bestehend aus einem R-Modul Q und einer R-bilinearen
Abbildung φ : M × N → Q das Tensorprodukt von M und N , wenn es folgende universelle Eigenschaft erfüllt: Für alle (P, ψ) bestehend aus einem R-Modul P
und einer R-bilinearen Abbildung ψ : M × N → P , gibt es einen eindeutigen RModulhomomorphismus ψe : Q → P , sodass folgendes Diagramm kommutiert:
φ
M ×N
HH
HH
HH
ψ HHH
#
P
/Q


 e

ψ

Satz 2.1 (Existenz des Tensorproduktes). Es seien M, N zwei R-Moduln. Dann existiert das Tensorprodukt von M und N und ist bis auf Isomorphie eindeutig.
Notation. Für das Tensorprodukt von M und N über R schreibt man M ⊗R N . Die
zugehörige R-bilineare Abbildung ist
M × N −→ M ⊗R N
(m, n) 7−→ m ⊗ n
wobei folgende Rechenregeln gelten:
1. (m1 + m2 ) ⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n für alle m1 , m2 ∈ M und n ∈ N .
2. m ⊗ (n1 + n2 ) = m ⊗ n1 + m ⊗ n2 für alle m ∈ M und n1 , n2 ∈ N .
3. (am) ⊗ n = a(m ⊗ n) = m ⊗ (an) für alle m ∈ M, n ∈ N und a ∈ R.
Lemma 2.2. Seien M, N und P R-Moduln. Dann gibt es kanonische Isomorphismen
(a) R ⊗R M ≃ M .
(b) M ⊗R N ≃ N ⊗R M .
(c) M ⊗R (N ⊗R P ) ≃ (M ⊗R N ) ⊗R P .
(d) (M ⊕ N ) ⊗R P ≃ (M ⊗R P ) ⊕ (N ⊗R P ).
Lemma und Definition 2.3. Seien f : M1 → M2 und g : N1 → N2 R-Modulhomomorphismen.
Dann gilt es einen eindeutigen R-Modulhomomorphismus
f ⊗ g : M1 ⊗R N1 −→ M2 ⊗R N2
m ⊗ n 7−→ f (m) ⊗ g(n).
8
Satz 2.4. Es seien M, N, P R-Moduln. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
HomR (M, HomR (N, P )) ≃ HomR (M ⊗R N, P ).
Lemma 2.5. Sei M ein R-Modul und A eine R-Algebra. Dann gibt es eine eindeutige
A-Modulstruktur auf A ⊗R M , sodass a(b ⊗ m) = (ab) ⊗ m für alle a, b ∈ A und m ∈ M .
Satz 2.6. Seien φ : A → B und ψ : A → C Ringhomomorphismen. Dann hat B ⊗A C
eine eindeutige A-Algebrenstruktur, sodass für alle b, b′ ∈ B und c, c′ ∈ C gilt:
(b ⊗ c)(b′ ⊗ c′ ) = bb′ ⊗ cc′ .
Satz 2.7. (a) Die Abbildungen iB : B → B ⊗A C und iC : C → B ⊗A C gegeben durch
iB (b) = b ⊗ 1 und iC (c) = 1 ⊗ c sind Ringhomomorphismen und das Diagramm
φ
A
ψ
/B
iB
C
iC
/ B ⊗A C
kommutiert.
(b) (Universelle Eigenschaft): Ist
φ
A
ψ
/B
C
λ
/R
µ
ein kommutatives Diagramm von Ringhomomorphismen, so gibt es einen eindeutigen
Ringhomomorphismus (λ, µ) : B ⊗A C → R, sodass
φ
A
ψ
C
/B
iC
iB
/ B ⊗A C
HH
HH(λ,µ)
HH
HH
H$
kommutiert.
9
R
3
Die Zariski-Topologie
3.1
Grundbegriffe der Topologie
Sei X eine Menge. Eine Topologie X auf X ist eine Menge von Teilmengen von X, sodass
folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. X, ∅ ∈ X.
2. Sind U, V ∈ X, so auch U ∩ V ∈ X.
3. Ist {Ui }i∈I eine Familie in X, dann ist auch
∪
i∈I
Ui ∈ X.
Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Topologie X auf X. Eine
Teilmenge U ⊆ X heißt offen, wenn U ∈ X.
Eine Menge A ⊆ X heißt genau dann abgeschlossen, wenn X \ A offen ist. Dann gilt
1. ∅, X sind abgeschlossen.
2. Sind A, B ⊆ X abgeschlossen, so ist auch A ∪ B abgeschlossen.
3. Ist {Ai }i∈I eine Familie von abgeschlossenen Teilmengen von X, so ist auch
abgeschlossen.
∩
i∈I
Ai
Wir definieren den Abschluss einer Menge Y ⊆ X als
∩
A.
Y :=
A⊆X abg.
Y ⊆A
Es sei x ∈ X und U ⊆ X mit x ∈ U . Dann heißt U genau dann eine Umgebung von x,
wenn es eine offene Teilmenge V ⊆ X gibt, sodass x ∈ V und V ⊆ U . Eine Menge ist
genau dann offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
X heißt Hausdorffsch, genau dann wenn für alle Punkte x, y ∈ X Umgebungen U und
V von x bzw. y existieren, sodass U ∩ V = ∅.
Eine Abbildung f : X → Y heißt genau dann stetig, wenn die folgenden äquivalenten
Bedingungen gelten:
(i) f −1 (U ) ist offen in X für alle offenen U ⊆ Y .
(ii) f −1 (V ) ist abgeschlossen in X für alle abgeschlossenen V ⊆ Y .
Sei (X, X) ein topologischer Raum. Eine Menge B ⊆ X von offenen Mengen heißt Basis
der Topologie X, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
∪
(i) Für alle U ⊆ X offen gibt es eine Familie {Vi }i∈I in B, sodass U = i∈I Vi gilt.
(ii) Für alle offenen Mengen U ⊆ X und x ∈ U gibt es ein V ∈ B, sodass x ∈ V ⊆ U .
Ein topologischer Raum X heißt quasi-kompakt, wenn es∪für alle offenen Überdeckungen
{Ui }i∈I eine endliche Teilmenge J ⊆ I gibt, sodass X = j∈J Uj .
Ein Raum heißt kompakt, wenn er quasi-kompakt und Hausdorffsch ist.
10
Satz
(Tychonov). Es sei {Xi }i∈I eine Familie von topologischen Räumen und sei X :=
∏
X
i versehen mit der Produkttopologie. Dann ist X genau dann quasi-kompakt, wenn
i∈I
die Xi für alle i ∈ I kompakt sind.
Sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge. Dann ist U ⊆ Y offen,
genau dann wenn es eine offene Menge U ′ ⊆ X gibt mit U = Y ∩ U ′ . Dies liefert eine
Unterraumtopologie auf Y .
3.2
Die Zariskitopologie auf k
n
Lemma 3.1. Sei R = k[X1 , ..., Xn ], wobei k ein algebraisch abgeschlossener Körper ist.
Dann gilt
(a) V (R) = ∅ und V ((0)) = k n .
(b) Seien a, b ⊆ R Ideale. Dann gilt V (a) ∪ V (b) = V (ab) = V (a ∩ b).
∩
∑
(c) Sei {ai }i∈I eine Familie von Idealen von R. Dann gilt i∈I V (ai ) = V ( i∈I ai ).
Definition 3.1. Die Zariskitopologie auf k n ist die eindeutig bestimmte Topologie, deren
abgeschlossene Mengen algebraische Mengen, also gerade Mengen von der Form V (a) für
ein Ideal a ⊆ R sind.
Eine Menge U ⊆ k n heißt offen, genau dann wenn k n \ U abgeschlossen ist, also
U = k n \ V (a) für ein a ⊆ R gilt.
Bemerkung. Es sei f ∈ R, dann definieren wir D(f ) := {a ∈ k n : f (a) ̸= 0}. Die Menge
B = {D(f ) : f ∈ R} bildet eine Basis der Zariskitopologie.
Satz 3.2. Für jede Teilmenge M ⊆ k n gilt M = V (I(M )).
Bemerkung. (a) Ist U ⊆ k n offen, so ist U = k n \V (a) =
a.
∪m
i=1
D(fi ), wobei (f1 , ..., fm ) =
(b) Der k n mit der Zariskitopologie ist quasi-kompakt.
(c) Der Schnitt zweier nicht-leerer, offener Mengen im k n ist nicht leer, insbesondere ist
der k n mit der Zariskitopologie nicht Hausdorffsch.
Sei Y ⊆ k n eine abgeschlossene Teilmenge, das heißt Y = V (a). Die Unterraumtopologie
auf Y heißt ebenfalls Zariskitopologie. Es gilt V (a)∩V (b) = V (a+b). Sei nun π : R → R/a
die kanonische Projektion, dann definiert die Abbildung b 7→ V (π −1 (b)) eine Bijektion
zwischen den Radikalidealen von R/a und den abgeschlossenen Teilmengen von Y .
11
4
Das Spektrum eines Ringes
Definition 4.1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die Menge
Spec R := {p ⊆ R : p ist ein Primideal}
wird als Spektrum von R bezeichnet.
Definition 4.2. Für ein Ideal a ⊆ R setzen wir
V (a) = {p ∈ Spec R : a ⊆ p}
und für f ∈ R sei
D(f ) = {p ∈ Spec R : f ∈
/ p} = Spec R \ V ((f )).
Lemma 4.1. Sei R ein Ring, dann gilt:
(a) V ((0)) = Spec R und V (R) = ∅.
(b) Sind a, b ⊆ R Ideale, so ist V (a) ∪ V (b) = V (ab) = V (a ∩ b).
∩
∑
(c) Ist {ai }i∈I eine Familie von Idealen von R, so gilt i∈I V (ai ) = V ( i∈I ai ).
Definition 4.3. Für jeden Ring R gibt es genau eine Topologie auf Spec R, deren zugehörige abgeschlossene Mengen V (a) für ein Ideal a ⊆ R sind. Diese Topologie heißt
dann die Zariskitopologie von Spec R.
