Erzwungene Schwingung und Resonanz

Physikalische Formelsammlung
Physik I / Physik II
(Vollständigkeit/Korrektheit nicht garantiert)
Version 1.0
1
Gravitationstheorie
(S4,T303)
Gm1m2
m
Gravitationskraft: F =
Gravitationspotential: G
2
r
r
MEm
4
Gravitation in einer Hohlkugel: F = G
r m =G
r r < RE
3
RE3
2GM E
= 2gRE
RE
2GM
Schwarzschildradius: rS = 2
c
GM
4 2r 2
Geschwindigkeit eines Planeten: v 2 =
=
r
T2
2
mv
4 2r
Zentripetalkraft FZ = maz =
= mr 2 = m 2
r
T
GM E
RE2
=
=
g
a
g
Beschleunigung der Erde: a =
Neu
2
RE2
RNeu
mi
Gleichgewichtspunkt: ri = r
mi + m1m2
Sonstiges:
Hydrostatischer Schweredruck: p = gh
2-Teilchen-Mechanik.
m m
reduzierte Masse µ = 1 2
m1 + m 2
1 2
1
interne Gesamtenergie im Schwerpunktsystem E int = µv1,2
+ mvS2
2
2
Im Schwerpunktsystem gilt p = 0
Bewegung von 2 massiven Teilchen in einem Gravitationsfeld: Kegelschnitte.
Lichtspektrum: UV < Blau 400nm < Rot 700nm < IR Analog: UV > Blau >
Fluchtgeschwindigkeit vF =
2
Rot
>
IR
Spezielle Relativitätstheorie (T1149)
=
1
1
v2
c2
>1
Lorentztransformation:
x=
(x
+ vt
)
t=
t +
vx
c2
Betrachtung im System S
Inverse Transformation:
vx
Betrachtung im System S
c2
Zeitdilatation: t =
tE E wie Eigenzeit (alle anderen Uhren sind langsamer)
Längenkontraktion: = 1 R R wie Ruhelänge (alles drumherum ist kleiner)
Uhren im Ruhesystem synchronisiert. Im bewegenden System zeigt die führende Uhr um
v
tS = R 2 spätere Zeit an als die andere.
c
x =
(x
vt)
t =
t
Geschwindigkeitstransformation
v
S
•
vx
Geschwindigkeitsaddition vy =
vz
vx + v
1 + vvx c
v
S
•
v
S
•
2
vx
vy
(1 + vv c )
2
Geschwindigkeitssubtraktion: vy =
x
vz
(1 + vv c )
2
x
vz
1
(1
(1
vx v
vvx c
2
vy
vvx c
2
)
2
)
vz
vvx c
mit v := vx
Relativistische Masse
m0
mr =
1 v2 c 2
p = mr v
Relativistische kinetische Energie
E 0 = m 0c 2 (Ruheenergie)
Er = mrc 2 (Relativistische Gesamtenergie)
E kin = mrc 2 m 0c 2
1
3
E kin = mv 2 + mv 2c
2
8
2
+
5
mu 6 c
16
6
Änderung der Wellenlänge des Lichtes im Gravitationspotential
auf Höhe h
=
unten
1+
c2
(in der Höhe grössere Wellenlänge)
g h Potentialdifferenz
3
Dynamik des Starren Körpers
Angriffspunkt einer Kraft kann beliebig entlang der Wirkungslinie (Richtung der Kraft) verschoben werden.
Dann ändert sich weder die resultierende Kraft noch das resultierende Drehmoment.
Gleichgewichtsbedingung: Resultierende Kraft (x,y,z) und resultierendes Drehmoment (l,r) sind Null.
Translation
Rotation
x.
v =x .
a =v =x.
v = v 0 + at
Verschiebung
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Konstante Beschl.
x = v
Masse
Impuls
Kraft
kin. Energie
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Konstante Winkelbesch.
.
= .
= = .
