EDA-Methoden

Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Mikro- und Nanoelektronik
Fachgebiet Elektronische Schaltungen und Systeme
EDA-Methoden
Versuch 12
im
Informationselektronischen Praktikum
Studiengang Elektrotechnik und
Informationstechnik
2.Studienschwerpunkt:
Mikro-, Nanoelektronik und Elektrotechnologie
(BA)
Betreuer: Dipl.-Ing. Dominik Krauße
Raum H3511, Tel. 69 1167
Praktikumsraum: H 3521B
Inhaltsverzeichnis
Informationselektronisches Praktikum
Informationselektronisches Praktikum
Versuch 12 "‘EDA-Methoden"’
Dominik Krauße, Eric Schäfer
26. Juni 2009
Inhaltsverzeichnis
1
Zielstellung
2
2
Theoretische Grundlagen
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Modifizierte Knotenanalyse - MNA . . . . . . . . . . . . . .
Auflösung linearer Gleichungssysteme, LU-Zerlegung . . . .
Newton-Raphson-Algorithmmus zur Arbeitspunktberechnung
2.3.1 Newton-Raphson-Ersatzschaltbilder . . . . . . . . . .
Numerische Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Das Companion Modell . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Transientanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
5
8
8
12
13
15
3
Praktikumsvorbereitung
16
4
Praktikumsdurchführung
17
EDA-Methoden
FG Elektronische Schaltungen und Systeme
1
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THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
1 Zielstellung
Ziel des Versuches soll es sein, die Methoden zur Gleichungsaufstellung im Simulator zu verstehen und tiefgründige Kenntnisse darüber zu erlangen, wie die Simulationsarten DC-, und
Transientsimulation ablaufen. Dabei soll ein Programm mit Hilfe von Mathematica entwickelt
werden, das diese Simulationsarten mit einer vorgegebenen Schaltung durchführen soll.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Modifizierte Knotenanalyse - MNA
In den heutigen Schaltungssimulatoren wird zur Gleichungsaufstellung fast ausschließlich die
modifizierte Knotenanalyse (Modified Nodal Analysis - MNA) verwendet. Diese Technik ermöglicht eine einfache Implementierung auf den Rechner, da hierbei nur Auffüllschemas für
Netzwerkelemente benutzt werden. Die MNA ist eine Erweiterung der Standard-Knotenanalyse,
wobei die Erweiterung aus zusätzlichen Gleichungen besteht, die den Teil der Netzwerkelemente
erfassen, der für die Standard-Knotenanalyse in Matrixform ausgeschlossen war.
Bild 6.11: Ausfüllmuster für Netzwerkelemente bei der Modifizierten
Abbildung 1: Ausfüllmuster für Netzwerkelemente bei der MNA
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2
2
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
Zur Ableitung der MNA-Pattern kann man die Superknotenanalyse (SNA) aus der Grundlagenvorlesung verwenden. Dabei werden die Knotengleichungen aufgestellt, ohne daß die Zwangsbedingungen schon enthalten sind. Für Elemente wie Spannungsquellen, gesteuerte Spannungsquellen oder Kurzschlüsse werden nun im Gegensatz zur SNA zusätzlich Ströme eingeführt, um
alle Knotengleichungen (also keine Superknoten = Schnitte) aufzustellen. Zum Schluß werden
die Zwangsbedingungen, die z.B. durch Spannungsquellen entstehen, an das Gleichungssystem
angehangen. Ganz allgemein kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen:
!
!
!
j
Y B vn
=
·
e
C D
ib
(1)
Dabei ist Y die konventionelle Knotenadmittanzmatrix, wie sie auch bei der Knotenanalyse
entsteht. Die Matrix B sind die Strombeiträge die sich nicht über die Leitwertformulierung
der konventionellen Knotenanalyse darstellen lassen, d.h. Ströme durch Spannungsquellen, gesteuerte Quellen, Kurzschluß- und Steuerzweige und Widerstände in Impedanzdarstellung. Die
beiden Matrizen C und D sind die „Zwangsbedingungen“ und Elementerelationen der nichtAdmittanzelemente.
a
c
G1
U0
iU0
p
Beispiel 1. b
G3
G2
q
G4
d
Abbildung 2: Netzwerk mit Spannungsquelle
Stellt man nun die Knotengleichungen für alle Knoten auf, so ergibt sich
p :
O
q :
O
Zwangsbedingungen :
0 = G1 (V p − Va ) + G2 (V p − Vb ) + iU0
0 = G3 (Vq − Vc ) + G4 (Vq − Vd ) − iU0
U0 = V p − Vq
Schreibt man dieses Gleichungssystem in Matrixschreibweise, so ergibt sich:




