Handouts08 [Kompatibilitätsmodus]

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bisher: Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Grundraum Ω, Menge aller Ereignisse A auf Ω, Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω
P : A → [0,1], A a P(A)
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 für jedes Ereignis A ∈ A
2 . P(Ω ) = 1
∞  ∞
3. P U A i  = ∑ P(A i ) für alle paarweise disjunkten Ereignisse A i ∈ A
 i=1  i=1
Jetzt: Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
Einschränkung des Grundraums auf Ereignis B⊂Ω , Wahrscheinlichkeitsmaß PB auf B
P : B → [0,1], B a P(B)
1. 0 ≤ P(B) ≤ 1 für jedes Ereignis B ∈ B
2 . P(B ) = 1
∞  ∞
3. P U Bi  = ∑ P(Bi ) für alle paarweise disjunkten Ereignisse Bi ∈ B
 i=1  i=1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Ω
A
B
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2
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
= A\(A∩B)
A∩B
AC∩B
= B\(A∩B)
AC∩BC
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3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A∩BC
A∩BC
A∩B
A∩B
AC∩B
AC∩B
AC∩BC
AC∩BC
A∩BC ⊂ BC
AC∩BC ⊂ BC
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mathematische Statistik für Informatiker
4
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩BC
A∩B
AC|B = AC∩B
AC∩B
AC∩BC
A∩BC ⊂ BC
AC∩BC ⊂ BC
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mathematische Statistik für Informatiker
5
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩B
AC∩BC
AC|B = AC∩B
1 = P(Ω ) = PΩ (Ω ) = P(Ω | Ω)
[
1 = PB (B ) = P(B |B)
] [
= P A ∩ BC + P A C ∩ BC
[
+ P[ A ∩ B ] + P A C ∩ B
]
]
[
= P[ A |B ] + P A C |B
[
]
= PB [ A ∩ B ] + PB A C ∩ B
= P( C1 ) + P( C2 ) + P( C 3 ) + P( C 4 )
]
= PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
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6
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩BC
AC∩B
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
Setze Ω' = [0,1] mit ω' ~ R(0,1) für alle ω'∈ Ω'
und definiere C'1 = { ω' ∈ Ω'| ω' ≤ PΩ (C1 )},
C'2 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) < ω' ≤ PΩ (C1 ) + PΩ (C2 )},
C'3 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) < ω' ≤ PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) + PΩ (C3 )},
C'4 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) + PΩ (C3 ) < ω' }
⇒ PΩ' (C'1 ) = PΩ (C1 ) − 0
= PΩ (C1 )
PΩ' (C'2 ) = PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) − PΩ (C1 )
= PΩ (C2 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
PΩ' (C'3 ) = ...
= PΩ (C3 )
PΩ' (C'4 ) = ...
= PΩ (C 4 )
7
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩B
AC∩BC
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
Setze Ω' = [0,1] mit ω' ~ R(0,1) für alle ω'∈ Ω'
C'1 = { ω' ∈ Ω'| ω' ≤ PΩ (C1 )},
C'2 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) < ω' ≤ PΩ (C1 ) + PΩ (C2 )},
C'3 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) < ω' ≤ PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) + PΩ (C 3 )},
C'4 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C1 ) + PΩ (C2 ) + PΩ (C 3 ) < ω' }
1
f(ω‘)
ω‘
1
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mathematische Statistik für Informatiker
8
