6 Vektorräume und Komplexe Zahlen 6.1 Vektorräume Vektorräume sind in gewisser Weise Verallgemeinerungen der Zahlenmengen. So gibt es in einem Vektorraum eine Addition mit Eigenschaften analog der für die reellen Zahlen. Außerdem kann man Vektoren durch die Multiplikation mit reellen Zahlen stauchen oder dehnen. Eine Multiplikation mit den von den reellen Zahlen gewohnten Eigenschaften gibt es jedoch im allgemeinen nicht. Daher werden verschiedene Arten von Ersatz-Multiplikationen (Zahlen mit Vektoren oder Vektoren mit Vektoren) betrachtet. Vektoren erlauben vielfältige innermathematische Anwendungen wie in der Geometrie oder Analysis, sowie auch außermathematische Anwendungen z. B. in der Mechanik. Je nach Anwendung haben sie unterschiedliche Formen. Ziel dieses Abschnittes ist einerseits die Wiederholung von Begriffen, welche von der Schule her bekannt sein sollten, und eine allgemeinere Einordnung. 6.1.1 Zahlenkörper Seien K eine Menge mit einer Addition „+“ und die Multiplikation „·“ mit folgenden Eigenschaften: ∀x, y ∈ K : x + y = y + x ∀x, y ∈ K : x · y = y · x ∀x, y, z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ K : x · (y · z) = (x · y) · z ∀x, y, z ∈ K : x · (y + z) = x · y + x · z ∀x ∈ K : x + 0 = x, 1 · x = x ∀x ∈ K : ∃=1 − x ∈ K : x + (−x) = 0 ∀x ∈ K \ {0}∃=1 x−1 ∈ K : x−1 · x = 1) (Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze) (Distributivgesetz) (neutrale Elemente 0 bzw. 1 (additiv inverse Zahl) (multiplikativ inverse Zahl) Definition 6.1. Eine Menge K mit Operationen + und · und Elementen 0 6= 1 und obigen Gesetzen heißt (Zahlen-) Körper . Bemerkung 6.2. Die Menge N der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen Z bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation keinen Zahlenkörper, da Inverse Elemente zu Addition bzw. Multiplikation fehlen. 105 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen Beispiel 6.3. Die Menge Q der rationalen Zahlen pq mit p, q ∈ Z, q 6= 0 ausgestatter mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation bildet einen Zahlenkörper, wobei • rationale Zahlen p q und r s genau dann als gleich gelten, wenn ps = qr gilt, p r = q s ⇐⇒ ps = qr , • rationale Zahlen pq und rs addiert werden, indem beide Zahlen auf den gemeinsamen Hauptnenner gebarcht werden und dann die Zähler addiert werden, p r ps qr ps + qr + = + = , q s qs qs qs • rationale Zahlen den, p q und r s addiert werden, indem Zähler und Nenner multipliziert werpr p r · = . q s qs Beispiel 6.4. Die Menge R der reellen Zahlen ausgestattet mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation bildet einen Zahlenkörper, wobei mir den uns hier in der Vorlesung zur Verfügung stehenden Mitteln weder definiert werden kann, was reelle Zahlen sind, noch wie sie addiert oder multipliziert werden. (Reelle Zahlen werden als Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen, als Dedekind-Schnitte, als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen eingeführt. Die Einführung reeller Zahlen als Dezimalbrüche mangelt daran, dass Dezimalbrüche als formale Reihen betrachtet werden müssten und es sehr kompliziert ist, für diese Addition und Multiplikation zu definieren.) Beispiel 6.5. Sei M = {0, 1} mit folgender Addition und Multiplikation: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1 + 1= 0 , 0·0=0, 0·1=1, 1·0=1, 1 · 1= 1 . Wir erhalten den zweielementigen Zahlenkörper F2 . Beispiel 6.6. Die Menge Rn der reellen n-Tupel bildet für n > 1 zusammen mit der üblichen komponentenweisen Addition keinen Zahlenkörper, da eine geeignete Multiplikation fehlt: Zum Skalarprodukt fehlen Inverse, das Vektorprodukt im R3 ist nicht kommutativ. Beispiel 6.7. Die Menge Rn×n der n-reihigen Matrizen bildet für n > 1 zusammen mit der üblichen Matrizenaddition und -multiplikation keinen Zahlenkörper: Die Muliplikation ist nicht kommutativ und es mangelt an der Existenz inverser Matrizen. 6.1.2 Vektorraum Rn Sei n ∈ N>0 . Wir betrachten die Menge · · × R} = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R} \pst{}}Rn := Xni=1 R = |R × ·{z n−mal 106 6.1 Vektorräume der reellen n-Tupel . In Rn definiert man die Addition von Elementen x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) und die Multiplikation mit einem Skalar (reeller Zahl) λ ∈ R durch x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) und λ · x := (λx1 , . . . , λxn ) . x + y heißt Summe von x und y, λx heißt Vielfaches, konkret λ-Faches von x. Insbesondere betrachtet man die Räume R2 und R3 der Paare bzw. Tripel reeller Zahlen zur Beschreibung von Punkten in der Ebene oder im (drei-dimensionalen) Raum. Algebraische Eigenschaften: Seien 0 := (0, . . . , 0) (Null) , −x := (−x1 , . . . , −xn ) (entgegengesetztes Element) . Dann gelten (für x, y, z ∈ Rn ,λ, µ ∈ R): x+y =y+x, λ · (x + y) = λ · x + λ · y , x+0=x, (6.1) (x + y) + z = x + (y + z) , x + (−x) = 0 , (λ + µ) · x = λ · x + µ · x , 0·x=0, 1·x=x, λ(µ · x) = (λµ) · x , (−1) · x = −x . (6.2) (6.3) Wir setzen: x − y := x + (−y) = (x1 − y1 , . . . , xn − yn ) . Schreibweise: Wir schreiben ein n-Tupel (x1 , . . . , xn ) auch als so genannten Spaltenvektor . Beachte den Unterschied zum Zeilenvektor (ohne Kommas!): x1 für n>1 (x1 , . . . , xn ) = ... 