Skript Mechanik

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Mechanik
Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt
März 2016
nach Vorlesungsunterlagen von
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf
Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
7
2. Kinematik
2.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Ruhe und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Bezugssystem und Koordinatensystem . . . . . . . . . . .
2.1.3. Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Physikalische Größen bei der Translationsbewegung . . . . . . . .
2.2.1. Wegstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1. Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2. Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1. Mittlere Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.2. Momentanbeschleunigung . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Mathematischer Zusammenhang zwischen den physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Unbeschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.1. Bewegungs-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . .
2.3.2.1. Bewegungs-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Überlagerung von mehreren Bewegungen in einer Dimension
2.3.4.1. Senkrechter Wurf nach oben . . . . . . . . . . . .
2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Überlagerung von Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1.1. Schiefer Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Natürliche Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Drehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Bahngeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
2.6.5.
2.6.6.
2.6.7.
2.6.8.
Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . .
Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . .
Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung
schleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Arten von Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . .
2.7.2. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung . . .
3. Dynamik
3.1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Newtons Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Erstes Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2. Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Zweites Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1. Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2. Resultierende Kraft . . . . . . . . . .
3.2.2.3. Zerlegung von Kräften . . . . . . . .
3.2.3. Drittes Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Prinzip von d‘Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Linear beschleunigte Bezugssysteme . . . . . .
3.4.2. Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . .
3.4.2.1. Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2. Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Äußere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2. Raktengleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2. Beispiele zur Arbeit . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2.1. Beispiele mit ortsunabhängiger Kraft
3.8.2.2. Beispiele mit ortsabhängiger Kraft .
3.8.3. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . . .
3.8.4. Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5. Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.6. Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.6.1. Kinetische Energie . . . . . . . . . .
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Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
3.8.6.2. Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Dynamik der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1. Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2. Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3. Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehmoment
3.9.4. Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.5. Arbeit und Energie bei der Drehbewegung . . . . . . .
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4. Mechanik starrer Körper
4.1. Modell eines starren Körpers . . . . . . . . . . . .
4.2. Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Massenmittelpunkt und die Bewegunsgleichungen
4.4. Äußere Kräfte am starren Körper . . . . . . . . .
4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse . . . . . . . . .
4.5.1. Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . .
4.5.3.1. Hauptträgheitsmomente . . . . .
4.5.3.2. Steinerscher Satz . . . . . . . . .
4.6. Rotation um freie Achsen . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Kräftefreier Kreisel . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Kreisel mit äußerem Drehmoment . . . . .
4.6.3. Abrollbewegung . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Gravitation
5.1. Newtonsches Gravitationsgesetz
5.2. Keplersche Gesetze . . . . . . .
5.3. Gravitationsfeld . . . . . . . . .
5.4. Potentielle Energie . . . . . . .
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A. Literatur
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1. Einleitung
Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik, welches sich mit der Bewegung von
Körpern sowie der auf sie wirkenden und von ihnen ausgeübten Kräfte beschäftigt. Bei den betrachteten Körpern handelt es sich hierbei zunächst um Festkörper. Die Mechanik wird dabei nach den betrachteten grundlegenden physikalischen Vorgängen weiter unterteilt:
• Kinematik
Die Kinematik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern ohne Berücksichtigung des Ursprungs der Bewegung.
• Dynamik
Die Dynamik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern
unter dem Einfluss von Kräften als Ursache für die Bewegung.
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2. Kinematik
2.1. Einführung
Die Kinematik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern.
Dabei wird die Frage nach der Ursache für die Bewegung der Körper außer Acht
gelassen.
In der Kinematik sind die physikalischen Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung von zentraler Bedeutung wenn es um die Beschreibung der Bewegung von Körpern geht. Wie später gezeigt wird, sind dabei diese drei Größen
voneinander abhängig.
2.1.1. Ruhe und Bewegung
Von der Bewegung eines Körpers spricht man im Allgemeinen, wenn der Körper
seine Lage relativ zu der eines anderen Körpers ändert. Bleibt die relative Lage
eines Körpers bezüglich eines zweiten Körpers zeitlich konstant, so sind beide
Körper relativ zueinander in Ruhe. Ob ein Körper sich in Bewegung oder in Ruhe befindet ist immer relativ zu einem anderen Körper als Bezugspunkt.
Abbildung 2.1:
Die Begriffe „Ruhe“ und „Bewegung“
sind relativ. Fahrer und Auto sind relativ zueinander in Ruhe. Beide bewegen
sich aber relativ zum Haus.
Die Beschreibung einer Bewegung ist nur sinnvoll, wenn ein Bezugssystem festgelegt wird von dem aus die Bewegung beobachtet werden kann.
2.1.2. Bezugssystem und Koordinatensystem
Um die Bewegung von Körpern vollständig und eindeutig beschreiben zu können,
legt man drei relativ zueinander ruhende und nicht auf einer Geraden liegenden
Bezugspunkte fest und definiert damit ein Bezugssystem. Durch diese drei
Punkte wird eine Ebene aufgespannt. Die dritte Dimension erhält man dann als
Normale auf dieser Ebene.
Um die Bewegung eines Körpers relativ zu einem Bezugssystem mathematisch
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Kinematik
beschreiben zu können, benutzt man ein Koordinatensystem. Üblicherweise
benutzt man ein kartesisches Koordinatensystem. Es besteht aus drei zueinander senkrechten Geraden, den sogenannten Koordinatenachsen. Diese werden oft
mit den Buchstaben x, y und z gekennzeichnet.
Die Beschreibung der Bewegung eines Körpers geschieht durch Angabe von Ortskoordinaten (x,y,z) und deren Zeitabhängigkeit. Die drei Ortskoordinaten x, y
und z werden zu einem Vektor, dem Ortsvektor #»
r (t) zusammengefasst. Dabei
handelt es sich um einen zeitabhängigen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zum aktuellen Ort des Massenpunktes zeigt, wobei der Bezugspunkt des
Ortsvektors normalerweise in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt wird.
Abbildung 2.2:
Ortsvektor #»
r (x, y, z) im
dreidimensionalen Raum.
Da sich der Körper bewegt, ist der Ortsvektor zeitlich nicht konstant sondern
seine einzelnen Komponenten können sich mit der Zeit ändern. Die Einheit des
Ortsvektors ist im Allgemeinen :[ #»
r (t)] = m
2.1.3. Translation und Rotation
Bei der Bewegung von Körpern werden zwei Arten unterschieden:
• Translationsbewegung
Unter der Translation, genauer unter der Translationsbewegung versteht
man in der Physik die Parallelverschiebung eines Körpers. Allerdings muss
diese Bewegung einige spezielle Bedingungen erfüllen:
– Alle Punkte des Körpers müssen sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen.
– Alle Punkte des Körpers durchlaufen bei der Translation parallele
Bahnen, das heißt, sie bewegen sich in die gleiche Richtung.
Weil bei einer Translationsbewegung alle Punkte des Körpers die gleiche
Bewegung parallel verschoben ausführen, genügt es, die Bewegung eines
einzelnen Punktes zu beschreiben. Es erweist sich als zweckmäßig, den
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Labor Technische Physik
2.2. Physikalische Größen bei der Translationsbewegung
Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) (siehe Kapitel 4.3) zu wählen. Von der
räumlichen Ausdehnung der Körper kann also abgesehen werden, die Körper werden als punktförmige Massen behandelt. Sie werden als Massenpunkt bezeichnet. Solange die Abstände oder die zurückgelegten Wege
sehr groß sind im Vergleich zu der tatsächlichen Ausdehnung des Körpers,
ist diese Vereinfachung eine gute Näherung.
Die Rotation von Körpern kann mit dem Modell des Massenpunktes nicht
beschrieben werden, da die Ausdehnung des Körpers und damit auch die
Bewegung einzelner Teile des Körpers gegeneinander in diesem Modell vernachlässigt werden.
• Rotationsbewegung
Eine reine Rotation ist im Gegensatz zur reinen Translation keine Bewegung, die den Schwerpunkt des Körpers durch den Raum bewegt, sondern
eine Bewegung des Körpers um eine Rotationsachse.
An einem Körper können beide Arten von Bewegung gleichzeitig auftreten.
2.2. Physikalische Größen bei der
Translationsbewegung
2.2.1. Wegstrecke
Darunter versteht man die Strecke entlang der sich ein Massenpunkt bewegt.
Der Ortsvektor #»
r (t) stellt eine Kurve im Raum dar, die der Massenpunkt im
Laufe der Zeit durchläuft. Diese Kurve wird als Bahnkurve bezeichnet. Die
Bewegung, die der Massenpunkt beim Durchlaufen der Bahnkurve vollführt, wird
als Trajektorie bezeichnet.
Abbildung 2.3:
Bahnkurve und Ortsvektor.
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Labor Technische Physik
Kinematik
2.2.2. Geschwindigkeit
Die Frage welches Wegstück in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wurde führt zu einer weiteren physikalischen Größe, der Geschwindigkeit #»
v (t). Sie
wird wie folgt definiert:
∆ #»
r (t)
#»
v (t) =
∆t
(2.1)
m
Die Einheit der Geschwindigkeit ist im Allgemeinen: [ #»
v (t)] =
s
Die Geschwindigkeit ist um so größer, je länger das Wegstück ist, welches in einem
bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wird, bzw. je kürzer das Zeitintervall ist,
das für ein bestimmtes Wegstück benötigt wird.
2.2.2.1. Mittlere Geschwindigkeit
Meist wird aber eine längere Wegstrecke nicht mit einer konstanten Geschwindigkeit durchlaufen. Dann gibt der Quotient aus zurückgelegter Wegstrecke und
dafür benötigtes Zeitintervall nur die mittlere Geschwindigkeit #v¯» an. Die mittlere
Geschwindigkeit wird auch Durchschnittsgeschwindigkeit genannt.
Abbildung 2.4:
Weg-Zeitdiagramm einer eindimensionalen
Bewegung, bei der die Geschwindigkeit
nicht konstant ist.
Für eine Bewegung in nur einer Dimension, wie in Abb. 2.4 gezeigt, ergibt sich
für die mittlere Geschwindigkeit:
v̄ =
xi+1 − xi
ti+1 − ti
(2.2)
2.2.2.2. Momentangeschwindigkeit
Im Allgemeinen ist die Geschwindigkeit nicht konstant, sondern eine Funktion
der Zeit. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt wird als Momentangeschwindigkeit bezeichnet. Ausgehen von Gl. 2.1 erhält man die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn man die Zeitspanne
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2.2. Physikalische Größen bei der Translationsbewegung
∆t → 0 gehen lässt:
#»
r (t + ∆t) − #»
r (t)
∆ #»
r (t)
#»
= lim
(2.3)
v (t) = lim
∆t→0
∆t→0
∆t
∆t
Die Momentangeschwindigkeit #»
v (t) ist also gleich der zeitlichen Ableitung des
Ortsvektors #»
r (t):
d
#»
v (t) = #»
r (t) = #»
r˙ (t)
dt
(2.4)
Da die Ableitung #»
r˙ (t) die Steigung der Bahnkurve #»
r (t) angibt, hat die Ge#»
#»
schwindigkeit v (t) in jedem Punkt der Bahnkurve r (t) die Richtung der Tangente in diesem Punkt.
Abbildung 2.5:
Zum
Begriff
der
Momentangeschwindigkeit bei einer eindimensionalen Bewegung.
2.2.3. Beschleunigung
Unter Beschleunigung versteht man die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers, also die zeitliche Änderungsrate seiner Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist ebenfalls eine vektorielle Größe. Sie wird als Quotient aus der
Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit definiert:
∆ #»
v (t)
#»
(2.5)
a (t) =
∆t
m
Die Einheit der Beschleunigung ist: [ #»
a (t)] = 2
s
Weil die Geschwindigkeitsänderung ∆ #»
v (t) ein Vektor ist, muss auch die Beschleunigung ein Vektor sein.
In der Umgangssprache wird mit Beschleunigung oft nur eine Geschwindigkeitszunahme bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist aber jede Änderung der Geschwindigkeit eine Beschleunigung. Dies schließt eine Abnahme der Geschwindigkeit – also beispielsweise einen Bremsvorgang – ebenso ein wie eine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag, beispielsweise bei
einer Kurvenfahrt mit einem Auto.
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Kinematik
2.2.3.1. Mittlere Beschleunigung
Die mittlere Beschleunigung (auch Durchschnittsbeschleunigung genannt) während eines bestimmten Zeitintervalls ist gleich dem Verhältnis der Änderung der
Geschwindigkeit zur Länge des Zeitintervalls.
Abbildung 2.6:
Geschwindigkeits-Zeitdiagramm einer eindimensionalen Bewegung, bei der die Beschleunigung nicht konstant ist.
Für eine Bewegung in nur einer Dimension, wie in Abb. 2.6 gezeigt, ergibt sich
für die mittlere Beschleunigung:
ā =
vi+1 − vi
ti+1 − ti
(2.6)
2.2.3.2. Momentanbeschleunigung
Die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt wird als Momentanbeschleunigung bezeichnet. Ausgehend von Gl. 2.5 erhält man die Momentanbeschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn man die Zeitspanne ∆t gegen Null
gehen lässt (∆t → 0):
#»
v (t + ∆t) − #»
v (t)
∆ #»
v (t)
#»
= lim
(2.7)
a (t) = lim
∆t→0
∆t→0
∆t
∆t
Die Momentanbeschleunigung #»
a (t) ist also gleich der zeitlichen Ableitung des
#»
Geschwindigkeitsvektors v (t) bzw. gleich der zweiten zeitlichen Ableitung des
Ortsvektors #»
r (t):
d
#»
a (t) = #»
v (t) = #»
v˙ (t) = #¨r»(t)
dt
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(2.8)
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Labor Technische Physik
2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension
2.2.4. Mathematischer Zusammenhang zwischen den
physikalische Größen
Beschleunigung, Geschwindigkeit und der zurückgelegte Weg eines Körpers sind
voneinander abhängig. Alle drei Größen sind über die Zeit miteinander verknüpft.
physikalische Größen
Beschleunigung #»
a (t)
Geschwindigkeit #»
v (t)
zeitlicher Zusammenhang
#»
a (t) =
#»
v (t) =
d
dt
d
dt
#»
v (t) =
#»
r (t) =
#»
v˙ (t) = #¨r»(t)
#»
r˙ (t)
#»
r (t)
Weg
R
#»
v (t) = #»
a (t) dt
R
#»
r (t) = #»
v (t) dt
Tabelle 2.1.: mathematische Beziehung zwischen den Größen der Translationsbewegung
2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension
2.3.1. Unbeschleunigte Bewegung
Bei dieser Art von Bewegung bleibt die Geschwindigkeit #»
v (t) nach Betrag und
Richtung über den betrachteten Zeitraum konstant. Eine unbeschleunigte Bewegung wird auch als gleichförmige Bewegung bezeichnet. Die Bahnkurve
des Massenpunktes verläuft geradlinig und in gleichen Zeitintervallen ∆t werden
gleiche Wegstücke ∆ #»
r zurückgelegt. Es gilt:
#»
∆ #»
r
r (ti+1 ) − #»
r (ti )
#»
=
= konstant
(2.9)
v =
∆t
t(i+1) − t(i)
Allgemein gilt für eine unbeschleunigte Translationsbewegung:
unbeschleunigte Bewegung
Geschwindigkeit
#»
a =0
#»
v = #»
v
Weg
#»
r = #»
v 0 · t + #»
r0
Beschleunigung
0
Tabelle 2.2.: unbeschleunigte Translationsbewegung
15
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Kinematik
2.3.1.1. Bewegungs-Diagramme
Abb. 2.7 zeigt das Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Weg-Diagramm einer gleichförmige Bewegung in einer Dimension, d.h. der Geschwindigkeitsvektor
#»
v besitzt nur eine Komponente in x-Richtung. Dabei ist es nicht zwingend notwendig, dass der Ort des Massenpunktes x(t) zur Zeit t = 0 ebnfalls gleich Null
ist. Der Ort des Massenpunktes zum Zeitpunkt t = 0 wird hier mit x0 bezeichnet.
Abbildung 2.7.: Beispiel für eine eindimensionale gleichförmige Bewegung:
(a) a-t Diagramm; (b) v-t Diagramm; (c) r-t Diagramm.
Im Fall der unbeschleunigten Bewegung ist der zurückgelegte Weg proportional
zur Zeit, und der Graph ist eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden ist dann
die Geschwindigkeit der Bewegung:
| #»
v| =
xi+1 − xi
xi+2 − xi+1
=
= v0
ti+1 − ti
ti+2 − ti+1
(2.10)
Für die Bahnkurve des Massenpunktes ergibt sich folgende Gleichung:




