Kapitel 3 Isolierte Warteschlangensysteme im Gleichgewicht. § 3.1

Kapitel 3
Isolierte Warteschlangensysteme im
Gleichgewicht.
§ 3.1 Grundlegende Systeme
Ein isoliertes Warteschlangensystem ('Queue') hat folgende Aufbau:
• es gibt ein oder mehrere Warteräume
• es gibt sukzessive Ankünfte von Aufträgen
• daraus entstehen Warteschlangen
• es gibt ein oder mehrere Bediener
Kennzeichnend sind dabei folgende Komponenten:
• HAt Lt¥0 Ankunftsprozesse
• HBt Lt¥0 Bedienprozesse
• Bediendisziplin, Zahl der Bediener
• Kapazität der Warteräume
• Größe der Benutzerpopulation
Im folgenden betrachten wir Warteschlangen, die zu KHMK HNt Lt¥0 führen.
Ein Zustand i œ I = 0 der KHMK steht hier für die Information, daß sich i Benutzer im System (wartend oder in
Bedienung) befinden.
Hauptinteresse der Warteschlangentheorie ist es, den Prozess HNt Lt≥0 vollständig und genau zu beschreiben.
Ausreichend sind dabei meist die Zustandswahrscheinlichkeiten @Nt = iD = pi HtL für i Œ I = 0 und t Œ 0+
Zu Angabe von Warteschlangen wird oft die Kendall-Notation (D.G. Kendall, 1951) verwendet. Sie charakterisiert ein
Warteschlangensystem durch ein 6-Tupel A/B/C/K/P/S:
• A:Ankunftsprozeß
• B: Bedienprozeß
• C: Anzahl der Bediener
• K: Maximale Anzahl der Jobs im System
• P: Größe der Benutzerpopulation
• S: Scheduling-Disziplin (Warteschlangendisziplin)
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
12
• S: Scheduling-Disziplin (Warteschlangendisziplin)
Beispiele für die Einträge bei A und B sind
• M: Markov-Prozess (bzw. Exponential-Verteilung)
• D: deterministische Verteilung (konstanter Wert!)
• Ek : k - stufige Erlangverteilung (Faltung von k Exponentialverteilungen)
• Hk : k - phasige Hyperexponentialverteilung
• hk : k - phasige Hypoexponentialverteilung
• G: beliebige Verteilung
• GI: unabhängige Bedienzeiten beliebige Verteilung
P=¶ und K=¶ werden meist nicht angegeben, ebenso S=FIFO/FCFS, also wird etwa M/M/1/¶/¶/FIFO kurz als
M/M/1-System bezeichnet.
Zunächst betrachten wir M/M/m-Systeme:
• exponentiell verteilte Zwischenankunftszeiten, mit Ankunftsrate l
• exponentiell verteilte Bedienzeiten, mit Bedienraten µ
• m Bediener
• Warteraum nicht beschränkt
• Benutzerpopulation nicht beschränkt
• Warteschlangen-Disziplin FCFS (First-Come-First-Served)
Berechnungsmethoden für die Gleichgewichtsverteilung am Beispiel des
M/M/1 Modells
Hier sind die Zwischenankunftzeiten (Parameter l) und die Bedienungszeiten (Parameter m) exponentialverteilt.
Bei m=1 ist die Zeit bis zur nächsten Ankunft bzw. dem nächsten Abgang exponentiell verteilt, damit ist (Beweis
analog zur überlagerung zweier Poisson-Prozesse):
[zwei Ereignisse bis Zeit Dt]=o(Dt), DtØ0
Also ist li j = 0für j–{i-1,i+1}, d.h. es liegt ein Geburts-Todes-Prozess (GTP) vor.