 
 Va 
 V 
  b  

−G1 −G2
0
0 G1 G2
1   Vc   0 
   

0
0 −G3 −G4 G3 G4 −1  ·  Vd  =  0 
   

 V p 
0
0
0
0
1 −1
0
U0
 
 Vq 
iU0
(2)
Sieht man das Netzwerk in ein größeres eingebettet, dann erhält man die folgenden markanten Muster für die Spannungsquelle: akp = 1, akq = −1, welche die Zwangsbedingung für die
Spannungsquelle darstellen, wobei Index k den k-ten Stromzweig der Spannnungsquelle (im
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THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
Beispiel iU0 ) darstellt. Desweiteren sind die Einträge a pk = 1 und aqk = −1, welche den zusätzlich eingeführten Strom durch die Spannungsquelle repräsentieren. So kann man nach und nach
alle Matrixeinträge für die Nicht-Admittanzelemente herleiten. Nicht-Admittanzelemente sind
die Spannungsquelle, spannungsgesteuerte Spannungsquelle, stromgesteuerte Spannungsquelle,
stromgesteuerte Stromquelle und der Widerstand.
Beispiel 2. In einem weiteren Beispiel soll der Matrixeintrag für eine stromgesteuerte Stromquelle abgeleitet werden:
im
1
O
2
O
3
O
ik
I0
r · im
4
O
G1
G2
Abbildung 3: Zweig mit einer Spannungsquelle
Der Algorithmus zum aufstellen der MNA Matrix lautet wie folgt:
• Aufstellen der Knotengleichungen ohne dabei die Zwangsbedingungen einzuarbeiten. Für
Nicht-Admittanzelemente wird ein neuer Strom ik , sowie im eingeführt.
• An die Knotengleichungen werden nun die Zwangsbedingungen bzw. die Zweigrelationen
der Nicht-Admittanzelemente angehängt.
• Matrixsystem aufstellen!
Nun sollen für das angegebene Netzwerk die Knotengleichungen und die Zwangsbedingungen
aufgestellt werden:
1 :
O
2 :
O
3 :
O
4 :
O
Zwangsbedingung 1 :
Zwangsbedingung 2 :
0 = −I0 + G1 + im
0 = G2 (V2 − V3 ) − im
0 = G2 (V3 − V2 ) + ik
0 = G3 · V4 − ik
0 = V1 − V2
0 = V3 − V4 − r · im
Aufstellen des Matrixsystems:
   

1
0  V1  
0
0
0
 G1
   
 0
G2 −G2
0 −1
0  V2  

   
 0 −G
G2
0
1  V3  
2

· =
 0
0
0 G3
0 −1  V4  

   
−1
0
0
0
0   im  
 1
   
ik
0
0
1 −1 −r
0
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I0
0
0
0
0
0
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









(3)
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Informationselektronisches Praktikum
Erkennbar sind hier wieder die Matrixeinträge für die stromgesteuerte Spannungsquelle und,
wie auch im nächsten Beispiel, die Vierermuster für die Leitwerte. Es ist noch anzumerken, daß
bei einem steuernden Stromzweig (wie dies bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle oder
Stromquelle vorkommt) immer ein Kurzschlußzweig eingebaut wird, für diesen ein Zweigstrom
eingeführt, da der Steuerstrom für die Elementebeziehung benötigt wird und dieser in das Gleichungssystem mit aufgenommen wird.
Beispiel 3. Als Beispiel für eine weitere MNA Formulierung soll folgendes Netzwerk dienen,
welches das Kleinsignalsersatzschaltbild einer Emitterschaltung darstellt:
1
O
3
O
ube
R1
Vin
rbe
R2
2
O
RC
gm · ube
RE
Abbildung 4: einfache Transistorschaltung zur MNA Formulierung
Zu erkennen sind die typischen Vierermuster und die zusätzliche Zeile und Spalte für die Spannungsquelle (siehe Abbildung 1).
1 + 1 + 1
 R1 R2 rBE
1
 −gm − rBE

