c LehrstuhlfürTechnischeElektrophysik

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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Skriptum zur Vorlesung
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Elektrizität und Magnetismus
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Dozent: Prof. Dr. G. Wachutka
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11. Mai 2011
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
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2. Stationäre Ströme
2.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld . . . . . . . . . . .
2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum . . . . . .
2.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell) . . . . . . . .
2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . .
2.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung . . . . . . .
2.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form: . . . . . . . .
2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung . . . . . . . . . .
2.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung . . . . . . . . .
2.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes . . . . . . . .
2.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen
2.4.4. Die elektrische Übertragungsstrecke . . . . . . . . . . .
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1. Elektrostatik
1.1. Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern . . .
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien . . .
1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Gaußsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Raumladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Oberflächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)
1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung .
1.6.5. Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Kondensatoraggregate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4. Elektrische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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0. Vorbemerkungen
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
4. Induktion
4.1. Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Elektromotorische Kraft in bewegten leitfähigen Medien . . . . . . . . . . .
4.1.2. Induzierte elektrische Spannung in bewegter Leiterschleife . . . . . . . . . .
4.1.3. Unipolar-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Induzierte Spannung in ruhender Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Maxwellsche Verallgemeinerung: Differentielle Form des Induktionsgesetzes
4.3. Allgemeine Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Mathematische Grundlagen
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3 . . . . . . . . . . .
A.1.1. Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2. Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3. Basis, Koordinatensystem . . . . . . . . .
A.1.4. Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.5. Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren . . . . . . .
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
A.2. Wegintegrale im En bzw. Rn . . . . . . . . . . . .
A.2.1. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . .
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3. Magnetostatik
3.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Lorentzkraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Bewegung eines geladenen Massepunktes im konstanten Magnetfeld
3.1.3. Lorentzkraft auf eine Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter . . . . . . . . . .
3.2.1. Kraft auf einen Leiter mit beliebiger Gestalt . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Kraft auf linienförmige Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Drehmoment auf eine Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Permanentmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~
3.4. Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des B-Feldes
. . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Erzeugung magnetostatischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz (quasistationäre Form) . . . . .
3.5.2. Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Permeabilität und magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . .
3.6. Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes . . . . . . . . .
3.6.2. Kraft zwischen zwei parallelen geraden Drähten . . . . . . . . . . .
~
3.6.3. H-Feld
einer allgemeinen zylindersymmetrischen Stromverteilung .
3.7. Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes (nach Maxwell) . . . . . .
3.7.2. Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in differentieller Form
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A.3. Totale Ableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1. Linearformen und dualer Raum . . . . . . . . . . . . .
A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen . .
A.3.3. Richtungsableitung und partielle Ableitung . . . . . .
A.4. Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1. Begleitendes n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2. Gradient in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . .
A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen . . . . . . . . . . .
A.6. Flächenintegrale im E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7. Divergenz eines Vektorfeldes im E3 . . . . . . . . . . . . . .
A.7.1. Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten
A.7.3. Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen Koordinaten . . .
A.8. Rotation und Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.1. Rotationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.2. Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten
n
Inhaltsverzeichnis
M
Inhaltsverzeichnis
0 VORBEMERKUNGEN
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0. Vorbemerkungen
Beispiele:
Maßzahl
=
=
20
5
×
Maßeinheit
km
h
Zoll (inch)
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v
L
=
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Physikalische Größe
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(i) Eine physikalische Größe (z.B. die Geschwindigkeit v oder die Länge L) wird durch eine
Maßzahl in Verbindung mit einer Maßeinheit beschrieben.
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(ii) Für eine physikalische Größe existieren zumeist mehrere unterschiedliche Maßeinheiten.
Um physikalische Größen und physikalische Zusammenhänge einheitlich zu definieren, wurde 1960 ein kohärentes System von Maßeinheiten geschaffen, die sogenannten SI-Einheiten
(système internationale des unités). In diesem System werden 7 voneinander unabhängige
Basiseinheiten definiert, aus denen die Maßeinheiten für alle übrigen physikalischen Größen
abgeleitet werden können.
Einheit
Länge
Zeit
Masse
elektr. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Meter
Sekunde
Kilogramm
Ampère
Kelvin
Candela
Mol
Abkürzung (Symbol)
Te
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ch
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Größe
&
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ek
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Die 7 Basiseinheiten sind folgende:
m
s
kg
A
K
cd
mol
%
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st
uh
l
für
Abgeleitete Maßeinheiten ergeben sich durch Produkt- und Quotientenbildung unmittelbar
aus der Definitionsgleichung für eine physikalische Größe. Sie sind also Bestandteil der physikalischen Begriffsbildung, oftmals in Verbindung mit der Aufstellung eines physikalischen
Gesetzes.
Beispiele sind:
Größe
Geschwindigkeit
Kraft
Arbeit
Leistung
Ladung
elektrische Spannung
Einheit
=
=
=
=
=
=
Länge
Zeit
m
s
Masse × Beschleunigung
Kraft × Weg
Arbeit
Zeit
Stromstärke × Zeit
Arbeit
Ladung
6
1 N (Newton) = 1kg × 1 sm2 = 1 kgs2m
1 J (Joule) = 1 N × 1 m = 1 Nm
1 W (Watt) = 1 J/1 s = 1 Js
1 C (Coulomb) = 1As
m2
m2
1 V (Volt) = 1 J/1 C = 1 kg
= 1 kg
s2 A s
A s3
ün
ch
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(iii) Größengleichungen sind Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die durch mathematische Gleichungen dargestellt werden und unabhängig vom Basiseinheitensystem gelten.