= 0+ t
v = 21 (v 0 + v )
t
=
x = x 0 + v 0t + 12 at 2
=
v 2 = v 02 + 2a x
m.
p = mv = F t .
2
Trägheitsmoment
Drehimpuls
F.
2
1
2 mv .
Drehmoment
P = Fv .
F = dp
dt = ma .
Leistung
Leistung
2. Newt. Axiom
kin. Energie
Drehmoment: M = F r sin
Trägheitsmoment: I = mr 2
Bewegungsgleichung: M = I
2. Newt. Axiom
max:F
=
0
t
+
2
0
t + 12 t 2
0
+2
I.
L=I =M t.
M.
2
1
.
2I
P =M .
M = dL
.
dt = I
r
Berechnung Trägheitsmoment (S14, T231,T237,F147)
miri2 (diskrete Massenpunkte) bzw. I =
I =
i
r 2dm (kontinuierliche Massenverteilung)
V
Beispiel Zylinder. Substitution: dm = dV = h 2 r dr
Satz von Steiner: I = I S + ms 2 (s = Abstand Achse-Schwerpunkt)
Flacher Körper liegt in x -y Ebene dann gilt: I z = I x + I y ( I z Trägheitsmoment um z-Achse)
( I)
1
in jede Richtung eingezeichnet gibt Trägheitsellipsoid.
Drehimpuls
L = mvr = mr 2 = I
M =
r
v
dL d (I )
=
dt
dt
Verschiedenes
Raketengleichung:
konst.
v dm = m dv
vR = v 0 + vGas ln
v = vGas ln
4
m0
me
1
m
m0
m (t)
gt
dm =
vGas
m0
m (t )
me
1
v
dv
Geschw. ausströmendes Gas
Startmasse
Masse nach Zeit t
Masse am Ende
(mit Gravitationseinfluss. nach Zeit tj)
= 21 (
0
+ )
Translation und Rotation (S14)
Starrer Körper hat 6 Freiheitsgrade (3 Ort, 3 Winkel)
Impuls, Energie: Rechne mit Schwerpunkt.
a =r
Rollbedingung: v = r
Corioliskraft: F = 2m (v × )
Corioliskraft auf der Erde
Masse bewegt mit der Geschwindigkeit v auf dem Breitengrad ...
...senkrecht zur Erdoberfläche.
...entlang der Erdoberfläche auf einem Längengrad.
Kraft: FC = 2mv cos
Kraft: FC = 2mv sin
Ablenkung
auf Nordhemisphere: nach rechts
auf Südhemisphere: nach links
entlang Erdoberfläche senkrecht zur Geschwindigkeit
Ablenkung
v nach unten: nach Osten
v nach oben: nach Westen
senkrecht zur Geschwindigkeit
=
Foucaultpendel: t360° =
24h
sin
2
T
T = 24h
Breitengrad
Rollender Körper
I Roll = (I + mr 2 ) (falls Auflagepunkt/Rollpunkt im Abstand r zu Schwerpunkt)
Rotation+
Translation
Rotation
Translation
I
I
a = 2 a + ma
Bewegungsgleichung für rollender Körper: F = Roll
2
r
r
(falls Rollbedingung a = r
Energie
(Problem: in der Energieformel kommt die Zeit nicht vor!)
Differentialgleichung: x = cx (Geschwindigkeit Abhängig von Ort)
1
1
1
1
1
1
Allgemeine Lösung: x = ct 2 + tcC + cC 2 x = tc + cC x = c
4
2
4
2
2
2
Beispiel: Kugel rollt schiefe Ebene hinunter.