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩B
AC∩BC
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
PΩ(BC)
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
PΩ(B)
PΩ(B)
1
f(ω‘)
fB‘(ω‘)
ω‘
1
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1
PΩ (B)
9
ω‘
1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩BC
AC∩B
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
B' = [PΩ (BC ),1] mit ω' ~ R[PΩ (BC ),1] für alle ω'∈ B'
C'3 = { ω' ∈ Ω'| ω' ≤ PΩ (C3 )} , C'4 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C 3 ) < ω' }
⇒ PB' (C'3 ) = PB (C3 ) = PB (A ∩ B) = P(A |B)
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
1
PΩ (B)
fB‘(ω‘)
= P[ω ' ≤ PΩ (C3 )] = FB' [PΩ (C3 )]
1
PΩ (C3 )
PΩ (A ∩ B)
= PΩ (C 3 ) ⋅
=
=
1 − PΩ (BC )
PΩ (B)
PΩ (B)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
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PΩ(BC)
ω‘
1
10
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A∩BC
A|B = A∩B
A∩B
AC∩BC
AC∩B
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
B' = [PΩ (BC ),1] mit ω' ~ R[PΩ (BC ),1] für alle ω'∈ B'
C'3 = { ω' ∈ Ω'| ω' ≤ PΩ (C3 )} , C'4 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C 3 ) < ω' }
⇒ PB' (C'3 ) = PB (C3 ) = PB (A ∩ B) = P(A |B)
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
1
PΩ (B)
fB‘(ω‘)
= P[ω ' ≤ PΩ (C3 )] = FB' [PΩ (C3 )]
1
PΩ (C3 )
PP(A
∩BB)
| Ω)
Ω (A∩
= PΩ (C 3 ) ⋅
=
=
1 − PΩ (BC )
PΩ (B)
PP(B
| Ω)
Ω (B)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
PΩ(BC)
ω‘
1
11
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A∩BC
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A|B = A∩B
A∩B
AC∩BC
AC∩B
AC|B = AC∩B
1 = PΩ ( C1 ) + PΩ ( C2 ) + PΩ ( C3 ) + PΩ ( C 4 )
B' = [PΩ (BC ),1] mit ω' ~ R[PΩ (BC ),1] für alle ω'∈ B'
C'3 = { ω' ∈ Ω'| ω' ≤ PΩ (C3 )} , C'4 = { ω' ∈ Ω'|PΩ (C 3 ) < ω' }
⇒ PB' (C'3 ) = PB (C3 ) = PB (A ∩ B) = P(A |B)
1 = PB ( C 3 ) + PB ( C 4 )
1
PΩ (B)
fB‘(ω‘)
= P[ω ' ≤ PΩ (C3 )] = FB' [PΩ (C3 )]
1
PΩ (C3 )
PP(A
∩B)
B)
Ω (A∩
= PΩ (C 3 ) ⋅
=
=
1 − PΩ (BC )
PΩ (B)
PP(B)
Ω (B)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
PΩ(BC)
ω‘
1
12
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
A∩BC
A|B = A∩B
A∩B
AC∩BC
AC∩B
AC|B = AC∩B
P(A ∩ B)
heißt
P(B)
bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B
Die Wahrscheinlichkeit P(A |B) =
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
13
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: einfacher Würfelwurf
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
P(1,…,6)(A) = 3/6
P(1,…,6)(B) = 3/6
P(1,…,6)(A∩B) = 1/6
A = Zahl größer 3
B = Zahl ungerade
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
P(1,3,5)(B) = P(1,…,6)(B∩B)/ P(1,…,6)(B) = 1
P(1,3,5)(A) = P(1,…,6)(A∩B)/ P(1,…,6)(B)
= (1/6)/(3/6) = 1/3
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
14
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: vierfacher Münzwurf
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
A = Genau zweimal Kopf nach vier Würfen
B = Mindestens einmal Kopf nach zwei Würfen
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
ZZKK
ZKZK
KZKZ
ZKKZ
KKZZ
KZZK
ZKZZ
KKZK
ZKKK
KKKZ
KZZZ
KKKK
KZKK
ZZZZ
ZZZK
ZZKZ
PΩ (A) = 6/16 = 0.375
PΩ (B) = 12/16
PΩ(A∩B) = 5/16
PB(A) = PΩ (A∩B)/ PΩ (B)
= (5/16)/(12/16) = 5/12 ≈ 0.417
