Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 2. 12. 2005
Aufgabe 7. Geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld (7 Punkte)
Wir betrachten ein geladenes Teilchen (Masse m, Ladung q) in einem elektromagnetischen Feld
E, B im Vakuum; das elektrische Feld E und das Magnetfeld B können bekanntlich aus einem
skalaren Potential Φ(x, t) und einem Vektorpotential A(x, t) hergeleitet werden: E = −∇Φ− ∂A
∂t
bzw. B = ∇ × A. Die Felder E und B sind hierbei invariant unter Eichtransformationen, wobei die alten“ Potentiale (Φ, A) durch neue“ Potentiale (Φ′ , A′ ) der Form Φ′ = Φ + ∂Λ
∂t ,
”
”
′
A = A − ∇Λ ersetzt werden und Λ(x, t) beliebig ist. Aus der Klassischen Mechanik ist bereits bekannt, dass die Dynamik eines klassischen geladenen Teilchens unter der Einwirkung der
1
(p − qA)2 + qΦ beschrieben wird.
Lorentz-Kraft durch die Hamilton-Funktion H(x, p) = 2m
Wir untersuchen nun die Quantendynamik des Teilchens mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung
i~
∂ψ
= Ĥψ
∂t
,
Ĥ =
1
(p̂ − qA)2 + qΦ ,
2m
wobei p̂ = ~i ∇ den Impulsoperator darstellt und (p̂−qA)2 als (p̂−qA) (p̂−qA) zu interpretieren
ist. Da die physikalischen Felder E und B invariant sind unter Eichtransformationen, müssen
offensichtlich alle experimentell überprüfbaren Vorhersagen der Quantentheorie eichinvariant
sein. Wir überprüfen nun anhand einiger Beispiele, dass dies in der Tat so ist.
(a)
′
∂ψ
′ ′
Wir betrachten die Schrödinger-Gleichungen i~ ∂ψ
∂t = Ĥψ bzw. i~ ∂t = Ĥ ψ ausgedrückt
1
in alten bzw. neuen Potentialen, wobei Ĥ′ ≡ 2m
(p̂ − qA′ )2 + q Φ′ ist. Überprüfen Sie, dass
′
ψ lediglich um einen Phasenfaktor von ψ verschieden ist, ψ ′ (x, t) = eiα(x,t) ψ(x, t), und
bestimmen Sie die genaue Beziehung zwischen α(x, t) und Λ(x, t).
(b) Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten |ψ(x, t)|2 und |ψ ′ (x, t)|2 und die Mittelwerte
hxialt und hxineu , hp̂ialt und hp̂ineu und hp̂ − qAialt und hp̂ − qA′ ineu , wobei
Z
Z
hO(x, p̂)ialt ≡ dx ψ ∗ (x, t)O(x, p̂)ψ(x, t) ; hO(x, p̂)ineu ≡ dx ψ ′∗ (x, t)O(x, p̂)ψ ′ (x, t) .
Welche Größe ist physikalisch messbar: der kanonisch konjugierte Impuls p̂ oder der kinetische Impuls p̂ − qA?
Aufgabe 8. Vertauschungsregeln für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld
(9 Punkte)
Wir betrachten ein geladenes Teilchen (Ladung q, Masse m) in einem elektromagnetischen Feld,
das durch ein skalares Potential Φ(x, t) und ein Vektorpotential A(x, t) charakterisiert ist. Der
kinetische Impuls des Teilchens wird folglich durch den Operator π̂ = p̂− qA beschrieben, wobei
p̂ = ~i ∇ den kanonisch zu x konjugierten Impuls darstellt.
(a)
Beweisen Sie die elementaren Vertauschungsregeln
[xi , xj ] = 0 ,
[xi , π̂j ] = i~ δij
,
[π̂i , π̂j ] = i~q εijk Bk ,
wobei B = ∇ × A das Magnetfeld darstellt, und zeigen Sie: [f (x), π̂] = i~ (∇f )(x).
(b) Beweisen Sie die folgenden Vertauschungsrelationen für die Kommutatoren des HamiltonOperators Ĥ = π̂ 2 /2m + qΦ(x, t) mit dem Ortsvektor, dem kinetischen Impuls und dem
Drehimpuls:
i~
[x, Ĥ] = π̂
i
h
i mh q
(π̂ × B − B × π̂) − q∇Φ
π̂, Ĥ = i~
2mh
h
i
i
q
x × π̂, Ĥ = i~ x ×
(π̂ × B − B × π̂) − q∇Φ .
2m
(c)
Zeigen Sie, dass die quantenmechanischen Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte von
x, π̂ und x × π̂ gegeben sind durch:
d
hπ̂i = hF̂Lor i
dt
d
hx × π̂i = hx × F̂Lor i ,
dt
R
wobei die Mittelwerte wie üblich durch hÔ(x, p̂; t)i ≡ dx ψ ∗ (x, t) Ô ψ(x, t) definiert sind
1
(π̂ × B − B × π̂) die quantenmechanische Variante
und der Operator F̂Lor ≡ q E + 2m
der Lorentz-Kraft darstellt.
d
hxi =
dt
1
m hπ̂i
,
,
Aufgabe 9. Das Virialtheorem für elektromagnetische Kräfte (4 Punkte)
Betrachten Sie ein nicht-relativistisches quantenmechanisches Teilchen der Masse m und Ladung
q unter der Einwirkung elektromagnetischer Kräfte. Zeigen Sie:
2
π̂
d
hx · π̂i =
+ x · F̂Lor
(1)
dt
m
1
mit π̂ ≡ p̂−qA und F̂Lor = q E + 2m
(π̂ × B − B × π̂) . Ist Gleichung (1) eichinvariant? (Wenn
ja: warum?) Wie lautet nun das Virialtheorem für den Fall elektromagnetischer Kräfte?