Theorie III - Elektrodynamik Skript zur Vorlesung von Prof. Dr
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Theorie III - Elektrodynamik
Skript zur Vorlesung
von Prof. Dr. Schoell
erweitert um eine kurze Abhandlung
zur Holografie
Verfasser:
Franz- Josef Schmitt
1
Elektrodynamik
Klassische elektrische und magnetische Erscheinungen
-
Elektrodynamik ist relativistisch invariant
Feldtheorie ( Nahwirkungstheorie, Kontinuumstheorie, endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von
Wirkungen)
-
lokale Theorie: E ( r , t ), B ( r , t )
quantentheoretische Erweiterung: Quantenelektrodynamik ( nicht behandelt)
Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung zur elektroschwachen WW in den
70- er Jahren ( Weinberg)
Starke WW: Quantenchromodynamik ( nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik)
GUT ( Grand unified): Vereinheitlichung der Elektroschwachen Theorie mit der starken Kernkraft +
Gravitationswechselwirkung ( nichtlinear, allgemein- relativistisch).
grundlegende Theorie: elektrische und magnetische Felder im Vakuum, erzeugt durch lokalisierte Ladungs- und
Stromverteilungen
elektromagnetische Felder in Materie:
freie und gebundene Ladungen in Festkörpern/ Gasen, Materie im Allgemeinen
è Zusammenfassung des Beitrags der mikroskopisch gebundenen Ladungen in phänomenologischen
Materialkonstanten: Dielektrizitätskonstante, Permeabilität
è phänomenologische Theorie elektromagnetische Felder in Materie
( Theorie der Materialkonstanten -> Quantentheorie der Festkörper, Flüssigkeiten, Gase )
Stoff der Vorlesung
Elektrodynamik im Vakuum
Elektrodynamik in materie
Relativistische Formulierung
Literatur
-
H. Mitter: Elektrodynamik,. besonders gute relativistisch Formulierung
Stumpf, H.: Elektrodynamik Vieweg 1973
J.D. Jackson
R. Becker, Sauter: Theorie der Elektrizität
Landau- Lifschitz Band II und VIII
1. Elektrostatik
1.1 Coulomb- Wechselwirkung
Experimentelle Grundtatsachen
-
Materie trägt als skalare Eigenschaften Masse und elektrische Ladung
Masse:
-
Gravitations- Wechselwirkung ( Newton: 1643 - 1727 )
Kraft auf Masse
m 2 bei r2 , ausgeübt von Masse m1 bei r1 :
2
Fg (2 ) = −γ
m1m2
e12
2
r1 − r2
r2 − r1
r1 − r2
Wegen: γ , m1 , m2 > 0 wird dem Phänomen Rechnung getragen, dass Gravitation stets anziehend wirkt.
Festlegung von γ durch Wahl einer willkürlichen Einheit kg für Masse:
e12 :=
γ = 6,67 ⋅ 10
Nm 2
−11
kg 2
schwere Masse = träge Masse:
⇒ 1N = 1
kg ⋅ m
s2
Coulomb- Wechselwirkung ( C. Coulomb 1736-1806)
Kraft auf Ladung
Fe ( 2) = k
e12 :=
q 2 bei r2 , ausgeübt von Masse q1 bei r1 :
q1q 2
r1 − r2
e12
2
r2 − r1
r1 − r2
γ >0
q1 , q 2 <> 0
q1q 2 > 0 -> Abstoßung
q1q 2 < 0 -> Anziehung
Festlegung von k durch Wahl einer willkürlichen Einheit Coulomb [C] für die elektrische Ladung:
k = 8,988 ⋅ 10 9
Nm2
C2
⇒ Einheit des elektrischen Stromes: 1 Ampere [A] = 1
C
s
Bemerkungen
-
je nach Wahl von k ergeben sich verschiedene Einheitssysteme ( Maßsysteme):
1.
SI
System International d´ Unites , seit 1.1.1978 verbindlich
m, kg, s, A -> MKSA
K
mol
cd ( Candela) -> Lichtstärke
historisch bedingte Schreibweise:
k=
1
4πε0
3
mit der absoluten dielektrischen Konstanten ε0
2.
= 8,854 ⋅ 10
−12
C 2 s2
kgm3
Gauß: k=1 ( Miller) CGS- System
Fe =
q1q 2
r2
Elektrostatische Ladungseinheit:
1ESE = 1 dyn ⋅ cm
1C = 3 ⋅ 10 9 ESE
1dyn = 1
g ⋅ cm
2
Ladungen e1 = e2 = 1 ESE im Abstand r = 1cm üben die Kraft
-
Sehr zweckmäßig bei mikroskopischen Rechnungen, da Coulombgesetz einfacher
-
unzweckmäßig in der phänomenologischen Elektrodynamik, da Ladungseinheit 1ESE
s2
aufeinander aus
= 1 dyn ⋅ cm
Gute Umrechungstabellen: Vergl. Jackson
Weitere Bemerkungen
− 11
1) Das Coulombgesetz gilt bis zu Abständen r > 10
cm
Bei kleineren Abständen sind quantenelektrodynamische Korrekturen nötig
2)
3)
Die gesamte Ladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Aber: Paarerzeugung von positiver und
negativer Ladung und lokale Ladungstrennung ist möglich.
Ladung tritt quantisiert auf:
Elementarladung:
e = 1,6 ⋅10 −19 C
Schwere Elementarteilchen ( Hadronen)sind aus Quarks mit Ladungen
1
2
− e oder + e zusammengesetzt ,
3
3
aber Quarks wurden bisher nicht als freie Teilchen beobachtet
4)
Die Ausdehnung der geladenen Elementarteilchen ist
Beschreibung mit dem Punktladungsmodell.
< 10 −13 cm . Also erfolgt die makroskopische
1.2 Elektrisches Feld und Potenziale
Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen q i bei ri ,i=1,2,... auf die Ladung
q bei r :
Fe ( 2) =
1
4πε0
∑
i
qqi
r − ri
2
r − ri
r − ri
Darüber wird das elektrische Feld definiert:
q ⋅ E ≡ Fe ( 2) =
1
4πε0
∑
i
qqi
r − ri
2
r − ri
r − ri
Also:
E=
1
4πε0
∑
i
qi
r − ri
2
r − ri
r − ri
4
Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?
-
Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist
universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell
des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
-
Das Feld
-
Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung (
Retardierungseffekte)
Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.
-
E (r ) ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei r .
Einheit:
[E ] = N
=
C
1V := 1
kgm
Cs
2
=
V
m
kgm2
Cs 2
Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)
Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf q i erfolgt.
Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
[E (r )] =
lim 1
F (r )
q → 0q
Das Elektrostatische Potenzial
1
1
= − 3 r´
r´
Mit
r´
r´:= r − ri
∇
Läßt sich schreiben:
E (r ) =
Φ ( r ) :=
qi
1
4πε0
∑
i
| r − ri | 3
1
4πε0
∑
qi
| r − ri |
i
(r − ri ) = −∇Φ( r )
Mit dem elektrostatischen Potenzial
Φ ( r ) :=
1
4πε0
∑
i
qi
, Einheit : 1 V
| r − ri |
Kontinuierliche Ladungsverteilung
q i → d 3 r´ρ( r ´)
∑
i
qi → ∫ d 3r´ ρ( r ´)
Mit der Ladungsdichte
(
)
ρ(r ´) . Diese muss beschränkt sein und O r −3−ε , ε > 0 für r → ∞ .
5
Es wird
E (r ) =
1
4πε0
∫
Φ ( r ) :=
1
4πε0
∫
ρ( r´)
d 3 r´
| r − ri | 3
ρ( r ´)
d 3r´
| r − ri |
(r − ri ) = −∇Φ (r )
Bei Verteilung von Punktladungen:
3
ρ( r ´) = ∑ q i δ( r ´−ri ) = ∑ qi ∏ δ ( x j ´− x j i )
i
i
j =1
Quellen des elektrischen Feldes:
Bei Punktladung q bei
r ´= 0 ⇒ E (r ) =
1 q r
⋅
4πε0 r 2 r
Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:
Φe =
∫S df ⋅E (r ) = 4πε0 ⋅ ∫S
q
df ⋅ r
r3
= ∫ df E n ( r ) als geschl. Flächenintegral über die
S
Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes
Φe =
∫S df E (r ) cos Θ
df entspricht einem Raumwinkel dΩ : df ⋅ r = df ⋅ r ⋅ cos Θ = r 3dΩ
6
Φe =
∫S df ⋅E (r ) = 4πε0 ⋅ ∫S
q
dΩ =
⇒ ε0 ∫ df ⋅E (r ) = q
q
ε0
S
Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:
⇒ ε0 ∫ df ⋅E (r ) = ∫ d 3 r´ ρ(r ´)
∂V
V
Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
S = ∂V eingeschlossenen Gesamtladung
Integralform des Coulomb- Gesetzes
Der Gaußsche Integralsatz
∫∂V df ⋅E (r ) = ∫V d 3 rdiv E (r ) = ∫V d 3 r∇ ⋅ E (r )
wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !
⇒ ∫ d 3r ρ(r ) = ε0 ∫ d 3 r∇ ⋅E (r )
V
V
⇒ ε0 ∇ ⋅ E (r ) = ρ(r )
Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.
ε0 ∇ ⋅ E (r ) = ρ(r )
sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
E (r ), ρ(r )
Äquivalente Aussagen der Elektrostatik
1)
E (r ) besitzt ein skalares Potenzial E (r ) = −∇Φ (r )
2)
∫1 ds E (r ) , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
2
3)
∇ × E (r ) = 0 : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei
Es gilt:
1) ⇔ 2) ⇔ 3)
Beweis:
1) ⇔ 3) Stokescher Satz:
0 = ∫ ds ⋅E (r ) =
∂F
∫F ∇ × E (r )df
für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
∂F .
1.3 Poisson- Gleichung und Greensche Funktion
E (r ) = −∇Φ (r ) in ∇ ⋅ E (r ) =
∆Φ ( r ) = −
ρ(r )
ε0
ρ(r )
liefert:
ε0
Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
7
Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:
Entweder:
1) Φ ( r ) → 0 hinreichend rasch für r → ∞
oder
2) Φ (r ) sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
Lösung zu 1):
Φ(r ) =
1
4πε0
∫R
3
d 3 r´
ρ(r ´)
für hinreichend rasch abfallendes ρ(r ´)
| r − r ´|
Einsetzen in Poisson- Gleichung:
∆Φ ( r ) =
1
ρ(r ´)
1
∆ r ∫ 3 d 3 r´
=
R
4πε0
| r − r ´| 4πε0
∫R
3
d 3 r´∆ r
ρ(r ´)
, falls Integration und Differenziation
| r − r´|
vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
Man definiere für ein festes
r ´ , dass
s := r − r ´
:
∇r = ∇s
Also:
1
1
1 s
1
1
= ∇ S ∇ S = −∇ S 2 = − 3 ∇ S s − s ∇ S 3
| r − r ´|
s
s s
s
s
∇ Ss = 3
1
1
1
3
1
⇒ ∆r
= − 3 ∇ S s − s∇ S 3 = − 3 + 3 = 0
| r − r ´|
s
s
s
s
ρ(r )
Dies ist aber ein Widerspruch zu ∆Φ ( r ) = −
ε0
∆r
∆ r und
Grund ist , dass die Vertauschung von
r = r ´ , also s=0 ( Singularität!!)
∫R d 3r´ sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
3
Stattdessen für beliebige V:
∫V d
r∆Φ( r ) =
3
Nun kann man
1
4πε0
∫V d
r ∇ ⋅ ∇ ∫ 3 d 3 r´
3
R
∫ df ⋅ ∇ r mit ∫R d
3
ρ(r ´)
1
= Gauß! =
| r − r´|
4πε0
∫ df ⋅ ∇ r ∫R
∂V
3
d 3 r´
ρ(r ´)
| r − r ´|
3
r´ vertauschen.
∂V
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
∫V d
∇r
r∆Φ (r ) =
3
1
4πε0
∫R
(r − r ´)
3
∫R d 3r´ nach der Vertauschung stetig ist !:
3
d 3 r´ρ(r ´) ∫ df ⋅ ∇ r
∂V
1
| r − r ´|
1
=−
| r − r ´|
| r − r ´|3
8
Somit:
∫V d
3
r∆Φ( r ) =
1
4πε0
r − r´
∫ df | r − r ´|3 = ∫
∫R d
3
3
r´ρ(r ´) ∫ df ⋅ ∇ r
∂V
1
1
=−
| r − r ´|
4πε0
∫R d
3
r´ρ(r ´) ∫ df
3
∂V
r − r´
| r − r ´|3
dΩ
∂V
aber:
r − r´
∫ df | r − r ´|3 = ∫
dΩ = 4π , falls r ´∈ V
∂V
r − r´
∫ df | r − r ´|3 = ∫
dΩ = 0 falls r ´∉ V
∂V
Somit:
∫V d
3
r∆Φ( r ) =
1
4πε0
∫R
3
d 3 r´ρ(r ´) ∫ df ⋅ ∇ r
∂V
1
1
=−
| r − r ´|
ε0
∫V d
3
r´ρ(r ´)
Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
∆r
1
= −4πδ( r − r ´)
| r − r ´|
Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !
Greensche Funktion der Poisson- Gleichung
∆Φ ( r ) = −
ρ(r ´)
⇒ Invertierung ⇒ Φ( r ) = Gˆ ρ(r ´)
ε0
Mit dem Greenschen Operator
Ĝ :
Eine Fourier- Transformation von
∆Φ ( r ) = −
~
ρ(r ´)
ρ
~
⇒ liefert − k 2 Φ = −
⇒
ε0
ε0
Man kann schreiben:
~ ~~
Φ = Gˆ ρ
~
1
Gˆ :=
ε0 k 2
Die einfache Fourier- Transformierte Form von
⇒ Φ( r ) = Gˆ ρ(r ´) , nur dass der Fourier- transformierte
Greens- Operator angegeben werden kann.
Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
⇒ Φ( r ) = ∫ d 3 r´Gˆ ( r − r ´) ρ(r ´)
Es gilt:
1
∆ r Gˆ ( r − r ´) = − δ (r − r ´)
ε0
Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
r´ :
lim
Φ(r ) = 0
r →∞
9
ist die Greensfunktion dann:
G( r − r ´) =
1
1
4πε0 | r − r ´|
Denn
1
1
1
= − δ (r − r ´)
4πε0 | r − r ´|
ε0
Für eine beliebige Ladungsverteilung ρ ist also die Lösung der Poissongleichung
∆rG = ∆
Φ(r ) =
∞
∫−∞
1 ρ(r ´) 3
d r´=
4πε0 | r − r ´|
∞
∫−∞
G( r − r ´) ρ( r ´)d 3r´
wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
lim
Φ ( r ) = 0 gilt, ansonsten ist G durch die
r →∞
andern Randbdingungen festgelegt.
1.4 Elektrische Multipolentwicklung
ρ(r ´) in der Nähe des Ursprungs r ´= 0 , so kann
∞
1 ρ( r ´) 3
man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von Φ ( r ) = ∫
d r´ für
− ∞ 4πε | r − r ´|
0
r → ∞:
Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für r >> r´ :
Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
∞
(− 1)l
l =0
l!
G( r − r ´) = ∑
(r ´⋅∇ r )l G(r )
Also
Φ(r ) =
∞
∫−∞
∞
(− 1)l
l =0
l!
G( r − r ´) ρ( r ´)d r´= ∑
3
∫ d 3 r´(r ´⋅∇ r ) G (r )ρ(r ´)
l
explizit für unsere Situation:
G( r ) =
1 1
4πε0 | r |
(
1
= r 2 − 2rr ´cosϑ +
| r − r ´|
Wobei
)
1
−
r´2 2
=
1
2 − 2
1
r´
r´
1 − 2 cos ϑ +
r
r
r
ϑ den Winkel zwischen r und r ´ bezeichnet.
Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
r´< r und cos ϑ = ξ < 1 konvergiert, so definiert diese
Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome):
1
2 − 2
1 − 2 r´ ξ + r´
r
r
∞
=∑
l =0
Pl (ξ) :
l
r´
Pl (ξ)
r
10
Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer
l
r´
Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
r
−
2
1 − 2 r´ ξ + r´
r
r
1
=
| r − r ´|
1
2
zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
1
2 −2
1
r´
r´
1 − 2 cos ϑ +
r
r
r
ist.
Also:
1 ∂l
Pl (ξ) = l 1 − 2t ξ + t 2
l! ∂t
(
)
1
2
)
1
2
−
Insbesondere folgt damit:
1 ∂ l
Pl (ξ) =
1 − 2t ξ + t 2
l
l! ∂t
(
−
und speziell:
P0 (ξ) = 1
P1 (ξ) = ξ = cos ϑ
(
)
(
)
1
1
3ξ 2 − 1 == 3 cos 2 ϑ + 1
2
4
P2 (ξ) =
Also:
∞
1 1 ∞ 3
1
r´
d
r
´
ρ
(
r
´)
Pl (cos ϑ) =
∑
∫
4πε0 r −∞
4πε0
l =0 r
l
Φ(r ) =
∞
∑
l =0
Ql r −l −1
Mit
Ql = ∫
∞
−∞
d 3 r´r´l ρ( r ´) Pl (cos ϑ) als 2l - Pol
Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2l - Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !!
Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell !
Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...
l =0:
Φ (0 ) ( r ) =
Q0 = ∫
∞
−∞
1 Q0
4πε0 r
d 3 r´ρ(r ´) sogenannter Monopol ( die Gesamtladung).
Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab,
die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung
l=1:
Φ (1) (r ) =
1 p⋅ r
4πε0 r 3
11
Q1 = ∫
∞
d 3 r´ρ( r ´)r´cos ϑ =
−∞
p⋅r
r
Mit dem Dipolmoment
p := ∫
∞
−∞
d 3 r´ρ( r ´)r ´
Das Dipolpotenzial fällt also
~
1
r2
ab.
Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ( Q0
= 0 ).
Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei r1 , r2 :
ρ( r ´) = q[δ(r ´−r1 ) − δ (r ´−r2 )]
Q0 = 0
p = q (r1 − r2 ) = q ⋅ a
Feld des Dipolpotenzials:
Ei = −
p
1 ∂ p k ⋅ xk
1 3x i ⋅ p k ⋅ x k
=
− δik 3k
3
4πε0 ∂xi r
4πε0
r5
r
⇒ E (r ) =
[
1 1
3( p ⋅ r )r − r 2 p
5
4πε0 r
]
Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:
⇒ E (r ) ~
1
r3
l=2:
Φ (2 ) ( r ) =
1 Q2
4πε0 r 3
(
)
1 ∞ 3
1 ∞
r ´⋅r r´⋅r
d r´ρ( r ´)r´ 2 3 cos 2 ϑ − 1 = ∫ d 3 r´ρ( r ´) 3
− r ´2
∫
2 −∞
2 −∞
r r
r ´⋅r r ´⋅r x k ´ x k xl ´ xl
=
r r
r2
1 ∞
⇒ Q2 = 2 ∫ d 3 r´ρ(r ´) 3x k ´ xl ´−r ´2 δkl
2r −∞
Q2 =
(
)
Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als
Quadrupolmoment:
Q2 =
∞
∫−∞
1
2r 2
Qkl
(
)
d 3 r´ρ( r ´) 3 x k ´x l ´− r´ 2 δ kl = Qkl
Qkl ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:
3
∑
i =1
3
Qii = ∑
i =1
∞
∫−∞
(
)
d 3 r´ρ( r ´) 3 xi ´x i ´−r ´ 2 δii = ∫
∞
−∞
(
)
d 3 r´ ρ( r ´) 3r ´2 −3r ´ 2 = 0
Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:
Qkl = 0 für k ≠ l
Q11 + Q22 + Q33 = 0
12
Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die
Spurfreiheit !
Für das Potenzial ergibt sich:
Φ (2 ) ( r ) =
1
1
1 r ⋅Q ⋅ r
1
Q
x
x
=
~
kl
k
l
4πε0 2r 5
4πε0 2r 5
r3
Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:
1.5 Die elektrostatische Feldenergie
Kraft:
F ( r ) = qE ( r ) = −q∇ Φ( r )
⇒ V (r ) = Φ (r )
ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
E (r )
Also:
Wij = q i
qj
1
= W ji
4πε0 | ri − r j |
ist die Energie der Ladung
q i an ri im Feld der Ladung q j an r j . ( In ihrem Potenzial)
Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:
W =
1
1
Wij =
∑
2 i, j
8πε0
i≠ j
∑
i, j
i≠ j
qi q j
| ri − r j |
= W ji
und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:
1
1
Φ( r ) ρ( r ) d 3 r =
∫
2
8πε0
1
W = ∫ Φ ( r ) ρ( r )d 3 r
2
Mit ρ( r ) = ε0 ∇ ⋅ E
W =
∫
d 3 r ∫ d 3 r´
ρ( r ) ρ( r ´)
| r − r ´|
folgt:
W =
ε0
2
∫R Φ (r )∇ ⋅ E d 3 r =
3
ε0
∇ ⋅ (Φ ( r ) E )d 3 r − ∫ 3 (∇ Φ( r ) ) ⋅ Ed 3 r
3
∫
R
R
2
13
Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:
W =
ε0
(
Φ (r ) E )df + ∫ 3 E 2 ( r ) d 3 r
∫
R
2 S∞
lim
(Φ(r )E ) = 0
r→∞
da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen
Also:
W =∫
R
3
ε0 2
E (r )d 3 r = ∫ 3 d 3 rw( r )
R
2
Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
w( r ) =
ε0 2
E (r )
2
Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu
E (r ) =
q
4πε0 r 2
ε
w( r ) = 0
2
2
q 1
4
4πε0 r
und die Gesamtenergie ist folglich:
W =∫
ε
d rw( r ) = 0
2
∞ 2
r dr
0
∫
3
1
r4
∞
= ∫ dr
0
2
q
∞
1
4π ∫ r 2 dr
0
r4
4πε0
∞
1
=
→∞
r 2 r 0
1
Dies divergiert jedoch !!
Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird i ≠ j nicht mehr
ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die
Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.
Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem
Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)
1.6 Leiter in der Elektrostatik
Elektrischer Leiter = Materie, mit quasi frei beweglichen Elektronen. Ein elektrisches Feld im Inneren eines
Leiters übt dann eine Kraft auf die frei beweglichen Elektronen aus:
F ( r ) = qE ( r )
14
Dadurch werden die Ladungen verschoben.
Es folgt, dass ein kompensierendes Feld
E ´(r ) aufgebaut wird, bis F = 0 , also E ´−E = 0 :
Anfangssituation:
Endsituation:
Für das Innere des Leiters folgt:
E res . ( r ) = 0
E res . ( r ) = −∇Φ (r ) = 0
⇒ Φ( r ) = const
im Inneren des Leiters.