Die Gleichheit von von physikalischen Größen beinhaltet, dass man sie in derselben Maßeinheit ausdrücken kann und ihre Maßzahlen übereinstimmen. Mit solchen Größengleichungen
kann mann dann auch verscheidene Maßinheiten für dieselbe physikalische Größe ineinander
umrechnen:
n
0 VORBEMERKUNGEN
v=
-T
U
M
Beispiel 1:
Die Geschwindigkeit v, die sich aus dem Verhältnis von zurückgelegter Weglänge L
zur benötigten Zeit t ergibt, ist über die Größengleichung
L
t
1 Seemeile
1000 m
1,852 km
km
m
= 1,852
=
= 1,852
= 0,514 .
1 Stunde
1h
3600 s
s
| {z h }
1 Knoten
tro
v=
ph
ys
ik
definiert. Die Umrechung von Nicht-SI-Einheiten in SI-Einheiten erfolgt beispielsweise so:
ch
e
El
ek
Beispiel 2:
Die kinetische Energie eines zweifach geladenen Ions mit der Ladung Q = 2qel , das
in einem Ionenbeschleuniger mit der Spannung U = 20 kV beschleunigt wird, ergibt
sich aus dem Produkt von Ladung Q und Spannung U :
Wkin = Q · U = 2qel · 20 kV
Te
ch
nis
mit
qel = |e| = 1,602 × 10−19 C (Elementarladung)
=⇒ Wkin = 6,408 × 10−15 C · V = 6,408 × 10−15 J in SI-Einheiten.
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für
Ein Teilchenphysiker oder Elektroingenieur verwendet aber oft lieber die Darstellung
Q U
Q U
· · eV =
·
· keV = 2 · 20 keV = 40 keV
Wkin =
e V
e kV
Die Einheit keV ist zwar keine SI-Einheit, aber für die Praxis sehr anschaulich.
7
0 VORBEMERKUNGEN
da
10−1
dezi
d
centi
c
102
hekto
h
10−2
103
kilo
k
10−3
milli
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mikro
µ
n
mega
M
10−6
109
giga
G
10−9
nano
T
10−12
piko
p
femto
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1012
tera
-T
U
106
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P
10−15
1018
exa
E
10−18
atto
a
Z
10−21
zepto
z
ph
ys
zetta
ik
1015
1021
Tabelle 2: 10n , n < 0
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
Tabelle 1: 10n , n > 0
8
ün
deka
M
101
ch
e
n
(iv) Größenordnungen
Durch Voraustellen der folgenden Symbole vor eine SI-Einheit lassen sich Zehnerpotenzen
leichter und und für die Praxis anschaulicher ausdrücken:
1 ELEKTROSTATIK
1. Elektrostatik
ch
e
Bis heute sind nachfolgende experimentelle Erfahrungen über elektrische Ladungen gesammelt
worden:
n
1.1. Elektrische Ladung
M
ün
(i) Ladung ist eine fundamentale Eigenschaft aller Elementarteilchen (wie Masse, Spin,
Charm, Flavor, Color) Sie ist die Quelle für die elektrische (genauer gesagt: elektromagnetische) Wechselwirkung, eine der vier Grundkräfte der Physik (neben starker und schwacher
Wechselwirkung sowie der Gravitation).
-T
U
(ii) Es gibt zwei Klassen von Ladungen, positive und negative. Dabei gilt, dass sich gleichnamige
Ladungen abstoßen und ungleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen.
ph
ys
ik
(iii) Die elektrische Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten. Dies bedeutet, dass positive und negative Ladungen nur paarweise erzeugt bzw. vernichtet werden
können,
z.B. Materie ↔ Antimaterie, (“echte” Teilchen)
oder Elektron ↔ Loch = Defektelektron (“Quasi-Teilchen”).
tro
(iv) Ladung ist quantisiert:
Elementarladung (= Betrag der Ladung eines Elektrons): |e| = qel = 1, 602 · 10−19 C,
ek
wobei 1 Coulomb = 1C = 1As .
ch
e
El
Alle (trennbaren) Elementarteilchen besitzen ein ganzzahliges Vielfaches von qel als elektrische Ladung:
qE = ±NE · qel
mit NE ∈ N .
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
Hadronen (wie die Baryonen, Proton und Neutron) bestehen ihrerseits aus Quarks mit Ladung
e
qQ = ±NQ ·
mit NQ = 1 oder 2 ,
3
welche aber nur gebunden vorkommen.
