Differentialgeometrie

Differentialgeometrie - Kurzskript
Inhaltsverzeichnis
1 Glatte Mannigfaltigkeiten
2
2 Tangentialbündel
3
3 Untermannigfaltigkeiten
8
4 Tensoren und Tensorfelder
9
5 Zusammenhänge und Geodätische auf Semi-Riemannschen Mannigfaltikgeiten
11
5.1
Vektorfelder entlang Kurven und Parallelverschiebung . . . . . .
14
5.2
Geodätische und Exponentialabbildung
. . . . . . . . . . . . . .
15
5.3
Exkurs in die Theorie der Matrix-Liegruppen . . . . . . . . . . .
18
5.4
Geodätische auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . .
18
6 Der Riemannsche Krümmungstensor
1
20
1
Glatte Mannigfaltigkeiten
Definition 1.1. Sei U ⊂ Rn offen, ξ : U → V ⊂ Rn ein Homöomorphismus.
Dann heißt ξ Karte oder Koordinatensystem und mit ξ(p) = (x1 (p), . . . , xn (p))
heißen die xi : U → R Koordinatenfunktionen.
Bemerkung:
Natürliche Koordinatenfunktionen: xi (p1 , . . . , pn ) = pi
Definition 1.2. (Topologie)
Sei X eine Menge und O sei eine Kollektion von Teilmengen von X. Weiter
gelten:
(T1) ∅, X ∈ O
(T2) falls U, V ∈ O ⇒ U ∩ V ∈ O
(T3) für eine beliebige Indexmenge I mit Ui ∈ O ∀i ∈ I: ∪i∈I Ui ∈ O
Dann sagt man:
(i) O definiert eine Topologie auf X, und (X, O) ist ein topologischer Raum
(ii) U ⊂ X heißt offen genau dann, wenn U ∈ O
(iii) A ⊂ X heißt abgeschlossen genau dann, wenn X\A ∈ O
Definition 1.3. (Stetigkeit)
Sind X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung, dann
(i) heißt f stetig, falls gilt
U ⊂ Y offen ⇒ f −1 (U ) ⊂ X offen.
(ii) f heißt Homöomorphismus, falls f bijektiv und f, f −1 stetig sind.
Beispiel 1.4. (induzierte Topologie/Teilraumtopologie)
Ist X ein topologischer Raum und S ⊂ X, dann wird S zu einem topologischen
Raum mit:
e ⊂ X offen, so dass U = S ∩ U
e.
U ⊂ S offen ⇔ ∃U
Definition 1.5. (Karte)
Sei X ein topologischer Raum. Ein Koordinatensystem oder auch eine Karte
auf X ist ein Homöomorphismus ξ : U → V , wobei U ⊂ S und V ⊂ Rn
offen sind. Mit ξ(p) = (x1 (p), . . . , xn (p))∀p ∈ U heißen die xi : U → R die
Koordinatenfunktionen und n heißt die Dimension der Karte ξ.
2
Definition 1.6. Sei X ein topologischer Raum und ξ : U ξ → V ξ , η : U η → V η
seien Karten in X. Dann haben die Karten glatten Überlapp, falls gilt: η ◦ ξ −1 :
ξ(U ξ ∩ U η ) → η(U ξ ∩ U η ) und ξ ◦ η −1 : η(U ξ ∩ U η ) → ξ(U ξ ∩ U η ) sind glatt.
Definition 1.7. (Atlas)
Sei X ein topologischer Raum. Ein glatter Atlas der Dimension n ist eine Kollektion A von Karten in X, so dass:
(i) ∀p ∈ S ∃U ⊂ S, p ∈ U offen mit einer Karte ξ : U → V aus A.
(ii) Je zwei Karten in A haben glatten Überlapp.
Definition 1.8. Ein vollständiger Altas auf einem topologischen Raum X ist
ein Atlas A, für den gilt: Jede Karte in X, die mit allen Karten aus A glatten
Überlapp hat, gehört schon zu A.
Lemma 1.9. Sei X ein topologischer Raum. Zu jedem Altas A für X gibt
es einen eindeutig bestimmten vollständigen Atlas Â, der alle Karten aus A
enthält.
Definition 1.10. (Mannigfaltigkeit)
Eine (glatte) Mannigfaltigkeit (M, A) der Dimension n ist ein topologischer
Hausdorffraum M zusammen mit einem vollständigen, (glatten) Atlas A der Dimension n. (Häufig wird zusätzlich gefordert, dass die Topologie eine abzählbare
Basis hat.)
Bemerkung 1.11. Die aus der Analysis bekannten Untermannigfaltigkeiten
von Rn sind Spezialfälle der glatten Mannigfaltigkeiten. Ist Umgekehrt M ⊂ Rn
eine Mannigfaltigkeit mit der induzierten Topologie auf M , dann ist M auch
eine Untermannigfaltigkeit.
2
Tangentialbündel
Definition 2.1. (glatte Abbildungen)
Eine Abbildung F : M → N zwischen zwei Mannigfaltigkeiten heißt glatt, falls
gilt: Für je zwei Karten ξ : U ξ ⊂ M → V ξ , η : U η ⊂ N → V η ist η ◦ F ◦ ξ −1 :
V ξ → V η eine glatte Abbildung.
Bemerkung 2.2.
- Die Komposition glatter Abbildungen ist wieder glatt
- Die Identität ist immer eine glatte Abbildung
- Jede glatte Abbildung ist stetig
3
- Ist A ein Atlas von M und sind für jede Karte ξ : U ξ → V η aus A glatte
Abbildungen Fξ : U ξ → N gewählt, so dass für alle Karten ξ, η ∈ A :
Fξ|Uξ ∩Uη = Fη|Uξ ∩Uη , dann gibt es genau eine glatte Abbildung F : M →
N , so dass F|Uξ = Fξ für alle Karten ξ.
Definition 2.3. Wir setzen F(M ) := {f : M → R glatt} mit der natürlichen
Struktur eines R-Vektorraums. Ein Tangentialvektor an M in p ∈ M ist eine
lineare Abbildung
v : F(M ) → R
die die Leibniz-Regel (Produktregel) erfüllt:
∀f, g ∈ F(M ) : v(f · g) = f (p) · v(g) + v(f ) · g(p).
Beispiel 2.4.
