Statistik I im Sommersemester 2006

Statistik I im Sommersemester 2006
Themen am 13.6.2006:
Statistische Hypothesentests
• Die Logik statistischen Testens
• Prüfung von Hypothesen über Anteile und Mittelwerte
Lernziele:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Unterschiedung zwischen Nullhypothese, Alternativhypothese und Forschungshypothese
Irrtumswahrcheinlichkeit, Fehler erster Art, Fehler zweiter Art
Teststärkefunktion und Trennschärfe eines Tests
Einseitige und zweiseitige Tests
Z-Test von Anteilen und deren Anwendungsvoraussetzung
Z-Test und T-Test von Mittelwerten und deren Voraussetzungen
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
1
Wiederholung
Schätzer und Schätzung
Erwünschte Eigenschaften von Schätzern: Konsistenz, Erwartungstreue und (relative) Effizienz
Die Bedeutung von Standardfehlern
Punktschätzung und Intervallschätzung
Konfidenzintervalle für Anteile
Konfidenzintervalle für Mittelwerte
Die T-Verteilung
Schätzung von Varianzen und Standardabweichungen
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
2
Die Logik statistischen Testens
In vielen sozialwissenschaftlichen Fragestellungen sollen Vermutungen über Eigenschaften
einer Population überprüft werden.
Es soll z.B. geprüft werden, ob in einer Stadt eine Mehrheit der Bürger für die
Einrichtung einer Ganztagsschule ist. In einer einfachen Zufallsauswahl von
n=100 Bürgern sprechen sich 60% für die Einrichtung der Schule aus.
Aus dem Ergebnis wird geschlossen, dass es tatsächlich eine Mehrheit für die
Einrichtung der Ganztagsschule gibt.
Das Beispiel weist auf die Ähnlichkeit der Fragestellung beim statistischen Schätzen und beim
statistischen Testen hin:
- Beim Schätzen wird aufgrund von Stichprobendaten in einem Induktionsschluss auf eine
Eigenschaft der Population geschlossen;
- beim Testen wird anhand von Stichprobendaten entschieden, ob eine Vermutung über eine
Eigenschaft der Population zutrifft oder nicht zutrifft.
Beim statistischen Testen wird also immer eine Entscheidung getroffen.
Als Entscheidungsgrundlage werden Informationen aus einer Stichprobe verwendet.
⇒
Statistischer Test sind Entscheidungsregeln, die Stichprobendaten nutzen.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
3
Nullhypothese und Alternativhypothese
Die zu treffende Entscheidung bezieht sich darauf, ob eine postulierte Eigenschaft in der
Population vorhanden ist oder nicht vorhanden ist.
Formal gesehen gibt es somit genau zwei Zustände, die in der Realität auftreten können:
1. Die postulierte Eigenschaft liegt vor
2. Die postulierte Eigenschaft liegt nicht vor
Enstprechend diesen beiden Zuständen werden formal zwei Hypothesen unterschieden:
1. Die Nullhypothese H0 behauptet, dass die potulierte Eigenschaft vorliegt,
2. Die Alternativhypothese H1behauptet, dass die postulierte Eigenschaft nicht vorliegt
Ein statistischer Test ist dann eine Entscheidung darüber,
ob die Nullypothese richtig und die Alternativhypothese falsch ist,
oder ob die Alternativhypothese richtig und die Nullhypothese falsch ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
4
Fehler erster und zweiter Art
In Abhängikeit von den Stichprobendaten wird die Nullhypothese akzeptiert oder verworfen.
Insgesamt gesehen gibt es dann vier unterscheidbare Situationen:
H0 ist richtig
(= H1 ist falsch)
H0 ist falsch
(= H1 ist richtig)
Akzeptanz von H0
(= Verwerfen von H1)
richtige Entscheidung
falsche Entscheidung
= β-Fehler (Fehler zweiter Art)
Verwerfen von H0
(= Akzeptanz von H1)
falsche Entscheidung
= α-Fehler (Fehler erster Art)
richtige Entscheidung
Wünschenswert sind statistische Tests, bei denen sowohl die Wahrscheinlichkei eines α-Fehler
als auch die Wahrscheinlickeit eines β-Fehlers möglichst klein ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
5
Fehler erster und zweiter Art
H0 ist richtig
(= H1 ist falsch)
H0 ist falsch
(= H1 ist richtig)
Akzeptanz von H0
(= Verwerfen von H1)
richtige Entscheidung
falsche Entscheidung
= β-Fehler (Fehler zweiter Art)
Verwerfen von H0
(= Akzeptanz von H1)
falsche Entscheidung
= α-Fehler (Fehler erster Art)
richtige Entscheidung
Für die Entscheidung wird aus den Stichprobendaten eine Teststatistik berechnet.
