Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band1

Lothar Papula
Mathematik
für Ingenieure und
Naturwissenschaftler
Band 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
für das Grundstudium
12., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 609 Abbildungen, zahlreichen Beispielen
aus Naturwissenschaft und Technik sowie
352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen
STUDIUM
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1. Auflage 1983
2., durchgesehene Auflage 1984
3., durchgesehene Auflage 1986
4., durchgesehene und erweiterte Auflage 1988
5., verbesserte Auflage 1990
6., verbesserte Auflage 1991
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1996
8., verbesserte Auflage 1998
9., verbesserte Auflage 2000
10., erweiterte Auflage Oktober 2001
11., verbesserte und erweiterte Auflage 2007
unveränderter Nachdruck 2008
12., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009
Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander
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von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden
Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza
Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Těšínská Tiskárna, a. s., Tschechien
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0545-4
V
Vorwort
Das dreibändige Werk Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein
Lehr- und Arbeitsbuch für das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem ergänzt. Die Bände 1 und 2 lassen sich dem
Grundstudium zuordnen, während der dritte Band spezielle Themen überwiegend aus
dem Hauptstudium behandelt.
Zur Stoffauswahl des ersten Bandes
Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, dass die Studienanfänger nach wie vor über
sehr unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkenntnisse verfügen. Insbesondere in der Algebra bestehen große Defizite. Die Gründe hierfür
liegen u. a. in der Verlagerung der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Abwahl des Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein nahtloser und erfolgreicher bergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusätzliche Hilfen kaum möglich. Dieser erste Band des Lehr- und Lernsystems leistet die
dringend benötigte „Hilfestellung“ durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elementarmathematik in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung für eine tragfähige Verbindung („Brücke“) zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich
bereits in der Vergangenheit bestens bewährt hat und deshalb konsequent beibehalten
wurde.
Im vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt:
Allgemeine Grundlagen (u. a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, binomischer Lehrsatz)
Vektoralgebra (zunächst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum)
Differentialrechnung
|ﬄ{zﬄ}
Funktionen und Kurven (als wichtigste Grundlage für die Differential- und Integralrechnung)
(mit zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft
und Technik)
Integralrechnung
Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen)
Komplexe Zahlen und Funktionen
Eine bersicht über die Inhalte der Bände 2 und 3 erfolgt im Anschluss an das Inhaltsverzeichnis.
VI
Vorwort
Zur Darstellung des Stoffes
Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden berlegungen ausgegangen:
Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen eine bedeutende Rolle, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares)
Hilfsmittel.
Aufgrund der veränderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defizite sollte der Studienanfänger nicht überfordert werden.
Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verständliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewählt. Begriffe, Zusammenhänge, Sätze und
Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen näher erläutert.
Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die bungsaufgaben am Ende
eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einüben und Vertiefen
des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausführlich kommentierten)
Lösungen ermöglichen dem Leser eine ständige Selbstkontrolle.
Mit der Verbesserung von Bildern wurden die Beispiele noch verständlicher und optimiert. Dazu zählen auch zusätzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenentwicklung.
Zur äußeren Form
Zentrale Inhalte wie Definitionen, Sätze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und
Beispiele sind besonders hervorgehoben:
Definitionen, Sätze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und
grau unterlegt.
Anfang und Ende von Beispielen sind durch das Symbol
&
gekennzeichnet.
Bei der (bildlichen) Darstellung von Flächen und räumlichen Körpern wurden Grauraster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussagekräftige Bilder zu erhalten.
Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen
In zunehmendem Maße werden leistungsfähige Computeralgebra-Programme wie z. B.
MATLAB, MAPLE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich
eingesetzt. Solche Programme können bereits im Grundstudium ein nützliches und sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art „Kontrollinstanz“ beim Lösen von
bungsaufgaben verwendet werden (berprüfung der von Hand ermittelten Lösungen
mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem
Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos lösen.
Vorwort
VII
Veränderungen gegenüber der 11. Auflage
Der vorliegende Band wurde vollständig überarbeitet und erweitert. Neu aufgenommen
wurde ein Kapitel über Komplexe Zahlen und Funktionen (bisher in Band 2).
Eine Bitte des Autors
Für Hinweise und Anregungen – insbesondere auch aus dem Kreis der Studentenschaft
– bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe für
die permanente Verbesserung dieses Lehrwerkes.
Ein Wort des Dankes . . .
. . . an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben,
. . . an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Frau Gabriele McLemore
und Herrn Thomas Zipsner, für die hervorragende Zusammenarbeit während der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes,
. . . an Frau Schulz vom Druck- und Satzhaus „Thomas Müntzer“ für den ausgezeichneten mathematischen Satz.
Wiesbaden, im Frühjahr 2009
Lothar Papula
IX
Inhaltsverzeichnis
I Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Definition und Darstellung einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
2 Die Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Teilmengen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
8
3 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Gleichungen 3. und höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ a x 3 þ b x 2 þ c x ¼ 0 . .
3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Definition der Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch
Fallunterscheidung (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege
(Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
11
12
12
13
15
15
4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Der Gaußsche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . .
23
26
35
6 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Zu Abschnitt 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
18
19
X
Inhaltsverzeichnis
Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
44
II Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.1
1.2
1.3
1.4
Definition eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichheit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
46
47
48
49
51
52
2 Vektorrechnung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Darstellung der Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Linear unabhängige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems . . . . . .
54
58
58
59
61
61
64
67
69
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Darstellung der Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld
(Lorentz-Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Linear unabhängige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
75
75
77
79
79
82
83
85
88
90
90
96
96
97
98
102
Inhaltsverzeichnis
XI
4 Anwendungen in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene . . . . . .
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
105
107
108
110
112
114
117
117
119
122
123
125
126
130
132
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
Zu Abschnitt 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
141
III Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1 Definition und Darstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
1.1 Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Darstellungsformen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
147
147
148
148
149
2 Allgemeine Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrfunktion oder inverse Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
152
154
157
159
3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
3.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . .
3.3 bergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definition der Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
164
168
168
171
XII
Inhaltsverzeichnis
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
4.1 Reelle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ! x 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x ! 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines
mechanischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
173
175
177
177
181
183
184
185
186
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Definition einer ganzrationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstante und lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomfunktionen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion . . . . . . .
Interpolationspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Interpolationspolynom von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
191
194
198
203
207
207
208
212
6 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion
im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators . . . . . . . . . . . .
212
213
219
222
7 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
7.1
7.2
7.3
7.4
Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem
elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
225
228
8 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung
2. Grades mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Gleichungen eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Gleichungen einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Gleichungen einer Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Gleichungen einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
231
232
234
237
239
229
Inhaltsverzeichnis
9 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
XIII
243
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . . .
Anwendungen in der Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . .
9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels
(Feder-Masse-Schwinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen . . . . .
9.5.4 Lissajous-Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
258
265
270
10 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
243
248
249
250
252
252
252
Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . .
Arkussinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arkuskosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
272
274
275
278
11 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen
mit e-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Abklingfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Sättigungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Wachstumsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.4 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Gauß-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
280
12 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
12.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
295
298
13 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
13.1 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x . . . . . . . . .
13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x . . . . . . . . .
13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen . . . . . . .
13.2 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Definition der Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x . . . . . . . . . .
300
300
301
303
304
305
305
305
282
282
285
288
289
291
XIV
Inhaltsverzeichnis
13.2.3 Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x . . . . . . . . . .
13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen . . .
13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung
des Luftwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
307
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Zu
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1 ......................................................
2 ......................................................
3 ......................................................
4 ......................................................
5 ......................................................
6 ......................................................
7 ......................................................
8 ......................................................
9 und 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11, 12 und 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
309
310
311
312
313
316
316
317
317
320
IV Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
1 Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
1.1 Das Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ableitung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
324
328
2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) . . . .
Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes
(Geschwindigkeit, Beschleunigung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.2 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.3 Elektrischer Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
332
333
335
337
343
344
346
347
350
352
354
357
361
361
364
365
Inhaltsverzeichnis
XV
3 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
3.1 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Monotonie und Krümmung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Charakteristische Kurvenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren
von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
368
371
371
372
374
382
382
388
392
394
400
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414
Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414
414
418
406
406
407
V Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
1 Integration als Umkehrung der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
2.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
429
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . .
440
5 Grund- oder Stammintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion
446
7 Elementare Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
450
8 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453
8.1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453
453
454
XVI
Inhaltsverzeichnis
8.2 Partielle Integration oder Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch
Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Integration der Partialbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Numerische Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Simpsonsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468
469
471
475
476
481
9 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
487
9.1 Unendliches Integrationsintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488
492
10 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495
10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens
10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes . . . . .
10.2 Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen) . . . . . . . . . .
10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Arbeits- und Energiegrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Schwerpunkt homogener Flächen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Massenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.2 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers . . . . .
495
495
498
500
501
501
506
512
518
521
525
531
536
536
538
544
549
549
552
554
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
559
Zu
Zu
Zu
Zu
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1 bis 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 ......................................................
9 ......................................................
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462
559
562
564
565
Inhaltsverzeichnis
XVII
VI Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
1 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
570
1.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 ber den Umgang mit unendlichen Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Vergleichskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen . . . . . . . .
1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen . . . . . . . . . . .
570
572
572
573
577
578
579
583
583
586
588
2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
590
2.1 Definition einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eigenschaften der Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
590
591
596
3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597
3.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mac Laurinsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Taylorsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen
3.3 Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden . . . . . . . .
3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung
des Luftwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
598
599
599
607
608
610
610
621
624
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
633
Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
633
635
635
630
VII Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
640
1.1 Definition einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Weitere Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
640
643
646
XVIII
Inhaltsverzeichnis
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Algebraische oder kartesische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen . . . . . . . . . .
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . .
649
649
649
652
654
655
2 Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
2.1 Grundrechenarten für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) . . . . . . . . . . .
2.2 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Radizieren (Wurzelziehen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
661
663
672
673
675
681
3 Anwendungen der komplexen Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
683
3.1 Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm
3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger . . . . . .
3.1.2 Ungestörte berlagerung gleichfrequenter Schwingungen . . . . . . . . . .
3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: berlagerung gleichfrequenter
Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung
683
683
687
690
691
691
693
698
4 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
701
4.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer
Induktivität (Widerstandsortskurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer
Kapazität (Leitwertortskurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Inversion einer Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Inversionsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve . . . . .
701
702
705
bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
714
Zu
Zu
Zu
Zu
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1
2
3
4
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
705
706
707
707
709
711
714
715
717
719
Inhaltsverzeichnis
XIX
Anhang: Lösungen der bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
721
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3................................................
4 ...............................................
5 ...............................................
6 ...............................................
721
721
723
726
727
II Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
728
Abschnitt 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
728
732
III Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
740
I
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1 ...............................................
2 ...............................................
3 ...............................................
4 ...............................................
5 ...............................................
6 ...............................................
7 ...............................................
8 ...............................................
9 und 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11, 12 und 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
740
742
742
743
745
747
749
749
750
753
IV Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
755
Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
755
755
763
V Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
774
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1 bis 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 ...............................................
9 ...............................................
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
774
776
779
780
VI Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
784
Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
784
788
789
XX
Inhaltsverzeichnis
VII Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
Abschnitt
1
2
3
4
797
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
797
800
804
806
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
808
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
809
XXI
Inhaltsübersicht Band 2
Kapitel I:
Lineare Algebra
1
2
3
4
5
6
7
Vektoren
Reelle Matrizen
Determinanten
Ergänzungen
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
Kapitel II: Fourier-Reihen
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
2 Anwendungen
Kapitel III: Differential- und Integralrechnung für Funktionen
von mehreren Variablen
1 Funktionen von mehreren Variablen
2 Partielle Differentiation
3 Mehrfachintegrale
Kapitel IV: Gewöhnliche Differentialgleichungen
1 Grundbegriffe
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
4 Anwendungen in der Schwingungslehre
5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
XXII
Inhaltsübersicht Band 2
Kapitel V: Fourier-Transformationen
1
2
3
4
5
6
Grundbegriffe
Spezielle Fourier-Transformationen
Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen
Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssätze)
Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
Anwendungen der Fourier-Transformation
Kapitel VI: Laplace-Transformationen
1
2
3
4
5
Anhang:
Grundbegriffe
Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssätze)
Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion
Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
Anwendungen der Laplace-Transformation
Lösungen der bungsaufgaben
XXIII
Inhaltsübersicht Band 3
Kapitel I:
Vektoranalysis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ebene und räumliche Kurven
Flächen im Raum
Skalar- und Vektorfelder
Gradient eines Skalarfeldes
Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes
Spezielle ebene und räumliche Koordinatensysteme
Linien- oder Kurvenintegrale
Oberflächenintegrale
Integralsätze von Gauß und Stokes
Kapitel II: Wahrscheinlichkeitsrechnung
1
2
3
4
5
6
7
8
Hilfsmittel aus der Kombinatorik
Grundbegriffe
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen
Prüf- oder Testverteilungen
Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik
1 Grundbegriffe
2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe
3 Statistische Schätzmethoden für die unbekannten Parameter einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parameterschätzungen“)
4 Statistische Prüfverfahren für die unbekannten Parameter einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parametertests“)
5 Statistische Prüfverfahren für die unbekannte Verteilungsfunktion
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Anpassungs- oder
Verteilungstests“)
6 Korrelation und Regression
XXIV
Inhaltsübersicht Band 3
Kapitel IV: Fehler- und Ausgleichsrechnung
1 „Fehlerarten“ (systematische und zufällige Messabweichungen).
Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung
2 Statistische Verteilung der Messwerte und Messabweichungen
(„Messfehler“)
3 Auswertung einer Messreihe
4 „Fehlerfortpflanzung“ nach Gauß
5 Ausgleichs- oder Regressionskurven
Anhang:
Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Statistik
Teil B: Lösungen der bungsaufgaben
1
I Allgemeine Grundlagen
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen
1.1 Definition und Darstellung einer Menge
Definition: Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung gewisser, wohlunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit.
Mengen lassen sich durch ihre Eigenschaften beschreiben (sog. beschreibende Darstellungsform):
M ¼ fx j x besitzt die Eigenschaften E 1 , E 2 , . . . , E n g
ðI-1Þ
Eine weitere Darstellungsmöglichkeit bietet die aufzählende Form:
M ¼ fa 1 , a 2 , . . . , a n g
Endliche Menge
ðI-2Þ
M ¼ fa, b, c, . . .g
Unendliche Menge
ðI-3Þ
a 1 , a 2 , . . ., a n bzw. a, b, c, . . . sind die Elemente der Menge. Die Reihenfolge, in der
die einzelnen Elemente aufgeführt werden, spielt dabei keine Rolle. Die Elemente sind
immer paarweise voneinander verschieden, ein Element kann daher nur einmal auftreten.
&
Beispiele
(1)
M 1 ¼ fx j x ist eine reelle Zahl und Lösung der Gleichung x 2 ¼ 1g ¼ f 1, 1g
(2)
M2 ¼ fx j x ist eine natürliche Zahl mit 2 < x 4g ¼ f0, 1, 2, 3, 4g
(3)
M 3 ¼ fx j x ist eine ganze Zahl mit der Eigenschaft x 2 < 16g
Zu dieser Menge gehören die Zahlen 3, 2, 1, 0, 1, 2 und 3. In der aufzählenden Form lautet die Menge demnach:
M 3 ¼ f 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3g
(4)
oder
M 3 ¼ f0, 1, 2, 3g
Menge der natürlichen Zahlen (enthält auch die Zahl 0):
N ¼ f0, 1, 2, 3, . . .g
&
2
I Allgemeine Grundlagen
Gehört ein gewisses Objekt a zu einer Menge A, so schreibt man dafür symbolisch
a 2 A
ðgelesen: a ist ein Element von AÞ
ðI-4Þ
Die Schreibweise b 62 A bringt dagegen zum Ausdruck, dass der Gegenstand b nicht
zur Menge A gehört:
b 62 A
ðgelesen: b ist kein Element von AÞ
ðI-5Þ
Die Lösungen einer Gleichung lassen sich zu einer sog. Lösungsmenge L zusammenfassen. Dabei kann der Fall eintreten, dass die Gleichung unlösbar ist: Die Lösungsmenge
enthält dann überhaupt kein Element, sie ist „leer“. Eine Menge dieser Art wird als leere
Menge bezeichnet und durch das folgende Symbol gekennzeichnet:
f g
&
oder
˘
ðI-6Þ
Beispiele
Die quadratische Gleichung x 2 þ 1 ¼ 0 besitzt keine reelle Lösung. Ihre Lösungsmenge L ist daher die leere Menge:
(1)
L ¼ fx j x ist reell und eine Lösung der Gleichung von x 2 þ 1 ¼ 0g ¼ f g
(2)
Die Nullstellen der Sinusfunktion sind die Lösungen der trigonometrischen Gleichung sin x ¼ 0. Sie führen auf die folgende unendliche Lösungsmenge:
L ¼ fx j x ist reell und Lösung der Gleichung sin x ¼ 0g ¼
¼ f0; p, 2 p, 3 p, . . .g
&
Bei der Beschreibung von Funktionen benötigen wir Zahlenmengen, die sich als gewisse
Teilbereiche der reellen Zahlen erweisen (sog. Intervalle). Dies führt uns zum Begriff
der wie folgt definierten Teilmenge:
Definition: Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element
von A auch zur Menge B gehört. Symbolische Schreibweise:
AB
ðI-7Þ
(gelesen: A ist in B enthalten; Bild I-1)
In Bild I-1 ist dieser Sachverhalt in anschaulicher Form durch ein sog. Euler-VennDiagramm dargestellt:
A
B
Bild I-1
Zum Begriff einer Teilmenge (A BÞ
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen
&
3
Beispiele
(1)
A ¼ f1, 3, 5g ,
B ¼ f 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5g
A ist eine Teilmenge von B, da alle drei Elemente von A, also die Zahlen 1, 3
und 5 auch in der Menge B enthalten sind: A B.
(2)
M 1 ¼ f0, 2, 4g ,
M 2 ¼ f2, 4, 6, 8g
Das Element 0 2 M 1 gehört nicht zur Menge M 2 . Daher ist M 1 keine Teilmen&
ge von M 2 . Symbolische Schreibweise: M 1 6 M 2 .
Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element von A
auch Element von B ist und umgekehrt:
A ¼ B
(I-8)
(gelesen: A gleich B)
&
Beispiel
A ¼ f0, 1, 2, 5, 10g ,
B ¼ f10, 5, 2, 0, 1g
Jedes Element von A ist auch Element von B und umgekehrt. Die beiden Mengen
unterscheiden sich also lediglich in der Anordnung ihrer Elemente und sind daher
&
gleich: A ¼ B.
1.2 Mengenoperationen
Wir erklären die mengenalgebraischen Operationen Durchschnitt (\) und Vereinigung ([)
sowie den Begriff der Differenzmenge (auch Restmenge genannt).
Definition: Die Schnittmenge A \ B zweier Mengen A und B ist die Menge
aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören:
A \ B ¼ fx j x 2 A und x 2 Bg
ðI-9Þ
(gelesen: A geschnitten mit B; Bild I-2)
A
B
Bild I-2
Anmerkung
Die Schnittmenge A \ B wird auch als Durchschnitt der Mengen A und B bezeichnet.
4
&
I Allgemeine Grundlagen
Beispiel
Wir bestimmen diejenigen reellen x-Werte, die zugleich den beiden Ungleichungen
2 x 4 > 0 und x < 3 genügen:
2x 4 > 0
x < 3
)
)
2x > 4
)
x > 2
)
L 1 ¼ fx j x > 2g
L 2 ¼ fx j x < 3g
Die Schnittmenge von L 1 und L 2 ist die gesuchte Lösungsmenge L:
L ¼ L 1 \ L 2 ¼ fx j x > 2 und x < 3g ¼ fx j 2 < x < 3g
Besonders anschaulich lässt sich dieser Vorgang auf der Zahlengerade darstellen: Die
gesuchten Lösungen ergeben sich durch berlappung der Teilmengen L 1 und L 2
(Bild I-3):
2<x<3
L2
L1
0
1
2
3
x
&
Bild I-3
Definition: Die Vereinigungsmenge A [ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören:
A [ B ¼ fx j x 2 A oder x 2 Bg
ðI-10Þ
(gelesen: A vereinigt mit B; Bild I-4)
A
B
Bild I-4
Anmerkung
Man beachte, dass auch diejenigen Elemente zur Vereinigungsmenge gehören, die zugleich Elemente von A und B sind (es handelt sich hier also nicht um das „oder“ im
Sinne von „entweder oder“).
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen
&
5
Beispiele
(1)
A ¼ f1, 2, 3, 4g ,
B ¼ f1, 5, 6, 7g
(2)
M 1 ¼ fx j 0 x 1g ,
)
A [ B ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g
M 2 ¼ fx j 1 x 5g
M 1 [ M 2 ¼ fx j 0 x 5g
)
(siehe Bild I-5)
M1 ∪ M2
M2
M1
0
1
2
3
4
5
x
&
Bild I-5
Definition: Die Differenzmenge (Restmenge) A n B zweier Mengen A und B ist
die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehören:
A n B ¼ fx j x 2 A und x 62 Bg
ðI-11Þ
(gelesen; A ohne B; Bild I-6)
A
B
Bild I-6
&
Beispiele
(1)
N ¼ f0, 1, 2, . . .g ,
N* ¼ f1, 2, 3, . . .g
N* ¼ N n f0g ¼ f1, 2, 3, . . .g
(2)
A ¼ f1, 5, 7, 10g ,
B ¼ f0, 1, 7, 15g
)
)
A n B ¼ f5, 10g
&
6
I Allgemeine Grundlagen
2 Die Menge der reellen Zahlen
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften
Grundlage aller Rechen- und Messvorgänge sind die reellen Zahlen 1Þ . Sie werden durch
das Symbol R gekennzeichnet und lassen sich in anschaulicher Weise durch Punkte auf
einer Zahlengerade darstellen (die Zuordnung ist dabei umkehrbar eindeutig, Bild I-7):
–1,4
–1
0
0,5
1
1,7
2
x
Bild I-7 Zahlengerade
Positive Zahlen werden dabei nach rechts, negative Zahlen nach links abgetragen (jeweils
vom Nullpunkt aus).
Auf der Zahlenmenge R sind vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten, erklärt. Es sind dies:
– Addition (þ)
– Subtraktion () als Umkehrung der Addition
– Multiplikation ()
– Division (:) als Umkehrung der Multiplikation
Die Grundrechenarten genügen dabei den folgenden Grundgesetzen:
Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen
a
1. Summe a þ b, Differenz a b, Produkt a b und Quotient
zweier reelb
ler Zahlen a und b ergeben wiederum reelle Zahlen.
Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist nicht erlaubt.
2. Addition und Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen a, b 2 R gilt stets:
aþb ¼ bþa
ab ¼ ba
1Þ
g
Kommutativgesetze
Zu ihnen gehören:
1. alle endlichen Dezimalbrüche (einschließlich der ganzen Zahlen),
2. alle unendlichen periodischen Dezimalbrüche und
3. alle unendlichen nicht periodischen Dezimalbrüche.
ðI-12Þ
2 Die Menge der reellen Zahlen
7
3. Addition und Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen. Für beliebige
Zahlen a, b, c 2 R gilt stets:
a þ ðb þ cÞ ¼ ða þ bÞ þ c
a ðb cÞ ¼ ða bÞ c
g
ðI-13Þ
Assoziativgesetze
4. Addition und Multiplikation sind über das Distributivgesetz miteinander verbunden:
a ðb þ cÞ ¼ a b þ a c
ðI-14Þ
Distributivgesetz
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag
Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmte Anordnung in dem folgenden Sinne:
Zwei Zahlen a, b 2 R stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen
zueinander:
a b
ða größer bÞ
Bild I-8
a
b
x
Bild I-9
a=b
x
Bild I-10
b
a
x
Aussagen (Beziehungen) der Form a b werden als Ungleichungen bezeichnet. Zu ihnen zählt man auch die Relationen
a b ða kleiner oder gleich b, d. h. entweder a b oder a ¼ bÞ
Anmerkungen
(1)
a b bedeuten: Der Bildpunkt von a liegt links bzw. rechts vom
Bildpunkt von b (vgl. hierzu die Bilder I-8 und I-10).
(2)
a ¼ b bedeutet: Die Bildpunkte von a und b fallen zusammen (Bild I-9).
Unter dem Betrag einer reellen Zahl a wird der Abstand des zugeordneten Bildpunktes
vom Nullpunkt verstanden (Bild I-11).
| b| = – b
b
| a| = a
0
a
x
Bild I-11
Zum Begriff des Betrages
einer Zahl ða > 0, b < 0Þ
8
I Allgemeine Grundlagen
Er wird durch das Symbol
8
>
< a
jaj ¼
0 f ür
>
:
a
&
j a j gekennzeichnet und ist stets größer oder gleich Null:
9
a > 0>
=
a ¼ 0 ,
jaj 0
ðI-15Þ
>
;
a < 0
Beispiele
j3j ¼ 3,
j 5j ¼ 5,
jpj ¼ p,
j cos p j ¼ j 1 j ¼ 1
&
2.3 Teilmengen und Intervalle
Wir geben einige besonders wichtige und häufig auftretende Teilmengen von R an:
Spezielle Zahlmengen (Standardmengen)
N ¼ f0, 1, 2, . . .g
Menge der natürlichen Zahlen 2Þ
N* ¼ f1, 2, 3, . . .g
Menge der positiven ganzen Zahlen
Z ¼ f0, 1, 2, . . .g
n
o
a
mit a 2 Z und b 2 N*
Q ¼ xjx ¼
b
R
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Bei der Beschreibung der Definitions- und Wertebereiche von Funktionen benötigen wir
spezielle, als Intervalle bezeichnete Teilmengen von R, die durch zwei Randpunkte begrenzt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:
Zusammenstellung der wichtigsten Intervalle
1. Endliche Intervalle
ða < bÞ
½ a, b ¼ fx j a x bg
½ a, b Þ ¼ fx j a x < bg
ða, b ¼ fx j a < x bg
ða, bÞ ¼ fx j a < x < bg
2Þ
abgeschlossenes Intervall
g
halboffene Intervalle
offenes Intervall
Die Zahl 0 wird den natürlichen Zahlen zugerechnet.
3 Gleichungen
9
2. Unendliche Intervalle
½ a, 1Þ
¼ fx j a x < 1g
ða, 1Þ
¼ fx j a < x < 1g
ð 1, b ¼ fx j 1 < x bg
ð 1, bÞ ¼ fx j 1 < x < bg
ð 1, 0Þ ¼ R
ð0, 1Þ
¼ Rþ
ð 1, 1Þ ¼ R
Anmerkungen
&
(1)
Bei einem abgeschlossenen Intervall gehören beide Randpunkte zum Intervall, bei
einem offenen Intervall dagegen keiner, bei einem halboffenen Intervall nur einer
der beiden Randpunkte.
(2)
Die in Naturwissenschaft und Technik verwendeten Symbole für Intervalle weichen
häufig von den in der Mathematik üblichen Symbolen ab. So schreibt man beispielsweise für das Intervall fx j a < x < bg meist in verkürzter Form a < x < b.
Beispiele
(1)
Bild I-12
[1, 5]
1
(2)
(4)
x
5
Bild I-13
( 3, 2)
–3
(3)
1≤ x≤ 5
( 1, 1]
( 5, 1]
–3 < x < 2
x
2
Bild I-14
–∞
–5
–∞<x≤1
– 5 < x ≤ –1
1
–1
x
x
Bild I-15
&
3 Gleichungen
In diesem Abschnitt behandeln wir einige, in den Anwendungen besonders häufig auftretende Gleichungen mit einer unbekannten Größe. Dazu gehören:
–
–
–
–
Lineare, quadratische und kubische Gleichungen
Algebraische Gleichungen höheren Grades (allgemein: n-ten Grades)
Bi-quadratische Gleichungen
Wurzel- und Betragsgleichungen
10
I Allgemeine Grundlagen
Trigonometrische (oder goniometrische) Gleichungen, Exponential- und Logarithmusgleichungen werden in Kapitel III im Anschluss an die Darstellung der entsprechenden
Funktionen besprochen.
In vielen Fällen ist man bei der Lösung einer Gleichung auf Näherungsverfahren angewiesen, da die Gleichung entweder nicht exakt lösbar ist oder aber der Lösungsmechanismus vom Aufwand her als nicht vertretbar erscheint. Ein solches Standardverfahren
der numerischen Mathematik ist beispielsweise das von Newton stammende Tangentenverfahren, das wir in den Anwendungen der Differentialrechnung in Kapitel IV (Abschnitt 3.6) noch ausführlich besprechen werden.
3.1 Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung vom allgemeinen Typ
ax þ b ¼ 0
ða 6¼ 0Þ
ðI-16Þ
besitzt genau eine Lösung, nämlich x 1 ¼ b=a.
&
Beispiel
3 x 18 ¼ x þ 6
)
4 x ¼ 24
)
x1 ¼ 6
)
Lösungsmenge : L ¼ f6g
&
3.2 Quadratische Gleichungen
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
ax2 þ bx þ c ¼ 0
ða 6¼ 0Þ
ðI-17Þ
Sie lässt sich stets in die Normalform
x2 þ px þ q ¼ 0
ð p ¼ b=a, q ¼ c=aÞ
ðI-18Þ
überführen. Die Lösungen dieser Gleichung lauten (sog. p, q-Formel):
Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 þ p x þ q ¼ 0 (sog. p, q-Formel)
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
p 2
p
p
p2
x 1=2 ¼ q ¼ q
ðI-19Þ
4
2
2
2
3 Gleichungen
11
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante D ¼
folgt vorgenommen:
2
p=2 q wie
D > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen
D ¼ 0: Eine (doppelte) reelle Lösung
D < 0: Keine reellen Lösungen 3Þ
&
Beispiele
(1)
2 x 2 4 x þ 6 ¼ 0 j : ð 2Þ
)
x2 þ 2x 3 ¼ 0
D ¼ 1 2 þ 3 ¼ 4 > 0 ) Zwei verschiedene reelle Lösungen
pﬃﬃﬃ
x 1=2 ¼ 1 4 ¼ 1 2
x1 ¼ 1 ,
(2)
x2 ¼ 3
)
3 x 2 þ 9 x þ 6,75 ¼ 0 j : 3
L ¼ f 3, 1g
)
x 2 þ 3 x þ 2,25 ¼ 0
D ¼ 1,5 2 2,25 ¼ 2,25 2,25 ¼ 0 ) Eine (doppelte) reelle Lösung
pﬃﬃﬃ
x 1=2 ¼ 1,5 0 ¼ 1,5 0 ¼ 1,5 ) L ¼ f 1,5g
(3)
x 2 4 x þ 13 ¼ 0
D ¼ ð 2Þ 2 13 ¼ 9 < 0
) Keine reellen Lösungen )
L ¼ f g
&
3.3 Gleichungen 3. und höheren Grades
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades ist in der Form
a n x n þ a n1 x n1 þ . . . þ a 1 x þ a 0 ¼ 0
ða n 6¼ 0Þ
ðI-20Þ
darstellbar (sinnvoller Weise nach fallenden Potenzen geordnet). Sie besitzt höchstens n
reelle Lösungen, die auch als Wurzeln der Gleichung bezeichnet werden. Ist n ungerade,
so existiert mindestens eine reelle Lösung. Für Gleichungen bis einschließlich 4. Grades
lassen sich allgemeine Lösungsformeln herleiten, mit deren Hilfe die Lösungen berechnet werden können. Als Beispiel führen wir die Cardanische Lösungsformel für eine
Gleichung 3. Grades an.
3Þ
Die Lösungen sind dann sog. (konjugiert) komplexe Zahlen. Sie werden später in Kap. VII ausführlich
behandelt.
12
I Allgemeine Grundlagen
Leider jedoch sind diese Formeln in der Praxis meist zu schwerfällig, sodass man in der
Regel auf andere Verfahren ausweicht (z. B. auf graphische oder numerische Näherungsverfahren, siehe hierzu das in Kapitel IV dargestellte Tangentenverfahren von Newton).
Ist eine Lösung x 1 bekannt, so kann die Gleichung n-ten Grades durch Abspalten des
entsprechenden Linearfaktors x x 1 auf eine Gleichung vom Grade n 1 reduziert
werden. Auf dieses Thema gehen wir im Zusammenhang mit den Polynomfunktionen
(ganzrationalen Funktionen) noch ausführlich ein (siehe hierzu Kap. III, Abschnitt 5).
Abschließend zeigen wir anhand von Beispielen, wie in Sonderfällen die Lösung einer
Gleichung dritten bzw. vierten Grades gelingt.
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ a x 3 þ b x 2 þ c x ¼ 0
Kubische Gleichungen der speziellen Form
ax3 þ bx2 þ cx ¼ 0
ða 6¼ 0Þ
ðI-21Þ
in denen also das absolute Glied fehlt, lassen sich stets durch Ausklammern der Unbekannten x in eine lineare und eine quadratische Gleichung zerlegen:
x ða x 2 þ b x þ cÞ ¼ 0 x ¼ 0
)
x1 ¼ 0
ax2 þ bx þ c ¼ 0
ðI-22Þ
Eine Lösung liegt daher stets bei x 1 ¼ 0, zwei weitere Lösungen können aus der quadratischen Gleichung resultieren (insgesamt bis zu drei Lösungen).
&
Beispiel
x3 þ 4x2 þ 3x ¼ 0
x ðx 2 þ 4 x þ 3Þ ¼ 0 x ¼ 0
)
x1 ¼ 0
x2 þ 4x þ 3 ¼ 0
)
x 2=3 ¼ 2 1
Es existieren in diesem Beispiel also genau drei verschiedene Lösungen. Sie lauten:
x1 ¼ 0 ,
x2 ¼ 1 ,
x3 ¼ 3
)
L ¼ f 3, 1, 0g
&
3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen
Eine algebraische Gleichung 4. Grades vom speziellen Typ
ax4 þ bx2 þ c ¼ 0
ða 6¼ 0Þ
ðI-23Þ
(es treten nur gerade Potenzen auf) heißt bi-quadratisch und lässt sich durch die Substitution u ¼ x 2 in eine quadratische Gleichung überführen:
a u2 þ b u þ c ¼ 0
ðI-24Þ
3 Gleichungen
13
Aus den Lösungen dieser Gleichung erhält man mittels der Rücksubstitution x 2 ¼ u
die Lösungen der bi-quadratischen Gleichung. Eine bi-quadratische Gleichung besitzt
daher entweder keine reelle Lösung oder aber zwei oder vier reelle Lösungen. Welcher
dieser drei Fälle eintritt, hängt vom Vorzeichen der Lösungen u 1 und u 2 der quadratischen „Hilfsgleichung“ ab (sofern solche Lösungen überhaupt existieren).
&
Beispiel
x 4 10 x 2 þ 9 ¼ 0
Substitution: u ¼ x 2
u 2 10 u þ 9 ¼ 0
)
u 1=2 ¼ 5 4
)
u1 ¼ 9 ,
u2 ¼ 1
Rücksubstitution mittels x 2 ¼ u:
x2 ¼ u1 ¼ 9
)
x 1=2 ¼ 3
x2 ¼ u2 ¼ 1
)
x 3=4 ¼ 1
Lösungsmenge: L ¼ f 3, 1, 1, 3g
oder
L ¼ f 1, 3g
&
3.4 Wurzelgleichungen
Die bisher behandelten Gleichungen konnten durch sog. äquivalente Umformungen 4Þ
schrittweise vereinfacht und schließlich gelöst werden, ohne dass dabei Lösungen hinzukamen oder verschwanden. Bei Wurzelgleichungen, in denen die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdrücken auftritt, ist dies im Allgemeinen nicht der Fall,
wie das folgende Beispiel zeigt:
&
Beispiel
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
6x 2 þ 5 3x ¼ 0
Der Wurzelausdruck wird zunächst isoliert:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
6x 2 ¼ 3x 5
An dieser Stelle wollen wir eine Vorbetrachtung über mögliche Lösungen vornehmen.
Die Lösungen müssen nämlich zwei Bedingungen erfüllen.
4Þ
Bei einer äquivalenten Umformung bleibt die Lösungsmenge der Gleichung oder Ungleichung (bezüglich
derselben Unbekannten) unverändert. Umformungen, die zu einer Veränderung der Lösungsmenge führen
können (nicht aber müssen), heißen nichtäquivalente Umformungen.
14
I Allgemeine Grundlagen
1. Bedingung: Der Radikand der Wurzel darf nicht negativ werden, d. h. also:
6x 2 0
)
6x 2
)
x 1=3
2. Bedingung: Eine Quadratwurzel ist stets größer oder gleich Null. Dies muss daher
auch für die rechte Seite der Wurzelgleichung gelten:
3x 5 0
)
3x 5
)
x 5=3
Beide Bedingungen zugleich sind nur für Lösungen x 5=3 erfüllbar. Sollten also im
weiteren Verlauf des Lösungsverfahrens Werte auftreten, die diese Bedingung nicht erfüllen, so handelt es sich um sog. „Scheinlösungen“ (eine Probe wird das bestätigen).
Nach dieser Vorbetrachtung wenden wir uns wieder der Lösung der Wurzelgleichung zu
und beseitigen zunächst den Wurzelausdruck durch Quadrieren:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
6 x 2 ¼ 3 x 5 j quadrieren
)
2
6x 2 ¼ 3x 5
Dieser Vorgang stellt jedoch eine nichtäquivalente Umformung dar und kann zu (weiteren) „Scheinlösungen“ führen, d. h. die neue (quadratische) Gleichung kann (muss aber
nicht) mehr Lösungen besitzen als die ursprüngliche Wurzelgleichung!
Wir lösen jetzt die quadratische Gleichung (nach Vertauschen beider Seiten):
3x 5
2
¼ 9 x 2 30 x þ 25 ¼ 6 x 2
9 x 2 36 x þ 27 ¼ 0 j : 9
x 1=2 ¼ 2 )
)
x2 4x þ 3 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
43 ¼ 2 1 ¼ 21
)
)
x1 ¼ 3 ,
x2 ¼ 1
Der erste Wert erfüllt die Bedingung x 5=3, der zweite Wert dagegen nicht
(„Scheinlösung“). Die Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung bestätigt unser
Ergebnis:
x1 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
6 3 2 þ 5 3 3 ¼ 16 4 ¼ 4 4 ¼ 0
Einzige Lösung der Wurzelgleichung ist somit x 1 ¼ 3:
Hinweis
Bei Verzicht auf die Vorbetrachtung muss durch Probe (Einsetzen aller gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung) festgestellt werden, ob es sich bei den Lösungen der
„Hilfsgleichung“ auch um Lösungen der Wurzelgleichung handelt oder um „Scheinlösungen“. In unserem Beispiel ist x 1 ¼ 3 eine Lösung der Wurzelgleichung, der Wert
x 2 ¼ 1 dagegen eine „Scheinlösung“.
&
3 Gleichungen
15
3.5 Betragsgleichungen
Wir zeigen in diesem Abschnitt anhand von Beispielen, wie man sog. Betragsgleichungen in einfachen Fällen durch Fallunterscheidung oder mit Hilfe eines halb-graphischen
Verfahrens lösen kann. Eine Betragsgleichung enthält dabei mindestens einen in Betragsstrichen stehenden Term mit der Unbekannten x. Zunächst aber müssen wir uns mit
den Eigenschaften der sog. Betragsfunktion vertraut machen.
3.5.1 Definition der Betragsfunktion
Definitionsgemäß verstehen wir unter dem Betrag j x j einer reellen Zahl x den Abstand
dieser Zahl von der Zahl 0.
&
Beispiel
j 4 j ¼ 4,
j 3 j ¼ 3
(Bild I-16)
| – 3|
| 4|
Bild I-16
–3
0
4
x
&
Der Abstand zweier Zahlen x und a auf der Zahlengerade ist dann j x a j (siehe
Bild I-17):
|x – a|
Bild I-17
a
x
x
Der Betrag j x j einer reellen Zahl x kann auch als eine Funktion von x aufgefasst
werden. Dies führt zu dem Begriff der wie folgt definierten Betragsfunktion:
Definition: Unter der Betragsfunktion y ¼ j x j wird die für alle x 2 R erklärte
Funktion
8
9
x 0=
< x
ðI-25Þ
y ¼ j x j¼
f ür
:
;
x
x < 0
verstanden (Bild I-18).
16
I Allgemeine Grundlagen
y
y = |x | = x
1
y = |x | = – x
Bild I-18
Schaubild der Betragsfunktion y ¼ j x j
1
x
y=x
Das Schaubild der Betragsfunktion y ¼ j x j erhält man aus der Geraden y ¼ x, indem
man den unterhalb der x-Achse liegenden Teil der Geraden an der x-Achse spiegelt, wie
man unmittelbar aus Bild I-18 entnehmen kann. Diese Aussage lässt sich für eine beliebige in Betragsstrichen stehende Funktion verallgemeinern:
Zeichnerische Konstruktion der Funktion y ¼ j f ðxÞj
Das Schaubild der Funktion y ¼ j f ðxÞj erhält man aus dem Schaubild von
y ¼ f ðxÞ, indem man alle unterhalb der x-Achse liegenden Kurvenstücke an der
x-Achse spiegelt und die bereits oberhalb der x-Achse liegenden Teile unverändert
beibehält.
Anmerkung
Spiegelung an der x-Achse bedeutet für einen Kurvenpunkt, dass sich das Vorzeichen der
Ordinate ändert. Aus der Kurvengleichung y ¼ f ðxÞ wird dabei die Kurvengleichung
y ¼ g ðxÞ ¼ f ðxÞ.
Regel: Spiegelung an der x-Achse
&
) Multiplikation der Funktionsgleichung mit 1.
Beispiele
(1)
Wie verläuft die Funktion y ¼ j x 2 j?
Lösung: Wir zeichnen zunächst die „Hilfsgerade“ y ¼ x 2 und spiegeln dann
den unterhalb der x-Achse gelegenen Teil der Geraden an dieser Achse. Bild I-19
verdeutlicht diesen Vorgang und zeigt den Verlauf der Betragsfunktion
y ¼ j x 2 j.
3 Gleichungen
17
y
y = | x – 2 | = – (x– 2)
2
y = | x – 2 | = x– 2
1
–1
1
2
5
x
Bild I-19
Schaubild der Funktion
y ¼j x 2 j
y=x–2
–2
Die Funktionsgleichung y ¼ j x 2 j lässt sich abschnittsweise wie folgt durch
einfache Gleichungen beschreiben:
8
9
x 2=
< x 2
y ¼j x 2 j¼
f ür
:
;
ðx 2Þ
x < 2
(2)
Wir untersuchen das Kurvenbild von y ¼ j x 2 1 j. Zunächst zeichnen wir die
„Hilfsfunktion“ y ¼ x 2 1 (Parabel), spiegeln dann das unterhalb der x-Achse
gelegene Kurvenstück (Parabel zwischen x ¼ 1 und x ¼ 1) an dieser Achse
und erhalten auf diese Weise das Schaubild der Betragsfunktion y ¼ j x 2 1 j
(Bild I-20).
y
y = | x 2 – 1|
1
–1
1
–1
x
y= x2–1
Bild I-20
Schaubild der Funktion
y ¼ j x2 1 j
18
I Allgemeine Grundlagen
Abschnittsweise lässt sich diese Funktion auch wie folgt durch einfache Gleichungen beschreiben:
8
9
j x j 1=
< x2 1
y ¼j x 2 1 j ¼
f ür
:
;
jxj 1
ðx 2 1Þ
&
3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung
durch Fallunterscheidung (Beispiel)
Die Betragsgleichung
j x þ 2 j 2 j x 3 j ¼ 4
lässt sich durch Fallunterscheidungen auf einfachere und leicht lösbare lineare Gleichungen zurückführen. Dabei hängt alles vom Vorzeichen der beiden Terme T 1 ðxÞ ¼ x þ 2
und T 2 ðxÞ ¼ x 3 ab, die in der Gleichung zwischen den Betragsstrichen stehen.
Diese Beträge lassen sich wie folgt abschnittsweise durch einfache Ausdrücke ersetzen:
8
9
x þ 2 0 ) x 2=
< ðx þ 2Þ
jx þ 2j¼
f ür
:
;
ðx þ 2Þ
x þ 2 0 ) x 2
jx 3j¼
8
<
:
ðx 3Þ
x 3 0
9
) x 3=
x 3 0
) x 3
f ür
ðx 3Þ
;
Daher sind insgesamt drei Fälle zu unterscheiden:
x < 2;
2 x 3;
x > 3
Alles weitere hängt davon ab, welches Vorzeichen die Terme T 1 ðxÞ ¼ x þ 2 und
T 2 ðxÞ ¼ x 3 in diesen Intervallen haben.
Ist ein Term positiv, dürfen wir die Betragsstriche weglassen (wir setzen dann eine
Klammer), anderenfalls müssen wir den Term mit 1 multiplizieren (wir setzen wieder
eine Klammer und vor die Klammer ein Minuszeichen).
1. Fall: Lösungen im Intervall x < 2
In diesem Intervall sind beide Terme negativ:
x þ2 < 0
und
x 3 < 0
Somit gilt:
j x þ 2 j 2 j x 3 j¼ 4
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
<0
<0
x 2 þ 2x 6 ¼ 4
)
)
ðx þ 2Þ þ 2 ðx 3Þ ¼ 4
x 8 ¼4
)
x 1 ¼ 12
)
3 Gleichungen
19
Dieser Wert ist eine „Scheinlösung“, da er ausserhalb des Intervalls x < 2 liegt:
x 1 ¼ 12 > 2. Die Probe bestätigt unser Ergebnis (wir setzen den Wert x 1 ¼ 12 in
die Ausgangsgleichung ein):
j 12 þ 2 j 2 j 12 3 j ¼ j 14 j 2 j 9 j ¼ 14 2 9 ¼ 14 18 ¼ 4 6¼ 4
2. Fall: Lösungen im Intervall 2 x 3
Der Term x þ 2 ist positiv (oder Null), der Term x 3 dagegen negativ (oder Null).
Somit gilt:
j x þ 2 j 2 j x 3 j ¼ 4
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
0
0
)
x þ 2 þ 2x 6 ¼ 4
3x 4 ¼ 4
)
ðx þ 2Þ þ 2 ðx 3Þ ¼ 4
)
3x ¼ 8
)
x 2 ¼ 8=3
)
Dieser Wert liegt im Intervall 2 x 3 und ist somit eine Lösung der Betragsgleichung. Wir bestätigen dieses Ergebnis noch durch eine Probe:
8
þ 2 2 8 3 ¼ 14 2 1 ¼ 14 2 1 ¼ 14 2 ¼ 12 ¼ 4
3 3
3
3
3
3
3
3
3
3. Fall: Lösungen im Intervall x > 3
Beide Terme sind in diesem Intervall positiv. Daher gilt:
j x þ 2 j 2 j x 3 j ¼ 4
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
>0
>0
)
x þ 2 2x þ 6 ¼ 4
x þ 8 ¼ 4
)
ðx þ 2Þ 2 ðx 3Þ ¼ 4
)
)
x ¼ 4
)
x3 ¼ 4
Wegen x 3 ¼ 4 > 3 haben wir eine weitere Lösung der Betragsgleichung. Die Probe
bestätigt unser Ergebnis:
j 4 þ 2 j 2 j 4 3 j ¼j 6 j 2 j 1 j ¼ 6 2 1 ¼ 6 2 ¼ 4
Lösungen:
L ¼ f8=3, 4g
3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel)
Die Betragsgleichung
j x 2 j ¼ x2
kann wie folgt auf halb-graphischem Wege gelöst werden: Wir fassen die beiden Seiten
der Gleichung als Funktionen von x auf, setzen also
y1 ¼ j x 2 j
und
y2 ¼ x2
20
I Allgemeine Grundlagen
und bringen die Kurven zum Schnitt. Die Lösungen der Betragsgleichung sind dann die
Abszissenwerte der Kurvenschnittpunkte (Bild I-21). Aus dem Bild entnehmen wir, dass
es genau zwei Schnittpunkte und damit zwei Lösungen gibt.
y
y2 = x 2
y 1 = | x – 2| = – (x – 2)
( für x < 2)
y 1 = | x – 2| = x – 2
( für x ≥ 2)
1
–2
–1
1
2
5
x
Bild I-21 Zur Lösung der Betragsgleichung j x 2 j ¼ x 2 auf halb-graphischem Wege
Bei einer einigermaßen genauen Zeichnung können diese Werte direkt abgelesen werden,
jedoch mit keiner allzu großen Genauigkeit. Rechnerisch erhält man sie nach Bild I-21
über die Schnittpunkte der Geraden y ¼ ðx 2Þ ¼ x þ 2 mit der Parabel
y ¼ x 2 , da die Betragsfunktion y ¼ j x 2 j im Intervall x 2, in dem die beiden
Lösungen liegen, mit der Geraden y ¼ ðx 2Þ ¼ x þ 2 zusammenfällt:
x2 ¼ x þ 2
x 1=2
) x2 þ x 2 ¼ 0 )
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1
1
9
1
3
þ2 ¼ ¼ ¼ 2
4
2
4
2
2
x1 ¼ 1 ,
)
x2 ¼ 2
Lösungsmenge : L ¼ f 2, 1g
4 Ungleichungen
Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit Ungleichungen, die noch eine unbekannte
Größe x enthalten. Die Lösungsmengen sind in der Regel Intervalle. hnlich wie bei
einer Gleichung kann man auch hier versuchen, die vorgegebene Ungleichung durch
äquivalente Umformungen zu lösen.
4 Ungleichungen
21
Dabei sind die folgenden Regeln zu beachten:
quivalente Umformungen einer Ungleichung
Die Lösungsmenge einer Ungleichung bleibt bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (sog. äquivalente Umformungen einer Ungleichung):
1. Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf ein beliebiger Term T ðxÞ addiert
oder subtrahiert werden.
2. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert oder
durch eine solche Zahl dividiert werden.
3. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen negativen Zahl multipliziert oder
durch eine solche Zahl dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen der Ungleichung wie folgt geändert wird:
Aus
aus
aus
aus
<
>
wird
wird
wird
wird
>,
,
<,
.
Anmerkung
Die Operationen (2) und (3) gelten sinngemäß auch für Multiplikationen und Divisionen
mit einem Term T ðxÞ 6¼ 0, wobei jeweils durch Fallunterscheidung zu prüfen ist, welches Vorzeichen der Term annimmt (siehe hierzu auch das nachfolgende 1. Beispiel).
&
Beispiele
(1)
2x 1
> 3
x þ2
ðx 6¼ 2Þ
Wir lösen diese Ungleichung wie folgt. Zunächst beseitigen wir den Bruch, indem
wir beidseitig mit dem Term x þ 2 multiplizieren und dabei beachten, welches
Vorzeichen dieser Term besitzt. Wir müssen daher die Fälle x þ 2 > 0 und
x þ 2 < 0 unterscheiden (der Fall x þ 2 ¼ 0 und somit x ¼ 2 scheidet
aus, da die Division durch 0 verboten ist).
1. Fall: x þ 2 > 0
)
x > 2
Das Relationszeichen der Ungleichung bleibt erhalten:
2x 1
> 3 j ðx þ 2Þ
x þ2
)
2x 1 > 3x þ 6
x > 7 j ð 1Þ
)
2 x 1 > 3 ðx þ 2Þ
)
)
x < 7
(wir haben mit einer negativen Zahl multipliziert, daher ist das Zeichen > durch
das Zeichen < zu ersetzen).
22
I Allgemeine Grundlagen
Die „Lösung“ steht im Widerspruch zum angenommenen Fall x > 2. Somit handelt es sich um eine „Scheinlösung“.
2. Fall: x þ 2 < 0
)
x < 2
Wir multiplizieren die Ungleichung jetzt also mit einem negativen Term, daher ist
das Relationszeichen zu ändern (aus > wird <):
2x 1
> 3 j ðx þ 2Þ
x þ2
)
2x 1 < 3x þ 6
x < 7 j ð 1Þ
)
2 x 1 < 3 ðx þ 2Þ
)
)
x > 7
(Multiplikation mit der negativen Zahl 1, aus < wird daher >).
Die Bedingung x < 2 wird aber nur für x-Werte erfüllt, die zwischen 7 und
2 liegen.
Lösung: 7 < x < 2
(2)
x 1
2
jxj
Wir lösen diese Ungleichung auf sehr anschauliche Weise wie folgt: Linke und
rechte Seite der Ungleichung werden als Funktionen von x aufgefasst:
2
y1 ¼ x 1
Parabel
y2 ¼ j x j
und
Betragsfunktion
Die Ungleichung lässt sich dann auch in der Form y 1 y 2 darstellen. Lösungen
sind damit alle x-Werte, für die die Parabel unterhalb der Betragsfunktion bleibt,
wobei die Schnittpunkte zur Lösungsmenge gehören. Wir zeichnen beide Kurven
und erkennen anhand des Bildes I-22, dass diese Bedingung genau zwischen den
beiden Kurvenschnittpunkten erfüllt ist.
y
y1 = (x –1) 2
y 2 = | x|
1
–1
1
0,38
5
2,62
Bild I-22 Zur Lösung der Ungleichung
x 1
2
jxj
x
5 Lineare Gleichungssysteme
2
Diese erhält man durch Gleichsetzen der Funktionen y 1 ¼ x 1
y 2 ¼ j x j ¼ x (für x 0) 5Þ :
2
x 1 ¼ x ) x2 2x þ 1 ¼ x ) x2 3x þ 1 ¼ 0
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 1=2 ¼ 1,5 1,5 2 1 ¼ 1,5 1,25 ¼ 1,5 1,12 )
x 1 ¼ 2,62 ,
23
und
)
x 2 ¼ 0,38
Lösungsmenge: 0,38 x 2,62
&
5 Lineare Gleichungssysteme
In diesem Abschnitt behandeln wir das unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus
bekannte Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Auf lineare Gleichungssysteme stößt man in den technischen Anwendungen beispielsweise bei der Behandlung und Lösung der folgenden Probleme:
Berechnung der Stabkräfte in einem Fachwerk (z. B. Kranausleger, Brücken)
Bestimmung der Ströme bzw. Spannungen in einem elektrischen Netzwerk
Berechnung der Eigenfrequenzen eines schwingungsfähigen Systems
5.1 Ein einführendes Beispiel
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Größen
x, y und z vorgegeben:
ðIÞ
ðIIÞ
ðIIIÞ
x þ
yþ
z ¼ 0
x 3y 2z ¼ 5
5x þ
ðI-26Þ
y þ 4z ¼ 3
Das von Gauß stammende Verfahren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist
ein Eliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert,
bis nur noch eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten übrigbleibt. In unserem
Beispiel eliminieren wir zunächst die unbekannte Größe x wie folgt:
Wir addieren zur 2. Gleichung die 1. Gleichung und zur 3. Gleichung das 5-fache der
1. Gleichung. Bei der Addition fällt dann jeweils die Unbekannte x heraus:
5Þ
Anhand der Skizze erkennt man, dass die gesuchten Kurvenschnittpunkte im Bereich positiver x-Werte
liegen. Die Betragsfunktion
y 2 ¼ j x j ist dort aber identisch mit der Geraden y ¼ x, die daher die Pa
2
an den gleichen Stellen schneidet wie die Betragsfunktion.
rabel y 1 ¼ x 1
24
I Allgemeine Grundlagen
ðIIÞ
ðIÞ
ðI*Þ
x 3y 2z ¼ 5
x þ
yþ
z ¼ 0
2y z ¼ 5
)
ðIIIÞ
þ
ð5 IÞ
ðII*Þ
5x þ
y þ 4z ¼ 3
5x þ 5y þ 5z ¼ 0
)
þ
6y þ 9z ¼ 3
Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden
Unbekannten y und z reduziert:
ðI*Þ
ðII*Þ
2y z ¼ 5
6y þ 9z ¼ 3
Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur Gleichung (II*) das 3-fache der Gleichung (I*):
)
ðII*Þ
6y þ 9z ¼ 3
þ
ð3 I*Þ 6 y 3 z ¼ 15
ðI**Þ
6 z ¼ 18
(Alternative: Erst Gleichung (II*) durch 3 dividieren, dann zu Gleichung (I*) addieren.)
Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I*) bilden dann zusammen mit der übriggebliebenen Gleichung (I**) ein sog. gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe
nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden können:
ðIÞ
ðI*Þ
x þ
yþ
z ¼ 0
2y z ¼ 5
ðI**Þ
ðI-27Þ
6 z ¼ 18
x
y
z
ci
1
1
1
0
(II)
1
3
2
5
(III)
5
1
4
3
(I)
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
Aus der letzten Gleichung folgt z ¼ 3. Durch Einsetzen dieses Wertes in die darüber
stehende Gleichung erhält man für y den Wert 4. Aus der 1. Gleichung schließlich
ergibt sich x ¼ 1, wenn wir in diese Gleichung für y und z die bereits bekannten
Werte einsetzen. Das vorgegebene lineare Gleichungssystem besitzt daher genau eine
Lösung x ¼ 1, y ¼ 4, z ¼ 3.
Um den Lösungsweg zu verkürzen, werden die einzelnen Gleichungen in verschlüsselter
Form durch ihre Koeffizienten und Absolutglieder ðc i Þ wie folgt repräsentiert:
Stets Leerzeilen
f ür spätere Rechenschritte
einplanen!
5 Lineare Gleichungssysteme
25
Um die Unbekannte x zu eliminieren, wird zur 2. Zeile die 1. Zeile und zur 3. Zeile das
5-fache der 1. Zeile addiert. Wir erhalten zwei neue (verschlüsselte) Gleichungen mit
den unbekannten Größen y und z, die wir durch (I*) und (II*) kennzeichnen:
y
z
ci
(I)
1
1
1
0
(II)
ð1 IÞ
1
1
3
1
2
1
5
0
(III)
ð5 IÞ
5
5
1
5
4
5
3
0
2
1
5
6
9
3
(I*)
(II*)
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
x
Leerzeilen einplanen!
Nun addieren wir zur 2. Zeile (II*) das 3-fache der 1. Zeile (I*) und erhalten in verschlüsselter Form eine Gleichung (I**) mit der Unbekannten z. Das Rechenschema ist
jetzt ausgefüllt und besitzt die folgende Gestalt:
x
y
z
ci
(I)
1
1
1
0
1
(II)
ð1 IÞ
1
1
3
1
2
1
5
0
1
1
(III)
ð5 IÞ
5
5
1
5
4
5
3
0
13
5
(I*)
2
1
5
2
(II*)
ð3 I*Þ
6
6
9
3
3
15
18
6
6
18
24
(I**)
si
Eingebaut wurde noch als Rechenkontrolle die sog. Zeilensummenprobe. Die durch s i
gekennzeichnete letzte Spalte des Rechenschemas enthält jeweils die Summe aller in einer Zeile stehenden Zahlen (Koeffizienten und Absolutglied). Mit Hilfe der Zeilensummen lassen sich die einzelnen Rechenschritte wie folgt kontrollieren:
26
I Allgemeine Grundlagen
Wir greifen als Beispiel die 3. Zeile (III) heraus. Ihre Zeilensumme beträgt 13
ðdenn 5 þ 1 þ 4 þ 3 ¼ 13Þ. Addiert man zur 3. Zeile das 5-fache der 1. Zeile, so erhält
man die neue Zeile ðII*Þ ¼ ðIIIÞ þ ð5 IÞ, deren Zeilensumme sich auf zwei Arten
bestimmen lässt: Durch Addition der in der neuen Zeile stehenden Zahlen (Ergebnis:
6 þ 9 þ 3 ¼ 18) oder durch Addition des 5-fachen Zeilensummenwertes der 1. Zeile
zum Zeilensummenwert der 3. Zeile (Ergebnis: 13 þ 5 1 ¼ 18Þ. Beide Rechenwege
müssen bei richtiger Rechnung stets zum selben Ergebnis führen (hier: Zeilensummenwert 18). Damit haben wir ohne großen zusätzlichen Rechenaufwand eine effektive Kontrollmöglichkeit.
Aus dem Rechenschema erhält man dann durch Zusammenfassung der eliminierten Zeilen (I) und (I*) und der letzten Zeile (I**) das gestaffelte Gleichungssystem (I-27),
aus dem sich die Lösung ohne Schwierigkeiten berechnen lässt, wie wir bereits gezeigt
haben (die drei Gleichungen des gestaffelten Systems haben wir zusätzlich durch Grauunterlegung gekennzeichnet).
5.2 Der Gaußsche Algorithmus
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten
Größen x 1 , x 2 , . . . , x n . Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in
linearer Form, d. h. in der 1. Potenz auf, versehen noch mit einem konstanten Koeffizienten.
Definition: Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x 1 , x 2 , . . . , x n
bestehende System vom Typ
a11 x1 þ a12 x2 þ . . . þ a1n xn ¼ c1
a21 x1 þ a22 x2 þ . . . þ a2n xn ¼ c2
..
..
.
.
ðI-28Þ
a m 1x 1 þ a m 2 x 2 þ . . . þ a m n x n ¼ c m
heißt ein lineares Gleichungssystem. Die reellen Zahlen a i k sind die
Koeffizienten des Systems, die reellen Zahlen c i werden als Absolutglieder bezeichnet ði ¼ 1, 2, . . . , m; k ¼ 1, 2, . . . , nÞ.
Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle Absolutglieder c 1 , c 2 , . . . , c m
verschwinden. Andernfalls wird das Gleichungssystem als inhomogen bezeichnet.
Wir beschränken uns im folgenden auf den in den Anwendungen wichtigsten Fall eines
sog. quadratischen linearen Gleichungssystems, bei dem die Anzahl der unbekannten
Größen mit der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt ðm ¼ nÞ:
a11 x1 þ a12 x2 þ . . . þ a1n xn ¼ c1
a21 x1 þ a22 x2 þ . . . þ a2n xn ¼ c2
..
..
.
.
an1 x1 þ an2 x2 þ . . . þ ann xn ¼ cn
ðI-29Þ
5 Lineare Gleichungssysteme
27
Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystems
Die Koeffizienten a i k des Systems lassen sich wie folgt zu einer sog. Koeffizientenmatrix A zusammenfassen:
1
0
a11 a12 . . . a1n
C
Ba
B 21 a22 . . . a2n C
ðI-30Þ
A ¼ B
.. C
C
B ..
@ .
. A
an1
an2
...
ann
Sie enthält n Zeilen und n Spalten und wird daher auch als n-reihige quadratische
Matrix bezeichnet. Die n Unbekannten x 1 , x 2 , . . . , x n fassen wir zu einem Spaltenvektor ~
x zusammen, ebenso die n Absolutglieder c 1 , c 2 , . . . , c n zu einem Spaltenvektor ~
c:
0 1
0 1
c1
x1
Bx C
Bc C
B 2C
B 2C
C
C
~
~
c ¼ B
ðI-31Þ
x ¼ B
B .. C;
B .. C
@ . A
@ . A
xn
cn
Der Spaltenvektor ~
x heißt in diesem Zusammenhang auch Lösungsvektor des Systems.
Ein Spaltenvektor wie ~
x oder ~
c kann auch als eine spezielle Matrix mit n Zeilen und
einer Spalte aufgefasst werden und wird daher auch als Spaltenmatrix bezeichnet.
Das quadratische lineare Gleichungssystem ist dann mit diesen Bezeichnungen in der
wesentlich kürzeren Matrizenform
A~
x ¼~
c
ðI-32Þ
darstellbar. In ausführlicher Schreibweise lautet diese Matrizengleichung wie folgt:
10 1
0
0 1
a11 a12 . . . a1n
c1
x1
C
C
C
Ba
B
B
B 21 a22 . . . a2n C B x2 C
B c2 C
B .
C
B
C
B
C
¼
ðI-33Þ
.. C B .. C
B .
B .. C
@ .
@ . A
. A@ . A
xn
cn
an1 an2 . . . ann
Die linke Seite dieser Gleichung ist ein sog. Matrizenprodukt, gebildet aus der Koeffizientenmatrix A und der Spaltenmatrix ~
x. Die erste Gleichung des linearen Gleichungssystems (I-29) erhalten wir dann, indem wir die Elemente der 1. Zeile von A der
Reihe nach mit den entsprechenden Elementen der Spaltenmatrix ~
x multiplizieren, alle
Produkte anschließend aufaddieren und diese Summe schließlich mit dem 1. Element
der auf der rechten Gleichungsseite stehenden Spaltenmatrix ~
c gleichsetzen (wir haben
diese Rechenvorschrift in Gleichung (I-33) durch Grauunterlegung verdeutlicht):
a11 x1 þ a12 x2 þ . . . þ a1n xn ¼ c1
Analog erhält man die restlichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems.
ðI-34Þ
28
I Allgemeine Grundlagen
In Band 2 werden wir auf die Matrizenmultiplikation noch ausführlich eingehen (Kap. I
über Lineare Algebra). Die Schreibweise A ~
x ¼~
c für ein lineares Gleichungssystem
soll an dieser Stelle lediglich als eine formale Kurzschreibweise angesehen werden.
quivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems
Um ein vorgegebenes lineares Gleichungssystem vom Typ (I-29) oder (I-32) lösen zu
können, muss es zunächst mit Hilfe äquivalenter Umformungen in ein sog. gestaffeltes
System vom Typ
a *1 1 x 1 þ a *1 2 x 2 þ . . . þ a *1 n x n ¼ c *1
a *2 2 x 2 þ . . . þ a *2 n x n ¼ c *2
..
.
ðI-35Þ
a *n n x n ¼ c *n
übergeführt werden, aus dem dann die n Unbekannten nacheinander berechnet werden
können: Zuerst x n aus der letzten Gleichung, dann x n 1 aus der vorletzten Gleichung
usw. Als äquivalente Umformungen sind dabei folgende Operationen zugelassen:
quivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems A ~
x ¼~
c bleibt bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (sog. äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):
1. Zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden.
2. Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden.
3. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung
addiert werden.
Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß (Gaußscher Algorithmus)
Wir geben nun eine kurze Beschreibung des von Gauß stammenden Rechenverfahrens,
das die berführung eines vorgegebenen linearen Gleichungssystems in ein gestaffeltes
System ermöglicht. Dabei bedienen wir uns der in Abschnitt 5.1 dargestellten verkürzten
Schreibweise: Jede Gleichung des Systems wird durch ihre Koeffizienten und ihr Absolutglied repräsentiert, die in Form einer Zeile angeordnet werden. Hinzu kommt (zur
Rechenkontrolle) die Zeilensumme). Die oben genannten äquivalenten Umformungen
gelten dann auch für die Zeilen im Rechenschema.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren verläuft schrittweise wie folgt, wobei wir zunächst
davon ausgehen, dass die Unbekannten in der Reihenfolge x 1 , x 2 , . . . , x n 1 eliminiert
werden:
5 Lineare Gleichungssysteme
29
(1)
Im 1. Rechenschritt wird das lineare Gleichungssystem durch Eliminieren der Unbekannten x 1 auf n 1 Gleichungen mit den n 1 Unbekannten x 2 , x 3 , . . . ,
a21
x n reduziert. Dazu wird die 1. Gleichung (Zeile) mit dem Faktor multiplia11
ziert und zur 2. Gleichung (Zeile) addiert, wobei die Unbekannte x 1 verschwindet.
Ebenso verfährt man mit den übrigen Gleichungen (Zeilen). Allgemein addiert man
ai1
zur i-ten Gleichung (Zeile) das - fache der 1. Gleichung (Zeile)
a11
ði ¼ 2, 3, . . . , nÞ. Bei der Addition verschwindet jeweils die Unbekannte x 1 und
mit ihr die 1. Gleichung (Zeile).
(2)
Das unter (1) beschriebene Verfahren wird jetzt auf das reduzierte System, bestehend aus n 1 Gleichungen mit den n 1 unbekannten Größen x 2 , x 3 , . . . ,
x n angewandt. Dadurch wird die nächste Unbekannte ðx 2 Þ eliminiert. Nach insgesamt n 1 Schritten bleibt eine einzige Gleichung (Zeile) mit einer Unbekannten ðx n Þ übrig.
(3)
Die eliminierten Gleichungen (Zeilen) bilden zusammen mit der letzten Gleichung
(Zeile) das gestaffelte Gleichungssystem, aus dem sich die Unbekannten sukzessive
in der Reihenfolge x n , x n 1 , . . . , x 1 berechnen lassen.
Das beschriebene Verfahren wird als Gaußsches Eliminationsverfahren oder Gaußscher
Algorithmus bezeichnet und lässt sich schematisch wie folgt darstellen:
Schematischer Lösungsweg beim Gaußschen Eliminationsverfahren
(Gaußscher Algorithmus)
n
n
I
x 1, . . . , x n
n1
n1
I
x 2, . . . , x n
n2
n2
I
x 3, . . . , x n
1
1
xn
Obere Zahl: Anzahl der noch vorhandenen Gleichungen
Untere Zahl: Anzahl der noch vorhandenen Unbekannten
Unter den Kästen sind die jeweils noch vorhandenen Unbekannten aufgeführt.
Anmerkungen
(1) Es spielt dabei keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Unbekannten eliminiert werden.
(2) Der Gaußsche Algorithmus ist auch auf den allgemeinen Fall eines (m, n)-Systems
anwendbar (m: Anzahl der Gleichungen; n: Anzahl der unbekannten Größen). Für
m ¼ n erhält man ein quadratisches System, das daher auch als (n, n)-System bezeichnet wird.
(3) Gegebenenfalls müssen die Unbekannten noch umgestellt, d. h. umnumeriert werden.
30
I Allgemeine Grundlagen
Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
Ein inhomogenes Gleichungssystem besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich
viele Lösungen oder aber überhaupt keine Lösung. Treten unendlich viele Lösungen auf,
d. h. ist das System nicht eindeutig lösbar, so ist mindestens eine der n unbekannten
Größen x 1 , x 2 , . . . , x n frei wählbar und wird in diesem Zusammenhang als Parameter
bezeichnet. Die Lösungen des inhomogenen linearen Gleichungssystems hängen in diesem Fall noch von einem oder sogar mehreren Parametern ab. Beispiele hierzu folgen
am Ende dieses Abschnitts.