Für i=0 ist offensichtlich
li = li i+1 =limDtØ0
=limDtØ0
= limDtØ0
@eine Ankunft, kein Abgang bis zur Zeit DtD
Dt
I1-e-lD t M e-m Dt
Dt
le-l t
1
= limDtØ0
=l
und analog
mi =li i-1 =m
Bei M/M/1 haben wir folgende Zustandsübergänge:
Die Gleichgewichtsverteilung (pL=0) wird nun durch Lösung von
1-e-lD t
Dt
=
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
Die Gleichgewichtsverteilung (
-l p0 + mp1 = 0
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= ) wird nun durch Lösung von
l p0 - Hl + mL p1 + m p2 = 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
l pn-2 + Hl + mL pn-1 + m pn = 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
bestimmt.
1. Iterative Methode
Diese haben wir bereits beim allgemeinen Geburts- und Todesprozess kennengelernt. Wir erhalten für alle n œ 0
l n
pn = K O p0 .
m
Wie im allgemeinen Fall ergibt sich mit r=
l
m
l -1
n
p0 = K1 + ڦ
n=1 ¤i=1 O
m
n -1
=H1 + ڦ
n=1 r L
Im Fall r gibt es genau eine Gleichgewichtsverteilung, nähmlich
pn = rn H1 - rL.
• Der Quotient r heißt Nutzungsfaktor oder Verkehrsintensität, er gibt den durchschnittlichen Zeitanteil an, in dem
der Bediener belegt ist.
• Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Bediener belegt ist, heißt Utilization (Beanspruchung/Auslastung) U des
Bedieners. Bei M/M/1 gilt also speziell U = 1 - p0 = r
• Die Anzahl der Kunden im System ist bei M/M/1 also geometrisch verteilt mit Parameter r.
2. Erzeugende Funktionen
Das Gleichungssystem, bei dem es sich ja um Differenzengleichungen handelt, kann auch durch erzeugende Funktionen gelöst werden. Dazu wird die (Wahrscheinlichkeits-) erzeugende Funktion (z-Transformierte)
n
P(z):=ڦ
n=0 pn z
mit ze und |z|§1 eingeführt. Für diese wird aus dem gleichungssystem eine Formel gefunden, aus der dann durch
Reihenentwicklung die Koeffizienten pn gewonnen werden. Die Methode soll nun am M/M/1 Modell vorgeführt
werden. Das Gleichungssystem umgeschrieben für r lautet
pn+1 = Hr + 1L pn - r pn-1 , n¥1
p1 = r p0 .
Daraus folgt durch Multiplikation mit zn und Summation über n
z-1 pn+1 zn+1 = Hr + 1L pn zn - z r pn-1 zn-1
n+1
n
¶
n-1
z-1 ڦ
= Hr + 1L ڦ
n=1 pn+1 z
n=1 pn z - z r ⁄n=1 pn-1 z
-1
z HPHzL - p1 z - p0 L = Hr + 1L HPHzL - p0 L - z r PHzL
und daraus mit Hilfe der zweiten Gleichung p1 = r p0 und Auflösen nach P(z)
P(z)=
p0
1-z r
.
Da wegen der Definition von P(z) die Beziehung P(1)=1 gilt, ist r∫1 nötig, und es folgt p0 = 1 - r und damit r<1 und
wir erhalten
P(z)=
1-r
1-z r
, r < 1,
z §1
Indem man nun P(z) in eine Potenzreihe entwickelt, erhält man in diesem Fall sehr schnell pn = rn H1 - rL.
Häufig muss man sich damit begnügen, interessanten Größen aus der erzeugenden Funktion direkt herzuleiten, z.B. die
erwartete Anzahl L=[N] von Kunden im System
d
¶
n-1
n
'
L = ڦ
ڦ
z=1 =
n=1 n pn = ⁄n=1 n pn z
n=1 pn z z=1 = P H1L
dz
In unserem Fall ergibt sich
L=
r
1-r
3. Operatoren
Die Gleichgewichtsverteilung kann auch mit Hilfe von Operatoren gefunden werden, die auf Folgen angewendet
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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werden. Ist etwa Ia0 , a1, a2 , ...M eine Folge, so wird durch D an = an+1 (nœ) der Schift-Operator definiert, der die
Folge Ha0 , a1 , a2 , ...L auf die Folge Ha1 , a2 , a3 , ...L abbildet (einfache Shift). Man beachte, dass D2 = Dë D eine Folge
Ha0 , a1 , a2 , ...L auf die Folge Ha2 , a3 , ...L abbildet (doppelte Shift). Eine lineare Differenzengleichung hat nun die
Form
cn an + cn+1 an+1 + ... + cn+k an+k = 0
was sich mittels Shift-Operator als
I⁄ki=0 cn+i Di M an = 0
schreibt, weil Dm an = an+m für alle n, m gilt. Ist nun r eine Wurzel (Nullstelle) des Operator-Polynoms
⁄ki=0 cn+i Di , d.h.