In Abhängigkeit vom Wert der Teststatistik wird dann die Nullhypothese akzeptiert oder
verworfen.
Es hängt dann
a) von der Kennwerteverteilung der Teststatistik ab
und b) von der Korrektheit der Nullhypothese,
wie wahrscheinlich Fehlentscheidungen sind.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
6
Fehler erster und zweiter Art
Für die Prüfung einer Hypothese über einen Populationsanteil kann z.B. der Stichprobenanteil
als Teststatistik herangezogen werden.
f(p1|π1=0.1)
f(p1|π1=0.2)
f(p1|π1=0.9)
π1 > 0.5
π1 ≤ 0.5
f(p1|π1=0.3)
f(p1|π1=0.8)
f(p1|π1=0.7)
f(p1|π1=0.4)
f(p1|π1=0.6)
f(p1|π1=0.5)
π1; p1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
7
Festlegung von Null- und Alternativhypothese über die Forschungshypothese
Formal sind Null- und Altrernativhypothese
symmetrisch:
Ist die Nullhypothese richtig, dann ist die
Alternativhypothese falsch;
ist die Nullhypothese falsch, dann ist die
Alternativhypothese richtig.
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
H0: π1 ≤ 0.5 H1: π1 > 0.5
0.8
Die eigentliche Forschungsfrage
korrespondiert jedoch nur mit einer der
beiden Hypothesen.
Diese theoretische Forschungsfrage ist die
Forschungshypothese
Im Sinne eines möglichst strengen Testens
soll die Wahrscheinlichkeit der fälschlichen
Akzeptanz der Forschungshypothese einen
Maximalwert nicht überschreiten.
Im Beispiel postuliert die Forschungshypothese, dass in der Population
eine für die Ganztagesschule ist: π1 > 0.5.
Wenn möglich, wird die Forschungshypothese als Alternativhypothese H1, ihr Gegenteil als
Nullhypothese H0 formuliert.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
8
Festlegung der (maximalen) Irrtumswahrscheinlichkeit
AnnahmeAblehnungsbereich von H0 bereich von H0
p1 < 0.58225 ⇒ H0
0.3
0.4
0.5
kritischer
Wert
p1 ≥ 0.58225 ⇒ H1
0.6
0.7
0.8
Durch diese Zuordnung ist es möglich,
die Forderung zu erfüllen,
dass die fälschliche Akzeptanz der
Forschungshypothese einen Maximalwert
nicht überschreitet.
Dazu wird der Wertebereich der Kennwerteverteilung der Teststatistik in einen Ablehnungs- und einen Annahmebereich zerlegt.
Der Ablehnungsbereich wird dabei so
festgelegt, dass die Wahrscheinlichkeit
(maximal) α ist, in diesen Bereich zu fallen,
wenn die Nullhypothese (gerade noch)
richtig ist.
H0: π1 ≤ 0.5 H1: π1 > 0.5
Soll im Beispiel die maximalen Fehlerwahrscheinichkeit, die Forschungshypothese fälschlicherweise zu akzeptieren, 5% betragen, dann wird der Ablehnungsbereich durch das 95%Quantil der Kennwerteverteilung des Stichprobenanteils bei einem Populationsanteil von π1 =
0.5 festgelegt: Qα=.95,π1=0.5 ≈ 1.645 · 0.5·/10 + 0.5) = 0.58225
Nur wenn ein Stichprobenanteil mindestens diesen Wert erreicht, wird die Nullhypothese H0
abgelehnt und die Alterrnativhypothese H1 (Forschungshypothese) als vermutlich richtig
akzeptiert.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
9
Festlegung der (maximalen) Irrtumswahrscheinlichkeit
AnnahmeAblehnungsbereich von H0 bereich von H0
Wahrscheinlichkeit eines
β-Fehlers
Wenn der kritische Wert erreicht oder überschritten wird, obwohl H0 richtig ist, liegt ein
α-Fehler vor.
Wahrscheinlichkeit eines
α-Fehlers
Wenn der kritische Wert nicht überschritten
wird, obwohl die H0 falsch ist, liegt ein βFehler vor.
In allen anderen Situationen ist die Entscheidung richtig.
0.3
0.4
0.5
0.6
H0: π1 ≤ 0.5 H1: π1 > 0.5
0.7
0.8
Die Höhe der Fehlerwahrscheinlichkeiten
hängt von dem unbekannten Populationswert
ab, über den die Forschungshypothese eine
Vermutung postuliert.
Da die Forschungshypothese die Alternativhypothese H1 ist, ist die maximale Wahrscheinlichkeit, fälschlicherweise die Forschungshypothese abzulehnen, gleich der maximalen α-Fehlerwahrscheinlichkeit.
