Übung Zahlentheorie, SS 2004 Blatt 2 9. Sei n ∈ . Zeigen Sie

Übung Zahlentheorie, SS 2004
Blatt 2
9. Sei n ∈ . Zeigen Sie:
4 - (n2 + 2).
10. Seien a, b, c ∈
. Zeigen Sie:
a
|c
(a, b)
⇐⇒
a | bc.
11. Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k − 1.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe nur endlich viele solche Zahlen, sagen wir p 1 = 3, p2 =
7, . . . , pn . Betrachten Sie nun die Zahl p = (22 · 3 · 7 · 11 · 19 · . . . · pn ) − 1 und zeigen Sie,
dass p entweder selbst ein Primzahl obiger Form ist oder eine solche Primzahl (ungleich
p1 , . . . , pn ) als Faktor enthält.
12. Zeigen Sie: Es gibt keine Primzahldrillinge außer (3, 5, 7).
Unter einem Primzahldrilling versteht man ein Tripel (k, k + 2, k + 4) mit k ∈
k + 2 und k + 4 prim.
und k,
13. Zeigen Sie: Wenn an + 1 prim ist, dann ist a gerade und n eine Zweierpotenz.
Hinweis: Überlegen Sie Sich dazu zuerst den Wert von
(x + 1)(xm − xm−1 + xm−2 − · · · ± 1),
insbesondere für gerade m.
14. Zeigen Sie: Wenn n die Summe von drei oder mehr aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist, so kann n keine Primzahl sein.
15. Berechnen Sie (10633, 2205) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. Probieren Sie dabei
für die Division mit Rest von a durch b die beiden folgenden Verfahren aus. Wie viele
Schritte benötigt der Algorithmus dabei jeweils?
(a) Finde q, r ∈
mit a = qb + r und 0 ≤ r < |b| (normale Division mit Rest).
(b) Finde q, r ∈ mit a = qb + r und − |b/2| ≤ r < |b/2| (Division mit absolut kleinstem
Rest). Achtung: Achten Sie in diesem Fall bei der Durchführung des Euklidischen
Algorithmus besonders auf die Vorzeichen!
mit ma + nb = g für a = 4321 und b = 1234.
16. Berechnen Sie g = (a, b) und m, n ∈
Verwenden Sie dazu den Erweiterten Euklidischen Algorithmus.
17. Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung
2076x + 1812y = 132.
18. Zeigen Sie: Wenn (a, b) = 1, dann ist (a − b, a + b) = 1 oder 2. Wann genau ist der Wert
2? Was ist (a − b, a + b, ab)?
19. Zeigen Sie, dass die Behauptung (a1 , . . . , an ) = 1“ nicht äquivalent ist zu (ai , aj ) = 1 für
”
”
alle 1 ≤ i < j ≤ n“ (Im ersten Fall sagt man relativ prim“, im zweiten Fall paarweise
”
”
relativ prim“). Welche Behauptung ist stärker?