Axialsymmetrische magnetohydrodynamische

Axialsymmetrische magnetohydrodynamische
Gleichgewichtskonfigurationen
V o n
R .
LÜST
u n d
A.
SCHLÜTER
Aus dem Max-Planck-Institut für Physik, Göttingen
(Z. Naturforsdig. 12 a, 850—854 [1957] ; eingegangen a m 2. September 1957)
Es werden die Bedingungen für magnetohydrodynamische Gleichgewichtskonfigurationen mit axialer Symmetrie untersucht. Das Magnetfeld wird aufgeteilt in seine meridionalen und seine toroidalen
Anteile, welche durch skalare Funktionen F bzw. T beschrieben werden. Es wird gezeigt, daß der
Gasdrude p und die Funktionen F und T Funktionen voneinander sein müssen. W e n n man über die
Funktionen p{F) und T(F) verfügt, bekommt m a n eine Differentialgleichung für F . Die Fälle, in
denen diese Differentialgleichung linear ist, werden betrachtet u n d die Differentialgleichung explizit
gelöst, wenn T(F)= const ist. I n einem Spezialfall werden die magnetischen Feldlinien numerisch
beredinet und in einer A b b i l d u n g angegeben. Schließlich werden noch einige Bemerkungen über
die Stabilität soldier Felder angefügt.
The conditions for magneto-hydrostatic equilibrium are studied in the case of axial symmetry.
The magnetic field is divided into its meridional and its toroidal parts which are described by the
scalar functions F and T respectively. It is shown that the gas pressure p and the functions F and T
have to be functions of each other. Taking i n particular p(F) and T(F) as known relations, a differential equation for F is derived. The cases in which this differential equation is linear are considered and explicitly solved if furthermore T(F)= const. I n a special case, the magnetic lines of
force are calculated numerically and shown in a figure. Some remarks on the stability are added.
Ein Magnetfeld übt auf einen leitenden Körper
trachten speziell die analytisch streng lösbaren Fälle.
Kräfte aus, wenn in ihm elektrische Ströme fließen,
Für
die die Feldlinien kreuzen. Leitende Körper von be-
dem angenommen wurde, daß alle Ströme auf der
sonderem
Oberfläche des Plasmas fließen, wurde eine Lösung
Interesse für
die Astrophysik
manche terrestrische Anwendungen
d. h. gasförmige Leiter. Wenn
sind
und
für
Plasmen,
Gravitationswirkun-
einen
ebenfalls
axialsymmetrischen
Fall, bei
durch Reihenentwicklung in einer anderen Arbeit gegeben.
gen unwichtig sind, kann statisches Gleichgewicht im
allgemeinen dann nur bestehen, wenn sich die vom
1. G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n
Magnetfeld ausgeübten Kräfte und der Gasdruck des
Plasmas überall kompensieren. D a die vom Druck
herrührenden
Kräfte
rotationsfrei
sind,
ist
dies
Gleichgewicht im allgemeinen nicht erfüllbar, sondern entspricht einer Forderung an die Konfigura-
Das Gleichgewicht zwischen dem Gasdruck
hydrostatische Gleichung
1
grad p = — /
[23 rot 23]
4ti
tion des Magnetfeldes. Ein Spezialfall des Gleichgewichtes liegt vor, wenn die Ströme im Leiter überall parallel zum Magnetfeld fließen. Solche „kraft-
und
den magnetischen Spannungen ist durch die magneto-
(1)
beschrieben. Hierin ist p der Gasdruck und 23 das
freien" Magnetfelder hatten wir früher betrachtet 1 .
Magnetfeld. I m folgenden sei nun Axialsymmetrie
Wenn man
Gleichgewichtes
vorausgesetzt, d. h. alle auftretenden skalaren Funk-
zwischen magnetischen Kräften und dem Gasdruck
tionen sollen nur vom Abstand s von der z-Achse
die Möglichkeit eines
dazu benutzen will, um ein Plasma durch ein Magnet-
(Symmetrieachse)
feld zusammenzuhalten und einzuschließen (z. B. um
Äquatorebene abhängen, aber nicht vom Azimut cp .
die Berührung des Plasmas mit materiellen W ä n d e n
Ein
und
allgemeines
vom
Abstand
z von
zylindersymmetrisches
der
Magnet-
zu vermeiden), braucht man jedoch Kräfte auf das
feld läßt sich, wie schon früher gezeigt 3 , in einen
Plasma und m u ß das allgemeinere Gleichgewichts-
poloidalen und einen toroidalen Anteil zerlegen:
problem untersuchen. W i r beschränken uns hier dabei auf axialsymmetrische Anordnungen
1
R . LÜST U . A . S C H L Ü T E R ,
Z. Astrophys.
34, 263
und
[1954].