Diese Wahrscheinlichkeit wird auch als Irrtumswahrscheinlichkeit oder als Signifikanzniveau eines Tests bezeichnet.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
10
Teststärkefunktion
1.0
AblehnungsAnnahmebereich von H0 bereich von H0
Prob(β-Fehler)
0.9
0.8
0.7
0.6
βmax =95%
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
αmax =5%
Prob(α-Fehler) 1-Prob(β-Fehler)
0.0
0.3
0.4
0.5
0.6
H0: π1 ≤ 0.5 H1: π1 > 0.5
0.7
0.8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
zutreffende
unzutreffende
Nullhypothese Nullhypothese
0.9
1.0
π1
Nachdem der Ablehnungsbereich festgelegt ist, kann für jeden möglichen Populationswert die
Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt.
Die so berechnete Funktion heißt Teststärkefunktion (eng. power function).
Trifft die Nullhypothese zu, gibt der Wert der Teststärkefunktion die α-Fehlerwahrscheinlichkeit an; anderenfalls gibt der Wert der Teststärkefunktion die Wahrscheinlichkeit an, eine
falsche Nullhypothese korrekt zu entdecken (=1–β-Fehler).
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
11
Trennschärfe
1.0
Wenn π1 ≤ 0.5, wird die (dann zutreffende) Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von maximal α = 5%
entdeckt.
Wenn π1 ≥ 0.62 wird eine (dann falsche)
Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 1–β ≥ 78.2% entdeckt.
Bei einem Wert von π1 zwischen 0.5 und
0.62 liegt die (β-) Fehlerwahrscheinlichkeit zwischen 95% und 21.8 %. Der Test
ist in diesem Bereich nicht trennscharf.
0.9
Prob(β-Fehler)=21.8%
0.8
π1=0.62
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
1-Prob(β-Fehler)
αmax =5%
0.1
π1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
zutreffende
unzutreffende
Nullhypothese Nullhypothese
0.9
1.0
Die Teststärkefunktion sollte im Bereich der Nullhypothese möglichst geringe Werte nahe 0
und im Bereich der Alternativhypothese möglichst große Werte nahe 1 aufweisen.
Es gibt jedoch immer einen Bereich, in dem ein Test sehr hohe Fehlerwahrscheinlichkeiten
aufweist. In diesem nicht trennscharfen Bereich kann der Test nur schlecht zwischen H0 und H1
diskriminieren.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
12
Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Teststärkefunktion
Bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit hängt die Trennschärfe (Teststärke) von der Stichprobengröße ab:
je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standardschätzfehler und desto steiler und damit
trennschärfer verläuft die Teststärkefunktion.
n=200
1.0
0.9
Bei einer Fallzahl von nur n=50 ist der
Test im Bereich zwischen π1 > 0.5 und
etwa π1 < 0.68 nicht trennschaft
n=100
0.8
0.7
n=50
Bei einer Fallzahl von nur n=200 ist der
Test im Bereich zwischen π1 > 0.5 und
etwa π1 < 0.57 nicht trennschaft
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Ist die Teststärke nicht hoch genug, sollte - wenn möglich - die Fallzahl erhöht werden.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
13
Einfluss des maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit α auf die Teststärkefunktion
Die Teststärkefunktionverläuft steiler, wenn die maximale α-Fehlerwahrscheinlichkeit
heraufgesetzt wird.
1.0
0.9
Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
α ≤ 10 % ist der Bereich, in dem der Test
nicht trennscharf ist, kleiner als bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von α ≤ 10 %.
Der „Preis“ für die steilere Funktion bei
zutreffender Alternativhypothese ist allerdings, dass eher eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.
0.8
0.7
0.6
0.5
α =5 %
0.4
0.3
0.2
α =10%
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Bei gegebener Fallzahl und zu geringer Trennschärfe muss daher gegebenenfalls die
Irrtumswahrscheinlichkeit α heraufgesetzt werden.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
14
Generelle Vorgehensweise beim statistischen Testen
Schritt 1:
Formulierung von Null- und Alternativhypothese
Im Sinne eines strengen Testens ist die Nullhypothese H0 möglichst das Gegenteil
der eigentlich interessierenden Forschungshypothese, der Alternativhypothese H1.
Schritt 2:
Auswahl der statistischen Prüfgröße (Teststatistik)
Die Prüfgröße muss bei richtiger und falscher Nullhypothese unterschiedliche
Kennwerteverteilungen aufweisen. Die Kennwerteverteilung und deren Parameter
müssen (zumindest bei Gültigkeit der Nullhypothese) bekannt sein!