è
i
⁄ki=0 cn+i Di = HD - rL ⁄k-1
i=0 cn+i D ,
so gilt
è
i n
I⁄ki=0 cn+i Di M rn = HD - rL I⁄k-1
i=0 cn+i D M r
k-1 è
= HD - rL ⁄i=0 cn+i rn+i
è
è
n+i
n+i
= D ⁄k-1
- r ⁄k-1
i=0 cn+i r
i=0 cn+i r
è
è
n+i+1
n+i+1
= ⁄k-1
- ⁄k-1
i=0 cn+i r
i=0 cn+i r
=0
d.h. an = r ist eine Lösung der Differenzengleichung. Alle Lösungen der Differenzengleichung sind Linearkombinationen der Gestalt an =⁄i an rni , wobei die ri Wurzeln des Operator-Polinoms sind.
Wir wenden nun die Methode auf unsere Rekursionsgleichung
pn+2 - Hr + 1L pn+1 + r pn = 0
n¥0
mit den Nebenbedingungen p1 = r p0 und ڦ
p
=
1
an.
n=0 n
Mittels Shift-Operator schreibt sich die Rekursionsgleichung als
0 = ID2 - Hr + 1L D + rM pn
n
= HD - 1L HD - rL pn
was auf pn = a + br führt. Aus der Nebenbedingung ⁄¶
n=0 pn = 1 folgt a=0 (die Nebenbedingung p1 = r p0 ist damit
n
automatisch erfüllt) und ebenso r<1 und pn = r H1 - rL.
____________________________________________________________________________________
Sind die pn berechnet, so können alle interessierenden Kenngrößen des Bedienungssystems im Gleichgewicht berechnet werden, z.B. die erwartete Anzahl von Kunden im System
¶
n
L= [N]= ڦ
n=1 n pn = H1 - rL ⁄n=1 n r
n
= H1 - rL r
= H1 - rL r
=
r
1-r
=
d
dr
d
n
ڦ
n=0 r
1
d r 1-r
l
m-l
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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Ebenso ist auch die erwartete Anzahl von wartenden Kunden interessant,
Lq = ANq E = ڦ
n=1 Hn - 1L pn =
r
1-r
- H1 - p0 L =
r2
1-r
Interessant ist auch die erwartete Anzahl von Kunden in der Warteschlange, wenn diese nicht leer ist,
è
1
Lq =ANq N > 1E=
1-r
Aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man also
ANq E = ANq N = 0E @N = 0D + ANq N = 1E @N = 1D + ANq N > 1E @N > 1D
wobei ANq N = 0E=ANq N = 1E=0, so gilt
ANq E=ANq N > 1E @N > 1D oder
ANq N > 1E=
=
=
=
=
ANq E
@N>1D
ANq E
1- p0 - p1
ANq E
r-rH1-rL
ANq E
r2
1
1-r
Satz (Symmetrie von Geburts/Todes-Prozessen im Gleichgewicht): HNt Lt¥0 sei ein GTP mit Gleichgewichtsverteilung. Definiere
rk = Wahrscheinlichkeit, daß der Prozess im Zustand k ist unmittelbar vor einem Übergang der Form iØ
i+1 (d.h. Ankunft)
dk = Wahrscheinlichkeit, daß der Prozess im Zustand k ist unmittelbar nach einem Übergang der Form
i+1Øi (d.h. Abgang)
Dann gilt rk = dk für alle k¥0
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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Dann gilt rk
dk für alle k 0
Bemerkung: Bei M/M/1 ist
rk = [Ankömmling findet k Benutzer im System] und
dk = [Abgänger hinterläßt k Benutzer im System].