[e,r]7\
[e 2 r] grad F
be2
L . BIERMANN,
K . HAIN,
K . JÖRGENS
u.
R . LÜST.
Z.
(2)
Natur-
forsdig. 12 a. 826 [1957],
3
R . LÜST U . A . S C H L Ü T E R , Z . A s t r o p h y s .
38.
190
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[1955].
Hierin ist r der Ortsvektor und Cz der Einheitsvektor
in z-Richtung. Die Funktion F(s, z) hat die Bedeutung, daß durch die Gleichung F(s, z) = const der
Verlauf einer Feldlinie in der Meridianebene beschrieben wird, und zwar in der Weise, daß durch
2 r r F ( r ) der gesamte Fluß durch den Kreis gegeben
ist, der durch Rotation des Punktes r um die Symmetrieachse entsteht, falls man auf der Symmetrieachse F = 0 setzt. Die Funktion T(s, z) hat die analoge Bedeutung für die Linien des elektrischen Stromes.
Wegen der vorausgesetzten Axialsymmetrie
für p, F und T:
( [ez r] grad F) = 0
( [Cj r] grad p) = 0 ,
und
gilt
([e 2 r] g r a d T ) = 0 .
(3)
Damit bleibt für Gl. (5)
[ez r] GF -
[[e2 r] grad T].
(4)
Hierin ist G ein Differentialoperator, der definiert
ist durch
T 2 = g(F)
3
l 3
s 3s
3 s-
(8)
Damit wird aus Gl. (7)
«r"
d
P=-
4,'
S
.(
G f +
2if)«
r a d f
<9>
'
Aus dieser Gleichung folgt, daß auch die Linien
p = const und F = const zusammenfallen müssen,
d. h. auch p und F sind Funktionen voneinander.
Aus Gl. (9) bekommt man so schließlich die Gleichung (siehe auch C H A N D R A S E K H A R und P R E N D E R GAST
5
) :
GF+
1
dF
2
= - 4 ti A-2 d p { F )
(10)
dF
(10) ist eine Differentialgleichung für F, wenn man
über den Druck p und das toroidale Magnetfeld j/g
als Funktionen von F schon verfügt hat.
32
2. Spezielle axialsymmetrische F e l d e r
3 z2
Wie CHANDRASEKHAR 4 gezeigt hat, ist G identisch
mit dem LAPLACE-Operator für eine axialsymmetrische Funktion im fünf-dimensionalen euklidischen
Raum. Einsetzen von Gl. (2) und Gl. (4) in die
Gleichgewichtsgleichung (1) liefert n u n :
( G
F)
grad
F + ± T
grad T
(5)
+ ^ [ e . r ] ( [ e , r ] . [grad r g r a d / • ] ) } .
Nur das letzte Glied der rechten Seite ist rein toroidal. Zur Erfüllung des Gleichgewichtes muß dieses verschwinden, d. h. die Magnetfelder müssen
drehmomentfrei sein 3 . Es muß also
(6)
[grad T, grad F] = 0
gelten. Diese Gleichung besagt, daß die Linien
F = const (Meridionalprojektionen der Feldlinien)
mit den Linien T = const (Meridionalprojektionen
der Linien des elektrischen Stromes) zusammenfallen müssen. Sie ist erfüllt, wenn F und T Funktionen (nicht notwendig eindeutige oder umkehrbare)
voneinander sind.
4
.
3
G
grad
(7)
T~ sei nun als Funktion von F genommen und es sei
Damit ist die Rotation des Magnetfeldes gegeben
durch:
rot S3 = 1
gradT2}.
grad p = - - - L ^ G F ) grad F+±
S . CHANDRASEKHAR, P r o c .
Nat. A c a d . Sei. 42, 1
[1956],
I m folgenden sollen nun für p und s solche Ansätze gewählt werden, daß die Diff.-Gl. (10) linear
in F ist. Es sei also
und
dp
1
dF
4 71
dg
dF
(aF + b)
(IIa)
= 2(cF + d) ,
(IIb)
wobei a, b, c und d Konstanten sein sollen. Damit
bekommt man für Gl. (10) :
GF+cF
+ d = s 2(aF + b) .