Man sagt: die Leiteroberfläche ist eine sogenannte Äquipotenzialfläche !
Allgemein gilt:
E ( r ) ⊥Φ ( r ) = const
Somit steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Leiteroberfläche !
Vor allem beim Übergang zwischen einem Leiter und dem Vakuum !
Allgemein gilt:
ε0 ∇ ⋅ E ( r ) = ρ( r )
Hier:
E (r ) = 0
⇒ ρ( r ) = 0
Das heißt: es existieren keine elektrischen Ladungen im Inneren eine Leiters !
15
Flächenladungsdichte
auf Leiteroberflächen:
ε0 ∫ d 3 r∇ ⋅ E (r ) = ∫ d 3 r ρ( r ) = ∫ df E ( r )
V
V
∂V
V = df ⋅ ∆s
Mit
df → 0
∆s → 0
folgt:
∫∂V df E (r ) → dfn ⋅ E
n ⋅ E = E , da
n
Normalenvektor n || E
Also:
∫V d
3
r ρ( r ) → dfρ(r ) ∆s
ρ( r ) ∆s = σ (r )
= Flächenladungsdichte !!
Also gilt für das elektrische Feld auf der Leiteroberfläche:
∫V d
3
r ρ( r ) → dfρ( r ) ∆s
E (r ) =
1
σ( r ) n
ε0
Allgemein gilt für Flächenladungen:
16
En´´− En´=
1
σ( s)
ε0
Man bezeichnet
En´´− En´ als Flächendivergenz analog zur "Volumendivergenz" ∇ ⋅ E =
Dies ist ein Sprung der Normalkomponente von
1
ρ( r )
ε0
E beim Durchgang durch eine geladene Fläche
Die Tangentialkompoente von E dagegen ist stetig beim Durchgang durch geladene Flächen
Beweis:
∫
∂F
E ds = ∫ ∇ ×E df = 0
F
F = dl ⋅ dh
dl → 0
dh → 0
⇒ (Et´´− Et´)dl = 0
⇒ Et´´−Et´= 0
En´´− En´=
1
σ( s)
ε0
17
Randwertaufgaben der Elektrostatik mit Leitern
1.
Grundaufgabe:
Lα mit den Oberflächen Sα α = 1,2,.., n , die auf den Potenzialen Φ α liegen.
Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist ρ(r ) .
1
Gesucht ist Φ (r ) als Lösung der Poissongleichung ∆Φ ( r ) = −
ρ( r )
ε0
Gegeben sind Leiter
zu den gegebenen Randbedingungen
Φ(r )
Sα
= Φα
lim
Φ(r ) = 0
r→∞
außerdem: Gesamtladungen
Qα auf den Leitern.
Dies ist das Dirichletsche Randwertproblem
Beispiel: 2 Leiterschleifen mit Potenzial Phi1/ Phi 2 auf den Oberflächen S1 und S2, die im Außenraum V mit
der Ladungsdichte ρ(r ) liegen.
Formale Lösung:
Φ(r ) =
∫V
n
d 3r´G (r − r ´)ρ(r ´) + ε0 ∑ Φ α ∫
α =1
Dabei ist die Greensche Funktion
Sα
df ´⋅∇ r´G (r − r ´)
G(r − r ´) die Lösung von ∆G(r − r´) = −
1
δ ( r − r ´) zu den
ε0
Randbedingungen
G(r − r ´)
r∈Sα
r ´∈V
=0
lim
G(r − r ´) = 0
r→∞
Somit ist
G(r − r ´) das Potenzial am Ort r einer Punktladung am Ort r ´ .
Beweis:
Aus dem Gaußschen Satz
∫∂V df ⋅ v =∫V d 3 r∇ ⋅ v
folgt mittels der Funktion
v = ϕ∇ ψ :
∫∂V df ⋅ (ϕ∇ψ) = ∫V d 3 r∇ ⋅ (ϕ∇ψ) = ∫V d 3r ∇ϕ∇ψ + ϕ∆ψ
v = ψ∇ ϕ
∫∂V df ⋅ (ψ∇ϕ) = ∫V d 3 r∇ϕ∇ψ + ψ∆ϕ
Also:
Greenscher Satz:
∫∂V df ⋅ (ϕ∇ψ −ψ∇ϕ) = ∫V d 3 rϕ∆ψ − ψ∆ϕ
18
Nun kann man einsetzen:
ϕ(r ) := G( r − r ´)
ψ(r ) := Φ( r )
∂V =
n
U Sα
α =1
Bleibt zu zeigen:
∆Φ ( r ) = −
Φ(r ) =
∫V
1
⇒
ε0
n
d 3r´G (r − r ´)ρ(r ´) + ε0 ∑ Φ α ∫
df ´⋅∇ r´G (r − r ´)
Sα
α =1
1
∫∂V df ⋅ Φ (r )∇ r G(r − r ´) −∫∂V df ⋅ G (r − r ´)∇r Φ (r ) = − ε0 ∫V d
∫∂V df ⋅ G (r − r ´)∇ r Φ(r ) = 0
∫V d
Für
3
wegen G
r ∈S α
3
rΦ ( r )δ(r − r ´) −∫ d 3 rG (r − r ´)ρ(r )
V
=0
rΦ (r )δ (r − r´) = Φ (r´)
∫∂V df ⋅ Φ(r )∇ r G (r − r ´) setzen wir − ∫U S
n
α =1
α
d f ⋅ Φ (r )∇ r G (r − r ´)
Dies führt deshalb zu einem Vorzeichenwechsel, da d f stets nach außen zeigt .
Also:
n
Φ ( r ´) = ∫ d 3 rG(r − r ´)ρ(r ) + ε0 ∑ Φα
V
α =1
∫
df ⋅ ∇ r G(r − r ´)
Sα
Zeige:
Φ(r ) =
∫V
n
d 3r´G (r − r ´)ρ(r ´) + ε0 ∑ Φ α ∫
α =1
⇒ ∆Φ( r ) = −
Sα
df ´⋅∇ r´G (r − r ´)
1
ρ
ε0
im Inneren von V und
Φ(r )
Sα
= Φ α , erfüllt also die Randbedingungen.
19
∆ r´Φ (r ´) =
∫V
n
d 3 r∆ r´G (r − r ´)ρ(r ) + ε0 ∑ Φ α
α =1
df ⋅ ∇ r ∆ r´G(r − r ´)
∫
Sα
1
∆ r´G(r − r ´) = − δ (r − r ´)
ε0
δ (r − r ´) = 0, da r ∈ Sα, r´∈ V − ∂V
n
⇒ ε0 ∑ Φ α
α =1
∆ r´Φ (r ´) =
∫
df ⋅ ∇ r ∆ r´G(r − r ´) = 0
Sα
∫V d
3
r∆ r´G (r − r ´)ρ(r ) = −∫ d 3 r
V
1
ρ(r ´)
δ(r − r´)ρ(r ) = −
ε0
ε0
Dabei
n
ε0 ∑ Φα
α =1
∫
df ⋅ ∇ r ∆ r´G(r − r ´) als Anteil der Lösung, die die homogene Poissongleichung lösen, ohne
Sα
Ladungsdichte
∫V d 3 r∆ r´G(r − r´) ρ(r ) dagegen löst gerade die inhomogene Poisson- Gleichung
Randbedingungen:
Φ ( r ´)
r ´∈Sβ
G(r − r ´)
⇒ Φ( r ´)
= ∫ d 3 rG(r − r ´)
V
r ´∈Sβ
ρ( r ) = 0
r´∈Sβ
= ε0 ∑ Φ α
n
α =1
∫
n
ρ(r ) + ε0 ∑ Φα
r´∈Sβ
α =1
df ⋅ ∇ r G (r − r ´)
Sα
r´∈Sβ
∫
df ⋅ ∇ r G(r − r ´)
Sα
= −ε0 ∫
∂V
r´∈Sβ
df ⋅ Φ ( r )∇ r G (r − r ´)
r´∈Sβ
Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df nach außen zeigt:
Das Innere der Ellipse ist die Leiterfläche , die vom Leiter
Lα eingeschlossene Fläche .
Mit dem Gaußschen Satz folgt:
20
Φ ( r ´)
r ´∈Sβ
= −ε0 ∫
∂V
df ⋅ Φ ( r )∇ r G(r − r ´)
= −ε0 ∫ df G(r − r ´)
∂V
G(r − r ´) r ´∈Sβ = 0
⇒ Φ( r ´)
=
∫V d
3
(
V
(
V
r´∈Sβ
(
⋅ ∇ r Φ ( r ) + ∫ d 3r Φ ( r )
= −ε0 ∫ d 3r Φ ( r )
r´∈Sβ
r Φ( r )
r´∈Sβ
r ´∈Sβ
)
r´∈Sβ
δ (r − r ´) = Φ ( r ´)
)
r ´∈Sβ
∆ r G(r − r ´) − G(r − r ´)
∆ r G(r − r ´) =∫ d 3 r Φ ( r )
V
r ´∈Sβ
r ´∈Sβ
)
∆ r Φ( r )
1
− δ (r − r ´)
ε0
r ´∈Sβ
= Φβ
Ladung:
Q=
∫ dfσ
= ε0
Sα
∫ dfn ⋅ E
Sα
dfn = d f
⇒ Q = ε0
∫ df ⋅ E = −ε 0 ∫ df ⋅ ∇Φ
Sα
Sα
Konstruktion der Greenschen Funktion
Für Leiteroberflächen mit hoher Symmetrie bietet sich die Methode der Bildladungen an ! (
Spiegelladungsmethode).
Dabei wählt man eine fiktive Bildladung q´ bei r ´´ im Leiter, so dass das Potenzial beider Ladungen auf der
Leiteroberfläche verschwindet: q´=-q
G (r − r´) =
2.
1
4πε 0
1
1
−
r − r´ r − r´´
Grundaufgabe
Gegeben: Gegeben sind Leiter
Lα mit den Oberflächen Sα α = 1,2,.., n , die mit Qα geladen sind.
21
Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
Gesucht:
ρ(r ) .
Gesucht ist Φ (r ) als Lösung der Poissongleichung
und
∆Φ ( r ) = −
1
ρ(r )
ε0
Φα .
Lösung:
Das Problem kann auf die erste Grundaufgabe zurückgeführt werden durch Ausnutzung eines Zusammenhangs
zwischen Φ α und Qα :
Es gilt:
Qα =
n
∑
β =1
Cαβ Φ β
α = 1,.., n
Mit den Kapazitätskoeffizienten
Cαβ .
Beweis:
Qα = −ε0
∫
df ⋅ ∇ Φ( r )
∫
df ⋅ ∇ r ∫ d 3 rG(r − r ´)ρ(r ´) = −ε0 2
Sα
Qα = −ε0
Sα
V
n
Lα
V
∆ r G(r − r ´) = −
∫
Sα
β =1
d 3 r ∫ d 3 r´∆ r G(r − r´) ρ(r ´) − ∑ Φ β ε0 2
Qα = −ε0 ∫
ε0 2
∫
n
df ⋅ ∇ r ∑ Φ β
df ⋅ ∇ r
Sα
∫
β =1
1
δ (r − r ´) = 0
ε0
für
∫
df ´⋅∇ r´G(r − r´)
Sβ
df ⋅ ∇ r
Sα
∫
∫
df ´⋅∇ r´G(r − r ´)
Sβ
r ∈ Lα , r ´∈ V ,
df ´⋅∇ r´G(r − r ´) =: −Cαβ
Sβ
n
⇒ Qα = − ∑ Φ β ε0 2
β =1
∫
df ⋅ ∇ r
Sα
∫
df ´⋅∇ r´G(r − r ´) =
Sβ
n
∑ Cαβ Φ β
β =1
Aus der Symmetrie
G(r − r ´) = G(r ´−r )
was aus der Greenschen Formel folgt mit
ψ = G(r − r ´)
ϕ = G(r ´−r )
folgt
Cαβ = Cβα
Einheit der Kapazität ist
1F = 1
C
= 1Farad
V
nach M. Faraday , 1791-1867
Betrachte speziell einen einzelnen Leiter mit Potenzial
Φl :
Für die Kapazität des Leiters gilt dann:
22
C=
Q
Φl
Beispiel: Plattenkondensator:
Zwei Kondensatorplatten befinden sich auf dem Potenzial
Φ 1 ,Φ 2 :
Es gilt:
Q1 = C11Φ 1 + C12 Φ 2
Q1 = C 21Φ1 + C 22 Φ 2
C12 = C21 = C´
1 ↔ 2 Symmetrie
⇒ C11 = C 22 = C
Spezialfall: Q1+Q2=0
⇒ Q = CΦ 1 + C´Φ 2
− Q = C´Φ 1 + C Φ 2
⇒ 0 = (C + C ´)(Φ 1 + Φ 2 ) ⇒ C = −C´=
Q
Φ1 − Φ 2
Das E-Feld existiert fast nur zwischen den Platten
Also:
Q
= ε0 E = const . ( 2)
F
⇒ Φ( x) = − Ex + Φ 0
⇒ Φ1 − Φ 2 = E( x2 − x1 ) (3)
σ=
( x2 − x1 ) := a
⇒ C = −C´=
Q
Q
F
=
= ε0
Φ 1 − Φ 2 Ea
a
23
Betrachten wir nun die Lösung der zweiten Grundaufgabe:
Cαβ = Cβα ist eine positiv definite Matrix und damit nicht singulär. Also können wir die Inverse suchen:
Φα =
n
∑ Cαβ −1Qβ
β =1
Eingesetzt in die Lösung der ersten Grundaufgabe liefert dies
Φ (r ) für gegebene Qβ , ρ( r )
Damit ist dann die zweite Grundaufgabe gelöst !
Energie des Feldes im Außenraum:
für
ρ( r ) = 0 :
W =
ε0
2
∫V d
3
r ( E ( r )) 2
Betrachten wir nun eine differenzielle Änderung der Randbedingungen auf den Lα :
Qα → Qα + δQα
Φ α → Φ α + δΦ α
Lösung
Φ ( r ) → Φ( r ) + δΦ ( r )
Räumliche Anordnung ungeändert ermöglicht die Vertauschung von
δ,∇ :
∆Φ ( r ) = 0 ⇒ ∆δΦ ( r ) = 0 in V ( Außenraum)
E ( r ) = −∇Φ ( r ) ⇒ δE ( r ) = −∇δΦ ( r )
ε
⇒ δW = 0 ∫ d 3 r ( 2 E (r )δE ( r )) = −ε0 ∫ d 3 r ( ∇ Φ (r )δE ( r ))
V
2 V
( ∇ Φ (r )δE ( r )) = ∇(Φ ( r )δE (r ) ) − Φ ( r )∇δE ( r )
∇ ⋅ δE ( r ) = δ∇ ⋅ E (r ) = 0, da ρ = 0
im Außenraum !
⇒ δW = −ε0 ∫ d 3 r ∇(Φ (r )δE ( r ) ) =ε0 ∑
V
α
∫
df ( Φ( r )δE ( r ) )
Sα
Als Umformung mit dem Gaußschen Satz
Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df an allen Sα in den Außenraum nach außen zeigt:
24
Wegen
Φ(r )
Sα
= Φα
⇒ δW = ε0 ∑ Φα
α
Mit
Qα =
n
∑
β =1
n
∑
α , β =1
Sα
df δE (r ) = ∑ Φα δQα
α
Cαβ Φ β
⇒ δW = ε0 ∑ Φα
α
∫
∫
n
Sα
Φα Cαβ δΦ β =
α = 1,.., n
df δE (r ) = ∑ Φα δ ∑ Cαβ Φ β =
α
β =1
n
∑
α , β =1
Φα Cαβ δΦ β
n
1 n
Φ
C
δ
Φ
+
Φ
C
δ
Φ
∑ β βα α
∑ α αβ β
2 α ,β =1
α , β =1
C βα = Cαβ
⇒ δW =
1 n
1 n
C
Φ
δ
Φ
+
Φ
δ
Φ
=
δ
∑ Cαβ Φα Φ β
∑
αβ
β
α
α
β
2 α , β =1
2 α ,β =1
{
}
Damit ist jedoch die Feldenergie gefunden als
1 n
W = ∑ Cαβ Φα Φ β
2 α , β =1
2. Stationäre Ströme und Magnetfeld
2.1 Kontinuitätsgleichung
Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:
Q(t ) =
∫V
d 3 rρ(r , t )
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
d
d
Q(t ) = ∫ d 3r ρ( r , t ) = − ∫ δI
dt
dt V
∂V
ρdV ρ v dt df cos α
=
= ρv df
dt
dt
Also gerade die Ladung, die durch df pro zeit aus V herausströmt
δI =
25
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:
j (r , t ) := ρ( r , t ) v (r , t )
⇒
d
d 3 rρ( r , t ) = − ∫ df j ( r , t ) = −∫ d 3r∇ ⋅ j ( r , t ) ( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach
V
dt ∫V
∂V
zusammenhängend)
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:
⇒
∂
ρ( r , t ) + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0
∂t
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:
∇ ⋅ j (r , t ) = 0
Aber : natürlich muss deswegen nicht
j (r , t ) = 0 gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !
2.2 Magnetische Induktion
Experimentelle Erfahrung:
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v
bewegen:
F = qv × B (r )
Die sogenannte Lorentz- Kraft !
B (r ) ist die magnetische Induktion am Ort r , die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer
zugeordneten Stromdichte j (r ´) .
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
B (r ) =
µ0
r − r´
d 3r´ j ( r ´) ×
∫
3
4π
r − r´
Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:
F = qE ( r )
1
E (r ) =
4πε0
∫
d 3 r´ρ( r ´)
r − r´
r − r´
Die Einheiten im SI- System lauten:
[B] = 1Ns = 1kgm2
Cm
Cs
2
⋅
s
m2
Mit diesen Einheiten ist dann
= 1V
s
m2
= 1T
µ0 = 1,26 ⋅ 10 −6
Vs
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei
Am
wählbar !!
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man
betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
Im Gauß System:
q
v × B (r )
c
1
r − r´
B (r ) = ∫ d 3 r´ j ( r ´) ×
3
c
r − r´
F=
26
[B] = 1dyn =
ESE
dyn
= 1G = 1Gauß
cm
Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:
Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
Der Strom durch L´:
j (r ´) d 3 r´= ρd 3r ´v ´=
d
ρd 3r´dr ´
dt
d
ρd 3r´= I ´
dt
⇒ j ( r ´)d 3r´= I ´d r´
Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:
Die magnetische Induktion ist gerade:
B (r ) =
µ0
r − r´
I ´∫ dr ´×
3
L
´
4π
r − r´
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:
dF = ρv × B ( r ) d 3r = j × B d 3 r = Idr × B
Also:
F=
µ0
r − r´
II ´∫ dr × ∫ dr ´×
3
L
L
´
4π
r − r´
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
mit
dr × (dr ´×(r − r )) = (dr (r − r ))dr ´−(dr dr ´)(r − r )
und
∫L
r − r´
1
dr
=−
3
r − r´
r − r´
L− Ende
=0
L− ANfang
( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen)
folgt:
F=
µ0
II ´
4π ∫L
r − r´
∫L´ (dr dr ´) r − r ´ 3
für parallele Ströme:
27
Idr I ´dr ´> 0 folgt Anziehung
für antiparallele Ströme:
Idr I ´dr ´< 0 dagegen Abstoßung
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
r ↔ r´
dr ↔ dr ´
I ↔ I´
Somit:
F ↔ − F ( actio gleich reactio)
2.3 Die magnetostatischen feldgleichungen:
Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!
Mit dem Vektorpotenzial
A (r ) =
µ0
j ( r ´)
d 3r´
3
∫
4π R
r − r´
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
( Ψ (r ) beliebig möglich, da
A (r ) → A + ∇ Ψ umgeeicht werden kann.
∇ × ∇Ψ = 0 )
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
B = rotA ( r ) = ∇ ×
µ0
j ( r ´)
d 3 r´
3
∫
R
4π
r − r´
Beweis:
rot A ( r ) = ∇ ×
∇r
µ0
j ( r ´) µ0
1
d 3 r´
=
d 3 r´∇ r
× j (r ´)
3
3
∫
∫
4π R
r − r ´ 4π R
r − r´
1
r − r´
=−
3
r − r´
r − r´
⇒ rot A (r ) =
µ0
r − r´
d 3r´ j ( r ´) ×
= B (r )
3
∫
3
4π R
r − r´
Folgende Aussagen sind äquivalent:
Es existiert ein Vektorpotenzial mit
B = rotA (r )
⇔
div B = 0
Beweis:
div ( rot A (r )) = 0
es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".
Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (
aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten 10
worden sein sollen.
−35
s erzeugt
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982,
S. 78 ff.)
28
Der Zusammenhang zwischen
B (r ) und j (r ) :
∇ × B ( r ) = ∇ × (∇ × A( r ) ) = ∇(∇ ⋅ A ( r ) ) − ∆A ( r )
∇ ⋅ A (r ) = ∇ ⋅
∇r ⋅
µ0
j ( r ´) µ0
d 3 r´
=
d 3 r´∇ r
3
3
∫
4π R
r − r ´ 4π ∫R
j ( r ´) µ0
1
=
⋅
d 3r´ j ( r ´)∇ r ⋅
3
∫
R
r − r´
r − r ´ 4π
1
1
= −∇r´ ⋅
r − r´
r − r´
⇒ ∇ ⋅ A (r ) = −
∇ r´ ⋅ j ( r ´) = −
j ( r ´)
µ0
1
3
d
r
´
∇
⋅
+
∇
⋅
j
(
r
´)
3
r
´
r
´
r − r´ r − r´
4π ∫R
∂
ρ= 0
∂t
⇒ ∇ ⋅ A (r ) = −
j ( r ´)
µ0
d 3 r´∇ r´ ⋅
3
∫
4π R
r
−
r
´
Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
⇒ ∇ ⋅ A (r ) = −
j (r ´) ∂ µ0
µ0
3
d
r
´
∇
⋅
3
r
´
r − r ´ − ∂t 4π
4π ∫R
∫R
3
d 3r´
ρ(r ´, t )
r − r´
µ0
ρ( r ´, t )
d 3 r´
= µ0ε0 Φ (r , t )
3
∫
4π R
r − r´
⇒ ∇ ⋅ A (r ) = −
j (r ´)
µ0
− µ0ε0 ∂ Φ( r , t )
d 3 f ´
∫
4π S∞
∂t
r − r´
Mit dem Gaußschen Satz.