(i) M = R, t0 ∈ R, v : F(M ) → R, v(f ) := f 0 (t0 )
v ist ein Tangentialvektor an M in t0 .
(ii) M = Rn , p ∈ M, v : F(M ) → R, v(f ) :=
∂f
∂xi (p)
v ist ein Tangentialvektor an M in p.
(iii) Sei M eine beliebige Mannigfaltigkeit, p ∈ M, γ : (−, ) → M eine glatte
Kurve mit γ(0) = p.
vγ (f ) :=
d
f (γ(t))|t=0 = Dfp (γ̇(0)).
dt
Dies ist die Richtungsableitung von f entlang γ.
Definition 2.5. (Ableiten nach Koordinaten)
Sei ξ = (x1 , . . . , xn ), ξ : U ξ → V ξ ⊂ Rn ein Koordinatensystem von M , p ∈ U ξ .
Seien (u1 , . . . , un ) ⊂ V ξ die Koordinaten in V ξ . Dann definieren für f ∈ F(M ) :
∂
∂f
∂
(f ) = ∂i|p (f ) =
(p) :=
(f ◦ ξ −1 )(ξ(p))
∂xi |p
∂xi
∂ui
Tangentialvektoren ∂i|p an M in p.
Lemma 2.6. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. U ⊂ M offen, p ∈ U , dann
existiert eine Funktion f ∈ χ(M ), so dass
(1) f (p) = 0 ∀p ∈ M \U
(2) ∃V ⊂ U offen p ∈ V , so dass f (q) = 1 ∀q ∈ V
(3) f (q) ∈ [0, 1] ∀q ∈ M
Lemma 2.7. (Tangentialvektoren sind lokale Objekte)
Sei v ein Tangentialvektor an M in p.
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(i) Seien f, g ∈ F(M ), so dass in einer offenen Umgebung U von p: f (q) = g(q)
∀q ∈ U , dann ist v(f ) = v(g).
(ii) Ist f ∈ F(M ) in der Nähe von p überall konstant, dann folgt v(f ) = 0.
Definition 2.8. (Tangentialraum)
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, p ∈ M , dann sei
Tp M := {v : F(M ) → R | v ist Tangentialvektor an M in p}
versehen mit der natürlichen Vektorraumstruktur. Tp M heißt Tangentialraum
an M in p.
Theorem 2.9. Ist ξ : U → V eine Karte von M , p ∈ U , dann bilden die
∂i|p , i ∈ {1, . . . , n} eine Basis von Tp M . Für ξ(q) = (x1 (q), . . . , xn (q)) gilt
∂i|p (xj ) = δij .
Insbesondere gilt dim Tp M = n = dim M .
Bemerkung 2.10. Def 2.3 + Thm 2.9 Tangentialvektoren in p = Richtungsableitungen entlang Kurven durch p
Definition 2.11. Ist F : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten
Mannigfaltigkeiten und p ∈ M , dann heißt die Abbildung
DFp : Tp M → TF (p) N, mit DFp (v)(g) = v(g ◦ F ), v ∈ Tp M, g ∈ F(N )
Differential von F in p.
Lemma 2.12. (Differential in Koordinaten)
Ist F : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten,
p ∈ M und sind ξ : U ξ ⊂ M → V ξ , p ∈ U ξ und η : U η ⊂ N → V η , F (p) ∈ U η
Karten von M und N , ξ = (x1 , . . . , xn ), η = (y1 , . . . , ym ). Dann gilt:
DFp
∂
∂xi|p
=
m
X
∂(yj ◦ F )
∂
(p) ·
∂xi
∂yj|F (p)
j=1
Lemma 2.13. (Kettenregel für Differentiale)
Sind F : M → N, G : N → P glatte Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten, dann gilt ∀p ∈ M :
D(G ◦ F )p = DGF (p) ◦ DFp
Theorem 2.14. Sei F : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten, dann gilt:
DFp : Tp M → TF (p) N ist ein Isomorphismus genau dann, wenn eine offene
Umgebung U ⊂ M von p existiert, so dass F|U : U → F (U ) ⊂ N ein Diffeomorphismus ist.
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Bemerkung 2.15. (Satz von Whitney, 1936)
Ist M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n mit abzählbarer Basis der
Topologie, dann gibt es eine injektive Immersion: ι : M → R2n . (ι sollte vermutlich eine Einbettung sein.)
Definition 2.16. (Vektorfeld)
1. Ein Vektorfeld V auf M ist eine Abbildung, die jedem p ∈ M ein vp ∈ Tp M
zuordnet.
2. Ein glattes Vektorfeld auf M ist ein Vektorfeld V , für das gilt:
∀f ∈ F(M ) : V (f ) = V f ∈ F(M )
wobei (V f )(p) = Vp (f ). Die Menge aller glatten Vektorfelder auf M wird
mit χ(M ) bezeichnet.
Proposition 2.17. χ(M ) hat folgende Eigenschaften:
1. χ(M ) ist ein F(M )-Modul
2. Für jede Karte ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → V gilt:
X ∈ χ(M ) ⇒ X|U =
n
X
v i ∂i
i=1
mit vi = X|U (xi ) ∈ F(U ), ∀i = 1, . . . , n.
Bemerkung 2.18.
T M :=
[
Tp M
p∈M
trägt die Struktur eins glatten Vektorbündels vom Rang n = dim M über M
(siehe folgende Definition).
Definition 2.19. (Vektorbündel)
Eine glatte Mannigfaltigkeit E heißt Vektorbündel vom Rang k über der Mannigfaltigkeit M , falls dim E = k + dim M und E mit einer Bündelprojektion
π : E → M ausgestattet ist, das heißt π ist glatt und es gilt:
(i) ∀p ∈ M : Ep := π −1 (p) ist ein k-dimensionaler reeller Vektorraum.
(ii) es existieren lokale Trivialisierungen: ∀p ∈ M : ∃U ⊂ M offen mit p ∈ U ,
so dass ein Diffeomorphismus ϕ : π −1 (U ) → U × Rk existiert für den gilt:
∀q ∈ U ∀v ∈ Eq : ϕ−1 (q, v) definiert einen Vektorraum Isomorphismus
Eq → {q} × Rk .
Die Vektorräume Eq heißen Fasern von E. Ein glatter Schnitt von E ist eine
glatte Abbildung s : M → E mit π ◦ s = idM .