x0
v0
   
#»
rt = 0+0·t
0
0
(2.11)
2.3.2. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bei dieser Art von Bewegung bleibt die Beschleunigung #»
a (t) nach Betrag und
Richtung über den betrachteten Zeitraum konstant. Die Geschwindigkeit #»
v (t)
des Massenpunktes ändert dabei in gleichen Zeitintervallen ∆t ihren Wert um
einen konstanten Betrag. Allgemein gelten für eine gleichmäßig beschleunigte
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2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension
Bewegungen folgende Bewegungsgleichungen:
gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung
Geschwindigkeit
Weg
#»
a = a0
#»
v = #»
v 0 + a0 · t
#»
r = #»
v 0 · t + 12 · #»
a 0 · t2 + #»
r0
Tabelle 2.3.: gleichmäßig beschleunigte Translationsbewegung
2.3.2.1. Bewegungs-Diagramme
Abb. 2.8 zeigt das Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Weg-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in einer Dimension, d.h. der Geschwindigkeitsvektor #»
v besitzt nur eine Komponente in x-Richtung. Dabei können sowohl der Ort des Massenpunktes x(t) als auch seine Geschwindigkeit v(t) zum
Zeitpunkt t = 0 schon einen Wert besitzen. Der Ort des Massenpunktes zum
Zeitpunkt t = 0 wird hier mit x0 angegeben und seine Geschwindigkeit zum
Zeitpunkt t = 0 wird hier mit v0 bezeichnet.
Abbildung 2.8.: Beispiel für eine eindimensionale, gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
(a) a-t Diagramm; (b) v-t Diagramm, (c) r-t Diagramm.
Die Geschwindigkeit ändert sich von ihrem Anfangswert #»
v 0 aus linear mit der
17
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Kinematik
Zeit. Die Steigung dieser Geraden entspricht der konstanten Beschleunigung #»
a 0.
| #»
a| =
vi+1 − vi
vi+2 − vi+1
=
= a0
ti+1 − ti
ti+2 − ti+1
(2.12)
2.3.3. Freier Fall
Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung g. Die Fallbeschleunigung g ist nicht an allen Orten auf der Erde gleich.
Da die Erde keine Kugel ist und zudem rotiert, hängt die Erdbeschleunigung von
der geographischen Breite und zusätzlich von der Höhe über dem Meeresspiegel
ab. Am Äquator ist ein Körper dem Schwerpunkt der Erde näher als an den Polen und zum Äquator hin macht sich zunehmend die aufgrund der Eigenrotation
der Erde dem Schwerefeld der Erde entgegenwirkende Trägheitskraft bemerkbar.
Daher variiert der Wert zwischen g = 9, 78 m/s2 am Äquator und g = 9, 832 m/s2
an den Polen. In Mitteleuropa kann man mit dem auf zwei Dezimalstellen gerundeten Wert g = 9, 81 m/s2 rechnen.
Abbildung 2.9.: Beispiel für den freien Fall, ein Apfel fällt vom Baum.
Die Formeln des freien Falls ergeben sich aus den Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (siehe Tabbelle 2.3) indem man v0 = 0 und a0 = g setzt
und den Weg r durch die Fallhöhe h ersetzt.
Diese Formeln lassen sich jedoch nur anwenden, wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist, also nur bei Gegenständen mit verhältnismäßig kleiner Angriffsfläche für den Luftwiderstand.
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18
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2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension
freier Fall
Beschleunigung
a = g = 9, 81m/s2
Geschwindigkeit
v = g · t bzw. v =
Weg
h = 12 · g · t2 bzw. h = 12 · v · t
√
2·g·h
Tabelle 2.4.: Formeln für den freien Fall
2.3.4. Überlagerung von mehreren Bewegungen in einer
Dimension
Ein Körper ist in der Lage mehrere Bewegungen gleichzeitig zu erfahren. Diese
gleichzeitig stattfindenden Einzelbewegungen überlagern sich ungestört zu einer
Gesamtbewegung. Diese ungestörten Überlagerung von Teilbewegungen wird in
der Physik als Superposition bezeichnet. Das Prinzip der ungestörte Überlagerung von Bewegungen (Superpositionsprinzip) gehört zu den grundlegenden
Aussagen der Physik, die allein aus der Erfahrung gewonnen wurden. Das Prinzip
kann nicht von anderen Gesetzen abgeleitet werden. Das Superpositionsprinzip
gilt jedoch nicht mehr für Geschwindigkeiten in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit. Hier müssen die Gesetze der Relativitätstheorie angewandt werden.
Da sich die Teilbewegungen ungestört überlagern, kann man sie getrennt voneinander berechnen und erhält die resultierende Gesamtbewegung durch Addition
der Teilbewegungen.
2.3.4.1. Senkrechter Wurf nach oben
Dies ist ein Beispiel bei dem sich die Gesamtbewegung aus zwei Teilbewegungen
zusammensetzt:
• eine beschleunigte Bewegung nach unten,
• eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit nach oben.
Beide Teilbewegungen liegen parallel zueinander sind aber entgegengesetzt gerichtet.
19
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Kinematik
Abbildung 2.10.: Senkrechter Wurf nach oben mit v0 = 8, 2 m/s und r(t=0) = 1, 9 m.
senkrechter Wurf
Geschwindigkeit
a = g = 9, 81m/s2
#»
v (t) = #»
v + #»
g ·t
Weg
#»
r (t) = #»
r 0 + #»
v 0 · t + 12 #»
g · t2
max. Steighöhe rmax
bei #»
v (t) = 0
rmax = r0 + 12 ·
Beschleunigung
0
v0
g
Tabelle 2.5.: Formeln für den senkrechten Wurf nach oben
2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen
In vielen Fällen findet Bewegung in mehr als einer Dimension statt. In diesen
Fällen wird die Position durch zwei oder drei Koordinaten beschrieben. Grundsätzlich ist man frei in der Wahl der Koordinaten, doch sind häufig kartesische
Koordinatensysteme einfach zu handhaben.
Die Bewegung eines Massenpunktes im dreidimensionalen Raum hat drei Freiheitsgrade (siehe Kapitel 4.2); zu seiner eindeutigen Lagebestimmung ist die
Kenntnis von drei Koordinaten erforderlich. Die physikalischen Größen Beschleu-
Version: 4. März 2016
20
Labor Technische Physik
2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen
nigung, Geschwindigkeit und Ortsvektor sind Vektoren und besitzen daher Komponenten in jeder der drei Raumrichtungen des kartesischen Koordinatensystems.
Um die Komponenten der Vektoren darzustellen gibt es zwei unterschiedliche
Schreibweisen:
• Spaltenschreibweise:


ax(t)


#»
a (t) = ay(t) 
az(t)


vx(t)


#»
v (t) = vy(t) 
vz(t)


rx(t)


#»
r (t) = ry(t) 
rz(t)
(2.13)
• Zeilenschreibweise (transponierter Spaltenvektor)
#»
a (t) = ax(t) ay(t) az(t)
#»
v (t) = vx(t) vy(t) vz(t)
#»
r (t) = rx(t) ry(t) rz(t)
(2.14)
2.4.1. Überlagerung von Bewegungen
Viele Bewegungen in Natur und Technik sind keine einfachen geradlinigen gleichförmige Bewegungen. Sie kommen durch Überlagerung von einzelnen gleichzeitigen Bewegungen zustande. Dabei überlagern sich diese Bewegungen ungestört
zur Gesamtbewegung. Für dreidimensionale Bewegungen gilt ebenfalls das Superpositionsprinzip (siehe Kapitel 2.3.4).
2.4.1.1. Schiefer Wurf
Abbildung 2.11:
Beispiel für einen
schiefen Wurf.
Abb. 2.11 zeigt ein Beispiel für einen schiefen Wurf. Dabei führt der Körper
gleichzeitig zwei Bewegungen aus:
• eine unbeschleunigte Bewegung in waagerechter Richtung längs der x-Achse
mit der Geschwindigkeit v0x = | #»
v 0 | · cos α,
21
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• eine beschleunigte Bewegung in senkrechter Richtung längs der y-Achse
mit der Anfangsgeschwindigkeit v0y = | #»
v 0 | · sin α und der dazu entgegen#»
gesetzten Beschleunigung g .
Für ein Koordinatensystem wie in Abb. 2.11 ergeben sich folgende Bewegungsgleichungen
schiefer Wurf
Beschleunigung
Geschwindigkeit
Weg
#»
a (t) = #»
g =
!
0
m/s2
−9, 81
!
v
0x
#»
v (t) =
v0y − 9, 81 m/s2 · t
!
v0x · t
#»
r (t) =
v0y · t − 21 · 9, 81 m/s2 · t2
Tabelle 2.6.: Formeln für den schiefen Wurf von Abb. 2.11
Da sich die Teilbewegungen in x- und y-Richtung ungestört überlagern, kann
man sie getrennt voneinander berechnen und erhält die resultierende Gesamtbewegung durch Addition der Teilbewegungen. Die Formeln aus Tabelle 2.6 ergeben
Gleichungen für die jeweilige x- und y- Komponenten der physikalischen Größen:
physikalische Größe
x-Komponente
y-Komponente
Beschleunigung
ax(t) = 0m/s2
ay(t) = −9, 81 m/s2
Geschwindigkeit
vx(t) = v0x
vy(t) = v0y − 9, 81 m/s2 · t
Weg
rx(t) = v0x · t
ry(t) = v0y ·t− 21 ·9, 81 m/s2 ·t2
Tabelle 2.7.: x- und y- Komponenten der physikalischen Größen von Abb. 2.11
Es ergeben sich nun folgende Darstellungsmöglichkeiten (siehe Abb. 2.12 bis Abb.
2.14):
• Die einzelnen x- und y- Komponenten der physikalischen Größen können
über die Zeit aufgetragen werden.
• Die x- und y- Komponenten der physikalischen Größen können gegeneinander aufgetragen werden.
• Der Betrag des Vektors der physikalischen Größe kann über die Zeit aufgetragen werden.
Version: 4. März 2016
22
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2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen
Abbildung 2.12.: (a) Die Beschleunigung ax(t) über die Zeit t aufgetragen.
(b) Die Beschleunigung ay(t) über die Zeit t aufgetragen.
Abbildung 2.13.: (a) Die Geschwindigkeit vx(t) über die Zeit t aufgetragen.
(b) Die Geschwindigkeit vy(t) über die Zeit t aufgetragen.
Abbildung 2.14.: (a) Der Weg rx(t) über die Zeit t aufgetragen.
(b) Der Weg ry(t) über die Zeit t aufgetragen.
(c) Der Weg rx(t) über den Weg ry(t) aufgetragen.
q
2
2
+ ry(t)
über die Zeit t aufgetragen.
(d) Der Gesamtweg | #»
r (t)| = rx(t)
23
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2.5. Rotationsbewegung
Die Rotationsbewegung, auch Drehbewegung genannt, ist die Bewegung eines
Systems von Massenpunkten, z.B. eines starren Körpers, um eine Achse. Alle
Massenpunkte des Körpers bewegen sich auf konzentrischen Kreisen um die zur
Drehebene senkrechte Drehachse.
Nachfolgend werden die Körper wie idealisiert als Massenpunkte betrachtet. Die Kreisbewegung stellt einen Spezialfall der Drehbewegung dar.
Es ist die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Bahn in einem konstanten
Abstand von einer raumfesten Drehachse. Sie ist das einfachste Beispiel einer
Drehbewegung.
2.5.1. Natürliche Koordinaten
Um relativ überschaubare Bewegungsgleichungen zu erhalten, ist es bei einer
ebenen Drehbewegung sinnvoll die Bewegung in natürlichen Koordinaten zu beschreiben. Die Bewegung wird dabei in einem mitgeführten n- und t- Koordinatensystem beschrieben, dessen Einheitsvektoren normal bzw. tangential zur
Bahnkurve gerichtet sind und ihren Ursprung im bewegten Massenpunkt haben.
Abbildung 2.15:
Zur Definition der n- und t- Koordinatenachsen.
Die beiden Achsen des Koordinatensystems werden wie in Abb. 2.15 gezeigt definiert:
• Die t-Achse ist die Tangente der Bahnkurve im Punkt P und positiv in
Richtung zunehmender Weglänge s(t). Die positive Richtung wir mit dem
Einheitsvektor #»
e t bezeichnet.
• Die Normalenachse n steht senkrecht auf der t-Achse und ist vom Punkt
P zum Drehpunkt O gerichtet. Die positive Richtung befindet sich immer
auf der konkaven Seite der Kurve und wird mit dem Einheitsvektor #»
en
bezeichnet.
Die Ebene, welche die n- und t-Achse enthält, liegt genau in der Bewegungsebene
des Massenpunktes.
Version: 4. März 2016
24
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2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung
2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung
Für die Drehbewegung werden neue physikalische Größen eingeführt. Abb. 2.16
zeigt ihre Lage und Angriffspunkte.
Abbildung 2.16:
Zur Definition der physikalischen
Größen bei der Drehbewegung.
2.6.1. Drehwinkel
Der Drehwinkel ϕ(t) ist der Winkel zwischen einer festen Bezugslinie und dem
Ortsvektor #»
r (t). Er wird in entgegengesetztem Uhrzeigersinn positiv gerechnet.
Ein Drehwinkel von ϕ = 0 entspricht dabei der positiven x-Achse.
Abbildung 2.17:
Zur Definition des Drehwinkels ϕ(t).
Für einen Körper der bei t = 0 Sekunden auf der x-Achse im Abstand r0 zum
Koordinatenursprung seine Kreisbewegung startet ergibt sich für die Berechnung
des Drehwinkels ϕ(t) folgende Formel:
s(t)
s(t)
=
ϕ(t) = #»
| r (t)|
r0
(2.15)
Der Drehwinkel wird in Bogenmaß angegeben, seine Einheit ist: [ϕ(t)] = rad
Die Zeit für einen vollen Umlauf des Ortsvektor #»
r (t) wird als Umlaufzeit T
bezeichnet. Ist diese Zeitdauer T für einen gesamten Kreisumlauf des Ortsvektors
#»
r (t) immer konstant, dann beträgt der Drehwinkel ϕ(T ) = 2 · π rad. Kennt man
25
Version: 4. März 2016
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Kinematik
die Zeitdauer T für den gesamten Kreisumlauf des Ortsvektors #»
r (t), dann kann
der Drehwinkel zu einem bestimmten Zeitpunkt t wie folgt berechnet werden :
2·π
·t
(2.16)
ϕ(t) =
T
2.6.2. Ortsvektor
Bei der Kreisbewegung hat die Bahnkurve s(t) des Massenpunktes eine Kreisform. Der Ortsvektor #»
r (t) durchläuft dabei in periodischen Zeitabständen T diese Bahnkurve. Da es sich um eine zweidimensionale Bewegung handelt, werden
zur Beschreibung des Ortsvektors Koordinaten in x- und y- Richtung benötigt.
Als Koordinatenursprung wählt man im Allgemeinen den Mittelpunkt O der
Kreisbewegung.
Abbildung 2.18:
Zur Definition des Ortsvektors #»
r (t).
Für einen Körper der bei t = 0 Sekunden auf der x-Achse im Abstand r0 zum Koordinatenursprung seine Kreisbewegung startet und für einen Kreisumlauf immer
die gleiche Zeitdauer T braucht, lautet der Ortsvektor:
!
!
r (t)
cos(ϕ(t))
#»
r (t) = x
= r0 ·
ry (t)
sin(ϕ(t) )
#»
r (t) = r0 ·

2·π

T
sin 2·π
T
cos
(2.17)

·t
·t

(2.18)
2.6.3. Bahngeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit, mit der sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt,
wird als Bahngeschwindigkeit #»
v (t) bezeichnet. In einem kleinen Zeitintervall ∆t
legt der Massenpunkt einen Weg ∆s entlang der Bahnkurve zurück (siehe Abb.
2.19(a)). Die Verschiebung ∆ #»
r ist die Lageänderung des Massenpunktes. Die
Verschiebung wird durch Vektorsubtraktion ermittelt:∆ #»
r = #»
r (t + ∆t) − #»
r (t).
Für die mittlere Geschwindigkeit des Massenpunktes gilt :
∆ #»
r
#»
v mittel =
(2.19)
∆t
Version: 4. März 2016
26
Labor Technische Physik
2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung
Abbildung 2.19:
Zur Definition der
Bahngeschwindigkeit.
Die momentane Geschwindigkeit #»
v (t) wird aus Gl. 2.19 ermittelt, indem im
Grenzübergang ∆t → 0 strebt und somit die Richtung von ∆ #»
r sich der Tangente
der Bahnkurve im Punkt P annähert.
#» ∆r
#»
v (t) = lim
(2.20)
∆t→0
∆t
d
= #»
r (t)
(2.21)
dt
Da die Richtung von ∆ #»
r mit ∆t → 0 sich der Tangente der Bahnkurve im Punkt
P annähert, ist die Richtung der Bahngeschwindigkeit #»
v (t) ebenfalls tangential
zur Bahnkurve.
Es gilt:
#»
v (t) = | #»
v (t)| · #»
et
(2.22)
Bei einer Kreisbewegung mit gleichbleibender Umlaufzeit bleibt der Betrag der
Bahngeschwindigkeit konstant. Man spricht in diesem Fall von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Setzt man in Gl. 2.21 den Ortsvektor aus Gl. 2.18 ein,
dann erhält man für die Bahngeschwindigkeit #»
v (t) einer gleichförmigen Kreisbewegung:


 
cos 2·π
·t
d
#»
T
 
v (t) = r0 ·  2·π
dt
sin T · t
(2.23)
2.6.4. Beschleunigung
Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit des Massenpunktes ist seine Beschleunigung. Es gilt also:
d
#»
a (t) = #»
v (t) = #»
v˙ (t)
dt
27
(2.24)
Version: 4. März 2016
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Kinematik
Um die Formel etwas übersichtlicher zu gestalten ersetzt man #»
a (t) = #»
a und
#»
| v (t)| = v. Mit Hilfe von Gl. 2.22 kann man für Gl. 2.24 schreiben:
#»
a = #»
v˙ = v̇ #»
e t + v #»
e˙ t
(2.25)
Bei der Berechnung von #»
e˙ t in Gl. 2.25 ist zu beachten, dass sich bei der Bewegung des Massenpunktes entlang der Bahnkurve während der Zeitdauer dt der
Einheitsvektor #»
e t seinen Betrag behält, aber seine Richtung ändert und zu #»
e 0t
wird (siehe Abb. 2.20(a)).
Abbildung 2.20:
Zur Definition der Beschleunigung.
Die Änderung des Einheitsvektors #»
e t während der Zeitdauer dt beträgt also: d #»
e t.
#»
In Abb. 2.20(b) erkennt man, dass die Richtung von d e t in Richtung von #»
en
#»
liegt. Da Einheitsvektor den Betrag von 1 haben, ist der Betrag von |d e t | = 1·dϕ.
ergibt sich für den Term #»
e˙ t aus Gl. 2.25:
Mit der Beziehung dϕ = ds
r0
dϕ #»
ds 1 #»
d #»
et
#»
=
· en =
· · en
e˙ t =
dt
dt
dt r0
v #»
· en
=
r0
(2.26)
(2.27)
Mit Gl. 2.27 ergibt sich für Gl. 2.25:
#»
a = v̇ #»
e t + v #»
e˙ t
v 2 #»
= v̇ · #»
et +
· en
r0
= #»
a t + #»
an
(2.28)
(2.29)
(2.30)
Die Beschleunigung setzt sich aus den beiden senkrecht aufeinander stehenden
Komponente #»
a n und #»
a t zusammen. Sie zeigt immer in Richtung der konkaven
Seite der Bahnkurve.
Die Tangentialbeschleunigung #»
a t = dv
· #»
e t ist ein Vektor in Tangentialrichdt
#»
tung, also parallel zu v . Die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit wird
durch | #»
a t | = dv
beschrieben.
dt
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28
Labor Technische Physik
2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung
Abbildung 2.21:
Die Lage der Beschleunigung #»
a.
2
Die Normalbeschleunigung #»
a n = vr0 · #»
e n ist ein Vektor senkrecht auf der Tangente, also in Normalenrichtung. Er beschreibt die Änderung der Richtung der
Geschwindigkeit. Die Normalbeschleunigung wird auch als Radialbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.
Ist #»
a n = 0, so durchläuft der Massenpunkt eine Gerade. Für eine gekrümmte
Bahn muss #»
a n 6= 0 sein. Mit #»
a t = 0 läuft der Massenpunkt mit konstantem
Betrag der Geschwindigkeit auf einer Kurve deren Verlauf durch #»
a n bestimmt
wird.
2.6.5. Winkelgeschwindigkeit
#» ist eine vektorielle physikalische Größe, welche die
Die Winkelgeschwindigkeit ω
#»| = ω ergibt
zeitliche Änderung des Drehwinkels ϕ angibt. Für den Betrag | ω
sich:
ω=
d
ϕ(t)
dt
(2.31)
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist: [ω] = rad/s
Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit weist immer entlang der Drehachse. Die
positive Richtung der Winkelgeschwindigkeit ist so definiert, dass die Drehung die
Achse im Rechtssinn umläuft. Die Winkelgeschwindigkeit ist ein axialer Vektor,
weil der Zusammenhang mit einer Richtung erst durch die Drehung um eine
Achse entsteht. Die Bahngeschwindigkeit #»
v steht nach dieser Definition immer
#».
senkrecht zu der Winkelgeschwindigkeit ω
Abbildung 2.22:
#» bei
Zur Definition der Winkelgeschwindigkeit ω
einer kreisförmigen Drehbewegung.
29
Version: 4. März 2016
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Kinematik
Da der Betrag vom Radius| #»
r (t)| = r0 konstant ist, ergibt sich mit Gl. 2.15 für
Gl. 2.31:
d s(t)
d s(t) 1
d
ϕ(t) =
=
(2.32)
dt
dt r0
dt r0
v
=
(2.33)
r0
#», #»
Die Vektoren ω
r und #»
v stehen alle rechtwinklig zueinander. Daher ist es
möglich Gl. 2.33 auch in vektorieller Form zu formulieren:
ω=
#»
#» × #»
v =ω
r
(2.34)
Die Reihenfolge der Vektoren in Gl. 2.34 ist wichtig, denn das Kreuzprodukt ist
nicht kommutativ.
Abbildung 2.23:
#» liegen
Die drei Vektoren #»
v , #»
r und ω
rechtwinkelig zueinander.
2.6.6. Winkelbeschleunigung
#» ist eine vektorielle physikalische Größe und gibt
Die Winkelbeschleunigung α
#» an:
die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit ω
#» = d ω
#»
α
dt
(2.35)
Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist: [α] = rad/s2
Die Winkelbeschleunigung ist wie die Winkelgeschwindigkeit ein axialer Vektor
und liegt parallel zur Drehachse. Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit haben die gleiche positive Richtung.
2.6.7. Drehzahl
Die Drehzahl n oder Drehfrequenz gibt die Häufigkeit der Umdrehungen an.
Sie ist abhängig von der Winkelgeschwindigkeit ω bzw. der Periodendauer T :
n=
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ω
1
=
2·π
T
(2.36)
30
Labor Technische Physik
2.6. Physikalische Größen der Drehbewegung
Abbildung 2.24:
Zur Definition der Winkelbeschleunigung.
2.6.8. Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung und
Beschleunigung
Allgemein gilt für die Beschleunigung:
d
#»
a = #»
v
dt
(2.37)
Mit Hilfe von Gl. 2.34 kann man schreiben:
d h #» #»i
#»
ω× r
a =
dt
#»
dω
d #»
r
#»
#»
=
× r + ω×
dt
dt
(2.38)
(2.39)
Mit Hilfe von Gl. 2.35 und Gl. 2.21 erhält man:
#»
#» × #»
#» × #»
a = α
r + ω
v
(2.40)
Durch ein Koeffizientenvergleich mit Gl. 2.30 ergibt sich dann für #»
a t und #»
a n:
#»
#» ×
at = α
#»
#» ×
an = ω
#»
r
#»
v
= −ω 2 · #»
r
1
1
(2.41)
(2.42)
(2.43)
Mit Gl. 2.34 ergibt sich
#»
#» × ω
#» × #»
an = ω
r
#»
#» · #»
#» · ω
#» · #»
= ω
r ·ω
− ω
r
2 #»
= −ω · r
31
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Kinematik
2.7. Arten von Kreisbewegungen
2.7.1. Gleichförmige Kreisbewegung
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung verläuft die Bahnkurve kreisförmig, wobei
der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant ist und sich nur die Richtung der
Bahngeschwindigkeit ändert.
gleichförmig Kreisbewegung
#» = 0
α
#» = ω
#»
ω
Winkelbeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
0
ϕ = ϕ0 + ω0 · t
#»
#» × #»
v =ω
r
Drehwinkel
Bahngeschwindigkeit
Tangentialbeschleunigung
#»
#» × #»
an = ω
v
#»
#» × r
a =α
Drehzahl
n=
Normalbeschleunigung
v= ω0 · r
an = r · w02
at = 0
t
ω0
2·π
Tabelle 2.8.: gleichförmig Kreisbewegung
Bei einem wie in Gl. 2.18 gegeben Ortsvektor
!
!
r
cos(ϕ(t))
#»
r = x(t) = r0 ·
ry(t)
sin(ϕ(t))
#»
r = r0 ·

2·π
T

sin 2·π
T
cos
(2.44)

·t
(2.45)

·t
erhält man dann für die Geschwindigkeit #»
v:


 
cos 2·π
·t
d
#»
T
 
v = r0 ·  2·π
dt
sin T · t

(2.46)

·t
2 · π − sin 2·π
T

= r0 ·
2·π
T
cos T · t
(2.47)
Bei einer gleichförmigen Drehbewegung ist die Umlaufzeit T konstant. Der Term
2·π
ist dann die konstante Winkelgeschwindigkeit ω. Für Gl. 2.47 ergibt sich:
T


− sin ω · t
#»
v = r0 · ω 
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
cos ω · t
(2.48)
32
Labor Technische Physik
2.7. Arten von Kreisbewegungen
Für die Beschleunigung muss Gl. 2.47 noch einmal nach der Zeit differenziert
werden. Man erhält:



− cos ω · t
#»
a = r0 · ω 2 
(2.49)
− sin ω · t
#»
a = −ω 2 · #»
r
(2.50)
Da die Tangentialbeschleunigung #»
a t = 0 ist, ist die Beschleunigung in Gl. 2.50
eine Normalbeschleunigung. Gl. 2.50 geht damit in Gl.2.43 über.
2.7.2. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung ist der Betrag der Geschwin#»| von der Zeit abdigkeit | #»
v | als auch der Betrag der Winkelgeschwindigkeit | ω
hängig und nicht konstant. Es treten dann eine Tangentialbeschleunigung #»
a t,
#»
#»
eine Normalbeschleunigung a n und eine Winkelbeschleunigung α auf.
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
Winkelbeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
Drehwinkel
Bahngeschwindigkeit
#» = α
α
0
#» = ω
#» + α
#» · t
ω
0
0
ϕ = ϕ0 + ω0 · t + 21 · α0 · t2
#»
#» × #»
v =ω
r
Tangentialbeschleunigung
#»
#» × #»
an = ω
v
#»
#» × r
a =α
Drehzahl
n0 =
Normalbeschleunigung
t
ω0
2·π
h
i
h
i2
v = r · ω0 + α0 · t
an = r · ω0 + α0 · t
at = α0 · r
n=
ω0 +α0 ·t
2·π
Tabelle 2.9.: gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
33
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
3. Dynamik
3.1. Einführung
In der Kinematik wird die Bewegung von Körpern beschrieben, ohne die Ursache
für die Bewegung zu berücksichtigen. In der Dynamik wird nun die Ursache für
die Bewegung, d. h. die Einwirkung der Umgebung auf einen Körper, berücksichtigt.
In der Physik bezeichnet man diese Einwirkung auf den Körper als die Wechselwirkung zweier Systeme. Heute erscheint es selbstverständlich, dass die Ursache
für die Änderung der Bewegung eines Körpers in der Wechselwirkung des Körpers mit seiner Umgebung liegt. Historisch gesehen ist diese Überlegung eine
richtungweisende Abstraktionsleistung. Die allgemeinen Gesetze der Bewegung
von Körpern waren bis 1687 allerdings unbekannt, als Isaac Newton seine drei
Grundgesetze für die Bewegung eines Körpers vorstellte.
Diese Gesetze bilden das Fundament der klassischen Mechanik. Obwohl sie im
Rahmen moderner physikalischer Theorien wie der Quantenmechanik und der
Relativitätstheorie nicht uneingeschränkt gelten, sind mit ihrer Hilfe innerhalb
eines weit gefassten Gültigkeitsbereiches zuverlässige Vorhersagen möglich.
Eine wichtige physikalische Größe in der Dynamik ist die Kraft. Der Kraftbegriff geht auf Isaac Newton zurück. Die Kraft ist die physikalische Größe welche
die Einwirkung beschreibt, die den Bewegungszustand des Körpers ändert (siehe
3.2.2.1). Sie ist also die Ursache für jede Veränderung des Bewegungszustandes
eines Körpers. Die Dynamik beschreibt daher die Bewegung von Körpern unter
Einfluss von Kräften.
3.2. Newtons Axiome
Eine Grundannahme von Newton ist, dass ein Körper, der sich geradlinig gleichförmig bewegt, keine äußeren Einwirkungen benötigt. Jede Änderung des Bewegungszustandes des Körpers ist aber auf eine von außen einwirkende Kraft
zurückzuführen.
3.2.1. Erstes Axiom
Das erste Axiom, dass sogenannte Trägheitsprinzip, macht Aussagen über die
Bewegung von physikalischen Körpern bei der Abwesenheit von äußeren Kräften:
35
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zu einer Veränderung seines Bewegungszustandes gezwungen wird.
Das im ersten Axiom beschriebene Verhalten von Körpern oder Massenpunkte,
den Zustand der Ruhe oder einer einmal vorhandenen gleichförmigen geradlinigen Bewegung beizubehalten, führt man zurück auf eine als Trägheit oder
Beharrungsvermögen bezeichnete intrinsische Eigenschaft der Masse eines Körpers.
Die Begriffe „Ruhe“ bzw. „gleichförmige Translation“ setzen jedoch voraus, dass
ein bestimmtes Bezugssystem, ein sogenanntes Inertialsystem zugrunde gelegt
wird. Ein solches Koordinatensystem dreht sich nicht und ist ortsfest, bzw. verschiebt sich in eine bestimmte Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit.
Ein mögliches Inertialsystem ist ein durch den Fixsternhimmel definiertes Bezugssystem.
Abbildung 3.1.: Zur Definition eines Inertialsystems:
(a) Beobachter befindet sich im xy-System.
(b)Beobachter befindet sich im x’y’-System.
Ist ein Inertialsystem einmal gefunden, so kann man gleich unendlich viele andere Systeme angeben, die ebenfalls als Bezugssystem brauchbar sind. Wenn eine
Bewegung vom Fixsternhimmel aus gesehen als geradlinig und gleichförmig erscheint, so ist dies auch der Fall von jedem Koordinatensystem aus, welches sich
relativ zum Fixsternhimmel selbst gleichförmig geradlinig bewegt. Ein im Bezugssystem der Fixsterne ruhender Körper erscheint in dem zweiten Inertialsystem
allerdings gleichförmig und geradlinig bewegt. Daher kann man eine absolute
Geschwindigkeit niemals feststellen. Diese Feststellung wird auch Galilei’sches
Relativitätsprinzip genannt.
Version: 4. März 2016
36
Labor Technische Physik
3.2. Newtons Axiome
Die Frage was man sich unter dem Begriff „Kraft“ vorzustellen hat wird dabei
erst durch das nächste Axiom weiter untersucht. Befindet man sich nicht in einem
Inertialsystem, dann verlieren die Newtonsche Gesetze zunächst ihre Gültigkeit.
Erst durch entsprechende Erweitertungen sind sie in solchen Fällen weiterhin
anwendbar (siehe Kapitel 3.4).
3.2.1.1. Masse
Die Masse ist eine wichtigste physikalische Eigenschaft der Materie. Die Masse
ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers, d. h. ein Maß für den Widerstand
eines Körpers gegen eine Bewegungsänderung. Man spricht deshalb von Träger
Masse. Die Masse ist unabhängig vom Ort, an dem sich ein Körper befindet
und bei nicht relativistischer Betrachtung unabhängig vom Bewegungszustand
des Körpers. Die SI-Basiseinheit der Masse, das Kilogramm (kg), wird über
eine Referenzmasse definiert. Ein Kilogramm ist die Masse des internationalen
Kilogrammprototyps.
Die physikalische Größe Masse hat außer der Eigenschaft „Trägheit“ auch die
Eigenschaft „Schwere“. Durch die Schwere Masse eines Körpers erzeugt dieser ein Gravitationsfeld, dessen Stärke zu seiner Schweren Masse proportional
ist(siehe Kapitel 5). Experimentell lässt sich kein Unterschied zwischen Träger
und Schwerer Masse nachweisen und man verwendet im Allgemeinen nur den
Begriff „Masse“.
3.2.1.2. Impuls
Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben wird der Impuls #»
p als neue
physikalische Größe eingeführt. Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus
seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit #»
v:
#»
p = m · #»
v
(3.1)
Der Impuls ist eine Vektorgröße, er hat also einen Betrag und weist in die Richtung der Geschwindigkeit #»
v.
Abbildung 3.2:
Geschwindigkeit und Impuls haben
gleiche Richtung, aber nicht unbedingt gleichen Betrag.
Jeder bewegliche Körper kann seinen Impuls, etwa bei einem Stoßvorgang, ganz
oder teilweise auf andere Körper übertragen oder von anderen Körpern übernehmen (siehe Kapitel 3.6.1).
37
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Dynamik
3.2.2. Zweites Axiom
Die Änderung der Bewegung eines Körpers erfolgt nie von alleine. Dazu ist immer
eine äußere Ursache notwendig. Das zweite Newton’sche Axiom heißt Aktionsprinzip, weil es den Zusammenhang zwischen der Änderung der Bewegung eines
#»
Körpers und der Einwirkung von Kräften F (als äußere Ursache) herstellt:
Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der Kraft proportional und erfolgt geradlinig entlang der Richtung, nach welcher jene
Kraft wirkt.
Wenn irgend eine Kraft eine gewisse Änderung der Bewegung hervorbringt, so
wird die doppelte Kraft eine doppelte Änderung , die dreifache Kraft eine dreifache Änderung erzeugen. Mit dem Impuls als Maß für die Bewegung eines Körpers
ergibt sich für das zweite Axiom folgende Formulierung:
Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich, der auf den Massenpunkt wirkende Kraft
Damit kann das zweite Axiom mathematisch wie folgt geschrieben werden:
d
d
#»
p =
m · #»
v
(3.2)
F = #»
dt
dt
d
d
v + #»
v · m
(3.3)
= m · #»
dt
dt
Für den im täglichen Leben häufigen Fall einer konstanten Masse m ergibt sich
daraus das Newton’sche Grundgesetz der Dynamik:
d
#»
v = m · #»
a
F = m · #»
dt
(3.4)
3.2.2.1. Die Kraft
#»
Die Kraft F für Körper mit konstanter Masse m ist nach Gl. 3.4 proportional
#»
zur Momentanbeschleunigung #»
a . Die Kraft F ist eine vektorielle physikalische
Größe, deren Richtung parallel zur Beschleunigung #»
a verläuft. Die international
verwendete Einheit für Kraft ist das „Newton“:
h #»i
F = N = kg m s−2
Für die Addition von Kräften und die Zerlegung einer Kraft in verschiedenen
Kraftrichtungen gelten die Regeln der Vektorrechnung. Die Wirkung einer Kraft
auf einen Körper hängt im allgemeinen auch vom Angriffspunkt ab. Die Wirkungslinie ist die Gerade, die durch den Angriffspunkt einer Kraft geht und die
Richtung der Kraft hat. Alle Punkte auf dieser Geraden können als Angriffspunkt
der Kraft angesehen werden, da die äußere Wirkung der Kraft auf den Körper
sich nicht ändert, wenn ihr Angriffspunkt in der Wirkungslinie verschoben wird.
Dies bezeichnet man als Prinzip der Linienflüchtigkeit.
Version: 4. März 2016
38
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3.2. Newtons Axiome
Abbildung 3.3:
Der Angriffspunkt einer Kraft kann auf
seiner Wirklinie frei gewählt werden.
3.2.2.2. Resultierende Kraft
#»
Greifen an einem Körper mehrere Kräfte F i gleichzeitig an, dann können die
#»
Einzelkräfte zu einer resultierenden Kraft F r zusammengefasst werden, wenn
sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden. Diese resultierende Kraft
ist in ihrer Wirkung auf den Körper den ursprünglichen Kräften äquivalent, also
#»
gleichwertig. Mathematisch wird die resultierende Kraft F r durch Vektoraddition
#»
aller Einzelkräfte F i berechnet:
n
X
#»
#»
Fi
Fr =
(3.5)
i
#»
Auch graphisch ist ein Auffinden der resultierenden Kraft F r und ihrer Wirkungslinie möglich.
Abbildung 3.4:
Graphische Ermittlung der
Resultierenden.
Die am Körper angreifenden Einzelkräfte werden dabei entlang ihrer Wirkungslinie bis zu dem Punkt P verschoben, wo sich alle Wirkungslinien treffen. Die
Einzelkräfte werden dann unter Beibehaltung ihrer Größe und Richtung anein#»
ander gefügt. Die resultierende Kraft F r reicht dann vom Ausgangspunkt bist
zur Spitze der letzten Einzelkraft.
39
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Labor Technische Physik
Dynamik
3.2.2.3. Zerlegung von Kräften
Ebenso wichtig wie die Zusammenfassung mehrerer Kräfte ist die Zerlegung einer gegebenen Kraft in mehrere Komponenten von vorgegebener Richtung. Auf
einen Körper der sich auf einer schiefen Ebenen befindet wirkt aufgrund seiner
#»
Masse m die vertikal nach unten gerichtete Gewichtskraft F g . Eine Bewegung
des Körpers kann nur parallel zur Ebenen erfolgen. Aus diesem Grund zerlegt
#»
man F g in zwei Teilkräfte, in eine parallel zur schiefen Ebene gerichtete Kraft
#»
#»
F p und in eine senkrecht dazu gerichtete Kraft F n .
Abbildung 3.5:
#»
Zerlegung der Gewichtskraft F g in eine Teil#»
kraft F p parallel zur schiefen Ebene und in
#»
eine Teilkraft F n senkrecht zur schiefen Ebene.
#»
Für die Bewegung des Körpers ist nur die Kraft F p verantwortlich, da die Kraft
#»
F n mit der der Körper auf die Ebene wirkt kompensiert wird durch ein entgegengesetzt Kraft gleicher Größe die von der Ebene auf den Körper wirkt.
3.2.3. Drittes Axiom
Eine auf einen Körper wirkende Kraft kann nicht aus dem Körper selbst stammen. Sie ist durch seine „Beziehung“ zu der ihm umgebenen Welt bedingt. Ein
einzelner Körper welcher sich allein im leeren Raum befindet erfährt überhaupt
keine Kraftwirkung. Damit eine Kraft auf diesen Körper wirkt muss mindestens
noch ein zweiter Körper vorhanden sein.
Die Erfahrung zeigt nun, dass wenn ein Körper A durch eine Kraft FAB die
Bewegung eines anderen Körpers B beeinflusst, der Körper B umgekehrt auch
die Bewegung des Körpers A durch eine Kraft FBA beeinflusst (siehe Abb. 3.6).
Die Aktion des Körpers A auf den Körper B (=FAB ) ist immer von der Reaktion des Körpers B auf den Körper A begleitet (=FBA ). Newton erkannte die
Allgemeingültigkeit dieser Tatsache und formulierte sie als drittes Axiom:
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zweier Körper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Das dritte newtonsche Axiom wird daher auch Wechselwirkungsprinzip genannt.
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40
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3.3. Prinzip von d‘Alembert
Abbildung 3.6:
#»
Die Kraft F AB welche die Faust auf die Wand
ausübt hat den gleichen Betrag wie die Kraft
#»
F BA welche die Wand auf die Faust ausübt.
3.3. Prinzip von d‘Alembert
An einen ruhenden Massenpunkt, an welchem zwei gleich große aber entgegen#»
#»
#»
gesetzte Kräfte F 1 und F 2 angreifen, ist die resultierende Kraft F R Null. Der
Massenpunkt wird nicht aus seiner Ruhelage bewegt, er befindet sich im statischen Gleichgewicht (siehe Abb. 3.7).
Abbildung 3.7:
Die Vase befindet sich im statischen Gleichgewicht. Die Ge#»
wichtskraft F 1 welche die Gravitation auf sie ausübt wird
#»
durch die Kraft F 2 welche der Tisch auf sie ausübt kompensiert.
Es gilt:
#»
#»
F1 + F2 = 0
(3.6)
#»
Ohne Tisch greift an der Vase nur die Gewichtskraft F 1 an und sie wird daher
beschleunigt.
Abbildung 3.8:
#»
Auf die Vase wirkt nur die Gewichtskraft F 1 .
Sie wird daher beschleunigt.
#»
Das zweite Newtonsche Axiom F 1 = m · #»
a (siehe Gl. 3.4) kann auch in folgender
Weise angegeben werden:
#»
F 1 − m · #»
a =0
41
(3.7)
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Dynamik
Der Vektor −m · #»
a stellt zwar keine reale Kraft da, er wird aber trotzdem als
#»
Trägheitskraft F T räg bzw. als Scheinkraft bezeichnet, da er der einzigen rea#»
len Kraft F 1 in Gl. 3.7 das „Gleichgewicht“ hält. Es gilt:
#»
#»
F 1 + F T räg = 0
#»
mit F T räg = −m · #»
a
(3.8)
(3.9)
Der Zustand des „Gleichgewichts“ wird dynamisches Gleichgewicht genannt.
3.4. Beschleunigte Bezugssysteme
Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem
sind. Betrachtet man einen Massenpunkt in einem beschleunigten System, muss
dieser Umstand in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden. Für die Bewegungsgleichungen mit beschleunigtem Bezugssysteme treten in den Gleichungen zusätzliche zu den „realen“ Kräfte noch Scheinkräfte oder Trägheitskräfte
auf.
3.4.1. Linear beschleunigte Bezugssysteme
Betrachtet man einen Massenpunkt in einem beschleunigten System dann unterliegen beide der gleichen konstanten Beschleunigung in einer oder mehreren
Raumrichtungen.
Abbildung 3.9.: (a)Der Wagon ist zunächst in Ruhe.
(b)Der Wagon hat die konstante Beschleunigung #»
a nach rechts.
In Abb. 3.9(b) wird ein Eisenbahnwagon mit der konstanten Beschleunigung #»
a
nach rechts beschleunigt. Ein mit dem Wagon fest verbundenes Bezugssystem,
der Ball, als auch der Beobachter im Wagon unterliegen dann dieser Beschleunigung. Wenn man die relative Bewegung des Balls im beschleunigten Bezugssys#»
tem beschreiben will, muss diese Beschleunigung als Trägheitskraft F T bei den
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42
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3.4. Beschleunigte Bezugssysteme
#»
Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden. Für F T gilt:
#»
F T = −m · #»
a
(3.10)
Auch der Körper des Beobachters im Wagon unterliegt der Trägheitskraft. Sie ist
für ihn genauso real wie z. B. die Gravitationskraft. Weiß der Beobachter nicht,
dass er beschleunigt wird, wir er diese Trägheitskraft als „unerklärliche“ Kraft
annehmen. Diese Kraft existiert aber nur für den Beobachter im Wagon, nicht
aber für einen ruhenden Beobachter außerhalb des Wagons neben den Schienen.
daher der Ausdruck Scheinkraft.
3.4.2. Rotierende Bezugssysteme
Ein Massenpunkt der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn
2
befindet erfährt die radiale Beschleunigung bzw. Normalbeschleunigung ar = vr
(siehe Kapitel 2.7.1). Ein rotierendes System ist ein beschleunigtes System und
es treten daher Trägheitskräfte auf.
3.4.2.1. Zentrifugalkraft
In Abb. 3.10 befindet sich der Beobachter auf der Wiese in einem unbeschleunigten Bezugssystem. Von seinem Standpunkt aus gesehen rotiert die Person auf
#» und dem Abstand #»
der Scheibe mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω
r
um die Drehachse. Für den Beobachter wird daher die Person auf der Scheibe
#» × #»
mit der der Beschleunigung #»
ar = ω
v zur Drehachse hin beschleunigt (siehe
Kapitel 2.7.1).
Abbildung 3.10.: Kräfte bei einem rotierenden Bezugssystem.
43
