7 Harmonische Analysis

241
7
Harmonische Analysis
Ein seltener Fall ist es, wenn es gelingt, für ein reales Problem eine explizite Lösung zu finden.
Manchmal gibt es dafür konfektionierte Methoden. Ein Beispiel ist die Fouriertransformation,
mit der es gelingt, explizite Lösungen für gewisse partielle Differentialgleichungen zu finden.
Diese Mathode ist so fruchtbar, daß es sich lohnt, ihre Grundlagen zu ermitteln und zu versuchen, sie auf andere Probleme anzuwenden. Diese Grundlagen sind unter der Bezeichung
“harmonische Analysis” bekannt.
Hierbei kommt es darauf an, die Methode möglichst allgemein zu betrachten, auch wenn sie
sich in dieser Allgemeinheit nur formal und nicht streng mathematisch begründen läßt. Findet
man mit dieser Methode eine explizite Lösung, kann man sie im Nachhinein durch eine Probe
rechtfertigen. Daß die Lösungsmethode selbst eigentlich nicht gerechtfertigt wahr, ist dann
unerheblich.
Tatsächlich ist die strenge Begründung der weiteren Überlegungen oft ein schweres mathematisches Problem.
7.1
Lösung der Diffusionsgleichung mit Fouriertransformation
Als einführendes Beispiel betrachten wir die Lösung der Diffusionsgleichung mit Hilfe der Fouriertransformation.
Es sei x ∈ R, t ∈ [0, ∞) und c(x, t) die Konzentration eines diffundierenden Stoffes (Brownsche
Bewegung). Eine Möglichkeit, c(x, t) bei gegebener Anfangskonzentration c(x, 0) = c0 (x) zu
bestimmen ist, die Diffusionsgleichung
∂
D ∂2
c(x, t) =
c(x, t)
∂t
2 ∂x2
(50)
zu lösen. Hier ist D der Diffusionskoeffizient, eine Konstante. Eine Möglichkeit, diese Gleichung
zu lösen ist folgende: Wir multiplizieren die Gleichung mit eiµx und integrieren über x. Das
ergibt
Z
D ∞ iµx ∂ 2
∂
ĉ(µ, t) =
e
c(x, t)dx
∂t
2 −∞
∂x2
wobei
∂
ĉ(µ, t) =
∂t
Z
∞
eiµx c(x, t)dx
−∞
eingeführt wurde (die Fouriertransformierte von c(x, t)) und angenommen wurde, daß man
die partielle Zeitableitung mit dem Integral vertauschen kann. Partielle Integration führt auf
(wir nehmen an, daß c(x, t) und seine Ableitungen schnell genug an den Integrationsgrenzen
verschwinden)
∂
D
ĉ(µ, t) = − µ2 ĉ(µ, t)
∂t
2
Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, die sich leicht lösen läßt. Es ist
D 2
ĉ(µ, t) = ĉ(µ, 0) exp − µ t
2
(51)
242
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Um hieraus c(x, t) zu erhalten, muß rücktransformiert werden. Wie bekannt ist
Z ∞
1
e−iµx ĉ(µ, t)dµ
c(x, t) =
2π −∞
was
1
c(x, t) =
2π
Z
∞
−iµx
e
−∞
D 2
ĉ(µ, 0) exp − µ t dµ
2
(52)
ergibt. Die inverse Fouriertransformation eines Produktes ergibt die Faltung der Urbilder.
Hieraus folgt
Z ∞
(x − y)2
1
c0 (y) exp −
dy
(53)
c(x, t) = √
2Dt
2πDt −∞
wobei
Z ∞
D 2
1
1
x2
−iµx
e
exp − µ t dµ = √
exp −
2π −∞
2
2Dt
2πDt
(54)
benutzt wurde. Diese Funktion heißt Greensche Funktion der Gleichung und ist die Lösung für
den speziellen Anfangswert c0 (x) = δ(x) oder ĉ(µ, 0) = 1.
Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst. Folgende Gedanken sind in diesem Zusammenhang
wichtig. Sie gilt es beim Verständnis und möglichen Vearallgemeinerungen zu beachten.
• In Gleichung (50) wirkte auf die gesuchte Funktion ein Differentialoperator (schweres Problem), wogegen in Gleichung (51) auf die gesuchte Funktion ein Multiplikationsoperator
(leichtes Problem) wirkte. Die Fouriertransformation machte also aus einem Differentialoperator einen Multiplikationsoperator. Multiplikationsoperatoren entsprechen in der
linearen Algebra Diagonalmatrizen. Sie sind also somit die einfachsten unter den linearen
Operatoren. Die Fouriertransformation und der ursprüngliche Operator paßten also ideal
zusammen.
• Die Lösung (52) enthielt das Produkt zweier Fouriertransformierter, die Lösung (53) enthielt die Faltung der entsprechenden Urbilder.
• Ein besonderer Anfangswert – die Deltafunktion – hatte eine besonders einfache Fouriertransformiert – die Konstante – und war das neutrale Element bezüglich der Faltung.
• Es gibt noch viele andere Gleichungen (z.B. welche mit beliebigem Differentialoperator anstelle der zweiten Ableitung), die sich auf diese Weise lösen lassen. Insbesondere
transformiert die Fouriertransformation alle Differentialoperatoren in Multiplikationsoperatoren.
7.2
Spektraltheorie linearer Operatoren
Es sei X ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (·, ·) von Funktionen auf einem topologischen Raum
Z also X = L2 (Z). Es sei A ein linearer Operator in X. Ein Vektor eλ heißt Eigenvektor von
A, falls
Aeλ = λeλ
gilt. Tatsächlich gilt diese Gleichung nur auf dem Punktspektrum. Wir werden sie aber formal
(d.h., die Eigenfunktionen sind geeignet als Grenzwert definiert) auf dem ganzen Spektrum
7.2 Spektraltheorie linearer Operatoren
243
betrachten. Im endlichedimensionalen Fall gilt für diagonalisierbare Matrizen A dieses und
alles weitere streng. In eλ ist mit dem Index λ dann der Index des Eigenwertes zu verstehen.
Im allgemeinen soll der Ausdruck eλ symbolisieren, daß die Eigenfunktion von einem Punkt des
Spektrums abhängt. λ durchläuft das Spektrum von A. Der Eigenwert ist dann eine Funktion
dieses Punktes des Spektrums, also eher λ = λ(A).
Wir betrachten die eλ als Spaltenvektoren und bilden aus ihnen eine Matrix (Operator) F−1 =
(· · · eλ · · · ). Es sei F der zu F−1 inverse Operator. F bildet den Raum X in einen neuen Raum
Y ab, dessen Elemente Funktionen auf dem Spektrum sind. F : X −
→ Y. Die Elemente in X seien
ˆ
g, f , die in Y seien ĝ, f , Funktionen von λ. Es ist
ĝ(λ) = (Fg)(λ) , g(z) = (F−1 ĝ)(z)
In vielen interessanten Fällen bilden die eλ eine orthogonale Basis, (eλ , eµ ) = δλµ . Dann ist
F−1 = F∗ und F ist eine Matrix mit den eλ als Zeilenvektoren. Für ein beliebiges Element
g ∈ L2 (Z) ist dann
ĝ(λ) = (Fg)(λ) = (eλ , g).