E pot = E tran + E rot
mgh =
1
1
mv 2 + I
2
2
2
h =s sin
v= r
C : const
C =
2v 0
c
erfüllt)
v 0 := x (0)
c
v= s
10
g sin
7
a=
5
g sin
7
Stösse
Vollkommen elastisch
2m2v2 + (m1 m2 ) v1
v1 =
m1 + m 2
2m1v1 + (m2 m1 ) v2
v2 =
m1 + m2
Vollkommen unelastisch
m v + m 2v 2
v= 1 1
m1 + m2
Trägheitstensor
(x i , yi , z i ) Abstand zur Masse mi
=
yi2 + z i2
n
mi
i =1
yi x i
zi xi
x i yi
x i2 + z i2
z i yi
xi zi
yi z i
x i2 + yi2
5
Schwingungen
Ungedämpt (ohne Reibung)
Gleichung
2
allg. Lösung
Harm. Sch.
mx + kx = 0 .
y = A cos ( t + ) .
Federpendel
my + ky = mg .
y=
Faden/Math. P. m + mg = 0 .
m 2gs
I
Phys. Pendel
m +
= 0.
Wassersäule
my + 2A gy = 0 .
4 r 2d
Luftballon
m x + 16 r x = 0
= A cos ( t + ) .
( sin )
= A cos ( t + ) .
Radius r , Dicke d
Druck p , Dichte
p = 4r
Oberfl.sp.
I Trägheitsmoment, D Torsionsk.
M = D Rückstelldrehmoment
Torsionspendel
I +D = 0.
Feder mit m
(m + 13 mF ) y + Dy = 0
mg
+ A cos ( t + ) .
k
s = ( sin )
2
2
y = A cos ( t + ) .
2A g
.
m
2
x = A cos ( t + )
16
m
2
m
16
D
.
I
2
I
D
2
m + 13 mF
D
= A cos ( t + ) .
D
m + 1 mF
3
Bemerkung
schwach gedämpft
x = A0e
b
t
2m
cos (
b
2m
2
0
x = (C 1 + C 2t )e
+
) = A0e
x = C1 e
2
0
=
2
2
2
0
cos (
0
(
2t
+ C2 e
) + b2
2
b
=
2m 2
Leistung Maximal bei
R
=
2
0
bzw. µ =
6
µ :=
b
2m
)
0
1,2
aus Anfangsbedingung)
0
= µ ± µ2
)
(
=
2
2
0
m (
2
Erregerfrequenz)
2
0
2µ 2 !
0
2
0
F0
) + 4µ2
2
(
2
2
k
0 =m
)
0
(Leistungsresonanz)
Resonanzkatastrophe: b = 0 und = 0 (=
Phasenverschiebung Auslenkung/Kraft:
b
2µ
tan =
= 2
2
2
2
m( 0
)
0
Math. = Phys. Pendel, falls I = m 2 , s =
2
k
0 =m
aus Anfangsbedingung)
Amplitude Maximal bei (Resonanz):
2
)
+
µ2
(C1 ,C 2
F0
m (
µt
µt
x = x hom + A cos ( t
A=
.
2
(C1 ,C 2
überdämpft
Bedingung: b > bk bzw. µ >
1t
.
I
mgs
m
2A g
(A0 , aus Anfangsbedingung)
kritisch gedämpft
Bedingung: bk = 2m
mx + bx + kx = F0 cos t .
g
2
=
Erzwungene
Schwingung
m
k
m
k
2
mgs
.
I
y = A cos ( t + )
Gedämpft (mit Reibung)
Gleichung
mx + bx + kx = 0 .
Gedämpfte
Schwingung
(Skr22)
T
k
.
m
k
.
m
g
.
R
)
Energie Schwingungen
Harmonische Schwingung:
1
1
E pot = kx 2 = kA2 cos2 ( t + ) = E ges cos2 ( t + )
2
2
1
1
E kin = mv 2 = kA2 sin2 ( t + ) = E ges sin2 ( t + )
2
2
k
=
1
1
m 1
E ges = kA2 = m 2A2 = E kin + E pot
E pot = E kin = E ges
2
2
2
2
"m 1 #
=
Wellenzahl k =
$
%
v
v
Wellenlänge = ph [m ]
2
=
Winkelgeschwindigkeit
2 =
2
v
=2
= vk
T
(Energie des Massenstücks an Feder)
k
(harm. Osz.)