gm

1
1
− rBE
gm +
1
rBE
0
+
1
RE
−gm
0
0
1
RC
0
 V  
  1  
0
 ·  V2  = 
  
0
  V3  
1
0
IVin
0
0
0
Vin





(4)
2.2 Auflösung linearer Gleichungssysteme, LU-Zerlegung
Gegeben sei das Gleichungssystem:
Ax = b
(5)
Eine Möglichkeit, eine Lösung zu bestimmen, wäre durch Multiplikation mit A−1 von links:
A−1 Ax = x = A−1 b
(6)
Diese Methode ist aber sehr rechenaufwendig und ineffizient, da für die Berechnung der Inversen
von A insgesamt n Gleichungssysteme zu lösen sind und sie erfordert drei mal mehr Multiplikationen als ein Gauß-Verfahren (siehe [1]).
Damit zusätzlich noch der Speicherplatz im Rechner effizient ausgenutzt wird, führt man eine
Dreieckszerlegung folgender Form durch:
LUx = b
(7)
Dann läßt sich das Gleichungssystem wie folgt lösen:
1. y = Ux setzen
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2. Lösen von Ly = b durch einfache Vorwärtselimination
3. Lösen von Ux = y durch Rückwärtsseinsetzen
Wie lassen sich die Matrizen L und U bestimmen?
a) Es existieren n2 Gleichungen für n2 + n Unbekannte, somit sind noch n Freiheitsgrade
vorhanden, um bestimmte Koeffizienten zu wählen. Häufig wird die sogenannte „Doolittle“ Zerlegung angewendet, d.h. die Koeffizienten auf der Hauptdiagonale der L-Matrix
sind 1. Nebenbei sei noch erwähnt, daß es weitere Möglichkeiten für die Bestimmung der
Hauptdiagonalelemente gibt, wie zum Beispiel die Crout Zerlegung bei der die Diagonalelemente der U-Matrix ukk = 1 sind oder die Cholesky Zerlegung bei der die Matrix A
in A = LLT mit U = LT zerlegt wird. Der interessierte Leser sei auf die Zusatzliteratur
verwiesen [6].
b) Damit sieht die LU-Zerlegung folgendermaßen aus

0 0
0
 1

0
l2,1 1 0
l
l
1
0
 3,1 3,2
 ..
..
..
.
 .
.

ln,1 · · ·
łn,n−1
 
0 u1,1 u1,2 u1,3
 
0  0 u2,2 u2,3
 
0 ·  0
0 u3,3
  .
..
0  ..
.
 
1
0
0
0
 
· · · u1,n  a1,1
 
· · · u2,n  a2,1
 
· · · u3,n  = a3,1
..   ..
..
.
.   .
 
· · · un,n
an,1
a1,2 a1,3 · · ·
a2,2 a2,3 · · ·
a3,2 a3,3 · · ·
..
..
.
.
an,2 an,3 · · ·

a1,n 

a2,n 

a3,n 
.. 
. 