Weiter sei Λ die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix. Dann gilt
AF−1 = F−1 Λ ⇐⇒ FAF−1 = Λ ⇐⇒ A = F−1 ΛF
Eine Diagonalmatrix ist die endlichdimensionale Version eines Multiplikationsoperators.
Man sieht leicht, daß Potenzen von A ebenfalls mit der Transformation F diagonalisiert werden.
Es gilt An = F−1 Λn F ⇐⇒ FAn F−1 = Λn . Allgemein gilt für analytische Funktionen h(λ)
Fh(A)F−1 = Λ ⇐⇒ A = F−1 h(Λ)F .
Dieser Ausdruck gilt im allgemeinen nur, wenn das Spektrum von A im Analytizitätsbereich
von h enthalten ist.
Damit kann man leicht abstrakte Differentialgleichungen lösen. Angenommen, wir haben in X
eine Gleichung der Form
ġ(t) = Ag(t) , g(0) = g0
(55)
zu lösen. Wir transformieren diese Gleichung nach Y. Das ergibt
ĝ˙ = Fġ = FAg = FAF−1 Fg = FAF−1 ĝ = Λĝ
wobei Λ ein Diagonaloperator (oder im allgemeinen ein Multiplikationsoperator) ist. Diese
Gleichung läßt sich leicht lösen. Es ist
ĝ(t) = eΛt ĝ(0)
wobei eΛt wieder ein Multiplikationsoperator ist. Als Lösung in X erhält man nach inverser
Transformation
g(t) = F−1 eΛt Fg0 .
Tatsächlich ist hier nur ausführlich demonstriert worden, wie man den formalen Lösungsausdruck etA der Gleichung (55) zu verstehen hat, nämlich als
etA = F−1 eΛt F .
244
7.3
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Kommutierende Operatoren
Zu einem gegebenen Operator eine solche Transformation (und auch die Rücktransformation)
zu finden, ist nicht leicht. Sie bedeutet letztlich das Finden des gesamten Eigensystems, was
im allgemeinen (z.B. numerisch) eine viel schwererer Aufgabe ist als das Lösen einer Gleichung
vom Typ (55) mit einem gegebenen Anfangswert.
Von besonderem Interesse ist dieser Algorithmus, wenn es gelingt, eine größere Menge von
Operatoren mit einer einzigen Transformation zu diagonalisieren. Aus der linearen Algebra
ist bekannt, daß das für eine Menge kommutierender Operatoren der Fall ist. Damit stehen
folgende Aufgaben:
• Es sei ein Raum X gegeben.
• Es sei eine einfach zu bestimmende Transformation F : X −
→ Y gegeben.
• Man bestimme die Menge aller Operatoren, die sich mit Hilfe dieser Transformation
diagonalisieren läßt.
• Man erstelle eine möglichst große Tabelle mit Bildern und Urbildern der Transformation.
Die Frage, welche Operatoren sich mit ein und derselben Transformation diagonalisieren lassen,
beantwortet folgender fundamentaler
Satz: Zwei Operatoren lassen sich mit der selben Transformation diagonalisieren gdw. sie kommutieren.
Beweis: ⇐= Es seien A und B zwei Operatoren und F die gemeinsame diagonalisierende Transformation. Dann gilt A = F−1 ΛA F und B = F−1 ΛB F, wobei ΛA und ΛB die entsprechenden
Diagonalmatrizen seien. Da Diagonalmatrizen kommutieren, bolgt
AB = F−1 ΛA FF−1 ΛB F = F−1 ΛA ΛB F = F−1 ΛB ΛA F = F−1 ΛB FF−1 ΛA F = BA
=⇒ Wir geben für diese Beweisrichtung nur die Beweisidee an. Wir zeigen, daß für Matrizen
mit einfachen Eigenwerten, kommutierende Matrizen dieselben Eigenvektoren haben.
Es sei AB = BA und eλ Eigenvektor von A mit Eigenwert λ, also Aeλ = λeλ . Dann gilt
ABeλ = BAeλ = λBeλ
D.h., Beλ ist ebenfalls Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Beλ liegt also in dem von eλ
aufgespannten Eigenraum. Es gibt also ein β mit Beλ = βeλ , d.h. B hat dieselben Eigenvektoren
wie A und damit dieselbe diagonalisierende Transformation.
Im Allgemeinen läßt sich diese Richtung mit derselben Idee, aber größerem technischen Aufwand
beweisen.
In der Realität ist es so, daß man auf gut bekannte Mengen von kommutierenden Operatoren
zurückgreift und nur solche Probleme betrachtet, in denen Operatoren aus dieser Menge vorkommen. Solche geeigneten Mengen kommutierender Operatoren – von denen man auch das
vollständige Eigensystem kennt – sind sehr selten. Am besten ist es, man legt von Anfang an
den Raum so fest, daß so eine Menge kommutierender Operatoren kanonischer Weise enthalten
ist.
245
7.4 Abstrakte Fourieranalysis
7.4
Abstrakte Fourieranalysis
Wir suchen also eine übersichtliche Menge kommutierender Operatoren. Das gelingt besonders
gut, wenn auf Z die Struktur einer kommutativen Gruppen gebeben ist, d.h., wenn Z eine
kommutative topologische Gruppe ist. Das sei im Weiteren der Fall. Tatsächlich, ist diese Annahme eine starke Einschränkung an den Raum Z. Man kann nicht erwarten, daß man zu einem
gegeben topologischen Raum Z eine kommutative Gruppenstruktur findet.
Z sei eine kommutative Gruppe mit der binären Operation a, z ∈ Z =⇒ az ∈ Z. Es sei Ca der
durch (Ca g)(z) = g(az) definierte Verschiebungs- oder Shiftoperator in C(Z). Diese Operatoren kommutieren. Daher gibt es nach dem Satz von Kakutani-Markow eine gemeinsames
stationäres Maß der adjungierten Operatoren, also ein Maß µ ∈ C∗ mit
Z
Z
hCa g, µi = hg, µi ⇐⇒
g(az)µ(dz) = g(z)µ(dz) , ∀a ∈ Z, ∀g ∈ X
Z
Z
Dieses Maß wird – in unserem speziellen Fall, daß Z eine kommutative Gruppe ist – Haarsches
Maß genannt. Im allgemeineren Fällen, z.B. wenn Z nur eine Halbgruppe ist, existiert ebenfalls
ein gemeinsames invariantes Maß für eine Menge von kommutierenden Operatoren. Außerdem
kommutieren die Ca mit der algebraischen Struktur in C. Es gilt Ca (g · f ) = (Ca g) · (Ca f ).
Desweiteren ist leicht zu beweisen, daß C−1
= Ca−1 (hier ist a−1 das inverse Element zu a
a
bezüglich der Gruppenstruktur in Z).
