Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen - RISC-Linz

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen
Peter Feigl
JKU Linz
[email protected]
0055282
Claudia Hemmelmeir
JKU Linz
[email protected]
0355147
Zusammenfassung
Wir möchten in diesem Artikel die ganzen Zahlen Z über das Axiomensystem des Ringes einführen, und einige grundlegende daraus abgeleitete (und beweisbare) Regeln vorführen.
Ausgehend vom Begriff der abelschen Gruppe über der Addition
werden viele der oftmals ohne Erklärung zugrunde gelegten Sätze und
Theoreme gezeigt. Dies wird erweitert zu Aussagen über die Zusammenhänge der Addition und der Multiplikation.
Unser Ziel ist es, dem Leser zu ermöglichen, die Aussagen der
Schulmathematik bis etwa zur Mittelstufe elementarmathematisch zu
beweisen, ohne auf intuitive Begründungen zurückgreifen zu müssen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung — Motivation
2 Grundlagen
2.1 Verknüpfungsgebilde (Gruppoid)
2.2 Halbgruppe . . . . . . . . . . . .
2.3 Monoid . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Gruppe . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Abelsche Gruppe . . . . . . . . .
2.6 Ring . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Beweise zur Multiplikation
4.1 Die Mächtige Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Additives Inverses durch Multiplikation . . . . . . . .
4.3 Zweimal Minus macht Plus . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Anordnung
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6 Beweise zur Anordnung
6.1 Transitivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Invarianz gegenüber Addition . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Invarianz gegenüber Multiplikation mit positiven Zahlen
6.5 Multiplikation mit negativen Zahlen . . . . . . . . . .
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7 Schluss
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3 Beweise zur Addition
3.1 Eindeutigkeit des Neutralen Elementes
3.2 Eindeutigkeit des Inversen Elementes .
3.3 Inverses des Neutralen Elementes . . .
3.4 Doppeltes Inverses . . . . . . . . . . .
3.5 Gleichung lösen . . . . . . . . . . . . .
3.6 Distributivität des Inversen Elementes
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Einleitung — Motivation
Schon in der Volksschule lernen wir, dass 0 + 1 = 1 und 0 · 13 = 0
ist. Doch warum ist das so? Ist das immer und überall so? Kann man
diese Aussagen beweisen?
Allerdings, aber dafür müssen wir zuerst einige Grundbausteine erarbeiten. In der Mathematik baut man alle Theorien auf sogenannte
Axiome auf.
Definition 1.0.1 Ein Axiom nennt man eine Aussage die selbstverständlich
ist und deshalb keiner Begründung bedarf.
Axiome bilden die Basis der Begründung von Sätzen.
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Grundlagen
2.1
Verknüpfungsgebilde (Gruppoid)
Sehr oft betrachten wir in der Mathematik eine Menge zusammen
mit einer Verknüpfung, die zwei Elemente dieser Menge wieder auf
ein Element derselben Menge abbildet. So ein Gebilde nennt man ein
Verknüpfungsgebilde oder Gruppoid.
Definition 2.1.1 Ein Verknüpfungsgebilde (M, ◦) besteht aus
• einer Menge M
• einer Verknüpfung (Operation) ◦ über M (◦ : M × M → M) so
dass
∀a, b ∈ M : a ◦ b ∈ M
2.2
Halbgruppe
In vielen Fällen soll die Reihenfolge der Berechnung einer Folge von
Termen unabhängig davon sein, ob man von links oder rechts beginnt.
Diese Eigenschaft nennt man Assoziativität.
Definition 2.2.1 Wenn die Verknüpfung in einem Verknüpfungsgebilde
nun assoziativ ist
∀a, b, c ∈ M : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
so heißt die Struktur (M, ◦) Halbgruppe.
1
2.3
Monoid
Es kann vorkommen, dass in einer Halbgruppe nun spezielle Elemente vorkommen, die besondere Eigenschaften haben. Falls es etwa ein
Element gibt, das mit jedem Element der Halbgruppe verknüpft wieder eben dieses Element ergibt (sich also neutral bzw. unverändernd
gegenüber der Verknüpfung verhält), so nennt man dieses Element
neutral.
Definition 2.3.1 Wenn eine Halbgruppe
• ein neutrales Element (∃n ∈ M : ∀a ∈ M : a ◦ n = n ◦ a = a)
besizt, so heißt sie Monoid.