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Bemerkung 2.20. Glatte Vektorfelder stehen in 1 zu 1 Korrespondenz (F(M )Modul Isomorphismus) zu den Derivationen Der(M ) auf M , wobei:
D ∈ Der(M ) ⇔ D : F(M ) → F(M ) ist linear und erfüllt die Leibniz-Regel.
Definition 2.21.
TM =
[
Tp M mit π : T M → M, π|Tp M = p ∈ M,
p∈M
mit der natürlichen Struktur eines glatten Vektorbündels über M heißt Tangentialbündel von M .
T ∗M =
[
Tp∗ M mit Tp∗ M = (Tp M )∗ , π|Tp∗ M = p ∈ M,
p∈M
mit der natürlichen Struktur eines glatten Vektorbündels über M heißt Kotangentialbündel über M .
Die glatten Schnitte von T ∗ M heißen (glatte) 1-Formen auf M , und der F(M )Modul der glatten 1-Formen auf M wird mit χ∗ (M ) bezeichnet.
Eine glatte 1-Form auf M ist also eine Abbildung ϑ, die jedem p ∈ M ein
ϑp ∈ Tp∗ M = Hom(Tp M, R) zuordnet, so dass ∀V ∈ χ(M ) :
ϑ(V ) ∈ F(M )
((ϑ(V ))(p) = ϑp (Vp ) ∈ R)
Definition 2.22. Das Differential df von f ∈ F(M ) ist definiert durch df ∈
χ∗ (M ),
df (V ) = V f ∈ F(M ) ∀V ∈ χ(M )
((dfp (V ))(p) = Vp (f ) ∈ R).
Bemerkung 2.23.
1. d : F(M ) → χ∗ (M ) ist R-lineare Abbildung
2. ∀f, g ∈ F(M ) : d(f · g) = f dg + gdf
3. ∀f ∈ F(M ), h ∈ F(R) : d(h ◦ f ) = (h0 ◦ f )df
P ∂f
4. lokal: df|p =
∂xi (p)dxi|p
Proposition 2.24. (Differential/Push-forward von Vektorfeldern)
Sei F : M → N ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten.
Dann gilt:
1. Es existiert eine Abbildung DF : χ(M ) → χ(N ) Diese ist gegeben durch
(DF (V ))(q) = (DF (V ))q = DFp (Vp ) ∀q = F (p), p ∈ M
Also: (DF (V ))(q)(f ) = Vp (f ◦ F ).
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2. ∀V ∈ χ(M ), W ∈ χ(N ) gilt
W = DF (V ) ⇔ ∀g ∈ F(N ) : (W g) ◦ F = V (g ◦ F ) ∈ F(M )
Definition 2.25. Ist F : M → N eine glatte Abbildung (muss kein Diffeomorphismus sein) zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und V ∈ χ(M ), W ∈ χ(N ),
dann heißen V und W F-verwandt, falls gilt:
DF (V ) = W, also DFp (Vp ) = WF (p) ∈ TF (p) N ∀p ∈ M.
3
Untermannigfaltigkeiten
Definition 3.1. (Untermannigfaltigkeit)
Seien P und M glatte Mannigfaltigkeiten mit P ⊂ M . Sei ι : P → M die
Inklusionsabbildung, dann heißt P ⊂ M Untermannigfaltigkeit von M , falls
gilt:
1. P trägt die induzierte Topologie (Teilraumtopologie)
2. ι ist eine Immersion, das heißt ι ist glatt und Dιp ist für alle p ∈ P injektiv.
Definition 3.2. (Angepasste Koordinaten)
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und P ⊂ M . Dann heißt eine Karte ξ =
(x1 , . . . , xn ) : U ξ → V ξ von M angepasst an P , falls P ∩ U ξ durch Null-setzen
von n − m der xi entsteht: P ∩ U ξ = {p ∈ U ξ | xi (p) = 0 ∀i ∈ I}, wobei
I ⊂ {1, . . . , n} mit |I| = n − m.
Proposition 3.3. Ist P ⊂ M eine glatte Untermannigfaltigkeit von M , dann
gilt: Um jedes p ∈ P existiert ein an P angepasstes Koordinatensystem von M .
Theorem 3.4. Ist M eine glatte Mannigfaltigkeit und P ⊂ M eine Teilmenge,
dann gilt: P trägt die Struktur einer glatten Untermannigfaltigkeit genau dann,
wenn um jedes p ∈ P ein angepasstes Koordinatensystem von M existiert.
Korollar 3.5. (Satz vom regulären Wert)
Sei F : M m → N n eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten
und p ∈ N , so dass gilt ∀p ∈ P := F −1 (q) ist DFp : Tp M → Tq N surjektiv.
Dann ist P ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit.
Beispiel 3.6.
Definition 3.7. (Regulärer Wert)
Ist F : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und
q ∈ N , so dass
∀p ∈ F −1 (q) DFp : Tp M → Tq N surjektiv ist,
dann heißt q regulärer Wert von F .
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Korollar 3.8. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und P ⊂ M eine Teilmenge
1. P trägt höchstens eine Struktur einer glatten Untermannigfaltigkeit von
M.
2. Ist P ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit und F : N → M eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten so gilt: Falls F (N ) ⊂ P , dann
ist auch F : N → P glatt.
4
Tensoren und Tensorfelder
Definition 4.1. Ist V ein K-Vektorraum, dann heißt eine Abbildung
A : (V ∗ )r × V s → K
Tensor vom Typ (r, s), falls die Abbildung in jeder der r + s Komponenten
linear ist. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Ein (glattes) Tensorfeld vom Typ
(r, s) ist eine Abbildung
A : χ∗ (M )r × χ(M )s → F(M ),
die in jeder der r + s Einträge F(M )-linear ist.
Tsr (M ) := {Tensorfelder vom Typ (r, s) auf M }
0
r+r
Definition 4.2. Sei A ∈ Tsr (M ), B ∈ Tsr0 (M ). Man definiert A ⊗ B ∈ Ts+s
0
durch
A ⊗ B(ϕ1 , . . . , ϕr , ϕ01 , . . . ϕ0r0 , v1 , . . . , vs , v10 , . . . vs0 0 )
0
= A(ϕ1 , . . . , ϕr , v1 , . . . , vs ) · B(ϕ01 , . . . ϕ0r0 , v10 , . . . vs0 0 )
Lemma 4.3. Falls A ∈ Tsr (M ), ϑ1 , . . . , ϑr ∈ χ∗ (M ), v1 , . . . , vs ∈ χ(M ) und
ϑi (p) = 0 oder vj (p) = 0,
für ein i oder j, dann gilt:
A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs )(p) = 0.
