Woche 2 - Mathematik

Weitere Eigenschaften
Erklärung der Subtraktion: x − y := x + (−y)
(5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung
x = b − a.
Beweis: (a) Zunächst ist x = b − a eine Lösung, denn
a + x = a + (b − a) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b.
(b) Sei umgekehrt a + x = b, so addiere auf beiden Seiten −a.
Es folgt (−a) + a + x = b − a, also x = b − a.
(6) Es gilt −(x + y) = (−x) + (−y) .
Beweis: Es ist (x + y) + ((−x) + (−y)) = 0 nach (A1) und (A2),
woraus die Behauptung folgt.
1
Axiome der Multiplikation
(M1) Assoziativität: (xy)z = x(yz)
(M2) Kommutativität: xy = yx
(M3) Existenz einer Eins: Es gibt 1 ∈ R mit x · 1 = x für alle
x ∈ R.
(M4) Existenz eines multiplikativ Inversen: Zu jedem x ∈ R,
x 6= 0, gibt es y ∈ R mit x · y = 1 .
2
Distributivgesetz
Addition und Multiplikation sind verkoppelt durch die
Distributivität: (x + y)z = xz + yz für alle x, y, z ∈ R.
Bemerkung: Aus der Kommutativität folgt natürlich die Distributivität auch auf der anderen Seite. Entsprechender Hinweis
hinsichtlich der Inversenbildung.
3
Eigenschaften der Multiplikation
(1) Die Zahl 1 mit x·1 = x für alle x ∈ R ist eindeutig bestimmt :
Betrachte dazu 1 · 10 . Dieses Element ist zugleich 1 und 10 .
(2) Zu jedem x ∈ R, x 6= 0, ist das multiplikativ Inverse eindeutig
bestimmt. Schreibweise: x−1 := y
Multipliziere dazu x · y = 1 auf beiden Seiten mit Inversem y 0 zu x.
(3) 1−1 = 1 :
Verwende 1 · 1 = 1 und berücksichtige die Definition des Inversen.
(4) (x−1)−1 = x für alle x ∈ R, x 6= 0:
Es ist x · x−1 = 1. Denke nun an die Definition des Inversen!
4
Eigenschaften Multiplikation II
(5) (x · y)−1 = x−1 · y −1 :
Beachte dazu xyx−1 y −1 = 1 und denke an Definition des Inversen.
1
−1
schreiben wir auch
. Ebenso
Schreibweise: An Stelle von x
x
y
−1 y = yx−1 .
:=
x
x
(6) Die Gleichung a · x = b , a 6= 0, hat die eindeutig bestimmte
Lösung x = a−1b = ab .
5
Beweis. (a) x = a−1b ist eine Lösung, denn
a · (a−1b) = (a · a−1)b = 1 · b = b.
(b) Falls x der Gleichung a · x = b genügt, multipliziere (von
links) mit a−1. Dies liefert x = a−1b.
(7)
1
( xy )
= xy
für x, y 6= 0
Beweis: Bei der linken Seite handelt es sich um (x−1 · y)−1 =
(x−1)−1 · y −1 = x · y −1; dies ist in anderer Schreibweise die rechte
Seite von (7).
(8) Es gilt x · 0 = 0 für alle x ∈ R: Wir verwenden 0 + 0 = 0
und multiplizieren mit x. Distributivität liefert: x · 0 + x · 0 = x · 0.
Addition von −x·0 auf beiden Seiten liefert dann die Behauptung.
6
Bruchrechnen
(1)
a·c
b d
=
a·c
b·d
b, d 6= 0
(2)
a
b
=
a·d
b·d
b, d 6= 0
(3)
a+c
b
d
=
a·d+c·b
b·d
b, d 6= 0
(4)
1
=
b
a
a, b 6= 0
a
b
7
Begründung
Die Regeln ergeben sich automatisch, wenn wir Brüche ab in der
Form ab−1 schreiben und die uns bekannten Regeln für Addition,
Multiplikation, Distributivität verwenden:
Zu (1): ab · dc =ab−1cd−1 = (ac)(b−1d−1) = (ac)(bd)−1 = a·c
b·d .
Zu (2): ab = ab−1 = ab−1(dd−1) = (ad)(bd)−1 = a·d
b·d .
bc =
Zu (3): ab + dc = ad
+
bd
bd
Distr.
=(ad)(bd)−1 +(bc)(bd)−1 = (ad+bc)(bd)−1 =
ad+bc
bd .
Zu (4): Hatten wir schon!
8
Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung
(a) Berechne (a + b) · (c + d) .
(b) Berechne (a + b)2 .
(c) Berechne (a + b) · (a − b) .
(d) Wann ist
a
c
= ?
b
d
b, d 6= 0
(e) Ermittle
a
b
c
d
b, c, d 6= 0
.
