Ubungen zu Theoretische Physik I+II Blatt 7

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Dr. Ferdi Schank / Dipl. Phys. Dominic Jourdain /
Lukas Wettmann, M.Sc.
Gebäude E 2.6, Zi. 4.09 / 1.07.3
Mail: [email protected] / [email protected]
Saarbrücken, 09.12.2015
Web: http://www.uni-saarland.de/fak7/kruse/index.html
Übungen zu Theoretische Physik I+II
Blatt 7
Abgabe bis Mittwoch, 16.12.2015, 12 Uhr
Aufgabe 7.1. Getriebener Oszillator (1 + 1.5 + 2 + 1 + 1.5 + 0.5 = 7.5 Punkte)
Wir betrachten einen eindimensionalen, harmonischen Oszillator mit Masse m und Kreisfrequenz ω, der
durch eine Kraft F (t) angeregt wird. Die zugehörige Bewegungsgleichung ist durch
ẍ + ω 2 x =
(1)
F (t)
m
gegeben. Das System befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe und in der Gleichgewichtslage.
a) Die Anregung F (t) ist nun durch eine einzelne Sägezahnschwingung im Intervall [0, 2T ] gegeben und
besitzt die in der nachfolgenden Abbildung angegebene Form.
F(t)
F0
T
2T
t
Geben Sie F (t) explizit als abschnittsweise definierte Funktion für alle Zeiten t an.
b) Da sich die antreibende Kraft nur linear mit der Zeit ändert, kann die Differenzialgleichung auch als
(2)
geschrieben werden.
ẍ + ω 2 x = a + bt
Geben Sie die allgemeine Lösung x(t) dieser Differenzialgleichung für alle Zeiten t an und bestimmen Sie
die Konstanten a, b für die verschiedenen Zeitintervalle durch einen Vergleich mit der in a) bestimmten
Funktion F (t). Wählen Sie hierbei für die Lösung
(3)
xh (t) = Ai cos(ωt) + Bi sin(ωt)
der homogenen Gleichung die Vorfaktoren Ai , Bi , wobei der Index für das entsprechende Zeitintervall
steht.
Hinweis: Beachten Sie, dass z.B. für die Lösung im Zeitintervall [T, 2T ] auch die periodische Lösung
entsprechend in der Zeit verschoben werden muss.
c) Bestimmen Sie die Koeffizienten Ai , Bi mithilfe der Stetigkeit von x(t) und ẋ(t) an den Intervallgrenzen
und zeigen Sie, dass diese durch
F0
mω 2
F0
mω 3 T
F0 − ωT cos (ωT ) + sin (ωT )
3
mω T
F0 − 2 + ωT sin (ωT ) + cos (ωT )
3
mω T
2F0 − 1 + ωT sin (ωT ) + cos (ωT ) sin (ωT )
3
mω T
2F0 −
1
+
ωT
sin
(ωT
)
+
cos
(ωT
)
cos (ωT )
mω 3 T
A1 = −
B1 =
A2 =
B2 =
A3 =
(4)
B3 =
gegeben sind.
d) Wir wollen nun die Energie bestimmen, die dem System durch die Anregung F (t) zugeführt wird.
Verwenden Sie dazu zunächst die Substitution
(5)
ξ = ẋ + iωx
und leiten Sie damit aus Gl.(1) eine Differenzialgleichung erster Ordnung für ξ her.
Lösen Sie diese durch Variation der Konstanten und zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung in der
Form
(6)


Zt


0
ξ(t) = eiωt ξ0 + F (t0 )e−iωt dt0


0
geschrieben werden kann, wobei ξ0 = ξ(t = 0).
e) Die Energie des harmonischen Oszillators
(7)
E=
m 2
ẋ + ω 2 x
2
kann ebenfalls mithilfe der Größe ξ angegeben werden.
Zeigen Sie damit, dass die Energie, die dem System zugeführt wird durch
E∞
(8)
∞
2
Z
1 iωt =
F (t)e dt
2m −∞
gegeben ist, wenn ξ(t → −∞) = 0 gilt und wir alle Zeiten t → ∞ betrachten.
Bestimmen Sie diese Energie explizit für die anregende Kraft aus a), die sich zu
(9)
E∞ =
2F02 −
1
+
ωT
sin
(ωT
)
+
cos
(ωT
)
mT 2 ω 4
ergibt.
f ) Alternativ kann die zugeführte Energie auch direkt aus der Lösung x(t) der Bewegungsgleichung
bestimmt werden.
Erklären Sie, warum dies möglich ist und zeigen Sie, dass man das gleiche Ergebnis wie in e) erhält.
Aufgabe 7.2. Rotierende Bezugssysteme (1 + 1 + 0.5 = 2.5 Punkte)
Wir betrachten ein rotierendes Bezugssystem Σ, das mit fester Winkelgeschwindigkeit ω um den Vektor Ω
rotiert.
a) Gegeben sei nun ein beliebiger Vektor u, der mit Ω den Winkel Θ einschließt.
Skizzieren Sie diese Situation und zeichnen Sie das infinitesimale Wegelement du ein, das der Vektor
bei einer Rotation um dφ um die Rotationsachse zurücklegt. Bestimmen Sie daraus den Betrag du/dt
des zugehörigen Geschwindigkeitsvektors und schließen Sie daraus, dass
(10)
u̇ = Ω × u
gelten muss.
b) Für eine beliebige Wahl des Koordinatensystems kann der Ortsvektor r(t) allgemein als
(11)
r(t) =
3
X
xi (t) ei (t)
i=1
geschrieben werden.
Bestimmen Sie die Beschleunigung r̈(t) des Ortsvektors und drücken Sie das Ergebnis durch die Geschwindigkeit und Beschleunigung
(12)
(13)
v=
a=
3
X
i=1
3
X
i=1
ẋi (t) ei (t)
ẍi (t) ei (t)
innerhalb des rotierenden Bezugssystems sowie durch den Ortsvektor r und Rotationsvektor Ω aus.
c) Erklären Sie die zusätzlich zu a in der Beschleunigung vorhandenen Terme.
Wie lauten die zugehörigen Kräfte, die auch als Scheinkräfte bezeichnet werden?