Blatt 4 als pdf - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Dipl. Math. Rafael Dahmen
SoSe 11
06.05.2011
4. Übungsblatt zur
Differentialgeometrie“
”
Gruppenübung
Aufgabe G7 (Der Tangentialraum an die Sphäre)
Sei M := Sn die n-dimensionale Sphäre, aufgefasst als Untermannigfaltigkeit des Rn+1
und sei a ∈ M ein Punkt. Zeigen Sie, dass der Untermannigfaltigkeitstangentialraum
von M an der Stelle a gegeben ist durch:
y ∈ Rn+1 : y ⊥ a .
Aufgabe G8 (Étale Abbildungen)
(a) Zeigen Sie, dass f : R −→ S1 ⊆ C : t 7→ e2πit eine glatte étale Abbildung ist.
(b) Für j ∈ {1, . . . , n + 1} setzen wir: Ωj := v ∈ Rn+1 : vj 6= 0 . Zeigen Sie, dass die
Abbildung
Γj : Ωj −→ Ωj
v
vj+1
vn+1
(v1 , . . . , vn+1 ) 7−→ ( vv1j , . . . , j−1
vj , vj , vj , . . . , vj )
ein C ∞ -Diffeomorphismus und dass
pj : Ωj −→ Rn
(w1 , . . . , wn+1 ) 7−→ (w1 , . . . , wj−1 , wj+1 , . . . , wn+1 )
eine glatte Submersion ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Abbildung
Φ : Rn+1 \ {0} −→ P (Rn+1 )
v 7−→ Rv
eine glatte Submersion ist. (Hinweis: Schreiben Sie Φ|Ωj als Verkettung von Diffeomorphismen und einer Submersion.)
(d) Zeigen Sie, dass die Abbildung
Ψ : Sn −→ P (Rn+1 )
v 7−→ Rv
eine surjektive glatte étale Abbildung ist.
Hausübung
Aufgabe H7 (Der n-dimensionale Torus)
Die Menge Rn /Zn := {a + Zn : a ∈ Rn } sei versehen mit der Quotiententopologie (finalen Topologie) bezüglich der Abbildung
q : Rn −→ Rn /Zn
a 7−→ a + Zn .
(a) Zeigen Sie, dass q : Rn −→ Rn /Zn eine offene Abbildung ist.
(b) Zeigen Sie, dass Rn /Zn eine topologische Mannigfaltigkeit ist.
(c) Zeigen Sei, dass es eine eindeutige C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur auf Rn /Zn gibt,
sodass q : Rn −→ Rn /Zn ein lokaler C ∞ -Diffeomorphismus (also eine glatte étale
Abbildung) wird.
(d) Zeigen Sie, dass Rn /Zn diffeomorph ist zu (R/Z)n und zu (S1 )n .
(e) Sei f := q|[0,1]n die Einschränkung der Abbildung q auf den abgeschlossenen ndimensionalen Einheitswürfel. Zeigen Sie am Beispiel von f : [0, 1]n −→ Rn /Zn ,
dass eine Quotientenabbildung im Allgemeinen nicht offen sein muss.
Anmerkung: Der Raum Rn /Zn ∼
= (S1 )n heißt n-dimensionaler Torus. Der Fall
= (R/Z)n ∼
n = 2 ist besonders interessant und soll jetzt untersucht werden:
Aufgabe H8 (Der zweidimensionale Torus als Untermannigfaltigkeit des R3 )
Ziel dieser Aufgabe ist es, die abstrakte Mannigfaltigkeit R2 /Z2 als Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen Raumes zu realisieren. Wir werden hierbei wenn es gerade
sinnvoll erscheint den Raum C mit dem Raum R2 identifizieren.
Gegeben: r, R ∈ R mit 0 < r < R.
Φ : R2 −→ C
×R
(s, t) 7−→ R + r cos(2πs) e2πit , r sin(2πs) .
Wir setzen T := Φ(R2 ) ⊆ C × R ∼
= R3 .
(a) Geben Sie die Abbildung Φ : R2 −→ R3 explizit ohne Verwendung von komplexen Zahlen an. (Falls möglich versuchen Sie sich vorzustellen, dass das Bild der
Abbildung wirklich die Oberfläche eines “Donuts” ist.)
(b) Zeigen Sie, dass Φ : R2 −→ R3 eine glatte Immersion ist.
(c) Zeigen Sie, dass T ⊆ (C\ {0}) × R.
z
, |z|
. Geben Sie eine einfache
(d) Setze Ψ : (C\ {0}) × R −→ C × C : (z, w) 7→ |z|+iw−R
r
Formel für Ψ ◦ Φ(s, t) an.
(e) Zeigen Sie, dass genau dann Φ(s, t) = Φ(s′ , t′ ) gilt, wenn (s, t) − (s′ , t′ ) ∈ Z2 gilt.
e : R2 /Z2 −→ T gibt mit Φ = Φ
e ◦q
(f) Folgern Sie, dass es einen Homöomorphismus Φ
(mit der Notation aus Aufgabe (H7)).
(g) Zeigen Sie, dass T eine Untermannigfaltigkeit von R3 ist und dass bezüglich dieser
e ein C ∞ -Diffeomorphismus ist.
Mannigfaltigkeitsstruktur die Abbildung Φ