9
1.2 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
1 ELEKTROSTATIK
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
n
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz
M
ün
ch
e
Zwei diskrete Ladungen q1 am Ort ~r1 üben gegenseitig eine Kraft aufeinander aus. Sei F~1←2 die
Kraft, welche die Ladung q1 durch die Anwesenheit der Ladung q2 erfährt, und F~ 2←1 die Kraft,
die q2 durch q1 erfährt. Sind beide Ladungen in Ruhe (Elektrostatik), dann gelten folgende experimentelle Erfahrungen:
F~2←1 = −F~1←2
-T
U
(i) Nach dem Newtonschen Prinzip “actio = reactio” gilt
Die Richtung beider Kräfte ist parallel zum Abstandsvektor ~r2 − ~r1 .
|q1 · q2 |
|~r2 − ~r1 |2
I
r2 < rI
1
El
ε0 heißt “Dielektrizitätskonstante des Vakuums”,
oder auch “Vakuum-Permittivität”
O
Abb. 1.1: Kraftwirkung zwischen zwei
Punktladungen
ch
e
Te
ch
nis
+
ek
tro
mit der elektrostatischen Kraftkonstanten
1
γe =
4π · ε0
As
mit ε0 = 8, 854 · 10−12
Vm
ph
ys
|F~2←1 | = |F~1←2 | = γe
ik
(ii) Die Stärke der Kräfte beträgt
(iii) Ob sich die beiden Ladungen q1 und q2 abstoßen oder anziehen, hängt von den Vorzeichen
der beiden Ladungen ab. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige ziehen
sich an:
=
=
sgn (q2 )
− sgn (q2 )
⇔
⇔
Abstoßung
Anziehung
für
sgn (q1 )
sgn (q1 )
hr
st
uh
l
Die Aussagen (i) - (iii) lassen sich in kompakter Form als Vektorgleichung zusammenfassen. Beachtet man, dass (~r2 − ~r1 )/|~r2 − ~r1 | der Einheitsvektor ist, welcher vom Ort ~r1 zum Ort ~r2 weist,
so gilt:
F~2←1 = −F~1←2 =
q1 · q2
1
·
· (~r2 − ~r1 )
4π · ε0 |~r2 − ~r1 |3
(1.1)
c
Le
Dies ist das Coulombsche Gesetz in vektorieller Form.
1.2.2. Superpositionsprinzip
Eine Anordnung von N Ladungen qi (i = 1, ..., N ) an den Orten ~ri (i = 1, ..., N ) übt auf eine
weitere Ladung q am Ort ~r eine elektrische Kraft F~q (~r) aus, die man durch Vektoraddition der
Coulomb-Kräfte erhält, welche die Ladungen qi auf q ausüben. Es gilt also:
10
ch
e
i=1
..
.
q · qi
1
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0 | ~r − ~ri |3
ün
F~q (~r) =
N
X
1.3 Elektrische Feldstärke
n
1 ELEKTROSTATIK
N
X
q
qi
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1 |
{z
}
+
F~q (~r) =
-T
U
M
bzw.
O
(1.2)
Abb. 1.2: Superpositionsprinzip
ik
Quellen des Kraftfeldes
ek
tro
ph
ys
Die Kräfte auf eine Ladung q addieren sich also in solcher Weise vektoriell, dass die elektrischen
Kräfte auf die Ladung q, die durch jede andere Ladung qi verursacht werden, ungestört überlagert
werden.
El
1.3. Elektrische Feldstärke
ch
e
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes
Te
ch
nis
Die Gleichung 1.2 lässt sich auch so interpretieren, dass eine gegebene Ladungsträgerverteilung
~ r) erzeugt.
(qi , r~i )i=1...N auch ohne Vorhandensein der Ladung q an jedem Ort ~r ein “Kraftfeld” E(~
Bringt man eine “Testladung” q an den Ort ~r, so gilt
~ r) ,
F~q (~r) = q · E(~
für
~ r) folgt:
woraus die Definition von E(~
~ r) := 1 F~q (~r) .
E(~
q
hr
st
uh
l
Das von (qi , r~i )i=1...N erzeugte elektrische Feld lautet damit explizit:
~ r) =
E(~
N
X
qi
1
·
· (~r − ~ri ) .
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1
~ =
dim(|E|)
c
Le
Die physikalische Einheit des elektrischen Feldes ist dann
mit der Definition 1 Volt = 1V =
kg m 1
V
N
= 2 ·
=
As
s
As
m
kg m2
.
