Informatik - Höhere Mathematik an der TUM

Technische Universität München
SoS 2000
Zentrum Mathematik
Dr. P. Vachenauer
¨
HOHERE MATHEMATIK II
Dr. Th. Hagen
Blatt 7
Informatik
ZENTRALÜBUNG
Z25. Lineare DGL mit variablen Koeffizienten
Man löse x y 00 + y 0 + x y = 0 mittels Potenzreihenansatz für die Anfangswerte y(0) = 1 , y 0 (0) = 0
bzw. y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 .
Z26. Inhomogene lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten
y0 = y1 = 0,
a)
yn+2 = 5 yn+1 − 6 yn + 1,
n≥0.
Man bestimme zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Rekursion durch Übergang zur
erzeugenden Funktion.
b)
Durch Ansatz vom Typ der rechten Seite berechne man eine spezielle Lösung der inhomogenen
Rekursion.
c)
Man bestätige das Ergebnis an der erzeugenden Funktion für die inhomogene Rekursion.
Z27. Komplexität von Algorithmen
Das folgende Programmstück bestimmt durch Bisektion die kleinste Zahl in einem Feld S mit 2N
natürlichen Zahlen.
function min ( S : string[ 1..2N ], N : nat): nat
var a , b : nat;
begin
if N = 0 then
min = S[1]
else
begin
a := min( S[1..2N −1 ], N − 1 ) ;
b := min( S[2N −1 + 1..2N ], N − 1 ) ;
min := a ;
if b < a then min := b ;
end;
end;
Man ermittle die Anzahl der elementaren Rechenoperationen (Addieren, Subtrahieren, Potenzieren, Multiplizieren, Vergleichen) in Abhängigkeit von N .
BITTE WENDEN!
TUTORÜBUNGEN
T23. Man wiederhole Z25 für y 00 − x y 0 + y = 0 .
T24. Man beweise die Korrespondenzen für erzeugende Funktionen
n+k n
1
a
◦−−•
k+1
k
(1
−
ax)
n∈IN0
(an sin nϕ)n∈IN0 ◦−−•
ax sin ϕ
1 − 2ax cos ϕ + a2 x2
T25. Man bestimme die Lösung der inhomogenen Rekursion in expliziter Form
y0 = 0 , y1 = 14 , y2 = 35,
yn − 5 yn−1 + 8 yn−2 − 4 yn−3 = 2 n + 1,
n ≥ 3.
T26. Man löse die Rekursion
yn+1 = yn + 2 yn−1 + 3 yn−2 + ... + (n + 1) y0 =
n
X
(n + 1 − k) yn ,
n≥0
k=0
zum Startwert y0 = 1 mittels Übergang zur erzeugenden Funktion.
(Tipp: Auf die rechte Seite den Produktsatz anwenden.)
HAUSAUFGABEN
H26. Mittels Potenzreihenansatz löse man das Anfangswertproblem für (1 + x2 )y 00 + xy 0 − y = 0 mit den
Anfangswerten y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 bzw. y(0) = y 0 (0) = 1 .
√ 2000
3
versagt der Taschenrechner! Es geht auch mit einer Rekursion:
√
√ 2n
√
Man bestätige mittels vollständiger Induktion:
2+ 3
ist von der Gestalt an + bn 6 und
H27. Bei der Berechnung von
a)
√
2+
für die Folgen (an )n und (bn )n gilt die Rekursion:
an+1
5 12
an
=
,
bn+1
2 5
bn
b)
a0
b0
=
1
.
0
Man löse die Rekursion durch Übergang zur erzeugenden Funktion.
H28. Man bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Rekursion in expliziter Form
yn+2 = 6 yn+1 − 9 yn + 3n ,
n ≥ 0.
H29. Es sei yn die Anzahl der Wörter mit n Buchstaben aus dem Alphabet {0, 1, 2} , in denen niemals zwei
Nullen hintereinander stehen. Man stelle die Rekursion auf und löse sie mittels erzeugender Funktion.
(Tipp: y0 = 1 steht für das zulässige leere Wort.)
Letzter Abgabetermin: Montag, 3. Juli 2000, 14 Uhr; großer Holzkasten westlich von S 0314.
Semestralklausur:
Donnerstag, 20. Juli 2000, 16 bis 18 Uhr, S0314 und 1200