Im Beispiel: Prüfgröße ist Stichprobenanteil, der asymptotisch normalverteilt ist.
Schritt 3:
Festlegung der (maximalen) Irrtumswahrscheinlichkeit (α) und damit des kritischen
Wertes
Im Beispiel ist der kritischer Wert ein Quantilwert der Normalverteilung mit
Erwartungswert 0.5 und Standardabweichung 0.05. Bei einem maximalen α von
5% ist der kritische Wert 0.58225
Schritt 4:
Berechnung der Prüfgröße und Entscheidung
Im Beispiel: In Stichproben, in denen p1 ≥ 0.58225 wird die Nullhypothese
verworfen, anderenfalls beibehalten.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
15
Generelle Vorgehensweise beim statistischen Testen
In der Regel wird eine Teststatistik so ausgewählt, dass ihre Kennwerteverteilung bei (gerade
noch) zutreffender Nullhypothese leicht zu berechnen ist.
Schritt 2:
Auswahl der statistischen Prüfgröße
Beim Test eines Anteils wird daher anstelle des Stichprobenanteils die standardnormalverteilte Prüfgröße Z verwendet, die sich durch Z-Transformation des
Stichprobenanteils an der Stelle π1 = 0. 5 (also wenn die Nullhypothese gerade
noch richtig ist) berechnet
p1 − π1 max . H0
0.58225 − 0.5
Z=
⇒ z10% =
= 1.645
0.5 ⋅ (1 − 0.5 )
π1 max . H0 ⋅ 1 − π1 max. H0
100
n
(
Schritt 3:
Schritt 4:
)
Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit (α) und damit des kritischen Wertes
Bei einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% ist der kritische Wert dann
das 95%-Quantil der Standardnormalverteilung, also 1.645.
Berechnung der Prüfgröße und Entscheidung
Wenn Z ≥ 1.645, dann H1, sonst H0
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
16
Einseitige und zweiseitige Tests
Im Beispiel des Tests der Forschungshypothese, dass eine Mehrheit für die Einführung einer
Ganztagesschule sei, ist die Nullhypothese falsch, wenn ein Populationswert einen
vorgegebenen Wert (im Beispiel: π1 > 0.5) überschreitet.
Ein solcher Test heißt einseitige Hypothesentest, da der von der Nullhypothese postulierte
Wertebereich eines Populationsparameters entweder gegen ein Überschreiten (wie im Beispiel)
oder gegen ein Unterschreiten geprüft wird.
In einem zweiseitigen Hypothesentest postuliert die Nullhypothese dagegen, dass der zu
testende Populationsparameter einen bestimmten Wert aufweist. Die Nullhypothese ist dann
falsch, sowohl wenn dieser Wert überschritten, als auch wenn er unterschritten wird.
Die generelle Vorgehensweise unterscheidet sich in der Schrittfolge nicht von der Vorgehensweise bei einem einseitigen Test.
Schritt 1:
Formulierung von Null- und Alternativhypothese
Bei zweiseitigen Forschungshypothesen ist es nicht immer möglich, dass die Nullhypothese H0 das Gegenteil der Forschungshypothese ist.
Beispiel: Es wird vemutet, dass 75% der Bevölkerung Niedersachsesn über ein
eigenes Einkommen verfügen:
H0: π1 = 0.75 versus H1: π1 ≠ 0.75
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
17
Zweiseitige Tests
Schritt 2:
Auswahl der statistischen Prüfgröße:
Der Stichprobenanteil ist bei einer einfachen Zufallsauswahl um den Populationsanteil normalverteilt.
Wenn π1 = 0.75, dann ist Z =
p1 − π1
π1 ⋅ (1 − π1 )
n
=
p1 − 0.75
0.75 ⋅ (1 − 0.75 )
180
standardnormalverteilt.
Wenn die Nullhypothese falsch ist, π1 ≠ 0.75,
dann ist entweder eher mit kleinen Werten (wenn π1 < .75)
oder aber eher mit großen Werten (wenn π1 > .75) der Teststatistik zu rechnen.
Wenn die Nullhypothese zutrifft, ist dagegen mit Werten um 0.0 zu rechnen.
Schritt 3:
Festlegung von Irrtumswahrscheinlichkeit und kritischen Werten:
Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll α = 5% betragen. Die Nullhypothese ist daher
abzulehnen, wenn die Teststatistik kleiner als das 2.5%-Quantil oder aber größer
als das 97.5%-Quantil der Standardnormalverteilung ist.