Beweis. Bezeichnen wir mit xn die Zeitpunkten unmittelbar vor einem Übergang der Form iØi+1, und mit yn - unmittelbar nach einem Übergang der Form i+1Øi.
Bezeichnen wir nun Nxn mit an und N yn mit bn .
1) Zeigen wir zuerst, falls bn+i § k, dann an+k+1 §k.
Nehmen wir an, daß bn+i §k (für beliebige k¥0, n>0). D.h. der Abgänger hinterlässt höchstens k Benuter.
Sei
a=die Anzahl der Ankünfte zur Zeit yn+i =die Anzahl der Ankünfte unmittelbar vor (n+i)-ten Abgang.
Es gilt
a + i - Hn + iL = bn+i § k
a§n+k
und dann ergibt es sich
yn+i § xn+k+1
So treten mindestens n+i Abgänge vor (n+k+1)-ten Ankunft ein, d.h.
an+k+1 § n + k + 1 - Hn + iL = k.
2) Zeigen wir jetzt, falls an+k+1 § k, dann bn+i §k.
Nehmen wir an, daß an+k+1 §k (für beliebige k¥0, n>0). D.h. der Ankömmling findet höchstens k Benuter.
Sei
b=die Anzahl der Abgänge zur Zeit xn+k+1 =die Anzahl der Abgänge unmittelbar vor (n+k+1)-ten Ankunft.
Es gilt
n + k + i - d = an+k+1 § k
n+i§d
und dann ergibt es sich
yn+i § xn+k+1
So treten höchstens n+k Ankünfte vor (n+i)-ten Abgang ein, d.h.
bn+i § n + k + i - Hn + iL = k.
3) Aus 1) und 2) für k¥0 erhält man
@ bn+i § kD = @an+k+1 § kD
Im Gleichgewicht wenn n gross ist
limnض @ bn § kD = limnض @ bn+i § kD = limnض @an+k+1 § kD = limnض @an § kD
oder
dk = rk
Satz (Random-Observer-Property bzw PASTA-Eigenschaft): HNt Lt¥0 sei ein stochastischer Prozeß,
der ein Warteschlangensystem mit einem Puasson-Ankunftsstrom beschreibt. HNt Lt¥0 besitze die Gleichgewichtsverteilung pk =Wahrscheinlichkeit, daß der Prozess im Zustand k ist (wobei k nicht notwendigerweise die Zahl der Jobs im System darstellen muss).
rk =sei wieder die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Ankömmling das System im Zustand k vorfindet.
Dann gilt rk = dk = pk
Beweis.
Wir brauchen zu zeigen, daß
rk = @Nt = k Nt+D t - Nt = 1D = @Nt = kD = pk
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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@
D
@
D
@Nt+D t = k + 1 Nt = kD = @Nt+D t - Nt = 1 Nt - N0 = kD =
=
ANt+D t -Nt =1,Nt -N0 =kE
ANt -N0 =kE
=
ANt+D t -Nt =1E ANt -N0 =kE
ANt -N0 =kE
= @Nt+D t - Nt = 1D = lD t + oHD tL
gilt wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse für den Poisson-Prozess HNt Lt¥0 .
Es folgt von hier, daß zwei Ereignisse Nt+D t - Nt = 1 und Nt = k unabhängig voneinander sind, d.h.
rk = @Nt = k Nt+D t - Nt = 1D = @Nt = kD = pk = dk
Wartezeiten beim M/M/1 Modell
1. Aus der Formel von Little können die erwartete Systemzeit W und die erwartete Wartezeit Wq in der Warteschlange
gewonnen werden, nämlich
L
1
l
m-l
W=[Q]= =
und Wq = AQq E =
Lq
l
=
l
mHm-lL
.