Version: 4. März 2016
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Dynamik
Es gibt:
#»
F r = m · #»
ar
#»
F r − m · #»
ar = 0
(3.11)
(3.12)
Der zweite Term −m · #»
a r in Gl. 3.12 kann nach Kapitel. 3.3 als Trägheitskraft
#»
F T räg aufgefasst werden:
#»
#»
F r + F T räg = 0
(3.13)
Die Person auf der Drehscheibe befindet sich in Bezug zu dem mitdrehenden
#»
Koordinatensystem in Ruhe. Für sie äußert sich die Trägheitskraft F T räg als eine
radial nach außen gerichtete Kraft. Sie wird auch Zentrifugalkraft oder auch
#»
Fliehkraft genannt. Die Radialkraft F r wird in diesem Zusammenhang auch als
Zentripetalkraft bezeichnet.
Abbildung 3.11:
Zur Definition von Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft.
Folgendes gilt zu beachten:
• Die Zentrifugalkraft greift an demselben Punkt an wie die Zentripetalkraft
.
• Nach dem dritten Newton’schen Axiom greift Reaktionskraft und Zentripetalkraft an verschiedenen Punkt an. Die Reaktionskraft hat aber den
gleichen Wert und die gleiche Richtung wie die Zentrifugalkraft.
Die Zentrifugalkraft ist nur ein anderer Ausdruck dafür, dass ein Körper infol#»
ge seiner Trägheit sich der Richtungsänderung durch die Radialkraft F r wider#»
setzt. Verschwindet die Radialkraft F r so verschwindet auch die Zentrifugalkraft
#»
F T . Wird die Schnur in Abb. 3.11 losgelassen so greifen am Stein weder Zentrifugalkraft noch Zentripetalkraft mehr an und der Stein fliegt mit konstanter
Geschwindigkeit tangential zur vorherigen Kreisbahn.
3.4.2.2. Corioliskraft
Ruht ein Körper in einem rotierenden Bezugssystem so tritt nur die Zentrifugalkraft als Trägheitskraft auf. Wenn sich der Körper im rotierenden System jedoch
Version: 4. März 2016
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3.4. Beschleunigte Bezugssysteme
Abbildung 3.12:
Zur Erklärung der Corioliskraft: Weg des Käfers für den
(a) Beobachter im ruhenden
Raumschiff.
(b) Beobachter im Punkt A
der rotierenden Kreisscheibe.
mit der Geschwindigkeit #»
v bewegt, tritt eine weitere Trägheitskraft auf, die von
dem französischen Mathematiker und Ingenieur Coriolis im Jahre 1835 entdeckte
und nach ihm benannte Corioliskraft.
Bewegt sich der Käfer in Abb.3.12 mit der Geschwindigkeit #»
v vom Punkt A radial nach außen, dann gelangt er für einen stillstehend Beobachter im Raumschiff
in der Zeit t zum Punkt B (Abb. 3.12 (a)). Bewegt sich die Scheibe mit einer
Winkelgeschwindigkeit ω, dann sieht ein mitrotierender Beobachter im Punkt A
(Abb. 3.12 (b)), jedoch dass sich der Käfer zum Punkt B 0 bewegt. Der mitrotierende Beobachter bekommt den Eindruck, dass der Käfer durch die Corioliskraft
während der Laufzeit t eine Ablenkung BB 0 erfuhr.
Für den Weg AB gilt:
AB = v · t
(3.14)
Für den Winkel α zwischen den Punkten A, B und B 0 gilt:
α=ω·t
(3.15)
BB 0
AB
(3.16)
Für kleine Drehwinkel α gilt:
α=
45
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Dynamik
Aus den Gl. 3.14 bis Gl. 3.16 erhält man dann für die Strecke BB 0 :
BB 0 = ω · v · t2
(3.17)
Der mitrotierende Beobachter in Punkt A geht davon aus, dass aufgrund einer
Krafteinwirkung Fc der Käfer eine Beschleunigung ac in Richtung der Strecke
BB 0 erfährt. Für die zurückgelegte Strecke BB 0 gilt mit der Beschleunigung ac :
1
BB 0 = · ac · t2
(3.18)
2
Durch Koeffizientenvergleich von Gl. 3.17 und Gl. 3.18 ergibt sich für den Betrag
der Beschleunigung aC :
ac = 2 · ω · v
(3.19)
Berüksichtigt man die Vektoreigenschaften der beteiligten Größen so erhält man
für #»
a c:
#»
#»
a = 2 · #»
v ×ω
(3.20)
c
#»
Für die Corioliskraft F c auf den sich bewegenden Körper der Masse m ergibt
sich dann:
#»
F c = m · #»
ac
(3.21)
3.5. Äußere Reibung
Unter Reibung, auch als Friktion bezeichnet, versteht man im Allgemeinen die
Hemmung einer Bewegung zwischen sich berührenden Festkörpern (äußere Reibung) oder Teilchen (innere Reibung). Die äußere Reibung, oft auch als Festkörperreibung bezeichnet, tritt zwischen den Oberflächen von sich berührenden
Festkörpern auf.
Sollen sich berührende Körper zueinander in Bewegung setzten bzw. bewegen sie
sich schon zueinander, dann tritt Aufgrund der äußeren Reibung zwischen den
Körpern eine Kraft, die sogenannte Reibungskraft FR auf. Diese Kraft entsteht
durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen in den obersten Atomlagen der
beiden sich berührenden Oberflächen (Berührungsfläche). Durch Unebenheiten
der Körperoberflächen wird die Reibungskraft bei der Berührung noch verstärkt.
Diese Reibungskraft spielt eine entscheidende Rolle. Ohne äußere Reibung währen die meisten praktischen Vorgänge des Alltags nicht möglich.
Die Reibungskraft FR ist unabhängig von der Größe der Berührungsfläche (siehe
Abb. 3.13) und in erster Näherung von der Normalkraft auf die Berührungsfläche
der beiden Körper sowie von der Reibungszahl µ abhängig:
FR = µ · FN
(3.22)
Es muss zwischen Haftreibung (Ruhereibung) und Bewegungsreibung z.B. Gleitreibung unterschieden werden.
Version: 4. März 2016
46
Labor Technische Physik
3.5. Äußere Reibung
Abbildung 3.13:
Die Reibkraft ist abhängig von der Beschaffenheit der Berührungsflächen und von der
Normalkraft.
3.5.1. Haftreibung
Haftreibung tritt zwischen zwei ruhenden Körpern auf, die durch eine Kraft F
zueinander in Bewegung gesetzt werden sollen. Bei geringer Kraft F ist die Haftreibungskraft FRH zunächst entgegengesetzt gleich groß wie F , sodass der Körper
weiterhin ruht. Die Reibungskraft FRH steigt mit größer werdender Kraft F bis
zu einem Maximalwert FRHmax an, bei dem die Körper anfangen gegeneinander
zu gleiten.
Abbildung 3.14:
Die Beziehung zwischen F und FRH .
Für die maximale Haftreibungskraft FRHmax gilt:
FRHmax = µH · FN
(3.23)
Dabei ist µH der Haftreibungskoeffizient. Er hängt von den Materialien der
sich berührenden Körper und von der Beschaffenheit ihrer Oberflächen ab.
Material
µH
µG
Stahl auf Stahl
Messing auf Stahl
Alu auf Alu
Glas auf Glas
Teflon auf Teflon
Teflon auf Stahl
Gummi auf trockenem Asphalt
Gummi auf nassem Asphalt
0,7
0,5
1,1
0,9
0,04
0,04
1,2
0,6
0,6
0,4
0,8-1,0
0,4
0,04
0,04
1,05
0,4
Tabelle 3.1.: ungefähre Werte für Reibungskoeffizienten
47
Version: 4. März 2016
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Dynamik
3.5.2. Gleitreibung
Gleitreibung tritt an den Berührungsflächen zwischen Körpern auf, die sich relativ zueinander bewegen. Sie ist ebenfalls - wie die Haftreibung- abhängig von
der Normalkraft und unabhängig von der Größe der Berührungsfläche. Es ergibt
sich die analoge Beziehung für die Gleitreibung:
FRGL = µGl · FN
(3.24)
Abbildung 3.15:
Die Beziehung zwischen
F und FRGl .
Der Gleitreibungskoeffizient µGl hängt vom Material beider sich berührenden
Körper, von der Beschaffenheit ihrer Berührungsflächen und von der Relativgeschwindigkeit der beiden Körper ab. Der Gleitreibungskoeffizient µGl ist aber
immer kleiner als der Haftreibungskoeffizient µH .
Die Gleitreibungskraft FRGl ist immer der wirkenden Kraft F entgegengesetzt.
Sind beide Kräfte gleich groß, dann werden die Körper nicht beschleunigt und
sie bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v zueinander.
Haftreibung
wirkende Kraft
Reibungskraft
Beschleunigung
Geschwindigkeit
F < µH · FN
F = µH · FN
F RH = F
FRHmax = µH · FN
a=0
a=0
v=0
v=0
Gleitreibung
wirkende Kraft
Reibungskraft
Beschleunigung
Geschwindigkeit
F = µGl · FN
F > µGl · FN
FRGl = µGl · FN
FRGl = µGl · FN
a=0 a = m1 · F −FRGl
v = v0 = konstant
v = v0 + a · t
Tabelle 3.2.: Zusammenhang der physikalischen Größen im Fall der äußeren Reibung
Version: 4. März 2016
48
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3.6. Impulserhaltung
3.6. Impulserhaltung
Wie schon im Abschnitt 3.2.1.2 besprochen, beschreibt die physikalische Größe
Impuls die Bewegung eines massebehafteten Körpers. Der Impuls ist wie die mit
ihm verknüpfte Geschwindigkeit eine Vektorgröße. Der Impuls hat also einen Betrag und weist in Richtung der Geschwindigkeit des Körpers.
Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße. Erhaltungsgrößen lassen sich aus physikalischen Größen berechnen, die den Zustand eines Systems beschreiben, beispielsweise Ort und Geschwindigkeit von Teilchen. Während sich diese Zustandsgrößen
bei Bewegung mit der Zeit ändern, bleiben die daraus berechneten Erhaltungsgrößen zeitlich konstant.
Der Impuls eines Teilchens ist in einem abgeschlossenen System
zeitlich konstant.
Diese Aussage ist auch als Impulserhaltungssatz bekannt. Abgeschlossenes
System bedeutet, dass das Teilchen keine Wechselwirkungen mit seiner Umgebung hat, d. h. es wirkt keine Kraft von außen auf das Teilchen. Betrachtet man
ein abgeschlossenes System aus mehreren Teilchen, dann bleibt der Gesamtimpuls aller Teilchen zeitlich konstant, wobei sich die Teilimpulse der einzelnen
Teilchen durchaus zeitlich ändern können.
Abbildung 3.16:
Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen
in einem abgeschlossenen System führt
zu einer Änderung der Teilimpulse. Der
Gesamtimpuls #»
p ges bleibt konstant.
Ein annähernd abgeschlossenes System ist z.B. ein schwimmendes Boot mit einer
Person (siehe Abb. 3.17). Hat das Boot und die Person relativ zum Wasser keine
Geschwindigkeit, dann ist der Gesamtimpuls von Boot und Person Null.
Abbildung 3.17.: Geht ein Mann im Boot nach vorne, so bewegt sich das Boot nach hinten.
Der Gesamtimpuls bleibt ständig Null.
49
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Labor Technische Physik
Dynamik
Wirken von außen Kräfte auf das betrachtete System, dann ist es nicht mehr
abgeschlossen und man erhält den Impulssatz:
Bei einem System von Massenpunkten ist die resultierende äußere
Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Gesamtimpulses aller Massenpunkte.
Diese entspricht dem schon in Kapitel 3.2.2 erwähnten Zusammenhang zwischen
Kraft und Impuls.
3.6.1. Stoßprozesse
Wenn sich während eines Bewegungsablaufs zwei oder mehrere Körper kurzzeitig
berühren und dabei Kräfte aufeinander ausüben, bezeichnet man diesen Vorgang
als Stoß. Als Folge ändern die Körper ihren Bewegungszustand, möglicherweise
auch ihre Form.
Bei allen Stoßprozessen bleibt die Gesamtenergie der am Stoß beteiligten Massenteilchen erhalten. Es kann jedoch ein Teil der kinetischen Energie beim Stoß
in eine andere Energieform z.B. in potentielle Energie oder in Wärmeenergie
umgewandelt werden. Der Gesamtimpuls der Stoßpartner bleibt ebenfalls immer
erhalten.
Die Grundgleichungen für Stoßprozesse zwischen zwei Stoßpartnern, bei denen
die Geschwindigkeiten #»
v i der Stoßpartner klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit c, lassen sich also schreiben als:
Impulserhaltung:
#»
p 0+
| 1 {z
#»
p 1 + #»
p2
p 20 = #»
nachher
}
|
{z
vorher
(3.25)
}
Energieerhaltung:
1
1
1
1
· m1 · v120 + · m2 · v220 + Uinn0 = · m1 · v12 + · m2 · v22 + Uinn
2 {z
2{z
|2
}
|2
}
nachher
(3.26)
vorher
Dabei ist Uinn0 die innere Energie der Teilchen nach dem Stoß und Uinn die innere
Energie der Teilchen vor dem Stoß. Zur Beschreibung von Stößen wird die Größe
Q eingeführt. Q ist die Differenz zwischen der kinetischen Energie nach- und vor
dem Stoß.
Q=
1
1
1
1
· m1 · v120 + · m2 · v220 − · m1 · v12 + · m2 · v22
|2
{z 2
} |2
{z 2
}
kin. Energie nach dem Stoß
(3.27)
kin. Energie vor dem Stoß
Je nach der Größe von Q unterscheidet man drei Fälle:
Version: 4. März 2016
50
Labor Technische Physik
3.6. Impulserhaltung
• Q=0
Die gesamte kinetische Energie bleibt erhalten, wobei sich die kinetische
Energie jedes einzelnen Teilchens ändern kann! Diese Art von Stoß bezeichnet man als elastischer Stoß.
• Q<0
Die gesamte kinetische Energie nach dem Stoß ist kleiner als vorher. Ein
Teil der kinetischen Energie ist in innere Energie verwandelt worden. Diese
Art von Stoß bezeichnet man als unelastischer Stoß erster Ordnung oder
endoenergetischer Stoß.
Bleiben beide Stoßpartner nach dem Stoß zusammen, stellt dies den maximalen unelastischen Stoß dar. Beide Körper bewegen sich dann nach dem
Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit:
m1 · #»
v 1 + m2 · #»
v2
#»
v 120 =
m1 + m2
(3.28)
Abbildung 3.18:
maximal unelastischer Stoß:
(a) Körper vor dem Stoß.
(b) Körper nach dem Stoß.
• Q>0
Mindestens einer der Stoßpartner besaß vor dem Stoß innere Energie, die er
ganz oder teilweise beim Stoß abgibt. Die gesamte kinetische Energie beider
Stoßpartner ist nach dem Stoß größer als vor dem Stoß. Diese Art von Stoß
bezeichnet man als superelastischer Stoß, oder auch als unelastischer
Stoß zweiter Ordnung oder exoenergetischer Stoß.
Ein unelastischer oder superelastischer Stoß kann nur vorkommen, wenn mindestens einer der Stoßpartner eine innere Struktur hat, also aus kleineren Bausteinen
zusammengesetzt ist (z. B. Atomkerne, Atome, Moleküle oder makroskopische
Körper). Ein Teil der kinetischen Energie kann dann in die innere Energie dieses
zusammengesetzten Systems umgewandelt werden. Bei einem System aus vielen
Teilchen (z. B. ein Festkörper) kann man dieser inneren Energie eine Temperatur
zuordnen. Man nennt sie dann thermische Energie.
51
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
3.6.2. Raktengleichung
Mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes kann man die Geschwindigkeit #»
v Rak von
Raketen berechnen. Wenn von der Rakete das Verbrennungsgas mit der Geschwindigkeit #»
v T reib relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird, muss die
Rakete ihre Geschwindigkeit in Flugrichtung erhöhen, damit der Gesamtimpuls
unverändert bleibt. Der Impuls des Verbrennungsgases ist ebenso groß wie die
Impulszunahme der Rakete.
Abbildung 3.19:
Zur Herleitung der Raketengleichung.
Die Rakete wird kontinuierlich durch den Rückstoß der ausströmenden Treibgase
beschleunigt. Die ausgestoßenen Treibgase mit der Masse dmT reib besitzen einen
Impuls
d #»
p T reib = dmT reib · #»
v T reib
(3.29)
Die Rakete erfährt dabei die Impulsänderung:
d #»
p Rak = mRak · d #»
v Rak
(3.30)
Nach dem Impulserhaltungssatz gilt:
d #»
p Rak = −d #»
p T reib
#»
mRak · d v Rak = −dmT reib · #»
v T reib
(3.31)
(3.32)
Die ausgestoßenen Treibgase dmT reib entsprechen dabei der Abnahme der Raketenmasse. Es gilt:
dmT reib = −dmRak
(3.33)
Man erhält damit für Gl. 3.32:
d #»
v Rak =
Version: 4. März 2016
dmRak #»
· v T reib
mRak
(3.34)
52
Labor Technische Physik
3.7. Kraftfelder
Um die Endgeschwindigkeit #»
v e am Ende der Brennzeit zu erhalten, integriert
#»
man d v Rak zwischen der Startmasse m0 und der Masse me der Rakete am Ende
der Brennzeit:
Zve
d #»
v Rak = #»
v T reib
Zme
m0
0
1
dmRak
mRak
(3.35)
Man erhält dann:
me
#»
v e = #»
v T reib · ln
m0
(3.36)
Daraus folgt, dass bei vorgegebener Endgeschwindigkeit ve hohe Treibstoffgeschwindigkeiten vT reib günstigere Massenverhältnisse ergeben.
3.7. Kraftfelder
Oft ist die auf einen Massenpunkt oder Körper wirkende Kraft vom Ort abhängig,
an dem sich der Massenpunkt oder Körper befindet. Ist für jeden Raumpunkt
die Größe und Richtung der Kraft eindeutig zuzuordnen, so spricht man von
#»
einem Kraftfeld F ( #»r ) . Durch sogenannte „Kraftlinien“ kann die Richtung der
Kraft zeichnerisch deutlich gemacht werden. Die Kraftlinien werden dabei so
#»
gezeichnet, dass die Kraft F (x,y,z) eine Tangente an die Kraftlinien im Punkt
P(x,y,z) ist.
Häufig hat die Kraft in jedem Raumpunkt nur eine Radialkomponente, welche
vom Radius r zwischen Ursprung und Raumpunkt abhängt. Solche Kraftfelder
werden Zentralkraftfelder genannt.
3.8. Arbeit und Energie
3.8.1. Arbeit
#»
Wirkt eine Kraft F auf einen Massenpunkt und verschiebt diesen, dann hat die
Kraft den Zustand des Massenpunktes verändert, man sagt die Kraft hat Arbeit verrichtet. Betrachtet man einen Massenpunkt welcher in einem Kraftfeld
#»
F ( #»r ) eine Wegstrecke ∆ #»
r zurücklegt (siehe Abb. 3.20), dann ist die mechanische Arbeit, welche von der Kraft am Massenpunkt verrichtet wird, definiert als
Skalarprodukt:
#»
∆W = F ( #»
r ) · ∆ #»
r
(3.37)
Die Arbeit ist also eine skalare Größe. Für Gl. 3.37 ergibt sich:
∆W = F · ∆r · cos Θ
53
(3.38)
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Dabei ist F · cos Θ = FT die Tangentialkomponente der Kraft in Richtung der
Verschiebung. Die Arbeit ist das Produkt aus der Kraft längst der Verschiebung
#»
(Tangentialkomponente FT der Kraft F ( #»
r ) ) und der Verschiebung ∆ #»
r.
Abbildung 3.20:
Zur Definition der Arbeit.
#»
Aus Gl. 3.38 geht auch hervor, dass wenn die Kraft F ( #»r ) und die Verschiebung
∆ #»
r senkrecht aufeinander stehen die geleistete Arbeit Null ist.