Lemma 4.2. Die Mengen D(f ) mit f ∈ R bilden eine Basis der Zariskitopologie. Sie
werden standard-offene Mengen genannt.
Bemerkung. (a) Spec R zusammen mit der Zariskitopologie ist immer quasi-kompakt.
(b) Sei k = k, dann ist die Abbbildnung ψ : k n → Max(k[X1 , ..., Xn ] ein Homöomorphismus.
(c) Für p ∈ Spec R gilt {p} = V (p). Insbesondere ist p ein abgeschlossener Punkt, also
{p} ist abgeschlossen, genau dann wenn p = V (p) ist. Dies ist aber genau dann der
Fall, wenn p ein maximales Ideal ist.
Lokalisierung Sei R ein Ring und S ⊆ R. Dann heißt S eine multiplikative Teilmenge,
wenn 1 ∈ S, 0 ∈
/ S und für alle s1 , s2 ∈ S auch s1 s2 ∈ S. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation
auf R × S mit (a, s) ∼ (b, t), genau dann wenn es ein s′ ∈ S gibt, sodass ats′ = bss′ . Dann
definieren wir die Lokalisierung von R an S als R × S/ ∼ und schreiben dafür S −1 R. Eine
, sowie as · bt = ab
.
Äquivalenzklasse [(a, s)]∼ definieren wir als as und es gilt as + bt = at+bs
st
st
r
−1
Der Ring R hat durch r 7→ 1 eine eindeutige Einbettung R → S R.
Satz 4.3. Es sei R ein Ring. Dann gilt:
∩
(a) rad
∩ R = p∈Spec R p (Abstrakter Nullstellensatz). Ist R = k[X1 , ..., Xn ]/a, so ist rad R =
m∈Max R m.
12
(b) Für ein Ideal a ⊆ R gilt
∩
√
a = p∈V (a) p.
(c) Seien a, b ⊆ R Ideale, dann gilt V (a) ⊆ V (b) genau dann, wenn b ⊆
√
a.
(d) Die Zuordnung a 7→ V (a) liefert eine Bijektion zwischen den Radikalidealen von R
und den abgeschlossenen Teilmengen von Spec R.
Lemma und Definition 4.4. Sei φ : A → R ein Ringhomomorphismus. Dann induziert
φ eine stetige Abbildung a φ : Spec R → Spec A via p 7→ φ−1 (p).
Bemerkung. Im Allgemeinen wird Max B von a φ nicht auf Max A abgebildet.
Satz 4.5. Sei R ein Ring, a ⊆ R ein Ideal und π : R → R/a die kanonische Projektion.
Dann ist die Abbildung
a
π : Spec R/a −→ Spec R
injektiv mit im(a π) = V (a). Die so induzierte Bijektion a π : Spec R/a → V (a) ist ein
Homöomorphismus.
Satz 4.6. Sei S ⊆ R multiplikativ. Der Ringhomomorphismus φ : R → S −1 R induziert
einen Homöomorphismus
a
φ : Spec S −1 R → {p ∈ Spec R : p ∩ S = ∅},
wobei {p ∈ Spec R : p ∩ S = ∅} mit der Unterraumtopologie versehen ist. Die Umkehrabbildung ist durch p 7→ S −1 p = { as : a ∈ p, s ∈ S} gegeben.
Für ein nicht nilpotentes Element f ∈ R setzen wir Sf = {f n : n ∈ N0 , f 0 := 1} und
schreiben Rf anstelle von Sf−1 R.
Korollar 4.7. Für f ∈ R, f nicht nilpotent, induziert φ : R → Rf einen Homöomorphismus
a
φ : Spec Rf −→ D(f ).
Die zugehörige Umkehrabbildung ist p 7→ pRf .
Sei p ∈ Spec R und setze S = R \ p. Dann schreiben wir Rp anstelle von S −1 R. Der Ring
Rp ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal mp = pRp und es gilt Rp /mp = Quot(R/p).
Korollar 4.8. Die kanonische Abbildung R → Rp induziert einen Homöomorphismus
Spec Rp −→ {q ∈ Spec R : q ⊆ p}.
Für eine stetige Abbildung f : X → Y und ein y ∈ Y heißt der Unterraum f −1 (y) =
{x ∈ X : f (x) = y} ⊆ X mit der Unterraumtopologie die Faser von f über y.
Korollar 4.9. Sei φ : A → B ein Ringhomomorphismus und sei p ∈ Spec A. Dann gibt
es einen Homöomorphismus
(a φ)({p}) −→ Spec B ⊗A k(p),
wobei k(p) = Quot(A/p) durch A → A/p → k(p) ein A-Modul ist.
13
Lemma 4.10. Sei R ein Ring, M ein R-Modul und a ⊆ R ein Ideal. Sei weiter
{
}
∑
aM :=
ai mi : ai ∈ a, mi ∈ M, |I| < ∞ .
i∈I
Dann ist aM ein Untermodul von M . Weiter ist M/aM ein R/a-Modul und es gibt einen
Isomorphismus R/a ⊗R M ≃ M/aM .
Korollar 4.11. Sei A → B ein Ringhomomorphismus und a ⊆ A ein Ideal. Dann gilt
A/a ⊗A B ≃ B/aB.
Bemerkung. Sei R ein Ring, M ein R-Modul und S ⊆ R multiplikativ. Definieren
S −1 M := M × S/ ∼, wobei (m1 , s1 ) ∼ (m2 , s2 ), genau dann wenn es ein s3 ∈ S gibt,
sodass s3 s2 m1 = s3 s1 m2 . Man schreibt ms := [(m, s)]. Dann ist S −1 M ein S −1 R-Modul.
Lemma 4.12. Es gibt einen kanonischen Isomorphismus von S −1 R-Moduln
S −1 R ⊗R M ≃ S −1 M.
Insbesondere gilt für eine R-Algebra A dann S −1 A ≃ S −1 R ⊗R A.
Lemma 4.13. Es sei M ein R-Modul und seien R → B → C Ringhomomorphismen.
Dann gibt es einen Isomorphimsus
C ⊗R M ≃ C ⊗B (B ⊗R M ).
Insbesondere gilt für eine R-Algebra A dann C ⊗R A ≃ C ⊗B (B ⊗R A).
Definition 4.4. Sei X ein topologischer Raum. Dann heißt X irreduzibel, wenn folgende
äquivalente Bedingungen gelten:
(i) Für alle abgeschlossenen Mengen A, B ⊆ X mit X = A ∪ B gilt: X = A oder
X = B.
(ii) Je zwei offene, nicht-leere Teilmengen von X haben einen nicht-leeren Schnitt.
Satz 4.14. Sei R ein Ring, dann sind äquivalent:
(i) Spec R ist irreduzibel.
(ii) rad R ist ein Primideal.
Insbesondere ist Spec R für einen Integritätsbereich R irreduzibel.
Definition 4.5. Sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge. Dann ist Y
irreduzibel, wenn Y mit der Unterraumtopologie ein irreduzibler topologischer Raum ist.
Eine maximal irreduzible Teilmenge heißt irreduzible Komponente von X.
Lemma 4.15. Es sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X. Dann ist der Abschluss Y
irreduzibel, wenn Y irreduzibel ist.
14
Definition 4.6. Sei R ein Ring. Ein Primideal p ∈ Spec R heißt minimal, wenn für alle
q ∈ Spec R mit q ⊆ p bereits q = p gilt.
Satz 4.16. Sei R ein Ring. Es gilt:
(a) Für ein Ideal a ⊆ R ist V (a) genau dann irreduzibel, wenn
√
a ein Primideal ist.
(b) Die irreduziblen Komponenten von Spec R entsprechen den minimalen Primidealen
von R
Korollar 4.17. Es sei R ein Ring, dann enthält jedes Primideal von R ein minimales
Primideal.
Definition 4.7. Man nennt einen topologischen Raum Noethersch, wenn jede absteigende
Folge von abgeschlossenen Teilmengen
A0 ⊇ A1 ⊇ ... ⊇ An ⊇ ...
stationär wird. Das bedeutet es gibt ein N ∈ N, sodass für alle n ≥ N gilt An = An+1 .
Äquivalent dazu besitzt jede nicht-leere Menge von Idealen eine minimales Element.
Satz 4.18. Ein noetherscher topologischer Raum besitzt nur endlich viele irreduzible Komponenten.
Satz 4.19. Ist R ein noetherscher topologischer Raum, so ist Spec R ein Noetherscher
topologischer Raum.
Korollar 4.20. Sei R ein Noetherscher Ring, dann gilt:
(a) R besitzt nur endlich viele minimale Primideale.
(b) Ist a ⊆ R ein Ideal, so hat V (a) = Spec R/a nur endlich viele minimale Primideale.
15
5
Garben
Definition 5.1. Es sei X ein topologischer Raum.
(a) Eine Prägarbe F von abelschen Gruppen (bzw. Ringen, R-Moduln) ist eine Zuordnung, die jeder offenen Menge U ⊆ X eine abelsche Gruppe F(U ) und zwei offenen
Mengen V ⊆ U einen Morphismus resU,V : F(U ) → F (V ) zuordnet, sodass folgende
Eigenschaften erfüllt sind:
1. F(∅) = 0.
2. Es gilt resU,U = idF(U ) : F(U ) → F(U ).
3. Für offene Mengen W ⊆ V ⊆ U ⊆ X, dann ist
resU,V
resV,W
resW,U : F(U ) −−−→ F (V ) −−−−→ F(W )
Die Abbildung resU,V wird als Restriktion bezeichnet. Man schreibt für ein x ∈ F (U )
kurz x|V anstelle von resU,V (x). Die Elemente von F(U ) heißen Schnitte von F über
U.
(b) Eine Prägarbe F heißt Garbe, falls für alle offenen Teilmengen U ⊆ X und alle
offenen Überdeckungen {Ui }i∈I von U gilt
4. Für alle s, t ∈ F(U ) mit s|Ui = t|Ui für alle i ∈ I gilt s = t.
∏
5. Ist (si )i∈I i∈I F(Ui ) mit si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj für alle i, j ∈ I, so gibt es ein
s ∈ F (U ), sodass s|Ui = si für alle i ∈ I.