6= (x1 xn ··· xn ) . Spezielle Vektoren sind der Nullvektor 0 = (0, . . . , 0) und die i-ten Einheitsvektoren ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) , bei denen genau an der i-ten Stelle eine 1 steht. Ist dann x = (x1 , . . . , xn ) ein Vektor aus Rn , so kann man ihn als x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en = n X xi ei , i=1 107 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen d. h., als eine Linearkombination der ei darstellen. Außerdem ist (e1 , . . . , en ) minimal in folgendem Sinne: keiner der Vektoren ei lässt sich als Linearkombination der übrigen Einheitsvektoren darstellen. (e1 , . . . , en ) heißt kanonische Basis und x1 , . . . ,xn heißen die Koordinaten von x bezüglich der kanonischen Basis. 6.1.3 Allgemeine Vektorräume Definition 6.8. Sei K ein Körper. Eine Menge V mit einer Addition + und einer Multiplikation · mit Zahlen aus K heißt Vektorraum, wenn genau ein Nullvektor 0 ∈ V und für jedes x ∈ V genau ein additives Inverses (entgegengesetzter Vektor) −x ∈ V existieren, so dass (6.1), (6.2), (6.3) für alle x, y, z ∈ V , λ, µ ∈ K gelten. Die Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren. Bemerkung 6.9. Ein Vektorraum ist also eine algebraische Struktur, in der Summe und Vielfaches mit „vernünftigen“ Eigenschaften definiert sind. Beispiele von Vektorräumen: 1. Der Raum Rn der reellen n-Tupel ist ein Vektorraum über dem Körper R, siehe oben. 2. Wir betrachten die Menge Rm×n der reellen m × n-Matrizen mit üblicher Summe und üblichen reellen Vielfachen. Dann ist auch Rm×n ein Vektorraum 3. Wir betrachten die Lösungsmenge L ⊆ R eines linearen, homogenen Gleichungssystems mit reellen Koeffizienten. Dann ist L ein reeller Vektorraum. 4. Wir betrachten die Lösungsmenge L ⊆ Q eines linearen, homogenen Gleichungssystems mit rationalen Koeffizienten. Dann ist L ein rationaler Vektorraum. 5. Wir betrachten die Menge F aller Funktionen f : R → R. Für f, g ∈ F definieren wir Summe und Vielfaches durch (f + g)(x) := f (x) + g(x) , Damit bildet F einen Vektorraum über R. 108 (λf )(x) := λf (x) (x ∈ R) . 6.1 Vektorräume Definition 6.10. Seien n Vektoren b1 , . . . , bn in einem Vektorraum V über K gegeben. Das n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt linear unabhängig , wenn der Nullvektor 0 nur trivial als Linearkombination der bi darstellbar ist: λ 1 b1 + · · · + λ n bn = 0 ⇒ λ1 = · · · = λn = 0 . Das n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt vollständig , wenn jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination der bi darstellbar ist: ∀v ∈ V ∃x1 , . . . , xn ∈ K : v = x1 b1 + x2 b2 + . . . + xn bn . (6.4) Ein linear unabhängiges und vollständiges n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt Basis von V . Bemerkung 6.11. Die Darstellung (6.4) bezüglich (b1 , . . . , bn ) ist eindeutig. Definition 6.12. Ist (b1 , . . . , bn ) eine Basis, so heißt V ein n-dimensionaler Vektorraum. Die Zahlen x1 , . . . , xn (in dieser Reihenfolge) in (6.4) heißen die Koordinaten von v bezüglich der Basis (b1 , . . . , bn ). Der Vektor (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn in (6.4) heißt Koordinatenvektor von v bezüglich dieser Basis. Existiert also eine Basis (b1 , . . . , bn ), so entspricht jedem Vektor v ∈ V genau ein Koordinatenvektor x ∈ Rn und umgekehrt, wobei V ∋ v = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn ←→ (x1 , . . . , xn ) = x ∈ Rn . Außerdem entsprechen sich Addition und Multiplikation mit Skalar in V und Rn . Bemerkung 6.13. Anstelle eines n-dimensionalen Vektorraumes V über R kann stets der isomorphe Vektorraum Rn der n-Tupel betrachtet werden. 6.1.4 Skalarprodukt und Norm Definition 6.14. Für Vektoren x, y ∈ Rn definieren wir das euklidische Skalarprodukt hx, yi := x1 y1 + · · · + xn yn = n X xi yi = x⊤ y . i=1 109 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen Das Skalarprodukt ordnet Vektoren x, y ∈ Rn eine reelle Zahl zu und hat folgende Eigenschaften (α, β ∈ R, x, y, z ∈ Rn ): hx, yi = hy, xi hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi hx, xi ≥ 0 , hx, xi = 0⇔ x = 0 (Symmetrie) (Bilinearität) (positive Definitheit) . (6.5) Offensichtlich gilt xi = hx, ei i für i = 1, . . . , n . Definition 6.15. Eine Abbildung h·, ·i : V × V → R, (v, w) 7→ hv, wi heißt Skalarprodukt in V , wenn (6.5) für alle α, β ∈ R und alle x, y ∈ V gilt. Andere Bezeichnungen: v·w, (v | w) , (v, w) . Definition 6.16. Die Zahl kxk := p q hx, xi = x21 + · · · + x2n heißt (euklidischer) Betrag , Länge oder euklidische Norm von x. Die Länge hat folgende Eigenschaften (λ ∈ R, x, y ∈ Rn ): kxk ≥ 0 , kxk = 0 ⇔ x = 0 kλxk = |λ| · kxk kx + yk ≤ kxk + kyk (positive Definitheit) (Homogenität) (Dreiecksungleichung) (6.6) Definition 6.17. Der Vektorraum (Rn , +, ·) ausgestattet mit der Länge k · k heißt euklidischer Raum. Definition 6.18. Eine Abbildung k · k : V → R, v 7→ kvk heißt Norm in V , wenn (6.6) entsprechend für alle λ ∈ R und alle x, y ∈ V gilt. Definition 6.19. v ∈ V heißt normiert oder Einheitsvektor , wenn kvk = 1. Bemerkung 6.20. Wenn h·, ·i ein Skalarprodukt in V ist, dann ist durch kvk := v ∈ V eine Norm in V definiert. 