Die international verwendete Einheit für die Arbeit ist das „Joule“. Es gilt :
1 J = 1 Nm = 1 W s
#»
Bewegt sich der Massenpunkt aufgrund einer Kraft F ( #»r ) vom Punkt P1 nach
P2 (siehe Abb. 3.21), dann erhält man die gesamte Arbeit aus der Summe der
Einzelbeträge ∆W .
Abbildung 3.21:
Zur Berechnung der
Arbeit WP1 P2 .
Version: 4. März 2016
54
Labor Technische Physik
3.8. Arbeit und Energie
Es gilt:
WP1 P2 =
X
X
∆Wi =
#»
F ( #»r i ) · ∆ #»
ri
(3.39)
Im Grenzfall ∆ #»
r i → 0 geht die Summe aus Gl. 3.39 in ein Wegintegral über:
WP1 P2 =
ZP2
#»
F ( #»r ) · d #»
r
(3.40)
P1
Man beachte, dass bei der Definition der Arbeit, die Zeit während der die Arbeit
an einem Körper verrichtet wird, keine Rolle spielt.
3.8.2. Beispiele zur Arbeit
Man kann die Beispiele in zwei große Gruppen einteilen:
• Die Kraft ist unabhängig vom Ort. Während der Bewegung des Körpers
wirkt sie mit einem konstanten Wert auf den Körper.
• Die Kraft ist abhängig vom Ort. Während der Bewegung des Körpers wirkt
sie mit einem nicht konstanten Wert auf den Körper.
3.8.2.1. Beispiele mit ortsunabhängiger Kraft
• Eine konstante Kraft beschleunigt einen Körper:
Abbildung 3.22:
Beschleunigungsarbeit
konstanten Kraft.
einer
Durch die Kraft F wird der Körper beschleunigt. Es gilt :
d #»
v
#»
F = m · #»
a =m·
dt
(3.41)
Für die geleistete Arbeit erhält man:
WP1 P2 =
ZP2
#»
F · d #»
s
(3.42)
P1
55
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Mit Gl. 3.41 und d #»
s = #»
v dt kann man für Gl.3.42 schreiben:
WP1 P2 =
ZP2
#»
F · d #»
s
(3.43)
d #»
v #»
m·
· v dt
dt
(3.44)
P1
=
ZP2
P1
=
v1Z(P1 )
m #»
v d #»
v
(3.45)
v2 (P2 )
Die Integration zeigt, dass die am Körper geleistete Arbeit nur von der
Differenz der Quadrate der Geschwindigkeiten abhängt:
1
= · m · v2 2 − v1 2
2
WP1 P2
(3.46)
• Hangabtriebskraft:
Befindet sich ein Körper auf einer reibungsfreien schiefen Ebene, dann sorgt
#»
die Hangabtriebskraft F H dafür, dass an dem Körper eine Arbeit verrichtet
wird.
Abbildung 3.23:
Arbeit durch die Hangabtriebskraft bei einer reibungsfreien schiefen Ebene.
#»
Aus der Gravitationskraft F G = m · #»
g auf den Körper berechnet sich die
#»
Hangabtriebskraft F H . Für den Betrag von FH gilt:
FH = m · a
= m · g · sin α
(3.47)
(3.48)
Die am Körper geleistete Arbeit berechnet sich zu:
W P2 P1 =
ZP1
#»
F H · d #»
s
(3.49)
P2
= FH · s
Version: 4. März 2016
(3.50)
56
Labor Technische Physik
3.8. Arbeit und Energie
Mit s =
h2 −h1
sin α
und Gl.3.48 ergibt sich:
WP2 P1 = m · g · h2 − h1
(3.51)
Die am Körper geleistete Arbeit ist anhängig von der Höhendifferenz.
3.8.2.2. Beispiele mit ortsabhängiger Kraft
• Arbeit beim Dehnen einer Feder:
Wird eine Feder um eine kleine Strecke x gedehnt, dann übt die Feder eine
Federkraft FF = −c · x aus, die proportional und entgegengesetzt der Dehnungsstrecke ist.
Abbildung 3.24:
Kraft die zur Dehnung einer Feder
aufgewendet werden muss.
Für eine Feder gilt dies nur bis zur Elastizitätsgrenze. Der Proportionalitätsfaktor c ist die sogenannte Federkonstante und wird in der Einheit
angegeben. Sie hängt sowohl vom Material und der Form der Feder
[c] = N
m
ab.
Wenn eine Feder ohne Beschleunigung gedehnt wird, dann muss eine Kraft
F auf die Feder ausgeübt werden, die gleich groß wie die Federkraft FF ist
und ihr entgegen wirkt. Für die Arbeit Wx die geleistet werden muss, um
die Feder um die Strecke x zu dehnen ergibt sich:
Wx =
Zx
F dx =
0
Zx
c · x dx
(3.52)
0
1
= · c · x2
2
(3.53)
• Arbeit im Gravitationsfeld der Erde;
Bewegt man sich radial zum Erdmittelpunkt über einen größeren Bereich,
dann kann die Gravitationskraft nicht als konstant angenommen werden.
Für den Betrag der Gewichtskraft gilt (siehe Kapitel 5):
FG(r) = G
57
m · ME
r2
(3.54)
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Abbildung 3.25:
Gewichtskraft aufgrund des
Gravitationsfeldes der Erde.
Für die Arbeit Wr1 r2 die geleistet werden muss, um einen Körper von r1
nach r2 zu bewegen, ergibt sich:
Wr1 r2 = G · m · ME
Zr2
r1
1
dr
r2
1
1
= G · m · ME ·
−
r1 r2
(3.55)
(3.56)
3.8.3. Konservative Kraftfelder
Gegeben sei ein Kraftfeld F(x,y,z) bei dem die auf den Körper wirkende Kraft vom
Raumpunkt (x, y, z) abhängt an dem sich der Körper befindet. Wird der Körper
vom Punkt P1(x1 ,y1 ,z1 ) (Zustand 1) in den Punkt P2(x2 ,y2 ,z2 ) (Zustand 2) bewegt,
dann muss dafür die Arbeit WP1 P2 verrichtet werden.
Abbildung 3.26:
Zur Wegunabhängigkeit der Arbeit
in einem konservativen Kraftfeld.
Ist diese Arbeit WP1 P2 für beliebige Wege zwischen Punkt P1 und Punkt P2 konstant, dann ist das Integral wegunabhängig und das Kraftfeld F(x,y,z) konservativ.
In einem konservativen Kraftfeld ist die Arbeit bei der Bewegung
eines Massenpunktes auf einem geschlossenen Weg Null.
Version: 4. März 2016
58
Labor Technische Physik
3.8. Arbeit und Energie
Die Arbeit hängt nur ab vom Ort P1 an dem die Bewegung beginnt und vom
Ort P2 bei dem die Bewegung endet, nicht aber vom Weg zwischen P1 und P2 .
ZP2
#»
F · d #»
ra+
ZP1
P2
P1
I
#»
F · d #»
rb = 0
(3.57)
#»
F · d #»
r =0
(3.58)
3.8.4. Leistung
Das Verhältnis von der an einem Körper verrichteten Arbeit W und die dafür
benötigte Zeitspanne ∆t ist eine weitere wichtige physikalische Größe und wird
Leistung P genannt:
P =
W
∆t
(3.59)
Physikalisch gesehen stellt die Leitung eine auf die Zeit normierte Arbeit dar.
Für die Maßeinheit der Leistung gilt:
h i
P =
J
Nm
= =W
s
s
(3.60)
Die Leistung hängt vom Zeitintervall ∆t ab. Beim Grenzübergang ∆t → 0 ergibt sich der Momentanwert der Leistung in einem bestimmten Zeitpunkt t, die
sogenannte Momentanleistung:
dW
W
#»
=
= F #»r (t) · #»
v (t)
∆t→0 ∆t
dt
P = lim
(3.61)
3.8.5. Wirkungsgrad
Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe und beschreibt das Verhältnis
der in einer bestimmten Zeit erhaltenen Nutzenergie Wab zur in der gleichen
Zeit zugeführten Energie Wzu . Üblicherweise wird der Wirkungsgrad mit dem
griechischen Buchstaben η gekennzeichnet und ist stets kleiner Eins.
η=
Wab
Nutzenergie
=
zugeführte Energie
Wzu
(3.62)
Da die erhaltene Nutzenergie und die zugeführte Energie im gleichen Zeitraum
betrachtet werden, erhält man den Wirkungsgrad auch aus dem Verhältnis von
Nutzleistung zu zugeführter Leistung:
η=
59
Nutzleistung
Pab
=
zugeführte Lesitung
Pzu
(3.63)
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Abbildung 3.27.:
Darstellung des Wirkungsgrads einer Glühlampe in einem Sankey-Diagramm.
3.8.6. Energie
Die physikalische Größe Arbeit wird einem Vorgang zugeordnet, bei dem Energie umgesetzt wird, während die Energie den Zustand eines Körpers oder eines
Systems beschreibt. Dieser Zusammenhang lässt sich ausdrücken durch:
W = ∆E
(3.64)
Die Größe ∆E ist vorzeichenbehaftet. Wenn Arbeit an einem System verrichtet,
dann ist ∆E positiv, wird Arbeit vom System verrichtet, dann wird ∆E negativ.
Abbildung 3.28:
Das System A verrichtet Arbeit am System B.
Die Abnahme des Energiegehaltes ∆EA (negativ) bei A entspricht der verrichteten Arbeit W
bzw. der Zunahme des Energiegehaltes ∆EB
(positiv) bei B.
Arbeit bedeutet Energieübertragung zwischen zwei Systemen. Diese
Übertragung ist eventuell verbunden mit einer Änderung der Energieform.
3.8.6.1. Kinetische Energie
Die kinetische Energie auch als Bewegungsenergie bekannt, ist die Energie, die
ein Körper aufgrund seiner Bewegung enthält. Bei einem rotierenden starren
Körper und einer Geschwindigkeit vs seines Schwerpunktes, setzt sich die kinetische Energie zusammen als die Summe seiner Energie aus der Bewegung seines
Version: 4. März 2016
60
Labor Technische Physik
3.9. Dynamik der Drehbewegung
Schwerpunkts die sogenannte Translationsenergie und der Rotationsenergie
aus der Drehung um den Schwerpunkt.
3.8.6.2. Potentielle Energie
Die potentielle Energie auch Lageenergie genannt, ist die Energie eines physikalischen Systems, die durch die aktuelle Konfiguration des Systems (z. B. eine
gespannte Feder oder durch die Lage eines Körpers in einem Kraftfeld) bestimmt
wird.
3.9. Dynamik der Drehbewegung
3.9.1. Drehimpuls
Bewegt sich ein Massenpunkt auf einer beliebig gekrümmten Bahn, dann kann
#»
eine weitere wichtige Größe definiert werden, der Drehimpuls L.
Er charakterisiert die Bewegung des Massenpunktes auf gekrümmten Bahnen
(ähnlicher wie der Impuls die Bewegung von Körpern bei der gradlinigen Bewegung beschreibt). Die Angabe des Dehimpulses bezieht sich immer auf einen
vorgewählten Punkt im Raum. Im Fall eines frei rotierenden Körper ist dies meistens der Schwerpunkt. Dreht sich der Körper um eine vorgegebene Achse, wird
meistens ein Punkt auf der Achse gewählt.
Für einen Massenpunkt m mit dem Impuls #»
p (t) = m · #»
v (t) der sich bezüglich eines Raumpunktes O auf einer beliebigen Bahn #»
r (t) bewegt wird der
#»
Drehimpuls L(t) definiert als:
#»
L(t) = #»
r (t) × #»
p (t)
(3.65)
Die Einheit des Drehimpuls ist:
h #»i
L = N m s = kg m2 /s
(3.66)
Für die Gl. 3.65 kann man auch schreiben:
#»
L(t) = m · #»
r (t) × #»
v (t)
(3.67)
Verläuft die Bewegung in einer ebenen, aber beliebig gekrümmten Bahn, dann
spannen die beiden Vektoren #»
r (t) und #»
v (t) dabei eine Ebene auf und der Vektor
#»
L(t) steht dann senkrecht auf dieser Ebene (siehe Abb. 3.29).
Die Geschwindigkeit #»
v (t) kann man dann in zwei ebenfalls zeitabhängige Komponenten zerlegen:
• #»
v #» , liegt parallel zu #»
r in der #»
r , #»
v Ebene
kr
• #»
v ⊥ #»r , liegt senkrecht zu #»
r in der #»
r , #»
v Ebene
61
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
Abbildung 3.29:
#»
Der Drehimpuls L(t) bezüglich eines
frei gewählten Raumpunktes O bei einer
ebenen Bewegung des Massenpunktes in
der #»
v , #»
r Ebene.
Mit diesen Komponenten erhält man für Gl. 3.67:
i
h
#»
v k #»r + #»
v ⊥ #»r
r × #»
L = m · #»
(3.68)
#»
Weil #»
r × #»
v k #»r = 0 ergibt, gilt für den Drehimpuls L:
i
h
#»
r × #»
v ⊥ #»r
L = m · #»
(3.69)
#»
#» × #»
Mit #»
v ⊥ #»r = ω
r ergibt sich für den Betrag des Drehimpulses L :
#»
L
= m · r2 · ω
(3.70)
#»
Der Drehimpulsvektor L zeigt in die Richtung, die mit dem Ortsvektor #»
r und
#»
dem Geschwindigkeitsvektor v eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die
Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung
der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses.
Abbildung 3.30:
Mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel
kann die Richtung des Drehimpulsvektors durch die Daumenrichtung
bestimmt werden.
Drehimpuls und wie auch das im nächsten Kapitel besprochene Drehmoment,
sind immer in Bezug auf einen festgelegten Punkt O (z. B. den Ursprung des
Koordinatensystems) definiert. Auch ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn bewegt, hat einen Drehimpuls, bezogen
auf einen Punkt O, der nicht auf der Geraden liegt.
Version: 4. März 2016
62
Labor Technische Physik
3.9. Dynamik der Drehbewegung
Abbildung 3.31:
#»
Der Drehimpuls L(t) eines Teilchens
auf einer geraden Bahn bezüglich eines Bezugspunktes O, der nicht auf der
Geraden liegt.
3.9.2. Drehmoment
#»
Das Drehmoment M spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für
geradlinige Bewegungen. Die Ursache einer beschleunigten Translationsbewegung
#»
eines Massenpunktes bzw. Körpers ist eine angreifende Kraft F . Die Ursache
einer beschleunigten Rotationsbewegung um eine vorgegebene Drehachse ist ein
#»
Drehmoment M das auf den Massenpunkt bzw. Körper ausgeübt wird.
Abbildung 3.32:
#»
Das Drehmoment M an einer Welle:
Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft
#»
F senkrecht zum Abstandsvektor #»
r.
Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen
und den Körper verwinden oder verbiegen. Das Drehmoment ist abhängig vom
#»
Betrag und der Richtung der Kraft F und dem Abstand #»
r des Angriffspunktes
bzw. der Wirkungslinie der Kraft zur Drehachse (siehe Abb. 3.33).
63
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
#»
Abbildung 3.33.: Abhängigkeit des Drehmoments von der Kraft F und dem Abstand #»
r
vom Drehpunkt aus zum Angriffspunkt der Kraft.
SP: Schwerpunkt DP: Drehpunkt
#»
#»
Die Richtung des Drehmoments M steht senkrecht auf der von #»
r und F aufgespannten Ebene. Das Drehmoment ist definiert als Vektorprodukt aus dem
#»
Radiusvektor #»
r und der äußeren Kraft F :
#»
#»
M = #»
r ×F
(3.71)
Die Maßeinheit des Drehmoments im internationalen Einheitensystem ist das
Newtonmeter:
h # »i
M =Nm=
kg m2
s2
(3.72)
Die Einheit der mechanischen Arbeit ist ebenfalls das Newtonmeter. Drehmoment und Arbeit sind dennoch unterschiedliche physikalische Größen, die sich
nicht ineinander umrechnen lassen weshalb man die Einheit der Arbeit als Joule
bezeichnen darf, diejenige des Drehmoments aber nicht. Die Arbeit ist eine skalare Größe, das Drehmoment ist dagegen ein Vektor.
Version: 4. März 2016
64
Labor Technische Physik
3.9. Dynamik der Drehbewegung
3.9.3. Zusammenhang zwischen Drehimpuls und
Drehmoment
Wird die Drehimpulsgleichung (Gl. 3.65) nach der Zeit differenziert, dann erhält
man:
#»
dL
d #» #»
=
[r × p]
(3.73)
dt
dt
# "
#
" #»
d #»
p
dr
#»
#»
×p + r ×
(3.74)
=
dt
dt
= ( #»
v × #»
p ) + #»
r × #»
p˙
(3.75)
#»
Weil #»
v k #»
p ist, folgt #»
v × #»
p = 0 und da F = #»
p˙ ist, ergibt sich für Gl.3.75:
#» dL
#»
r ×F
(3.76)
= #»
dt
#»
dL
#»
=M
(3.77)
dt
#»
dL
eines Teilchens, ist das einwirkende
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses
dt
#»
Drehmoment M auf dieses Teilchen.
#»
Der Drehimpuls L eines Teilchens relativ zu einem Bezugspunkt ist konstant,
wenn das Drehmoment bezogen auf diesen Punkt Null ist.
Für eine Teilchen mit konstantem Drehimpuls können folgende Fälle unterschieden werden:
#»
• Auf das Teilchen wirkt keine Kraft F . Daher bewegt sich das Teilchen auf
einer gradlinigen Bahn mit konstanter Geschwindigkeit #»
v.
Abbildung 3.34:
Auf ein Teilchen, welches sich auf einer geradlinigen Bahn bewegt, wirkt kein Drehmoment
#»
#»
M . Daher bleibt der Drehimpuls L des Teilchens bezüglich eines Punktes P außerhalb der
Bahnkurve konstant.
• Der Abstand #»
r vom Bezugspunkt O zum Teilchen liegt auf der Wirkungs#»
linie der Kraft F . Dies kann z. B. bei Zentralkräften vorkommen, da sie
65
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Dynamik
in jedem Raumpunkt nur eine Radialkomponente haben, deren Betrag nur
vom Abstand r vom Nullpunkt P abhängt (siehe Abb. 3.35). Der Drehim#»
#»
puls L eines Teilchens bezogen auf diesen Punkt P ist konstant, da #»
r kF
#»
ist und daher #»
r × F = 0 ist.
Abbildung 3.35:
#»
Konstanter Drehimpuls L eines Teilchens
bezüglich des Ursprungs der Zentralkraft
auf das Teilchen.
3.9.4. Drehimpulserhaltung
Bei der Drehbewegung in einem abgeschlossenen System gilt in völliger Analogie
zur Impulserhaltung der linearen Bewegung:
Der Drehimpuls eines Teilchens ist in einem abgeschlossenen System
zeitlich konstant.
Dies Aussage bezeichnet man auch als Drehimpulserhaltungssatz. Abgeschlossenes System bedeutet, dass das Teilchen keine Wechselwirkungen mit seiner
Umgebung hat, d.h es wirkt kein Drehmoment von außen auf das Teilchen. Betrachtet man ein abgeschlossenes System aus mehreren Teilchen, dann bleibt der
Gesamtdrehimpuls aller Teilchen zeitlich konstant, wobei sich die Teildrehimpulse der einzelnen Teilchen durchaus zeitlich ändern können. Auf die einzelnen
Teilchen können also Drehmomente wirken, die Summe aller Drehmomente ist
aber Null. Der Drehimpuls ist eine vektorielle Erhaltungsgröße. Das bedeutet
insbesondere auch, dass die Drehachse einer Rotationsbewegung erhalten bleibt,
sofern sich das Trägheitsmoment (siehe 4.5.1) nicht ändert und kein äußeres Drehmoment wirkt. Dieser Effekt erlaubt es, mit Hilfe von Kreiseln zu navigieren. Die
Drehachse eines sogenannten Gyroskops zeigt immer in dieselbe Richtung, auf
die Schiffe oder Flugzeuge dann ihren Kurs beziehen können.
3.9.5. Arbeit und Energie bei der Drehbewegung
#»
Wird durch ein Drehmoment M ein Körper um eine Achse A in eine Drehbewegung versetzt, dann wird nach Gl. 3.40 eine Arbeit verrichtet.
Version: 4. März 2016
66
Labor Technische Physik
3.9. Dynamik der Drehbewegung
Abbildung 3.36:
Zur Definition der Arbeit bei einer
Drehbewegung.
Für die Bewegung des Körpers in Bild 3.36 vom Punkt P1 zum Punkt P2 muss
am Körper Arbeit verrichtet werden:
W =
ZP2
#» #»
F · ds
(3.78)
P1
Wird Gl. 3.78 in Polarkoordinaten1 ausgedrückt, dann gilt:
W =
W =
W =
Zϕ2
ϕ1
Zϕ2
ϕ1
Zϕ2
#» # »
F · dϕ × #»
r
2
#» # »
#»
r × F · dϕ
#» # »
M · dϕ
(3.79)
(3.80)
(3.81)
ϕ1
Für ein konstantes Drehmoment M ergibt sich daraus:
