Spickzettel Induktion

Spickzettel Elektrostatik
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Elektrische Ladung: [C] = [ A ⋅ s ]
2 Varianten: positiv und negativ
gequantelt: Vielfache von e=1.6 10-19 C
Erhaltungsgröße
(Millikan)
Φ=
Elektrischer Fluss:
Gaußsches Gesetz:
∫ E ⋅ dA
∫ E ⋅ dA =
Q Nur verbal: El. Fluß durch
ε0
geschlossene Fläche =
eingeschlossene Ladung
(Fluss durch Oberfläche = eingeschl. Ladung / ε0)
Anwendungen:
1 Q
E=
a) Punktladung Q (vgl. Coulomb)
4πε r 2
0
Kraft zwischen Ladungen:
gleich/ungleich = Abstoßung/Anziehung
Coulombsches Gesetz:
F=
q ⋅Q
r0
4πε 0 r 2
1
1
4πε 0
≈ 9 ⋅109
Dielektrizitätskonstante ε 0 = 8.85 ⋅10
Superpositionsprinzip
−12
Nm
C2
2
C2
Nm 2
F = F1 + F2 + F3 + …
Elektrisches Feld (Kraft pro Ladung):
E=
F
1 Q
=
r0
q 4πε 0 r 2
⎡N⎤ ⎡V⎤
⎢⎣ C ⎥⎦ = ⎢⎣ m ⎥⎦
Feldlinien verlaufen parallel zu E
Elektrischer Dipol: p = Q ⋅ l
Ausrichtung im homogenen Feld,
Arbeit
W = −p⋅E
(Drehung um 900 )
Kraft im inhomogenen Feld
dE
F=p
dx
Influenz: Ladungsverschiebung im E-Feld
(b) langer Stab mit Ladungsdichte λ
E=
1 λ
2πε 0 r
)
c) Metalle: innen feldfrei
(auch Hohlräume: Faraday-Käfig)
Arbeit pro Ladung = Potenzialdifferenz=Spannung
(vom Weg
W
⎡J⎤
= ∫ E ⋅ ds = Δϕ = U
= [V]
⎢
⎥
unabhängig)
q
⎣C⎦
Äquipotenzialflächen senkrecht zu Feldlinien
(z.B. Metalloberflächen)
Kondensator: Q = C ⋅U
z.B. Plattenkondensator
U = E ⋅d
C = ε 0ε
A
d
⎡C⎤
⎢⎣ V ⎥⎦ = [ F]
ε : Dielektrizitätszahl
(z.B. Luft ≈ 1, Wasser=81)
C : Kapazität
Gespeicherte Energie (Energie steckt im E-Feld):
ε
1 Q2 1
1
= Q ⋅U = C ⋅U 2 = 0 V ⋅ E 2
W=
2 C 2
2
2
Energien auf atomarer Skala
(z.B. Beschleuniger)
[ Nm] = [ J ] = [ Ws]
[eV ] = ⎡⎣1.6 ⋅10−19 J ⎤⎦
Spickzettel Elektr. Strom
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Bewegung von Elektronen in Leitern:
ungeordnete Bewegung: bis zu 1000 km/s
Elektronendrift (= Strom): ca. 0.1 mm/s
Ladung pro Zeiteinheit
[ A ] = [C/s ]
Ohmsches Gesetz: I = U
U
U = R⋅I
R=
R
I
⎡V⎤
Einheit des el. Widerstands: [Ω ] = ⎢ ⎥
⎣A⎦
Widerstand hängt ab von
(a) Länge l und Querschnitt A des Leiters
l
ρ: spez. Widerstand
R=ρ
z.B. Kupfer 1.7 ⋅10−8 Ωm
A
(b) Temperatur
Δρ
a: Temperaturkoeffizient
= α ⋅ ΔT
ρ
z.B. Kupfer 4.3 ⋅10−3 K -1
(c) Spannung und Strom (Kennlinie), vgl.