an,n
(8)
c) Daraus lassen sich die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ableiten. Ausmultiplizieren der 1.Zeile von L mit U ergibt:
u1,1 = a1,1
u1,2 = a1,2
..
.
u1,n = a1,n
d) Ausmultiplizieren von L mit der ersten Spalte von U
l2,1 u1,1 = a2,1
l3,1 u1,1 = a3,1
..
.
ln,1 u1,1 = an,1
=⇒ ln,1 =
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an,1
a1,1
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e) Ausmultiplizieren der 2.Zeile von L mit U:
l2,1 u1,2 + u2,2 = a2,2
l2,1 u1,3 + u2,3 = a2,3
..
.
l2,1 u1,n + u2,n = a2,n
=⇒ u2,n = a2,n −
a2,1
· a1,n
a1,1
f) Danach wird L mit der 2.Spalte von U multipliziert usw. Dabei ist zu erkennen, daß die
Matrixelemente sukzessiv nach und nach berechnet und ausgetauscht werden können, wobei kein neuer Speicherplatz belegt werden muß. Wie zu erkennen ist, wechseln sich die
Punkte d) und e) solange ab, bis die gesamte Matrix berechnet ist. Als Gesamtformeln für
die LU-Zerlegung ergeben sich:
li,k =
ai,k −
uk, j = ak, j −
k−1
P
li,p u p,k
p=1
uk,k
k−1
X
mit i = k + 1, ..., n
lk,p u p, j
mit j = k, ..., n
p=1
Es ist zu erkennen, daß für die Bestimmung der li,k und ul,m nur bereits bekannte Matrixeinträge aus den vorherigen Schritten benutzt werden, die Matrix A kann also sukzessiv
überschrieben werden. Zum Beispiel benötigt man zur Bestimmung von l2,1 kein a1,3 , was
im vorhergehenden Schritt schon mit u1,3 überschrieben wurde.
Als Pseudocodausschnitt sieht die LU-Zerlegung folgendermaßen aus (Quelle: Wikipedia):
Eingabe: Matrix A
For i = 1 To n
// Bestimmen von U
For j = i To n
For k = 1 To i-1
A(i,j) = A(i,j) - A(i,k) * A(k,j)
end
end
// Bestimmen von L
For j = i+1 To n
For k = 1 To i-1
A(j,i) = A(j,i) - A(j,k) * A(k,i)
end
A(j,i) = A(j,i) / A(i,i)
end
end
Ausgabe: Die mit den Dreiecksmatrizen L und U überschriebene Matrix A,
wobei die Einsen auf der Diagonale von L nicht gespeichert werden.
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THEORETISCHE GRUNDLAGEN
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2.3 Newton-Raphson-Algorithmmus zur Arbeitspunktberechnung
Nichtlineare Gleichungen lassen sich im allgemeinen nicht in geschlossener Form lösen, sondern - abgesehen von einigen Spezialfällen, z.B. ein Polynom zweiten Grades - nur numerisch
und zwar iterativ. Das bedeutet, daß man aus einer ersten Näherungslösung eine zweite berechnet, die genauer als die erste ist und diese dann wieder als Basis für die nächste noch genauere
Näherungslösung benutzt, wobei dieser Prozeß entsprechend weiter fortgeführt wird, bis die
Lösung die gewünschte Genauigkeit erreicht hat. Die wichtigste derartige Methode zur Lösung
nichtlinearer Gleichungssysteme ist das Newton-Raphson-Verfahren.
Ein System von n nichtlinearen Gleichungen und n Variablen läßt sich in der Form
f(x) = 0
(9)
darstellen, wenn der Vektor der Variablen mit x und der Vektor der Funktionen mit f bezeichnet wird. Die Herleitung des mehrdimensionalen Newton-Raphson-Verfahrens erfolgt über eine
mehrdimensionale Taylorreihe, in dem das Gleichungssystem f an der Stelle x(j) entwickelt wird.
Die Gleichung der Taylorreihe bis zum linearen Glied lautet dann:
f(x(j+1) ) = f(x(j) ) + J(x) |x=x(j) · (x(j+1) − x(j) )
(10)
Dabei bezeichnet J(x) die Jacobi-Matrix von f. Sie ist definiert als die Matrix aller partiellen
Ableitungen der Funktionen fi nach allen Variablen x j
 ∂ f1
 ∂x
 ∂ f21
 ∂x
J(x) =  . 1
 ..

∂ fn
∂x1
∂ f1
∂x2
∂ f2
∂x2
..
.
∂ fn
∂x2
···
···
..
.
∂ f1 

∂xn 

∂ f2 

∂xn 
···
∂ fn
∂xn
..
.



(11)
Setzt man nun in Gleichung 10 die linke Seite f(x(j+1) ) = 0 und löst man nach x(j+1) auf, so erhält
man die Iterationsvorschrift:
x(j+1) = x(j) − J(x) |x=x(j) −1 · f(x(j) )
In der Praxis wird nicht die Inverse der Jacobi-Matrix gebildet sondern die Gleichung
h
i
h
i
J(x(j) ) x(j+1) = J(x(j) ) x(j) − f(x(j) )
(12)
(13)
zum Beispiel durch Gauß-Elimination gelöst, da diese drei mal schneller als die Inversenberechnung ist.
2.3.1 Newton-Raphson-Ersatzschaltbilder
Die direkte Berechnung der Iterationsvorschrift aus Gleichung 12 ist wegen der umfangreichen
Matrizenmultiplikation und -inversion sehr ineffizient. Schneidet man in einem Netzwerk mit
einem nichtlinearen Element den Zweig des nichtlinearen Elementes heraus, wie in Abbildung 5
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dargestellt, und stellt dann die Sparse-Tableau-Formulierung (siehe [5]) auf, so ergibt sich beim
Lösen des Gleichungssystems mit dem Gaußverfahren ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