Es sei X = L2 (µ) der von C und µ generierte Hilbertraum mit dem Skalarprodukt (g, f )µ =
hf · g, µi und Ca die Erweiterung von Ca in X. Für den adjungierten von Ca in X (nicht zu
verwechseln mit dem adjungierten in C∗ ) gilt wegen
(Ca g, f )µ = hf · Ca g, µi = hf · Ca g, (C∗a)−1 µi = hC−1
a (f · Ca g), µi =
−1
−1
−1
= hCa f · (Ca Ca g), µi = hCa f · g, µi = (g, C−1
a f )µ
D.h., im Hilbertraum X ist der zu Ca adjungierte Operator der inverse Operator C−1
a .
Es seien eλ die Eigenfunktionen von Ca zum Eigenwert λ(a), also
Ca eλ = λ(a)eλ
Es sei Y ein – hier nicht genauer spezifizierter – Raum von Funktionen von λ. Wir definieren
eine Transformation F : X −
→ Y nach der Vorschrift
ĝ(λ) = (Fg)(λ) = (eλ , g)µ
und nennen sie Fouriertransformation. Y ist der entsprechende Fourierraum. Diese Transformation diagonalisiert die Verschiebungsoperatoren wegen
−1
−1
(FCa g)(λ) = (eλ , Ca g)µ = (C−1
a eλ , g)µ = λ(a )(eλ , g)µ = λ(a )(Fg)(λ)
Die Menge der mit Ca kommutierenden Operatoren läßt sich wie folgt beschreiben: Es sei zu
einer festen Funktion g der Operator
Z
(Ag f )(z) = f (x)g(zx−1 )µ(dx)
Z
definiert. Er wird Faltungsoperator genannt. Symmetrischer ist seine Darstellung in schwacher Form als
Z
(Ag f, h)µ =
f (x)g(y)h(xy)µ(dx)µ(dy)
Z×Z
246
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Man sieht leicht, daß Ag f = Af g. Deshalb wird durch f ∗g = Ag f = Af g in X eine kommutative
bilineare Operation definiert, die Faltung genannt wird.
Satz: Ag Ca = Ca Ag
Beweis:
Z
Z
−1
(Ca Ag f )(z) =
f (x)g(zax )µ(dx) = f (x)g(z(xa−1 )−1 )µ(dx) =
ZZ
ZZ
=
f (ay)g(zy −1)µ(d(ay)) = (Ca f )(y)g(zy −1)µ(dy) = (Ag Ca f )(z)
Z
Z
Damit ist klar, daß F auch Ag diagonalisiert, d.h. FAg F−1 ist ein Multiplikationsoperator in
Y. Es gilt (Faltungsidentität)
F(f ∗ g) = (Ff ) · (Fg)
Faltungsoperatoren erschöpfen die Menge aller der Operatoren, die mit Verschiebungsoperatoren kommutieren, wenn man den Begriff des Faltungsoperators großzügig genug definiert. So
kann man im R die zweite Ableitung als Faltung mit der “zweiten Ableitung der Deltafunktion”
verstehen:
Z
′′
g (x) =
g(y)δ ′′(x − y)dy
R
Eine andere Möglichkeit ist, die zweiten Ableitung als Grenzwert singulärer Integraloperatoren
zu verstehen:
Z ∞
g(x) − g(x′ ) ′
α
′′
g (x) = lim
dx
α→2 2Γ(1 − α) −∞ |x − x′ |α+1
Hier ist Γ(α) die Gammafunktion und das Integral ist als Hauptwertintegral zu verstehen.
Der Kern des vorgestellten Schemas besteht aus einer Transformation (Fouriertransformation),
die eine komplizierte binäre Operation (Faltung) auf eine einfache binäre Operation (punktweis
eMultiplikation) abbildet. Es läßt sich auf verschiedene Weise verallgemeinern, insbesondere
auf Halbgruppen anstelle von Gruppen und Räume mit nichtlinearen Strukturen.
Im Folgenden stellen wir ein paar typischen Beispiele für den vorgestellten abstrakten Formalismus vor. Von speziellem Interesse ist insbesondere (F1)(λ). Dabei benutzen wir die Bezeichnungen, die historisch entstanden sind und sich zum Teil leicht von denen die im abstrakten
Teil benutzt wurden unterscheiden.
?
ÜA: Einige Formeln sind mit =. Sie sind genauso wie die freigelassenen Formeln als Übungsaufgaben zu verstehen.
7.5 Additive Gruppen und Halbgruppen im Rn
7.5
7.5.1
247
Additive Gruppen und Halbgruppen im Rn
Die klassische Fouriertransformation
Raum/Gruppe
Z = R,
Shift-Operator (SO)
(Ca g)(x) = g(x + a)
Haarsches Maß
µ(dx) = dx
R
(a, b) =
a(x)b(x)dx
Skalarprodukt (SP)
eλ (x) = eiλx
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
x, a −
→x+a
Ca eiλx = eiλa · eiλx
R
a∗b =
a(y)b(x − y)dy
R iλx
â(λ) = (Fa)(λ) =
e a(x)dx
R −iλx
1
e
â(λ)dλ
(F−1 â)(x) = 2π
eiλx , eiµx = 2πδ(λ + µ)
FT der Eins
eiλx ∗ eiµx = 2πeiµx δ(λ − µ)
R iλx
(F1)(λ) =
e dx = 2πδ(λ)
a ∗ 1 = â(0) = 2πF−1 (â(λ) · δ(λ))
Integral
Typische Anwendung: Lösung der Diffusionsgleichung
ut (x, t) = Duxx (x, t) , u(x, 0) = u0 (x)
R
Mit û(µ, t) = Fu = eiµx u(x, t)dx folgt nach zweimaligem partiellen Integrieren
ût (µ, t) = −Dµ2 û(µ, t)
Die Lösung dieser Gleichung ist
2
û(µ, t) = e−Dµ t û0 (µ)
mit û0 = Fu0 . Die Rücktransformation u = F−1 û ergibt
Z
Z
Z
1
1
iµy
−iµx −Dµ2 t
−iµx −Dµ2 t
e u0 (y)dy dµ =
e
e
û0 (µ)dµ =
e
e
u(x, t) =
2π
2π
Z
Z
Z
(x − y)2
1
1
−iµ(x−y) −Dµ2 t
√
exp −
e
e
dµ dy =
u0 (y)dy
=
u0 (y)
2π
4Dt
4πDt
248
7 HARMONISCHE ANALYSIS
7.5.2
Die klassische Laplacetransformation
Hier ist Z = R+ . Das fürt dazu, daß Z nur eine Halbgruppe ist. Der Verschiebungsoperator
kann deshalb nur für negative Verschiebungen definiert werden und hat keinen inversen. Das
führt dazu, daß Funktionen nur “nach rechts” verschoben werden dürfen. Implizit wird immer
angenommen, daß eine Funktion g(t) für negative t den Wert 0 hat.
Raum/Halbgruppe
Z = R+ ,
Shift-Operator (SO)
(Ca g)(t) = g(t − a)
Haarsches Maß
µ(dx) = dx
R∞
(a, b) = 0 a(t)b(t)dt
Skalarprodukt (SP)
eλ (x) = e−λx
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
t, a −
→t+a
Ca e−λt = eλa · e−λt
Rt
(a ∗ b)(t) = 0 a(s)b(t − s)ds
R∞
â(λ) = (Fa)(λ) = 0 e−λt a(t)dt
n
a(t) = lim nt â nt
n→∞
1
e−λx , e−µx = λ+µ
e−λx ∗ e−µx =
(F1)(λ) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral
e−λt −e−µt
µ−λ
R −λx
e
Rt
0
dx = λ−1
a(s)ds
1
tk−1
1 ∗ · · · ∗ 1 = (k−1)!