Bemerkung. Es sei F eine Prägarbe auf X und U ⊆ X offen. Dann gibt es eine Sequenz
s7→(s|U )i∈I
0 −→ F (U ) −−−−−i−−→
∏
(si )i∈I 7→(si |Ui ∩Uj −sj |Ui ∩Uj )i,j∈I
F(Ui ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
∏
F(Ui ∩ Uj ).
i,j∈I
i∈I
Die Sequenz ist genau dann exakt, wenn F eine Garbe ist.
Sei X ein topologischer Raum mit einer Basis B der Topologie auf X. Dann heißt
F eine B-(Prä)garbe, wenn für F die (Prä)garbenaxiome für alle offenen Mengen aus B
gelten.
Lemma 5.1. Jede B-Garbe F0 setzt sich eindeutig zu einer Garbe F auf X fort.
Definition 5.2. Sei F eine Prägarbe auf X. Wähle ein x ∈ X und betrachte Schnitte auf einer offenen Umgebung von x. Wir wollen eine Äquivalenzrelation ∼x auf offenen Umgebungen von x definieren. Seien U, V ⊆ X offene Umgebungen von x und
sind s ∈ F(U ) und t ∈ F (V ) Schnitte, dann definieren wir s ∼x t, genau dann wenn
es eine offene Umgebung W ⊆ U ∩ V von x gibt, sodass s|W = t|W . Die Menge der
Äquivalenzklassen von ∼x bezeichnen wir mit Fx . Diese Menge heißt der Halm von F an
x. Für eine Äquivalenzklasse [(U, s)]∼x schreiben wir kurz sx .
Lemma 5.2. Sei F eine Garbe auf X und U ⊆ X eine offene Menge. Dann sind zwei
Schnitte s, t ∈ F (U ) gleich, wenn sx = tx für alle x ∈ U .
16
Definition 5.3. Sind F, G Prägarben von abelschen Gruppen auf einem topologischen
Raum X. Ein Homomorphismus φ : F → G besteht aus Homomorphismen φ(U ) :
F(U ) → G(U ) für alle offenen Mengen U ⊆ X, sodass das Diagramm
F(U )
resU,V
φ(U )
F(V )
/ G(U )
φ(V )
resU,V
/ G(V )
kommutiert.
Ein Morphismus von Prägarben injektiv (bzw surjektiv, bijektiv), wenn φ(U ) injektiv
(bzw surjektiv, bijektiv) für alle offenen Mengen U ⊆ X ist. Ein Morphismus φ : F →
G liefert durch [(U, s)]∼x 7→ [(U, φ(U )(s)]∼x einen Morphismus φx : Fx → Gx auf den
Halmen.
Eine Sequenz F → G → H von Prägarben heißt exakt, wenn F(U ) → G(U ) → H(U )
für alle offenen U ⊆ X exakt ist.
Satz 5.3. Sei φ : F → G ein Morphismus von Garben. Dann ist φ ein Isomorphismus,
genau dann wenn φx für alle x ∈ X ein Isomorphismus ist.
Definition 5.4. Sei φ : F → G ein Homomorphismus von Garben. Dann ist φ injektiv
(bzw. surjektiv, bijektiv), genau dann wenn φx injektiv (bzw surjektiv, bijektiv) für alle
x ∈ X ist.
Eine Sequenz F → G → H von Garben auf X ist exakt, wenn Fx → Gx → Hx exakt
ist für alle x ∈ X. Wir schreiben Hom(G, F) := {φ : φ : F → G}
Bemerkung. Sind F, G Garben auf X und φ ∈ Hom(F, G). Dann ist φ genau dann ein
Garbenmonomorphismus (Garbenisomorphismus), wenn φ ein Prägarbenmonomorphismus
(Prägarbenisomorphismus). Es gilt zwar, dass wenn φ ein Prägarbenepimorphismus ist,
dann auch ein Garbenepimorphismus, jedoch gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht.
5.1
Direkter Limes
Sei (I, ≤) induktiv geordnet, das heißt ≤ ist eine partielle Ordnung auf I und für i, j ∈ I
gibt es ein k ∈ I, sodass i ≤ k, j ≤ k.
Ein induktives System von abelschen Gruppen (Ai , αij ) besteht aus abelschen Gruppen
Ai für alle i ∈ I und Homomorphismen αij : Ai → Aj für alle i ≤ j, sodass folgende
Eigenschaften erfüllt sind:
1. αii = idAi für alle i ∈ I.
2. αjk ◦ αij = αik für alls i ≤ j ≤ k.
Es sei
A=
⊕
Ai /R
i∈I
wobei R eine Untergruppe erzeugt von Elementen der Form αij (ai ) − ai mit ai ∈ Ai für
alle
⊕ i ≤ j ist. Eine abelsche Gruppe A zusammen mit einem Homomorphismus Ai → A →
i∈I Ai /R für alle i heißt direkter oder induktiver Limes.
ERGÄNZEN
17
Satz 5.4. Der direkte Limes eines induktiven Systems existiert und ist bis auf Isomorphie
eindeutig. Wir schreiben dann für den direkten Limes des induktiven Systems (Ai , αij ) kurz
limi∈I Ai .
−→
(fi )i∈I
(gi )i∈I
Lemma 5.5. Seien (Ai )i∈I −−−−→ (Bi )i∈I −−−−→ (Ci )i∈I eine exakte Sequenz von Systefi
gi
men, das heißt für alle i ∈ I ist Ai −
→ Bi −
→ Ci eine exakte Sequenz. Dann ist
lim
f
lim
g
i
i
i∈I
i∈I
−
→
−
→
lim Ai −
−−−−→ lim Bi −
−−−−→ lim Ci
−→
−→
−→
i∈I
i∈I
i∈I
eine exakte Sequenz.
Bemerkung. Es sei X ein topolischer Raum mit einer Garbe F auf X und sei x ∈ X
ein Punkt. Dann gilt:
Fx =
lim
F(U ).
−→
U ⊆X
U offene Umgebung von x
Ist Ux die Menge aller offenen Umgebungen von X so ist durch Inklusion eine partielle
Ordnung auf Ux gegeben. Dann wird durch die Restriktionen (F(U ), resU,V ) ein induktives
System gegeben.
f
g
Korollar 5.6. Sei F −
→G−
→ H eine exakte Sequenz von Prägarben auf X, dann ist die
fx
gx
Sequenz Fx −→ Gx −→ Hx exakt für alle x ∈ X.
Definition 5.5. Sei X ein topologischer Raum mit einer Prägarbe F auf X. Eine Garbe
F + zusammen mit einem Morphismus i : F → F + heißt Garbifizierung von F, wenn für
jeden Morphismus α : F → G mit G Garbe genau ein Morphismus α
e : F + → G existiert,
sodass α
e ◦ i = α.
Satz 5.7. Die Garbifizierung F + einer Prägarbe F ist bis auf Isomorphie eindeutig und
die Abbildung ix : Fx → Fx+ ist für alle x ∈ X ein Isomorphismus.
Lemma 5.8. Seo F → G → H eine exakte Sequenz von Prägarben. Dann ist F + →
G + → H+ eine exakte Sequenz von Garben, wobei die Abbildung F + → G + (bzw G + →
H+ ) durch
/G
F
F+
∃!
/ G+
induziert wird.
α
β
Lemma 5.9. Seien F −
→G→
− H Homomorphismen von Garben. Dann sind äquvialent:
α
β
(i) F −
→G→
− H ist Halmweise definiert und exakt.
(ii) ker(β) = im(α).
18
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume und sei F eine Garbe auf
X. Dann definieren wir für offene Mengen U ⊆ Y das direkte Bild f∗ F durch
f∗ F(u) := F(f −1 (U )).
Dann ist f∗ F eine Garbe auf Y .
Sei nun U ⊆ X offen und I(U ) := {V ⊆ Y : V offen und f (U ) ⊆ V } = {V ⊆
Y : V offen und U ⊆ f −1 (V )}. Sei G eine Garbe auf Y . Definiere dann eine Prägarbe
f −1 G p durch
f −1 G p (U ) := lim G(V ).
−→
V ∈IU
Dann ist die Urbildgarbe f −1 G definiert als die Garbifizierung von f −1 G p . Für die Halme
von f −1 G gilt dann für beliebiges x ∈ X
(f −1 G)x = Gf (x) .
Lemma 5.10. Es gibt einen kanonischen Isomorphimus
Hom(f −1 G, F) ≃ Hom(G, f∗ F),
das heißt G → f −1 G ist linksadjungiert zu F → f∗ F.
19
6
Schemata
Definition 6.1. (a) Ein geringter Raum (X, OX ) besteht aus einem topologischen Raum
X und einer Garbe von Ringen OX auf X. Man nennt OX die Strukturgarbe von X
und schreibt für das Paar (X, OX ) einfach nur X.
(b) Ein Morphismus von geringten Räumen (f, f ♯ ) : (X, OX ) → (Y, OY ) besteht aus einer
stetigen Abbildung f : X → Y und einem Homomorphismus von Garben von Ringen
f ♯ : OY → f∗ OX bzw. f ♭ : f −1 OY → OX .
Erinnerung Ein Ring R heißt lokal, wenn er genau ein maximales Ideal bestitzt. Das
ist äquivalent dazu, dass Spec R nur einen abgeschlossenen Punkt besitzt. Für zwei lokale
Ringe R, R′ mit maximalen Idealen m ⊂ R und m′ ⊂ R′ heißt ein Ringmorphismus
φ : R → R′ lokal, wenn φ−1 (m′ ) = m.
Definition 6.2. (a) Ein lokal geringter Raum ist ein geringter Raum (X, OX ), sodass
für alle x ∈ X der Halm OX,x ein lokaler Ring ist.