Bei einem zweiseitigen Hypothesentest gibt es auch zwei kritische Werte, die den
Bereich der Akzeptanz der Nullhypothese gegen die Teilbereiche der Ablehnung
der Nullhypothese abgrenzen.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
18
Zweiseitige Tests
Schritt 4:
Berechnung der Teststatistik und Entscheidung
Aus dem Allbus 1998 liegen folgende Daten über Befragte aus Niedersachsen vor:
OWNINCOM Eigenes Einkommen
Gültig
Fehlend
Gesamt
.00 nein
1.00 ja
Gesamt
System
Häufigkeit
40
140
180
83
263
Prozent
15.2
53.2
68.4
31.6
100.0
Gültige
Prozente
22.2
77.8
100.0
Kumulierte
Prozente
22.2
100.0
Angaben zum Einkommen liegen von 180 der 263 Befragten vor. Davon verfügen 140 oder
77.8% über ein eigenes Einkommen.
Schritt 4:
Berechnung der Teststatistik und Entscheidung
Der Wert der Teststatistik Z beträgt in der Stichprobe:
z=
140
− 0.75
0.0278
180
=
= 0.86
0.0323
0.75 ⋅ (1 − 0.75)
180
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
19
Zweiseitige Tests
Da -1.96 < 0.86 < 1.96, ist die Nullhypothese nicht zu verwerfen.
Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann nicht ausgeschlossen werden,
dass in Niedersachsen 75% der Bürger über ein eigenes Einkommen verfügen.
Kennwerteverteilung der Teststatistik
Teststärkefunktion im zweiseitigen Test
1.0
π1=.75
1-Prob(β-Fehler)
0.9
π1=.7
π1=.8
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Z
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Prob(Z<-1.96| π1=.75)=2.5%
Prob(Z>1.96| π1=.75)=2.5%
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
Prob(α-Fehler)=5%
0.1
0.0
π1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
20
Empirisches Signifikanzniveau
In Statistikprogrammen wird neben dem Wert der Teststärkestatistik in der Regel das
empirische Signifikanzniveau (bezogen auf einen zweiseitigen Hypothesentest) berichtet.
Das empirische Singifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass eine Teststatistik bei zutreffender Nullhypothese den beobachteten Wert annimt
oder einen Wert, der noch stärker gegen die Nullhypothes spricht.
.40
.35
.30
–0.86
.25
Z=0.86
.20
.15
.10
.05
.00
19.5%
-4
-3
-2
-1
19.5%
0
1
2
3
4
Z
Im Beispiel des zweiseitigen Tests der
Nullhypothese H0: π1 = 0.75 beträgt der
Wert der Teststatistik 0.86.
Diesem Wert entspricht im zweiseitigen
Test ein empirisches Signifikanzniveau
von 39.0%.
Pr(Z ≥ 0.86) = 1 –Φ(0.86) = 19.5%
Pr(Z ≤ –0.86) = Φ(–0.86) = 19.5%
Pr(–0.86 ≥ Z ≥ 0.86) = 39%
Ist das empirische Signifikanzniveau kleiner als die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α,
dann ist die Nullhypothese zu verwerfen;
ist das empirische Signifikanzniveau größer oder gleich der maximale Irrtumswahrscheinlichkeit
α, dann ist die Nullhypothese beizubehalten.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
21
Statistiche Test über Konfidenzintervalle
Als Alternative zum zweiseitigen Hypothesentest über die Teststatistik Z bietet sich die
Berechnung eines Konfidenzintervalls an.
Wenn der Wert der Nullhypothese innerhalb des Konfidenzintervalls mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α bzw. dem Vertrauen 1- α liegt, dann wird die Nullhypothese beibehalten, ansonsten
verworfen.
Im Beispiel der Prüfung von H0: π1 = 0.75 versus H1: π1 ≠ 0.75 berechnen sich die
Grenzen des 95%-Konfidenzintervalls nach:
c.i.(p1) = 140/180 ± 1.96 ·(140 ·40 /1803)0.5 = 0.78 ± 0.06 = [0.72 , 0.84]
Da der von der Nullhypothese postulierte Wert 0.75 innerhalb des 95%-Konfidenzintervalls liegt, kann die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%
nicht verworfen werden.
Ein Vorteil des Testens über Konfidenzintervalle ist, dass die Länge des Konfdenzintervalls
Informationen über die Trennschärfe liefert:
Je länger das Konfidenzintervall ist, desto geringer ist die Trennschärfe.