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = λ−k
k-Faltungen der Eins
FT davon
Typische Anwendung: Resolvente von Halbgruppen. Die Gleichung ġ(t) = Ag geht, wenn A
nicht explizit von der Zeit abhängt, nach Laplacetranformation in die Gleichung (λ − A)ĝ = g0
über. Der Anfangswert erscheint, weil nach partieller Integration
Z ∞
Z ∞
∞
−λt
−λt
e−λt g(t)dt = g(0) + λĝ(λ)
e ġ(t)dt = e g(t) + λ
0
t=0
0
folgt. Hier wirkt, daß es sich bei Z nur um einen Halbgruppe, keine Gruppe handelt.
Allgemein lassen sich mit dieser Methode lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und MemoryGleichungen mit homogenen Kernen lösen.
249
7.6 Gruppen und Halbgruppen in N
7.6
7.6.1
Gruppen und Halbgruppen in N
Folgen I (additive Zahlentheorie)
Völlig analog zur klassischen Laplacetransformation für Funktionen g(t) mit t ≥ 0, kann man
einen Formalismus für Folgen (an )∞
n=0 entwickeln. Die abstrakte Fouriertransformation heißt
hier erzeugende oder generierende Funktion. Die Rolle von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen spielen hier lineare rekursive Folgen. Eine Gegenüberstellung der wichtigsten
Objekter dieser beiden Theorien findet sich im nächsten Abschnitt.
Raum/Halbgruppe
Z = N,
Shift-Operator (SO)
(Ck a)(n) = an−k
Haarsches Maß
µn = 1
P∞
(a, b) =
n=0 an bn
Skalarprodukt (SP)
eλ (n) = xn
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
Ck xn = x−k · xn
Pn
(a ∗ b)(n) =
k=0 ak bn−k
P∞ n
A(x) = (Fa)(x) =
n=0 x an
dn
(F−1 â)(n) = n!1 dx
n â(x) x=0
1
xn , y n = 1−xy
xn ∗ y n =
(F1)(x) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral (Summe)
k-Faltungen der Eins
FT davon
n, k −
→n+k
1 ∗···∗1 =
F(1 ∗ · · · ∗ 1) =
xn+1 −y n+1
x−y
1
1−x
Pn
k=0 ak
n+k−1
n
1
(1−x)k
Typische Anwendungen gibt es in der Kombinatorik (Partitionen) und additiven Zahlentheorie
(Bestimmung der Anzahl von Lösungen von linearen diophantischen Gleichungen).
Als Beispiel betrachten wir zwei Partitionierungsaufgaben. Es sei an die Anzahl von Zerlegungen
von n mit geraden Summanden und bn die Anzahl von Zerlegungen von n mit ungeraden
Summanden und Fa (x) und Fb (x) die entsprechenden erzeugenden Funktionen. Es ist
1
(1 −
− x4 )(1 − x6 ) · · ·
1
Fb (x) =
(1 − x)(1 − x3 )(1 − x5 ) · · ·
Fa (x) =
x2 )(1
Offenbar ist
F (x) = Fa (x)Fb (x) =
(1 − x)(1 −
x2 )(1
1
− x3 )(1 − x4 )(1 − x5 ) · · ·
die erzeugende Funktion von P (n), der Zerlegungen von n ohne Einschränkungen. Das läßt sich
folgendermaßen erklären: Wir betrachten eine konkrete Partition von n. Sie besteht aus geraden
250
7 HARMONISCHE ANALYSIS
und ungeraden Summanden. Wir fassen diese zu na und nb mit n = na + nb zusammen. Die
Anzahl von Partitionen p(n, na , nb ), wobei die Summe der geraden und ungeraden Summanden
na bzw. nb sind, sind dann p(n, na , nb ) = ana · bnb . Die Anzahl aller Partitionen P (n) ist dann
die Summe über alle p(n, na , nb ), wobei n = na + nb zu berücksichtigen ist, also
P (n) = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + . . . + an−1 b1 + an b0 .
Das ist gerade die Faltung (an ) ∗ (bn ).
7.6.2
Folgen II
In N lassen sich auch andere Verschiebungsoperatoren definieren, denen anders definierte Halbgruppen zugrunde liegen.
Raum/Halbgruppe
Shift-Operator (SO)
Haarsches Maß
Skalarprodukt (SP)
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
Faltung der EF
FT der Eins
Integral (Summe)
k-Faltungen der Eins
FT davon
Z = N,
?
n, k −
→
(Ck a)(n) = (n − k + 1) · · · (n + 1)nan−k
µn = 1/n!
P∞
(a, b) =
n=0
1
a b
n! n n
eλ (n) = xn
Ck xn = x−k · xn
Pn
n
(a ∗ b)(n) =
k=0 k ak bn−k
P∞ xn
A(x) = (Fa)(x) =
n=0 n! an
n
d
(F−1 â)(n) = dx
n â(x) x=0
xn , y n = exy
xn ∗ y n = (x + y)n
(F1)(x) = ex
Pn
a∗1 =
k=0
1 ∗ · · · ∗ 1 = kn
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = ekx
n
k
ak
Beweis der Faltungsidentität:
! ∞
!
∞
∞ X
∞
∞ X
m
X
X
X
X xk
xn
xm
xn+k
an
bk
=
an bk =
am bm−j =
n!
k!
n!k!
j!(m
−
j)!
n=0
m=0 j=0
k=0 n=0
k=0
m
∞
∞
X
X
m!
xm
xm X
am bm−j =
(a ∗ b)m
=
m!
j!(m
−
j)!
m!
j=0
m=0
m=0
Hier wurde in der Doppelsumme die Substitution n = j, k = m − j ⇐⇒ j = n, m = k + n
vorgenommen.
251
7.6 Gruppen und Halbgruppen in N
7.6.3
Folgen III (Multiplikative Zahlentheorie)
Eine weitere
P Anwendung der Methode gibt es in der multiplikativen Zahlentheorie. Summen
der Form k|n ak bedeuten, es wird über alle die Elemente ak der Folge summiert, deren Index
k ein Teiler von n ist. Die Fouriertransformation heißt hier Dirichletreihe.
Raum/Halbgruppe
Z = N,
Shift-Operator (SO)
n, k −
→ nk
(Ck a)(n) = ank
Haarsches Maß
µn =
?