Im Gegensatz zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem ist ein homogenes System stets lösbar. Es besitzt die Gestalt
a11 x1 þ a12 x2 þ . . . þ a1n xn ¼ 0
a21 x1 þ a22 x2 þ . . . þ a2n xn ¼ 0
..
..
.
.
an1 x1 þ an2 x2 þ . . . þ ann xn ¼ 0
A~
x ¼~
0
oder
ðI-36Þ
und damit in jedem Fall die sog. triviale Lösung
x1 ¼ 0 ,
x 2 ¼ 0,
... ,
xn ¼ 0
oder
~
x ¼~
0
ðI-37Þ
wie man durch Einsetzen dieser Werte in das System (I-36) leicht nachrechnet 6).
Falls weitere Lösungen vorliegen, sind dies immer unendlich viele. Mit anderen Worten:
Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich
die triviale Lösung x 1 ¼ x 2 ¼ . . . ¼ x n ¼ 0, oder aber unendlich viele Lösungen,
die dann noch von mindestens einem Parameter abhängen.
Wir fassen zusammen:
Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
1. Inhomogenes lineares Gleichungssystem A ~
x ¼~
c (mit ~
c 6¼ ~
0)
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen
oder überhaupt keine Lösung.
2. Homogenes lineares Gleichungssystem A ~
x ¼~
0
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung
~
x ¼~
0 oder unendlich viele Lösungen, die noch von mindestens einem Parameter abhängen.
6Þ
Ein Spaltenvektor, der nur Nullen enthält, wird als Nullvektor bezeichnet und durch das Symbol ~
0 gekennzeichnet.
5 Lineare Gleichungssysteme
31
Anmerkungen
&
(1)
Diese Aussagen gelten auch für nicht-quadratische lineare Gleichungssysteme.
(2)
Lineare Gleichungssysteme mit 2, 3, . . . , n Lösungen gibt es nicht!
Beispiele
(1)
Wir lösen das aus vier Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten bestehende inhomogene lineare Gleichungssystem
x 1 3 x 2 þ 1,5 x 3 2 x1 þ
x 4 ¼ 10,4
x 2 þ 3,5 x 3 þ 2 x 4 ¼ 16,5
x 1 2 x 2 þ 1,2 x 3 þ 2 x 4 ¼
3 x1 þ
x2 0
x 3 3 x 4 ¼ 0,7
unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus. Die Eliminationszeilen bezeichnen
wir dabei der Reihe nach mit E 1 , E 2 und E 3 . Die im Rechenschema nicht
benötigten Leerzeilen werden im folgenden stets weggelassen.
E1
2 E1
1 E1
3 E1
x1
x2
x3
x4
ci
si
1
3
1,5
1
10,4
11,9
2
1
3,5
2
16,5
12
2
6
3
2
20,8
23,8
1
2
1,2
2
0
2,2
1
3
1,5
1
10,4
11,9
3
1
1
3
0,7
0,7
3
9
4,5
3
31,2
35,7
35,8
5
6,5
0
37,3
5 E2
5
1,5
15
52
70,5
E2
1
0,3
3
10,4
14,1
10
5,5
10 E 2
10
2 E3
E3
3
0
30
30,5
104
5
15
5
60
14,7
2,5
30
73,5
45
132,3
147
35
141
34,7
212
106
177,3
32
I Allgemeine Grundlagen
Das gestaffelte System lautet somit (es besteht aus den Zeilen E 1 , E 2 , E 3 und
der letzten Zeile):
x 1 3 x 2 þ 1,5 x 3 x 4 ¼ 10,4
)
x1 ¼
10,4
)
x 2 ¼ 0,184
2,5 x 3 30 x 4 ¼ 73,5
)
x 3 ¼ 5,88
45 x 4 ¼ 132,3
)
x4 ¼
x 2 0,3 x 3 þ 3 x 4 ¼
0,808
"
"
"
2,94
Wir lösen es von unten nach oben (durch Pfeile gekennzeichnet): Die eindeutig
bestimmte Lösung ist x 1 ¼ 0,808, x 2 ¼ 0,184, x 3 ¼ 5,88, x 4 ¼ 2,94.
Das in der Matrizenform dargestellte homogene lineare Gleichungssystem
0
10 1
0 1
1
1 2
x
0
B
CB C
B C
@1 1 2A @yA ¼ @0A
2
3 4
z
0
besitzt, wie wir gleich zeigen werden, unendlich viele Lösungen. Das Rechenverfahren nach Gauß liefert zunächst:
x
y
z
ci
si
E1
1
1
2
0
0
1
1
2
0
2
1 E1
1
1
2
0
0
2
3
4
0
1
2
2
4
0
0
2
0
0
2
2 E2
2
0
0
2
E2
1
0
0
1
0
0
0
2 E1
(2)
Proportionale
Zeilen
Die letzte (grau unterlegte) Zeile führt zu der Gleichung
0z ¼ 0
Sie ist für jedes z 2 R erfüllt, d. h. die Größe z ist ein frei wählbarer Parameter
(wir setzen dafür, wie allgemein üblich, z ¼ l mit l 2 R). Denn ein Produkt
aus zwei Faktoren, bei dem einer der beiden Faktoren verschwindet (hier ist es der
linke Faktor), hat stets den Wert Null und zwar unabhängig vom Wert des zweiten
Faktors.
5 Lineare Gleichungssysteme
33
Das gestaffelte System, bestehend aus den Zeilen E 1 , E 2 und der letzten Zeile,
lautet damit:
x þ y 2z ¼ 0
yþ0z ¼ 0
0z ¼ 0
)
)
)
x ¼ 2l
y ¼ 0
z ¼ l
ðl 2 RÞ
"
"
Die sukzessiv von unten nach oben berechnete Lösungsmenge ist x ¼ 2 l, y ¼ 0,
z ¼ l mit l 2 R. Das vorliegende homogene lineare Gleichungssystem besitzt
demnach unendlich viele, noch von einem reellen Parameter l abhängende Lösungen. So erhält man beispielsweise für l ¼ 3 die spezielle Lösung
x ¼ 6, y ¼ 0, z ¼ 3 , für den Parameterwert l ¼ 2,5 dagegen die spezielle
Lösung x ¼ 5, y ¼ 0, z ¼ 2,5.
Anmerkung
Bereits nach der Durchführung der ersten Schritte kann man erkennen, dass das
System unendlich viele Lösungen besitzt: Die beiden Zeilen (Gleichungen)
ð 2; 0; 0Þ und ð1; 0; 0Þ (jeweils ohne Zeilensumme und im obigen Rechenschema durch Pfeile gekennzeichnet) sind einander proportional (Multiplikator: 2)
und repräsentieren damit in Wirklichkeit nur eine Gleichung. Man bezeichnet solche Zeilen bzw. Gleichungen auch als linear abhängig.
(3)
Wir zeigen, dass das inhomogene lineare Gleichungssystem
x1 þ 2 x2 þ x3 ¼ 6
x1 þ x2 þ x3 ¼ 2
2 x1 4 x2 2 x3 ¼ 6
nicht lösbar ist.
Der Gaußsche Algorithmus führt zunächst zu dem folgenden Schema:
x2
x3
ci
si
1
2
1
6
8
1
1
1
2
1
1 E1
1
2
1
6
8
2
4
2
6
10
2 E1
2
4
2
12
16
3
2
4
9
0
0
6
6
x1
E1
Aus den beiden verbliebenen Zeilen (Gleichungen) mit den restlichen Unbekannten x 2 und x 3 müssten wir jetzt eine der beiden Unbekannten eliminieren. Die-
34
I Allgemeine Grundlagen
ses Vorhaben gelingt jedoch nicht, da die Koeffizienten von x 2 und x 3 in der
unteren Gleichung jeweils verschwinden. Diese „merkwürdige“ letzte Zeile (grau
unterlegt) führt zu der in sich widersprüchlichen Gleichung
0 x2 þ 0 x3 ¼ 6
Da Produkte mit einem Faktor 0 verschwinden, ist die linke Seite dieser Gleichung
für beliebige reelle Werte von x 2 und x 3 stets gleich 0:
0 x2 þ 0 x3 ¼ 6
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
0
0
)
0 ¼ 6
Die Gültigkeit dieser Gleichung würde aber die Gleichheit der Zahlen 0 und 6
bedeuten (innerer Widerspruch). Das vorgegebene Gleichungssystem ist daher nicht
lösbar.
(4)
Wir behandeln zum Abschluss noch ein Beispiel für ein nicht-quadratisches lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten:
x
3x
2x
x
þ y z
2y þ z
5y þ 3z
þ 4y þ 2z
¼ 2
¼ 2
¼ 1
¼ 15
Wir eliminieren zuerst x, dann y:
x
y
z
ci
si
E1
1
1
1
2
3
3 E1
3
3
2
3
1
3
2
6
4
9
2 E1
2
2
5
2
3
2
1
4
1
6
1 E1
1
1
4
1
2
1
15
2
22
3
E2
1
2
4
5
3 E2
3
3
1
6
3
12
5
15
5 E2
5
5
1
10
13
20
19
25
5
11
15
33
20
44
Proportionale
Zeilen
5 Lineare Gleichungssysteme
35
Die beiden übriggebliebenen Zeilen repräsentieren in verschlüsselter Form zwei
Gleichungen mit der einen Unbekannten z. Sie führen zu ein und derselben Lösung für z, sind demnach zueinander proportionale Gleichungen (Zeilen) und
stellen somit letztendlich nur eine einzige Gleichung dar 7).
Das gestaffelte System besteht daher aus den Eliminationsgleichungen E 1 und
E 2 und einer der beiden zueinander proportionalen Gleichungen, wobei wir uns
für die obere (grau unterlegte) Gleichung entscheiden:
x þ y z ¼ 2
)
x ¼ 1
y 2z ¼ 4
)
y ¼ 2
5 z ¼ 15
)
z ¼ 3
"
"
Das lineare Gleichungssystem besitzt also genau eine Lösung, nämlich x ¼ 1,
&
y ¼ 2 und z ¼ 3.
5.3 Ein Anwendungsbeispiel:
Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
Das in Bild I-23 dargestellte elektrische Netzwerk enthält drei Knotenpunkte (a, b, c)
und drei Stromzweige mit je einem ohmschen Widerstand 8). I a und I b sind zufließende Ströme, I c ein aus Knotenpunkt c abfließender Strom. Wir berechnen die in den
Zweigen fließenden Teilströme I 1 , I 2 und I 3 sowie den abfließenden Strom i c für
die in Bild I-23 vorgegebenen Werte der drei Widerstände und der Ströme I a und I b .
Ic
c
R1 ¼ 1 W ,
R3
R2
I3
Ia ¼ 1 A ,
Ib ¼ 2 A
I2
Ia
Ib
a
R2 ¼ 5 W , R3 ¼ 3 W
I1
R1
Bild I-23
b
Lösung: Bei der Lösung der Aufgabe benutzen wir das erste Kirchhoffsche Gesetz
(Knotenpunktsregel): In einem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abfließenden
Ströme gleich Null (zufließende Ströme werden dabei vereinbarungsgemäß positiv, abfließende Ströme negativ gerechnet).
7Þ
Würden wir unterschiedliche Wert für z erhalten, so wäre das Gleichungssystem nicht lösbar (Systeme mit
zwei verschiedenen Lösungen gibt es nicht).
8Þ
Knotenpunkt: Stromverzweigungspunkt
Stromzweig: Verbindung zweier Knoten
36
I Allgemeine Grundlagen
Für die Knotenpunkte a, b und c gelten dann die folgenden Beziehungen:
ðaÞ
Ia þ I1 I3 ¼ 0
ðbÞ
Ib I1 I2 ¼ 0
ðcÞ
Ic þ I2 þ I3 ¼ 0
ðI-38Þ
Eine weitere Gleichung liefert das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel): In jeder
Masche 9) ist die Summe der Spannungen gleich Null. Bei einem Umlauf in der in Bild I-23
eingezeichneten Richtung gilt daher:
ðÞ
R1 I1 R2 I2 þ R3 I3 ¼ 0
ðI-39Þ
Die drei Teilströme I 1 , I 2 , I 3 lassen sich aus dem folgenden linearen Gleichungssystem,
bestehend aus den umgestellten Gleichungen (a), (b) und (), berechnen:
I1
I1 I3 ¼ Ia
¼ Ib
I2
R1 I1 R2 I2 þ R3 I3 ¼
ðI-40Þ
0
Mit den vorgegebenen Werten nimmt das System die folgende Form an:
I1
I1 I3 ¼ 1 A
¼ 2A
I2
I1 5 I2 þ 3 I3 ¼
ðI-41Þ
0A
Wir lösen dieses System unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus (auf die Zeilensummenprobe wird verzichtet):
E1
1 E1
1 E1
E2
5 E2
9Þ
I1
I2
I3
ci
1
0
1
1A
1
1
0
2A
1
0
1
1A
1
5
3
0A
1
0
1
1A
1
1
3A
5
4
1A
5
5
15 A
9
16 A
Eine Masche ist ein geschlossener, aus Zweigen bestehender Komplex.
6 Der Binomische Lehrsatz
37
Daraus ergibt sich das gestaffelte System (bestehend aus den Zeilen E 1 , E 2 und der
letzten Zeile)
I1
I3 ¼ 1 A
I2 I3 ¼ 3 A
ðI-42Þ
9 I 3 ¼ 16 A
7
11
16
A, I 2 ¼
A und I 3 ¼
A. Für den abfließenden Strom
9
9
9
folgt schließlich aus Gleichung (c) des linearen Gleichungssystems (I-38):
11
16
27
A ¼
Ic ¼ I2 þ I3 ¼
þ
A ¼ 3A
ðI-43Þ
9
9
9
mit der Lösung I 1 ¼
Ic
6 Der Binomische Lehrsatz
Unter einem Binom versteht man eine Summe aus zwei Gliedern (Summanden) der allgemeinen Form a þ b. Die n-te Potenz eines solchen Binoms lässt sich dabei nach dem
Binomischen Lehrsatz wie folgt entwickeln:
n
n
ða þ bÞ n ¼ a n þ
an1 b1 þ
an2 b2 þ . . .
1
2
n
a1 bn1 þ bn
... þ
ðI-44Þ
n1
n
ðn 2 N*Þ. Die Entwicklungskoeffizienten
(gelesen: „n über k“) heißen Binomialk
koeffizienten, ihr Bildungsgesetz lautet:
n
n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ½ n ðk 1Þ ¼
ðI-45Þ
1 2 3 ... k
k
ðk, n 2 N*; k nÞ. Ergänzend wird
n
¼ 1
0
ðI-46Þ
gesetzt. Mit Hilfe der Fakultät lassen sich die Binomialkoeffizienten auch wie folgt ausdrücken 10) :
n
n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ½ n ðk 1Þ ðI-47Þ
¼
k!
k
10Þ
n! (gelesen: „n Fakultät“) ist definitionsgemäß das Produkt der ersten n positiven ganzen Zahlen:
n! ¼ 1 2 3 ... n
ðn 2 N*Þ
Ergänzend setzt man: 0 ! ¼ 1
Beispiele: 3 ! ¼ 1 2 3 ¼ 6
7 ! ¼ 1 2 3 4 5 6 7 ¼ 5040
38
I Allgemeine Grundlagen
Der Binomische Lehrsatz (I-44) kann daher unter Verwendung des Summenzeichens auch
in der Form
n X
n
n
ða þ bÞ ¼
ank bk
ðI-48Þ
k
k¼0
dargestellt werden.
Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse zusammen:
Binomischer Lehrsatz (für positiv-ganzzahlige Exponenten n)
n
n
ða þ bÞ n ¼ a n þ
an1 b1 þ
an2 b2 þ . . .
1
2
n
... þ
a1 bn1 þ bn ¼
n1
n X
n
ank bk
(I-49)
¼
k
k¼0
n
Die Berechnung der Binomialkoeffizienten
erfolgt dabei nach der Formel
k
n
n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ½ n ðk 1Þ ¼
ð0 < k nÞ
ðI-50Þ
k!
k
n
Für k ¼ 0 setzt man
¼ 1.
0
Anmerkungen
(1)
(2)
Die Summanden in der Binomischen Entwicklungsformel (I-49) sind Potenzprodukte aus a und b, nach fallenden Potenzen von a geordnet. In jedem Potenzprodukt
ist dabei die Summe der Eponenten gleich n.
n
Merke: Zähler und Nenner der Binomialkoeffizienten
sind Produkte aus
k
jeweils k Faktoren.
Zähler: Beginnt mit dem Faktor n, jeder weitere Faktor ist um 1 kleiner als sein
Vorgänger.
Nenner: 1 2 3 . . . k (Produkt der ersten k positiven ganzen Zahlen)
(3)
Die Binomialkoeffizienten können auch wie folgt berechnet werden:
n
n!
¼
k ! ðn kÞ !
k
ðI-51Þ
6 Der Binomische Lehrsatz
(4)
39
Weitere wichtige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
n
k
n
k
¼
n
ðSymmetrieÞ
nk
þ
n
k þ1
¼
nþ1
ðI-52Þ
ðI-53Þ
k þ1
Weitere Formeln: siehe Mathematische Formelsammlung.
(5)
Ersetzt man in der Formel (I-49) den Summanden b durch b, so erhält man
die Entwicklungsformel für die Potenz ða bÞ n . Dabei ändern sich die Vorzeichen bei den ungeraden Potenzen von b.
(6)
Lässt man für den Exponenten n der Potenz ða þ bÞ n auch beliebige reelle Werte
zu, so gelangt man zur allgemeinen Binomischen Reihe, die dann allerdings aus unendlich vielen Gliedern besteht (siehe hierzu Kap. VI, Abschnitt 3.2).
Pascalsches Dreieck
Die Binomialkoeffizienten
n
können auch direkt aus dem folgenden sog. Pascalk
schen Dreieck abgelesen werden (Bildungsgesetz: Jede Zahl ist die Summe der beiden
unmittelbar links und rechts über ihr stehenden Zahlen):
Zeile
1
1
1
1
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
2
1
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
3
3
1
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
4
6
4
1
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
5
10
10
5
1
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
6
15
20
15
6
2
3
4
5
6
1
7
"
!
6
4
Der Koeffizient
n
k
steht dabei in der ðn þ 1Þ-ten Zeile an ðk þ 1Þ-ter Stelle.
40
&
I Allgemeine Grundlagen
Beispiele
Der Binomialkoeffizient
6
(1)
steht in der 7. Zeile an 5. Stelle und besitzt dem4
nach den Wert 15 (im Pascalschen Dreieck grau unterlegt).
Berechnung nach der Definitionsgleichung (I-50):
6
6543
65
¼
¼ 3 5 ¼ 15
¼
1234
2
4
(2)
Für n ¼ 2 erhalten wir die folgenden aus der Schulmathematik bereits bekannten
Binomischen Formeln:
2
2
2
ða þ bÞ ¼ a þ
a b þ b2 ¼ a2 þ 2 a b þ b2
ð1. BinomÞ
1
ða bÞ 2 ¼ a 2 (3)
(4)
2
1
a b þ b2 ¼ a2 2 a b þ b2
Entsprechend erhält man für n ¼ 3:
!
3
3
3
ða þ bÞ ¼ a þ
a2 b þ
1
!
3
3
3
ða bÞ ¼ a a2 b þ
1
3
!
a b2 þ b3 ¼ a3 þ 3 a2 b þ 3 a b2 þ b3
2
3
2
ð2. BinomÞ
!
a b2 b3 ¼ a3 3 a2 b þ 3 a b2 b3
Wir entwickeln das Binom ð2 x 5 yÞ 3 nach fallenden Potenzen von x:
ð2 x 5 yÞ 3 ¼ ð2 xÞ 3 3 ð2 xÞ 2 ð5 yÞ þ 3 ð2 xÞ ð5 yÞ 2 ð5 yÞ 3 ¼
¼ 8 x 3 60 x 2 y þ 150 x y 2 125 y 3
(5)
Wir berechnen den Wert der Potenz 1043 mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes,
wobei wir zunächst die Basiszahl 104 als Summe der Zahlen 100 und 4 darstellen:
3
3
3
3
3
2
1
104 ¼ ð100 þ 4Þ ¼ 100 þ
100 4 þ
100 1 4 2 þ 4 3 ¼
1
2
¼ 1 000 000 þ 3 10 000 4 þ 3 100 16 þ 64 ¼
¼ 1 000 000 þ 120 000 þ 4 800 þ 64 ¼ 1 124 864
&
bungsaufgaben
41
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 1 und 2
1)
Stellen Sie die folgenden Mengen in der aufzählenden Form dar:
M 1 ¼ f x j x 2 N* und j x j 4 g
M2 : Menge aller Primzahlen p 35
L 1 ¼ f x j x 2 R und 2 x 2 þ 3 x ¼ 2 g
L 2 ¼ f x j x 2 R und 2 x 2 8 x ¼ 0 g
2)
Bilden Sie mit M 1 ¼ f x j x 2 R und 0 x < 4 g und M 2 ¼ f x j x 2 R
und 2 < x < 2 g die folgenden Mengen: M 1 [ M 2 , M 1 \ M 2 , M 1 n M 2 .
3)
Bestimmen Sie die durch 3 n 15 4 definierte Teilmenge von N* in der
aufzählenden und in der beschreibenden Form.
4)
In welchen Anordnungsbeziehungen stehen die Zahlen a ¼ 2, b ¼ 5 und
c ¼ 8 zueinander?
5)
Skizzieren Sie die folgenden Zahlenmengen auf der Zahlengerade:
aÞ
ð2, 10Þ
dÞ
A ¼ f x j x 2 R und 1 x < 2 g
bÞ
x > 2
8 < x < 2
cÞ
Zu Abschnitt 3
1)
Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
aÞ
4x2 þ 6x 1 ¼ 0
bÞ
cÞ
x 2 10 x ¼ 74
dÞ x 2 4 x þ 13 ¼ 0
eÞ
1 ¼ 9 ðx 2Þ 2
fÞ
x 2 þ 9 x ¼ 19
gÞ
5 x 2 þ 20 x þ 20 ¼ 0
hÞ
ðx 1Þ ðx þ 3Þ ¼ 4
4 x 2 þ 8 x 60 ¼ 0
2)
Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung 2 x 2 þ 4 x ¼ c genau
eine (doppelte) reelle Lösung besitzt.
3)
Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen?
aÞ
2x3 þ 8x2 ¼ 8x
bÞ
t 4 13 t 2 þ 36 ¼ 0
cÞ
x 3 6 x 2 þ 11 x ¼ 0
dÞ
x5 3x3 þ x ¼ 0
eÞ
2 x 4 8 x 2 24 ¼ 0
fÞ
ðx 1Þ 2 ðx þ 2Þ ¼ 4 ðx þ 2Þ
gÞ
0,5 ð3 x 2 6Þ ðx 2 25Þ ðx þ 3Þ ¼ 0
42
4)
I Allgemeine Grundlagen
Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
aÞ
3 þ 2x ¼ 2
bÞ
x2 þ 4 ¼ x 2
cÞ
5)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 1 ¼
x þ1
dÞ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2x2 1 þ x ¼ 0
Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen?
aÞ
j x 2 x j ¼ 24
bÞ
jx þ 1j ¼ jx 1 j
cÞ
j 2 x þ 4 j ¼ ðx 2 x 6Þ
dÞ
jx2 þ 2x 1j ¼ jx j
Zu Abschnitt 4
1)
2)
Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:
aÞ
2x 8 > jx j
bÞ
x2 þ x þ 1 0
cÞ
jxj x 2
dÞ
jx 4j > x2
eÞ
jx2 9j < jx 1 j
fÞ
jx 1j jx þ 2 j
gÞ
x2 x þ 4
hÞ
x 1
< 1
x þ1
Für welche x 2 R erhält man reelle Wurzelwerte?
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
aÞ
2x
bÞ
1 þ x2
dÞ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð1 xÞ ð x þ 2Þ
eÞ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 1
cÞ
fÞ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4 x2
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4x
x þ2
Zu Abschnitt 5
1)
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus:
1
0
10 1
0
3
x
3 x1 3 x2 þ 3 x3 ¼ 0
8
7 6
aÞ
bÞ
C
B
CB C
B
8 x 1 þ 10 x 2 þ 2 x 3 ¼ 6
5A@yA ¼ @3A
@ 0 4
9
z
2 x1 þ
x2 3 x3 ¼ 5
1
3
2
cÞ
u þ 5v þ
w ¼ 10
4 u 2 v 3 w ¼ 10
3u þ
v
w ¼ 4
dÞ
2 x 4,5 y þ
z ¼ 14,115
3,2 x 4,8 y 8,1 z ¼ 16,941
5,64 x þ
y 1,4 z ¼
11,2212
bungsaufgaben
2)
43
Zeigen Sie: Das lineare Gleichungssystem
1
0
0
10 1
2
x1
1
1
1
C
B
B
CB C
2
1 A @ x2 A ¼ @ 6 A
@1
6
x3
2 4 2
ist unlösbar.
3)
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems
x þ
y z ¼ 0
x þ 2y þ 3z ¼ 0
3y þ 2z ¼ 0
4)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
2 x1 þ
x2 þ 4 x3 þ 3 x4 ¼ 0
x1 þ 2 x2 þ
x3 3 x1 þ 4 x2 x3 2 x4 ¼ 0
4 x1 þ 3 x2 þ 2 x3 þ
5)
x4 ¼ 4
x4 ¼ 0
Zeigen Sie: Das homogene lineare Gleichungssystem
2 x1 þ 5 x2 3 x3 ¼ 0
4 x1 4 x2 þ
4 x1 2 x2
x3 ¼ 0
¼ 0
besitzt unendlich viele Lösungen.
6)
Lösen Sie die folgenden nicht-quadratischen linearen Gleichungssysteme:
aÞ
x1 2 x2 þ 3 x3 2 x4 ¼
2 x1 þ 3 x2 x3 4 x4 ¼
15
2
6 x 1 þ 16 x 2 10 x 3 12 x 4 ¼ 22
bÞ
x y
z ¼ 6
4x þ 5y þ 3z ¼
2 x 10 y þ
29
z ¼ 35
3 x 2 y þ 3 z ¼ 20
44
I Allgemeine Grundlagen
Zu Abschnitt 6
1)
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
13
10
13
aÞ
bÞ
cÞ
4
5
11
2)
Welchen Wert besitzt der Binomialkoeffizient
3)
Berechnen Sie die folgenden Potenzen unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes:
aÞ
4)
bÞ
99 5
k þ1
?
cÞ 996 3
Entwickeln Sie die folgenden Binome:
aÞ
5)
102 4
nþk
ðx þ 4Þ 5
bÞ
ð1 5 yÞ 4
cÞ
ða 2 2 bÞ 3
Berechnen Sie den Wert der folgenden Potenzen mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau:
aÞ
1,03 12
bÞ
0,99 20
cÞ 2,01 8
6)
Wie lauten die ersten fünf Glieder der binomischen Entwicklung von ð2 þ 3 xÞ 10 ?
7)
Bestimmen Sie den jeweiligen Koeffizienten der Potenz x 5 in der binomischen
Entwicklung von:
aÞ
ð1 4 xÞ 8
bÞ
ðx þ 0,5 aÞ 12
45
II Vektoralgebra
1 Grundbegriffe
1.1 Definition eines Vektors
Unter den in Naturwissenschaft und Technik auftretenden Größen kommt den Skalaren
und Vektoren eine besondere Bedeutung zu. Während man unter einem Skalar eine Größe
versteht, die sich eindeutig durch die Angabe einer Maßzahl und einer Maßeinheit
beschreiben lässt, benötigt man bei einer vektoriellen Größe zusätzlich noch Angaben
über die Richtung, in der sie wirkt.
Definition: Unter Vektoren verstehen wir Größen, die durch Angabe von Maßzahl
und Richtung vollständig beschrieben sind. Zu ihrer Kennzeichnung
verwenden wir Buchstabensymbole, die mit einem Pfeil versehen werden wie zum Beispiel:
a
Bild II-1
~, M
~, E
~
~
a, b~, ~
c, ~
r, ~
e, F
Ein Vektor ~
a ist in symbolischer Form durch einen Pfeil darstellbar
(Bild II-1). Die Maßzahl der Länge des Pfeils, der die Vektorgröße repräsentiert, heißt Betrag des Vektors und wird durch das Symbol j ~
aj
oder a gekennzeichnet. Die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung) des Vektors fest. Durch Betrag und Richtung ist der Vektor eindeutig bestimmt.
Anmerkungen
(1)
Bei einer physikalisch-technischen Vektorgröße gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angabe der Maßeinheit. Daher verstehen wir unter dem Betrag eines
physikalischen Vektors die Angabe von Maßzahl und Einheit.
~1 : j F
~1 j ¼ F1 ¼ 100 N
Beispiel: Betrag einer Kraft F
(2)
Der Betrag eines Vektors ~
a ist stets größer oder gleich Null: j ~
aj ¼ a 0
(3)
Ein Vektor lässt sich auch eindeutig durch die Angabe von Anfangspunkt P und
!
Endpunkt Q festlegen (Bild II-2). Als Vektorsymbol verwendet man dann PQ .
Q
PQ
P
Bild II-2
46
&
II Vektoralgebra
Beispiele
Skalare: Masse m, Temperatur T, Zeit t, Arbeit W, Widerstand R, Spannung U,
Massenträgheitsmoment J
~, Impuls
Vektoren: Strecke (Weg) ~
s, Geschwindigkeit ~
v, Beschleunigung ~
a, Kraft F
~
~
~
p, Drehmoment M , Elektrische Feldstärke E , Magnetische Flussdichte
~
&
(magnetische Induktion) B
In den Anwendungen wird noch zwischen freien, linienflüchtigen und gebundenen Vektoren unterschieden:
1. Freie Vektoren dürfen beliebig parallel zu sich selbst verschoben werden.
2. Linienflüchtige Vektoren sind längs ihrer Wirkungslinie beliebig verschiebbar (z. B.
Kräfte, die an einem starren Körper angreifen).
3. Gebundene Vektoren werden von einem festen Punkt aus abgetragen. Beispiele hierfür
sind der Ortsvektor ~
r eines ebenen oder räumlichen Punktes, der vom Koordinaten~, der jedem
ursprung aus abgetragen wird, und der elektrische Feldstärkevektor E
Punkt eines elektrischen Feldes zugeordnet wird.
Spezielle Vektoren
Nullvektor ~
0:
Jeder Vektor vom Betrag Null, j ~
0 j ¼ 0, heißt Nullvektor
(für ihn lässt sich keine Richtung angeben, da Anfangs- und
Endpunkt zusammenfallen).
Einheitsvektor ~
e:
Jeder Vektor vom Betrag Eins, j~
e j ¼ 1, wird als Einheitsvektor oder Einsvektor bezeichnet.
!
Ortsvektor ~
r ðPÞ ¼ OP : Er führt vom Koordinatenursprung O zum Punkt P .
1.2 Gleichheit von Vektoren
Definition: Zwei Vektoren ~
a und b~ werden als gleich betrachtet, ~
a ¼ b~, wenn
sie in Betrag und Richtung übereinstimmen (Bild II-3).
a
b
Bild II-3 Zum Begriff der Gleichheit zweier Vektoren
Vektoren sind demnach gleich, wenn sie durch Parallelverschiebung ineinander überführbar sind. Diese Art von Vektoren bezeichnet man als freie Vektoren. Im weiteren Verlauf
der Vektorrechnung wollen wir uns ausschließlich mit den Eigenschaften und den Rechenoperationen dieser Vektorklasse auseinandersetzen.
1 Grundbegriffe
&
47
Beispiel
Jeder der in Bild II-4 skizzierten Vektoren ~
a 1, ~
a 2, ~
a 3 und ~
a 4 lässt sich durch Parallelverschiebung in den Vektor ~
a überführen. Sie werden daher verabredungsgemäß als
gleich angesehen: ~
a1 ¼ ~
a2 ¼ ~
a3 ¼ ~
a4 ¼ ~
a.
a
a1
a2
a4
a3
Bild II-4
&
1.3 Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren
Definitionen: (1) Zwei Vektoren ~
a und b~ mit gleicher Richtung (Orientierung)
heißen zueinander parallel (Bild II-5). Sie werden durch das
Symbol
~
a " " b~
gekennzeichnet.
(2) Besitzen zwei Vektoren ~
a und b~ entgegengesetzte Richtung
(Orientierung), so werden sie als zueinander anti-parallel bezeichnet (Bild II-6). Symbolische Schreibweise:
~
a " # b~
Anmerkung
Parallele Vektoren werden auch als gleichsinnig parallel, anti-parallele Vektoren auch
als gegensinnig parallel bezeichnet.
b
a
a
Bild II-5
Parallele Vektoren
b
Bild II-6
Anti-parallele Vektoren
48
II Vektoralgebra
Vektoren, die zueinander parallel oder anti-parallel orientiert sind, lassen sich stets durch
Parallelverschiebung in eine gemeinsame Linie (Wirkungslinie) bringen und heißen daher auch kollinear.
Inverser Vektor oder Gegenvektor
Wir betrachten nun einen beliebigen Vektor ~
a . Den zu ~
a anti-parallelen Vektor gleicher
Länge bezeichnen wir als inversen Vektor (auch Gegenvektor genannt) und kennzeichnen
ihn durch das Symbol ~
a (Bild II-7). Der inverse Vektor ~
a entsteht also aus ~
a
durch Richtungsumkehr.
a
Bild II-7
Vektor und Gegenvektor (inverser Vektor)
–a
Inverser Vektor oder Gegenvektor (Bild II-7)
Der zu einem Vektor ~
a gehörende inverse Vektor oder Gegenvektor ~
a besitzt
den gleichen Betrag wie der Vektor ~
a, jedoch die entgegengesetzte Richtung.
&
Beispiel
~ belasEine elastische Schraubenfeder wird durch ein Gewicht G
tet und gedehnt (Bild II-8). Im Gleichgewichtszustand wird die
~ durch die Rückstellkraft F
~ der Feder kompenGewichtskraft G
~
~
siert. Der Vektor F ist der zu G inverse Vektor, d. h. es gilt
~
~ ¼ G
F
F
(sog. Kräftegleichgewicht).
G
Bild II-8 Kräftegleichgewicht bei einer belasteten elastischen Schraubenfeder
&
1.4 Vektoroperationen
Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den elementaren Vektoroperationen. Dazu
zählen wir:
Addition von Vektoren
Subtraktion von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Skalar)
1 Grundbegriffe
49
1.4.1 Addition von Vektoren
Aus der Mechanik ist bekannt, dass man zwei am gleichen Massenpunkt angreifende
~1 und F
~2 zu einer resultierenden Kraft F
~R zusammenfassen kann, die die gleiKräfte F
che physikalische Wirkung erzielt wie die beiden Einzelkräfte zusammen. Die Resultierende erhält man dabei durch eine geometrische Konstruktion, die unter der Bezeichnung
Parallelogrammregel (Kräfteparallelogramm) bekannt ist und in Bild II-9 näher erläutert
wird. Diese Regel stellt eine Anwendung einer allgemeinen Vorschrift dar, die aus zwei
Vektoren ~
a und b~ einen neuen Vektor erzeugt, der als Summenvektor ~
s ¼ ~
a þ b~
bezeichnet wird.
F2
FR
Bild II-9
~R ist die Resultierende
Kräfteparallelogramm: F
~
~
aus F 1 und F 2
F1
Wir definieren die Addition zweier Vektoren wie folgt:
Definition: Zwei Vektoren ~
a und b~ werden nach der folgenden Vorschrift geometrisch addiert (Bild II-10):
1. Der Vektor b~ wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein
Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors ~
a fällt.
2. Der vom Anfangspunkt des Vektors ~
a zum Endpunkt des verschobenen Vektors b~ gerichtete Vektor ist der Summenvektor
~
s ¼~
a þ b~.
b
b
a
a
s=
a+
b
b
a
Bild II-10 Zur Addition zweier Vektoren
Der Summenvektor ~
s ¼ ~
a þ b~ lässt sich auch als gerichtete Diagonale in dem aus den
~
Vektoren ~
a und b konstruierten Parallelogramm nach Bild II-11 gewinnen.
50
II Vektoralgebra
b
s=
a+
b
Bild II-11
Summenvektor ~
s ¼~
a þ b~ als gerichtete Diagonale
im Parallelogramm
a
Die Addition von Vektoren unterliegt dabei den folgenden Rechenregeln:
~
a þ b~ ¼ b~ þ ~
a
ðII-1Þ
~
a þ ðb~ þ ~
c Þ ¼ ð~
a þ b~Þ þ ~
c
ðII-2Þ
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Die Summe aus mehr als zwei Vektoren wird gebildet, indem man in der bekannten
Weise Vektor an Vektor setzt. Dies lässt sich durch Parallelverschiebung stets erreichen.
Das Ergebnis dieser Konstruktion ist ein sog. Vektorpolygon (Bild II-12). Der Summenvektor (in den Anwendungen meist „Resultierende“ genannt) ist derjenige Vektor, der
vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors führt.
letzter Vektor
3. Vektor
Bild II-12
Zur Konstruktion eines
Summenvektors (Vektorpolygon)
Summenvektor
2. Vektor
1. Vektor
~2 und F
~3 zu einem resultierenden
~1 , F
In Bild II-13 wird die Addition dreier Kräfte F
~R Schritt für Schritt vollzogen.
Kraftvektor F
F3
F3
FR
F3
F2
F1
F1
F2
F1
F2
Bild II-13 Vektorielle Addition dreier Kräfte
Ist das Vektorpolygon in sich geschlossen, so ist der Summenvektor der Nullvektor. In
der physikalischen Realität bedeutet dies stets, dass sich die Vektoren in ihrer Wirkung
gegenseitig aufheben.
1 Grundbegriffe
51
1.4.2 Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion zweier Vektoren lässt sich wie bei den reellen Zahlen als Umkehrung
der Addition auffassen und damit auf die Addition zweier Vektoren zurückführen:
Definition: Unter dem Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~
verstehen wir den Summenvektor aus ~
a und b~, wobei b~ der zu
b~ inverse Vektor ist:
d~ ¼ ~
a b~ ¼ ~
a þ ð b~Þ
ðII-3Þ
Anmerkung
Der Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ ist also die Summe aus dem Vektor ~
a und dem Gegenvektor von b~.
Die Konstruktion des Differenzvektors erfolgt daher nach der folgenden Vorschrift:
Konstruktion des Differenzvektors d~ ¼ ~
a b~ (Bild II-14)
1. Der Vektor b~ wird zunächst in seiner Richtung umgekehrt: Dies führt zu dem
inversen Vektor b~.
2. Dann wird der Vektor b~ parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors ~
a fällt.
3. Der vom Anfangspunkt des Vektors ~
a zum Endpunkt des Vektors b~ gerichtete Vektor ist der gesuchte Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~.
b
b
a
a
a
–b
d=
a–
b
–b
Bild II-14 Zur Subtraktion zweier Vektoren
Der Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ lässt sich auch mit Hilfe der Parallelogrammregel
konstruieren. In Bild II-15 wird diese geometrische Konstruktion näher erläutert.
b
d=
a–
b
a
Bild II-15
Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ als gerichtete Diagonale
im Parallelogramm
52
II Vektoralgebra
Parallelogrammregel für die Addition und Subtraktion zweier Vektoren
Summenvektor ~
s ¼~
a þ b~ und Differenzvektor d~ ¼ ~
a b~ lassen sich geometrisch als gerichtete Diagonalen eines Parallelogramms konstruieren, das von
den beiden Vektoren ~
a und b~ aufgespannt wird. Die Konstruktion des Summenbzw. Differenzvektors wird in Bild II-16 näher erläutert.
b
s
~
s ¼~
a þ b~
d~ ¼ ~
a b~
d
a
Bild II-16 Zur Parallelogrammregel
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Definition: Durch Multiplikation eines Vektors ~
a mit einer reellen Zahl (einem
Skalar) l entsteht ein neuer Vektor b~ ¼ l ~
a mit den folgenden Eigenschaften (Bild II-17):
1. Der Betrag von b~ ist das j l j-fache des Betrages von ~
a:
j b~j ¼ j l ~
a j ¼ j l j j~
aj
ðII-4Þ
2. Der Vektor b~ ist parallel oder anti-parallel zu ~
a orientiert:
l > 0:
b~ " " ~
a
ðBild II-17aÞ
l < 0:
b~ " # ~
a
ðBild II-17bÞ
Für l ¼ 0 erhält man den Nullvektor ~
0.
la
a
a
la
a) l > 0
b) l < 0
Bild II-17 Zur Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l
1 Grundbegriffe
53
Anmerkungen
(1)
(2)
(3)
Die Vektoren l ~
a und ~
a sind kollinear.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer negativen Zahl bewirkt stets eine Richtungsumkehr des Vektors (vgl. hierzu Bild II-17b).
Die Division eines Vektors ~
a durch einen Skalar m 6¼ 0 entspricht einer Multiplikation von ~
a mit dem Kehrwert l ¼ 1=m .
Rechenregeln ðl 2 R; m 2 RÞ
&
l ð~
a þ b~Þ ¼ l ~
a þ l b~
ðII-5Þ
ðl þ mÞ ~
a ¼ l~
a þ m~
a
ðII-6Þ
ðl mÞ ~
a ¼ l ðm ~
aÞ ¼ m ðl ~
aÞ
ðII-7Þ
j l~
a j ¼ j l j j~
aj
ðII-8Þ
Beispiele
(1)
Wir multiplizieren den Vektor ~
a der Reihe nach mit den Skalaren 2, 1,5 und
4 (Bild II-18):
2~
a:
2~
a "" ~
a,
1,5 ~
a:
1,5 ~
a "# ~
a,
4~
a:
4~
a "" ~
a,
j 2~
aj ¼
2 j~
aj ¼
2a
j 1,5 ~
a j ¼ 1,5 j ~
a j ¼ 1,5 a
j 4~
aj ¼
4 j~
aj ¼
4a
a
2a
4a
–1,5 a
Bild II-18
Zur Multiplikation eines Vektors
mit einem Skalar
(2)
Beispiele aus Physik und Technik:
(a)
Kraft, Masse und Beschleunigung sind durch die Newtonsche Bewegungsglei~ ¼ m~
chung F
a miteinander verknüpft:
~ "" ~
F
a ðwegen m > 0Þ,
(b)
~j ¼ m j ~
jF
a j , d: h:
F ¼ ma
Impuls: ~
p ¼ m~
v (Impuls = Masse mal Geschwindigkeit)
~
p "" ~
v ðwegen m > 0Þ,
j~
p j ¼ m j~
vj,
d: h:
p ¼ mv
54
II Vektoralgebra
(c)
Ein geladenes Teilchen (Ladung q ) erfährt in einem elektrischen Feld der Feld~ eine Kraft F
~ ¼ qE
~ in Richtung des Feldes (bei positiver Ladung)
stärke E
oder in die dem Feld entgegengesetzte Richtung (bei negativer Ladung):
q > 0:
~ "" E
~,
F
~j ¼ q j E
~j , d: h:
jF
q < 0:
~ "# E
~,
F
~j ¼ j q j j E
~j , d: h:
jF
F ¼ qE
F ¼ qE
&
2 Vektorrechnung in der Ebene
Besonders anschaulich und übersichtlich ist die Vektorrechnung in der Ebene. Wir beschränken uns daher zunächst aus rein didaktischen Gründen auf die Darstellung der
Vektoren und ihrer Rechenoperationen in der Ebene, wobei ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem zugrundegelegt wird.
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors
Das Koordinatensystem legen wir durch zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y fest, die in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren bezeichnet werden (Bild II-19). Sie bestimmen Richtung und Maßstab der Koordinatenachsen.
y
y
P
ay
ey
a
ey
ex
x
Bild II-19 Festlegung eines ebenen rechtwinkligen Koordinatensystems durch zwei
Einheitsvektoren (Basisvektoren)
ex
ax
x
Bild II-20 Zerlegung eines Vektors in
Komponenten
Wir betrachten nun einen im Nullpunkt „angebundenen“ Vektor ~
a . Die Projektionen
dieses Vektors auf die beiden Koordinatenachsen führen zu den mit ~
a x und ~
a y bezeichneten Vektoren (Bild II-20). Der Vektor ~
a ist dann als Summenvektor aus ~
a x und
~
a y darstellbar:
~
ay
a ¼ ~
ax þ ~
ðII-9Þ
2 Vektorrechnung in der Ebene
55
Die durch Projektion entstandenen Vektoren ~
a x und ~
a y werden als Vektorkomponenten
von ~
a bezeichnet. Sie lassen sich durch die Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y wie folgt
ausdrücken:
~
ax ¼ ax ~
ex ,
~
ay ¼ ay~
ey
ðII-10Þ
e x sind kollineare Vektoren, ebenso ~
a y und ~
e y ). Für den Vektor ~
a erhält
(~
a x und ~
man somit die Darstellung
~
ay ¼ ax ~
a ¼~
ax þ ~
ex þ ay~
ey
ðII-11Þ
a. Sie werden
Die skalaren Größen a x und a y sind die sog. Vektorkoordinaten von ~
auch als skalare Vektorkomponenten bezeichnet und stimmen mit den Koordinaten des
Vektorendpunktes P überein, wenn der Vektor (wie hier) vom Nullpunkt aus abgetragen
wird ( ~
a ist dann der Ortsvektor von P). Die in Gleichung (II-11) angegebene Zerlegung
heißt Komponentendarstellung des Vektors ~
a. Bei fester Basis ~
e x, ~
e y ist der Vektor ~
a
in umkehrbar eindeutiger Weise durch die Vektorkoordinaten a x und a y bestimmt.
Daher schreibt man verkürzt in symbolischer Form
ax
~
ðII-12Þ
a ¼ ax~
ex þ ay~
ey ¼
ay
ax
als Spaltenvektor. Auch die Schreibweise in Form
und bezeichnet das Symbol
ay
eines Zeilenvektors ða x a y Þ ist grundsätzlich möglich. Wir werden jedoch zur Darstellung von Vektoren ausschließlich Spaltenvektoren verwenden, um Verwechslungen mit
Punkten zu vermeiden. Außerdem lassen sich die Rechenoperationen mit Spaltenvektoren wesentlich übersichtlicher durchführen.
Wir fassen zusammen:
Komponentendarstellung eines Vektors (Bild II-20)
ax
~
a ¼~
ax þ ~
ay ¼ ax ~
ex þ ay~
ey ¼
ay
ðII-13Þ
Dabei bedeuten:
)
~
ax ¼ ax ~
ex
Vektorkomponenten von ~
a
~
ay ¼ ay~
ey
a x, a y :
ax
:
ay
Vektorkoordinaten (skalare Vektorkomponenten) von ~
a
Spaltenvektor
Anmerkung
Eine Vektorkoordinate wird dabei positiv gezählt, wenn die Projektion des Vektors ~
a
auf die entsprechende Koordinatenachse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.
56
II Vektoralgebra
Fällt der Projektionsvektor jedoch in die Gegenrichtung, d. h. in die negative Richtung
der Koordinatenachse, so ist die entsprechende Vektorkoordinate negativ.
Ist der Vektor ~
a durch den Anfangspunkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ und den Endpunkt
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ gegeben, so lautet seine Komponentendarstellung wie folgt (Bild II-21):
P2
y
a=
P
P2
1
ay
ax ¼ x2 x1
ay ¼ y2 y1
y2
P1
ax
y1
Bild II-21
x1
x2
x
Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors (Bild II-21)
!
x2 x1
~
ðII-14Þ
e x þ ðy 2 y 1 Þ ~
ey ¼
a ¼ P 1 P 2 ¼ ðx 2 x 1 Þ ~
y2 y1
Dabei bedeuten:
!
P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ: Anfangspunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
!
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ: Endpunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
Komponentendarstellung spezieller Vektoren
!
Der vom Koordinatenursprung zum Punkt P ¼ ðx; yÞ führende Ortsvektor ~
r ðPÞ ¼ O P
besitzt nach Bild II-22 die Komponentendarstellung
!
x
~
r ðPÞ ¼ O P ¼ x ~
e x þ y~
ey ¼
ðII-15Þ
y
y
r(
P)
P = (x;y)
y
ey
Bild II-22
Ortsvektor eines Punktes
ex
x
x
2 Vektorrechnung in der Ebene
57
Die Komponentendarstellung der Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x und ~
e y lautet:
1
0
~
~
,
e y ¼ 0~
ðII-16Þ
e x þ 0~
ey ¼
e x þ 1~
ey ¼
e x ¼ 1~
0
1
Der Nullvektor ~
0 hat die Gestalt
0
~
0 ¼ 0~
e x þ 0~
ey ¼
0
ðII-17Þ
Betrag eines Vektors
Den Betrag eines Vektors ~
a erhält man unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras nach
Bild II-23:
Betrag eines Vektors (Bild II-23)
y
a
j~
aj ¼ a ¼
|a|
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 2x þ a 2y
ðII-18Þ
ay
Bild II-23
ax
x
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ sind genau dann gleich, wenn sie in ihren entsprechenden
Vektorkoordinaten übereinstimmen:
~
a ¼ b~
ax ¼ bx ,
ay ¼ by
ðII-19Þ
Beispiele
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ð6; 8Þ lautet (Bild II-24):
!
6
~
ey ¼
r ðPÞ ¼ O P ¼ 6~
e x þ 8~
8
Sein Betrag ist
j~
r ðPÞ j ¼ r ðPÞ ¼
y
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
6 2 þ 8 2 ¼ 10
P = (6;8)
P)
(1)
r(
&
,
8
Bild II-24
0
6
x
58
II Vektoralgebra
(2)
!
Der von P 1 ¼ ð2; 4Þ nach P 2 ¼ ð 4; 1Þ gerichtete Vektor ~
a ¼ P 1 P 2 besitzt
die folgende Komponentendarstellung (Bild II-25):
ax ¼ x2 x1 ¼ 4 2 ¼ 6
ay ¼ y2 y1 ¼ 1 4 ¼ 3
6
!
~
e x 3~
ey ¼
a ¼ P 1 P 2 ¼ 6~
3
y
P1
P1
P2
P2
4
1
Bild II-25
–4
2
x
Sein Betrag ist
!
j~
a j ¼ j P1 P2 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 6Þ 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 45 ¼ 6,71
&
2.2 Darstellung der Vektoroperationen
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einer reellen Zahl (einem Skalar) l erfolgt
komponentenweise, d. h. jede Vektorkoordinate wird mit l multipliziert.
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l erfolgt komponentenweise:
l ax
ax
¼
ðII-20Þ
l~
a ¼ l
ay
l ay
Anmerkung
Umgekehrt gilt: Besitzen die skalaren Vektorkomponenten einen gemeinsamen Faktor,
so darf dieser vor den Spaltenvektor gezogen werden.
2 Vektorrechnung in der Ebene
&
Beispiele
ey ¼
(1) ~
a ¼ 4~
e x 3~
59
4
3
Wir multiplizieren diesen Vektor der Reihe nach mit den Skalaren l 1 ¼ 6 und
l 2 ¼ 10 und erhalten die folgenden Vektoren:
4
24
6~
a ¼ 6
¼
¼ 24~
e x 18~
ey
3
18
4
40
10 ~
a ¼ 10
¼
¼ 40~
e x þ 30~
ey
3
30
Dabei gilt:
6~
a "" ~
a
(2)
10 ~
a "# ~
a
und
~ mit den skalaren VekZulässige Schreibweisen für einen (ebenen) Kraftvektor F
torkomponenten (Kraftkomponenten) Fx ¼ 15 N und Fy ¼ 6 N sind (die Maßeinheit wird dabei wie ein Skalar behandelt):
~ ¼ ð15 NÞ ~
ey ¼
F
e x þ ð6 NÞ ~
15 N
6N
¼
15
6
N
&
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
Aus Bild II-26 folgt unmittelbar, dass die Addition zweier Vektoren ~
a und b~ komponentenweise geschieht:
~
a þ b~ ¼
ax
þ
ay
bx
¼
by
ax þ bx
ðII-21Þ
ay þ by
y
a+
b
b
by
ay + by
a
ax
bx
ax + bx
Bild II-26
Zur komponentenweisen Addition
zweier Vektoren
ay
x
60
II Vektoralgebra
Dies gilt auch für die Subtraktion zweier Vektoren:
bx
ax
bx
ax bx
ax
~
¼
þ
¼
a b~ ¼
ay
by
ay
by
ay by
ðII-22Þ
Addition und Subtraktion zweier Vektoren (Bild II-26)
Zwei Vektoren ~
a und b~ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert:
bx
ax bx
ax
~
~
¼
ðII-23Þ
ab ¼
ay
by
ay by
Anmerkung
Diese Regel gilt sinngemäß auch für endlich viele Vektoren.
&
Beispiele
2 ~
1
3
(1) Mit den Spaltenvektoren ~
a ¼
,b ¼
und ~
c ¼
soll der
3
5
2
Vektor ~
s ¼~
a þ 2 b~ 5~
c berechnet werden. Welchen Betrag besitzt dieser Vektor?
Lösung:
3
2
1
5
¼
þ2
2
3
5
15
15
2 2 15
2
2
¼
¼
þ
þ
¼
3
3 þ 10 10
10
10
3
~
s ¼ ~
a þ 2 b~ 5~
c ¼
j~
sj ¼
(2)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 15Þ 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 234 ¼ 15,3
~1 ¼ 4 N ,
Die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte F
5N
2 N
4N
~
~
und F3 ¼
können durch die folgende resultierende
F2 ¼
3N
1N
~R ersetzt werden:
Kraft F
~1 þ F
~2 þ F
~3 ¼
~R ¼ F
F
4N
2 N
4N
4N 2N þ 4N
¼
þ
þ
¼
¼
5N
3N
1N
5N þ 3N þ 1N
¼
6N
9N
6
N
¼
9
2 Vektorrechnung in der Ebene
(3)
61
Schiefer Wurf : Ein Körper wird unter dem Winkel a (gemessen gegen die Horizontale) mit einer Geschwindigkeit vom Betrage v 0 abgeworfen (Bild II-27). Wie
lautet die Komponentendarstellung des Geschwindigkeitsvektors ~
v 0?
Lösung:
y
~
v0 ¼ v0x ~
ex þ v0y~
ey ¼
v0
v0x
v0y
v0
v 0y
a
Bild II-27
v 0x
x
Aus dem rechtwinkligen Dreieck in Bild II-27 folgt unmittelbar:
v0x
v0
v0y
sin a ¼
v0
cos a ¼
)
v 0 x ¼ v 0 cos a
)
v 0 y ¼ v 0 sin a
Damit besitzt der Geschwindigkeitsvektor ~
v 0 die folgende Komponentendarstellung:
v0x
v 0 cos a
cos a
~
¼ v0
¼
v0 ¼
&
v0y
v 0 sin a
sin a
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
Als weitere Vektoroperation führen wir die skalare Multiplikation zweier Vektoren ein.
Sie erzeugt aus den Vektoren ~
a und b~ einen Skalar, also eine reelle Zahl, das sog.
Skalarprodukt ~
a b~ (gelesen: a Punkt b). In den Anwendungen treten Skalarprodukte
z. B. im Zusammenhang mit den folgenden Größen auf:
Arbeit einer Kraft beim Verschieben einer Masse
Spannung (Potentialdifferenz) zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes
Winkelberechnung zwischen zwei Kräften oder in ebenen geometrischen Figuren
(z. B. in Dreiecken)
62
II Vektoralgebra
Das Skalarprodukt wird wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ wird das
Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des
von den Vektoren eingeschlossenen Winkels j verstanden (Bild II-28):
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a b cos j
ðII-24Þ
ð0 j 180 Þ
b
Bild II-28
Zum Begriff des Skalarproduktes zweier Vektoren
f
a
Anmerkungen
(1)
Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe und wird auch als inneres Produkt der
Vektoren ~
a und b~ bezeichnet.
(2)
Man beachte, dass der in der Definitionsformel (II-24) des Skalarproduktes auftretende Winkel j stets der kleinere der beiden Winkel ist, den die Vektoren ~
a und
b~ miteinander bilden.
Rechenregeln für Skalarprodukte
Die Skalarproduktbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:
Kommutativgesetz
~
a b~ ¼ b~ ~
a
ðII-25Þ
Distributivgesetz
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
ðII-26Þ
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
aÞ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-27Þ
Orthogonale Vektoren
Das Skalarprodukt ~
a b~ zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren kann nur verschwinden, wenn cos j ¼ 0, d. h. j ¼ 90 ist. In diesem Fall stehen die Vektoren
aufeinander senkrecht (sog. orthogonale Vektoren, vgl. hierzu Bild II-29).
b
a·b=0
Bild II-29
Orthogonale Vektoren
a
2 Vektorrechnung in der Ebene
63
Orthogonale Vektoren (Bild II-29)
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ 0
~
a ? b~
,
ðII-28Þ
Die Bedingung der Orthogonalität erfüllen beispielsweise die Einheitsvektoren (Basisey:
vektoren) ~
e x und ~
~
ey ¼ ~
ey ~
ex ¼ 0
ex ~
ðII-29Þ
Das skalare Produkt eines Vektors ~
a mit sich selbst führt zu
~
a~
a ¼ j~
a j j~
a j cos 0 ¼ j ~
a j j~
a j 1 ¼ j~
a j2 ¼ a2 0
ðII-30Þ
Der Betrag eines Vektors ~
a kann daher aus dem Skalarprodukt ~
a~
a berechnet werden:
j~
aj ¼ a ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~
a~
a
ðII-31Þ
ey:
So erhält man beispielsweise für die Einheitsvektoren (Basisvektoren) ~
e x und ~
~
ex ~
e x ¼ j~
e x j 2 ¼ 1,
~
ey ~
e y ¼ j~
ey j2 ¼ 1
ðII-32Þ
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Das skalare Produkt zweier Vektoren ~
a ¼ ax~
ex þ ay~
e y und b~ ¼ b x ~
ex þ by~
e y lässt
sich auch direkt aus den Vektorkoordinaten (skalaren Vektorkomponenten) der beiden
Vektoren wie folgt berechnen (wir verwenden dabei die Rechenregeln (II-26) und
(II-27)):
~
ex þ ay~
e y Þ ðb x ~
ex þ by~
e yÞ ¼
a b~ ¼ ða x ~
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a y b x ð~
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e yÞ ¼
¼ a x b x ð~
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
1
0
0
1
¼ ax bx þ ay by
ðII-33Þ
In der Praxis verwenden wir für die Skalarproduktbildung das folgende Rechenschema:
~
a b~ ¼
ax
ay
bx
by
¼ ax bx þ ay by
ðII-34Þ
64
II Vektoralgebra
Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
bx
ax
~
¼ ax bx þ ay by
ðII-35Þ
a b~ ¼
ay
by
Regel: Komponentenweise Multiplikation, anschließende Addition der Produkte.
Die Berechnung eines Skalarproduktes kann somit grundsätzlich auf zwei verschiedene
Arten erfolgen: Entweder nach der Definitionsformel (II-24), wenn die Beträge der beiden Vektoren sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind oder über die
skalaren Vektorkomponenten nach Formel (II-35):
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a x b x þ a y b y
&
ðII-36Þ
Beispiele
(1)
(2)
1
3
~
:
und b ¼
Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren ~
a ¼
5
2
3
1
~
a b~ ¼
¼ 3 ð 1Þ þ 2 5 ¼ 3 þ 10 ¼ 7
2
5
1
1
~
sind orthogonal, d. h. sie stehen aufund b ¼
Die Vektoren ~
a ¼
1
1
einander senkrecht, da ihr skalares Produkt verschwindet:
~
a b~ ¼
1
1
¼ 1 ð 1Þ þ 1 1 ¼ 1 þ 1 ¼ 0
1
1
&
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
Bei der Berechnung des von zwei Vektoren ~
a und b~ eingeschlossenen Winkels j
wird von der Gleichung (II-36) Gebrauch gemacht, die zunächst nach cos j aufgelöst
wird:
cos j ¼
~
ax bx þ ay by
a b~
¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~
2
j~
aj jb j
a x þ a 2y b 2x þ b 2y
ðII-37Þ
2 Vektorrechnung in der Ebene
65
Durch Umkehrung 1) folgt schließlich:
Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-28)
Der von den Vektoren ~
a und b~ eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt
berechnen:
!
~
a b~
j ¼ arccos
ð~
a 6¼ ~
0, b~ 6¼ 0Þ
ðII-38Þ
j~
a j j b~ j
Anmerkung
Aus dem Vorzeichen des Skalarproduktes ~
a b~ lassen sich bereits Rückschlüsse auf
den Winkel j zwischen den Vektoren ~
a und b~ ziehen (Bild II-30):
~
a b~ > 0
~
a b~ ¼ 0
~
a b~ < 0
)
j < 90
)
j ¼ 90
j > 90
)
b
(spitzer Winkel; Bild II-30a))
(rechter Winkel; Bild II-30b))
(stumpfer Winkel; Bild II-30c))
b
b
f = 90°
f < 90°
f
f > 90°
f
f
a
a) ~
a b~ > 0
a
b) ~
a b~ ¼ 0
a
c) ~
a b~ < 0
Bild II-30 Winkel zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren
&
Beispiele
(1)
Welche Winkel bildet der Vektor ~
a ¼
(Bild II-31)?
2
mit den beiden Koordinatenachsen
1
y
2
ey
a
1
b
a
Bild II-31
ex
1)
x
Die Auflösung der Gleichung (II-37) nach dem unbekannten Winkel j führt auf die Umkehrfunktion der
Kosinusfunktion, die als Arkuskosinusfunktion bezeichnet und im nächsten Kapitel (Kap. III, Abschnitt 10.3)
noch ausführlich behandelt wird.
66
II Vektoralgebra
Lösung: Die gesuchten Winkel a und b sind nach Bild II-31 genau die Winkel,
die der Vektor ~
a mit den beiden Einheitsvektoren ~
e x und ~
e y einschließt. Sie
lassen sich daher über die Skalarprodukte des Vektors ~
a mit diesen Einheitsvektoren bestimmen. Es gilt nämlich:
~
a~
ex ¼ j~
a j j~
e x j cos a
)
cos a ¼
~
a~
ex
~
j a j j~
ex j
~
a j j~
e y j cos b
a~
ey ¼ j~
)
cos b ¼
~
a~
ey
j~
a j j~
ey j
Wir berechnen zunächst die in diesen Bestimmungsgleichungen für a und b auftretenden Skalarprodukte und Beträge:
1
2
~
¼ 2,
a~
ex ¼
0
1
j~
aj ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
22 þ 12 ¼ 5 ,
0
2
~
a~
ey ¼
¼ 1
1
1
ey j ¼ 1
j~
e x j ¼ j~
Damit erhalten wir:
~
2
a~
ex
cos a ¼
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a j j~
ex j
5
)
~
1
a~
ey
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a j j~
ey j
5
)
cos b ¼
2
p
ﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
¼ 26,6
a ¼ arcccos
5
1
p
ﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
¼ 63,4
b ¼ arcccos
5
Kontrolle: Es ist (wie erwartet) a þ b ¼ 90 .
(2)
Wir interessieren uns für den Winkel j zwischen den Vektoren ~
a ¼
3
(siehe Bild II-32).
b~ ¼
2
y
a
3
b
2
≈ 110°
Bild II-32
–3
4
x
4
und
3
2 Vektorrechnung in der Ebene
67
Mit
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4 2 þ 3 2 ¼ 25 ¼ 5 ,
j b~j ¼
ð 3Þ 2 þ 2 2 ¼ 13
4
3
~
a b~ ¼
¼ 12 þ 6 ¼ 6
3
2
j~
aj ¼
erhalten wir nach Formel (II-38) den folgenden Wert:
!
~
6
a b~
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
¼
¼ arccos
j ¼ arccos
5 13
j~
a j j b~ j
¼ arccos ð 0,3328Þ ¼ 109,4
&
2.4 Linear unabhängige Vektoren
Aus Abschnitt 2.1 ist bekannt: Jeder Vektor ~
a ist in eindeutiger Weise als Linearkombination der Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y darstellbar:
~
ex þ ay~
ey
a ¼ ax~
ðII-39Þ
e y bilden dabei eine sog. Basis
(sog. Komponentendarstellung). Die Vektoren ~
e x und ~
der Ebene, erzeugen also einen 2-dimensionalen Raum und werden daher folgerichtig
als Basisvektoren bezeichnet. Grundsätzlich können als Basis zwei beliebige (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren ~
e 1, ~
e 2 gewählt werden, sofern sie (wie ~
e x und ~
e y)
nicht kollinear sind, also einen von 0 und 180 verschiedenen Winkel miteinander
einschließen (Bild II-33).
f
a) f = 0°
b) f = 180°
Bild II-33 a) und b) Kollineare Vektoren
c) 0° < f < 180°
c) Nicht-kollineare Vektoren
Jeder Vektor ~
a lässt sich dann in eindeutiger Weise als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen:
~
e2
a ¼ l~
e 1 þ m~
ðII-40Þ
Die reellen Zahlen l und m sind dabei die Vektorkoordinaten von ~
a, bezogen auf die
e 2 (Bild II-34).
Basis ~
e 1, ~
68
II Vektoralgebra
a = le 1 + me 2
me 2
e2
Bild II-34
Darstellung eines Vektors ~
a in der Basis ~
e 1, ~
e2
le1
e1
Basisvektoren sind dabei stets linear unabhängig, d. h. die mit ihnen gebildete lineare
Vektorgleichung
l1~
0
e1 þ l2~
e2 ¼ ~
ðII-41Þ
kann nur für l 1 ¼ l 2 ¼ 0 erfüllt werden 2).
&
Beispiel
1
1
und ~
e2 ¼
sind wie man aus Bild II-35 unex ¼
Die Vektoren ~
e1 ¼ ~
0
1
mittelbar entnehmen kann nicht-kollinear und somit linear unabhängig.
y
e2
1
Bild II-35
Linear unabhängige Vektoren
~
e 1, ~
e2
e1
–1
1
x
Wir wollen diese Aussage auf rechnerischem Wege bestätigen. Aus der Vektorgleichung
0
1
1
l1~
þ l2
¼
0
oder
l1
e1 þ l2~
e2 ¼ ~
0
0
1
erhalten wir das homogene lineare Gleichungssystem
1 l1 1 l2 ¼ 0
0 l1 þ 1 l2 ¼ 0
oder
l1 l2 ¼ 0
l2 ¼ 0
e 1 und ~
e 2 sind somit linear
mit der trivialen Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ 0. Die Vektoren ~
&
unabhängig.
2)
Die Komponentenschreibweise der Vektorgleichung (II-41) führt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem, das nur trivial lösbar ist ðl 1 ¼ l 2 ¼ 0Þ.
2 Vektorrechnung in der Ebene
69
Der Begriff der „Linearen Unabhängigkeit von Vektoren“ lässt sich auch auf Systeme
von k Vektoren ausdehnen.
Definition: Die k Vektoren ~
a 1, ~
a 2, . . . , ~
a k der Ebene heißen linear unabhängig,
wenn die lineare Vektorgleichung
l1 ~
0
a1 þ l2 ~
a2 þ . . . þ lk ~
ak ¼ ~
ðII-42Þ
nur für l 1 ¼ l 2 ¼ . . . ¼ l k ¼ 0 erfüllt werden kann. Verschwinden jedoch nicht alle Koeffizienten in dieser Gleichung, so heißen die
k Vektoren linear abhängig.
Anmerkungen
(1)
Es lässt sich zeigen, dass es in der Ebene maximal zwei linear unabhängige Vektoren gibt (daher stammt auch die Bezeichnung „2-dimensionaler“ Raum für die Ebene), mehr als zwei Vektoren sind immer linear abhängig.
(2)
Die Vektoren k sind linear abhängig, wenn sie den Nullvektor oder kollineare
Vektoren enthalten oder wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination
der übrigen darstellbar ist.
2.5 Ein Anwendungsbeispiel:
Resultierende eines ebenen Kräftesystems
Wir behandeln ein Problem, das in der Technischen Mechanik von großer Bedeutung ist:
Die vektorielle Addition von mehreren an einem gemeinsamen Massenpunkt angreifenden (ebenen) Kräften zu einer resultierenden Kraft.
Graphische Lösung durch ein Krafteck
~1 ,
Es wird ein Kräfteplan erstellt: Er enthält die n angreifenden Kraftvektoren F
~2 , . . . , F
~n in einem geeigneten Kräftemaßstab 3). Von F
~1 ausgehend wird zunächst
F
~2 parallel zu sich verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt
der Kraftvektor F
~3 parallel zu sich selbst und bringen sei~1 fällt. Anschließend verschieben wir F
von F
~2 zur Deckung. Auf diese Weise wird
nen Anfangspunkt mit dem Endpunkt von F
Kraftvektor an Kraftvektor gereiht und man erhält ein sog. Krafteck (auch Kraftpolygon
~R ist der vom Anfangspunkt des Vektors F
~1 zum
genannt). Die resultierende Kraft F
~
Endpunkt des Vektors Fn gerichtete Vektor (Bild II-36).
3)
Der Kräftemaßstab regelt die Umrechnung von der Längen- in die Krafteinheit, z. B. 1 cm ¼
b 100 N.