2.4
Gruppe
Eine andere Art von speziellen Elementen sind sogenannte “Inverse”
zu einem Element der Menge. Invers deshalb, weil es verknüpft mit
dem jeweiligen “Original” das neutrale Element ergibt.
Definition 2.4.1 Besitzt jedes Element in einem Monoid
• ein inverses Element (∀a ∈ M : ∃a0 ∈ M : a ◦ a0 = a0 ◦ a = n)
so heißt das Monoid Gruppe.
2.5
Abelsche Gruppe
Manchmal ist es wünschenswert, dass die Reihenfolge in der Elemente
verknüpft werden, keine Rolle spielt. Da dies sehr oft auf natürliche
Weise der Fall ist, nennt man in diesem Spezialfall die Verknüpfung
(und auch die Gruppe) kommutativ oder abelsch1 .
Definition 2.5.1 Wenn die Operation in einer Gruppe kommutativ
ist
∀a, b ∈ M : a ◦ b = b ◦ a
so heißt die Gruppe abelsch (oder kommutativ).
1
nach Niels Henrik Abel, 1802-1829
2
2.6
Ring
Nun wollen wir unsere Strukturen erweitern, um auch die Zusammenhänge zwischen zwei Operationen untersuchen zu können.
Definition 2.6.1 Eine Menge M, versehen mit zwei binären Operationen ⊕ und ⊗ heißt Ring ((R, ⊕, ⊗) wenn
• (R, ⊕) eine Abelsche Gruppe,
• (R, ⊗ eine Halbgruppe ist und
• die “Distributivgesetze” gelten:
– a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
– (b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a)
Falls (R, ⊗) kommutativ ist, so heißt der Ring kommutativ. Besitzt
(R, ⊗) ein neutrales Element, so heißt er Ring mit Einselement.
3
Beweise zur Addition
Aufbauend auf die obigen Axiome betrachten wir nun die Menge Z,
auch die “ganzen” Zahlen genannt, und können nun, unter anderem,
beweisen, dass 1 + 0 = 1 ist.
(Z, +) ist eine abelsche Gruppe, somit bauen alle Beweise hier auf
die Gruppenaxiome auf, die bewiesenen Regeln gelten in jeder Gruppe.
3.1
Eindeutigkeit des Neutralen Elementes
Wie bereits erwähnt, besitzt jede Gruppe ein neutrales Element {em
n}. Dieses ist aufgrund der Axiome eindeutig, wie sich leicht zeigen
lässt, indem wir annehmen es gäbe ein zweites, von n verschiedenes
neutrales Element, und dann zeigen, dass diese Annahme zu einem
Widerspruch führt.
Beweis 3.1.1 Angenommen es gibt ein von n verschiedenes neutrales
Element n0 ∈ Z (mit a + n0 = a)
Dann gilt aber n + n0 = n. Da n ebenfalls neutral ist, gilt auch
n + n0 = n0 . Daraus folgt
n = n + n0 = n0
Also muss n gleich n0 sein, es gibt also nur ein einziges, eindeutig
bestimmtes, neutrales Element in Z, welches wir gebräuchlicherweise
als 0 bezeichnen.
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3.2
Eindeutigkeit des Inversen Elementes
Ebenso ist das inverse Element für jede Zahl eindeutig. Dies lässt sich
durch einen Widerspruchsbeweis betreffend die Annahme eines zweiten Inversen wie bei der Eindeutigkeit des Neutralen Elementes zeigen.
Beweis 3.2.1 Sei x ∈ Z und −x ∈ Z das inverse dazu. Angenommen es gäbe ein von −x verschiedenes −x0 ∈ Z für das ebenfalls gilt:
x + (−x0 ) = 0. Dann ist
−x = −x + 0
wegen der Neutralität der Null
0
= −x + x + (−x )
wegen dem Inversen
0
= (−x + x) + (−x )
wegen der Assoziativität
0
= 0 + (−x )
0
= −x
3.3
wegen dem Inversen
wegen er Neutralität der Null
Inverses des Neutralen Elementes
Es stellt sich die Frage, ob auch 0 (und somit unser neutrales Element)
ein inverses Element besitzt.
Beweis 3.3.1 Unser Ziel ist es zu zeigen, dass −n = n. Aus den
Axiomen wissen wir, dass a + n = a ist, also auch n + n = n sein
muss. Außerdem muss auch n + (−n) = n sein.
Wie wir eben gezeigt haben, ist das inverse Element eindeutig bestimmt, also ergibt sich aus n + n = n und n + (−n) = n, dass n = −n
ist.