P∞
Skalarprodukt (SP)
(a, b) =
Eigenfunk. (EF) des SO
es (n) = n−s
n=1
an bn
Ck n−s = k −s · n−s
P
(a ∗ b)(n) =
k|n ak bn/k
P∞
−s
A(s) = (Fa)(s) =
n=1 an n
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr. (FT)
(F−1 â)(n) =
xn , y n =
inverse Fouriertr. (IFT)
SP der EF
xn ∗ y n =
Faltung der EF
(F1)(x) = ζ(s)
FT der Eins
(Riemannsche Zetafunktion)
(Fnj )(x) = ζ(s − j)
FT von Potenzen
Faltung zweier Einsen
Faltung von Potenz mit Eins
FT von ∗k der Eins
1 ∗ 1 = τ (n) (Zahl der Teiler)
(nj ) ∗ 1 = σj (n) (Summe der j-ten Potenzen der Teiler)
F(1 ∗ · · · ∗ 1) = ζ k (s)
Es sei h(n) eine multiplikative Funktion, d.h., eine Funktion für die für Teilerfremde i und
j gilt: h(ij) = h(i)h(j). Es sei n = pk11 · · · pkmm die Primzahlzerlegung von n. Dann ist h(n) =
h(pk11 ) · · · h(pkmm ). Aus der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung folgt, daß die Menge der Produkte aller möglicher Potenzen aller Primzahlen mit der Menge der naturlichen Zahlen indentisch
ist. Hieraus folgt für multiplikative Funktionen h
∞
X
h(n) =
n=1
∞
YX
h(pj )
p∈P j=0
die multiplikative Eigenschaft der Dirichletreihe. Diese Formel auf die Potenzfunktion angewendet ergibt
ζ(s) =
∞
X
n=1
−s
n
=
∞
YX
p∈P j=0
p−sj =
1
1 − p−s
p∈P
Y
252
7.7
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Zusammenhänge zwischen Funktionen und Folgen
Definition
f (n)
n∈N
erz. Funktion
F (x) =
∞
P
xn f (n)
n=0
f (n) =
Faltung
(g ∗ f )(n) =
1 (n)
F (0)
n!
n
P
j=0
g(n − j)f (j)
Fg∗f (x) = Fg (x) · Ff (x)
g∗f = (µa,1 ∗g)∗(µa,−1 ∗f )
kan. Funktion
µa (n) = an
(S1 f )(n) =
n
P
j=0
n
P
an−j f (j)
f (j)
j=0
FSa f (x) = Ff (x)/(1 − ax)
Differenz
0
FJa f (x) = Ff (λ)/(λ − a)
(Da f )(t) = µa,−1 ∗ f
(∆1 f )(n) = f (n) − f (n − 1)
(D0 f )(t) = f ′ (t) + f (0)δ(t)
Sa ∆a f = ∆a Sa f = f
F∆a f (x) = (1 − ax)Ff (x)
δk (n) = (0, ..., 0, 1, 0, ...)
δk ∗ δm = δk+m
Fδk (x) = xk
Shift
(Ja f )(t) = µa ∗ f
Z t
′
=
ea(t−t ) f (t′ )dt′
Z0 t
(J0 f )(t) =
f (t′ )dt′
(∆a f )(n) = µa,−1 ∗ f
(∆a f )(n) = f (n) − af (n − 1)
kan. Basis
0
Fg∗f (λ) = Fg (λ) · Ff (λ)
g∗f = (µa,1 ∗g)∗(µa,−1 ∗f )
µ0 = 1
(Sa f )(n) = µa ∗ f
=
t ∈ R+
Z ∞
F (λ) =
e−λt f (t)dt
0 Z
c+i∞
1
f (t) =
eλt F (λ)dλ
2πi c−i∞
Z t
(g ∗ f )(t) =
g(t − t′ )f (t′ )dt′
µa (t) = eat
µ1 = 1
Summe
f (t)
(Ck f )(n) = f (n + k)
(Da f )(t) = f ′ (t) − af (t) + f (0)δ(t)
Ja Da f = Da Ja f = f
FDa f (x) = (λ − a)Ff (λ)
?
δτ (t) = δ(t − τ )
δτ ∗ δσ = δτ +σ
Fδτ (λ) = e−λτ
(Cτ f )(t) = f (t + τ )
Ck f = (fk , fk+1 , ...)
FCk f (x) =
(C−k f )(n) = f (n − k)
C−k f = (0, ..., 0, f0, f1 , ...)
FC−k f (x) = xk Ff (x)
δk ∗ f = C−k f
(C−τ f )(t) = f (t − τ )
FC−τ f (λ) = e−τ λ Ff (λ)
Ck C−k f = f
Cτ C−τ f = f
C−k Ck f 6= f
C−τ Cτ f 6= f
253
7.7 Zusammenhänge zwischen Funktionen und Folgen
Einige weitere Operationen mit den kanonischen Funktionen sind in der folgenden Tabelle
zusammengestellt.
n+k−1 n
a
k−1
µa,k (n) =
Spezialfälle
µa,1 (n) = µa (n) = an
µa,1 (t) = µa (n) = eat
µa,2 (n) = (n + 1)an
µa,2 (t) = teat
(n + 2)(n + 1) n
a
2
µa,0 (n) = (1, 0, 0, 0, ...)
µa,3 (t) =
µa,3 (n) =
µa,−1 (n) = (1, −a, 0, 0, ...)
µa,−2 (n) = (1, −2a, a2 , 0, ...)
1
(1 − ax)k
µa,k (t) =
tk−1 at
e
(k − 1)!
Definition
t2 at
e
2
µa,0 (t) = δ(t)
µa,−1 (t) = δ ′ (t)−aδ(t)
µa,−2 (t) = δ ′′ (t)−2aδ ′ (t)+a2δ(t)
Fµa,k (x) =
Faltung I
µa,k ∗ f = Ska f
µa,k ∗ f = Jka f
µa,−k ∗ f = ∆ka f
µa,−k ∗ f = Dka f
µa,0 ∗f = f
µa,0 ∗f = f
Faltung II
an+1 − bn+1
a−b
aµa − bµb
=
a−b
= Sa Sb δ0
Shift
Produkt
(µa ∗µb )(t) =
µa ∗µb
µa ∗µb
1
(1 − ax)(1 − bx)
µa,k ∗µa,m = µa,k+m
Fµa ∗µb (λ) =
1
(λ − a)(λ − b)
µa,k ∗µa,m = µa,k+m
C1 µa = aµa
(µa ·f )(n) = an fn
Fµa ·f (x) = Ff (ax)
Differenz
eat − ebt
a−b
µa − µb
=
a−b
= Ja Jb δ0
(µa ∗µb)(n) =
Fµa ∗µb (x) =
Faltung III
Fµa,k (λ) =
1
(λ − a)k
erz. Funktion
∆a µa,k = µa,k−1
∆a µa = δ0
Zu beachten ist:
(∆a f )(0) = f (0), d.h. f (−1) = 0 wird gesetzt.
(Ja f )(0) = 0 für stetige Funktionen.
(µa ·f )(t) = eat f (t)
Fµa ·f (λ) = Ff (λ − a)
Da µa,k = µa,k−1
Da µa = δ0
254
7.7.1
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Gegenüberstellung von Differenzen- und Differentialgleichungen
Lineare Rekursion
Lineare Differentialgleichung
fn = a1 fn−1 + ... + ak fn−k
f (k) (t) = a1 f (k−1) + ... + ak f (0)
Ansatz: fn = xn
Charakteristische Gleichung:
Ansatz: f (t) = ext
Charakteristische Gleichung:
xk = a1 xk−1 + ... + ak
xk = a1 xk−1 + ... + ak
Allgemeine explizite Lösung:
Allgemeine explizite Lösung:
fn = c1 xn1 + ... + ck xnk
f (t) = c1 ex1 t + ... + ck exk t
Bestimmung der speziellen Lösung





f0
f1
..