Auf der anderen Seite nutzt ein Konfidenzintervall nicht die Informationen der Nullhypothese
bei der Berechnung des Standardfehlers aus.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
22
Statistische Test über Konfidenzintervalle
Beim Konfidenzintervall wird von der Stichprobenschätzung p1 ausgegangen und um diesen
Wert mit Hilfe des geschätzten Standardfehlers und der Irrtumswahrscheinlichkeit ein Intervall
berechnet in dem der durch die H0 postulierte Wert π1 liegt oder nicht liegt.
c.i.( p1 ) = p1 ± z1−α / 2 ⋅
p1 ⋅ (1 − p1 )
n
Beim zweseitigen Hypothesentest wird dagegen vom durch die H0 postulierten Wert π1 ausgegangen und um diesen Wert mit Hilfe des Standardfehlers bei gültiger H0 das Intervall des
Annahmebereichs berechnet, in dem die Stichprobenschätzung p1 liegt oder nicht liegt.
Z=
p1 − π1
π1 ⋅ (1 − π1 )
n
⇒ Annahmebereich = π1 ± z1−α / 2 ⋅
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
π1 ⋅ (1 − π1 )
n
23
Hypothesentests über Anteile und Mittelwerte
Bei der Darstellung der Logik des statistsichen Hypothsentestens wurden Hypothesen über
Anteile formuliert.
Generell lassen sich bei solchen Tests über den vermuteten Wert eines Populationsanteils drei
verschiedene Paare von Null- und Alternativhypothese formulieren:
a) H0: π1 = π versus H1: π1 ≠ π
b) H0: π1 ≤ π versus H1: π1 > π
c) H0: π1 ≥ π versus H1: π1 < π
Das erste Hypothesenpaar führt zu einem zweiseitigen Test, da die Nullhypothese falsch ist,
wenn der Populationsantreil kleiner oder aber größer ist als der durch die Nullhypothese
postulierten Wert.
Die zweite und dritte Hypothesenpaar führen zu einseitigen Tests, da hier die Nullhypothese
falsch ist, wenn der Populationswert größer (Fall b) oder kleiner (Fall c) als ein von der
Nullhypothese postulierter Wert ist.
Die Vorgehensweise ist bei allen drei Tests identisch und beginnt in Schritt 1 mit der Formulierung des Hypothesenpaares der Form a), b) oder c),
wobei in konkreten Anwendungen anstelle von π der jeweils konkrete Wert einzusetzen ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
24
Hypothesentests über Populationsanteile
Die Auswahl der statistischen Prüfgröße in Schritt 2 basiert bei allen drei Hypothesenformen
auf der asymptotischen Annäherung der Kennwerteverteilung eines Stichprobenanteils bei
einfachen Zufallsauswahlen an die Normalverteilung.
Bei allen drei Nullhypothesen wird die Teststatistik
p1 − π
p1 − π
Z=
bzw. Z =
π ⋅ (1 − π )
π ⋅ (1 − π ) N − n
⋅
n
n
N −1
berechnet, wobei p1 der Stichprobenanteil ist, der dem zu testenden Anteil in der Population
entspricht, n der Stichprobenumfang und π der in der Nullhypothese a) bis c) formulierte Wert
des Populationsanteils.
Die rechte Formel wird bei einfachen Zufallsauswahlen ohne Zurücklegen aus kleinen
Populationen verwendet, wenn N/n ≤ 20, wobei N der Populationsumfang ist.
Weist der interessierende Populationsanteil π1 den Wert π auf: π1 = π,
dann ist die Teststatistik Z standardnormalverteilt.
Trifft dies nicht zu, ist die Teststatistik Z normalverteilt, aber nicht standardnormalverteilt. Der
Erwartungswert µZ ist dann proportional zur Differenz des tatsächlichen Ppulationsanteils vom
Wert π:
n
μ Z = ( π1 − π ) ⋅
π ⋅ (1 − π )
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
25
Hypothesentests über Populationsanteile
Ist π1 < π, so ist der Erwartungswert negativ und daher eher mit Z-Werten kleiner null zu
rechnen,
ist π1 > π, so ist der Erwartungswert positiv und daher eher mit Z-Werten größer null zu
rechnen.
Dies wird in Schritt 3 bei der Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit und der kritischen
Werte ausgenutzt.
In den Sozialwissenschaften wird üblicherweise von einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5% oder α = 1% ausgegangen.
Bei kleinen Stichproben kann die Irrtumswahrscheinlichkeit auch 10% betragen, um hinreichende Trennschärfe zu erreichen.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit α sollte auch eher größer sein, wenn die eigentlich interessierende Forschungshypothese nicht als Alternativhypothese H1 formuliert werden kann, sondern
als Nullhypothese H0 formuliert werden muss.
Da bei dem zweiseitigen Test a) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststatistik Z ungleich null ist, liegt der Annahmebereich um null und der Ablehnungsbereich an den
Enden der Kennwerteverteilung.