W = M · (ϕ1 − ϕ2 )
(3.82)
1
Ein System mit Polarkoordinaten ist ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder
Punkt der Ebene durch den Abstand #»
r von einem vorgegebenen festen Punkt (Pol) und
#» zu einer festen Richtung festgelegt wird.
dem Winkel ϕ
Da der Pol auch der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist, erfolgt die Umrechnung durch: x = r · cos ϕ und y = r · sin ϕ
2
Es gilt:
#»
#»
#»
a · b × #»
c = b · ( #»
c × #»
a)
#»
= ( #»
c × #»
a) · b
67
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Labor Technische Physik
4. Mechanik starrer Körper
Bis jetzt wurden nur idealisierte Körper behandelt. Die Körper wurden als Massenpunkt betrachtet und ihre räumliche Ausdehnung vernachlässigt. In den vorherigen Kapitel wurde die Translation und Rotation von einzelnen Massenpunkten behandelt. Es gibt jedoch physikalische Phänomene, die mit der räumlichen
Ausdehnung eines Körpers zusammenhängen. Nachfolgend werden daher räumlich ausgedehnte Körper behandelt, die um einen Punkt oder eine Achse rotieren.
4.1. Modell eines starren Körpers
Ein Körper mit der Masse M und dem Volumen V kann in viele kleine Volumeneinheiten ∆Vi zerlegt werden (Abb. 4.1).
Abbildung 4.1:
Das Modell eines starren Körpers.
Der ganze Körper setzt sich dann aus diesen Volumeneinheiten zusammen. Es
gilt:
V =
M=
N
X
i=1
N
X
∆Vi
∆mi
i=1
4.2. Freiheitsgrade
In der Mechanik versteht man unter der Zahl der Freiheitsgrade eines Körpers
die Anzahl von unabhängigen Parameter, die zur Festlegung der Lage und Orientierung eines Körpers im Raum notwendig sind. Ein frei im Raum beweglicher
69
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Mechanik starrer Körper
Massenpunkt hat z. B. drei Freiheitsgrade. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines
starren Körpers ist in Abb. 4.2 ersichtlich.
Abbildung 4.2:
Zur Ableitung der Zahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers.
Greift man sich willkürlich einen Massenpunkt M1 heraus, so hat dieser drei
Freiheitsgrade. Ein zweiter Massenpunkt M2 kann sich dann lediglich auf einer
Kugel um M1 als Mittelpunkt bewegen, da der relative Abstand von M1 und M2
in einem starren Körper konstant ist. Der Körperpunkt M2 besitzt demnach nur
noch zwei Freiheitsgrade.
Schließlich kann sich ein dritter Massenpunkt M3 nur noch auf einem Kreis um
die Verbindungslinie M1 ↔ M2 bewegen und liefert somit nur noch einen zusätzlichen Freiheitsgrad. Alle weiteren Punkte sind durch die herausgegriffenen
drei Punkte festgelegt. Daher hat der frei bewegliche starre Körper 3 + 2 + 1 = 6
Freiheitsgrade.
Wird ein Körperpunkt festgehalten, so verbleiben nur noch 2 Freiheitsgrade, und
bei einer vorgegebenen festen Drehachse lediglich ein einziger Freiheitsgrad.
Die Bewegung eines starren Körpers kann in eine Translationsbewegung und eine Rotationsbewegung unterteilt werden. Bei einer Translation wird der Körper
parallel zu sich selbst verschoben, d.h. alle Volumenteile werden um den gleichen Vektor verschoben. Bei der Rotation eines starren Körpers drehen sich alle
Volumenelemente auf Kreisbahnen um eine feste Drehachse und zwar um den
gleichen Winkel ∆ϕ. Der Körper ändert zwar seine Orientierung im Raum, die
Punkte auf der Drehachse bleiben aber raumfest.
Abbildung 4.3:
Translationsbewegung (a) und Rotationsbewegung (b) eines starren
Körpers.
Version: 4. März 2016
70
Labor Technische Physik
4.3. Massenmittelpunkt und die Bewegunsgleichungen
4.3. Massenmittelpunkt und die
Bewegunsgleichungen
Um die Bewegung eines starren Körpers vollständig zu beschreiben, müssen die
sechs Freiheitsgrade durch sechs Bewegungsgleichungen abgedeckt werden. Um
diese zu finden, verwendet man ein im Bezugspunkt O liegendes raumfestes Koordinatensystem (x, y, z) und ein zweites im Körper verankertes „körperfestes“
Koordinatensystem (x0 , y 0 , z 0 ).
Abbildung 4.4.: (a) Koordinatensysteme zur Beschreibung der Bewegung.
(b)Berechnung des Schwerpunktes.
Eine wesentliche Vereinfachung ist, aber keineswegs zwingend, wenn man als Bezugspunkt P im Körper den Massenmittelpunkt S wählt (siehe Abb. 4.4).
Man kann ihn mathematisch berechnen, indem man ein mit der Masse M gewichtetes Mittel der Orte #»
r i von allen Massenelementen ∆mi des Körpers bildet.
Es gilt:
N
1 X
#»
#»
r i · ∆mi
rs =
M i=1
1 Z #»
#»
rs =
r i dm
M
(4.1)
(4.2)
M
Mit der Dichte % ist dm = ρ · dV und man erhält für Gl. 4.2:
% Z #»
#»
rs =
r dV
M
(4.3)
V
Der Massenmittelpunkt wir oft auch als Massenschwerpunkt (englisch: center
of gravitiy) bezeichnet. Diese Bezeichnung kommt daher, dass wenn ein Körper
71
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Mechanik starrer Körper
nur der Schwerkraft unterliegt und der Körper in diesem Punkt aufgehängt oder
unterstützt wird, er sich anschließend nicht bewegt oder dreht.
Die Translationsbewegung #»
v S des Massenmittelpunktes und damit aller Massenelemente ∆mi des Körpers ist:
d
#»
v S = #»
rS
dt
(4.4)
Abbildung 4.5:
Die Bewegung eines starren Körpers als
Überlagerung von Translation (Geschwindigkeit #»
v S ) und Rotation (Winkelge#») mit dem Massenmittelschwindigkeit ω
punkt S als Bezugspunkt.
Der Gesamtimpuls #»
p des Körpers als Integration über alle Einzelimpulse ∆mi · #»
vi
ist gleich dem Impuls #»
p s der Gesamtmasse M und der Geschwindigkeit #»
v S des
Schwerpunktes:
#»
p = M · #»
v
(4.5)
s
S
#»
Eine äußere Kraft F A die am Körper angreift führt zu einer Änderung des Impulses #»
p s:
d
#»
F A = #»
ps
(4.6)
dt
Gl. 4.6 ist die Bewegungsgleichung für die Translationsbewegung des starren Körpers. Als Vektorgleichung fasst sie drei unabhängige Bewegungsgleichungen für
die drei Freiheitsgrade der Translation zusammen. Sie besagt, dass die mit dem
Massenmittelpunkt S beschriebene Translationsbewegung so erfolgt, wie wenn
die äußere Kraft am Massenmittelpunkt angreifen würde und die Gesamtmasse
des Körpers dort vereinigt wäre.
Die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung wird mit Hilfe des zweiten
im Körper verankerten Koordinatensystems (x0 , y 0 , z 0 ) beschrieben. Mit S als Be#»
zugspunkt ist das Gesamtdrehmoment M S der äußeren Kräfte gleich der Summe
#»
#»
der Einzelmomente #»
r 0i × d F , wobei d F die am Massenelement dm angreifende
äußere Kraft darstellt. Es gilt:
N
X
#»
#»
#»
MS =
r 0i × d F
(4.7)
i=1
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72
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4.4. Äußere Kräfte am starren Körper
Entsprechend liefert die Summation bzw. Integration über die Einzeldrehimpulse
für den Gesamtdrehimpuls im x0 , y 0 , z 0 Bezugssystem:
#»
Ls =
=
Z∞
i=1
Z∞
#»
pi
r 0i × d #»
(4.8)
( #»
r 0i × #»
v i ) dm
(4.9)
i=1
=
Z
( #»
r × #»
v)d m
(4.10)
M
Wichtig ist, dass für Gl. 4.10 der Massenmittelpunkt S als Bezugspunkt gilt.
Dadurch ist diese Gleichung unabhängig von der Translationsbewegung #»
v S des
Massenmittelpunkts S und nimmt diese einfache Form an.
#» beschrieben und es gilt
Die Rotation wird durch die Winkelgeschwindigkeit ω
Gl. 2.34:
#»
#» × #»
v =ω
r
(4.11)
Aufgrund der Definition des Massenmittelpunktes können dort angreifende äußere Kräfte den Rotationszustand des Körpers nicht verändern, da sie wegen
des fehlenden Hebelarms kein Drehmoment ausüben. Der Massenmittelpunkt
eines Körpers muss nicht im Inneren des Körpers liegen. Z. B. liegt der Massenmittelpunkt eines Bumerangs oder eines Hochspringers außerhalb der jeweiligen
Körper. Ist der Körper aber konvex, so liegt der Massenmittelpunkt niemals außerhalb.
4.4. Äußere Kräfte am starren Körper
Bei einem Massenpunkt ist die Wirkung einer an ihm angreifenden äußeren Kraft
#»
#»
F a eindeutig durch Richtung und Größe von F a bestimmt. Bei einem starren
Körper genügen diese Angaben nicht, es muss zusätzlich der Angriffspunkt P
der Kraft bekannt sein, um die Bewegungsänderung des Körper durch die äußere
Kraft zu berechnen (siehe Abb. 4.6).
Für äußere Kräfte die an einem starren Körper angreifen gelten folgende Aussagen:
• Äußere Kräfte, die an einem starren Körper angreifen sind linienflüchtig.
Dies bedeutet, dass man bei einem starren Körper eine äußere Kraft beliebig längs ihrer Wirkungslinie verschieben kann, ohne dass sich der Bewegungszustand des Körpers ändert.
73
Version: 4. März 2016
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Mechanik starrer Körper
Abbildung 4.6:
#»
#»
Die beiden Kräfte F 1 und F 2 sind gleich
groß, haben aber verschiedene Angriffspunkte P1 und P2 . Wenn sie einzeln am Körper angreifen bewirken sie daher eine unterschiedliche Bewegung des Körpers.
Abbildung 4.7:
Linienflüchtigkeit einer Kraft am starren
Körper.
• Für die Wirkung eines Systems von äußeren Kräften auf einen starren Kör#»
per sind nur die resultierende Kraft F res und das resultierende Drehmoment
#»
#»
M res entscheidend. Der Angriffspunkt von F res am strarren Körper kann
irgendwo längs ihrer Wirkungslinie angenommen werden. Er muss nicht im
Schnittpunkt C der Wirkungslinien der Einzelkräfte liegen.
Abbildung 4.8:
#»
Die resultierende Kraft F res an
einem starren Körper.
Version: 4. März 2016
74
Labor Technische Physik
4.4. Äußere Kräfte am starren Körper
#»
• Alle Kräftesysteme mit gleicher resultierenden Kraft F res sind in ihrer Wirkung auf den Körper äquivalent.
• Die Bewegungsänderung eines ausgedehnten starren Körpers durch den
Einfluss einer äußeren Kraft lässt sich immer zusammensetzen aus der
Translation des Schwerpunktes und der Rotation des Körpers um den
Schwerpunkt.
Abbildung 4.9:
Aufteilung einer im Punkt P
des Körpers angreifenden äuße#»
ren Kraft F A in ein Kräftepaar
#» #»
F 2 F A und und eine am Schwer#»
punkt angreifende Kraft F 1 .
#»
In Abb. 4.9 soll nur die äußere Kraft F A am Körper im Punkt P angreifen.
#»
Nun fügt man zwei weitere gleich große aber entgegengesetzte Kräfte F 1
#»
und F 2 zum System hinzu, welche beide im Schwerpunkt S am Körper
angreifen. Diese beiden Kräfte ändern den Bewegungszustand des Körpers
nicht, da sie beide am gleichen Punkt S angreifen und ihre Resultierende
#»
#»
F 1 + F 2 = 0 ergibt.
Die Wirkungslinien der beiden gleich großen aber entgegengesetzten Kräf#»
#»
te F 2 und F A liegen parallel zueinander. Ein solches Kräftesystem wird
Kräftepaar genannt.
Ein starrer Körper erfährt durch die Wirkung eines Kräftepaares keine
Translationsbewegung. Ein solches Kräftepaar übt jedoch ein Drehmoment
#»
M auf den Körper aus. Bezogen auf den beliebig gewählten Ursprung O in
#»
#»
Abb. 4.9 wirken durch die beiden Kräfte F 2 und F A die Drehmomente:
#»
#»
M 2 = #»
r OS × F 2
#»
#»
M A = #»
r OP × F A
(4.12)
(4.13)
#»
#»
#» #»
#»
Mit F 2 = − F A erhält man für das gesamte Drehmoment M = M 2 + M A :
#»
#»
M = ( #»
r OP − #»
r OS ) × F A
#»
#»
M = #»
r SP × F A
75
(4.14)
(4.15)
Version: 4. März 2016
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Mechanik starrer Körper
#»
Die Kraft F 1 welche am Schwerpunkt des Körpers angreift, führt zu einer
Beschleunigung des Schwerpunktes. Wie schon anfangs erwähnt, kann man
zusammenfassen:
Eine an einem starren Körper nicht im Schwerpunkt S angrei#»
fende äußere Kraft F A bewirkt:
– ein Drehmoment, bezogen auf den Schwerpunkt S.
– eine Beschleunigung des Schwerpunktes.
Der Körper erfährt also durch diese Kraft eine Translation seines
Schwerpunktes S und eine Rotation um S.
4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse
Rotiert ein Körper um eine nach Lage und Orientierung fest vorgegebene Achse,
so bewegt sich ein beliebiger Punkt P im Körper auf einer Kreisbahn. Unter
einer festen Achse versteht man z.B. eine gelagerte Drehachse. Durch die feste
Drehachse ist der Körper gegenüber einer freien Achse in seinen Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt. Er kann nur um die Drehachse rotieren und diese kann
sich zusätzlich im Raum eine Translationsbewegung ausführen.
4.5.1. Trägheitsmoment
Bei einer vorgegebenen ortsfesten Drehachse kann ein Körper als einzige Bewegung eine Rotation um diese Achse ausführen. Wählt man als Bezugspunkt einen
beliebigen Punkt P auf der Drehachse, dann ist dieser ortsfest. Nach Abb. 4.10
bewegt sich bei der Rotation jedes Massenelement dm mit dem Ortsvektor #»
r auf
einer raumfesten Kreisbahn um die Drehachse. Die Drehachse geht dabei durch
den Mittelpunkt der Kreisbahn und steht senkrecht zur Bahnebene.
Abbildung 4.10:
Der Drehimpuls des starren Körpers
bei fester Drehachse.
Version: 4. März 2016
76
Labor Technische Physik
4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse
#»
Mit dem Impuls #»
p i = #»
v · dm gilt für den Drehimpuls L i des Massenelementes
dm:
#»
L i = #»
r × #»
pi
(4.16)
Durch Zerlegen des Vektors #»
r in eine Komponente #»
r und #»
r senkrecht und
⊥
k
parallel zur Drehachse erhält man:
#»
r ⊥ + #»
r k × #»
pi
L i = #»
= #»
r ⊥ × #»
p i + #»
r k × #»
pi
(4.17)
(4.18)
#» ist, liegt #»
#». Daher liegt #»
#» und ( #»
#».
Da #»
v k #»
p i und #»
v ⊥ω
p i⊥ ω
r k × #»
p i ⊥ω
r ⊥ × #»
p i) k ω
Man kann daher für Gl. 4.18 schreiben:
#»
L i = #»
r ⊥ × #»
p i + #»
r k × #»
pi
(4.19)
#»
#»
= L ik + L i⊥
(4.20)
#»
Der Drehimpuls L i eines Massenelementes dm hat nach Gl. 4.20 sowohl eine
#»
#»
Komponente L ik parallel als auch eine Komponente L i⊥ senkrecht zur Drehachse.
#»
Bei einer gleichförmigen Rotation mit ω = konst. ist die Komponente L ik kon#»
stant, die Komponente L i⊥ dreht sich jedoch mit der Winkelgeschwindigkeit ω
um die Drehachse.
Mit #»
p i = #»
v · dm und durch Integration der einzelnen Massenpunkte dm über
#»
die Gesamtmasse M erhält man den Gesamtdrehimpuls L:
Z Z
Z
#»
#»
#» #»
#»
L=
L ik + L i⊥ = L ik + L i⊥
(4.21)
#»
L=
M
Z
M
( #»
r ⊥ × #»
v ) dm +
M
Z M
#»
r k × #»
v dm
(4.22)
M
#» #»
#»
L = Lk + L⊥
(4.23)
#»
#» und liegt nicht
Damit ist der Drehimpuls L 6= konst und nicht parallel zu ω
parallel zur Drehachse.
Es gibt jedoch für jeden Körper drei besondere Drehachsen, für welche die Kom#» wird (siehe Abschnitt 4.5.3).
ponente L⊥ = 0 werden und L = Lk k ω
#»
#» × #»
Für die Komponente L k ergibt sich mit #»
v =ω
r und #»
r = #»
r k + #»
r ⊥:
#»
Lk =
Z
#»
r ⊥ × #»
v dm
(4.24)
#»
#» × #»
r ⊥ × (ω
r ) dm
(4.25)
M
=
Z
M
=
Z
#»
#» × #»
r⊥× ω
r k + #»
r⊥
h
i
dm
(4.26)
M
77
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Mechanik starrer Körper
#» × #»
Da ω und #»
r k senkrecht zueinander stehen, wird ω
r k = 0. Gl. 4.26 vereinfacht
sich dann zu:
#»
Lk =
#»
Lk =
Z
#»
#» × #»
r ⊥ × (ω
r ⊥ ) dm
(4.27)
#» · ( #»
#» · #»
ω
r ⊥ · #»
r ⊥ ) − #»
r ⊥ · (ω
r ⊥) 1
(4.28)
M
Z
M
#» und #»
Da ω
r ⊥ senkrecht zueinander stehen, wird Gl. 4.28 dadurch zu:
#»
L⊥ =
2 #»
r⊥
ω dm
Z
(4.29)
M
Da bei der Rotation eines starren Körpers alle Massenelemente die gleiche Win#» besitzen, kann ω
#» vor das Integral gezogen werden.
kelgeschwindigkeit ω
#»
#»
L⊥ = ω
Z
2
r⊥
dm
(4.30)
M
Das Integral in Gl. 4.30 wird als Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich
der Drehachse definiert. Es gilt:
Def.
J =
Z
2
r⊥
dm
(4.31)
V
Bei fester Drehachse ist #»
r ⊥ konstant und deshalb ist das Trägheitsmoment eines
starren Körpers ebenfalls konstant. Das Trägheitsmoment beschreibt die Massenverteilung des Körpers um die Drehachse. Man beachte:
Ein und derselbe Körper hat aber für verschiedene Drehachsen unterschiedliche Trägheitsmomente.
Die Einheit des Trägheitsmomentes ist:
[J] = kg m2
1
(4.32)
#»
#»
#»
Graßmannscher Entwicklungssatz : #»
a × b × #»
c = b · ( #»
a · #»
c ) − #»
c · #»
a· b
Version: 4. März 2016
78
Labor Technische Physik
4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse
4.5.2. Rotationsenergie
#» um eine ortsfeste
Ein starrer Körper, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω
Achse dreht, besitzt eine kinetische Energie, die sogenannte Rotationsenergie.
Um diese zu berechnen, betrachtet man zunächst ein kleines Massenelement dm,
welches sich mit der Geschwindigkeit #»
v i im Abstand #»
r = #»
r ⊥i um die Drehachse
bewegt (siehe Abb.4.11). Seine kinetische Energie Ekin∆mi berechnet sich zu:
1
Ekindm = dm · vi2
2
1
Ekindm = dm · r · ω 2
2
(4.33)
(4.34)
Abbildung 4.11:
Zur Berechnung der Rotationsenergie.
Die Gesamtenergie des rotierenden Körpers ergibt sich dann aus der Integration
über die Gesamtmasse M :
Erot =
Z
Ekindm
(4.35)
M
Erot =
1 2Z 2
·ω
r dm
2
(4.36)
M
Mit dem Trägheitsmoment J erhält man für die Rotationsenergie des Körpers:
1
Erot = I · ω 2
2
(4.37)
4.5.3. Hauptträgheitsachsen
Hauptträgheitsachsen oft auch Hauptachsen genannt, sind besondere Rotationsachsen eines starren Körpers. Unabhängig von der Gestalt des Körpers, stehen
