Ubungen zu ”Zahlen”, Teil 2

Übungen zu ”Zahlen”, Teil 2
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Ergänzung):
(i) x 2 + 6x + 5 = 0, (ii) x 2 + 6x + 9 = 0, (iii) x 2 + 6x + 13 = 0
(iv) x(x − 2) = 3, (v) x 2 − 5x + 6 = 0, (vi) x 2 − 3x + 3 = x − 1
Aufgabe 2:
Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren:
(i) x 2 − 8x + 15 , (ii) 4t 2 − 4t + 1 , (iii) 18u 2 − 9u + 1
Aufgabe 3:
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass für die Zahl A(n, k) der k-elementigen Teilmengen einer
n-elementigen Menge gilt:
A(n, k − 1) + A(n, k) = A(n + 1, k), 1 ≤ k ≤ n
Daher ergeben sich die Zahlen A(n, k) wie auch kn rekursiv aus dem Pascalschen Dreieck und sind
somit gleich. Aus diesem Grunde gilt automatisch A(n, k) = A(n, n − k).
A(n, 0) = A(n, n) = 1
und
Deuten Sie diese Gleichung!
Aufgabe 4:
(i) Begründen Sie den Binomische Lehrsatz
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
ak bn−k
kombinatorisch, indem Sie die n Faktoren von (a + b)n ausmultiplizieren und so auf eine Summe
mit 2n Summanden der Form ak · bn−k kommen.
(Einen fundierten Beweis liefern wir später mittels vollständiger Induktion).
(ii) Zeigen Sie:
Eine n-elementige Menge hat genau 2n unterschiedliche Teilmengen.
Aufgabe 5:
Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes 9993 = (1000 − 1)3 und 10014 .
Aufgabe 6:
Etwas Statistik (nicht nur für unsere zukünftigen Statistikstudierenden): Eine Lieferung von zehn PCs
enthält drei fehlerhafte Geräte. Man entnimmt ihr zur Stichprobe fünf Geräte und prüft diese.
(i) Wie viele verschiedene Stichproben gibt es?
(ii) Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte?
(iii) Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät?
Aufgabe 7∗ :
Nur für Spezialisten:
Rekursiv bilden wir die Zahlen an ∈ R mittels
• des Rekursionsanfangs
a0 := 1
• und der Rekursionsvorschrift
an := an−1 4 −
2
n
,
n ∈ N.
(i) Berechnen Sie a1 , a2 , a3 .
(ii) Zeigen Sie, dass alle an natürliche Zahlen sind.
Hinweis: Wir haben noch nicht über vollständige Induktion gesprochen und wollen sie auch hier
vermeiden. Lösen Sie die Rekursion auf, d.h. suchen Sie eine geschlossene Darstellung an , so
wie man die Rekursion b1 := 1 und bn := bn−1 · n auflösen“ kann, indem man schreibt:
”
bn = n · bn−1 = n · (n − 1) · bn−2 = . . . = n · (n − 1) · 3 · 2 · b1 = n!
Die Aufgabe (ohne Anleitung!) entstammt der ersten Runde eines Bundeswettbewerbes Mathematik.