2. Diese Formeln kann auch direkt wie folgt gewonnen werden.
Wir brauchen die folgende Notation zu verwenden:
B - die Zufallsvariable der Bedienzeit einer Kunde (unabhängig, exponentiellverteilt mit Parameter m)
FB HtL = @B < tD = 1 - e-m t
Qq - die Zufallsvariable der Wartezeit im Puffer bis zum Bedienungsanfang
N - die Zufallsvariable der Anzahl der Kunden im System
Nq - die Zufallsvariable von wartenden Kunden (wenn N=0, dann Nq = 0; wenn N>0, dann N = Nq + 1)
R - die Zufallsvariable der Restbedienzeit (R=0, wenn N=0; R>0 sonst)
Offenbar gilt es Qq = R + Nq B
Aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man
¶
AQq E=ڦ
n=0 AQq N = nE @N = nD = ⁄n=0 AR + Nq B N = nE @N = nD
¶
= ڦ
n=0 @R N = nD @N = nD +⁄n=0 ANq B N = nE @N = nD
¶
= ڦ
n=1 @RD @N = nD +⁄n=1 ANq B Nq + 1 = nE ANq = n - 1E
¶
= @RD ڦ
n=1 ANq = n - 1E +@BD⁄n=0 Hn - 1L ANq = n - 1E
= @RD H1 - p0 L +@BDANq E
= @RD r +@BDANq E
weil R und Nq , B und Nq unabhängig voneinander sind (PASTA-Eigenschaft).
Satz von Little: ANq E = lAQq E
Dann erhält man in diesem Fall
AQq E= [R]r+l@BD AQq E
AQq E=
@RD r
1-l@BD
.
1
Für die Exponentialverteilung ist bekannt, daß [B]= .
m
Nehmen wir an, daß [R]=
AB2 E
2 @BD
, wobei für die Exponentialverteilung die zweite Moment AB2 E=
erhält man die Formel
AQq E=
@RD r
1-l@BD
=
l
mHm-lL
und [Q]=AQq E+[B]=
l
mHm-lL
1
1
m
m-l
+ =
2
m2
bekannt ist. Dann
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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Es bleibt nur den Wert [R] auszurechnen.
Paradoxon der Restlebenszeit.
Z - beobachtete Zeitspanne mit Dichte (t)
Frage: Welche Restlebensdauer R hat das dabei gesehene Intervall Z.
Es sei R - Restlebenszeit mit dichte (t), B - Intervall mit Dichte (t).
Einfache (falsche!!!) Lösung: Ist [B] die mittlere Länge der Intervalle ([B]=[Z]), so sollte der zufällige Beobachter
einen Rest von [R]=
@BD
2
.
Gegenbeispiel: Sind die Intervall-Längen z.B. exponentiell verteilt, so ist die Wahrscheinlichkeit
[R<t]=[B<t]
wegen der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung, d.h. [R]=[B].
Grund des Paradoxon: Wahrscheinlichkeit, daß beobachtete Periode Länge z hat, ist ungleich der Wahrscheinlichkeit, das beliebige Periode Länge z hat, [B§z]∫[Z§z]: Lange Intervalle werden häufiger beobachtet als kurze
Intervalle!
Z sei die Zufallsvariable für die beobachtete Periode. Dann ergibt sich:
(a) Mittlere Dauer von k aufeinanderfolgenden Bedienungsintervalle: k·[B]
(b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau i von k Intervallen die Länge z haben, kann mit Hilfe der Binomialverteilung gewinnen werden:
k
@B œ @z, z + zLDi @B – @z, z + zLDk-i .
i
Die Mittlere Anzahl von Intervallen mit Längen zwischen z und z+z unter k Intervallen:
k·@B œ @z, z + zLD.