Beweis. Seien (x1 , . . . , xn ) Koordinaten auf U ⊂ M . Sei f ∈ F(M ), mit f (p) =
1, f (M \U ) = 0. Sei oBdA v1 (p) = 0.
X
v1|U =
αi ∂/∂i
f 2 v1|U =
X
(f · αi )(f · ∂/∂i )
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ist ∈ χ(M ) da es außerhalb von U durch 0 fortgesetzt werden kann.
A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs )(p) = (f 2 · A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs ))(p)
X
= A ϑ1 , . . . , ϑ r ,
(f · αi )(f · ∂/∂i ), . . . , vs (p)
X
=
(f · αi ) · A(ϑ1 , . . . , ϑr , (f · ∂/∂i ), . . . , vs ) (p)
X
=
αi (p) · A(ϑ1 , . . . , ϑr , (f · ∂/∂i ), . . . , vs )(p)
= 0, da ∀i : αi (p) = 0
Proposition 4.4. Falls A ∈ Tsr (M ),
f1 , . . . , ϑ
fr ∈ χ∗ (M ),
ϑ1 , . . . , ϑ r , ϑ
v1 , . . . , vs , ve1 , . . . , ves ∈ χ(M ),
p ∈ M , so dass ϑi (p) = ϑei (p), vj (p) = vej (p) ∀i, j, dann gilt:
f1 , . . . , ϑ
fr , ve1 , . . . , ves )(p)
A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs )(p) = A(ϑ
Beweis. Folgt aus Lemma 4.3
Folgerung 4.5. Falls A ∈ Tsr (M ), dann induziert A in jedem p ∈ M eine
r + s-lineare Abbildung
Ap : (Tp∗ M )r × (Tp M )s → R.
Lemma 4.6. Ist A ∈ Tsr (M ) und ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → V eine Karte auf M ,
r
dann sei Aij11,...,i
,...,js := A|U (dxi1 , . . . , dxir , ∂j1 , . . . , ∂js ) und es gilt
X
A|U =
r
Aij11,...,i
,...,js ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs
i1 ,...,ir ,j1 ,...js
Lemma 4.7. (Basiswechsel für (Ko-)Vektorfelder)
Für Karten ξ = (x1 , . . . , xn ) : U ξ → V ξ , η : (y1 , . . . , yn ) : U η → V η von M gilt
auf U = U ξ ∩ U η :
X
∂
∂
=
aji
∂yj
∂xi
i
P
P
P 0
∂
0
ej ∂y∂ j , wobei vej =
∀v ∈ χ(U ) : v =
jv
k akj vk mit (aij ) =
i vi ∂xi =
(aij )−1 .
dyj =
X
a0ji dxi
i
∀ϑ ∈ χ∗ (U ) : ϑ =
P
P e
P
e
i ϑi dxi =
j ϑj dyj , ϑj =
l alj ϑl
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EIGENER KOMMENTAR (siehe Übungsaufgabe 13):
X ∂xi ∂
∂
=
∂yj
∂yj ∂xi
i
dyj =
X ∂yj
i
∂xi
dxi
Definition 4.8. (metrischer Tensor)
Ein metrischer Tensor g auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist ein Tensorfeld
g ∈ T20 (M ), so dass ∀p ∈ M gilt:
gp : Tp M × Tp M → R
ist symmetrische, nicht degenerierte Bilinearform, die für alle p ∈ M denselben
Index r hat.
Index r bedeutet ∀p ∈ M gibt es eine Basis e1 , . . . , en ∈ Tp M mit
gp (ei , ej ) = i δij ,
mit 1 , . . . , n−r = 1, n−r+1 , . . . , n = −1.
⇒ positiv definit ist äquivalent zu Index r = 0.
Proposition 4.9. Ist M eine glatte Mannigfaltigkeit mit metrischem Tensor
g, dann gibt es einen natürlichen F(M )-linearen Isomorphismus von χ(M ) →
χ∗ (M ), X 7→ X ∗ , so dass ∀X, Y ∈ χ(M ) : X ∗ (Y ) = g(X, Y ).
Definition 4.10. Eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist eine glatte Mannigfaltigkeit M mit metrischem Tensor g. Ist der Index von g: r = 0, dann
heißt (M, g) Riemannsch, ist r = 1 dann heißt (M, g) Lorentzsch
Definition 4.11. Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und P ⊂
M eine glatte Untermannigfaltigkeit. Sei ι : P ,→ M die Inklusion. Wir definieren ι∗ g ∈ T20 (P ) durch
ι∗ g(X, Y ) := g(Dι(X), Dι(Y )).
Falls ι∗ g ein Tensor auf P ist, so heißt P semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeit von M .
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Zusammenhänge und Geodätische auf SemiRiemannschen Mannigfaltikgeiten
Definition 5.1. Für M eine glatte Mannigfaltigkeit, X, Y ∈ χ(M ) heißt
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X ∈ χ(M )
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die Lie-Klammer von X und Y . (X ◦ Y (f )(p) = Xp Y (f ))
Proposition 5.2. Die Lie-Klammer [·, ·] : χ(M ) × χ(M ) → χ(M ) hat folgende
Eigenschaften:
1. [·, ·] ist R-linear in beiden Komponenten
2. [·, ·] ist antisymmetrisch, also [X, Y ] = −[Y, X]
3. Die Jacobi-Identität gilt: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
Definition 5.3. Ein Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist
eine Abbildung
D : χ(M ) × χ(M ) → χ(M )
(X, Y ) 7→ DX Y,
so dass
(D1) ∀Y : X 7→ DX Y ist F(M )-linear
(D2) ∀X : Y 7→ DX Y ist R-linear
(D3) Es gilt die Leibnizregel, also für f ∈ F(M) : DX (f Y ) = X(f )·Y +f ·DX Y
DX Y wird auch als Kovariante Ableitung von Y in Richtung X bezeichnet.
Proposition 5.4. Sei D ein Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit
M . Dann definiert
T : χ(M ) × χ(M ) → χ(M )
(X, Y ) 7→ [X, Y ] − DX Y + DY X
eine F(M )-lineare Abbildung.