.
fk−1


 
 
=
 
1
x1
..
.
1
x2
..
.
...
...
..
.
1
xk
..
.
x1k−1 x2k−1 . . . xkk−1





c1
c2
..
.
ck


 
 
=
 
f (0)
f ′ (0)
..
.
f (k−1) (0)





7.8 Nichtlineare Probleme
7.8
255
Nichtlineare Probleme
Fouriertransformation und Faltung sind lineare Operatoren, die natürlicherweise in linearen
Räumen wirken. Die Fouriertransformation ist deshalb auch eine Methode zum Lösen spezieller (verschiebungsinvarianter) linearer partieller Differentialgleichungen. Wichtige Gleichungen
in der klassischen Physik sind nichtlinear. Eine Methode zur Lösung solcher Gleichungen ist
die Verallgemeinerung der Idee der Fouriertransformation (“transformiere Operatoren in Multiplikationsoperatoren”) auf nichtlineare Probleme.
Eine sehr fruchtbare Möglichkeit ist die sogenannte “Solitonentheorie” oder “Methode der inversen Streutheorie” (siehe z.B. die Korteweg-de-Vries-Gleichung).
Eine andere Methode, die eng mit der konvexen Analysis zusammenhängt, findet man durch
7.8.1
Umdefinierung der linearen Operationen
Von besonderer Bedeutung ist eine weitere Algebraisierung indem man in X zwei algebraische
Operationen, eine punktweise Addition ⊕ und eine punktweise Multiplikation ⊗ einführt. Eine
Linearkombination ist dann
(λ1 ⊗ w1 ) ⊕ (λ2 ⊗ w2 )
und ein Skalarprodukt
M (f, g)µ =
f (z) ⊗ g(z)
z
Zu diesen Operationen gibt es neutrale Elemente 00(z) und 1(z).
Zu beachten ist, daß die Eigenwertaufgabe jetzt Aeλ = λ ⊗ eλ lautet.
Wir führen hier zwei Beispiele an, von denen das zweite die eigentliche Methode in der konvexen Analysis darstellt. Das erste Beispiel, die sogenannte WKB-Methode, hängt von einem
Parameter h ab. Sie beinhaltet die konvexen Analysis als Grenzfall h −
→ 0.
256
7.8.2
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Der WKB-Formalismus
Die klassische Mechanik gilt als Grenzfall der Quantenmechanik, wenn das Plancksche Wirkungsquantum ~ nach Null geht. Die Herleitung klassischer Gleichungen aus quantenmechanischen wird WKB-Methode genannt. Das spiegelt sich aus mathematischer Sicht darin wider,
daß die folgenden Formeln für h −
→ 0 in die Formeln der konvexen Analysis übergehen.
Z = Rn
X = C(Rn )
a(x)
− b(x)
− h
h
+e
(a ⊕ b)(x) = −h log e
Raum/Gruppe
Addition
Multiplikation
(a ⊗ b)(x) = a(x) + b(x)
Null
00 = +∞
1 = 0
Eins
Skalarprodukt
(a, b) = −h log
Shift-Operator
R
e−
a(x)+b(x)
h
dx
(Cy g)(x) = g(x + a)
ex∗ (x) = hx, x∗ i, x∗ ∈ X∗
Eigenfunk. (EF) des SO
Cy hx, x∗ i = hx + a, x∗ i = ha, x∗ i + hx, x∗ i = ha, x∗ i ⊗ hx, x∗ i
R a(y)+b(x−y)
h
dy
a ∗ b = −h log e−
R − a(x)+hx,x∗ i
h
dx
(Fa)(λ) = −h log e
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr.
(F−1 â)(x) =
h·, x∗ i, h·, y ∗i =
inverse Fouriertr.
SP der EF
h·, x∗ i ∗ h·, y ∗i =
Faltung der EF
(F1)(λ) =
FT der Eins
a∗1 =
Integral
1∗1 =
1 ∗···∗1 =
Faltung der Eins
Faltung von Einsen
Der Beweis der Faltungsidentität läuft folgendermaßen ab:
F (a ∗ b) = −h log
= −h log
Z
Z
−
e
e−
Z Z
hx,x∗ i
h
e−
1
dx = −h log e
exp − (a ∗ b)(x) dx =
h
Z
a(y)+b(x−y)
1
h
exp − −h log e−
dy dx =
h
hx,x∗ i+(a∗b)(x)
h
hx,x∗ i
h
e−
a(y)+b(x−y)
h
Z
−
hx,x∗ i
h
dydx =
Z
Z
∗i
∗i
− b(x)
− hy,x
− a(y)
− hx,x
h
h
h
h
e
dx
e
e
dy
=
= −h log
e
= −h log
= F (a) + F (b) = F (a) ⊗ F (b)
257
7.8 Nichtlineare Probleme
Typische Anwendung: Lösung der Schrödingergleichung in der WKB- oder hydrodynamischen
Form: Die Lösung der Gleichung
2
1 ∂
∂
h ∂2
w+
w =
w
∂t
2 ∂x
2 ∂x2
läßt sich als Superposition von schon bekannten Lösungen darstellen. Sind w1 und w2 Lösungen,
dann ist auch jede “Linearkombination”
w1 +λ1
w2 +λ2
w = (λ1 ⊗ w1 ) ⊕ (λ2 ⊗ w2 ) = −h log e− h + e− h
Lösung der Gleichung.
7.8.3
Konvexe Analysis
Wie bereits erwähnt sind infimale Faltung und Legendretransformation ein Grenzfall des WKBFormalismus. Der entscheidende Grund dafür ist das asymptotische Verhalten von Integralen
von Exponentialfunktionen mit einem großen Exponenten (hier ein kleiner Wert h in Nenner
des Exponenten). Diese Verhalten ist als “Laplace-Prinzip” oder “Method of steepest descent”
bekannt und gründet sich auf folgenden Grenzwert:
Z
1
lim − log e−nf (x) dx = inf f (x)
x
n→∞
−
n
Raum/Gruppe
Addition
Multiplikation
Null
Eins
Skalarprodukt
Shift-Operator
Eigenfunk. (EF) des SO
Eigenwertgl.
Faltung
Fouriertr.
inverse Fouriertr.