1
0

0

0

 ..
 .
0
∗
1
0
0
..
.
∗
∗
1
0
..
.
···
···
···
···
..
.
∗
∗
∗
∗
∗
0 0 ··· p
 
 i2 
  .   
∗  ..   ∗ 
    
∗  ib   . 
   .
∗ u2   . 
   .
∗ ·  ..  =  .. 
  .   
∗ ub   ∗ 
  
s1
q  i1 
 
u1
(14)
dabei bleibt die Gleichung:
p · i1 + q · u1 = s1
(15)
als unterbestimmtes Gleichungssystem übrig. Sie beschreibt exakt das Klemmenverhalten, daß
das abgetrennte nichtlineare Element sieht. Für diese Gleichung gibt es unterschiedliche Interpretationsmöglichkeiten.
1.) Bei Umstellen nach u1 = sp1 − qp i1 = U0 + Ri1 kann man ein Ersatzschaltbild für das Restnetzwerk interpretieren als Spannungsquelle mit Serienwiderstand (siehe Abbildung 5).
2.) Bei Umstellen nach i1 = sq1 − qp u1 = I0 + Gu1 kann man ein Ersatzschaltbild für das
Restnetzwerk interpretieren als Stromquelle mit Parallelwiderstand (siehe Abbildung 5).
3.) Läßt man die Gleichung 15 als implizite Gleichung stehen (die Normalform einer affinen
Geraden: weder nach u1 noch nach i1 umgestellt), so kann man eine Gerade in ein U-IDiagramm einzeichnen, was die Lastgerade des Restnetzwerkes darstellt, wenn man in
den aufgeschnittenen Zweig „hineinschaut“ (siehe Abbildung 6)
i2
u2
i1
i1
u1
oder
wird zu
ik
uk
ik+1
uk+1
R
U0
u1
i1
u1
G
I0
Abbildung 5: Interpretation zur Ersatzschaltung
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i
I0
G
U0
u
Abbildung 6: implizite Darstellung der Ersatznetzwerkes (Gleichung 15)
Schließt man nun an den offenen Zweig ein nichtlineares Bauelement an, so muß zur Arbeitspunktbestimmung der Schnittpunkt zwischen der nichtlinearen Kennlinie und der Geraden berechnet werden. Dies kann durch Newton-Iteration gelöst werden, wie in Abbildung 7 dargestellt. Bestimmt man aber in jedem Iterationsschritt eine Gerade an dem Punkt der nichtlinearen
Kennlinie, bedeutet das soviel wie eine Widerstandsgerade mit Offset, wobei der Offset durch eine Spannungs- oder Stomquelle dargestellt werden kann. Diese Überlegung führt zum NewtonRaphson-Ersatznetzwerk.
i
I0
R
G2
G1
u
Start
U0
Abbildung 7: Widerstandsgerade des Restnetzwerkes mit angeschlossenen nichtlinearen Bauelement
Diese netzwerktheoretische Interpretation, wie im nächsten Beispiel gezeigt, ermöglicht ein wesentlich einfacheres und schnelleres Vorgehen bei der Lösung der nichtlinearen Netzwerkgleichungen als durch das direkte Newton-Raphson-Verfahren.
Beispiel 4. Als Beispiel soll hier folgendes Netzwerk betrachtet werden:
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R
U0
G(u)
Abbildung 8: Beispielnetzwerk mit nichtlinearen Leitwert
der nichtlineare Leitwert hat die U-I-Charakteristik
i = fG (u) = u3 + 10u.
(16)
Enwickelt man die nichtlineare Gleichung i = fG (u) in eine Taylorreihe und bricht diese nach
dem linearen Glied ab, so ergibt sich:
di(u( j) )
· (u( j+1) − u( j) )
du
= i( j) + G( j) · (u( j+1) − u( j) )
( j+1)
i( j+1) = fG