Mittlere Dauer von Bedienungsintervallen mit Länge zwischen z und z+z unter k Intervallen:
ºk·@B œ @z, z + zLD·z=k·(z)·z z
Daraus erhalten wir für die Dichte (z) von Z:
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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Daraus erhalten wir für die Dichte (z) von Z:
[Zœ[z,z+ z)]=HMittlere Dauer von Bedienungsintervallen mit Länge zwischen z und z + z unter k IntervallenL ê
HMittlere Dauer alle k IntervallenL
=
kÿHzLÿzz
kÿ@BD
(z)z=
(z)=
kÿHzLÿzz
kÿ@BD
HzLÿz
@BD
, z>0
Hat das beobachtete Intervall Z die Länge z, so ist der Beobachtungsteitpunkt X auf dem Intervall gleichverteilt, mit
1
Dichte .
z
Als Dichte von R ergibt dann sich mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (bedingte nach beobachtetem
Intervall Z), beachte daß bei Z<t keine Restlebenszeit der Größe t existieren kann):
(t)=Ÿt ¶ HzL „ z= Ÿt ¶
z
z
1 HzLÿz
1
@BD
„z =
1
1-HtL
¶
Ÿ HzL „ z= @BD
@BD t
Als mittlere Restlebensdauer ergibt sich:
[R]=Ÿ0¶ t HtL „ t = Ÿ0¶ t
1-HtL
@BD
=
1
¶
¶
Ÿ t Ÿt HzL „ z „ t
@BD 0
=
1
¶ z
Ÿ Ÿ0 t
@BD 0
=
HzL „ t „ z=
„ t=
1
¶
Ÿ t
@BD 0
H1 - HtLL „ t=
1
¶ ¶
Ÿ Ÿt t HzL „ z „ t
@BD 0
2
AB2 E
1
¶ z
HzL „ z =
Ÿ
0
@BD
2
2ÿ@BD
____________________________________________________________________________________
Ist das System im Gleichgewicht, so kann die Verteilung der (Zufallsvariable) Wartezeit Qq eines (virtuellen) Kunden, der zum Zeitpunkt 0 eintrifft, durch folgende Überlegungen gewonnen werden.
Satz: Die Verteilung der Wartezeit eines Kunden besitzt die folgende Verteilungsfunktion
Qq HtL = AQq § tE = 1 - r -Hm-lL t
Beweis: Wegen der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung gilt für n œ 0 bei einer FCFS Strategie
n-1
AQq § t N = nE = 1 - ⁄k=0
e-m t Hm tLk
k!
.
Daraus folgt mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
AQq § tE=⁄¶
n=0 AQq § t N = nE pn
n-1
=1-ڦ
n=1 K⁄k=0
e-m t Hm tLk
k!
n-1
=1-(1-r)ڦ
n=1 K⁄k=0
=1-(1-r)e-m t ڦ
k=0
=1-(1-r)e-m t ڦ
k=0
=1-re-m t ڦ
k=0
O pn
e-m t Hm tLk
k!
Hm tLk
O rn
Hڦ
n=k+1
k!
Hm tLk rk+1
k!
rn L
1-r
Hrm tLk
k!
=1-re-Hm-lL t
Ein Kunde muss also mit Wahrscheinlichkeit 1-r gar nicht warten und, wenn er warten muss, eine exponentialverteilte
Zeit mit Parameter m-l. Man beachte, dass die Annahme von exponentialverteilten Bedienungszeiten wesentlich in die
Berechnung eingegangen ist. Da die Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt sind, gilt diese Verteilung für die
Wartezeit eines jeden Kunden, der in ein Bedienungssystem im Gleichgewicht eintritt. Daraus könnte natürlich wieder
die mittlere Wartezeit gewonnen werden, die wir ja bereits mit der Formel von Little berechnet haben.
