Mathematik 1 - oth

Wintersemester 2011/2012
Wirtschaftsinformatik Bachelor IW1
Informatik Bachelor IN1
Vorlesung Mathematik 1
Hochschule Regensburg
Fakultät Informatik/Mathematik
Christoph Böhm
Mathematik 1
2. Übungsblatt
Relationen, Zahlenmengen, Algebraische Strukturen
Die roten F-Sterne zeigen Aufgaben zum verschärften Nachdenken
Aufgabe 2.1
Sei die Menge M := {Schere, Stein, Papier, Brunnen} gegeben. Weiter werde die Relation R wie
nachfolgend definiert:
R := (Schere, Papier), (Stein, Schere), (Papier, Stein),
(Papier, Brunnen), (Brunnen, Schere), (Brunnen, Stein) .
a) Entscheiden Sie ob die angegeben Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder
transitiv ist.
b) Stellen Sie die Relation graphisch dar und interpretieren Sie diese als Spiel.
c) Zeigen Sie, dass die Strategie Brunnen“ dominant zur Strategie Stein“ ist.
”
”
d) Wie ändert sich die Spielsituation durch Weglassen des Elements Stein“?
”
e) Wie ist R zu wählen, sodass durch Hinzufügen eines neuen Elements Streichholz“ ein
”
ausgeglichenes Spiel resultiert?
Aufgabe 2.2
Die Menge Z sei versehen mit folgender Relation R :
R := {(n, m) ∈ Z2 | ∃d ∈ N : n = m + d}
Prüfen Sie ob diese Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist. Welche
Eigenschaften wären zutreffend, wenn anstatt R die Relation R0 betrachtet wird. Dabei sei
R0 := {(n, m) ∈ Z2 | ∃d ∈ N0 : n = m + d}.
Aufgabe 2.3
Prüfen Sie, ob nachfolgende Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
a) Die Funktion f : N → N mit n 7→ 2n.
b) Die Teileranzahlfunktion d : N → N mit x 7→ n ∈ N n|x .
c) Die Funktion f : [1, 3] × [−1, 1] → R mit (x, y) 7→ x2 + y 2 .
Aufgabe 2.4
n
n+1
Zeigen Sie dass die Zahl 1 + 22 + 22
für alle n ∈ N stets durch 7 teilbar ist.
Aufgabe 2.5
Zeigen Sie, dass das Paar (A, ◦) mit A := f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} f bijektiv eine nichtkommutative Gruppe darstellt. Dabei stellt ◦“ die Verknüpfung der Komposition dar.
”
Aufgabe 2.6
Stellen Sie eine Teilbarkeitsregel für die Division durch 11 auf.
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2. November 2011
Aufgabe 2.7
F Zeigen Sie, dass es keine Zahl r ∈ Q gibt mit r2 = p für alle p ∈ P. √
Hinweis: Lassen Sie sich von dem Nachweis der Irrationalität von 2 inspirieren. Ferner sollte
das Lemma von Euklid zum Einsatz kommen.
Aufgabe 2.8
F Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt.
Insbesondere nennt man eine zu N gleichmächtige Menge abzählbar unendlich. Eine unendliche Menge die nicht abzählbar unendlich ist, wird hingegen als überabzählbar unendlich
bezeichnet. Zeigen Sie:
a) Die Menge 2N := {2n | n ∈ N} ist abzählbar unendlich.
b) Die Menge der ganzen Zahlen Z ist abzählbar unendlich.
c) Die Menge der positiven rationalen Zahlen ist ebenfalls abzählbar unendlich.
Hinweis: Nachfolgendes Schema könnte sich bei der Bearbeitung der Aufgabe als nützlich
erweisen:
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1 ...
1
2
3
4
5
2
2
2
2
2 ...
2
3
4
5
1
3
3
3
3
3 ...
2
3
4
5
1
4
4
4
4
1 ...
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5 ...
.. .. .. .. .. . .
.
. . . . .
d) Folgern Sie hieraus, dass die Menge der rationalen Zahlen Q abzählbar unendlich ist.
e) Die reellen Zahlen R sind überabzählbar unendlich.
Hinweis: Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass schon allein die Menge [0, 1]
überabzählbar ist. Man nehme dazu an es gäbe ein Aufzählung aller Zahlen aus [0,1] der
Form
x1 = 0, a11 a12 a13 a14 a15 . . .
x2 = 0, a21 a22 a23 a24 a25 . . .
x3 = 0, a31 a32 a33 a34 a35 . . .
x4 = 0, a41 a42 a43 a44 a45 . . .
x5 = 0, a51 a52 a53 a54 a55 . . .
..
..
.
.
Ziel ist es dann eine Zahl b = 0, b1 b2 b3 b4 b5 . . . anzugeben, die in dieser Aufzählung nicht
auftreten kann. Beispielsweise könnte die Zahl b von nachfolgender Bauart sein
(
? falls akk = ?
bk :=
, mit k = 1, 2, . . .
? sonst
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