(u) = i(u( j) ) +
= (i( j) − G( j) u( j) ) + G( j) u( j+1)
=
( j)
I0
(17)
(18)
(19)
( j) ( j+1)
+G u
(20)
Als Ersatzschltbild ergibt sich eine Parallelschaltung von einem Leitwert G( j) mit einer Strom( j)
quelle I0 :
i( j+1)
u( j+1)
G( j)
( j)
I0
Abbildung 9: Newton Ersatzschaltbild eines nichtlinearen Leitwertes
( j)
Für das Beispiel sind G( j) = 3u2( j) + 10 und I0 = u3( j) + 10u( j) − G( j) u( j) Nun ist das NewtonErsatznetzwerk in die Schaltung einzusetzen und iterativ zu berechnen, bis die Lösung gegen
einen Punkt konvergiert.
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R
( j)
G( j)
U0
I0
Abbildung 10: Beispielnetzwerk mit Newton-Ersatzschaltbild
Verallgemeinert man diese Betrachtungen auf eine beliebige Anzahl von nichtlinearen Bauelementen in einem Netzwerk, so stellt man fest, daß die Vorgehensweise genau dieselbe ist wie
mit einem nichtlinearen Bauelement. Durch die Linearisierung der nichtlinearen Bauelemente in
jedem Iterationsschritt, ergibt sich immer für das Restnetzwerk auch ein lineares Verhalten, welches sich allerdings immer in jedem Iterationsschritt etwas verändert (die Restnetzwerkgerade
bekommt eine etwas größere oder kleinere Steigung).
2.4 Numerische Integrationsverfahren
Zur Lösung dynamischer Netzwerkprobleme, wie bei einer Transientanalyse eines Netzwerkes mit Kapazitäten und Induktivitäten, entstehen im allgemeinen Fall Differentialgleichungssysteme. Als geeignete Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen haben sich Einschritt- und
Mehrschritt-Integrationsverfahren erwiesen. Mehrschrittverfahren sind Integrationsverfahren, bei
denen die Lösung von vorhergehenden Zeitpunkten benutzt werden. Bei einer numerischen Integration wird die Lösung x(t) im interessierenden Zeitintervall [0, T ] nur zu diskreten Zeitpunkten
tn betrachtet, wobei gilt:
tn+1 = tn + h mit n = 0, 1, 2...
(21)
Die Größe h wird dabei als Schrittweite bezeichnet.
Allgemein gilt für numerische Integrationsverfahren die Gleichung
xn+1 =
p
X
i=0
ai xn−i + h
p
X
bi ẋn−i
(22)
i=−1
wobei xn die diskretisierte Funktion von x(t) ist, welche integriert werden soll. ai und bi sind
frei wählbare Koeffizienten. Setzt man p = 0 so erhält man ein Einschrittverfahren. Desweiteren
unterscheidet man zwischen expliziten Verfahren, bei denen b−1 = 0 ist und implizite Verfahren,
bei denen b−1 , 0 und damit nicht explizit nach xn+1 umstellbar ist. Das einfachste explizite
Integrationsverfahren (Einschrittverfahren p = 0) ist die explizite Eulerintegration (Forward
Euler) mit a0 = 1, b−1 = 0 und b0 = 1. Eingesetzt in Gleichung 22 ergibt sich
xn+1 = xn + h ẋn
(23)
Der Vorteil des expliziten Euler-Algorithmus ist seine Einfachheit. Leider hat der Algorithmus
schlechte Stabilitätseigenschaften, so daß er in der Praxis höchstens mit impliziten Verfahren