Definition 5.5. Sei D ein Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit
M . Dann heißt
T : χ(M ) × χ(M ) → χ(M )
(X, Y ) 7→ [X, Y ] − DX Y + DY X
der Torsionstensor zum Zusammenhang D.
Theorem 5.6. Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann existiert genau ein Zusammenhang D : χ(M ) × χ(M ) → χ(M ), der die folgenden
Zusatzbedingungen erfüllt:
(D4) Torsionsfreiheit: ∀X, Y : [X, Y ] = DX Y − DY X
(D5) D ist metrisch: ∀X, Y, W : X(hV, W i) = hDX V, W i + hV, DX W i
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Erfüllt D die Axiome (D1)-(D5), dann gilt die Koszul -Formel: ∀X, Y, W :
2hDV W, Xi = V hW, Xi + W hV, Xi − XhV, W i
+ h[V, W ], Xi − h[V, X], W i − h[W, X], V i.
Definition 5.7. (Levi-Civita Zusammenhang)
Ist (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann heißt der eindeutig
bestimmte torsionsfreie und mit der Metrik verträgliche Zusammenhang D der
Levi-Civita Zusammenhang.
Notation: ∇V W = DV W
Definition 5.8. (Christoffel-Symbole)
Auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) sind die Christoffel -Symbole
gegeben durch Γkij ∈ F(M ) mit
∇∂i ∂j =
n
X
Γkij ∂k
k=1
Proposition 5.9. Ist ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → V eine Karte auf einer semiRiemannschen Mannigfaltigkeit, dann gilt für den Levi-Civita Zusammenhang
∇:
1. Für W =
P
j
wj ∂j ∈ χ(M ):

X
∂w
 k +
wj Γkij  ∂k
∂xi
j

∇∂ i W =
X
k
2. Für gij = h∂i , ∂j i gilt:
Γkij =
1 X km
g
2 m
∂gim
∂gjm
∂gij
+
−
∂xj
∂xi
∂xm
,
wobei g km = (g −1 )km (g −1 ist die inverse Matrix zu (gij )ij ).
3. Γkij = Γkji
Beweis.
1. Einsetzen in die Definition
2. 2h∇∂i ∂j , ∂m i
Koszul ∂gim
=
∂xj
+
∂gjm
∂xi
−
∂gij
∂xm
=2
P
k
Γkij gkm
Das Ergebnis folgt nach Matrixmultiplikation mit (g −1 ).
3. Folgt aus 2.
13
5.1
Vektorfelder entlang Kurven und Parallelverschiebung
Definition 5.1.1. (glatte Kurve)
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit.
1. Eine glatte Kurve ist eine glatte Abbildung γ : I → M, I ⊂ R offen. γ
∂
heißt regulär, falls gilt: ∀t ∈ I : γ̇(t) 6= 0, wobei γ̇(t) = ∇γ(t) ∂t
= ∂γ
∂t (t).
2. Ist γ : I → M eine reguläre Kurve, dann ist ein glattes Vektorfeld Z
entlang γ eine glatte Abbildung: Z : I → T M mit Z(t) ∈ Tγ(t) M ∀t ∈ I.
χ(γ) := {glatte Vektorfelder entlang γ}.
Wichtige Bemerkung:
(DV X)(p) hängt nur von Vp ∈ Tp M und X ab. Deshalb ist folgendes wohldefiniert:
DVp X := (DV X)(p) ∈ Tp M.
Proposition 5.1.2. Sei γ : I → M eine reguläre Kurve in einer semi-Riemannschen
Mannigfaltigkeit M, dann existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung
χ(γ) → χ(γ)
z 7→ z 0 =
Dz
,
dt
so dass
1. z 7→ z 0 ist R-linear
2. ∀h ∈ F(I) : (h · z)0 = h0 z + z 0 h (Produktregel)
3. ∀X ∈ χ(M ) :
D
dt (X
4. ∀Z1 , Z2 ∈ χ(γ) :
◦ γ)(t) = ∇γ̇(t) X
d
dt hZ1 , Z2 i
DZ2
1
= h DZ
dt , Z2 i + hZ1 , dt i
Proposition 5.1.3. Sei γ : I → M eine reguläre Kurve in einer semi-Riemannschen
Mannigfaltigkeit. Weiter sei t0 ∈ I, p ∈ γ(t0 ), v ∈ Tp M . Dann existiert genau
ein Z ∈ χ(γ), so dass
1. Z(t0 ) = v
2.
DZ
dt
=0
Definition 5.1.4. Für t0 , t1 ∈ I, p := γ(t0 ), q := γ(t1 ) heißt die Abbildung:
P : Tp M → Tq M,
mit p(v) = X(t1 ), wobei X ∈ χ(M ) mit X(t0 ) = v und
schiebung entlang γ von p nach q.
14
DX
dt
= 0, Parallelver-
Proposition 5.1.5. Die Parallelverschiebung P : Tp M → Tq M ist eine wohldefinierte lineare Abbildung und P ist eine Isometrie, das heißt
∀v, w ∈ Tp M : hv, wi = hP (v), P (w)i.
5.2
Geodätische und Exponentialabbildung
Definition 5.2.1. Eine Geodätische auf M ist eine reguläre Kurve γ : I → M ,
so dass γ̇ ∈ χ(γ) parallel ist, also
Dγ̇
= 0.
dz
Proposition 5.2.2.
1. ∀p ∈ U, ∀v ∈ Tp M : ∃I ⊂ R mit 0 ∈ I, so dass es eine eindeutig bestimmte
Geodätische γ : I → M mit γ(0) = p und γ̇(0) = v ∈ Tp M gibt.
2. Ist I ⊂ R und sind γ : I → M und γ
e : I → M Geodätische mit γ̇(t0 ) =
γ
e˙ (t0 ) ∈ Tγ(t) M für t0 ∈ I, dann gilt γ = γ
e.