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:
j ( r´)
=0
d 3 f ´
r
−
r
´
S∞
∫
Also:
∇ ⋅ A (r ) = − µ0ε0
Also:
∂
Φ (r , t )
∂t
∇ (∇ ⋅ A ( r ) ) = µ0ε0
∂
E (r , t )
∂t
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach
∆A ( r ) =
=
µ0
d 3 r´∆ r
3
∫
R
4π
j ( r ´) µ0
=
⋅
d 3 r´ j (r ´)∆ r
3
∫
R
r − r´ 4π
1
⋅
r − r´
µ0
d 3 r´ j ( r ´)δ(r − r ´) = −µ0 j ( r )
3
∫
R
4π
wegen
29
1
= 4πδ(r − r ´)
∆ r ⋅
r − r´
Also:
∇ × B ( r ) = ∇ (∇ ⋅ A (r ) ) − ∆A ( r ) = µ0 j ( r ) + µ0 ε0
∂
E (r , t )
∂t
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:
∇ × B ( r ) = µ0 j ( r )
∂
µ0ε0 E ( r , t ) = 0
∂t
Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!
Integration über eine Fläche F mit Rand
∫ df ⋅∇ × B (r ) = ∫
∂F
∫
∂F liefert die Intgralform:
ds B ( r ) = ∫ df ⋅µ0 j ( r ) = µ0 I
ds B ( r ) = µ0 I
∂F
Mit dem Satz von Stokes
Das sogenannte Durchflutungsgesetz !
Zusammenfassung:
Magnetostatik:
div B = 0 ⇔ B = rot A ( quellenfreiheit)
rot B = µ0 j (r ) ⇔ ∫ ds ⋅ B = µ0 I
∂F
⇒ ∆A = − µ0 j (r )
Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:
∇⋅ A = 0
Dies geschieht durch die Umeichung
A´( r ) → A + ∇Ψ
∇ × A´(r ) → ∇ × A + ∇ × ∇Ψ
∇ × ∇Ψ = 0 ⇒ ∇ × A´(r ) → ∇ × A
⇒ ∇ × (∇ × A´( r ) ) = ∇ × B ( r ) = µ0 j
∇ × (∇ × A´(r ) ) = ∇ (∇ ⋅ A´( r ) ) − ∆A´(r )
Elektrostatik:
rot E = 0 ⇔ E = −∇Φ ( Wirbelfreiheit)
ε0 ∇ ⋅ E = ρ
⇔ ε0 ∫ df ⋅E = Q differenzielle Form / integrale Form
∂V
⇒ ∆Φ = −
1
ρ(r ) ( Poissongleichung)
ε0
30
Magnetische Multipole ( stationär)
µ0
j ( r ´)
d 3 r´
(mit der Coulomb- Eichung ∇ ⋅ A( r ) = 0 )
3
∫
4π R
r − r´
A (r ) =
Ausgangspunkt ist
mit den Randbedingungen
Taylorentwicklung nach
Die Stromverteilung
A (r ) → 0 für r-> unendlich
1
von analog zum elektrischen Fall:
r − r´
j (r ´) sei stationär für r >> r´
1
1 1
= + 3 (r ⋅ r ´) + ...
r − r´ r r
µ
µ
A (r ) = 0 ∫ 3 d 3 r´ j (r ´) + 03
4πr R
4πr
∫R
3
d 3 r´ j (r ´)(r ⋅ r ´) + ...
Monopol- Term
Mit
∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = x k ´(∇ r´ ⋅ j ( r ´)) + j ( r ´) ⋅ (∇ r´ x k ´)
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
∇ r´ ⋅ j ( r ´) = 0
∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = j (r ´) ⋅ (∇ r´ x k ´) = j l δkl = j k
Mit ∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = j k folgt dann:
∫
d 3 r´ j k (r ´) =
∫
d 3 r´∇ r´ ⋅ [xk ´ j (r ´) ] =
∫ df [x k ´ j(r ´)] = 0
S∞
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie
Dipol- Term
mit
[r ´× j (r ´)]× r = (r r ´) j − (r j )r ´= 2(r r ´) j − [(r r ´) j + (r j )r ´]
und mit
∇ r´ [xk ´(r r ´) j ] = [(r r ´) j k + xk ´(r j ) + xk ´ (r r ´)∇ r´ ⋅ j ]
∇ r´ ⋅ j = 0
⇒ ∇ r´ [x k ´(r r ´) j ] = [(r r ´) j k + x k ´(r j )]
Folgt:
∫R
3
Da
∫R
3
d 3 r´∇ r´ [xk ´(r r ´) j ] = ∫
R3
d 3 r´∇ r´ [xk ´(r r ´) j ] =
d 3 r´[(r r ´) j k + x k ´(r j )] = 0
∫ df [x k ´(r r ´) j ] = 0 weil der Strom verschwindet !
S∞
Somit gibt der Term
[(r r ´) j + (r j )r ´]
keinen Beitrag zum
µ0
∫
3
4πr 3 R
d 3 r´ j ( r´)(r ⋅ r ´)
31
Also:
A (r ) =
µ0 1
d 3 r´(r ´× j (r ´) ) × r
3 2 ∫R 3
4πr
Als DIPOLPOTENZIAL !!
A (r ) :=
m=
µ0
4πr 3
m×r
1
d 3 r´(r ´× j ( r´) )
2 ∫R 3
das magnetische Dipolmoment !
Analog zu
Φ ( r ) :=
p := ∫
R
1
4πε0 r 3
p ⋅r
d 3 r´r ´ ρ( r ´)
3
dem elektrischen Dipolmoment
Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
B (r ) := ∇ ×
Wegen:
(
µ0
4πr
3
m×r =
) (
µ0
4πr
[3(m ⋅ r )r − r m ]
2
5
)
(
)
∇ × a × b = b ⋅ ∇ a − (a ⋅ ∇ )b + a ∇ ⋅ b − b (∇ ⋅ a )
mit
a=
m
r3
b =r
⇒ diva = −3
m ⋅r
r5
div b = 3
(b ⋅ ∇ )a = −3
(a ⋅ ∇)b =
m ⋅r 2
r5
m
r3
Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
E ( r ) :=
1
4πε0 r
[3( p ⋅ r ) − r p ]
2
5
32
Beispiel: Ebene Leiterschleife L:
1
r ´×ds ´
2
d 3 r ´ j ( r ´) = ds ´I
df ´=
Mit I = Strom durch den Leiter
⇒m=
1
I
d 3 r´(r ´× j ( r ´) ) = ∫ r ´×ds ´= I ∫ df ´= IFn
∫
F
2L
2L
Dabei ist
n die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F
Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
m
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
negativen Ladung zeigt.
p = qa , welches von der positiven zur
Bewegte Ladungen
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
Dabei sei die spezifische Ladung
qi
q
= konstant:
mi m
ρ( r ) = ∑ qi δ (r − ri )
i
j (r ) = ∑ qi vi δ (r − ri )
i
vi =
dri
dt
33
Das magnetische Dipolmoment beträgt:
m=
1
1
1
1
q
d 3 r´(r ´× j ( r´) ) = ∑ qi ∫ d 3 r´r ´×vi δ (r ´−ri ) = ∑ qi ri × vi = ∑ i mi ri × vi
∫
2L
2 i
2 i
2 i mi
qi
q
=
mi m
⇒m=
q
L
2m
Mit dem Bahndrehimpuls
m =
L:
q
L gilt aber auch für starre Körper !
2m
è Allgemeines Gesetz !
Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!
m =g
e
S
2m
g≈2
Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen
!
Kraft auf eine Stromverteilung:
j (r ´) = ρi ( r ´)v ( r ´)
im Feld einer externen magnetischen Induktion
B (r ´) :
Spürt die Lorentzkraft
F = ∫ d 3 r´ j ( r ´) × B ( r ´)
Talyorentwicklung liefert:
B (r ´) = B ( r ) + [(r ´− r )∇ ]B ( r ) + ....
⇒ F = ∫ d 3r´ j ( r ´) × B ( r´) + ∫ d 3 r´ j (r ´) × [(r ´−r )∇ ]B ( r ) + ...
im stationären Fall gilt wieder:
d 3 r´ j ( r ´) = 0 ( keine Monopole)
∫
Also:
F = ∫ d 3 r´ j ( r ´) × [(r ´)∇ r ]B ( r ) − ∫ d 3r´ j ( r ´) × [(r )∇ r ]B ( r )
∫
d 3r´ j ( r ´) × [(r )∇ r ]B ( r ) = 0, da ∫ d 3 r´ j (r ´) = 0
⇒ F = ∫ d 3 r´ j ( r ´) × [(r ´)∇ r ]B (r )
[(r ´)∇ r ]B ( r ) = ∇ r [(r ´) ⋅ B ( r ) ] − r ´×[∇ r × B ( r ) ]
34
Man fordert:
[∇ r × B (r )] = 0
( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
j (r ´) haben:
F = ∫ d 3 r´ j ( r ´) × ∇ r [(r´) ⋅ B ( r ) ]
j (r ´) × ∇ r [(r ´) ⋅ B ( r ) ] = −∇r × [((r ´) ⋅ B ( r ) ) j ( r ´)] + [(r´) ⋅ B ( r ) ]∇ r × j ( r ´)
∇ r × j ( r ´) = 0
⇒ F = −∫ d 3 r´∇ r × [((r ´) ⋅ B ( r ) ) j ( r ´)] = −∇ r × (m × B ( r ) )
F = −∇ r × (m × B (r ) ) = (m ⋅ ∇ r )B (r ) = −∇ r (− m ⋅ B (r ) )
( Vergl. S. 34)
3.
Die Maxwell-Gleichungen
Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder
Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine
Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !
Invarianz- Prinzipien sind / können sein:
3.1 TCP- Invarianz
Zeitumkehr T: t -> t´=-t
Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q à Q´= - Q
Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)
Die Zeitumkehr- Transformation
T g := {T − in var iante ObservableA : TA = A}
Diese Observablen sind "gerade"
lim ∆q
d2r
F
= r , dr , a := 2 , m, q, ρ :=
, F = ma , E = , Φ...
∆V → 0 ∆V
q
dt
unter T
Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:
dr
Tu := {A : TA = − A} = v :=
, j = ρv , B , A
dt
Denn:
F = qv × B
F ∈ T g , v ∈T u , q ∈ T g ⇒ B ∈ Tu
B = ∇ × A, ∇ ∈ Tg
Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:
35
T : {∇ r × E = 0} → {∇ r × E = 0}
T : {ε0 ∇ r ⋅ E = ρ} → {ε0∇ r ⋅ E = ρ}
T : {∇ r ⋅ B = 0} → {− ∇ r ⋅ B = 0} ⇔ {∇ r ⋅ B = 0}
T : {∇ × B = µ0 j} → {− ∇ × B = −µ0 j }
Kontinuitätsgleichung:
∂
∂
T : ρ + ∇ r ⋅ j = 0 → − ρ − ∇ r ⋅ j = 0
∂t
∂t
Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !
Ladungsumkehr ( Konjugation)
C g := {C − in var iante Observable A : CA = A}
C g = {F , m, r , v , a }
sind gerade unter C
Ungerade unter c sind:
1
C u := {A : CA = − A} = E = F , B , j , ρ
q
F = qv × B
è C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:
C : {∇ r × E = 0} → {− ∇ r × E = 0}
C : {ε0 ∇ r ⋅ E = ρ} → {− ε0∇ r ⋅ E = − ρ}
C : {∇ r ⋅ B = 0} → {− ∇ r ⋅ B = 0}
C : {∇ × B = µ0 j } → {− ∇ × B = −µ0 j }
∂
∂
C : ρ + ∇ r ⋅ j = 0 → − ρ − ∇ r ⋅ j = 0
∂t
∂t
Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion
Vertauschung: rechts <-> links
Man unterscheidet:
36
P r = −r -> polarer Vektor
und
(
) (
) (
)
P a × b = − a × −b = a × b P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!
Seien:
a , b polar, w, σ axial
Dann ist
a×w
polar
a × b , w ×σ
axial
a b skalar : P( a b ) = a b
w σ pseudoskalarP( w σ ) = − w σ
Pg := {P − in var iante Observable A : PA = A}
Pg = {Skalare m, q, axialeVektoren , B }
Wegen
F = qv × B
F ∈ Pu
q ∈ Pg
v ∈ Pu
ungerade Parität dagegen:
1
Pu = polareVektoren , r , dr , v , a , F , E = F , j = ρv , A , Pseudoskalare ∇ ⋅ B
q
Wegen
B = ∇× A
∇ ∈ Pu
B ∈ Pg
37
P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:
P : {∇ r × E = 0} → {∇ r × E = 0}
P : {ε0∇ r ⋅ E = ρ} → {ε0 ∇ r ⋅ E = ρ}
P : {∇ r ⋅ B = 0} → {− ∇ r ⋅ B = 0}
P : {∇ × B = µ0 j } → {− ∇ × B = −µ0 j }
∂
∂
P : ρ + ∇ r ⋅ j = 0 → ρ + ∇ r ⋅ j = 0
∂t
∂t
Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare
Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!
38
3.2 Maxwell- Gleichungen im Vakuum
Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder E ( r , t ), B ( r , t ) lauten:
1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
∇r × E = 0
ε0 ∇ r ⋅ E − ρ = 0
∇r ⋅ B = 0
∇ × B − µ0 j = 0
2) die Gleichungen sollen linear in
E ( r , t ), B ( r , t ) sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen !
Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)
Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!
Somit sind
∇ r × E = a1 E& + b1 B&
∇ × B − µ0 j = a 2 E& + b2 B&
ε0 ∇ r ⋅ E − ρ = 0
∇r ⋅ B = 0
Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
E ( r , t ), B ( r , t ) für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
3) Wir fordern TCP- Invarianz:
T g oder Pg ⇒ a1 = 0
Tu oder Pu ⇒ b2 = 0
Also bleibt:
∇ r × E = b1 B&
∇ × B − µ0 j = a 2 E&
ε0 ∇ r ⋅ E − ρ = 0
∇r ⋅ B = 0
4) Ladungserhaltung:
0=
∂
(ε0 ∇ r ⋅ E − ρ) = ε0∇ r ⋅ E& − ρ& = ε0 ∇ ⋅ (∇ × B − µ0 j ) − ρ&
∂t
a2
ε0
∇⋅∇× B = 0
a2
ε
⇒ 0 ∇ ⋅ (µ0 j ) − ρ& = 0
a2
⇒ a 2 = ε0 µ0
Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung !
Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
ε0 E&
39
5) Lorentzkraft
F = q v × B soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
Suche also eine Lagrange- Funktion
L (r , v , t ) so dass die Lagrangegleichung
d ∂L (r , v , t ) ∂L (r , v , t )
−
=0
dt ∂v k
∂xk
die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
[
m&r& = q E (r , t ) + v × B (r , t )
]
ergibt !
Lösung:
L=
[
m 2
v + q v A ( r , t ) − Φ (r , t )
2
]
Tatsächlich gilt
∂L (r , v , t )
= mv k + qAk ( r , t ) = kanonischer Impuls
∂vk
d ∂L (r , v , t )
d
= m&x&k + q Ak ( r , t )
dt
∂vk
dt
pk =
Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn r zu sehen !
∂
d ∂L (r , v , t )
∂A (r , t ) ∂xl
= m&x&k + q Ak (r , t ) + k
dt
∂vk
∂xl
∂t
∂t
∂
= m&x&k + q + v ⋅ ∇ Ak (r , t )
∂t
∂
∂ L( r , v , t )
∂
= q
vA −
Φ
∂ xk
∂ xk
∂xk
( )
⇒0=
∂
d ∂ L (r , v , t ) ∂L (r , v , t )
∂
∂
−
= m&x&k + q + v ⋅ ∇ Ak (r , t ) − q
vA −
Φ
dt
∂ vk
∂xk
∂ xk
∂t
∂x k
= m&x&k + q
( )
∂
∂
∂
Ak ( r , t ) + q (v ⋅ ∇ )Ak ( r , t ) −
vA + q
Φ
∂t
∂x k
∂ xk
( )
∂
vA = − v × ∇ × A k
(v ⋅ ∇ )Ak ( r , t ) −
∂x k
∂
∂
⇒ 0 = m&r& + q A(r , t ) − q v × ∇ × A + q ∇Φ = m&r& + q A(r , t ) + ∇Φ − v × ∇ × A
∂t
∂t
( )
[ (
[ (
)]
)]
[ (
)]
Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
∂
A(r , t ) − ∇Φ
∂t
B (r , t ) = ∇ × A(r , t )
E (r , t) = −
und:
∂
∇ × A(r , t ) − ∇ × ∇Φ
∂t
∇ × A( r , t ) = B ( r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∇ × ∇Φ = 0
⇒ b1 = − 1
40
Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum
mit den neuen Feldgrößen
D ( r , t ) := ε 0 E (r , t ) dielektrische Verschiebung
und
H ( r , t ) :=
1
B (r , t ) , Magnetfeld
µ0
ergibt sich:
∇ r × E + B& = 0
∇r ⋅ B = 0
∇r ⋅ D = ρ
∇ r × H − D& = j
Dabei sind
∇ r × E + B& = 0
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen
∇r ⋅ B = 0
Feldern E , B beschreiben
und
∇r ⋅ D = ρ
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder D, H durch gegebene Ladungen
∇ r × H − D& = j
und Ströme
Im Gauß- System:
1 &
B =0
c
∇r ⋅ B = 0
∇r × E +
∇ r ⋅ E = 4πρ
4π
∇ r × B − E& =
j
c
Mit
1 ∂
A − ∇Φ
c ∂t
B = ∇×A
E =−
D=E
H =B
im Vakuum !
Induktionsgesetz :
Die Maxwellgleichung
∇ r × E = − B& wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand ∂F integriert:
41
∫F df (∇ r × E ) = − ∫F df B
&
⇒
∫
ds E = −
∂F
∂
df B
∂t ∫F
Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig
sind, also die Fläche ortsfest !
Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
∫
ds E = −
∂F
Φ (t ) =
∂
Φ (t )
∂t
∫F df B = ∫
ds ⋅ A
∂F
Der magnetische Fluß !
Der magnetische Fluß
Φ (t ) hängt nur vom Rand ∂F der Fläche ab !
Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
∫F df B − ∫F´ df B = ∫
∂V
dfB = ∫ d 3 r∇ ⋅ B = 0
V
∇⋅B =0
Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
∂F beträgt:
∆Φ := − ∫ ds E Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld)
∂F
Somit folgt das
Faradaysche Induktionsgesetz:
∆Φ =
∂
Φ mag
∂t
mit dem magnetischen Fluß
Φ mag
42
Die Lenzsche Regel:
B& → E
induziert
∇ × E = −B
E → j ~ E Ladungsverschiebung/- Bewegung
j→H
erzeugt
∇r × H = j
&
Also: H ist B entgegengerichtet !
Zusammenfassung
∫
∂F
ds E = −
∂
Φ(t ) Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der
∂t
zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
Φ (t ) =
∫F df B = ∫
ds ⋅ A
∂F
∫
dfB = 0 Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
∂V
43
∫
dfE =
∂V
Q
Q
Der Fluß des elektrischen Feldes durch ∂V ist gleich der eingeschlossenen Ladung
ε0
ε0
∫
ds ⋅ H = ∫ df ⋅ D& + I Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist
∂F
F
gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
∫F
df ⋅ D& und dem Konvektionsstrom
I = ∫ df ⋅ j
F
3.4 Energiebilanz
Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
ρ& + ∇ ⋅ j = 0
(
)
ρ& + ∇ ⋅ j = ∇ ⋅ D& + j = ∇ ⋅ (∇ × H ) = 0
Frage:
Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie
Energie, Impuls, Drehimpuls.
( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)
Energietransport durch das elektromagnetische Feld:
∇ r × E + B& = 0 ⋅ H
∇ × H − D& = j ⋅ E
∂
∂
B + E ⋅ D = −j⋅E
∂t
∂t
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) = ∇ ⋅ (E × H )
⇒ H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) + H ⋅
∂
1
∂
∂ 1
B=
B B =
B 2
∂t
µ0 ∂t
∂t 2 µ0
∂
∂
∂ ε
E ⋅ D = ε0 E ⋅ E = 0 E 2
∂t
∂t
∂t 2
H⋅
44
Also:
∂
w + ∇⋅S = − j ⋅ E
∂t
Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
mit
w :=
∂ ε
∂ 1
1
B 2 + 0 E 2 = (E ⋅ D + B ⋅ H )
∂t 2 µ0
2
∂t 2
Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Remember:
Elektrostatik:
1
E ⋅D
2
Magnetostatik:
1
B ⋅H
2
S := E × H als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)
σ = − j ⋅ E als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)
j ⋅ E > 0 bedingt die Abnahme der Feldenergie bei ( r , t )
j ⋅ E < 0 bedingt die Zunahme der Feldenergie bei ( r , t )
Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
(
f = ρ (E + v × B )
Kraft auf die Ladung q: F = q E + v × B
Kraftdichte:
E,B :
)
Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte ρ folgt:
fv = ρ v (E + v × B ) = ρv E + ρv (v × B )
ρv (v × B ) = 0
⇒ fv = ρ vE = jE
Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht
Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der
Feldenergie)
Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!
Beispiel: Ohmsches Gesetz:
σ ⋅ E = j mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT σ > 0 ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)
Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
E
Die Energiebilanz lautet:
∂
w + ∇ ⋅ S = −σ ⋅ E 2 < 0
∂t
Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
45
Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !
Das bedeutet:
t → −t
j →− j
aber
E →E
σ ⋅ E 2 > 0 wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert
2. Beispiel:
Antennenstrahlung ( offenes System)
j in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld E außerhalb entgegengesetzt.
⇒ jE < 0
⇒ Energiegewinn des Feldes
3.5 Impulsbilanz
Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das
elektromagnetische Feld:
∂
(
D × B ) = D& × B + D × B&
∂t
D& = ∇ × H − j
B& = −∇ × E
∂
1
⇒ (D × B ) = −
B × (∇ × B ) − j × B − εo E × (∇ × E )
∂t
µ0
Mittels
B × (∇ × B ) =
1
∇ (B ⋅ B ) − (B ⋅ ∇ )B
2
1
1
B × (∇ × B ) = ∇ ⋅ (1) (B ⋅ B ) − B ⊗ B + B (∇ ⋅ B ) = ∇ ⋅ (1) (B ⋅ B ) − B ⊗ B
2
2
B (∇ ⋅ B ) = 0
Dabei bezeichnet (1) den Einheitstensor 1. Stufe und B ⊗ B das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
1
Außerdem ist ∇ ⋅ (1) (B ⋅ B ) − B ⊗ B die Divergenz eines Tensors (T ) zweiter Stufe.