(b) Ein Morphismus (f, f ♯ ) : (X, OX ) → (Y, OY ) von lokal geringten Räumen ist ein
Morphismus von geringten Räumen, sodass für jeden Punkt x ∈ X der Morphismus
von lokalen Ringen fx♯ : OY,f (x) → OX,x ein lokaler Morphismus ist.
Hier ist zu beachten, dass der Morphismus fx♯ : OY,f (x) → OX,x wie folgt zustande kommt:
fx♯ : OY,f (x) −→ (f∗ OX )f (x) = lim OX (f −1 (U )) = lim OX (V ) = OX,x .
−→
−→
U ∋f (x)
V ∋x
Beispiel.
1. Sei X ein topologischer Raum (bzw eine glatte Mannigfaltigkeit) und
∞
CX die Garbe der stetigen, reellwertigen Funktionen bzw CX
die Garbe der C ∞ ∞
Funktionen. Dann sind (X, CX ) bzw. (X, CX
) lokal geringte Räume.
2. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung von topologischen Räumen, dann ist mit
f ♯ : CY → f∗ CX gegeben durch f ♯ (U )(φ) = φ ◦ f das Paar (f, f ♯ ) ein Morphismus
von lokal geringten Räumen.
Satz 6.1. Sei R ein Ring, dann gibt es eine bis auf Isomorphie eindeutige Garbe O =
OSpec R auf Spec R, sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. O(Spec R) = Spec R.
2. O(D(f )) = Rf für alle f ∈ R.
3. Op = Rp für alle p ∈ Spec R
Insbesondere ist (Spec R, O) ein lokal geringter Raum.
Lemma 6.2. Sei R ein Ring und S ⊆ R eine multiplikative Teilmenge.
(a) Die Zuordnung ModR → ModS −1 R gegeben durch M 7→ S −1 M ist ein exakter Funktor,
das heißt für eine exakte Sequenz von R-Moduln M1 → M2 → M3 ist die Sequenz
S −1 M1 → S −1 M2 → S −1 M3 exakt.
20
dn
(b) Ist C • : ... → C n −→ C n+1 → ... ein Komplex von R-Moduln, so gilt
S −1 H n (C • ) = H n (S −1 C • )
Lemma 6.3. Sei M ∈ ModR und sei f ∈ R. Definiere weiter Sf = {f n : n ∈ N} und
Mf = Sf−1 M .
(a) Seien f, g ∈ R, dann gilt (Mf ) g1 ≃ (Mf )g ≃ Mf g als Rf g = O(D(f ) ∩ D(g))-Modul.
(b) Sei {D(fi )}i∈I eine∏
offene Überdeckung von Spec R. Dann ist der kanonische Homomorphismus M → i∈I Mfi geben durch m 7→ ( m1 )i∈I injektiv. Insbesondere gilt: Ist
Mfi = 0 für alle i ∈ I, so ist M = 0.
Notation. Sei X ein topologischer Raum und F sei eine Garbe auf X. Dann definieren
wir für eine offene Teilmenge U ⊆ X eine Garbe F|U auf U via F|U (V ) = F(V ) für alle
V ⊆ U.
Seien (f, f ♯ ) : (X, OX ) → (Y, OY ) und (g, g ♯ ) : (Y, OY ) → (Z, OZ ) Morphismen von
lokal geringten Räumen. Dann ist die Komposition der Morphismen gegeben durch
(g, g ♯ ) ◦ (f, f ♯ ) = (g ◦ f, g∗ (f ♯ ) ◦ g ♯ ),
denn
g∗ (f ♯ )
g♯
OZ −
→ g∗ OY −−−→ g∗ (f∗ OX ) = (g ◦ f )∗ OX .
Ein Morphismus von lokal geringten Räumen (f, f ♯ ) : (X, OX ) → (Y, OY ) heißt Isomorphismus, falls es einen Morphismus (g, g ♯ ) : (Y, OY ) → (X, OX ) gibt, sodass (f, f ♯ ) ◦
(g, g ♯ ) = (id, id) = (g, g ♯ ) ◦ (f, f ♯ ).
Definition 6.3. Ein lokal geringter Raum (X, OX ) heißt Schema, wenn es eine offene
Überdeckung {Ui }i∈I von X gibt, sodass (Ui OX |Ui ) ≃ (Spec Ri , OSpec Ri ) für alle i ∈ I
und gewisse Ringe Ri gibt. Ein Schema heißt affin , wenn es einen Ring R gibt, sodass
(X, OX ) ≃ (Spec R, OSpec R ) gilt.
Satz 6.4. Es seien R, R′ Ringe.
(a) Sei φ : R → R′ ein Ringhomomorphismus. Sei weiter a φ♯ : OSpec R → (a φ)∗ OSpec R′
der eindeutig bestimmte Homomorphismus von Garben, der auf der standard-offenen
Menge D(f ) für ein f ∈ R wie folgt gegeben ist:
/ (a φ)∗ OSpec R′ (D(f ))
OSpec R (D(f ))
/ OSpec R′ (D(φ(f )))
Rf SSS
SSS
SSS
SSS
S
φ(a) SSSS
a
→
7
SS)
fn
φ(f )n
′
Rφ(f
)
Dann ist (a φ, a φ♯ ) : (Spec R, OSpec R ) → (Spec R′ , OSpec R′ ) ein Morphismus von lokal
geringten Räumen.
21
(b) Sei umgekehrt (f, f ♯ ) : (Spec R′ , OSpec R′ ) → (Spec R, OSpec R ) ein Morphismus von
affinen Schemata, dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus φ :
R → R′ mit (f, f ♯ ) = (a φ, a φ♯ ).
Korollar 6.5. Seien X ≃ Spec R′ und Y ≃ Spec R affine Schemata, dann gilt
Hom(X, Y ) ≃ Hom(OY (Y ), OX (X)) ≃ Hom(R, R′ ).
6.1
Projektive Schemata
Definition 6.4. (a) Ein graduierter Ring ist ein Ring A zusammen mit einer folge von
Untergruppen {An }n∈Z , sodass gilt:
(a) A =
⊕
n∈Z
An
(b) An Am ⊆ An+m für alle m, n ∈ Z (damit ist A0 stets ein Unterring)
(c) 1 ∈ A0 .
Ein Element a ∈ A heißt homogen vom Grad n, wenn a ∈ An gilt.
⊕
⊕
(b) Seien A =
n∈Z Bn graduierte Ringe und sei φ : A → B ein
n∈Z An und B =
Ringhomomorphismus. Dann heißt φ homogen vom Grad d für ein d ∈ N, wenn
φ(An ) ⊆ Bdn für alle n ∈ Z.
Lemma 6.6. Sei A =
äquivalent:
⊕
n≥0
An ein graduierter Ring und sei a ⊆ A ein Ideal. Dann sind
(i) a wird von homogenen Elementen erzeugt.
(ii) a = ⊕n (a ∩ An ) =: ah .
(iii) Für alle a ∈ a ist a =
homogene Komponente.
∑∞
n=0
an mit an ∈ An , dann ist an ∈ a und an heißt n-te
Sind die äquivalenten Bedingungen (i)-(iii) erfüllt, so heißt a homogenes Ideal.
Bemerkung. Sind a, b homogen, so auch
An /an graduiert.
√
a, a ∩ b und ab. Zudem ist der Ring (A/a) ≃
⊕
⊕
Definition 6.5. Sei A =
n≥0 An ein graduierter Ring. Dann ist A+ =
n≥1 An ein
Ideal von A und wir setzen
Proj A = {p ∈ Spec A : p homogen und A+ ⊉ p}.
Lemma 6.7 (Lemma und Definition). Sei A ein graduierter Ring und a ⊆ A ein
homogenes Ideal. Setze
V+ (a) = {p ∈ Proj A : a ⊆ p} = V (a) ∩ Proj A.
Dann gilt:
22
(a) V+ ((0)) = Proj A und V+ (A+ ) = ∅.
(b) V+ (a) ∪ V+ (b) = V+ (a ∩ b) = V+ (ab).
∩
∑
(c) i∈I V+ (ai ) = V+ ( i∈I ai ).
Bemerkung. Es gibt eine eindeutige Topologie auf Proj A, sodass die zugehörigen abgeschlossenen Mengen die Form V+ (a) haben. Diese Topologie heißt die Zariski-Topologie
und ist die Unterraumtopologie bzgl. der Inklusion Proj A ,→ Spec A.
Lemma 6.8. Für jedes homogene Element f ∈ A ist die Menge D+ (f ) = Proj A \
V+ (f A) = {p ∈ Proj A : f ∈
/ p} das Komplement des von f erzeugten Ideals. Die Mengen D+ (f ), f homogen ∪
heißen standard-offen. Sie bilden eine Basis der Zariski-Topologie,
denn Proj A \ V+ (a) = f ∈a homogen D+ (f ).
Die Menge {D+ (f ) : f ∈ A+ homogen} ist ebenfalls eine Basis.
⊕
Lemma 6.9. Sei A = n≥0 An ein graduierter Ring. Dann gilt:
(a) Für p ∈ Spec A ist auch ph ∈ Spec A.
∩
√
(b) Für ein homogenes Ideal a ⊆ A gilt a ∩ A+ = p∈V+ (a) p ∩ A+ .
(c) Seien
a, b ⊆ A homogene Ideale. Dann gilt V+ (a) ⊆ V+ (b), genau dann wenn b∩A+ ∈
√
a.
⊕
A graduiert. Für f, g ∈ A+ homogen gilt D+ (f ) ⊇
Korollar 6.10. Sei A =
n≥0
√ n
D+ (g), genau dann wenn g ∈ f A. In diesem Fall gibt es ein r ≥ 1 und ein homogenes
Element h ∈ A, sodass g r = f · h.
⊕
Bemerkung. Für einen graduierten Ring A =
n≥0 An und eine multiplikative Teilmenge S ⊆ A, die nur aus homogenen Elementen besteht, ist auf S −1 A durch
a
(S −1 A)n = { : s ∈ S, a ∈ A homogen, deg a − deg s = n}
s
eine Graduierung gegeben.