3.4
Doppeltes Inverses
Was passiert, wenn wir ein Element zweimal invertieren?
Beweis 3.4.1 Wir wollen zeigen, dass −(−x) = x. Laut den Axiomen ist −(−x) das Inverse von −x. Außerdem wissen wir, dass −x
das Inverse von x ist (also auch x das Inverse von −x).
Da aber laut dem Beweis oben das Inverse eindeutig ist, muss nun
x = −(−x) sein.
4
3.5
Gleichung lösen
Wir können nun in unserem System bereits Lösungen für einfache
Gleichungen der Form a + x = b für x berechnen.
Beweis 3.5.1 Wir zeigen, dass x = b + (−a) die einzige Lösung für
obige Gleichung ist.
• x = b + (−a) löst die Gleichung:
a + x = a + (b + (−a))
Einsetzen
= a + ((−a) + b)
Kommutativität
= (a + (−a)) + b
Assoziativität
=0+b
Inverses Element
=b
Neutrales Element
• Diese Lösung ist die einzige:
Sei y irgendeine von x verschiedene Zahl mit a + y = b. Dann
erhalten wir durch Addition von −a auf beiden Seiten:
−a + (a + y) = −a + b
Die linke Seite dieser Gleichung ist wegen (−a+a)+y = 0+y = y
gleich y. Somit muss y gleich x sein, x ist eindeutig.
Definition 3.5.1 a − b := a + (−b)
Für a+(-b) schreiben wir abkürzend a-b.
3.6
Distributivität des Inversen Elementes
Inverse von einfachen Elementen haben wir nun berechnet, doch wie
sieht zum Beispiel das Inverse von x + y aus?
Beweis 3.6.1 Laut den Axiomen ist (x + y) + (−(x + y)) = 0. Durch
die Addition von −x auf beiden Seiten ergibt sich:
y + (−(x + y)) = −x
Dies lässt sich als Gleichung y + z = −x anschreiben. Laut obigem
Beweis hat diese Gleichung die eindeutige Lösung z = −x − y. Somit
ist
−(x + y) = −x − y
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4
Beweise zur Multiplikation
Da alle Zahlen in Z außer Eins kein Inverses bezüglich der Multiplikation haben, ist (Z, ·) keine Gruppe, sondern nur ein kommutatives
Monoid. (Eindeutiges) neutrales Element ist 1 (Beweis wie oben).
Zusätzlich zum Assoziativ- und Kommutativgesetz gibt es nun – um
Addition und Multiplikation zu verbinden – noch das Distributivgesetz.
Definition 4.0.1 Distributivgesetz:
∀a, b, c ∈ Z : a · (b + c) = a · b + a · c
4.1
Die Mächtige Null
Es gibt einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen der Multiplikation und dem neutralen Element der Addition (also der Null). In der
Schule haben wir gelernt, dass 13 · 0 = 0 ist. Gilt dies aber für jede
Zahl x, dass x · 0 = 0 ist?
Beweis 4.1.1 Jede Zahl multipliziert mit Null ergbit Null.
x · 0 = x · (0 + 0)
Neutrales Element
=x·0+x·0
Distributivität
Durch Subtraktion von x · 0 auf beiden Seiten erhalten wir
x·0+x·0−x·0=x·0−x·0
x·0=0
4.2
Additives Inverses durch Multiplikation
Ist es möglich das additive Inverse durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl zu berechnen?
Beweis 4.2.1 : Wir zeigen, dass −1 · x gleich −x ist.
x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x multiplikatives neutrales Element
= (1 − 1) · x
Distributivität
=0·x
additives inverses Element
=0
Somit ist (−1) · x das additive Inverse von x und muss somit wegen
der Eindeutigkeit des Inversen gleich −x sein.
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4.3
Zweimal Minus macht Plus
Darauf aufbauend lässt sich auch leicht zeigen, dass (−x)·(−y) = x·y.
Beweis 4.3.1 (−x) · (−y) = x · y
(−x) · (−y) = (−x) · (−1) · y
obiger Beweis
= (−1) · (−x) · y
Kommutativität
= (−(−x)) · y
=x·y
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obiger Beweis
Doppeltes Inverses
Anordnung
Nach diesen Beweisen ist es uns nun möglich, bereits in den ganzen
Zahlen mit Addition, Subtraktion und Multiplikation zu rechnen. Allerdings haben wir noch keinen Weg um die für uns intuitiv vorhandene
Ordnung der ganzen Zahlen mathematisch zu beschreiben.