m
=
Feder mit Masse:
Geschwindigkeit Faden bei , Massenverteilung: µ =
Ort Faden von oben,
E tot =
1
1
mx 2 +
2
2
µ 2d =
0
mF
1 2
x (m + 13 mF )
2
Gedämpfte Schwingung:
E = E 0e
b
t
m
t
= E 0e
=
m
1
=
b
2µ
Logarithmisches Dekrement (Log. Abnahme der Amplitude):
= ln
x (t)
= µT =
x (t + T )
2 b
4km
b2
b
T
E
b
=e m
1
T (bei schwacher Dämpfung)
E0
m
m
E
=2
(Resonanzschärfe)
Q-Faktor: Q = 2
bT
E
E
A2
Amplitude/Energie:
= 2
E0
A0
Energieverlust pro Periode:
Erzwungene Schwingung:
F02
Mittlere Leistung: P = m
4µ
1
1+
2 2
2
0
2µ
Federschaltung:
Parallel: k = k1 + k2 +
p
=
f1 + f2
m
Seriell:
1
k
=
1
k1
+ k12 +
s
=
f1 f2
m(f1 + f2 )
Gekoppelte Pendel:
Gleichung:
Faden
Feder
Faden
Feder
mx 1 = Kx 1 + k (x 2
mx 2 = Kx 2 + k (x 1
x1 )
K Federpendel k Federkonstante
x2 )
7
Gekoppelte Wagen (DLG entkoppeln):
(
mx = k (x
x)
1
1
2
1
1
mx 2 = k (x 2
mx 3 = k (x 3
x 1 ) + k (x 3
x 2 ))
x2 )
1
2
1
*
=
1
2
EV = Anfangsauslenkung
1
Allgemeine Lösung:
1 =0
x1
2 =1
1
1
3 =3
1
2
3
x 2 = 1 (C 1,1 + C 1,2t) + 0 C 2 cos( 1 t + 1 ) + 2 C 3 cos( 3 t +
x3
1
1
1
v2
v1
2
)
vi = Eigenvektoren
v3
Eigenvektoren geben die grösste Amplitude an! Die Winkelgeschw. hängen von den EV ab:
2
i
=
Fouriertransformation
Rechteck: y =
4h
sin x +
1
1
sin 3x + sin 5x +
3
5
, Dreieck: y =
Diskrete Fourier Transformation
für periodische Funktionen
2
1. T bestimmen. =
T
Funktion gerade:
f (x ) = f (x )
bk = 0
f (x ) =
2
T
a0 =
2
T
ak =
ak = 0
f ( x)
T
y (x ) dx
0
T
f (x ) cos (k w )dx
0
T
2
f (x ) sin (k w )dx
T 0
+
a
F= 0 +
(ak cos (k x ) + bk sin (k x ))
2
k =1
bk =
Komplexe Schreibweise
T
1
=
f (t)e ik tdt
k
T 0
n
F=
k
ei
kt
k= n
0
=
a0
2
k
=
1
(ak
2
ibk )
für nicht-periodische Funktionen
++
1
f (t) =
A ( )e i t d
2 +
A( )
8
=
1
2
++
f (t)e
+
i t
dt
k
1
= (ak + ibk )
2
8h
2
sin x +
1
1
sin 3x + 2 sin 5x +
2
3
5
2
i
Überlagerung von 2 Schwingungen (Skr26,Skr34)
Gleiche Schwingungsrichtung, gleiche Frequenz, verschiedene Amplituden, verschiedene Phasen
x 1 = A1 cos (kx
t + 1)
x 2 = A2 cos (kx
t+
2
)
. Vorzeichen überprüfen, da Phasensprung in
2
2
1
2
1 2
1
A = ± A + A + 2A A cos (
x = x1 + x 2
= A cos (kx
t+
)
Spezialfälle:
Amplituden gleich (
= arctan
=
2
1
+ A2 sin
1 + A2 cos
A1 sin
A1 cos
1
2
)
2
2
):
A
x = 2A1 cos
t+
cos kx
2
destruktive Interferenz:
2
= (2n 1)
n = 1, 2, 3, …