70
II Vektoralgebra
F n–1
Fn
FR
F5
F4
Bild II-36
Krafteck (Kräftepolygon)
F3
F1
F2
Rechnerische Lösung
~R ist die Vektorsumme aus den n Einzelkräften:
Die resultierende Kraft F
~R ¼ F
~1 þ F
~2 þ . . . þ F
~n
F
&
ðII-43Þ
Beispiel
Wir bestimmen graphisch und rechnerisch die Resultierende des in Bild II-37 skizzierten
Kräftesystems:
y
F 2 = 300 N
F 1 = 500 N
45°
30°
Bild II-37
15°
20°
x
F 4 = 200 N
F 3 = 250 N
a) Graphische Lösung (Bild II-38)
F2
F3
F4
Abgelesene Werte:
FR
FR 370 N
a 61
F1
a
Bild II-38
x
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
71
b) Rechnerische Lösung
Wir berechnen zunächst anhand des Bildes II-37 die x- und y-Komponenten der vier
~R :
Einzelkräfte und daraus dann die Resultierende F
~1 :
F
F1 x ¼ F1 cos 30 ¼ 500 N cos 30 ¼
F1 y ¼ F1 sin 30 ¼ 500 N sin 30 ¼
~2 :
F
F2 x ¼ F2 cos 135 ¼ 300 N cos 135 ¼ 212,1 N
F2 y ¼ F2 sin 135 ¼ 300 N sin 135 ¼ 212,1 N
~3 :
F
F3 x ¼ F3 cos 200 ¼ 250 N cos 200 ¼ 234,9 N
F3 y ¼ F3 sin 200 ¼ 250 N sin 200 ¼ 85,5 N
~4 :
F
F4 x ¼ F4 cos 345 ¼ 200 N cos 345 ¼ 193,2 N
F4 y ¼ F4 sin 345 ¼ 200 N sin 345 ¼ 51,8 N
433 N
250 N
~R :
Resultierende Kraft F
~1 þ F
~2 þ F
~3 þ F
~4 ¼
~R ¼ F
F
179,2 N
193,2 N
234,9 N
212,1 N
433 N
¼
þ
þ
þ
¼
324,8 N
51,8 N
85,5 N
212,1 N
250 N
Wir können die resultierende Kraft aber auch durch ihren Betrag und den in Bild II-38
eingezeichneten Winkel a eindeutig festlegen:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~R j ¼
jF
ð179,2 NÞ 2 þ ð324,8 NÞ 2 ¼ 137 607,7 N ¼ 371,0 N
179,2 N
1
~R ~
324,8 N
0
ex
179,2 N
F
¼ 0,4830 )
cos a ¼
¼
¼
~
371,0 N
371,0 N 1
j FR j j~
ex j
a ¼ arccos 0,4830 ¼ 61,1
&
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
Nachdem wir uns in Abschnitt 2 eingehend mit den Vektoren der Ebene und ihren Eigenschaften beschäftigt haben, gehen wir jetzt zur Darstellung von Vektoren im 3-dimensionalen Anschauungsraum (im Folgenden kurz als Raum bezeichnet) über. Hier liegen die
Verhältnisse ganz ähnlich. Zur Festlegung eines Vektors benötigt man jedoch eine weitere
Komponente. Die Rechenoperationen unterliegen dabei den bereits aus der Ebene bekannten Regeln: Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar sowie die Addition
und Subtraktion von Vektoren erfolgen jeweils komponentenweise. Die Definition des
Skalarproduktes zweier Vektoren und die sich daraus ergebenden Eigenschaften behalten
auch im Raum ihre Gültigkeit. Als neue Begriffe werden wir schließlich das aus zwei
Vektoren gebildete Vektorprodukt sowie das aus drei Vektoren gebildete gemischte oder
Spatprodukt einführen.
72
II Vektoralgebra
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors
Wir legen der Betrachtung ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem mit einer
x, y - und z-Achse zugrunde. Es wird durch drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z festgelegt (Bild II-39) 4). Richtung und Maßstab
der Koordinatenachsen sind dadurch eindeutig bestimmt. Daher bezeichnet man die Einheitsvektoren in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren.
z
az
z
az
P
ez
a
ex
ey
ax
y
ay
ay
y
ax
x
x
Bild II-39 Basisvektoren eines räumlichen
rechtwinkligen Koordinatensystems
Bild II-40 Zerlegung eines Vektors
in drei Komponenten
Ein im Nullpunkt „angebundener Vektor ~
a ist dann in der Form
~
ay þ ~
az
a ¼ ~
ax þ ~
ðII-44Þ
a y, ~
a z sind
darstellbar. Die als Vektorkomponenten von ~
a bezeichneten Vektoren ~
a x, ~
die Projektionen des Vektors ~
a auf die einzelnen Koordinatenachsen (Bild II-40). Sie
liegen in Richtung oder in Gegenrichtung des jeweiligen Einheitsvektors. Daher gilt:
~
ex ,
ax ¼ ax ~
~
ay ¼ ay~
ey ,
~
az ¼ az~
ez
ðII-45Þ
Für den Vektor ~
a erhält man somit die Komponentendarstellung
~
ay þ ~
az ¼ ax ~
ex þ ay~
ey þ az~
ez
a ¼ ~
ax þ ~
ðII-46Þ
Die skalaren Größen a x , a y , a z werden als Vektorkoordinaten oder skalare Vektorkomponenten von ~
a bezeichnet. Wird der Vektor ~
a vom Koordinatenursprung aus abgetragen, so stimmen die Vektorkomponenten von ~
a mit den Koordinaten des Vektorendpunktes P überein (~
a ist der Ortsvektor von P). Bei fester Basis ~
e x, ~
e y, ~
e z ist der Vektor ~
a
in umkehrbar eindeutiger Weise durch die drei Vektorkoordinaten a x , a y , a z bestimmt.
4)
Rechtshändiges System (Rechtssystem): Spreizt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten
Hand so, dass sie jeweils einen rechten Winkel miteinander bilden, dann zeigen sie der Reihe nach in
Richtung der drei Einheitsvektoren und damit in Richtung der x-, y- und z-Achse. Statt ~
e x, ~
e y, ~
e z sind
auch folgende Symbole üblich: ~
e 1, ~
e 2, ~
e 3 und ~
i, ~
j, k~.
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
73
Es genügt daher die Angabe der skalaren Komponenten in Form eines Spaltenvektors:
0 1
ax
~
ðII-47Þ
ex þ ay~
ey þ az~
ez ¼ @ ay A
a ¼ ax~
az
Von der ebenfalls möglichen Darstellung durch einen Zeilenvektor ða x a y a z Þ werden
wir keinen Gebrauch machen 5Þ .
Komponentendarstellung eines Vektors (Bild II-40)
0
1
ax
~
ay þ ~
az ¼ ax ~
ex þ ay~
ey þ az~
ez ¼ @ ay A
a ¼~
ax þ ~
az
ðII-48Þ
Dabei bedeuten:
9
~
ex >
ax ¼ ax ~
=
~
a
ay ¼ ay~
e y Vektorkomponenten von ~
>
;
~
az ¼ az~
ez
a x, a y, a z :
0 1
ax
@ a y A:
az
Vektorkoordinaten (skalare Vektorkomponenten) von ~
a
Spaltenvektor
Sind Anfangspunkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 ; z 1 Þ und Endpunkt P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 ; z 2 Þ eines Vek!
tors ~
a bekannt, so lautet die Komponentendarstellung von ~
a ¼ P 1 P 2 wie folgt:
Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors
0
1
x2 x1
!
~
e x þ ðy 2 y 1 Þ ~
e y þ ðz 2 z 1 Þ ~
ez ¼ @ y2 y1 A
a ¼ P 1 P 2 ¼ ðx 2 x 1 Þ ~
z2 z1
(II-49)
Dabei bedeuten:
!
P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 ; z 1 Þ: Anfangspunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
!
P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 ; z 2 Þ: Endpunkt des Vektors ~
a ¼ P1 P2
5)
Mit Spaltenvektoren lässt sich besonders einfach und übersichtlich rechnen (siehe folgende Abschnitte).
74
II Vektoralgebra
Komponentendarstellung spezieller Vektoren
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ðx; y; zÞ lautet:
0 1
x
!
~
e y þ z~
ez ¼ @ y A
r ðPÞ ¼ O P ¼ x ~
e x þ y~
z
ðII-50Þ
Für die drei Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x, ~
e y, ~
e z erhält man die folgende Komponentendarstellung:
0 1
0 1
1
0
~
~
e x ¼ 1~
e x þ 0~
e y þ 0~
ez ¼ @ 0 A ,
e y ¼ 0~
e x þ 1~
e y þ 0~
ez ¼ @ 1 A ,
0
0
0 1
0
~
e z ¼ 0~
e x þ 0~
e y þ 1~
ez ¼ @ 0 A
ðII-51Þ
1
Der Nullvektor ~
0 besitzt die Komponentendarstellung
0 1
0
@
~
e y þ 0~
ez ¼ 0 A
0 ¼ 0~
e x þ 0~
0
ðII-52Þ
Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors ~
a lässt sich nach Bild II-41 aus dem rechtwinkligen Dreieck
O P 0 P unter (zweimaliger) Verwendung des Satzes von Pythagoras leicht berechnen:
!
j O P j ¼ j~
aj ¼ a
z
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
!
jOP0 j ¼
a 2x þ a 2y
az
!
j P 0 P j ¼ az
a
P
|a|
az
0
ay
y
!
!
j~
a j2 ¼ a2 ¼ j O P 0 j2 þ j P 0 P j2 ¼
ax
P′
¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2
þ a 2z ¼
a 2x þ a 2y
x
Bild II-41
¼ a 2x þ a 2y þ a 2z
j~
aj ¼ a ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 2x þ a 2y þ a 2z
ðII-53Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
75
Betrag eines Vektors (Bild II-41)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼ a ¼
a 2x þ a 2y þ a 2z
ðII-54Þ
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ sind genau dann gleich, wenn sie in ihren entsprechenden
Komponenten übereinstimmen:
~
a ¼ b~
&
,
ax ¼ bx , ay ¼ by ,
az ¼ bz
ðII-55Þ
Beispiele
(1)
Der Ortsvektor des Punktes P ¼ ð3; 2; 1Þ lautet:
0
1
3
!
~
e y þ 1~
ez ¼ @ 2 A
r ðPÞ ¼ O P ¼ 3~
e x 2~
1
Sein Betrag ist
j~
r ðPÞ j ¼ r ðPÞ ¼
(2)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 2 þ ð 2Þ 2 þ 1 2 ¼ 14 ¼ 3,74
Wir berechnen die Länge des Vektors ~
a ¼ 3~
ex þ ~
e y þ 8~
ez:
0
1
3
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
~
a ¼ @ 1A ) j ~
a j¼ ð 3Þ 2 þ 1 2 þ 8 2 ¼ 74 ¼ 8,60
8
&
3.2 Darstellung der Vektoroperationen
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar (einer reellen Zahl) l wird wie in
der Ebene komponentenweise durchgeführt:
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors ~
a mit einem Skalar l erfolgt komponentenweise:
1
0 1
0
l ax
ax
C
B C
B
ðII-56Þ
l~
a ¼ l @ ay A ¼ @ l ay A
az
l az
76
&
II Vektoralgebra
Beispiel
~ die Beschleunigung
Eine Masse von m ¼ 5 kg erfahre durch eine Kraft F
0
1
2
m
~
a ¼ @ 1 A 2 . Die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft lautet dann:
s
4
0
1
0
1
0
1
2
10
10
m
m
~ ¼ m~
F
a ¼ 5 kg @ 1 A 2 ¼ @ 5 A kg 2 ¼ @ 5 A N
s
s
&
4
20
20
Normierung eines Vektors
~
a sei ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener Vektor. Wie lautet der in die gleiche
Richtung weisende Einheitsvektor ~
e a ? Wir lösen diese Aufgabe wie folgt:
~
a "" ~
e a . Der Vektor ~
a besitzt die Länge j ~
a j,
a und ~
e a sind parallele Vektoren: ~
der Vektor ~
e a die Länge 1. Daher gilt (vgl. hierzu Bild II-42):
a
~
a ¼ j~
aj~
ea
ea
|a
~
ea ¼
|
~
1
a
~
a ¼
j~
aj
j~
aj
ðII-57Þ
ðII-58Þ
Bild II-42
Normierung eines Vektors
Diesen Vorgang bezeichnet man als Normierung eines Vektors.
Normierung eines Vektors (Bild II-42)
Durch Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor ~
a
einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet wie folgt:
1
~
~
a
ðII-59Þ
ea ¼
j~
aj
Regel: Die Vektorkoordinaten werden durch den Betrag des Vektors dividiert.
&
1
2
Wir normieren den Vektor ~
a ¼ @ 1 A:
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 9 ¼ 3
1
0
1
0
2=3
2
1
1 B
C
B
C
~
~
a ¼
a ¼ 3~
ea ) ~
ea ¼
@ 1 A ¼ @ 1=3 A
3
3
2=3
2
Beispiel
0
&
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
77
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
Die Addition und Subtraktion zweier Vektoren ~
a und b~ erfolgt (wie in der Ebene)
komponentenweise:
Addition und Subtraktion zweier Vektoren
Zwei Vektoren ~
a und b~ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert:
0 1
0 1
0
1
ax
bx
ax bx
B C
B C
B
C
~
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a y b y A
ðII-60Þ
az
&
bz
az bz
0 1
0 1
0
1
2
3
4
Wir berechnen mit ~
a ¼ @ 3 A, b~ ¼ @ 0 A und ~
c ¼ @ 1 A den folgenden
Vektor:
4
1
5
Beispiele
(1)
0 1
0 1
0
1
2
3
4
~
s ¼ 4~
a þ 3 b~ 8~
c ¼ 4@3A þ 3@0A 8@ 1A ¼
4
1
5
0
1
0
1
0
1
1
0 1
8 þ 9 þ 32
49
8
9
32
4A
¼ @ 12 A þ @ 0 A þ @ 8 A ¼ @ 12 þ 0 8 A ¼ @
40
16 þ 3 40
21
16
3
0
(2) Wir zeigen, dass die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte
1
20
C
~1 ¼ B
F
@ 11 A N ,
3
1
0
1
C
~3 ¼ B
F
@ 10 A N ,
4
0
0 1
4
B C
~
F2 ¼ @ 8 A N ,
9
1
0
25
C
~4 ¼ B
F
@ 13 A N ,
2
sich in ihrer physikalischen Wirkung aufheben.
~R
Lösung: Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende F
den Nullvektor ergibt. Dies ist hier der Fall:
78
II Vektoralgebra
~1 þ F
~2 þ F
~3 þ F
~4 ¼
~R ¼ F
F
0
1
0 1
0
1
0
1
20
4
1
25
¼ @ 11 A N þ @ 8 A N þ @ 10 A N þ @ 13 A N ¼
3
9
4
2
0
1
0 1
20 þ 4 þ 1 25
0
¼ @ 11 þ 8 10 þ 13 A N ¼ @ 0 A N
3 þ 9 4 2
0
(3)
Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, der die Strecke zwischen den Punkten
P 1 ¼ ð 4; 3; 2Þ und P 2 ¼ ð1; 0; 4Þ halbiert (Bild II-43)?
P1
P1 Q
Q
r (P 1 )
P1 P2
P2
r (Q)
r (P 2 )
Bild II-43
0
!
!
Lösung: Der Vektor P 1 Q ist parallel zum Vektor P 1 P 2, jedoch nur von halber
Länge:
!
1 !
P1 Q ¼
P1 P2
2
Aus der Skizze folgt ferner, dass der Ortsvektor ~
r ðQÞ des gesuchten Punktes Q
!
als Vektorsumme aus ~
r ðP 1 Þ und P 1 Q darstellbar ist:
!
1 !
~
r ðP 1 Þ þ
r ðQÞ ¼ ~
r ðP 1 Þ þ P 1 Q ¼ ~
P1 P2
2
!
Wir berechnen zunächst die benötigten Vektoren ~
r ðP 1 Þ und P 1 P 2 :
0
1
0
1
x1
4
B C
B
C
~
r ðP 1 Þ ¼ @ y 1 A ¼ @ 3 A
z1
2
0
1
0
1
0
1
x2 x1
1 ð 4Þ
5
!
B
C
B
C
B
C
P1 P2 ¼ @ y2 y1 A ¼ @ 0 3
A ¼ @3A
z2 z1
42
2
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
79
Für den Ortsvektor ~
r ðQÞ erhalten wir dann:
0
1
0
1
5
4
1 !
1
@3A ¼
~
P1 P2 ¼ @ 3 A þ
r ðQÞ ¼ ~
r ðP 1 Þ þ
2
2
2
2
0
1
0
1
0
1
0
1
4
2,5
4 þ 2,5
1,5
¼ @ 3 A þ @ 1,5 A ¼ @ 3 1,5 A ¼ @ 1,5 A
2
1
2þ1
3
Ergebnis: Q ¼ ð 1,5; 1, 5; 3Þ.
&
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
Die in Abschnitt 2.3 gegebene Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren lässt
sich sinngemäß auch auf räumliche, d. h. 3-dimensionale Vektoren übertragen:
Definition: Unter dem Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ versteht
man den Skalar
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a b cos j
ðII-61Þ
wobei j der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist
(0 j 180 ; Bild II-44).
b
Bild II-44
Zum Begriff des Skalarproduktes zweier Vektoren
f
a
Rechenregeln für Skalarprodukte
Die Skalarproduktbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:
Kommutativgesetz
~
a b~ ¼ b~ ~
a
(II-62)
Distributivgesetz
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
(II-63)
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
aÞ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-64Þ
80
II Vektoralgebra
Orthogonale Vektoren
Verschwindet das skalare Produkt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren, so bilden sie einen rechten Winkel miteinander, stehen also aufeinander senkrecht (auch die
Umkehrung gilt). Solche Vektoren heißen (wie in der Ebene) orthogonal.
Orthogonale Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ 0
,
~
a ? b~
ðII-65Þ
Die drei Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z bilden eine sog. orthonormierte Basis, d. h. die
Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht (orthogonale Vektoren) und besitzen
jeweils den Betrag Eins (normierte Vektoren):
~
ey ¼ ~
ey ~
ez ¼ ~
ez ~
ex ¼ 0
ex ~
~
ex ¼ ~
ey ~
ey ¼ ~
ez ~
ez ¼ 1
ex ~
ðII-66Þ
Für den Sonderfall ~
a ¼ b~ erhält man:
~
a~
a ¼ j~
a j j~
a j cos 0 ¼ j ~
a j j~
a j 1 ¼ j~
a j2 ¼ a2
ðII-67Þ
Der Betrag eines Vektors ~
a lässt sich daher auch über das Skalarprodukt ~
a~
a berechnen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼ a ¼ ~
a~
a
ðII-68Þ
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann auch direkt aus den skalaren Komponenten der
beiden Vektoren bestimmt werden:
~
a b~ ¼ ða x ~
ex þ ay~
ey þ az~
e z Þ ðb x ~
ex þ by~
ey þ bz~
e zÞ ¼
¼ a x b x ð~
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a x b z ð~
ex ~
e zÞ þ
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e y Þ þ a y b z ð~
ey ~
e zÞ þ
þ a y b x ð~
ez ~
e x Þ þ a z b y ð~
ez ~
e y Þ þ a z b z ð~
ez ~
e zÞ
þ a z b x ð~
ðII-69Þ
Die dabei auftretenden Skalarprodukte verschwinden, wenn an ihrer Bildung zwei verschiedene Einheitsvektoren beteiligt sind. In allen anderen Fällen haben die Skalarprodukte den Wert 1. Damit reduziert sich die Gleichung (II-69) wie folgt:
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
81
~
a b~ ¼ a x b x 1 þ a x b y 0 þ a x b z 0 þ a y b x 0 þ a y b y 1 þ
þ ay bz 0 þ az bx 0 þ az by 0 þ az bz 1 ¼
¼ ax bx þ ay by þ az bz
ðII-70Þ
Wir fassen zusammen:
Berechnung eines Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Skalarprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
0 1 0 1
ax
bx
B C B C
~
~
a b ¼ @ ay A @ by A ¼ ax bx þ ay by þ az bz
ðII-71Þ
az
bz
Regel: Komponentenweise Multiplikation, anschließende Addition der Produkte.
Das skalare Produkt zweier Vektoren kann somit (wie in der Ebene) auf zwei verschiedene Arten berechnet werden:
~
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ a x b x þ a y b y þ a z b z
&
0
1
0
1
1
3
Das skalare Produkt der Vektoren ~
a ¼ @ 2 A und b~ ¼ @ 2 A beträgt:
2
4
0
1 0
1
1
3
~
a b~ ¼ @ 2 A @ 2 A ¼ 3 4 8 ¼ 9
2
4
Beispiele
(1)
(2)
ðII-72Þ
0 1
2
Die Vektoren ~
a ¼ @1A
5
Skalarprodukt verschwindet:
0
und
1
3
b~ ¼ @ 4 A
2
sind orthogonal, da ihr
0 1 0
1
2
3
~
a b~ ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 6 þ 4 10 ¼ 0
5
2
(3) Wir beweisen den Satz des Pythagoras: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse“.
82
II Vektoralgebra
Beweis: Die beiden Katheten sowie die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks
legen wir in der aus Bild II-45 ersichtlichen Weise durch Vektoren fest, wobei gilt:
~
a~
a ¼ a2 ,
~
a b~ ¼ 0
b~ b~ ¼ b 2 ,
~
c~
c ¼ c2 ,
ðda nach Voraussetzung ~
a ? b~Þ
c
b
c
b
Bild II-45
Zur Herleitung des Satzes des Pythagoras
a
a
Der Hypotenusenvektor ~
c ist ferner die Summe der beiden Kathetenvektoren ~
a
und b~:
~
c ¼ ~
a þ b~
Wir bilden nun das skalare Produkt von ~
c mit sich selbst:
~
c~
c ¼ ð~
a þ b~Þ ð~
a þ b~Þ ¼ ~
a~
aþ~
a b~ þ b~ ~
a þ b~ b~
Wegen der Orthogonalität von ~
a und b~ ist ~
a b~ ¼ b~ ~
a ¼ 0 und es folgt:
~
c~
c ¼~
a~
a þ b~ b~
oder
c2 ¼ a2 þ b2
&
Damit ist der Lehrsatz des Pythagoras bewiesen.
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
Aus Gleichung (II-72) erhalten wir die folgende wichtige Beziehung für den Winkel j
zwischen zwei Vektoren ~
a und b~:
cos j ¼
~
ax bx þ ay by þ az bz
a b~
¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~
2
j~
aj jb j
a x þ a 2y þ a 2z b 2x þ b 2y þ b 2z
ðII-73Þ
Diese Gleichung lösen wir nach dem gesuchten Winkel j auf und erhalten das folgende Ergebnis:
Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-44)
Der von den Vektoren ~
a und b~ eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt berechnen:
!
~
a b~
j ¼ arccos
ð~
a 6¼ ~
0, b~ 6¼ ~
0Þ
ðII-74Þ
j~
a j j b~ j
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
83
Beispiel
Wir berechnen nach Gleichung (II-73) bzw. (II-74) den Winkel j, den die Vektoren
0
1
0 1
3
1
~
a ¼ @ 1 A und b~ ¼ @ 2 A miteinander einschließen:
2
4
0
1 0 1
3
1
B
C B C
~
a b~ ¼ @ 1 A @ 2 A ¼ 3 1 þ ð 1Þ 2 þ 2 4 ¼ 3 2 þ 8 ¼ 9
2
4
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j b~j ¼
1 2 þ 2 2 þ 4 2 ¼ 21
j~
aj ¼
3 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 14 ,
cos j ¼
~
9
a b~
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,5249
14 21
j~
a j j b~ j
)
j ¼ arcccos 0,5249 ¼ 58,3
&
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors
Ein Vektor ~
a ist bekanntlich eindeutig durch Betrag und Richtung festgelegt. Die Berechnung des Betrages j ~
a j erfolgt dabei nach Gleichung (II-54). Die Richtung des Vektors legen wir durch die Winkel fest, die der Vektor mit den drei Koordinatenachsen
(d. h. mit den drei Basisvektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z ) bildet. Diese Richtungswinkel kennzeichnen wir der Reihe nach mit a, b und g (Bild II-46). Sie lassen sich mit Hilfe des
Skalarproduktes aus der Beziehung (II-73) bzw. (II-74) berechnen, indem man dort für
b~ der Reihe nach ~
e x, ~
e y, ~
e z setzt. So erhält man beispielsweise für den Winkel a
zwischen dem Vektor ~
a und der x-Achse die folgende Beziehung:
0 1 0 1
1
ax
@ ay A @ 0 A
0
az
~
ax þ 0 þ 0
ax
ax
a~
ex
¼
cos a ¼
¼
¼
ðII-75Þ
¼
j~
aj 1
j~
a j j~
ex j
j~
aj
a
j~
aj
z
az
az
|a|
g
a
ax
ax
x
Bild II-46
Richtungswinkel
eines Vektors
a
ay
b
ay
y
84
II Vektoralgebra
Analoge Gleichungen bestehen für die beiden übrigen Richtungswinkel:
cos b ¼
ay
ay
¼
,
j~
aj
a
cos g ¼
az
az
¼
j~
aj
a
ðII-76Þ
Die Größen cos a, cos b und cos g werden als Richtungskosinus von ~
a bezeichnet.
Sie genügen der Bedingung
cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼
a 2y
a 2x þ a 2y þ a 2z
a 2z
a 2x
a2
þ
þ
¼
¼
¼ 1
a2
a2
a2
a2
a2
ðII-77Þ
Die drei Richtungswinkel a, b und g sind somit voneinander abhängige Größen.
Wir fassen zusammen:
Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen
(Richtungskosinus; Bild II-46)
Ein Vektor ~
a bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel
a, b und g, die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den
skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) des Vektors ~
a wie folgt berechnen:
ax
ay
az
cos a ¼
,
cos b ¼
,
cos g ¼
ðII-78Þ
j~
aj
j~
aj
j~
aj
Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die
Beziehung
cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼ 1
ðII-79Þ
miteinander verknüpft.
Sind von einem Vektor ~
a Betrag und Richtung (d. h. die drei Richtungswinkel) bekannt, so berechnen sich die Vektorkoordinaten nach (II-78) der Reihe wie folgt:
a j cos a,
ax ¼ j~
&
az ¼ j~
a j cos g
0
ðII-80Þ
1
2
Wir wollen die Richtungswinkel des Vektors ~
a ¼ @ 1 A berechnen. Mit dem
Betrag
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ ð 1Þ 2 þ ð 2Þ 2 ¼ 9 ¼ 3
Beispiele
(1)
ay ¼ j~
a j cos b,
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
85
folgt unmittelbar aus den Gleichungen (II-78):
cos a ¼
ax
2
¼
3
j~
aj
)
cos b ¼
ay
1
¼ 3
j~
aj
)
cos g ¼
az
2
¼ j~
aj
3
)
2
¼ 48,2
3
1
b ¼ arccos ¼ 109,5
3
2
g ¼ arccos ¼ 131,8
3
a ¼ arccos
Die drei Richtungswinkel des Vektors ~
a lauten damit der Reihe nach wie folgt:
a ¼ 48,2 ,
(2)
b ¼ 109,5 ,
g ¼ 131,8
Ein Vektor ~
a vom Betrage j ~
a j ¼ 5 bilde mit der x- und y-Achse jeweils einen
Winkel von 60 und mit der z-Achse einen spitzen Winkel ð0 < g < 90 Þ. Wie
lauten seine skalaren Vektorkomponenten?
Lösung: Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel g wird aus der Beziehung
(II-79) berechnet, die wir zunächst nach cos g auflösen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos g ¼ 1 cos 2 a cos 2 b
Es kommt jedoch nur die positive Lösung in Frage, da g nach Voraussetzung
spitz ist und somit cos g > 0 sein muss. Mit a ¼ b ¼ 60 erhält man:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos g ¼ 1 cos 2 60 cos 2 60 ¼ 0,5 ¼ 0,7071 )
g ¼ arccos 0,7071 ¼ 45
Die skalaren Vektorkomponenten von ~
a bestimmen wir nach Gleichung (II.80)
wie folgt:
ax ¼ j~
a j cos a ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5
ay ¼ j~
a j cos b ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5
az ¼ j~
a j cos g ¼ 5 cos 45 ¼ 3,54
&
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
Ein in der Mechanik häufig wiederkehrendes Problem besteht in der Zerlegung einer
Kraft in ihre Komponenten. Zum Beispiel bei einer schiefen Ebene: Die Gewichtskraft
~ einer Masse m soll in eine Tangential- und eine Normalkomponente zerlegt werden.
G
~ auf die Richtung der
Diese Komponenten erhält man durch Projektion des Vektors G
schiefen Ebene bzw. auf die dazu senkrechte Richtung (siehe Bild II-47). Sie werden in
der Mechanik auch als Hangabtrieb und Normalkraft bezeichnet.
86
II Vektoralgebra
H
Bild II-47
~ in die
Zerlegung der Gewichtskraft G
~ („Hangabtrieb“)
Tangentialkomponente H
~ („Normalkraft“)
und die Normalkomponente N
N
G
Wir beschäftigen uns jetzt mit der Projektion eines Vektors b~ auf einen zweiten Vektor
~
a und setzen dabei zunächst voraus, dass die Vektoren ~
a und b~ einen spitzen Winkel
miteinander einschließen (Bild II-48).
b
Bild II-48
Komponente eines Vektors b~ in Richtung
eines vorgegebenen Vektors ~
a
f
ba
a
Der durch die Projektion erhaltene Vektor wird mit b~a bezeichnet, sein Betrag ist
j b~a j ¼ j b~j cos j
ðII-81Þ
wobei j der Winkel zwischen den Vektoren b~ und ~
a ist. Aus dem Skalarprodukt
~
a j j b~a j
a b~ ¼ j ~
a j j b~j cos j ¼ j ~
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
j b~a j
ðII-82Þ
erhalten wir dann nach Division durch j ~
a j den folgenden Ausdruck für j b~a j:
j b~a j ¼
~
a b~
j~
aj
ðII-83Þ
a und ist somit in der Form
Der Vektor b~a besitzt die gleiche Richtung wie der Vektor ~
~
a
b~a ¼ j b~a j ~
e a ¼ j b~a j
j~
aj
ðII-84Þ
a ist (wir erhalten ihn durch
darstellbar, wobei ~
e a der Einheitsvektor in Richtung von ~
Normierung des Vektors ~
a ). Unter Berücksichtigung der Beziehung (II-83) wird hieraus
schließlich
!
!
~
~
~
~
a
a b~
a
a b~
~
~
~
ba ¼ j ba j
¼
¼
a
ðII-85Þ
j~
aj
j~
aj
j~
aj
j~
a j2
Dieser Vektor wird auch als Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektor ~
a
bezeichnet.
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
87
Projektion eines Vektors b~ auf einen zweiten Vektor ~
a (Bild II-48)
Durch Projektion des Vektors b~ auf den Vektor ~
a entsteht der Vektor
!
~
a b~
~
ea
a ¼ ð~
e a b~Þ ~
b~a ¼
j~
a j2
ðII-86Þ
Er wird als Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektors ~
a bezeichnet.
Anmerkungen
(1)
(2)
&
Die Vektoren b~a und ~
a sind kollinear (parallel, wenn ~
a b~ > 0, anti-parallel,
~
wenn ~
a b < 0 ist).
j~
a b~ j
.
Der Projektionsvektor b~a hat die Länge j b~a j ¼
j~
aj
0
1
0 1
4
3
Wir projizieren den Vektor b~ ¼ @ 1 A auf den Vektor ~
a ¼ @ 0 A. Um den
7
4
gesuchten Vektor b~a bestimmen zu können, benötigen wir noch das Skalarprodukt ~
a b~ und den Betrag von ~
a:
1
0 1 0
4
3
C
B C B
~
~
a b ¼ @ 0 A @ 1 A ¼ 12 þ 0 þ 28 ¼ 40
Beispiele
(1)
4
7
j~
a j 2 ¼ 3 2 þ 0 2 þ 4 2 ¼ 9 þ 16 ¼ 25 ,
j~
a j¼ 5
Die Komponente des Vektors b~ in Richtung des Vektors ~
a lautet dann nach Formel (II-86) wie folgt:
0 1
0 1
0
1
!
3
3
4,8
~
~
40
a
b
@ 0 A ¼ 1,6 @ 0 A ¼ @ 0 A
~
a ¼
b~a ¼
25
j~
a j2
4
4
6,4
(2)
~s , die der Kraftvektor
Wir interessieren uns für die Komponente F
0 1
0
1
4
2
~ ¼ @ 2 A N in Richtung des Verschiebungsvektors ~
F
s ¼ @ 1 A m besitzt.
6
2
Welchen Betrag hat diese Komponente?
88
II Vektoralgebra
Lösung: Mit
1 0 1
4
2
C B C
B
~
~
s F ¼ @ 1 A @ 2 A N m ¼ ð8 2 þ 12Þ N m ¼ 18 N m
6
2
0
j~
s j 2 ¼ ð2 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 Þ m 2 ¼ 9 m 2
erhalten wir dann nach Formel (II-86):
0
1
0
1
0
1
!
2
2
4
~
~
18
N
m
s
F
@1A m ¼ 2@1AN ¼ @2AN
~s ¼
~
s ¼
F
j~
s j2
9 m2
2
2
4
~s hat den folgenden Betrag:
Die Komponente F
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
~
Fs ¼ j Fs j ¼ 4 2 þ ð 2Þ 2 þ 4 2 N ¼ 36 N ¼ 6 N
&
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft
~ um die Strecke ~
Wird ein Massenpunkt m durch eine konstante Kraft F
s verschoben,
so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus dem
~ und dem Verschiebungsvektor ~
Kraftvektor F
s (Bild II-49):
~~
~j j~
W ¼ F
s ¼ jF
s j cos j ¼ F s cos j
ðII-87Þ
~s besitzt nach Bild II-49 den
Die in Richtung des Weges wirkende Kraftkomponente F
Betrag
~s j ¼ Fs ¼ j F
~j cos j ¼ F cos j
jF
ðII-88Þ
F
m
f
Fs
m
Bild II-49
Zur Definition des
Arbeitsbegriffes
s
|s| = s
Wir können daher die Definitionsgleichung (II-87) für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen:
~~
W ¼ F
s ¼ F s cos j ¼ ðF cos j Þ s ¼ Fs s
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
Fs
ðII-89Þ
Dies aber ist die bereits aus der Schulphysik bekannte Formel „Arbeit ¼ Kraftkomponente in Wegrichtung mal zurückgelegtem Weg“!
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
0
Beispiel
~¼ B
Die konstante Kraft F
@
10 N
89
1
C
2 N A verschiebe einen Massenpunkt geradlinig vom
5N
Punkt P 1 ¼ ð1 m; 5 m; 3 mÞ aus in den Punkt P 2 ¼ ð0 m; 1 m; 4 mÞ (vgl. hierzu
Bild II-50). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel j zwischen
dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor?
F
P1
r (P 1 )
f
s
P2
Bild II-50
Verschiebung einer Masse
längs einer Geraden vom
Punkt P 1 aus nach P 2
r (P 2 )
0
Lösung: Der Verschiebungsvektor lautet nach Bild II-50 wie folgt:
1
0
1
0
1
0
01
1
x2 x1
!
C
B
C
B
C
B
~
s ¼ P1 P2 ¼ @ y2 y1 A ¼ @ 1 þ 5 A m ¼ @ 6 A m
z2 z1
43
1
Die dabei verrichtete Arbeit beträgt dann nach Gleichung (II-87):
0
1 0
1
10
1
~~
W ¼ F
s ¼ @
2 A @ 6 A Nm ¼ ð10 þ 12 þ 5Þ Nm ¼ 27 Nm
5
1
~ und ~
Für die Winkelberechnung benötigen wir noch die Beträge von F
s:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
~j ¼
jF
ð 10Þ 2 þ 2 2 þ 5 2 N ¼ 129 N
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
sj ¼
ð 1Þ 2 þ 6 2 þ 1 2 m ¼ 38 m
Dann aber gilt:
~~
~j j~
F
s ¼ W ¼ jF
s j cos j )
|ﬄ{zﬄ}
W
~~
W
27 Nm
F
s
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,3856
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼
cos j ¼
~j j~
~j j~
129 N 38 m
jF
sj
jF
sj
j ¼ arccos 0,3856 ¼ 67,3
)
&
90
II Vektoralgebra
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes
Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren und der Skalarproduktbildung wird in
den Anwendungen eine weitere Vektoroperation benötigt, die sog. vektorielle Multiplikation. Sie erzeugt aus zwei Vektoren ~
a und b~ nach einer bestimmten Vorschrift einen
neuen Vektor, der die Bezeichnung Vektorprodukt erhält und durch das Symbol ~
a b~
gekennzeichnet wird (gelesen: a Kreuz b). So sind beispielsweise die folgenden physikalischen Größen als Vektorprodukte darstellbar:
~ einer an einem starren Körper angreifenden Kraft
Drehmoment M
~
Drehimpuls L eines rotierenden Körpers
~L , die ein Ladungsträger (z. B. ein Elektron) beim Durchgang durch
Lorentz-Kraft F
ein Magnetfeld erfährt
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld
Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Vektorprodukt ~
c ¼~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften (Bild II-51):
1. ~
c ist sowohl zu ~
a als auch zu b~ orthogonal:
~
c~
a ¼ 0
und
~
c b~ ¼ 0
ðII-90Þ
2. Der Betrag von ~
c ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der
Vektoren ~
a und b~ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels j:
j~
c j ¼ j~
a j j b~j sin j
ð0 j 180 Þ
ðII-91Þ
3. Die Vektoren ~
a, b~, ~
c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System.
c=axb
b
Bild II-51
Zum Begriff des Vektorsproduktes
zweier Vektoren
f
a
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
91
Anmerkung
Das Vektorprodukt ~
a b~ ist im Gegensatz zum Skalarprodukt eine vektorielle Größe
und wird auch als äußeres Produkt oder Kreuzprodukt der Vektoren ~
a und b~ bezeichnet.
Geometrische Deutung eines Vektorproduktes
Für den Flächeninhalt A des von den Vektoren ~
a und b~ aufgespannten Parallelogramms erhalten wir nach Bild II-52 (grau unterlegte Fläche):
A ¼ ðGrundlinieÞ ðHöheÞ ¼ a h ¼ a b sin j ¼ j ~
a j j b~j sin j
ðII-92Þ
Dies aber ist genau der Betrag des Vektorproduktes ~
a b~.
b
b
sin j ¼
h
b
h ¼ b sin j
h
f
Bild II-52
a
a
Geometrische Deutung eines Vektorproduktes (Bild II-55)
Der Betrag des Vektorproduktes ~
a b~ entspricht dem Flächeninhalt des von den
Vektoren ~
a und b~ aufgespannten Parallelogramms.
Rechenregeln für Vektorprodukte
Distributivgesetze
~
a ðb~ þ ~
cÞ ¼ ~
a b~ þ ~
a~
c
(II-93)
ð~
a þ b~Þ ~
c ¼ ~
a~
c þ b~ ~
c
(II-94)
~
aÞ
a b~ ¼ ðb~ ~
(II-95)
Anti-Kommutativgesetz
Ferner gilt für einen beliebigen reellen Skalar l:
l ð~
a b~Þ ¼ ðl ~
a Þ b~ ¼ ~
a ðl b~Þ
ðII-96Þ
Das vektorielle Produkt ~
a b~ zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ~
a und
a und b~ sind dann zueib~ verschwindet für j ¼ 0 und j ¼ 180 . Die Vektoren ~
nander parallel oder antiparallel, d. h. kollinear.
92
II Vektoralgebra
Wir können damit das folgende Kriterium für kollineare Vektoren formulieren:
Kriterium für kollineare Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a und b~ sind genau dann kollinear,
wenn ihr Vektorprodukt verschwindet:
~
a b~ ¼ ~
0
,
~
a und b~ sind kollinear
ðII-97Þ
Für den Sonderfall ~
a ¼ b~ folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung (II-91)
j~
a~
a j ¼ j~
a j j~
a j sin 0 ¼ j ~
a j2 0 ¼ 0
)
~
a~
a ¼~
0
ðII-98Þ
Zwischen den Basisvektoren (Einheitsvektoren) ~
e x, ~
e y, ~
e z bestehen die folgenden wichtigen Beziehungen (Bild II-53):
~
ex ~
ex ¼ ~
ey ~
ey ¼ ~
ez ~
ez ¼ ~
0
ez
~
ey ¼ ~
ez ,
ex ~
ðII-99Þ
~
ey ~
ez ¼ ~
ex ,
~
ex ¼ ~
ey
ez ~
ðII-100Þ
ey
ex
Bild II-53
Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
Die Komponenten des Vektorproduktes ~
a b~ lassen sich auch direkt aus den skalaren
Komponenten der Vektoren ~
a und b~ berechnen (wir verwenden bei der Herleitung der
Formel das Distributiv- und das Anti-Kommutativgesetz sowie die Beziehungen (II-99)
und (II-100)):
~
a b~ ¼ ða x ~
ex þ ay~
ey þ az~
e z Þ ðb x ~
ex þ by~
ey þ bz~
e zÞ ¼
¼ a x b x ð~
ex ~
e x Þ þ a x b y ð~
ex ~
e y Þ þ a x b z ð~
ex ~
e zÞ þ
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
ez
~
ey
0
ey ~
e x Þ þ a y b y ð~
ey ~
e y Þ þ a y b z ð~
ey ~
e zÞ þ
þ a y b x ð~
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
~
ez
ex
0
ez ~
e x Þ þ a z b y ð~
ez ~
e y Þ þ a z b z ð~
ez ~
e zÞ ¼
þ a z b x ð~
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
~
~
ey
~
ex
0
¼ ax by~
ez ax bz~
ey ay bx ~
ez þ ay bz~
ex þ az bx ~
ey az by~
ex ¼
e x þ ða z b x a x b z Þ ~
e y þ ða x b y a y b x Þ ~
ez
¼ ða y b z a z b y Þ ~
ðII-101Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
93
Unter Verwendung von Spaltenvektoren lässt sich diese Formel auch wie folgt schreiben:
1
0 1
0 1 0
ay bz az by
bx
ax
C
B C
B C B
~
ðII-102Þ
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a z b x a x b z A
az
ax by ay bx
bz
Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Vektorprodukt ~
a b~ zweier Vektoren ~
a und b~ lässt sich aus den skalaren
Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
1
0 1
0 1 0
ay bz az by
ax
bx
C
B C
B C B
~
a b~ ¼ @ a y A @ b y A ¼ @ a z b x a x b z A
ðII-103Þ
az
ax by ay bx
bz
Anmerkung
Bei der Berechnung der Komponenten eines Vektorproduktes beachte man den folgenx
den Hinweis: Durch zyklisches Vertauschen der Indizes erhält man
aus der ersten Komponente die zweite und aus dieser schließlich
die dritte Komponente:
y
z
x ! y ! z ! x
Determinantendarstellung eines Vektorproduktes
Formal lässt sich ein Vektorprodukt ~
a b~ auch durch eine dreireihige Determinante
darstellen (sie enthält drei Zeilen und drei Spalten und insgesamt 9 Elemente):
~
ey ~
e z ex ~
~
a b~ ¼ a x a y a z bx by bz Basisvektoren
Koordinaten von ~
a
Koordinaten von b~
Wir dürfen die Basisvektoren und Vektorkoordinaten auch spaltenweise anordnen:
~
~
ey ~
e z ex ~
ex
~
~
a b ¼ ax ay az ¼ ~
e
y
bx by bz ~
ez
ax
ay
az
b x by bz ðII-104Þ
94
II Vektoralgebra
Definitionsgemäß
a11
D ¼ a21
a31
besitzt eine dreireihige Determinante vom allgemeinen Typ
a 1 2 a 1 3 a22 a23 a32 a33 ðII-105Þ
den folgenden Wert:
D ¼ a11 a22 a33 þ a12 a23 a31 þ a13 a21 a32 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12
ðII-106Þ
Dieser Wert kann auch nach der Regel von Sarrus berechnet werden:
1. und 2. Spalte werden dabei rechts neben die Determinante gesetzt, die durch eine
Linie miteinander verbundenen Elemente werden dann miteinander multipliziert und ergeben insgesamt sechs Produkte mit je drei Faktoren. Die in dem Schema angegebenen
Vorzeichen bedeuten eine nachträgliche Multiplikation des Produktes mit dem Faktor
þ 1 oder 1. Durch Addition der sechs (vorzeichenbehaftenen) Produkte erhält man
schließlich den Wert der Determinante D.
Die formale Ausrechnung der Determinante (II-104) führt auf das Vektorprodukt ~
a b~
in der Komponentenschreibe
~
a b~ ¼ ða y b z a z b y Þ~
e x þ ða z b x a x b z Þ~
e y þ ða x b y a y b x Þ~
ez
Eine ausführliche Darstellung der Determinanten erfolgt in Band 2 (Kapitel I).
Rechenbeispiel
3
D ¼ 1
4
für eine Determinante
2 0 3 1 ¼ ?
5 4
Berechnung nach der Regel von Sarrus:
3
1
4
2
3
5
0 3
1 1
4 4
2
3
5
D ¼ 334þ214þ015430513412 ¼
¼ 36 þ 8 þ 0 0 15 8 ¼ 21
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
&
95
Beispiele
(1)
Wir berechnen den Flächeninhalt A des von den beiden Spaltenvektoren
0
1
0 1
1
2
~
a ¼ @ 5 A und b~ ¼ @ 0 A aufgespannten Parallelogramms:
2
3
0
1
0 1 0
1
2
15 B
C
B C B
~
a b~ ¼ @ 5 A @ 0 A ¼ @
4
2
3
0þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A ¼ j~
a b~j ¼
ð 15Þ 2 þ 1 2 þ 10 2
(2)
1 0
1
0
15
C B
C
3A ¼ @
1A
10
10
¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
326 ¼ 18,06
~
Elektronen, die mit der Geschwindigkeit ~
v in ein Magnetfeld der Flussdichte B
eintreten, erfahren dort die sog. Lorentz-Kraft
~L ¼ e ð~
~Þ :
F
vB
Wie groß ist die Kraftwirkung auf ein Elektron mit der Elementarladung e, wenn
~ die folgenden Komponenten besitzen?
~
v und B
1
0
1
1
0
0
0
0
2000
C Vs
B
C
C m
B
~¼ B
~
,
B
v ¼ @ 2000 A
@0 A T ¼ @0 A 2 ,
s
m
0,1
0,1
0
e ¼ 1,6 10 19 C
Lösung:
0
1
0
1
2000
0
~Þ ¼ 1,6 10 19 @ 2000 A @ 0 A C m Vs ¼
~L ¼ e ð~
vB
F
s m2
0
0,1
0
1
0
1
200 0
200
¼ 1,6 10 19 @ 0 200 A N ¼ 1,6 10 19 @ 200 A N ¼
0 0
0
0
1
1
1
1
17
@ 1AN
ð 200Þ @ 1 A N ¼ 3,2 10
¼ 1,6 10
0
0
0 1
0 1
1
4
(3) Wir berechnen das Vektorprodukt der Vektoren ~
a ¼ @ 2 A und b~ ¼ @ 3 A mit
Hilfe der Determinante (II-104):
8
5
~
ey ~
e z ex ~
~
a b~ ¼ 1 2 8 4 3 5 0
19
96
II Vektoralgebra
Nach der Regel von Sarrus gilt:
~
ex
1
4
~
ey
2
3
~
ex
e z ~
8 1
5 4
~
ey
2
3
~
a b~ ¼ 10~
e x þ 32~
e y þ 3~
e z 8~
e z 24~
e x 5~
ey ¼
0
1
14
e y 5~
e z ¼ @ 27 A
¼ 14~
e x þ 27~
5
&
3.4.2 Anwendungsbeispiele
3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft)
Drehmomente sind vektorielle Größen, die bei der Behandlung statischer Systeme von
großer Bedeutung sind.
Wir betrachten einen starren Körper in Form einer Kreisscheibe, der um seine Symmetrieachse drehbar gelagert ist (Bild II-54).
M=r xF
0
F
F
0
r
r
f
Q
Bild II-54 Zum Begriff des Drehmomentes
P
rQ
P
s
Bild II-55
Die an einem starren Körper angreifende Kraft
als linienflüchtiger Vektor
~ erzeugt dann
Eine im Punkt P angreifende (in der Scheibenebene liegende) Kraft F
~, das als Vektorprodukt aus dem Ortsvektor ~
ein Drehmoment M
r und dem Kraftvek~ in der Form
tor F
~ ¼~
~
M
r F
ðII-107Þ
~ ist
darstellbar ist (~
r ist der Ortsvektor des Angriffspunktes P). Der Betrag von M
~ j ¼ M ¼ j~
~j sin j
jM
rj jF
ðII-108Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
97
Der Drehmomentvektor liegt in der Drehachse und ist daher so orientiert, dass die drei
~ und M
~ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die physikalische
Vektoren ~
r, F
~ ist die einer Drehung um die in Bild II-54 eingezeichnete Drehachse.
Wirkung von M
~ längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
Als linienflüchtiger Vektor darf die Kraft F
~ unverändert, wie wir jetzt zeiBei dieser Verschiebung bleibt jedoch das Drehmoment M
gen wollen. Ist ~
s der Verschiebungsvektor von P nach Q, so gilt nach Bild II-55
~
r þ~
s
rQ ¼ ~
Unter Verwendung dieser Beziehung und des Distributivgesetzes für Vektorprodukte er~ im neuen Angriffspunkt Q den Formelaushalten wir für das Moment der Kraft F
druck
~¼ M
~þ~
~
~ ¼ ð~
~¼~
~ þ~
~Q ¼ ~
sF
sF
rQ F
r þ~
sÞ F
r F
M
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
~
M
~ sind aber kollinear, ihr Vektorprodukt ~
~ verschwindet
Die Vektoren ~
s und F
sF
~¼~
daher: ~
sF
0. Wir erhalten schließlich:
~Q ¼ M
~þ~
~¼ M
~þ~
~
M
sF
0 ¼ M
ðII-109Þ
Damit haben wir bewiesen, dass die an einem starren Körper angreifende Kraft einen
linienflüchtigen Vektor darstellt. Mit anderen Worten: Das Moment einer Kraft bleibt
erhalten, wenn diese längs ihrer Wirkungslinie verschoben wird.
3.4.2.2 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft)
Bewegt sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit ~
v durch ein homogenes
~, so erfährt es eine Kraft
Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B
~Þ
~L ¼ q ð~
vB
F
ðLorentz-KraftÞ
ðII-110Þ
(q: Ladung des Teilchens). Die Kraftwirkung erfolgt senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung als auch zur Richtung des Magnetfeldes. Handelt es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen (q ¼ e; e: Elementarladung), so ist
~L ¼ e ð~
~Þ
F
vB
Wir untersuchen jetzt das Verhalten der Elektronen für spezielle Einschusswinkel.
(1)
Die Elektronen werden in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) in das Magnet~ sind dann kollinear):
feld eingeschossen (die Vektoren ~
v und B
~L ¼ e ð~
~Þ ¼ ~
F
vB
0
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
~
0
Sie gehen ungehindert, d. h. kräftefrei durch das Feld hindurch, da der Geschwin~ kollineare Vektoren darstellen und
digkeitsvektor ~
v und der Flussdichtevektor B
~ verschwindet (Bild II-56).
somit das Vektorprodukt ~
vB
98
II Vektoralgebra
B
B
v
Bild II-56
Parallel zu einem homogenen Magnetfeld
eintretende Elektronen
e
(2)
Bewegen sich die Elektronen senkrecht zum Magnetfeld, so wird die Lorentz-Kraft
~
als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn (die Vektoren ~
v, B
~L stehen in diesem Sonderfall paarweise aufeinander senkrecht; Bild II-57).
und F
B
B
B
FL
v
e
Bild II-57 Senkrecht in ein homogenes
Magnetfeld eintretende Elektronen
(3)
e
v
Bild II-58
Schraubenlinienförmige Bahn
eines Elektrons in einem
homogenen Magnetfeld
Die Elektronen werden unter einem Winkel a gegen die Feldrichtung eingeschossen
ð0 < a < 180 , a 6¼ 90 Þ. Die Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung
(oder in der Gegenrichtung) bewirkt eine Translation parallel zu den Feldlinien, während gleichzeitig aufgrund der zum Feld senkrechten Geschwindigkeitskomponente
eine Kreisbewegung um die Feldlinien ausgeführt wird. Die Elektronenbahn ist demnach eine Schraubenlinie (Bild II-58).
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)
In den Anwendungen wird häufig ein weiteres, diesmal aber aus drei Vektoren gebildetes „Produkt“ benötigt, das als Spatprodukt oder auch gemischtes Produkt bezeichnet
wird. Es ist wie folgt definiert:
Definition: Unter dem Spatprodukt ½ ~
a b~~
c dreier Vektoren ~
a, b~ und ~
c versteht
man das skalare Produkt aus dem Vektor ~
a und dem aus den Vektoren b~ und ~
c gebildeten Vektorprodukt b~ ~
c:
½~
a b~~
c
¼ ~
a ðb~ ~
cÞ
ðII-111Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
99
Anmerkungen
(1)
Das Spatprodukt ist eine skalare Größe, also eine reelle Zahl.
(2)
Das Spatprodukt wird auch als gemischtes Produkt bezeichnet, da bei seiner Bildung beide Multiplikationsarten (skalare und vektorielle Multiplikation) auftreten.
Bilden die Vektoren ~
a, b~, ~
c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Linkssystem),
so ist das aus ihnen gebildete Spatprodukt stets positiv (negativ).
(3)
Rechenregeln für Spatprodukte
(1)
Bei einer zyklischen Vertauschung der drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c ändert sich das
Spatprodukt nicht:
½~
a b~~
c ¼ ½ b~~
c~
a ¼ ½~
c~
a b~ ðII-112Þ
(2) Vertauschen zweier Vektoren bewirkt stets einen Vorzeichenwechsel. Zum Beispiel:
½~
a b~~
c ¼ ½~
a~
c b~ ðb~ und ~
c wurden vertauschtÞ
ðII-113Þ
Geometrische Deutung eines Spatproduktes
Die drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c spannen ein sog. Parallelepiped (auch Spat genannt) auf
6Þ
a b~~
c kommt dabei die geometrische
(Bild II-59) . Dem Betrag des Spatproduktes ½ ~
Bedeutung des Spatvolumens zu, wie wir jetzt zeigen werden.
b xc
cos j ¼
h
j~
aj
h ¼ j~
a j cos j
a
f
h
h
f
c
A = |b x c|
Bild II-59
Zum Begriff des Spatproduktes
b
Die aus der Elementarmathematik bekannte Formel V ¼ A h (Volumen ¼ Grundfläche mal Höhe) führt bei Anwendung auf den in Bild II-59 skizzierten Spat zu dem
folgenden Ergebnis ðf ür 0 j 90 Þ:
V ¼ A h ¼ j b~ ~
c j j~
a j cos j ¼ j ~
a j j b~ ~
c j cos j
6Þ
Spat: Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, von denen je zwei gegenüberliegende
kongruent (deckungsgleich) sind (viele Kristalle haben diese Gestalt, z. B. Kalkspat).
100
II Vektoralgebra
Für Winkel zwischen 90 und 180 ist cos j durch j cos j j zu ersetzen. Somit gilt:
V ¼ j~
a j j b~ ~
c j j cos j j
Dies aber ist nichts anderes als der Betrag des Spatproduktes ½ ~
a b~~
c
¼ ~
a ðb~ ~
c Þ,
~
da j der Winkel zwischen den Vektoren ~
a und b ~
c ist:
V ¼ j~
a ðb~ ~
c Þ j ¼ j ½~
a b~~
c j ¼ j~
a j j b~ ~
c j j cos j j
ðII-114Þ
Geometrische Deutung eines Spatproduktes (Bild II-59)
Das Volumen eines von drei Vektoren ~
a, b~ und ~
c aufgespannten Spats ist gleich
dem Betrag des Spatproduktes ½ ~
a b~~
c :
V Spat ¼ j ½ ~
a b~~
c j ¼ j~
a ðb~ ~
c Þj
ðII-115Þ
Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
(Vektorkoordinaten)
hnlich wie beim Skalar- und Vektorprodukt lässt sich auch das Spatprodukt aus den
skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren berechnen:
Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren
Das Spatprodukt oder gemischte Produkt ½ ~
a b~~
c dreier Vektoren ~
a, b~ und ~
c
lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten
Vektoren wie folgt berechnen:
½~
a b~~
c
¼ ~
a ðb~ ~
cÞ ¼
¼ a x ðb y c z b z c y Þ þ a y ðb z c x b x c z Þ þ a z ðb x c y b y c x Þ
ðII-116Þ
Anmerkung
Das Spatprodukt ½ ~
a b~~
c lässt sich auch als dreireihige Determinante darstellen:
ax
½~
a b~~
c
¼ ~
a ðb~ ~
c Þ ¼ bx
cx
ay
by
cy
a z bz cz ðII-117Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
101
Komplanare Vektoren
Verschwindet das Spatprodukt ~
a ðb~ ~
c Þ der drei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren ~
a, b~ und ~
c, so sind die Vektoren ~
a und b~ ~
c zueinander orthogonal und
umgekehrt. Dies aber bedeutet, dass der Vektor ~
a in der von b~ und ~
c aufgespannten
Ebene liegt. Die drei Vektoren liegen damit in einer gemeinsamen Ebene (sog. komplanare Vektoren, vgl. Bild II-60).
b xc
c
Bild II-60
Komplanare Vektoren ~
a, b~ und ~
c
(die drei Vektoren liegen in einer Ebene)
a
b
Wir können damit das folgende Kriterium für komplanare Vektoren formulieren:
Kriterium für komplanare Vektoren (Bild II-60)
Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~
a, b~ und ~
c sind genau dann komplanar (liegen also in einer gemeinsamen Ebene), wenn das aus ihnen gebildete Spatprodukt verschwindet:
½~
a b~~
c
¼ 0
&
,
~
a, b~ und ~
c sind komplanar
ðII-118Þ
0 1
1
0
0 1
2
0
1
B C
C
B C ~ B
c ¼ @ 5 A gebildete
Das aus den Vektoren ~
a ¼ @ 4 A, b ¼ @ 1 A und ~
13
3
2
Spatprodukt verschwindet:
1
4
2 ½~
a b~~
c ¼ 0 1
3 ¼ 0
2
5 13 Beispiele
(1)
Die Berechnung der Determinante erfolgt dabei nach der Regel von Sarrus:
1
4
4
2 1
0 1
3 0 1
2
5
5 13 2
½~
a b~~
c ¼ 13 þ 24 þ 0 ð 4 þ 15 þ 0Þ ¼ 11 11 ¼ 0
Die drei Vektoren sind daher komplanar, d. h. sie liegen in einer gemeinsamen
Ebene.
102
(2)
II Vektoralgebra
Welches Volumen V Spat besitzt der von den drei Vektoren
0 1
2
B C
~
a ¼ @0A,
5
0 1
2
B
C
B C
b~ ¼ @ 5 A und ~
c ¼ @1A
2
2
0
1
1
aufgespannte Spat?
Lösung: Wir berechnen zunächst das Spatprodukt
2
½~
a b~~
c ¼ 1
2
0
5
1
5 2 2
mit Hilfe der Regel von Sarrus:
2
0
0
5 2
5
5 2 1
1
2
2
1
1
2
½~
a b~~
c ¼ 20 0 5 ð50 4 0Þ ¼ 15 46 ¼ 31
Ergebnis: V Spat ¼ j ½ ~
a b~~
c j ¼ j 31 j ¼ 31
&
3.6 Linear unabhängige Vektoren
Räumliche Vektoren haben wir als Linearkombinationen der drei Einheitsvektoren
~
e y und ~
e z in der Form
e x, ~
~
ex þ ay~
ey þ az~
ez
a ¼ ax ~
ðII-119Þ
dargestellt (sog. Komponentendarstellung, siehe Abschnitt 3.1). Die nicht komplanaren
(d. h. nicht in einer Ebene liegenden) Vektoren ~
e x, ~
e y und ~
e z werden in diesem Zusammenhang auch als Basisvektoren bezeichnet. Sie erzeugen den 3-dimensionalen
Raum R3 , auch Anschauungsraum genannt. Als Basis können dabei grundsätzlich drei
beliebige (von Nullvektor verschiedene) Vektoren ~
e 1, ~
e 2, ~
e 3 dienen, sofern sie wie
die Vektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z nicht komplanar sind. Dies ist der Fall, wenn das Spatprodukt ½~
e1~
a des Anschauungsraumes ist dann
e2~
e 3 nicht verschwindet. Jeder Vektor ~
als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar:
e 2 þ n~
e3
~
a ¼ l~
e 1 þ m~
ðII-120Þ
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
103
Die Basisvektoren sind dabei stets linear unabhängig, d. h. die lineare Vektorgleichung
e1 þ l2~
e2 þ l3~
e3 ¼ ~
0
l1~
ðII-121Þ
ist nur für l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 erfüllbar 7).
Wie in der Ebene lässt sich auch im 3-dimensionalen Raum der Begriff der „Linearen
Unabhängigkeit“ auf Systeme von k Vektoren ~
a 1, ~
a 2, . . . , ~
a k übertragen. Diese k
Vektoren werden als linear unabhängig bezeichnet, wenn die aus ihnen gebildete lineare
Vektorgleichung
0
l1 ~
a1 þ l2 ~
a2 þ . . . þ lk ~
ak ¼ ~
ðII-122Þ
nur für verschwindende Koeffizienten erfüllt werden kann ðl 1 ¼ 0, l 2 ¼ 0, . . . ,
l k ¼ 0Þ. Anderenfalls heißen die k Vektoren linear abhängig (es ist dann mindestens
ein Koeffizient von Null verschieden).
Im 3-dimensionalen Raum R3 gibt es maximal drei linear unabhängige Vektoren, mehr
als drei Vektoren sind dagegen stets linear abhängig.
&
Beispiele
(1)
Die drei Einheitsvektoren ~
e x, ~
e y, ~
e z sind linear unabhängig, denn das mit diesen
Vektoren gebildete Spatprodukt ist von Null verschieden (wir verwenden die Determinantenschreibweise):
1
½~
ex ~
ey ~
e z ¼ 0
0
0
1
0
0
0
1
¼ 1 6¼ 0
(Berechnung nach der Regel von Sarrus).
(2)
Wir prüfen, ob die drei Kraftvektoren
0 1
1
~1 ¼ @ 0 A ,
F
1
0
1
1
~2 ¼ @ 1 A ,
F
0
0 1
1
~3 ¼ @ 1 A
F
2
in einer Ebene liegen, also komplanar sind (alle Kraftkomponenten in der Einheit Newton). Dies wäre genau dann der Fall, wenn die Kraftvektoren linear
abhängig sind.
7)
Die Vektorgleichung führt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem, das nur trivial lösbar ist, d. h.
nur die Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 besitzt.
104
II Vektoralgebra
1. Lösungsweg
Wir berechnen das Spatprodukt
1 0
~1 F
~2 F
~3 ¼ 1 1
½F
1 1
der drei Vektoren:
1 0 ¼ 2 þ 0 1 ð1 þ 0 þ 0Þ ¼ 1 1 ¼ 0
2
Folgerung: Das Spatprodukt verschwindet, die drei Kräfte liegen somit in einer
Ebene.
2. Lösungsweg
Wir prüfen, für welche Werte der Koeffizienten l 1 , l 2 , l 3 die Vektorgleichung
~1 þ l 2 F
~2 þ l 3 F
~3 ¼ ~
l1 F
0
erfüllt ist. Dies führt zu dem folgenden linearen
1
0 1
0
0 1
1
1
1
C
B C
B
B C
l1 @ 0 A þ l2 @ 1 A þ l3 @ 1 A ¼
1
0
2
Gleichungssystem:
0 1
0
B C
@0A
0
Komponentenweise geschrieben:
ðIÞ
l1 l2 þ
l3 ¼ 0
l2 þ
l3 ¼ 0
)
l2 ¼ l3
þ 2 l3 ¼ 0
)
l1 ¼ 2 l3
ðIIÞ
ðIIIÞ
l1
Wir setzen die aus den Gleichungen (II) und (III) gefundenen Ausdrücke
l 2 ¼ l 3 und l 1 ¼ 2 l 3 in die erste Gleichung ein:
2 l3 þ l3 þ l3 ¼ 0 ) 0 ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
Diese Gleichung ist also unabhängig vom Wert des Koeffizienten l 3 immer erfüllt, d. h. l 3 ist ein frei wählbarer Parameter (wir setzen l 3 ¼ m mit m 2 R).
Aus (II) und (III) erhalten wir die übrigen Unbekannten:
ðIÞ
)
l2 ¼ l3 ¼ m ,
l1 ¼ 2 l3 ¼ 2 m
Die vom reellen Parameter m abhängende Lösung lautet damit:
l1 ¼ 2 m ,
l2 ¼ m ,
l3 ¼ m
ðm 2 RÞ
Es gibt also neben der trivialen Lösung l 1 ¼ l 2 ¼ l 3 ¼ 0 ðf ür m ¼ 0Þ noch
unendlich viele weitere Lösungen ðf ür m 6¼ 0Þ. Die drei Kraftvektoren sind somit
&
linear abhängig und liegen daher in einer Ebene.
4 Anwendungen in der Geometrie
105
4 Anwendungen in der Geometrie
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
Eine Gerade g soll durch den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 und parallel zu einem
(vorgegebenen) Vektor ~
a (Richtungsvektor genannt) verlaufen (Bild II-61). Wie lautet
die Gleichung dieser Geraden in vektorieller Form?
P1
r1
a
la
P
r ( l)
g
Bild II-61
Zur Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
0
Bezeichnet man den laufenden Punkt der Geraden mit P, so ist der zugehörige Orts!
vektor ~
r ðPÞ die geometrische (vektorielle) Summe aus ~
r 1 und P 1 P :
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P
ðII-123Þ
!
Da die Vektoren P 1 P und ~
a kollinear sind (sie liegen beide in der Geraden), gilt
ferner
!
P1 P ¼ l~
a
ðII-124Þ
l ist dabei ein geeigneter reeller Parameter, d. h. eine bestimmte reelle Zahl. Für den
Ortsvektor ~
r ðPÞ erhält man dann unter Verwendung dieser Beziehung
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
r1 þ l~
a
ðII-125Þ
Die Lage des Punktes P auf der Geraden g ist somit eindeutig durch den Parameter l
festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise ~
r ðPÞ ¼ ~
r ðlÞ zum Ausdruck. Die
gesuchte Geradengleichung lautet damit in der vektoriellen Parameterdarstellung wie
folgt:
106
II Vektoralgebra
Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden (Bild II-61)
~
a
r ðPÞ ¼ ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-126Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
0 1
0 1
0 1
0
1
x
x1
ax
x1 þ l ax
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ ay A ¼ @ y1 þ l ay A
z1
az
z1 þ l az
z
ðII-127Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden
x 1, y 1, z 1 :
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Geraden
a x , a y , a z : Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~
a der Geraden
l:
Reeller Parameter ðl 2 RÞ
Für l ¼ 0 erhält man den Punkt P 1 , für l > 0 werden alle Punkte in Richtung des
Richtungsvektors ~
a durchlaufen, für l < 0 alle Punkte in der Gegenrichtung (jeweils
vom Punkte P 1 aus betrachtet).
&
Beispiel
Wir bestimmen die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P 1 ¼ ð 3; 2; 1Þ
0 1
5
B C
in Richtung des Vektors ~
a ¼ @ 2 A verläuft:
3
0
0 1
0
1
5
3 þ 5l
B
C
B C
B
C
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @2A þ l@2A ¼ @2 þ 2lA
1
3
1 þ 3l
3
1
ðl 2 RÞ
So gehört beispielsweise zum Parameterwert l ¼ 3 der folgende Punkt Q:
0 1
0
1
18
3þ53
B C
B
C
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 3Þ ¼ @ 2 þ 2 3 A ¼ @ 4 A ) Q ¼ ð18; 4; 10Þ
10
1þ33
Zum Parameter l ¼ 1 gehört der Punkt R mit den folgenden Koordinaten:
1
0
1
0
2
35
C
B
C
B
~
r ðRÞ ¼ ~
r ðl ¼ 1Þ ¼ @ 2 2 A ¼ @ 4 A ) R ¼ ð 2; 4; 2Þ
2
13
&
4 Anwendungen in der Geometrie
107
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden
Eine Gerade g soll durch die beiden (voneinander verschiedenen) Punkte P 1 und P 2
mit den Ortsvektoren ~
r 1 und ~
r 2 verlaufen (Bild II-62).
r1
P1
r2 – r1
P2
r2
l (r 2 – r 1 )
P
r ( l)
g
Bild II-62
Zur Zwei-Punkte-Form einer Geraden
0
Die vektorielle Gleichung dieser Geraden erhalten wir durch analoge berlegungen wie
im vorangegangenen Abschnitt 4.1.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Geraden g ist wiederum als Summenvektor in der Form
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P
ðII-128Þ
!
!
r2 ~
r 1 kollinear sind, gilt
darstellbar. Da die Vektoren P 1 P und P 1 P 2 ¼ ~
!
!
P 1 P ¼ l P 1 P 2 ¼ l ð~
r2 ~
r 1Þ
ðII-129Þ
und somit
!
!
~
r 1 þ l ð~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
r1 þ l P1 P2 ¼ ~
r2 ~
r 1Þ
ðII-130Þ
Dies ist die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte P 1
!
r2 ~
und P 2 in vektorieller Form, wobei der Vektor P 1 P 2 ¼ ~
r 1 als Richtungsvektor
angesehen werden kann. Für ~
r ðPÞ schreiben wir wieder ~
r ðlÞ, um die Abhängigkeit
vom Parameter l zum Ausdruck zu bringen.