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
15
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: vierfacher Münzwurf
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P)
ZZZK
ZZKZ
KKZK
KKKZ
ZZZZ
KKZZ
ZZKK
KKKK
ZKZK KZZK
ZKKZ KZKZ
A = Genau einmal Kopf in Wurf 3+4
B = Genau einmal Kopf in Wurf 1+2
Wahrscheinlichkeitsraum (B, B,PB)
ZKZZ
ZKKK
KZZZ
KZKK
PΩ (A) = 8/16
PΩ (B) = 8/16
PΩ(A∩B) = 4/16
PB(A) = PΩ (A∩B)/ PΩ (B)
= (4/16)/(8/16) = 4/8 = 8/16
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
16
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Umformung der Definitionsformel
P(A ∩ B)
P(A |B) =
⇒ P( A ∩ B) = P( A |B) ⋅ P( B)
P(B)
P( A ∩ B) = P( A |B) ⋅ P( B)
P( A ∩ BC ) = P( A |BC ) ⋅ P( BC )
P( A C ∩ B) = P( A C |B) ⋅ P( B)
P( A C ∩ BC ) = P( A C |BC ) ⋅ P( BC )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
17
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Umformung der Definitionsformel
Darstellung der Wahrscheinlichkeit für Schnittereignisse in Ereignisbaum
1
P( A ∩ B) = P( A |B) ⋅ P( B)
P( A ∩ B) = P( A |B) ⋅ P( B)
C
C
P( A ∩ BC ) = P( A |BC ) ⋅ P( BC )
Ω
⋅ P(B)
P( A C ∩ BC ) = P( A C |BC ) ⋅ P( BC )
⋅ P(BC )
BC
B
⋅ P( A |B)
A ∩B
P( A ∩ B) =
P( A |B) ⋅ P( B)
⋅ P( A C |B)
AC ∩ B
P( A C ∩ B) =
P( A C |B) ⋅ P( B)
⋅ P( A |BC )
A ∩ BC
P( A ∩ BC ) =
P( A |BC ) ⋅ P( B C )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
⋅ P( A C |BC )
A C ∩ BC
P( A C ∩ BC ) =
P( A C |BC ) ⋅ P( BC )
18
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Umformung der Definitionsformel
Darstellung der Wahrscheinlichkeit für Schnittereignisse in Ereignisbaum
1
B1
⋅ P( B2 |B1 )
B2C ∩ B1
⋅ P( BC3 |B2 ∩ B1 )
B3 ∩ B2 ∩ B1 BC3 ∩ B2 ∩ B1
...
⋅ P( B2 |B1C )
C
⋅ P( B2C |B1C )
B2 ∩ B1C
⋅ P( B3 |B2C ∩ B1C )
⋅ P( B3 |B2C ∩ B1 )
P( B 3 ∩ B2 ∩ B1 ) =
P( B 3 |B2 ∩ B1 ) ⋅
P( B2 |B1 ) ⋅ P( B1 )
Ω
B1C
⋅ P(B1C )
⋅ P( B2 |B1 )
B 2 ∩ B1
⋅ P( B3 |B2 ∩ B1 )
⋅ P(B1 )
⋅ P( BC3 |B2C ∩ B1 )
B2C ∩ B1C
⋅ P( BC3 |B2C ∩ B1C )
⋅ P( B3 |B2C ∩ B1C )
⋅ P( BC3 |B2C ∩ B1C )
B 3 ∩ B2 ∩ B1C BC3 ∩ B2 ∩ B1C
B3 ∩ B2C ∩ B1 BC3 ∩ B2C ∩ B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
B3 ∩ B2C ∩ B1C BC3 ∩ B2C ∩ B1C
19
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Ereignisbaum: Beispiel zweifacher Würfelwurf
A: Gesamtaugenzahl ist größer als 6
B: erster Wurf ergibt Augenzahl 1
1
{1,...,6} × {1,...,6}
⋅ 1/6
B
⋅ 5/6
BC
{1} × {1,...,6}
⋅ 5/6
⋅ 1/6
A ∩B
{1} × {6}
P( A ∩ B) =
(1/6) ⋅ (1/6) = 1/36
A ∩B
{1} × {1,...,5}
C
P( A C ∩ B) =
(1/6) ⋅ (5/6) = 5/36
A ∩B
C
{2,...,6} × {1,...,6}
⋅ 2/3
{(2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4),
(4,5), (4,6), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
P( A ∩ BC ) =
(5/6) ⋅ (2/3) = 20/36
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
⋅ 1/3
A C ∩ BC
{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)}
P( A C ∩ BC ) =
(5/6) ⋅ (1/3) = 10/36
20
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P: Wahrscheinlichkeit für Kopf
K1: Erster Wurf Kopf
Z1: Erster Wurf Zahl
K2: zweiter Wurf Kopf
Z2: Zweiter Wurf Zahl
An: Gesamtzahl Kopf = n, n=0,…,3
Ereignisbaum: Beispiel dreifacher Münzwurf
mit unfairerer Münze
K1
K 2 ∩ K1
⋅p
⋅p
Z1
⋅ (1 − p)
⋅p
⋅ (1 − p)
Z 2 ∩ K1
⋅ (1 − p)
K2 ∩ Z1
Z 2 ∩ Z1
⋅p
⋅ (1 − p)
⋅p
A 3 ∩ K 2 ∩ K1