=n 2
konstruktive Interferenz:
)
2 - Zeigerdiagramm sin (x + 2) = cos (x
,
A1 sin ( t) + A2 cos ( t) = A sin ( t + )
Phasendifferenz
A = A22 + A12
- A1 = A cos
= arctan
A2
A1
A2 = A sin
Amplituden gleich, unterschiedliche Richtung (Skr35)
stehende Wellen
Zeitliche Amplitude
Form der stehenden Wellen
2A cos kx +
t+
cos
2
Maxima: x =
2
2
n
2
Gleiche Richtung, gleiche Amplitude, verschiedene Frequenzen, gleiche Phase
x 1 = A cos ( 1t)
x 1 = A sin ( 1t)
x 2 = A cos ( 2t)
x 2 = A sin ( 2t)
x = x1 + x 2
x = x1 + x 2
Schwebung
Schwebung
= 2A cos
cos()
cos() =
1
2
2
t cos
1
+
2
2
= 2A cos
t
2 sin( ) sin(+)
Umkehrung:
1
=
sin()
1
2
2
2
=
1
+
2
2
x = A cos ( 1t) cos ( 2t)
x1 =
A
2
cos ((
1
x2 =
A
2
cos ((
2
+
) t)
1) t)
Schwebung
2
2
t sin
1
+
2
2
t
sin() = 2 sin( ) cos(+)
A = 2A
x = A cos ( 1t) sin ( 2t)
2
Bermerkung.
Für die Schwebung gilt: 2
1
x1 =
A
2
sin ((
1
x2 =
A
2
sin ((
2
+
) t)
1 ) t)
2
= 4 Schwebungen
=
s
9
Mechanische Wellen
Phasengeschwindigkeit
v ph =
=
v ph =
k(
=
v ph ,Schall =
Gruppengeschwindigkeit
vg =
)
=
k0 n (
(n (
)
F
µ
Zugspannung "/Nm 2 #0
$
%
µ Massenbelegung "/kg m 1 0#, F Zugkraft
$
%
p
M Molare Masse des Gases, Adiabatenkonstante
Dichte, p Druck, p Kompressionsmodul
d (kv ph )
dv
max2 + max1 d
=
=
= v ph + k ph = v ph
t2 t1
dk
dk
dk
(
Intensität (Skr34)
=
1
v ph A2
2
E
1 2 2
A
=
V
2
d
mittlere Wellenlänge des Wellenpaketes)
Durchschnittliche Energie durch Einheitsfläche pro Sekunde
A Amplitude, (Gleichgewichts)dichte des Gases
2
1
v µA2 2
2
1
E = µ 2A2 x
2
I
= 10 log
[dB ]
I0
Leistung
dv ph
v ph = vgr
I = v ph =
Energie(fluss)dichte
P=
Gesamtenergie auf Saite
Lautstärke
(µ Massenbelegung Saite)
( x Abschnitt Saite ( x = für ganze Saite))
I 0 = 10 12Wm
Umrechnungen
2
"m 1 #
$
%
m
Massenbelegung µ =
= A
Wellenzahl k =
=
Winkelgeschwindigkeit
Wellenlänge
2 =2
v
=
v ph
2
)
(
vt ) = sin kx
)
(0dB Hörschwelle, 120dB Schmerzgrenze)
[m ]
= vk
Allgemeine harmonische Welle (mit Wellenfront) Richtung e d. h.: k =
(x , t ) = sin (k (x
(
kvt = sin kx
2
e
v = ve
)
t („wie sieht Welle am Ort x zur Zeit t aus?“)
Allgemeine harmonische Kugelwelle
(r, t ) = sin (k (r vt)) = sin (kr
t)
Bemerkung:
Falls die Welle nicht im Ursprung entsteht, x durch x
1 F
1
v
Flöte =
v=
2
A
2
Mögliche Frequenzen bei einer Saiten/Rohrlänge .