110 p hv, vi für 6.1 Vektorräume Es gilt die Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung für allev, w ∈ V . |hv, wi| ≤ kvk · kwk Sei (b1 , . . . , bn ) eine Basis in V und seien v, w ∈ V mit v= n X w= xi bi , i=1 Dann gilt hv, wi = n X n X n X y i bi . i=1 mit gij xi yj i=1 j=1 gij := hbi , bj i . Definition 6.21. Zwei Vektoren a, b ∈ V heißen orthogonal zueinander , wenn ha, bi = 0 gilt. Wenn hbi , bi i = 1, hbi , bj i = 0 für i 6= j, dann sind die Vektoren b1 , . . . , bn normiert und paarweise orthogonal (d. h., orthonormal ) und es gilt gii = 1 und gij = 0 für i 6= j. Daher gilt dann n X hv, wi = xi yi . i=1 Bemerkung 6.22. Die Einheitsvektoren e1 , . . . , en in Rn sind orthonormal bezüglich des euklidischen Skalarproduktes. Definition 6.23. Für zwei Vektoren v, w ∈ V \ {0} eines euklidischen Raumes V wird der Winkel ∡(v, w) ∈ [0, π] definiert durch cos ∡(v, w) = hv, wi . kvk · kwk Bemerkung 6.24. Durch obige Defintion wird der Winkelbegriff vom Zweidimensionalen her verallgemeinert und ist nun auch allgemein in euklidischen Vektorräumen verfügbar. Bemerkung 6.25. Zwei Vektoren v, w ∈ V \{0} sind genau dann orthogonal zueinander (d. h. hv, wi = 0), wenn der Winkel zwischen ihnen π2 (also 90◦ ) ist. 111 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen 6.1.5 Analytische Geometrie Aus der Schule sollte die Anwendung des R2 und des R3 für die analytische Geometrie, Grundaufgaben der analytischen Geometrie und deren Lösung bekannt sein: • Darstellungen von Geraden und Ebenen, • Orthogonalprojektion, • Schnittpunkte von Geraden und Ebenen, • Winkel zwischen Geraden und Ebenen, • Lotfußpunkte und Lotgeraden. Zum Skalarprodukt kommen im R3 noch Kreuzprodukt und Spatprodukt hinzu. Für eine ausführlichere Darstellung der analytischen Geometrie wird auf andere Vorlesungen bzw. Bücher verwiesen. 6.2 Komplexe Zahlen Ziel ist, die Menge R2 so mit einer Addition „+“ und einer Multiplikation „·“ auszustatten, dass ein Zahlenkörper entsteht. Wenn dies geht, so können wir mit Punkten in der Ebene R2 richtig rechnen – im Unterschied zur Vektorrechnung, bei der eine Division fehlt. 6.2.1 Körper der komplexen Zahlen Wir vewenden für den R2 die schon bekannte Addition (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) . (6.7) Sie erfüllt alle an sie forderten Eigenschaften für einen Zahlenkörper. Beispiel 6.26. Es seien z1 = (2, −1), z2 = (1, 3). Dann gelten z1 + z2 =(2, −1) + (1, 3) = (3, 2) , z1 − z2 =(2, −1) − (1, 3) = (1, −4) . Benötigt wird noch Multiplikation im R2 , d. h., wir haben (a, b) · (c, d) so zu definieren, dass wieder ein Element des R2 entsteht, und so, dass das Produkt vernünftige Eigenschaften hat (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Existenz von neutralem Element und von inversen Elementen). 112 6.2 Komplexe Zahlen Insbesondere wollen wir ein Paar (x, 0) ∈ R2 mit der reellen Zahl x ∈ R identifizieren: (x, 0) = x für x ∈ R . Außerdem soll die Multiplikation mit einer reellen Zahl die schon vom R2 bekannten Eigenschaften haben. Damit sind schon festgelegt: • 0 = (0, 0) als Null und 1 = (1, 0) als Eins, • (a, 0) · (c, d) = (ac, ad) und somit (a, b) · (c, d) = (a, 0) · (c, d) + (0, b) · (c, d) = (a, 0) · (c, 0) + (a, 0) · (0, d) + (0, b) · (c, 0) + (0, b) · (0, d) = ac(1, 0)2 + ad(1, 0)(0, 1) + bc(1, 0)(0, 1) + bd(0, 1)2 = ac(1, 0) + (bc + ad)(0, 1) + bd(0, 1)2 = (ac, ad + bc) + bd(0, 1)2 . Offen ist somit nur noch die geeignete Definition von (0, 1)2 . Potentielle (einfachste) Elemente wären (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) , (−1, 0) , (0, −1) , (1, 1) , (−1, −1) , wovon aber nur (−1, 0) die gewünschten Eigenschaften hat: Setzen wir (0, 1)2 := (−1, 0) = −1 , so haben wir die Multiplikation vollständig definiert durch (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) . (6.8) Die so definierte Multiplikation hat vernünftige Eigenschaften: • Sie genügt dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz. • Gemeinsam mit der Addition genügt sie dem Distributivgesetz. • 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0) sind die neutralen Elemente bezüglich Addition bzw. Multiplikation. 