As3
11
(1.3)
1.3 Elektrische Feldstärke
1 ELEKTROSTATIK
1.3.2. Spezialfälle
n
(i) Monopolfeld: N = 1, eine Punktladung q0 am Ort ~r0 als Quelle:
1
q0
·
· (~r − ~r0 )
4π · ε0 |~r − ~r0 |3
ch
e
(1.4)
ün
~ r) =
E(~
-T
U
M
S. 6
-
ph
ys
ik
+
Abb. 1.3: Pfeildiagramm des elektrischen Feldes einer Punktladung q0 ,
mit q0 >0 (links) bzw. q0 <0 (rechts)
(1.5)
ch
e
El
ek
tro
(ii) Dipolfeld: N = 2, Punktladungen (Q, r~1 ) und (−Q, r~2 ) als Quellen:
S. 7_1
Q
1
1
~
E(~r) =
·
· (~r − ~r1 ) −
· (~r − ~r2 )
4π · ε0
|~r − ~r1 |3
|~r − ~r2 |3
G
Te
ch
nis
E = Tangentenvektor
−
an Feldlinie
G
E
G
E
G
E+
G
E
G
E−
uh
l
für
+
c
Le
hr
st
Abb. 1.4: Elektrische Feldlinien zweier ungleichnamiger, betragsmäßig gleicher
Punktladungen (Dipolfeld)
Beachte: Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern
~ r) kann man als “Pfeildiagramm” wie in Abb. 3 darstellen,
Vektorfelder wie das elektrische Feld E(~
~ r) anträgt. Dies kann aber recht unübersichtlich
indem man an jeden Ort ~r den Vektorpfeil E(~
12
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
ch
e
werden. Alternativ hierzu ist es oft zweckmäßiger eine Kurvenschar von “Feldlinien” zu zeichnen,
die dadurch definiert ist, dass die Tangentenvektoren an jedem Punkt einer Feldlinie das Vektorfeld
darstellen (siehe Abb. 1.4). Möchte man eine Feldlinie mit Parameterdarstellung λ 7→ ~r(λ) durch
einen gegebenen Punkt ~r0 berechnen, so muss man die Bestimmungsgleichung
-T
U
M
ün
d~r
~ r(λ)) , ~r(λ0 ) = ~r0
= E(~
dλ
lösen (= Differentialgleichung für ~r(λ)).
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
ph
ys
ik
1.4.1. Elektrische Arbeit
α)

dr
Abb. 1.5: Wegintegral
Te
ch
nis
mit ~r(0) = ~r1 und ~r(l) = ~r2 .
ch
e
(0, l) 3 s 7→ ~r(s)
El
ek
tro
(i) Definition der mechanischen Arbeit
Ein punktförmiges Teilchen wird unter dem Einfluss eines Kraftfeldes F~ (~r) längs eines Weges
C (P1 , P2 ) in E3 von P1 nach P2 bewegt (Abb. 5).
Die hierbei geleistete mechanische Arbeit ergibt sich
aus dem Integral über die Kraftkomponente tangential zum Weg C (P1 , P2 ). Um dieses zu berechnen, gehen
wir von einer Parameterdarstellung von C (P1 , P2 ) aus
mit der Bogenlänge s als Kurvenparameter:
Der Tangential-Einheitsvektor an die Kurve C (P1 , P2 ) ist
~t(s) = d~r ; d~r = 1 .
ds ds für
Das vektorielle Linienelement ist dann
uh
l
d~r = ~tds
hr
st
Die differentielle mechanische Arbeit, die längs eines Linienelements geleistet wird, ist nach
Abb. 1.5
dW = |F~ (~r(s))| cos α(s)ds = F~ (~r(s)) · ~t(s)ds .
c
Le
Die gesamte mechanische Arbeit ergibt sich dann als Integral
ˆl
W12 =
0
ˆl
F~ (~r(s)) · ~t(s) s =
|{z}
= dd ~rs
0
d~r
F~ (~r(s)) ds =
ds
ˆ
F~ (~r) · d ~r .
(1.6)
C(P1 ,P2 )
(ii) Elektrische Arbeit
~ r) von P1 nach P2 längs C (P1 , P2 )
Wird eine Punktladung q in einem elektrischen Feld E(~
13
n
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
~ r) die elektrische Arbeit
bewegt, so wird wegen F~q (~r) = q · E(~
ˆ
~ r) · d ~r
E(~
W12 = q
n
(1.7)
ch
e
C(P1 ,P2 )
ün
geleistet.
M
1.4.2. Elektrische Spannung
ph
ys
ik
-T
U
(i) Definition der elektrischen Spannung
Die elektrische Arbeit W12 ist nach Gl. 1.6 proportional zur Probeladung q , an der sie
geleistet wird. Dividiert man W12 durch q, so erhält man eine Größe, die nur vom elektrischen
~ r) abhängt. Diese heißt die elektrische Spannung zwischen P1 und P2 :
Feld E(~
ˆ
W12
~ · d ~r
U12 =
=
E
(1.8)
q
C(P1 ,P2 )
tro
Physikalische Einheit (vgl. Abs. 1.3.1):
J
= 1V(olt)
As
ek
dim(U12 ) = 1
Te
ch
nis
ch
e
El
(ii) Grundgesetz der Elektrostatik
~
Bei einem elektrostatischen E-Feld
hängt die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2
nur von diesen selbst, jedoch nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1 , P2 ) ab; das
heißt (vgl. Abs A2.2):
Elektrostatische Felder sind konservativ!
für
Man drückt dies durch die folgende Schreibweise aus:
ˆP2
~ · d ~r
E
U12 =
(1.9)
P1
hr
st
uh
l
Zum Beweis dieser Aussage kann man in kartesischen Koordinaten die “Integrabilitätsbedingungen” (siehe Abs. A.2.2):
∂Ej
∂Ei
=
(i, j = 1, 2, 3)
∂xi
∂xj
c
Le
für das in Gl. 1.4 gegebene Coulomb-Feld verifizieren.
