Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen
0, 1, 2, 3, . . . nichts mit dem reellen Zahlen zu tun.
Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!) bettet sich die Menge
N der natürlichen Zahlen jedoch in die Menge R der reellen Zahlen per Zuordnung
n-mal
z
}|
{
n 7→ nR = 1 + 1 + · · · + 1
ein. Wir identifizieren n mit nR . Somit N ⊆ R.
Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus allen Differenzen
m − n mit m, n ∈ N. Somit Z ⊆ R.
Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen
Quotienten m
n mit m, n ∈ Z, n 6= 0. Somit Q ⊆ R.
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Das Archimedische Axiom
Eine wichtige Eigenschaft der Anordnung der rellen Zahlen wird
durch das Archimedische Axiom ausgedrückt:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit
.
x≤n
Das Axiom beschreibt, wie die Menge N der natürlichen Zahlen
in derjenigen R der reellen Zahlen gelegen ist.
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Folgerungen I
(1)
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine ganze Zahl n mit
n ≤ x < n + 1.
Es ist n durch x eindeutig bestimmt.
Schreibweise: n =: [x].
Beweis: Wähle n ∈ Z minimal mit x < n + 1.
(2)
Sind x, y > 0, so existiert n ∈ N mit n · x > y.
Beweis: Wähle n ∈ N mit
y < n · x.
y
x
< n. Multiplikation mit x > 0 zeigt
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Folgerungen II
n−mal
}| {
Die n-te Potenz einer rellen Zahl a ist an := a · a · · · a.
z
(3)
Sei a > 1, dann gibt es zu jedem reellen M > 0 eine
natürliche Zahl n, so dass an > M .
Beweis: Schreibe a = 1 + x mit x > 0 und wende (Übungen) die
Bernouillische Ungleichung
an = (1 + x)n ≥ 1 + n · x
an. Wegen (2) gibt es ein n ∈ N mit n · x > M − 1. Es folgt
an ≥ 1 + n · x > M.
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Rückschau: Reelle Zahlen
Fassen wir zusammen: Die rellen Zahlen bilden eine Menge R
mit zusammen mit zwei Verknüpfungen + und ·, so dass (R, +, .)
den Eigenschaften (A1)–(A4) für die Addition, (M1)–(M4)
für die Multiplikation und dem Distributivgesetz (D) genügt.
Ferner ist auf R eine mit Addition und Multiplikation verträgliche
vollständige Ordnung erklärt, die also den Eigenschaften (P1)–
(P3) genügt. Mit anderen Worten:
(R, +, ·, <) bildet einen angeordneten Körper.
Gleichfalls bildet (Q, +, ·, <) einen angeordneten Körper.
Um die Eigenschaften der reellen Zahlen vollständig festzulegen
reicht eine einzige weitere Anforderung die Vollständigkeit , die
im kommenden Semester diskutiert wird.
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Elementare Kombinatorik
Aufgabe der Kombinatorik ist das systematische Bestimmen der
Elementanzahl, der Kardinalität, |M | einer endlichen Menge M .
|M | = n bedeutet daher, dass M genau n verschiedene Elemente
hat. Etwas vornehmer ausgedrückt:
|M | = n gilt genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung
f : {1, 2, . . . , n} → M gibt.
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Einschub: Verknüpfung von Abbildungen
Die Verknüpfung (Komposition) zweier Abbildungen f : M → N
und g : N → P ist durch
g ◦ f : M → P,
m 7→ g(f (m))
erklärt. (Die zuerst auszuführende Abbildung steht rechts.)
Satz Die Verknüpfung von zwei bijektiven (injektiven, surjektiven) Abbildungen ist wieder bijektiv (bzw. injektiv, surjektiv).
Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass die Verknüpfung von zwei injektiven (surjektiven) Abbildungen wieder injektiv (bzw. surjektiv) ist. Der Rest folgt. 7
Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung
Wir erinnern uns: Eine Abbildung f : M → N heißt bijektiv,
wenn es zu jedem n ∈ N genau ein m ∈ M mit f (m) = n gibt.
Dies ermöglicht die Definition der Umkehrabbildung zu f .
Die Umkehrabbildung g : N → M der bijektiven Abbildung
f : M → N ordnet jedem n ∈ N das (wegen der Bijektivität
von f ) eindeutig bestimmte Urbild m ∈ M mit f (m) = n zu.
Schreibweise: f −1 := g.
Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M → N ist
wieder bijektiv. Warum?
Eigenschaften: (a) (f −1)−1 = f
(b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1.
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Zählformeln I
(Z1) |M | = |N | ⇐⇒ Es gibt eine bijektive Abbildung f : M → N .
Beweis. Verwende, dass Verknüpfungen von bijektiven Abbildungen und Umkehrabbildungen wieder bijektiv sind.
(Z2)
|M ∪ N | = |M | + |N |, falls M und N disjunkt sind,
d.h. M ∩ N = ∅ gilt.
Beweis. Zähle erst die Elemente von M , dann die von N ab.
(Z3)
|M × N | = |M | · |N |.
Diese Formel haben wir bereits durch Induktion bewiesen.
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Zählformeln II
(Z4) Eine n-elementige Menge hat genau 2n Teilmengen.
Wurde bereits durch Induktion bewiesen.
Sei M eine m-elementige und N eine n-elementige Menge.
(Z5)
Dann gibt es genau nm Abbildungen von M nach N .
Beweis. Für jedes Element von M haben wir n Möglichkeiten, das Bild
einer Abbildung f : M → N zu erklären. Diese Wahlen sind unabhängig
voneinander möglich. Es gibt somit genau n
| · n{z· · · n} Möglichkeiten.
m-mal
Die Menge Sn aller Permutationen einer n-elementigen
(Z6)
Menge hat genau n! Elemente.
Wurde früher per Induktion gezeigt.
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Anzahl der k-elementigen Teilmengen
einer n-elementigen Menge
Die Anzahl der k-elementigen
Teilmengen einer
(Z7) n-elementige Menge ist n := n(n−1)···(n−k+1) =
n!
.
k
1·2···k
k!(n−k)!
Beweis durch Induktion nach n. Der Beweis folgt dem Muster der
Anzahlermittlung aller Teilmengen.
Induktionsverankerung: Für n = 1 ist die Gültigkeit leicht zu sehen.
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Induktionsschritt von n auf n + 1: Sei A eine k-elementige Teilmenge der
(n + 1)-elementigen Menge {m1 , . . . , mn+1 } und M = {m1 , . . . , mn} .
Wir unterscheiden zwei Fälle
mn+1 ∈
/A
mn+1 ∈ A
In diesem Fall gilt
A⊆M .
Hierfür gibt es nach Induktions
n
voraussetzung k Möglichkeiten
Gesuchte Anzahl daher:
n n +
k
k−1
=
=
=
In diesem Fall hat A die Form
A = A0 ∪ {mn+1 }
mit einer Teilmenge A0 von M .
n
Hierfür nach I.V. k−1 Möglichkeiten
n!
n!
+
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k + 1)!
n!(n + 1 − k)! + n!k!
k!(n + 1 − k)!
n + 1 n!(n + 1)
=
.
k!(n + 1 − k)!
k
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