Zusammenfassend gilt somit:
Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Bild II-62)
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r 1 ðlÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
r1 þ l P1 P2 ¼ ~
r2 ~
r 1Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
0
1
0 1
0 1
0
1
x
x1
x2 x1
x 1 þ l ðx 2 x 1 Þ
B
C
B C
B C
B
C
@ y A ¼ @ y 1 A þ l @ y 2 y 1 A ¼ @ y 1 þ l ðy 2 y 1 Þ A
z1
z2 z1
z
z 1 þ l ðz 2 z 1 Þ
ðII-131Þ
ðII-132Þ
108
II Vektoralgebra
Dabei bedeuten:
&
x, y, z:
x 1, y 1, z 1
x 2, y 2, z 2
Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden
l:
Reeller Parameter ðl 2 RÞ
Koordinaten der vorgegebenen Punkte P 1 und P 2 der Geraden
Beispiel
Wie lautet die Gleichung der Geraden g durch die beiden Punkte P 1 ¼ ð1; 1; 1Þ und
P 2 ¼ ð2; 0; 4Þ?
Lösung:
1
0
1
0
0 1
1þl
21
1
C
B
C
B
B C
~
r2 ~
r 1Þ ¼ @ 1 A þ l @ 0 1 A ¼ @ 1 l A
r ðlÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
1 þ 3l
41
1
ðl 2 RÞ
Zum Parameterwert l ¼ 2 beispielsweise gehört demnach der folgende Punkt Q:
0
1
0
1
1þ2
3
A ¼ @ 1 A ) Q ¼ ð3; 1; 7Þ
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 2Þ ¼ @ 1 2
1þ32
7
&
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden
Gegeben ist eine Gerade g in der vektoriellen Punkt-Richtungs-Form
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-133Þ
und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~
rQ (Bild II-63). Wir stellen uns die Aufgabe,
den (senkrechten) Abstand d dieses Punktes von der Geraden g zu bestimmen.
r1
P1
P1 Q
a
Q
rQ
d
P2
P1 P2
r2
0
g
Bild II-63
Zur Berechnung des
Abstandes eines Punktes
von einer Geraden
4 Anwendungen in der Geometrie
109
!
Dazu wählen wir auf der Geraden einen weiteren Punkt P 2 im Abstand j P 1 P 2 j ¼ 1
!
vom Punkte P 1 . Der Vektor P 1 P 2 ist somit der Einheitsvektor in Richtung des
Vektors ~
a:
~
a
!
ea ¼
P1 P2 ¼ ~
j~
aj
ðII-134Þ
!
rQ ~
r 1 das in Bild II-63
Dieser Vektor bildet zusammen mit dem Vektor P 1 Q ¼ ~
grau unterlegte Parallelogramm, dessen Höhe der gesuchte Abstand d des Punktes Q
von der Geraden g ist. Für den Flächeninhalt A dieses Parallelogramms gilt dann einerseits
!
A ¼ ðGrundlinieÞ ðHöheÞ ¼ j P 1 P 2 j d ¼ 1 d ¼ d
ðII-135Þ
andererseits
~
!
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
a
!
r 1 Þ ¼
A ¼ j P 1 P 2 P 1 Q j ¼ ð~
rQ ~
j~
aj
j~
aj
ðII-136Þ
Durch Gleichsetzen erhält man schließlich die gewünschte Abstandsformel:
d ¼
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
j~
aj
ðII-137Þ
Wir halten fest:
Abstand eines Punktes von einer Geraden (II-63)
Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~
r Q von einer Geraden g mit
der Gleichung ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
j~
aj
ðII-138Þ
Anmerkung
Ist d ¼ 0, so liegt der Punkt Q auf der Geraden.
&
Beispiel
Die Gleichung einer Geraden g laute:
0 1
0 1
1
2
~
a ¼ @0A þ l@5A
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
1
2
ðl 2 RÞ
110
II Vektoralgebra
Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð5; 3; 2Þ von dieser Geraden:
1
0
0 1
0 1
0
1
4
2
51
2
C
B
B C
B C
B
C
~
r 1Þ ¼ @ 5 A @ 3 0 A ¼ @ 5 A @ 3 A ¼
a ð~
rQ ~
3
2
2 1
2
1
0
1
0
21
15 6
C
B
C
B
¼ @
8 þ 6 A ¼ @ 14 A
14
6 20
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj ¼
ð 21Þ 2 þ 14 2 þ ð 14Þ 2 ¼ 833
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
aj ¼
2 2 þ 5 2 þ 2 2 ¼ 33
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
833
j~
a ð~
rQ ~
r 1 Þj
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 5,02
d ¼
j~
aj
33
&
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden
Zwei Geraden g 1 und g 2 können folgende Lagen zueinander haben:
g 1 und
g 1 und
g 1 und
g 1 und
Schnitt
g2
g2
g2
g2
fallen zusammen
sind zueinander parallel
schneiden sich in genau einem Punkt
sind windschief, d. h. sie verlaufen weder parallel noch kommen sie zum
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem (senkrechten) Abstand d zweier
paralleler Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
a1
r ðl 1 Þ ¼ ~
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-139Þ
(l 1 , l 2 2 R; Bild II-64). Diese Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richa 2 kollinear sind, d. h. ~
a1 ~
a2 ¼ ~
0 ist.
tungsvektoren ~
a 1 und ~
P2
r2
P1
r1
a1
a2
d
g2
Bild II-64
Zur Berechnung des Abstandes
zweier paralleler Geraden
0
g1
4 Anwendungen in der Geometrie
111
Wir betrachten den auf der Geraden g 2 gelegenen Punkt P 2 mit dem Ortsvektor ~
r 2.
Sein senkrechter Abstand von der Geraden g 1 beträgt dann nach Formel (II-138):
d ¼
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
j~
a1 j
ðII-140Þ
rQ ¼ ~
r 2 ). Dieser Abstand ist zugleich der gesuchte
(Punkt Q ¼ Punkt P 2 und somit ~
Abstand der beiden parallelen Geraden.
Wir fassen wie folgt zusammen:
Abstand zweier paralleler Geraden (Bild II-64)
Der Abstand zweier paralleler Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-141Þ
lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
j~
a1 j
ðII-142Þ
Anmerkungen
&
(1)
a1 ~
a2 ¼ ~
0 ist.
Die Geraden g 1 und g 2 sind genau dann parallel, wenn ~
(2)
Ist d ¼ 0, so fallen die beiden Geraden zusammen.
Beispiel
Die Geraden
0 1
0 1
1
1
B C
B C
g1 : ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
1
4
ðl 1 2 RÞ
0 1
0 1
3
4
B C
B C
g2 : ~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 0 A þ l2 @ 3 A
3
3
ðl 2 2 RÞ
und
a 2 kollineare Vektoren darstellen:
sind parallel, da ihre Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
~
a2 ¼ 3~
a 1 . Wir berechnen jetzt den Abstand dieser Geraden:
112
II Vektoralgebra
0 1
0
1
0 1
0
1
1
41
1
3
B C
B
C
B C
B
C
~
r2 ~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ 0 1 A ¼ @ 1 A @ 1 A ¼
a 1 ð~
1
34
1
1
1
0
C
B
C
B
¼ @ 3 þ 1A ¼ @ 4A
1 3
4
0
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j ¼
j~
a1 j ¼
d ¼
1 þ 1
1
0
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
0 2 þ 4 2 þ ð 4Þ 2 ¼ 32 ¼ 4 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
12 þ 12 þ 12 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a 1 ð~
r2 ~
r 1 Þj
4 2
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 3,27
j~
aj
3
&
4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden
Wir gehen von zwei windschiefen Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
a1
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
und
ðl 1 , l 2 2 RÞ
ðII-143Þ
aus (die Geraden verlaufen somit weder parallel noch kommen sie zum Schnitt, siehe
Bild II-65). Ihren Abstand d bestimmen wir wie folgt:
P2
a2
S2
g2
r2
E2
g 1*
d
g1
S1
P1
r1
0
a1
g 2*
E1
Bild II-65
Zur Berechnung des Abstandes zweier
windschiefer Geraden
4 Anwendungen in der Geometrie
113
Zunächst wird die Gerade g 2 so parallelverschoben, dass sie mit der Geraden g 1
zum Schnitt kommt (Schnittpunkt S 1 ). Die durch Parallelverschiebung erhaltene Gerade bezeichnen wir mit g *2 , sie bildet zusammen mit der Geraden g 1 die (untere) Ebene E 1 in Bild II-65. Jetzt verschieben wir die Gerade g 1 parallel zu sich selbst nach
„oben“, bis sie die Gerade g 2 in S 2 schneidet. Die durch Parallelverschiebung gewonnene Gerade bezeichnen wir mit g *1 . Die Geraden g 2 und g *1 bilden die (obere)
Ebene E 2 in Bild II-65, die parallel zur Ebene E 1 verläuft. Der Abstand dieser Parallelebenen ist zugleich der gesuchte Abstand d der beiden windschiefen Geraden g 1
und g 2 . Auf die Herleitung der Abstandsformel wollen wir verzichten und teilen nur
das Ergenis mit:
Abstand zweier windschiefer Geraden (Bild II-65)
Der Abstand zweier windschiefer Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðII-144Þ
lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j ½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ j
a 2 ð~
j~
a1 ~
a2 j
ðII-145Þ
Anmerkung
Die Geraden g 1 und g 2 sind genau dann windschief, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
~
a 2 6¼ ~
0
a1 ~
&
und
½~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ 6¼ 0
a 2 ð~
ðII-146Þ
Beispiel
Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g 2 :
g1
g2
0 1
1
B C
durch P 1 ¼ ð1; 2; 0Þ mit dem Richtungsvektor ~
a1 ¼ @ 1 A
1
0 1
2
B C
durch P 2 ¼ ð3; 0; 2Þ mit dem Richtungsvektor ~
a2 ¼ @ 0 A
1
Wir zeigen zunächst, dass es sich um windschiefe Geraden handelt und berechnen anschließend ihren Abstand.
114
II Vektoralgebra
1
½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ ¼ 2
a 2 ð~
ð3 1Þ
0 1
0 1
2
1
B C
B C
~
a1 ~
a2 ¼ @ 1 A @ 0 A ¼
1
1
1
1
0
1
¼
ð0 2Þ ð2 0Þ 1
0
1
0
1
10
C
B
C
B
@2 1A ¼ @ 1A
2
02
1
2
2
1
0
2
1
1
2
¼ 4
Somit gilt:
~
a1 ~
a 2 6¼ ~
0
½~
a1 ~
a 2 ð~
r2 ~
r 1 Þ 6¼ 0
und
Die Geraden g 1 und g 2 sind also nach dem Kriterium (II-146) windschief. Mit
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a1 ~
a2 j ¼
1 2 þ 1 2 þ ð 2Þ 2 ¼ 6
folgt für ihren Abstand nach Formel (II-145):
d ¼
j ½~
a1 ~
r2 ~
r 1Þ j
j 4j
4
a 2 ð~
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1,63
j~
a1 ~
a2 j
6
6
&
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-66)
Den Schnittpunkt S zweier Geraden g 1 und g 2 mit den Gleichungen
~
r1 þ l1 ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
a1
und
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2
ðl 1 , l 2 2 RÞ
ðII-147Þ
bestimmt man aus der Vektorgleichung
~
r2 þ l2 ~
a1 ¼ ~
a2
r1 þ l1 ~
ðII-148Þ
r ðl 2 Þ erhält 8).
die man durch Gleichsetzen der Vektoren ~
r ðl 1 Þ und ~
Diese Vektorgleichung führt komponentenweise geschrieben zu einem linearen
Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den beiden Unbekannten l 1 und l 2 . Die
(eindeutige) Lösung dieses Systems liefert die zum Schnittpunkt S gehörigen Parameterwerte l *1 , l *2 . Den Ortsvektor ~
r S des Schnittpunktes S erhält man dann durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung der Geraden g 1 bzw. g 2 :
~
rS ¼ ~
r 1 þ l*1 ~
a1
8)
bzw:
~
rS ¼ ~
r 2 þ l*2 ~
a2
ðII-149Þ
Die beiden Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt S, wenn die Bedingungen ~
a1 ~
a 2 6¼ ~
0
und ½ ~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ ¼ 0 erfüllt sind (siehe hierzu Bild II-66). Die Vektoren ~
a 1, ~
a 2 und ~
r2 ~
r1
a 2 ð~
müssen also komplanar sein, d. h. in einer gemeinsamen Ebene liegen.
4 Anwendungen in der Geometrie
115
g2
a2
P2
r2
a2
S
P1
f
r1
a1
a1
g1
0
Bild II-66
Zur Berechnung des Schnittpunktes und
Schnittwinkels zweier Geraden
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-66)
Definitionsgemäß verstehen wir unter dem Schnittwinkel j zweier Geraden g 1 und
g 2 den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
a 2 (Bild II-66).
Für den Schnittwinkel erhalten wir nach Gleichung (II-74):
Schnittwinkel zweier Geraden (Bild II-66)
a1
Der Schnittwinkel j zweier Geraden g 1 und g 2 mit den Richtungsvektoren ~
und ~
a 2 lässt sich wie folgt berechnen:
~
a2
a1 ~
j ¼ arccos
ðII-150Þ
j~
a1 j j~
a2 j
&
Beispiel
Gegeben sind die Geraden
g1 :
0 1
0 1
1
2
B C
B C
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
0
1
g2 :
0
1
0 1
1
2
B
C
B C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 0 A þ l2 @ 1 A
2
2
und
ðl 1 2 RÞ
ðl 2 2 RÞ
In welchem Punkt S schneiden sich die Geraden, welcher Winkel j wird von ihnen
eingeschlossen?
116
II Vektoralgebra
Lösung: Wir zeigen zunächst, dass die beiden Richtungsvektoren ~
a 1 und ~
a 2 nicht-kollinear sind:
0
1
0
1
0
1
0 1
1
2þ1
3
2
B
C
B
C
B
C
B C
~
0
a 2 ¼ @ 1 A @ 1 A ¼ @ 1 4 A ¼ @ 3 A 6¼ ~
a1 ~
2
2 1
3
1
Sie liegen mit dem Verbindungsvektor ~
r2 ~
r 1 in einer Ebene (komplanare Vektoren),
da das Spatprodukt dieser Vektoren verschwindet:
2
2
1
1 1 ð2 1Þ ½~
a1 ~
r2 ~
r 1 Þ ¼ 1 1 ð0 1Þ ¼ 1 1 1 ¼
a 2 ð~
1
1
2
2
2 ð2 0Þ ¼ 4 1 þ 2 þ 1 þ 4 2 ¼ 0
Die Geraden g 1 und g 2 schneiden sich also in einem Punkt. Wir berechnen jetzt ihren
Schnittpunkt S und ihren Schnittwinkel j.
Berechnung des Schnittpunktes S
Aus der Bedingung ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r ðl 2 Þ folgt die Vektorgleichung
0 1
1
0 1
0
0 1
2
2
1
1
B C
C
B C
B
B C
@ 1 A þ l 1@ 1 A ¼ @ 0 A þ l 2@ 1 A
2
1
2
0
In der Komponentenschreibweise erhalten wir
1 þ 2 l1 ¼ 2 þ
l2
1þ
l1 ¼ 0 l2
0þ
l1 ¼ 2 þ 2 l2
2 l1 oder
l1 þ
l2 ¼
1
l2 ¼ 1
l1 2 l2 ¼
2
Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung (bitte nachrechnen!):
r S des gesuchten Schnittpunktes S lautet damit:
l 1 ¼ 0, l 2 ¼ 1. Der Ortsvektor ~
0 1
0 1
0 1
1
2
1
B C
B C
B C
~
r ðl 1 ¼ 0Þ ¼ @ 1 A þ 0 @ 1 A ¼ @ 1 A ) S ¼ ð1; 1; 0Þ
rS ¼ ~
0
1
0
Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man in die Gleichung der Geraden g 2 für
den Parameter l 2 den Wert 1 einsetzt:
0 1
0
1
0
1
0 1
2
1
21
1
B C
B
C
B
C
B C
~
r ðl 2 ¼ 1Þ ¼ @ 0 A 1 @ 1 A ¼ @ 0 þ 1 A ¼ @ 1 A
rS ¼ ~
2
2
22
0
4 Anwendungen in der Geometrie
117
Berechnung des Schnittwinkels j (nach Formel (II-150))
1
0 1 0
1
2
C
B C B
~
a2 ¼ @ 1 A @ 1 A ¼ 2 1 þ 2 ¼ 3
a1 ~
2
1
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
a1 j ¼
22 þ 12 þ 12 ¼ 6 ,
1 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 ¼ 6
j~
a2 j ¼
~
a2
3
1
a1 ~
j ¼ arccos
¼ 60
¼ arccos pﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ arccos
2
j~
a1 j j~
a2 j
6 6
&
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene
Eine Ebene E soll durch den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 und parallel zu zwei
nicht-kollinearen Vektoren ~
a und b~ (Richtungsvektoren genannt) verlaufen (Bild II-67) 9).
Wie lautet die Gleichung dieser Ebene in vektorieller Form?
P
mb
P 1P
r (l;m)
b
E
P1
a
la
Bild II-67
Zur Punkt-Richtungs-Form einer Ebene
r1
0
Bezeichnet man den laufenden Punkt der Ebene mit P, so ist der in der Ebene liegende
!
a und m b~:
Vektor P 1 P die vektorielle Summe aus l ~
!
P1 P ¼ l~
a þ m b~
ðII-151Þ
l und m sind dabei zwei voneinander unabhängige reelle Parameter. Der Ortsvektor
von P ist dann als Summenvektor
!
~
r1 þ l~
a þ m b~
ðII-152Þ
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ P1 P ¼ ~
darstellbar. Die Lage des laufenden Punktes P auf der Ebene ist somit eindeutig durch
die Parameter l und m festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise
~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ zum Ausdruck.
9)
Wir erinnern: Zwei Vektoren ~
a und b~ sind nicht-kollinear, wenn ~
a b 6¼ ~
0 ist.
118
II Vektoralgebra
Die Gleichung der Ebene E lautet damit in der vektoriellen Parameterform wie folgt:
Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Ebene (Bild II-67)
~
a þ m b~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l~
ðII-153Þ
oder (in der Komponentenschreibweise)
1
0 1
0 1
0 1
0
0 1
ax
bx
x1 þ l ax þ m bx
x1
x
C
B C
B C
B C
B
B C
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ ay A þ m @ by A ¼ @ y1 þ l ay þ m by A
z1
az
bz
z1 þ l az þ m bz
z
ðII-154Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
x 1, y 1, z 1 :
a x , a y, a z
b x , b y, b z
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Ebene
Skalare Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der nicht-kollinearen Richtungsvektoren ~
a und b~ der Ebene ð~
a b~ 6¼ ~
0Þ
l, m:
Voneinander unabhängige reelle Parameter ðl, m 2 RÞ
Anmerkung
Ein auf der Ebene E senkrecht stehender Vektor ~
n heißt Normalenvektor der Ebene.
Einen solchen Vektor erhält man beispielsweise aus den beiden Richtungsvektoren ~
a
und b~ durch Bildung des Vektorproduktes:
~
n ¼ ~
a b~
&
ðII-155Þ
Beispiel
Die Ebene E verläuft
0 1
2
B C
~
a ¼ @ 5 A und b~ ¼
1
terform wie folgt:
durch den Punkt P 1 ¼ ð3; 5; 1Þ, ihre Richtungsvektoren sind
0 1
5
B C
@ 1 A. Die Gleichung dieser Ebene lautet dann in der Parame3
0 1
0 1
0 1
2
3
5
C
B
C
B
~
a þ m b~ ¼ @ 5 A þ l @ 5 A þ m @ 1 A ¼
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l~
3
1
1
0 1
0
1
0
1 0
1
3
2l
5m
3 þ 2l þ 5m
B C
B
C
B
C B
C
¼ @5A þ @5lA þ @ mA ¼ @5 þ 5l þ mA
1
l
3m
1þ
l þ 3m
ðl, m 2 RÞ
4 Anwendungen in der Geometrie
119
So gehört z. B. zu dem Parameterpaar l ¼
0
3þ2
B
~
r ðQÞ ¼ ~
r ðl ¼ 1; m ¼ 2Þ ¼ B
@5 þ 5
1þ1
1, m ¼ 2 der folgende Punkt Q:
0 1
1
1þ52
15
B C
C
C ¼ B 12 C )
1þ2
@ A
A
8
þ32
Q ¼ ð15; 12; 8Þ
Der Vektor
1
0
1
0 1
0 1
0
14
2
5
15 1
C
B
C
B C
B C
B
~
n ¼~
a b~ ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ @ 5 6 A ¼ @ 1 A
23
1
3
2 25
steht dabei senkrecht auf der Ebene E (Normalenvektor).
&
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene
Eine Ebene E soll durch drei (voneinander verschiedene und nicht in einer gemeinsamen Geraden liegende) Punkte P 1 , P 2 und P 3 mit den Ortsvektoren ~
r 1, ~
r 2 und ~
r3
verlaufen (Bild II-68).
P3
r3 –
r1
r3
P
r (l;m)
P1
E
P2
r2 – r1
r1
Bild II-68
Zur Drei-Punkte-Form einer Ebene
r2
0
Die vektorielle Gleichung dieser Ebene erhalten wir durch analoge berlegungen wie im
vorangegangenen Abschnitt 4.2.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Ebene
ist der Summenvektor
!
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r1 þ l P1 P2 þ m P1 P3
ðII-156Þ
120
II Vektoralgebra
Ferner ist
!
r2 ~
r1
P1 P2 ¼ ~
und
!
r3 ~
P1 P3 ¼ ~
r1
ðII-157Þ
und somit
~
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ
r ðPÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
ðl, m 2 RÞ
ðII-158Þ
Dies ist die Parameterdarstellung einer Ebene durch drei vorgegebene Punkte P 1 , P 2
und P 3 in vektorieller Form. Für ~
r ðPÞ schreiben wir wieder ~
r ðl; mÞ, um zum Ausdruck zu bringen, dass der laufende Punkt P der Ebene durch die beiden Parameterwerte eindeutig festgelegt ist.
Wir fassen zusammen:
Vektorielle Drei-Punkte-Form einer Ebene (Bild II-68)
!
!
~
r ðPÞ ¼ ~
r ðl; mÞ ¼ ~
r1 þ l P1 P2 þ m P1 P3 ¼
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ
¼~
r 1 þ l ð~
oder (in der Komponentenschreibweise)
0 1
0 1
0
1
0
1
x1
x2 x1
x3 x1
x
B C
B C
B
C
B
C
@ y A ¼ @ y1 A þ l @ y2 y1 A þ m @ y3 y1 A ¼
z
z1
z2 z1
z3 z1
0
1
x 1 þ l ðx 2 x 1 Þ þ m ðx 3 x 1 Þ
B
C
¼ @ y 1 þ l ðy 2 y 1 Þ þ m ðy 3 y 1 Þ A
z 1 þ l ðz 2 z 1 Þ þ m ðz 3 z 1 Þ
ðII-159Þ
ðII-160Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
9
x 1, y 1, z 1 >
=
Koordinaten der vorgegebenen Punkte P 1 , P 2 und P 3 der Ebene
x 2, y 2, z 2
>
;
x 3, y 3, z 3
l, m:
Voneinander unabhängige reelle Parameter ðl, m 2 RÞ
Anmerkungen
(1)
Die Punkte P 1 , P 2 , P 3 dürfen nicht in einer gemeinsamen Geraden liegen, d. h. es
muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1 Þ 6¼ ~
0
ðII-161Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
(2)
121
!
!
r2 ~
r3 ~
Die nicht-kollinearen Vektoren P 1 P 2 ¼ ~
r 1 und P 1 P 3 ¼ ~
r 1 können
als Richtungsvektoren der Ebene aufgefasst werden. Der Normalenvektor ~
n der
Ebene ist dann wie folgt als Vektorprodukt darstellbar:
!
!
~
n ¼ P 1 P 2 P 1 P 3 ¼ ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1Þ
&
ðII-162Þ
Beispiel
Gegeben sind drei Punkte P 1 ¼ ð1; 5; 0Þ, P 2 ¼ ð 2; 1; 8Þ und P 3 ¼ ð2; 0; 1Þ.
Wie lautet die Gleichung der Ebene durch diese Punkte?
Lösung: Die Ortsvektoren der drei Punkte lauten:
0 1
0
1
1
2
B C
B
C
~
~
r2 ¼ @ 1 A
und
r1 ¼ @ 5 A ,
0
8
0 1
2
B C
~
r3 ¼ @ 0 A
1
Damit erhalten wir die folgenden Richtungsvektoren:
0
1
0 1
0
1
3
1
2
!
B
C
B C
B
C
P1 P2 ¼ ~
r1 ¼ @ 1 A @ 5 A ¼ @ 6 A
r2 ~
8
0
8
0 1
0 1
0
1
2
1
1
!
B C
B C
B
C
P1 P3 ¼ ~
r3 ~
r1 ¼ @ 0 A @ 5 A ¼ @ 5 A
1
0
1
Sie sind nicht-kollinear:
0
3
1
0
1
1
0
6 þ 40
1
0
34
1
B C
C
B
C
B
B
C
0
ð~
r2 ~
r 1 Þ ð~
r3 ~
r 1 Þ ¼ @ 6 A @ 5 A ¼ @ 8 þ 3 A ¼ @ 11 A 6¼ ~
21
15 þ 6
1
8
Die Gleichung der Ebene lautet damit in der vektoriellen Parameterform wie folgt:
~
r ðl; mÞ ¼ ~
r 1 þ l ð~
r2 ~
r 1 Þ þ m ð~
r3 ~
r 1Þ ¼
0 1
0
1
0
1
0
1
1
3
1
1 3l þ m
B C
B
C
B
C
B
C
¼ @ 5 A þ l @ 6 A þ m @ 5 A ¼ @ 5 6 l 5 m A ðl, m 2 RÞ
0
8
1
8l þ m
&
122
II Vektoralgebra
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor
Eine Ebene E soll den Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1 enthalten und senkrecht zu
einem Vektor ~
n (Normalenvektor genannt) verlaufen (Bild II-69). Ist ~
r der Ortsvektor
!
r ~
r 1 in der Ebene
des laufenden Punktes P der Ebene, so liegt der Vektor P 1 P ¼ ~
und steht somit senkrecht auf dem Normalenvektor ~
n . Dies aber bedeutet, dass das skalare Produkt der Vektoren ~
n und ~
r ~
r 1 verschwindet (orthogonale Vektoren). Die
Gleichung der Ebene lautet daher:
~
n ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
~
n~
r ¼ ~
n~
r1
oder
ðII-163Þ
n
r – r1
P1
r1
P
E
r
Bild II-69
Ebene senkrecht zu einem Normalenvektor
0
Wir fassen zusammen:
Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Bild II-69)
~
n ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
ðII-164Þ
oder (ausgeschrieben)
n x ðx x 1 Þ þ n y ðy y 1 Þ þ n z ðz z 1 Þ ¼ 0
ðII-165Þ
Dabei bedeuten:
x, y, z:
Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene
x 1, y 1, z 1 :
Koordinaten des vorgegebenen Punktes P 1 der Ebene
n x, n y, n z :
Skalare Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) des Normalenvektors
~
n (steht senkrecht auf der Ebene E)
Anmerkung
Gleichung (II-164) bzw. (II-165) wird auch als Koordinatendarstellung der Ebene
bezeichnet. Ihre allgemeine Form lautet:
ax þ by þ cz þ d ¼ 0
ða, b, c, d : Reelle KonstantenÞ
ðII-166Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
&
123
Beispiel
Die Gleichung der Ebene E durch den Punkt P 1 ¼ ð2; 5; 3Þ senkrecht zum Vektor
0 1
4
B C
~
n ¼ @ 2 A (Normalenvektor) lautet wie folgt:
5
1
0 1 0
x 2
4
C
B C B
~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ @ 2 A @ y þ 5 A ¼ 4 ðx 2Þ þ 2 ðy þ 5Þ þ 5 ðz 3Þ ¼ 0
z3
5
4 x 8 þ 2 y þ 10 þ 5 z 15 ¼ 0
)
4 x þ 2 y þ 5 z 13 ¼ 0
&
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene
Gegeben ist eine Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und ein Punkt Q mit
dem Ortsvektor ~
r Q (Bild II-70). Welchen (senkrechten) Abstand d besitzt dieser Punkt
von der Ebene E?
Q ′′
b
Q
P1 Q
rQ
d
n
E
P1
Q′
r1
Bild II-70
Zur Berechnung des Abstandes eines Punktes
von einer Ebene
0
!
Wir bestimmen zunächst den Vektor P 1 Q. Er ist als Differenzvektor in der Form
!
P1 Q ¼ ~
rQ ~
r1
ðII-167Þ
darstellbar. Seine Projektion in die Richtung des Normalenvektors ~
n ergibt den Vektor
!00
!
0
P 1 Q ¼ b~, der mit dem Vektor Q Q der Länge d übereinstimmt 10). Somit gilt
!
b~ ¼ Q 0 Q
10)
mit
j b~j ¼ d
Q 0 ist der Fußpunkt des Lotes von Q auf die Ebene E.
ðII-168Þ
124
II Vektoralgebra
!
Andererseits gilt für die Projektion von P 1 Q auf ~
n nach Gleichung (II-86):
!
!
!
~
~
r 1Þ
n P1 Q
n ð~
rQ ~
~
~
n ¼
n
b~ ¼
j~
n j2
j~
n j2
Dieser Vektor besitzt den Betrag
~
~
r
Þ
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
n
ð~
r
Q
1
~
j~
nj ¼
j b~j ¼ n
¼
j~
nj
j~
n j2
j~
n j2
ðII-169Þ
ðII-170Þ
Somit ist wegen j b~j ¼ d :
j b~j ¼ d ¼
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
nj
ðII-171Þ
der gesuchte Abstand des Punktes Q von der Ebene E.
Wir fassen zusammen:
Abstand eines Punktes von einer Ebene (Bild II-70)
Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~
r Q von einer Ebene E mit
der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 beträgt
d ¼
&
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j~
nj
ðII-172Þ
0 1
1
B C
Eine Ebene E enthält den Punkt P 1 ¼ ð1; 0; 9Þ, ihr Normalenvektor ist ~
n ¼ @ 3 A.
5
Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð 2; 1; 3Þ von dieser Ebene mit Hilfe der Formel (II-172):
0 1 0
1
0 1 0
1
1
2 1
1
3
B C B
C
B C B
C
~
n ð~
rQ ~
r 1Þ ¼ @ 3 A @ 1 0 A ¼ @ 3 A @ 1 A ¼
5
39
5
6
Beispiel
¼ 3 þ 3 30 ¼ 30
j~
nj ¼
d ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 2 þ 3 2 þ 5 2 ¼ 35
j~
n ð~
rQ ~
r 1Þ j
j 30 j
30
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 5,07
j~
nj
35
35
&
4 Anwendungen in der Geometrie
125
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene
Eine Gerade g und eine Ebene E können folgende Lagen zueinander haben:
g liegt in der Ebene E
g und E sind zueinander parallel
g und E schneiden sich in genau einem Punkt
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass die Gerade g mit der Gleichung
~
a parallel zur Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 verläuft
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
(Bild II-71). Dies ist genau dann der Fall, wenn der Richtungsvektor ~
a der Geraden
senkrecht auf dem Normalenvektor ~
n der Ebene steht, d. h. ~
n~
a ¼ 0 ist.
g
a
P1
d
r1
d
n
P0
Parallele
zu g in der
Ebene E
r0
Bild II-71
Zur Berechnung des Abstandes
einer Geraden von einer Ebene
E
0
Dann hat jeder Punkt der Geraden g den gleichen Abstand d von der Ebene E. Wir
wählen auf g den bekannten Punkt P 1 mit dem Ortsvektor ~
r 1. Nach den Ergebnissen
des vorangegangenen Abschnitts gilt dann (Gleichung II-172):
Abstand einer Geraden von einer Ebene (Bild II-71)
Der Abstand einer Geraden g mit der Gleichung ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a von einer zu
ihr parallelen Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 beträgt
d ¼
j~
n ð~
r1 ~
r 0Þ j
j~
nj
ðII-173Þ
Anmerkungen
(1)
Gerade und Ebene sind genau dann zueinander parallel, wenn ~
n~
a ¼ 0 ist.
(2)
Ist zusätzlich d ¼ 0, so liegt die Gerade g in der Ebene E.
126
&
II Vektoralgebra
Beispiel
Wir berechnen den Abstand d zwischen der Geraden
0
g:
1
1
C
B
Richtungsvektor ~
a ¼ @4A
2
P 1 ¼ ð0; 1; 1Þ,
und der (zu ihr parallelen) Ebene
E:
0 1
2
B C
Normalenvektor ~
n ¼ @1A
3
P 0 ¼ ð1; 5; 2Þ,
Zunächst aber zeigen wir, dass Gerade und Ebene parallel verlaufen und die Abstandsformel (II-173) daher auf dieses Beispiel anwendbar ist:
0 1 0
1
2
1
B C B
C
~
n~
a ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 2 4 þ 6 ¼ 0 ) g jj E
3
2
Ferner ist
1
0 1 0
1
0 1 0
1
2
01
2
C
B C B
C
B C B
~
r 0Þ ¼ @ 1 A @ 1 5 A ¼ @ 1 A @ 4 A ¼
n ð~
r1 ~
3
3
1 2
3
¼ 2 4 9 ¼ 15
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
nj ¼
2 2 þ 1 2 þ 3 2 ¼ 14
Aus Gleichung (II-173) folgt dann
d ¼
j~
n ð~
r1 ~
r 0Þ j
j 15 j
15
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 4,01
j~
nj
14
14
&
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass sich die Gerade g mit der Gleichung
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a und die Ebene E mit der Gleichung ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 in einem
Punkt S schneiden (siehe hierzu auch Abschnitt 4.2.5). Dies ist genau dann der Fall,
wenn ~
n~
a 6¼ 0 ist.
4 Anwendungen in der Geometrie
127
g
n
rS
n
r0
P0
f
a
S
E
Bild II-72
Zur Berechnung des Schnittpunktes
und Schnittwinkels einer Geraden
mit einer Ebene
a
r1
P1
0
Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-72)
Der Ortsvektor ~
r S des Schnittpunktes S erfüllt dann sowohl die Geradengleichung als
auch die Gleichung der Ebene (Bild II-72):
~
r1 þ lS ~
a
rS ¼ ~
und
~
r 0Þ ¼ 0
n ð~
rS ~
ðII-174Þ
Durch Einsetzen der 1. Gleichung in die 2. Gleichung erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für den zum Schnittpunkt S gehörigen Parameter l S :
~
r 0Þ ¼ ~
n ð~
r1 þ lS ~
n ð~
r1 ~
r0 þ lS ~
a~
r 0Þ ¼ ~
aÞ ¼
n ð~
rS ~
¼ ~
n ð~
r1 ~
r 0 Þ þ l S ð~
n~
aÞ ¼ 0
ðII-175Þ
Wir lösen diese Gleichung nach l S auf:
lS ¼ ~
~
r 0Þ
r 1Þ
n ð~
r1 ~
n ð~
r0 ~
¼
~
~
n~
a
n~
a
ðII-176Þ
Diesen Wert setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten den Ortsvektor ~
rS
des Schnittpunktes S:
~
r 1Þ
n ð~
r0 ~
~
~
r1 þ lS ~
a ¼~
r1 þ
rS ¼ ~
a
ðII-177Þ
~
n~
a
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene (Bild II-72)
a mit der
Der Ortsvektor des Schnittpunktes S der Geraden g: ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
Ebene E: ~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 0 lautet:
~
r 1Þ
n ð~
r0 ~
~
~
~
rS ¼ r1 þ
a
ð~
n~
a ¼
6 ~
0Þ
ðII-178Þ
~
n~
a
Anmerkung
Gerade und Ebene schneiden sich genau dann in einem Punkt S, wenn die Bedingung
~
n~
a 6¼ ~
0 erfüllt ist.
128
II Vektoralgebra
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-72)
Der gesuchte Schnittwinkel j zwischen Gerade und Ebene ist der Neigungswinkel der
Geraden gegenüber der Ebene (Bild II-72). Für ihn gilt: 0 j 90 . Er hängt mit
dem Winkel a zwischen dem Richtungsvektor ~
a der Geraden und dem Normalenvektor ~
n der Ebene wie folgt zusammen:
a ¼ 90 þ j
oder
a ¼ 90 j
ðII-179Þ
(abhängig von der Orientierung (Richtung) des Normalenvektors ~
n ). Der Winkel a
lässt sich dabei aus dem skalaren Produkt der Vektoren ~
n und ~
a berechnen:
cos a ¼
~
n~
a
j~
n j j~
aj
ðII-180Þ
Wegen a ¼ 90 j gilt nach dem Additionstheorem der Kosinusfunktion
cos a ¼ cos ð90 jÞ ¼ cos 90 cos j sin 90 sin j ¼ sin j
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
0
1
ðII-181Þ
Somit ist
sin j ¼
~
n~
a
j~
n j j~
aj
oder
sin j ¼ ~
n~
a
j~
n j j~
aj
ðII-182Þ
Beachtet man noch, dass der Schnittwinkel j im Intervall 0 j 90 liegt und
daher sin j 0 ist, so erhält man
sin j ¼
j~
n~
aj
j~
n j j~
aj
ðII-183Þ
und durch Umkehrung schließlich 11Þ :
j ¼ arcsin
j~
n~
aj
j~
n j j~
aj
ðII-184Þ
Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene (Bild II-72)
Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden mit den Richtungsvektor ~
a und
einer Ebene mit dem Normalenvektor ~
n lässt sich wie folgt berechnen:
j~
n~
aj
j ¼ arcsin
ðII-185Þ
j~
n j j~
aj
11Þ
Die Arkussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion (siehe Kap. III, Abschnitt 10.2).
4 Anwendungen in der Geometrie
&
129
Beispiel
Gerade g und Ebene E sind wie folgt gegeben:
1
3
C
B
Richtungsvektor ~
a ¼ @4A
0
0
g:
P 1 ¼ ð2; 1; 5Þ,
0
E:
1
2
B
C
Normalenvektor ~
n ¼ @1A
1
P 0 ¼ ð3; 4; 1Þ,
Wir berechnen Schnittpunkt S und Schnittwinkel j.
Berechnung des Schnittpunktes S nach Formel (II-178)
1
1 0
0
1
1 0
0
1
2
32
2
C
C B
B
C
C B
B
~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ 4 1 A ¼ @ 1 A @ 3 A ¼ 2 3 4 ¼ 5
n ð~
r0 ~
4
1
15
1
1
1 0
0
3
2
C
C B
B
~
n~
a ¼ @ 1 A @ 4 A ¼ 6 þ 4 þ 0 ¼ 10
1
0
Wegen ~
n~
a ¼ 10 6¼ 0 schneiden sich Gerade g und Ebene E genau in einem
Punkt S. Für den Ortsvektor dieses Schnittpunktes erhalten wir dann nach Formel
(II-178):
0
1
0 1
3
2
~
r 1Þ
5 B
n ð~
r0 ~
C
B C
~
~
r1 þ
rS ¼ ~
a ¼ @1A þ
@4A ¼
~
10
n~
a
0
5
1
0
0
1
1
0
0 1
0,5
2 1,5
3
2
C
B
B
C
C
B
B C
¼ @ 1 A 0,5 @ 4 A ¼ @ 1 þ 2 A ¼ @ 3 A ) S ¼ ð0,5; 3; 5Þ
0
5
5þ0
5
Berechnung des Schnittwinkels j nach Formel (II-185)
~
n~
a ¼ 10 (wurde bereits weiter oben berechnet)
j~
nj ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 2 þ ð 1Þ 2 þ 1 2 ¼ 6 ,
j~
aj ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 2 þ ð 4Þ 2 þ 0 2 ¼ 5
j ¼ arcsin
j~
n~
aj
10
¼ arcsin pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ arcsin 0,8165 ¼ 54,7
j~
n j j~
aj
6 5
&
130
II Vektoralgebra
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen
Zwei Ebenen E 1 und E 2 können folgende Lagen zueinander haben:
E 1 und E 2 fallen zusammen
E 1 und E 2 sind zueinander parallel
E 1 und E 2 schneiden sich längs einer Geraden
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass die Ebenen E 1 und E 2 mit den Gleichungen ~
n 1 ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 zueinander parallel sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 kollinear sind,
d. h. ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist (Bild II-73).
n2
P2
r2
E2
d
n1
P 2′
P1
r1
E1
Bild II-73
Zur Berechnung des Abstandes
zweier paralleler Ebenen
0
Dann hat jeder Punkt der Ebene E 2 von der Ebene E 1 den gleichen (senkrechten)
Abstand d und umgekehrt. Wir wählen auf der Ebene E 2 den bekannten Punkt P 2
mit dem Ortsvektor ~
r 2. Dieser Punkt hat nach der Abstandsformel (II-172) den folgenden Abstand von der Ebene E 1 :
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
j~
n1 j
ðII-186Þ
Zusammenfassend gilt somit:
Abstand zweier paralleler Ebenen (Bild II-73)
Der Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen E 1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1 Þ ¼ 0 und
E2: ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 lässt sich wie folgt berechnen:
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
j~
n1 j
ðII-187Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
131
Anmerkungen
(1)
&
Die beiden Ebenen sind genau dann parallel, wenn ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist.
(2)
In der Abstandsformel (II-187) darf der Normalenvektor ~
n 1 durch den Normalenvektor ~
n 2 ersetzt werden.
(3)
Ist zusätzlich d ¼ 0, so fallen die beiden Ebenen zusammen.
Beispiel
Gegeben sind die folgenden Ebenen:
0
E1 :
P 1 ¼ ð7; 3; 4Þ,
E2 :
P 2 ¼ ð 1; 0; 8Þ,
1
1
B
C
Normalenvektor ~
n1 ¼ @ 4 A
2
1
0
2
C
B
Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 8 A
4
Die Ebenen sind parallel, da ~
n1 ~
n2 ¼ ~
0 ist:
0 1
1
0
1
0
1
0
16 16
2
1
B C
C
B
C
B
C
B
0
~
n2 ¼ @ 4 A @ 8 A ¼ @ 4 þ 4 A ¼ @ 0 A ¼ ~
n1 ~
0
8 þ 8
4
2
0
Wir berechnen nun den Abstand d der Ebenen nach Formel (II-187). Mit
1
1 0
1
0
1 0
8
1
1 7
1
C
B
C B
C
B
C B
~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ ¼ @ 4 A @ 0 3 A ¼ @ 4 A @ 3 A ¼
12
2
8þ4
2
0
¼ 8 12 þ 24 ¼ 20
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j~
n1 j ¼
ð 1Þ 2 þ 4 2 þ 2 2 ¼ 21
erhalten wir schließlich:
d ¼
j~
n 1 ð~
r2 ~
r 1Þ j
20
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 4,36
j~
n1 j
21
&
132
II Vektoralgebra
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen
Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, dass sich die Ebenen E 1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
und E 2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 längs einer Geraden g schneiden (Bild II-74). Dies ist
n 2 nicht-kolligenau dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
near sind, d. h. die Bedingung ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0 erfüllen.
E2
Schnittgerade g
n1
f
n2
E1
Bild II-74
Zur Berechnung der Schnittgeraden
und des Schnittwinkels zweier Ebenen
g
Bestimmung der Schnittgeraden (Bild II-74)
Für die Gleichung der Schnittgeraden g wählen wir den Lösungsansatz
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
ðII-188Þ
Zu bestimmen sind der Richtungsvektor ~
a und der Ortsvektor ~
r 0 des auf der Geraden
g gelegenen Punktes P 0 . Da die Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 der beiden Ebenen
jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden g stehen, lässt sich der Richtungsvektor ~
a
von g als Vektorprodukt dieser beiden Vektoren darstellen:
~
n2
a ¼ ~
n1 ~
ðII-189Þ
Den Ortsvektor ~
r 0 des auf der Schnittgeraden gelegenen (aber noch unbekannten)
Punktes P 0 bestimmen wir wie folgt:
r 0 erfüllt daher die Gleichungen
P 0 liegt in beiden Ebenen, der zugehörige Ortsvektor ~
beider Ebenen:
~
r0 ~
r 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
~
r0 ~
r 2Þ ¼ 0
n 2 ð~
ðII-190Þ
oder (in ausgeschriebener Form)
n 1 x ðx 0 x 1 Þ þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x ðx 0 x 2 Þ þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-191Þ
4 Anwendungen in der Geometrie
133
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den drei unbekannten
Koordinaten x 0 , y 0 und z 0 des Punktes P 0 . Eine der drei Koordinaten ist daher frei
wählbar. Wir setzen daher zweckmäßigerweise x 0 ¼ 0 und berechnen dann die beiden
übrigen Koordinaten aus dem linearen Gleichungssystem
n 1 x x 1 þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x x 2 þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-192Þ
(Gleichungssystem (II-191) für x 0 ¼ 0 ). Damit sind die Koordinaten x 0 , y 0 und z 0
und somit auch der Ortsvektor ~
r 0 des auf der Geraden g gelegenen Punktes P 0 eindeutig bestimmt.
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Schnittgerade zweier Ebenen (Bild II-74)
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ 0
Die Gleichung der Schnittgeraden g zweier Ebenen E 1 : ~
und E 2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2 Þ ¼ 0 lautet in der Punkt-Richtungs-Form:
~
a
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
ðII-193Þ
Der Richtungsvektor ~
a ist dabei das Vektorprodukt der Normalenvektoren ~
n1
und ~
n 2 der beiden Ebenen:
~
n2
a ¼~
n1 ~
ðII-194Þ
Der Ortsvektor ~
r 0 des (zunächst noch unbekannten) Punktes P 0 der Schnittgeraden lässt sich aus dem linearen Gleichungssystem
~
r0 ~
r 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
~
r0 ~
r 2Þ ¼ 0
n 2 ð~
ðII-195Þ
oder (in der ausgeschriebenen Form)
n 1 x ðx 0 x 1 Þ þ n 1 y ðy 0 y 1 Þ þ n 1 z ðz 0 z 1 Þ ¼ 0
n 2 x ðx 0 x 2 Þ þ n 2 y ðy 0 y 2 Þ þ n 2 z ðz 0 z 2 Þ ¼ 0
ðII-196Þ
bestimmen, wobei eine der drei Koordinaten frei wählbar ist (z. B. kann man
x 0 ¼ 0 setzen).
Anmerkung
Die beiden Ebenen schneiden sich genau dann, wenn ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0 ist.
Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-74)
Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E 1 und E 2 ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren ~
n 1 und ~
n 2 . Nach Gleichung (II-74) gilt somit:
134
II Vektoralgebra
Schnittwinkel zweier Ebenen (Bild II-74)
Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E 1 und E 2 mit den Normalenvektoren ~
n1
und ~
n 2 lässt sich wie folgt berechnen:
~
n2
n1 ~
j ¼ arccos
ðII-197Þ
j~
n1 j j~
n2 j
&
Beispiel
Wir bestimmen Schnittgerade g und Schnittwinkel j der folgenden Ebenen:
0
1
1
B
C
E 1 : P 1 ¼ ð1; 0; 1Þ,
Normalenvektor ~
n1 ¼ @ 5 A
3
0 1
2
B C
Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 1 A
E 2 : P 2 ¼ ð0; 3; 0Þ,
2
Bestimmung der Schnittgeraden g
Ansatz der Schnittgeraden in der Punkt-Richtung-Form:
~
a (Ansatz)
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
Für den Richtungsvektor ~
a erhalten wir nach Formel (II-194):
0
1
0 1
0
1
0
1
1
2
10 þ 3
13
~
n2 ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ @ 6 2 A ¼ @ 8 A
a ¼ ~
n1 ~
3
2
1 10
9
Wegen ~
n1 ~
n 2 6¼ ~
0 ist damit sichergestellt, dass sich die Ebenen auch tatsächlich
schneiden.
Der Ortsvektor ~
r 0 des (noch unbekannten) Punktes P 0 der Schnittgeraden wird aus
dem folgenden linearen Gleichungssystem berechnet:
1
1 0
0
x0 1
1
C
C B
B
~
r0 ~
r 1 Þ ¼ @ 5 A @ y 0 0 A ¼ x 0 1 þ 5 y 0 3 ðz 0 1Þ ¼ 0
n 1 ð~
3
z0 1
1
0 1 0
x0 0
2
C
B C B
~
n 2 ð~
r0 ~
r 2Þ ¼ @ 1 A @ y 0 3 A ¼ 2 x 0 þ y 0 3 þ 2 z 0 ¼ 0
2
z0 0
bungsaufgaben
135
Wir setzen x 0 ¼ 0 und ordnen beide Gleichungen:
5 y0 3 z0 ¼ 2
y0 þ 2 z0 ¼
3
Diese Gleichungen werden durch y 0 ¼ 5=13 und z 0 ¼ 17=13 gelöst. Der Punkt P 0
besitzt demnach die folgenden Koordinaten:
x0 ¼ 0 ,
y 0 ¼ 5=13 ,
Somit ist
0
z 0 ¼ 17=13
0
1
0
13
1
0
13 l
1
C
C B
B
C
B
~
r ðlÞ ¼ ~
r0 þ l~
a ¼ @ 5=13 A þ l @ 8 A ¼ @ 5=13 8 l A
17=13 9 l
17=13
9
ðl 2 RÞ
die Gleichung der gesuchten Schnittgeraden g.
Berechnung des Schnittwinkels j
0
1 0 1
1
2
B
C B C
~
n1 ~
n2 ¼ @ 5 A @ 1 A ¼ 2 þ 5 6 ¼ 1
3
2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 2 þ 5 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 35 ,
22 þ 12 þ 22 ¼ 3
j~
n1 j ¼
j~
n2 j ¼
Für den Schnittwinkel j erhalten wir damit nach Gleichung (II-197):
~
n2
1
n1 ~
¼ arccos pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ arccos 0,0563 ¼ 86,8
j ¼ arccos
j~
n1 j j~
n2 j
35 3
&
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 2 und 3
1)
0
1
3
Gegeben sind die Vektoren ~
a ¼ @ 2 A,
4
0
1
0
1
2
5
b~ ¼ @ 0 A und ~
c ¼ @ 1 A.
4
4
Berechnen Sie die skalaren Komponenten und die Beträge der aus ihnen gebildeten
folgenden Vektoren:
a 5 b~ þ 3~
c
aÞ ~
s1 ¼ 3~
bÞ ~
s 2 ¼ 2 ðb~ þ 5~
c Þ þ 5 ð~
a 3 b~Þ
a 2 b~Þ þ 10~
c
cÞ ~
s 3 ¼ 4 ð~
dÞ ~
s 4 ¼ 3 ð~
a b~Þ ~
c 5 ðb~ ~
cÞ~
a
136
II Vektoralgebra
~ hebt die vier Einzelkräfte
2) Welche Gegenkraft F
0
1
0
1
200
10
~1 ¼ @ 110 A N ,
~2 ¼ @ 30 A N ,
F
F
50
1
40
~3 ¼ @ 85 A N ,
F
120
0
40
0 1
30
~4 ¼ @ 50 A N
F
40
in ihrer physikalischen Wirkung auf?
3) Berechnen Sie die Resultierende der in Bild II-75 skizzierten (ebenen) Kräfte nach
Betrag und Richtung (Richtungswinkel).
y
z
P5
F 2 = 100 N
P8
F 3 = 80 N
F 1 = 120 N
18°
P6
40°
P7
a
P1
30°
50°
a
x
x
F 4 = 40 N
Bild II-75
a
P2
P4
y
P3
Bild II-76
4) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der acht Ecken eines Würfels mit der Kantenlänge a gemäß Bild II-76.
5) Normieren Sie die folgenden Vektoren:
0 1
2
B C
~
a ¼ @ 1 A,
b~ ¼ 3~
e x 4~
e y þ 8~
e z,
0
B
~
c ¼ @
1
1
C
1A
1
0
4
1
1
B
C
6) Wie lautet der Einheitsvektor ~
e, der die zum Vektor ~
a ¼ @ 4 A entgegengesetzte Richtung hat?
3
7) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P ¼ ð3; 1; 5Þ
0
1
3
B
C
in Richtung des Vektors ~
a ¼ @ 5 A um 20 Längeneinheiten entfernt liegt.
4
bungsaufgaben
137
8)
Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P 1 ¼ ð10; 5; 1Þ und
P 2 ¼ ð1; 2; 5Þ verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte
!
Q von P 1 P 2 .
9)
Liegen die drei Punkte P 1 ¼ ð3; 0; 4Þ, P 2 ¼ ð1; 1; 1Þ und P 3 ¼ ð 1; 2; 2Þ
in einer Geraden?
10)
1
0
1
0 1
0
4
1
3
C
B
C
B C
B
c ¼ @ 10 A die
Bilden Sie mit den Vektoren ~
a ¼ @ 1 A, b~ ¼ @ 0 A und ~
folgenden Skalarprodukte:
2
1
4
aÞ ~
a b~
11)
bÞ
ð~
a 3 b~Þ ð4~
cÞ
13)
ð~
a þ b~Þ ð~
a~
cÞ
Welchen Winkel schließen die Vektoren ~
a und b~ miteinander ein?
0
1
1
0
0 1
0
1
3
10
1
3
B
C
C
B
B C
B
C
bÞ ~
a ¼ @ 5 A , b~ ¼ @ 1 A
aÞ ~
a ¼ @ 1 A , b~ ¼ @ 4 A
0,5
10
2
2
b~ ¼ ~
e x 10~
ez
cÞ ~
a ¼~
e x 2~
e y þ 5~
ez ,
12)
cÞ
Zeigen Sie: Die Vektoren ~
a und b~ sind zueinander orthogonal:
0
1
0
1
0
1
0
1
1
4
3
4
B
C
B
C
B
C
B
C
aÞ ~
a ¼ @ 2 A , b~ ¼ @ 8 A
bÞ ~
a ¼ @ 2 A , b~ ¼ @ 1 A
5
4
10
1
Beweisen Sie den Kosinussatz c 2 ¼ a 2 þ b 2 2 a b cos g (Bild II-77).
C
g
a
b
14)
Bild II-77
Zur Herleitung des Kosinussatzes
A
c
Zeigen Sie: Die Vektoren
0 pﬃﬃﬃﬃﬃ 1
1= 2
C
B
~
e1 ¼ @ 0 A ,
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1= 2
pﬃﬃﬃﬃﬃ 1
1= 2
C
B
~
e2 ¼ @
A
0
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1= 2
B
0
0
und
0
1
C
B
~
e3 ¼ @ 1 A
0
bilden ein orthonormiertes System, d. h. die Vektoren stehen paarweise senkrecht
aufeinander und besitzen jeweils die Länge 1.
138
15)
II Vektoralgebra
Zeigen Sie: Die drei Vektoren
0
1
0
1
2
1
B
C
B
C
~
b~ ¼ @ 2 A
a ¼ @ 4 A,
3
2
0
B
~
c ¼ @
und
1
1
C
6A
1
bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
16)
Bestimmen Sie Betrag und Richtung (Richtungswinkel) des Vektors ~
a:
1
0
0 1
0 1
4
1
1
C
B
B C
B C
cÞ ~
a ¼ @ 3A
bÞ ~
a ¼ @4A
aÞ ~
a ¼ @1A
2
0
1
17)
Durch die drei Punkte A ¼ ð1; 4; 2Þ, B ¼ ð3; 1; 0Þ und C ¼ ð 1; 1; 2Þ
wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt.
1
0
10
C
~¼ B
Ein Massenpunkt wird durch die Kraft F
@ 4 A N geradlinig von
18)
2
P 1 ¼ ð1 m; 20 m; 3 mÞ nach P 2 ¼ ð4 m; 2 m; 1 mÞ verschoben. Welche Arbeit leistet die Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor ~
s?
19)
Eine Kraft vom Betrage F ¼ 85 N verschiebt einen Massenpunkt geradlinig um
die Strecke s ¼ 32 m und verrichtet dabei die Arbeit W ¼ 1360 J. Unter welchem Winkel greift die Kraft an?
20)
Berechnen Sie die Komponente des Vektors
1
0
2
C
B
~
a ¼ @ 2 A:
aÞ
1
0 1
5
B
C
b~ ¼ @ 1 A
3
0
bÞ
B
b~ ¼ @
2
1
C
5A
0
b~ in Richtung des Vektors
0
cÞ
B
b~ ¼ @
10
1
C
4A
2
21)
Ein Vektor ~
a sei durch Betrag und Richtungswinkel wie folgt festgelegt: j ~
a j ¼ 10,
a?
a ¼ 30 , b ¼ 60 , 90 g 180 . Wie lauten die Vektorkoordinaten von ~
22)
Bestimmen Sie die Richtungswinkel a, b und g der folgenden Vektoren:
1
1
0
0
0 1
11
3
5
C
C
B
B
B C
cÞ ~
a ¼ @2A
bÞ ~
a ¼ @ 5A
aÞ ~
a ¼ @1A
10
8
4
bungsaufgaben
139
0
23)
1
0
0 1
0
B
C ~ B
C
B C
Gegeben sind die Vektoren ~
a ¼ @ 4 A, b ¼ @ 1 A und ~
c ¼ @ 2 A.
6
2
3
1
2
1
Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte:
24)
25)
aÞ ~
a b~
bÞ
ð~
a b~Þ ð3~
cÞ
cÞ ð ~
a þ 2~
c Þ ð b~Þ
dÞ
ð2 ~
a Þ ð b~ þ 5~
cÞ
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren ~
a und b~ aufgespannten
Parallelogramms:
0 1
1
0
1
0
1
0
3
1
3
4
B C
C
B
C
B
C
B
~
~
b ¼ @ 1A
bÞ ~
a ¼ @4A,
b ¼ @1A
aÞ ~
a ¼ @ 10 A ,
12
0
3
5
An einem Hebel greifen die in Bild II-78 skizzierten senkrechten Kräfte an. Wie
~ sein, die im Abstand von 20 cm vom Hebelpunkt angroß muss eine 3. Kraft F
greift, damit Gleichgewicht besteht?
Anleitung: Die Summe aller Drehmomente muss verschwinden.
100 cm
50 cm
20 cm
F 1 = 400 N
F=?
F 2 = 600 N
Bild II-78 Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht
26)
Wie muss der Parameter l
0 1
1
B C
~
a ¼ @lA,
b~ ¼
4
komplanar sind?
gewählt werden, damit die
1
0
2
C
B
und
~
c ¼
@ 4A
11
drei Vektoren
0
1
3
B
C
@ 5A
1
140
27)
II Vektoralgebra
Zeigen Sie: Die Vektoren ~
a, b~ und ~
c liegen jeweils in einer gemeinsamen
Ebene.
1
0
1
0
1
0
2
1
3
C
B
C
B
C
B
~
b~ ¼ @ 3 A,
c ¼ @ 3A
aÞ ~
a ¼ @ 4A,
5
25
0
0 1
1
B C
bÞ ~
a ¼ @1A,
1
0
0 1
1
B C
~
b ¼ @0A,
2
B
~
c ¼ @
1
1
C
4A
2
28) Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren
0
1
0 1
0
1
1
3
1
B
C
B C
B
C
~
a ¼ @ 1A,
b~ ¼ @ 4 A
und
~
c ¼ @ 2A
1
7
8
gebildeten Spats.
29)
Zeigen Sie: ð~
a b~Þ ~
c ¼ ð~
a~
c Þ b~ ðb~ ~
cÞ~
a
Anleitung: Komponentenweise Ausrechnung auf beiden Seiten.
30)
Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Vektoren:
0 1
0 1
3
1
B C
B C
~
aÞ ~
a ¼ @0A,
b ¼ @5A
1
0
1
1
1
C
B
bÞ ~
a ¼ @6A,
4
0
1
1
C
B
b~ ¼ @ 2 A ,
2
0 1
1
B C
~
c ¼ @2A
3
31) Zeigen Sie: Die Vektoren sind jeweils linear abhängig.
0
1
0
1
2
6
B
C
B
C
aÞ ~
a ¼ @1A,
b~ ¼ @ 3 A
9
3
0 1
1
B C
bÞ ~
a1 ¼ @ 2 A ,
5
0
1
1
B
C
~
a2 ¼ @ 2 A ,
3
0
5
1
B C
~
a 3 ¼ @ 10 A
1
bungsaufgaben
32)
141
Gegeben sind die Vektoren
0 1
1
0
5
1
B C
C
B
~
~
b ¼ @ 1 A,
a ¼ @ 1 A,
2
2
0 1
1
B C
~
c ¼ @2A
3
0
und
13
1
B C
d~ ¼ @ 5 A
2
Zeigen Sie:
a) Die Vektoren ~
a, b~ und ~
c sind linear unabhängig,
b) die Vektoren ~
a, b~ und d~ dagegen linear abhängig.
Zu Abschnitt 4
1)
Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P 1 parallel zum
Vektor ~
a ? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten l ¼ 1, l ¼ 2 und
l ¼ 5?
1
0
0 1
1
5
C
B
B C
~
~
bÞ P 1 ¼ ð3; 2; 1Þ ,
aÞ P 1 ¼ ð4; 0; 3Þ ,
a ¼ @ 1A
a ¼ @2A
1
3
2)
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P 1 und P 2 .
Welche Punkte ergeben sich für die Parameterwerte l ¼ 2, l ¼ 3 und
l ¼ 5?
aÞ
P 1 ¼ ð1; 3; 2Þ ,
P 2 ¼ ð6; 5; 8Þ
bÞ
P 1 ¼ ð 2; 3; 1Þ ,
P 1 ¼ ð1; 0; 5Þ
3)
Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte P 1 ¼ ð10; 5; 1Þ und
P 2 ¼ ð1; 2; 5Þ verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte
!
Q von P 1 P 2 .
4)
Liegen die drei Punkte P 1 ¼ ð3; 0; 4Þ, P 2 ¼ ð1; 1; 1Þ und P 3 ¼ ð 7; 5; 11Þ
in einer Geraden?
5)
Von einer Geraden g ist der Punkt P 1 ¼ ð4; 2; 3Þ und der Richtungsvektor
0 1
2
B C
~
a ¼ @ 1 A bekannt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q ¼ ð4; 1; 1Þ von
3
dieser Geraden.
6)
P 1 ¼ ð1; 4; 3Þ sei ein Punkt der Geraden g 1 , P 2 ¼ ð5; 3; 0Þ ein solcher der
Geraden g 2 . Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum Vektor ~
a mit den
Vektorkoordinaten a x ¼ 3, a y ¼ 1 und a z ¼ 2. Welchen Abstand besitzen
diese Geraden voneinander?
142
II Vektoralgebra
7) Von einer Geraden g ist der Punkt P 1 ¼ ð1; 2; 8Þ und der Richtungsvektor
~
a mit den folgenden Eigenschaften bekannt: j ~
a j ¼ 1, b ¼ 60 , g ¼ 45 , a mit
cos a > 0. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden. In welchen Punkten
schneidet die Gerade die drei Koordinatenebenen?
8) Eine Gerade g verlaufe durch den Punkt P 1 ¼ ð5; 3; 1Þ parallel zu einem Vektor ~
a mit den drei Richtungswinkeln a ¼ 30 , b ¼ 90 , g mit cos g < 0.
Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?
9) Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g 1 , g 2 zueinander? Bestimmen
Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
aÞ
bÞ
g 1 durch P 1 ¼ ð3; 4; 6Þ
und
g 2 durch P 3 ¼ ð3; 7; 2Þ
und P 4 ¼ ð5; 15; 6Þ
g1 :
g2 :
cÞ
g1
g2
10)
P 2 ¼ ð 1; 2; 4Þ
0
1
0 1
2
5
B
C
B C
~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a1 ¼ @ 1 A þ l1 @ 1 A
3
0
1
0 1
0
1
6
C
B C
B
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a2 ¼ @ 1 A þ l2 @ 3 A
5
9
0 1
2
B C
durch P 1 ¼ ð1; 2; 0Þ mit dem Richtungsvektor ~
a1 ¼ @ 0 A
5
1
0
1
C
B
durch P 2 ¼ ð6; 0; 13Þ mit dem Richtungsvektor ~
a2 ¼ @ 2 A
3
Zeigen Sie, dass die Geraden g 1 und g 2 mit den folgenden Vektorgleichungen
windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand:
1
0
0 1
1
1
C
B
B C
g1 : ~
r ðl 1 Þ ¼ ~
r1 þ l1 ~
a 1 ¼ @ 2 A þ l 1@ 1 A
3
g2 :
11)
1
0 1
0 1
3
0
B C
B C
~
r ðl 2 Þ ¼ ~
r2 þ l2 ~
a 2 ¼ @ 3 A þ l 2@ 2 A
3
1
Die in der x, y-Ebene verlaufende Gerade g 1 schneidet die beiden Koordinatenachsen jeweils bei 3. Welchen Abstand besitzt diese Gerade von der z-Achse?
bungsaufgaben
12)
143
Zeigen Sie, dass sich die Geraden g 1 und g 2 in genau einem Punkt schneiden
und bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel:
g 1 durch P 1 ¼ ð4; 2; 8Þ
und
P 2 ¼ ð3; 6; 11Þ
g 2 durch P 3 ¼ ð5; 8; 21Þ und P 4 ¼ ð7; 10; 31Þ
13)
Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P 1 enthält und parallel zu den Richtungsvektoren ~
a und b~ verläuft? Bestimmen Sie ferner einen
Normalenvektor ~
n der Ebene. Welche Punkte gehören zu den Parameterwertepaaren l ¼ 1, m ¼ 3 und l ¼ 2, m ¼ 1?
0 1
0 1
2
1
B C
B C
~
~
b ¼ @1A
aÞ P 1 ¼ ð3; 5; 1Þ ,
a ¼ @1A,
3
1
1
0
1
0
2
2
C
B
C
B
~
bÞ P 1 ¼ ð6; 0; 3Þ ,
b~ ¼ @ 3 A
a ¼ @ 8A,
3
3
14)
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte P 1 , P 2 und
P 3 . Welche Punkte dieser Ebene erhält man für die Parameterwertepaare
l ¼ 3, m ¼ 2 und l ¼ 2, m ¼ 1?
aÞ
P 1 ¼ ð3; 1; 0Þ ,
P 2 ¼ ð 4; 1; 1Þ ,
P 3 ¼ ð5; 9; 3Þ
bÞ
P 1 ¼ ð5; 1; 2Þ ,
P 2 ¼ ð 2; 1; 3Þ ,
P 3 ¼ ð0; 5; 10Þ
15)
Liegen die vier Punkte P 1 ¼ ð1; 1; 1Þ, P 2 ¼ ð3; 2; 0Þ, P 3 ¼ ð4; 1; 5Þ und
P 4 ¼ ð12; 4; 12Þ in einer Ebene?
16)
Wie lautet die Gleichung einer Ebene E, die auf den drei Koordinatenachsen jeweils die gleiche Strecke a abschneidet und ferner den Punkt Q ¼ ð3; 4; 7Þ
enthält?
Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung der Ebene durch die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von der Strecke a auf.
0 1
4
17) Eine Ebene E verläuft senkrecht zum Vektor ~
n ¼ @ 3 A und enthält den
1
Punkt A ¼ ð5; 8; 10Þ. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Berechnen
Sie ferner die fehlende Koordinate des auf der Ebene gelegenen Punktes
B ¼ ð2; y ¼ ?; 1Þ.
18)
Ein Normalenvektor ~
n einer Ebene E besitze die drei Richtungswinkel
a ¼ 60 , b ¼ 120 und g mit cos g < 0. Wie lautet die Gleichung dieser
Ebene, wenn diese noch den Punkt P 1 ¼ ð3; 5; 2Þ enthält?
144
II Vektoralgebra
19)
Welche Lage haben Gerade g und Ebene E zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
0 1
3
B C
aÞ g durch P 1 ¼ ð5; 1; 2Þ mit dem Richtungsvektor ~
a ¼ @1A
2
0
B
E durch P 0 ¼ ð2; 1; 8Þ mit dem Normalenvektor ~
n ¼ @
bÞ
g:
0 1
0 1
5
2
B C
B C
~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @3A þ l@5A
6
1
0
E:
cÞ
3
1
0
x 1
1
1
C
3A
1
1
C
B
C B
~
n ð~
r ~
r 0Þ ¼ @ 1 A @ y 1 A ¼ 0
z1
1
g durch P 1 ¼ ð2; 0; 3Þ und P 2 ¼ ð5; 6; 18Þ
E durch P 3 ¼ ð1; 2; 2Þ, P 4 ¼ ð0; 1; 1Þ und P 5 ¼ ð 1; 0; 1Þ
20)
Eine Gerade g durch die Punkte A ¼ ð1; 1; 1Þ und B ¼ ð5; 4; 3Þ verlaufe
senkrecht zu einer Ebene E. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, wenn
P 1 ¼ ð2; 1; 5Þ ein Punkt dieser Ebene ist?
21)
Eine Ebene E 1 gehe durch den Punkt P 1 ¼ ð1; 2; 3Þ, ihr Normalenvektor sei
0 1
2
@
~
n ¼ 1 A. Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Abstand des Punktes
a
Q ¼ ð0; 2; 5Þ von dieser Ebene d ¼ 2 beträgt. Wie lautet die Gleichung der
Parallelebene E 2 durch den Punkt A ¼ ð5; 1; 2Þ?
22)
Eine Ebene E enthält den Punkt P 0 ¼ ð2; 1; 8Þ und verläuft senkrecht zum
0
1
2
Vektor ~
n ¼ @ 6 A. Zeigen Sie, dass die Gerade g mit der Vektorgleichung
1
1
0
0 1
4
5
C
B
B C
~
a ¼ @3A þ l@ 1A
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
2
1
zu dieser Ebene parallel ist. Wie groß ist der Abstand zwischen Gerade und
Ebene?
bungsaufgaben
23)
145
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:
0 1
0
1
3
1
B C
B
C
g: ~
r ðlÞ ¼ ~
r1 þ l~
a ¼ @2A þ l@ 2A
0
3
E:
~
n ð~
r ~
r 0 Þ ¼ 2 ðx 1Þ þ 1 ðy 2Þ þ 1 ðz þ 3Þ ¼ 0
Zeigen Sie, dass Gerade und Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.