(12)
Der Fall a = b = 0 (d. h. konstanter Druck) führt zu
den kraftfreien Magnetfeldern. Der Fall c = d = 0
bedeutet T = const, d. h. die toroidale Komponente
des Magnetfeldes ist wirbelfrei und übt keine Kraft
aus. Dieser Fall soll im folgenden betrachtet werden.
W i r wollen also nun Lösungen der Diff.-Gl.
GF = s 2(aF + b)
(13)
suchen. Zunächst sei angenommen, daß a ={= 0 ist.
D a n n ist eine Lösung gegeben durch
F = — b/a ,
5
S . CHANDRASEKHAR
Sei. 42, 5
U.
a=h 0 .
K . H . PRENDERGAST,
(14)
Proc.
Nat.
[1956],
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Acad.
Eine additive Konstante in F ist aber bedeutungslos, da das Magnetfeld, entsprechend Gl. (2)
D i e Lösung der Gl. (17) ist gegeben durch
Z(z;/i)
nur
e i^ z
=A(X)
+ B(/i)
(19)
durch die Ableitungen von F bestimmt ist.
D a die allgemeine Lösung der Diff.-Gl. durch die
m i t A
u n d
B
Integrationskonstanten. W e n n / < 0 ,
als
Überlagerung der allgemeinen Lösung der homo-
so
genen Gleichung und der obigen speziellen Lösung
abhängen, u n d für A > 0
der inhomogenen Gleichung gegeben ist, brauchen
Lösungen.
wir uns i m folgenden nur noch für die Lösungen
Zur Lösung der Diff.-Gl. (16) sei eine Variablentransformation
der homogenen Gleichung zu interessieren. Für F
bekommt m a n Lösungen, die exponentiell von *
machen wir dann einen Separationsansatz
F = 5(s)Z(z).
t=
ergeben sich periodische
a> 0,
Va
(15)
(20)
durchgeführt. D a n n bekommt m a n für (16) :
Dies führt zu den beiden Diff.-Gln. f ü r S ( s )
und
Z(z):
d<2
2
1
d
ds 2 '
s
ds
d
5 - ( a r + 1) 5 = 0
d2
und
ds 2
(16)
Z+2Z=0.
1
(21)
5 = 0.
]/a
Mit der Transformation
te - t / 2
(17)
y{t)
(22)
Hierin ist / die Separationskonstante. Die allgemeine
bekommt m a n so schließlich eine Diff.-Gl. vom kon-
Lösung bekommt m a n dann durch Überlagerung der
Auenten hypergeometrischen Typus
Lösungen von verschiedenen 1 , d. h. durch Integra-
A
dt 2
tion über A:
+ oc
F(s,z)
= f S(s;X)
s 2e~^ st
S(s;JL)=Va
Z(z;/L)
dA.
\C{l)T(\+\
I
\
4 ya
(18)
2,
C
sind
und
D
(i 7* +l) y=0-
+(2-t) dv
;
dt
Die allgemeine Lösung für 5 ist somit gegeben
(24)
2 , Va s*y\n(Va
Integrationskonstanten.
(23)
durch:
j/ßi2)
)
D{X) [ J ( l + }
Hierin
v
J(a,y,x)
s>) +T(i+
^ ,
J
2 , V<*
ist die sog. konfluente hypergeometrische
F u n k t i o n 6 u n d 7 " * ( a , y , x ) ist eine Potenzreihe:
/ 1
1! \ a
1 _ j\ , a ( g + l ) x2 / 1
y
)
y ( y + l ) 2! \o
S(s, A) ist im Nullpunkt regulär, während sie für
große
Werte
p ( a , y, x) ~e x
von
s
exponentiell
zunimmt,
da
für große x ist. D a m i t das Magnet-
1
+1
a-f
1
1
7
7+1
det. Dieser
Fall
+.
soll
(25)
ausgeschlossen
werden
und
6 ^ 0 sein. F ü r die Funktion F bekommt man dann
die Diff.-Gl.
feld i m Nullpunkt regulär bleibt, m u ß die Integra-
GF=bs
2
.
(26)
tionskonstante D Null sein.
Bisher war a
0 angenommen worden. Es soll
D a (1 /s) G F bei den hier betrachteten meridiona-
n u n der Fall a = 0 untersucht werden. Nach Gl. (11 a)
len
bedeutet das, daß der Gasdruck
Stromdichte ist, sind hier die magnetischen Kräfte
p = — (6/4 TI) • F + const.
Magnetfeldern
proportional
zur
elektrischen
mit den Druckkräften i m Gleichgewicht, wenn die
Stromdichte proportional zum Abstand von der Sym-
W e n n weiter 6 = 0 wäre, so würde das bedeuten,
metrieachse zunimmt u n d unabhängig von 2 ist.
daß die elektrische Stromdichte ( ~ rot 23) verschwin-
.