idealer Widerstand, Glühlampe, Diode
Leistung
P =U ⋅I = R⋅I2 =
Energie
= Leistung x Zeit
U2
R
[ V ⋅ A ] = [ W ] = ⎡⎢
[ W ⋅ s] = [ J ]
J⎤
⎣ s ⎥⎦
⎡⎣3.6 ⋅106 Ws ⎤⎦ = [ kWh ]
Galvanisches Element, Batterie:
elektrische Energie aus chemischer Energie
Stromkreise
Widerstände parallel
und in Reihe geschaltet
1
RGesamt
=
1
1
1
+
+ +…
R1 R2 R3
RGesamt = R1 + R2 + R3 + …
Kondensator mit Widerstand in Reihe, Aufladen:
U Widerstand = U 0e
−
t
RC
t
−
⎛
⎞
U Kondensator = U 0 ⎜1 − e RC ⎟
⎝
⎠
Kirchhoffsche Regeln:
Knotenregel: Summe aller Ströme ist null
Maschenregel: Summe aller Spannungen ist null
Wechselspannung und Wechselstrom
U = U 0 sin ωt
I = I 0 sin ωt
(ω = 2π f )
⎡1 ⎤
f : Frequenz ⎢ ⎥ = [ Hz ]
⎣s ⎦
P = U ⋅ I = R ⋅ I 02 sin 2 ωt
mittlere Leistung
z.B. Steckdose: f = 50 Hz
1
1
1
U 0 = 340 V
2
2 1
P = I 02 R = I eff
R = U 02 = U eff
2
2
R
R
U
U eff = 0 = 230 V
2
Leistung
Spickzettel Magnetismus
* alternative Rechte-Hand-Regel (wie in vielen Büchern)
Daumen v(I), Zeigefinger B, Mittelfinger F
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Magnetische Pole (Nord- und Südpol):
Ampèresches Gesetz Integral über geschlossenen Weg
ungleichnamige Pole stoßen sich ab, gleichnamige
ziehen sich an. Keine magnetischen Monopole!
Südpol des Erdfelds (≈ 5 ⋅10−5 T) liegt in N-Kanada.
Ströme erzeugen Magnetfelder
R.-Hand-Regel: Daumen=Stromrichtung, andere
Finger=Feldrichtung. Biot-Savart-Gesetz:
μ I
Vs
μ0 = 4π ⋅10−7
dB = 0 2 ds ⋅ sin θ
4π r
Am
θ : Winkel Strom-/Beobachtungsrichtung r
⎡ Vs ⎤ ⎡ N ⎤
= [ T ] "Tesla"
Einheit ⎢ 2 ⎥ = ⎢
⎣ m ⎦ ⎣ Am ⎥⎦
B ⊥ ds ⊥ r
Kraft auf bewegte Ladung (Lorentzkraft)
(
F = q⋅ v×B
)
= q ⋅ v ⋅ B, wenn v ⊥ B
Kraft auf stromführenden Leiter (Länge a)
(
)
F = I ⋅ a×B
= I ⋅ a ⋅ B, wenn a ⊥ B
R.Hand-Regel: gerade Finger=Strom oder
Geschwindigkeit (positiver Ladungen!),
gekrümmte Finger=B-Feld, Daumen=Kraft
*
Teilchenbahn (Masse m) im Magnetfeld:
Bedingung: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
m ⋅ v2
(v ⊥ B )
= q⋅v⋅ B
r
∫ B ⋅ ds = μ
0
I = eingeschlossener Strom
⋅I
gerader Draht B =
μ0 I
2π r
Spule (n Windungen) B = μ0 ⋅ I ⋅
n
l
Elektrische und magnetische Felder in Materie
D = ε 0ε E = ε 0 (1 + χ E ) E = ε 0 E + ε 0 χ E E = ε 0 E + P
B = μ0 μ H = μ0 (1 + χ M ) H = μ0 H + μ0 χ M H = μ0 H + μ0 M
⎡V⎤
E = elektr.Feldstärke ⎢ ⎥
⎣m⎦
χ E / M = elektr./magn. Suszeptibilität
⎡C ⎤
D = dielektr. Verschiebungsdichte ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
ε = Dielektrizitätszahl
⎡ Vs ⎤
B = magn. Feldstärke (früher: Induktion, Flußdichte) ⎢ 2 ⎥ = [ T ]
⎣m ⎦
⎡A⎤