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
20
ρ=
FQq
λ
;
µ
= 1 − ρ Exp@− Hµ − λL tD;
fQq = DAFQq , tE;
Wq = IntegrateAt fQq , 8t, 0, ∞<E
W = SimplifyB
ρ
µ−λ
IfBRe@λD < Re@µD,
+
1
µ
F
λ
µ H−λ + µL
,
t Hλ−µL t λ2
IntegrateBt Hλ−µL t λ −
µ
, 8t, 0, ∞<, Assumptions → Re@λD ≥ Re@µDFF
1
−λ + µ
Wq =
l
mHm-lL
W = Wq + @BD=
l
mHm-lL
+
1
m
=
1
m-l
Man kann aber auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Kunde länger als einen vorgegebenen Wert warten muss
- es könnte ja sein, dass dann zusätzliche Kosten anfallen.
AQq > t Qq > 0E =
AQq >t,Qq >0E
AQq >0E
=
AQq >tE
AQq >0E
= -Hm-lL t
Satz (Satz von Burke für M/M/1-Systeme): Für jedes M/M/1-System im Gleichgewicht stimmen
Ankunfts- und Abgangsprozeß stochastisch übereit, d.h. der Abgangsprozeß ist ebenfalls Poissonprozess
mit Rate l und mittlere Durchsatz durch das System
S = H1 - p0 L ÿ m=r·m=l
Zusammenfassung (Leistungsmerkmale bei M/M/1): Betrachte ein M/M/1-System mit Ankunftsrate l,
l
Bedienrate m. Es sei r= . Dann gilt
m
ä mittlere Anzahl von Kunden im System:
L=[N]=
r
1-r
ä mittlere Anzahl von Kunden in der Warteschlange:
Lq = ANq E =
r2
1-r
ä mittlere bediengte Anzahl von Kunden in der Warteschlange:
è
1
Lq = ANq N > 1E =
1-r
ä mittlere Systemzeit
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
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mittlere Systemzeit
W=[Q]=
1
mH1-rL
ä mittlere Wartezeit
Wq = AQq E = W - @BD =
r
mH1-rL
ä mittlere Durchsatz durch das System
S = H1 - p0 L ÿ m=r·m=l
ä die Verteilungsfunktion der Wartezeit eines Kunden
Qq HtL = AQq § tE = 1 - r -Hm-lL t
ä die bedingte Verteilungsfunktion der Wartezeit eines Kunden
Qq Qq >0 HtL = AQq § t Qq > 0E = 1 - -Hm-lL t
Beispiel 12. Betrachten Sie eine einfache Warteschlange M/M/1 mit exponential verteilten
Zwischenankunftszeiten (mit fester Rate l=1) und einem Bediener mit ebenfalls exponential verteilten
Bedienzeiten (mit Bedienrate m), wobei diese Bedienrate frei gewählt werden kann. Zu jedem solchen m ergibt
sich eine mittlere Wartezeit Wq HmL in der Warteschlange für die Jobs im System. Ziel ist die Untersuchung des
folgenden Optimierungsproblems: Durch den Betrieb des Servers entstehen Kosten (die von der
Leistungsfähigkeit des Servers abhängen und es wird angennomen, daß cHmL = 2 m), es entstehen aber ebenso
Kosten durch die Belegung von Plätzen in der Warteschlange vor dem server, d.h. cIWq M=1.5 Wq HmL. Die
Gesamtkosten des Systems ergeben sich als C=c(m)+cIWq M. Bestimmen Sie nun das m mit den geringsten
Gesamtkosten.
Lösung:
Wq HmL =
1
c=2 m+1.5
dC
dm
,
1
mHm-1L m
1
<1
mHm-1L
= 0fl mº1.7786
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
22
c = 2 mu + 1.5 ê Hmu Hmu − 1LL
D@f, muD
Plot@f, 8mu, 1, 3<D
Solve@D@f, muD 0, muD êê N
1.5
+ 2 mu
H−1 + muL mu
1.5
1.5
2−
−
2
H− 1 + muL mu
H− 1 + muL2 mu
80
60
40
20
1.5
2
2.5
3
Graphics 88mu → −0.159869 − 0.868171 <,
8mu → −0.159869 + 0.868171 <, 8mu → 0.541105<, 8mu → 1.77863<<
Beispiel 13. Eine besondere Klasse von Markov-Kette bilden sogennanten Geburts- und Todes-Markov-Ketten.