SP der EF
Faltung der EF
FT der Eins
Integral
Faltung der Eins
Z = Rn
X = C(Rn )
(a ⊕ b)(x) = min{a(x), b(x)}
(a ⊗ b)(x) = a(x) + b(x)
00 = +∞
1 = 0
(a, b) = inf x a(x) + b(x)
(Cy g)(x) = g(x + a)
ex∗ (x) = hx, x∗ i, x∗ ∈ X∗
Cy hx, x∗ i = hx + a, x∗ i = ha, x∗ i + hx, x∗ i = ha, x∗ i ⊗ hx, x∗ i
a ∗ b = inf y a(y) + b(x − y)
(Fa)(λ) = inf x a(x) + hx, x∗ i
(F−1 â)(x) =
h·, x∗ i, h·, y ∗i = −χ{0} (x∗ + y ∗ )
h·, x∗ i ∗ h·, y ∗i = h·, y ∗i − χ{0} (x∗ − y ∗)
(F1)(λ) = inf x hx, x∗ i = −χ{0} (x∗ )
a ∗ 1 = inf y a(y)
1∗1 = 1
258
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Bemerkung: Der Grenzübergang h −→ 0 ist ein typischer nichttrivialer Limes, bei dessen
Übergang sich die dahinterstehenden mathematischen Methoden prinzipiell ändern. Weitere
nichttriviale Grenzübergänge dieser Art sind: Masse nach 0 (reduziert die Ordnung der Differentialgleichung in der Zeit), Diffusionskoeffizient nach 0 (reduziert die Ordnung der Differentialgleichung im Ort) und der Grenzübergang q −
→ 1 in der sogenannten “q-Theorie”.
7.9
7.9.1
Beispielaufgaben
Cauchy-Prozeß
Im allgemeinen läßt sich ein Markovprozeß in R durch eine Gleichung ct (x, t) = Ac mit Anfangswert c(x, 0) = c0 (x) und einem Markowgenerator A beschreiben. Ein Beispiel ist doie
Diffusionsgleichung ct (x, t) = Dcxx (x, t), die sich mit Fouriertransformation für konstantes D
lösen läßt. Eine weitere explizit lösbare Gleichung ist (es sei a > 0 gegeben)
Z
c(x′ , t) − c(x, t) ′
∂
a
c(x, t) =
dx
∂t
π R
(x − x′ )2
ÜA Löse diese Gleichung, d.h. finde die Operatorhalbgruppe T(t) mit c(·, t) = T(t)c0 .
7.9.2
Memory-Gleichungen
Viele physikalische Prozesse erfüllen kein Markowprinzip oder – äquivalent – können nicht
durch eine Halbgruppe beschrieben werden. Das ist der Fall, wenn die zukünftige Evolution
des Zustandes nicht nur vom augenblicklichen Zustand sondern auch von seiner Vorgeschichte
abhängt. Solche Gleichungen werden häufig Memory-Gleichungen genannt und zeigen in einigen Aspekten prinzipiell anderes Verhalten als autonome Gleichungen mit Halbgruppen als
Lösungen. Es sei u(t) die gesuchte Lösung so einer Gleichung.
Typisch sind für solche GleiRt
chungen, daß sie zeitliche Integraloperatoren der Form 0 k(t − t′ )u(t′ )dt′ in der Zeit enthalten,
deren Kern k die aus der Vergangenheit übertragene Information enthält. Entartet der Kern
zur Deltafunktion,verschwindet der Einfluß aus der Vergangenheit.
Ein besonders einfaches Beispiel für Integralkerne für Memory-Gleichungen sind Exponentialfunktionen.
ÜA Löse folgende Gleichung (es seien a, c > 0)
Z t
u̇(t) + cu(t) − ac
e−a(t−τ ) u(τ )dτ = 0, u(0) = u0
0
und bestimme insbesondere u∞ = lim u(t) aus der gefundenen Lösung. Warum läßt sich u∞
t→∞
nicht direkt aus der Gleichung durch setzen von u̇(t) = 0 und t = ∞ berechnen und warum ist
die Konstante u∞ nicht Lösung der Gleichung?
7.9.3
Additive Zahlentheorie
Es sei n ≥ 0 eine ganze Zahl und an die Anzahl der Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen
und Umfang n. Hierbei zählen kongruente Dreiecke als ein Dreieck.
Die ersten Glieder der Folge an sind
(an )∞
n=0 = 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, ...
ÜA Bestimme an , die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe von drei ganzen Zahlen
a + b + c = n mit den Nebenbedingungen a ≥ b ≥ c > 0 und b + c > a darzustellen.
259
7.10 Lösungen der Beispielaufgaben
7.10
Lösungen der Beispielaufgaben
7.10.1
Diffusionsgleichung
D ∂2
∂
c(x, t) =
c(x, t)
∂t
2 ∂x2
D
∂
c(µ, t) = − µ2 c(µ, t)
∂t
2
D ∂2
λc(x, λ) − c0 (x) =
c(x, λ)
2 ∂x2
D
λc(µ, λ) − c0 (µ) = − µ2 c(µ, λ) =⇒ c(µ, λ) = (λ + D/2 µ2 )−1 c0 (µ)
2
Lösung: für c0 (x) = δ0 (x)
1
x2
c(x, t) = √
exp −
2Dt
2πDt
D 2
c(µ, t) = c0 (µ) exp − µ t
2
!
r
1
2λ
c(x, λ) = √
exp −
|x|
D
2Dλ
c(µ, λ) = √
7.10.2
2
2
√ √
√ = Dµ2 + 2λ
2λ − i Dµ
2λ + i Dµ
Cauchy-Prozeß
R
′
ct = απ R c(x + x′ , t) − c(x, t) |xdx′ |2
ct = −α|η|c
λc = −α|η|c + c0
αt
c(x, t) = π(x2 +α
2 t2 ) ∗ c0 (x)
−α|η|t
c(η, t) = e
c0 (η)
1
c(η, λ) = λ+α|η| c0 (η)
Beweis der Gleichung:
LS : ct (x, t) =
RS :
Z R
α(x2 − α2 t2 )
π(x2 + α2 t2 )2
c(x′ , t)
c(x, t)
− ′
′
2
|x − x |
|x − x|2
′
dx
c(x′ , t) − c(x, t) ′
dx =
|x′ − x|2
R
Z
dx′
=
c(x + x′ , t) − c(x, t) ′ 2 =
|x |
R
Z
dx′
1
c(x + x′ , t) + c(x − x′ , t) − 2c(x, t) ′ 2 +
=
2 R
|x |
Z
′
1
dx
+
c(x + x′ , t) − c(x − x′ , t) ′ 2
2 R
|x |
=
Z
Das zweite Integral ist 0, weil die Funktion ungerade ist. Für das erste Integral folgt
2αt(3x2 − |x′ |2 − α2 t2 )
c(x + x′ , t) + c(x − x′ , t) − 2c(x, t)
=
|x′ |2
π(x2 + α2 t2 )((x + x′ )2 + α2 t2 )((x − x′ )2 + α2 t2 )
260
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Bei diesem Integral bekommt mathematica 0 raus. Aber die Fouriertransformation klappt. Dort
kann man η = 0 einsetzten. Es folgt
Z c(x, t)
x2 − α2 t2
c(x′ , t)
′
−
dx
=
|x − x′ |2 |x′ − x|2
(x2 + α2 t2 )2
R
7.10.3
Memory-Gleichungen
Gegeben ist folgende memory equation
Z
d t −a(t−τ )
u̇ + c
e
u(τ )dτ = 0
dt 0
(56)
Laplacetransformation ergibt
u0
λ+a+c
u
c
= λu
= λu + cλ
= λu 1 +
λ+a
λ+a
λ+a
Diese Gleichung läßt sich explizit lösen. Es gilt
a
1
c
λ+a
u0
u0 =
+
u(λ) =
λ(λ + a + c)
a+c λ λ+a+c
(57)
Als Lösung erhält man
u(t) =
1
a + ce−(a+c)t u0
a+c
Es existiert ein Grenzwert
a
u0
u(∞) =
a+c
der aber nicht Lösung der Gleichung ist.