24)
Zeigen Sie die Parallelität der beiden Ebenen E 1 und E 2 und berechnen Sie
ihren Abstand:
0
1
1
B
C
n1 ¼ @ 3 A
E 1 durch P 1 ¼ ð3; 5; 6Þ mit dem Normalenvektor ~
2
1
3
C
B
durch P 2 ¼ ð1; 5; 2Þ mit dem Normalenvektor ~
n2 ¼ @ 9 A
6
0
E2
25)
Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:
0 1 0
1
3
x 2
B C B
C
E1 : ~
n 1 ð~
r ~
r 1Þ ¼ @ 1 A @ y 5 A ¼ 0
2
z6
1
0 1 0
x 1
2
C
B C B
E2 : ~
n 2 ð~
r ~
r 2Þ ¼ @ 0 A @ y 5 A ¼ 0
3
z1
146
III Funktionen und Kurven
1 Definition und Darstellung einer Funktion
1.1 Definition einer Funktion
Funktionen dienen zur Darstellung und Beschreibung von Zusammenhängen und Abhängigkeiten zwischen zwei physikalisch-technischen Messgrößen. So ist z. B. die Auslenkung einer elastischen Stahlfeder von der Größe der Belastung abhängig. Beim freien
Fall sind Fallweg und Fallgeschwindigkeit zeitabhängige Größen, d. h. Funktionen der
Zeit. In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung, somit also eine Funktion der Spannung.
Allgemein lässt sich der Funktionsbegriff wie folgt definieren:
Definition: Unter einer Funktion versteht man eine Vorschrift, die jedem Element
x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. Symbolische Schreibweise:
y ¼ f ðxÞ
mit
x 2 D
Dabei sind folgende Bezeichnungen üblich:
x : Unabhängige Veränderliche (Variable) oder Argument
y: Abhängige Veränderliche (Variable) oder Funktionswert
D: Definitionsbereich der Funktion
W : Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion
Anmerkungen
(1)
Wir beschränken uns auf reelle Funktionen einer reellen Variablen, d. h. D und W
sind Teilmengen von R.
(2)
Die Zuordnung muss immer eindeutig sein (zu jedem x genau ein y).
(3)
Eine weitere übliche Schreibweise ist:
f : x 7! y ¼ f ðxÞ
(4)
(mit x 2 D)
Eine Funktion kann auch aufgefasst werden als Menge der geordneten reellen Zahlenpaare ðx; yÞ mit x 2 D und y ¼ f ðxÞ.
1 Definition und Darstellung einer Funktion
&
147
Beispiele
(1)
Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Zeit t :
v ¼ gt
(g: Erdbeschleunigung)
Definitionsbereich: t 0; Wertebereich: v 0
(2)
Parabel y ¼ x 2
(3)
Defintionsbereich: D ¼ ð1, 1Þ; Wertebereich: W ¼ ½ 0, 1Þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ x 1
Definitionsbereich: x 1 0,
Wertebereich: W ¼ ½ 0, 1Þ
(4)
x 1
d. h.
oder
y 0
Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung (Modell: Feder-Masse-Schwinger oder Federpendel):
x ¼ x ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðf ür t 0Þ
(x : Auslenkung zur Zeit t; A > 0: Amplitude; w > 0: Kreisfrequenz; j: Null&
phasenwinkel)
1.2 Darstellungsformen einer Funktion
1.2.1 Analytische Darstellung
Bei dieser Darstellungsart ist die Zuordnungsvorschrift in Form einer Gleichung gegeben
(Funktionsgleichung genannt):
y ¼ f ðxÞ:
Explizite Darstellung (die Funktion ist nach einer Variablen –– in der
Regel wie hier nach y –– aufgelöst)
F ðx; yÞ ¼ 0: Implizite Darstellung (die Funktion ist nicht nach einer der beiden
Variablen aufgelöst)
Eine weitere analytische Darstellungsform ist die Parameterdarstellung, die wir in Abschnitt 1.2.4 behandeln werden.
&
Beispiele
Die folgenden Funktionen sind explizit dargestellt:
y ¼ x2 ,
y ¼ sin x ,
v ðtÞ ¼ g t ,
U ðIÞ ¼ RI (Ohmsches Gesetz)
Beispiele für implizit vorgegebene Funktionen sind:
F ðx; yÞ ¼ ln y þ x 2 ¼ 0
und
F ðx; yÞ ¼ x y 2 ¼ 0
&
148
III Funktionen und Kurven
1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel)
Funktionen können auch tabellarisch in Form einer Wertetabelle (Funktionstafel) dargestellt werden. Man erhält sie häufig als Ergebnis von Messreihen.
&
Beispiel
In einem Versuch wird der Spannungsabfall U an einem ohmschen Widerstand in Abhängigkeit von der Stromstärke I gemessen. Die Wertetabelle hat dabei das folgende
Aussehen (zu jedem Wert von I gehört genau ein Messwert U ):
I=mA
50
100
150
200
250
...
U=V
2,0
3,9
6,0
7,9
10,1
...
&
1.2.3 Graphische Darstellung
Die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ ordnet jedem x-Wert aus D in eindeutiger Weise
einen y-Wert zu: x 0 7! y 0 ¼ f ðx 0 Þ. Das Wertepaar ðx 0 ; y 0 Þ kann dann als ein Punkt
P 0 der Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem gedeutet werden (Bild III-1).
y
y = f (x)
P0
y0
Bild III-1
Graph einer Funktion
x0
x
Dabei sind folgende Bezeichnungen üblich:
x 0, y 0 :
x0:
y0:
Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten
Abszisse
des Punktes P 0 ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
Ordinate
g
Für jedes Wertepaar ðx 0 ; y 0 Þ erhalten wir genau einen Punkt. Die Menge aller Punkte
ðx; y ¼ f ðxÞÞ mit x 2 D bildet die Funktionskurve (auch Schaubild oder Funktionsgraph genannt), die in anschaulicher Weise den Funktionsverlauf von y ¼ f ðxÞ beschreibt (Bild III-1).
Wegen der eindeutigen Zuordnung gilt: Jede Parallele zur y-Achse schneidet die Kurve
höchstens einmal (siehe Bild III-2).
1 Definition und Darstellung einer Funktion
y
149
y
Parallele
zur y-Achse
x
Parallele
zur y-Achse
x
a)
b)
Bild III-2 Eindeutige Zuordnung bei einer Funktion
a) Funktion b) Keine Funktion (2 Schnittstellen)
&
Beispiele
(1)
Fallgeschwindigkeit v ¼ g t, t 0 s; g ¼ 10 m=s 2 (gerundet) (Bild III-3)
(2)
Parabel mit der Funktionsgleichung y ¼ x 2 , x 2 R (siehe Bild III-4)
v
m/s
y
y=x2
30
v = gt
20
10
1
1
2
3
t /s
Bild III-3
Fallgeschwindigkeit als Funktion der Zeit
–1
1
x
Bild III-4
Normalparabel y ¼ x 2
&
1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion
Bei der mathematischen Beschreibung eines Bewegungsablaufes ist es oft zweckmäßig,
die augenblickliche Lage des Körpers durch kartesische Koordinaten ðx; yÞ zu beschreiben, die sich aber im Laufe der Zeit t verändern und somit Funktionen der Zeit sind:
x ¼ x ðtÞ ,
y ¼ y ðtÞ
ða t bÞ
ðIII-1Þ
Eine Darstellung dieser Art mit der reellen Hilfsvariablen t als Parameter heißt Parameterdarstellung einer Funktion (im angeführten Beispiel handelt es sich um einen Zeit-
150
III Funktionen und Kurven
parameter). In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen bedeutet der Parameter t meist die Zeit oder einen Winkel.
Für jeden Wert des Parameters t aus dem Intervall a t b erhalten wir genau einen
Kurvenpunkt. Die Parametergleichungen (III-1) beschreiben dann eine Kurve, wie in
Bild III-5 dargestellt.
y
b
t
a
y (t)
Bild III-5
Zur Parameterdarstellung
einer Funktion
x (t)
x
Um die Kurve zu zeichnen geht man in der Praxis zweckmäßigerweise wie folgt vor:
Man erstellt zunächst eine Wertetabelle, indem man einige Parameterwerte vorgibt,
dann die zugehörigen x- und y-Werte aus den gegebenen Parametergleichungen berechnet und diese Wertepaare schließlich als Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem darstellt (die Wertetabelle besteht hier aus drei Spalten). Durch Verbinden dieser
(dicht genug aufeinanderfolgenden) Punkte erhält man dann den gesuchten Kurvenverlauf.
&
Beispiel
Waagerechter Wurf: Ein Körper wird im luftleeren Raum aus einer gewissen Höhe
waagerecht mit der konstanten Geschwindigkeit vom Betrage v 0 abgeworfen und bewegt
sich dabei auf einer Parabelbahn (sog. Wurfparabel; Bild III-6). Die Parametergleichungen dieser Bewegung lauten wie folgt:
1
gt2
(mit t 0)
2
(g: Erdbeschleunigung; t : Zeitparameter)
x ¼ v0 t ,
y ¼
v0
x
y
Bild III-6
Wurfparabel beim waagerechten Wurf
(die y-Achse zeigt zum Erdmittelpunkt)
x
Wurfparabel
y
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
151
Durch Eliminieren des Parameters t erhält man schließlich die Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form:
x
ðEinsetzen in die 2. ParametergleichungÞ )
x ¼ v0 t ) t ¼
v0
2 1
1
x
g
x2
¼
gt2 ¼
g
2
2
v0
2 v 20
y ¼
Rechenbeispiel: v 0 ¼ 15 m=s,
y ¼
1
45 m
ðx 0Þ
g ¼ 10 m=s 2
x2
ðx 0 mÞ
&
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
2.1 Nullstellen
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x 0 eine Nullstelle,
wenn f ðx 0 Þ ¼ 0 ist.
In einer Nullstelle x 0 schneidet oder berührt die Funktionskurve die x-Achse.
&
Beispiele
(1)
(2)
Die lineare Funktion (Gerade) y ¼ x 2 schneidet die x-Achse an der Stelle
x 1 ¼ 2 (Bild III-7).
2
Die Parabel y ¼ x 1
besitzt an der Stelle x 1 ¼ 1 eine doppelte Nullstelle,
d. h. einen Berührungspunkt (Bild III-8).
y
y
y = (x – 1) 2
y=x–2
1
1
2
x
–2
1
Bild III-7
Einfache Nullstelle
Bild III-8
Doppelte Nullstelle
x
152
(3)
III Funktionen und Kurven
Ein Beispiel für eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen liefert die Sinusfunktion y ¼ sin x. Sie liegen bei x k ¼ k p mit k ¼ 0, 1, 2, . . .
(Bild III-9):
y
1
–p
y = sin x
p
0
2p
x
–1
Bild III-9
Nullstellen der Sinusfunktion y ¼ sin x
&
2.2 Symmetrieverhalten
Wir unterscheiden zwischen Spiegel- und Punktsymmetrie.
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ mit einem zum Nullpunkt symmetrischen
Definitionsbereich D heißt gerade, wenn sie für jedes x 2 D die
Bedingung
f ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðIII-2Þ
erfüllt.
Die Funktionskurve einer geraden Funktion verläuft spiegelsymmetrisch zur y-Achse:
Jeder Punkt der Kurve geht dabei durch Spiegelung an der y-Achse wieder in einen
Kurvenpunkt über.
Einfache Beispiele für spiegelsymmetrische Funktionen liefern die Parabel y ¼ x 2
(Bild III-10) und die Kosinusfunktion y ¼ cos x (Bild III-11).
y
y
y=x
2
y = cos x
f (–x)
f (–x)
–x
Bild III-10
f (x)
x
f (x)
–x
x
x
Normalparabel y ¼ x 2
Bild III-11
Kosinusfunktion y ¼ cos x
x
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
153
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ mit einem zum Nullpunkt symmetrischen
Definitionsbereich D heißt ungerade, wenn sie für jedes x 2 D die
Bedingung
f ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðIII-3Þ
erfüllt.
Das Bild einer ungeraden Funktion verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:
Spiegelt man einen beliebigen Kurvenpunkt am Nullpunkt, so liegt der Bildpunkt ebenfalls auf der Funktionskurve. Die kubische Parabel y ¼ x 3 (Bild III-12) und die Sinusfunktion y ¼ sin x (Bild III-13) sind einfache Beispiele für ungerade Funktionen.
y
y
y=x3
y = sin x
f (x)
f (x)
–x
–x
x
x
Bild III-12
&
x
f (–x)
f (–x)
Kubische Parabel y ¼ x 3
Bild III-13
x
Sinusfunktion y ¼ sin x
Beispiele
(1)
(2)
(3)
Die Potenzfunktionen y ¼ x n (mit n ¼ 1, 2, 3, . . .) sind entweder spiegelsymmetrisch zur y-Achse, also gerade Funktionen (für n ¼ gerade) oder punktsymmetrisch und damit ungerade Funktionen (für n ¼ ungerade). Sie erklären die Bezeichnungen „gerade“ bzw. „ungerade“ für die beiden Symmetriearten.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
f ðxÞ ¼ x 2 þ 1, x 2 R ist eine gerade Funktion, denn es gilt:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
x þ 1 ¼ x 2 þ 1 ¼ f ðxÞ
f ðxÞ ¼
f ðxÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 x 1 þ x,
1 x 1
Diese Funktion ist ungerade, denn es gilt für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
f ðxÞ ¼ 1 ðxÞ 1 þ ðxÞ ¼ 1 þ x 1 x ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1 x 1 þ x ¼ f ðxÞ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
f ðxÞ
&
154
III Funktionen und Kurven
2.3 Monotonie
In Abschnitt 2.5 werden wir uns mit dem wichtigen Problem der Umkehrung einer Funktion beschäftigen. Ob diese gelingt, wird dabei entscheidend von einer speziellen Eigenschaft der Funktion abhängen, die man als Monotonie bezeichnet. Dieser Begriff wird
wie folgt definiert:
Definition: x 1 und x 2 seien zwei beliebige Werte aus dem Definitionsbereich D
einer Funktion y ¼ f ðxÞ, die der Bedingung x 1 < x 2 genügen. Dann
heißt die Funktion
monoton wachsend, falls
f ðx 1 Þ f ðx 2 Þ
streng monoton wachsend, falls
f ðx 1 Þ < f ðx 2 Þ
monoton fallend, falls
f ðx 1 Þ f ðx 2 Þ
streng monoton fallend, falls
f ðx 1 Þ > f ðx 2 Þ
ist.
Eine streng monoton wachsende Funktion besitzt demnach die Eigenschaft, dass zum
kleineren x-Wert stets auch der kleinere y-Wert gehört (Bild III-14). Läuft man auf der
Kurve von links nach rechts, d. h. in Richtung zunehmender x-Werte, so nehmen auch
die y-Werte ständig zu. Bei einer streng monoton fallenden Funktion ist es genau
umgekehrt: Zum kleineren Abszissenwert gehört stets der größere Ordinatenwert
(Bild III-15).
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f (x 1 )
f (x 2 )
f (x 2 )
f (x 1 )
x1
Bild III-14
x2
x
Graph einer streng monoton
wachsenden Funktion
x1
x2
x
Bild III-15 Graph einer streng monoton
fallenden Funktion
Viele Funktionen zeigen in ihrem gesamten Definitionsbereich keine Monotonie-Eigenschaft, sind jedoch in gewissen Teilintervallen monoton wachsend oder fallend (siehe
hierzu das nachfolgende Beispiel (3) über die Normalparabel).
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
&
155
Beispiele
(1)
Streng monoton wachsende Funktionen sind:
a) Jede Gerade mit positiver Steigung
b) Kubische Parabel y ¼ x 3 (Bild III-12)
c) Aufladung eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand auf die
Endspannung u 0 (u ¼ u ðtÞ: Spannung zur Zeit t, t 0; Bild III-16).
d) Wachstumsprozesse in der Natur wie z. B. die Vermehrung von Bakterien
verlaufen meist exponentiell ansteigend wie in Bild III-17 dargestellt (y 0 ist
dabei der Anfangswert oder Anfangsbestand).
y
u
u0
y0
t
t
Bild III-16 Zeitlicher Spannungsverlauf
am Kondensator (Aufladung)
(2)
Bild III-17 Zeitlicher Verlauf eines
Wachstumsprozesses
Streng monoton fallende Funktionen sind:
a) Jede Gerade mit negativer Steigung
b) Radioaktiver Zerfall: Beim natürlichen radioaktiven Zerfall nimmt die Anzahl n der Atomkerne nach einem Exponentialgesetz mit der Zeit t ab
(n 0 : Anzahl der Atomkerne zu Beginn, d. h. zur Zeit t ¼ 0, siehe Bild III-18).
n
u
n0
u0
n = n (t)
u = u (t)
t
t
Bild III-18 Zerfallsgesetz beim
radioaktiven Zerfall
Bild III-19
Entladung eines
Kondensators über einen
ohmschen Widerstand
156
III Funktionen und Kurven
c)
Entladung eines Kondensators: Entlädt man einen Kondensator über einen ohmschen Widerstand, so klingt die Kondensatorspannung u exponentiell
mit der Zeit t ab (u 0 : Anfangsspannung zur Zeit t ¼ 0, siehe Bild III-19).
d)
Bei einem idealen Gas sind bei konstanter absoluter Temperatur T Gasdruck p und Volumen V umgekehrt proportionale Größen (Boyle-Mariottesches
Gesetz):
p ¼ p ðVÞ ¼
const:
V
ðV > 0Þ
Die in Bild III-20 skizzierte Kurve wird in der Physikalischen Chemie als Isotherme bezeichnet (Kurve konstanter Temperatur).
p
p=
const.
V
Bild III-20
Boyle-Mariottesches Gesetz für
ein ideales Gas
V
(3)
Die Normalparabel y ¼ x 2 , x 2 R ist in R weder monoton fallend noch monoton wachsend. Beschränkt man sich jedoch auf das Intervall x 0, d. h. auf
den 1. Quadranten, so verläuft die Parabel dort streng monoton wachsend. Im Intervall x 0 dagegen fällt sie streng monoton (siehe Bild III-21).
y
y=x2
x 0: streng monoton fallend
1
x 0: streng monoton wachsend
1
Bild III-21
(4)
x
Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens der Normalparabel y ¼ x 2
Die Erdbeschleunigung g besitzt an der Erdoberfläche, d. h. im Abstand r 0 vom
Erdmittelpunkt den Wert g 0 ¼ 9,81 m=s2 . Mit zunehmender Entfernung r von
der Erdoberfläche nimmt g nach dem Gravitationsgesetz von Newton wie folgt
ab:
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
g ¼ g ðrÞ ¼ f M 1
r2
157
ðr r 0 Þ
(r 0 : Erdradius; M : Masse der Erde; f : Gravitationskonstante)
Die Erdbeschleunigung g ist somit eine streng monoton fallende Funktion der
Abstandskoordinate r.
(5)
Die in Bild III-22 skizzierte „Rampenfunktion“ mit der Gleichung
8
9
x < 0>
>
y
<0
=
x f ür 0 x 1
f ðxÞ ¼
>
>
:
;
1
1
x > 1
verläuft im gesamten Definitionsbereich
monoton wachsend, nicht aber streng monoton wachsend (diese Eigenschaft hat sie nur
im Intervall 0 x 1).
1
x
Bild III-22
&
2.4 Periodizität
Zahlreiche Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik verlaufen periodisch, d. h. sie
wiederholen sich in regelmäßigen (meist zeitlichen) Abständen. Musterbeispiele hierfür
sind die mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen. Zur Beschreibung solcher
Abläufe werden periodische Funktionen benötigt, die wie folgt definiert sind:
Difinition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt periodisch mit der Periode p, wenn mit
jedem x 2 D auch x p zum Definitionsbereich der Funktion gehört
und
f ðx pÞ ¼ f ðxÞ
ðIII-4Þ
ist.
Anmerkungen
(1)
(2)
&
Mit der Periode p ist auch k p eine Periode der Funktion ðk 2 N*Þ.
Die kleinste positive Periode p heißt auch primitive Periode.
Beispiel
Ein wichtiges Beispiel liefert die Sinusfunktion y ¼ sin x. Sie ist periodisch mit der
(primitiven) Periode p ¼ 2 p (Bild III-23):
sin ðx þ 2 pÞ ¼ sin x
ðx 2 RÞ
Aber auch 2 p, 4 p, 6 p, 8 p, . . . sind Perioden der Sinusfunktion.
158
III Funktionen und Kurven
y
y = sin x
1
sin (x + 2 p )
sin x
p
x
2p
x+2p
3p
x
–1
p=2p
Bild III-23
Die Sinusfunktion y ¼ sin x als Beispiel für eine periodische Funktion
&
Periodische Funktionen durchlaufen somit ihren gesamten Wertevorrat in jedem Periodenintervall, d. h. in jedem Intervall der Länge p. So nimmt beispielsweise die Sinusfunktion
in dem Periodenintervall 0 x 2 p sämtliche Funktionswerte an (1 y 1Þ:
&
Beispiele
(1)
(2)
Die vier trigonometrischen Funktionen, deren Eigenschaften wir in Abschnitt 9
noch ausführlich erörtern werden, sind periodische Funktionen:
y ¼ sin x, y ¼ cos x :
Periode p ¼ 2 p
y ¼ tan x, y ¼ cot x :
Periode p ¼ p
Periodische Funktionen spielen u. a. bei der Beschreibung und Darstellung mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen eine bedeutende Rolle. Die Periode
p wird in diesem Zusammenhang meist als Schwingungsdauer T bezeichnet. In
Bild III-24 ist als Beispiel für eine nicht-sinusförmige Schwingung der zeitliche
Verlauf einer sog. Kippspannung mit der Schwingungsdauer T ¼ 4 ms dargestellt.
u/V
50
4
8
12
t / ms
T = 4 ms
Bild III-24
Die Kippspannung als Beispiel für einen nicht-sinusförmigen Schwingungsvorgang
(„Sägezahn-Impuls“)
&
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
159
2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion
Nach der in Abschnitt 1.1 gegebenen Definition ordnet eine Funktion y ¼ f ðxÞ jedem
Argument x 2 D genau einen Funktionswert y 2 W zu. Diese eindeutige Zuordnung
ist in Bild III-25 durch Pfeile kenntlich gemacht. So gehört beispielsweise zum Argument x 1 der Funktionswert y 1 und zum Argument x 2 der Funktionswert y 2 .
Häufig stellt sich das umgekehrte Problem: Zu einem vorgegebenen Funktionswert
(y-Wert) ist der zugehörige x-Wert zu bestimmen. Die in Bild III-26 dargestellte Funktion
ordnet beispielsweise dem Funktionswert y 1 das Argument x 1 und dem Funktionswert
y 2 das Argument x 2 zu.
y
y
y = f (x)
y2
y1
y = f (x)
y2
y1
x1
Bild III-25
x2
x
Zum Begriff einer Funktion
x1
x2
x
Bild III-26 Zur Umkehrung einer Funktion
Folgt aus x 1 6¼ x 2 stets f ðx 1 Þ 6¼ f ðx 2 Þ, d. h. gehören zu verschiedenen Abszissenwerten stets auch verschiedene Ordinatenwerte, so gehört zu jedem y-Wert auch genau
ein x-Wert. Eine Funktion y ¼ f ðxÞ mit dieser Eigenschaft heißt umkehrbar.
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt umkehrbar, wenn aus x 1 6¼ x 2 stets
f ðx 1 Þ 6¼ f ðx 2 Þ folgt.
Ist also eine Funktion y ¼ f ðxÞ umkehrbar, so gehört zu jedem y 2 W genau ein
x 2 D. Diese durch die eindeutige Zuordnung y 7! x gewonnene Funktion wird als
die „nach der Variablen x aufgelöste Form von y ¼ f ðxÞ“ bezeichnet. Wir verwenden
dafür die symbolische Schreibweise x ¼ f 1 ðyÞ oder besser x ¼ g ðyÞ. Jetzt aber ist
y die unabhängige und x die abhängige Variable und wir müssten daher bei einer
graphischen Darstellung der Funktion x ¼ g ðyÞ in einem rechtwinkligen Koordinatensystem konsequenterweise die Bezeichnungen der beiden Achsen miteinander vertauschen, d. h. die waagerechte Achse müsste als y-Achse und die senkrechte Achse als
x-Achse bezeichnet werden. Dies aber ist allgemein nicht üblich. Statt dessen vertauscht
man in der Gleichung x ¼ g ðyÞ die beiden Variablen miteinander und erhält auf diese
Weise eine neue Funktion y ¼ g ðxÞ, die als Umkehrfunktion oder inverse Funktion
von y ¼ f ðxÞ bezeichnet wird.
160
III Funktionen und Kurven
In vielen (aber nicht allen) Fällen gelingt es, die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion
wie folgt zu bestimmen:
Bestimmung der Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion
1. Man löst zunächst die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ nach der Variablen x
auf (diese Auflösung muss natürlich möglich und eindeutig sein!) und erhält
so „die nach der Variablen x aufgelöste Form x ¼ g ðyÞ“:
y ¼ f ðxÞ
Funktionsgleichung
I
nach der Variablen x auflösen
x ¼ g ðyÞ
2. Durch formales Vertauschen der beiden Variablen x und y gewinnt man
hieraus schließlich die Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ:
x ¼ g ðyÞ
Variablen x und y
I
miteinander vertauschen
y ¼ g ðxÞ
Anmerkungen
(1)
Die beiden Schritte können auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgeführt werden.
(2)
Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitionsbereich und Wertebereich
miteinander vertauscht.
Nicht jede Funktion ist jedoch umkehrbar, wie bereits das einfache Beispiel der Normalparabel y ¼ x 2 , x 2 R zeigt. Zu jedem Funktionswert y 0 > 0 gehören genau zwei
verschiedene Werte x 0 und x 0 der Variablen x. Denn jede oberhalb der x-Achse
verlaufende Parallele zur x-Achse schneidet die Parabel in zwei spiegelsymmetrisch zur
y-Achse angeordneten Punkten P und P 0 (Bild III-27). Die Funktion y ¼ x 2 ist daher im Intervall 1 < x < 1 nicht umkehrbar. Offensichtlich liegt dies an der fehlenden Monotonie der Normalparabel.
y
P′
y=x2
y0
P
Bild III-27
Die Normalparabel y ¼ x 2 , x 2 R
als Beispiel für eine nicht umkehrbare
Funktion
– x0
x0
x
Am Kurvenverlauf lässt sich bereits leicht erkennen, ob eine Funktion umkehrbar ist
oder nicht. Wenn jede Parallele zur x-Achse die Kurve höchstens einmal schneidet, ist
die Funktion umkehrbar (siehe hierzu Bild III-28). Diese Bedingung erfüllen alle streng
monoton verlaufenden Funktionen.
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
161
y
y
Parallele zur
x-Achse
Parallele zur
x-Achse
x
x
a)
b)
Bild III-28
Zur Umkehrung einer Funktion
a) Umkehrbare Funktion b) Nicht umkehrbare Funktion (zwei Schnittstellen)
&
Beispiele
(1)
y ¼ 2x þ 1
ðx 2 RÞ
Diese Gerade verläuft streng monoton wachsend und ist daher umkehrbar.
Durch Auflösen der Geradengleichung nach x erhält man zunächst
x ¼ g ðyÞ ¼ 0,5 y 0,5
ðmit y 2 RÞ
Formales Vertauschen der beiden Variablen führt schließlich zur gesuchten Umkehrfunktion:
y ¼ g ðxÞ ¼ 0,5 x 0,5
ðx 2 RÞ
Die Umkehrfunktion der Geraden y ¼ 2 x þ 1 ist also wiederum eine Gerade
mit der Gleichung y ¼ 0,5 x 0,5 (Bild III-29).
y
y = 2x + 1
5
y=x
y = 0,5 x – 0,5
1
1
Bild III-29
5
x
Gerade y ¼ 2 x þ 1 und ihre Umkehrfunktion y ¼ 0,5 x 0,5
162
(2)
III Funktionen und Kurven
y ¼ x2
ðx 0Þ
Es handelt sich bei dieser Funktion um den im 1. Quadranten verlaufenden Teil
der Normalparabel. Diese Funktion ist streng monoton wachsend und daher umkehrbar. Die Auflösung der Funktionsgleichung nach der Variablen x liefert die
pﬃﬃﬃ
Wurzelfunktion x ¼ y , y 0 (es kommt nur der positive Wert infrage, da alle
Kurvenpunkte im 1. Quadranten liegen). Durch Vertauschen
pﬃﬃﬃ der beiden Variablen
erhält man hieraus schließlich die Umkehrfunktion y ¼ x, x 0 (Bild III-30).
y
3
y=x2
y=x
2
y= x
1
1
Bild III-30
2
3
x
pﬃﬃﬃ
Die Wurzelfunktion y ¼ x, x 0 als Umkehrfunktion der „Halbparabel“
y ¼ x 2, x 0
&
Wie die Beispiele zeigen, verlaufen die Graphen einer Funktion y ¼ f ðxÞ und ihrer
Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ spiegelsymmetrisch zur Geraden y ¼ x (Winkelhalbierende
des 1. und 3. Quadranten). Diese Aussage lässt sich verallgemeinern, sofern auf beiden
Koordinatenachsen der gleiche Maßstab verwendet wird (Bild III-31).
y
y = f (x)
y=x
y = g (x)
x
Bild III-31
Zur Umkehrung einer Funktion y ¼ f ðxÞ
auf graphischem Wege
3 Koordinatentransformation
163
Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen:
ber die Umkehrung einer Funktion
1. Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar.
2. Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitions- und Wertebereich miteinander vertauscht.
3. Zeichnerisch erhält man das Schaubild der Umkehrfunktion durch Spiegelung
der Funktionskurve an der Geraden y ¼ x (Bild III-31; Voraussetzung: gleicher Maßstab auf beiden Koordinatenachsen).
3 Koordinatentransformationen
3.1 Ein einführendes Beispiel
Die Gleichung einer Funktion oder einer Kurve hängt entscheidend von der Wahl des
zugrunde gelegten Koordinatensystems ab. Besonders einfache Gleichungen erhält man
immer dann, wenn ein symmetriegerechtes Koordinatensystem gewählt wird, das den
speziellen Symmetrieeigenschaften der Funktion oder der Kurve Rechnung trägt. Wir
erläutern dieses Problem an einem einfachen Beispiel.
y
y
v
P
P
3
2
3
M
y
M
1
1
a)
Bild III-32
x
v
u
u
2
x
x
b)
Zur Koordinatentransformation eines Kreises
a) Kreis im x, y-System b) Kreis im u, v-System
Der in Bild III-32a) skizzierte Kreis mit dem Mittelpunkt M ¼ ð1; 2Þ und dem Radius
r ¼ 3 wird in dem zugrunde gelegten x, y-Koordinatensystem durch die Gleichung
2
2
x 1 þ y2 ¼ 9
ðIII-5Þ
164
III Funktionen und Kurven
beschrieben. Diese Gleichung lässt sich wesentlich vereinfachen, wenn wir zu einem
neuen u, v-Koordinatensystem übergehen, das die spezielle Symmetrie des Kreises berücksichtigt. Dazu wählen wir den Mittelpunkt des Kreises als neuen Koordinatenursprung
und legen durch ihn zur x-Achse bzw. y-Achse parallele Koordinatenachsen. In dem neuen
u, v-System nimmt dann die Kreisgleichung die einfache Gestalt
u2 þ v2 ¼ 9
ðIII-6Þ
an, wie man mit Hilfe des bekannten Lehrsatzes des Pythagoras dem Bild III-32b) unmittelbar entnehmen kann. Zwischen den neuen und den alten Koordinaten besteht dabei
der folgende Zusammenhang:
u ¼ x 1
bzw:
v ¼ y2
x ¼ uþ1
ðIII-7Þ
y ¼ vþ2
Der bergang vom x, y-System zum u, v-System wird als Koordinatentransformation
bezeichnet. In diesem einführenden Beispiel handelt es sich dabei um eine Parallelverschiebung des kartesischen x, y-Koordinatensystems.
3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems
Wir gehen bei unseren Betrachtungen von einem rechtwinkligen oder kartesischen
x, y-Koordinatensystem aus. Durch Parallelverschiebung der Koordinatenachsen entsteht hieraus ein neues, wiederum kartesisches Koordinatensystem (Bild III-33). Es soll
im Folgenden als u, v-Koordinatensystem bezeichnet werden. Der Koordinatenursprung
des neuen u, v-Systems falle dabei in den Punkt O 0 ¼ ða; bÞ, bezogen auf das alte x,
y-System.
y
v
P
v
0′
a
u
y
u
b
0
x
x
Bild III-33
Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems
Ein beliebig herausgegriffener Punkt P besitze im x, y-System die Koordinaten ðx; yÞ
und im u, v-System die Koordinaten ðu; vÞ. Zwischen ihnen bestehen die folgenden
Transformationsgleichungen, die sich unmittelbar aus Bild III-33 ablesen lassen:
x ¼ uþa
y ¼ vþb
bzw:
u ¼ x a
v ¼ yb
ðIII-8Þ
3 Koordinatentransformation
165
Wie verändert sich bei einer solchen Koordinatentransformation die Gleichung einer Funktion y ¼ f ðxÞ? Mit Hilfe der Transformationsgleichungen (III-8) finden wir:
x¼uþa
y ¼ f ðxÞ ! v þ b ¼ f ðu þ aÞ
y¼vþb
oder
v ¼ f ðu þ aÞ b
ðIII-9Þ
Bei einer sinnvoll gewählten Koordinatentransformation erreicht man dabei stets eine erhebliche Vereinfachung der Funktions- oder Kurvengleichung, wie bereits im einführenden Beispiel gezeigt wurde. Weitere Beispiele im Anschluss an die nachfolgende Zusammenfassung werden diese Aussage bestätigen.
Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems (Bild III-33)
Das kartesische x, y-Koordinatensystem gehe durch eine Parallelverschiebung der
Koordinatenachsen in das ebenfalls rechtwinklige u, v-Koordinatensystem über
(Bild III-33). Ein beliebiger Punkt P besitze im „alten“ x, y-System die Koordinaten ðx; y) und im „neuen“ u, v-System die Koordinaten ðu; vÞ. Zwischen diesen
Koordinaten bestehen dann die folgenden linearen Transformationsgleichungen:
x ¼ uþa
y ¼ vþb
bzw:
u ¼ x a
v ¼ yb
ðIII-10)
Dabei bedeuten:
ða; bÞ:
Koordinatenursprung des neuen u, v-Koordinatensystems, bezogen auf das
alte x, y-System
Die Konstanten a und b besitzen die folgende geometrische Bedeutung:
j a j:
Abstand der beiden vertikalen Koordinatenachsen
j b j:
Abstand der beiden horizontalen Koordinatenachsen
a > 0: Verschiebung der y-Achse nach rechts (sonst nach links)
b > 0: Verschiebung der x-Achse nach oben (sonst nach unten)
&
Beispiele
(1)
Die Parabel y ¼ x 2 þ 2 x þ 3 lässt sich durch quadratische Ergänzung in die
folgende Gestalt bringen:
y ¼ x 2 þ 2 x þ 3 ¼ ðx 2 þ 2 x þ 1 Þ þ 2 ¼ ðx þ 1Þ 2 þ 2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ðx þ 1Þ 2
y 2 ¼ ðx þ 1Þ 2
Mit Hilfe der linearen Transformationsgleichungen
u ¼ x þ1
und
v ¼ y2
)
166
III Funktionen und Kurven
führen wir ein neues, parallelverschobenes u, v-Koordinatensystem ein, dessen
Ursprung im Scheitelpunkt der Parabel liegt und im x, y-System die Koordinaten
x 0 ¼ 1 und y 0 ¼ 2 besitzt 1Þ . Die Funktionsgleichung der Parabel lautet daher
im neuen u, v-System wie folgt:
y 2 ¼ ðx þ 1Þ 2
u¼xþ1
!"
v¼y2
v ¼ u2
Durch diese Parallelverschiebung haben wir eine wesentliche Vereinfachung der Parabelgleichung erreicht und dabei erkannt, dass es sich letztendlich um die bekannte Normalparabel handelt (Bild III-34).
2
v
y
0′
1
2
u
Bild III-34
–1
0
x
1
(2)
Die Parabel y ¼ 0,5 x 2 soll um zwei Einheiten in Richtung der positiven x-Achse
und gleichzeitig um drei Einheiten in Richtung der negativen y-Achse verschoben
werden. Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel im x, y-Koordinatensystem?
Lösung: Der Scheitelpunkt S der verschobenen Parabel besitzt die Koordinaten x 0 ¼ 2 und y 0 ¼ 3. Wir wählen ihn als Ursprung eines neuen u, v-Koordinatensystems. In diesem System besitzt die verschobene Parabel die gleiche Lage
wie die unverschobene Parabel im alten x, y-System. Aus der Funktionsgleichung
y ¼ 0,5 x 2 wird daher im u, v-System die Gleichung v ¼ 0,5 u 2 (x wird durch u
und y durch v ersetzt). Zwischen den beiden Koordinatensystemen bestehen
dabei die Transformationsgleichungen
x ¼ uþ2
y ¼ v3
bzw:
u ¼ x 2
v ¼ yþ3
Man erhält sie am bequemsten aus einer Skizze, die neben dem alten x, y-System
auch das neue u, v-System sowie einen beliebigen Punkt P enthält, den man (um
1Þ
Die Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs im alten x, y-System erhält man aus den Transformationsgleichungen für u ¼ 0 und v ¼ 0.
3 Koordinatentransformation
167
Vorzeichenfehler zu vermeiden) zweckmäßigerweise so auswählt, dass er im
1. Quadranten beider Koordinatensysteme liegt (Bild III-35):
y
v
P
y
v
x
x
3
Bild III-35
u
u
2
P besitzt im x, y-System die Koordinaten x und y und im u, v-System die
Koordinaten u und v. Aus der Skizze lassen sich dann die gesuchten Transformationsgleichungen sofort ablesen. Die Parabel v ¼ 0,5 u 2 besitzt demnach im
x, y-System die folgende Funktionsgleichung (wobei u ¼ x 2 und v ¼ y þ 3
gesetzt wird):
y þ 3 ¼ 0,5 ðx 2Þ 2
y ¼ 0,5 x 2 2 x 1
oder
Beide Parabeln sind in Bild III-36 dargestellt.
y
v
y = 0,5 x 2
v = 0,5 u 2
3
–1
1 2
x
–3
S
Bild III-36
Parallelverschiebung
der Parabel y ¼ 0,5 x 2
u
2
&
168
III Funktionen und Kurven
3.3 bergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten
3.3.1 Definition der Polarkoordinaten
Bisher wurde die Lage eine Punktes P der Ebene ausschließlich durch rechtwinklige
oder kartesische Koordinaten beschrieben. In vielen Fällen ist es jedoch günstiger, auf
die wie folgt definierten Polarkoordinaten r und j zurückzugreifen (Bild III-37):
y
P
r
y
Bild III-37
Polarkoordinaten ðr; jÞ eines Punktes P ¼ ðx; yÞ
f
0
x
x
Definition: Die Polarkoordinaten ðr; jÞ eines Punktes P der Ebene bestehen aus
einer Abstandskoordinate r und einer Winkelkoordinate j (Bild III-37):
r : Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O
j: Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem vom Koordinatenursprung O zum Punkt P gerichteten Radiusvektor
Anmerkungen
(1)
Für die Abstandskoordinate r gilt definitionsgemäß stets r 0, d. h. negative
r-Werte sind nicht zugelassen!
(2)
Der Winkel j wird positiv gezählt bei Drehung im Gegenuhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn), negativ dagegen bei Drehung im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Drehsinn). Er ist jedoch nur bis auf ganzzahlige Vielfache
von 360 (bzw. 2 p im Bogenmaß) bestimmt. Man kann sich daher bei der Winkelangabe auf den im Intervall 0 j < 360 (bzw. 0 j < 2 p) gelegenen
Hauptwert beschränken (wir werden so verfahren).
In der Technik, insbesondere in der Elektrotechnik, werden die Hauptwerte häufig
dem Intervall 180 < j 180 (bzw. p < j p) zugeordnet. Den 1.
und 2. Quadranten erreicht man dabei durch Drehung im Gegenuhrzeigersinn
(Drehwinkel von 0 bis 180 ), den 3. und 4. Quadranten durch Drehung im Uhrzeigersinn (Drehwinkel von 0 bis 180 ).
(3)
Das Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien bestehen aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung O
(sog. j-Linien) und Strahlen, die radial von O nach außen verlaufen (sog. r-Linien;
Bild III-38). Koordinatenursprung O und x-Achse werden in diesem Zusammenhang auch wie folgt bezeichnet:
Koordinatenursprung O: Pol
x-Achse: Polarachse
3 Koordinatentransformation
169
y
f = const.
(r - Linie)
Bild III-38
Ebenes Polarkoordinatensystem
x
r = const.
( f - Linie)
Ein entsprechendes Koordinatenpapier ist im Handel erhältlich („Polarkoordinatenpapier“).
(4)
Der Koordinatenursprung (Pol) O hat die Abstandskoordinate r ¼ 0, die Winkelkoordinate j dagegen ist unbestimmt.
Zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten bestehen dabei die folgenden
Transformationsgleichungen, die sich unmittelbar aus Bild III-37 ergeben:
Koordinatentransformation: Kartesische Koordinaten ! Polarkoordinaten
Polarkoordinaten " Kartesische Koordinaten (Bild III-31)
x ¼ r cos j,
y ¼ r sin j
Kartesische Koordinaten " Polarkoordinaten (Bild III-31)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y
tan j ¼
r ¼ x 2 þ y 2,
x
ðIII-11)
ðIII-12Þ
Anmerkungen
(1)
Die Berechnung der Winkelkoordinate j aus den vorgegebenen kartesischen Koordinaten nach der Gleichung tan j ¼ y=x ist häufig mit Schwierigkeiten verbunden, da die Auflösung dieser Gleichung nach j noch vom Quadranten des Winkels abhängt. Wir empfehlen daher, die Winkelberechnung auf indirektem Wege
wie folgt vorzunehmen: Zunächst wird anhand einer Skizze die Lage des Punktes
und damit der Quadrant des gesuchten Winkels j bestimmt, dann erfolgt die Berechnung des Winkels j über einen geeigneten Hilfswinkel a in einem rechtwinkligen Dreieck. Im nachfolgenden Beispiel (1) wird dieses Verfahren näher erläutert.
170
(2)
III Funktionen und Kurven
Die Berechnung des Winkels j kann auch wie folgt vorgenommen werden (in
Abhängigkeit vom Quadranten):
Quadrant
I
II, III
IV
j¼
arctan (y=x)
arctan (y=x) þ 180
arctan (y=x) þ 360
(arctan x ist dabei die Umkehrfunktion von tan x und wird in Abschnitt 10.4
noch ausführlich besprochen).
&
Beispiele
(1)
Der Punkt P1 ¼ ð3; 4Þ liegt im 2. Quadrant (Bild III-39). Für die Abstandskoordinate r erhalten wir nach der ersten der Gleichungen (III-12):
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
r ¼ ð3Þ 2 þ 4 2 ¼ 25 ¼ 5
Für den Hauptwert der gesuchten Winkelkoordinate j entnehmen wir der Lageskizze: 90 < j < 180 . Wir berechnen zunächst den Hilfswinkel a des eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten der Längen 3 und 4 und daraus schließlich den Winkel j:
4
4
tan a ¼
) a ¼ arctan
¼ 53,1
3
3
j ¼ 180 a ¼ 180 53,1 ¼ 126,9
Ergebnis: r ¼ 5, j ¼ 126,9
y
P1
y
4
210°
x
4
r
x
y
a
–3
3
3,8
f
Bild III-39
(2)
P2
x
Bild III-40
Die Lage des Punktes P2 in Bild III-40 wird eindeutig durch die Polarkoordinaten
r ¼ 3,8 und j ¼ 210 beschrieben. Seine kartesischen Koordinaten berechnen
wir aus Gleichung (III-11) wie folgt:
x ¼ 3,8 cos 210 ¼ 3,29
und
y ¼ 3,8 sin 210 ¼ 1,9
&
3 Koordinatentransformation
171
3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten
Ein in Polarkoordinaten ðr; jÞ dargestellte Kurve wird durch eine Gleichung
r ¼ f ðjÞ
r ¼ r ðjÞ
oder
ðIII-13Þ
beschrieben. Um die Kurve zeichnen zu können, erstellen wir eine Wertetabelle. Für den
Polarwinkel j werden dabei verschiedene Werte j 1 , j 2 , j 3 , . . . vorgegeben und
aus der Funktionsgleichung r ¼ r ðjÞ die zugehörigen Abstandswerte r 1 ¼ r ðj 1 Þ,
r 2 ¼ r ðj 2 Þ, r 3 ¼ r ðj 3 Þ, . . . berechnet:
j
j1
j2
j3
...
r ¼ r ðjÞ
r 1 ¼ r ðj 1 Þ
r 2 ¼ r ðj 2 Þ
r 3 ¼ r ðj 3 Þ
...
Dabei ist zu beachten, dass definitionsgemäß nur positive Werte für r infrage kommen, da
r der Abstand eines Kurvenpunktes vom Koordinatenursprung ist und somit als physikalische Größe nie negativ sein kann. Erhält man für einen Winkel j* durch formales Einsetzen in die Kurvengleichung r ¼ r ðjÞ einen negativen Abstandswert r* ¼ r ðj*Þ, so
befindet sich in dieser Winkelrichtung kein Kurvenpunkt. Der Winkel j* liegt in diesem
Fall außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion r ¼ r ðjÞ.
Den Kurvenverlauf erhält man schließlich, indem man auf den Strahlen j ¼ j 1 ,
j ¼ j 2 , j ¼ j 3 , . . . die zugehörigen (positiven) Abstandswerte r 1 , r 2 , r 3 , . . . vom
Nullpunkt (Pol) aus nach außen hin abträgt und die auf diese Weise erhaltenen Kurvenpunkte miteinander verbindet (Bild III-41).
y
f3
f2
r = r ( f)
r3
f1
r2
Bild III-41
Zur graphischen Darstellung einer in
Polarkoordinaten definierten Kurve
r ¼ r ðjÞ
r1
Pol
&
Polarachse
x
Beispiele
(1)
Durch die Gleichung
r ¼ r ðjÞ ¼ 2 j
ð0 j 2 pÞ
wird die in Bild III-42 skizzierte spiralförmige Kurve beschrieben (sog.
Archimedische Spirale). Dieses Kurvenbild erhalten wir mit Hilfe der folgenden
172
III Funktionen und Kurven
Wertetabelle (gewählte Schrittweite: Dj ¼ 30 ¼
b p=6; die Winkelwerte müssen dabei im Bogenmaß eingesetzt werden, damit die Abstandkoordinate r ¼ 2 j
dimensionslos bleibt!):
p
6
j
0
r
0
1,05
j
9
p
6
r
1
2
p
6
10,47
p
6
3
2,09
10 9,42
p
6
3,14
p
6
11 11,52
4
p
6
4,19
12 5
p
6
5,24
6
p
6
6,28
7
p
6
7,33
8
p
6
8,38
p
6
12,57
y
5
r = 2f
1
–5
–1
1
5
10
x
–5
–10
Bild III-42
(2)
Archimedische Spirale r ¼ 2 j (mit 0 j 2 p)
Die Kurve mit der Gleichung
ð0 j 360 Þ
r ¼ r ðjÞ ¼ 1 þ cos j
heißt Kardioide (Herzkurve) und besitzt den in Bild III-43 skizzierten Verlauf
(Spiegelsymmetrie zur x-Achse), den wir mit Hilfe der folgenden Wertetabelle erhalten haben (gewählte Schrittweite: Dj ¼ 30 ):
j
0
30
60
90
120
150
180
r
2
1,87
1,5
1
0,5
0,13
0
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
173
Die Punkte des 3. und 4. Quadranten erhält man durch Spiegelung der berechneten
Kurvenpunkte an der x-Achse (die Winkel werden nach unten abgetragen).
y
r = 1 + cos f
1
1
2
Bild III-43
Kardioide r ¼ 1 þ cos j
x
ð0 j 360 Þ
–1
&
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
4.1 Reelle Zahlenfolgen
4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge
Definition: Jeder positiven ganzen Zahl n wird in eindeutiger Weise eine reelle
Zahl a n zugeordnet. Die unendliche Menge reeller Zahlen a 1 , a 2 ,
a 3 , . . . heißt reelle Zahlenfolge. Symbolische Schreibweise:
ha n i ¼ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .
ðn 2 N*Þ
ðIII-14)
Die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , . . . heißen die Glieder der Folge, a n ist das
n-te Glied der Folge.
Anmerkungen
(1)
Eine reelle Zahlenfolge wird auch kurz als Folge bezeichnet.
(2)
Anschauliche Deutung einer Folge: Wie im Kino werden die Plätze fortlaufend
durchnummeriert und jeder Platz mit einer reellen Zahl „belegt“.
Platzziffer:
1
2
3
Element:
#
a1
#
a2
#
a3
...
n
...
...
#
an
...
Die Nummerierung kann auch bei 0 oder einer beliebigen anderen natürlichen Zahl
k beginnen.
174
III Funktionen und Kurven
Eine Zahlenfolge ha n i kann auch als diskrete Funktion aufgefasst werden, die jedem n 2 N* genau eine Zahl a n 2 R zugeordnet. Eine Zuordnungsvorschrift in
Form einer Gleichung
(3)
a n ¼ f ðnÞ
ðn 2 N*Þ
ðIII-15Þ
heißt Bildungsgesetz der Folge.
&
Beispiele
1
1
1
, , , ...
2
4
6
(1)
ha n i ¼ (2)
ha n i ¼ 1 3 , 2 3 , 3 3 , . . .
(3)
ha n i ¼ 0,
Bildungsgesetz: a n ¼ 1
2n
Bildungsgesetz: a n ¼ n 3
1 2 3
,
,
, ...
2 3 4
Bildungsgesetz: a n ¼ 1 ðn 2 N*Þ
ðn 2 N*Þ
1
n
ðn 2 N*Þ
&
Die Glieder einer Folge ha n i lassen sich durch Punkte auf einem Zahlenstrahl darstellen. Für die Zahlenmenge
1
1 2 3 4
ha n i ¼ 1 ¼ 0, , , , , . . .
ðn 2 N*Þ
ðIII-16Þ
n
2 3 4 5
beispielsweise erhalten wir die in Bild III-44 skizzierte Abbildung (Anordnung):
a1
a2
a3
a4 a5
0
1
2
2
3
3
4
Bild III-44
4
5
Darstellung der Zahlenfolge ha n i ¼ h1 1=ni auf einer Zahlengerade ðn 2 N*Þ
Eine Folge ha n i lässt sich auch durch einen Graph anschaulich darstellen. Wir interpretieren dabei die Folge ha n i als eine diskrete Funktion und ordnen jedem Wertepaar
ðn; a n Þ einen Punkt Pn in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu. Die Menge
aller Punkte P n ¼ ðn; a n Þ mit n 2 N* heißt Graph der Folge ha n i.
&
Beispiel
Die Folge (III-16) lässt sich durch die Funktionsgleichung (Bildungsgesetz)
a n ¼ f ðnÞ ¼
n1
1
¼ 1
n
n
ðn 2 N*Þ
beschreiben. Der zugehörige Graph besitzt das in Bild III-45 skizzierte Aussehen.
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
175
an
1
0,5
Bild III-45
Darstellung der Zahlenfolge
ha n i ¼ h1 1=ni mit n 2 N*
durch einen Graph
1
2
3
4
n
5
&
4.1.2 Grenzwert einer Folge
Wir wollen uns zunächst eingehend mit den Eigenschaften der Zahlenfolge
n1
1
¼ 1
ðn 2 N*Þ
ha n i ¼
n
n
ðIII-17Þ
beschäftigen und erstellen zu diesem Zweck eine Wertetabelle:
n
1
2
3
...
10
...
100
...
1000
...
an
0
1
2
2
3
...
0,9
...
0,99
...
0,999
...
Aus ihr entnehmen wir die folgenden Eigenschaften 2Þ :
1. Alle Glieder (Funktionswerte) sind kleiner als 1, d. h. es gilt a n < 1.
2. Mit zunehmendem Index n werden die Glieder der Folge größer und unterscheiden sich dabei immer weniger von der Zahl 1.
Wir ziehen daraus die Folgerung, dass in jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl 1
fast alle Glieder der Folge liegen. So ist beispielsweise ab dem 11. Glied der Abstand
aller folgenden Glieder von der Zahl 1 kleiner als 0,1. Mit anderen Worten: Alle Glieder
a n mit n 11 erfüllen die Ungleichung j a n 1j < 0,1 (Bild III-46).
a1
a2
a3
0
1
2
2
3
a 10
0,9
1
in diesem Intervall liegen
alle Glieder a n mit n ≥ 11
Bild III-46
2Þ
Die Zahlenfolge ha n i ¼ h1 1=ni konvergiert gegen den Grenzwert 1
Es handelt sich hier um eine streng monoton wachsende und beschränkte Zahlenfolge.
176
III Funktionen und Kurven
Vom 101. Glied an ist der Abstand aller folgenden Glieder von der Zahl 1 sogar kleiner
als 0,01, d. h. jedes Glied a n mit n 101 erfüllt die Ungleichung j a n 1j < 0,01.
Die Glieder der Zahlenfolge (III-17) unterscheiden sich demnach mit zunehmender
„Platzziffer“ n immer weniger von der Zahl 1, die daher als Grenzwert der Folge
1
für n ! 1 bezeichnet wird.
ha n i ¼ 1 n
Allgemein definieren wird den Grenzwert einer Zahlenfolge wie folgt:
Definition: Die reelle Zahl g heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge ha n i,
wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl n 0 > 0 gibt, so dass
für alle n n 0 stets
j an g j < e
ðIII-18Þ
ist.
Anmerkungen
(1)
Die natürliche Zahl n 0 hängt i. A. noch von der Wahl der Zahl e > 0 ab. Daher
schreibt man häufig auch n 0 ðeÞ statt n 0 .
(2)
Es lässt sich zeigen, dass eine Folge ha n i höchstens einen Grenzwert besitzen kann.
Besitzt eine Folge ha n i den Grenzwert g, so liegen innerhalb einer jeden e-Umgebung
von g fast alle Glieder der Folge. Mit anderen Worten: die Glieder a 1, a 2 , a 3 , . . . , a n 0 1
liegen außerhalb, alle darauf folgenden Glieder a n 0 , a n 0 þ 1 , a n 0 þ 2 , . . . innerhalb der
Umgebung (vgl. hierzu Bild III-47). Eine Folge mit dieser Eigenschaft heißt konvergent
mit dem Grenzwert g.
g–e
a1
a2
a n 0 –1
g+e
g
in diesem Intervall liegen
alle Glieder a n mit n ≥ n 0
Bild III-47
Zum Begriff des Grenzwertes g einer Zahlenfolge ha n i
Definitionen: (1) Eine Folge ha n i heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert g
besitzt. Symbolische Schreibweise:
lim a n ¼ g
ðIII-19Þ
n!1
(gelesen: Limes von a n für n gegen Unendlich gleich g)
(2) Eine Folge ha n i, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
&
177
Beispiele
(1)
1
1 1 1
¼ 1, , ,
, . . . ist konvergent mit dem Grenzwert
Die Folge ha n i ¼
n
2 3 4
1
g ¼ lim
¼ 0
ðsog: NullfolgeÞ:
n
n!1
(2)
ha n i ¼
1
1
n
1 2 3
¼ 0, , ,
, ...
2 3 4
)
1
g ¼ lim 1 ¼ 1
n
n!1
Es handelt sich demnach um eine konvergente Folge mit dem Grenzwert g ¼ 1.
(3)
Die Folge ha n i ¼
1þ
1
n
n ¼ 2,
9 64 625
,
,
, . . . ist konvergent mit dem
4 27 256
Grenzwert
g ¼ lim
n!1
1þ
1
n
n
¼ 2,718 281 82 . . . ¼ e
(ohne Beweis). Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Sie ist die Basis der wichtigsten Exponentialfunktion, der sog. e-Funktion (siehe hierzu Abschnitt 11.2).
(4)
ha n i ¼ hn 3 i ¼ 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , . . .
g ¼ lim n 3 ¼ 1
n!1
ðsog: uneigentlicher GrenzwertÞ
Die Zahlenfolge ist divergent (sie wird auch als bestimmt divergente Folge bezeich&
net).
4.2 Grenzwert einer Funktion
Mit Hilfe des Begriffes „Grenzwert“ lässt sich das Verhalten einer Funktion f ðxÞ in der
Umgebung einer festen Stelle x 0 näher untersuchen und zwar auch dann, wenn die Funktion
an dieser Stelle nicht definiert ist, der Funktionswert f ðx 0 Þ also nicht existiert.
4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ! x 0
Den Begriff des Grenzwertes einer Funktion wollen wir zunächst anhand eines einfachen
Beispiels erläutern. Wir wählen dazu die Funktion f ðxÞ ¼ x 2 aus und untersuchen ihr
Verhalten bei einer beliebig feinen Annäherung an die Stelle x 0 ¼ 2.
Annäherung von links
Ausgangspunkt unserer Betrachtung sei die im Definitionsbereich der Funktion liegende
und von links gegen die Zahl 2 konvergierende Folge von x-Werten
hx n i ¼ 1,9; 1,99;
1,999;
1,9999;
...
178
III Funktionen und Kurven
Jedem Glied dieser Folge wird durch die Funktionsgleichung f ðxÞ ¼ x 2 genau ein
Funktionswert zugeordnet: f ðx n Þ ¼ x n2 . Die Funktionstafel (Wertetabelle) hat dabei
das folgende Aussehen:
xn
1,9
1,99
1,999
1,9999
...
f ðx n Þ ¼ x n2
3,61
3,9601
3,996 001
3,999 600 01
...
Ihr entnehmen wir, dass die Folge der Funktionswerte h f ðx n Þi ¼ hx n2 i offensichtlich
gegen den Wert 4 konvergiert. Wir hätten aber auch eine andere Auswahl der Zahlenfolge hx n i treffen können (sofern diese Folge gegen die Zahl 2 konvergiert). Das Ergebnis
wäre jedoch dasselbe. Dies aber bedeutet, dass aus hx n i ! 2 mit x n < 2 stets
h f ðx n Þi ! 4 folgt. Symbolisch schreibt man dafür
lim f ðx n Þ ¼ lim x n2 ¼ lim x 2 ¼ 4
n!1
n!1
ðIII-20Þ
x!2
ðx < 2Þ
und bezeichnet diesen Wert als den linksseitigen Grenzwert der Funktion f ðxÞ ¼ x 2 an
der Stelle x 0 ¼ 2.
Annäherung von rechts
Nun betrachten wir die von der rechten Seite her gegen die Zahl 2 konvergierende Folge
von x-Werten
hx n i ¼ 2,1;
2,01; 2,001;
2,0001;
...
Die zugehörigen Funktionswerte entnehmen wir der folgenden Funktionstafel (Wertetabelle):
xn
2,1
2,01
2,001
2,0001
...
f ðx n Þ ¼ x n2
4,41
4,0401
4,004 001
4,000 4001
...
Die Folge h f ðx n Þi strebt wiederum gegen den Wert 4. Dies gilt auch für jede andere
gegen die Zahl 2 konvergierende Folge hx n i mit x n > 2. Das Ergebnis dieser Grenzwertbildung ist der rechtsseitige Grenzwert von f ðxÞ ¼ x 2 an der Stelle x 0 ¼ 2:
lim f ðx n Þ ¼ lim x n2 ¼ lim x 2 ¼ 4
n!1
n!1
x!2
ðx > 2Þ
ðIII-21Þ
In unserem Beispiel stimmen die beiden Grenzwerte von links und rechts überein. Daher
schreibt man kurz
lim x 2 ¼ 4
x!2
und spricht von dem Grenzwert der Funktion f ðxÞ ¼ x 2 an der Stelle x 0 ¼ 2.
ðIII-22Þ
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
179
Allgemein lässt sich der Grenzwertbegriff wie folgt definieren:
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ sei in einer Umgebung von x 0 definiert. Gilt
dann für jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen
die Stelle x 0 konvergierende Zahlenfolge hx n i mit x n 6¼ x 0 stets
lim f ðx n Þ ¼ g
ðIII-23Þ
n!1
so heißt g der Grenzwert von y ¼ f ðxÞ an der Stelle x 0 . Die symbolische Schreibweise lautet:
lim f ðxÞ ¼ g
ðIII-24Þ
x ! x0
(gelesen: Limes von f ðxÞ für x gegen x 0 gleich g).
Anmerkungen
(1)
Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle
x 0 nicht definiert sein muss. Es kann daher der Fall eintreten, dass eine Funktion an
einer Stelle x 0 einen Grenzwert besitzt, obwohl sie dort überhaupt nicht definiert
ist (vgl. hierzu das folgende Beispiel (2)).
(2)
Der Grenzübergang x ! x 0 bedeutet: x kommt der Stelle x 0 beliebig nahe,
ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Es ist also stets x 6¼ x 0 , was bei der Berechnung von Grenzwerten zu beachten ist.
(3)
Anschaulich (aber etwas unpräzise) lässt sich der Grenzwert g einer Funktion f ðxÞ an
der Stelle x 0 wie folgt deuten: Der Funktionswert f ðxÞ unterscheidet sich beliebig
wenig vom Grenzwert g, wenn man sich an der Stelle x 0 nur genügend nähert.
Gilt für jede von links her gegen x 0 strebende Folge hx n i
lim f ðxÞ ¼ g l
ðIII-25Þ
x ! x0
ðx < x 0 Þ
so heißt g l der linksseitige Grenzwert von f ðxÞ für x ! x 0. Entsprechend ist der
rechtsseitige Grenzwert von f ðxÞ für x ! x 0 erklärt: Für jede von rechts her gegen x 0
konvergierende Folge gilt dann (sofern der Grenzwert existiert):
lim f ðxÞ ¼ g r
ðIII-26Þ
x ! x0
ðx > x 0 Þ
Besitzt die Funktion f ðxÞ an der Stelle x 0 den Grenzwert g, so gilt:
lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ g
x ! x0
ðx < x 0 Þ
x ! x0
ðx > x 0 Þ
x ! x0
ðg l ¼ g r ¼ gÞ
ðIII-27Þ
180
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
Die in Bild III-48 skizzierte sog. Sprungfunktion mit der Funktionsgleichung
0
x < 0
y ¼ s ðxÞ ¼
f ür
1
x 0
ist zwar an der Stelle x 0 ¼ 0 definiert, s ð0Þ ¼ 1, besitzt dort aber keinen
Grenzwert, da der linksseitige Grenzwert nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert
übereinstimmt:
g l ¼ lim s ðxÞ ¼ lim 0 ¼ 0
x!0
ðx < 0Þ
y
x!0
ðx < 0Þ
1
g r ¼ lim s ðxÞ ¼ lim 1 ¼ 1
x!0
ðx > 0Þ
x!0
ðx > 0Þ
x
Bild III-48
(2)
3x2 6x
ist an der Stelle x 0 ¼ 2 nicht definiert.
x 2
Sie besitzt an dieser Stelle jedoch einen Grenzwert:
Die Funktion y ¼ f ðxÞ ¼
lim
x!2
(3)
Sprungfunktion y ¼ s ðxÞ
3x2 6x
3 x ðx 2Þ
¼ lim
¼ lim 3 x ¼ 6
x 2
x 2
x!2
x!2
(der Faktor x 2 ist wegen x 6¼ 2 stets von Null verschieden und kann daher gekürzt werden).
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1x 1
¼ ?
lim
x
x!0
Der Grenzwert führt zunächst auf den „unbestimmten Ausdruck“ 0=0, da Zähler
und Nenner für x ! 0 jeweils verschwinden. Die Grenzwertberechnung gelingt
jedoch mit einem legalen „mathematischen Trick“.pEr
besteht
im Erweitern des
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
Bruches mit dem von 0 verschiedenen Ausdruck
1 x þ 1 (im Zähler steht
dann das 3. Binom):
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 1 x 1Þ ð 1 x þ 1Þ
1x 1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
lim
¼
¼ lim
x
x ð 1 x þ 1Þ
x!0
x!0
¼ lim
x!0
ð1 xÞ 1
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ lim
¼
x ð 1 x þ 1Þ
x ! 0 x ð 1 x þ 1Þ
1
1
1
1
¼ lim pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ pﬃﬃﬃ
¼
¼ 1
þ
1
2
1x þ1
1þ1
x!0
&
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
181
4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x ! 1
In vielen Fällen interessiert das Verhalten einer Funktion für den Fall, dass die x-Werte
unbeschränkt wachsen ðx ! 1Þ. Wir studieren das Problem zunächst am Beispiel der
1
Funktion f ðxÞ ¼ , x > 0. Wie verhält sich diese Funktion für immer größer werx
dende x-Werte? Eine solche Folge ist beispielsweise
hx n i ¼ 10,
100, 1000,
10 000,
...
1
Die ihr zugeordneten Funktionswerte f ðx n Þ ¼
entnehmen wir der folgenden Funkxn
tionstafel (Wertetabelle):
xn
10
100
1000
10 000
1
f ðx n Þ ¼
xn
0,1
0,01
0,001
0,0001
...
...
Dabei stellen wir fest, dass die Funktionswerte zunehmend kleiner werden und sich immer
weniger von der Zahl 0 unterscheiden. Diese Aussage bleibt auch für jede andere, über
alle Grenzen hinaus wachsende Zahlenfolge hx n i gültig. Symbolisch wird das beschrie1
bene Verhalten der Funktion f ðxÞ ¼ , x > 0 für unbeschränkt wachsende x-Werte
x
durch den Grenzwert
1
¼ 0
ðIII-28Þ
lim
x
x!1
zum Ausdruck gebracht. Der Funktionsgraph nähert sich dabei asymptotisch der x-Achse
(Bild III-49).
y
y=
1
, x>0
x
Bild III-49
Asymptotisches Verhalten der Funktion
y ¼ 1=x, x > 0 im Unendlichen
1
1
x
Allgemein definieren wir den Grenzwert einer Funktion für x ! 1 wie folgt:
Definition: Besitzt eine Funktion y ¼ f ðxÞ die Eigenschaft, dass die Folge ihrer
Funktionswerte h f ðx n Þi für jede über alle Grenzen hinaus wachsende
Zahlenfolge hx n i mit x n 2 D gegen eine Zahl g strebt, so heißt g
der Grenzwert der Funktion für x ! 1. Wir verwenden dafür die
symbolische Schreibweise
lim f ðxÞ ¼ g
x!1
ðIII-29Þ
182
III Funktionen und Kurven
Entsprechend wird der Grenzwert einer Funktion y ¼ f ðxÞ für den Fall erklärt, dass
die x-Werte kleiner werden als jede noch so kleine Zahl (Grenzübergang x ! 1Þ.
Falls dieser Grenzwert vorhanden ist, schreibt man symbolisch
lim f ðxÞ ¼ g
x ! 1
&
ðIII-30Þ
Beispiele
Vorbemerkung: Nach elementaren Umformungen gelingt die Berechnung der folgenden
Grenzwerte:
2x 1
1
(1) lim
¼ lim 2 ¼ 2
x
x
x!1
x!1
(2)
(nach gliedweiser Division durch x)
1
0
3
x
B x C
¼ 1 (uneigentlicher Grenzwert).
¼ lim @
lim
2
1A
x!1 x þ 1
x!1
1þ 2
x
(nach gliedweiser Division durch x 2 )
(3)
lim
x!1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x þ1 x 1
¼ ?
2
Der Grenzwert führt zunächst auf den „unbestimmten Ausdruck“ 1 1, da
beide Summanden des Zählers für x ! 1 jeweils beliebig groß werden. Wir
müssen daher den Ausdruck zunächst in geeigneter Weise umformen. Dieses Ziel
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
wird erreicht, indem wir den Bruch mit x þ 1 þ x 1 erweitern. Im Zähler
steht dann das 3. Binom
ða bÞ ða þ bÞ ¼ a 2 b 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
mit a ¼ x þ 1 und b ¼ x 1. Nach dieser (trickreichen) Umformung
lässt sich der Grenzwert bestimmen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð x þ 1 x 1Þ ð x þ 1 þ x 1Þ
x þ1 x 1
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
¼
lim
¼ lim
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
2 ð x þ 1 þ x 1Þ
x!1
x!1
¼ lim
x!1
ðx þ 1Þ ðx 1Þ
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ lim
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2 ð x þ 1 þ x 1Þ
x 1Þ
x!1 2 ð x þ 1 þ
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0
¼ lim pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x þ1þ x 1
x!1
(der Nenner strebt gegen 1, der Bruch somit gegen 0).
&
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
183
4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte
Für den Umgang mit Grenzwerten gelten folgende Regeln (ohne Beweis):
Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
Unter der Voraussetzung, dass die Grenzwerte der Funktionen f ðxÞ und g ðxÞ existieren, gelten die folgenden Regeln:
(1)
(2)
lim ½ C f ðxÞ ¼ C x ! x0
lim ½ f ðxÞ g ðxÞ ¼ lim f ðxÞ lim g ðxÞ
x ! x0
x ! x0
lim ½ f ðxÞ g ðxÞ ¼
x ! x0
(5)
x ! x0
lim
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
n
f ðxÞ ¼ n lim f ðxÞ
lim
x ! x0
(7)
lim ½ f ðxÞ ¼
lim ða f ðxÞ Þ ¼ a
(III-35)
(III-36)
lim f ðxÞ
x ! x0
(III-37)
x ! x0
lim ½ log a f ðxÞ ¼ log a
x ! x0
(III-34)
(8)
lim g ðxÞ 6¼ 0
x ! x0
n
lim f ðxÞ
x ! x0
(III-33)
x ! x0
n
x ! x0
x ! x0
x ! x0
(6)
lim f ðxÞ lim g ðxÞ
x ! x0
(III-31)
(III-32)
x ! x0
lim f ðxÞ
f ðxÞ
x ! x0
¼
g ðxÞ
lim g ðxÞ
(4)
ðC: Konstante)
x ! x0
(3)
lim f ðxÞ
lim f ðxÞ
x ! x0
(III-38)
Anmerkungen
(1)
(2)
Diese Regeln gelten entsprechend auch für Grenzwerte vom Typ x ! 1 bzw.
x ! 1.