H = magn. Erregung (fr.: Feldstärke) ⎢ ⎥ μ = rel.Permeabilität
⎣m⎦
⎡C ⎤
⎡A⎤
P = Polarisierung ⎢ 2 ⎥
M = Magnetisierung ⎢ ⎥
⎣m ⎦
⎣m⎦
Diamagnetismus (z.B. Bi, Hg, Ag)
Paramagnetismus (z.B. Al, Pt, U)
Ferromagnetismus (Fe, Co, Ni)
χM < 0
χM > 0
χ M > 0, sehr groß ( ∼ 1000)
Elektromagnet: Eisenjoch mit Lücke der Länge l
H Luft → H Luft ⋅ l ≈ n ⋅ I → B = μ0
nI
l
Definition des Ampère (Stromstäke):
H Fe
Kraft zwischen 2 Drähten mit Strom 1 A in 1 m
Abstand ist 2 x 10-7 N
Hysteresekurve: Remanenz, Koerzitivfeldstärke ...
Curie-Temperatur: Ferromagnetismus verschwindet
Spickzettel Induktion
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Faradaysches Induktionsgesetz:
Magnetischer Fluss:
φ = B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ cos θ
2
⎣⎡Tm ⎦⎤ = [ Wb ] Weber
kapazitiver Widerstand RC = U 0 = 1
(Hochpass)
I0
dφ
dt
Ohmscher Widerstand R = U 0
I0
z.B. Stab (Länge s, Geschwindigkeit v)
U ind = s ⋅ v ⋅ B
(Tiefpass)
I0
Änderung von φ induziert Spannung:
U ind = −
Wechselstromwiderstände
U
induktiver Widerstand RL = 0 = ω ⋅ L
ωC
(frequenzunabhängig)
Keine mittlere Leistung bei Induktivität/Kapazität,
z.B. Spule I = I 0 sin ωt
v,s ⊥ B
U = L ⋅ I = L ⋅ I 0 ⋅ ω cos ωt
Lenzsche Regel:
Der durch die induzierte Spannung
entstehende Strom ist so gerichtet, dass
sein Magnetfeld der Ursache
entgegenwirkt,
z.B. Wirbelstrombremse
P =U ⋅I = 0
Induktion, wichtigstes Beispiel: Generator
(Kraftwerk, Autolichtmaschine, Fahrraddynamo...)
Induktivität
gegenseitige Induktion U 2, ind = − N 2 ⋅ φ2 = L21 ⋅ I1
Selbstinduktion
U
= − N ⋅φ = L ⋅ I
1,ind
1
1
Supraleitung: Widerstand verschwindet unterhalb
der Sprungtemperatur (Stichwort: BCS-Theorie)
typisch 1-10 K bei vielen Metallen,
um 100 K bei Hochtemperatur-Supraleitern
1
⎡ Vs ⎤
L = Induktivität
⎢⎣ A ⎥⎦ = [ H ] Henry
Transformator (Primärspule 1, Sekundärspule 2)
N
N
( N1,2 : Windungszahl)
U 2 = U1 2
I 2 ≈ I1 1
N1
N2
bei kurzgeschlossener Sekundärspule
Spickzettel El.magn.Wellen
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Maxwellsche Gleichungen (hier: im Vakuum)
Q
∫
E ⋅ dA =
∫
B ⋅ dA = 0
Oberfläche
nur verbal
ε0
Gaußsches Gesetz
E ⋅ ds = −
Faradaysches Gesetz
Ampèresches Gesetz
Schwingkreis (Kondensator, Spule, Widerstand)
R
1
R2
ω = 2π f =
− 2
2L
LC 4 L
wenn Widerstand klein
1
R
ω
1 L
ω≈
Güte:
Δω ≈
=
Δω R C
LC
L
α=
Hertzscher Dipol:
Intensität ∼ cos θ
2
Elektromagn. Welle:
m
1
E
=
c = 3.0 ⋅108 =
Geschwindigkeit*
s
ε 0 μ0 B
Energiefluss (Poynting-Vektor)
⎛
⎞
c 2 1
1
S = ε 0 cE 2 =
B =
E⋅B
E× B⎟
⎜S =
μ0
μ0
μ0
⎝
⎠
*) Geschwindkeit ist nicht c in
- in Medien wie Glas, Wasser, etc.