Gitarre
10
=
Brechungsindex)
Dichte,
RT
=
M
= k const
)
p ersetzen (bzw. r durch r
rp ) .
Reflexion, Brechnung, Beugung
Brechzahl: n =
c
>1
cm
(Winkel werden im folgenden immer zur Normalen gemessen)
Reflexion (T1030):
r
=
1
Falls
1
=
r
n n2
= 0 : Transmittierte Intensität I = I 0 1
n1 + n 2
2
c1 < c2 : kein Phasensprung (Licht ist im optisch weniger dichten Medium)
c1 > c2 : Phasensprung (Licht ist im optisch dichteren Medium)
Brechung (T1034):
n1 sin 1 = n2 sin
2
(Snellius)
Wellenlänge und Frequenz des Lichtes im Medium:
=
n
=
n2
n2 < n1 Totalreflexion für > k . Licht geht von Medium 2 in Medium 1.
n1
sin 1
n=
1 Eintrittswinkel, t Dicke Medium, d Abstand Eintritt/Austritt
sin (arctan (dt ))
sin
k
=
Beugung (T1121):
Beugungsmuster am Einzelspalt.
m
m = 1, 2, 3, …
Nullstellen bei Winkeln: sin =
a
m
y
( Abstand Wand-Spalt. a Spaltenbreite.
vom Spaltenmittelpunkt aus)
a
Intensitätsverteilung
sin (21 )
2
I = I0
mit =
a sin (a Spaltenbreite)
1
2
Doppler-Effekt
Nicht relativistisch (Schallwellen)
Quelle bewegt sich1
=
=
0
1±
v ph
0
vQ
v ph
1±
Empfänger bewegt sich1
=
vQ
0
1±
vE
v ph
vorauseilend/
nachlaufende Wellenlänge
v ph
+ Quelle entfernt sich
Quelle nähert sich
Empfänger entfernt sich
+ Empfänger nähert sich
Beide bewegen sich1
v
1± E
v ph
= 0
vQ
1
v ph
+
+
entfernen sich
nähern sich
1
Relativistisch (Elektromagnetische Wellen)
1±
1
v
= 0
=
=
1
c
1±
+
+
entfernen sich
nähern sich
(
(
<
>
0
0
relativ zum Medium
vph Ausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit)
(umgekehrte Vorzeichen!)
Rotverschiebung)
Blauverschiebung)
=c
11
Thermodynamik
Barometrische Höhenformel
dp = g dh
0gh
p (h) = p0e
(h ) =
Allgemeine Gasgleichung
pV
N Teilchenzahl
= Nk = nR
n Stoffmenge [mol]
T
p0
(Druck)
0gh
p0
e
0
Alternative exp-Funktion
e
mgh
RT
Geschwindigkeit der Gasteilchen
2kT
v max =
(grösste Wahrscheinlichkeit)
m
2v
v = max (Durchschnittliche Geschwindigkeit)
Q = Lf m
Q = Lv m
Q Wärmemenge
c Wärmekapazität
(Schmelz- bzw. Erstarrungswärme)
(Verd.- bzw. Kond.wärme)
1. HS der Thermodynamik
U = Q +W
(alles in [J ])
U Änderung innere Energie
Q >0 zugeführte Wärme
W >0 zugeführte Arbeit
Volumenarbeit
W =
bei Expans. wird Arbeit vom
System abgegeben W >0
V2 )
V
Wirkungsgrad (T588)
vom System verrichtete Arbeit
= dem
=1
System zugeführte Wärme
T2
T
=
T1
T1
= 1 +(1
Qab
Qzu
T2 < T1
1) 2
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
F (v)=
12
m
2 kT
3
2
e
mv 2
2 kT
Adiabatengleichungen
p1V1 = p2V2
(
TV
1 1
E kin = kNT
(N Teilchenzahl)
2
(falls f = 3)
E kin = CV nT