⊕
n
Speziell
1. Sei A =
n≥0 An und f ∈ A homogen. Dann ist Sf = {f : n ∈ N0 }
multiplikativ. Definiere dann
A(f ) := (Sf−1 A)0 = (Af )0 = {
a
: deg a = deg f m }
fm
2. Für ein homogenes Primideal p ⊆ A sei Sp := {a ∈ A : a ∈
/ p, a homogen}. Dann
setzen wir
A(p) := (Sp−1 A)0 .
⊕
Lemma 6.11. Sei A = n≥0 An graduiert und seien f, g ∈ A+ homogen mit D+ (g) ⊆
D+ (f ). Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus ρf,g : A(f ) → A(g) . Ist
m
g r = f h für ein r ≥ 1 und h ∈ A homogen, so ist ρf,g ( fam ) := hgrma . Gilt D+ (g) = D+ (f ),
so ist ρf,g ein Isomorphismus.
23
⊕
Satz 6.12. Sei A = n≥0 An ein graduierter Ring. Dann gibt es eine bis auf Isomorphie
eindeutige Garbe von Ringen O = OProj A , sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. O(D+ (f )) = A(f ) für alle f ∈ A+ homogen.
2. Op = A(p) für alle p ∈ Proj A.
Dann ist (Proj A, OProj A ) ein Schema.
⊕
Lemma 6.13. Sei B =
n∈Z Bn ein graduierter Ring mit einem homogenen Element
x ∈ B × , sodass deg x ̸= 0. Dann sind die Abbildungen
√
p7→ pB
)
Spec B0h
{p ∈ Spec B : p homogen}
p7→p∩B0
invers zueinander.
Definition 6.6. Sei R ein Ring. Der n-dimensionale projektive Raum PnR über R ist
definiert als
PnR = Proj R[X0 , ..., Xn ],
wobei R[X0 , ..., Xn ] durch deg Xi = 1 graduiert ist.
24
7
Unterschemata
Erinnerung Sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X. Dann heißt Y ein Unterraum
von X, falls es für jede offene Menge U ⊆ Y eine offene Teilmenge V ⊆ X gibt, sodass
U =V ∩Y.
Für ein Schema (X, OX ) notieren wir mit Sp X den X zugrunde liegenden topologischen Raum.
Definition 7.1. Ein Morphismus j : X → Y von Schemata heißt offene Immersion,
wenn gilt:
1. j(Y ) ist offen in X.
2. j : Y → j(y) ist ein Homöomorphismus.
3. Der zu j ♯ : OX → j∗ OY adjungierte Morphismus j −1 OX → OY ist ein Isomorphisjy♯
mus, das heißt für alle y ∈ Y ist OX,f (y) −
→ OY,y ein Isomorphismus.
Definition 7.2. Sei X ein Schema und U ⊆ Sp X eine offene Teilmenge. Dann ist
(U, OX |U ) ein Schema und heißt offenes Unterschema von X.
Bemerkung. (a) Sei X ein Schema und U ⊆ Sp X offen und sei j : U → X die Inklusion.
Definiere j ♯ : OX → j∗ (OX |U ) durch die Restriktionen, das heißt j ♯ (V ) := resV,V ∩U .
Dann ist (j, j ♯ ) : (U, OX |U ) → (X, OX ) eine offene Immersion.
(b) Sei f : X → Y eine offene Immersion. Setze U = f (Y ), dann ist f : Y → U ein
Homöomorphismus und faktorisiert in der Form Y → U → X.
(c) Sei X ein Schema. Die offenen Teilmengen von Sp X entsprechen den offenen Unterschemata von X, welche bis auf Isomorphie den offenen Immersionen j : Y → X
entsprechen.
Definition 7.3. (a) Ein Morphismus von Schemata i : Y → X heißt abgeschlossene
Immersion, wenn gilt:
(a) i(Y ) ist abgeschlossen in X.
(b) i : Y → i(Y ) ist ein Homöomorphismus.
(c) i♯ : OX → i∗ OY ist ein Epimorphismus von Garben (von Ringen).
(b) Seien i1 : Y1 → X und i2 : Y2 → X abgeschlossene Immersionen. i1 und i2 heißen
isomorph, wenn es einen Isomorphismus α : Y1 → Y2 gibt mit i1 = i2 ◦ α.
(c) Ein abgeschlossenes Unterschema von X ist eine Isomorphieklasse von abgeschlossenen Immersionen.
Bemerkung. Sind i1 , i2 abgeschlossene Immersionen und i1 , i2 isomorph, so gilt i1 (Y1 ) =
i2 (Y2 ). Die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht.
Satz 7.1. Sei R ein Ring und a ⊊ R ein Ideal. Weiter sei π : R → R/a die kanonische
Projektion. Dann ist a π : Spec R/a → Spec R eine abgeschlossene Immersion.
25
Definition 7.4. Sei X ein Schema und g ∈ OX (X) ein globaler Schnitt. Setze
×
}.
Xg := {x ∈ Sp X : gx ∈ OX,x
Lemma 7.2. Es gilt:
(a) Xg ist offen in Sp X.
(b) Ist X = Spec R affin, so ist Xg = D(g).
(c) Sei f : Y → X ein Morphismus von Schemata. Dann gilt f −1 (Xg ) = Yf ♯ (X)(g) .
∪
(d) Seien g1 , ..., gr ∈ OX (X), sodass X = ri=1 Xgi und ⟨g1 , ..., gr ⟩ = OX (X). Dann ist X
ein affines Schema.
Lemma 7.3 (Definition und Lemma). Sei f : X → Y ein Morphimus von Schemata.
Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
(i) Es gibt eine affin-offene Überdeckung {Ui }i∈I von Y , sodass f −1 (Ui ) offen und affin
ist für alle i ∈ I ist.
(ii) Für alle y ∈ Y und offene Umgebungen y ∈ U gibt es eine affin-offene Umgebung
V ⊆ U von y, dass f −1 (V ) affin ist.
(iii) Für alle affin-offenen Mengen U ⊆ Y ist auch f −1 (U ) offen. Sind diese Bedingungen
erfüllt, so heißt f ein affiner Morphismus.
Satz 7.4. Abgeschlossene Immersionen sind affin.
Satz 7.5. Sei X = Spec R ein affines Schema und i : Y → X eine abgeschlossene
Immersion. Dann gibt es ein eindeutiges Ideal a ⊆ R und einen Isomorphismus α : Y →
Spec R/a, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
/ Spec R
Y HH
HH
r8
r
r
HHα
r
r
HH
r
ra
≃ HH
$
rrr π
Spec R/a
i
Es gibt also eine Beziehung
1:1
{a : a ⊆ R Ideal} ←→ {Y : Y ist abgeschlossenes Unterschema von X}
a 7−→ Isomorphieklasse von (Spec R/a → X)
Lemma 7.6. Seien i : Z → Y und j : Y → X abgeschlossene Immersionen, dann gilt:
Sind j und j ◦i abgeschlossene Immersionen, so ist auch i eine abgeschlossene Immersion.
26
7.1
Reduzierte Schemata
Ein Ring R heißt reduziert, wenn rad R = (0).
Lemma 7.7 (Lemma und Definition). Sei X ein Schema, dann sind die folgenden
Bedingungen äquivalent:
(i) OX (U ) ist für alle offenen U ⊆ X reduziert.
(ii) Der Ring OX,x ist für alle x ∈ X reduziert.
Satz und Definition 7.1. Sei X ein Schema. Dann gibt es eine bis auf Isomorphie
eindeutige abgeschlossene Immersion i : Xred → X, sodass
1. i(Xred ) = X.
2. Xred ist reduziertes Schema.
27
8
Das Faserprodukt
Definition 8.1. Seien X, Y, S Schemata und X → S ← Y Morphismen. Das Faserprodukt von X und Y über S ist ein Schema X ×S Y zusammen mit zwei Morphismen
pX : X ×S Y → X und pY : X ×S Y → Y , sodass gilt:
1. Das Diagramm
X ×S Y
/Y
/S
X
kommutiert.
2. Ist (Z, f, g) ein Tripel bestehend aus einem Schema Z und Morphismen f : Z → X
und g : Z → Y , sodass
g
/Y
Z
f
/S
X
kommutiert, so gibt es einen eindeutigen Morphismus h : Z → X ×S Y derart, dass
Z HH
g
HH
HHh
HH
H$
X ×S Y
$
/Y
f
" X
/S
kommutiert.
Bemerkung. (a) Falls X ×S Y existiert, so ist es bis auf Isomorphie eindeutig.
(b) Sei S ein Schema. Ein S-Schema ist ein Schema X zusammen mit einem Morphismus
X → S, dem sogenannten Strukturmorphismus. Seien X, Y zwei S-Schemata. Ein
S-Morphismus f : X → Y ist ein Morphismus, derart dass
f
X@
@@
@@
@@
@
S
/Y





kommutiert.
Seien X, Y zwei S-Schemata. Das Faserprodukt besteht aus einem Schema X ×S Y
zusammen mit S-Morphismen pX : X ×S Y → X und pY : X ×S Y → Y , sodass für alle
S-Schemata Z gilt:
HomS (Z, X ×S Y ) −→ HomS (Z, X) × HomS (Z, Y )
h 7−→ (pX ◦ h, pY ◦ h)
ist eine Bijektion.
28
Satz 8.1. Das Faserprodukt existiert.
Lemma 8.2. Sei X ein topologischer Raum mit einer offenen Überdeckung {Ui }i∈I . Für
jedes i ∈ I sei eine Garbe Fi auf Ui gegeben, zusammen mit Isomorphismen φij : Fi |Ui ∩Uj →
Fj |Ui ∩Uj für alle i, j ∈ I, sodass
1. Für jedes i ∈ I gilt φii = idFi .
2. Für alle i, j, k ist φij ◦ φjk = φik : Fi |Ui ∩Uj ∩Uk → Fk |Ui ∩Uj ∩Uk .
Dann gibt es eine bis auf Isomorphie eindeutige Garbe F auf X und Isomorphismen
ψi : F|Ui → Fi , sodass φij ◦ ψi = F|Ui ∩Uj → Fj |Ui ∩Uj .