1
⋅p
⋅ (1 − p)
⋅p
A 2 ∩ K 2 ∩ K1
A 2 ∩ Z 2 ∩ K1
A 1 ∩ Z 2 ∩ K1
A 2 ∩ K2 ∩ Z 1
⋅ (1 − p)
A1 ∩ Z2 ∩ Z1
A 0 ∩ Z2 ∩ Z1
A 1 ∩ K2 ∩ Z 1
 3
P( A 2 ) = p ⋅ p ⋅ (1 − p) + p ⋅ (1 − p) ⋅ p + (1 − p) ⋅ p ⋅ p =   ⋅ p2 (1 − p)3−2
2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
⋅ (1 − p)
21
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Umformung der Definitionsformel
P(A ∩ B1 )
P(A |B1 ) =
⇒ P( A ∩ B1 ) = P( A |B1 ) ⋅ P( B1 )
P(B1 )
P(A ∩ B1C )
P(A |B ) =
⇒ P( A ∩ B1C ) = P( A |B1C ) ⋅ P( B1C )
C
P(B1 )
C
1
Ω
B1C
A
A∩B1C
A∩B1
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
22
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P( A ) = P( A ∩ B1 ) + P( A ∩ B1C ) = P( A |B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A |B1C ) ⋅ P( B1C )
Ω
B1C
A
A∩B1C
A∩B1
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
23
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
B1 ∩ B2 = ∅ ⇒ P( A ) = P( A ∩ B1 ) + P( A ∩ B2 ) + P( A ∩ B1C ∩ B2C )
= P( A |B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A |B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A |B1C ∩ B2C ) ⋅ P( B1C ∩ B2C )
Ω
B1C∩B2C
A∩B1C∩B2C
A
A∩B1
A∩B2
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
B2
24
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
B3 = B1C ∩ B2C ⇒ B1 ∩ B2 = ∅ , B1 ∩ B3 = ∅ , B2 ∩ B3 = ∅, B1 ∪ B2 ∪ B3 = Ω
⇒ P( A ) = P( A ∩ B1 ) + P( A ∩ B2 ) + P( A ∩ B3 )
= P( A |B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A |B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A |B3 ) ⋅ P( B3 )
Ω
B3
A
A∩B1
A∩B3
A∩B2
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
B2
25
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
n
UB
i
= Ω ⇒ P( A ) =
n
∑ P( A |B ) ⋅ P( B )
i
B3
B4
A∩B4
A
A∩B1
B5
i
i=1
i=1
B1
A∩B6
A∩B3
A∩B2
B6
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
B2
26
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Ausfall einer Internetverbindung
1
A = Internetverbindung fällt aus
B1 = Verbindung mit Knoten 1
2
B2 = Verbindung mit Knoten 2
3
B3 = Verbindung mit Knoten 3
W‘keiten für Einwahl in Knoten 1, 2 oder 3: P(B1) = 0.7, P(B2) = 0.2, P(B3) =0.1
W‘keiten für Verbindungsausfall für Knoten 1, 2 oder 3 : P(A|B1) = 0.02, P(A|B2) = 0.04, P(A|B3) = 0.06
⇒ W‘keit für Verbindungsausfall: P(A) = 0.02∙0.7+0.04∙0.2+0.06∙0.1 = 0.028
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
27
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Einwahl in Mobilfunknetz
A = Einwahl ist erfolglos
B1 = Mast 1 wird erreicht
B2 = Mast 2 wird erreicht
B3 = Mast 3 wird erreicht
N = Kein Mast wird erreicht
(xi,yi) = Position von Mast i
(x,y) = eigene Position
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
28
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Einwahl in Mobilfunknetz
A = Einwahl ist erfolglos
B1 = Mast 1 wird erreicht
B2 = Mast 2 wird erreicht
B3 = Mast 3 wird erreicht
N = Kein Mast wird erreicht
W' keiten, Masten von (x, y) zu erreichen

(x, y) − (x i , y i ) 2 
P(x,y) (Bi ) = max 0, Pi −
⋅ Pi 
d
max


W' keit, keinen Masten zu erreichen
3


P(N) = max 0, 1 − ∑ P(Bi ) 
i =1


W' keit für erfolglose Einwahl von (x, y)
(xi,yi) = Position von Mast i
(x,y) = eigene Position
P(x,y) (A) =
3
∑ P(A |B ) ⋅ P
i
(x,y)
(Bi ) + 1 ⋅ P(x,y) (N)
