Korrektheit und Vollständigkeit

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Korrektheit und Vollständigkeit
Theorem 36
Sei C Klauselmenge. Es gibt Resolutionsbeweis für C gdw. C
unerfüllbar ist.
Beweisskizze: “⇒” Wie bisher: Zeige, dass erfüllbare Menge
unter Hinzunahme von Resolventen erfüllbar bleibt.
“⇐” Sei C unerfüllbar. Nach Thm. 35 gibt es
Grundresolutionsbeweis mit Instanziierungen zu Grundtermen.
Dieser lässt sich in einen Resolutionsbeweis umbauen, welcher die
Instanziierungen mittels MGUs teilweise und nur an benötigter
Stelle macht.
223
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Beschränkung auf zwei Terme
noch zu tun: Berechnung von MGUs
Lemma: Seien t1 , . . . , tn , n > 1 Terme ohne Funktionssymbol f .
Jeder Unifikator für t1 , . . . , tn ist auch ein Unifikator für
f (t2 , . . . , tn ), f (t1 , . . . , t1 ) und umgekehrt.
Beweis: Übung.
Soll heißen: bei der Berechnung von MGUs können wir uns auf den
Fall zweier Terme t, t 0 beschränken. Beachte: Für Unifikation kein
Unterschied zwischen Funktions- und Prädikatsymbolen.
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Berechnung von MGUs
Algorithmus arbeitet auf Menge von Paaren von Termen
M = {(t1 , t10 ), . . . , (tn , tn0 )}
Aufruf mit zu unifizierendem Paar (t, t 0 )
iteriere, solange noch eine der folgenden Regeln die Menge M
ändert
• entferne Paare der Form (t, t) aus M
• ersetze jedes (t, x) in M durch (x, t), falls x Variable, t nicht
Variable
• gibt es (t, t 0 ) ∈ M mit t = f (s1 , . . . , sm ), t 0 = f (u1 , . . . , um ),
so ersetze M durch (M \ {(t, t 0 )}) ∪ {(s1 , u1 ), . . . , (sm , um )}
• ist M = {(x, t), (t1 , t10 ), . . . , (tn , tn0 )}, so dass x nicht in t
vorkommt, so ersetze M durch
0 ))}, wobei σ = [x 7→ t]
{(x, t), (σ(t1 ), σ(t10 )), . . . , (σ(tm ), σ(tm
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Beispiele
berechne MGUs für
• R(g (x, y ), f (y )), R(g (g (d, z), z 0 ), f (y 0 ))
• P(f (g (x, f (y )))), P(f (y ))
• R(f (x), x), R(y , c), R(f (z), z 0 )
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Berechnung von MGUs
Termination nicht trivial; aber Regeln nicht beliebig lange
anwendbar
zwei Fälle bei Termination:
1
M = {(x1 , t1 ), . . . , (xn , tn )}, wobei x1 , . . . , xn paarweise
verschieden und kommen nicht in t1 , . . . , tn vor
[x1 7→ t1 , . . . , xn 7→ tn ] ist MGU
2
keine Regel anwendbar, aber M nicht von obiger Form
Eingabe nicht unifizierbar
Theorem 37 (ohne Beweis)
Obiger Algorithmus terminiert immer und berechnet einen MGU
für die Eingabeterme.
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Resolution für FO[=, τ ]
beachte: bisher nur Resolution für FO[τ ]; lässt sich diese auf
FO[=, τ ] erweitern?
ja, z.B. mittels Paramodulation
Def.: Eine Klausel E heißt Grundparamodulant für Klauseln C und
D, falls
.
• C = s = t, C 0
• D = `, D 0
• E = `0 , C 0 , D 0 , wobei `0 aus ` entsteht, indem ein einziges
Vorkommen von s durch t (oder umgekehrt) ersetzt wurde
Grundresolution für FO[=, τ ] durch Hinzunahme der
Grundparamodulationsregel zur Grundresolution für FO[τ ]
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Beispiel
.
(∀x ∀y .x =
6 y → P(x) ∨ P(y )) ∧ (¬P(c) ∨ ¬P(d)) ist erfüllbar,
vgl. mit ähnlichem Beispiel ohne Quantorenrelativierung
229
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4.9 Prädikatenlogik – Resolution
Paramodulation
Def.: Eine Klausel E heißt Paramodulant für Klauseln C und D,
falls
.
.
