PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1: Übungsblatt 6

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1
WS 2016/17
Übungsblatt 6
Prof. J. Lipfert
Übungsblatt 6 Lösung
Besprechung am 06.12.2016/08.12.2016
Aufgabe 1
Gravitation.
a) Es gilt:
GMm
GM
= gm ⇒ g = 2
2
r
r
−11 m 3
6.67
·
10
· 7.349 · 1022 kg
GmMond
m
gErde
kgs 2
=
= 2
= 1.62 2 ≈
6
2
rMond
(1.738 · 10 m)
s
6
F (r ) =
⇒ gMond
(1)
(2)
b) Die Kräfte sollen sich aufheben, müssen also die gleichen Beträge haben. Auf der
Linie zwischen Erde und Mond zeigen sie in entgegengesetzte Richtung. Es muss
gelten:
FE (rE ) = FM (rM )
(3)
wobei FE /M die Gravitationkraft der Erde/des Mondes und rE /M der Abstand von
der Erde/des Mondes sind. Der Punkt des Kräftegleichgewichtes ist auf der Linie
vom Erd- zum Mondmittelpunkt, deshalb gilt r = rE + rM Somit:
FE (rE ) =FM (r − rE )
GmErde m GmMond m
=
rE2
(r − rE )2
2
r − rE
mMond
=
rE
mErde
r
r
mMond
−1=
rE
mErde
r
−1
mMond
⇒ rE = r
+1
=3.844 · 105 km
mErde
(4)
(5)
(6)
(7)
r
1
+1
81
!−1
= 3.460 · 105 km
(8)
c) Obwohl die Gravitationskraft vom Abstand der sich anziehenden Objekte abhängt,
nehmen wir an, dass sie auf dem Beschleunigungsweg konstant ist, da der Beschleunigungsweg vernachlässigbar gegenüber dem Abstand von Erde zu Mond ist.
Wir suchen die Beschleunigung des Mondes zur Erde hin, diese ist gleich der Zentripetalbeschleunigung die der Mond auf seiner Umlaufbahn normalerweise hat.
1
Es gilt:
v2
FZ =mMond a = mMond
= mMond
r
4π 2 rMond
⇒ a=
T2
2πrMond 2
T
rMond
= mMond
4π 2 rMond
T2
(9)
(10)
nun berechnen wir die Strecke, die bei konstanter Beschleunigung in 60 s zurückgelegt wird:
2π 2 rMond 2
1
2π 2 · 3.844 · 108 m
2
s = at 2 =
t
=
2 · (60 s) = 4.90 m
2
2
T
(27.3 · 24 · 3600 s)
(11)
Aufgabe 2
Loop the Loop, revisited. Sie sind auf Coney Island und möchten mit der Achterbahn dort fahren. Die Achterbahn hat einen Loop und Sie möchten sicherstellen,
dass auch nicht angeschnallte Passagiere am höchsten Punkt des Loops nicht aus der
Achterbahn fallen. Die Achterbahn kann als reibungslos angenommen werden. Der
Loop hat einen Radius R = 10 m, die Erdbeschleunigung ist g = 9.81 m/s 2 .
a) Damit niemand aus dem Wagen fällt, muss die Zentripetalkraft die Erdanziehungskraft ausgleichen:
FZ = Fg ⇔ m
2
p
vmin
= mg ⇒ vmin = gR
r
(12)
b)
vmin =
p
r
m
m
gR = 9.81 2 · 10 m = 9.90
s
s
(13)
c) Die potentielle Energie, die der Wagen in Starthöhe besitzt, wird in kinetische
Energie umgewandelt:
Ekin = Epot ⇔
1 2
v2
gR
R
mvmin = mg∆hmin ⇒ ∆hmin = min =
=
2
2g
2g
2
(14)
d) Damit der Wagen im Scheitelpunkt die Geschwindigkeit vmin hat, muss er um ∆h
über dem Scheitelpunkt los fahren:
h = hScheitel + ∆h = 2R +
2
R
5
5
= R = · 10 m = 25 m
2
2
2
(15)
Aufgabe 3
Weltrettung à la Armageddon. Sie sind damit beauftragt, eine Raumsonde mit
Bohrspezialisten auf einem Kometen landen zu lassen, der auf die Erde zurast und
sie unbewohnbar machen würde. In dem Kometen soll eine thermonukleare Detonationsladung plaziert werden, die ihn in Stücke reißen und somit ungefährlich machen
soll. Der Komet hat ungefähr die Größe von Texas und damit einen Radius von
R = 635 km und eine Masse von mKomet = 5.36 · 1020 kg. Sie können den Kometen näherungsweise als Kugel annehmen. Die Raumsonde mit den Bohrspezialisten
hat insgesamt eine Masse von mSonde = 5.0 · 104 kg. Die Gravitationskonstante ist
m3
G = 6.67 · 10−11 kg·s
2.
a) Damit sich ein Körper von einem anderen Körper in die Unendlichkeit entfernen
kann, muss seine kinetische Energie gleich der potentiellen Energie im Bezug auf
den anderen Körper sein. Die Potentielle Energie berechnet sich wie folgt:
∞
Z ∞
Z ∞
1
1
GMm
(16)
Epot =
drFg (r ) = GMm
dr 2 = GMm −
=
r
r R
R
R
R
wobei R der Abstand des sich fort bewegenden Körpers vom Mittelpunkt des
anderen ist. Es muss nun gelten:
r
1 2
2GM
GMm
Ekin = Epot ⇔ mvF =
⇒ vF =
(17)
2
R
R
b) Mit der hergeleiteten Formel berechnen wir:
s
r
m3
20 kg
2 · 6.67 · 10−11 kgs
2 · 5.36 · 10
m
2GmKomet
=
= 335.56
vF =
3
R
635 · 10 m
s
(18)
c) Da es sich um einen elastischen Stoß handelt, gilt sowohl Energie- als auch Impulserhaltung:
p =p 0
E =E 0
1
1
1
mS vS2 = mS vS02 + mK vK02
2
2
2
2
mS vS − mK vK02
vS02 =
mS
mS vS =mS vS0 + mK vK0
vK0 =
mS (vS − vS0 )
mK
(19)
(20)
(21)
Einsetzen von vK0 in die Gleichung für vS0 führt auf eine quadratische Gleichung
für vS0 :
2
2
mS
2mS2
mS
02
0
+ 1 vS −
vS vS +
− 1 vS2 = 0
(22)
mK
mK
mK
Da hier
auf:
mS2
mK
∼ 10−12 kann
mS2
mK
vernachlässigt werden. Damit reduziert sich (22)
vS02 − vS2 = 0 ⇒ vS0 = ±vS
3
(23)
Die Raumsonde bewegt sich also mit der gleichen Geschwindigkeit vom Kometen
weg, mit der sie auf ihn aufgetroffen ist. Damit die Raumsonde im Schwerefeld
des Kometen bleibt, muss die Landegeschwindigkeit kleiner sein als die Fluchtgeschwindigkeit.
d) Hier gilt nur Impulserhaltung, außerdem gilt vS0 = vK0 . Damit berechnet sich die
Geschwindigkeit des Kometen nach dem Auftreffen der Raumsonde wie folgt:
mS vS =mS vS0 + mK vK0 = (mS + mK ) vK0
mS
5.0 · 104 kg
m
m
mS
vS ≈
vS =
· 30
= 2.80 · 10−15
⇒ vK0 =
20
mS + mK
mK
5.36 · 10 kg
s
s
4
(24)
(25)