- mit Begrenzungen wie Rohre, Koaxialkabel etc.
linear, zirkular (allgemein: ellitisch)
Elektromagn. Spektrum
Radiowellen (λ > 1 m)
Mikrowellen (λ = 1 m ... 1 mm)
Fernes, mittleres, nahes Infrarot
Sichtbares Licht (rot...violett)
Ultraviolett, Vakuum-UV, Extremes UV
Röntgenstrahlung (E >1 keV)
Gammastrahlung (E >100 keV)
c =λ⋅ f
E = h⋅ f
h = 6.63 ⋅10−34 Js = 4.12 ⋅10−15 eVs
Sichtbares Licht
λ = 750 − 400nm
Wellenlänge
dφ
B ⋅ ds = μ0 I + μ0ε 0 elektr .
∫
dt
Schleife
I = I 0 e −α t cos ωt
= 2 E0 ⋅ sin ωt ⋅ sin kz
Energie, Frequenz
dt
z
E = E0 ⋅ cos(ωt − kz ) + E0 ⋅ cos(ωt + kz )
Polarisation
dφmagn.
Schleife
t
keine magnetischen Monopole
Oberfläche
∫
Laufende Welle E = E0 ⋅ cos (ωt − kz ) = E0 ⋅ cos ⎛⎜ 2π − 2π ⎞⎟
λ⎠
⎝ T
Stehende Welle
Plancksches Wirkungsquantum
f = 4 − 7.5 ⋅1015 Hz
E = 1.6 − 3.1eV
Beschleunigte Ladungen strahlen, z.B.
Periodische Beschleunigung: Radio-/Mikrowellen
Abbremsung in Materie: Röntgenstrahlung
Kreisbeschleunigung: Synchrotronstrahlung
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum)
historisch: Umlauf der Jupitermonde, Drehspiegelmethode...
heute: Definition von 1 m = Strecke pro Sekunde / 299.792.458
Spickzettel Optik
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Durchgang von Licht durch Materie (z.B. Glas):
Absorption (Beersches Gesetz):
I = I 0 ⋅ e −α ⋅ z Absorptionskoeffizient α =α (λ )
Brechnungsindex n = n(λ )
dn
"normale" Dispersion:
<0
dλ
Streuung (verursacht z.B. das Himmelsblau)
Dispersion:
Licht an Grenzflächen (z.B. Luft/Glas):
Reflexionsgesetz
Brechnungsgesetz
θi = θ a
sinθ1 n2
=
sinθ 2 n1
θ2 = 90o
Totalreflexion
n
Brewsterwinkel tanθ B = 2
n1
(Reflexion hängt von Polarisation ab. Beim Brewsterwinkel
wird Komponente parallel zur Einfallsebene nicht reflektiert)
Linsengleichung
Sammellinse
Streulinse
1 1 1
+ =
g b f
( f > 0)
( f < 0)
Wichtige optische Instrumente:
Kamera, Auge, Lupe, Mikroskop, Teleskop