Lemma 8.3 (Verklebung von Schemata). Gegeben seien:
1. Eine Familie von Schemata {Ui }i∈I .
2. Offene Unterschemata Uij von Ui für alle i, j ∈ I.
3. Isomorphismen φij : Uij → Uji für alle i, j ∈ I, sodass
(a) φii = idUi und Uii = Ui für alle i ∈ I
(b) φij (Uij ∩ Uik ) = Uj ∩ Ujk ud φjk ◦ φij |Uij ∩Uik = φik |Uij ∩Uik für alle i, j, k ∈ I.
Damit ist insbesondere φji |Uij = φ−1
ij |Uij .
Dann gibt es ein bis auf Isomorphie eindeutiges Schema X, eine offene Überdeckung
{Xi }i∈I von X und Isomorphismen ψi : Xi → Ui für alle i ∈ I, sodass φij ◦ ψi |Xi ∩Xj =
ψj |Xi ∩Xj für alle i, j ∈ I.
Bemerkung. Sei X ein Schema, dann hat
Hom(X, Spec Z) ≃ Homrings (Z, OX (X))
genau ein Element, das heißt es gibt genau einen Morphismus von Schemata X → Spec Z.
Damit ist jedes Schema in eindeutiger Weise ein Spec Z-Schema.
α
β
Definition 8.2. Seien X, Y Schemata. Setze X × Y = X ×Spec Z Y . Sei M −
→T ←M
ein Diagramm von Mengen und Abbildungen. Dann definieren wir
M ×T N = {(x, y) ∈ M × N : α(x) = β( y)}.
M ×T N hat die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes, das heißt wenn es ein kommutatives Diagramm der Form
g
/N
Q
f
M
α
29
/T
β
gibt, so ist die Abbildung h : M ×T N → Q mit (x, y) 7→ (f (x), g(y)) eindeutig, sodass das
folgende Diagramm kommutiert:
Q HH
HH
HH
HH
HH
$
f
g
%
pN
M ×T N
/N
pM
" M
β
/T
α
Definition 8.3. Sei S ein Schema und X ein S-Schema. Für ein S-Schema T ist die
Menge der T -wertigen Punkte X(T ) von X definiert durch
X(T ) := HomS (T, X).
Bemerkung. Sind X, Y zwei S-Schemata und T ein weiteres S-Schema, so gilt
(X ×S Y )(T ) = X(T ) × Y (T ).
Es sei X ein Schema und x ∈ X ein Punkt. Sei OX,x der lokale Ring mit maximalem
Ideal mx und k(x) := OX,x /mx der Restklassenkörper von x. Betrachte dann die Abbildung
Spec k(x) → X gegeben durch pt 7→ x
Lemma 8.4. Sei X ein Schema und x ∈ X. Dann gibt es einen kanonischen Morphismus
ix : Spec k(x) −→ X,
der den einzigen Punkt pt von Spec k(x) nach x abbildet.
Definition 8.4. Sei f : X → S ein Morphismus von Schemata und s ∈ S. Dann heißt
Xs := Spec k(s) ×S X die Schematheoretische Faser von f über s. Insbesondere gibt es
ein Diagramm der Form
pX
/X
Xs
pSpec k(s)
Spec k(s)
is
f
/S
Lemma 8.5. Sei f : X → S ein Morphismus von Schemata und s ∈ S. Dann induziert
der Morphismus pX : Xs → X einen Homöomorphismus Sp Xs → f −1 (s).
Satz 8.6. Sei S ein Schema und seien X, Y, Z S-Schemata. Dnan gilt:
(a) (Kommutativität) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus X ×S Y ≃ Y ×S X.
(b) (Assoziativität) Es gilt kanonisch (X ×S Y ) ×S Z ≃ X ×S (Y ×S Z).
(c) Ist X1 → X2 → S ← Y ein Diagramm von S-Schemata. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus X1 ×X2 (X2 ×S Y ) ≃ X1 ×S Y .
30
Lemma 8.7. Seien f : X1 → Y1 und g : X2 → Y2 Morphismen von S-Schemata. Dann
gibt es einen eindeutigen Morphismus f × g : X1 ×S Y1 → X2 ×S Y2 , sodass
YO 1
g
/ Y2
O
pY1
pY2
X1 ×S Y1
pX1
∃!
f ×g
X1
/ X2 ×S Y2
f
pX2
/ X2
kommutiert.
Definition 8.5. Sei S ein Schema und T → S ein Morphismus.
(a) Sei X ein S-Schema. Dann betrachten wir das Schema X ×S T als T -Schema mit
Hilfe der Projektion X ×S T → S und schreiben XT für X ×S T . Dann heißt XT der
Basiswechsel von X bezüglich T → S.
(b) Sei f : X → Y ein Morphismus von S-Schemata. Definiere dann
fT := f × idT : XT −→ YT .
fT heißt der Basiswechsel von f bezüglich T → S. Für T = Spec R schreibe XR und
fR anstelle von XT und fT .
Definition 8.6. Sei P eine Eigenschaft von Morphismem von Schemata.
(a) P heißt lokal bezüglich der Basis, wenn für alle Morphismen f : X → Y gilt: f hat
die Eigenschaft P, genau dann wenn es zu jedem y ∈ Y eine offene V ⊆ Y gibt,
sodass f |f −1 (V ) : f −1 (V ) → V die Eigenschaft P hat.
(b) Die Eigenschaft P ist stabil unter Basiswechsel, wenn ein S-Morphismus f : X → Y
die Eigenschaft P genau dann hat, wenn fT die Eigenschaft P für alle T → S hat.
Satz 8.8. Es sei P ∈ {f ist abgeschlossene Immersion, f ist affin}. Dann gilt:
(a) P ist lokal bezüglich der Basis.
(b) P ist stabil unter Basiswechseln.
31
9
Separierte Morphismen
Erinnerung Sei X ein topologischer Raum, dann ist X genau dann Hausdorffsch, wenn
∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} abgeschlossen in X × X ist.
Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata und sei weiter ∆X/Y : X → X ×Y X so
definiert, dass
X II
I
idX
idX
/X
O
∆X/YI
p2
II
$
Xo
X ×Y X
p1
kommutiert, wobei pi : X ×Y X → X die Projektion auf den i-ten Faktor ist. ∆X/Y heißt
Diagonalenmorphismus
Definition 9.1. Ein Morphismus f : X → Y heißt separiert, wenn ∆X/Y : X → X ×Y
X eine abgeschlossene Immersion ist. Man nennt X ein separiertes Schema, wenn der
eindeutige Strukturmorphismus X → Spec Z separiert ist.
Für ein Schema X ist die Bedingung “X ist separiert” ein Ersatz für die HausdorffEigenschaft. Der Unterliegende Raum des Faserprodukts Sp(X×X) ist von Sp(X)×Sp(X)
verschieden, daher impliziert “X separiert” nicht, dass Sp(X) Hausdorffsch ist.
Lemma 9.1. Jeder Morphismus von affinen Schemata ist separiert.
Satz 9.2. (a) Die Eigenschaft “X → Y ist separiert” ist lokal bezüglich der Basis.
(b) Affine Morphismen sind separiert. Insbesondere sind abgeschlossene Immersionen separiert.
Definition 9.2. Ein kommutatives Diagramm
β
W
α
/Z
g
X
f
/Y
heißt kartesisch, wenn der induzierte Morphismus W → X ×Y Z ein Isomorphismus ist,
also genau dann wenn es für alle W -Schemata W ′ genau einen Morphismus W ′ → W
gibt, sodass
W ′C
CC
CC∃!
CC
C!
W
α
β
X
"
/Z
g
/Y
f
kommutiert. Für ein kartesisches Diagramm schreibt man dann
W
α
X
β
2
f
32
/Z
/Y
g
Lemma 9.3. Seien U ⊆ X und V ⊆ Y offen und sei f : X → Y ein Morphismus mit
f (U ) ⊆ V . Dann ist das Diagramm
U
i
∆U/V
/ U ×V U
X
i×i
/ X ×Y X
∆X/Y
kartesisch, wobei i : U → X die Inklusion bezeichne.
Satz 9.4. Sei f : X → Y ein Morphismus. Dann ist f genau dann separiert, wenn
∆X/Y (X) ⊆ X ×Y X abgeschlossen ist.
Satz 9.5. Sei f : X → Y ein Morphismus. Dann ist ∆X/Y : X → X ×Y X eine Imj
i
mersion, das heißt eine Komposition X −
→W −
→ X ×Y X, wobei i eine abgeschlossene
Immersion und j eine offene Immersion ist.
Satz 9.6. (a) Abgeschlossene und offene Immersionen sind separiert, insbesondere sind
Immersionen sind separiert.
(b) Die Komposition separierter Morphismen sind separiert.
(c) Sind X, Y separierte S-Schemata, so ist das Faserprodukt X ×S Y ein separiertes
S-Schema.
(d) Sind f : X → Y und g : Y → Z Morphismen, sodass g ◦ f separiert ist, so ist f
separiert.
(e) Ist f : X → Y ein Morphismus von separierten S-Schemata, so ist f separiert.
(f ) Sei Y ein separiertes S-Schema und seien X1 , X2 zwei Y -Schemata. Dann ist der
kanonische Morphismus
X1 ×Y X2 −→ X1 ×S X2
eine abgeschlossene Immersion.
Lemma 9.7. Seien f : X → Z und i : Y → Z Morphismen. Ist i eine abgeschlossene
Immersion, X reduziert und gilt zudem f (X) ⊆ i(Y ), dann faktorisiert f eindeutig in der
Form
f
/Z
XA
?
AA
AA
AA
A
e
f
Y
~
~~
~~
~
~~ i
Satz 9.8. Sei S ein Schema und seien X, Y zwei S-Schemata und f, g : X → Y zwei
Morphismen von S-Schemata. Ist X reduziert und Y separiert über S, so gilt: Ist f |U = g|U
für eine offene, dichte Teilmenge U ⊆ X, so gilt f = g.