9
Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung
(a) Berechne (a + b) · (c + d) :
Distributivgesetz 2-mal.
(b) Berechne (a + b)2 .
Spezialfall von (a).
(c) Berechne (a + b) · (a − b) .
Spezialfall von (a).
(d) Wann ist ab = dc ?
Genau wenn d · a = b · c.
(Erweitere mit b · d.)
(e) Ermittle
a
b
c
d
?
Schreibe als Produkt
eines Bruchs und eines
inversen Bruchs.
10
Axiome der Anordnung
Reelle Zahlen kann man nicht nur addieren und multiplizieren,
zwischen ihnen ist auch der Größenvergleich, eine Anordnung,
erklärt. In R sind gewisse Elemente als positiv gekennzeichnet
(Schreibweise: x > 0 ), so dass gilt:
(P1) Für jedes x ∈ R gilt genau eine der Beziehungen
x > 0, x = 0, −x > 0 .
(P2) Sind x, y > 0 , so folgt x + y > 0 .
(P3) Sind x, y > 0 , so folgt x · y > 0 .
11
Verabredungen, Schreibweisen
Wir schreiben:
a>b
⇐⇒
a−b>0
a≥b
⇐⇒
a > b oder a = b.
Ferner:
a<b
definiert als
b>a
a≤b
definiert als
b≥a
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Eigenschaften
(1) Reflexivität: x ≤ x gilt für alle x ∈ R:
x ≤ x bedeutet x < x oder x = x.
(2) Transitivität: x < y und y < z
=⇒ x < z :
Wir haben y − x > 0 und z − y > 0, wegen (P2) daher auch
(z − y) + (y − x) > 0, somit z − x > 0 und folglich x < z.
(2’) Variante: x ≤ y und y ≤ z
=⇒ x ≤ z
(3) Antisymmetrie: Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y :
Annahme x 6= y. Dann ist x < y und y < x, folglich x < x
und daher 0 = x − x > 0 im Widerspruch zu (P1).
(4) Vollständigkeit: Für x, y ∈ R gilt x ≤ y oder y ≤ x .
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Ordnung und Addition
Ungleichungen lassen sich addieren:
x < y und x0 < y 0 =⇒ x + x0 < y + y 0
Es ist nämlich y − x > 0 und y 0 − x0 > 0, wegen (P2) dann
auch (y − x) + (y 0 − x0 ) > 0, somit (y + y 0 ) − (x + x0 ) > 0, was
x + x0 < y + y 0 bedeutet.
Variante: x ≤ y und x0 ≤ y 0 =⇒ x + x0 ≤ y + y 0
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Ordnung und Multiplikation
Hier ist Vorsicht angesagt!
x < y und a>0 impliziert a · x < a · y
Wir haben y − x > 0 und a > 0, daher wegen (P3) auch a(y − x) > 0,
folglich ay − ax > 0, was a · x < a · y bedeutet.
Variante: x ≤ y und a ≥ 0 impliziert ax ≤ ay .
Aber: x < y und a<0 impliziert a · x > a · y .
Es ist y − x > 0 und −a > 0, daher (P3) (y − x)(−a) > 0. Es folgt
ax − ay > 0 und folglich ax > ay.
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Weitere Ordnungsbeziehungen
Variante: x ≤ y und a ≤ 0 =⇒ a · x ≥ a · y
Quadrate “positiv”: Für jede reelle Zahl x gilt x2 ≥ 0 .
Die Fälle x < 0, x = 0 und x > 0 sind zu unterscheiden. In
jedem Fall folgt die Behauptung aus früheren Aussagen.
Folgerungen: (a) Es ist 1 > 0.
(b) Es gibt keine reelle Zahl x mit x2 = −1.
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Übergang zum Inversen
(1) x > 0 impliziert
1
>0.
x
Annahme 1x < 0: Multiplikation mit x > 0 liefert
1 = x · 1x < x · 0 = 0 , Widerspruch!
(2) x < 0 impliziert
1
<0.
x
Es ist −x > 0, wende nun (1) an.
(3) 0 < x < y impliziert
1
1
< .
y
x
Multipliziere x < y mit Faktor
1
xy
> 0.
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Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen
0, 1, 2, 3, . . . nichts mit den reellen Zahlen zu tun.
Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!) bettet sich die Menge
N der natürlichen Zahlen jedoch in die Menge R der reellen Zahlen per Zuordnung
n-mal
z
}|
{
n 7→ nR = 1 + 1 + · · · + 1
ein. Wir identifizieren n mit nR . Somit N ⊆ R.
Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus allen Differenzen
m − n mit m, n ∈ N. Somit Z ⊆ R.
Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen
Quotienten m
n mit m, n ∈ Z, n 6= 0. Somit Q ⊆ R.