(Strahlengang und Eigenschaften s. Folien)
Wellennatur des Lichts:
Huygenssches Prinzip (bzw. Fermatsches Prinzip)
Interferenz: Überlagerung von Wellen
Beugung am Spalt der Breite a:
a ⋅ sin θ = m ⋅ λ
m=0
konstruktiv (Maximum)
m = 1, 2,3… destruktiv (Minima)
an Doppelspalt und Gitter mit Spaltabstand d :
d ⋅ sin θ = m ⋅ λ
m = 0,1, 2,… konstruktiv
an einer Lochblende mit Durchmesser D:
D ⋅ sin θ = 1.22 ⋅ λ erstes Minimum
Auflösung optischer Instrumente:
begrenzt durch Beugungserscheinungen
Rayleigh-Kriterium
Mikroskop
2sin θ ≈
sin θ ≈ θ = 1.22
λ
xmin
→ xmin ≈
mit Immersionsöl (n ≈ 1.5) xmin ≈
λ
D
λ
2sin θ
λ
2n sin θ
Spickzettel Relativität
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
z.B. Experiment von Michelson und Morley
Lorentzfaktor γ ≡
1
1 − v2 / c2
=
1
1− β 2
γ = 1 für v = 0, γ → ∞ für v → c
Zeitdilatation
Δt = Δt0 ⋅ γ
L0
Längenkontraktion
L=
Relativistische Masse
m = m0 ⋅ γ
Relativistischer Impuls
p = m ⋅ v = m0 ⋅ γ ⋅ v
Energie
γ
E = m ⋅ c 2 = m0 ⋅ γ ⋅ c 2
=
( m0 ⋅ c 2 ) + ( p ⋅ c ) = m0 ⋅ c2 + Ekin
2
2
Lorentz- statt Galileitransformation
- Zeit t und Raumkoordinaten nicht unabhängig
- Addition von Geschwindigkeiten komplizierter
- Lichtgeschwindigkeit kann von Körpern mit
Masse nicht erreicht werden
Bindungsenergie = Massen“defekt“
gemäß
E = m ⋅ c2
Relativistischer Dopplereffekt
Bewegung zur Lichtquelle:
„Blau“verschiebung
Bewegung von der Lichtquelle: „Rot“verschiebung
(Beispiel: mit Entfernung zunehmende Rotverschiebung
von Galaxien, Hinweis auf Urknall)
Relativitätsprinzip: spez. Relativitätstheorie
Äquivalenzprinzip: allg. Relativitätstheorie
Ununterscheidbarkeit von Schwere und Beschleunigung.
Masse bewirkt Raumkrümmung, Raumkrümmung wird
als Schwerebeschleunigung erfahren.
Extrembeispiel: schwarze Löcher
Praktische Einheiten für Teilchen
Energie
[eV ]
Impuls
[eV/c]
oder
Masse
⎡⎣eV/c 2 ⎤⎦
oder
[eV ]
[eV ]
z.B.