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2
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
gemischt eingesetzt werden kann (siehe [4] und [5]). Einfache implizite Einschrittverfahren sind
die Implizite Euler-Integration (Backward-Euler) mit a0 = 1, b−1 = 1 und b0 = 0:
xn+1 = xn + h ẋn+1
(24)
oder die Trapezregel (Trapezoidal Algorithm) mit a0 = 1, b−1 = 1/2 und b0 = 1/2:
h
xn+1 = xn + ( ẋn+1 + ẋn )
2
(25)
Diese beiden Verfahren werden in Simulatoren häufig eingesetzt, da sie gute Stabilitätseigenschaften besitzen [5].
Beispiel 5. Gegeben ist ein RC-Tiefpaß
R
u0
uc
C
Abbildung 11: RC-Tiefpaß
mit der Differentialgleichung:
u̇c +
1
1
uc =
u0
RC
RC
1
(u0 − uc )
u̇c =
RC
Bei Anwendung des impliziten Euler-Verfahren ergibt sich folgender Ausdruck
(n+1)
u(n+1)
= u(n)
c
c + h · u̇c
h (n+1)
= u(n)
(u
− u(n+1)
)
c +
c
RC 0
Auflösen nach uc(n+1) ergibt
u(n+1)
=
c
u(n)
c +
h
RC
1+
· u(n+1)
0
h
RC
Da die Eingangsspannung u0 bekannt ist, kann die Ausgangsspannung uc nun in jeden Schritt
bei vorgegebener Schrittweite bestimmt werden.
2.4.1 Das Companion Modell
Die Anwendung der Integrationsverfahren vereinfacht sich, wenn zur Lösung der Differentialgleichungen die dynamischen Element (Kapazitäten und Induktivitäten) wieder ein Ersatzschaltbild benutzt wird. Die Idee ist die gleiche wie beim Newton-Raphson-Verfahren, somit läßt sich
das Ersatzschaltbild für die dynamischen Elemente sehr leicht herleiten.
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2
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
Beispiel 6. Als Beispiel soll das Ersatzschaltbild für eine lineare Kapazität mit der impliziten
Euler-Integration hergeleitet werden. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an
einer Kapazität ist
1
ic = C u̇c bzw. u̇c = ic
C
Setzt man nun die Gleichung für das impliziten Euler-Verfahren an, so ergibt sich
(n+1)
= u(n)
u(n+1)
c + h · u̇c
c
1 (n+1)
= u(n)
i
c +h·
C c
liefert
Umstellen nach i(n+1)
c
i(n+1)
=
c
C (n+1) C (n)
u
− uc
h c
h
(26)
Die Gleichung 26 läßt sich wieder in ein Netzwerk interpretieren, zu einer Parallelschaltung von
Leitwert G und Stromquelle I0(n)
G=
C
h
und
I0(n) =
C (n)
u
h c
i(n+1)
I0(n) =
u(n+1)
G=
C (n)
h uc
C
h
Abbildung 12: Companion Modell einer linearen Kapazität für die implizite Euler-Integration
Setzt man für die Kapazität in Abbildung 11 ein so ergibt sich folgendes Netzwerk:
R
v(n+1)
1
u0
G(n)
0 =
v(n+1)
2
C
h
I0(n) =
C
h
· v(n)
2
Abbildung 13: RC-Tiefpaß mit Companion-Modell
Wird für das Netzwerk das MNA-Gleichungssystem aufgestellt, so führt dies zu einem iterativen
Gleichungssystem, welches so lange iterativ gelöst werden muß, bis die Simlationszeit t s = n · h
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2
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Informationselektronisches Praktikum
erreicht ist.