113 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen • Für jedes (a, b) 6= (0, 0) gilt a −b (a, b) · = (1, 0) = 1 , , a2 + b2 a2 + b2 wenn (a, b) 6= 0 , genauer: (a, b) 6= (0, 0) gibt es genau ein (c, d) mit (a, b) · (c, d) = 1. Beispiel 6.27. Es seien z1 = (2, −1), z2 = (1, 3). Dann gelten z1 · z2 =(2 · 1 − (−1) · (3), 2 · 3 + (−1) · 1) = (5, 5) , 1 2 1 −(−1) 2 = 2 , , = . z1 2 + (−1)2 22 + (−1)2 5 5 Satz 6.28. Die Menge R2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation · entsprechend (6.7) und (6.8) bildet einen Zahlenkörper. Definition 6.29. Die Menge R2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation · entsprechend (6.7) und (6.8) heißt Körper der komplexen Zahlen C. Die Elemente von C heißen komplexe Zahlen C. 6.2.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen Bemerkung 6.30. C ist ein zweidimensionaler Vektorraum über R mit der Basis (e1 , e2 ) = ((1, 0), (0, 1)) , d. h., für jede komplexe Zahl (x, y) gilt (x, y) = x · (1, 0) + x · (0, 1) = x · e1 + y · e2 . (6.9) (x, y) = x · e1 + y · e2 y · e2 e2 e1 x · e1 Wir können uns daher die Elemente von C auch als Punkte in der Ebene vorstellen, nachdem wir einen Nullpunkt und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordinatenachsen ausgewählt haben: Die waagerechte Achse gehört zum Basisvektor e1 = (1, 0), d. h., zu den reellen Zahlen, die vertikale Achse gehört zum Basisvektor e2 = (0, 1). Komplexe Zahlen können auch 114 6.2 Komplexe Zahlen als Zeiger (Ortsvektoren) in der Ebene, Gaußsche Zahlenebene genannt, interpretiert werden. Bemerkung 6.31. Addition der komplexen Zahlen (a, b) und (c, d) heißt Verschiebung des Punktes (a, b) um den Vektor (c, d) in den Punkt (a + c, b + d). Wir haben schon 1 = e1 = (1, 0) . Wir setzen i := e2 = (0, 1) . Wegen (6.9) haben wir damit (x, y) = x + iy . (x, y) = x + yi yi i 1 x Wir können uns daher nun die Elemente von C als Punkte in der Ebene vorstellen, nachdem wir einen Nullpunkt und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordinatenachsen ausgewählt haben: Die waagerechte, reelle Achse gehört zum Basisvektor 1 = (1, 0), d. h., zu den reellen Zahlen, die vertikale, imaginäre Achse gehört zum Basisvektor i = (0, 1). Definition 6.32. Für eine komplexe Zahl z = x + yi nennen wir y := Re(z) den Realteil und y := Im(z) den Imaginärteil von z. Für die Multiplikation gilt nun (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i . Beispiel 6.33. Es gelten (2 + 3i) · (3 − 4i)= 2 · 3 − 3 · (−4) + (2 · (−4) + 3 · 3)i= 18 + 1i , (0 + 1i) · (0 + 1i)= 0 · 0 − 1 · 1 + (0 · 1 + 1 · 0)i= −1 . Insbesondere haben wir 115 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen i2 = i · i = −1 = (−i) · (−i) = (−i)2 . Damit hat die Gleichung x2 = −1 in C zwei Lösungen! Da C ein Zahlenkörper ist, kann man mit komplexen Zahlen im Sinne von Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division genau so rechnen wie mit reellen Zahlen. Beachtet man i2 = −1, so wird einfach ausmultipliziert. Beispiel 6.34. Es gelten (2 + 3i) · (3 − 4i)= 2 · 3 + 2 · (−4i) + 3i3 + 3i · (−4i)= 6 − 8i + 9i − 12i2 = 18 + 1i , (3 + 4i)(2 − i) = 6 − 3i + 8i − 4i2 = 10 + 5i. Definition 6.35. Die komplexen Zahlen z = x + iy und z̄ := x − iy, die gleichen Realteil und zueinander negativen Imaginärteil haben, heißen komplex konjugiert zueinander. z = x + iy y z+z x z = x − iy Bemerkung 6.36. Das Konjugieren einer komplexen Zahl z = x + iy zu z̄ := x − iy ist das Spiegeln des Punktes (x, y) an der reellen Achse. Bemerkung 6.37. Das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl: z · z̄ = (x + iy) · (x − iy) = x2 + ixy − ixy − i2 y 2 = x2 + y 2 . Dies wird ausgenutzt zum Reellmachen des Nenners und zur Division komplexer Zahlen: a + ib a + ib c − id ac + bd + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = · = = 2 + 2 i. 2 2 c + id c + id c − id c +d c + d2 c + d2 Beispiel 6.38. Es gilt 6 + 3i + 8i + 4i2 3 + 4i 2 + i 3 + 4i 2 + 11i 2 11 = · = = = + i. 2 2−i 2−i 2+i 4 + 2i − 2i − i 4+1 5 5 116 6.2 Komplexe Zahlen Für Elemente des R2 kennen wir schon den Betrag. Definition 6.39. Für eine komplexe Zahl z = x + iy wird der Betrag einer komplexen Zahl |z| definiert durch p √ |z| := |x + iy| = x2 + y 2 = zz . Wir notieren noch die folgenden Rechenregeln: z1 · z2 = z1 · z 2 , |z| = |z| , z1 + z2 = z 1 + z 2 , |z1 z2 | = |z1 | · |z2 | , Re(z) = 1 2 (z + z) , z=z, z · z = |z|2 |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | , Im(z) = 1 2i (z − z) . Beachte: Die letzten beiden Formeln lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene gut verstehen. Zu einer komplexen Zahl z erhält man die komplex Konjugierte nämlich (nach Definition) einfach durch Spiegelung an der reellen Achse. Insbesondere gelten auch z −1 = z 1 = 2z , z·z |z| w · z̄ w , = z |z|2 Beispiel 6.40. Es seien z1 = 2 − i, z2 = 1 + 3i, vergleiche die Beispiele 6.26, 6.27. Dann gelten z1 + z2 = 3 + 2i , z̄1 = 2 + i , p √ |z1 | = 22 + (−1)2 = 5 , z1 · z2 = 2 + 6i − i + 3 = 5 + 5i z1 − z2 = 1 − 4i , z̄2 = 1 − 3i , p √ |z2 | = 12 + 32 = 10 , z1 (2 − i)(1 − 3i) 2 − 6i − i − 3 √ √ = = z2 10 10 √ √ −1 − 7i 10 7 10 =− − i. = √ 10 10 10 Bemerkung 6.41. Im Unterschied zu den reellen Zahlen haben wir keine Ordnungsrelation mit den vom Reellen bekannten Eigenschaften. 