i=1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
29
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Einwahl in Mobilfunknetz
A = Einwahl ist erfolglos
B1 = Mast 1 wird erreicht
B2 = Mast 2 wird erreicht
B3 = Mast 3 wird erreicht
N = Kein Mast wird erreicht
(xi,yi) = Position von Mast i
(x,y) = optimale Position
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
30
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Einwahl in Mobilfunknetz
A = Einwahl ist erfolglos
B1 = Mast 1 wird erreicht
B2 = Mast 2 wird erreicht
B3 = Mast 3 wird erreicht
N = Kein Mast wird erreicht
(xi,yi) = Position von Mast i
(x,y) = optimale Position
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
31
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P( A ) =
n
UB
i
=Ω
i=1
n
∑ P( A |B ) ⋅ P( B )
i
i
i=1
B3
B4
A∩B4
A
A∩B1
B5
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
A∩B6
B6
A∩B3
A∩B2
B2
32
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P( A ) =
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
n
UB
i
=Ω
i=1
n
∑ P( A |B ) ⋅ P( B )
i
i
i=1
P( A ∩ Bi ) = P( A |Bi ) ⋅ P( Bi )
= P( Bi |A) ⋅ P( A )
A
A∩B1
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
33
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P( A ) =
n
UB
i
=Ω
i=1
n
∑ P( A |B ) ⋅ P( B )
i
i
i=1
P( A ∩ Bi ) = P( A |Bi ) ⋅ P( Bi )
= P( Bi |A) ⋅ P( A )
B3
B4
⇒ P(Bi | A) =
P(A ∩ Bi )
=
P(A)
P(A |Bi ) ⋅ P(Bi )
A∩B4
A
n
∑ P(A |B ) ⋅ P(B )
j
A∩B1
j
j=1
B5
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
A∩B6
B6
A∩B3
A∩B2
B2
34
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
Satz von Bayes
n
UB
i
=Ω
i=1
P(Bi | A) =
P(A |Bi ) ⋅ P(Bi )
n
∑ P(A |B ) ⋅ P(B )
j
j
j=1
P(B1),…,P(Bn) heißen
a-priori-Wahrscheinlichkeiten,
B3
B4
P(B1|A),…, P(Bn|A) heißen
A∩B4
A
a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten .
A∩B1
B5
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
A∩B6
B6
A∩B3
A∩B2
B2
35
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes
i ≠ j ⇒ Bi ∩ B j = ∅ ,
n
U Bi = Ω
⇒ P(Bi | A) =
i=1
P(A |Bi ) ⋅ P(Bi )
n
∑ P(A |B ) ⋅ P(B )
j
j
j=1
Insbesondere
A, B ∈ Ω ⇒ P(B | A) =
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
A
A∩B
B
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
36
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
P(B | A) =
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
Ereignis A: „Mail enthält das Wort ‚Maximalgewinn‘“ ⇒ Klassifiziere Mail als Spam
Ereignis B: „Mail ist Spam“
P(A|B) = Sensitivität = W‘keit, Spam als solchen zu klassifizieren
P(AC|BC) = Spezifität = W‘keit, normale Mails nicht als Spam zu klassifizieren
B: Mail ist Spam
BC: Mail ist kein Spam
A: ‚Maximalgewinn‘ in Mail
P(A|B)
P(A|BC)=1-P(AC|BC)
AC: ‚Maximalgewinn‘ nicht in
Mail
P(AC|B)=1-P(A|B)
P(AC|BC)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
37
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
P(B | A) =
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
P(A|B) = Sensitivität = W‘keit, Spam als solchen zu klassifizieren
P(AC|BC) = Spezifität = W‘keit, normale Mails nicht als Spam zu klassifizieren
Gesucht:
B: Mail ist Spam
P(B|A) = W‘keit, das klassifizierte Mail Spam ist A: ‚Maximalgewinn‘
P(A|B)
in Mail
Im Satz von Bayes werden P(A) und P(B)
benötigt.