Theorem 5.2.3. ∀p ∈ M ∀v ∈ Tp M : Es gibt genau eine Geodätische γv : I →
M, 0 ∈ I, so dass
1. γ̇v (0) = v
2. Der Definitionsbereich I ist maximal
Definition 5.2.4. Für p ∈ M sei Dp = {v ∈ Tp M | ∃ Geodäte γv : I → M, mit
γ˙v (0) = v und [0, 1] ⊂ I}. Wir definieren die Exponentialabbildung durch:
expp : Dp ⊂ Tp M → M
v 7→ γv (1)
Bemerkung: expp (λv) = γv (λ)
e ⊂ Tp M offen mit 0 ∈ U
e , so dass:
Proposition 5.2.5. ∀p ∈ M existiert U
e → expp (U
e ) ⊂ M ist ein Diffeomorphismus
1. expp : U
2. D(expp )0 : T0 (Tp M ) → Tp M ist der kanonische Isomorphismus
e ⊂ Tp M offen, so dass 0 ∈ U
e und
Definition 5.2.6. Ist p ∈ M und U
e → U , mit U := expp (U
e ) ist ein Diffeomorphismus
(i) expp : U
e ist sternförmig bezüglich 0.
(ii) U
15
Dann heißt U ⊂ M normale Umgebung von p.
e =
Definition 5.2.7. Sei U ⊂ M eine normale Umgebung von p ∈ M und U
−1
expp (U )
e heißen radiale
1. Die Geodätischen der Form γv (t) = expp (tv) mit v ∈ U
Geodätische. Vektorfelder Z ∈ χ(γv ) der Form Z(t) = f (t) · γ̇(t) mit
f ∈ F(I) heißen radial.
2. Sei e1 , . . . , en eine Orthonormalbasis. ξ : U → U 0 mit
!!
X
ξ expp
ui ei
:= (u1 , . . . , un ) ∈ Rn
i
heißt normales Koordinatensystem (auch Riemannsche oder Geodätische
Normalkoordinaten).
Proposition 5.2.8. Seien ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → U 0 Riemannsche Normalkoordinaten um p, also xi ◦ expp = e∗i , mit Notation wie in Def 5.2.7 Dann
gilt:
1. gij (p) = i δij ∀i, j, k
2. Γkij (p) = 0 ∀i, j, k
Definition 5.2.9. Seien ξ : (x1 , . . . , xn ) : U → U 0 Riemannsche Normalkoordie = exp−1
naten auf M um p ∈ M, U
p (U ).
e ) ist das Vektorfeld mit
1. Das Positionsvektorfeld Pe ∈ χ(U
e = Tv (Tp M ) ∼
Pev := vv ∈ Tv U
= Tp M
P = D(expp )(Pe) ∈ χ(U ) heißt lokales Positionsvektorfeld.
2. Falls M Riemannsch ist, definiert
v
u n
uX
−1
r(q) := kexp (q)k = t (xi (q))2
p
i=1
die Radiusfunktion r ∈ F(U \{p}) und E := 1/r · P ∈ χ(U \{p}) heißt
Einheitsradialvektorfeld.
Definition 5.2.10. Es sein γ : (a, b) → M eine glatte Kurve auf M .
1. Eine Variation von γ ist eine glatte Abbildung Γ : (a, b) × (−δ, δ) → M
mit δ > 0, so dass ∀t ∈ (a, b) : Γ(t, 0) = γ(t).
Die Kurven γτ : (a, b) → M, τ ∈ (−δ, δ) heißen longitudinal. Die Kurven
ct : (−δ, δ) → M, t ∈ (a, b) heißen transversal.
16
2. Ist Γ eine Variation von γ, so dass alle longitudinalen Kurven Geodätische
sind, dann heißt die Variation geodätische Variation.
3. Ist Γ eine Variation von γ, dann heißt das Vektorfeld
Zt =
dΓ(t, τ )
= ċt (0), Z ∈ χ(γ)
dτ |τ =0
das Variationsvektorfeld zu Γ. Ist Γ eine geodätische Variation, dann heißt
Z Jacobifeld.
Lemma 5.2.11. Ist Γ eine Variation von γ, dann gilt:
D d
D d
Γ(t, τ ) =
Γ(t, τ ).
dτ dt
dt dτ
Lemma 5.2.12. (Gauß-Lemma)
e := exp−1 (U ) ⊂ Tp M , dann
Es sei p ∈ M, U ⊂ M eine normale Umgebung, U
p
e falls vq , wq ∈ Tq (Tp M ) mit radialem vq :
gilt für u, v, w ∈ U
hD(expp )q (vq ), D(expp )q (wq )iexpp (q) = hvq , wq iq
Beweis. Da vu radial ist gilt vu = λ · uu mit λ ∈ R. Da D(expp )u eine lineare
Abbildung ist, ist oBdA λ = 1. Betrachte die geodätische Variation
Γ(t, τ ) = expp (t(u + τ w))
γτ (t) := Γ(t, τ ) sind Geodätische mit Startgeschwindigkeit γ̇τ (0) = u + τ w ∀τ .
Es gilt
d
dt Γ(1, 0)
= D(expp )u (uu ) und
d
dτ Γ(1, 0)
= D(expp )u (wu ).
d
d
Zeigen nun f (t) = h dt
Γ(t, τ ), dτ
Γ(t, τ )i(t, 0) = t · huu , wu i. Daraus folgt die
Behauptung durch setzen von t = 1.
d
f (t) =
dt
*
+
D d
d
Γ(t, τ ), Γ(t, τ )
|dt dt{z
} dτ
=0
+
d
D d
Γ(t, τ ),
Γ(t, τ )
dt
dt dτ
τ =0
τ =0
1 d
1 d
d
d
=
Γ(t, τ ), Γ(t, τ )
=
hγ̇τ (t), γ̇τ (t)iτ =0
2 dτ dt
dt
2 dτ
τ =0
1 d
=
hγ̇τ (0), γ̇τ (0)iτ =0 (Parallelverschiebung ist Isometrie)
2 dτ
1 d
=
h(u + τ w), u + τ wiτ =0
2 dτ
D
Tp M →Tu (Tp M )
= u + τ w, u + τ w
= hu, wip
=
huu , wu iu
dτ
τ =0
17
Da f (0) = 0 folgt die Behauptung.
Korollar 5.2.13. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und U eine normale Umgebung von p ∈ M . Dann gilt für das Positionsvektorfeld P ∈ χ(U ):
1. ∀g ∈ U : hPq , Pq i = (r(q))2 mit r ∈ F(U \{p}) der Radiusfunktion. Insbesondere ist das Einheitsradialvektorfeld 1/r · P ein Einheitsvektorfeld.