6.2.3 Polardarstellung Betrachtet man eine komplexe Zahl z 6= 0 als Zeiger in der komplexen Zahlenebene, so kann z offenbar auch in folgender Form dargestellt werden: z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) , wobei ϕ = arg(z) ein Winkel sei, den der Zeiger mit der reellen Achse bildet. 117 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen (x, y) = x + yi yi r i ϕ 1 x Dieser Winkel wird Argument von z genannt. Üblicherweise wird für eine eindeutige Darstellung der Hauptwert des Winkels im Intervall ] − π, π] gesucht, d. h., Arg(z) ∈ ] − π, π] . Für z = x + iy setzen wir Arg(z) := ϕ x mit cos ϕ = |z| und 0 ≤ ϕ ≤ π, falls y ≥ 0 −π < ϕ < 0, falls y < 0 , wenn z 6= 0. Weiter sei Arg(0) := 0. Zusammengefasst haben wir die eindeutige trigonometrische Form oder Polardarstellung einer komplexen Zahl z mit z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z)) , wobei sich ein beliebiges Argument ϕ von z von Arg(z) nur durch Vielfache von 2π unterscheidet. 6.2.4 Komplexe Sinus-, Cosinus- und Exponential-Funktionen Ein Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, dass man bestimmte reelle Funktionen unter Erhaltung ihrer wichtigsten Eigenschaften auf C erweitern kann. Außer den (natürlichen) Potenzfunktionen und damit den Polynomen sind dies die Exponential- und Hyperbelfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen: exp : C → C , sin : C → C , sinh : C → C , exp z := ez := eRe(z) (cos Im(z) + i sin Im(z)) , 1 iz 1 iz e − e−iz , cos : C → C , cos z := e + e−iz , sin z := 2i 2 1 z 1 z −z sinh z := , cosh : C → C , cosh z := e −e e + e−z . 2 2 Diese Funktionen erfüllen die aus dem Reellen bekannten Additionstheoreme. Insbesondere gelten 118 6.2 Komplexe Zahlen ez1 +z2 = ez1 ez2 , e−z = 1 , ez enz = (ez )n . Für z = iy mit y ∈ R erhalten wir die Euler-Formel bzw. Moivre-Formel eiy = cos y + i sin y , einy = (cos y + i sin y)n = cos ny + i sin ny . Die Moivre-Formel ermöglicht zum Beispiel die Berechnung von cos 3ϕ: cos 3ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ)3 = Re cos3 ϕ + 3 · cos2 ϕ · i sin ϕ + 3 · cos ϕ · i2 sin2 ϕ + i3 sin3 ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ . 6.2.5 Exponential-Darstellung Aus der Polardarstellung z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z)) und der Euler-Formel erhalten wir nun die Exponentialdarstellung z = |z|eiArg(z) . Die komplexen Zahlen z und w werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert werden: z · w = |z|eiArg(z) · |w|eiArg(w) = |z||w|ei(Arg(z)+Arg(w)) . Bemerkung 6.42. Multiplikation der komplexen Zahlen z und w heißt also Dehnen des Vektors z = (x, y) um den Betrag |w| und Drehen um den Nullpunkt um den Winkel Arg(w) . Bemerkung 6.43. Die Multiplikation mit der komplexen Zahlen eiϕ ist das Drehen um den Nullpunkt mit dem Winkel ϕ. Zwei komplexe Zahlen z und w 6= 0 werden dividiert, indem ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden: z |z| i(Arg(z)−Arg(w)) |z|eiArg(z) = = e . iArg(w) w |w| |w|e 119 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl z wird potenziert, indem ihr Betrag potenziert und ihr Argument n vervielfacht wird: = |z|n einArg(z) . z n = |z|eiArg(z) √ √ 3π π 2ei 4 und i − 1 = 2ei 4 gilt √ 12 √ π 5 √ 3 7 π 3 2ei 4 · 2ei 4 π 2 · ei(5· 4 +7· 4 π) = (1 + i)5 · (i − 1)7 = Beispiel 6.44. Wegen 1 + i = 1 26 = 26 · ei 4 π = 64 · ei(6π+ 2 π) = 64ei 2 = 64i . π Bemerkung 6.45. Während die algebraische Darstellung sehr gut geeignet ist für die Addition und Subtraktion, ist die Exponentialdarstellung besser geeignet für Multiplikation, Division und Potenzierung. 6.2.6 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms Wir betrachten eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 im Fall D = Seien p2 4 (6.10) − q < 0, d. h., in dem Fall, indem keine reelle Lösung existiert. √ p x1 := − − i −D , 2 √ p x2 := − + i −D . 2 Dann gilt √ √ p p (x − x1 )(x − x2 ) = [x + ] − i −D [x + ] + i −D 2 2 p 2 p 2 p2 = (x + ) − i2 (−D) = x2 + px + − +q 2 4 4 = x2 + px + q . Damit sind obige x1 und x2 komplexe Lösungen der Gleichung (6.10) im Falle p2 4 − q < 0. Insbesondere hat also jede quadratische Gleichung (6.10) mit reellen Koeffizienten genau zwei Lösungen. Man kann zeigen: Satz 6.46 (Fundamentalsatz der Algebra). Lässt man auch komplexe Nullstellen zu, so besitzt jedes Polynom eine Faktorisierung nur in Linearfaktoren. Insbesondere hat jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, genau n komplexe Nullstellen, wenn mehrfache Nullstellen entsprechend oft gezählt werden. Beispiel 6.47. x2 + 1 = (x + i)(x − i) . 120 6.2 Komplexe Zahlen 6.2.7 n-te Wurzeln in C Wir suchen die (reellen und) komplexen Nullstellen des Polynoms f (x) = xn − 1, also die Wurzeln der Gleichung xn = 1. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass f genau n komplexe Nullstellen besitzt (Vielfachheiten mitgezählt). Über die Exponentialdarstellung können wir unmittelbar n Lösungen der Gleichung angeben. Wegen eik·2π = 1 für beliebiges k ∈ Z sind (die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen) k xk := ei n ·2π , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 genau n Lösungen der Gleichung, mithin die n komplexen Nullstellen von f (x) = xn − 1. Wir erweitern die Überlegung auf die Gleichung zn = a , mit a ∈ C vorgegeben. Sei etwa a = |a| · eiArg(a) . Dann sind die Zahlen p n |a| · ei Arg(a)+2kπ n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 genau die n Wurzeln (Lösungen) der Gleichung z n = a. Damit können wir Gleichungen der Form (z − a)n + b = 0 a, b ∈ C, n ∈ N>0 in C lösen. Beispiel 6.48. Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung (z − 2i)3 − 64 = 0 in algebraischer Form: Mit w = z − 2i haben wir w3 = 64 und damit √ √ 2π 2π w1 = 4 , w2 = 4e 3 i = −2 + 2 3i , w3 = 4e− 3 i = −2 − 2 3i bzw. 2kπ 2kπ wk = 4 cos + i sin , 3 3 k = 0, 1, 2 . Somit sind z1 = 4 + 2i , √ z2 = −2 + 2( 3 + 1)i , √ z3 = −2 − 2( 3 − 1)i die gesuchten Lösungen. Beispiel 6.49. Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung (z − 2)3 + q√ √ algebraischer Form: S ei w = z − 2. Dann gilt |w| = 3 | 8| = 2 und √ 8 = 0 für z ∈ C in √ 1 2kπ π 2kπ arg w = arg(− 8) + = + , 3 3 3 3 121 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen woraus √ √ √ π π 2 6 +i , z0 = 2 + 2 cos + i 2 sin = 2 + 3 3 2 2 √ √ π 2π π 2π ) + i 2 sin( + )=2− z1 = 2 + 2 cos( + 3 3 3 3 √ √ π 4π π 4π z2 = 2 + 2 cos( + ) + i 2 sin( + )=2+ 3 3 3 3 √ √ 2 , √2 √ 2 6 −i 2 2 folgt. 6.2.8 Geometrische Anwendungen Da C bzw. R2 mit der geometrischen Ebene identifiziert werden kann, können wir die geometrischen Anwendungen der Vektoranalysis wie Projektion, Schnitt von Geraden, Lot auf eine Gerade und Winkel zwischen Geraden auch mit Hilfe der komplexen Zahlen durchführen. Wir müssen hierzu nur noch hz, wi = Re z · Re w + Im z · Im w = Re(zw) = Re(zw) für das (reelle) Skalarprodukt der Vektoren z, w und det(z, w) = Re z · Im w − Im z · Re w = Im(zw) für die Determinante der Vektoren z, w bemerken. Hinzu kommen aber zusätzliche Anwendungen, die sich aus der Anwendung der Multiplikation und des komplex Konjugiertem ergeben. Beispiel 6.50. Eine Gerade g durch die Punkte z0 und z1 gegeben durch g = {z0 + t · (z1 − z0 ) | t ∈ R} . Eine Gerade g durch den Punkt z0 in Richtung r ist gegeben durch g = {z0 + t · r) | t ∈ R} = {z ∈ C | hz, rii = hz0 , rii} = {z ∈ C | Re(zr̄i) = Re(z0 r̄ii} = {z ∈ C | Im(zr̄) = Im(z0 r̄i} Lemma 6.51. Es seien g und h zwei Geraden durch die Punkte a ∈ C und b ∈ C mit den Richtungen p ∈ C bzw. q ∈ C. 1. Wenn hp, qii = 0 gilt (d. h. wenn Im(pq̄) = 0 gilt), dann sind g und h parallel. 2. Wenn hp, qii = 6 0 gilt, dann sind g und h nicht parallel und ihr Schnittpunkt s ist gegeben durch ha, qiip − hb, piiq Im(aq̄ip − Im(bp̄)q s= = . hp, qii Im(pq̄i 122 6.2 Komplexe Zahlen Beispiel 6.52. Eine Kreislinie K mit Radius R und Mittelpunkt z0 ist gegeben durch K = {z ∈ C | |z − z0 | = R} . Mit z = x + iy, z0 = x0 + iy0 entspricht dies {(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 } . Der Schnitt eines Kreises mit einer Geraden führt zu einer quadratischen Gleichung für eine reelle Unbekannte. Beispiel 6.53. Die obere Halbebene ist gegeben durch {z | Imz ≥ 0} . Die rechte Halbebene ist gegeben durch {z | Rez ≥ 0} . Beispiel 6.54. Die Menge {z | |z + 2 − i| > 2} stellt das Äußere eines Kreises um −2 + i mit dem Radius 2 dar. Multiplizieren wir eine komplexe Zahl z mit eiϕ , ϕ ∈ R, so wird ϕ zum Argument von z addiert, der Betrag ändert sich aber nicht: |zeiϕ | = |zeiArg(z) eiϕ | = |z||ei(Arg(z)+ϕ | = |z|| cos(Arg(z) + ϕ) + i sin(Arg(z) + ϕ)| q = |z| cos2 (Arg(z) + ϕ) + sin2 (Arg(z) + ϕ) = |z| . Die Multiplikation mit eiϕ bewirkt also eine Drehung um 0 mit dem Winkel ϕ. Die Multiplikation mit eiπ/2 = i ist also eine Drehung um 0 mit dem Winkel 90◦ .Betrachten wir nun die Spiegelung an der reellen Achse. Diese ist durch z = Rez + iImz 7→ Rez − iImz = z gegeben. Als dritte elementare Kongruenztransformation fehlt uns nur noch die Verschiebung um |a| in Richtung eiArg(a) : z 7→ z + a . Eine beliebige Kongruenztransformation in der Ebene setzt sich stets aus Drehung um 0, Spiegelung an der reellen Achse und Verschiebung zusammen. 123 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen Beispiel 6.55. Eine Spiegelung an einer Geraden g = {a + teiα | t ∈ R} , α ∈ R durch den Punkt a erhält man in folgender Weise: Zuerst verschieben wir die Gerade g so, dass ihr Bild durch den Nullpunkt verläuft, z 7→ z − a , dann drehen wir um den Winkel −α, so dass das Bild der Gerade nun mit der reellen Achse zusammenfällt, z 7→ ze−iα , dann wird an der reellen Achse gespiegelt, z 7→ z , und schließlich wieder zurück gedreht und zurück verschoben: z 7→ zeiα , z 7→ z + a . Insgesamt erhalten wir durch Verkettung dieser fünf Abbildungen die Spiegelung an g durch z 7→ (z − a)e−iα eiα + a = (z − a) e−iα eiα + a = (z − a)e2iα + a . Bemerkung 6.56. Im Unterschied zur analytischen Geometrie haben wir hier zusätzliche Möglichkeiten z. B. durch Verwendung der Division, der Multiplikation mit eiϕ zur Drehung um ϕ, der Spiegelung an der reellen Achse (durch komplexes Konjugieren) und durch Verwendung n-ter Einheitswurzeln zur Konstruktion von regulären n-Ecken. Andererseits kann dies so nur auf ebene Geometrie angewandt werden. Bemerkung 6.57. Komplexe Zahlen finden außer in der ebenen Geometrie und bei Nullstellen von Polynomen weitere Anwendungen in Algebra und Analysis, die in vielen Fällen die Theorie durch Nutzung komplexer Zahlen einfacher wird. 124 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Funktionen 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken . 1.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren . . . . 1.1.4 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen . . . . . . 1.2.3 Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kartesisches Produkt und Relationen . . . . . . . . . . 1.4 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . 1.4.3 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Zahlen 2.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung 2.2.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 7 9 9 10 11 12 12 13 14 15 15 18 20 25 25 25 25 26 26 26 26 27 28 28 29 29 29 31 31 125 Inhaltsverzeichnis 2.3 2.4 2.5 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Weitere Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen 2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.2 Ordnungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen . . . . . . . . Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Definitionen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 32 32 33 34 34 35 36 36 37 38 3 Matrizen und Determinanten 3.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . 3.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) . . . . . . . . 3.1.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung . . . . . 3.1.7 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der Begriff der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Das Rechnen mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n 3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 43 45 46 47 49 50 51 51 53 55 58 4 Das Austauschverfahren 4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes 4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes . 4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) . . . . . . . . . . . 4.3.1 Inversion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 61 61 62 63 65 68 68 72 79 . . . . . . . . . . 5 Lineare Optimierung 81 5.1 Lineare Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Normalform der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2.1 Die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 126 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 88 88 92 93 95 100 6 Vektorräume und Komplexe Zahlen 6.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Zahlenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Vektorraum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Allgemeine Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . 6.2.3 Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Komplexe Sinus-, Cosinus- und Exponential-Funktionen 6.2.5 Exponential-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms . . . . . . . . 6.2.7 n-te Wurzeln in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 105 105 106 108 109 112 112 112 114 117 118 119 120 121 122 5.3 5.4 5.2.2 Überführung in die Normalform . . . . . . . . Lösung einer Normalform der linearen Optimierung . 5.3.1 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung 5.3.2 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Optimalität und Simplexkriterium . . . . . . 5.3.4 Bestimmung des Minimums . . . . . . . . . . Ermittlung eines ersten Simplextableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . von (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Inhaltsverzeichnis 128 Index Äquivalenz, 5 Äquivalenzrelation, 14 äquivalent, 6 Abbildung, 14, 16 Abbildung, affin-lineare, 60 Abbildung, identische, 20 Abbildung, lineare, 59 Abbildung, surjektive, 18 Addition, 32, 105, 107, 109 Addition, komplexe, 112 Additionstheorem, 118 All-Quator, 7 Antisymmetrie, 33 Argument, 17, 118–120 Argument, 123 Assoziativgesetz, 6, 12, 32, 105, 112, 113 Aussage, 5 Aussageform, 5 Aussagevariable, 5 Austauschregeln, 62 Basen, negative, 38 Basis, 109, 111 Basis, 90 Basis, kanonische, 108 Basisdarstellung, 90 Basisdarstellung, zulässige, 92 Basislösung, 90 Basisvariable, 90 Bereich, zulässiger, 81 Betrag, 35, 119, 120 Betrag, 123 Betrag einer komplexen Zahl, 117 Betrag, (euklidischer), 110 Betragsungleichung, 36 Bijektion, 21 bijektiv, 21 Bild, 18 Darstellung, 112 Definition, rekursive, 26 Definitionsbereich, 17 Determinante, 42, 51–53, 56, 57 Determinante, Eigenschaften, 54 Determinate, 122 Differenz, 11 Differenz von