• C = s = t, C 0 oder C = t = s, C 0
• D = `, D 0 , wobei in ` ein Term r vorkommt
• C 0 und D 0 haben keine gemeinsamen Variablen
• es gibt einen MGU σ für s und r
• E = σ(`0 ), σ(C 0 ), σ(D 0 ), wobei `0 aus ` entsteht, indem ein
einziges Vorkommen von s durch σ(t) ersetzt wurde
Resolution für FO[=, τ ] durch Hinzunahme der
Paramodulationsregel zur Resolution für FO[τ ]
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Logikprogrammierung
I Berechnung durch Resolution
I Die Programmiersprache Prolog
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
Resolution als Berechnungsmodell
bisher Resolution nur als Verfahren zum Beweis der Unerfüllbarkeit
einer Klauselmenge
Resolution kann mehr: Erzeugung neuer Terme durch MGUs in
Iteration der Resolution ist auch eine Berechnung
Verallgemeinerung:
• gegeben Eingabe-Klauselmenge C, Ziel-Klausel ϕ
• berechne Substitution σ, so dass σ(ϕ) aus C per Resolution
herleitbar ist
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
Beispiel
Bsp. Konstante 0, einst. Funktion s zur symbolischen
Repräsentation natürlicher Zahlen
Axiomatisierung der Addition:
∀x.Add(x, 0, x)
∀x.∀y .∀z.Add(x, y , z) → Add(x, s(y ), s(z))
Axiomatisierung der Multiplikation:
∀x.Mult(x, 0, 0)
∀x.∀y .∀z.Mult(x, y , z) ∧ Add(y , z, u) → Mult(x, s(y ), u)
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
234
Beispiel
Was ist 3 + 2? Für welchen Term t ist Add(s(s(s(0))), s(s(0)), t)
Konsequenz aus obiger Klauselmenge?
Beachte: Φ |= ϕ gdw. Φ ∧ ¬ϕ unerfüllbar
benutze also Resolutionsverfahren für
{Add(x, 0, x)}, {¬Add(x, y , z), Add(x, s(y ), s(z))}, {¬Add(s 3 (0), s 2 (0), u)}
führe am Ende aufgesammelte Substitutionen aus, um u korrekt
zu instanziieren
Was ist 3 ∗ 2? Übung.
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
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Beispiel
{Add(x, 0, x)}, {¬Add(x, y , z), Add(x, s(y ), s(z))}, {¬Add(s 3 (0), s 2 (0), u)}
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
Beispiel
symbolische Differenzierung modellieren; Signatur
(+, ∗, 1, 0, x, y , . . .) (Achtung, x etc. ist Konstante in Signatur,
aber Variable in modelliertem Szenario!)
{D(x, x, 1)}
{D(y , x, 0) | y 6= x}
{D(f , x, f 0 ) ∧ D(g , x, g 0 ) → D(+(f , g ), x, +(f 0 , g 0 ))}
{D(f , x, f 0 ) ∧ D(g , x, g 0 ) → D(∗(f , g ), x, +(∗(f , g 0 ), ∗(f 0 , g )))}
Übungen:
• berechne die Ableitung von x 2 · (y + x) nach x
• erweitere dies um natürliche Zahlen und Operatoren pow (f , n)
für Polynome
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6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
Resolutionsstrategien
Ziel: Berechnungsmechanismus in Resolution in einer
Programmiersprache ausnutzen
pragmatisches Problem: obiger Resolutionskalkül nicht sehr
zielgerichtet; Resolutions-Baumstruktur vollkommen beliebig
effiziente Auswertung in Interpreter erfordert klarere Regeln
leicht zu machen, z.B. “wähle immer kleinste passende Klausel”
etc.
wirft Frage auf: gilt Korrektheit (Φ unerfüllbar gdw.
Resolutionsbeweis existiert) auch unter Einschränkung auf
bestimmte Resolutionsstrategien?
237
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
SLD-Resolution
Def.: SLD-Resolutionsbeweis für Φ ist Liste C1 , . . . , Cn , so dass
• C1 ∈ Φ
• für alle i = 2, . . . , n existiert C ∈ Φ, so dass Ci Resolvent von
Ci−1 und C
beachte: Liste = degenerierter Baum
Bsp.: (man stelle sich geeignete FO-Literale vor)
Φ = {{A, B}, {¬A, B, ¬C }, {¬B, ¬C }, {C }}
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Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
6.1 Logikprogrammierung – Berechnung durch Resolution
SLD-Resolution und Horn-Klauseln
Def.: Horn-Klausel ist Klausel mit höchstens einem positiven
Literal: P(t̄) ∨ ¬Q1 (s̄1 ) ∨ . . . ∨ ¬Qn (s̄n ) mit n ≥ 0
Theorem 38 (ohne Beweis)
Sei Φ Menge von Horn-Klauseln. Φ ist unerfüllbar gdw. es
SLD-Resolutionsbeweis für Φ gibt.
SLD-Resolution ist nicht vollständig für allgemeine Klauselmengen
Bsp.: man versuche, einen SLD-Resolutionsbeweis für
Φ := {{A, B}, {¬A, B}, {A, ¬B}, {¬A, ¬B}}
zu konstruieren
239
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6.2 Logikprogrammierung – Prolog
Programmiersprache Prolog
Prolog-Programm ist Liste von Fakten (einelementige Hornklausel)
und Regeln (mehrelementige Hornklauseln)
• Variablen beginnen mit Großbuchstaben oder Unterstrich
• Funktionen und Prädikate beginnen mit Kleinbuchstaben
Bsp.:
p(X,c,X).
p(X,f(Y),f(Z)) :- p(X,Y,Z).
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6.2 Logikprogrammierung – Prolog
Syntax
Klauselform gemacht für Konjunktionen im Antezedent:
isWitch(X) :- female(X), burnable(X), sameWeight(X,duck).
Disjunktionen im Antezedent modellierbar:
A ∨ B → C ≡ (A → C ) ∧ (B → C )
isParent(X,Y) :- isFather(X,Y).
isParent(X,Y) :- isMother(X,Y).
oder
isParent(X,Y) :- isFather(X,Y); isMother(X,Y).
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