Da bei dem einseitigen Test b) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststatistik Z größer null ist, liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Kennwerteverteilung.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
26
Hypothesentests über Populationsanteile
Ablehnungsbereich bei H0: π1 = π
α/2
α/2
Ablehnungsbereich bei H0: π1 ≤ π
α
Z
0.0
0.0
Z
Ablehnungsbereich bei H0: π1 ≥ π
α
Z
0.0
Da bei dem einseitigen Test b) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststatistik Z größer null ist, liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Kennwerteverteilung.
Es ergeben sich daher folgende Entscheidungsregeln für Schritt 4:
Die Nullhypothese H0 wird mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α abgelehnt, wenn
(a) beim Test von H0: π1 = π gilt: Z < zα/2 oder Z > z1−α/2,
(b) beim Test von H0: π1 ≤ π gilt: Z > z1−α bzw.
(c) beim Test von H0: π1 ≥ π gilt: Z < zα.
Da die Test nur asymptotisch gültig sind, muss jeweils die Anwendungsvoraussetzung geprüft
werden. Die Annäherung an die Normalverteilung ist hinreichend genau, wenn gilt:
n·π1/(1−π1) > 9 und n·(1−π1) / π1 > 9
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
27
Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Anteile können als Mittelwerte einer dichotomen Variablen mit den beiden Ausprägungen 0
und 1 aufgefasst werden, wobei der Wert 1 mit der interessierenden Eigenschaft korrespondiert.
Die Vorgehensweise beim Testen von Mittelwerten entspricht der des Test von Anteilen.
Zu beachten ist allerdings, dass bei mehr als zwei Ausprägungen die Standardabweichung in
der Population keine Funktion des Mittelwerts ist und daher ein separater Populationsparameter
ist.
Auch bei Tests von Mittelwerten lassen sich in Schritt 1 drei verschiedene Paare von Null- und
Alternativhypothese formulieren:
a) H0: µ1 = µ versus H1: µ1 ≠ µ
b) H0: µ1 ≤ µ versus H1: µ1 > µ
c) H0: µ1 ≥ µ versus H1: µ1 < µ
Der Wert µ ist ein in der Nullhypothese postulierter Wert für den Populationsmittelwert.
Das erste Hypothesenpaar führt zu einem zweiseitigen Test, da die Nullhypothese falsch ist,
wenn der Populationsmittelwert kleiner oder aber größer ist als der durch die Nullhypothese
postulierten Wert µ.
Die zweite und dritte Hypothesenpaar fühen demgengenüber zu eindeitigen Tests, da hier die
Nullhypothese falsch ist, wenn der Populationsmittelwert größer (Fall b) oder kleiner (Fall c)
als der von der Nullhypothese postulierter Wert ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
28
Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Die Auswahl der statistischen Prüfgröße in Schritt 2 basiert bei allen drei Hypothesenformen
auf der (asymptotischen) Normalverteilung von Stichprobenmittelwerten bei einfachen
Zufallsauswahlen.
Allerdings sind hier zwei Situationen zu unterscheiden:
1. Bekannte Populationsvarianz
Ist die Populationsvarianz bzw. die Standardabweichung in der Population bekannt, berechnet
sich der Standardfehler des Stichprobenmittelwert nach:
σ 2X
σ X2 N − n
σ(X) =
bzw. σ ( X ) =
⋅
n
n N −1
wobei die rechte Formel bei einfachen Zufallsauswahlen ohne Zurücklegen aus relativ zum
Stichprobenumfang kleinen Populationen verwendet wird, wenn N/n ≤ 20.
2. Unbekannte Populationsvarianz
Ist die Populationsvarianz bzw. die Standardabweichung in der Population unbekannt, wird der
Standardfehler des Stichprobenmittelwert aus den Sichprobendaten gecshätzt nach:
n
σˆ 2X
σ(X) =
=
n
∑ ( xi − x )
i =1
n ⋅ ( n − 1)
n
2
σ X2 N − n
= bzw. σ ( X ) =
⋅
=
n N −1
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
∑ ( xi − x )
i =1
n ⋅ ( n − 1)
2
⋅
N−n
N −1
29
Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Die rechte Formel wird wiederum bei einfachen Zufallsauswahlen ohne Zurücklegen aus relativ
zum Stichprobenumfang kleinen Populationen verwendet, wenn N/n ≤ 20.
Die statistischen Prüfgröße ist stets der Qotient aus der Differenz des Stichprobenmittelwerts
vom in der Nullhypothese postulierten Wert µ geteilt durch den (geschätzten) Standardfehler:
X −μ
X −μ
bzw.
σ(X)
σˆ ( X )
Zu unterscheiden ist, ob die interessierende Größe in der Population normalverteilt ist oder ob
dies nicht der Fall ist.