2. Ist (−, ) → M eine glatte Kurve mit γ(0) = p, dann gilt
hPγ(t) , γ̇(t)i = r(γ(t)) ·
Beweis.
d
r(γ(t))
dt
1.
2. γ(t) = expp (
P
r(γ(t))
i
γi (t) · ei ) für t hinreichend klein.
1 d X
d
Kettenregel d 1
r(γ(t))
=
(r(γ(t)))2 =
γi (t)2
dt
dt 2
2 dt i
=
X
γ̇i (t)γi (t) =
*
X
i
+
γ̇i (t)ei ,
X
i
|
Gauß−Lemma
=
γj (t)ej
j
{z
=:v(t)
}
D(expp )v(t) (v̇(t)v(t) ), D(expp )v(t) (v(t)v(t) ) exp
p (v(t))=γ(t)
= hγ̇(t), Pγ(t) i
5.3
Exkurs in die Theorie der Matrix-Liegruppen
5.4
Geodätische auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten
Im
p Folgenden ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, g(·, ·) = h·, ·i, kvk =
gp (v, v)
Definition 5.4.1. (Bogenlänge)
Ist γ : [a, b] → M eine stückweise glatte Kurve, dann ist
Z b
L(γ) :=
kγ̇(t)kdt
a
die Bogenlänge von γ.
18
Lemma 5.4.2. Sei γ : [a, b] → M eine stückweise glatte Kurve
1. Ist γ
e = γ◦h eine Umparametrisierung mit glattem, monotonem h : [e
a, eb] →
[a, b], dann gilt L(e
γ ) = L(γ).
2. ist γ eine reguläre Kurve, dann existiert eine Umparametrisierung γ
e = γ◦h
mit kγ
e˙ k = 1.
Definition 5.4.3. Ist γ : [a, b] → M eine stückweise glatte Kurve mit kγ̇(t)k =
1, dann heißt γ nach der Bogenlänge parametrisiert.
Proposition 5.4.4. Sei p ∈ M und U eine normale Umgebung von p. Für
q ∈ U und γ : [0, 1] → M die radiale Geodätische von p nach q gilt:
1. L(γ) = r(q) mit r : U → R der Radiusfunktion aus Definition 5.2.9
2. γ ist die (bis auf Parametrisierung) eindeutig bestimmte kürzeste Kurve
von p nach q.
Beweis. v := exp−1
p (q) ∈ Tp M, γ(t) = expp (tv)
1.
1
Z
k(D(expp ))tv (v)kdt
L(γ) =
Gauß−Lemma
Z
1
kvkdt = kvk = r(q)
=
0
0
2. Sei α : [0, 1] → U eine Kurve mit α(0) = p, α(1) = q, E ∈ χ(α) sei das
Einheitsradialvektorfeld entlang α.
α̇(t) = hα̇(t), E(t)i · E(t) + N (t)
definiert N ∈ χ(α) mit N ⊥E, denn kE(t)k = 1. Dann gilt
Z 1p
hhα̇(t), E(t)iE(t) + N (t), hα̇(t), E(t)iE(t) + N (t)i
L(α) =
0
Z
1
p
|hα̇(t), E(t)i|2 + kN (t)k2 dt
=
0
Z
≥
1
hα̇(t), E(t)idt
0
wegen E(t) = 1/r(α(t)) · Pα(t) folgt mit Kor 5.2.13 (2)
hα̇(t), E(t)i =
Also
Z
L(α) ≥
0
1
d
r(α(t)).
dt
d
r(α(t))dt = r(q) − r(p) = L(γ).
|{z}
dt
=0
Gleichheit gilt genau dann, wenn N = 0, das heißt α̇(t) ∼ E(t) radial ∀t,
also wenn α eine Umparametrisierung von γ ist.
19
6
Der Riemannsche Krümmungstensor
Proposition 6.1. Die Abbildung R : χ3 (M ) → χ(M )
(X, Y, Z) 7→ R(X, Y )Z = RX,Y Z = ∇[X,Y ] Z + ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z
definiert ein Tensorfeld vom Typ (1,3).
Definition 6.2. (Riemannscher Krümmungstensor)
Der Riemannsche Krümmungstensor ist das Tensorfeld R vom Typ (1,3) aus
der vorherigen Proposition.
Die trilinearen Abbildungen Rp : Tp M 3 → Tp M definieren sogenannte Krümmungsoperatoren
RXp ,Yp : Tp M → Tp M, Zp 7→ RXp ,Yp Zp .
Proposition 6.3. ∀p ∈ M, ∀x, y, z, v, w ∈ Tp M
1. Rx,y = −Ry,x
2. hRx,y v, wi = −hv, Rx,y wi
3. Rx,y z + Ry,z x + Rz,x y = 0 (1. Bianchi-Identität)
4. hRx,y v, wi = −hRv,w x, yi
Beweis.
1. klar nach Definition
2. Nachrechnen und verwenden, dass ∇ metrisch ist
3. Nachrechnen und verwenden, dass ∇ torsionsfrei ist
4. Folgt aus 1.-3.
Definition 6.4. (Verallgemeinerung Levi-Civita Zusammenhang)
Für A ∈ Tsr (M ) und ϑ1 , . . . , ϑr ∈ χ∗ (M ) = T10 (M ), v1 , . . . , vs ∈ χ(M ) =
T01 (M ):
1. Für f ∈ F(M ) ist ∇X f ∈ F(M ) definiert durch:
∇X f := Df (X) = X(f )
20
2. ∇X ϑi ∈ χ∗ (M ) ist definiert durch
(∇X ϑi )(Y ) := ∇X (ϑi (Y )) − ϑi (∇X Y )
3. ∇X A ∈ Tsr (M ) ist definiert durch
(∇X A)(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs ) = ∇X (A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs ))
r
X
−
A(ϑ1 , . . . , ∇X ϑi , . . . , ϑr , v1 , . . . , vs )
i=1
−
s
X
A(ϑ1 , . . . , ϑr , v1 , . . . , ∇X vj , . . . , vs )
j=1
Theorem 6.5. (2. Bianchi-Identität)
∀x, y, z ∈ Tp M :
(∇x R)(y, z) + (∇y R)(z, x) + (∇z R)(x, y) = 0
e seien RieProposition 6.6. Sei p ∈ M und ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → U
mannsche
P Normalkoordinaten um p, wobei für q ∈ U : ξ(q) = (u1 , . . . , un ) :
expp ( ui ei ) = q für eine Orthonormalbasis e1 , . . . , en ∈ Tp M . Dann gilt
gij (q) = i δij +
1X
hRei ,ek el , ej iuk ul + O(|u|3 )
3
k,l
Lemma 6.7. Sei γ : I → M mit 0 ∈ I, γ(0) = p, γ̇(0) = v ∈ Tp M eine
Geodätische.