(iii) Folgerung:
Durchläuft man einen Weg C(P1 , P2 ) in der Gegenrichtung, also von P2 nach P1 , so kehrt
sich beim Wegintegral die Richtung des Tangentenvektors um. Daher gilt:
ˆ
ˆ
~
~ · d~r = −U21
U12 =
E · d~r = −
E
(1.10)
C(P1 ,P2 )
C(P2 ,P1 )
14
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
(iv) Folgerung:
~
Ein elektrostatisches E-Feld
erfüllt für jede geschlossene Kurve C die Bedingung
ˆ
~ · d ~r = 0
E
ch
e
(1.11)
ik
-T
U
M
ün
C
C̃(P2 ,P1 )
El
ek
C(P1 ,P2 )
tro
ph
ys
Zum Beweis wählen wir auf der Kurve C zwei Punkte P1 und P2 und zerlegen C in zwei
e 2 , P1 ).
Teilwege: C = C(P1 , P2 ) + C(P
Dann gilt:
ˆ
ˆ
ˆ
~ · d~r =
~ · d~r +
~ · d~r = U12 + U21 = U12 − U12 = 0
E
E
E
C
1.4.3. Elektrisches Potential
Te
ch
nis
ch
e
(i) Definition des elektrischen Potentials
~
Das Grundgesetz der Elektrostatik hat zur Konsequenz, dass das elektrostatische E-Feld
ein
Gradientenfeld ist. Nach Abs. A.5 bedeutet dies, dass es eine Potentialfunktion Φ(~r) gibt mit
der Eigenschaft:
~ r) = −gradΦ(~r)
E(~
(1.12)
für
~ r)
Nach Gl. (A5.4) lässt sich das elektrische Potential Φ(~r) aus dem elektrischen Feld E(~
folgendermaßen berechnen:
ˆP
~ · d ~r
Φ(~r) = Φ(~r0 ) − E
(1.13)
uh
l
P0
hr
st
Hierbei ist P0 = O + ~r0 ein fest gewählter Referenzpunkt und P0 = O + ~r ein beliebiger
Aufpunkt. Der Potentialwert Φ(~r0 ) ist eine frei wählbare Konstante (Referenzpotential), das
oftmals zu Null gesetzt wird (Massepunkt, Nulleiter etc.).
Le
(ii) Zusammenhang mit der elektrischen Spannung
Die Potentialdifferenz
c
n
1 ELEKTROSTATIK
ˆP
ˆP0
~ · d ~r =
E
Φ(~r) − Φ(~r0 ) = −
P0
~ · d ~r = UP P
E
0
(1.14)
P
ist offenkundig die elektrische Spannung UP P0 zwischen dem Aufpunkt P und dem Referenzpunkt P0 . Allgemein kann man die Spannung U12 zwischen zwei Punkten P1 = O + ~r1 und
15
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
P2 = O + ~r2 bestimmen mit
U12 = Φ(~r1 ) − Φ(~r2 ) .
(1.15)
ch
e
n
Beweis: Wir verbinden P1 mit P2 mit einem Weg C(P1 , P2 ), der über den Referenzpunkt P0
führt:
-T
U
M
ün
C(P1 , P2 ) = C(P1 , P0 ) + C(P0 , P2 )
ˆP2
ˆP0
~ · d ~r =
E
U12 =
ˆP2
~ · d ~r +
E
P1
P1
|
~ · d ~r = Φ(P1 ) − Φ(P2 )
E
P0
{z
tro
Dann gilt:
ph
ys
ik
+
}
|
{z
}
−Φ(P2 )+Φ(P0 )
ek
Φ(P1 )−Φ(P0 )
Te
ch
nis
ch
e
El
(iii) Äquipotentialflächen
Wie in Abs. A5.5 dargelegt, ist für einen gegebenen konstanten Potentialwert Φ0 die Menge
F(Φ0 ) = {P = O + ~r | Φ(~r) = Φ0 } eine zweidimensionale Fläche in E3 , die Äquipotenti~ = −gradΦ stehen
alfläche zu Φ0 . Der Gradient gradΦ und damit das elektrische Feld E
immer senkrecht auf den Tangentialebenen an F(Φ0 ), sind also kollinear zur Oberflächennormale. Variiert man Φ0 , so erhält man eine Schar von Äquipotentialflächen, die alle von
den elektrischen Feldlinien senkrecht geschnitten werden.
(iv) Beispiel: Coulombpotential einer Punktladung
Wir wollen das elektrische Potential einer Punktladung Q am Ort PQ = O +~rQ bestimmen.
Diese erzeugt das elektrische Feld (vgl. Gl. 1.4)
uh
l
für
~ r) = Q · (~r − ~rQ )
E(~
4πε0 |~r − ~rQ |3
Für einen gegebenen Aufpunkt P = O + ~r
legen wir eine Gerade durch PQ und P ,
über die wir das Wegintegral von P zum
Referenzpunkt P0 ausführen wollen. P0 liege
auf dieser Geraden; er wird schließlich ins
Unendliche verschoben.
+
c
Le
hr
st
+

P = O+r
Es ist also das Wegintegral
ˆP0
ˆP0
~ · d ~r = Φ(~r0 ) +
E
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
P
P
16
Q (~r − ~rQ )
· d ~r
4πε0 |~r − ~rQ |3
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
zu berechnen.