Mischen von Gasen
V
V
V
p = 1 p1 + 2 p2
T
T1
T2
1)
(
= TV
2 2
Wärmeübertragung
=
f +2 cp
=
f
cv
x
A
T = IR
R=
U
Q
Isobar:
W
U = cp m T
p V
Wärmen bewirkt Arbeit und Temperaturanstieg
Adiab.: Q = 0, W =
U
Arbeit bewirkt Temperaturanstieg
Schwarzkörper
absorbierte Strahlungsleistung
A := auftreffende
Strahlungsleistung
Schwarzkörper: A = 1
Es gilt:
2.898 mm K
max =
T
Stefan-Boltzmann:
= AT
4
dT
dx
(Wärmewiderstand KW
1
)
Seriell: R =R1 +R2 +
Parallel: R
1
=R1 1 +R2 1 +
Wärmeleitungsgleichung
1T
12T
=
T =
1t
cv
cv 1x 2
Van-der-Waals-Gleichung (T528)
an 2
p + 2 (V bn ) = nRT
V
b Volumen des Gases pro Mol (dicht)
an 2
gegenseitige
Anziehung der Gasmoleküle
V2
Kritische Punkte:
8a
a
Vk = 3b Tk =
Pk =
27 Rb
27b 2
PV-Isothermen-Diagramm
T > Tk bei jedem Druck gasförmig
max Wellenlänge
T Temperatur
Clausius-Clapeyron
Abhängigkeit Dampfdruck p0 – Siedetemperatur T0
L = T
e abgestrahlte Leistung
A Oberfläche Körper
= 5.67 10 8Wm 1K
Wärmeleitfähigk.
Temperaturgrad.
A Fläche
I Wärmestrom
dQ
dT
= A
dt
dx
I =
1)
T1
T
= 21
1
p1
p2
e
4 v 2 (wahrsch. für gewisse Geschw.)
(n Stoffmenge [mol])
RS = = cp cV
[spez. Gask.]
N = nN A
[N Teilchenzahl]
(falls Gase nicht miteinander reagieren)
C
g
Mischen
von
Substanzen
M =
1000 kg [M Molmasse des Moleküls]
c
Endtemperatur:
cm = Cn mRS = nR (für c, C siehe F173)
c m T + c2m2T2
(c Wärmekap.)
Tm = 1 1 1
c1m1 + c2m2
Gasgesetze
p1V1 = p2V2
(Boyle-Mariotte)
C n T + C 2n2T2
(CV )
Tm = 1 1 1
V1 V2
C 1n1 + C 2n2
(Gay-Lussac)
=
f
T1 T2
CV
R
2
"J mol 1K 1 #
p1
p2
0%
f
$/
=
(Amonton)
C p ( 2 + 1) R
T1 T2
Wärmen bewirkt Temperaturanstieg
V1
p
= nRT ln 2
V2
p1
pV
p1V1
Wadiabatisch = cV m T = 2 2
1
cp
=
Qisochor = cV m T
c
2 Wärmemaschinen seriell:
[R univ. Gask.]
Isochor: W = 0, Q =
Wisotherm = nRT ln
=1
CV
R
M
Wärmen bewirkt Arbeit
Qisobar = c p m T
Carnot
[mol]
M (Molmasse [u ])
(T561) Zustandsänderungen
Isotherm: U = 0, Q = W
pdV
Wisobar = p (V1
=
R = N Ak = C p
(T Temperatur in der Höhe)
Wärmekapazität
Q = mc T
n=
N (Teilchenzahl )
NA
m 1000 g kg
(f Freiheitsgrade)
f
2
E kin = 32 mv
Umrechnungsformeln
(Dichte)
Energie
E kin = 2f RnT
4
p = p0 e
dp
V
Vfl
dT Gas
L
RT0
(
e
L
RT
)
(L latente Wärme)
L 1 1
R T T
= p0e 0
HS der Thermodynamik 2-3
2. Entropie nimmt immer zu
3. T
0 S
0
(S Entropie)
Einheiten
Name
Arbeit/Energie
Avogadrokonstante
Beschleunigung
Boltzmann-Konstante
Dichte
Drehimpuls
Drehmoment
Druck
Energiedichte
Frequenz
Geschwindigkeit
Gravitationskonstante
Impuls/Kraftstoss
Kraft
Kreisfrequenz
Länge
Leistung
molare Wärmekap.