Wenn die Variable X in der Population normalverteilt ist und die Populationsvarianz bekannt
ist, dann ist die Teststatistik
N−n
−
μ
⋅
⋅
X
n
(
)
X − μ X − μ (X − μ) ⋅ n
X −μ
X−μ
N −1
=
=
=
=
Z=
bzw. Z =
σX
σX
σ(X)
σ(X)
σ 2X
σ X2 N − n
⋅
n
n N −1
bei beliebigen Fallzahlen n in der Stichprobe standardnormalverteilt, wenn der
Populationsmittelwert µX tatsächlich gleich µ ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
30
Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Wenn die Variable X in der Population normalverteilt ist, aber die Populationsvarianz unbekannt ist, dann ist die Teststatistik
N−n
−
μ
⋅
⋅
X
n
(
)
X − μ X − μ (X − μ) ⋅ n
X −μ
X −μ
N −1
=
=
=
=
T=
bzw. T =
σˆ X
σˆ X
σˆ ( X )
σ(X)
σˆ 2X
σˆ X2 N − n
⋅
n
n N −1
bei beliebigen Fallzahlen n in der Stichprobe t-verteilt mit df = n–1Freiheitsgraden, wenn der
Populationsmittelwert µX tatsächlich gleich µ ist.
Wenn die Variable X in der Population nicht normalverteilt ist und die Populationsvarianz
unbekannt ist, dann ist die Teststatistik
N−n
−
μ
⋅
⋅
X
n
(
)
X − μ X − μ (X − μ) ⋅ n
X −μ
X−μ
N −1
=
=
=
=
Z=
bzw. Z =
σˆ X
σˆ X
σˆ ( X )
σ(X)
σˆ 2X
σˆ X2 N − n
⋅
n
n N −1
asymptotisch standardnormalverteilt, wenn der Populationsmittelwert µX tatsächlich gleich µ
ist.
Die Annäherung ist i.a. hinreichend genau, wenn n > 30.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
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Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Ist die Variable X in der Population nicht normalverteilt, aber die Populationsvarianz bekannt,
wird der korrekte Standardfehler verwendet:
X − μ X − μ (X − μ) ⋅ n
X −μ
=
=
=
Z=
bzw. Z =
2
σ
σ(X)
σ
X
( )
σX
X
n
X−μ
σ N−n
⋅
n N −1
2
X
=
(X − μ) ⋅ n ⋅
N−n
N −1
σX
Die Teststatistk ist asymptotisch standardnormalverteilt, wenn der Populationsmittelwert µX
tatsächlich gleich µ ist.
Die Annäherung ist i.a. hinreichend genau, wenn n > 30.
Ist der Populationsmittelwert ungleich µ, dann ist auch der Erwartungswert der Teststatistik
ungleich null.
Beim T-Test ist die Kennwerteverteilung dann nichtzentral t-verteilt, beim Z-Test ist sie
(asymptotisch) normalverteilt mit Erwartungswert ungleich 0.
Da bei dem zweiseitigen Test a) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststatistik Z bzw. T ungleich null ist, wird in Schritt 3 der Annahmebereich um null und der
Ablehnungsbereich an die Enden der Kennwerteverteilung gelegt.
Da bei dem einseitigen Test b) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststatistik Z bzw. T größer null ist, liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Kennwerteverteilung.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
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Hypothesentests über Populationsmittelwerte
Ablehnungsbereich bei H0: µ1 = µ
α/2
α/2
0.0
Ablehnungsbereich bei H0: µ1 ≤ µ
Z bzw.
T
α
0.0
Z bzw.
T
Ablehnungsbereich bei H0: µ1 ≥ µ
α
0.0
Z bzw.
T
Da bei dem einseitigen Test b) und falscher Nullhypothese der Erwartungswert der Teststa-tistik
Z bzw. größer null ist, liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Kennwerteverteilung.
Es ergeben sich daher folgende Entscheidungsregeln für Schritt 4:
Die Nullhypothese H0 wird mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α abgelehnt, wenn
(a) beim Test von H0: µ1 = µ gilt: Z < zα/2 oder Z > z1−α/2 , bzw. T < tα/2;df=n-1 o. T > t1−α/2;df=n-1
(b) beim Test von H0: µ1 ≤ µ gilt: Z > z1−α bzw. T > t1−α;df=n-1
(c) beim Test von H0: µ1 ≥ µ gilt: Z < zα bzw. T < t1−α;df=n-1
Im Sinne eines vorsichtigen Testens wird die T-Verteilung in der Regel auch dann verwendet,
wenn die Variable X nicht normalverteilt ist und die Popualtionsvarianz unbekannt ist.
Statistik 1 (Vorlesung SoSe 06, 13.6.06)
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