Parametrisierung des Geradenstücks von P nach P0 :
ch
e
~r − ~rQ
; λ1 = |~r − ~rQ |; λ0 = |~r0 − ~rQ |
|~r − ~rQ |
M
mit ~e =
n
~r(λ) = ~rQ + λ~e; λ1 ≤ λ ≤ λ0
ün
C:
-T
U
Tangentialvektor:
ph
ys
~ r(λ)) = Q · λ~e = Q · ~e
E(~
4πε0 λ3
4πε0 λ2
Wegintegral:
ˆλ0
~ · d ~r(λ) =
E
P
ˆλ0
Q
Q
~e
· 2 · ~e d λ =
4πε0 λ
4πε0
λ1
tro
ˆP0
ik
d ~r
= ~e
dλ
Elektrisches Feld in Parameterdarstellung:
Q
1
1
1
dλ =
· −
+
λ2
4πε0
λ0 λ1
ek
λ1
El
Damit folgt:
1
1
−
|~r − ~rQ | |~r0 − ~rQ |
(1.16)
ch
e
Q
·
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
4πε0
Te
ch
nis
Üblicherweise schiebt man den Bezugspunkt ins Unendliche |r~0 | → ∞, und setzt Φ(~r0 ) = 0;
es gilt dann:
Φ(~r) =
1
Q
·
4πε0 |~r − ~rQ |
(1.17)
Die Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugeloberflächen mit Zentrum ~rQ .
⇔
für
Φ(~r) = const. = Φ0
|~r − ~rQ | =
Q
1
·
4πε0 Φ0
(1.18)
hr
st
uh
l
(v) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N :
Mit Anwendung des Superpositionsprinzips und Gleichung (1.17) ergibt sich für das Potential
der Ladungsverteilung:
N
X
1
qi
Φ(~r) =
·
(1.19)
4πε0
|~r − ~ri |
c
Le
i=1
17
c
uh
l
hr
st
Le
für
ch
e
Te
ch
nis
ph
ys
tro
ek
El
ik
-T
U
M
ün
ch
e
n
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A. Mathematische Grundlagen
ch
e
n
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3
ün
A.1.1. Struktur
-T
U
M
In der analytischen Geometrie wird der dreidimensionale, kontinuierliche Ortsraum als reeller,
affiner Raum E3 aufgefasst, der aus der Menge aller Positionen (Orte, Punkte) besteht. E3 dient
also als Modell für einen flachen, dreidimensionalen Kosmos und jeder Ort P entspricht genau
einem Element von E3 .
E3 hat folgende Struktur:
ph
ys
ik
(i) Zu E3 gibt es einen reellen, 3-dimensionalen Vektorraum, dessen Elemente “gerichtete Strecken” zwischen je zwei Punkten aus E3 sind.
−−→
Präziser: Jedem Paar (P, Q) mit P, Q ∈ E3 ist eindeutig ein mit P Q bezeichneter Vektor so
zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind:
tro
(A1)
∃1
P ∈E3
~ ∈V3
V
Q∈E3
Te
ch
nis
+
−−→ −→ −→
P Q+QS=P S
∀
P,Q,S∈E3
∀
−−→ ~
P P =0
∀
;
P ∈E3
−−→
−−→
QP =−P Q
P,Q∈E3
hr
st
uh
l
für
(ii) Daraus folgt unmittelbar:
c
Le
(iii) Der Vektorraum V3 ist “euklidisch”, d.h. er hat ein Skalarprodukt
h.|.i : V3 × V3 → R (=positiv-definite symmetrische Bilinearform),
und damit eine Norm (“Betrag”)
k.k =
p
h.|.i,
mit deren Hilfe man Längen und Winkel in E3 messen kann.
71
+
ch
e
(A2)
+
+
~ )
(Schreibweise: Q = P + V
El
∀
ek
−→
~ =−
V
PQ
∀
+
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
n
• Längenmessung:
Länge = Abstand zweier Punkte = Betrag des Ver−−→
bindungsvektors P Q:
q
−−→
−−→ −−→
−−→
|P Q| := hP Q|P Qi = kP Qk
| {z }
Norm
-T
U
+
−−→ −→
−−→ −→
hP Q|P Ri
cos(α) = cos(]P Q, P R) = −−→
−→
kP Qk · kP Rk
+
M
−−→
−→
• Winkelmessung: Winkel zwischen P Q und P R gemäß
ebener Trigonometrie
ün
+
ph
ys
ik
~ |W
~ i =: V
~ ·W
~
Übliche Schreibweise für Skalarprodukte: hV
ek
tro
~,V
~ ,W
~ ) kann man mittels der Orientierungsfunktion
(iv) V3 ist “orientiert”, d.h. jedem 3-Bein (U
~
~
~
~
~
~
or(U , V , W ) := sgn(det(U , V , W )) einen Schraubsinn zuordnen. Da die Determinante dreier
~,V
~ ,W
~ ) = (U
~ ×V
~ )· W
~ als Spatprodukt ausgerechnet werden kann, gilt:
Vektoren gemäß det(U
und man entscheidet dann:
El
~,V
~ ,W
~ ) = sgn((U
~ ×V
~)·W
~ ))
or(U
Te
ch
nis
ch
e
~ ×V
~)·W
~ > 0 ⇒ rechts - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
~ ×V
~)·W
~ < 0 ⇒ links - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
A.1.2. Ursprung
für
In E3 kann man einen Punkt O ∈ E3 fest als “Koordinaten-Ursprung” wählen. Jedem Punkt
P ∈ E3 wird dann “eineindeutig” (=bijektiv) ein Ortsvektor
−→
~r(P ) := OP
+
O+
~r(P ) 7→ P = O + ~r(P )
hr
st
uh
l
mit der entsprechenden Umkehrabbildung
c
Le
zugeordnet.