AC: ‚Maximalgewinn‘
P(AC|B)
C
nicht in Mail
P(A) = P(A |B) ⋅ P(B) + P(A |B ) ⋅ [1 − P(B)]
BC: Mail ist kein Spam
P(A|BC)
P(AC|BC)
Für die Berechnung von P(B|A) ist also die Angabe der Prävalenz P(B) ausreichend.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
38
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(B | A) =
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
Gegeben
P(A|B) = Sensitivität
P(AC|BC) = Spezifität
P(B) = Prävalenz
⇒ P(B | A) =
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
B: Mail ist Spam
BC: Mail ist kein Spam
A: ‚Maximalgewinn‘
in Mail
P(A|B)
P(A|BC)
AC: ‚Maximalgewinn‘
nicht in Mail
P(AC|B)
P(AC|BC)
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A |B) ⋅ P(B) + [ 1 − P(A C |BC ) ] ⋅ [1 − P(B) ]
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
39
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(B | A) =
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
Gegeben
P(A|B) = Sensitivität = 0.95
P(AC|BC) = Spezifität = 0.98
P(B) = Prävalenz
= 0.3
P(B|A) =
=
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
B: Mail ist Spam
BC: Mail ist kein Spam
A: ‚Maximalgewinn‘
in Mail
0.95
0.01
AC: ‚Maximalgewinn‘
nicht in Mail
0.05
0.98
P(A |B) ⋅ P(B) + [ 1 − P(A C |BC ) ] ⋅ [1 − P(B) ]
0.95 ⋅ 0.3
0.285
=
≈ 0.9532
0.95 ⋅ 0.3 + ( 1 − 0.98 ) ⋅ (1 − 0.3 ) 0.299
⇒ Wenn 30% der Mails Spam sind, sind bei einer Sensitivität von 95% und bei einer Spezifität von
98% ca. 95.3% der als Spam klassifizierten Mails tatsächlich Spam
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
40
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(B | A) =
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
P(A|B) = Sensitivität
P(AC|BC) = Spezifität
P(B) = Prävalenz
P(B|A)
= 0.95
= 0.98
= 0.3
≈ 0.9532
10.000 Mails
30%
70%
3.000 Spam-Mails
5%
7.000 normale Mails
95%
2%
2850 geblockte
Spam-Mails
98%
BC
B
150 durchgelassene
Spam-Mails
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
A
140 geblockte
normale Mails
6860 durchgelassene
normale Mails
P(B|A) = 2850/(2850+140) ≈ 95.3%
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
41
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(B | A) =
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
Gegeben
P(A|B) = Sensitivität = 0.95
P(AC|BC) = Spezifität = 0.98
P(B) = Prävalenz
= 0.005
P(B|A) =
=
P(A |B) ⋅ PΩ (B)
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
B: Mail ist Spam
BC: Mail ist kein Spam
A: ‚Maximalgewinn‘
in Mail
0.95
0.01
AC: ‚Maximalgewinn‘
nicht in Mail
0.05
0.98
P(A |B) ⋅ PΩ (B) + [ 1 − P(A C |BC ) ] ⋅ [1 − PΩ (B) ]
0.95 ⋅ 0.005
0.00475
=
≈ 0.1927
0.95 ⋅ 0.005 + ( 1 − 0.98 ) ⋅ (1 − 0.005 ) 0.02465
⇒ Wenn 0.5% der Mails Spam sind, sind bei einer Sensitivität von 95% und bei einer Spezifität
von 98% ca. 19.3% der als Spam klassifizierten Mails tatsächlich Spam
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
42
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(B | A) =
Satz von Bayes, Beispiel Spam-Filter
P(A|B) = Sensitivität
P(AC|BC) = Spezifität
P(B) = Prävalenz
P(B|A)
= 0.95
= 0.98
= 0.005
≈ 0.1927
10.000 Mails
0.5%
99.5%
50 Spam-Mails
5%
9.950 normale Mails
95%
2%
47.5 geblockte
Spam-Mails
98%
BC
B
2.5 durchgelassene
Spam-Mails
P(A |B) ⋅ P(B)
P(A)
A
199 geblockte
normale Mails
9751 durchgelassene
normale Mails
P(B|A) = 47.5/(47.5+199) ≈ 19.27%
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
43
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
B2: Monitordefekt
