Quickies zum Selbsttest (1)

Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2011)
Aufgabe 6: Präsenzaufgaben – keine schriftliche Bearbeitung
Vorbemerkung: Diese Aufgaben dienen in erster Linie der Selbstkontrolle.
Sie sind nicht schwierig, sofern Sie verstanden haben, worum es geht. Sie
werden in den Übungsstunden behandelt, falls Zeit dafür da ist und Sie das
wünschen. Bedenken Sie: Klausuraufgaben könnten so aussehen!
1. Bestimmen Sie die explizite Lösung der Rekursionsgleichung
xn = xn−1 + 2 xn−2
mit Anfangswerten x0 = 1, x1 = 3.
Wie verhält sich die Folge (xn )n≥0 asymptotisch?
2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Rekursionsgleichung
xn = −2 xn−1 + 15 xn−2 .
Welches asymptotische Verhalten können Lösungen dieser Rekursion haben?
3. Betrachten Sie die C-Rekursion
xn = 3xn−1 − 3xn−2 + xn−3 .
Welches sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?
Zeigen Sie, dass die drei Folgen
x1 = (1)n≥0 , x2 = (n)n≥0 , x3 = n2 n≥0
linear-unabhängige Lösungen dieser Rekursion sind.
Bestimmen sie eine Lösung y = (yn )n≥0 dieser Rekursion mit den speziellen Werten y0 = 0, y3 = 3, y5 = 10.
4. Ein Fall von “reverse engineering” (etwas aufwendiger):
Ihnen liegen die Werte (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (5, 1, 29, −23) einer C-rekursiven Folge
vor, von der Sie wissen, dass die die Ordnung 2 hat.
Wie lautet die C-Rekursion, wie stellt sich die Folgenglieder xn explizit dar und
wie wird sich die Folge (xn )n≥0 asymptotisch verhalten?
Aufgabe 7: Eine zweite Folge zur Fibonacci-Rekursion
Die Fibonacci-Folge (Fn )n≥0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .) (siehe Aufgabe 3 und Abschnit
3.1.1 im Skriptum) genügt der linearen Rekursion
(∗)
xn = xn−1 + xn−2
(n ≥ 2)
mit den Anfangswerten F0 = 0 und F1 = 1. Eine weitere bekannte Folge, die dieser
Rekursion (∗) genügt, ist die Lucas-Folge1
(Ln )n≥0 = (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . .),
die durch ihre Anfangswerte L0 = 2, L1 = 1 festgelegt ist.
1
Benannt nach den französischen Mathematiker Edouard Lucas (1842–1891), von dem vemutlich
auch die Bezeichnung der Fn als Fibonacci-Zahlen stammt — fast 700 Jahre nach Fibonacci. Lucas
hat sich viel mit Zahlentheorie befasst (Primzahltests!) und daneben mit seinen Büchern Récréations
Mathématiques (4 Bände) viel zur Popularisierung mathematischer Denkweisen beigetragen. Von ihm
(anonym veröffentlicht) stammen übrigens auch die bekannten Türme von Hanoi und viele weitere
populäre mathematische Probleme.
18. Mai 2011
Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2011)
(a) Stellen Sie die Zahlen Ln mit Hilfe von φ und φb dar (analog zur Aussage (a)
der Aufgabe 3). Beachten Sie: die Folge (Ln )n≥0 ist eine Linearkombination der
bn
beiden Folgen (φn )n≥0
und
n (φ )n≥0 .
Notabene: φbn ist als φb zu lesen.
(b) Was ist Ln+1 Ln−1 − L2n ? (analog zur Aussage (b) der Aufgabe 3)
(c) Was ist limn→∞
Ln+1
Ln
?
(d) Wieviele Dezimalstellen hat die Zahl Ln ?
(e) Die beiden Folgen (Fn )n≥0 und (Ln )n≥0 sind (offensichtlich!) linear-unabhängig im
Vektorraum aller Folgen, die der Rekursion (∗) genügen. Sie bilden also eine Basis
dieses Raumes, ebenso, wie die beiden Folgen (φn )n≥0 und (φbn )n≥0 eine Basis
dieses Raumes bilden. Stellen Sie (φn )n≥0 und (φbn )n≥0 als Linearkombinationen
der beiden Folgen (Fn )n≥0 und (Ln )n≥0 dar.
Aufgabe 8: Die Begleitmatrix einer linearen Rekursion
Ist a = (a1 , a2 , . . . , ak ) der Vektor der Rekursionskoeffizienten zu der linearen Rekursion der Ordnung k
(∗) xn = a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + ak xn−l
(n ≥ k),
so bezeichnet man die (k × k)-Matrix

0
1

0

0

Ca =  .
 ..

0

0

0 ak
0 ak−1 

0 ak−2 

0 ak−3 

..
.. 
.
. 

0 0 . . . 1 0 0 a3 

0 0 . . . 0 1 0 a2 
0 0 0 . . . 0 0 1 a1
0
0
1
0
..
.
0
0
0
1
..
.
...
...
...
...
..
.
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
als die Begleitmatrix (engl. companion matrix ) zu der Rekursion (∗).
(a) Zeigen Sie: ist x = (xn )n≥0 eine Folge, die der Rekursion (∗) genügt, also x ∈ Va ,
und bezeichnet man für jedes n ≥ 0 mit x(n) den Abschnitt
x(n) = xn xn+1 xn+2 . . . xn+k−1
der Folge x, so gilt für jedes n ≥ 0:
x(n+1) = x(n) · Ca
und somit auch (per Induktion)
x(n) = x(0) · Can = x0 x1 x2 . . . xk−1 · Can .
18. Mai 2011
Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2011)
(b) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom der Matrix Ca gleich dem charakteristischen Polynom der Rekursion (∗) ist, d.h.
χCa (z) = χa (z),
also explizit geschrieben
det(z · I − Ca ) = z k − a1 z k−1 − · · · − ak .
Hinweis: det(z · I − Ca ) nach der letzten Spalte entwickeln.
(c) Für komplexe Zahlen α1 , . . . , αk wird mit V (α1 , α2 , . . . , αk ) die VandermondeMatrix


1 α1 α12 . . . α1k−1
1 α2 α2 . . . αk−1 
h
i
2
2 

j−1
= . .
V (α1 , α2 , . . . , αk ) = αi
.. . .
.. 
.
.
. .
1≤i,j≤k
.
.
. 
1 αk αk2 . . . αkk−1
bezeichnet.
Jetzt wird angenommen, dass das charakteristische Polynom χa (z) k verschiedene Nullstellen λ1 , λ2 , . . . , λk hat, das sind wegen (b) die Eigenwerte von der
Begleitmatrix Ca .
Zeigen Sie (Teil (a) beachten), dass
V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) · Ca = diag(λ1 , λ2 , . . . , λk ) · V (λ1 , λ2 , . . . , λk )
gilt, wobei die Diagonalmatrix diag(λ1 , λ2 , . . . , λk ) der Eigenwerte ist. Anders geschrieben:
V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) · Ca · V (λ1 , λ2 , . . . , λk )−1 = diag(λ1 , λ2 , . . . , λk )
d.h. die Vandermonde-Matrix V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) diagonalisiert die Begleitmatrix
Ca .
Hinweis: Die k geometrischen Folgen λj = (1, λj , λ2j , . . .) (1 ≤ j ≤ k) genügen der
Rekursion (*).
18. Mai 2011