Definition 5.0.1 Alle Zahlen in N sind positiv: x > 0 :⇔ x ∈ N
Hierauf aufbauend können wir nun die Relation > allgemein definieren
als
Definition 5.0.2 x > y :⇔ x − y > 0
Als abkürzende Schreibweise vereinbaren wir:
• x < y :⇔ y > x
• x ≥ y :⇔ x > y ∨ x = y
• x ≤ y :⇔ x < y ∨ x = y
Es gelten nun die folgenden Axiome:
• Trichotomie: ∀x ∈ Z : x > 0 ∨ x = 0 ∨ −x > 0
• Abgeschlossenheit +: ∀x, y ∈ Z : x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x + y > 0
• Abgeschlossenheit ·: ∀x, y ∈ Z : x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x · y > 0
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6
6.1
Beweise zur Anordnung
Transitivität
Wenn x < y und y < z, dann ist x < z.
Beweis 6.1.1 Die Voraussetzung lässt sich als y−x > 0 und z−y > 0
anschreiben, wegen der Abgeschlossenheit gegenüber der Addition darf
man diese beiden addieren. So erhält man:
(y − x) + (z − y) > 0 ⇔ z − x > 0 ⇔ x < z
6.2
Spiegelung
Wenn man auf beiden Seiten der Ordnung das Inverse bildet, kehrt
sich < in > um, und umgekehrt.
Beweis 6.2.1 x < y ⇔ −x > −y
x < y entspricht laut Definition y − x > 0. Hieraus ergibt sich:
y − x > 0 ⇔ y + (−x) > 0
⇔ −x + y > 0
6.3
Definition −
Kommutativität
⇔ −x − (−y) > 0
Beweis oben
⇔ −x > −y
Definition >
Invarianz gegenüber Addition
Die Anordnung verändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die
gleiche Zahl addiert.
Beweis 6.3.1 x < y ⇒ a + x < a + y
a + x < a + y lässt sich auch als (a + y) − (a + x) > 0 anschreiben und
zu y − x > 0 vereinfachen, das ist dasselbe wie x < y.
6.4 Invarianz gegenüber Multiplikation mit positiven Zahlen
Ebenso bleibt die Anordnung erhalten, wenn man mit einer positiven
Zahl multipliziert.
Beweis 6.4.1 x < y ∧ a > 0 ⇒ a · x < a · y
x < y ist laut Definition dasselbe wie y − x > 0, somit können wir die
Abgeschlossenheit der Multiplikation anwenden, und kommen auf:
a · (y − x) > 0
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Wegen des Distributivgesetzes entspricht dies a · y − a · x > 0.
Das ist aber genau a · x < a · y.
6.5
Multiplikation mit negativen Zahlen
Wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert, so verwandelt sich das Größer- in ein Kleiner-Zeichen und umgekehrt.
Beweis 6.5.1 x < y ∧ a < 0 ⇒ a · x > a · y
Wenn a < 0, so folgt aus dem Beweis der Spiegelung dass −a > 0.
Wegen der Invarianz von > gegenüber der Multiplikation mit positiven Zahlen dürfen wir nun beide Seiten mit −a multiplizieren, und
erhalten −a · x < −a · y.
Wenden wir hierauf nun die Spiegelung an, so erhalten wir
a·x>a·y
7
Schluss
Wie aus den vorhergehenden Seiten ersichtlich, sind viele der Beweise betreffend unsere “Volksschulmathematik” nicht sehr kompliziert,
doch oftmals sind kleine “Tricks” nötig, um zum Ziel zu gelangen. Dies
zeigt, dass diese Beweise notwendig sind und nicht einfach als trivial
abgetan werden können.
Wir hoffen, dass der Leser nun einen Einblick in diese für die gesamte Mathematik wichtigen Basisbausteine und die Wichtigkeit der
sie betreffenden Beweise erhalten hat. Auf die hier getroffenen Aussagen aufbauend kann eine ganze Reihe von weiteren Theorien betreffend
die ganzen Zahlen bewiesen werden.
Möge der Leser in diesem Artikel die Grundlagen für weitere Beweise finden.
Literatur
[1] S. Bosch. Algebra. Springer, 2004.
[2] I. N. Bronstein and K. A. Semendjajew. Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2000.
[3] O. Forster. Analysis 1. vieweg, 2003.
[4] H. Heuser. Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Teubner, 2003.
[5] H. Koch. Einführung in die Mathematik. Springer, 2002.
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