Matrizen, 45 Differenz, symmetrische, 11 disjunkt, 11 Disjunktion, 5 Distributivgesetz, 6, 12, 112, 113 Division, 32 Drehung, 123 Dreieck, Pascalsches, 30 Dreiecksmatrix, 52 Dreiecksungleichung, 37 Durchschnitt, 11, 13 durchschnittsfremd, 11 Einheitsmatrix, 44 Einheitsvektor, 107, 110 Einheitsvektoren, 111 Element, 112 Entwicklung, 53 Euler-Formel, 119 Existenz-Quantor, 7 Exponential-Darstellung, 119 Exponentialdarstellung, 119–121 Exponentialfunktion, 118 Fallunterscheidung, 36 Funktion, 14, 16 Funktion, eineindeutige, 18 Funktion, gleichheit, 17 Funktion, injektive, 18 Funktion, komplexe, 118 129 Index Funktion, surjektive, 18 Funktion, trigonometrische, 118 Gaußsche Zahlenebene, 115, 117 Gerade, 122–124 Gleichung, quadratische, 120 Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59 Gleichungssystem, homogenes lineares, 56 Gleichungssystem, inhomogenes lineares, 56 Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58 Graph, 17 Halbebene, obere, 123 Halbebene, rechte, 123 Hauptstützelement, 62 Hilfsproblem, 100 Hyperbelfunktion, 118 Identität, 20 Imaginärteil, 115 Implikation, 5 Indexmenge, 13 Input-Output-Koeffizient, 41 Inverses, additives, 108 invertierbar, 50 Körper, 32, 105 Körper der komplexen Zahlen, 114 Körper, total angeordneter, 33 Kellerzeile, 64 Koeffizientenmatrix, 42 Kombination, 29 Kombinationen, 29 Kommutativgesetz, 6, 12, 112, 113 Komplement, 12 komplex konjugiert, 117 Komposition, 19 Kongruenztransformation, 123 konjugiert, 116 Konjunktion, 5 Koordinate, 108, 109 Koordinatenvektor, 109 Kreislinie, 123 Länge, 110 Lösung, 42, 82 130 Lösung, maximale, 82 Lösung, minimale, 82 Lösung, optimale, 82 Lehrsatz, binomischer, 37 linear unabhängig, 109 Linearkombination, 108, 109 linkseindeutig, 15 linkstotal, 15 Logarithmengesetze, 38 Logarithmus, 38 Matrix, 39, 51, 53, 56 Matrix, inverse, 50 Matrix, invertierbare, 55–57 Matrix, quadratische, 44 Matrix, Rechenregeln, 51 Matrix, symmetrische, 44 Matrix, transponierte, 43 Matrixgleichung, 51 Matrizenaddition, 106 Matrizenmultiplikation, 106 Menge, 7 Menge, leere, 10 Mengengleichheit, 9 Moivre-Formel, 119 Multiplikation, 32, 105, 107, 109 Multiplikation, komplexe, 113 Nebenbedingung, 81 Negation, 5 Nichtbasisvariable, 90 Nichtnegativitätsbedingungen, 81 Norm, 109, 110 Norm,euklidische, 110 Normalform, 59 Normalform der linearen Optimierung, 86 Nullmatrix, 43 Nullpunkt, 124 Nullstelle, 121 Nullvektor, 107, 108 Optimierungsproblem, lineares, 81 Ordnung, totale, 33 Ordnungsrelation, 14, 32 Ortsvektoren, 115 Index Output-Bilanz, 41 Paar, geordnetes, 14 paarweise orthogonal, 111 Permutation, 26 Pivotelement, 62 Pivotspalte, 62 Pivotzeile, 62 Polardarstellung, 119 Polardarstellung komplexer Zahlen, 117, 118 Polynom, 118, 121 Potenz, n-te, 37 Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26 Potenzen mit rationalen Exponenten, 38 Potenzfunktion, 118 Potenzgesetze, 38 Potenzmenge, 37 Potenzmenge, 10 Prädikat, einstufiges, 6 Prädikat, zweistufiges, 6 Prinzip der vollständigen Induktion, 25 Produkt von Matrizen, 47 Produkt, kartesisches, 14 Produktionskoeffizient, 41 Produktmatrix, 47 Produktzeichen, 36 Quantifikator, restringierter, 7 Raum, euklidischer, 110 Realteil, 115 rechtseindeutig, 15 Reflexivität, 33 Regel, Cramersche, 57, 58 Regeln, de Morgansche, 6, 12 Reihenfolge, 26, 29 Relation, 14 Sarrus-Regel, 43 Seite, rechte, 42 Simplex, 85 Simplex-Regel, 95 Simplextableau, 92 Simplextableau, entscheidbares, 94 Simplextableau, nicht-entscheidbares, 94 Simplextableau, optimales, 93 Simplexverfahren, 95 Skalarprodukt, 106, 109, 110, 122 Skalarprodukt, 47 Skalarprodukt, euklidisches, 109, 111 Spalte, 40 Spaltenvektor, 107 Spaltenvektor, 40 Spiegeln, 116 Spiegelung, 117 Spiegelung, 123, 124 Subtraktion, 32 Summe, 107, 108 Summe von Matrizen, 45 Summenzeichen, 36 System linearer Funktionen, 60 Teilmenge, 9 Teilmengen, 30 Transitivgesetz, 33 Trichotomie-Eigenschaft, 33 trigonometrische Form, 118 Tupel, 107 Typ einer Matrix, 39 Umformungen, äquivalente, 34 Umkehrabbildung, 20 Ungleichung, Cauchy-Schwarz-Bunjakowski, 111 Urbild, 18 Variation, 28 Vektor, 108–111 Vektor, 40 Vektor der Absolutglieder, 42 Vektor der Unbekannten, 42 Vektor, entgegengesetzter, 108 Vektor, normiert, 111 Vektor, normierter, 110 Vektor, orthogonal, 111 Vektor, orthonormal, 111 Vektorprodukt, 106 Vektorraum, 105, 106, 108, 110, 114 Vektorraum der Koordinatenvektoren, 109 Vektorraum, n-dimensionaler, 109 131 Index Vereinigung, 11, 13 Verkettung, 19 Verschiebung, 115 Verschiebung, 123 Vielfaches, 107, 108 vollständig, 109 Wahrheitswert, 5 Wertebereich, 17 werteverlaufsgleich, 6 Wiederholung, 26, 29 Winkel, 123 Wurzel, 121 Wurzel, n-te, 37 Wurzeln, komplexe, 121 Zahl, irrationale, 38 Zahl, komplexe, 114, 116 Zahl, negative, 33 Zahl, nichtnegative, 33 Zahl, nichtpositive, 33 Zahl, positive, 33 Zahl, reelle, 113 Zahlengeraden, 36 Zeiger, 115 Zeile, 40 Zeilenvektor, 107 Zeilenvektor, 40 Zielfunktion, lineare, 81 132