Satz 9.9 (Bewertungskriterium für separierte Morphismen). Sei f : X → Y ein
Morphismus von Schemata und X Noethersch. Dann sind äquivalent:
33
(i) Der Morphismus f ist separiert.
(ii) Für jeden Körper K und jeden Bewertungsring R mit Quot(R) = K sei T = Spec R,
U = Spec K und i : U → K der Morphismus induziert durch die Inklusion R → K.
Gegeben einen Morphismus T → U und einen Morphismus U → X gibt es höchstens
einen Morphismus T → X, der das folgende Diagramm kommutativ macht:
U
i
~
T
~
~
/X
~>
f
/Y
Definition 9.3. Ein topologischer Raum T heißt Zariski-topologischer Raum, wenn gilt:
1. T ist Noethersch.
2. Jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge C ⊆ T hat genau einen generischen
Punkt.
Bemerkung. Ist T ein Zariski-topologischer Raum und A ⊆ T eine abgeschlossene Teilmenge, so ist auch A ein Zariski-topologischer Raum.
Lemma 9.10. Sei X ein Noethersches Schema. Dann ist Sp X ein Zariski-topologischer
Raum.
Lemma und Definition 9.11. Sei T ein topologischer Raum und C ⊆ T . Dann heißt
C lokal abgeschlossen, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
(i) Für jedes x ∈ C existiert eine offene Umgebung Ux von x, sodass C ∩ Ux in Ux
abgeschlossen ist.
(ii) C lässt sich schreiben als C = A ∩ U für eine abgeschlossene Menge A ⊆ T und eine
offene Menge U ⊆ T .
(iii) C ist offen in C.
Lemma 9.12. Sei T ein topologischer Raum und C ⊆ T ein Unterraum mit folgenden
Eigenschaften:
1. C ist lokal abgeschlossen.
2. X ist ein Zariski-topologischer Raum.
3. C ist abgeschlossen unter Spezialisierungen, das heißt für alle x, y ∈ T mit x ⇝ y
mit x ∈ C gilt auch y ∈ C.
Definition 9.4. Es seien A, B lokale Ringe mit maximalen Idealen mA und mB . Man
sagt “B dominiert A”, wenn A ⊆ B und mB ∩ A = mA .
Satz 9.13. Sei O ein lokaler Integritätsbereich mit Quot(O) = K. Dann gibt es einen
Bewertungsring R ⊆ K, der O dominiert.
Lemma 9.14 (Nakayama). Es sei O ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m und sei
M ein endlich erzeugter O-Modul mit mM = M . Dann gilt M = 0.
34
10
Endlichkeitseigenschaften von Morphismen
Lemma 10.1. Sei X ein Schema. X ist genau dann quasi-kompakt (d.h. der unterliegende topologische Raum ist quasi-kompakt), wenn X eine endliche Überdeckung durch
affin-offene Teilmengen besitzt.
Lemma und Definition 10.2. Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt quasikompakt, wenn folgende äquivalente Bedinungen gelten:
(i) Es gibt eine affin offene Überdeckung {Vi }i∈I von Y , sodass f −1 (Vi ) quasi-kompakt
ist.
(ii) Für alle V ⊆ Y affin-offen ist f −1 (V ) quasi-kompakt.
(iii) Für alle V ⊆ Y offen und quasi-kompakt ist f −1 (V ) quasi-kompakt.
Definition 10.1. Sei A eine R-Algebra mit Ringhomomorphismus φ : R → A
(a) A ist genau dann von endlichem Typ (über R), wenn es eine Surjektion von RAlgebren R[X1 , ..., Xn ] → A gibt.
(b) A ist endlich über R, genau dann wenn A endlich über φ(R), also genau dann, wenn
es eine Surjektion von R-Moduln Rn → A gibt.
Bemerkung. Ist A endlich über R, so ist A auch von endlichem Typ über R.
Lemma und Definition 10.3. Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata.
(a) f heißt lokal lokal von endlichem Typ , wenn folgende äquivalente Bedingungen gelten:
(i) Für alle affin-offenen U ⊆ X mit U = Spec A und V ⊆ Y mit V = Spec R,
sodass f (U ) ⊆ V gilt: A ist von endlichem Typ über R
(ii) Es gibt eine affin-offene Überdeckung {Vi = Spec Ri }i∈I und affin-offene Überdeckungen
{Uij = Spec Aij }j∈J(i) von f −1 (Vi ) für alle i ∈ I, sodass Aij von endlichem Typ
über Ri für alle i ∈ I und j ∈ J(i) ist.
(b) f heißt von endlichem Typ, wenn es lokal von endlichem Typ und quasi-kompakt ist.
Lemma 10.4. Sei R ein Ring, A eine R-Algebra und seien g1 , ..., gn ∈ A, sodass gilt:
∑
∪
1. Spec A = ni=1 D(gi ) (genau dann wenn A = ni=1 gi A).
2. Agi ist von endlichem Typ über R.
Dann ist A von endlichem Typ über R.
Korollar 10.5. Sei f : X → Y ein Morphismus. Dann sind äquivalent:
(i) f ist von endlichem Typ.
(ii) Y besitzt eine affin-offene Überdeckung {Vi = Spec Ri }i∈I , sodass für alle i die Menge
f −1 (Vi ) eine endliche affin-offene Überdeckung {Uij = Spec Aij }j∈J(i) hat, mit Aij
von endlichem Typ über Ri für alle i ∈ I und j ∈ J(i).
35
Definition 10.2. Sei k ein Körper. Ein algebraisches k-Schema ist ein Spec k-Schema,
das separiert und von endlichem Typ ist. Man betrachte sich dazu das Diagramm
X FF
FF
FF
FF
F#
/ Spec k
t
tt
tt
t
t
ty t
Spec Z
Ist X ein algebraisches k-Schema und U ⊆ X eine affin-offene Teilmenge mit U = Spec A,
so ist A = k[X1 , ..., Xn ]/a noethersch und somit ist X ein Noethersches Schema.
Satz 10.6. Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata.
(a) Ist f lokal von endlichem Typ und Y lokal Noethersch, so ist auch X lokal Noethersch.
(b) Ist f von endlichem Typ und Y Noethersch, so ist auch X Noethersch.
f
g
Lemma 10.7. (a) Seien X −
→Y −
→ Z Morphismen von Schemata. Sind f, g (lokal) von
endlichem Typ, so ist auch g ◦ f (lokal) von endlichem Typ.
(b) Abgeschlossene Immersionen sind von endlichem Typ.
(c) Die Eigenschaft “f : X → Y ist (lokal) von endlichem Typ” ist stabil unter Basiswechseln.
Lemma und Definition 10.8. Ein Morphismus f : X → Y heißt endlich, wenn die
folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
(i) f ist affin und für alle affin-offenen V = Spec R ⊆ Y gilt: f −1 (V ) = Spec A und
A = OX (f −1 (V ) ist eine endliche R-Algebra.
(ii) Es gibt eine affin-offene Überdeckung {Vi = Spec Ri }i∈I von Y , sodass f −1 (Vi ) =
Spec Ai affin ist für alle i ∈ I und Ai ist eine endliche Ri -Algebra.
Bemerkung. (a) Ist f : X → Y endlich, so ist f von endlichem Typ.
(b) Abgeschlossene Immersionen, Kompositionen von endlichen Morphismen und Basiswechsel von endlichen Morphismen sind wieder endlich.
Definition 10.3. Sei f : X → Y ein Morphismus.
(a) f heißt quasi-endlich, wenn Xy → Spec k(y) endlich ist.
(b) Man sagt f hat endliche Fasern, wenn f −1 (y) eine endliche Menge für alle y ∈ Y ist.
36
11
Eigentliche Morphismen
Definition 11.1. Es sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata.
(a) f heißt abgeschlossen, wenn f abgeschlossene Teilmengen von X auf abgeschlossene
Teilmengen von Y abbildet.
(b) f heißt universell abgeschlossen, wenn jeder Basiswechsel von f abgeschlossen ist, das
heißt für alle Kartesischen Diagramme
f′
X′
2
X
f
/Y′
/Y
ist f ′ abgeschlossen.
Definition 11.2. Ein Morphismus f : X → Y heißt eigentlich, wenn gilt:
1. f ist von endlichem Typ.
2. f ist separiert.
3. f ist universell abgeschlossen.
Satz 11.1. (a) Abgeschlossene Immersionen sind eigentlich.
(b) Komposition eigentlicher Morphismen sind eigentlich.
(c) Basiswechsel von eigentlichen Morphismen sind eigentlich.
(d) Sind X → S und Y → S eigentlich, so ist auch X ×S Y → S eigentlich.
f
g
(e) Seien X −
→Y −
→ Z Morphismen. Ist g◦f eigentlich und g separiert, so ist f eigentlich.
Satz 11.2. Endliche Morphismen sind eigentlich.
Lemma 11.3. Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Die Eigenschaft “f ist
(universell) abgeschlossen” ist lokal bezüglich der Basis.
Satz 11.4 (Bewertungskriterium für eigentliche Morphismen). Sei X ein Noethersches Schema und f : X → Y ein Morphismus von endlichem Typ. Dann sind äquivalent:
(i) f ist eigentlich.
(ii) Für alle Bewertungsringe R mit Quot(R) = K und jedes kommutative Diagramm
Spec K
j
w
Spec R
α
w
w∃!h
g
/X
w;
f
/Y
gibt es genau einen Morphismus h : Spec R → X, der das Diagramm kommutativ
ergänzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn
HomY (Spec R, X) ≃ HomY (Spec K, X).
37
Lemma und Definition 11.5. Sei X ein Schema. Dann sind äquivalent:
(i) X ist irreduzibel und reduziert.
(ii) OX (U ) ist ein Integritätsbereich für alle offenen, nicht-leeren Teilmengen U ⊆ X.
In diesem Fall heißt X integer.