Bemerkung: Ausdifferenziert ist (56) äquivalent zu
Z t
−a(t−τ )
u̇ + c u − a
e
u(τ )dτ = 0
0
also tasächlich die Gleichung aus der Aufgabenstellung.
7.10.4
Additive Zahlentheorie
Aufgabe: Bestimme die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als geordnete Summe von Zweien, Dreien oder Vieren darzustellen.
Bestimme die Anzahl von nichtnegativen Lösungen (a, b, c) der Gleichung 2a + 3b + 4c = n.
Dieser Folge entsprechen die Aufgaben:
1) Bestimme die Anzahl von nichtnegativen Lösungen (a, b, c) der Gleichung 2a + 3b + 4c = n.
2) Bestimme die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe von Zweien, Dreien oder
Vieren darzustellen.
3) Bestimme die Anzahl von nicht kongruenten Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen und
gegebenem Umfang (n + 3).
3a) Bestimme die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n + 3 als Summe von drei ganzen Zahlen
a + b + c = n + 3 mit den Nebenbedingungen a ≥ b ≥ c > 0 und b + c > a darzustellen.
261
7.10 Lösungen der Beispielaufgaben
4) Bestimme die Anzahl von Möglichkeiten, die Zahl n als Summe von drei ganzen Zahlen
a + b + c = n mit den Nebenbedingungen a ≥ b ≥ c ≥ 0 und b + c > a darzustellen.
Lösung: Die in der Aufgabe gesuchte Zahl ist die Anzahl der Lösungen der diophantischen
Gleichung k + j + i = n mit mehreren Nebenbedingungen. Da es sich um Dreiecke handelt,
müssen die Seitenlängen positiv sein. Die Forderung, daß nur nichtkongruente Dreiecke als
verschiedene gelten, kann man mit k ≥ j ≥ i ≥ 1 erfüllen. Die Seitenlängen eines Dreiecks
müssen außerdem die Dreiecksungleichung erfüllen. Das bedeutet, es muß i + j > k gelten (die
beiden anderen Dreiecksungleichungen sind automatisch mit der Forderung k ≥ j ≥ i ≥ 1
erfüllt). Das ergibt folgende erzeugende Funktion (wegen der Ungleichung i + j > k bietet es
sich an, als erstes die kleineren Zahlen festzulegen).
∞
X
∞
X
i+j−1
∞
X
∞
X
xj − xi+j
=
F (x) =
x
x
x
x
x =
1−x
i=1
j=i
i=1
j=i
k=j
2i
∞
∞
∞
1 X i X 2j
x
1 X i
x3i
2j+i
=
x
x
x −x
=
−
=
1 − x i=1 j=i
1 − x i=1
1 − x2 1 − x2
∞
X
1
x3
x4
1
3i
4i
x −x =
=
−
=
(1 − x)(1 − x2 ) i=1
(1 − x)(1 − x2 ) 1 − x3 1 − x4
=
i
j
X
k
i
j
x3 − x4
x3
=
(1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 )
(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 )
Die Anzahl solcher Dreiecke für kleine n ist übrigens nicht groß. Der Anfang der Folge an ist
(an )∞
n=0 = 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, ...
Aus der erzeugenden Funktion läßt sich leicht eine rekursive Darstellung von an finden. Es ist
(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 ) = (1 − x2 − x3 − x4 + x5 + x6 + x7 − x9 ) und folglich
an = an−2 + an−3 + an−4 − an−5 − an−6 − an−7 + an−9 .
an ist auch die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung 2x + 3y + 4z = n − 3.
Der Folge (an ) entspricht die erzeugende Funktion
A(x) =
an =
x3
(1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 )
1 2
6n + 18n − 1 − 18(−1)n n − 27(−1)n − 36 cos(90◦ n) + 64 cos(120◦ n) − 36 sin(90◦ n)
288
an = an−2 + an−3 + an−4 − an−5 − an−6 − an−7 + an−9
x9 = x7 + x6 + x5 − x4 − x3 − x2 + 1 ⇐⇒ (x4 − 1)(x3 − 1)(x2 − 1) = 0
Aufgabe: Beweise, daß es genauso viele Möglichkeiten gibt, n als Summe verschiedener natürlicher Zahlen oder als Summe ungerader Zahlen (die auch mehrfach auftreten können) darzustellen!
262
7 HARMONISCHE ANALYSIS
Lösung: Wir lösen die Aufgabe, indem wir die Identität zweier erzeugender Funktionen zeigen.
Die Darstellung als Summe verschiedener natürlicher Zahlen entspricht der Aufgabe 1a mit
ai = i und führt auf die erzeugende Funktion
F1 (x) = (1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 )(1 + x4 )(1 + x5 ) · · ·
Die Darstellung als Summe ungerader Zahlen entspricht der Aufgabe 2 mit ai = 2i − 1 und
führt auf die erzeugende Funktion
F2 (x) =
(1 − x)(1 −
x3 )(1
1
− x5 )(1 − x7 )(1 − x9 ) · · ·
Wir benutzen jetzt die in der letzten Aufgabe gefundene Identität für verschiedene x und
erhalten
1
= (1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 )(1 + x8 ) · · ·
1−x
1
= (1 + x3 )(1 + x6 )(1 + x12 )(1 + x24 ) · · ·
1 − x3
1
= (1 + x5 )(1 + x10 )(1 + x20 )(1 + x40 ) · · ·
5
1−x
...
Multipliziert man diese Identitäten, erhält man auf der linken Seite F2 (x) und auf der rechten
Seite F1 (x), da sich jede natürliche Zahl eindeutig als Produkt einer ungeraden Zahl und einer
Zweierpotenz darstellen läßt.
Aufgabe: Beweise, daß die Anzahl der nichtnegativen ganzzahligen Lösungen (x, y, z) der Glei1
chung x + 2y + 3z = n rund 12
(n + 3)2 ist !
2πi
Lösung: Die erzeugende Funktion für diese Aufgabe ist (es ist ω = e 3 )
1
=
(1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 )
1
17
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
=
3
2
6(1 − x)
4(1 − x)
72(1 − x) 8(1 + x) 9(1 − ωx) 9(1 − ω 2x)
∞ X
1
7
(−1)n 2
2πi
2
=
xn
(n + 3) −
+
+ cos
12
72
8
9
3
n=0
F (x) =
Die Behauptung folg aus
n
7
7
(−1)
2
2nπ
1
2
− +
≤ + + = 32 < 1
+
cos
72
8
9
3 72 8 9 72
2
Aufgabe:
C(x) =
∞
X
cn xn =
n=0
=
a
1
(1 −
2a
xa )(1
3a
− xb )
=
b
2b
3b
1 + x + x + x + ... 1 + x + x + x + ... =
∞
X
i,j=0
D.h., cn ist die Anzahl der Lösungen (i, j) der Gleichung n = ia + jb.
xia+jb