 
  
 G1
  0 
−G1
1 v(n+1)
1
−G G + G(n) 0 · v(n+1)  = I (n) 
1
 1
  2   0 
0
1
0
0
u0
i(n+1)
u0
(27)
C (n)
C
wobei G(n)
0 = h und I0 = h v2 ist. Nach der Integration mit den Werten R = 10 Ω und C = 1 mF,
die Spannung u0 = 1 V mit der Anfangsbedingung v(0)
2 = 0 V und der Simulationszeit t s = 0.1 s
bei einer Schrittweite von h = 0.001 ergibt sich die Spannung über der Kapazität zu:
Spannung in V
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
20
40
60
80
100
Schritt n
Abbildung 14: RC-Tiefpaß Spannungsverlauf
2.4.2 Transientanalyse
Die Transientanalyse ist gegenüber AC- und DC Analyse wesentlich aufwendiger. Der Lösungsprozeß welcher in SPICE zur Lösung im Zeitbereich implementiert ist, ist in Abbildung 15 dargestellt. Grundsätzlich berechnet das Programm zuerst einen stabilen Arbeitspunkt. Die Berechnung beginnt mit Start- oder Initialwerten für den Arbeitspunkt, danach erfolgt ein Iterationsprozeß zur Lösung der nichtlinearen DC-Gleichungen. Dieser iterative Prozeß ist die innere Schleife
in Abbildung 15. Er wird für jeden Zeitpunkt wiedeholt, bei dem die Netzwerkgleichungen für
die Transientanalyse gelöst werden. Die Zeitbereichslösung repräsentiert die äußere Schleife
von Abbildung 15. Hier werden die Methoden zur numerischen Integration angewendet, welche
die nichtlinearen Differentialgleichungen in nichtlineare algebraische Gleichungen überführen.
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3
PRAKTIKUMSVORBEREITUNG
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Initialwerte oder Arbeitspunkt
Linearisierung der Elemente
im Arbeitspunkt
Zeitdiskretisierung
der
Diffenrentialgleichung
Laden der linearisierten Elemente
in die Systemmatrix
Neuer
Arbeitspunkt
Lösen der linearen Gleichungen
nein
Konvergenz?
nein
ja
Inkrementiere Zeit
ja
Ende des Zeitintervalls?
Ende
Abbildung 15: Flußdiagramm zur Transientanalyse
3 Praktikumsvorbereitung
Die Praktikumsvorbereitungsaufgabe dient zur Einarbeitung in die Thematik und soll vollständig zu Praktikumsbeginn vorliegen! Zur Lösung aller Aufgaben kann/soll vorzugsweise
Mathematicar oder MATLABr benutzt werden.
1.) Zeigen Sie, daß das Newton-Raphson-Verfahren, bei Anwendung auf ein System von linear unabhängigen Gleichungen,
Ax − b = 0
(28)
unabhängig von der Startbedingung, exakt in einem Schritt konvergiert.
2.) Leiten Sie das „Companion-Modell“ für eine lineare Kapazität bei Integration mit der
Trapezregel her.
3.) Gegeben ist folgende Schaltung:
1
O
R
U0
2
O
1N4148
Abbildung 16: einfache Diodenschaltung
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4
PRAKTIKUMSDURCHFÜHRUNG
Informationselektronisches Praktikum
Stellen Sie die MNA-Matrix auf und lösen Sie das Gleichungssystem mit dem NewtonRaphson-Verfahren (Beachte: Verwenden Sie die Leitwertformulierung beim Aufstellen
der Matrix, um die Zeilen und Spaltenzahl gering zu halten). Benutzen Sie dabei das
Newton-Ersatzschaltbild für eine Diode.
Dabei ist folgende Diodengleichung vorgegeben:
UD
ID = IS · e n·UT
mit
UT = 26 mV
IS = 2.52 nA
n = 1.752
Weiterhin sind folgende Werte für die Schaltung gegeben:
R = 500 Ω
U0 = 1 V
4.) Simulieren Sie die einfache Diodenschaltung aus Abbildung 16 mit LTSpice und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse.
4 Praktikumsdurchführung
1.) Zeichnen Sie den folgenden Diodengleichrichter in LTSpice und führen Sie eine Arbeitspunktanalyse und eine Tansientsimulation durch. Simulieren Sie die ersten 40 ms.
1
O
3
O
U0
2
O
C
R
Uaus
Abbildung 17: Brückengleichrichter
Folgende Daten für den Brückengleichrichter sind gegeben:
U0tran = 5 V · sin (2π · 50 · t)
U0DC = 5 V
Spannung für Transientsimulation
Spannung zur Arbeitspunkteinstellung
R = 100 Ω
C = 220 µF
Verwenden Sie als Dioden wieder die Modelle 1N4148.
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Literatur
Informationselektronisches Praktikum
2.) Stellen Sie die MNA-Matrix für den Brückengleichrichter auf. Benutzen Sie für die Dioden das Newton-Ersatzschaltbild, sowie die Gleichung und Werte aus der Praktikumsvorbereitung. Bestimmen Sie iterativ den Arbeitspunkt des Gleichrichters mit Mathematica
oder MATLAB.
3.) Verändern Sie die MNA-Matrix und Ihr Programm so, daß Sie das Transientverhalten der
Schaltung für die Ausgangsspannung uaus für 40 ms bestimmen können bei gegebener
sinusförmiger Anregung. Benutzen Sie dabei Abbildung 15.
4.) Zeichnen Sie die Ausgangsspannung des Transientverlaufes in Mathematica bzw. MATLAB und vergleichen Sie dies mit der LTSpice-Simulation.
Literatur
[1]
Chua, Lin: Computer Aided Analysis of Electronic Circuits. Prentice Hall, 1975
[2]
Ogrodzki: Circuit Simulation Methods and Algorithms. CRC Press, 1994
[3]
Vlach: Computer Methods for Circuit Analysis and Design. Kluwer, 1983
[4]
Horneber: Simulation elektrischer Schaltungen auf dem Rechner. Springer Verlag, 1994
[5]
R.Sommer: Vorlesung: Rechnergestützte Entwurfsmethodik (EDA) für Analog/Mixed-Signal-Schaltungen
[6]
Schwarz: Numerische Mathematik. Teubner Verlag, 1997
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