72
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
Wählt man in V3 eine Basis (b~1 , b~2 , b~3 ), so lässt sich jeder Punkt P ∈ E3 durch seine “Koordinaten”
(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 eineindeutig darstellen, gemäß
ün
~r(P ) = x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
bzw.
M
P = O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
-T
U
Dabei heißt (O, b~1 , b~2 , b~3 ) “Koordinatensystem”.
ph
ys
ik
Ist (b~1 , b~2 , b~3 ) eine Orthonormalbasis, d.h. es gelte
(
1 für i = j
b~i · b~j = δij =
0 für i 6= j
so heißt es “kartesisches Koordinatensystem”.
tro
Übliche Schreibweisen hierfür sind:
ek
(O, e~1 , e~2 , e~3 ), bzw. (O, e~x , e~y , e~z )
El
Jeder Ortsvektor ist dann darstellbar als
ch
e
~r(P ) = x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 , bzw. ~r(P ) = xe~x + y e~y + z e~z
Te
ch
nis
Oft werden P ∈ E3 , ~r(P ) ∈ V3 und die kartesischen Koordinaten (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 bzw.
(x, y, z)T ∈ R3 synonym verwendet (oder schlampigerweise sogar miteinander identifiziert).
Kartesische Koordinatensysteme mit orthonormierten Basisvektoren (e~1 , e~2 , e~3 ) haben den großen
Vorteil, dass man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren sehr leicht aus seinen Komponenten
berechnen kann:
für
~ =
Ist U
uh
l
~ ·V
~ =
so folgt U
~ =
Ui~ei und V
i=1
3 X
3
X
3
X
3
X
Vj ~ej ,
j=1
Ui Vj ~ei · ~ej =
i=1 j=1
~ ·V
~ =
also U
hr
st
3
X
3 X
3
X
Ui Vj δij =
i=1 j=1
3
X
Ui Vi ,
i=1
Ui V i
i=1
c
Le
Desweiteren lassen sich die kartesischen Komponenten eines Vektors sehr leicht berechnen:
~ =
Ist V
3
X
~
Vj ~ej , so gilt: Vj = ~ej · V
j=1
73
n
A.1.3. Basis, Koordinatensystem
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.4. Skalarfeld
ch
e
n
Ein Skalarfeld auf E3 ist eine Abbildung Φ : E3 → R ; P 7→ Φ(P ). Dieser Abbildung kann bei fest
gewähltem Koordinaten-System (O, b~1 , b~2 , b~3 ) die “Koordinatendarstellung”
ün
Φ̃(x1 , x2 , x3 ) := Φ(O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3 )
M
bijektiv zugeordnet werden. Meist wird schlampigerweise zwischen Φ und Φ̃ nicht unterschieden!
Ein Vektorfeld auf E3 ist eine vektorwertige Abbildung
ik
~ : E3 → V3 ; P 7→ V
~ (P )
V
-T
U
A.1.5. Vektorfeld
ph
ys
Bei fest gewähltem Koordinatensystem (O, b~1 , b~2 , b~3 ) kann man sowohl den Ort ~r(P ), wie auch
~ (P ) nach der Basis (b~1 , b~2 , b~3 ) entwickeln:
V
tro
~˜ (x1 , x2 , x3 ),
~ (P ) = V
~ (O + ~b1 x1 + ~b2 x2 + ~b3 x3 ) =: V
V
ek
~˜ (x1 , x2 , x3 ) = V1 (x1 , x2 , x3 ) · ~b1 + V2 (x1 , x2 , x3 ) · ~b2 + V3 (x1 , x2 , x3 ) · ~b3
V
El
Die Zuordnung
ch
e
~ (P ) V (x), mit V : R3 → R3 (“V in b-Koordinaten”)
V
Te
ch
nis
(x1 , x2 , x3 )T = x 7→ (V1 (x), V2 (x), V3 (x))T = V (x) ∈ R3
c
Le
hr
st
uh
l
für
~˜ (x) und V (x)
~ (P ), V
ist eineindeutig. Auch hier wird meist schlampigerweise nicht zwischen V
unterschieden.
74
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
→ ist rechtsorientierte Ortonormalbasis!
-T
U



M
Beispiel: “Zylinderkoordinaten”:
~er (r, ϕ, z) = cos(ϕ) · ~ex + sin(ϕ) · ~ey
~eϕ (r, ϕ, z) = − sin(ϕ) · ~ex + cos(ϕ) · ~ey
~ez (r, ϕ, z) = ~ez


wobei der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten wie folgt dargestellt wird:
ph
ys
ik
~r(P ) = r · cos(ϕ) · ~ex + r · sin(ϕ) · ~ey + z · ~ez = r · ~er (ϕ) + z · ~ez
ek
tro
z
Te
ch
nis
ch
e
El
P
für
y
uh
l
Abb. A.1: Definition der Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)
Φ̃(r, ϕ, z) = Φ(O + r · ~er (ϕ) + z · ~ez )
Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:
~˜ (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z)~er (ϕ) + Vϕ (r, ϕ, z)~eϕ (ϕ) + Vz (r, ϕ, z)~ez ,
V
c
Le
hr
st
Skalarfeld in Zylinderkoordinaten:
sowie
T
V (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z), Vϕ (r, ϕ, z), Vz (r, ϕ, z)
75
ch
e
ün
Oft führt man auch ortsabhängige Basisvektoren von V3 ein (“begleitendes Dreibein”), d.h.