.
,
1 1
T ..
Eine inhomogene Losung ist gegeben durch
U
E. KAMXE, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Akad. Verlagsgesellschaft, Leipzig 1943, S. 427.
F
=
8
'
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(27)
w ä h r e n d für den homogenen Teil der Separationsansatz Gl. ( 1 5 ) zu der Diff.-Gl.
d*S
ds2
1 dS
-XS
s ds
(28)
= 0
f ü r die F u n k t i o n S führt, w ä h r e n d f ü r Z weiterhin
die G l . ( 1 7 ) gilt. D i e Diff.-Gl. ( 2 7 )
ist v o m BESSEL-
/As 3-
schen Typus u n d die Lösungen sind BESSEL-Funktionen Zx (x)
v o m i m a g i n ä r e n A r g u m e n t . D i e i m Null-
p u n k t reguläre L ö s u n g ist gegeben d u r c h :
S(s; X) = C{X) sI^iYXs)
.
(29)
C ist eine Integrationskonstante, die entweder imagin ä r oder reell ist, je nachdem
ob
der W e r t
der
BESSEL-Funktion i m a g i n ä r oder reell ist entsprechend
dem Vorzeichen von X . W e n n 2 > 0
ist, so n i m m t
5 ( 5 ; X) f ü r große Werte von s exponentiell zu, wähf ü r 2 < 0 p r o p o r t i o n a l zu Y s ist, wenn
rend
5 gegen Unendlich geht. I n
diesem Fall geht
das
Magnetfeld gegen Unendlich f ü r große Werte
von
|Z|.
A b b . 1. Verlauf des Magnetfeldes, das durch die Flußfunktion F nach Gl. (31) mit den Parameterwerten A1 =B1 = b = l
definiert ist. Die Zahlen an den Feldlinien sind ein M a ß für
den magnetischen Fluß, der durch den kreisförmigen Querschnitt zwischen der betreffenden Feldlinie und der z-Achse
hindurchgeht.
F ü r 2 = 0 b e k o m m t m a n speziell:
S ( Ä ; 0 ) =DS2
1
( 3 0 a)
+ E
i
Z{s;0)
und
=Gz
+ K,
8JT
periodisch in z sind, noch etwas n ä h e r
werden. I n diesem Fall m u ß
betrachtet
also 2 ^ 0
und
x
\
\
1
b 4
"s
eine
weitere
freie
Integra-
tionskonstante ist gleich N u l l gesetzt worden,
was
n u r eine Festlegung der Phasenlage i n bezug a u f z
bedeutet.
E i n sich aus dieser F u n k t i o n F (s,z;
Feld ist in A b b . 1 wiedergegeben.
X) ergebendes
Die
j
1
'
1 1
/ /
/ /
\
Ns
xJX
!/?.{fxi.iy
\
>
2\
B
Pß 2 r
8ir
(31)
reelle Integrationskonstante ist. Ebenso ist BX
Eine
S
3
\
eine
Integrationskonstante.
\
-—\
X) nach
ist der Faktor i so gewählt, d a ß Ax
Hierin
N
" V
\
5) cos(l/A, 2)
+ Bl S * +
!
1
!
1
i /
die
den G i n . ( 1 9 ) , ( 2 7 ) , ( 2 9 ) , ( 3 0 a) u n d (30 b ) :
X) = AX isIx {iYX,
/Bi/Xi-O)
1,0 "1T+tfft'-ß/
W e r t der Integrationskonstante E unerheblich. D a n n
F(s,z;
1 i
i 1
i 1
/
/
.—
Integrationskonstante G = 0 sein. D a n n ist auch der
b e k o m m t m a n für die F l u ß f u n k t i o n F(s,z;
i ;
! ^
/
/
/
I m folgenden sollen als ein Beispiel L ö s u n g e n , die
1
/
/'
(30 b)
wobei D, E, G u n d K Integrationskonstanten sind.
/
Y
\p(Vxi
-0,)
V
\
X
\
\
\
1
>VÄs
\
a(VXz • J A
\
>
-1,0
A b b . 2. Die magnetische Feldstärke B (ausgezogene Kurve),
der Gasdruck p (gestrichelte Linie) und der „Gesamtdruck"
P + B 2/8JI
(strich-punktierte Kurve) in Abhängigkeit vom
Abstand s von der Symmetrieachse für j / I z = 0 , + 2 n , . . .
und für ] / I z = ± 71, ± 3 71,...