Dies sind Markov-Ketten, bei denen ein Zustandsübergang nur zwischen benachbarten Zuständen möglich ist.
So ist z.B. die folgende Markov-Kette eine solche Gburts-Todes-Markov-Kette mit der Besonderheit, daß alle
Geburtsraten gleich l sind, alle Todesraten gleich m sind und es unendlich viele Zustände gibt (M/M/1Warteschlangensystem).
Aufgaben:
(a) Bestimmen Sie die Zustandsübergangssratenmatrix L.
(b) Bestimmen Sie die Zustandsübergangswahrscheinlichkeitsmatrix P
(c) Eine solche Markov-Kette besitzt einen Gleichgewichtswahrscheinlichkeitsvektor p genau dann,wenn l<m
gilt. Bestimmen Sie p = H pn Lnœ0 für l=2 und m=4.
Lösung:
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
−λ
µ
L=
0
ª
−1
µ
P=
λ+µ
λ
−Hλ + µL
µ
ª
1
0
−1
µ
0
λ+µ
ª
ª
λ
λ+µ
0
λ
−Hλ + µL
ª
...
23
...
...
...
∏
...
(für die eingebettete Markov-Kette)
−1
...
ª
∏
pn = r H1 - rL, wobei r= = 0.5fl
n
l
m
pn = 0.5n+1
Beispiel 14. Berechnen Sie für das System M/M/1 mit l=1000 Pakete/s und m=4000 Pakete/s die
Wahrscheinlichkeit, dass kein Paket auf seinen Versand wartet bzw. gerade versandet wird. Vergleichen Sie das
mit der Wahrscheinlichkeit, dass 10 Pakete im System sind.
Lösung:
Zur Vereinfachung kann man l und m normieren:
l=1 und m=4.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich kein Paket im System befindet ist
p0 = 1 - r
p0 = 0.75
Und für 10 Pakete:
p10 = p0 r10 = 0.75 ÿ0.2510 º 7.153 ÿ10-7 fl
p10
p0
º 9.54 ÿ10-7
Beispiel 15. Nehmen Sie an, dass die Ankunftsrate bei steigender Anzahl k von zu versendenden Paketen
folgendermaßen sinkt: l£ HkL =
l
k+1
.Die Bedienrate bleibt aber konstant, d.h. m(k)=m für alle k.
(a) Zeichnen und beschriften Sie das Zustandsübergangsdiagramm.
(b) Drücken Sie die Wahrscheinlichkeit pk , daß sich k Pakete im System aufhalten, als Funktion von l, m und
p0 aus.
(c) Finden Sie eine geschlossene Lösung für p0 . Hinweis: Nutzen Sie die Reihenentwicklung der
Exponentialfunktion e x .
Lösung:
(a)
(b) Beim stationären System kann man folgende Gleichungen aufstellen:
3.1_Isolierte_Warteschlangensysteme.nb
24
(b) Beim stationären System kann man folgende Gleichungen aufstellen:
l
l p0 = m p1 fl p1 = p0
m
l
2
l
3
p1 = m p2 fl p2 =
p2 = m p3 fl p3 =
l2
1ÿ2ÿm2
l3
p0
1ÿ2ÿ3ÿm3
p0
..........................
Daraus läßst sich
pk =
lk
k! mk
p0 =
rk
k!
l
p0 (r= )
m
induktiv für k>0 ableiten.
(c) Wegen
¶
ڦ
k=0 pk = p0 + ⁄k=1
rk
p0 =1
k!
d.h. mit Vorzihen des konstanten Faktors p0 und dem Ausdruck von p0 als Indexverschiebung
1 = p0 ڦ
k=0
rk
k!
Mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
ex = ڦ
k=0
xk
k!
folgt
1 = p0 e r
und somit
p0 = e-r