79
Version: 4. März 2016
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Mechanik starrer Körper
die Hauptträgheitsachsen immer senkrecht aufeinander und verlaufen durch den
Schwerpunkt des Körpers.
Hauptachsen zeichnen sich dadurch aus, dass bei Rotation um eine dieser Haupt#»
achsen die Drehimpulskomponente L ⊥ in Gl. 4.23 den Wert Null besitzt und
#» #»
damit der Gesamtdrehimpuls L = L k ist.
Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, dann fällt diese mit der Hauptachse
zusammen. Bei einer Kugel ist jede Achse die durch den Mittelpunkt geht eine
Hauptachse.
Abbildung 4.12:
Hauptachsen vom Körpern.
4.5.3.1. Hauptträgheitsmomente
Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper
sind in der nachfolgenden Tabelle angeben.
Version: 4. März 2016
80
Labor Technische Physik
4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse
4 Figur
Körper
Trägheitsmoment
Kugel,massiv
JX = JY = JZ =
2
5
· m · r2
dünne
Kugelschale
JX = JY = JZ =
2
3
· m · r2
Quader
1
JX = 12
m · (b2 + h2 )
1
JY = 12
m · (l2 + h2 )
1
m · (l2 + b2 )
JZ = 12
dünner Ring
JX = m · r2
JY = JZ = 21 m · r2
Vollzylinder
JX = 21 m · r2
JY = JZ = 14 m · r2 +
1
m
12
· l2
dünne Scheibe
JX = 21 m · r2
JY = JZ = 14 m · r2
dünner Stab
JX = 21 m · r2
1
JY = JZ = 12
m · r2
Hohlzylinder
JX = 21 m · (ra2 + ri2 )
JY = JZ = 41 m ra2 + ri2 + 31 l2
dünnwandiger
Hohlzylinder
JX = m · r2
JY = JZ = 41 m 2ra2 + 13 l2
Tabelle 4.1.: Hauptträgheitsmomente von symmetrischen Körpern.
81
Version: 4. März 2016
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Mechanik starrer Körper
4.5.3.2. Steinerscher Satz
Ist das Haupträgheitsmoment eines Körpers um eine Achse durch den Schwerpunkt bekannt, so kann das Trägheitsmoment um eine andere parallel verschobene Achse mit Hilfe des Steinerschen Satzes bestimmt werden.
Abb. 4.13 zeigt einen Körper der sich um die ZD -Achse dreht, welche um den
Abstand d parallel verschoben zur Schwerpunktsachse ZS liegt.
Abbildung 4.13:
Zur Herleitung des Steinerschen Satzes.
Das zuR Drehachse ZD gehörende Trägheitsmoment des Körpers berechnet sich
zu:
JZD =
Z
R2 dm
(4.38)
m
Mit R2 = (d + x)2 + y 2 wird aus Gl. 4.38:
JZD =
Z h
i
(d + x)2 + y 2 dm
(4.39)
M
=
Z x2 + y 2 dm + 2 · d
M
Z
M
x dm + d2
Z
dm
(4.40)
M
Da r2 = x2 + y 2 gilt, ist das erste Integral in Gl. 4.40 gleich dem Haupträgheitsmoment JZ bei eineR Rotation des Körpers um seine Schwerpunktsachse ZS .
Nach Gl. 4.3 berechnet sich die Lage des Schwerpunktes in x-Richtung zu:
1 Z
xs =
x dm
M
(4.41)
M
Da sich der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems im Schwerpunkt des
Körpers befindet, ist xs aus Gl. 4.41 Null, daher hat das zweite Integral in Gl.
4.40 ebenfalls den Wert Null.
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82
Labor Technische Physik
4.6. Rotation um freie Achsen
Das dritte Integral schließlich ist die Gesamtmasse M des Körpers. Für das Trägheitsmoment JZD der Rotationsachse ZD kann also geschrieben werden:
JZD = JZ + d2 · M
(4.42)
Allgemein ausgedrückt erhält man:
JD = JS + d2 · M
(4.43)
Das Trägheitsmoment JD eines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse ZD ist gleich dem Trägheitsmoment JS um eine zu ZD
im Abstand d parallele Achse ZS durch den Schwerpunkt S plus dem
Trägheitsmoment der in S vereinigten Gesamtmasse m bezüglich der
Rotationsachse D.
4.6. Rotation um freie Achsen
Wenn bei der Rotation des Körpers die Rotationsachse mit einer Hauptträgheitsachse zusammenfällt, dann kann man die Achsenlager entfernen und der Körper
rotiert frei, ohne seinen Rotationszustand zu verändern. Man nennt die Hauptträgheitsachsen deshalb auch freie Achsen. Die Rotation eines starren Körpers
um seine freien Achsen unterscheidet sich hinsichtlich der Stabilität der Rotationsbewegung. Während die Rotation um die Achsen mit dem größten und dem
kleinsten Hauptträgheitsmoment stabil ist, ist die Rotation um die Achse mit
dem mittleren Hauptträgheitsmoment labil. Eine beliebig kleine Störung lässt
den Körper aus der Rotation um diese Achse herauskippen.
Dabei kann es vorkommen, dass bei der Rotation eines Körpers um freie Achsen
die Rotationsachse selbst ihre Richtung im Raum im Laufe der Zeit ändert, sodass die Bewegung eines beliebigen Punktes des starren Körpers im Allgemeinen
eine komplizierte Bahnkurve durchläuft.
Im Nachfolgenden werden nur rotationssymmetrische Körper betrachtet,
sogenannte Kreisel, die um eine Symmetrieachse rotieren. Die Symmetrieachse
wird in diesem speziellen Fall auch als Figurenachse bezeichnet. Körper sind
rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine
Symmetrieachse den Körper auf sich selbst abbildet.
4.6.1. Kräftefreier Kreisel
#»
Rotiert ein Kreisel um seine Figurenachse, dann zeigen Drehimpuls L und Drehachse in die gleiche Richtung. Ohne äußeres Drehmoment bleibt der Drehimpuls
zeitlich konstant, in diesem Falle hat der Körper eine raumfeste Drehachse, um
die er mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Ein solcher Kreisel, ohne
83
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Mechanik starrer Körper
äußeres Drehmoment wird kräftefreier Kreisel genannt. Abb. 4.14 zeigt einen
kräftefreien Kreisel. Hier wurde eine Scheibe so montiert, dass ihre Drehachse
AB sich frei um die horizontale X-Achse und vertikale Z-Achse bewegen kann.
Abbildung 4.14:
Freie Aufhängung eines Kreisels.
Daher ist der Drehimpuls des Systems parallel zur Drehachse. Die wird durch eine sogenannte kardanische Aufhängung oder kardanische Lagerung erreicht.
Diese Lagerung besteht aus zwei sich schneidenden, zueinander rechtwinkligen
Drehlagern. Wenn dieser Kreisel durch den Raum bewegt wird, kann beobachtet
#»
werden, dass die Drehachse AB und damit auch der Drehimpuls L immer in die
#»
gleiche Richtung weist. Dies impliziert, durch Gl. 3.77 dass kein Drehmoment M
auf das System ausgeübt wird.
Durch einen kurzen Stoß kann dafür gesorgt werden, dass Figurenachse, Drehachse und Drehimpulsachse nicht mehr räumlich zusammenfallen. Die Bewegung
des Kreisels wird komplizierter. Die Drehachse als auch die Figurenachse führen
dann um die raumfeste Drehimpulsachse eine sogenannte Nutationsbewegung
aus.
4.6.2. Kreisel mit äußerem Drehmoment
Abbildung 4.15:
Kreisel, der durch seine Gewichtskraft einem äußeren
Drehmoment unterliegt.
Version: 4. März 2016
84
Labor Technische Physik
4.6. Rotation um freie Achsen
#»
Auf den Kreisel in Abb. 4.15 wirkt die Schwerkraft F G und damit ein Dreh#»
#»
moment M = #»
r × F G . Durch dieses Drehmoment erfährt der Drehimpuls des
#»
Kreisels in der Zeit dt eine Veränderung d L:
#» # »
d L = M dt
(4.44)
#»
#»
Da das Drehmoment M senkrecht zum Drehimpuls L liegt, ist auch die Änderung
#»
#»
#»
d L senkrecht zu L. Der Drehimpulsvektor L ändert deshalb seine Richtung, aber
nicht seinen Betrag. Für den Betrag des Drehmomentes ergibt sich:
# »
M #» r | · sin Φ
= F G · | #»
(4.45)
Die Figurenachse ändert mit der Drehimpulsachse ihre räumliche Lage. Beide
vollführen mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω eine Drehung um die
z-Achse (siehe Abb. 4.15). Diese Bewegung wird als Präzession des Kreisels
bezeichnet. Innerhalb der Zeitspanne ∆t ändert sich der Drehimpulsvektor um
den Winkel θ. Es gilt:
θ=
∆L
M · ∆t
=
L
L
(4.46)
Dann ist die Winkelgeschwindigkeit Ω :
Ω=
θ
M
M
=
=
∆t
L
J ·ω
(4.47)
4.6.3. Abrollbewegung
Unter einer Abrollbewegung versteht man eine Bewegung, bei der sich ein Körper
auf einer Unterlage schlupffrei, d.h. ohne zu gleiten abrollt. Bei dieser Bewegung
handelt es sich um ein gekoppelte Translations -und Rotationsbewegung.
Abbildung 4.16:
Abrollbewegung auf einer
schiefen Ebene.
Die Geschwindigkeit #»
v eines jeden Massenelementes ist dabei gegeben durch:
#»
v = #»
v S + #»
v rot
85
(4.48)
Version: 4. März 2016
Labor Technische Physik
Mechanik starrer Körper
Mit dem Schwerpunkt als Bezugspunkt ergibt sich:
#»
#» × #»
v = #»
vS + ω
r
(4.49)
Ein schlupffreies Abrollen des Körpers erfordert, dass die Relativgeschwindigkeit
am Punkt P zwischen Mantelfläche und Untergrund Null ist. Dadurch ergibt
sich:
#»
#»
#» × R
v = 0 = #»
vs + ω
#»
#»
#» × R
v = −ω
s
(4.50)
(4.51)
Für die kinetische Energie Ekin gilt:
Ekin = Etrans + Erot
1
1
= · m · v 2 + JS · ω 2
2
2
1
1
2
= · m · ω · r2 + JS · ω 2
2
2
1 = · m · r2 + JS · ω 2
2
Version: 4. März 2016
(4.52)
(4.53)
(4.54)
(4.55)
86
Labor Technische Physik
5. Gravitation
Als Gravitation bezeichnet man die gegenseitige Anziehung von Körpern allein
aufrund ihrer Masse. Die Gravitation ist eine Eigenschaft aller Massen.
Abbildung 5.1:
Wirkung der Gravitation.
Sie nimmt mit zunehmender Entfernung der Massen ab, besitzt aber unbegrenzte
Reichweite. Anders als elektrische oder magnetische Kräfte lässt sie sich nicht
abschirmen. Die Gravitation der Erde bewirkt, dass alle Körper nach unten zum
Erdmittelpunkt beschleunigt werden, sofern sie nicht daran gehindert werden.
5.1. Newtonsches Gravitationsgesetz
Das newtonsche Gravitationsgesetz wurde von Isaac Newton 1686 formuliert:
Die zwischen zwei Massen bestehenden Anziehungskräfte sind an jeder
Masse betragsmäßig identisch. Der Betrag ist zu den beiden Massen
direkt zum Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional.
Mathematisch formuliert erhält man:
m · M #»
#»
F M(r) = −γ ·
· er
r2
(5.1)
Die auf beiden Massen wirkenden Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß und
zeigen in die Richtung des jeweils anderen Massenmittelpunktes. Der in Gl. 5.1
auftretende Proportionalitätsfaktor γ heißt Gravitationskonstante. Der Wert
dieser Konstante war Newton noch unbekannt und wurde erst später bestimmt.
Der Wert der Gravitationskonstanten beträgt:
γ = 6, 67384 · 10−11
87
m3
kg s2
(5.2)
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Gravitation
5.2. Keplersche Gesetze
Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen
Johannes Kepler benannt worden. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, welche eine genaue
Vorausberechnung der Planetenbahnen zulassen.
1. Keplersches Gesetz
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.
Abbildung 5.2:
Erstes Keplersches Gesetz.
2. Keplersches Gesetz
Der Ortsvektor #»
r (t) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen
Zeiten gleich große Flächen.
Abbildung 5.3:
Zweites Keplersches Gesetz
A1 = A2 .
Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz werden in gleichen Zeitintervallen
Ellipsensektoren mit gleichem Flächeninhalt überstrichen. Für ein genügend kleines Zeitintervall dt kann der überstrichenen Ellipsenbogen ds =
Pt1 Pt1 +∆t = v dt durch eine Gerade annähert werden, so dass ein Dreieck
SPt1 Pt1 +∆t entsteht (siehe Abb. 5.4). Für ∆ → 0 berechnet sich die Fläche
zu:
dA =
Version: 4. März 2016
1 #» #»
| r | · | v dt| · sin(α)
2
(5.3)
88
Labor Technische Physik
5.2. Keplersche Gesetze
Abbildung 5.4:
Zweites Keplersches Gesetz und
Drehimpulserhaltung.
Da nach dem zweiten Keplerschen Gesetz ist:
dA
1
= konstant = | #»
r | · | #»
v | · sin(α)
dt
2
1 #» #»
|r × p|
=
2m
1 #»
=
L
2m
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Das 2. Keplersche Gesetz sagt daher aus, dass der Drehimpulsbetrag zeitlich konstant ist. Aus dem 1. Keplerschen Gesetz folgt, dass auch seine
Richtung konstant ist, weil sie immer senkrecht auf der Bahnebene steht.
3. Keplersches Gesetz
a31
T12
=
T22
a32
(5.7)
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen.
Abbildung 5.5:
Drittes Keplersches Gesetz.
89
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Labor Technische Physik
Gravitation
5.3. Gravitationsfeld
Das Gravitationsfeld ist in der Physik ein Kraftfeld, das durch die Existenz von
Massen hervorgerufen wird und sich durch eine anziehende Kraft auf andere
Massen bemerkbar macht. Die Gravitationswechselwirkung hängt nur von der
Entfernung ab und ist zentral gerichtet. Sie ist also eine konservative Kraft (siehe
3.8.3).
5.4. Potentielle Energie
Die potentielle Energie Ep beschreibt die Energie einer Masse, die durch ihre
Lage in einem Gravitationsfeld bestimmt wird.
Die Änderung der potentiellen Energie eines Körpers der Masse m, der im Einflussbereich der Gravitation eines zweiten Körpers der Masse M ist, kann mit
#»
Hilfe der Gravitationskraft F berechnet werden (siehe Abb. 5.5).
Abbildung 5.6:
Arbeit im Gravitationsfeld.
#»
Da die Gravitationskraft F eine konservative Kraft ist, ist die verrichtete Arbeit
nur vom Anfangspunkt und dem Endpunkt der Verschiebung abhängig nicht
jedoch vom Weg zwischen den beiden Punkten.
#»
Die Arbeit W12 welche die Kraft F am der Masse m leistet, um sie von P1 nach
P2 zu bringen ergibt sich zu:
W12 =
Zr2
#» #»
F · dr
(5.8)
r1
Das Vorzeichen in Gl. 5.8 ist so gewählt, dass die Arbeit negativ gerechnet wird,
#»
#»
bei einer Bewegung dr entgegengesetzt zur Kraft F .
Da sich die Masse m in einem konservative Kraftfeld bewegt, ist die Arbeit W12
von einem festen Ausgangspunkt P1 zu einem beliebig entfernten Punkt P2 eine
Funktion vom Abstand von P2 zu P1 . Es gilt:
Zr2
#» #» Def F · dr = EP (P1 ) − EP (P2 )
(5.9)
r1
Der Nullpunkt der potentiellen Energie ist durch die Definition in Gl. 5.9 nicht
festgelegt. Zweckmäßig legt man den Nullpunkt der potentiellen Energie Ep :
Version: 4. März 2016
90
Labor Technische Physik
5.4. Potentielle Energie
• in den Nullpunkt des Koordinatensystems, d. h. EP (0) = 0.
• ins Unendliche, d. h. Ep (∞) = 0.
Mit Ep (r2 → ∞) = 0 in Gl. 5.9 erhält man:
Z∞
#»
Mit F = −γ ·
#» #» F · dr = EP (r) − EP (∞) = EP (r)
(5.10)
r
M ·m
r2
· #»
e r erhält man aus Gl.5.10 für EP (r):
EP (r) = −
γ·M
·m
r
(5.11)
#»
#»
Im Gravitationsfeld sind F und d r entgegengesetzt gerichtet, wenn man den
Köper von Punkt P ins Unendliche bring. Daher ist EP (r) negativ. Man muss
Arbeit aufwenden um den Körper m vom Punkt p ins Unendliche zu bringen.
Als das Gravitationspotential V(r) des Körpers mit der Masse M wird nun
definiert:
EP (P )
V(r) =
(5.12)
m
γ·M
(5.13)
=−
r
Abbildung 5.7:
Gravitationspotential in Abhängigkeit vom Abstand r.
Die Gravitationskraft und das Gravitationspotential beschreiben dasselbe physikalischen Phänomen:
γ · M · m #»
#»
F M(r) = −
er
(5.14)
r2
γ·M
V(r) = −
(5.15)
r
Gravitationskraft und Gravitationspotential hängen über den Gradienten miteinander zusammen:
1
#»
F M(r) ·
= − grad V(r) 1
(5.16)
m
1
91
Def
grad V(r) =
V(r) V(r) V(r)
;
;
δx δy δz
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Labor Technische Physik
A. Literatur
• Hütte: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften; 31. Auflage Springer
Verlag 2000
• Alonso, Finn: Physik , 3. Auflage Oldenbourg Verlag
• Demtröder: Experimentalphysik 2 , 5. Auflage Springer Verlag
• Bergmann, Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 Mechanik,
Akustik, Wärme
93
Version: 4. März 2016
Index
abgeschlossenes System, 49
Aktionsprinzip, 38
Impulssatz, 50
Inertialsystem, 36
Bahnkurve, 11
Bezugssystem, 9
kardanische Aufhängung, 84
Kilogramm, 37
Kinematik, 7
Koordinatensystem, 10
kräftefreier Kreisel, 84
Kräftepaar, 75
Kraft, 35
Kreisbewegung, 24
Kreisel, 83
Corioliskraft, 45
Drehbewegung, 24
Drehfrequenz, 30
Drehimpulserhaltungssatz, 66
Dynamik, 7
Erhaltungsgröße, 49
Federkonstante, 57
Festkörperreibung, 46
Figurenachse, 83
Fliehkraft, 44
Friktion, 46
Galilei’sches Relativitätsprinzip, 36
gleichförmige Bewegung, 15
gleichförmigen Kreisbewegung, 27
Gleichgewicht, dynamisch, 42
gleichmäßig beschleunigte Bewegung,
16
Gleitreibungskoeffizient, 48
Gravitationskonstante, 87
Gravitationspotential, 91
Haftreibungskoeffizient, 47
Hauptträgheitsachse, 79
Impuls, 37
Impulserhaltungssatz, 49
Massenpunkt, 11
Massenschwerpunkt, 71
Momentanleistung, 59
Normalbeschleunigung, 29
Nutationsbewegung, 84
Ortsvektor, 10
Polarkoordinaten, 67
Präzession, 85
Radialbeschleunigung, 29
Rotationsenergie, 61
rotationssymmetrische Körper, 83
Scheinkraft, 42
Schwere, 37
Schwere Masse, 37
Stoß, 50
Stoß, elatisch, 51
Stoß, unelastisch, 51
Stoß,superelastischer, 51
Labor Technische Physik
Index
Superposition, 19
Superpositionsprinzip, 19
Tangentialbeschleunigung, 28
Träger Masse, 37
Trägheit von Massen, 36
Trägheitskraft, 42
Trägheitsmoment, 78
Trägheitsprinzip, 35
Trajektorie, 11
Translationsenergie, 61
Umlaufzeit, 25
Wechselwirkungsprinzip, 40
Wirkungslinie, 38
Zentralkraftfelder, 53
Zentrifugalkraft, 44
Zentripetalbeschleunigung, 29
Zentripetalkraft, 44
Version: 4. März 2016
96
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