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
44
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
B2
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
45
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B1 ∩ B2C ) = P(B2C |B1 ) ⋅ P(B1 ) =
[1 − P(B2 |B1 ) ] ⋅ P(B1 ) =
0.003 ⋅ (1 − 0.009) ≈ 0.002973
B2
(B1∩B2C)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
46
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
P(B2 | A) =
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(A|B2 ) ⋅ P(B2 )
P(A|B2 ) ⋅ P(B2 ) + P(A|B1 ∩ B2C ) ⋅ P(B1 ∩ B2C )
P(A|B2 ) ⋅ P(B2 )
P(A|B2 ) ⋅ P(B2 ) + [P(A |B2 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1 ∩ B2C )
0.001 ⋅ 0.006
=
≈ 0.8706
0.001 ⋅ 0.006 + (0.001 − 0.0007)⋅ 0.002973
=
B2: Monitordefekt
P(B1 ∩ B2C ) ≈ 0.002973
B2
(B1∩B2C)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
47
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B1 ∩ B2C ) ≈ 0.002973
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1 ∩ B2C | A)
[P(A |B2 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1 ∩ B2C )
=
P(A|B2 ) ⋅ P(B2 ) + [P(A |B2 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1 ∩ B2C )
=
B2
(B1∩B2C)
(0.001 − 0.0007)⋅ 0.002973
≈ 0.1294
0.001 ⋅ 0.006 + (0.001 − 0.0007)⋅ 0.002973
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
48
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1C ∩ B2 ) = P(B1C |B2 ) ⋅ P(B2 ) =
[1 − P(B1 |B2 ) ] ⋅ P(B2 ) =
 P(B1 ∩ B2 ) 
 P(B2 |B1 ) ⋅ P(B1 ) 
1
−
⋅
P(B
)
=
2


1 −
 ⋅ P(B2 ) =
P(B
)
P(B
)



2

2
P(B2 ) − P(B2 |B1 ) ⋅ P(B1 ) = 0.006 − 0.009 ⋅ 0.003 ≈ 0.005973
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
(BC1∩B2)
49
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B1C ∩ B2 ) = 0.005973
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1 | A) =
P(A|B1 ) ⋅ P(B1 )
P(A|B1 ) ⋅ P(B1 ) + [P(A |B1 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1C ∩ B2 )
0.002 ⋅ 0.003
=
≈ 0.5098
0.002 ⋅ 0.003 + (0.002 − 0.0007) ⋅ 0.005973
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
(BC1∩B2)
50
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B1C ∩ B2 ) = 0.005973
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1 | A) ≈ 0.5098
P(B1C ∩ B2 | A) =
[P(A |B1 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1C ∩ B2 )
P(A|B1 ) ⋅ P(B1 ) + [P(A |B1 ) − P(A |B1 ∩B2 )] ⋅ P(B1C ∩ B2 )
(0.002 − 0.0007) ⋅ 0.005973
=
≈ 0.4902
0.002 ⋅ 0.003 + (0.002 − 0.0007) ⋅ 0.005973
B1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
(BC1∩B2)
51
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1 | A) ≈ 0.5098 P(B1C ∩ B2 | A) ≈ 0.4902
(B1∩B2)
P(B1 ∩ B2 | A) = 1 − P(B1 ∩ B2C | A) − P(B1C ∩ B2 | A)
≈ 1 − 0.1294 − 0.4902 = 0.3804
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
52
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes, Beispiel Darstellungsproblem
Wirkung
A: Grünstich
Mögliche Ursachen
B1: Grafikkartendefekt
Bekannt : P(B1 ) = 0.003
P(A |B1 ) = 0.002
B2: Monitordefekt
P(B2 ) = 0.006
P(B2 |B1 ) = 0.009
P(A |B2 ) = 0.001
P(A |B1 ∩ B2 ) = 0.0007
P(B2 | A) ≈ 0.8706 P(B ∩ B2C | A) ≈ 0.1294
P(B1 | A) ≈ 0.5098 P(B1C ∩ B2 | A) ≈ 0.4902
P(B1 ∩ B2 | A) ≈ 0.3804
(B1∩B2)
Für Grünstich ist also mit rund
49%-iger W‘keit ein Monitordefekt
allein- und mit rund 87%-iger W‘keit mitverantwortlich.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
53
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A und B aus (Ω,A,P) heißen stochastisch unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
gilt.
