Blatt 13: Poisson-Klammern und Hamilton

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2017
Dozent: Ulrich Schollwöck
Übungen: Nils-Oliver Linden, Dennis Schimmel,
Andreas Swoboda
https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T1_theor_
mechanik/index.html
Blatt 13: Poisson-Klammern und Hamilton-Formalismus
Ausgabe: Freitag, 14.07.17; Abgabe: Freitag, 21.07.17, 13:00
Bitte melden Sie sich bis zum 27.07.2017 im LSF für die T1 Klausur an. Weitere Hinweise hierzu
finden Sie auf der Vorlesungswebpage unter dem Reiter “News”.
Hausaufgabe 1: Poisson-Klammern [5]
Beweisen Sie folgende Regeln für das Rechnen mit Poisson-Klammern (U , V und W sind Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten und Impulse, c und d sind Konstanten):
(a) Antisymmetrie
{U, V } = −{V, U }
(1)
{cU + dV, W } = c{U, W } + d{V, W }.
(2)
{U V, W } = {U, W }V + U {V, W }
(3)
{W, U V } = U {W, V } + {W, U }V
(4)
{U, {V, W }} + {V, {W, U }} + {W, {U, V }} = 0.
(5)
und Distributivität
(b) Faktorisierung
und
(c) Jacobi-Identität
Hausaufgabe 2: Poisson-Klammern und Drehimpuls-Algebra [5]
Wir betrachten ein System von N Teilchen, mit folgender Lagrange-Funktion:
X
X
ml 2
1
L(r, ṙ) = T (ṙ) − V (r), T (ṙ) =
ṙ
,
V
(r)
=
v (dkl ) , dkl = |rk − rl |.
2 l
2
l
k6=l
Dabei ist v(r) eine beliebige Funktion und r = {r1 , r2 , . . . , rN }. Die Wechselwirkung der Teilchen findet also paarweise statt und hängt nur vom Abstand der Teilchen zueinander ab. Der
Gesamptdrehimpuls L ist definiert durch
X
L(r, p) =
ri × pi ,
i
wobei p = {p1 , p2 , . . . , pN } den kanonischen Impuls bezeichnet.
(a) Finden Sie den kanonischen Impuls und bestimmen Sie die Hamiltonfunktion.
1
(b) Berechnen Sie für die Drehimpuls-Komponenten Lα , mit α = x, y, z, die Poisson-Klammern
(i) zwischen Lα und der kinetischen Energie und (ii) zwischen Lα und der potentiellen Energie,
und zeigen Sie, dass L eine Erhaltungsgröße ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Komponenten des Drehimpulses folgende Beziehung erfüllen:
{Lα , Lβ } = αβγ Lγ
(αβγ = Levi-Civita-Tensor).
Hausaufgabe 3: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld [12]
In der Elektrodynamik ist es nützlich, das elektrische Feld E und das magnetische Feld B durch
ein skalares Potential φ und ein Vektorpotential A zu beschreiben. Es gilt:
1
E = −∇φ − ∂t A,
c
B = ∇ × A.
(6)
Die relativistische Lagrange-Funktion für ein Teilchen mit Ladung q und Masse m im elektromagnetischen Feld kann geschrieben werden als:
p
q
(7)
L(r, ṙ, t) = −mc2 1 − ṙ2 /c2 − qφ(r, t) + ṙ · A(r, t).
c
Bemerkung: Wir vernachlässigen den Effekt des Teilchens auf das elektromagnetische Feld.
(a) Berechnen Sie den kanonischen Impuls und die Hamilton-Funktion.
Bestimmen Sie die relativistische Korrektur zum “kinetischen Impuls” pkin = mṙ in erster
nicht-verschwindender Ordnung.
Welchen Effekt hat das Vektorpotential A auf den kanonischen Impuls (wie hängen der
kanonische Impuls bei A = 0 und bei A 6= 0 zusammen)?
Hinweis: Die relativistische Korrektur ist in Abwesenheit der elektromagnetischen Potentiale
vorhanden und zu bestimmen.
Im Folgenden wollen wir den nicht-relativistischen Limes |ṙ|/c 1 betrachten. Hierfür vernachlässigen wir Terme der Ordnung (ṙ/c)2 und höher (Ein Magnetfeld geht erst in Ordnung
(ṙ/c)1 in die Wirkung ein, daher wollen wir diese Ordnung noch mitnehmen).
(b) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Funktion bis einschließlich erster Ordnung in ṙ/c wie folgt lautet
und bestimmen Sie die Konstante L0 :
q
1
L(r, ṙ, t) = L0 + mṙ2 − qφ(r, t) + ṙ · A(r, t) + O (ṙ/c)2 .
2
c
(8)
Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion eines nicht-relativistischen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld.
(c) Bestimmen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
Finden Sie die Kraft Fem , welche ein elektromagnetisches Feld auf ein nicht-relativistisches
Teilchen ausübt und drücken Sie diese durch E und B aus.
2
R
(d) Wir betrachten nun konkret das Potential φ(x, y, z) = 0, A(x, y, z) = (0, αx, 0)T , mit α ∈ .
Berechnen Sie das zugehörige elektrische und magnetische Feld und lösen Sie die Bewegungsgleichungen unter der Anfangsbedingung r(0) = 0, ẏ(0) = 0 = ż(0). Es gibt also noch einen
freien Parameter, v = ẋ(0).
Skizzieren Sie für diesen Fall die Form der Phasenraumtrajektorien in der (x, px )- und der
(y, py )-Ebene für unterschiedliche Werte von v. Skizzieren Sie für diesen Fall außerdem die
Form der Trajektorien in der (x, ẋ)- und der (y, ẏ)-Ebene für unterschiedliche Werte von v.
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 22]
3