Ubungen zu ”Abbildungen und Funktionen”

1 Übungen zu ”Trigonometrie”
Aufgabe 1:
(i) Zeigen Sie dass für eine ungerade Funktion f : D → R mit 0 ∈ D gilt:
f (0) = 0.
(ii) Was gilt für die Summe bzw. das Produkt von geraden / ungeraden Funktionen? Was gilt für
1
f bei einer geraden / ungeraden Funktion f ?
(iii) Was gilt für die Verkettung von zwei ungeraden Funktionen?
Aufgabe 2:
(i) Berechnen Sie 135◦ im Bogenmaß.
(ii) Berechnen Sie 5◦ im Bogenmaß.
(iii) Geben Sie Grad- und Bogenmaß des Winkels α an, der aus einem Kreis mit Radius r = 3 einen
Bogen der Länge 5 herausschneidet.
Aufgabe 3:
cos x und sin x sind als die Koordinaten eines gewissen Punktes P = (cos x, sin x) auf dem Einheitskreis
definiert (vgl. Skript); daher: cos2 x + sin2 x = 1.
(i) Bestimmen Sie cos x und sin x für (1) x =
3
7
π, (2) x = π
4
4
(ii) Begründen Sie (am Einheitskreis):
π
sin
− x = cos x
2
sin(π − x) = sin x
,
,
cos
π
2
− x = sin x
cos(π − x) = − cos x
Aufgabe 4:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion über einem geeigneten Intervall und diskutieren Sie die
Wirkung der Koeffizienten und der additiven Konstanten:
f3 (x) = −2 sin x
1
f4 (x) = sin(2x) , f5 (x) = sin
x
2
π
π
f6 (x) = sin x +
, f7 (x) = sin x −
.
2
2
f1 (x) = sin x
,
f2 (x) = 2 sin x
,
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie alle x mit sin x =
1
2
Aufgabe 6:
Beziehungen zwischen sin, cos, tan, cot. Vereinfachen Sie:
(i) cos x + sin x tan x
(ii)
1
1
+
.
1 + tan x
1 + cot x
Aufgabe 7:
Anwendung der Additionstheoreme für cos und sin:
(i) Berechnen Sie cos
π
π
und sin :
3
3
cos
π
6
,
sin
π
6
,
cos
2π
3
,
sin
2π
3
(ii) Zeigen Sie, daß für x, y ∈ R gilt:
sin x + sin y = 2 sin
(iii) Vereinfachen Sie:
x +y
x −y
cos
2
2
√
√
1 + cos x · 1 − cos x
(iv) Finden Sie eine Formel im Skript, mit der man folgende Aussage (vgl. 6. in Folgerung 5.9 des
Skripts) leicht beweisen kann:
1 − cos x
x
tan2
=
.
2
1 + cos x
q
x
Kann man daraus tan x2 = 1−cos
1+cos x folgern?
Aufgabe 8∗ :
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
(i) Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(arcsin x +arccos x), und zeigen Sie damit, dass für alle x ∈ R
mit |x| ≤ 1 gilt:
π
arcsin x + arccos x = .
2
(ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion
r π
1
f : 0,
→ R mit f (x) = tan x 2 .
2
3