0
1
Grenzwerte, die zu einem sog. unbestimmten Ausdruck vom Typ
oder
0
1
führen, können nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital weiterbehandelt werden.
Wir kommen an anderer Stelle darauf zurück (siehe Kap. VI, Abschnitt 3.3.3).
184
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
lim
x ! 1
3 ðx 2 1Þ
ðx þ 1Þ ðx 1Þ
¼ 3 lim
¼ 3 lim ðx 1Þ ¼
x þ1
x þ1
x ! 1
x ! 1
¼ 3 ð2Þ ¼ 6
ðzunächst den von Null verschiedenen gemeinsamen Faktor x þ 1 kürzenÞ
(2)
x2 2x þ 5
lim
¼
cos x
x!0
lim ðx 2 2 x þ 5Þ
x!0
lim cos x
¼
x!0
5
5
¼
¼ 5
cos 0
1
&
4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel:
Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems
Wir betrachten ein schwingungsfähiges mechanisches System (z. B. ein Federpendel) mit
der Masse m und der Eigenkreisfrequenz w 0 3Þ . Durch eine periodische äußere Kraft
F ðtÞ ¼ F 0 sin ðw tÞ wird das System zu erzwungenen Schwingungen erregt, d. h.
nach Ablauf einer gewissen Einschwingphase tritt ein stationärer Zustand ein, in dem
das System mit der von außen aufgezwungenen Kreisfrequenz w schwingt.
Bei fehlender Dämpfung hängt die Schwingungsamplitude A wie folgt von der Erregerkreisfrequenz w ab:
A ¼ A ðwÞ ¼
F0
,
m j w 2 w 20 j
w 6¼ w 0
A ðwÞ ist demnach eine gebrochenrationale Funktion. Sie zeigt den in Bild III-50 dargestellten typischen Verlauf und wird allgemein als Resonanzkurve bezeichnet.
A
v0
Bild III-50
3Þ
v
Resonanzkurve bei einer erzwungenen mechanischen Schwingung
Unter der Eigenkreisfrequenz w 0 wird die Kreisfrequenz des frei und ungedämpft schwingenden Systems
verstanden.
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
185
Was passiert eigentlich, wenn sich die Erregerkreisfrequenz w der Eigenkreisfrequenz
w 0 beliebig nähert, also w gegen w 0 strebt?
Die Grenzwertbildung führt zu dem folgenden Ergebnis:
lim A ðwÞ ¼ lim
w ! w0
w ! w0
F0
m j w 2 w 20 j
¼ 1
Die Schwingungsamplitude wächst also über alle Grenzen hinaus (Polstelle), d. h. das
schwingungsfähige System wird zerstört (sog. „Resonanzkatastrophe“).
Zum Schluss untersuchen wir noch das Verhalten des Systems für große Erregerkreisfrequenzen, wenn also w gegen 1 strebt:
lim A ðwÞ ¼ lim
w!1
w!1
F0
mj
w2
w 20 j
¼ 0
Die Schwingungsamplitude A strebt also gegen Null, d. h. es findet keine Schwingung
mehr statt. Physikalisch einleuchtender Grund: Das System ist nicht mehr in der Lage,
den raschen nderungen der äußeren Kraft zu folgen, es kommt daher zum Stillstand!
4.3 Stetigkeit einer Funktion
Definition: Eine in x 0 und in einer gewissen Umgebung von x 0 definierte Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x 0 stetig, wenn der Grenzwert der
Funktion an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt:
lim f ðxÞ ¼ f ðx 0 Þ
x ! x0
ðIII-39Þ
Anmerkungen
&
(1)
Anschaulich (aber etwas unpräzise) lässt sich die Stetigkeit einer Funktion y ¼ f ðxÞ
an der Stelle x 0 wie folgt interpretieren: Der Funktionswert f ðxÞ unterscheidet
sich beliebig wenig von f ðx 0 Þ, wenn x nur genügend nahe an der Stelle x 0 liegt.
(2)
Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist, wird als
stetige Funktion bezeichnet.
Beispiele
(1)
Funktionswert und Grenzwert der Funktion f ðxÞ ¼ x 2 stimmen an der Stelle
x 0 ¼ 1 überein:
lim x 2 ¼ f ð1Þ ¼ 1
x!1
Daher ist die Funktion an dieser Stelle stetig. Sie ist sogar überall in ihrem Definitionsbereich D ¼ ð1, 1Þ stetig und somit eine stetige Funktion.
186
(2)
(3)
III Funktionen und Kurven
Die meisten der elementaren Funktionen (wir behandeln sie in den folgenden Abschnitten) sind stetige Funktionen. Zu ihnen gehören beispielsweise die ganzrationalen Funktionen, die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen.
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Die Funktion f ðxÞ ¼
j x 1 j ist überall definiert, da j x 1 j 0 ist für
jedes reelle x. Wir untersuchen, ob sie an der Stelle x 0 ¼ 1 stetig ist.
Funktionswert an der Stelle x 0 ¼ 1: f ð1Þ ¼ 0
Linksseitiger Grenzwert g l :
Wir setzen x ¼ 1 h mit h > 0 und erhalten:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
j 1 h 1 j ¼ lim
j h j ¼ lim h ¼ 0
g l ¼ lim f ðxÞ ¼ lim
x!1
ðx < 1Þ
h!0
h!0
h!0
Rechtsseitiger Grenzwert g r :
Wir setzen x ¼ 1 þ h mit h > 0 und erhalten:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
j 1 þ h 1 j ¼ lim
j h j ¼ lim h ¼ 0
g r ¼ lim f ðxÞ ¼ lim
x!1
ðx > 1Þ
h!0
h!0
h!0
Somit ist g r ¼ g l ¼ 0 und die Funktion besitzt an der Stelle x 0 ¼ 1 den Grenzwert g ¼ 0. Funktionswert und Grenzwert stimmen also an der Stelle x 0 ¼ 1
überein, die Funktion ist daher an dieser Stelle stetig.
(4)
1
kann bei x 0 ¼ 1 nicht stetig sein, da sie an dieser
1x
Stelle nicht definiert ist. Sie besitzt dort eine Definitionslücke. Auch der Grenzwert
ist nicht vorhanden.
Die Funktion f ðxÞ ¼
&
4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge)
Stellen, in denen eine Funktion die Stetigkeitsbedingung (III-39) nicht erfüllt, heißen
Unstetigkeitsstellen. Eine Funktion f ðxÞ ist also an einer Stelle x 0 unstetig, wenn mindestens eine der folgenden Aussagen zutrifft:
1. f ðxÞ ist an der Stelle x 0 nicht definiert, hat dort also eine Definitionslücke;
2. Der Grenzwert von f ðxÞ an der Stelle x 0 ist nicht vorhanden;
3. Funktionswert f ðx 0 Þ und Grenzwert g sind zwar vorhanden, jedoch voneinander
verschieden, d. h. es gilt f ðx 0 Þ 6¼ g.
Anhand von Beispielen zeigen wir die verschiedenen Arten von Unstetigkeiten (Lücken,
Pole, endliche Sprünge).
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
&
187
Beispiele
(1)
Hebbare Lücke
x2 1
besitzt in x 0 ¼ 1 eine Defix þ1
nitionslücke und ist daher an dieser Stelle unstetig. Der Grenzwert ist jedoch vorhanden:
Die gebrochenrationale Funktion f ðxÞ ¼
x2 1
ðx þ 1Þ ðx 1Þ
¼ lim
¼ lim ðx 1Þ ¼ 2
x þ1
x þ1
x ! 1
x ! 1
lim
x ! 1
Vor der Durchführung des Grenzübergangs haben wir den Zähler und Nenner gemeinsamen Faktor x þ 1 gekürzt (dieser kann wegen x 6¼ 1 nicht Null werden).
Die Definitionslücke in x 0 ¼ 1 kann durch die nachträgliche Festsetzung
f ð 1Þ ¼ lim
x ! 1
x2 1
¼ 2
x þ1
behoben werden (man setzt Funktionswert ¼ Grenzwert). Durch diese Abänderung
erhalten wir aus f ðxÞ eine neue Funktion g ðxÞ, die für alle x 2 R definiert und
stetig ist und sich als identisch erweist mit der linearen Funktion (Geraden)
y ¼ x 1 (Bild III-51):
8 2
9
>
<x 1 ¼ x 1
=
x 6¼ 1 >
x þ1
g ðxÞ ¼
¼ x 1
f ür
>
>
:
;
x
¼
1
2
y
y=x–1
1
1
x
Bild III-51
Graph der „erweiterten“ Funktion
y ¼ x 1
Aus diesem Beispiel ziehen wir eine wichtige Folgerung: Eine Definitionslücke
(Unstetigkeit) x 0 lässt sich beheben, wenn der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist. Man setzt dann
f ðx 0 Þ ¼ lim f ðxÞ
x ! x0
und erhält eine in x 0 stetige Funktion.
188
(2)
III Funktionen und Kurven
Unendlichkeitsstelle (Pol)
Die gebrochenrationale Funktion f ðxÞ ¼
1
besitzt an der Stelle x 0 ¼ 3
ðx 3Þ 2
eine Definitionslücke. Sie verläuft bei Annäherung an diese Stelle ins Unendliche:
lim
x!3
1
ðx 3Þ 2
¼ þ1
(uneigentlicher Grenzwert). Die Funktion hat hier eine sog. Unendlichkeitsstelle
oder Polstelle (Bild III-52). Diese Unstetigkeit lässt sich nicht beheben, da der
Grenzwert an der Stelle x 0 ¼ 3 nicht vorhanden ist.
y
8
6
4
2
Bild III-52
1
(3)
2
3
4
5
6
x
Endlicher Sprung (Sprungunstetigkeit)
Die in Bild III-53 skizzierte Funktion 4Þ
8
9
x < 0>
>
< 1
=
y ¼ f ðxÞ ¼
0 f ür x ¼ 0
>
>
:
;
1
x > 0
ist in x 0 ¼ 0 unstetig, da der Grenzwert an dieser Stelle nicht existiert. Zwar
sind links- und rechtsseitiger Grenzwert vorhanden, sie unterscheiden sich jedoch
voneinander:
Linksseitiger Grenzwert:
g l ¼ lim f ðxÞ ¼ lim ð 1Þ ¼ 1
x!0
ðx < 0Þ
x!0
ðx < 0Þ
Rechtsseitiger Grenzwert:
g r ¼ lim f ðxÞ ¼ lim ð1Þ ¼ 1
x!0
ðx > 0Þ
x!0
ðx > 0Þ
Eine Unstetigkeit dieser Art bezeichnet man als Sprungunstetigkeit. In diesem Beispiel „springt“ der Funktionswert von 1 über 0 nach þ 1.
4Þ
Diese Funktion wird auch als „Vorzeichenfunktion“ oder Signumfunktion bezeichnet ð f ðxÞ ¼ sgn ðxÞÞ.
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
189
y
1
x
–1
Bild III-53
(4)
Ein Beispiel für eine Funktion mit einer Sprungunstetigkeit in x 0 ¼ 0
Sprungfunktion der Regelungstechnik
Die in der Regelungstechnik benötigte zeitabhängige Sprungfunktion
0
t < 0
u ¼ f ðtÞ ¼
f ür
(Bild III-54)
u0
t 0
ist für t 0 ¼ 0 zwar definiert ðes ist f ð0Þ ¼ u 0 Þ, besitzt jedoch an dieser
Stelle keinen Grenzwert, da der linksseitige Grenzwert vom rechtsseitigen Grenzwert abweicht (es findet ein Sprung der Größe u 0 statt). Die Funktion ist daher
an der Stelle t 0 ¼ 0 unstetig.
u
u0
Bild III-54
Sprungfunktion der
Regelungstechnik
t
(5)
Periodische Funktion mit unendlich vielen Sprungstellen
Funktionen mit Sprungunstetigkeiten treten z. B. in der Elektrotechnik im Zusammenhang mit periodischen Impulsen auf. Der in Bild III-55 skizzierte „Sägezahnimpuls“ besitzt an den Stellen T, 2 T, 3 T, . . . jeweils eine Sprungunstetigkeit. An
diesen Stellen fällt der Impuls von seinem Maximalwert y 0 auf den Wert 0.
y
y0
T
Bild III-55
2T
3T
„Sägezahnimpuls“ mit periodischen Sprungunstetigkeiten
t
&
190
III Funktionen und Kurven
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion
Definition: Funktionen vom Typ
f ðxÞ ¼ a n x n þ a n 1 x n 1 þ . . . þ a 1 x 1 þ a 0
ðIII-40Þ
werden als ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen bezeichnet
ðmit x 2 R und n 2 NÞ. Die reellen Koeffizienten a 0 , a 1 , . . ., a n
heißen Polynomkoeffizienten ða n 6¼ 0Þ, der höchste Exponent n in
der Funktionsgleichung bestimmt den Polynomgrad.
&
Beispiele
(1)
y ¼ 4
Polynom vom Grade 0
(Konstante Funktion)
y ¼ 2x 3
Polynom vom Grade 1
(Lineare Funktion)
y ¼ 2x 3x þ 5
Polynom vom Grade 2
(Quadratische Funktion)
y ¼ x x
Polynom vom Grade 3
(Kubische Funktion)
2
3
y ¼ 4x x þ 3x
8
5
Polynom vom Grade 8
(2)
Zu den ganzrationalen Funktionen gehören auch die Potenzfunktionen y ¼ x n mit
n 2 N*. Ihre ersten Vertreter sind: y ¼ x, y ¼ x 2 , y ¼ x 3 usw. .
(3)
Einfache Beispiele aus den physikalisch-technischen Anwendungen, die sich durch
Polynomfunktionen beschreiben lassen sind:
Wurfparabel beim waagerechten bzw. senkrechten Wurf
Weg-Zeit-Gesetz beim freien Fall
Biegelinie eines durch Kräfte belasteten Balkens
&
Polynomfunktionen (kurz auch als Polynome bezeichnet) sind Linearkombinationen von
Potenzen und überall in R definiert und stetig. Sie besitzen in vieler Hinsicht besonders
einfache und überschaubare Eigenschaften und spielen daher in den Anwendungen eine
bedeutende Rolle. Gründe hierfür sind u. a.:
–– Der Kurvenverlauf lässt sich leicht aus den Nullstellen und dem Verhalten der höchsten Potenz im Unendlichen ermitteln.
–– Polynomfunktionen lassen sich problemlos differenzieren und integrieren.
–– Zahlreiche bei der Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme auftretende
Funktionen können zumindest in bestimmten Teilbereichen durch ganzrationale Funktionen angenähert werden (siehe hierzu Kap. VI, Abschnitt 3.3.1).
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
191
5.2 Konstante und lineare Funktionen
Polynomfunktionen vom Grade 0 bezeichnet man als konstante Funktionen:
y ¼ const: ¼ a 0
oder
y ¼ const: ¼ a
ðIII-41Þ
In der graphischen Darstellung erhält man eine zur x-Achse parallel verlaufende Gerade
(Bild III-56).
y
y = const. = a
a
Bild III-56
Konstante Funktion y ¼ const: ¼ a
x
&
Beispiele
(1)
Bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit v unabhängig von der Zeit t : v ¼ v ðtÞ ¼ const:
(2)
Die Gesamtenergie (Schwingungsenergie) E eines reibungsfrei schwingenden
Federpendels bleibt zeitlich unverändert, d. h. E ¼ E ðtÞ ¼ const:
&
Besonders häufig treten in den Anwendungen lineare Funktionen (Polynomfunktionen
vom Grade 1) auf:
y ¼ a1 x þ a0
oder
y ¼ mx þ b
ðIII-42Þ
(mit a 1 6¼ 0) bzw. m 6¼ 0). Die zeichnerische Darstellung ergibt eine Gerade mit der
Steigung m und dem Achsenabschnitt b auf der y-Achse (Bild III-57). Steigung m
und Steigungswinkel a sind dabei über die Beziehung m ¼ tan a miteinander verknüpft.
y
y = mx + b
a
Bild III-57
Gerade y ¼ m x þ b
b
x
192
III Funktionen und Kurven
Neben der Haupt- oder Normalform y ¼ m x þ b und der allgemeinensten Form
A x þ B y þ C ¼ 0 sind noch weitere Formen der Geradengleichung von Bedeutung:
Punkt-Steigungs-Form einer Geraden (Bild III-58)
Die Gleichung einer Geraden durch den Punkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ mit der Steigung m
lautet:
y y1
¼ m
x x1
ðIII-43Þ
y
P
P1
y – y1
a
Bild III-58
Zur Punkt-Steigungs-Form
einer Geraden
y
x – x1
y1
a
x1
x
x
Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Bild III-59)
Die Gleichung einer Geraden durch zwei (voneinander verschiedene) Punkte
P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ und P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ lautet:
y y1
y2 y1
¼
x x1
x2 x1
ðIII-44Þ
y
P
P2
y – y1
P1
a
y2 – y1
a
x2 – x1
y1
y2
Bild III-59
Zur Zwei-Punkte-Form
einer Geraden
y
x – x1
x1
x2
x
x
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
193
Achsenabschnittsform einer Geraden (Bild III-60)
Die Gleichung einer Geraden mit den Achsenabschnitten a und b lautet:
x
y
þ
¼ 1
a
b
ðIII-45Þ
a:
Achsenabschnitt auf der x-Achse (Schnittpunkt mit der x-Achse)
b:
Achsenabschnitt auf der y-Achse (Schnittpunkt mit der y-Achse)
Anmerkung
Die Achsenabschnitte können positiv oder negativ ausfallen, je nachdem ob die zugehörigen Achsenschnittpunkte der Geraden auf dem positiven oder negativen Teil der Achse
liegen.
y
b
Bild III-60
Zur Achsenabschnittsform einer Geraden
a
&
x
Beispiele
(1)
Beim freien Fall ist die Fallgeschwindigkeit v eine lineare Funktion der Zeit t :
v ¼ g t þ v0
( g: Erdbeschleunigung; v 0 : Anfangsgeschwindigkeit)
(2)
Für eine elastische Feder gilt das folgende lineare Kraftgesetz:
F ¼ c s
ðHookesches GesetzÞ
(c: Federkonstante; s: Auslenkung der Feder; F : Rückstellkraft der Feder)
(3)
P 1 ¼ ð3; 10Þ und P 2 ¼ ð5; 14Þ sind zwei Punkte einer Geraden. Wie lautet die
Funktionsgleichung dieser Geraden?
Lösung: Aus der Zwei-Punkte-Form (III-44) folgt unmittelbar:
y 10
14 10
¼
¼ 2
x 3
53
)
y 10 ¼ 2 ðx 3Þ
)
y ¼ 2x þ 4
&
194
III Funktionen und Kurven
5.3 Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen 2. Grades und in der Haupt- oder
Normalform
y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0
oder
y ¼ ax2 þ bx þ c
ðIII-46Þ
darstellbar (mit a 2 6¼ 0 bzw. a 6¼ 0). In der graphischen Darstellung erhält man eine
Parabel. Der Koeffizient a bestimmt die ffnung der Parabel und wird daher auch als
ffnungsparameter bezeichnet, wobei gilt (Bild III-61):
a > 0:
Parabel ist nach oben geöffnet, Scheitelpunkt S ist zugleich Tiefpunkt
a < 0:
Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitelpunkt S ist zugleich Hochpunkt
Die einzige Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt S.
y
S
a>0
x
a<0
S
Bild III-61
&
Nach unten geöffnete Parabel ða < 0Þ bzw. nach oben geöffnete Parabel ða > 0Þ
Beispiele
1
m v 2 eines Körpers der Masse m ist eine qua2
dratische Funktion der Geschwindigkeit v.
(1)
Die kinetische Energie E kin ¼
(2)
Bei einer geradlinig gleichförmig beschleunigten Bewegung ist der zurückgelegte
Weg s eine quadratische Funktion der Zeit t :
s ¼
1
a t 2 þ v0 t þ s0
2
(a: Beschleunigung; s 0 und v 0 sind Anfangslage bzw. Anfangsgeschwindigkeit zu Beginn der Bewegung, d. h. zum Zeitpunkt t ¼ 0)
(3)
Wird ein Körper im luftleeren Raum aus der Höhe h 0 > 0 waagerecht mit der
konstanten Geschwindigkeit v 0 abgeworfen, so bewegt er sich auf einer als Wurfparabel bezeichneten Parabel mit der Funktionsgleichung
g
ðx 0Þ
y ¼ 2 x2 þ h0
v0
(Abwurfort auf der y-Achse: x ¼ 0, y ðx ¼ 0Þ ¼ h 0 ; g: Erdbeschleunigung).
&
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
195
Spezielle Formen einer Parabelgleichung
Sehr von Nutzen sind in den Anwendungen zwei spezielle Formen der Parabelgleichung.
Es handelt sich dabei um die Produkt- bzw. Scheitelpunktsform.
Produktform einer Parabel (Bild III-62)
y ¼ a x 2 þ b x þ c ¼ a ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ
ðIII-47Þ
x 1; x 2 :
Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse (reelle Nullstellen)
a:
ffnungsparameter ða 6¼ 0Þ
y
y
S
x1
x2
x1 = x 2
x
x
S
Bild III-62
Zur Produktform einer Parabel
Bild III-63
Doppelte Nullstelle einer Parabel
(Berühungspunkt ¼ Scheitelpunkt)
Anmerkungen
(1)
Die linearen Bestandteile x x 1 und x x 2 in der Produktform (III-47) werden als Linearfaktoren bezeichnet. Diese Zerlegung ist nur möglich, wenn die Parabel mit der x-Achse zum Schnitt kommt, also zwei reelle Nullstellen hat.
(2)
Aus Symmetriegründen liegt der Scheitelpunkt S immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (vgl. hierzu auch Bild III-62).
(3)
Sonderfall: Fallen die beiden Nullstellen zusammen (x 1 ¼ x 2 , sog. doppelte Nullstelle), so liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse und ist zugleich Berühungspunkt
(Bild III-63). Die Produktform besitzt dann die spezielle Form
y ¼ a ðx x 1 Þ ðx x 1 Þ ¼ a ðx x 1 Þ 2
ðIII-48Þ
Diese Gleichung ist ein Sonderfall der Scheitelpunktsform, die wir im Anschluss
an die nachfolgenden Beispiele kennenlernen werden.
196
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
y ¼ 2x2 8x þ 6
(siehe Bild III-64)
Nullstellen: 2 x 2 8 x þ 6 ¼ 0 j : 2
x 1 ¼ 1,
)
x2 4x þ 3 ¼ 0
)
x2 ¼ 3
Scheitelpunkt (¼ Minimum): S ¼ ð2; 2Þ
Produktform der Parabel: y ¼ 2 ðx 1Þ ðx 3Þ
y
y = 2x 2 – 8x + 6
1
1
3
Bild III-64
Schaubild der Parabel
y ¼ 2x2 8x þ 6
x
–1
S = (2 , – 2)
(2)
y ¼ 0,5 x 2 2 x 2
ðsiehe Bild III-65Þ
Nullstellen: 0,5 x 2 x 2 ¼ 0 j ð 2Þ
)
2
x2 þ 4x þ 4 ¼ 0
)
x 1 ¼ x 2 ¼ 2 ðdoppelte NullstelleÞ
Scheitelpunkt (¼ Maximum): S ¼ ð 2; 0Þ
Produktform der Parabel: y ¼ 0,5 ðx þ 2Þ 2
y
S
–2
1
x
–1
Bild III-65
Schaubild der Parabel
y ¼ 0,5 x 2 2 x 2
y = – 0,5 x 2 – 2 x – 2
&
Scheitelpunktsform einer Parabel (Bild III-66)
y y 0 ¼ a ðx x 0 Þ 2
x 0 , y 0 : Koordinaten des Scheitelpunktes S
a:
ffnungsparameter
ðIII-49Þ
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
197
y
S
y0
Bild III-66
Zur Scheitelpunktsform einer Parabel
x0
&
x
Beispiele
(1)
Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel y ¼ 3 x 2 6 x þ 12? Wie lautet die
Scheitelpunktsform dieser Parabel?
Lösung: Durch quadratische Ergänzung erhält man
y ¼ 3 x 2 6 x þ 12 ¼ 3 ðx 2 2 xÞ þ 12 ¼
¼ 3 ðx 2 2 x þ 1 1Þ þ 12 ¼
¼ 3 ðx 2 2 x þ 1 Þ þ 3 ð 1Þ þ 12 ¼ 3 ðx 1Þ 2 þ 9
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ðx 1Þ 2
Scheitelpunktsform: y 9 ¼ 3 ðx 1Þ 2
Scheitelpunkt: S ¼ ð1; 9Þ
(2)
Schiefer Wurf: Ein Körper wird zur Zeit t ¼ 0 unter einem Winkel a gegen die
Horizontale mit der Geschwindigkeit v 0 schräg nach oben geworfen (Bild III-67).
Die Gleichung der durchlaufenden Bahnkurve lautet dann in der Parameterform
wie folgt:
x ¼ ðv 0 cos aÞ t ,
y ¼ ðv 0 sin aÞ t 1
gt2
2
ðt 0Þ
Wir suchen die Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form sowie Wurfweite W
und Wurfhöhe H für v 0 ¼ 20 m=s, a ¼ 30 und g ¼ 10 m=s 2 .
y
S
P
Wurfparabel
v0
y
y0
a
x1
Bild III-67
x
x0
Wurfparabel beim schiefen Wurf
x2
x
198
III Funktionen und Kurven
Lösung:
Parameterdarstellung der Wurfparabel:
x ¼ 17,3205
m
t;
s
m
m
t 5 2 t2
s
s
y ¼ 10
ðt 0 sÞ
Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form (wir lösen die 1. Gleichung nach t
auf und setzen den gefundenen Ausdruck in die 2. Gleichung ein):
y ¼ 0,5774 x 0,0167
x2
m
ðx 0 mÞ
Nullstellen: x 1 ¼ 0 m (Abwurfort),
x 2 ¼ 34,58 m
Der Scheitelpunkt S liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte zwischen
den beiden Nullstellen. Seine Koordinaten lauten daher:
x0 ¼
x1 þ x2
¼ 17,29 m ;
2
y 0 ¼ y ðx 0 ¼ 17,29 mÞ ¼ 4,99 m
Wurfweite: W ¼ x 2 x 1 ¼ 34,58 m
Wurfhöhe: H ¼ y 0 ¼ 4,99 m
&
5.4 Polynomfunktionen höheren Grades
Quadratische Funktionen lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen in der Produktform y ¼ a ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ schreiben, wobei x 1 und x 2 die reellen Nullstellen der
Parabel bedeuten. Gibt es für Polynome höheren Grades ðn 3Þ ähnliche Darstellungen? Diese Frage dürfen wir bejahen. Wir werden im Folgenden zeigen, dass auch ganzrationale Funktionen 3., 4. und höheren Grades in Form eines Produktes aus lauter Linearfaktoren darstellbar sind, sofern gewisse Voraussetzungen erfüllt sind.
Die Eigenschaften von Polynomfunktionen n-ten Grades formulieren wir in den folgenden drei Sätzen und belegen sie durch zahlreiche Beispiele.
Abspaltung eines Linearfaktors
Abspaltung eines Linearfaktors
Besitzt die Polynomfunktion f ðxÞ vom Grade n an der Stelle x 1 eine Nullstelle,
ist also f ðx 1 Þ ¼ 0, so ist die Funktion auch in der Form
f ðxÞ ¼ ðx x 1 Þ f 1 ðxÞ
ðIII-50Þ
darstellbar. Der Faktor ðx x 1 Þ heißt Linearfaktor, f 1 ðxÞ ist das sog. 1. reduzierte Polynom vom Grade n 1.
Diese Art der Zerlegung einer Polynomfunktion wird auch als Abspaltung eines Linearfaktors bezeichnet.
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
&
199
Beispiel
y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 2 x 2 5 x þ 6
Durch Probieren findet man eine Nullstelle bei x 1 ¼ 1. Die Polynomfunktion ist daher
in der Form
y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 2 x 2 5 x þ 6 ¼ ðx 1Þ f 1 ðxÞ
darstellbar, wobei das 1. reduzierte Polynom f 1 ðxÞ eine quadratische Funktion ist, die
man wie folgt durch Polynomdivision erhält:
f 1 ðxÞ ¼ ðx 3 2 x 2 5 x þ 6Þ : ðx 1Þ ¼ x 2 x 6
ðx 3 x 2Þ
x2 5x þ 6
ð x 2 þ
xÞ
6x þ 6
ð 6 x þ 6Þ
0
Daher gilt
y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 2 x 2 5 x þ 6 ¼ ðx 1Þ ðx 2 x 6Þ
&
Nullstellen einer Polynomfunktion
ber die Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion n-ten Grades gibt der folgende
fundamentale Satz aus der Algebra Aufschluss (ohne Beweis):
Nullstellen einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Nullstellen.
Anmerkung
Mehrfach auftretende Nullstellen werden entsprechend oft mitgezählt (siehe hierzu das
nachfolgende Beispiel (2)).
&
Beispiele
(1)
y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 2 x 2 5 x þ 6,
Drei reelle Nullstellen in x 1 ¼ 2,
(2)
n ¼ 3
x2 ¼ 1
y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 þ 0,1 x 2 4,81 x 4,225,
und
x 3 ¼ 3.
n ¼ 3
Drei reelle Nullstellen bei x 1 ¼ x 2 ¼ 1,3 (doppelte Nullstelle) und x 3 ¼ 2,5.
200
III Funktionen und Kurven
(3)
Die Polynomfunktion y ¼ f ðxÞ ¼ x 3 x 2 þ 4 x 4 ist vom Grade 3, besitzt
jedoch nur eine reelle Nullstelle an der Stelle x 1 ¼ 1.
(4)
Die Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 þ 1 liefert ein einfaches Beispiel für eine Polynomfunktion 2. Grades ohne reelle Nullstellen. Es handelt sich um die um eine Einheit
nach oben verschobene Normalparabel (keine Schnittpunkte mit der x-Achse).
&
Produktherstellung einer Polynomfunktion
Aus den als bekannt vorausgesetzten (reellen) Nullstellen einer Polynomfunktion lässt
sich ähnlich wie bei einer Parabel eine spezielle Darstellungsform der Funktion gewinnen, die als Produktdarstellung oder Produktform bezeichnet wird:
Produktdarstellung einer Polynomfunktion
Besitzt eine Polynomfunktion n-ten Grades genau n reelle Nullstellen x 1 , x 2 , . . . ,
x n , so lässt sich die Funktion auch in Form eines Produktes wie folgt darstellen:
f ðxÞ ¼ a n x n þ a n 1 x n 1 þ . . . þ a 1 x þ a 0 ¼
¼ a n ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ . . . ðx x n Þ
ðIII-51Þ
Die n Faktoren x x 1 , x x 2 , . . . , x x n werden als Linearfaktoren der
Produktdarstellung bezeichnet.
Anmerkungen
(1)
Die Produktdarstellung (III-51) wird auch als Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren bezeichnet.
(2)
Den Koeffizienten a n in der Produktform (III-51) nicht vergessen!
(3)
Bei einer doppelten Nullstelle tritt der zugehörige Linearfaktor doppelt, bei einer
dreifachen Nullstelle dreifach auf usw. (vgl. hierzu die nachfolgenden Beispiele (2)
und (4)). Sie werden dann jeweils zu Potenzen zusammengefasst.
(4)
Ist die Anzahl k der reellen Nullstellen (inklusive der entsprechend oft gezählten
mehrfachen Nullstellen) kleiner als der Polynomgrad n, so besitzt die Produktdarstellung die folgende spezielle Form:
f ðxÞ ¼ a n ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ . . . ðx x k Þ f * ðxÞ
ðIII-52Þ
Dabei ist f * ðxÞ eine Polynomfunktion vom Grade n k ohne reelle Nullstellen,
d. h. es gilt im Reellen f * ðxÞ 6¼ 0. Das Restpolynom f * ðxÞ lässt sich also nicht
weiter zerlegen. Der Koeffizient a n kann auch in f * ðxÞ einbezogen werden.
Hinweis: Im Bereich der komplexen Zahlen liefert das Restpolynom (bei reellen
Polynomkoeffizienten) stets sog. konjugiert komplexe Nullstellen (siehe hierzu
Kap. VII). Der Fundamentalsatz lautet dann wie folgt:
„Ein Polynom vom Grade n mit ausschließlich reellen Koeffizienten besitzt genau n (reelle oder komplexe) Nullstellen“.
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
&
201
Beispiele
(1)
y ¼ f ðxÞ ¼ 2 x 2 þ 7 x 22
Nullstellen: x 1 ¼ 2,
x 2 ¼ 5,5
Produktdarstellung: y ¼ 2 ðx 2Þ ðx þ 5,5Þ
(2)
y ¼ f ðxÞ ¼ 3 x 3 þ 3 x 2 3 x 3
Nullstellen: x 1 ¼ 1 (doppelte Nullstelle, Berührungspunkt),
x2 ¼ 1
Produktdarstellung: y ¼ 3 ðx þ 1Þ ðx þ 1Þ ðx 1Þ ¼ 3 ðx þ 1Þ 2 ðx 1Þ
Bild III-68 zeigt den Verlauf der Polynomfunktion, ermittelt aus den Nullstellen,
der Schnittstelle mit der y-Achse bei y ðx ¼ 0Þ ¼ 3 und dem Verhalten der
Funktion für x ! 1 (die höchste Potenz 3 x 3 und damit die Funktion selbst
streben für x ! 1 gegen 1).
y
4
y = 3 (x + 1) 2 (x –1)
2
Bild III-68
–2
–1
1
2
x
–2
–4
(3)
Die Nullstellenberechnung der Funktion y ¼ x 4 13 x 2 þ 36 führt zu der biquadratischen Gleichung
x 4 13 x 2 þ 36 ¼ 0
die durch die Substitution z ¼ x 2 wie folgt gelöst wird (bitte nachrechnen):
z 2 13 z þ 36 ¼ 0
)
z 1 ¼ 4, z 2 ¼ 9
x2 ¼ z1 ¼ 4
)
x 1 ¼ 2,
x2 ¼ 2
x2 ¼ z2 ¼ 9
)
x 3 ¼ 3,
x4 ¼ 3
Das Polynom besitzt demnach vier verschiedene reelle Nullstellen bei x 1 ¼ 2,
x 2 ¼ 2, x 3 ¼ 3 und x 4 ¼ 3. Die Produktdarstellung lautet daher:
y ¼ ðx 2Þ ðx þ 2Þ ðx 3Þ ðx þ 3Þ
202
(4)
III Funktionen und Kurven
Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze in x 1 ¼ 5 eine doppelte und in
x 2 ¼ 8 eine einfache Nullstelle und schneide die y-Achse bei y ð0Þ ¼ 100.
Wie lautet die Gleichung der Funktion?
Lösung: Ansatz der Funktion in der Produktform:
y ¼ a ðx þ 5Þ ðx þ 5Þ ðx 8Þ ¼ a ðx þ 5Þ 2 ðx 8Þ
Der Koeffizient a wird aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmt:
y ð0Þ ¼ 100
)
a 5 2 ð 8Þ ¼ 200 a ¼ 100
)
a ¼ 0,5
Die gesuchte Funktion besitzt damit die Funktionsgleichung
y ¼ 0,5 ðx þ 5Þ 2 ðx 8Þ ¼ 0,5 x 3 x 2 þ 27,5 x þ 100
(5)
Die Polynomfunktion y ¼ 2 x 3 6 x 2 þ 2 x 6 besitzt nur eine einfache
(reelle) Nullstelle bei x 1 ¼ 3. Ihre Produktdarstellung lautet daher wie folgt:
y ¼ ðx 3Þ f * ðxÞ
f * ðxÞ ist dabei eine Polynomfunktion 2. Grades ohne (reelle) Nullstellen.
Durch Polynomdivision findet man:
f * ðxÞ ¼ ð2 x 3 6 x 2 þ 2 x 6Þ : ðx 3Þ ¼ 2 x 2 þ 2
ð2 x 3 6 x 2 Þ
2x 6
ð2 x 6Þ
0
Somit gilt:
y ¼ 2 x 3 6 x 2 þ 2 x 6 ¼ ðx 3Þ ð2 x 2 þ 2Þ ¼ 2 ðx 3Þ ðx 2 þ 1Þ
(6)
Das Polynom y ¼ x 4 1 lässt sich mit Hilfe des 3. Binoms wie folgt zerlegen:
y ¼ x 4 1 ¼ ðx 2 þ 1Þ ðx 2 1Þ
Es besitzt demnach genau zwei einfache Nullstellen bei x 1=2 ¼ 1, da nur der
rechte Faktor verschwinden kann:
ðx 2 þ 1 Þ ðx 2 1Þ ¼ 0
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
6¼ 0
)
x2 1 ¼ 0
Produktform des Polynoms:
y ¼ x 4 1 ¼ ðx 1Þ ðx þ 1Þ ðx 2 þ 1Þ
)
x 1=2 ¼ 1
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
(7)
203
Die ganzrationale Funktion y ¼ 2 x 4 þ 3 x 2 þ 2 hat, wie man leicht ohne Rechnung zeigen kann, im Bereich der reellen Zahlen keine Nullstellen.
Begründung: Die Summanden 2 x 4 und 3 x 2 können wegen der geraden Potenzen und der positiven Koeffizienten nicht negativ werden. Sie verschwinden beide
für x ¼ 0 und sind für jedes x 6¼ 0 stets größer Null. Die Funktion kann damit
nur Werte annehmen, die größer oder gleich 2 sind:
y ¼ 2x4 þ 3x2 þ 2 2
ðf ür jedes reelle xÞ
&
5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung
einer Polynomfunktion
Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, das bei der Nullstellenberechnung einer
Polynomfunktion durch schrittweise Reduzierung des Polynomgrades wertvolle Dienste
leistet. Wir wollen das Verfahren am Beispiel einer Polynomfunktion 3. Grades kurz
erläutern. Dividiert man die Funktion f ðxÞ ¼ a 3 x 3 þ a 2 x 2 þ a 1 x þ a 0 durch die
lineare Funktion x x 0 , wobei x 0 ein zunächst beliebiger, dann aber fester Wert ist,
so erhält man eine Polynomfunktion 2. Grades und eine Restfunktion r ðxÞ:
f ðxÞ
a3 x3 þ a2 x2 þ a1 x þ a0
¼
¼ b 2 x 2 þ b 1 x þ b 0 þ r ðxÞ
x x0
x x0
ðIII-53Þ
Die Koeffizienten b 2 , b 1 , b 0 sind dabei eindeutig durch die Polynomkoeffizienten a 3 ,
a 2 , a 1 , a 0 und den Wert x 0 bestimmt, wie eine hier nicht durchgeführte Rechnung
zeigt:
b 2 ¼ a 3,
b1 ¼ a2 þ a3 x0 ,
b 0 ¼ a 1 þ a 2 x 0 þ a 3 x 02
ðIII-54Þ
Die Restfunktion r ðxÞ ist echt gebrochen und hat die Form
r ðxÞ ¼
a 0 þ a 1 x 0 þ a 2 x 02 þ a 3 x 03
f ðx 0 Þ
¼
x x0
x x0
ðIII-55Þ
Man beachte, dass im Zähler genau der Funktionswert von f ðxÞ an der Stelle x 0
auftritt. Die Restfunktion r ðxÞ verschwindet daher, wenn x 0 eine Polynomnullstelle ist
(dann nämlich ist f ðx 0 Þ ¼ 0 und damit der ganze Bruch gleich Null). Die Koeffizienten
b 2 , b 1 , b 0 sind in diesem Fall genau die Koeffizienten des 1. reduzierten Polynoms, da
wir die Polynomfunktion f ðxÞ durch den Linearfaktor x x 0 dividiert haben:
f ðxÞ
a3 x3 þ a2 x2 þ a1 x þ a0
¼
¼ b2 x2 þ b1 x þ b0
x x0
x x0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
1. reduzierts Polynom von f ðxÞ
ðIII-56Þ
204
III Funktionen und Kurven
Horner-Schema
Von Horner stammt das folgende Schema zur Berechnung der Polynomkoeffizienten b 2 ,
b 1 , b 0 und des Funktionswertes f ðx 0 Þ in der Zerlegung (III-53):
a3
x0
a2
!
2 a1 þ a2 x0 þ a3 x0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ða 1 þ a 2 x 0 þ a 3 x 02 Þ x 0
a3
|{z}
a2 þ a3 x0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
I
ða 2 þ a 3 x 0 Þ x 0
I
!
I
a3 x0
a0
I
!
a1
a 0 þ a 1 x 0 þ a 2 x 02 þ a 3 x 03
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
b2
b1
b0
f ðx 0 Þ
Anleitung zum Horner-Schema
In der 1. Zeile stehen die Polynomkoeffizienten in der Reihenfolge fallender Potenzen:
a 3, a 2, a 1, a 0 :
Die 2. Zeile bleibt zunächst frei. Die 3. Zeile beginnt mit dem Koeffizienten a 3 , der
aus der 1. Zeile übernommen wird. Dieser wird dann mit dem x-Wert x 0 multipliziert
und das Ergebnis a 3 x 0 in die 2. Zeile unter den Koeffizienten a 2 gesetzt und zu diesem addiert. Das Ergebnis dieser Addition (also die Zahl a 2 þ a 3 x 0 ) wird in der
3. Zeile unter dem Koeffizienten a 2 „gespeichert“. Jetzt wird die in der 3. Zeile unterhalb von a 2 stehenden Zahl a 2 þ a 3 x 0 mit dem x-Wert x 0 multipliziert und das
Ergebnis ða 2 þ a 3 x 0 Þ x 0 ¼ a 2 x 0 þ a 3 x 02 in die 2. Zeile unter den Koeffizienten a 1
gesetzt und schließlich zu diesem addiert. Das Ergebnis dieser Addition ist die Zahl
a 1 þ a 2 x 0 þ a 3 x 02 und wird wieder in der 3. Zeile, diesmal unterhalb des Koeffizienten a 1 gespeichert. Sodann wird die in der 3. Zeile unterhalb von a 1 stehende Zahl
a 1 þ a 2 x 0 þ a 3 x 02 mit dem x-Wert x 0 multipliziert und das Ergebnis in der 2. Zeile
unter dem Koeffizienten a 0 gespeichert, schließlich zu diesem addiert und die neue
Summe a 0 þ a 1 x 0 þ a 2 x 02 þ a 3 x 03 in die 3. Zeile unterhalb des Koeffizienten a 0
gesetzt. Das Schema ist nun ausgefüllt. Die in der 3. Zeile stehenden Zahlenwerte sind
der Reihe nach die Koeffizienten b 2 , b 1 , b 0 aus der Zerlegung (III-53) sowie der Funktionswert f ðx 0 Þ.
Anmerkungen
(1)
Das Horner-Schema ist sinngemäß auch auf Polynomfunktionen höheren Grades
ðn > 3Þ anwendbar (siehe nachfolgende Beispiele).
(2)
Beachten Sie: Das Polynom muss nach absteigenden Potenzen geordnet sein. Fehlen
gewisse Potenzen (man spricht dann auch von einem unvollständigen Polynom), so
sind die entsprechenden Koeffizienten gleich Null und müssen im Horner-Schema
berücksichtigt werden.
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
205
Berechnung der Nullstellen einer Polynomfunktion mit Hilfe des Horner-Schemas
Die praktische Bedeutung des Horner-Schemas liegt in der Nullstellenberechnung von
Polynomfunktionen. Zweckmäßigerweise geht man dabei wie folgt vor (bei einem Polynom
3. Grades):
Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion mit Hilfe des Horner-Schemas
Die Nullstellen einer Polynomfunktion f ðxÞ vom Grade 3 lassen sich schrittweise
wie folgt berechnen:
1. Zunächst versucht man durch Probieren, Erraten oder durch graphische oder
auch numerische Rechenverfahren eine (reelle) Nullstelle x 1 zu bestimmen.
2. Ist dies gelungen, so wird mit Hilfe des Horner-Schemas der zugehörige
Linearfaktor x x 1 abgespalten. Man erhält automatisch die Koeffizienten
des 1. reduzierten Polynoms f 1 ðxÞ vom Grade 2. Sie stehen in der untersten
(d. h. dritten) Zeile des Horner-Schemas, die das folgende Aussehen hat:
b2
b1
b0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
|ﬄ{zﬄ}
3: Zeile
f ðx 1 Þ
Koeffizienten des
1. reduzierten
Polynoms
3. Die restlichen Polynomnullstellen (falls überhaupt vorhanden) sind dann die
Lösungen der quadratischen Gleichung f 1 ðxÞ ¼ 0.
Bei Polynomfunktionen 4. und höheren Grades erfolgt die Nullstellenberechnung
analog durch mehrmaliges Reduzieren. Dabei wird grundsätzlich so lange reduziert,
bis man auf eine Polynomfunktion 2. Grades stößt. Die zugehörige quadratische
Gleichung liefert dann die restlichen Nullstellen (sofern solche überhaupt vorhanden
sind). So muss beispielsweise eine Polynomfunktion 4. Grades zweimal nacheinander reduziert werden:
f ðxÞ
ðNullstelle x 1 Þ
f 1 ðxÞ
n ¼ 3
2: Reduktion "
ðNullstelle x 2 Þ
f 2 ðxÞ
n ¼ 2
I
n ¼ 4
Reduktion "
1:
f 2 ðxÞ ¼ 0
f ðxÞ:
Polynomfunktion vom Grade 4
f 1 ðxÞ: 1. reduziertes Polynom vom Grade 3
f 2 ðxÞ: 2. reduziertes Polynom vom Grade 2
I
Bezeichnungen:
Nullstellen
x 3, x 4
206
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
Unter Verwendung des Horner-Schemas ist zu zeigen, dass die Polynomfunktion
y ¼ 3 x 3 þ 18 x 2 þ 9 x 30 an der Stelle x 1 ¼ 5 eine Nullstelle besitzt.
Wo liegen die übrigen Nullstellen? Wie lautet die Produktdarstellung der Funktion?
Lösung: Das Polynom ist bereits geordnet und vollständig. Das Horner-Schema
liefert dann:
3
x1 ¼ 5
18
9
30
15
15
30
3
3
6
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
|ﬄ{zﬄ}
f ð 5Þ
Koeffizienten des
1. reduzierten Polynoms
Die restlichen Nullstellen sind die Nullstellen des 1. reduzierten Polynoms
f 1 ðxÞ ¼ 3 x 2 þ 3 x 6:
3x2 þ 3x 6 ¼ 0
)
x2 þ x 2 ¼ 0
)
x 2 ¼ 1,
x3 ¼ 2
Produktdarstellung: y ¼ 3 ðx þ 5Þ ðx 1Þ ðx þ 2Þ
(2)
Zerlege das Polynom y ¼ x 4 þ 6 x 3 8 x 2 6 x þ 9 in Linearfaktoren.
Lösung: Durch Probieren findet man eine erste Nullstelle bei x 1 ¼ 1. Die Abspaltung des zugehörigen Linearfaktors x 1 erfolgt über das Horner-Schema
(das Polynom ist geordnet und vollständig):
1
x1 ¼ 1
1
6
8
6
9
1
5
3
9
5
3
9
0
1. reduziertes Polynom: f 1 ðxÞ ¼ x 3 þ 5 x 2 3 x 9
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 3 (ebenfalls durch Probieren gefunden).
Wir spalten den zugehörigen Linearfaktor x 3 ab (das 1. reduzierte Polynom
ist geordnet und vollständig):
1
x2 ¼ 3
1
5
3
9
3
6
9
2
3
0
2. reduziertes Polynom: f 2 ðxÞ ¼ x 2 þ 2 x þ 3
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
207
Die restlichen beiden Nullstellen erhält man aus der quadratischen Gleichung
x2 þ 2x þ 3 ¼ 0
oder
x2 2x 3 ¼ 0
Sie lauten:
x 1=2 ¼ 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
12 þ 3 ¼ 1 4 ¼ 1 2
Die Nullstellen liegen an den Stellen x 3 ¼ 3 und x 4 ¼ 1. Die Produktdarstellung der Funktion lautet damit:
y ¼ 1 ðx 1Þðx 3Þ ðx 3Þ ðx þ 1Þ ¼ ðx 1Þ ðx þ 1Þ ðx 3Þ2
&
5.6 Interpolationspolynome
5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stellt sich häufig das folgende
Problem: Von einer unbekannten Funktion sind n þ 1 Kurvenpunkte (sog. Stützpunkte)
bekannt:
P 0 ¼ ðx 0 ; y 0 Þ, P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ, P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ,
. . . , P n ¼ ðx n ; y n Þ
ðIII-57Þ
(mit x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n Þ. Diese Punkte können beispielsweise in Form einer
durch Messungen gewonnenen Wertetabelle vorliegen oder aber als Messpunkte in einer
graphischen Darstellung. Die Abszissenwerte x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n werden in diesem
Zusammenhang als Stützstellen, ihre zugehörigen Ordinatenwerte y 0 , y 1 , y 2 , . . ., y n
als Stützwerte bezeichnet. Wir suchen nun eine möglichst einfache Ersatz- oder Näherungsfunktion y ¼ f ðxÞ, die mit der unbekannten Funktion in den n þ 1 Stützstellen
übereinstimmt (Bild III-69).
y
P n –1
P0
P1
y0
x0
Bild III-69
Pn
Näherungspolynom
y1
x1
P2
y2
x2
y n –1
x n –1
yn
xn
x
Näherungspolynom für eine unbekannte Funktion durch n þ 1 vorgegebene
„Stützpunkte“
208
III Funktionen und Kurven
Eine solche Funktion lässt sich durch den Polynomansatz
y ¼ a0 þ a1 x þ a2 x2 þ . . . þ an xn
ðIII-58Þ
leicht gewinnen. Diese Näherungsfunktion wird als Interpolationspolynom n-ten Grades 5Þ bezeichnet, da man mit ihr näherungsweise beliebige Zwischenwerte der unbekannten Funktion im Intervall x 0 x x n berechnen kann (sog. Interpolation).
Prinzipiell lassen sich die Polynomkoeffizienten des Ansatzes (III-58) wie folgt bestimmen: Man setzt der Reihe nach die Koordinaten der n þ 1 Stützpunkte P 0 , P 1 ,
P 2 , . . . , P n in den Lösungsansatz ein und erhält ein lineares Gleichungssystem mit
n þ 1 Gleichungen und den n þ 1 Unbekannten a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n :
a 0 þ a 1 x 0 þ a 2 x 02 þ . . . þ a n x 0n ¼ y 0
a 0 þ a 1 x 1 þ a 2 x 12 þ . . . þ a n x 1n ¼ y 1
a 0 þ a 1 x 2 þ a 2 x 22 þ . . . þ a n x 2n ¼ y 2
(III-59)
..
.
a 0 þ a 1 x n þ a 2 x n2 þ . . . þ a n x nn ¼ y n
Dieses Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung, wenn sämtliche Stützstellen x 0 ,
x 1 , x 2 , . . . , x n voneinander verschieden sind. Der Rechenaufwand beim Lösen dieses
linearen Gleichungssystems ist jedoch erheblich (Gaußscher Algorithmus!). Der Lösungsansatz (III-58) ist daher in dieser Form für die Praxis wenig geeignet. Im nachfolgenden Abschnitt werden wir einen „praxisfreundlicheren“ Polynomansatz kennenlernen,
das sog. Interpolationspolynom von Newton.
5.6.2 Interpolationspolynom von Newton
Von Newton stammt der folgende Ansatz für ein Interpolationspolynom n-ten Grades:
y ¼ a 0 þ a 1 ðx x 0 Þ þ a 2 ðx x 0 Þ ðx x 1 Þ þ
þ a 3 ðx x 0 Þðx x 1 Þ ðx x 2 Þ þ . . .
. . . þ a n ðx x 0 Þ ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ . . . ðx x n 1 Þ
ðIII-60Þ
x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n sind dabei die Stützstellen der n þ 1 vorgegebenen Kurvenpunkte
(Stützpunkte), wobei formal gesehen die Stützstelle x n in der Interpolationsformel
(III-60) nicht enthalten ist. Die Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n können dabei bequem nach dem folgenden sog. Steigungs- oder Differenzenschema berechnet werden:
5Þ
Das Interpolationspolynom kann auch von niedrigerem Grade sein!
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
½ x 2, x 3 ......
y2
y3
..
.
..
.
..
.
n
xn
yn
a3
½ x 0, x 1, x 2, x 3 ...
a2
½ x 0, x 1, x 2 ½x 1 , x 2 , x 3 x3
½ x 1, x 2 3
x2
y1
a1
½ x 0, x 1 2
x1
...
a0
1
III
II
............
x0
y0
I
yk
0
xk
k
209
...............
Anleitung zum Steigungs- oder Differenzenschema
Die im Rechenschema gebildeten Größen ½ x 0 , x 1 , ½ x 0 , x 1 , x 2 , ½ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , . . .
heißen dividierte Differenzen 1., 2., 3., . . . Ordnung. Sie sind wie folgt definiert:
(1)
Spalte I enthält die dividierten Differenzen 1. Ordnung, die aus zwei aufeinanderfolgenden Stützpunkten gebildet werden 6Þ :
½ x 0, x 1 ¼
(2)
y0 y1
;
x0 x1
½ x 1, x 2 ¼
y1 y2
;
x1 x2
...
ðIII-61Þ
Spalte II enthält die dividierten Differenzen 2. Ordnung. Sie werden aus drei aufeinanderfolgenden Stützpunkten gebildet:
½ x 0, x 1, x 2 ¼
½ x 0, x 1 ½ x 1, x 2 x0 x2
½ x 1, x 2, x 3 ¼
½ x 1, x 2 ½ x 2, x 3 x1 x3
ðIII-62Þ
..
.
6Þ
Es handelt sich um Differenzenquotienten, d. h. Steigungswerte. Dies erklärt auch die Bezeichnung des
Rechenschemas.
210
(3)
III Funktionen und Kurven
Spalte III enthält die dividierten Differenzen 3. Ordnung, die aus vier aufeinanderfolgenden Stützpunkten gebildet werden:
½ x 0, x 1, x 2, x 3 ¼
½ x 0, x 1, x 2 ½ x 1, x 2, x 3 x0 x3
½ x 1, x 2, x 3, x 4 ¼
½ x 1, x 2, x 3 ½ x 2, x 3, x 4 x1 x4
..
.
ðIII-63Þ
Entsprechend werden die dividierten Differenzen höherer Ordnung gebildet.
Wir fassen zusammen:
Interpolationspolynom von Newton (Bild III-69)
Das Newtonsche Interpolationspolynom n-ten Grades durch n þ 1 vorgegebene
Stützpunkte P 0 ¼ ðx 0 ; y 0 Þ, P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ, P 2 ¼ ðx 2 ; y 2 Þ, . . . , P n ¼ ðx n ; y n Þ
lautet wie folgt:
y ¼ a 0 þ a 1 ðx x 0 Þ þ a 2 ðx x 0 Þ ðx x 1 Þ þ
þ a 3 ðx x 0 Þ ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ þ . . .
. . . þ a n ðx x 0 Þ ðx x 1 Þ ðx x 2 Þ . . . ðx x n 1 Þ
ðIII-64Þ
Die Berechnung der Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n erfolgt dabei zweckmäßigerweise nach dem Steigungs- oder Differenzenschema.
Anmerkungen
(1)
Die Interpolationsformel von Newton besitzt gegenüber anderen Polynomansätzen
den großen Vorteil, dass die Anzahl der Stützpunkte vergrößert (oder auch verkleinert) werden kann, ohne dass man die Koeffizienten neu berechnen muss. Das Steigungs- oder Differenzenschema ist nur entsprechend zu ergänzen.
(2)
Ein Nachteil aller Polynomansätze ist die „Welligkeit“ der Näherungsfunktionen.
Denn ein Polynom n-ten Grades besitzt bis zu n 1 relative Extremwerte.
(3)
Die Newtonsche Interpolationsformel (III-64) wird häufig auch dann angewendet,
wenn die Funktionsgleichung zwar bekannt, jedoch zu kompliziert ist. Man berechnet dann einige Kurvenpunkte und nimmt diese als Stützpunkte des Interpolationspolynoms.
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Beispiel
Das Ergebnis einer Messreihe liege in Form der folgenden Wertetabelle vor:
k
0
1
2
3
xk
0
2
5
7
yk
12
16
28
54
Der Lösungsansatz lautet (das Interpolationspolynom durch die vier vorgegebenen Stützpunkte ist von höchstens 3. Grade):
y ¼ a 0 þ a 1 ðx x 0 Þ þ a 2 ðx x 0 Þðx x 1 Þ þ a 3 ðx x 0 Þðx x 1 Þðx x 2 Þ
Die Berechnung der Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 und a 3 erfolgt nach dem folgenden Steigungs- oder Differenzenschema:
I
0
0
a0
12
1
2
16
2
5
28
3
7
54
II
a1
14
4
41
xk
III
a2
2
9
yk
k
&
211
a3
1
Die Koeffizienten lauten somit:
a 0 ¼ 12,
a 1 ¼ 14,
a 2 ¼ 2,
a3 ¼ 1
Damit erhalten wir das folgende Interpolationspolynom (siehe Bild III-70):
y ¼ 12 þ 14 ðx 0Þ 2 ðx 0Þ ðx 2Þ 1 ðx 0Þ ðx 2Þ ðx 5Þ ¼
¼ x 3 þ 5 x 2 þ 8 x 12
y
40
y = – x 3 + 5 x 2 + 8 x –12
20
Bild III-70
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
– 20
– 40
– 60
&
212
III Funktionen und Kurven
5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens
Wir wenden uns einem einfachen Beispiel aus der Festigkeitslehre zu: Ein homogener
Balken der Länge l mit konstanter Querschnittsfläche wird einseitig fest eingespannt und
am freien Ende durch eine Kraft vom Betrag F auf Biegung beansprucht (Bild III-71):
x
l
Bild III-71 Biegelinie
x
y
F
Biegelinie
y
Die Durchbiegung y des Balkens ist dabei von Ort zu Ort verschieden, d. h. eine Funktion y ¼ y ðxÞ der Ortskoordinate x. Man bezeichnet diese Funktion als Biegelinie
oder elastische Linie. Sie ist die Funktionsgleichung der neutralen Faser. In unserem Beispiel wird die Biegelinie durch die folgende Polynomfunktion 3. Grades beschrieben:
F
1 3
2
y ¼ y ðxÞ ¼
ð0 x lÞ
lx x
2EI
3
(E: Elastizitätsmodul; I: Flächenmoment des Balkenquerschnitts; l: Balkenlänge).
6 Gebrochenrationale Funktionen
6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion
Definition: Funktionen, die als Quotient zweier Polynomfunktionen (ganzrationaler
Funktionen) g ðxÞ und h ðxÞ darstellbar sind, heißen gebrochenrationale Funktionen:
y ¼
g ðxÞ
am xm þ am1 xm1 þ . . . þ a1 x þ a0
¼
h ðxÞ
bn xn þ bn1 xn1 þ . . . þ b1 x þ b0
ðIII-65Þ
Eine gebrochenrationale Funktion ist für jedes x 2 R definiert und stetig mit Ausnahme
der Nullstellen des Nennerpolynoms. Man unterscheidet noch zwischen echt und unecht
gebrochenrationalen Funktionen:
n > m:
Echt gebrochenrationale Funktion
n m:
Unecht gebrochenrationale Funktion
Merke: Ist der Polynomgrad im Nenner größer als im Zähler, so ist die Funktion echt
gebrochenrational, in allen anderen Fällen jedoch unecht gebrochenrational.
6 Gebrochenrationale Funktionen
&
213
Beispiele
(1)
Zu den echt gebrochenrationalen Funktionen zählen alle Potenzfunktionen mit einem
negativen ganzzahligen Exponenten:
y ¼ xn ¼
1
xn
ðn 2 N*Þ
1
1
Die ersten Vertreter sind die Funktionen y ¼
und y ¼ 2 (siehe hierzu
x
x
auch die Bilder III-72 und III-73).
(2)
Echt gebrochenrational sind auch folgende Funktionen (die höchste Potenz tritt jeweils im Nennerpolynom auf):
y ¼
(3)
x2 3x þ 2
,
x3 4x þ 1
y ¼
x 1
,
ðx þ 2Þ ðx þ 5Þ
y ¼
4x
x4 1
Unecht gebrochenrationale Funktionen sind dagegen:
y ¼
x2 1
,
x2 þ 1
y ¼
2 x 3 þ 2 x 2 32 x þ 40
x 3 þ 2 x 2 13 x þ 10
ðZähler- und Nennerpolynom besitzen jeweils den gleichen GradÞ
y ¼
4x4 2x þ 5
,
x 2 3 x 10
y ¼
x3 6x2 þ 8x
x þ1
ðDas Zählerpolynom ist jeweils von höherem GradeÞ
&
6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole
Nullstellen
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle x 0 , wo das Zählerpolynom g ðxÞ den Wert Null, das Nennerpolynom h ðxÞ jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt:
Nullstelle x 0 :
&
g ðx 0 Þ ¼ 0
und
h ðx 0 Þ 6¼ 0
ðIII-66Þ
Beispiele
(1)
Wir berechnen die Nullstellen der Funktion y ¼
x2 1
¼ 0
x2 þ 1
)
x2 1 ¼ 0
)
x2 1
:
x2 þ 1
x 1=2 ¼ 1
(der Nenner x 2 þ 1 ist für jedes x ungleich Null). Sie liegen an den Stellen
x 1 ¼ 1 und x 2 ¼ 1.
214
(2)
III Funktionen und Kurven
y ¼
x3 6x2 þ 8x
,
x þ1
x 6¼ 1
Wir bestimmen zunächst die Nullstellen des Zählerpolynoms (bitte nachrechnen):
x 3 6 x 2 þ 8 x ¼ x ðx 2 6 x þ 8Þ ¼ 0
x1 ¼ 0 ,
x2 ¼ 2 ,
)
x3 ¼ 4
Sie sind zugleich die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion, da der Nenner
&
an diesen Stellen von Null verschieden ist.
Definitionslücken, Pole
In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert,
da die Division durch die Zahl Null nicht erlaubt ist. Stellen dieser Art werden daher folgerichtig als Definitionslücken der Funktion bezeichnet. Eine gebrochenrationale Funktion
vom Typ (III-65) besitzt daher höchstens n Definitionslücken. So ist beispielsweise die
echt gebrochenrationale Funktion y ¼ 1=x an der Stelle x 0 ¼ 0 nicht definiert. In der
unmittelbaren Umgebung dieser Stelle zeigt die Funktion jedoch ein charakteristisches Verhalten: Bei Annäherung von der linken Seite her werden die Funktionswerte kleiner als jede
noch so kleine Zahl, bei Annäherung von rechts her wachsen die Funktionswerte über jede
Grenze hinaus (Bild III-72). Definitionslücken dieser Art werden als Pole oder Unendlichkeitsstellen bezeichnet. hnlich liegen die Verhältnisse bei der Funktion y ¼ 1=x 2 . Auch
diese Funktion ist an der Stelle x 0 ¼ 0 nicht definiert. Bei beliebiger Annäherung an diese
Stelle (von links bzw. rechts) streben die Funktionswerte jeweils gegen 1 (siehe Bild
III-73). Wir haben es hier mit einem Pol 2. Ordnung zu tun (zweifache Nennernullstelle).
y
y
y= 1
x
1
1
x
y = 12
x
y = 12
x
y= 1
x
1
1
Bild III-72
Funktionsgraph von y ¼ 1=x
x
Bild III-73 Funktionsgraph von y ¼ 1=x 2
Definition: Stellen, in deren unmittelbarer Umgebung die Funktionswerte über alle
Grenzen hinaus fallen oder wachsen, heißen Pole oder Unendlichkeitsstellen der Funktion.
6 Gebrochenrationale Funktionen
215
Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind demnach Stellen, in denen das Nennerpolynom h ðxÞ verschwindet, das Zählerpolynom g ðxÞ jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt:
Polstelle x 0 :
h ðx 0 Þ ¼ 0
und
g ðx 0 Þ 6¼ 0
ðIII-67Þ
Die Funktionskurve schmiegt sich dabei asymptotisch an die in der Polstelle errichtete
Parallele zur y-Achse an (sog. senkrechte Asymptote, auch Polgerade genannt). Verhält
sich die Funktion bei der Annäherung von beiden Seiten her gleichartig, so liegt ein Pol
ohne Vorzeichenwechsel vor. Es ist dann
lim f ðxÞ ¼ þ 1
x ! x0
lim f ðxÞ ¼ 1
oder
ðIII-68Þ
x ! x0
Bei einem Pol mit Vorzeichenwechsel führt die Annäherung von rechts und links in entgegengesetzte Richtungen.
Allgemein gilt für einen Pol k-ter Ordnung (k-fache Nennernullstelle):
gerade
) Pol ohne Vorzeichenwechsel
k ¼
ungerade ) Pol mit Vorzeichenwechsel
&
Beispiel
x
besitzt in x 1 ¼ 0 eine Nullstelle
x2 4
und in x 2=3 ¼ 2 jeweils einen Pol mit Vorzeichenwechsel (die Annäherung von links
und rechts führt jeweils in verschiedene Richtungen. Die Kurve verläuft punktsymmetrisch (ungerade Funktion) und nähert sich für j x j ! 1 beliebig der x-Achse (Bild
III-74).
Die echt gebrochenrationale Funktion y ¼
y
1
–5
–2
2
5
x
–1
Bild III-74
Funktionsgraph von y ¼
x
x2 4
&
216
III Funktionen und Kurven
Sonderfall: Zähler und Nenner haben gemeinsame Nullstellen
Ist x 0 eine a-fache Nullstelle des Zählers und zugleich eine b-fache Nullstelle des
Nenners, so besitzt die gebrochenrationale Funktion f ðxÞ ¼ g ðxÞ=h ðxÞ an dieser Stelle
eine Lücke (wir erhalten den unbestimmten Ausdruck 0=0). Zähler und Nenner lassen
sich dann aber wie folgt zerlegen:
g ðxÞ ¼ ðx x 0 Þ a g* ðxÞ
mit
g* ðx 0 Þ 6¼ 0
h ðxÞ ¼ ðx x 0 Þ b h* ðxÞ
mit
h* ðx 0 Þ 6¼ 0
Wir interessieren uns jetzt für den Grenzwert an der Stelle x ¼ x 0 :
lim f ðxÞ ¼ lim
x ! x0
x ! x0
g ðxÞ
ðx x 0 Þ a g* ðxÞ
¼ lim
b
h ðxÞ
x ! x 0 ðx x 0 Þ h* ðxÞ
ðIII-69Þ
Wegen x 6¼ x 0 dürfen wir vor der Grenzwertbildung durch den Linearfaktor x x 0
kürzen. Alles Weitere hängt dann im Wesentlichen davon ab, wo die nach dem Kürzen
verbliebenen restlichen Linearfaktoren stehen. Dabei sind drei Fälle zu unterscheiden:
1: Fall : a > b
Der Linearfaktor x x 0 verschwindet komplett aus dem Nenner, im Zähler aber verbleiben ða bÞ Faktoren. Dann gilt:
lim f ðxÞ ¼ lim
x ! x0
x ! x0
ðx x 0 Þ a b g* ðxÞ
0 g* ðx 0 Þ
¼ 0
¼
h* ðxÞ
h* ðx 0 Þ
ðIII-70Þ
Der Grenzwert ist also vorhanden und die Lücke bei x ¼ x 0 kann durch die nachträgliche Festsetzung f ðx 0 Þ ¼ 0 behoben werden. Die (erweiterte) Funktion f ðxÞ hat
dann an dieser Stelle eine Nullstelle und ist dort sogar stetig.
2: Fall : a ¼ b
Der Linearfaktor x x 0 kürzt sich komplett heraus und wir erhalten einen von Null
verschiedenen Grenzwert:
lim f ðxÞ ¼ lim
x ! x0
x ! x0
g* ðxÞ
g* ðx 0 Þ
¼
¼ c 6¼ 0
h* ðxÞ
h* ðx 0 Þ
ðIII-71Þ
Die Lücke kann dann durch die nachträgliche Festsetzung f ðx 0 Þ ¼ c behoben werden.
3: Fall : b > a
Es verbleiben ðb aÞ Faktoren im Nenner, wobei gilt:
lim f ðxÞ ¼ lim
x ! x0
x ! x0
g* ðxÞ
ðx x 0 Þ b a h* ðxÞ
¼ þ1
oder
1
ðIII-72Þ
6 Gebrochenrationale Funktionen
217
(uneigentlicher Grenzwert). Die Lücke an der Stelle x ¼ x 0 lässt sich nicht beheben,
f ðxÞ besitzt hier eine Polstelle der Ordnung ðb aÞ.
&
Beispiele
(1)
f ðxÞ ¼
x2 þ x 2
ðx 1Þ ðx þ 2Þ
¼
x 1
x 1
ðx 6¼ 1Þ
Bei x 1 ¼ 1 liegt eine hebbare Lücke, da der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist:
lim
x!1
ðx 1Þ ðx þ 2Þ
¼ lim ðx þ 2Þ ¼ 3
x 1
x!1
Durch die nachträgliche Festsetzung f ð1Þ ¼ 3 wird f ðxÞ zu einer überall definierten und stetigen Funktion erweitert:
8 2
9
x þx 2
>
>
>
x 6¼ 1 >
<
=
x 1
¼ x þ2
ðf ür x 2 RÞ
f ðxÞ ¼
f ür
>
>
>
>
:
;
3
x ¼ 1
(2)
f ðxÞ ¼
x2 þ x 2
ðx 1Þ
3
¼
ðx 1Þ ðx þ 2Þ
ðx 6¼ 1Þ
ðx 1Þ 3
Auch diese Funktion hat an der Stelle x 1 ¼ 1 eine Lücke, die sich jedoch nicht
beheben lässt, da der Grenzwert nicht vorhanden ist (der Linearfaktor x 1 kann
nur einmal gekürzt werden):
lim
ðx 1Þ ðx þ 2Þ
x!1
ðx 1Þ
3
¼ lim
x!1
x þ2
ðx 1Þ 2
¼ 1
f ðxÞ hat also bei x 1 ¼ 1 eine Unendlichkeitsstelle (und zwar einen Pol ohne
Vorzeichenwechsel).