~ (P ) an jedem Punkt P nach dem
(~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )), und entwickelt ~r(P ) und V
Koordinatensystem (O, ~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )). ( “krummlinige Koordinaten”, vgl. Abschn. A.4)
n
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
q
~ |V
~i
hV
n
~k=
kV
ch
e
Über die Norm in V3
lässt sich der Abstand zweier Vektoren als die Größe
M
ün
~ −V
~k
kU
-T
U
definieren. Damit lassen sich die Konzepte der Differentialrechnung einführen (Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc.).
ph
ys
ik
~ (t) einer reellen Variablen t.
Beispiel 1: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion V
~ (t)
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann konvergiert definitionsgemäß V
~0 ∈ V3 genau dann, wenn die reelle Funktion t 7→ ||V
~ (t) − V
~0 ||
bei t0 zum Grenzwert V
gegen 0 konvergiert.
~ (t) = V
~0 :⇔ lim kV
~ (t) − V
~0 k = 0
lim V
t→t0
tro
t→t0
ch
e
El
ek
Beispiel 2: Ableitung einer vektorwertigen Funktion ~a(t) einer reellen Variablen t.
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann definiert man die 1. Ableitung von
~a(t) bei t0 über den Grenzwert
d ~a
1
(t0 ) := lim
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) ,
∆t→0 ∆t
dt
Te
ch
nis
Was zur Aussage äquivalent ist, dass es ein einen Vektor
d ~a
d t (t0 )
∈ V3 gibt mit
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) d ~a
lim −
(t0 )
=0
∆t→0
∆t
dt
c
Le
hr
st
uh
l
für
Beispiel 3: Die 1. Ableitung gestattet folgende Interpretation:
Wir betrachten eine Kurve C(P1 , P2 ) von P1 ∈ E3 nach P2 ∈ E3 indem wir ~r(t) als
Ortsvektor eines Punktes P (t) = O +~r(t) auffassen, der sich im Zeitintervall [t1 , t2 ] vom
Anfangspunkt P1 = O + ~r(t1 ) zum Endpunkt P2 = O + ~r(t2 ) bewegt.
+
+
+
O
Abb. A.2: Punkt P wandert entlang einer Kurve
76
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
~r(t) ist also eine Parameterdartellung von C(P1 , P2 )
n
[t1 , t2 ] 3 t 7→ O + ~r(t) ∈ C(P1 , P2 )
ch
e
mit der Zeit t als Kurvenparameter. Mit
ün
1
d ~r
(t) = lim
~r(t + ∆t) − ~r(t)
~v (t) :=
∆t→0 ∆t
dt
ph
ys
[λ1 , λ2 ] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3
ik
-T
U
M
erhält man die vektorielle Geschwindigkeit zur Zeit t, mit der sich der Punkt P (t)
bewegt. ~v (t) ist ein Tangentialvektor an die Kurve C(P1 , P2 ) im Punkt P (t).
Die Darstellung der Kurve C(P1 , P2 ) kann man auch mit Hilfe einer Parameterdarstellung ~r(λ) erfolgen, wobei λ nicht die Zeit, sondern eine andere Größe ist (Bogenlänge,
Winkel o.ä.). Es muss nur gelten:
sodass
tro
P (λ) = O + ~r(λ) ∈ C(P1 , P2 )
ek
P1 = O + ~r(λ1 ); P2 = O + ~r(λ2 )
ch
e
El
Dann ist ein Tangentenvektor am Punkt P (λ) = O + ~r(λ) ist gegeben durch
d ~r
1
(λ) = lim
~r(λ + ∆λ) − ~r(λ)
∆λ→0 ∆λ
dλ
Te
ch
nis
Drückt man den Ortsvektor ~r(λ) durch seine Koordinaten (x1 (λ), x2 (λ), x3 (λ)) bezüglich einer nicht ortsabhängigen Basis (~b1 , ~b2 , ~b3 ) aus:
~r(λ) =
3
X
xi (λ)~bi
i=1
so kann man die 1. Ableitung von ~r(λ) folgendermaßen konkret ausrechnen:
für
X
3 3 d ~r
xi (λ + ∆λ) − xi (λ) ~
1 X
~
lim
(λ) = lim
·
xi (λ+∆λ)−xi (λ) ·bi =
·bi
∆λ→0
∆λ→0 ∆λ
dλ
∆λ
i=1
hr
st
uh
l
i=1
=
3
X
d xi
dλ
i=1
(λ)~bi
3
X d xi
d ~r
=
(λ)~bi
dλ
dλ
i=1
c
Le
das heißt:
77