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Das Archimedische Axiom
Eine wichtige Eigenschaft der Anordnung der reellen Zahlen wird
durch das Archimedische Axiom ausgedrückt:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit
.
x≤n
Das Axiom beschreibt, wie die Menge N der natürlichen Zahlen
in derjenigen R der reellen Zahlen gelegen ist.
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Folgerungen I
(1)
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine ganze Zahl n mit
n ≤ x < n + 1.
Es ist n durch x eindeutig bestimmt.
Schreibweise: n =: [x].
Beweis: Wähle n ∈ Z minimal mit x < n + 1. (Warum geht dies?)
(2)
Sind x, y > 0, so existiert n ∈ N mit n · x > y.
Beweis: Wähle n ∈ N mit
y < n · x.
y
x
< n. Multiplikation mit x > 0 zeigt
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Folgerungen II
n−mal
z }| {
n
Die n-te Potenz einer reellen Zahl a ist a := a · a · · · a.
(3)
Sei a > 1, dann gibt es zu jedem reellen M > 0 eine
natürliche Zahl n, so dass an > M .
Beweis: Schreibe a = 1+x mit x > 0 und wende die Bernoullische
Ungleichung
an = (1 + x)n ≥ 1 + n · x
an, welche für x ≥ −1 gilt. (Beweis vorführen.) Wegen (2) gibt
es ein n ∈ N mit n · x > M − 1. Es folgt
an ≥ 1 + n · x > M.
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Rückschau: Reelle Zahlen
Fassen wir zusammen: Die reellen Zahlen bilden eine Menge
R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und ·, so dass (R, +, .)
den Eigenschaften (A1)–(A4) für die Addition, (M1)–(M4)
für die Multiplikation und dem Distributivgesetz (D) genügt.
Ferner ist auf R eine mit Addition und Multiplikation verträgliche
vollständige Ordnung erklärt, die also den Eigenschaften (P1)–
(P3) genügt. Mit anderen Worten:
(R, +, ·, <) bildet einen angeordneten Körper.
Gleichfalls bildet (Q, +, ·, <) einen angeordneten Körper.
Um die Eigenschaften der reellen Zahlen vollständig festzulegen reicht dann
neben dem Archimedischen Axiom eine einzige weitere Zusatzanforderung,
die Vollständigkeit , welche wir später diskutieren.
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Elementare Kombinatorik
Aufgabe der Kombinatorik ist das systematische Bestimmen der
Elementanzahl, der Kardinalität, |M | einer endlichen Menge M .
|M | = n bedeutet daher, dass M genau n verschiedene Elemente
hat. Etwas vornehmer ausgedrückt:
|M | = n gilt genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung
f : {1, 2, . . . , n} → M gibt.
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Einschub: Verknüpfung von Abbildungen
Die Verknüpfung (Komposition) zweier Abbildungen f : M → N
und g : N → P ist durch
g ◦ f : M → P,
m 7→ g(f (m))
erklärt. (Die zuerst auszuführende Abbildung steht rechts.)
Satz Die Verknüpfung von zwei bijektiven (injektiven, surjektiven) Abbildungen ist wieder bijektiv (bzw. injektiv, surjektiv).
Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass die Verknüpfung von zwei injektiven (surjektiven) Abbildungen wieder injektiv (bzw. surjektiv) ist. Der Rest folgt. 24
Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung
Wir erinnern uns: Eine Abbildung f : M → N heißt bijektiv,
wenn es zu jedem n ∈ N genau ein m ∈ M mit f (m) = n gibt.
Dies ermöglicht die Definition der Umkehrabbildung zu f .
Die Umkehrabbildung g : N → M der bijektiven Abbildung
f : M → N ordnet jedem n ∈ N das (wegen der Bijektivität
von f ) eindeutig bestimmte Urbild m ∈ M mit f (m) = n zu.
Schreibweise: f −1 := g.
Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M → N ist
wieder bijektiv. Warum?
Eigenschaften: (a) (f −1)−1 = f
(b) (g ◦ f )−1 = g −1 ◦ f −1.
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Zählformeln I
(Z1) |M | = |N | ⇐⇒ Es gibt eine bijektive Abbildung f : M → N .
Beweis. Verwende, dass Verknüpfungen von bijektiven Abbildungen und Umkehrabbildungen wieder bijektiv sind.
(Z2)
|M ∪ N | = |M | + |N |, falls M und N disjunkt sind,
d.h. M ∩ N = ∅ gilt.
Beweis. Zähle erst die Elemente von M , dann die von N ab.
(Z3)
|M × N | = |M | · |N |.
Schreibe M × N als disjunkte Vereinigung der Teilmengen
{m} × N , mit m ∈ M , und zähle ab.
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