(3)
f ðxÞ ¼
ðx 2 þ x 2Þ 2
x2 2x þ 1
ðx 6¼ 1Þ
Die Zerlegung von Zähler und Nenner in Linearfaktoren führt zu der Darstellung
f ðxÞ ¼
ðx 2 þ x 2Þ 2
ðx 1Þ 2 ðx þ 2Þ 2
¼
x2 2x þ 1
ðx 1Þ 2
ðx 6¼ 1Þ
Die Funktion besitzt an der Stelle x 1 ¼ 1 eine Lücke (Zähler und Nenner verschwinden), die jedoch behoben werden kann, da der Grenzwert an dieser Stelle
vorhanden ist:
lim f ðxÞ ¼ lim
x!1
x!1
ðx 1Þ 2 ðx þ 2Þ 2
ðx 1Þ
2
¼ lim ðx þ 2Þ 2 ¼ 3 2 ¼ 9
x!1
&
218
III Funktionen und Kurven
Wir können daher bei einer gebrochenrationalen Funktion auch wie folgt vorgehen: Zunächst zerlegen wir Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren und kürzen gemeinsame Faktoren, soweit vorhanden, heraus. Auf diese Weise lassen sich unter Umständen
Definitionslücken beheben und der Definitionsbereich der Funktion damit erweitern (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel).
Wir vereinbaren daher, bei der Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion wie folgt vorzugehen:
Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion
1. Man zerlege zunächst Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren und kürze
(falls überhaupt vorhanden) gemeinsame Faktoren heraus.
2. Die im Zähler verbliebenen Linearfaktoren liefern dann die Nullstellen, die im
Nenner verbliebenen Linearfaktoren die Polstellen der gebrochenrationalen
Funktion.
&
Beispiel
y ¼
2 x 3 þ 2 x 2 32 x þ 40
x 3 þ 2 x 2 13 x þ 10
Zähler- und Nennerpolynom dieser unecht gebrochenrationalen Funktion werden zunächst in Linearfaktoren zerlegt (Horner-Schema verwenden), gemeinsame Linearfaktoren anschließend herausgekürzt:
y ¼
2 x 3 þ 2 x 2 32 x þ 40
2 ðx 2Þ 2 ðx þ 5Þ
¼
x 3 þ 2 x 2 13 x þ 10
ðx 1Þ ðx 2Þ ðx þ 5Þ
y ¼
2 ðx 2Þ
x 1
ðx 6¼ 1, 2, 5Þ
ðx 6¼ 1Þ
Die ursprünglich vorhandenen Definitionslücken an den Stellen x ¼ 2 und x ¼ 5
wurden somit behoben! Die „neue“ erweiterte Funktion besitzt jetzt nur noch eine Definitionslücke bei x ¼ 1. Die verbliebenen Linearfaktoren des Zählers liefern dann die
Nullstellen, die des Nenners die Polstellen der Funktion:
Nullstelle:
x1 ¼ 2
Polstelle:
x2 ¼ 1
(Pol mit Vorzeichenwechsel)
2 ðx 2Þ
skizziert. Sie besitzt
x 1
nur noch eine Definitionslücke (Polstelle) bei x 2 ¼ 1. Die ursprüngliche Funktion hat
den gleichen Verlauf, jedoch bei 5 und 2 zwei Lücken (Unstetigkeiten).
In Bild III-75 ist der Verlauf der „neuen“ Funktion y ¼
6 Gebrochenrationale Funktionen
219
y
4
2
–5
–1
–1
2
5
x
Bild III-75
Funktionsgraph von y ¼
2 ðx 2Þ
x 1
–5
&
6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion
im Unendlichen
Eine echt gebrochenrationale Funktion f ðxÞ nähert sich für große x-Werte stets asymptotisch der x-Achse, da das Nennerpolynom infolge des höheren Grades schneller
wächst als das Zählerpolynom. Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen, d. h. für
x ! 1 lautet daher y ¼ 0 (x-Achse).
&
Beispiele
1
1
(Bild III-72), y ¼ 2 (Bild III-73)
Die echt gebrochenrationalen Funktionen y ¼
x
x
x
und y ¼ 2
(Bild III-74) nähern sich für x ! 1 jeweils asymptotisch
x 4
&
der x-Achse.
Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ muss man wie folgt verfahren, um
ihr Verhalten im Unendlichen beurteilen zu können: Zunächst wird die unecht gebrochene Funktion f ðxÞ durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) p ðxÞ und eine echt gebrochene Funktion r ðxÞ zerlegt:
f ðxÞ ¼ p ðxÞ þ r ðxÞ
ðIII-73Þ
Diese Zerlegung ist stets möglich und eindeutig! Für x ! 1 verschwindet der echt
gebrochenrationale Anteil r ðxÞ der Zerlegung und die gegebene Funktion zeigt daher
in diesem Bereich ein ähnliches Verhalten wie die Polynomfunktion p ðxÞ. Diese ist
somit Asymptote im Unendlichen.
220
III Funktionen und Kurven
Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen:
Bestimmung der Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen
1. Jede echt gebrochenrationale Funktion y ¼ f ðxÞ nähert sich für x ! 1
beliebig der x-Achse. Daher ist y ¼ 0 die Gleichung ihrer Asymptote im
Unendlichen.
2. Eine unecht gebrochenrationale Funktion y ¼ f ðxÞ wird zunächst durch
Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) p ðxÞ und
eine echt gebrochenrationale Funktion r ðxÞ zerlegt:
f ðxÞ ¼ p ðxÞ þ r ðxÞ
ðIII-74Þ
Für x ! 1 strebt r ðxÞ ! 0 und die unecht gebrochene Funktion f ðxÞ
nähert sich asymptotisch der Polynomfunktion p ðxÞ, d. h. y ¼ p ðxÞ ist die
Gleichung ihrer Asymptote im Unendlichen.
Anmerkung
Die Kurve y ¼ f ðxÞ ¼ p ðxÞ þ r ðxÞ schneidet ihre Asymptote y ¼ p ðxÞ überall
dort, wo die Restfunktion r ðxÞ verschwindet. Diese Schnittpunkte lassen somit aus der
Gleichung r ðxÞ ¼ 0 berechnen.
&
Beispiel
y ¼
0,5 x 3 1,5 x þ 1
x2 þ 3x þ 2
(unecht gebrochenrationale Funktion)
Zähler- und Nennerpolynom werden in Linearfunktion zerlegt, gemeinsame Faktoren
(vereinbarungsgemäß) herausgekürzt:
y ¼
0,5 x 3 1,5 x þ 1
0,5 ðx 1Þ 2 ðx þ 2Þ
¼
x2 þ 3x þ 2
ðx þ 1Þ ðx þ 2Þ
ðx 6¼ 1, 2Þ
(gemeinsamen Faktor x þ 2 kürzen)
y ¼
0,5 ðx 1Þ 2
0,5 x 2 x þ 0,5
¼
x þ1
x þ1
ðx 6¼ 1Þ
Nullstellen:
x 1=2 ¼ 1 (doppelte Nullstelle, d. h. Berührungspunkt
und zugleich Extremwert)
Polstelle:
x 3 ¼ 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel)
Die ursprüngliche Definitionslücke bei x ¼ 2 wurde behoben, die in ihrem Definitionsbereich nachträglich erweiterte Funktion besitzt damit nur noch eine einzige Definitionslücke an der Stelle x ¼ 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel).
6 Gebrochenrationale Funktionen
221
Wir zerlegen nun die unecht gebrochene erweiterte Funktion durch Polynomdivision in
einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil:
y ¼ ð0,5 x 2 x þ 0,5Þ : ðx þ 1Þ ¼ 0,5 x 1,5 þ
2
x þ1
ð0,5 x 2 þ 0,5 xÞ
1,5 x þ 0,5
ð 1,5 x 1,5Þ
2
Somit gilt:
y ¼
0,5 ðx 1Þ 2
0,5 x 2 x þ 0,5
2
¼ 0,5 x 1,5 þ
¼
x þ1
x þ1
x þ1
Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen lautet daher:
y ¼ 0,5 x 1,5
2
x þ1
nirgends verschwindet. In Bild III-76 ist der Funktionsverlauf graphisch dargestellt. Die
ursprüngliche Funktion hat den gleichen Verlauf mit Ausnahme der Stelle x ¼ 2
(dort besitzt sie eine Lücke).
Kurve und Asymptote besitzen keine Schnittpunkte, da die Restfunktion r ðxÞ ¼
y
5
1
–5
–1
Asymptote
1
5
x
Bild III-76
Funktionsgraph von
0,5 ðx 1Þ 2
y ¼
x þ1
Maximum
–5
&
222
III Funktionen und Kurven
6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators
Wir betrachten einen aus zwei konzentrischen, leitenden Kugelschalen mit den Radien
r 1 und r 2 bestehenden Kugelkondensator (r 1 < r 2 ; Bild III-77). Seine Kapazität beträgt:
C ¼
4 p e0 er r1 r2
r2 r1
ðIII-75Þ
(e 0 : Elektrische Feldkonstante; e r : Dielektrizitätskonstante der Kondensatorfüllung). Die
Differenz zwischen Außen- und Innenradius bezeichnen wir mit x:
x ¼ r2 r1 > 0
ðIII-76Þ
Die Kapazitätsformel (III-75) geht dann über in:
C ¼
4 p e 0 e r r 1 ðr 1 þ xÞ
x
ðx > 0Þ
ðIII-77Þ
Bei fest vorgegebenem Innenradius r 1 ¼ const: ¼ R ist die Kapazität C nur noch
von der Größe x abhängig:
4 p e 0 e r R ðR þ xÞ
R
¼ 4 p e0 er R 1 þ
ðx > 0Þ ðIII-78Þ
C ¼ C ðxÞ ¼
x
x
Die Größen C und x sind über eine unecht gebrochenrationale Funktion miteinander
verknüpft, die für x ! 1 gegen den Grenzwert
R
¼ 4 p e0 er R
lim C ðxÞ ¼ lim 4 p e 0 e r R 1 þ
ðIII-79Þ
x
x!1
x!1
strebt (Bild III-78).
C
r2
r1
C = C(x)
x
4 pe 0 e r R
x
Bild III-77
Kugelkondensator
Bild III-78 Kapazität eines Kugelkondensators in
Abhängigkeit vom Abstand der beiden Kugelschalen
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
223
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
Die einfachsten Potenzfunktionen sind vom Typ
y ¼ f ðxÞ ¼ x n
ðn 2 N*Þ
ðIII-80Þ
und gehören zu den ganzrationalen Funktionen. Sie sind überall in R definiert und
stetig und abwechselnd gerade und ungerade:
8
9
n ¼ gerade =
< f ðxÞ
f ür
f ð xÞ ¼
ðIII-81Þ
: f ðxÞ
n ¼ ungerade ;
&
Beispiele
Bild III-79 zeigt die Graphen der ungeraden Potenzfunktionen y ¼ x, y ¼ x 3 und
y ¼ x 5 , Bild III-80 die der geraden Potenzfunktionen y ¼ x 2 , y ¼ x 4 und y ¼ x 6 .
y
y
y=x2
2
y=x
y=x4
1
y=x3
1
y=x5
–1
1
x
y=x6
–1
1
x
–1
Bild III-79
Ungerade Potenzfunktionen
Bild III-80
Gerade Potenzfunktionen
&
Für negativ-ganzzahlige Exponenten erhält man gebrochenrationale Funktionen vom Typ
y ¼ xn ¼
1
xn
ðn 2 N*Þ
ðIII-82Þ
Sie sind für jedes reelle x 6¼ 0 definiert und stetig und besitzen an der Stelle x 0 ¼ 0
einen Pol mit oder ohne Vorzeichenwechsel, je nachdem ob n eine ungerade oder gerade Zahl ist. Für gerades n sind diese Potenzfunktionen gerade, für ungerades n ungerade.
224
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
Die ersten Vertreter dieser Funktionen lauten wie folgt:
y ¼ x1 ¼
1
x
ðungerade Funktion; Bild III-81Þ
y ¼ x2 ¼
1
x2
ðgerade Funktion; Bild III-82Þ
Beide Funktionen sind für jedes x 6¼ 0 definiert und besitzen an der Stelle x 0 ¼ 0
einen Pol mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel.
y
y
y= 1
x
1
x
1
y = 12
x
y = 12
x
y= 1
x
1
–1
Bild III-81
Potenzfunktion y ¼ x 1 ¼ 1=x
(2)
1
x
Bild III-82
Potenzfunktion y ¼ x 2 ¼ 1=x 2
Ein Beispiel aus der physikalischen Chemie liefert die Zustandsgleichung für 1 Mol
eines idealen Gases bei konstanter Temperatur T. Druck p und Volumen V sind
dabei zueinander umgekehrt proportionale Größen (Bild III-83):
p V ¼ R T ¼ const:
p ¼
const:
,
V
p
V > 0
(R: allgemeine Gaskonstante)
p=
const.
V
V
Bild III-83
Isotherme eines idealen Gases
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
(3)
225
Gravitationsfeld der Erde
Eine Masse m erfährt im Gravitationsfeld der Erde die Anziehungskraft
F ¼ F ðrÞ ¼ f Mm
1
2
2
r
r
ðr r 0 Þ
wobei r der Abstand der Masse vom Erdmittelpunkt ist (M: Erdmasse; r 0 : Erd&
radius; f : Gravitationskonstante).
7.2 Wurzelfunktionen
Bereits in Abschnitt 2.5 haben wir erkannt, dass die Potenzfunktion y ¼ x 2 (Normalparabel) in ihrem Definitionsbereich 1 < x < 1 wegen fehlender Monotonie-Eigenschaft nicht umkehrbar ist. Beschränken wir uns jedoch auf den 1. Quadranten, d. h.
auf das Intervall x 0, so verläuft diese Funktion dort streng monoton wachsend und
ist daher in diesem Intervall auch umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist die als Wurzelfunktion bezeichnete Funktion
pﬃﬃﬃﬃ
y ¼ x
ðx 0Þ
ðIII-83Þ
Bild III-84 zeigt den Verlauf der „Halbparabel“ und ihrer Umkehrfunktion. Aus dem
gleichen Grund ist jede Potenzfunktion mit einem geraden Exponent, d. h. jede Potenzfunktion vom Typ y ¼ x 2 k mit k 2 N* im Intervall x 0 umkehrbar.
y
y=x2
y=x
y= x
Bild III-84
pﬃﬃﬃﬃ
Die Wurzelfunktion y ¼ x als
Umkehrfunktion der auf das Intervall
x 0 beschränkten Potenzfunktion
y ¼ x 2 („Halbparabel“)
1
1
x
Wir betrachten nun die Potenzfunktion y ¼ x 3 (siehe hierzu Bild III-79). Sie verläuft
in ihrem gesamten Definitionsbereich 1 < x < 1 streng monoton wachsend und
ist somit
pﬃﬃﬃﬃ dort umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion müsste daher konsequenterweise mit
y ¼ 3 x bezeichnet werden und wäre damit eine für alle x 2 R definierte Funktion.
hnlich liegen die Verhältnisse bei den übrigen Potenzfunktionen vom Typ y ¼ x 2 k 1
mit k 2 N* (Potenzen mit ungeraden Exponenten).
226
III Funktionen und Kurven
Aus systematischen Gründen erscheint es aber sinnvoll, die Umkehrung der Potenzfunktionen y ¼ x n mit n 2 N* auf ein allen Potenzen gemeinsames Intervall zu beschränken, in dem diese Funktionen streng monoton verlaufen. Ein solches Intervall ist
x 0. Diese berlegungen führen zu der folgenden Definition:
Definition: Die Umkehrfunktionen der auf das Intervall x 0 beschränkten
Potenzfunktionen vom Typ y ¼ x n heißen Wurzelfunktionen (mit
n 2 N*). Symbolische Schreibweise:
pﬃﬃﬃﬃ
y ¼ n x
ðx 0Þ
ðIII-84Þ
(gelesen: n-te Wurzel aus x)
Anmerkungen
&
(1)
Die Wurzelfunktionen sind streng monoton wachsende Funktionen.
(2)
Die Definition des Begriffs „Wurzelfunktion“ erfolgt in der mathematischen Literatur keineswegs einheitlich. Nach unserer Definition (III-84) sind die Wurzelfunktionen nur für nicht-negative Argumente, d. h. für x 0 erklärt und dort
stetig. Der Wertebereich ist y 0, die Kurven verlaufen daher alle im ersten
Quadranten.
Beispiele
(1)
Die Umkehrfunktion der auf das Intervall x 0 beschränkten
pﬃﬃﬃﬃ
pNormalparabel
ﬃﬃﬃﬃ
y ¼ x 2 ist die für x 0 definierte Wurzelfunktion y ¼ 2 x x (siehe Bild
III-84).
(2) Ein Beispiel aus den Anwendungen: In einem LC-Kreis mit der Induktivität L
und der Kapazität C hängt die Schwingungsdauer T bei konstanter Induktivität
L 0 wie folgt von der Kapazität C ab (Bild III-85):
T ¼ 2p pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ
L 0 C ¼ 2 p L 0 C ¼ const: C
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
const:
ðf ür C 0Þ
T
C
Bild III-85 Schwingungsdauer T in Abhängigkeit von der Kapazität C in einem LC-Kreis
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
(3)
227
Die sog. kubische Parabel y ¼ x 3 verläuft in ihrem gesamten Definitionsbereich
1 < x < 1 streng monoton wachsend, ist dort also umkehrbar. Wie lautet
ihre Umkehrfunktion?
pﬃﬃﬃﬃ
Lösung: Die Wurzelfunktion y ¼ 3 x ðx 0Þ ist definitionsgemäß die Umkehrfunktion der auf den 1. Quadranten beschränkten kubischen Parabel. Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von y ¼ x 3 für x < 0 lautet (wegen der
Punktsymmetrie der Gesamtkurve):
y ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
3
x ¼ 3 jxj
ðx < 0Þ
Insgesamt erhält man damit im Intervall 1 < x < 1 die folgende Darstellung
für die gesuchte Umkehrfunktion der kubischen Parabel (Bild III-86):
y ¼ f ðxÞ ¼
8
<
p
ﬃﬃﬃﬃ
3
x
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
:p
3
jxj
f ür
9
x 0=
x < 0;
y
1
1
x
Bild III-86
Umkehrfunktion der kubischen
Parabel y ¼ x 3
Berechnung einiger Funktionswerte:
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
3
125 ¼ 5
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
p
ﬃﬃﬃﬃﬃ
3
f ð 1Þ ¼ 3 j 1 j ¼ 1 ¼ ð1Þ ¼ 1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
f ð 82,5Þ ¼ 3 j 82,5 j ¼ 3 82,5 ¼ ð4,3533Þ ¼ 4,3533
f ð125Þ ¼
&
228
III Funktionen und Kurven
7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
Unter Verwendung der für alle x 0 definierten Wurzelfunktionen sind wir jetzt in der
Lage, den Begriff der Potenzfunktion auch auf rationale Exponenten auszudehnen:
Definition: Unter einer Potenzfunktion mit dem rationalen Exponenten m=n verstehen wir die Funktion
y ¼ f ðxÞ ¼ x
mit m 2 Z
m
n
¼
p
n ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
xm
ðx > 0Þ
ðIII-85Þ
und n 2 N*.
Die Potenzfunktion y ¼ x m=n ist also definitionsgemäß die n-te Wurzel aus der Potenz
x m . Man beachte, dass diese Funktion zunächst nur für x > 0 erklärt ist. Für positive
Exponenten lässt sich jedoch der Definitionsbereich auf das Intervall x 0 erweitern.
p
n ﬃﬃﬃﬃ
Die Wurzelfunktionen y ¼ x ðx 0Þ sind auch als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten wie folgt darstellbar:
p
p
n ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
n ﬃﬃﬃﬃ
ðx 0Þ
ðIII-86Þ
y ¼ x ¼ x 1 ¼ x 1=n
Anmerkungen
(1)
Der Begriff der Potenzfunktion lässt sich auch auf beliebige reelle Exponenten a
ausdehnen. Man setzt in diesem Falle
y ¼ x a ¼ e ln x ¼ e a ln x
a
ðx > 0Þ
ðIII-87Þ
Dies erklärt auch, warum der Definitionsbereich einer allgemeinen Potenzfunktion auf das Intervall x > 0 beschränkt werden muss 7Þ .
(2)
&
Die Potenzfunktionen sind für positive Exponenten streng monoton wachsend, für
negative Exponenten dagegen streng monoton fallend (vgl. hierzu auch die beiden
nachfolgenden Beispiele).
Beispiele
(1)
Die für x 0 definierte streng monoton wachsende Potenzfunktion
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
3
y ¼ x 3 ¼ x2
besitzt den in Bild III-87 dargestellten Verlauf.
7Þ
ln x ist der „natürliche Logarithmus“ von x und nur für x > 0 definiert. In Abschnitt 12 wird diese
wichtige Funktion ausführlich behandelt. Die Basis e ist die Eulersche Zahl.
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
229
y
y
y = x 2/3
1
y = x –1/2
1
1
2
Bild III-87 Graph der Potenzfunktion
y ¼ x 2=3 ðx 0Þ
(2)
1
x
x
Bild III-88 Graph der Potenzfunktion
y ¼ x 1=2 ðx > 0Þ
Die für x > 0 erklärte und streng monoton fallende Potenzfunktion
y ¼ x 1=2 ¼
1
x 1=2
1
¼ pﬃﬃﬃﬃ
x
&
ist in Bild III-88 graphisch dargestellt.
7.4 Ein Anwendungsbeispiel:
Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld
Ein Elektron erfährt in einem elektrischen Feld der konstanten Feldstärke E die Kraft
F ¼ e E entgegen der Feldrichtung (e: Elementarladung) 8Þ . Es wird daher beschleunigt und nimmt dabei kinetische Energie auf. Die vom Feld verrichtete Arbeit beträgt
W ¼ e U, wobei U die vom Elektron durchlaufene Spannung ist. Nach dem Energiesatz gilt dann:
1
m0 v2 ¼ e U
2
ðIII-88Þ
(m 0 : Ruhemasse des Elektrons; v: Geschwindigkeit des Elektrons). Das Elektron erreicht damit nach Durchlaufen der Spannung U die Endgeschwindigkeit
v ¼
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
e
e
2
U ¼ const: U
U ¼
2
m0
m0
ðIII-89Þ
Die Größen v und U sind demnach über eine Wurzelfunktion miteinander verknüpft.
8Þ
~ bzw. der Kraft F
~.
E und F sind die Beträge der Feldstärke E
230
III Funktionen und Kurven
8 Kegelschnitte
8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische
Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten
Die durch Schnitt eines geraden Doppelkegels mit einer Ebene entstehenden (ebenen)
Kurven werden unter der Bezeichnung Kegelschnitte zusammengefasst. Zu ihnen gehören Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. Sie lassen sich durch algebraische Gleichungen 2. Grades vom allgemeinen Typ
A x2 þ B y2 þ C x þ D y þ E ¼ 0
ðA 2 þ B 2 6¼ 0Þ
ðIII-90Þ
beschreiben, wobei die Symmetrieachsen der Kegelschnitte parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. ber die Art und Lage des Kegelschnittes entscheiden ausschließlich
die konstanten Koeffizienten A, B, C, D und E in der Gleichung (III-90).
Im Einzelnen gilt dabei (sog. Entartungsfälle eingeschlossen):
Kriterium zur Feststellung der Art eines Kegelschnittes
Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel) mit achsenparallelen Symmetrieachsen lassen sich in einem kartesischen x, y-Koordinatensystem durch algebraische Gleichungen 2. Grades vom Typ
A x2 þ B y2 þ C x þ D y þ E ¼ 0
ðA 2 þ B 2 6¼ 0Þ
ðIII-91Þ
beschreiben, wobei die konstanten Koeffizienten dieser Gleichung wie folgt über
die Art eines Kegelschnittes entscheiden:
Kreis:
A ¼ B
Ellipse:
A B > 0,
Hyperbel:
AB < 0
Parabel:
A ¼ 0,
A 6¼ B
B 6¼ 0
oder
B ¼ 0,
A 6¼ 0
Anmerkungen
(1)
Bei gleichem Vorzeichen der Koeffizienten A und B handelt es sich also um eine
Ellipse (im Sonderfall A ¼ B um einen Kreis), bei unterschiedlichem Vorzeichen
dagegen um eine Hyperbel. Eine Parabel liegt immer dann vor, wenn einer der
beiden Koeffizienten verschwindet (nur ein quadratisches Glied).
(2)
Es können sog. Entartungsfälle auftreten, wie das folgende einfache Beispiel zeigt.
Für die algebraische Gleichung x 2 þ y 2 þ 1 ¼ 0 gilt A ¼ B ¼ 1. Wir vermuten daher, dass es sich hier um einen Kreis handelt (andere Kegelschnitte scheiden
jedenfalls aus). Eine geringfügige Umstellung der Gleichung auf die Form
x 2 þ y 2 ¼ 1 zeigt jedoch, dass diese einen Widerspruch enthält. Denn die
8 Kegelschnitte
231
Summe zweier Quadrate (linke Seite) kann niemals negativ sein (rechte Seite). Daher gibt es keine Punkte ðx; yÞ, die diese Gleichung erfüllen. Die oben angegebenen Bedingungen sind zwar notwendig, nicht aber hinreichend.
In den folgenden Abschnitten geben wir zunächst einen kurzen berblick über die Gleichungen der einzelnen Kegelschnitte (Mittelpunktsgleichung bzw. Scheitelgleichung,
Hauptform, Funktionsgleichungen). Dann zeigen wir anhand von konkreten Beispielen,
wie man Art und Lage eines Kegelschnittes bestimmt.
Zusätzliche Informationen über die Kegelschnitte findet der Leser in der Mathematischen
Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
8.2 Gleichungen eines Kreises
Der Kreis ist definitionsgemäß der geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, die
von einem festen Punkt, dem Kreismittelpunkt M, den gleichen Abstand r (Radius
genannt) besitzen (Bild III-89):
MP ¼ const: ¼ r
y
Bezeichnungen (siehe Bild III-89):
M:
Mittelpunkt
r:
Radius
Bild III-89
Zur geometrischen
Definition eines
Kreises
P
r
M
x
Gleichungen eines Kreises
Mittelpunktsgleichung (Bild III-90):
x2 þ y2 ¼ r2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ r2 x2
M ¼ ð0; 0Þ
ðIII-92Þ
ð r x rÞ
ðIII-93Þ
(Oberer und unterer Halbkreis)
Hauptform der Kreisgleichung (verschobener Kreis; Bild III-91):
ðx x 0 Þ 2 þ ðy y 0 Þ 2 ¼ r 2
y ¼ y0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 ðx x 0 Þ 2
(Oberer und unterer Halbkreis)
M ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
ðIII-94Þ
ðx 0 r x x 0 þ rÞ
ðIII-95Þ
232
III Funktionen und Kurven
Anmerkungen
(1)
Der Mittelpunktskreis wird auch als Ursprungskreis bezeichnet.
(2)
Jede durch den Mittelpunkt M gehende Gerade (Durchmesser) ist zugleich auch
Symmetrieachse.
(3)
Der verschobene Kreis lässt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf den Mittelpunktskreis zurückführen.
Als neuen Koordinatenursprung wählt man dabei den Kreismittelpunkt M. In Bild
III-91 sind die neuen Koordinatenachsen durch Strichelung angedeutet.
y
y
P
P
M
r
y0
r
M
x
x0
Bild III-90 Mittelpunktskreis
x
Bild III-91 Zur Hauptform der Kreisgleichung
(verschobener Kreis)
8.3 Gleichungen einer Ellipse
Die Ellipse ist definitionsgemäß die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die die Summe
der Entfernungen von zwei festen Punkten, den sog. Brennpunkten F 1 und F 2 , konstant
ist (Bild III-92):
F 1 P þ F 2 P ¼ const: ¼ 2 a
y
Bezeichnungen (siehe Bild III-92):
M:
P
Mittelpunkt
b
F 1 , F 2 : Brennpunkte
a > 0:
Große Halbachse
b > 0:
Kleine Halbachse
e > 0:
Brennweite
M
F2
a
e
F1
Bild III-92 Zur geometrischen Definition
einer Ellipse
x
8 Kegelschnitte
233
Zwischen den Halbachsen a und b und der Brennweite e besteht die Beziehung
a2 ¼ b2 þ e2
ðIII-96Þ
Gleichungen einer Ellipse
Mittelpunktsgleichung (Bild III-93):
x2
y2
þ
¼ 1
oder
a2
b2
b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2 x2
y ¼ a
b2 x2 þ a2 y2 ¼ a2 b2
M ¼ ð0; 0Þ
ð a x aÞ
ðIII-97Þ
ðIII-98Þ
(Obere und untere Halbellipse)
Hauptform der Ellipsengleichung (verschobene Ellipse; Bild III-94):
ðx x 0 Þ 2
ðy y 0 Þ 2
þ
¼ 1
M ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
a2
b2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b
y ¼ y0 a 2 ðx x 0 Þ 2
ðx 0 a x x 0 þ aÞ
a
ðIII-99Þ
ðIII-100Þ
(Obere und untere Halbellipse)
y
y
b
M
b
a
x
y0
M
a
x0
Bild III-93 Mittelpunktsellipse
x
Bild III-94 Zur Hauptform der Ellipsengleichung
(verschobene Ellipse)
234
III Funktionen und Kurven
Anmerkungen
(1)
Die Mittelpunktsellipse wird auch als Ursprungsellipse bezeichnet.
(2)
Die durch den Mittelpunkt M gehenden Parallelen zu den Koordinatenachsen sind
zugleich auch die (einzigen) Symmetrieachsen.
(3)
Die verschobene Ellipse lässt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Mittelpunktsellipse zurückführen. Man wählt dabei den Ellipsenmittelpunkt M als neuen Koordinatenursprung.
In Bild III-94 sind die neuen Koordinatenachsen durch Strichelung angedeutet.
(4)
Für den Sonderfall a ¼ b erhält man einen Kreis mit dem Radius r ¼ a.
(5)
Eine Ellipse lässt sich aus den vier Scheitelpunkten (Schnittpunkte mit den beiden
Symmetrieachsen) leicht skizzieren.
8.4. Gleichungen einer Hyperbel
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F 1 und F 2 , konstant ist (Bild
III-95):
j F 1 P F 2 P j ¼ const: ¼ 2 a
y
P
b
Bild III-95
Zur geometrischen Definition einer
Hyperbel
M
F2 S2
e
S1 F1
x
a
Bezeichnungen (siehe Bild III-95):
M:
Mittelpunkt
S 1, S 2 :
Scheitelpunkte
a > 0:
Große oder reelle Halbachse
b > 0:
Kleine oder imaginäre Halbachse
e > 0:
Brennweite
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
F 1 , F 2 : Brennpunkte
e2 ¼ a2 þ b2
8 Kegelschnitte
235
Gleichungen einer Hyperbel
Mittelpunktsgleichung (Bild III-96):
x2
y2
2 ¼ 1
2
a
b
y ¼ oder
b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 a2
a
b2 x2 a2 y2 ¼ a2 b2
M ¼ ð0; 0Þ
ðj x j aÞ
ðIII-101Þ
ðIII-102Þ
(Oberer und unterer Teil der Hyperbel)
Asymptoten im Unendlichen: y ¼ b
x
a
Hauptform der Hyperbelgleichung (verschobene Hyperbel; Bild III-97):
ðx x 0 Þ 2
ðy y 0 Þ 2
¼ 1
M ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
a2
b2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b
y ¼ y0 ðj x x 0 j aÞ
ðx x 0 Þ 2 a 2
a
ðIII-103Þ
ðIII-104Þ
(Oberer und unterer Teil der Hyperbel)
Asymptoten im Unendlichen: y ¼ y 0 b
ðx x 0 Þ
a
y
Asymptote
Asymptote
b
Bild III-96
Mittelpunktshyperbel
a
F2
S2
M
S1
F1
x
236
III Funktionen und Kurven
y
Asymptote
Asymptote
b
y0
F2
S2
M
a
S1 F1
x0
x
Bild III-97 Zur Hauptform der Hyperbelgleichung (verschobene Hyperbel)
Anmerkungen
(1)
Die Mittelpunktshyperbel wird auch als Ursprungshyperbel bezeichnet.
(2)
Die durch den Mittelpunkt M gehenden Parallelen zu den Koordinatenachsen sind
zugleich auch die (einzigen) Symmetrieachsen.
(3)
Die verschobene Hyperbel lässt sich stets durch eine Koordinatentransformation
(Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Mittelpunktshyperbel zurückführen. Neuer Koordinatenursprung wird dabei der Hyperbelmittelpunkt M.
Die neuen Koordinatenachsen sind in Bild III-97 durch Strichelung angedeutet.
(4)
Im Sonderfall a ¼ b stehen die beiden Asymptoten aufeinander senkrecht. Die
Mittelpunktshyperbel besitzt dann die spezielle Gleichung
x2
y2
2 ¼ 1
2
a
a
oder
x2 y2 ¼ a2
ðIII-105Þ
und wird als rechtwinklige oder gleichseitige Hyperbel bezeichnet. Die Gleichungen der beiden Asymptoten lauten in diesem Sonderfall: y ¼ x.
(5)
Weil a eine geometrische Bedeutung hat (2 a ist der Abstand der beiden Scheitelpunkte), b dagegen keine, wird a auch als „reelle“ und b als „imaginäre“
Halbachse bezeichnet.
(6)
Der ungefähre Verlauf einer Hyperbel lässt sich aus den beiden Scheitelpunkten
und den beiden Asymptoten leicht ermitteln. Die Asymptoten sind die Flächendiagonalen des in Bild III-96 gestrichelt gezeichneten Rechtecks mit den Seitenlängen 2 a und 2 b.
8 Kegelschnitte
237
8.5. Gleichungen einer Parabel
Die Parabel ist als geometrischer Ort aller Punkte P einer Ebene definiert, die von
einem festen Punkt, dem Brennpunkt F, und einer festen Geraden, Leitlinie genannt,
gleich weit entfernt sind (Bild III-98):
F P ¼ AP
y
Leitlinie
Bezeichnungen (siehe Bild III-98):
p:
Parameter (der Betrag von p ist der Abstand
zwischen Brennpunkt und Leitlinie)
S:
Scheitelpunkt der Parabel
F:
Brennpunkt (Brennweite: e ¼ F S ¼ j p j = 2)
P
A
S F
x
p
Bild III-98
Zur geometrischen Definition einer Parabel
Gleichungen einer Parabel
Scheitelgleichung (Bild III-99):
y2 ¼ 2 p x
S ¼ ð0; 0Þ
ðIII-106Þ
p > 0: Parabel ist nach rechts geöffnet (Bild III-99)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ 2px
ðx 0Þ
ðIII-107Þ
p < 0: Parabel ist nach links geöffnet
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ 2px
ðx 0Þ
ðIII-108Þ
Hauptform der Parabelgleichung (verschobene Parabel; Bild III-100):
ð y y 0 Þ 2 ¼ 2 p ðx x 0 Þ
S ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
ðIII-109Þ
p > 0: Parabel ist nach rechts geöffnet (Bild III-100)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ y0 2 p ðx x 0 Þ
ðx x 0 Þ
ðIII-110Þ
p < 0: Parabel ist nach links geöffnet
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2 p ðx x 0 Þ
ðx x 0 Þ
y ¼ y0 ðIII-111Þ
238
III Funktionen und Kurven
y
y
S
x
y0
S
x
x0
Bild III-99 Zur Scheitelgleichung
der Parabel
Bild III-101 Zur Konstruktion einer Parabel aus 5
Punkten
Anmerkungen
(1)
Die nach oben bzw. unten geöffneten Parabeln wurden bereits im Zusammenhang
mit den Polynomfunktionen in Abschnitt 5.3 ausführlich behandelt.
(2)
Die durch den Scheitelpunkt S gehende Parallele zur x-Achse ist zugleich auch
die (einzige) Symmetrieachse.
(3)
Die Hauptform (bei einer verschobenen Parabel) lässt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Scheitelgleichung zurückführen. Man wählt dabei den Scheitelpunkt S als neuen Koordinatenursprung. Die neuen Koordinatenachsen sind in Bild III-100 durch
Strichelung angedeutet.
(4)
Der ungefähre Verlauf einer Parabel mit der Scheitelgleichung y 2 ¼ 2 p x lässt
sich aus den folgenden fünf Parabelpunkten leicht ermitteln (Bild III-101):
y
P4
2p
P 1 ¼ S ¼ ð0; 0Þ
p
P 2=3 ¼ ð p=2 ; pÞ
S
P 4=5 ¼ ð2 p ; 2 pÞ
–p
P2
p/2
2p
x
P3
–2p
P5
Bild III-100 Zur Hauptform der Parabelgleichung (verschobene Parabel)
8 Kegelschnitte
239
8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten
Bei der Feststellung der Art und Lage eines Kegelschnittes, dessen Gleichung in der
allgemeinen Form (III-90) vorliegt, gehen wir schrittweise wie folgt vor:
1. Zunächst bestimmen wir anhand des in Abschnitt 8.1 beschriebenen Kriteriums
aus den bekannten Koeffizienten der Kegelschnittgleichung die Art des vorliegenden Kegelschnittes (z. B. Kreis oder Ellipse).
2. Dann wird die Lage des Kegelschnittes ermittelt, indem man die von x bzw. y
abhängigen Terme in der Kegelschnittgleichung jeweils für sich getrennt quadratisch ergänzt und die Kegelschnittgleichung schließlich auf die entsprechende
Hauptform bringt, aus der sich die Lageparameter und alle weiteren benötigten
Größen sofort ablesen lassen.
&
Beispiele
Hinweis: Ohne Rechnung lassen sich bereits aus der Kegelschnittgleichung wichtige Informationen gewinnen. Ein unverschobener Kegelschnitt liegt genau dann vor, wenn die
Gleichung keine linearen Glieder enthält. Bei nur einem linearen Glied ist der Kegelschnitt in der entsprechenden Koordinatenrichtung verschoben (z. B. bei einem linearen
x-Glied in Richtung der x-Achse, am Vorzeichen des Koeffizienten kann man die Richtung der Verschiebung erkennen). Sind beide Glieder vorhanden, so ist der Kegelschnitt
in beiden Koordinatenrichtungen verschoben.
(1)
Die algebraische Gleichung
2 x 2 6 x þ 2 y 2 þ 4 y ¼ 11,5
beschreibt wegen A ¼ B ¼ 2 einen Kreis. Wegen der vorhandenen linearen
Glieder liegt der Kreismittelpunkt außerhalb des Koordinatenursprungs (verschobener Kreis, in der x-Richtung nach rechts, in der y-Richtung nach unten verschoben). Durch quadratische Ergänzung lässt sich dann die Kreisgleichung wie folgt
auf die Hauptform bringen:
2 x 2 6 x þ 2 y 2 þ 4 y ¼ 11,5
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
x-Term
ðFaktor 2 ausklammernÞ
y-Term
2 ðx 2 3 xÞ þ 2 ðy 2 þ 2 yÞ ¼ 11,5
ðTerme quadratisch ergänzenÞ
2 ðx 2 3 x þ 1,5 2 Þ þ 2 ðy 2 þ 2 y þ 1 2 Þ ¼ 11,5 þ 2 1,5 2 þ 2 1 2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
2
ðx 1,5Þ
ðy þ 1Þ 2
2 ðx 1,5Þ 2 þ 2 ðy þ 1Þ 2 ¼ 11,5 þ 4,5 þ 2 ¼ 18 j : 2
ðx 1,5Þ 2 þ ðy þ 1Þ 2 ¼ 9
Dies ist die Gleichung eines (verschobenen) Kreises mit dem Mittelpunkt
M ¼ ð1,5; 1Þ und dem Radius r ¼ 3 (Bild III-102).
240
III Funktionen und Kurven
y
x
1,5
–1
M
3
(2)
Bild III-102
Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Kurve mit der Gleichung
16 x 2 þ 4 y 2 þ 76,8 x 24 y þ 64,16 ¼ 0
Es handelt sich dabei offensichtlich um eine Ellipse. Denn aus A ¼ 16 und
B ¼ 4 folgt:
A B ¼ 16 4 ¼ 64 > 0
Um die Lage dieser wegen der vorhandenen linearen Glieder verschobenen Ellipse
zu bestimmen, ordnen wir zunächst die Glieder wie folgt:
16 x 2 þ 76,8 x þ 4 y 2 24 y ¼ 64,16
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
x-Term
y-Term
Durch quadratische Ergänzung folgt dann weiter (vorher den Faktor 16 bzw. 4
ausklammern):
16 ðx 2 þ 4,8 xÞ þ 4 ðy 2 6 yÞ ¼ 64,16
16 ðx 2 þ 4,8 x þ 2,4 2 Þ þ 4 ðy 2 6 y þ 3 2 Þ ¼ 64,16 þ 16 2,4 2 þ 4 3 2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
2
ðx þ 2,4Þ
ðy 3Þ 2
16 ðx þ 2,4Þ 2 þ 4 ðy 3Þ 2 ¼ 64,16 þ 92,16 þ 36 ¼ 64 j : 64
16 ðx þ 2,4Þ 2
4 ðy 3Þ 2
þ
¼ 1
64
64
)
ðx þ 2,4Þ 2
ðy 3Þ 2
þ
¼ 1
4
16
Es handelt sich demnach um eine achsenparallel verschobene Ellipse mit den folgenden Eigenschaften (Bild III-103):
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
M ¼ ð 2,4; 3Þ ,
Halbachsen : a ¼ 4 ¼ 2 , b ¼ 16 ¼ 4
8 Kegelschnitte
241
y
M
3
1
Bild III-103
1
– 2,4
(3)
x
Die Kegelschnittgleichung
4 x 2 9 y 2 þ 16 x þ 72 y ¼ 164
beschreibt eine Hyperbel, falls keine Entartung vorliegt. Denn es ist A ¼ 4 und
B ¼ 9 und somit
A B ¼ 4 ð 9Þ ¼ 36 < 0
Wegen der vorhandenen linearen Glieder handelt es sich dabei um eine verschobene Hyperbel. Wir ordnen zunächst die einzelnen Glieder und bringen anschließend
die Kegelschnittgleichung durch quadratische Ergänzung auf die gewünschte
Hauptform (Gleichung (III-103)):
4 x 2 þ 16 x 9 y 2 þ 72 y ¼ 164
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
x-Term
ðFaktor 4 bzw. 9 ausklammernÞ
y-Term
4 ðx 2 þ 4 xÞ 9 ðy 2 8 yÞ ¼ 164
ðTerme quadratisch ergänzenÞ
4 ðx 2 þ 4 x þ 2 2 Þ 9 ðy 2 8 y þ 4 2 Þ ¼ 164 þ 4 2 2 9 4 2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ðx þ 2Þ 2
ðy 4Þ 2
4 ðx þ 2Þ 2 9 ðy 4Þ 2 ¼ 164 þ 16 144 ¼ 36 j : 36
4 ðx þ 2Þ 2
9 ðy 4Þ 2
¼ 1
36
36
)
ðx þ 2Þ 2
ðy 4Þ 2
¼ 1
9
4
Der Mittelpunkt der Hyperbel fällt in den Punkt M ¼ ð 2; 4Þ, die Werte der
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
9 ¼ 3 und b ¼ 4 ¼ 2 (Bild III-104).
beiden Halbachsen betragen a ¼
242
III Funktionen und Kurven
y
Asymptote
Asymptote
4
S2
M
S1
2
Bild III-104
–2
(4)
2
x
Durch die Gleichung
y 2 þ 2 x þ 4 y þ 10 ¼ 0
wird eine Parabel beschrieben, denn es ist A ¼ 0 und B ¼ 1 6¼ 0. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt wegen der vorhandenen linearen Glieder außerhalb des
Koordinatenursprungs (verschobene Parabel). Wir bringen jetzt die Parabelgleichung
durch quadratische Ergänzung des y-Terms auf die gewünschte Hauptform (Gleichung (III-109)):
y 2 þ 4 y ¼ 2 x 10
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
y-Term
y 2 þ 4 y þ 2 2 ¼ 2 x 10 þ 2 2 ¼ 2 x 6 ¼ 2 ðx þ 3Þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ðy þ 2Þ 2
ðy þ 2Þ 2 ¼ 2 ðx þ 3Þ
Der Parameter p besitzt den Wert p ¼ 1, die verschobene Parabel ist demnach nach links geöffnet. Ihr Scheitelpunkt liegt im Punkt S ¼ ð 3; 2Þ. Bild
III-105 zeigt den Verlauf dieser Parabel.
y
1
–8
–6
–3
–1
S
x
–2
Bild III-105
–4
&
9 Trigonometrische Funktionen
243
9 Trigonometrische Funktionen
9.1 Grundbegriffe
Trigonometrische Funktionen (auch Winkel- oder Kreisfunktionen genannt) sind periodische Funktionen und daher zur Beschreibung und Darstellung periodischer Bewegungsabläufe besonders geeignet. Als Beispiele hierfür führen wir an:
Mechanische und elektromagnetische Schwingungen (z. B. Federpendel, elektromagnetischer Schwingkreis)
Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen
Gekoppelte mechanische oder elektromagnetische Schwingungen
Ausbreitung von Wellen (Schallwellen, elektromagnetische Wellen)
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
c
a
a
b
a: Gegenkathete
b: Ankathete
c: Hypotenuse
|ﬄ{zﬄ}
Die vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind zunächst nur für Winkel zwischen 0 und 90 als gewisse Seitenverhältnisse in einem
rechtwinkligen Dreieck definiert (Bild III-106):
bezüglich des Winkels a
Bild III-106
sin a ¼
Gegenkathete
a
¼
Hypotenuse
c
ðIII-112Þ
cos a ¼
Ankathete
b
¼
Hypotenuse
c
ðIII-113Þ
tan a ¼
Gegenkathete
a
a=c
sin a
¼
¼
¼
Ankathete
b
b=c
cos a
ðIII-114Þ
cot a ¼
Ankathete
b
b=c
cos a
1
¼
¼
¼
¼
Gegenkathete
a
a=c
sin a
tan a
ðIII-115Þ
244
III Funktionen und Kurven
Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen. Als Gradmaß verwenden wir das
sog. Altgrad, d. h. eine Unterteilung des Kreises in 360 Grade. Das Bogenmaß definieren
wir wie folgt:
Definition: Unter dem Bogenmaß x eines Winkel a (im Gradmaß) verstehen wir
die Maßzahl der Länge des Bogens, der dem Winkel a im Einheitskreis (Radius r ¼ 1) gegenüberliegt (Bild III-107).
v
v
Bogenmaß x
Bogenlänge b
1
r
a
a
u
u
Bild III-107
Bild III-108
Anmerkungen
(1)
Das Bogenmaß x lässt sich auch etwas allgemeiner definieren. Ist b die Länge
des Bogens, der in einem Kreis vom Radius r dem Winkel a gegenüber liegt, so
gilt (Bild III-108):
x ¼
Bogenlänge
b
¼
Radius
r
ðIII-116Þ
Das Bogenmaß ist demnach eine dimensionslose Größe, die „Einheit“ Radiant
(rad) wird meist weggelassen. Bei einem vollen Umlauf wird der Winkel 2 p
überstrichen (entspricht dem Umfang des Einheitskreises).
(2)
In der Vermessungstechnik erfolgt die Winkelangabe in Gon oder Neugrad (Unterteilung des Kreises bzw. Vollwinkels in 400 gon).
Zwischen dem Bogenmaß x und dem Gradmaß a besteht die lineare Beziehung
x
2p
p
¼
¼
a
360
180 ðIII-117Þ
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen. Für die Einheiten
1 rad bzw. 1 gilt:
1 rad 57,2958 ;
1 0,017 453
9 Trigonometrische Funktionen
&
245
Beispiele
(1)
(2)
p
a
180
Umrechnung vom Gradmaß (a) ins Bogenmaß (x): x ¼
a
30
45
90
127,5
180
225
310,5
x
p=6
p=4
p=2
2,2253
p
5
p
4
5,4192
Umrechnung vom Bogenmaß (x) ins Gradmaß (a): a ¼
180
x
p
x
0,43
0,98
1,61
2,08
p
4,12
a
26,64
56,15
92,25
119,18
180
236,06
&
Drehsinn eines Winkels
Beim Abtragen der Winkel im Einheitskreis wird der folgende Drehsinn zugrunde gelegt: Im Gegenuhrzeigersinn überstrichene Winkel werden positiv (positiver Drehsinn),
im Uhrzeigersinn überstrichene Winkel negativ gezählt (negativer Drehsinn) (Bild
III-109).
v
P
1
x
Bild III-109
Zur Festlegung des Drehsinns eines Winkels
a
–a
u
–x
P′
Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis
Wir sind nun in der Lage, die Sinusfunktion für beliebige positive und negative Winkel
zu definieren. Ist P der zum Winkel a gehörende Punkt auf dem Einheitskreis (Bild
III-110), so gilt per Definition (III-112) für den Sinus von a die Beziehung
sin a ¼
Gegenkathete
Ordinate von P
¼
¼ Ordinate von P
Hypotenuse
1
ðIII-118Þ
246
III Funktionen und Kurven
Der Sinus eines zwischen 0 und 90 gelegenen Winkels stellt sich somit im Einheitskreis als der Ordinatenwert des Punktes P dar. Wir verallgemeinern diesen Sachverhalt
für beliebige (positive oder negative) Winkel und gelangen damit zu der folgenden allgemeingültigen Definition der Sinusfunktion:
Definition: Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels a versteht man den Ordinatenwert des zu a gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis
(Bild III-110).
v
1
a
sin a
P
cos a
Bild III-110 Darstellung von Sinus und Kosinus
im Einheitskreis
u
Bei einem vollen Umlauf auf dem Einheitskreis (im positiven Drehsinn) durchläuft der
Winkel a alle Werte zwischen 0 und 360 und die Sinusfunktion sin a dabei alle
zwischen 1 und þ 1 gelegenen Werte. Bei nochmaligem Umlauf wiederholen sich
diese Funktionswerte: Die Sinusfunktion ist daher eine periodische Funktion mit der
( primitiven) Periode p ¼ 360 ( bzw. p ¼ 2 p im Bogenmaß):
sin ða þ 360 Þ ¼ sin a
ðIII-119Þ
Diese Aussage gilt unverändert auch bei einem mehrmaligen Umlauf im positiven oder
negativen Drehsinn. Bei n Umläufen gilt also:
sin ða n 360 Þ ¼ sin a
ðn 2 N*Þ
ðIII-120Þ
Wird der Einheitskreis im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn) durchlaufen, so tritt bei
den Funktionswerten ein Vorzeichenwechsel ein, d. h. sin a ist eine ungerade Funktion:
sin ð aÞ ¼ sin a
ðIII-121Þ
Diese wichtige Symmetrieeigenschaft lässt sich unmittelbar aus Bild III-111 entnehmen.
9 Trigonometrische Funktionen
247
v
P
sin a
1
a
Bild III-111
–a
sin (– a )
u
P′
Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis
Den Kosinus eines Winkels a findet man als Abszissenwert des Punktes P auf dem
Einheitskreis wieder (Bild III-110). Dies folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung
(III-113) des Kosinus:
cos a ¼
Ankathete
Abszisse von P
¼
¼ Abszisse von P
Hypotenuse
1
ðIII-122Þ
Analoge berlegungen wie beim Sinus führen schließlich zu der für beliebige Winkel a
definierten Kosinusfunktion cos a. Sie ist ebenfalls periodisch mit der ( primitiven) Periode p ¼ 360 ( bzw. p ¼ 2 p im Bogenmaß):
cos ða þ 360 Þ ¼ cos a
ðIII-123Þ
Entsprechend gilt bei n Umläufen (im positiven oder negativen Drehsinn):
cos ða n 360 Þ ¼ cos a
ðn 2 N*Þ
ðIII-124)
Im Gegensatz zur Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion jedoch eine gerade Funktion:
cos ð aÞ ¼ cos a
ðIII-125Þ
Denn die zu den betragsmäßig gleichen Winkeln a und a gehörenden Punkte P
und P 0 auf dem Einheitskreis in Bild III-111 liegen spiegelsymmetrisch zur u-Achse
und besitzen daher die gleiche Abszisse.
Anmerkung
Auch die beiden übrigen trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens lassen
sich im Einheitskreis durch Strecken bildlich darstellen. Wir verzichten jedoch auf diese
Darstellung und definieren diese Funktionen in Abschnitt 9.3 mit Hilfe der dann bereits
bekannten Sinus- und Kosinusfunktion.
248
III Funktionen und Kurven
9.2 Sinus- und Kosinusfunktion
In den Anwendungen treten Sinus- und Kosinusfunktion fast ausschließlich als Funktionen eines im Bogenmaß x dargestellten Winkels auf (z. B. im Zusammenhang mit
mechanischen oder elektromagnetischen Schwingungen). Wir verwenden daher für diese Funktionen die Schreibweisen y ¼ sin x und y ¼ cos x. Die Eigenschaften beider Funktionen, die überall definiert und stetig sind, lassen sich unmittelbar aus dem
Schaubild Bild III-112 ablesen und sind in der folgenden Tabelle 1 im Einzelnen aufgeführt.
Tabelle 1: Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (k 2 Z; Bild III-112)
y ¼ sin x
y ¼ cos x
Definitionsbereich
1 < x < 1
1 < x < 1
Wertebereich
1 y 1
1 y 1
Periode (primitive)
2p
2p
Symmetrie
ungerade
gerade
Nullstellen
xk ¼ k p
xk ¼
Relative Maxima
xk ¼
p
þ k 2p
2
xk ¼ k 2 p
Relative Minima
xk ¼
3
p þ k 2p
2
xk ¼ p þ k 2 p
p
þk p
2
Hinweis: Wegen der Periodizität der Funktionen genügt es, sich die Eigenschaften und
den Kurvenverlauf im Periodenintervall 0 x 2 p gut einzuprägen.
y
y = cos x
1
–p
–
p
y = sin x
0
2
p
2
p
3
p
2
–1
Bild III-112 Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion
2p
5
p
2
3p
x
9 Trigonometrische Funktionen
249
9.3 Tangens- und Kotangensfunktion
Die Tangens- und Kotangensfunktion definieren wir in Verallgemeinerung der Beziehungen (III-114) bzw. (III-115) durch die folgenden Gleichungen:
tan x ¼
sin x
cos x
cot x ¼
und
cos x
1
¼
sin x
tan x
ðIII-126Þ
Diese Funktionen sind überall definiert und stetig mit Ausnahme der Nennernullstellen. Ihre in Tabelle 2 zusammengestellten Eigenschaften lassen sich daher aus den
Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion herleiten. In den Bildern III-113 und
III-114 sind die Funktionsgraphen von y ¼ tan x und y ¼ cot x skizziert.
y
1
–
–p
3
p
2
–
p
p
0
2
p
2
3
p
2
2p
5
p
2
x
Bild III-113 Funktionsgraph der Tangensfunktion
y
1
–2p
–
3
p
2
–p
–
p
2
0
p
p
2
Bild III-114 Funktionsgraph der Kotangensfunktion
3
p
2
2p
x
250
III Funktionen und Kurven
Tabelle 2: Eigenschaften der Tangens- und Kotangensfunktion ðk 2 Z; Bild III-113
bzw. Bild III-114Þ
Definitionsbereich
y ¼ tan x
y ¼ cot x
x 2 R mit Ausnahme
der Stellen
x 2 R mit Ausnahme
der Stellen x k ¼ k p
xk ¼
p
þk p
2
Wertebereich
1 < y < 1
1 < y < 1
Periode ( primitive)
p
p
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
xk ¼ k p
xk ¼
Pole
xk ¼
Senkrechte Asymptoten
p
þk p
2
p
x ¼
þk p
2
p
þk p
2
xk ¼ k p
x ¼ k p
Hinweis: Prägen Sie sich die Eigenschaften und den Kurvenverlauf in einem Periodenintervall gut ein (Periodenintervall des Tangens: p=2 < x < p=2; Periodenintervall
des Kotangens: 0 < x < p).
9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen
Funktionen
Zwischen den vier trigonometrischen Funktionen bestehen zahlreiche Beziehungen, von
denen wir an dieser Stelle nur einige besonders häufig auftretende anführen können 9).
Aus Bild III-112 folgt unmittelbar, dass die Kosinuskurve als eine um p=2 nach links
verschobene Sinuskurve aufgefasst werden kann. Daher ist
p
cos x ¼ sin x þ
2
ðIII-127Þ
Umgekehrt geht die Sinuskurve aus der Kosinuskurve durch Verschiebung um p=2 nach
rechts hervor. Dies entspricht der Beziehung
p
sin x ¼ cos x 2
9Þ
ðIII-128Þ
Alle wesentlichen trigonometrischen Formeln findet der Leser in der Mathematischen Formelsammlung des
Autors (Kap. III, Abschnitt 7).
9 Trigonometrische Funktionen
251
Zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion besteht ferner die folgende wichtige Relation,
die man durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das in Bild III-115 eingezeichnete rechtwinklige Dreieck erhält:
„Trigonometrischer Pythagoras“ im Bogenmaß (Bild III-115)
ðsin xÞ 2 þ ðcos xÞ 2 ¼ sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1
ðIII-129Þ
v
sin a
1
a
cos a
u
Bild III-115
Zur Herleitung des „trigonometrischen Pythagoras“
sin 2 a þ cos 2 a ¼ 1 bzw.
sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1 (im Bogenmaß)
Weitere häufig benutzte Zusammenhänge liefern die sog. Additionstheoreme für Sinus,
Kosinus und Tangens (x 1 , x 2 sind Winkel):
Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
sin ðx 1 x 2 Þ ¼ sin x 1 cos x 2 cos x 1 sin x 2
ðIII-130Þ
cos ðx 1 x 2 Þ ¼ cos x 1 cos x 2 sin x 1 sin x 2
ðIII-131Þ
tan ðx 1 x 2 Þ ¼
tan x 1 tan x 2
1 tan x 1 tan x 2
ðIII-132Þ
Aus ihnen lassen sich weitere wichtige Beziehungen herleiten. Setzt man in den Additionstheoremen von Sinus und Kosinus x 1 ¼ x 2 ¼ x und nimmt jeweils das obere Vorzeichen, so erhält man folgende Formeln:
sin ð2 xÞ ¼ 2 sin x cos x
ðIII-133Þ
cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x sin 2 x
ðIII-134Þ
Aus diesen wiederum ergeben sich zusammen mit dem „trigonometrischen Pythagoras“
(III-129) die Beziehungen
sin 2 x ¼
1
½ 1 cos ð2 xÞ 2
und
cos 2 x ¼
1
½ 1 þ cos ð2 xÞ 2
ðIII-135Þ
252
III Funktionen und Kurven
9.5 Anwendungen in der Schwingungslehre
9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)
9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
Bei der Beschreibung von (mechanischen oder elektromagnetischen) Schwingungsvorgängen benötigt man Sinus- und Kosinusfunktionen in der allgemeinsten Form
y ¼ a sin ðb x þ cÞ
bzw:
y ¼ a cos ðb x þ cÞ
ðIII-136Þ
ða > 0, b > 0Þ. Die Bedeutung der drei Konstanten (Kurvenparameter) a, b und c
und die von ihnen verursachten Veränderungen gegenüber der Ausgangsfunktion
y ¼ sin x bzw. y ¼ cos x werden im Folgenden ausführlich beschrieben, wobei wir
uns zunächst auf die Sinusfunktion beschränken werden. Wir gehen also von der elementaren Sinusfunktion y ¼ sin x aus und untersuchen, welchen Einfluss die drei Kurvenparameter haben, wenn diese nacheinander einzeln eingeführt werden.
Bedeutung der Konstanten a ð y ¼ sin x I y ¼ a sin xÞ
Der Faktor a in der Funktion y ¼ a sin x bewirkt eine Veränderung der Funktionswerte gegenüber der Ausgangsfunktion y ¼ sin x. Der neue Wertebereich lautet:
a y a. Die Sinuskurve wird also in der y-Richtung gedehnt (falls a > 1) oder
gestaucht (falls a < 1).
&
Beispiel
y ¼ 2 sin x : Die Ordinatenwerte haben sich verdoppelt.
Wertebereich: 2 y 2
y
(siehe Bild III-116)
y = 2· sin x
2
y = sin x
1
–p
0
–1
p
2p
3p
x
–2
Bild III-116 Funktionsgraphen von y ¼ sin x und y ¼ 2 sin x
&
9 Trigonometrische Funktionen
253
Bedeutung der Konstanten b ð y ¼ sin x I y ¼ sin ðb xÞÞ
Der Faktor b im Argument der Sinusfunktion y ¼ sin ðb xÞ verändert gegenüber der
Ausgangsfunktion y ¼ sin x die Periode:
y ¼ sin ðb xÞ :
Periode p ¼
2p
b
ðvorher : p ¼ 2 pÞ
Denn es gilt:
2p
¼ sin ðb x þ 2 pÞ ¼ sin ðb xÞ
sin ½ b ðx þ pÞ ¼ sin b x þ
b
ðIII-137Þ
Dabei bewirkt b > 1 eine Verkleinerung, b < 1 dagegen eine Vergrößerung der Periode. Die Sinuskurve wird also in der x-Richtung gestaucht oder gedehnt.
&
Beispiele
(1)
y ¼ sin ð2 xÞ: Periode p ¼ 2 p=2 ¼ p (siehe Bild III-117)
Die Periode der Sinuskurve wurde halbiert, die Kurve somit in der x-Richtung gestaucht.
y
y = sin x
y = sin (2 x )
1
–p
–
p
p
0
2
p
2
3
p
2
2p
3p
5
p
2
x
–1
Bild III-117 Funktionsgraphen von y ¼ sin x und y ¼ sin ð2 xÞ
(2)
y ¼ sin ðp xÞ :
p ¼ 2 p=p ¼ 2
y ¼ sin ð4 xÞ :
p ¼ 2 p=4 ¼ p=2
y ¼ sin ð0,2 xÞ :
p ¼ 2 p=0,2 ¼ 10 p
&
Bedeutung der Konstanten c ð y ¼ sin x I y ¼ sin ðx þ cÞÞ
Die Konstante c in der Sinusfunktion y ¼ sin ðx þ cÞ bewirkt eine Verschiebung der
Sinuskurve y ¼ sin x längs der x-Achse. Während die erste nicht-negative Nullstelle
von y ¼ sin x bekanntlich an der Stelle x 0 ¼ 0 liegt, befindet sich die entsprechende
Nullstelle von y ¼ sin ðx þ cÞ an der Stelle x 0 ¼ c (man setzt das Argument der
Funktion gleich Null):
y ¼ sin ðx þ c Þ ¼ sin 0 ¼ 0
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
0
)
x þc ¼ 0
)
x0 ¼ c
ðIII-138Þ
254
III Funktionen und Kurven
Die Kurve y ¼ sin ðx þ cÞ „beginnt“ also nicht an der Stelle x 0 ¼ 0 wie die elementare Sinusfunktion y ¼ sin x, sondern an der Stelle x 0 ¼ c. Der Kurvenparameter c bewirkt also eine Verschiebung der Kurve längs der x-Achse um die Strecke j c j. Für c > 0 ist die Kurve nach links, für c < 0 dagegen nach rechts
verschoben.
&
Beispiele
(1)
y ¼ sin ðx þ pÞ: Diese Funktion ist gegenüber der Sinusfunktion y ¼ sin x um
p Einheiten nach links verschoben (die Kurve „beginnt“ an der Stelle x 0 ¼ p,
vgl. hierzu Bild III-118). Sie lässt sich auch durch die Funktionsgleichung
y ¼ sin x beschreiben (an der x-Achse gespiegelte Sinusfunktion). Dies folgt
auch unmittelbar aus dem Additionstheorem der Sinusfunktion (Gleichung III-130
mit x 1 ¼ x und x 2 ¼ p):
y ¼ sin ðx þ pÞ ¼ sin x cos p þ cos x sin p ¼ sin x
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄ{zﬄ}
1
0
y
y = sin x
y = sin (x + p )
1
–p
p
0
2p
3p
x
–1
Bild III-118 Funktionsgraphen von y ¼ sin x und y ¼ sin ðx þ pÞ
(2)
y ¼ sin ðx 1Þ: Diese Funktion ist gegenüber der elementaren Sinusfunktion
y ¼ sin x um eine Einheit nach rechts verschoben, die „1. Nullstelle“ liegt also
bei x 0 ¼ 1 (Bild III-119).
y
y = sin x
y = sin (x – 1)
1
–p
0
1
p
2p
3p
x
–1
Bild III-119 Funktionsgraphen von y ¼ sin x und y ¼ sin ðx 1Þ
&
9 Trigonometrische Funktionen
255
Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion y ¼ a sin ðb x þ cÞ
Die drei Kurvenparameter a > 0, b > 0 und c in der allgemeinen Sinusfunktion
y ¼ a sin ðb x þ cÞ bewirken insgesamt gegenüber der elementaren Sinusfunktion
y ¼ sin x die folgenden Veränderungen in Periode, „1. Nullstelle“ und Wertebereich:
Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion y ¼ a sin ðb x þ cÞ (Bild III-120)
Periode:
p ¼ 2 p=b
(vorher: p ¼ 2 p)
„1. Nullstelle“:
x 0 ¼ c=b
(vorher: x 0 ¼ 0)
Wertebereich:
a y a
(vorher: 1 y 1)
y
p = 2 p/ b
a
x0
x
x0 + p
y = a · sin (bx + c)
–a
Bild III-120 Allgemeine Sinusfunktion y ¼ a sin ðb x þ cÞ (gezeichnet für c > 0)
Hinweis für eine Skizze (siehe Bild III-121)
Sie wählen x 0 als Anfangspunkt eines Periodenintervalls der Länge p ¼ 2 p=b (x 0
eintragen, dann die Strecke p nach rechts abtragen, der Endpunkt des Periodenintervalls
liegt dann bei x 0 þ p). ber diesem Intervall liegt eine volle Sinuskurve (Nullstellen in
den beiden Randpunkten und in der Mitte, dazwischen jeweils genau in der Mitte liegen
Maximum bzw. Minimum). Am Schluss müssen Sie noch den Maßstab auf der y-Achse
ändern ð a y aÞ.
y
a
Bild III-121
x0
–a
x0 + p
x
256
&
III Funktionen und Kurven
Beispiel
y ¼ 2 sin ð0,5 x þ 0,5 pÞ (Bild III-122)
Periode:
p ¼ 2 p=0,5 ¼ 4 p
„1. Nullstelle“:
0,5 x þ 0,5 p ¼ 0
Wertebereich:
2 y 2
)
0,5 x ¼ 0,5 p
)
x0 ¼ p
y
y = 2 · sin (0,5 x + 0,5 p )
2
y = sin x
1
–p
0
p
2p
3p
4p
5p
6p
x
–1
–2
Bild III-122 Verlauf der Funktionen y ¼ sin x und y ¼ 2 sin ð0,5 x þ 0,5 pÞ
&
Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion y ¼ a cos ðb x þ cÞ
Analoge berlegungen führen bei einer Kosinusfunktion vom allgemeinen Typ
y ¼ a cos ðb x þ cÞ zu dem folgenden Ergebnis:
Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion y ¼ a cos ðb x þ cÞ
(Bild III-123)
Periode:
p ¼ 2 p=b
(vorher: p ¼ 2 p)
„1. Maximum“:
x 0 ¼ c=b
(vorher: x 0 ¼ 0)
Wertebereich:
a y a
(vorher: 1 y 1)
Anmerkung
Eine Skizze der Kosinuskurve erhalten Sie, wenn Sie ähnlich wie bei der Sinuskurve
vorgehen (Bezugspunkt ist diesmal das 1. Maximum an der Stelle x 0 ). Alternative: Die
Kosinusfunktion zunächst in eine Sinusfunktion verwandeln (der Nullphasenwinkel vergrößert sich dabei um p=2), dann die bekannte Konstruktion anwenden.
9 Trigonometrische Funktionen
257
y
a
y = a · cos (bx + c)
x0 + p
x0
–a
x
p = 2 p/ b
Bild III-123 Allgemeine Kosinusfunktion y ¼ a cos ðb x þ cÞ (gezeichnet für c > 0)
9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers)
Die Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) kann als Modellfall einer
Sinusschwingung (auch harmonische Schwingung genannt) betrachtet werden (Bild
III-124). Schwingungen dieser Art treten auf, wenn ein lineares Kraftgesetz vorliegt (wie
beispielsweise des Hookesche Gesetz bei einer elastischen Feder). Die Auslenkung y ist
dann eine periodische Funktion der Zeit t und kann in der Sinusform
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðA > 0, w > 0Þ
ðIII-139Þ
dargestellt werden. Dabei bedeuten:
A: Maximale Auslenkung, Amplitude genannt
w: Kreisfrequenz der Schwingung
j: Phase (auch Phasen- oder Nullphasenwinkel genannt)
elastische Feder
Gleichgewichtslage
y
Pendelmasse
augenblickliche Lage
zur Zeit t
Bild III-124
Federpendel
(Feder-Masse-Schwinger)
258
III Funktionen und Kurven
Die Periodendauer der Funktion ist p ¼ 2 p=w und wird in diesem Zusammenhang als
Schwingungsdauer T bezeichnet. Dabei besteht zwischen Kreisfrequenz w, Frequenz
f und Schwingungsdauer T die folgende Beziehung:
1
f ¼
T
2p
w ¼ 2pf ¼
T
ðIII-140Þ
Die Sinusschwingung „beginnt“ zur Zeit t 0 ¼ j= w (sog. Phasenverschiebung). Für
j > 0 ist die Kurve auf der Zeitachse nach links, für j < 0 nach rechts verschoben.