Elektron
Proton
9.11⋅10−31 kg
1.67 ⋅10
−27
kg
0.511 MeV
938 MeV
Spickzettel Quanten/Atome
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Wellenfunktion Ψ(x,y,z,t)
Strahlung schwarzer Körper
Plancksches Strahlungsgesetz
Maximum (Wiensches Verschiebungsgesetz)
λmax ⋅ T = 2.9 ⋅10−3 m ⋅ K
Leistungsdichte (Stefan-Boltzmann-Gesetz)
W
u (T ) = 5.67 ⋅10−8 2 4 T 4
mK
2
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Lösung der Schrödinger-Gleichung
(Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen)
Beispiele: Potenzialtopf, Tunneleffekt, Wasserstoffatom
Wasserstoffatom, Emissions/Absorptionsspektrum
1 ⎞
⎛ 1
E = 13.6eV ⋅ ⎜ 2 − 2 ⎟
⎝ n′ n ⎠
z.B. n′ = 2 : Balmer-Serie
Bohrsches Atommodell = Rutherford + Postulate:
Fotoeffekt
Photonenenergie
E = h⋅ f
Plancksches Wirkungsquantum h = 6.6 ⋅10−34 Js
= 4.15 ⋅10−15 eVs
kinetische
Elektronenenergie Ekin = h ⋅ f − W (Austrittsarbeit)
Wechselwirkung von Photonen in Materie
Fotoeffekt, Compton-Streuung, Paarbildung
(ab 1.02 MeV)
p = h/λ
E = h⋅ f
1
E = m ⋅ v2
Teilchen der Masse m: p = h / λ
2
(nicht-relativistisch)
Photon (Masse 0):
Heisenbergsche Unschärferelation
h
2π
Δt ⋅ ΔE ≥
stabile Bahnen, Quantensprünge, Drehimpuls
Z2
Energieniveaus: E = 13.6eV ⋅ 2
n
L = n⋅
h
2π
Orbitale des Wasserstoffatoms
Hauptquantenzahl n
Nebenquantenzahl l
Magnetische Quantenzahl ml
Spinquantenzahl ms
Aufbau der Atome: Pauli-Prinzip für Elektronen
(gilt allg. für Fermionen, Teilchen mit halbzahligem Spin)
Welle-Teilchen-Dualismus
Δx ⋅ Δp ≥
Ψ
h
2π
Röntgenspektren (Kα-Linie, Sprung von n=1 nach n=1)
E = 13.6eV ⋅ ( Z − 1) ⋅ 3 / 4
2
Molekülbindung kovalente und Ionenbindung (typ. 2-5 eV)
van-der-Waals- und Wasserstoffbrückenbindung (< 1 eV)
Molekülspektren Rotations-, Schwingungsspektren (im IR)
Festkörper amorph, kristallin
Leiter, Nichtleiter, Halbleiter (je nach Bandlücke)
Spickzettel Kerne/Teilchen
(ohne Anspruch auf Vollständigkeit)
Atomkerne Radius r ≈ A1/ 3 ⋅1.2 ⋅10−15 m
Nomenklatur
Sonnensystem: Sonne+ Planeten (Erde-Sonne 150 Mio km)
Sterne:leben mehrere Milliarden Jahre, schwere leben kürzer
Endzustände: weiße Zwerge, Neutronensterne, schw. Löcher...
Tröpfchenmodell erklärt Bindungsenergie
Schalenmodell: magische Zahlen (2,,8,20,...)
Radioaktivität, Zerfallsgesetz
Anwendung: Radiocarbon (14C)-Datierung
N (t ) = N (0) ⋅ exp ( −λ ⋅ t ) = N (0) ⋅ exp ( −0.69 ⋅ t / T1/ 2 )
α-Strahlung: Heliumkerne, feste Energie (~MeV)
β-Strahlung: Elektronen oder e+, variable Energie
γ-Strahlung: hochenergetische Photonen
Kernspaltung z.B. 235U (ca. 200 MeV)
Kernfusion z.B. d + t
Standardmodell der Elementarteilchen
Teilchen: 3 Quark-Familien (z.B. u,d)
3 geladene Leptonen (z.B. Elektron)
3 Neutrinos
Bosonen (Photon, W, Z, Gluonen, Higgs)
Kräfte: elektromagnetisch (vermittelt das Photon)
starke Wechselwirkung (Gluonen)
schwache Wechselwirkung (Z,W)
Gravitation
Symmetrien und Erhaltunsgsätze
Detektoren für Teilchen
- aus Beschleunigern und Speicherringen
- Weltraum (Neutrinos, Gammas, kosm. Strahlung)
Neutrino-Oszillationen: Neutrinos haben Masse
Urknall (vor ca. 14 Milliarden Jahren)
Indizien: Nachthimmel dunkel (Olberssches Paradoxon)
kosmische (2.7 K) Hintergrundstrahlung
Expansion des Universums (Hubblesches Gesetz)