2
In Komponenten gilt: (∇ ⋅ T )β := ∂ α Tα β
Analog:
ρ
1
1
E × (∇ × E ) = ∇ ⋅ (1) (E ⋅ E ) − E ⊗ E + E (∇ ⋅ E ) = ∇ ⋅ (1) (E ⋅ E ) − E ⊗ E + E
ε0
2
2
⇒
∂
(D × B ) + ∇ ⋅ (1) 1 ε0 E 2 + 1 B 2 − ε0 E ⊗ E − 1 B ⊗ B = −(E ρ + j × B )
∂t
µ0
µ0
2
46
Dabei beschreibt
(E ρ + j × B ) den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird
Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:
()
∂
g + ∇ ⋅ T = −(E ρ + j × B )
∂t
g := (D × B )
()
1
1 2
1
2
B − ε0 E ⊗ E −
B ⊗ B := T
(1) ε0 E +
µ0
µ0
2
Dabei ist
g := (D × B ) die Impulsdichte des Feldes.
Nach Newton gilt:
d
p=F
dt
d
⇒ g= f
dt
Es ergibt sich
()
(1) 1 (E ⋅ D + B ⋅ H ) − E ⊗ D − B ⊗ H := T
2
Als der
IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)
in Komponenten:
1
Tαβ = δαβ (E ⋅ D + B ⋅ H ) − Eα Dβ − Bα H β
2
Dies ist die Stromrichtung der β - Komponente der Impulsdichte in α - Richtung.
Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !
()
tr T = Tαα = w Energiedichte
Außerdem ist T symmetrisch:
Tαβ = Tβα
Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung
∂
∂
gβ +
Tαβ = − f β
∂t
∂xα
beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.
Bemerkung:
Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den
Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !
3.6 Eichinvarianz
E , B werden durch die Potenziale Φ (r , t ), A (r , t ) dargestellt.:
∂
E = −∇Φ (r , t ) − A (r , t )
∂t
B = ∇ × A (r , t )
Die Felder
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
47
Φ (r , t ) → Φ´(r , t )
A(r , t ) → A´(r , t )
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
∂
∂
A (r , t ) = −∇Φ´(r , t ) − A´(r , t )
∂t
∂t
B = ∇ × A (r , t ) = ∇ × A´(r , t )
E = −∇Φ (r , t ) −
⇒ A´(r , t ) = A (r , t ) + ∇ G(r , t )
∂
∂
⇒ −∇Φ (r , t ) − A (r , t ) = −∇Φ´(r , t ) − (A (r , t ) + ∇ G(r , t ))
∂t
∂t
∂
⇒ ∇ Φ´(r , t ) − Φ (r , t ) + G (r , t ) = 0
∂t
∂
⇒ Φ´(r , t ) − Φ (r , t ) + G(r , t ) = g (t )( r − unabhängig )
∂t
Mit
F (r , t ) := G(r , t ) − ∫ dt´ g (t ´)
t
to
⇒ A´(r , t ) = A (r , t ) + ∇ F (r , t )
∂
Φ´(r , t ) = Φ (r , t ) − F (r , t )
∂t
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
F (r , t ) .
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
physikalisch relevant.
So muss auch
E , B sondern auch Φ (r , t ), A (r , t ) sind
∫ ds A (r , t ) = ∫F dfB (r , t ) = Φ (r , t ) erfüllt sein.
∂F
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind.
Durch
E = −∇Φ (r , t ) −
B = ∇ × A (r , t )
∂
A (r , t )
∂t
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
∂
∂
∇ × A (r , t ) = − B
∂t
∂t
∇ ⋅ B = ∇ ⋅ (∇ × A(r , t )) = 0
∇ × E = −∇ × ∇Φ (r , t ) −
48
Auch die Umkehrung gilt:
∇⋅B =0
⇒ ∃A (r , t ) ⇒ ∇ × A (r , t ) = B
∂
∂
∂
B = −∇ × A (r , t ) ⇒ ∇ × E + A (r , t ) = 0
∂t
∂t
∂t
∂
⇒ ∃Φ (r , t ) ⇒ E + A (r , t ) = −∇Φ(r , t )
∂t
∇×E = −
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
1.
A (r , t ), Φ(r , t ) :
Lorentz- Eichung:
∇ ⋅ A (r , t ) + ε0 µ0
∂
Φ(r , t ) = 0
∂t
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
∂
ρ
− ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ∇Φ (r , t ) + A (r , t ) = −
∂t
ε0
1)
∂
ρ
∆Φ (r , t ) + ∇ ⋅ A (r , t ) = −
∂t
ε0
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
∆Φ (r , t ) − ε0 µ0
∂2
∂t
2
Φ(r , t ) = −
ρ
ε0
Für A:
1
∂
∇ × B − ε0 E = j
µ0
∂t
2)
⇒ ∇ × (∇ × A (r , t )) + ε0 µ0
∂
∂
∇ Φ(r , t ) + A (r , t ) = µ0 j
∂t
∂t
∇ × (∇ × A (r , t )) = +∇(∇ ⋅ A (r , t )) − ∆A (r , t )
⇒ ∆A (r , t ) − ε0 µ0
∂2
∇ ⋅ A (r , t ) + ε µ ∂ Φ(r , t ) = −µ j
A
(
r
,
t
)
−
∇
0 0
0
∂t
∂t 2
Was mit der Lorentz- Eichung
∇ ⋅ A (r , t ) + ε0 µ0
∂
Φ(r , t ) = 0
∂t
wird zu
∆A (r , t ) − ε0 µ0
∂2
∂t 2
A (r , t ) = −µ0 j
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
# := ∆ −
1 ∂2
c 2 ∂t 2
zusammengefasst werden:
49
# Φ (r , t ) = −
ρ
ε0
# A (r , t ) = − µ0 j
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
Es ergibt sich im SI- System:
1
m
:= c = 2,994 ⋅ 10 8
als Lichtgeschwindigkeit
s
ε0 µ0
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
Coulomb- Eichung
( sogenannte Strahlungseichung):
∇ ⋅ A (r , t ) = 0
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
Für
D& = 0
⇒ ∇ × B = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∆A = µ0 j
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
E = −∇Φ (r , t ) −
∂
A (r , t )
∂t
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
El := −∇Φ (r , t )
und ein quellenfreies Transversalfeld
Et = −
∂
A (r , t )
∂t
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
∇ × El := −∇ × (∇Φ (r , t )) = 0
∂
∇ ⋅ E t = − ∇ ⋅ A (r , t ) = 0
∂t
Da B quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
∇ ⋅ B := ∇ ⋅ (∇ × A ) = 0
Also:
Φ (r , t ) ergibt die longitudinalen Felder und
A(r , t ) die transversalen Felder.
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur.
(Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation
verschwindet).
50
Zerlegung der Stromdichte:
j = jl + j t
mit
∇ × jl = 0
∇ ⋅ jt = 0
Mit
∂
ρ + ∇ ⋅ jl + ∇ ⋅ jt = 0
∂t
ρ = ε0 ∇ ⋅ El
∇ ⋅ jt = 0
∂
⇒ ∇ ⋅ jl + ε0 El = 0
∂t
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
∂
∇ × jl + ε0 El = 0
∂t
Also:
j + ε ∂ E = const
l
0
l
∂t
Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
j +ε ∂ E = 0
l
0
l
∂t
Also:
j l = ε0∇
∂Φ
∂t
Also:
Die Feldgleichungen
∆Φ +
∂
ρ
∇⋅ A = −
∂t
ε0
∇⋅ A =0
⇒ ∆Φ = −
ρ
ε0
und
∆A (r , t ) − ε0 µ0
∂2
∂
A(r , t ) − ∇ ∇ ⋅ A (r , t ) + ε0 µ0 Φ (r , t ) = −µ0 j
∂t
∂t
2
∇ ⋅ A (r , t ) = 0
∂
∇ε0 Φ(r , t ) = j l
∂t
erhalten dann die Form:
∆Φ = −
ρ
ε0
und
51
# A (r , t ) = − µ0 j t
In der Coulomb- Eichung !
Also.
ρ
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
ε0
# A (r , t ) = − µ0 j t als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
∆Φ = −
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
Sie liefert eine Poissongleichung für
Φ und eine Wellengleichung für A(r , t ) .
52
4. Elektromagnetische Wellen
E , B entkoppelt.
Im dynamischen Fall jedoch sind E , B über den Verschiebungsstrom
1
∇ × B − j = ε0 E&
µ0
Im statischen Fall sind die Felder
und über das Induktionsgesetz
∇ × E = −B& gekoppelt !
Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen !
4.1 Freie Wellenausbreitung im Vakuum
Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
ρ= 0
j =0
Damit:
#Φ = −
1
ρ = 0 ⇒# Φ = 0
ε0
# A = −µ0 j = 0 ⇒# A = 0
Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
53
Wegen
E = −∇Φ (r , t ) −
B = ∇ × A (r , t )
∂
A (r , t )
∂t
gilt auch
#E =0
#B = 0
Dies folgt auch direkt aus
∇ × B = ε0 µ0 E&
∇ × E = −B&
⇒ mit ∇ ⋅ E = 0
2
∆ − ε0 µ0 ∂ E = 0
∂t 2
Allgemeine Lösung von
u (r , t ) = 0 :
u (r , t ) = F ( k r − ϖt )
mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion
F (ϕ) und ϖ = c k ( dÁlembertsche Lösung)
Beweis:
ϖ2
# F ( k r − ϖt ) = k 2 − 2 F ´´(ϕ) = 0
c
Nebenbemerkung: F (ϕ) muss nicht periodisch in ϕ sein !
Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
Der Wellenvektor
k zeigt in Ausbreitungsrichtung:
54
Es gilt:
∇ϕ(r , t ) = k
Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
k r − ϖt = ϕ( r , t ) = const !
Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
1
k r − 2 k (ϖt + ϕ) = 0
k
Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
r (t ) =
1
k2
k (ϖt + ϕ)
Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
v ph =
dr (t )
k
k
= 2ϖ=c
dt ϕ =const k
k
k
:= n
k
spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle
u (r , t ) = u~ (k ) e i (k r −ϖt )
mit der komplexen Amplitude
u~( k )
Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine
Dispersionsrelation
ϖ(k )
u (r , t ) = ∫ d 3 ku~( k ) e i (k r −ϖ ( k ) t )
Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
Sei
u~( k ) um k 0 herum lokalisiert:
So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist !
Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
k 0 ergibt
55
(
)
ϖ(k ) ≈ ϖ( k 0 ) + k − k 0 ∇ k ϖ( k )
∇ k ϖ(k )
k = k0
k =k 0
+
(
1
k − k0
2!
)2 (∇ k ) 2ϖ(k )
k =k 0
+ ...
= vg
(
)
ϖ(k ) ≈ ϖ( k 0 ) + k − k 0 v g
Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
~
~ ik ( r −vg t )
~
u (r , t ) = ei (k 0r −ϖ 0 t ) ∫ d 3 k u~( k 0 + k ) e
~
k = k − k0
Dies ist zu interpretieren als
e i ( k0 r −ϖ 0t ) eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit v ph =
∫
ϖ0
k0
~ i k~ (r −v g t )
d k u (k 0 + k )e
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
3 ~~
()
v g = ∇ kϖ k bewegt:
Wir erhalten die Dispersionsrelation
ϖ(k )
elektromagnetische Wellen im Vakuum:
ϖ(k ) = c k ⇒ v g = c
k
1
= v ph =
n
k
ε0 µ0
es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)
Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen
im Vakuum !
Polarisation
Betrachte eine elektromagnetische Welle:
E ( r , t ) = E0 e i (k r −ϖt )
B (r , t ) = B0 e i ( k r −ϖt )
Allgemein gilt:
E ( r , t ) heißt transversal, wenn ∇ ⋅ E ( r , t ) = 0 ( quellenfrei)
⇒ i k ⋅ E ( r , t ) = 0 ⇒ k ⊥E ( r , t )
56
E ( r , t ) heißt longitudinal, wenn ∇ × E ( r , t ) = 0 ( wirbelfrei)
⇒ i k × E ( r , t ) = 0 ⇒ k || E ( r , t )
Für ρ = 0 ist wegen ∇ ⋅ E ( r , t ) = 0 das elektrische Feld transversal.
Wegen ∇ ⋅ B (r , t ) = 0 ist das magnetische Feld stets transversal !
Weiter folgt aus:
∇ × E (r , t ) + B& = 0
dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes
gegeben ist !
∇ × E (r , t ) + B& = 0
⇒ ik × E0 − iϖB0 e i (k r −ϖt ) = 0
(
)
ϖ=ck
⇒ B0 =
1 k
1
× E0 := n × E 0
c k
c
Folglich bilden
k , E0 , B0 ein Rechtssystem !
Die Richtung von Re
Sei
{E0 , B0 } legt die Polarisation fest:
k || e3 - Achse, also:
E0 = E01e1 + E02 e2
E0i = ai e iδ i ∈ C
a i , δi ∈ R
i = 1,2
Das physikalische Feld ergibt sich zu
{
}
E1 ( r , t ) = Re a1e i (δ 1 +k r −ϖt ) = a1 cos (ϕ + δ1 )
ϕ := k r − ϖt
und
57
{
}
E2 (r , t ) = Re a2 e i (δ 2 +ϕ ) = a2 cos (ϕ + δ2 )
Aus
E1
(r , t ) = cos ϕ cos δ1 − sin ϕ sin δ1
a1
E2
( r , t ) = cos ϕ cos δ2 − sin ϕsin δ2
a2
Kann ϕ und somit (r , t ) eliminiert werden:
E1
E
sin δ2 − 2 sin δ1 = cos ϕ sin (δ2 − δ1 )
a1
a2
E1
E
cos δ2 − 2 cos δ1 = sin ϕsin (δ2 − δ1 )
a1
a2
2
2
E E
E E
⇒ 1 + 2 ⇒ 1 + 2 − 2 1 2 cos (δ2 − δ1 ) = sin 2 (δ2 − δ1 )
a1 a 2
a1 a 2
Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für E1 , E 2 :
2
2
Der Feldvektor
E ( r , t ) läuft als Funktion von ϕ auf einer Ellipse senkrecht zu k um die Achse der
Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
festen Ort r .
r für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen
58
Spezialfälle:
Linear polarisierte Welle:
δ1 = δ 2 + nπ ⇒ sin (δ2 − δ1 ) = 0, cos(δ2 − δ1 ) = ±1
⇒
E1 E 2
±
=0
a1 a 2
Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
E (r , t ) = E 0 cos ϕ( r , t )
mit reeller Amplitude
E0
Zirkular polarisierte Welle
a1 = a 2 = a
δ1 = δ2 + (2n + 1)
π
⇒ sin (δ 2 − δ1 ) = ±1, cos(δ2 − δ1 ) = 0
2
⇒ E12 + E2 2 = a 2
Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
π
phasenverschoben sind !
2
Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
cos ϕ
E ( r , t ) = a
± sin ϕ
Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:
59
Dabei läuft
B (r , t ) dem E ( r , t ) - Vektor um
π
verschoben nach bzw. voraus !
2
Energiedichte der elektromagnetischen Welle:
E0 ( r , t ) reell:
(
)
B (r , t ) = B0 cos(k r − ϖt )
E (r , t ) = E 0 cos k r − ϖt
mit
B0 =
1
n × E0
c
Die Energiedichte ergibt sich gemäß
w=
ε0 2
1
ε
1
ε
E +
B2 = 0 E2 +
E2 = 2 0 E2
2
2
2 µ0
2
2
2 µ0 c
Für die Energiestromdichte gilt:
S=
1
E ×B
µ0
S=
1
E × (n × E ) =
cµ0
ε0 2
E n = cε0 E 2 n = cwn
µ0
Also:
Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
Für ine Kugelwelle:
E (r , t) =
n=
k
transportiert
k
1
E0 cos (k r − ϖt ) verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
r
für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
W (r ) = 4πr 2 dr ε0 E 2 ( r , t )
Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:
W (r ) = 4πr 2 dr ε0 E 2 ( r , t ) = 2πr 2 drε0
E0 2
r2
= const .
4.2 Retardierte Potenziale
Aufgabe
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
# Φ (r , t ) = −
ρ
ε0
# A (r , t ) = − µ0 j
zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
Φ (r , t ), A (r , t ) → 0 für
ρ(r , t ), j (r , t ) und Randbedingungen
r →∞
Methode: Greensche Funktion verwenden:
G(r − r ´, t − t ´)
60
In der Elektrodynamik:
# u (r , t ) = − f (r , t )
mit
u (r , t ) := Φ (r , t ), A(r , t )
ρ
f (r , t ) =
,µ j
ε0 0
Fourier- Trafo:
#̂ −1 := −Gˆ
⇒ uˆ (k , ω) = Gˆ fˆ (k , ω)
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
∞
u (r , t ) = ∫ 3 d 3 r´∫ dt´G(r − r´, t − t ´) f (r ´, t´)
−∞
R
mit
# G(r − r ´, t − t´) = −δ(r − r´)δ (t − t´)
Vergleiche: Elektrostatik:
∆Φ (r ) = −
1
ρ(r )
ε0
Fourier- Trafo:
∆−1 := −Gˆ
ˆ k = Gˆ ρˆ
⇒Φ
()
Gˆ =
1
ε0 k 2
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
Φ (r ) = ∫ 3 d 3 r´G(r − r ´)ρ(r ´)
R
mit
G(r − r ´) =
1
1
4πε0 r − r ´
∆G(r − r ´) = −
1
δ (r − r ´)
ε0
Kausalitätsbedingung:
G(r − r ´, t − t´) = 0
für t<t´
Somit kann
u r , t nur von
( )
f (r ´,t´) mit t´ < t beeinflusst werden
61
Fourier- Transformation:
f (r , t ) =
1
(2π ) ∫
2 R3
fˆ (q , ω) =
∞
d 3 q ∫ dω fˆ (q ,ω)e i (q r −ωt )
−∞
d 3r ∫ dt f (r , t )e −i (q r −ω t )
∞
1
(2π ) ∫
2 R3
−∞
Ebenso:
u (r , t ) =
(
∞
d 3 q ∫ dωuˆ (q ,ω)ei qr −ωt
2 ∫R
−∞
(2π )
1
)
3
⇒# u(r , t ) =
(2π )2 ∫R
d 3q ∫ dωuˆ (q , ω)# e i (q r −ω t )
∞
1
3
−∞
ω2
# e i (q r −ω t ) = − q 2 − 2
c
i (q r −ωt )
e
Aber es gilt:
# u (r , t ) = −
1
(2π )2 ∫R
2 ω2
⇒ q − 2
c
⇒ uˆ (q ,ω) =
3
∞
d 3 q ∫ dωfˆ (q , ω)e i (q r −ωt )
−∞
uˆ (q ,ω) = fˆ (q , ω)
fˆ (q , ω)
2 ω2
q −
2
c
1
⇒ Gˆ =
2 ω2
q −
2
c
Rücktransformation:
u (r , t ) =
1
(2π ) ∫
4 R3
∞
d q ∫ dω
3
−∞
e i (q r −ωt )
∫R
2 ω
q −
2
c
2
d 3 r´∫ dt´ f (r ´, t´)e −i (qr −ωt )
∞
3
−∞
i q (r − r´)−i ω (t − t´)
∞
∞
1
e
3
u (r , t ) = ∫ 3 d 3 r´∫ dt ´
d
q
d
ω
f (r ´, t´)
3
∫
∫
4 R
2
R
−∞
−∞
(
2
π
)
ω
q2 −
2
c
1
e iq (r −r ´)−iω (t −t´)
3 ∞
⇒
d
q
d
ω
3
∫−∞ ω2 = G( r − r ´, t − t´)
(2π )4 ∫R
q2 −
2
c
Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz
(komplexe Integration) gelöst werden.
62
Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration
für ω = ± cq gibt es Polstellen.
Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
Der obere Integrationsweg wird durch
Dabei: τ = t − t ´
τ < 0 charakterisiert, der untere Integrationsweg durch τ > 0 .
Das Integral über den Halbkreis:
Oberer Halbkreis:
ω = R ⋅ e iϕ
τ<0
0 ≤ϕ ≤ π
dω = R ⋅ e i ϕ idϕ
e −i ωτ = e R sinϕτ
sin ϕ > 0
τ<0
lim
⇒
e R sinϕτ = 0
R→∞
Unterer Halbkreis: τ > 0
63
ω = R ⋅ e iϕ
π ≤ ϕ ≤ 2π
dω = R ⋅ e iϕ id ϕ
e −i ωτ = e R sinϕτ
sin ϕ < 0
τ>0
lim
⇒
e R sinϕτ = 0
R→∞
Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
∞
e −iωτ
−∞
2 ω2
q −
2
c
Γ( q , τ) := ∫ dω
= ∫ dω
C
e −iωτ
2 ω2
q −
2
c
= 2πi ∑ Re s
Pole
e −iωτ
2 ω2
q −
2
c
( Residuensatz)
Für
τ < 0 liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
⇒ Γ(q ,τ ) = 0
⇒ G (r − r ´, t − t´) = 0 := G( s , τ) = 0
für t<t´
Dies ist die Kausalitätsbedingung.
Für
τ>0:
Γ( q , τ) = −2πi
∑
Re s
ω = ± cq
e −i ωτ
1
c2
(ω − cq )(ω + cq )
Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
∑
∫ dz f (z ) = 2πiPole
Re sf ( z ) ,
C
falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn
durchlaufen !
e −icq τ e icqτ
Γ( q , τ) = 2πic 2
+
2cq
−
2
cq
G( s ,τ) =
c
(2π ) ∫
3 R3
e −icq τ − e icqτ
d 3 qe iq s
− 2iq
64
Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
d 3 q = q 2 dq sin ϑdϑdϕ
q s = qs cos ϑ
G ( s ,τ ) =
1
∫
c
∞
(2π )3 ∫0
e −icq τ − e icqτ
dqq
− 2i
d cos ϑe iqs cosϑ =
−1
2π
1
d cos ϑe iqs cosϑ dϕ
∫
∫
−1
0
e iqs − e −iqs
iqs
ξ := cq
⇒ G ( s , τ) =
c
2(2π )2 s
∞
∫
0
s
s
s
i τ − s ξ
− i τ − ξ
i τ + ξ
− i τ + ξ
c
c
c
dξ e
+e −e −e c
∞
c
s
s
dξδ τ − − δ τ +
∫
4πs 0
c
c
⇒ G ( s , τ) =
s
δ τ + = 0
c
für τ > 0
Also lautet das Ergebnis:
r − r´
1
δ t − t´−
G( r − r ´, t − t´) = 4π r − r´
c t > t ´
0
t < t´
Retardierte Greensfunktion (kausal)
Physikalische Interpretation
G( r − r ´, t − t´) ist das Potenzial Φ ( r , t ) , das von einer punktförmigen Ladungsdichte
ρ
= δ (r − r ´)δ(t − t´)
ε0
am Punkt r ´ zur Zeit t´ erzeugt wird.
Die Eigenschaften:
-
Kausalität
-
Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
r − r ´ = c (t − t ´)
65
Nebenbemerkung:
Für den Integrationsweg
τ<0
Oberer Halbkreis:
Unterer Halbkreis:
τ>0
erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
r ´ zur zeit t´ zusammenzieht !