)
1. Für jedes Variationsvektorfeld Z(t) = ∂Γ(t,τ
∂τ |τ =0 einer geodätischen Variation Γ : I × (−δ, δ) → M von γ gilt die Jacobi-Differentialgleichung:
DD
Z(t) − RZ(t),γ̇(t) γ̇(t) = 0
dt dt
2. Ist Z ∈ χ(γ), das der Jacobi-Differentialgleichung genügt, mit Z(0) =
0, DZ
dt (0) = w ∈ Tp M , dann ist Z ein Jacobi-Feld und Z(t) = D(expp )tv (tw).
Definition 6.8.
R∂k ,∂l (∂j ) =
X
i
i
Rjkl
∂i mit Rjkl
∈ F(M )
i
Rijkl =
X
m
gmi Rjkl
= hR∂k ,∂l (∂j ), ∂i i
m
Proposition 6.9. Für die Koeffizienten des Riemannschen Krümmungstensors
gilt bezüglich lokaler Koordinaten:
21
1.
i
Rjkl
=
X
∂ i
∂ i
i
m
Γjk −
Γlj +
(Γilm Γm
kj − Γkm Γlj )
∂xl
∂xk
m
2.
Rijkl = −Rjikl = −Rijlk = Rklij
Rijkl + Riklj + Riljk = 0
Lemma 6.10. Sei F : Tp M 4 → R 4-linear und es gelte
F (x, y, v, w) = −F (y, x, v, w) = −F (x, y, w, v) = F (v, w, x, y)
F (x, y, v, w) + F (y, v, x, w) + F (v, x, y, w) = 0
Dann ist F schon eindeutig bestimmt durch f : Tp M 2 → R, f (v, w) = F (v, w, v, w).
Lemma 6.11. Sei p ∈ M und W ⊂ Tp M ein 2-dimensionaler Untervektorraum
mit Basis {v, w}. Dann ist
K(v, w) =
hRv,w v, wi
hv, vihw, wi − hv, wi2
unabhängig von der Wahl der Basis {v, w}.
Definition 6.12. Für p ∈ M und W = spanR {v, w} ⊂ Tp M einen 2-dimensionalen
Untervektorraum heißt
K(W ) := K(v, w)
die Schnittkrümmung.
Korollar 6.13.
1. Wegen Lemma 6.10 bestimmt die Abbildung k : Tp M ×Tp M → R, k(v, w) =
hRv,w v, wi den Riemannschen Krümmungstensor Rp eindeutig. Insbesondere ist Rp durch die Schnittkrümmung K(W ), W ∈ Tp M, dim W = 2
zusammen mit gp eindeutig bestimmt.
2. Ist F : Tp M 4 → R 4-linear mit allen (Anti-) Symmetrien aus Lemma 6.10
und gilt außerdem F (v, w, v, w)·(hv, vihw, wi−hv, wi2 ) = K(spanR ({v, w}))
für alle linear unabhängigen v, w ∈ Tp M , dann folgt
F (x, y, v, w) = hRx,y v, wi ∀x, y, v, w ∈ Tp M
Definition 6.14. (Ricci-Krümmung)
Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Krümmungstensor R, dann
heißt
Ric : Tp m × Tp M → R
(x, y) 7→ tr(v 7→ Rx,v y)
Ricci-Krümmung oder Ricci-Tensor.
22
Lemma 6.15. Für die Ricci-Krümmung gilt:
1. Ric definiert ein glattes Tensorfeld vom Typ (0,2)
2. Ric ist symmetrisch
3. Ist e1 , . . . , en ∈ Tp M eine Orthonormalbasis (hei , ej i = i δij ), dann gilt
X
Ric(x, y) =
m hRx,em y, em i.
m
e:
4. Bezüglich lokaler Koordinaten ξ = (x1 , . . . , xn ) : U → U
X
m
Rij := Ricij := Ric(∂i , ∂j ) =
Rijm
m
Bemerkung 6.16.
(a) Ric ist die einzige nicht-triviale Spur von R
1. tr(v 7→ Rx,v y) = Ric(x, y)
2. tr(v 7→ Rv,x y) = tr(v 7→ −Rx,v y) = −Ric(x, y)
3. tr(v 7→ Rx,y v) = 0
(b) Ric wird von R bestimmt. Korrollar 6.13 ⇒ R wird von k, der Schnittkrümmung und g bestimmt.
⇒ Ric wird auch von k und g bestimmt.
Definition 6.17. Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit Ric ∈ T20 .
Sei ϕ : χ(M ) → χ(M ) die lineare Abbildung mit Ric(X, Y ) = hϕ(X), Y i, dann
heißt S = tr(ϕ) die Skalarkrümmung von (M, g).
Lemma 6.18.
1. Sei (U, ξ = (x1 , . . . , xn ) eine Karte von M . Dann:
X
X
k
S=
gij Rij =
gij Rijk
i,j
i,j,k
2. Sei {e1 , . . . , en } ⊂ Tp M eine Orthonormalbasis. Dann:
X
X
S(p) =
K(ei , ej ) = 2
K(ei , ej )
i<j
i6=j
Definition 6.19. Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit
1. Gradient: f ∈ F(M ), grad(f ) ∈ χ(M ) ist definiert durch
hgrad(f ), Xi = X(f ) ∀X ∈ χ(M )
23
2. Divergenz:
(a) V ∈ χ(M ), div(V ) ∈ F(M ) ist definiert durch
div(V ) := tr(x 7→ ∇X V )
(b) A ∈ T20 , div(A) ∈ T10 (M ) ist definiert durch
div(A)(X) = tr(aX ),
wobei aX : χ(M ) → F(M ), haX (Y ), Zi = (∇Y A)(X, Z) ∀Y, Z ∈
χ(M )
3. Laplace-Operator: ∆ : F(M ) → F(M )
∆(f ) = div(grad(f ))
24