Vektorraum

FU Berlin: WiSe 10/11 (Lineare Algebra und Analytische Geometrie I, Weber)
Definitionen-Zettel Nr. 5
Lernziel: „Körper“ ist die stärkste algebraische Struktur, die man einer Menge
geben kann. Es gibt schwächere Konzepte…
Definition 5.1: Ein Vektorraum (V, K, +, ) über einem Körper K ist eine Menge V
mit zwei Verknüpfungen,
und
für die gilt:
(V1) (V,+) ist eine abelsche Gruppe.
(V2) Für das neutrale Element 1 (der Multiplikation in K) gilt:
für alle
Es gilt das Assoziativgesetz
für alle
und alle
(V3) Es gelten die Distributivgesetze. Für alle
und alle
gilt:
und
.
.
.
Der Unterschied zwischen einem Körper und einem Vektorraum ist insbesondere
durch die Multiplikation gegeben (Eigenschaft V2 in der Definition 5.1 versus
Eigenschaft K2 in der Definition 4.2). Von der Eigenschaft der Multiplikation als einer
abelschen Gruppe bleiben lediglich die Existenz eines neutralen Elementes und das
Assoziativgesetz. Das Besondere ist, dass zur Definition der Multiplikation der
Vektorraum V allein nicht ausreicht. Die Abbildung ist nicht
, wie man es
bei der üblichen Muliplikation erwarten würde, sondern
. Man benötigt
also bei der Definition eines Vektorraums zusätzlich (als Grundlage) einen Körper.
Insbesondere ist die Multiplikation in Vektorräumen aufgrund dieser Konstruktion
nicht kommutativ oder invertierbar. Die Nicht-Kommutativität dieser Konstruktion
bewirkt auch, dass man in V3 zwei Distributivgesetze benötigt.
Es gab in der Geschichte der Mathematik andere Vorstöße, um die stärkste
algebraische Struktur, die man einer Menge geben kann (nämlich die Struktur eines
Körpers), so abzuschwächen, dass die untersuchten Mengen darauf passen.
Zu erwähnen ist die Struktur des Schiefkörpers; im Vergleich zum Körper sind die
Elemente eines Schiefkörpers nicht kommutativ bezüglich der Multiplikation (die
Probleme gehen immer von der Multiplikation aus!). Eine weitere Vereinfachung des
Körper-Konzepts heißt Ring. In diesem Fall lässt man als definierende Eigenschaft
die Invertierbarkeit bezüglich der Multiplikation weg. Als letztes gibt es noch die ganz
schwache algebraische Struktur eines Moduls. Der Modul ist so etwas wie ein
Vektorraum, nur dass er über einem Ring und nicht über einem Körper definiert ist.
Lineare Algebra beschäftigt sich eigentlich nur mit Vektorräumen. Will man etwas
über die andren algebraischen Strukturen wissen, dann muss man „Algebra“ lernen.