Planck-Konstante
spez. Wärmekap.
Stoffmenge
Temperatur
Trägheitsmoment
Univers. Gaskonstante
Viskosität
Wärmemenge
Winkelgeschw.
Zeit
1
1
1
1
1
Pa
bar
atm
Torr = 1 mmHg
cal
Abkürzung
W.
NA.
a.
k
.
L.
M.
p
w
.
v.
G
p =F
t.
F.
..
.
P
C
.
c
n
T
J
R
.
Q
.
t
1Nm 2 .
105 Pa .
1.013 105 Pa ..
133.3 Pa ..
4.1868 J ..
Einheit in SI
J = kg m 2s 2 ..
mol 1 .
ms 2 .
JK 1 = kg m 2s 2K 1 .
kg m 3 .
Nms = kg m 2s 1 .
Nm = kg m 2s 2 .
Pa = Nm 2 = kg m 1s 2 .
Jm 3 = kg m 1s 2 .
Hz = s 1 .
m s 1 ..
kg 1m 3s 2
Ns = kg m s 1
N = kg m s 2
s 1.
m
W = Js 1 = kg m 2s 3 .
JK 1mol 1 = kg m 2s 2K 1mol 1 .
Js = kg m 2s 1
JK 1kg 1 = m 2s 2K 1
mol
K
kg m 2
JK 1mol 1 = kg m 2s 2K 1mol 1
kg m 1s 1
J = kg m 2s 2
s 1
s
1 eV
1 kW h
1 PS
1.602189 10
3.6 106 J .
735.5W ..
19
J
.
13
Aufgabensammlung
Rollende Kugel
2
mr 2 rollt eine schiefe Ebene hinunter. Berechne die Beschleunigung der Kugel.
5
Methode 2
Methode 1
Satz von Steiner
Aufteilung Rotation/Translation
Eine Kugel I =
F = Frot + Ftran
M = r Frot = I
Objekt wird als ruhend angesehen. Die
Gravitationskraft zieht am Massenmittelpunkt und
die Kugel rotiert um den Auflagepunkt.
r =a
2
a
2
mr 2 2 = ma
5
r
5
= ma
Frot =
Ftran
M = F r = (I + mr 2 )
r =a
2
mr 2 + mr 2
I + mr 2
7
5
F=
a = ma = mg sin
=
2
2
5
r
r
5
a = g sin
7
2
ma + ma = mg sin
5
7
F = ma = mg sin
5
5
a = g sin
7
F=
Methode 3
Energie
Methode 4
Rotation durch Haftreibung (analog Methode 1)
E pot = E tran + E rot
Schwerkraft bewirkt Beschleunigung:
Ftran = mg sin
FR = m a
Reibkraft FR bewirkt Drehmoment:
mgh =
1
1
mv 2 + I
2
2
2
I
r =v
2
M = FR r = I
v2
1
12
mgh = mv 2 +
mr 2 2
r
2
25
10
v=
gh
7
s sin = h
10
v=
g s sin = a t t =
7
10
g s sin
v
2
7
a= =
|()
s
2
t
a
5
a = g sin
7
Kugel und Looping
mv p2
1. FZ = FG
= mg
r
FR =
2
mr 2
5
FR
2
ma = m a
5
5
mg sin
= g sin
a=
2
7
m + 5m
mg sin
2s
a
v p2 = gr
1
2. Energie: mgh = mg 2r + mv p2
2
14
2
ma
5
=
h=
5
r
2
r =a