Mit
G( r , t ) =
∫
t
d 3 r´∫ dt´
−∞
r − r´
r − r´
1
1
f (r ´, t´) = ∫ d 3 r´
r´, t −
δ t − t´−
f
4π r − r ´
c
4π r − r´
c
folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
ρ(r , t ), j (r , t )
Φ (r , t ) =
A (r , t ) =
1
4πε0
µ´0
4π
∫
∫
r − r´
ρ r ´, t −
c
3
d r´
r − r´
r − r´
j r ´, t −
c
3
d r´
r − r´
Die retardierten Potenziale
Φ (r , t ), A (r , t ) sind bestimmt durch r ´ zu retardierten Zeiten t´= t −
r − r´
c
.
Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit
Lichtgeschwindigkeit c.
66
4.3 Multipolstrahlung
Ziel:
Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen
analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt
werden.
Voraussetzung: Lorentz- Eichung
& (r , t ) + c 2 ∇ ⋅ A (r , t ) = 0
Φ
Somit kann aus
A(r , t ) dann Φ (r , t ) und somit auch E (r , t ) B (r , t ) berechnet werden.
1. Näherung:
r>>a ( Ausdehnung der Quelle)
Mit
1
1 1
= + 3 (r ⋅ r ´) + ...
r − r´ r r
folgt:
A (r , t ) ≈
r − r ´ µ´0
µ´0
+
d 3 r´ j r´, t −
∫
4πr
c 4πr 3
∫
r − r´
(r ⋅ r ´)
d 3 r´ j r ´, t −
c
Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !
2.
Näherung
r − r´
r r ⋅ r´
≈t− +
+ ....
c
c
cr
r
t − := τ
c
t−
Diese Näherung sollte gut sein, falls
τ >>
r ⋅ r´ a
≈
cr
c
Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen
Punkte der Quelle untereinander !
a~ Ausdehnung der Quelle
67
τ ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von j :
Beispielsweise: harmonische Erregung:
j ~ e iωt
ωτ =! = 2π ⇒ τ =
⇒ a << λ
2π 2π λ
=
=
ω ck c
Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !
Dann gilt:
r
∂j r ´, t −
r − r´
r ⋅ r ´ ∂ j (r ´,τ )
c
≈ j r ´, t − r + r ⋅ r ´
=
(
τ
)
+
j r ´, t −
j
r
´,
c
c cr
cr
∂τ
r
∂ t −
c
Also folgt für das Vektorpotenzial:
A (r , t ) ≈
µ´0
µ
d 3 r´ j (r ´,τ) + ´03
∫
4πr
4πr
∫
r ∂
d 3 r´(r ⋅ r ´) 1 +
j (r ´,τ )
c ∂τ
Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes
nicht verschwindet:
∇⋅ j ≠ 0:
Mit:
∇ r´ (x k ´ j (r ´,τ )) = x k ´(∇ r´ j (r ´,τ )) + j k
mit der Kontinuitäätsgleichung:
∇ r´ j (r ´,τ ) = − ρ& (r´,τ )
⇒ ∇ r´ (x k ´ j (r ´,τ )) = j k − xk ´ρ& (r ´,τ )
und wegen
∫
d 3r´∇ r´ (x k ´ j (r ´,τ )) = 0 (Gauß)
folgt dann:
∫
d 3r´∇ r´ (x k ´ j (r ´,τ )) = 0 =
∫
d 3r´( j k − x k ´ ρ& (r ´,τ ))
⇒ ∫ d 3 r´ j (r ´,τ) = ∫ d 3 r´r ´ ρ& (r ´,τ ) =: p& (τ)
mit dem elektrischen Dipolmoment:
p (τ) =
∫
d 3 r´r ´ρ(r ´,τ )
Somit für die erste Ordnung:
A (1) (r , t ) ≈
µ´0 & r
pt −
4πr c
68
Elektrische Dipolstrahlung
Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)
p (t ) = p(t 0 )e −i ωt
p
A (1) (r , t ) ≈
k :=
r
−i ω t −
e c
− iωµ´0 p (t 0 )
4π
r
=
− iωµ´0 p (t 0 )ei ( kr−ωt )
4π
r
ω
c
Die Kugelwelle !
Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:
& (r , t ) + c 2 ∇ ⋅ A (r , t ) = 0
Φ
∂
1
1
1 r
Φ (r , t ) = −
∇ ⋅ A (r , t ) = −
∇ p& t −
∂t
ε0 µ0
4πε0 r c
1
1 r
⇒ Φ(r , t ) = −
∇ p t − + Φ stat . (r )
4πε0 r c
Φ stat . (r ) = 0( obda)
⇒
1
1
∇
4πε0 r
1 & r 1
rpt − ~
cr 2 c r
1 r 1
r p t − ~
r3 c r 2
⇒ Φ(r , t ) = −
1 1 & r 1 r
r
p t − =
rpt − +
r p t −
c 4πε0 cr 2 c r 3 c
Grenzfälle:
1) Fernzone / Wellenzone:
r >> λ >> (a ) ⇔ kr >> 1 ⇔
⇒
ω
r >> 1
c
1& ω
p
p ~ p >>
c
c
r
In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!
69
Es gilt die Näherung
Φ (r , t ) fern ≈
1
1 & r
rpt −
4πε0 cr 2 c
2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):
λ >> r >>> (a )
ω
⇔ kr << 1 ⇔ r << 11
c
1
ω
p
⇒ p& ~ p <<
c
c
r
Also:
Φ (r , t ) ≈
1 1 r
rpt −
4πε0 r 3 c
Dies kann man noch entwickeln nach
p t . dadurch entstehen Terme:
()
1
cr 2
r p& (t ) −
1 r &
r p (t )
r3 c
Diese kompensieren sich gegenseitig.
Also:
Die Retardierung kompensiert den
p& (t ) - Term.
Wir schreiben:
Φ (r , t ) ≈
1 1
r p(t )
4πε0 r 3
in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung
A (1) (r , t ) ≈
Φ (r , t ) fern
µ´0 & r
pt −
4πr c
1
1 & r
≈
rpt −
4πε0 cr 2 c
B (r , t ) = ∇ × A (r , t ) ≈
µ´0
1
∇×
4π
r
E (r , t ) = −∇Φ(r , t ) − A& (r , t ) =
r µ 1
p& t − = ´0 2
c 4πc r
&& r
1
p t − c × r + O 2
r
1 && r
1
p
t
−
×
r
×
r
+
O
2
4πε0c 2 r 3 c
r
1
Es gilt:
r µ0 1 && r
1
=
p
t
−
×
r
×
r
=
E (r , t )
r 4πc r 3 c
c
µ0
µε
1
= 0 0 =
4πc 4πcε0 4πc 3ε0
B (r , t ) ×
F
70
Fazit:
r , E (r , t ), B (r , t )
bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander !
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!
Nebenbemerkung:
In der Nahzone gilt immer noch wegen
∇ ⋅ B (r , t ) = 0 , dass r und B senkrecht stehen.
Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale
Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).
Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)
S = E ×H =
(B ⋅ r ) = 0
⇒S =
[
−1
−c
−c
B×E =
B × (B × r ) =
(
B ⋅ r )B − B 2 r
µ0
µ0 r
µ0 r
]
c 2
B r
µ0 r
B (r , t ) = ∇ × A (r , t ) ≈
µ´0
1
∇×
4π
r
r µ 1 r
1
p& t − = ´0 2 &p& t − × r + O 2
c 4πc r c
r
2
2
µ´0 1 && r r
µ´0 1 && r r
p t − × r
=
p t − × r
2
2
4
4πc r c r (4π ) c r c r
&& r && 2 2
2
p t − c × r = p r sin ϑ
c
S=
µ0
71
Also:
S (r , t ) =
µ´0
&p& 2 1 sin 2 ϑ r
r
(4π )2 c
r2
entspricht
l = 1, m = 0
Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
p (t ) = p 0e −iωt
&p& 2 = p0 2ω4
Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt !
Nebenbemerkung:
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
72
Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung
Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
Eichung ∇ ⋅
A (r ) =
µ0
j ( r ´)
d 3 r´
(mit der Coulomb3
∫
4π R
r − r´
A( r ) = 0 )
mit den Randbedingungen
Taylorentwicklung nach
Die Stromverteilung
A (r ) → 0 für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
1
von analog zum elektrischen Fall:
r − r´
j (r ´) sei stationär für r >> r´
1
1 1
= + 3 (r ⋅ r ´) + ...
r − r´ r r
µ
µ
A (r ) = 0 ∫ 3 d 3 r´ j (r ´) + 03
R
4πr
4πr
∫R
3
d 3 r´ j (r ´)(r ⋅ r ´) + ...
Monopol- Term
Mit
∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = x k ´(∇ r´ ⋅ j ( r ´)) + j ( r ´) ⋅ (∇ r´ x k ´)
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
∇ r´ ⋅ j ( r ´) = 0
∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = j (r ´) ⋅ (∇ r´ x k ´) = j l δkl = j k
Mit ∇ r´ ⋅ [x k ´ j ( r ´)] = j k folgt dann:
∫
d 3 r´ j k (r ´) =
∫
d 3 r´∇ r´ ⋅ [xk ´ j (r ´) ] =
∫ df [x k ´ j(r ´)] = 0
S∞
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
Also: Falls
j (r ´,τ) quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
∇ r´ ⋅ j ( r ´,τ) = −
∂
ρ( r ´,τ) = 0
∂τ
⇒ p& (τ) = ∫ d 3 r´r ´ ρ& = 0
⇒ A (1) =
µ0 &
p (τ ) ≡ 0
4πr
Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)
73
Beispiel: geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):
Mit
I (t ) = I 0 e −iω t
2. Ordnung:
A ( 2) (r , t ) =
µ0
4πr
3
r ∂
3
∫ d r´(r ⋅ r ´)1 + c ∂τ j(r ´,τ)
Mit
(r r ´) j(r ´,τ) = 1 (r ´× j ) × r + 1 [(r r ´) j + (r j )r ´]
2
2
und
∇ r´ [xk ´(r r ´) j ] = [(r r ´) j k + xk ´(r j ) + xk ´ (r r ´)∇ r´ ⋅ j ]
∂
∇ r´ ⋅ j = −
ρ(r ´,τ )
∂τ
Kontinuitätsgleichung
Dann folgt integriert:
∫
d 3 r´∇ r´ [x k ´(r r ´) j ] = ∫ d 3r´[(r r´) j + (r j )r ´] − ∫ d 3 r´(r r ´)r´
∫
d 3 r´∇ r´ [x k ´(r r ´) j ] = 0(Gauß)
∂
ρ(r ´,τ )
∂τ
∂
ρ(r ´,τ ) = 0
∂τ
1
∂
d 3 r´[r ´× j (r ´,τ )] × r + ∫ d 3 r´(r r ´)r ´ ρ(r ´,τ )
2
∂τ
⇒ ∫ d 3 r´[(r r ´) j + (r j )r´] − ∫ d 3r´(r r ´)r ´
1
⇒ ∫ d 3 r´(r r ´) j (r ´,τ) = ∫
2
Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S.
15, Elektrostatik):
(
)
~ 1 ~
Q (τ ) = ∫ d 3 r´ρ(r ´,τ ) 3r ´⊗r ´−r´ 2 1 =: Q − tr Q 1
3
Falls
~
Q(τ ) oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt
74
1 ~
tr Q 1
3
keinen Beitrag zu
E,B
è verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
-> Q
(τ ) ⋅ r = 3∫ d 3 r´ ρ(r ´,τ )r ´(r ´⋅r )
Also:
µ0 r ∂
1 &
1+
m (τ ) × r + Q (τ ) ⋅ r
3
6
4πr c ∂τ
µ 1
1
1 &
1 &&
= 0 3 m × r + 2 m& × r + 3 Q (τ) ⋅ r +
Q (τ ) ⋅ r
2
4π r
cr
6r
6cr
A ( 2) (r , t ) =
Mit der magnetischen Dipolstrahlung
1
r
3
m ×r +
1 &
m×r
cr 2
und elektrischer Quadrupolstrahlung
1
6r
&
Q
(τ) ⋅ r +
3
1
6cr 2
&&
Q (τ ) ⋅ r
Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
1
r
1
r
1
r
∇ × m t − = 3 m t − × r + 2 m& t − × r
r c r
c
cr
c
schreiben als:
A ( 2) (r , t ) =
µ0
1
∇ × m t −
4π
r
r
c
Die magnetische Dipolstrahlung
75
Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung
µ0 c 2
∂
1
2
Φ (r , t ) = − c ∇ ⋅ A (r , t ) = −
∇ ⋅∇× m ≡ 0
∂t
4π
r
⇒ Φ(r , t ) = Φ (r ) =! = 0
O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:
&& r
m t − × r × r (r >> λ >> a )
4πc 2 r 3 c
µ0 1 &&& r
Bel .Q. (r , t ) =
Q t − ⋅ r × r (r >> λ >> a )
4πc 2 r 3 6 c
B m (r , t ) =
µ0
r
E = c B ×
r
das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
Nebenbemerkung
Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
q
m
ist
p ~ R (Schwerpunkt)
und
m ~ L ( Gesamtdrehimpuls)
⇒ p& = m& = 0
In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung
4.4 Wellenoptik und Beugung
Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
vorgegebenen Leitern
ρ(r , t ) und j (r , t ) und bei
Lα im Vakuum:
76
Ziel
ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V
Anwendung: Radiowellen λ = 1 − 10 m
Radar
Optik λ = 400 − 800nm -> Beugung
4
Rückführung auf Randwertaufgabe
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der
Elektrostatik)
# Φ (r , t ) = −
ρ
ε0
# A (r , t ) = − µ0 j
Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen.
Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf
Lα
und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2
Annahme:
ρ(r , t ) = ρ(r )e −iωt
j (r , t ) = j (r )e −iω t
Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.
Φ (r , t ) = Φ (r )e −iω t
A (r , t ) = A (r )e −iω t
eingesetzt in die Wellengleichung
ρ
1 ∂ 2
# Φ (r , t ) = −
= ∆ − 2 2 Φ(r , t )
ε0
c ∂t
ρ(r )
⇒ ∆ + k 2 Φ (r ) = −
ε0
ω
k :=
c
(
)
Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung # Φ
# G(r − r ´, t − t´) = −δ(r − r´)δ (t − t´)
(r , t ) = − ρ :
ε0
Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:
77
Φ (r , t ) =
t
∫ d r´∫−∞dt ´
3
ρ(r ´, t ´)
G(r − r ´, t − t´) =
ε0
t
∫ d r´∫−∞dt ´
3
ρ(r ´) −i ωt ´
e
G(r − r ´, t − t´)
ε0
t − t´:= τ
⇒ ∫ dt ´e −iωt ´G(r − r ´, t − t´) = ∫ dt´e −i ωt ´G(r − r ´,τ )
t
t
−∞
∞
−∞
~
= ∫ dτe i ωτ G(r − r ´,τ ) e −iωt := G(r − r ´)e −i ωt
0
∞
~
iωτ
∫ dτe G(r − r ´,τ ) := G(r − r ´)
0
Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:
~
ρ(r ´)
Φ (r ) = ∫ d 3 r´G(r − r ´)
ε0
mit
~
∆ + k 2 G(r − r ´) = −δ(r − r ´)
(
)
Problem:
Die Randbedingungen für
Φ (r ), A sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent
bestimmt werden.
Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:
Skalare Kirchhoff- Identität
( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):
Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man
unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !
Weiter: Greenscher Satz:
∫∂V df (ϕ∇Ψ − Ψ∇ϕ) = ∫V d 3 r (ϕ∆Ψ − Ψ∆ϕ)
Setze:
~
Ψ ( r ) = G(r − r ´)
ϕ( r ) = Φ(r )
Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:
78
~
~
~
~
3
∫∂V df (Φ(r )∇G (r − r ´) − G (r − r ´)∇Φ (r )) = ∫V d r (Φ (r )∆G(r − r ´) − G(r − r ´)∆Φ(r ))
~
~
∆G (r − r ´) = −δ (r − r ´) − k 2G (r − r ´)
−ρ
∆Φ (r ) =
− k 2 Φ (r )
ε0
~
~
⇒ ∫ d 3 r Φ (r )∆G(r − r ´) − G(r − r ´)∆Φ(r ) = −Φ (r ´)
(
V
)
∫∂V df (G (r − r ´)∇Φ (r ) − Φ (r )∇G (r − r ´)) = Φ(r ´)
~
~
Also:
(
)
~
~
Φ (r ´) = ∫ df G(r − r ´)∇Φ (r ) − Φ(r )∇G (r − r ´)
∂V
r ´∈ V
Φ (r ´) im inneren von V durch Φ und ∇Φ auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion
~
G(r − r ´) bekannt ist
Dabei ist
Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:
lim ~
G(r − r ´) = 0
r→∞
Randbedingung
è Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):
r − r´
1
τ>0
δ τ −
G(r − r ´,τ ) = 4π r − r ´
c
0
τ <0
Somit:
ik r − r´
∞
~
e
G(r − r ´) = ∫ dτG(r − r´,τ )e i ωτ =
0
4π r − r ´
k :=
ω
c
Es folgt für das Potenzial:
Φ (r , t ) =
Φ (r , t ) =
∫
∫
ρ(r ´)
e ik r −r´ −iωt ρ(r ´)
~
d 3r´G(r − r ´)e −i ωt
= ∫ d 3 r´
e
ε0
4π r − r ´
ε0
e i (k r −r ´ −ωt ) ρ(r ´)
d r´
4π r − r ´ ε0
3
beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).
79
Mit
R := r − r ´
lautet die Kirchhoff- Identität:
Φ (r ´, t ) =
∇r
e ikR
1
e ikR
d
f
∇
Φ
(
r
)
−
Φ
(
r
)
∇
R
r
r
4π ∫∂V
R
R
e ikR e ikR
1 r − r´
=
ik −
R
R
R r − r´
Dazu eine Grafik:
Mittels
df
r − r´
= df cos ϑ
r − r´
und über Beschränkung auf Fernzone von ∂V , also R >> 1/k gilt:
Φ (r ´, t ) =
1
∂
e ikR
df
Φ
(
r
)
−
ik
Φ
(
r
)
cos
ϑ
R
R
4π ∫∂V
∂n
Mit der richtungsabhängigen Amplitude
ikR
∂ Φ (r ) − ik Φ(r ) cos ϑ und der Kugelwelle e .
∂n
R
Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.
Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips
( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle).
deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´
80
b) Greensfunktion zu Randbedingungen
~
G(r − r´)
r∈∂V
r ´∈V
=0
~
⇒ Φ(r ´) = − ∫ dfΦ (r )∇ r G (r − r ´)
∂V
Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen
Wellengleichung:
~
1 e ikR
G (R ) = g (R ) +
4π R
(∆ + k )g = 0
2
Mit Randbedingung
g
∂V
=−
1 e ikR
4π R
∂V
Beispiel für die Konstruktion von
~
G(R ) :
Ebener Schirm:
Spiegelladungsmethode:
Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.
Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:
ik r − r´
ik r − r ´´
~
1 e
e
G(r − r ´) =
−
4π r − r´
r − r ´´
~
1
e ik r −r ´
e ik r −r´´
⇒ ∇ r G (r − r ´) =
∇r
− ∇r
4π
r − r´
r − r ´´
ikR
ikR´´
:= 1 ∇ e − ∇ e
r
4π r R
R
´´
81
Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:
ik r − r´
ik r − r ´´
ikR
ikR´´
~
1
e
e
:= 1 ∇ e − ∇ e
∇ r G(r − r ´) =
∇r
− ∇r
r
4π
r − r´
r − r ´´ 4π r R
R´´
1 e ikR
1 r − r ´ e ikR´´
1 r − r ´´
=
ik
−
−
ik
−
4π R
R r − r´
R´´
R´´ r − r ´´
Mit
R = R´´
r − r´
r − r ´´
df ⋅
= −df ⋅
= +df cos ϑ
r − r´
r − r ´´
1 e ikR
1
~
⇒ df ⋅ ∇ r G = df
ik − cos ϑ
2π R
R
Für
λ << R ( Fernzone):
ik r − r´
~
i
e
Φ (r ´) = −∫ df Φ(r )∇ r G(r − r ´) = − ∫ dfΦ (r )
cos ϑ
∂V
λ F
r − r´
Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte
Φ (r ) F erraten werden.
Kirchhoffsche Näherung
Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:
Annahme:
Φ (r ) S = 0 Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)
Φ (r ) B =
Q
e ikR
RQ
freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende
82
Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende
ik R + R Q
i
e
Φ (r ´) = − ∫ df
λ B
RR Q
cos ϑ ≈ const .
cos ϑ
Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:
λ << d
R = r − r´
RQ = r − rQ
df = d 2 r
Somit:
Φ (r ´) = −
i cos ϑ0
λ R0 R0 Q
∫B
df e
ik R + R Q
cos ϑ ≈ const .
im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !
è typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik
Grenzfälle
1) Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:
Setze
λ << d << R )
R = R0 + s
R 2 ≈ R0 2 + 2 R0 s
83
⇒ R ≈ R0 + αs
α :=
R0
R0
Analog:
⇒ R Q ≈ R0Q + α0 s
α0 :=
R0Q
R0Q
⇒ Φ(r ´) ≈ −
i ik (R0 + R0Q ) cos ϑ0
e
λ
R0 R0 Q
Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:
hier:
2
∫B d
2
se ik (α +α 0 )s
λ << R ≈ d
R = R0 + 2 R0 s + s nicht genähert !!
2
2
Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):
Bei senkrechtem Einfall gilt:
α0 s = 0
84
⇒ Φ(r ´) = C ∫
d /2
−d / 2
ds1eik αs1
α := sin ϑ0
αs = s1 sin ϑ0
− ikα
C ik α 2
2
⇒ Φ(r ´) =
e
−
e
ik α
d
sin kα
2
Φ (r ´) = Cd
d
kα
2
d
d
Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)
Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also
sin ϑ0 = n ⋅
λ
d
ebenso ( als ÜBUNG !!!)
können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.
Einwurf:
1.1
1. Der holografische Prozess
Aufzeichnung und Rekonstruktion
Lichtintensität einer Lichtwelle:
I ( x, y) =| O( x, y) | ² = O( x, y ) • O * ( x, y )
•
•
•
Phaseninformationen gehen verloren
Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
• Kohärenz erforderlich
• monochromatisches Licht
• unpolarisiertes Licht
85
1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase
•
•
Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
Überlagerung der Objektwelle
O( x, y) =| O( x, y) | • exp( i φO ( x, y ))
•
Mit einer Referenzwelle
R( x , y ) =| R( x, y ) | • exp( i φR ( x, y))
•
Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:
I ( x, y ) =| O( x, y ) + R( x, y ) | ² = | O | ² + | R | ² + OR * + O * R
I ( x, y) =| O | ² + | R | ² + 2 RO cos[φR ( x, y) − φO ( x, y)]
•
•
•
•
•
•
•
Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder
"Aperturefunktion"
Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
• Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
• Denisyukhologramm
86
2. Schritt: Rekonstruktionsphase
•
•
•
•
•
•
Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
Ansonsten: Verzerrung
Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion ->
reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:
O´= R ⋅ I ( x, y) = R ⋅ (| O | ²+ | R | ²) + O⋅ | R | ² + R ⋅ R ⋅ O *
•
Zu beachten: komplexe Funktionen
Fresnel- und Fourier- Hologramme
•
•
•
•
Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
• Linse
• Objekt in weiter Entfernung
Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also
in der Nähe der Hologrammebene befinden.