Lemma 11.6. Sei X ein Schema, K ein Körper und x ∈ X. Sei α : Spec K → X ein
Morphismus mit α((0)) = x. Dann faktorisiert α in der Form
α
Spec KM
MMM
MMM
MMM
α
e
&
/X
u:
u
u
uu
uuj
u
uu x
Spec k(x)
Lemma 11.7. Sei f : X → Y ein quasi-kompakter Morphismus. Dann sind äquivalent:
(i) f (X) ⊆ X ist abgeschlossen.
(ii) f (X) ist abgeschlossen unter Spezialisierungen.
Lemma 11.8. Sei K ein Körper und O ⊆ K ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m.
Dann gibt es einen Bewertungsring R ⊆ K mit folgenden Eigenschaften:
1. Es gilt Quot(R) = K.
2. R dominiert O.
Definition 11.3. Ein Morphismus von Schemata f : X → Y heißt projektiv, wenn f in
der Form
f
/Y
XA
>
AA
AA
A
i AA
PnY
}}
}}
}
}p
}} Y
faktorisiert, wobei i eine abgeschlossene Immersion ist.
Satz 11.9. Jeder projektive Morphismus ist eigentlich.
Lemma 11.10. Sei R ein lokaler Ring, dann gibt es eine kanonische Bijektion
{λ ∈ HomR (Rn+1 , R) : λ surjektiv}/ ∼−→ PnZ (R)
wobei für λ, λ′ ∈ HomR (Rn+1 , R) gilt: λ ∼ λ′ , genau dann wenn λ′ = ϵλ für ein ϵ ∈ R× .
Lemma 11.11. (a) Sei X ein topologischer Raum und U ⊆ X offen. Seien x, y ∈ X mit
x ∈ U und y ⇝ x. Dann ist y ∈ U .
(b) Sei f : X → Y eine stetige Abbildung von topologischen Räumen und seien a, b ∈ X
mit a ⇝ b. Dann gilt f (a) ⇝ f (b).
Satz 11.12 (Chow’s Lemma). Sei f : X → Y ein eigentlicher Morphismus und sei Y
Noethersch. Dann gibt es ein Schema X ′ und einen Morphismus π : X ′ → X sodass:
1. f ◦ π ist projektiv.
2. Es gibt eine offene, dichte Teilmenge U ⊆ X, sodass π|π−1 (U ) : π −1 (U ) → U ein
Isomorphismus ist.
38
12
Dimension
Definition 12.1. (a) Sei X ein topologischer Raum. Die Krull-Dimension dim X ∈ N0 ∪
{±∞} ist definiert als
{
−∞,
falls X = ∅
dim X =
sup {n : ∃Z0 ⊊ Z1 ⊊ ... ⊊ Zn mit Zi ̸= 0, Zi ⊆ irred. und abgeschl.} , sonst
(b) Die (Krull-)Dimension eines Schemas X ist die Dimension den unterliegenden topologischen Raumes.
Definition 12.2. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die (Krull-)Dimension von R
ist definiert als
dim R = sup{n : ∃p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn , pi ∈ Spec R für 0 ≤ i ≤ n}
Bemerkung. (a) Für einen kommutativen Ring R gilt dim R = dim Spec R.
(b) Sei X ein topologischer Raum und {Xi }i∈I die Familie der irreduziblen Komponenten
von X. Dann gilt dim X = supi∈I dim Xi .
(c) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien f1 , ..., fm ∈ k[X1 , ..., Xn ]. Setze
R := k[X1 , ..., Xn ]/(f1 , ..., fm ), dann gilt dim V (f1 , ..., fm ) = dim R.
Lemma und Definition 12.1. Sei k ein Körper und R eine nullteilerfreie k-Algebra.
Seien x1 , ...., xn ∈ R, dann heißt das Tupel (x1 , ..., xn ) algebraisch unabhängig über k,
wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
(i) Es gibt kein Polynom f (T1 , ..., Tn ) ∈ k[T1 , ..., Tn ] \ {0} mit f (x1 , ..., xn ) = 0.
(ii) Die verschiedenen Potenzen xa11 , ..., xann sind k-linear unabhängig.
(iii) Der Homomorphismus k[T1 , ..., Tn ] → R gegeben durch f 7→ f (x1 , ...., xn ) ist injektiv.
Andernfalls heißt (x1 , ..., xn ) algebraisch abhängig.
Definition 12.3. Sei K/k eine Körpererweiterung und sei X ⊆ K eine Teilmenge. Dann
heißt X algbraisch unabhängig über k, wenn für je endlich viele, paarweise verschiedene
Elemente (x1 , ..., xn ) von X gilt: (x1 , ..., xn ) ist algebraisch unabhängig über k.
Lemma und Definition 12.2. Sei K/k eine Körpererweiterung und X ⊆ K eine Teilmenge. Dann heißt X eine Transzendenzbasis von K/k, wenn folgende äquivalente Bedingungen gelten:
(i) X ist algebraisch unabhängig über k und X ist maximal unter allen über k algebraisch
unabhängigen Teilmengen von K.
(ii) X ist algebraisch unabhängig und K/k(X) ist eine algebraische Körpererweiterung.
Lemma 12.3. Sei K/k eine Körpererweiterung und seien X, N ⊆ K Teilmengen, sodass
39
1. X ist algebraisch unabhängig über k.
2. K/k(N) ist eine algebraische Körpererweiterung.
Dann kann man X durch Hinzufügen von Elementen von N zu einer Transzendenzbasis
von K/k erweitern.
Satz 12.4. Sei K/k eine Körpererweiterung. Dann gilt:
(a) K/k besitzt eine Transzendenzbasis.
(b) Je zwei Transzendenzbasen haben die gleiche Mächtigkeit.
Definition 12.4. Der Transzendenzgrad trdeg K/k ist die Kardinalität einer Transzendenzbasis von K/k.
Bemerkung. (a) Sei k ein beliebiger Körper und K = k(T1 , ..., Tn ), dann ist trdeg K/k =
n.
(b) Ist K = k(x1 , ..., xn ) für gewisse xi ∈ K, dann gibt es eine Transzendenzbasis X ⊆
{x1 , ..., xn } von K/k und trdeg K/k ≤ n.
Definition 12.5. Sei K ein endlich erzeugter Oberkörper von k. Dann heißt K algebraischer Funktionenkörper in einer Unbestimmten mit Konstantenkörper k, wenn gilt:
1. k ist algebraisch abgeschlossen in K.
2. Es gilt trdeg K/k = 1.
Bemerkung. Die algebraischen Funktionenkörper K/k entsprechen 1:1 den glatten, projektiven, geometrisch zusammenhängenden Kurven über k.
Lemma 12.5 (Noethersches Normalisierungslemma). Sei k ein Körper und R eine
nullteilerfreie, endlich erzeugte k-Algebra mit Quotientenkörper K. Dann gibt es Elemente
x1 , ..., xn ∈ R, sodass:
1. (x1 , ..., xn ) ist algebraisch unabhängig über k
2. k[x1 , ..., xr ] ist endliche k-Algebra.
Bemerkung. Im Fall von 12.5 ist dann K/k(x1 , ..., xn ) endlich und somit auch algebraisch, das heißt (x1 , ..., xn ) sind eine Transzendenzbasis.
Lemma 12.6. Sei k ein unendlicher Körper und f ∈ k[T1 , ..., Tn ] \ {0}. Dann gibt es
Elemente a ∈ k n , sodas f (a) ̸= 0.
Satz 12.7. Sei R eine endlich erzeugte, nullteilerfreie k-Algebra mit Quotientenkörper
K. Dann gilt
dim R = trdeg k(T1 , ..., Tn )/k = n.
Insbesondere gilt dim Ank = trdeg k(T1 , ..., Tn )/k = n.
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Index
Algebra, 5
endlich erzeugte, 5
Unteralgebra, 5
algebraisch unabhängig, 39
algebraische Menge, 6
algebraischer Funktionenkörper, 40
Basiswechsel, 31
Dimension
eines Ringes, 39
eines Schemas, 39
Krull-Dimension, 39
direktes Bild, 19
dominiert, 34
Faser, 13
endliche Faser, 36
Schematheoretische Faser, 30
Faserprodukt, 28
Garbe, 16
Garbifizierung, 18
geringter Raum, 20
lokal geringter Raum, 20
graduierter Ring, 22
Hausdorffsch, 10
homogene Komponente, 22
homogenes Element, 22
Immersion
abgeschlossene Immersion, 25
offene Immersion, 25
induktiver Limes, 17
irreduzible Komponente, 14
irreduzible Teilmenge, 14
Kartesisches Diagramm, 32
Lokalisierung, 12
Menge
abgeschlossene Menge, 10
Abschluss, 10
offene Menge, 10
Mengen
standard-offen, 12
minimales Primideal, 15
Modul
endlich erzeugt, 5
Morphismus
abgeschlossener Morphismus, 37
affiner Morphismus, 26
Diagonalenmorphismus, 32
eigentlicher Morphismus, 37
endlicher Morphismus, 36
projektiver Morphismus, 38
quasi-endlicher Morphismus, 36
separierter Morphismus, 32
universell abgeschlossener Morphismus,
37
von Garben, 17
multiplikative Teilmenge, 12
Nullstellenmenge, 6
offenes Unterschema, 25
Prägarbe, 16
Halm, 16
projektiver Raum, 24
projektives Spektrum, 22
R-bilinear, 8
Radikal, 6
Nilradikal, 6
Radikalideal, 6
Raum
irreduzibler topologischer, 14
Noetherscher topologischer Raum, 15
Zariski-topologischer Raum, 34
reduzierter Ring, 7, 27
Schema, 21
affines Schema, 21
integeres Schema, 38
k-Schema, 36
separiertes Schema, 32
Spektrum, 12
stabil
41
bzgl der Basis, 31
unter Basiswechsel, 31
Strukturgarbe, 20
T -wertige Punkte, 30
Tensorprodukt, 8
Topologie, 10
topologischer Raum, 10
Transzendenzbasis, 39
Transzendenzgrad, 40
Varietät
algebraische Varietät, 3
Verschwindungsideal, 6
von endlichem Typ, 35
lokal von endlichem Typ, 35
Zariskitopologie, 11
Zariskitopologie von Spec R, 12
42