B 2/8ti
B;
.
P;
+ P .
Parameter
sind so gewählt, daß der Gasdruck
B x = 1 , 6 = 1) ist dies der Fall f ü r die U m g e b u n g
p = — (6/4 jr) F + const
der Achse bis zu der Feldlinie, auf der F «s 9 , 6 ist.
a u f der Achse m a x i m a l ist u n d f ü r alle s in einer
D u r c h geeignete W a h l
U m g e b u n g von s = 0 für wachsende s stets a b n i m m t .
Konstanten
F ü r die speziellen Parameter der A b b . 1
(Ax = 1 ,
der i m
Druck
verfügbaren
( = Gasdruck a u f der Achse) läßt sich
d a n n erreichen, d a ß der Druck überall i m
Innern
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des so gebildeten Schlauches positiv ist und
dort
- co~ f o t>2 dr = -
yp(div Ö) 2
(rot [D 2 3 ] ) 2 } dr
auf einer beliebigen Feldlinie einen vorgegebenen
Wert, z.B.
p = 0 annimmt. M a n kann diese Feldlinie dann mit der W a n d eines Gefäßes identifizieren, in dessen Innerem das Magnetfeld das Plasma
ganz (für p = 0 auf der W a n d ) oder teilweise zusammenhält, und in dessen Äußerem unsere Gleichungen nicht gelten, sondern das Magnetfeld durch
eine entsprechende Anordnung von Spulen erzeugt
wird.
In Abb. 2 ist die magnetische Feldstärke und der
Gasdruck p auf den Linien z = 0, i 2 TI, . . . und
z = + TI, ±3 n...
in Abhängigkeit vom Abstand
von der Symmetrieachse aufgetragen. Außerdem ist
noch die Funktion (B 2/8 rr) +p ( = „Gesamtdruck"
= „magnetischer Druck" + Gasdruck) aufgetragen.
Im Falle eines gestreckten Magnetfeldes wäre diese
Funktion konstant, während sie hier den Einfluß
der K r ü m m u n g wiedergibt.
+ J ( ö g r a d F )
+
/
%
- ^
2
^
dr
(32)
( [e2 r] ö) ([e2 r]. grad(ö grad F))
(Ü grad F) ([e* r]- grad * ([e 2 r] Ö ) ) } d r .
Hierin ist Ö die Geschwindigkeit des Plasmas, y das
Verhältnis der spezifischen W ä r m e und dr das Volumenelement. [Zur Ableitung der Gl. (32) ist angenommen, daß die Normalkomponenten von Ü und
23 an der Oberfläche des betrachteten Volumens verschwinden.] Die Stabilität einer Gleichgewichtskonist durch das Vorzeichen von co 2 bestimmt,
figuration
2
wobei c o < 0 Instabilität bedeutet. Aus Gl. (32) ersieht man, daß das 1. Integral stets einen stabilen Beitrag liefert. Auch das 2. Integral wird stets einen stabilen Beitrag liefern, sofern überall d 2 p ( F ) / d F 2 ^ 0
ist. Das Vorzeichen des letzten Gliedes kann sowohl
3. Z u r S t a b i l i t ä t axialsymmetrischer F e l d e r
positiv als auch negativ sein. Man kann aber zeigen,
daß der Integrand verschwindet, wenn die Störung t)
Zum Schluß sei noch kurz auf die Stabilität dieser
unabhängig vom Azimut (p ist. Meridionale Felder
hier betrachteten meridionalen Felder eingegangen.
werden also gegen solche Störungen stabil sein, falls
I n einer vorangegangenen Arbeit 7 war die Stabili-
d2p(F)/dF2
tät allgemeiner Gleichgewichtskonfigurationen unter-
schriebene Feld (s. Abb. 1) ist aber auch Gl. (11 a)
sucht worden. Im Falle von meridionalen Magnet-
d 2 p/dF 2 = 0 . Dieses Feld ist somit gegen Störungen,
feldern bekommt man aus der dort
die nicht von <p abhängen, stabil.
angegebenen
0 ist. Für
das durch Gl. (31)
be-
Gl. ( 2 3 ) :
7
K . H A I N , R . LÜST u . A . SCHLÜTER. Z . N a t u r f o r s c h g . 1 2 a .
[1957].
833
Herrn A. K U R A U möchten wir für die numerischen
Rechnungen, die mit der elektronischen Rechenmaschine
G 2 durchgeführt wurden, vielmals danken.
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