Fouriernäherung des Beugungsintegrals
Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals
87
1.2
Grundlagen der Beugung
•
•
•
Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
Keine Berücksichtigung der Polarisation
Voraussetzung: kohärente Beleuchtung
•
Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer
Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum
integriert.
•
Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der
Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).
• Ausgangspunkt:
Helmholtz- Gleichung (∇ ² + k ²)U ( r ) = 0
mit
U (r ) =
e ik r o 1
ro1
è lauter Kugelwellen in x1/y1
∞ ∞
O( xo , yo ) ~
∫
∫ A( x1, y1) •U (r )dx1dy1
−∞ −∞
•
≈~
∞ ∞
1
eikr • A( x1, y1)dx1dy1
∫
∫
z −∞ −∞
Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der
Blende
88
Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:
r = ( xo − x1)² + ( yo − y1)² + z ²
( xo − x1)² + ( yo − y1)²
≈ z 1 +
2z²
Fresnel- Näherung:
è Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild
e ikz
O( xo , yo ) ≈~
z
∞ ∞
∫ ∫
iπ
[( xo − x1 )²+ ( yo − y 1)² ]
A( x1, y1) • e λz
dx1dy1
− ∞ −∞
Fraunhofer- Näherung:
è Aufzeichnung allgemein mit Linse
è Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich
iπ
− 2πi
∞ ∞
( xo x 1 + yoy 1)
eikz λz ( xo ² + yo ²)
O( xo, yo) ≈~
e
A( x1, y1) • e λz
dx1dy1
∫
∫
z
−∞ −∞
è Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion
Aufzeichnung:
1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt
Hintergrund
• Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen
Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:
•
Für schmalen Doppelspalt gilt:
dφ( P) = k ⋅ ds = k ( r 2 − r1) ≈ k ⋅ sin θ ⋅ a = 2π sin θ ⋅
a
λ
89
⇒ sin θ ⋅ a = mλ
als Maximabedingung
Sofort ersichtlich:
• Variation des Spaltabstands variiert Phase
• Variation der Spaltbreite variiert Amplitude
•
•
Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2
à sin θ ⋅ b = mλ als Minimabedingung
Der Einfachspalt:
Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
k
k
O ~ sinc( ⋅ b ⋅ sin θ ) entspricht Feldverteilung des E-Feldes: E ~ sinc( ⋅ b ⋅ sin θ)
2
2
90
k
I (θ) = I o ⋅ sinc²( ⋅ b ⋅ sin θ )
2
91
2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:
•
Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen
Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
k
E ~ sinc( ⋅ b ⋅ sin θ)
2
•
Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode
Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:
92
Nka
sin( 2 sin( θ ))
E~
sin( ka sin( θ ))
2
Nka
sin(
sin( θ))
k
2
I (θ ) = I osinc 2 ( ⋅ b ⋅ sin θ ) ⋅
ka
2
sin( sin( θ))
2
•
2
Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
• Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
• Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
• Für schmale Spalte: Kammfunktion
93
5. Materie in elektrischen und magnetischen Feldern
5.1 Polarisation
Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
1) freie Ladungsträger
Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
è Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
K = q[E + (v × B )]
è elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
è σ
2) gebundene Ladungen ( In Isolatoren)
è Polarisierung im E- Feld
a) Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie
Wel.=-p E
vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert ( z.B. bei polarisierten
Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)
b)
Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken
polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:
p = ∫ d 3 r ρ(r )r ≠ 0 nach Einschalten des Feldes.
Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !
Makroskopische räumliche Mittelung
Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
94
Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
E p gemäß ε0 ∇ ⋅ E p = ρP
Das resultierende Gesamtfeld lautet:
E ´= E + E p
ε0 ∇ ⋅ E ´= ε0∇ ⋅ E + ρP
Mit der freien Ladungsdichte
ε0 ∇ ⋅ E = ρ
Also:
ε0 ∇ ⋅ E ´= ρ + ρP
Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
P (r , t ) := −ε0 E p (r , t )
ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
Somit:
∇ ⋅ (ε0 E ´+ P ) = ρ
∇ ⋅ P = − ρP
Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
D ( r , t ) = (ε0 E´+ P )
Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne
Polarisationsladungen) auftreten:
∇⋅D = ρ
Wir bezeichnen mit
P (r , t )df = dQP
die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df
verschoben wird:
95
Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
∫∂V P (r , t )df = ∫V d 3 r∇ ⋅ P (r , t ) = − ∫V
d 3 r ρP
= Polarisationsladung, die V verläßt !
Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:
ρm (r , t ) = ∑ qi δ (r − ri (t ) ) ( mikroskopische Ladungsdichte)
i
Pm (r , t ) = ∑ pi δ (r − ri (t ) ) ( mikroskopische Dipoldichte) mit:
i
∫V d
3
rPm (r , t ) = ∑ pi
i
Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
(∆ V )
1
3
∆V :
<< Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
Somit:
ρ(r , t ) =
1
∆V
∫∆V
d 3 sρm (r + s , t ) ( makroskopische Ladungsdichte)
P (r , t ) =
1
∆V
∫∆V
d 3 sPm (r + s , t )
Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!
Beweis:
Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
Φ m (r , t ) =
1
4πε0
∫R
3
r − r´
ρm r ´, t −
c
d 3 r´
r − r´
wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !
Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
Φ (r , t ) =
1
∆V
∫∆V
d 3 sΦ m (r + s , t ) =
1
1
4πε0 ∆V
∫∆V
d 3s∫
R3
r + s − r´
ρm r ´, t −
c
d 3 r´
r + s − r´
r ´´:= r ´−s
Φ (r , t ) =
=
1
4πε0
1
1
4πε0 ∆V
∫R
3
d 3 r´´
∫∆V
d 3s∫
1
1
r − r ´´ ∆V
R3
r − r´´
ρm r ´´+ s , t −
c
d 3 r´´
r − r ´´
∫∆V
r − r ´´
d 3 s ρm r ´´+ s , t −
c
96
Wobei
1
∆V
r − r ´´
=
d 3 s ρm r ´´+ s , t −
c
∫∆V
r − r ´´
ρ r´´+s , t −
c
Die makroskopische Ladungsdichte ist !
⇒ Φ(r , t ) =
=
1
4πε0
∫R
3
r − r ´´
3
d
s
ρ
r
´´
+
s
,
t
−
m
∫R
∫∆V
c
r − r ´´
1
d 3 r´´
ρ r ´´+ s , t −
r − r ´´
c
1
4πε0
d 3r´´
3
1
1
r − r ´´ ∆V
Analog:
Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
pi :
Φ m (r , t ) = −
r − ri
1
1
∇ r ∑
pi t −
4πε0
c
i r − ri
mit dem mikroskopischen Dipolmoment
r − ri
p i t −
c
Analog:
Φ m (r , t ) = −
1
4πε0
∫R
3
1
r − r ´
d 3 r´∇ r
Pm r ´, t −
c
r − r ´
mit der mikroskopischen Dipoldichte
r − r´
Pm r ´, t −
c
Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
Φ (r , t ) =
1
∆V
=−
1
1
4πε0 ∆V
=−
1
4πε0
∫R
3
∫∆V
d 3 s Φ m (r + s , t )
r + s − r ´
1
d 3 r´∇ r
Pm r ´, t −
R
c
r + s − r ´
1
r − r ´´
d 3 r´´∇ r
P r ´´, t −
c
r − r ´´
∫∆V
d 3s∫
3
Umformung:
1
r − r ´
r − r ´
= −∇ r´ 1 P r ´, t −
+ Korrektur
∇r
P r ´, t −
c
c
r − r ´
r − r ´
Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´
von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
97
1
r − r´
r − r ´
r − r´
= −∇ r´ 1 P r ´, t −
+ 1 ∇ r´ P r ´, t −
∇r
P r ´, t −
c
c r − r ´
c
r − r ´
r − r ´
r − r´
t´= t −
c
1
r − r´
r − r ´
= −∇ r´ 1 P r ´, t −
+ 1 ∇ r´ P (r ´, t ´)
∇r
P r ´, t −
c
c r − r ´
r − r ´
r − r ´
Also folgt für das Potenzial:
Φ (r , t ) =
t´= t −
1
4πε0
∫R
3
1
r − r ´
+ 1
d 3 r´∇ r´
P r ´, t −
c 4πε0
r − r´
∫R
3
d 3 r´
1
(− ∇ r´ P (r´, t´))
r − r´
r − r´
c
(− ∇ r´ P (r ´, t´)) = ρp r ´, t −
r − r´
c
1
r − r´
= 0(Gauß)
d 3 r´∇ r´
P r ´, t −
c
r − r ´
r − r´
1
1
3
⇒ Φ(r , t ) =
d
r
´
ρ
r
´,
t
−
3
p
4πε0 ∫R
r − r´
c
1
4πε0
∫R
3
Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
ρ p (r ´, t ´) = (− ∇ r´ P (r ´, t´))
Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
P mit der durch P := −ε0 E p bzw.
∇ ⋅ P = − ρ p definierten Polarisation identifizieren.
5.2 Magnetisierung
Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw.
mikroskopische magnetische Dipolmomente m :
B = 0 vorhandene, permanente magnetische Momente m werden zur Minimierung der potenziellen
Energie Wmag . = −m B vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld
a) Für
orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
è paramagnetisches Verhalten
b) durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen
induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren BFeld.
è diamagnetisches Verhalten !
Makroskopisch gemittelte Felder
mikroskopische magnetische Dipoldichte:
Wie bei Polarisationsdichte:
98
M m (r , t ) = ∑ mi (t )δ (r − ri )
i
Pm (r , t ) = ∑ pi (t )δ (r − ri ) el.Dipoldicht e
i
Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
1
M (r , t ) =
∆V
∫∆V
∆V :
d 3 s M m (r + s , t )
makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung
Ziel:
Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
finden.
Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
als Quelle der Felder eingeführt werden kann:
M (r , t ) und den effektiven Feldern B in der Materie
jM
∇ × BM = µ0 j M
bzw.
∇ × M = jM
effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):
B´= B + BM
1
1
⇒ ∇ ×
B´ = ∇ ×
B + j M = j + j M
µ
µ
0
0
Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den
sogenannte freien Strom j :
B´= B + BM
1
∇ ×
B´−M = j
µ0
1 1
H =
B´− BM
µ0 µ0
B
=
µ0
Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:
Am (r , t ) =
µ0
∑
4π i
1
r − ri
p& i t −
c
r − ri
r − ri
+ ∇ × 1 mi t −
r − ri
c
r − ri
elektrDipolmoment
p i t −
c
r − ri
magnetDipolmoment
mi t −
c
1
r − r´
r − r ´
µ
+ ∇ r × 1 M m r ´, t −
⇒ Am (r , t ) = 0 ∫ d 3 r´
p& m r ´, t −
4π
c
r
−
r
´
c
r − r´
mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte
99
r − r´
p m r ´, t −
c
und der magnetischen Dipoldichte
r − r´
M m r ´, t −
c
Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:
A (r , t ) =
=
µ0 1
4π ∆V
==
µ0
4π ∫
1
∆V
∫∆V
d 3 sAm (r + s , t )
r + s − r ´
1
1
3
3
& m r ´, t − r + s − r ´ + ∇ r ×
d
s
d
r
´
p
M
r
´,
t
−
m
∫∆V ∫
r
+
s
−
r
´
c
r
+
s
−
r
´
c
1 &
r − r´
r − r´
+ ∇ r × 1 M r ´, t −
d 3r´
P r´, t −
r
−
r
´
c
r
−
r
´
c
Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)
Umformung liefert:
1 &
1
r − r´
r − r ´
3
d
r
´
P
r
´,
t
−
+
∇
×
M
r
´,
t
−
r
∫
r − r´
c
c
r − r´
1
r − r´
3
=
d
r
´
∇
×
M
r
´,
t
−
r
∫
−
r
r
´
c
1
r − r´
+ ∫ d 3 r´ 1 ∇ r´ × M (r ´, t´)
= −∫ d 3 r´∇ r´ ×
M r´, t −
r − r´
c
r − r´
r − r´
t´= t −
c
1
r − r´
3
∫ d r´∇ r ´ × r − r´ M r´, t − c = 0
1 &
r − r´
µ
+ 1 ∇ r´ × M (r ´, t´)
⇒ A(r , t ) = 0 ∫ d 3 r´
P r ´, t −
4π
c r − r´
r − r ´
A (r , t ) =
µ0
4π
Definition
P& = j p
∇ r´ × M (r´, t´) = j M
Ersteres: Polarisationsstromdichte
Letzteres: Magnetisierungsstromdichte
Also:
A (r , t ) =
µ0
4π
∫
d 3 r´
r − r´
1
+ j M (r´, t´)
j p r´, t −
r − r´
c
Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und
Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !
100
es gilt der Erhaltungssatz:
∂
ρ p = −∇ ⋅ P& = −∇ ⋅ j p
∂t´
⇒ ρ& p + ∇ ⋅ j p = 0
Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !
5.3 Maxwell- Gleichungen in Materie
Die vollständigen Potenziale enthalten
die freie Ladungs- und Stromdichten
-
ρ, j
die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
ρ p , j p , jm
Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
t´= t −
r − r´
c
A (r , t ) =
µ´0
4π
Φ (r , t ) =
1
4πε0
∫
d 3 r´
∫
r − r´
r − r´
r − r´
1
+ j P r ´, t −
+ j M r ´, t −
j r ´, t −
r − r ´
c
c
c
d 3 r´
r − r´
r − r ´
1
+ ρP r´, t −
ρ r ´, t −
r − r ´
c
c
Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
# A (r , t ) = − µ´0 [ j + j P + j M
1
# Φ (r , t ) = − [ρ + ρP ]
ε0
]
Für die Felder in Materie folgt:
E = −∇Φ (r , t ) −
B = ∇ × A (r , t )
∂
A (r , t )
∂t
Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
1) ∇ × E = −
∂
∂
∇ × A (r , t ) = − B
∂t
∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
è Wie im Vakuum
∂
∇ ⋅ A (r , t ) − ∇ ⋅ ∇ Φ
∂t
1 ∂
∇ ⋅ A (r , t ) = − 2 Φ
c ∂t
3) ∇ ⋅ E = −
⇒∇⋅E = −
∂
1 ∂2
∇ ⋅ A (r , t ) − ∇ ⋅ ∇Φ = 2 2 Φ − ∆Φ = −# Φ
∂t
c ∂t
In Lorentz Eichung !
101
(
)
∂
1 ∂2
1
1
∇ ⋅ A (r , t ) − ∇ ⋅ ∇Φ = 2 2 Φ − ∆Φ = −# Φ =
ρ + ρp =
(ρ − ∇ ⋅ P )
∂t
ε0
ε0
c ∂t
per Definition von ρ p .
∇⋅E = −
⇒ 3)∇ ⋅ (ε0 E (r , t ) + P (r , t )) = ρ(r , t )
(ε0 E (r , t ) + P (r , t )) := D (r , t )
⇒ ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t )
Die Dielektrische Verschiebung
4) Letzte Gleichung:
∇ × B (r , t ) = ∇ × (∇ × A (r , t )) = ∇ (∇ ⋅ A (r , t )) − ∆A(r , t )
1 ∂
∇ ⋅ A (r , t ) = − 2 Φ
c ∂t
1 ∂
⇒ ∇ × B (r , t ) = − ∆A (r , t ) − 2 ∇ Φ
c ∂t
∂
∇Φ = − E − A (r , t )
∂t
1 ∂
1 ∂2
1 ∂
E
+
A (r , t ) = − # A (r , t ) + 2
E
2 ∂t
2
2
c
c ∂t
c ∂t
∂
= µ0 ( j + j P + j M ) + ε0 µ0 E
∂t
j P = P&
⇒ ∇ × B (r , t ) = − ∆A (r , t ) +
jM = ∇ × M
⇒ ∇ × B (r , t ) = µ0
⇒ 4)
∂
(P + ε0 E ) + µ0 ∇ × M + µ0 j
∂t
1
∂
⇒ ∇ ×
B (r , t ) − M = j + D
∂t
µ0
1
B (r , t ) − M = H (r , t )
µ0
∂
D
∂t
Mit dem Magnetfeld H (r , t ) , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
⇒ ∇ × H (r , t ) = j +
Zusammenfassung:
1) ∇ × E = −
∂
∂
∇ × A (r , t ) = − B
∂t
∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
3) ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t )
∂
4) ∇ × H (r , t ) = j + D
∂t
102
4) ∇ × H (r , t ) −
∂
D = j
∂t
Dabei beschreibt
1) ∇ × E = −
∂
∂
∇ × A (r , t ) = − B
∂t
∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
3) ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t )
∂
4) ∇ × H (r , t ) − D = j
∂t
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
D (r , t ) = ε 0 E (r , t ) + P (r , t )
H (r , t ) =
1
B (r , t ) − M (r , t )
µ0
Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
1 ∂
B=0
c ∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
3) ∇ ⋅ D (r , t ) = 4πρ(r , t )
1 ∂
4π
4) ∇ × H (r , t ) −
D=
j
c ∂t
c
1) ∇ × E +
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
5) D (r , t ) = E (r , t ) + 4πP (r , t )
6) H (r , t ) = B (r , t ) − 4πM (r , t )
Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):
1 ∂
B=0
c ∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
3) ∇ ⋅ D (r , t ) = 4πρ(r , t )
1 ∂
4π
4) ∇ × H (r , t ) −
D=
j
c ∂t
c
1) ∇ × E +
5) D (r , t ) = E (r , t ) + 4πP (r , t )
6) H (r , t ) = B (r , t ) − 4πM (r , t )
sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und
Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
Einfachster Fall:
1)
isotrope Materie:
103
E (r , t ) || P (r , t )
B (r , t ) ↑↑ M (r , t )
für diamagnetische Stoffe: B (r , t ) ↑↓ M (r , t ) ,
und für paramagnetische Stoffe
also ein skalarer Zusammenhang
2)
bei nicht zu hohen Feldern:
E~P
B ~M
also ein linearer Zusammenhang
3)
ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):
E (r , t ) ~ P (r , t )
B (r , t ) ~ M (r , t )
neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !
Dann kann man schreiben:
P (r , t ) = ε0 χe E (r , t )
M ( r , t ) = χM H ( r , t )
Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
χe und der magnetischen Suszeptibilität χM ( Materialkonstanten).
Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik)
abgeleitet werden.
D (r , t ) = ε0 E (r , t ) + P = ε0 (1 + χe )E (r , t ) = ε0εE (r , t )
mit
ε = (1 + χe ) , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
B = µ0 (H + M ) = µ0 (1 + χM )H (r , t ) = µ0 µH
mit
(1 + χM ) = µ , der relativen Permeabilität
⇒ M = χM H =
χM
1 χM
1
B=
B
µ0 µ
µ0 (1 + χM )
Man sagt:
Ein Stoff ist paramagnetisch für
diamagnetisch für
χM
>0
(1 + χM )
χM
<0
(1 + χM )
χM > 0 ⇒ µ > 1
diamagnetisch 0 > χM > −1 ⇒ 0 < µ < 1
paramagnetisch:
Bemerkungen
E (r , t ) = 0 ⇒ P = 0 beschreibt kein Ferroelektrikum
B = 0 ⇒ M = 0 kein Ferromagnet
Es gilt stets
χe > 0 ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
104
χM
>
0 Para- ODER Diamagnet
<
Ein Term ~ B in P oder
Raumspiegelverhaltens !
~ E in M kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen
E ist polarer Vektor, B ist axialer Vektor !
ρP (r , t ) = −∇ ⋅ P (r , t ) ist ein Skalar
j M = rot M ist ein polarer Vektor.
Abweichungen
1)Für anisotrope Kristalle :
P (r , t ) = ε0 χe E
drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
χe .
2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
(
)
P (r , t ) = ε0 χe (1) E + χe ( 2) E 2 + χe (3) E 3 + ...
Anwendung: optische Nichtlinearität,
Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
Für hochfrequente Felder folgt:
P (r , t ) = ε0 ∫ d 3r´dt´ χe (r , r ´, t , t´)E (r ´, t´)
( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):
Pˆ (k , ω) = ε0 χˆ e (k ,ω)Eˆ (k , ω)
5.4 Grenzbedingungen für Felder
_ Frage ist: Wie verhalten sich
B , H , D , E an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische
Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?
Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:
∂
B
∂t
∫V
d 3 r∇ × E = − ∫ d 3 r
∫V
d 3 r∇ ⋅ B = 0 =
∫V
d 3 r∇ ⋅ D (r , t ) = ∫ d 3 rρ(r , t ) = Q =
∫V
∂
d 3 r∇ × H (r , t ) = ∫ d 3r j + D
V
∂t
V
∫
df ⋅ B
(Gauß)
∂V
V
∫
df ⋅ D (r , t )
∂V
105
Bildlich:
Normalkomponenten:
Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter
Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
also: Für die Normalkomponenten: h -> 0
∫V
d 3 r∇ ⋅ B = 0 =
∫
df ⋅ B
∂V
(Gauß)
(
)
(
lim
df ⋅ B = ∫ df B (1) − B ( 2) = ∫ dfn B (1) − B ( 2)
∫
F
F
h − > 0 ∂V
∫V
d 3 rρ(r , t ) = Q =
∫
df ⋅ D (r , t )
∂V
lim
df ⋅ D (r , t ) =
h − > 0 ∂∫V
)
∫F
(
)
(
df D (1) − D ( 2) = ∫ df n D (1) − D (2 )
F
)
Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte σ trägt:
ρ(r , t ) = σ( x, y , t )δ( z )
ez ≡ n
lim
d 3 rρ(r , t ) = Q = ∫ dfσ( x, y, t )
∫
V
F
h− > 0
lim
df ⋅ D (r , t ) = ∫ df D (1) − D ( 2) = ∫ df n D (1) − D (2) =
∫
F
F
h − > 0 ∂V
⇒
(
(
)
)
(
(
)
∫F
dfσ( x, y, t )
)
lim
df ⋅ B = ∫ df B (1) − B ( 2) = ∫ df n B (1) − B ( 2) = 0
F
F
h − > 0 ∂∫V
Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
(
n (D
)
) = σ( x, y, t )
n B (1) − B (2 ) = 0
(1)
−D
( 2)
106
Tangentialkomponenten
Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:
1 ∂
B =0
c ∂t
1 ∂
4π
4) ∇ × H (r , t ) −
D=
j
c ∂t
c
1) ∇ × E +
∂
B
∂t
∂
d 3 r j + D
∂t
∫V
d 3 r∇ × E = −∫ d 3 r
∫V
d 3 r∇ × H (r , t ) = ∫
V
V
Auch hier: h-> 0
∫V
d 3 r∇ × E =
∫
∫V
d 3 r∇ × H (r , t ) =
∂V
df × E = − ∫ d 3r
V
∫
∂V
∂
B
∂t
∂
df × H (r , t ) = ∫ d 3 r j + D
V
∂t
(
lim
df × E = ∫ df n × E (1) − E ( 2)
∫
h − > 0 ∂V
∂V
)
(
lim
df × H (r , t ) = ∫ dfn × H (r , t )(1) − H (r , t )( 2)
h − > 0 ∂∫V
∂V
)
In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
Wegen:
(
)
lim
lim
∂
df × E = ∫ df n × E (1) − E ( 2) = −
d 3r B
∫
∫
h − > 0 ∂V
h− > 0 V
∂t
∂V
(
)
lim
lim
∂
df × H (r , t ) = ∫ dfn × H (r , t )(1) − H (r , t )( 2) =
d 3r j + D
∫
∫
h − > 0 ∂V
h− > 0 V
∂t
∂V
Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
g
⇒ j (r , t ) = g ( x, y, t )δ (z )
wie es bei metallen der Fall ist !,
dann:
lim
d 3 rj = ∫ dfg
∫
F
h− > 0 V
Weiter:
lim
∂
d 3r B
∫
h− > 0 V
∂t
lim
∂
d 3r D
∫
h− > 0 V
∂t
können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
∂
∂
B , D Unendlichkeitsstellen besitzen.
∂t ∂t
107
Annahme:
B, D und
∂
∂
B , D sind beschränkt:
∂t ∂t
∂
d 3r B = 0
∂t
lim
h − > 0 ∫V
lim
∂
d 3r D = 0
∫
V
h− > 0
∂t
lim
∂
d 3r j + D = ∫ df g ( x, y, t )
∫
V
h− > 0
∂t F
(
)
∫
dfn × E (1) − E ( 2) = 0
∫
dfn × H (r , t )(1) − H (r , t )( 2) = ∫ df g ( x, y, t )
∂V
∂V
(
)
F
Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
(
n × (H ( r , t )
)
n × E (1) − E (2 ) = 0
(1)
)
− H (r , t )( 2) = g ( x, y, t )
Das heißt:
Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !
Bildlich:
Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt ->
Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig !
Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !
(
Zusammenfassung:
δE := E (1) − E ( 2)
)
Maxwellgleichung
∂
∂
1) ∇ × E = − ∇ × A (r , t ) = − B
∂t
∂t
2) ∇ ⋅ B = 0
3) ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t )
∂
4) ∇ × H (r , t ) = j + D
∂t
Grenzbedingung
n × δE = 0
n ⋅ δB = 0
n ⋅ δD (r , t ) = σ
n × δH (r , t ) = g
Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz)
Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
Die Normalkomponente von B ist stetig.
Beispiele:
1)
Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit
ε < ε (2 )
σ=0
(1)
108
Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !
Et (1) = Et ( 2)
Dn (1) = Dn (2 )
letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !
Et (1) = Et (2 )
Dn (1) = Dn ( 2) ⇒ ε1E n (1) = ε2 En (2)
ε
⇒ E n ( 2) = 1 En (1)
ε2
tan α1 =
Et (1)
En (1)
ε1 Et ( 2) ε1
=
=
tan α2
ε2 En ( 2) ε2
Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
2) Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material
2.1 Sei speziell B ⊥ Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen /
Material genauso !)):
In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist B grundsätzlich stetig !
B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für
Normalkomponenten herangezogen.
109
a)
Paramagnetisch:
1
B = M +H
µ0
M ↑↑ H
b)
Paramagnetisch:
1
B =M +H
µ0
M ↑↓ H
2.2 Sei speziell
B || Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):
In diesem Fall ist
H stetig für g = 0 ( kein Oberflächenstrom)
110
5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit
Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
111
5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit
Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
χe aus einfachen mikroskopischen Modellen
Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte
P für ein gegebenes Feld E .
Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu
berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation
Klassisches Atommodell:
homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung
Außerdem ein punktförmiger Kern mit
Qe = − Ze < 0
Qk = + Ze > 0 am Ort rk
Merke:
Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler
Darstellungen der Maxwellgleichungen
Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes
Eel. (r ) der Elektronen nach außen:
Gauß- Gesetz
d 3 r∇ ⋅ D (r , t ) = ∫ d 3 rρ(r , t ) = Q =
∫V
V
∫
df ⋅ D (r , t )
∂V
Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen
d 3 r∇ ⋅ E (r , t ) = ∫ d 3 r´ρ(r , t ) = Q =
∫V
V
∫
df ⋅ E (r , t ) = ∫
∂V (r´)
V ( r´)
d 3 r´ρE (r , t ) = ∫
∫
df ⋅ E (r , t )
∂V
V ( r´)
d 3 r´
Q
4 3
Rπ
3
Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen
Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !->
einfache Integration.
Auswertung liefert
112
ε0
df ⋅ E (r , t ) = ∫
∫
Q
V (r´)
∂V ( r´)
⇒ 4r´ πε0 E (r , t ) =
r´3
2
⇒ E (r , t ) =
r´
R3
4 3
πR
3
=
r´3
Q
R3
Q
Q
4πε0 R 3
Natürlich nur für
r´≤ R
setzt man
r ´= r − re , wobei re das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,
so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis
E (r , t ) =
r − re
4πε0 R 3
Qe
und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:
FK = QK E (r´k , t ) =
rk − re
4πε0 R 3
Qe Qk = −
Z 2e2
4πε0 R 3
(rk
− re )
wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:
Fe = −FK
Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld
m K &r&k = FK + QK Ea (r´k , t ) = −
Zme &r&e = − FK + Qe Ea (r´k , t ) =
Z 2e2
4πε0 R
Z 2e2
4πε0 R
(r
3 k
E a ):
− re ) + QK E a (r´k , t ) = −
(r − re ) + Qe E a (r´k , t ) =
3 k
Z 2e2
4πε0 R 3
Z 2e2
4πε0 R 3
(rk − re ) + ZeE a (r´k , t )
(rk − re ) − ZeEa (r´k , t )
Also folgt für die Relativbewegung:
r = rk − re
als relativer Abstand
113
&r& = &r&k − &r&e = −
Z 2e2
4πε0 R 3 mK
(rk
− re ) +
Ze
Ze 2
E a (r´k , t ) −
(rk − re ) + e E a (rk , t )
3
mK
me
4πε0 R me
1
Z 2e 2 1
1
1
(rk − re ) + Ze
E a (rk , t )
+
+
3 m
4πε0 R K Zme
m K Zme
=−
1
1
1
≈
+
m K Zme Zme
(rk − re ) = r
⇒ &r& = −
Ze 2
4πε0 me R 3
Ze 2
4πε0 me R
r+
e
Ea (rk , t )
me
:= ω0 2
3
⇒ &r& + ω0 2 r =
e
Ea ( rk , t )
me
Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des
Potenzials sofort hätten sehen können !
Jedenfalls im stationären Zustand gilt:
E a (rk , t )
e
r =
ω0 2 me
( Dynamik mit Dämpfung)
⇒ χe (ω)
Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits
hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des
elektrischen Dipolmoments:
Ze 2
p = Zer =
α :=
Ea (rk , t ) = ε0αEa
ω0 2 me
Ze 2
ω0 2ε0 me
Ze 2
4πε0 me R
⇒ α :=
:= ω0 2
3
Ze 2
2
ω0 ε0 me
= 4πR 3 = 3V Atom
Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter.
Entsprechend:
114
p = ∫ d 3 r´ρe ( r´)r ´+ Ze ∫ d 3r´δ ( r − r ´)
V
V
Ze∫ d 3 r´δ( r − r ´) = Zer
V
∫V
d 3 r´ ρe ( r´)r ´= −
∫V
d 3 r´r ´= 0
Ze
4π 3
R
3
∫V
d 3 r´r ´
wegen Symmetrie
p = Zer
makroskopisch gemittelte Energiedichte:
P = np = ε0 nαE a
mit der mittleren Atomdichte n
Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:
Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:
Gedankenexperiment
Feld einer homogenen polarisierten Kugel:
Ansatz: homogen geladene Kugel:
r
r≤a
Q a 3
E 0 (r ) =
4πε0 r r ≥ a
r 3
Also:
115
r2
c
−
r≤a
Q
3
2
a
Φ 0 (r ) =
4πε0 1
r r ≥ a
Bestimmung der Integrationskonstanten:
lim
3
Φ 0 (a − ε ) = Φ 0 (a + ε ) ⇒ c =
ε− > 0
2a
die homogen polarisierte Kugel
Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro
annehmen.
Dann: ro -> 0
116
Bilde:
1
1
Φ 0 (r ) = Φ 0 r − r0 − Φ 0 r + r0
2
2
≈ − r0 ∇Φ 0 (r )
∇Φ 0 (r ) = − E0
r0 r
r≤a
Q a 3
1
⇒ Φ 0 (r ) ≈ r0 E0 =
=
r r
4πε0 0 r ≥ a 4πε0
r 3
pr
3 r ≤ a
apr
r≥a
r 3
p := Qr0
Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.
Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung
verschwindet.
Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:
P=
p
4 3
aπ
3
Q
⇒ Φ 0 (r ) ≈ r0 E0 =
4πε0
Pr
r0 r
3 r ≤ a 1 3 r ≤ a
=
ra r
ε0 a 3
0
r
≥
a
Pr r ≥ a
r 3
r 3
Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.
E Kugel = −∇Φ = −
1 P
r≤a
ε0 3
für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).
Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:
Ea = E außen + E innen
das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden.
Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel.
Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld
117
Das Lokalfeld
Ea = E außen + E innen im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen
herausgeschnitten wurde:
Ea (r ) = E − E KUgel
Ea (r ) : Lokalfeld
E : makroskopisch
1
E a (r ) = E +
P
3ε0
Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"
weil
Ea + EKugel = E sein muss
Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt)
ergibt das mittlere makroskopische Feld !
Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:
1
P = ε0 nαEa = ε0 nα E +
P
3ε0
P = ε0 χe E
nα
⇒ χe =
1
1 − nα
3
χe
ε −1
ε −1
nα =
=
=3
1
ε −1
ε+ 2
1 + χe 1 +
3
3
Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel
118
5.6 Wellenausbreitung in Materie
Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
D = εε0 E
B = µ0 µH
ε, µ, σ :
ε >1
i.a.µ ~ 1
j = σE
( ohmsches Gesetz)
Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:
Das heißt:
ε, µ, σ nicht frequenzabhängig !
Sei
ρ= 0
∇ × E + B& = 0
∇ × B − µ0 µεε0 E& = µ0 µj = µ0 µσE
∇⋅E = 0
∇⋅B =0
⇒ ∇ × (∇ × E ) = ∇ (∇ ⋅ E ) − ∆E = −∆E = −∇ × B& = − µ0 µσE& − µ0 µεε0 E&&
∆E = µ0 µσE& + µ0 µεε0 E&&
Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle
1 σ & &&
E + E = 0
c m 2 εε0
1
1
c m :=
=c
εε0 µµ0
εµ
∆E −
Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !
Spezielle Lösung dieses Problems:
homogene, ebene Welle:
E ( r , t ) = E0 e i (k r −ωt )
⇒ k 2 = εµ
ω2
1
1
+
i
ωτ
c2
Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
119
σ ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.
Durch die Dämpfung
k ∈C
Setze:
k=
ω~ ω
n = (n + i γ )
c
c
mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit
n~ = n + i γ komplexer Brechungsindex !
(
)
Somit:
k2 =
(
)
ω2 ~ 2 ω2 2
ω2
1
2
n
=
n
−
γ
+
2
in
γ
=
εµ
1
+
i
ωτ
c2
c2
c2
Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:
n 2 − γ 2 = εµ
εµ
nγ =
2ωτ
n, γ :
è Bestimmung von
o.B.d.A.:
k || x3 :
Ausschreiben der Welle:
E ( r , t ) = E 0 e i (k r −ωt )
E ( x 3 , t ) = E0 e
−
x3 − iω t − n x
3
c
λe
Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
λ=
c
und dem Extinktionskoeffizienten
n
c
ωγ
Lineare Polarisation:
E0 || x1 ⇒ B0 || x 2
(∇ × E )2 = ∂E1 = − B& 2
∂x3
⇔i
ω
(n + iγ )E1 = iωB2
c
⇔ B2
(n + i γ ) E
=
c
1
=
n 2 + γ 2 iϕ
e E1
c
Somit existiert eine Phasenverschiebung ϕ zwischen E und B
Der Isolator
σ=0
τ →∞
Folgen:
120
γ = 0 keine Dämpfung
ϕ =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
è kommt erst durch die Dämpfung !
è i m Isolator schwingen E und B in Phase !
reeller Brechungsindex:
n = εµ ≈ ε > 1
è Phasengeschwindigkeit :
c
<c
n
Nebenbemerkung:
Nur OHNE DISPERSION ist
ε reell
Metalle
σ groß
τ=
ε0ε
1
<<
für alle Frequenzen bis UV
σ
ω
Somit:
k2 =
ω2
c2
(n
2
)
− γ 2 + 2inγ ≈
ω2
c2
εµ
i
ωτ
⇒ n2 − γ 2 ≈ 0
εµ
⇒ n=γ =
2ωτ
γ
π
tan ϕ = ≈ 1 ⇒ ϕ ≈
n
4
nγ ≈ n 2 ≈ γ 2 ≈
εµ
2ωτ
Extinktionskoeffizient
d <<
c
~ cm für 100 Hz
ωγ
( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)
Dielektrische Dispersion
Annahme: µ = 1
Betrachte nun zeitliche Dispersion, also
χˆ (ω) :
Pˆ (ω) = ε0 χˆ (ω)Eˆ (ω)
mit:
χˆ (ω) =
1
2π
∞
∫−∞
dt χ(t )e iω t
dynamische elektrische Suszeptibilität
121
Fourier- Trafo:
1 ∞
dωPˆ (r , ω)e −i ωt
∫
−
∞
2π
1 ∞
Eˆ (r ,ω) =
dt E (r , t )e +i ωt
∫
−
∞
2π
∞
1 ∞
⇒ P (r , t ) =
dωε0 χˆ (ω)∫ dt´ E (r , t´)e +i ω (t ´−t )
∫
−∞
2π −∞
P (r , t ) =
Betrachte:
∞
ε
1 ∞
dωε0 χˆ (ω)∫ dt ´e +i ω (t ´−t ) := 0 χ(t − t ´)
∫
−∞
2π −∞
2π
∞
1 ∞
ε
⇒ P (r , t ) =
d ωε0 χˆ (ω)∫ dt´E (r , t ´)e +iω (t´−t ) = 0
∫
−∞
2π −∞
2π
t
∫−∞
dt´ χ(t − t´)E (r , t´)
Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.
Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:
χ(t − t´) = 0
für
t´> t
Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
è Komplexe dielektrische Funktion:
χ̂(ω) ∈ C
ε(ω) = 1 + χˆ (ω) = ε´(ω) + i ε´´(ω)
ε´, ε´´∈ R
Aus:
1 ∞
dt χ(t )e iωt
∫
0
2π
⇒ ε * (ω) = ε( −ω)
ε´(ω) = ε´( −ω)
ε´´(ω) = −ε´´(−ω)
ε(ω) = 1 +
Monochromatische ebene Welle:
E ( r , t ) = E0 e i (k r −ωt )
⇒ k 2 = ε(ω)
ω2
1
1
+
i
ωτ
c2
Isolator ( dispersives Dielektrikum)
E ( r , t ) = E 0 ei (k r −ω t )
⇒ k 2 = ε(ω)
ω2
c2
122
n~(ω) = n(ω) + iγ (ω)
n~(ω)2 = ε(ω) ≡ ε´+i ε´´
ε´(ω) = n 2 − γ 2
ε´´(ω) = 2 nγ
1
γ
1
⇒ =
ε´ 2 +ε´´2 m ε´ 2
n
2
Dabei
1
γ
1
2
2
2
ε´ +ε´´ m ε´
=
n
2
Als Absorptionskoeffizient γ ( reeller Brechungsindex n)
Absorption
ε´´= 0 ⇒ γ = 0, n = ε´
Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
Also: für ε´> 0 -> ungedämpfte Welle
ε´´> 0 ⇒ γ > 0
è in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).
Der Frequenzbereich mit
ε´´<< ε´ heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).
Dispersion
Re k = k´=
ω
n(ω) nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)
c
è Definition der Gruppengeschwindigkeit:
dω
1
c
=
=
dk´ dk ´ d (ωn )
dω
dω
c
c
vg =
≠
= v ph.
dn
n(ω)
n +ω
dω
v g :=
123
Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):
Normale Dispersion
dn
>0
dω
Stets im Transparenzgebiet, also wenn
v g < v ph.
ε´´~ 0
Anormale Dispersion
dn
< 0 bei Absorption !
dω
Beziehung zwischen
ε´(ω) und ε´´(ω)
Kramers- Kronig- Relation
-
( )
( )
Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion n ω und Absorption γ ω .
erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !
Beweis ( Funktionenthorie)
Für kausale Funktion gilt:
χ(t ) = Θ(t )χ(t )
0t < 0 Heavyside
Θ(t ) = 1t ≥ 0
Fourier- Trafo:
χˆ (ω) =
1
2π
∫
dω´Θ(ω − ω´)χˆ (ω´)
124
ˆ (ω) :=
Θ
lim
1
σ − > 0 + 2π
∞
∫0 dte
iωt −σt
Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
Also:
χˆ (ω) =
=
lim
1
1
σ − > 0 + 2π iω − σ
σ:
lim
∞
1
1
dω´
χˆ (ω´)
∫
2πi σ − > 0 + −∞
ω´−ω − iσ
Der Integrand hat einen Pol für
ω´= ω + i σ
Also:
Äquivalenter Integrationsweg:
Zerlegung:
∞
∫−∞
lim ω −ε ∞
1
1
1
dω´
χˆ (ω´) =
χˆ (ω´) +
dω´
χˆ (ω´)
+ ∫− ∞ + ∫ω + ε dω´
∫
ω´−ω
ε− > 0
ω´−ω
ω
´
−
ω
Kreisbogen
Man sagt:
lim ω −ε ∞
∞
1
1
χˆ (ω´) = P ∫ dω´
χˆ (ω´)
+ ∫−∞ + ∫ω + ε dω´
−∞
ε− > 0
ω´−ω
ω´−ω
= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !
1
dω´
χˆ (ω´)
ω
´
−
ω
Kreisbogen
∫
ε um den Pol !
f (s)
ds
∫ ds s = f (0) ∫ s
Kreisbogen
Kreisbogen
Integral längs des Halbkreis mit Radius
s = εe iϕ ⇒ ds = isdϕ
π
ds
f (0)
∫ s = f (0)i∫ dϕ = iπf (0)
Kreisbogen
0
sogenanntes " Halbes Residuum!"
125
Also:
lim
∞
1
1
dω´
χˆ (ω´)
∫
2πi σ − > 0 + −∞
ω´−ω − iσ
∞
1
1
1
=
P ∫ dω´
χˆ (ω´) + χˆ (ω)
2πi −∞
ω´−ω
2
∞
1
1
⇒ χˆ (ω) = P ∫ dω´
χˆ (ω´)
πi −∞
ω´−ω
χˆ (ω) =
Nun: Zerlegung in Re und Im mit
Re χˆ (ω) = ε´(ω) − 1
Im χˆ (ω) = ε´´(ω)
Also:
1 ∞
1
P ∫ dω´
ε´´(ω´)
π −∞
ω´−ω
1 ∞
1
Im χˆ (ω) = ε´´(ω) = − P ∫ dω´
(ε´(ω´) − 1)
π −∞
ω´−ω
Re χˆ (ω) = ε´(ω) − 1 =
Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex
miteinander !
Titchmask- Theorem:
χ̂ z sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
Somit:
χˆ z → 0 für Im z → ∞
()
( )
Brechung und Reflexion
Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen
die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft
werden:
Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien
126
Transparent ->
εi ∈ R
ω
ω´
= k = k´ =
c1
c1
ω´´
c2
c
c
ci =
=
ni
εi
k ´´ =
i = 1,2
E ( r , t ) = E0 e i (k r −ωt )
Einfallende Welle:
E ( r , t ) = E0 e i (k r −ωt )
Reflektierte Welle:
E ´(r , t ) = E0 ´e i (k ´r −ω ´t )
Transmittierte Welle:
E ´´(r , t ) = E0 ´´e i (k ´´r −ω ´´t )
Grenzbedingungen für
E ( r , t ) . Annahme: linear polarisiert:
E1 + E1´ x =0 = E1´´ x =0 -> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten
3
3
Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:
Betrachte Situation für r=0
E01e iω t + E01´e i ω´t = E01´´e iω ´´t
⇒ ω = ω´= ω´´
E01 + E01´= E 01´´
Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder
nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen.
Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet,
so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:
Betrachte für t=0
E01e ik1 x1 + E01´e ik ´1 x1 = E01 ´´eik 1´´x1
Also:
k1 = k1´= k1´´
Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also:
muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:
127
k sin γ = k ´ sin γ´= k ´´ sin γ ´´
ω
c1
ω
k´ =
c1
ω
k ´´ =
c2
k =
Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:
sin γ = sin γ ´
sin γ´´ c2 n1
=
=
sin γ
c1 n 2
Reflexions- und Brechungsgesetz
Bestimmung der Amplituden:
a)
Polarisation von E in der Einfallsebene
Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:
E01 = E01´= E01´´= 0
E03 = E 03´= E 03´´= 0
Für die Tangentialkomp.:
E02 + E02 ´= E02 ´´
Mit
− k3
c
c
B0 = k × E0 = E 02 0
ω
ω
k
1
Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:
B01 + B01´= B01´´⇒ k 3 E 02 + k 3´ E´02 = k 3´´E02 ´´
128
mit dem Reflexionsgesetz.
k 3 = −k 3´
⇒ k 3 ( E02 − E´ 02 ) = k 3 ´´(E02 + E02 ´)
E´
k − k 3´´
⇒ 02 = 3
E02
k 3 + k 3´´
E´´02
2k 3
=
E02
k 3 + k 3´´
Man muss nun nur k 3 ´´ über den Brechungswinkel γ ´´ ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:
n
k 3 ´´= k ´´ cos γ ´´= k ´ 2 cos γ ´´
n1
n2
sin γ
=
n1 sin γ ´´
sin γ
⇒ k 3´´= k ´´ cos γ´´= k ´
cos γ´´
sin γ ´´
k 3 = k cos γ
Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die
Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:
Also:
E´02 cos γ sin γ ´´− sin γ cos γ ´´ sin (γ ´´−γ )
=
=
E02
cos γ sin γ ´´+ sin γ cos γ ´´ sin (γ ´´+γ )
E´´02
2k 3
2 sin (γ ´´) cos γ
=
=
E02
k3 + k 3 ´´
sin (γ ´´+γ )
Intensitätsverhältnisse:
betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:
S =
1 T
dt (E × H )
T ∫0
129
Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)
E´
R⊥ = 02
E 02
2
=
sin 2 (γ ´´−γ )
sin 2 (γ ´´+γ )
Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)
E´´02
T⊥ =
E02
2
=
4 sin 2 (γ ´´) cos 2 γ
b) Polarisation von
Dadurch:
sin 2 (γ´´+γ )
= 1 − R⊥
E || Einfallsebene:
B ⊥ Einfallsebene
è Analoge Argumentation:
B01 = B01´= B01´´= 0
B03 = B03´= B03 ´´= 0
B02 + B02 ´= B02 ´´
usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen.
k durch Zwischenwinkel ausdrücken:
Zur Übung berechnen, es ergibt sich:
E´||
E||
=
tan (γ´´−γ )
tan (γ ´´+γ )
=
2 sin (γ ´´) cos γ
sin (γ ´´+γ ) cos(γ ´´−γ )
E´´||
E||
Ebenso:
R|| =
E´||
E||
2
=
tan 2 (γ ´´−γ )
tan 2 (γ´´+γ )
= 1 − T||
Bemerkung
Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall
π
2
− > tan (γ ´´+γ ) → ∞
R|| = 0
γ ´´+γ =
In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (
senkrecht zur Einfallsebene)
è Dies ist der Brewsterwinkel:
130
π
− > γ = (γ Brew )
2
è
ε2
tan γ B =
ε1
γ ´´+γ =
Totalreflexion
Sei
ε2 < ε1
sin γ G =
ε2
ε1
Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !
Grenzwinkel der Totalreflexion ->
R⊥ = R|| = 1
γ ´´=
π
2
T⊥ = T|| = 0
ε2 < ε1
γ > γG ⇒
k ´´ wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !
131
6. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
6.1 Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
è Kugelwellen sind
è -> Lorentz- Invariant, also:
è
r 2 − c 2t 2 = r´ 2 −c 2 t´ 2
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung:
Der Raumzeitliche Abstand als
(ds ) 2 := (cdt )2 − (dr )2
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen
den Inertialsystemen : Σ ↔ Σ´
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
( )2
Dann schreibt man ds als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den
Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
xi
x1 := ct
x1 , x 2 , x 3
als Komponenten des Ortsvektors
r:
kovariante Komponenten
xi :
x 0 := ct
xα = − xα ,α = 1,2,3
~
kovarianter Vektor ∈ V , dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
~
∈ V als Raum der linearen Funktionale l: V → R
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
(ds ) 2 = dx 0 dx 0 + dx 1dx1 + dx 2 dx 2 + dx 3 dx3 = dx i dxi
Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
132
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
a i ai schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
#= ∆ −
1 ∂2
c 2 ∂t 2
=−
∂
∂
= −∂ i ∂ i
i ∂x
∂x
i
Vierergeschwindigkeit
u i :=
dx i
dx i dx i
⇒ u iu i =
=1
ds
(ds )2
mit
(
ds = dx
i
)
1
dxi 2
(
= c1−
)
1
2 2 dt
β
=
c
dt
γ
⇒ u0 = γ
γ
u α = vα
c
dx α
v α :=
dt
v
β :=
c
1
γ :=
1 − β2
Physikalische Interpretation
1 dx α
u =
c dτ
dt
dτ =
γ
α
Viererimpuls
p i := m0 cu i mit der Ruhemasse m0
133
Also:
p i pi = m0 2 c 2 u i ui
u i ui = 1
⇒ p i pi = m0 2 c 2
p 0 = m0γc = m( v) c =
E
c
p α = m0γv α = m( v) vα
p i pi = m0 2 c 2 u i ui ⇔ E 2 = m0 2 c 4 + c 2 p 2
Mit der Energie
E = m(v )c 2
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Aik , Ai k , Ai k , Aik
A00 = A0 0 = A0 0 = A00
A10 = A10 = − A1 0 = − A10
A11 = − A11 = − A11 = A11
Der metrische Tensor
δ i
k = 0
g ik := δ ik = i k
= g ik
− δ k k = 1,2,3
g ik = g ik
0
0
1 0
0
0 −1 0
=
0 0 −1 0
0 − 1
0 0
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
g ik a k = a i
Wichtig fürs Skalarprodukt:
ds 2 = g ik dxi dx k = g ik dx i dx k
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
(x
0
,
x1 ,
x2 ,
)
x 3 = (ct ,
x,
y,
z)
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2
134
Nämlich:
1
x0 ´ 1 − β 2
x1´ − β
x ´ =
2
2 1− β
x ´
0
3
0
−β
0 0
x0
x
0 0 1
x2
1 0 x3
0 1
1 − β2
1
1 − β2
0
0
x´ i = U i k x k
Mit
U ik
1
1 − β2
−β
=
1 − β2
0
0
−β
1− β
1
2
1− β2
0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
für v || x1
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
U i k U i l = δ kl
⇒ a´i b´i = U i k U i l a k bl = a k bk
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation:
x i = U k i x´k
6.2 Transformationsverhalten der Ströme und Felder
Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum
Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!
Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie
überhaupt !
Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:
div j +
∂ρ ∂j x ∂j y ∂j z ∂cρ
=
+
+
+
=0
∂t
∂x ∂y ∂z ∂ct
∂ρ 3
0=
+ ∑ ∂α j α
∂t α =1
135
Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich
∂ µ jµ = 0
in Viererschreibweise.
Die Vierer- Stromdichte ist
{j } = {cρ, j}ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
µ
Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
∂ µ jµ = 0
Forderung:
Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
->
j µ = 0 muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt ∂ µ j µ = 0 Lorentzinvariant ist !:
(
x ´= γ (x
)
) ⇔ x ´= γ (x
v
x 0´= γ x 0 − βx1 ⇔ t ´= γ t − 2 x1
c
1
1
− βx 0
1
1
− vt
)
x 2 ´= x 2
x 3 ´= x 3
Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:
(
j ´= γ ( j
)
) ⇔ j ´= γ ( j
v
j 0´= γ j 0 − βj 1 ⇔ ρ´= γ ρ − 2 j 1
c
1
1
− βj 0
1
1
− vρ
)
j 2 ´= j 2
j 3 ´= j 3
Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt
verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der LorentzTrafo.
Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind,
gefunden.
4- Potenziale:
Die Potenziale
∆ A (r , t ) −
Φ , A sind in der Lorentz- Eichung ∇ ⋅ A +
1 ∂2
c 2 ∂t 2
# A(r , t ) = −µ0 j
1 ∂
ϕ = 0 Lösungen von
c 2 ∂t
A (r , t ) = − µ0 j
# = −∂ µ ∂ µ
µ0 c =
1
ε0 c
# A(r , t ) = −µ0 j ⇔ ∂ µ ∂ µ cAα =
1 α
j
ε0 c
α = 1, 2,3
136
ρ
= − µ0 c 2 ρ
ε0
c ∂t
ρ
1 0
# ϕ(r , t ) = −
⇔ ∂µ ∂ µϕ =
j
ε0
ε0 c
∆ϕ(r , t ) −
1 ∂2
2
ϕ(r , t ) = −
2
Zusammen:
− # Φ µ = ∂ α ∂ α Φ µ = µ0 j µ
Φ 0 := ϕ
Φ i := cAi
i = 1..3
µ
µ
Da j Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch Φ wie ein Vierervektor
transformieren.
Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:
∂ α ∂ α lorentz- invariant !:
(
Φ ´= γ (Φ
)
)
Φ 0 ´= γ Φ 0 − βΦ1
1
1
− βΦ 0
(
bzw. Φ´= γ Φ − vA1
)
v
bzw. A´1 = γ A1 − 2 Φ , A´2 = A 2 , A´ 3 = A3
c
Nun: Lorentz- Eichung:
∇⋅ A+
1 ∂
ϕ= 0
c 2 ∂t
Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz
∂µΦµ = 0 ⇔ ∇ ⋅ A +
∂ µ Φ µ = 0 ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
1 ∂
ϕ= 0
c 2 ∂t
Umeichung:
~
A = A + ∇F
~ = ϕ− ∂ F
ϕ
∂t
⇔
~
cAα = cAα + ∂ α cF = cAα − ∂ α cF
~
Φ 0 = Φ 0 − ∂ 0 cF = Φ 0 − ∂ 0 cF
Also:
~
Φ µ = Φ µ − ∂ µ cF
137
Felder E und B:
∂
A
∂t
1 ∂ α
⇒ E α = −∂α ϕ −
cA = −∂ α Φ 0 − ∂ 0 Φ α = ∂α Φ 0 − ∂ 0 Φα
c ∂t
B =∇× A
E = − gradϕ −
⇒ cB1 = ∂ 2 cA3 − ∂ 3 cA2 = ∂ 2 Φ 3 − ∂ 3 Φ 2 = ∂ 3Φ 2 − ∂ 2Φ 3
Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:
cB 2 = ∂ 1Φ 3 − ∂ 3Φ 1
cB 3 = ∂ 2 Φ 1 − ∂1Φ 2
Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:
1
1
1
Ex
Ey
Ez
0
c
c
c
1
− E
0
− Bz
By
x
c
Fµν = ∂ µ Φν − ∂ν Φ µ =
1
Bz
0
− Bx
− Ey
c
− 1 E z − B y
Bx
0
c
1
1
1
− Ex − E y − Ez
0
c
c
c
1
E
0
− Bz
By
c x
µν
µ ν
ν µ
F
= ∂ Φ −∂ Φ =
1
Bz
0
− Bx
Ey
c
1 E z
− By
Bx
0
c
0
− E1 − E 2 − E 3
E1
0
− cB 3 cB 2
⇔ F µν = ∂ µ Φν − ∂ν Φ µ = 2
cB 3
0
− cB1
E
E 3 − cB 2
cB1
0
{ } {
}
{
}
{
}
Wegen der Antisymmetrie hat
F µν nur 6 unabhängige Komponenten !
Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
rot A = B
während die Raum- zeit- Komponenten:
E = − gradϕ −
∂
A erfüllen.
∂t
Lorentz- Trafo der Felder:
Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit v bewegtes System K´
gilt:
138
F ´µν = U µ λU ν κ F λκ
U ik
−β
1
1 − β2
−β
=
1 − β2
0
0
1− β2
1
1− β2
0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder E und rot A = B berechnen, die
auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten
Seite vergessen werden !!
E´1 = F´10 = U 1λU 0κ F λκ = − βγU 0κ F 0κ + γU 0 κ F 1κ = ( βγ )2 F 01 + γ 2 F 10 =
(
)
= γ 2 1 − β 2 F 10 = E 1
(
)
γ 2 1− β2 = 1
(
E´ 2 = F´ 20 = U 2 λU 0 κ F λκ = U 0 κ F 2κ = γF 20 − βγF 21 = γ E 2 − vB3
(
)
)
E´ 3 = F´ 30 = U 0κ F 3κ = γF 30 − βγF 31 = γ E 3 + vB2
1
1
1
B´1 = F´ 32 = U 3 λU 2κ F λκ = F 32 = B1
c
c
c
1
1
1
βγ 03 γ 13
v
B´ 2 = F ´13 = U 1λU 3κ F λκ = U 1κ F κ 3 = −
F + F = γ B 2 + 2 E3
c
c
c
c
c
c
v
B´3 = γ B 3 − 2 E 2
c
Zusammenfassung
E1´= E1
E 2 ´=
E 3 ´=
(E
2
2
− vB3
)
(E
3
2
+ vB2
)
1
1− β
1
1− β
B1´= B1
B 2 ´=
2 v 3
B + 2 E
c
1 − β2
B 3´=
3 v 2
B − 2 E
2
c
1− β
1
1
Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander
transformiert !
139
Umeichung:
~
Φ µ = Φ µ + ∂µϕ
Somit:
(
)
(
)
~
~
~
F µν = ∂ µ Φν − ∂ν Φ µ = ∂ µ Φν + ∂ν ϕ − ∂ν Φ µ + ∂ µϕ
= ∂ µ Φν − ∂ν Φ µ + ∂ µ ∂ν ϕ − ∂ν ∂ µϕ = F µν
Homogene Maxwell- Gleichungen
∇ ⋅ B = ∂1 B 1 + ∂ 2 B 2 + ∂ 3 B 3 = 0
⇒ ∂1 F 32 + ∂ 2 F 13 + ∂ 3 F 21 = 0
Mit
∂1 = −∂1
F 32 = − F 23
⇒ ∂1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 = 0
+ zyklisch in (123)
innere Feldgleichung für E- Feld
∇×E =−
1.
∂
B
∂t
Komponente
∂ 1
B =0
∂t
+ ∂ 2 F 30 + ∂ 3 F 02 = 0 und zyklisch (023)
∂ 2E 3 − ∂ 3E 2 +
⇒ ∂ 0 F 23
zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit
F ik = − F ki
liefert:
⇒ ∂ 0 F 13 + ∂ 3 F 01 + ∂1 F 30 = 0
zyklisch (013)
⇒ ∂ 0 F 12 + ∂1 F 20 + ∂ 2 F 01 = 0 zyklisch ( 012)
Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen
εκλµν ∂ λ Fµν = 0
εκλµν ∂ λ F µν = 0
Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !
Levi- Civita- Tensor:
+1 für gerade Permutation von 0123
-1 für ungerade Permutation von 0123
0, sonst
140
Bemerkungen
1)
Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).
2)
εκλµν transformiert unter Lorentz- Trafo
εκλµν ´= U κ αU λ β U µ γ U ν δ εαβγδ
Uκ 0
Uλ
= µ0
U 0
Uν 0
U κ1
U λ1
U µ1
Uν1
Uκ 2
Uλ2
U µ2
Uν 2
Uκ 3
U λ3
= (det U ) ⋅ εκλµν
µ
U 3
Uν 3
(det U ) = ±1
Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also
εκλµν ´= εκλµν , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet
εκλµν ´= (det U )U κ α U λ β U µ γ U ν δ εαβγδ
Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !
Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:
(∇ × A )α = εαβγ ∂ β Aγ
Mit Pseudovektor
(∇ × A )α
Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum ( Erregungsgleichungen)
ε0 ∇ ⋅ E = ρ
1
cρ
ε0c
1 0
+ ∂ 3 F 30 =
j
ε0 c
⇔ ∂ 1E 1 + ∂ 2 E 2 + ∂ 3 E 3 =
⇔ ∂ 1F 10 + ∂ 2 F 20
⇔ ∂ν F ν 0 =
1 0
j
ε0 c
wegen∂ 0 F 00 = 0
1 0
auch∂ i F i 0 =
j
ε0 c
3)
∇×B −
1 ∂
∂
E = µ0 ∇ × H − ε0 E = µ0 j
2 ∂t
∂t
c
141
1.
Komponente
∂ 2 B 3 − ∂ 3 B 2 = µ0 j 1 + ε0 µ0
µ0 c =
∂ 1
E
∂t
1
ε0 c
1 1
j + .∂ 0 F 10
ε0 c
1 1
∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 + ∂ 0 F 01 =
j
ε0 c
1 1
⇔ ∂ν F ν 1 =
j
ε0 c
⇔ ∂ 2 F 21 − .∂ 3 F 13 =
wegen∂ 1F 11 = 0
Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten
wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
∂ν F µν = −
∂ν F νµ =
1 µ
j
ε0 c
1 µ
j
ε0 c
Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
Bemerkungen
1)
die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
{Fµν } = {∂ µ Φν − ∂ν Φ µ }
0
− 1 E
x
= c
1
− Ey
c
− 1 E
c z
1
Ex
c
1
Ey
c
0
− Bz
Bz
0
− By
Bx
1
Ez
c
By
− Bx
0
automatisch erfüllt:
εαβµν ∂ β Fµν = εαβµν ∂ β ∂ µ Φν − εαβµν ∂ β ∂ν Φ µ
εαβµν ∂ β ∂ µ Φν = 0,
da : ∂ β ∂ µ Φν
εαβµν
symmetrisch
antisymmetrisch
εαβµν ∂ β ∂ν Φ µ = 0
Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
∂ β F βν = ∂ β ∂ β Φν − ∂ β ∂ν Φ β =
1 ν
j
ε0 c
folgt mit Lorentz- Eichung
142
∂µΦµ = 0
∂ β ∂ν Φ β = ∂ν ∂ β Φ β = 0
also :
∂ β F βν = ∂ β ∂ β Φν =
1 ν
j als inhomogene Wellengleichung
ε0 c
Die Maxwellgleichungen
εαβµν ∂ β Fµν = εαβµν ∂ β ∂ µ Φν − εαβµν ∂ β ∂ν Φ µ = 0
∂ β F βν = ∂ β ∂ β Φν =
1 ν
j
ε0 c
sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
Gauß- System:
4π ν
j
c
∂ β F βν =
Relativistisches Hamiltonprinzip
Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1
und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
δW = 0
2
W = ∫ ds
1
letzteres: Wirkungsintegral
δx i
Wichtig:
1,2
=0
Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
2
W = −m0 c ∫ ds
1
Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
(ϕ )( x )
i
j
⇒
W =∫
{− m cds − ϕ dx }
2
i
0
1
i
mit den Lorentz- Invarianten
m0 cds
und
ϕi dxi
Variation:
δW = ∫
2
1
{− m cδ(ds ) − δ (ϕ
0
µ
dx µ
)}
143
Nun:
(
δ (ds ) = δ dx
(dδx )dx
µ
µ
µ
)
1
dx µ 2
(
(
= dx µ dδxµ
Außerdem:
(
)
(
)
)
dx µ
=
dδx µ = u µ dδx µ
ds
(
)
µ
µ
1 dδx dx µ + dx dδx µ
=
2
ds
(
)
)
( )
δ ϕµ dx µ = δϕ µ dxµ + ϕ µ d δx µ
Somit:
δW = ∫
2
1
{− m cu (dδx ) − δϕ
0
µ
µ
µ
( )}
dx µ − ϕ µ d δx µ
Weiter mit partieller Integration:
2
2
(
)
[
(
)
]
+
∫1
∫1
1
2
[− m0 cu µ (δxµ )]1 = 0, weilδxµ 12 = 0
2
− m0 cu µ d δx µ = − m0cu µ δx µ
⇒∫
2
1
µ
( ) ∫1
− m0 cu d δx µ =
2
µ
( )
m0 cdu µ δx µ
( )
m0 cdu δx µ = ∫
2
1
du µ
m0 c
δxµ ds
ds
( )
Weiter:
2
∫1
( ) [
− ϕµ d δx µ = − ϕ µ δx µ
]
2
1
( )
2
+ ∫ dϕµ δxµ
1
Mit
dϕ µ = ∂ν ϕµ dxν = ∂ν ϕµ uν ds
δϕ µ = ∂ν ϕµ δxν
δϕ µ dx µ = ∂ν ϕ µ δxν dx µ = i < − > k = ∂ µ ϕν δx µ dxν = ∂ µ ϕν uν δx µ ds
Einsetzen in
δW = ∫
2
1
{− m cu (dδx ) − δϕ
0
liefert:
δW = ∫
2
1
µ
µ
µ
( )}
dx µ − ϕ µ d δx µ
(
)
(
)
du µ
− ∂ µ ϕν − ∂ν ϕ µ uν δx µ
m 0 c
ds
Wegen
δW = ∫
2
1
du µ
− ∂ µ ϕν − ∂ν ϕµ uν δx µ = 0
m 0 c
ds
(
)
du µ
= ∂ µϕν − ∂ν ϕµ uν := f µν uν
ds
µν
f
= ∂ µ ϕν − ∂ν ϕµ
m0 c
(
)
Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der
Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
144
Man setze:
p µ = m0 cu µ
f
µν
=
(
q µν
F
= ∂ µ ϕν − ∂ν ϕ µ
c
)
q µ
Φ
c
2
d µ q µν
q
p = F uν ⇔ δW = δ ∫ − m0 cds − Φ µ dx µ = 0
1
ds
c
c
Man bestimmt die Ortskomponenten α = 1, 2,3 über
d
p = q (E + v × B )
dt
ϕµ =
überein, denn mit
u0 = γ
γ
u α = vα = −uα
c
folgt dann:
(
)
d 1
p = q E 1 + v2 B 3 − v3B 2
dt
1
1
= q F 10 + F 21 v 2 − F 13 v 3
c
c
q
γ
γ q
= F 10γ + F 21 v 2 − F 13 v 3 = F 1µ u µ
γ
c
c γ
mit
ds =
c
dt :
γ
d 1 q 1µ
p = F uµ
ds
c
Die zeitartige Komponente
µ = 0 gibt wegen p 0 =
(
)
E
:
c
d E γ dE q 01
= 2
= F u1 + F 02u 2 + F 03u3 =
ds c c dt c
qγ
qγ
= 2 − E 1v1 − E 2 v 2 − E 3 v3 = 2 E1v 1 + E 2v 2 + E 3 v 3
c
c
dE
= qE ⋅ v
dt
(
)
(
)
Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
145
6.4 Eichinvarianz und Ladungserhaltung
Wirkungsintegral:
q 2
dx µ Φ µ
∫
1
c
2
W = −m0c ∫ ds −
1
Dabei:
2
m0 c ∫ ds = Wt ( Teilchen)
1
−
q 2
dx µ Φ µ = Wtf ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
c ∫1
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
2
Wt = −c ∫ d 3 rm ∫ ds = −∫
dΩm
Ω
1
( )
m xµ :
ds
dt
dΩ := d 3 rcdt = dx 0 dx1dx 2 dx 3
dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
Bemerkungen:
1) dΩ ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
U µ ν erhalten bleibt.
µ dx µ 3
µ dx µ
d rcdt ; d 3 rcdt = dΩ ⇒ dm0 dx µ =
dΩ
c dt
c dt
folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m= µ :
dm0 dx µ =
2) Aus
m0
dx µ
≡ gµ
dt
ein Vier- Vektor ist, da
3
Also
2
µ
dx µ dxµ
(dt ) 2
dm0 , dΩ Lorentz- Skalare sind und natürlich dx µ selbst auch ein Vierervektor
2
ds
= g g µ = µ ist Lorentz - Invariant.
dt
µ
ds
g µ g µ ist Lorentz- Invariant. Also auch µ .
dt
Somit ist
Wt insgesamt Lorentz- Invariant !
146