Sind P(B)>0 stochastisch unabhängig, so sind bedingte und unbedingte
Wahrscheinlichkeiten von A gleich:
P(A ∩ B) P(A) ⋅ P(B)
P(A |B) =
=
= P(A)
P(B)
P(B)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
54
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Eine Menge von n Ereignissen A1,…,An aus (Ω,A,P) heißt paarweise stochastisch
unabhängig, wenn
P(A i ∩ A j ) = P(A i ) ⋅ P(A j ) , j ≠ i, j = 1,..., n, i = 1,..., n
gilt.
Eine Menge von n Ereignissen A1,…,An aus (Ω,A,P) heißt gemeinsam stochastisch
unabhängig, wenn
 s


P I A ij  =
 j=1 
∏ P(A ),
s
j=1
ij
{i1 ,..., is } ⊆ {1,...,n}
gilt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
55
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
A: zweite Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste Karte ist rot
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
56
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
A: zweite Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste Karte ist rot
Kartenverhältnis:
16:16
C: zweite Karte ist rot
P(B) = 16/32
16/32 = P(BC)
15:16
P(C|B) = 15/31
P( A ) =
16 ⋅ 15 16 ⋅ 15 15
+
=
32 ⋅ 31 32 ⋅ 31 31
14:16
16:15
16/31 = P(CC|B)
15:15
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
P(C|BC) = 16/31
15:15
15/31 = P(CC|BC)
16:14
57
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
A: zweite Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste Karte ist rot
Kartenverhältnis:
16:16
C: zweite Karte ist rot
P(B) = 16/32
P( A ) =
15
31
15:16
P(C|B) = 15/31
 16 ⋅ 15 


32
⋅
31


P( A | B ) =
16/32 = P(BC)
 16 
 
 32 
=
15
31
14:16
16:15
16/31 = P(CC|B)
15:15
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
P(C|BC) = 16/31
15:15
15/31 = P(CC|BC)
16:14
58
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
A: zweite Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste Karte ist rot
Kartenverhältnis:
16:16
C: zweite Karte ist rot
P(B) = 16/32
P( A ) =
15
= P( A | B )
31
⇒A und B sind stochastisch
unabhängig
16/32 = P(BC)
15:16
P(C|B) = 15/31
14:16
16:15
16/31 = P(CC|B)
15:15
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
P(C|BC) = 16/31
15:15
15/31 = P(CC|BC)
16:14
59
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
A: dritte Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste zwei Karten sind rot
16:16
16/32
16/32
15:16
15/31
14/30
13:16
16/30
14:15
16 ⋅ 15 ⋅ 14 + 16 ⋅ 16 ⋅ 15
+
32 ⋅ 31 ⋅ 30
16 ⋅ 15 ⋅ 14 + 16 ⋅ 16 ⋅ 15
32 ⋅ 31 ⋅ 30
≈ 0.4839
16:15
16/31
16/31
15:15
14:16
P( A ) =
15/30
14:15
15:15
15/30
15:14
15/30
14:15
15/30
15:14
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
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16/30
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14/30
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60
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
P( A ) ≈ 0.4839
A: dritte Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste zwei Karten sind rot
16:16
 16 ⋅ 15 ⋅ 14 


 32 ⋅ 31 ⋅ 30 
16/32
15:16
15/31
14/30
13:16
16/30
14:15
=
16:15
16/31
16/31
15:15
14:16
P( A | B ) =
16/32
15/30
14:15
15:15
15/30
15:14
15/30
14:15
15/30
15:14
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
 16 ⋅ 15 


 32 ⋅ 31 
14
≈ 0.4667
30
15/31
16:14
16/30
15:14
14/30
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61
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und
stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
P( A ) ≈ 0.4839
Beispiel: wiederholtes Ziehen aus gemischtem Skatspiel
≠ 0.4667 = P( A | B )
A: dritte Karte hat gleiche Symbolfarbe wie erste Karte
B: erste zwei Karten sind rot
16:16
16/32
16/32
15:16
15/31
14/30
13:16
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16/31
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⇒A und B sind
stochastisch
abhängig
15/30
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Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
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