&
Beispiel
p
, t 0 s:
Schwingung mit der Funktionsgleichung y ¼ 5 cm sin 2 s 1 t þ
2
A ¼ 5 cm ,
w ¼ 2 s1 ,
T ¼
Phasenverschiebung: 2 s 1 t þ
2p
2p
¼
¼ ps
w
2 s1
p
¼ 0
2
)
t0 ¼ p
s
4
Bild III-125 zeigt den Schwingungsverlauf für t 0 s (der gestrichelte Teil der Kurve hat
keine physikalische Bedeutung, da die Schwingung erst zum Zeitpunkt t ¼ 0 s beginnt).
y /cm
y = 5 cm · sin 2 s –1 · t +
5
–
p
0
4
p
p
4
2
p
2
3
p
4
p
5
p
4
3
p
2
7
p
4
t /s
–5
Bild III-125 Darstellung der Schwingung y ¼ 5 cm sin ð2 s 1 t þ p=2Þ, t 0 s
&
9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
Darstellung einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger
Im Bereich der Schwingungslehre hat sich eine unter dem Namen Zeigerdiagramm
bekannte Darstellungsform durchgesetzt, die in besonders einfacher und anschaulicher
Weise Schwingungsvorgänge durch rotierende, d. h. zeitabhängige Zeiger beschreibt.
Anwendung findet diese Darstellungsart beispielsweise bei der Behandlung von Wechselstromkreisen: Sinusförmige Wechselspannungen bzw. Wechselströme werden dabei durch
9 Trigonometrische Funktionen
259
rotierende Zeiger dargestellt. Auch bei der Superposition (berlagerung) von Schwingungen gleicher Frequenz bedient man sich mit großem Vorteil des Zeigerdiagramms.
Eine Sinusschwingung vom allgemeinen Typ
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðIII-141Þ
mit A > 0 und w > 0 wird im Zeigerdiagramm durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) w im Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger
der Länge A beschrieben (Bild III-126). Zu Beginn der Rotation, d. h. zur Zeit t ¼ 0
befindet sich der Zeiger in der Position (1), sein Winkel gegenüber der Horizontalen
beträgt j. Der Phasenwinkel j der Sinusschwingung (III-141) bestimmt somit die
Anfangslage des rotierenden Zeigers. Bis zum Zeitpunkt t hat sich der Zeiger um den
Winkel w t in positiver Richtung weitergedreht und nimmt dann die Lage (2) ein (Drehwinkel insgesamt: j þ w t). Dabei entspricht die Ordinate der Zeigerspitze dem augenblicklichen Funktionswert von y ¼ A sin ðw t þ jÞ. Bei einer vollen Drehung des
Zeigers durchläuft dann die Ordinate sämtliche Funktionswerte der Sinusfunktion, also
alle Werte aus dem Intervall A y A.
Zwischen der Position des Zeigers und der Ordinate y seiner Pfeilspitze (die ja dem
augenblicklichen Funktionswert der Sinusschwingung entspricht) besteht somit der folgende Zusammenhang:
Lage zur Zeit t ¼ 0 (Position (1)): y ð0Þ ¼ A sin j
Lage zur Zeit t > 0 (Position (2)): y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ
( 2)
v
A · sin ( v t + f )
y
A
A
vt
(1)
A
A · sin f
f
f
Bild III-126
Darstellung einer Sinusschwingung
im Zeigerdiagramm
Bild III-127
Anfangslage eines rotierenden Sinuszeigers
im Zeigerdiagramm
260
III Funktionen und Kurven
Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse wie folgt zusammen:
Darstellung einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger (Bild III-126)
Eine sinusförmige Schwingung vom Typ
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðA > 0, w > 0Þ
ðIII-142Þ
lässt sich im Zeigerdiagramm durch einen im mathematisch positiven Drehsinn mit
der Winkelgeschwindigkeit w um den Ursprung rotierenden Zeiger der Länge A
darstellen (Bild III-126). Der Zeiger „startet“ dabei zur Zeit t ¼ 0 aus der durch
den Phasenwinkel j eindeutig festgelegten Position heraus (Anfangslage (1) in
Bild III-126). Zur Zeit t > 0 befindet er sich dann in der Position (2).
Wir treffen jetzt die folgende verbindliche Vereinbarung: Eine sinusförmige
Schwingung wird im Zeigerdiagramm stets durch die Anfangslage des zugehörigen
(rotierenden) Zeigers symbolisch dargestellt (Bild III-127).
&
Beispiele
Die durch die folgenden Funktionsgleichungen beschriebenen harmonischen Schwingungen (Sinusschwingungen) mit gleicher Amplitude A ¼ 4 und gleicher Kreisfrequenz
w ¼ 2 sind im Zeigerdiagramm symbolisch darzustellen ðt 0Þ:
p
2p
y 2 ¼ 4 sin 2 t þ
y 1 ¼ 4 sin ð2 tÞ
y 3 ¼ 4 sin 2 t þ
4
3
p
2p
y 6 ¼ 4 sin 2 t y 5 ¼ 4 sin 2 t y 4 ¼ 4 sin ð2 t þ pÞ
6
3
Die Zeiger y 2 , y 3 , y 4 , y 5 und y 6 lassen sich aus dem Zeiger y 1 ¼ 4 sin ð2 tÞ
durch Drehung um die folgenden Winkel gewinnen (Bild III-128):
Zeiger
y2
y3
y4
Drehwinkel (Bogenmaß)
p
4
2p
3
p
45
120
180
Drehwinkel (Gradmaß)
y5
p
6
30
y6
2p
3
120
Die sechs Zeiger rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2 um den gemeinsamen
Nullpunkt im Gegenuhrzeigersinn (Start zum Zeitpunkt t ¼ 0).
9 Trigonometrische Funktionen
261
y3
y2
Bild III-128
y4
y1
y5
y6
&
Darstellung einer Kosinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger
Eine Kosinusschwingung vom allgemeinen Typ
y ¼ A cos ðw t þ jÞ
ðA > 0, w > 0Þ
ist auch als Sinusschwingung in der Form
p
¼ A sin ðw t þ j*Þ
y ¼ A sin w t þ j þ
2
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
j*
ðIII-143Þ
ðIII-144Þ
darstellbar und lässt sich somit durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Sinuszeiger der Länge A beschreiben, der zu Beginn der Drehung die durch die
Phase j* ¼ j þ p=2 eindeutig festgelegte Position einnimmt (Bild III-129). Mit anderen Worten: Einer Kosinusschwingung mit dem Phasenwinkel j entspricht eine
Sinusschwingung mit einem um p=2 vergrößerten Phasenwinkel j* ¼ j þ p=2. Eine
unverschobene Kosinusschwingung y ¼ A cos ðw tÞ kann daher als eine Sinusschwingung mit dem Nullphasenwinkel p=2 aufgefasst werden. Der zugehörige Zeiger
ist daher im Zeigerdiagramm nach oben abzutragen.
y
A
f
90°
Bild III-129
Darstellung einer Kosinusschwingung
im Zeigerdiagramm (Anfangslage)
262
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
y 1 ¼ 3 cos ð5 tÞ
y 2 ¼ 3 cos ð5 t þ pÞ
p
y 3 ¼ 3 cos 5 t þ
3
y 4 ¼ 3 cos ð5 t 0,5Þ
7
y 5 ¼ 3 cos 5 t þ
p
6
4p
y 6 ¼ 3 cos 5 t 3
Alle Schwingungen sind gleichfrequent ðw ¼ 5Þ und haben die gleiche Amplitude
A ¼ 3, die Spitzen der zugehörigen Zeiger liegen daher auf einem Kreis mit dem Radius r ¼ 3. Der Zeiger der unverschobenen Kosinusschwingung y 1 ist nach oben abzutragen. Die Anfangslage der übrigen 5 Zeiger erhält man, indem man den Zeiger y 1
der Reihe nach um die Winkel p, p=3, 0,5, 7 p=6 und 4 p=3 oder (im Gradmaß) um 180 , 60 , 28,6 , 210 und 240 dreht, wie in Bild III-130 dargestellt.
Vom Zeitpunkt t ¼ 0 an rotieren die Zeiger um den gemeinsamen Nullpunkt mit der
Winkelgeschwindigkeit w ¼ 5 (im Gegenuhrzeigersinn).
y1
y4
y3
y6
y5
y2
Bild III-130
&
Zeigerdiagramm für Sinus- und Kosinusschwingungen
Für die symbolische Darstellung von Sinus- und Kosinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm gelten somit die folgenden Regeln:
Eine unverschobene Sinusschwingung y ¼ A sin ðw tÞ wird im Zeigerdiagramm
durch einen nach rechts gerichteten Zeiger, eine unverschobene Kosinusschwingung
y ¼ A cos ðw tÞ durch einen nach oben gerichteten Zeiger dargestellt (Bild III-131).
Lässt man auch einen negativen „Amplitudenfaktor“ A zu, so bedeutet A < 0 eine
Vergrößerung des Phasenwinkels um 180 , d. h. eine zusätzliche Drehung des Zeigers
um 180 im Gegenuhrzeigersinn. Unverschobene Sinus- und Kosinusschwingungen mit
einem negativen „Amplitudenfaktor“ werden demnach in der jeweiligen Gegenrichtung
d. h. nach links bzw. nach unten abgetragen (Bild III-132).
9 Trigonometrische Funktionen
263
y = A · cos ( v t)
A
A
y = A · sin ( v t)
Bild III-131 Anfangslage einer
unverschobenen Sinusbzw. Kosinusschwingung
Bild III-132 Zeiger der unverschobenen
Sinus- und Kosinusschwingungen
Somit gelten allgemein die folgenden Regeln für die Zeigerdarstellung von unverschobenen Sinus- und Kosinusschwingungen:
Schwingungstyp
A > 0
A < 0
y ¼ A sin ðw tÞ
nach rechts abtragen
nach links abtragen
y ¼ A cos ðw tÞ
nach oben abtragen
nach unten abtragen
Bei phasenverschobenen Schwingungen der allgemeinen Form y ¼ A sin ðw t þ jÞ
bzw. y ¼ A cos ðw t þ jÞ erfolgt noch eine zusätzliche Drehung um den Winkel j
und zwar für j > 0 im Gegenuhrzeigersinn, für j < 0 dagegen im Uhrzeigersinn.
&
Beispiele
(1)
Die durch die Funktionen
p
y 1 ¼ 3 sin 2 t þ
6
3p
y 3 ¼ 4 cos 2 t þ
4
y 5 ¼ 4 sin ð2 t þ 1Þ
y 2 ¼ 2 cos ð2 t pÞ
p
y 4 ¼ 4 sin 2 t 12
p
y 6 ¼ 3 cos 2 t þ
4
beschriebenen (gleichfrequenten) Schwingungen sind im Zeigerdiagramm darzustellen. Die Lösung der Aufgabe ist in Bild III-133 dargestellt.
264
III Funktionen und Kurven
+ cos
y5
4
y4
y1
3
4
+ sin
– sin
3
2
4
Bild III-133
y2
y6
y3
– cos
(2)
Die harmonischen Schwingungen mit den Gleichungen
p
y 1 ¼ 3 cos w t 4
p
y 2 ¼ 3 sin w t 6
und
sind durch Sinusfunktionen vom Typ
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðA > 0Þ
darzustellen (die Kreisfrequenz w ist zahlenmäßig nicht bekannt).
Lösung: Bild III-134 zeigt die Anfangslage der zugehörigen Zeiger der Länge 3.
+ cos
y1
y2
– sin
150°
45°
y0
– cos
+ sin
Bild III-134
9 Trigonometrische Funktionen
265
Der Zeiger y 1 entsteht dabei durch Drehung des unverschobenen Sinuszeigers
y 0 ¼ 3 sin ðw tÞ um den Winkel j 1 ¼ 45 ¼
b p=4 im positiven Drehsinn
(Bild III-134). Daher ist
p
p
¼ 3 sin w t þ
y 1 ¼ 3 cos w t 4
4
Analog erhält man den Zeiger y 2 durch Drehung des Zeigers y 0 um den Winkel
j 2 ¼ 150 ¼
b 5 p=6 im positiven Drehsinn. Es gilt daher
p
5p
y 2 ¼ 3 sin w t ¼ 3 sin w t þ
6
6
Die vorgegebenen Schwingungen y 1 und y 2 können somit auch als Sinusschwingungen mit der Amplitude A ¼ 3 und dem Phasenwinkel j ¼ p=4 bzw.
&
j ¼ 5 p=6 aufgefasst werden.
9.5.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen
Nach dem Superpositionsprinzip der Physik entsteht durch ungestörte berlagerung
zweier gleichfrequenter sinusförmiger Schwingungen vom Typ
y 1 ¼ A 1 sin ðw t þ j1 Þ
und
y 2 ¼ A 2 sin ðw t þ j2 Þ
ðIII-145Þ
eine resultierende Schwingung gleicher Frequenz:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðIII-146Þ
Amplitude A und Phase j der Resultierenden sind dabei eindeutig durch die Amplituden A 1 , A 2 und die Phasen j1 , j2 der Einzelschwingungen y 1 und y 2 bestimmt
(alle Amplituden > 0; w > 0).
Zeichnerische Lösung (Bild III-135)
Im Zeigerdiagramm werden die Zeiger von y 1 und y 2 zu einem Parallelogramm zusammengesetzt, dessen Diagonale die resultierende Schwingung nach Bild III-135 darstellt. Amplitude A und Phase j lassen sich unmittelbar aus dem Diagramm ablesen.
y = y1 + y2
y2
A
A2
f2
f1
f
A1
y1
Bild III-135
Geometrische Addition zweier
gleichfrequenter Schwingungen
im Zeigerdiagramm
266
III Funktionen und Kurven
Berechnung von Amplitude A und Phase j (Bild III-136)
Aus Bild III-136 gewinnt man durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das
rechtwinklige Dreieck mit den Katheten u ¼ u 1 þ u 2 und v ¼ v 1 þ v 2 und der
Hypotenuse A die folgende Beziehung für die Amplitude A der resultierenden Schwingung:
A 2 ¼ u 2 þ v 2 ¼ ðu 1 þ u 2 Þ 2 þ ðv 1 þ v 2 Þ 2 ¼
¼ ðA 1 cos j1 þ A 2 cos j2 Þ 2 þ ðA 1 sin j1 þ A 2 sin j2 Þ 2 ¼
¼ A 21 cos 2 j1 þ 2 A 1 A 2 cos j1 cos j2 þ A 22 cos 2 j2 þ A 21 sin 2 j1 þ
þ 2 A 1 A 2 sin j1 sin j2 þ A 22 sin 2 j2 ¼
¼ A 21 ðcos 2 j1 þ sin 2 j1 Þ þ A 22 ðcos 2 j2 þ sin 2 j2 Þ þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
1
1
þ 2 A 1 A 2 ðcos j1 cos j2 þ sin j1 sin j2 Þ ¼
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
cos ðj1 j2 Þ ¼ cos ðj2 j1 Þ
¼ A 21 þ A 22 þ 2 A 1 A 2 cos ðj2 j1 Þ
ðIII-147Þ
(unter Verwendung des Additionstheorems des Kosinus). Somit ist
A ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A 21 þ A 22 þ 2 A 1 A 2 cos ðj2 j1 Þ
ðIII-148Þ
Die Phase j der resultierenden Schwingung berechnet man aus der Formel
tan j ¼
v
v1 þ v2
A 1 sin j1 þ A 2 sin j2
¼
¼
u
u1 þ u2
A 1 cos j1 þ A 2 cos j2
ðIII-149Þ
y
Hilfsgrößen:
u 1 ¼ A 1 cos j1
y2
u 2 ¼ A 2 cos j2
v2
A
A2
v = v1 + v 2
v 2 ¼ A 2 sin j2
y1
f2
A1
f
v1
f1
u1
u = u1 + u 2
v 1 ¼ A 1 sin j1
u2
Bild III-136
Zur Bestimmung der Amplitude
und Phase einer resultierenden
Schwingung
9 Trigonometrische Funktionen
267
Wir fassen zusammen:
Superposition zweier gleichfrequenter Schwingungen (Bild III-136)
Durch ungestörte berlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen vom Typ
y 1 ¼ A 1 sin ðw t þ j1 Þ
und
y 2 ¼ A 2 sin ðw t þ j2 Þ
ðIII-150Þ
mit A 1 > 0, A 2 > 0 und w > 0 entsteht eine resultierende Schwingung der
gleichen Frequenz:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðmit A > 0Þ
ðIII-151Þ
Amplitude A und Phasenwinkel j lassen sich dabei aus den Amplituden A 1 und
A 2 und den Phasenwinkeln j1 und j2 der beiden Einzelschwingungen wie folgt
berechnen:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A ¼
A 21 þ A 22 þ 2 A 1 A 2 cos ðj2 j1 Þ
ðIII-152Þ
tan j ¼
A 1 sin j1 þ A 2 sin j2
A 1 cos j1 þ A 2 cos j2
ðIII-153Þ
Anmerkungen
(1)
Man beachte die Voraussetzungen: Beide Schwingungen müssen als Sinusschwingungen mit jeweils positiver Amplitude vorliegen. Die Formeln (III-152) und
(III-153) gelten aber auch dann, wenn beide Einzelschwingungen in der Kosinusform mit jeweils positiver Amplitude vorgegeben sind. In diesem Fall ist die resultierende Schwingung eine gleichfrequente phasenverschobene Kosinusschwingung.
Die Einzelschwingungen müssen also gegebenenfalls erst auf die Sinusform (oder
Kosinusform) gebracht werden.
(2)
Es ist ratsam, sich zunächst anhand einer Skizze über die Lage des resultierenden
Zeigers zu informieren. Den Phasenwinkel j erhält man dann aus Gleichung
(III-153) unter Berücksichtigung des Quadranten (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel (3)). Die dabei zu lösende Gleichung tan j ¼ const: ¼ c besitzt in
Abhängigkeit vom Quadranten die folgende Lösung (Hauptwert im Gradmaß) 10) :
Quadrant
I
II, III
IV
j¼
arctan c
arctan c + 180
arctan c + 360
Hinweis: Der Phasenwinkel j muss in der Schwingungsgleichung aus Dimensionsgründen stets im Bogenmaß angegeben werden.
10Þ
Die Funktion y ¼ arctan x ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall p=2 < x < p=2 beschränkten Tangensfunktion und wird in Abschnitt 10.4 noch ausführlich behandelt.
268
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
Wie lautet die durch Superposition der beiden gleichfrequenten mechanischen
Schwingungen
y 1 ¼ 4 cm sin ð2 s 1 tÞ
und
y 2 ¼ 3 cm cos ð2 s 1 t p=6Þ
entstandene resultierende Schwingung?
Lösung: Zunächst wird die Kosinusschwingung y 2 mit Hilfe des Zeigerdiagramms in eine Sinusschwingung umgewandelt (Bild III-137):
y 2 ¼ 3 cm cos ð2 s 1 t p=6Þ ¼ 3 cm sin ð2 s 1 t þ p=3Þ
+ cos
y2
30°
60°
+ sin
Bild III-137 Umwandlung einer Kosinusschwingung
in eine Sinusschwingung
Mit A 1 ¼ 4 cm, A 2 ¼ 3 cm, j1 ¼ 0 und j2 ¼ p=3 erhält man aus den Gleichungen (III-152) und (III-153) die folgenden Werte für die Amplitude A und die
Phase j der resultierenden Schwingung (der resultierende Zeiger liegt im
1. Quandranten):
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A ¼
ð4 cmÞ 2 þ ð3 cmÞ 2 þ 2 4 cm 3 cm cos ðp=3Þ ¼
¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
16 þ 9 þ 12 cm ¼ 37 cm ¼ 6,08 cm
tan j ¼
¼
4 cm sin 0 þ 3 cm sin ðp=3Þ
ð0 þ 2,5981Þ cm
¼
¼
4 cm cos 0 þ 3 cm cos ðp=3Þ
ð4 þ 1,5Þ cm
2,5981 cm
¼ 0,4724
5,5 cm
)
j ¼ arctan 0,4724 ¼ 25,29 ¼
b 0,44
Die resultierende Schwingung lautet damit:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 4 cm sin ð2 s 1 tÞ þ 3 cm cos ð2 s 1 t p=6Þ ¼
¼ 6,08 cm sin ð2 s 1 t þ 0,44Þ
9 Trigonometrische Funktionen
(2)
269
Die gleichfrequenten Wechselspannungen
u 1 ¼ 50 V sin ð314 s 1 tÞ
und
u 2 ¼ 80 V cos ð314 s 1 tÞ
werden zur berlagerung gebracht. Die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung u ¼ u 0 sin ð314 s 1 t þ jÞ kann unmittelbar aus
dem Zeigerdiagramm berechnet werden (unverschobene Sinus- bzw. Kosinuszeiger,
siehe Bild III-138):
u = u1 + u 2
u2
u0 ¼
u0
80 V
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð50 VÞ 2 þ ð80 VÞ 2 ¼ 94,34 V
tan j ¼
80 V
¼ 1,6
50 V
)
j ¼ arctan 1,6 ¼ 57,99 ¼
b 1,01
f
50 V
u1
Bild III-138
Die resultierende Wechselspannung lässt sich somit durch die Funktion
u ¼ u 1 þ u 2 ¼ 50 V sin ð314 s 1 tÞ þ 80 V cos ð314 s 1 tÞ ¼
¼ 94,34 V sin ð314 s 1 t þ 1,01Þ
beschreiben.
(3)
Wir bringen die gleichfrequenten mechanischen Schwingungen
p
5
und
y 2 ¼ 10 cm sin w t þ
p
y 1 ¼ 6 cm sin w t þ
6
6
zur ungestörten berlagerung. Der Zeiger der resultierenden Schwingung
y ¼ A sin ðw t þ jÞ liegt im 2. Quadranten ð90 < j < 180 Þ, wie man dem
Zeigerdiagramm entnehmen kann (siehe Bild III-139).
y = y1 + y2
A = 8,7 cm
y2
y1
10 cm
f = 113°
30°
30°
6 cm
Bild III-139
270
III Funktionen und Kurven
Für die Amplitude A erhalten wir nach Formel (III-152) den folgenden Wert:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
5
p
2
2
p A ¼
ð6 cmÞ þ ð10 cmÞ þ 2 6 cm 10 cm cos
¼
6
6
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
2 p=3
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 36 þ 100 60 cm ¼ 76 cm ¼ 8,72 cm
Den Phasenwinkel j bestimmen wir aus Gleichung (III-153):
p
5
þ 10 cm sin
p
6 cm sin
6
6
¼
tan j ¼
p
5
6 cm cos
þ 10 cm cos
p
6
6
¼
ð3 þ 5Þ cm
8
¼
¼ 2,3094
ð5,1962 8,6603Þ cm
3,4641
Diese Gleichung besitzt wegen 90 < j < 180 die Lösung
j ¼ arctan ð 2,3094Þ þ 180 ¼ 113,41 ¼
b 1,98
Die resultierende Schwingung wird somit durch die Gleichung
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 8,72 cm sin ðw t þ 1,98Þ
&
beschrieben.
9.5.4 Lissajous-Figuren
Lissajous-Figuren entstehen durch berlagerung zweier aufeinander senkrecht stehender
Schwingungen, deren Frequenzen in einem rationalen Verhältnis stehen. Sie lassen sich
z. B. auf einem Kathodenstrahloszillograph (Braunsche Röhre) durch Anlegen von (sinusförmigen) Wechselspannungen an die beiden Kondensatorplattenpaare realisieren. Eine Sinusspannung am horizontal ablenkenden Plattenpaar (x-Richtung) bewirkt, dass der
Elektronenstrahl eine Schwingung in waagerechter Richtung nach der Gleichung
x ¼ a sin ðw tÞ ausführt. Eine Kosinusspannung gleicher Frequenz am vertikal ablenkenden Plattenpaar ( y-Richtung) veranlasst den Elektronenstrahl zu einer periodischen
Bewegung in vertikaler Richtung gemäß der Gleichung y ¼ b cos ðw tÞ. Die augenblickliche Lage des Strahls bei gleichzeitigem Anlegen beider Spannungen wird dann
durch die Parameter-Gleichungen
x ¼ a sin ðw tÞ ,
y ¼ b cos ðw tÞ
ðt 0Þ
beschrieben ða > 0, b > 0 und w > 0Þ. Löst man diese Gleichungen nach sin ðw tÞ
bzw. cos ðw tÞ auf und berücksichtigt die Beziehung (III-129), so erhält man als Bahnkurve
des Elektronenstrahls eine unverschobene Ellipse mit den Halbachsen a und b (Bild III-140):
x 2 y 2
x2
y2
sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ ¼ 1 )
þ
¼ 1 )
þ
¼ 1
a
b
a2
b2
10 Arkusfunktionen
271
y
Startpunkt (t = 0)
Bild III-140
Lissajous-Figur (Ellipse):
Die Pfeilrichtung kennzeichnet
den Durchlaufsinn des Elektronenstrahls
b
a
x
10 Arkusfunktionen
10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen ordnen einem Winkel x in eindeutiger Weise einen
Funktionswert zu. In den Anwendungen jedoch stellt sich häufig genau das umgekehrte
Problem (z. B. beim Lösen einer trigonometrischen Gleichung): Der Funktionswert einer
bestimmten trigonometrischen Funktion ist bekannt, gesucht ist der zugehörige Winkel.
So besitzt beispielsweise die einfache trigonometrische Gleichung tan x ¼ 1 unendlich
viele Lösungen, d. h. es gibt unendlich viele Winkel, deren Tangens gleich Eins ist. Die
Lösungen dieser Gleichung können bequem auf zeichnerischem Wege als Schnittpunkte
der Tangensfunktion y ¼ tan x mit der Geraden y ¼ 1 (Parallele zur x-Achse) ermittelt werden (Bild III-141). Sie liegen wegen der Periodizität der Tangensfunktion in
regelmäßigen Abständen von einer Periodenlänge p :
xk ¼
p
þk p
4
ðk 2 ZÞ
y
y = tan x
y=1
–
3
p
2
–
–
3
p
4
p
p
2
2
p
4
3
p
2
5
p
4
Bild III-141 Zur Umkehrung einer trigonometrischen Funktion
5
p
2
9
p
4
x
272
III Funktionen und Kurven
Die Umkehrung der Tangensfunktion ist demnach nicht eindeutig. Offensichtlich ist dies
eine Folge der fehlenden Monotonieeigenschaft (bedingt durch die Periodizität). Ganz
ähnlich liegen die Verhältnisse bei den übrigen trigonometrischen Funktionen.
Beschränken wir uns jedoch bei der Lösung der Gleichung tan x ¼ 1 auf den Winkelbereich p=2 < x < p=2 (hier ist der Tangens streng monoton wachsend), so erhält
man genau eine Lösung:
Lösung im Intervall
tan x ¼ 1 I x 0 ¼ p=4
p=2 < x < p=2
Zur Umkehrung der trigonometrischen Funktionen
Grundsätzlich lassen sich die trigonometrischen Funktionen infolge fehlender Monotonieeigenschaft nicht umkehren. Beschränkt man sich jedoch auf gewisse Intervalle, in denen die Funktionen streng monoton verlaufen und dabei sämtliche Funktionswerte annehmen, so ist jede der vier Winkelfunktionen dort umkehrbar. Die
Umkehrfunktionen werden als Arkusfunktionen oder zyklometrische Funktionen
bezeichnet. Ihre Funktionswerte sind im Bogen- oder Gradmaß dargestellte Winkel.
Bei der Auswahl der Intervalle, in denen die Umkehrung vorgenommen werden soll,
gehen wir wie folgt vor:
Wenn möglich, wählen wir ein zum Nullpunkt symmetrisches Intervall, in dem die trigonometrische Funktion die für die Umkehrung nötigen Voraussetzungen erfüllt (! Sinus,
Tangens). Falls dies jedoch nicht möglich ist, wählen wir ein im Nullpunkt beginnendes
Intervall (! Kosinus, Kotangens).
Die Umkehrfunktionen der vier trigonometrischen Funktionen werden der Reihe nach
mit arcsin x, arccos x, arctan x und arccot x bezeichnet, auf den Taschenrechnern
auch mit sin 1 x, cos 1 x, tan 1 x (nicht zu verwechseln mit den Kehrwerten;
cot 1 x fehlt auf dem Rechner).
10.2 Arkussinusfunktion
Die Sinusfunktion verläuft in dem zum Nullpunkt symmetrischen Intervall
p=2 x p=2 streng monoton wachsend, durchläuft dabei ihren gesamten Wertevorrat und ist daher in diesem Intervall umkehrbar. Ihre Umkehrung führt zur Arkussinusfunktion (Bild III-142).
Definition: Die Arkussinusfunktion y ¼ arcsin x ist die Umkehrfunktion der
auf das Intervall p=2 x p=2 beschränkten Sinusfunktion
y ¼ sin x.
10 Arkusfunktionen
273
y
y
p
y = sin x
1
–
2
y = arcsin x
p
2
p
x
2
–1
1
x
–1
a)
Bild III-142 Zur Umkehrung der Sinusfunktion
a) Funktionsgraph von y ¼ sin x
b) Funktionsgraph von y ¼ arcsin x
–
b)
p
2
In der folgenden Tabelle 3 haben wir die wesentlichen Eigenschaften der Arkussinusfunktion zusammengestellt.
Tabelle 3: Eigenschaften der Arkussinusfunktion y ¼ arcsin x (Bild III-142)
y ¼ sin x
y ¼ arcsin x
p
p
x 2
2
Definitionsbereich
Wertebereich
1 y 1
Nullstellen
x0 ¼ 0
x0 ¼ 0
Symmetrie
ungerade
ungerade
Monotonie
streng monoton wachsend
streng monoton wachsend
1 x 1
p
p
y 2
2
Anmerkung
Der Arkussinus liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadranten.
&
Beispiele
arcsin 0,5 ¼ p=6 ¼
b 30
arcsin 0 ¼ 0
sin ðarcsin xÞ ¼ arcsin ðsin xÞ ¼ x
arcsin x ¼ p
6
)
arcsin ð 0,75Þ ¼ 0,8481
ðf ür 1 x 1Þ
p
x ¼ sin ðarcsin xÞ ¼ sin ¼ 0,5
6
&
274
III Funktionen und Kurven
10.3 Arkuskosinusfunktion
Die Kosinusfunktion ist im Intervall 0 x p streng monoton fallend, durchläuft
dabei ihren gesamten Wertevorrat und ist daher dort umkehrbar. Ihre Umkehrung führt
zur Arkuskosinusfunktion (Bild III-143).
Definition: Die Arkuskosinusfunktion y ¼ arccos x ist die Umkehrfunktion der auf
das Intervall 0 x p beschränkten Kosinusfunktion y ¼ cos x.
Ihre Eigenschaften entnimmt man Tabelle 4.
y
y
p
1
y = cos x
p
p
x
p
2
2
y = arccos x
–1
a)
Bild III-143 Zur Umkehrung der Kosinusfunktion
a) Funktionsgraph von y ¼ cos x
b)
b) Funktionsgraph von y ¼ arccos x
–1
1
x
Tabelle 4: Eigenschaften der Arkuskosinusfunktion y ¼ arccos x (Bild III-143)
y ¼ cos x
y ¼ arccos x
Definitionsbereich
0 x p
1 x 1
Wertebereich
1 y 1
0 y p
Nullstellen
x0 ¼
Monotonie
streng monoton fallend
p
2
x0 ¼ 1
streng monoton fallend
Anmerkung
Der Arkuskosinus liefert nur Winkel aus dem 1. und 2. Quadranten.
&
Beispiele
arccos 0 ¼
p
2
arccos 0,5 ¼
p
¼
b 60
3
arccos ð 0,237Þ ¼ 1,8101
&
10 Arkusfunktionen
275
10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
Die Umkehrung der Tangensfunktion erfolgt im zum Nullpunkt symmetrischen Intervall
p=2 < x < p=2, in dem der Tangens streng monoton wachsend verläuft und dabei
seinen gesamten Wertebereich durchläuft. Die Umkehrfunktion wird als Arkustangensfunktion bezeichnet (Bild III-144).
Definition: Die Arkustangensfunktion y ¼ arctan x ist die Umkehrfunktion der
auf das Intervall p=2 < x < p=2 beschränkten Tangensfunktion
y ¼ tan x.
Ihre Funktionseigenschaften sind in Tabelle 5 näher beschrieben.
y
y
p
2
y = tan x
y = arctan x
1
–
p
2
–1
p
–1
x
–
2
1
x
p
2
b)
Bild III-144 Zur Umkehrung der Tangensfunktion
a) Funktionsgraph von y ¼ tan x
b) Funktionsgraph von y ¼ arctan x
a)
Tabelle 5: Eigenschaften der Arkustangensfunktion y ¼ arctan x (Bild III-144)
y ¼ tan x
p
p
< x <
2
2
y ¼ arctan x
Definitionsbereich
Wertebereich
1 < y < 1
Nullstellen
x0 ¼ 0
x0 ¼ 0
Symmetrie
ungerade
ungerade
Monotonie
streng monoton wachsend
streng monoton wachsend
Asymptoten
x ¼ p
2
1 < x < 1
p
p
< y <
2
2
y ¼ p
2
Anmerkung
Der Arkustangens liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadranten.
276
III Funktionen und Kurven
Die Kotangensfunktion ist im Intervall 0 < x < p umkehrbar. Denn dort ist der
Kotangens streng monoton fallend und durchläuft dabei seinen gesamten Wertebereich.
Die Umkehrfunktion heißt Arkuskotangensfunktion (Bild III-145).
Definition: Die Arkuskotangensfunktion y ¼ arccot x ist die Umkehrfunktion der
auf das Intervall 0 < x < p beschränkten Kotangensfunktion
y ¼ cot x.
In Tabelle 6 sind die Eigenschaften dieser Funktion zusammengetragen.
y
y
p
y = cot x
p
1
y = arccot x
2
p
–1
p
x
–1
2
1
Bild III-145 Zur Umkehrung der Kotangensfunktion
a) Funktionsgraph von y ¼ cot x
b) Funktionsgraph von y ¼ arccot x
a)
Tabelle 6: Eigenschaften der Arkuskotangensfunktion y ¼ arccot x (Bild III-145)
y ¼ cot x
y ¼ arccot x
Definitionsbereich
0 < x < p
1 < x < 1
Wertebereich
1 < y < 1
0 < y < p
Nullstellen
x0 ¼
Monotonie
streng monoton fallend
streng monoton fallend
x ¼ 0
y ¼ 0
x ¼ p
y ¼ p
Asymptoten
x
b)
p
2
10 Arkusfunktionen
277
Anmerkung
Die Arkuskotangensfunktion spielt in der Praxis keine nennenswerte Rolle. Sie fehlt daher auf den Taschenrechnern. Ihre Funktionswerte werden meist unter Verwendung der
Beziehung
arccot x ¼
p
arctan x
2
ðIII-154Þ
über die Arkustangensfunktion berechnet (x im Bogenmaß; bei Verwendung des Gradmaßes ist p=2 durch 90 zu ersetzen). Man erhält stets Winkel aus dem 1. und 2. Quadranten.
&
Beispiele
(1)
(2)
p
arctan 125,3 ¼ 1,5628
4
p
p
p
arctan 0 ¼
0 ¼
arccot 0 ¼
2
2
2
arccot 1,51 ¼
p
p
arctan 1,51 ¼
0,9859 ¼ 0,5849
2
2
arccot ð 23,5Þ ¼
(3)
arctan ð 3 pÞ ¼ 1,4651
arctan 1 ¼
p
p
arctan ð 23,5Þ ¼
ð 1,5283Þ ¼ 3,0991
2
2
Die Superposition der gleichfrequenten mechanischen Schwingungen
y 1 ¼ 5 cm sin ð3 s 1 tÞ
y 2 ¼ 6 cm cos ð3 s 1 tÞ
und
führt zu einer resultierenden Schwingung gleicher Frequenz, deren Amplitude A und
Phase j direkt aus dem Zeigerdiagramm (Bild III-146) berechnet werden kann:
y = y1 + y2
y2
¼
A
6 cm
A ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð5 cmÞ 2 þ ð6 cmÞ 2 ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
25 þ 36 cm ¼ 61 cm ¼ 7,81 cm
tan j ¼
f
5 cm
y1
6 cm
¼ 1,2
5 cm
)
j ¼ arctan 1,2 ¼ 0,8761
Bild III-146
Die Gleichung der resultierenden Schwingung lautet damit:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 5 cm sin ð3 s 1 tÞ þ 6 cm cos ð3 s 1 tÞ ¼
¼ 7,81 cm sin ð3 s 1 t þ 0,8761Þ
&
278
III Funktionen und Kurven
10.5 Trigonometrische Gleichungen
Unter einer trigonometrischen Gleichung versteht man eine Gleichung, bei der die Unbekannte x in den Argumenten trigonometrischer Funktionen auftritt. Den Lösungsmechanismus zeigen wir anhand eines ausgewählten Beispiels, da sich ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen dieser Art nicht angeben lässt.
&
Beispiel
sin ð2 xÞ ¼ 1,5 cos x
Störend ist zunächst, dass auf der linken Seite der doppelte Winkel 2 x auftritt. Unter
Verwendung der trigonometrischen Formel sin ð2 xÞ ¼ 2 sin x cos x lässt sich diese
Ungleichheit in den Argumenten beseitigen und die gegebene Gleichung wie folgt umformen:
2 sin x cos x ¼ 1,5 cos x
oder
2 sin x cos x 1,5 cos x ¼ 0
cos x ¼ 0
cos x ð2 sin x 1,5Þ ¼ 0 2 sin x 1,5 ¼ 0
(ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist!). Die Ausgangsgleichung
zerfällt damit in die beiden (wesentlich einfacheren) Gleichungen cos x ¼ 0 und
2 sin x 1,5 ¼ 0, mit deren Lösung wir uns jetzt beschäftigen wollen.
Lösungen der Gleichung cos x ¼ 0
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen der Kosinusfunktion. Sie liegen nach
Bild III-147 bei
x1k ¼
p
þ kp
2
ðk 2 ZÞ
Da es noch weitere Lösungen geben wird, müssen wir zur Kennzeichnung der einzelnen
Werte zwei Indizes verwenden. Der erste Index (hier: 1) kennzeichnet dabei die verschiedenen Teillösungsmengen, der zweite Index k ist der Laufindex ðk 2 ZÞ.
y
1
–
y = cos x
p
p
2
2
–1
3
p
2
5
p
2
Bild III-147 Zur Lösung der Gleichung cos x ¼ 0
7
p
2
x
10 Arkusfunktionen
279
Lösungen der Gleichung 2 sin x 1,5 ¼ 0
oder
sin x ¼ 0,75
Die Lösungen dieser trigonometrischen Gleichung ergeben sich als Schnittpunkte zwischen der Sinuskurve y ¼ sin x und der Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung
y ¼ 0,75 (Bild III-148).
y
y = sin x
y = 0,75
1
0,75
–2p
–p
p
0
2p
3p
x
arcsin 0,75
–1
p – arcsin 0,75
Bild III-148 Zur Lösung der Gleichung sin x ¼ 0,75
Anhand der Skizze erkennt man, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt.
Die im Intervall p=2 x p=2 liegende Lösung findet man durch Umkehrung,
d. h. mit Hilfe der Arkussinusfunktion:
sin x ¼ 0,75
)
x 2 ¼ arcsin 0,75 ¼ 0,848
Weitere Lösungen folgen offensichtlich wegen der Periodizität der Sinusfunktion im Abstand jeweils einer Periode 2 p :
x 2 k ¼ arcsin 0,75 þ k 2 p ¼ 0,848 þ k 2 p
ðk 2 ZÞ
Sie sind in Bild III-148 durch kurze Pfeile gekennzeichnet. Eine weitere Lösung liegt
nach der Skizze aus Symmetriegründen bei
x 3 ¼ p arcsin 0,75 ¼ p 0,848 ¼ 2,294
Wegen der Periodizität sind auch
x 3 k ¼ p arcsin 0,75 þ k 2 p ¼ 2,294 þ k 2 p
ðk 2 ZÞ
Lösungen der Gleichung sin x ¼ 0,75. Sie entsprechen den langen Pfeilen in Bild
III-148.
Damit besitzt die Ausgangsgleichung sin ð2 xÞ ¼ 1,5 cos x insgesamt folgende Lösungen:
9
p
>
x1k ¼
þk p
>
>
=
2
x 2 k ¼ 0,848 þ k 2 p > ðk 2 ZÞ
>
>
x 3 k ¼ 2,294 þ k 2 p ;
&
280
III Funktionen und Kurven
11 Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen spielen in den Anwendungen eine bedeutende Rolle. Sie werden
z. B. benötigt bei der Beschreibung von Abkling-, Sättigungs- und Wachstumsprozessen
sowie bei gedämpften Schwingungen und in der Statistik.
11.1 Grundbegriffe
Zu den Exponentialfunktionen gelangt man durch Verallgemeinerung des Begriffes
Potenz. Potenzen sind dabei Ausdrücke vom Typ a n :
a:
Grundzahl oder Basiszahl (kurz Basis genannt)
n:
Hochzahl oder Exponent
Sie genügen den folgenden Rechenregeln (bei gleicher Basis):
Rechenregeln für Potenzen
m
a ¼ a
n
Zahlenbeispiele
mþn
2 3 2 5 ¼ 2 3 þ 5 ¼ 2 8 ¼ 256
(1)
a
(2)
am
¼ amn
an
35
1
1
¼ 357 ¼ 32 ¼ 2 ¼
3
9
37
(3)
ða m Þ n ¼ a m n
ð2 3 Þ 5 ¼ 2 3 5 ¼ 2 15 ¼ 32 768
11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Lässt man für den Exponenten in einer Potenz a n mit positiver Basis a 6¼ 1 beliebige
reelle Werte zu, so gelangt man zu den Exponentialfunktionen.
Definition: Funktionen vom Typ y ¼ a x mit positiver Basis a > 0 und a 6¼ 1
heißen Exponentialfunktionen.
Ihre Eigenschaften haben wir in Tabelle 7 zusammengetragen, wobei wir noch zwischen
den Fällen 0 < a < 1 und a > 1 unterscheiden.
Tabelle 7: Eigenschaften der Exponentialfunktionen (Bild III-149)
y ¼ ax
ð0 < a < 1Þ
y ¼ ax
ða > 1Þ
Definitionsbereich
1 < x < 1
1 < x < 1
Wertebereich
0 < y < 1
0 < y < 1
Monotonie
streng monoton fallend
streng monoton wachsend
Asymptoten
y ¼ 0
y ¼ 0
ðf ür x ! 1Þ
ðf ür x ! 1Þ
11 Exponentialfunktionen
281
Die streng monoton verlaufenden Exponentialfunktionen besitzen daher weder Nullstellen noch Extremwerte. Ihre Funktionsgraphen schneiden die y-Achse bei
y ¼ 1 : y ð0Þ ¼ a0 ¼ 1. In Bild III-149 ist je ein Vertreter der streng monoton fallenden und der streng monoton wachsenden Exponentialfunktionen skizziert.
y
y=
1
3
x
y=2x
1
Bild III-149
Funktionsgraphen von y ¼ 2 x
und y ¼ ð1=3Þ x
–1
1
x
Anmerkung
Die Exponentialfunktion y ¼ a x ist nicht mit der Potenzfunktion y ¼ x n zu verwechseln. Bei einer Exponentialfunktion ist die Basis a fest, der Exponent aber variabel
(daher auch die Bezeichnung). Bei einer Potenzfunktion dagegen ist der Exponent fest
und die Basis variabel.
&
Beispiele
(1)
Streng monoton wachsende Exponentialfunktionen sind beispielsweise
y ¼ 2 x (Bild III-149),
(2)
y ¼ 5x
und
y ¼ 10 x .
Streng monoton fallend sind die folgenden Exponentialfunktionen:
x
x
1
1
(Bild III-149),
y ¼
und
y ¼ 0,1 x .
y ¼
3
2
&
Spezielle Exponentialfunktionen
Von besonderer Bedeutung sind die Exponentialfunktionen
x
1
und
y ¼
¼ ex
y ¼ ex
e
(Bild III-150). Dabei ist e die durch den Grenzwert
1 n
e ¼ lim 1 þ
¼ 2,718 281 . . .
n
n!1
ðIII-155Þ
ðIII-156Þ
282
III Funktionen und Kurven
definierte Eulersche Zahl. Die Funktion y ¼ e x wird kurz als e-Funktion bezeichnet.
Sie ist die mit Abstand wichtigste Exponentialfunktion.
y
y = e –x
y = ex
1
Bild III-150
Funktionsgraphen der e-Funktionen
y ¼ e x und y ¼ e x
–1
x
1
Die Funktionsgraphen von y ¼ e x und y ¼ e x sind dabei spiegelsymmetrisch zur
y-Achse angeordnet (vgl. hierzu Bild III-150). Diese Eigenschaft trifft allgemein für jede
Basis a > 0 ða 6¼ 1Þ zu, d. h. die Kurven von y ¼ a x und y ¼ a x gehen durch
Spiegelung an der y-Achse ineinander über.
Neben den e-Funktionen y ¼ e x und y ¼ e x spielen noch die beiden Exponentialfunktionen y ¼ 2 x und y ¼ 10 x eine gewisse Rolle. Sie werden beispielsweise im
Zusammenhang mit der Darstellung von Zahlen benötigt (Dualsystem, Dezimalsystem).
Jede Exponentialfunktion vom allgemeinen Typ y ¼ a x ist auch in der Form y ¼ e l x
mit l ¼ ln a, d. h. als eine spezielle e-Funktion darstellbar, wobei gilt 11) :
l > 0:
streng monoton wachsende Funktion
l < 0:
streng monoton fallende Funktion
11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende
Funktionstypen mit e-Funktionen
11.3.1 Abklingfunktionen
Dieser in den Anwendungen meist in der zeitabhängigen Form
y ¼ a elt
oder
y ¼ a e
t
t
ðt 0Þ
ðIII-157Þ
mit a > 0, l > 0 und t ¼ 1=l > 0 auftretende Funktionstyp verläuft streng monoton
fallend und strebt für t ! 1 asymptotisch gegen die t-Achse, d. h. die t-Achse y ¼ 0
ist Asymptote im Unendlichen (Bild III-151).
11)
ln a ist der natürliche Logarithmus der Basiszahl a. Er wird in Abschnitt 12.1 noch ausführlich erklärt.
Dort werden wir auch auf die Umrechnung a x ¼ e l x mit l ¼ ln a zurückkommen.
11 Exponentialfunktionen
283
y
a
y = a · e – lt
0,37 a
Bild III-151
Abklingfunktion vom Typ
y ¼ a e l t (für t 0)
t1
Tangente in t 0 = 0
t
Funktionen dieser Art werden als Abklingfunktionen bezeichnet. Sie beschreiben Vorgänge, bei denen eine Größe y im Laufe der Zeit vom Anfangswert a auf den Endwert
0 abklingt. Die Kurventangente in t 0 ¼ 0 schneidet dabei die t-Achse an der Stelle
t 1 ¼ 1=l ¼ t. Der Funktionswert an dieser Stelle beträgt rund 37 % des „Anfangswertes“ y ð0Þ ¼ a, d. h. es ist y ðt 1 Þ ¼ y ðtÞ ¼ 0,37 a.
&
Beispiele
(1)
Radioaktiver Zerfall: Eine radioaktive Substanz zerfällt auf natürliche Weise nach
dem exponentiellen Zerfallsgesetz
n ðtÞ ¼ n 0 e l t
ðt 0Þ (Bild III-152)
Dabei bedeuten:
n0:
Anzahl der zu Beginn vorhandenen Atomkerne
n ðtÞ:
Anzahl der Atomkerne zur Zeit t
l > 0:
Zerfallskonstante
n
n0
n = n 0 · e – lt
1
n
2 0
t
t
Bild III-152
Zerfallsgesetz beim radioaktiven
Zerfall (t : Halbwertszeit)
284
(2)
III Funktionen und Kurven
Ein weiteres Beispiel liefert die Entladung eines Kondensators mit der Kapazität
C über einen ohmschen Widerstand R. Die Kondensatorspannung u klingt dabei
exponentiell mit der Zeit t ab:
t
u ðtÞ ¼ u 0 e R C
ðt 0Þ
(u 0 : Kondensatorspannung zu Beginn; R C : Zeitkonstante). Der Kurvenverlauf ist
ähnlich wie beim radioaktiven Zerfall.
(3)
Zwischen dem Luftdruck p und der Höhe h (gemessen gegenüber dem Meeresniveau h ¼ 0) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende
Zusammenhang (sog. barometrische Höhenformel):
h
p ðhÞ ¼ p 0 e 7991 m
ðh=m 0Þ
ðp 0 ¼ 1,013 barÞ. Der Luftdruck nimmt dabei mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Die Kurve verläuft auch hier ähnlich wie beim radioaktiven Zerfall.
&
Einen etwas allgemeineren Typ einer Abklingfunktion erhält man durch Hinzufügen einer
additiven Konstanten b:
y ¼ a elt þ b
oder
t
y ¼ a et þ b
ðt 0Þ
ðIII-158Þ
Diese Konstante beschreibt eine Verschiebung der Kurve längs der y-Achse, wobei gilt:
b > 0: Verschiebung nach oben um die Strecke b
b < 0: Verschiebung nach unten um die Strecke j b j
Funktionen von diesem Typ besitzen für t ! 1 den Grenzwert b, d. h. y ¼ b ist
Asymptote im Unendlichen (Bild III-153). Die Kurventangente in t 0 ¼ 0 schneidet dabei die Asymptote an der Stelle t 1 ¼ 1=l ¼ t. Der Funktionswert der Abklingfunktion an dieser Stelle beträgt y ðt 1 Þ ¼ y ðtÞ ¼ 0,37 a þ b.
y
a+b
y = a · e – lt + b
0,37 a + b
y=b
b
Bild III-153
Abklingfunktion vom Typ
y ¼ a e l t þ b, t 0
Tangente in t 0 = 0
t1
t
11 Exponentialfunktionen
&
285
Beispiel
Ein Körper besitze zur Zeit t ¼ 0 die Temperatur T 0 und werde in der Folgezeit
durch vorbeiströmende Luft der (konstanten) Temperatur T L gekühlt ðT L < T 0 Þ. Mit
der Zeit nimmt dabei seine Temperatur T nach dem Exponentialgesetz
T ðtÞ ¼ ðT 0 T L Þ e k t þ T L
ðt 0Þ
ab (Abkühlungsgesetz nach Newton; k ist dabei eine positive Konstante). Die Körpertemperatur T strebt asymptotisch dem Grenzwert
T 1 ¼ lim T ðtÞ ¼ T L
t!1
zu, d. h. der Körper kühlt sich im Laufe der Zeit so lange ab, bis er die Temperatur der
Luft erreicht hat (Bild III-154).
T
T0
T ( t)
TL
Bild III-154
Abkühlungsgesetz nach Newton
t
&
11.3.2 Sättigungsfunktionen
Dieser in den technischen Anwendungen weit verbreitete Funktionstyp tritt meist in der
zeitabhängigen Form
y ¼ a ð1 e l t Þ
oder
t
y ¼ a 1 e t
ðt 0Þ
ðIII-159Þ
auf und verläuft für a > 0, l > 0 und t ¼ 1=l > 0 streng monoton wachsend
(Bild III-155). Er wird bei der mathematischen Beschreibung von Sättigungsprozessen
benötigt und daher folgerichtig als Sättigungsfunktion bezeichnet. Die physikalisch-technische Größe y nähert sich dabei im Laufe der Zeit ihrem Endwert (Sättigungswert) a
(meist vom Anfangswert 0 aus). Der Funktionswert strebt dabei für t ! 1 asymptotisch gegen den Grenzwert a, d. h. y ¼ a ist Asymptote im Unendlichen. Die Kurventangente in t 0 ¼ 0 schneidet die Asymptote an der Stelle t 1 ¼ 1=l ¼ t. Der Funktionswert an dieser Stelle beträgt rund 63 % des „Endwertes“ a, d. h. es ist
y ðt 1 Þ ¼ y ðtÞ ¼ 0,63 a.
286
III Funktionen und Kurven
y
Tangente in t 0 = 0
y=a
a
y = a (1 – e – l t)
0,63 a
Bild III-155
Sättigungsfunktion vom Typ
y ¼ a ð1 e l t Þ, t 0
t
t1
&
Beispiele
(1)
Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R erfolgt nach der Gleichung
t u ðtÞ ¼ u 0 1 e R C
ðt 0Þ
Dabei ist u ðtÞ die Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t und u 0 der Endwert der Kondensatorspannung. Bild III-156 zeigt den Verlauf dieser Sättigungsfunktion für die Werte u 0 ¼ 100 V und R C ¼ 1 ms.
u/ V
1
100
1
(2)
2
3
4
5
t / ms
Bild III-156
Aufladung eines Kondensators
(gezeichnet für u 0 ¼ 100 V
und R C ¼ 1 ms)
Bei einem KFZ-Stoßdämpfer legt der Kolben beim Einschieben einen Weg y nach
dem Zeitgesetz
y ¼ y 0 ð1 e k t Þ
zurück ðy 0 > 0, k > 0Þ.
ðt 0Þ
11 Exponentialfunktionen
(3)
287
Fallschirmsprung unter der Annahme eines geschwindigkeitsproportionalen
Luftwiderstandes
Für die Fallgeschwindigkeit v gilt dann in Abhängigkeit von der Fallzeit t:
mg
v ðtÞ ¼
k
k
mt
1e
ðf ür t 0Þ
m: Masse (Fallschirmspringer mit Fallschirm);
k > 0: Reibungsfaktor
g: Erdbeschleunigung;
Die Fallgeschwindigkeit nähert sich dabei im Laufe der Zeit asymptotisch ihrem
Endwert („Sättigungswert“) vE ¼ m g=k (siehe hierzu Bild III-157):
v E ¼ lim v ðtÞ ¼ lim
t!1
mg
k
k
1 e m t
¼
mg
k
v
mg
k
v=
k
mg
– t
1–e m
k
Bild III-157
Zeitlicher Verlauf der Fallgeschwindigkeit
beim Fallschirmsprung
t
&
Etwas allgemeiner ist der folgende Typ einer Sättigungsfunktion:
y ¼ a ð1 e l t Þ þ b
oder
t
y ¼ a 1 e t þ b
ðIII-160Þ
(für t 0). Die additive Konstante b beschreibt dabei eine Verschiebung der Kurve in
Richtung der y-Achse:
b > 0: Verschiebung nach oben um die Strecke b
b < 0: Verschiebung nach unten um die Strecke j b j
Für t ! 1 streben diese Sättigungsfunktionen gegen den Grenzwert a þ b, d. h.
y ¼ a þ b ist Asymptote im Unendlichen (Bild III-158). Die Kurventangente in
t 0 ¼ 0 schneidet dabei die Asymptote an der Stelle t 1 ¼ 1=l ¼ t. Der Funktionswert der Sättigungskurve an dieser Stelle beträgt y ðt 1 Þ ¼ y ðtÞ ¼ 0,63 a þ b.
288
III Funktionen und Kurven
y
Tangente in t 0 = 0
y=a+b
a+b
y = a (1 – e – l t) + b
0,63 a + b
b
t
t1
Bild III-158 Sättigungsfunktion vom Typ y ¼ a ð1 e l t Þ þ b, t 0
11.3.3 Wachstumsfunktionen
Zeitabhängige Wachstumsprozesse verlaufen meist exponentiell und lassen sich durch
streng monoton wachsende Exponentialfunktionen vom Typ
y ¼ y0 eat
ðt 0Þ
ðIII-161Þ
beschreiben. Dabei bedeuten:
y 0 > 0: Anfangsbestand zur Zeit t ¼ 0
a > 0: Wachstumsrate
&
Beispiel
Die Vermehrung von Bakterien genügt dem folgenden Exponentialgesetz (Bild III-159):
n ðtÞ ¼ n 0 e a t
ðt 0Þ
n
Dabei bedeuten:
n0:
Anzahl der Bakterien zu Beginn ðt ¼ 0Þ
n ðtÞ:
Anzahl der Bakterien zur Zeit t
a > 0:
Wachstumsrate
Bild III-159
n0
t
&
11 Exponentialfunktionen
289
11.3.4 Gedämpfte Schwingungen
Ungedämpfte harmonische Schwingungen lassen sich bekanntlich durch (zeitabhängige)
phasenverschobene Sinus- oder Kosinusfunktionen beschreiben (siehe hierzu Abschnitt
9.5). Wird das schwingungsfähige (mechanische oder elektromagnetische) System jedoch
gedämpft, so nimmt die Schwingungsamplitude im Laufe der Zeit ab und wir erhalten
(bei schwacher Dämpfung) eine sog. gedämpfte Schwingung, die durch die Gleichung
y ðtÞ ¼ A e d t sin ðw t þ jÞ
ðt 0Þ
ðIII-162Þ
beschrieben werden kann (mit A > 0, w > 0 und d > 0). Der streng monoton fallende Exponentialfaktor e d t sorgt dabei für die Abnahme der Schwingungsamplitude
im Laufe der Zeit (Bild III-160).
y
t
Bild III-160 Zeitlicher Verlauf einer gedämpften Schwingung
Kriechfall (aperiodisches Verhalten)
Der sog. Kriechfall (aperiodisches Verhalten) tritt ein, wenn ein schwingungsfähiges
(mechanisches oder elektromagnetisches) System infolge zu großer Dämpfung (Reibung)
zu keiner echten Schwingung mehr fähig ist, sondern sich im Laufe der Zeit asymptotisch der Gleichgewichtslage nähert (vgl. hierzu die Bilder III-161 und III-162). Die bei
der mathematischen Behandlung auftretenden Funktionen sind vom Typ
y ðtÞ ¼ A e l 1 t þ B e l 2 t
ðt 0Þ
ðIII-163Þ
ðl 1 > 0, l 2 > 0, l 1 6¼ l 2 Þ und stellen eine berlagerung zweier streng monoton
fallender e-Funktionen dar. Für t ! 1 streben diese Funktionen dabei dem Grenzwert
Null zu:
lim y ðtÞ ¼ 0
t!1
Das System befindet sich dann im Gleichgewichtszustand.
Wir behandeln in den folgenden Beispielen zwei typische Fälle.
290
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
(1)
y ðtÞ ¼ 10 e 2 t 10 e 4 t ¼ 10 ðe 2 t e 4 t Þ
ðt 0Þ
Diese Funktion beginnt bei y ð0Þ ¼ 0, erreicht zur Zeit t 1 ¼ 0,347 ihr Maximum (dieser Wert wurde mit Hilfe der Differentialrechnung ermittelt) und strebt
für t ! 1 asymptotisch gegen die Zeitachse (Bild III-161).
y
3
Umkehrpunkt (Maximum)
2
y = 10(e – 2t – e – 4t)
1
Bild III-161
Kriechfall bei starker Dämpfung
(aperiodisches Verhalten)
t1
1
1,5
2
t
Physikalische Interpretation (im Falle einer mechanischen Schwingung): Der Körper entfernt sich zunächst infolge seiner Anfangsgeschwindigkeit von der Gleichgewichtslage, erreicht dann den Umkehrpunkt (Maximum) und kehrt anschließend
asymptotisch in die Gleichgewichtslage zurück.
(2)
y ðtÞ ¼ 2 e 2 t þ 2 e 4 t ¼ 2 ðe 2 t þ e 4 t Þ
ðt 0Þ
Diese streng monoton verlaufende Kriechfunktion fällt von ihrem Maximalwert zu
Beginn ðy ð0Þ ¼ 4Þ asymptotisch gegen Null ab (Bild III-162).
y
4
3
2
y = 2 (e – 2t + e – 4t)
1
Bild III-162
Kriechfunktion bei starker Dämpfung
(aperiodisches Verhalten)
0,5
1
1,5
2
t
&
11 Exponentialfunktionen
291
Aperiodischer Grenzfall
Der bergang vom Schwingungsfall zum Kriechfall wird als aperiodischer Grenzfall
bezeichnet. Er wird durch die folgende Funktion beschrieben:
y ðtÞ ¼ ðA þ B tÞ e l t
ðl > 0; t 0Þ
ðIII-164Þ
Auch diese Funktion „kriecht“ für t ! 1 asymptotisch gegen die Zeitachse:
lim y ðtÞ ¼ 0
t!1
&
Beispiel
y ðtÞ ¼ ð2 10 tÞ e 3 t
ðt 0Þ
Diese Kriechfunktion fällt zunächst streng monoton von ihrem Maximalwert y ð0Þ ¼ 2
zu Beginn, schneidet dann bei t 1 ¼ 0,2 die Zeitachse und erreicht schließlich zur Zeit
t 2 ¼ 0,53 ihr Minimum, von wo aus sie asymptotisch gegen die Zeitachse strebt (Bild
III-163).
Physikalische Interpretation (bei einer mechanischen Schwingung): Der Körper schwingt
zunächst durch die Gleichgewichtslage hindurch bis zu seinem Umkehrpunkt und von
dort aus asymptotisch zur Gleichgewichtslage zurück.
y
2
1
y = (2 – 10 t) e – 3t
Bild III-163
Schwingungstyp beim
aperiodischen Grenzfall
t2
t1
–1
1
2
t
Umkehrpunkt
&
11.3.5 Gauß-Funktionen
Gauß-Funktionen spielen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Fehlerrechnung eine überragende Rolle (Stichwort: Gaußsche Normalverteilung, siehe Band 3).
Die Gleichung einer Gauß-Funktion lautet dabei im einfachsten Fall wie folgt:
y ¼ ex
2
ðx 2 RÞ
ðIII-165Þ
292
III Funktionen und Kurven
Die Kurve verläuft spiegelsymmetrisch zur y-Achse, besitzt an der Stelle x ¼ 0 ihr
einziges Maximum und fällt dann nach beiden Seiten hin gleichmäßig und asymptotisch
gegen Null ab. Wegen ihrer äußeren Gestalt, die stark einer Glocke ähnelt, wird sie auch
als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet (Bild III-164).
Maximum: (0; 1)
y
Wendepunkte: x ¼ 1
Max
1
y = e –x
W2
–2
2
W1
–1
1
2
x
Bild III-164
Graph der Gauß-Funktion
2
y ¼ ex
Durch die Gleichung
y ¼ a e b ðx x 0 Þ
2
ðx 2 RÞ
ðIII-166Þ
wird eine Gauß-Funktion in allgemeiner Form beschrieben. Sie enthält noch drei Parameter a > 0, b > 0 und x 0 . Das Symmetriezentrum befindet sich jetzt an der Stelle
x 0 , an der die Funktion ihren größten Wert annimmt (absolutes Maximum y max ¼ a).
Der Parameter b bestimmt dabei im Wesentlichen die Breite der Kurve (Breitenparameter). Bild III-165 zeigt den Verlauf dieser Glockenkurve.
y
a
Max
y = a · e – b( x – x 0 )
2
Bild III-165
Graph der Gauß-Funktion
y ¼ a e b ðx x 0 Þ
2
x
x0
12 Logarithmusfunktionen
12.1 Grundbegriffe
Jede positive reelle Zahl r ist als Potenz einer beliebigen positiven Basiszahl a mit
a 6¼ 1 darstellbar:
r ¼ ax
ðr > 0, a > 0
und a 6¼ 1Þ
ðIII-167Þ
12 Logarithmusfunktionen
293
Für den Exponenten x führt man die Bezeichnung „Logarithmus von r zur Basis a“
ein und kennzeichnet ihn durch das Symbol
ðIII-168Þ
x ¼ log a r
Der Logarithmus von r zur Basis a ist demnach diejenige Zahl x, mit dem die Basis
a zu potenzieren ist, um die Zahl r zu erhalten. Daher gilt:
r ¼ ax
&
,
x ¼ log a r
ðIII-169Þ
Beispiele
(1)
1000 ¼ 10 3
,
log 10 1000 ¼ log 10 10 3 ¼ 3
(2)
log 2 32 ¼ 5
,
32 ¼ 2 5
(3)
0,01 ¼ 10 2
,
log 10 0,01 ¼ log 10 10 2 ¼ 2
&
Man beachte, dass Logarithmen definitionsgemäß nur für positive Zahlen und eine positive Basis a mit a 6¼ 1 erklärt sind. Ihre Berechnung erfolgt mit Hilfe spezieller Reihen
(siehe hierzu auch Kap. VI). Die Werte werden tabelliert und können dann einer sog.
Logarithmentafel entnommen werden oder (bequemer) auf einem Taschenrechner direkt
abgelesen werden.
Für Logarithmen gelten folgende Rechenregeln (mit u > 0, v > 0 und n 2 R):
Rechenregeln für Logarithmen
Zahlenbeispiele
(1) log a ðu vÞ ¼ log a u þ log a v
log 2 ð8 4Þ ¼ log 2 8 þ log 2 4 ¼ 3 þ 2 ¼ 5
81
log 3
¼ log 3 81 log 3 27 ¼ 4 3 ¼ 1
27
(2) log a
u
v
¼ log a u log a v
(3) log a u n ¼ n log a u
log 5 125 4 ¼ 4 log 5 125 ¼ 4 3 ¼ 12
Spezielle Logarithmen
Von besonderer Bedeutung ist in den Anwendungen der natürliche Logarithmus: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e. Er wird durch das Symbol
log e r ln r
ðLogarithmus naturalisÞ
ðIII-170Þ
gekennzeichnet (gelesen: Natürlicher Logarithmus von r). Daneben spielen auch noch
die Logarithmen für die Basiszahlen a ¼ 10 und a ¼ 2 eine gewisse Rolle:
log 10 r lg r
ðZehnerlogarithmusÞ
ðIII-171Þ
(auch Briggscher oder Dekadischer Logarithmus genannt. Gelesen: Zehnerlogarithmus
von r)
log 2 r lb r
ðZweierlogarithmusÞ
(auch Binärlogarithmus genannt. Gelesen: Zweierlogarithmus von r)
ðIII-172Þ
294
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
Die folgenden Logarithmen wurden auf einem Taschenrechner abgelesen:
ln 50,3 ¼ 3,9180
lg 108,56 ¼ 2,0357
lb 328,9 ¼ 8,3615
ln 0,014 ¼ 4,2687
lg 0,783 ¼ 0,1062
lb 1,772 ¼ 0,8254
&
Basiswechsel a ! b
Logarithmen lassen sich problemlos von einer Basis a in eine andere Basis b wie folgt
umrechnen:
log a r
1
log b r ¼
¼
log a r ¼ K log a r
ðIII-173Þ
log a b
log a b
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
K
Folgerung: Bei einem Basiswechsel multiplizieren sich die Logarithmen mit einer Konstanten. Dieser Umrechnungsfaktor bei einem Wechsel von der Basis a zur Basis b ist
der Kehrwert von log a b.
So gilt beispielsweise für die Umrechnung zwischen dem Zehnerlogarithmus und dem
natürlichen Logarithmus:
&
ln r ¼
lg r
lg r
¼
¼ 2,3026 lg r
lg e
0,4343
ðIII-174Þ
lg r ¼
ln r
ln r
¼
¼ 0,4343 ln r
ln 10
2,3026
ðIII-175Þ
Beispiele
(1)
ln 4,765 ¼ 1,5613 ,
lg 4,765 ¼ ?
lg 4,765 ¼ 0,4343 ln 4,765 ¼ 0,4343 1,5613 ¼ 0,6781
(2)
lg 144,08 ¼ 2,1586 ,
ln 144,08 ¼ ?
ln 144,08 ¼ 2,3026 lg 144,08 ¼ 2,3026 2,1586 ¼ 4,9704
(3)
Beim Wechsel von der Basis a ¼ e zur Basis b ¼ 2 multiplizieren sich die
Logarithmen mit der folgenden Konstante:
K ¼
1
1
1
¼
¼ 1,4427
¼
log e 2
ln 2
0,6931
&
12 Logarithmusfunktionen
295
12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
Die Exponentialfunktionen verlaufen streng monoton (wachsend oder fallend) und sind
somit in ihrem Definitionsbereich umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen werden als Logarithmusfunktionen bezeichnet.
Definition: Unter der Logarithmusfunktion y ¼ log a x versteht man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y ¼ a x ða > 0, a 6¼ 1Þ.
Die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen sind in Tabelle 8 im Einzelnen aufgeführt.
Sie ergeben sich unmittelbar aus den Eigenschaften der zugehörigen Exponentialfunktionen. Den Funktionsgraph einer speziellen Logarithmusfunktion erhält man durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden des 1. und
3. Quadranten (siehe hierzu Bild III-167).
Tabelle 8: Eigenschaften der Logarithmusfunktionen (Bild III-166)
y ¼ ax
y ¼ log a x
Definitionsbereich
1 < x < 1
0 < x < 1
Wertebereich
0 < y < 1
1 < y < 1
x0 ¼ 1
Nullstellen
Monotonie
Asymptoten
0 < a < 1: streng monoton fallend
a > 1:
y ¼ 0
streng monoton wachsend
(x-Achse)
x ¼ 0
(y-Achse)
Anmerkungen
(1)
Man beachte, dass Logarithmen nur für positive reelle Zahlen ðx > 0Þ und eine
positive Basis a 6¼ 1 gebildet werden können.
(2)
Die Logarithmusfunktionen besitzen unabhängig von der Basis a genau eine
Nullstelle bei x 0 ¼ 1:
log a 1 ¼ 0
ðIII-176Þ
Alle Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse (siehe hierzu auch
Bild III-166).
&
Beispiele
Bild III-166 zeigt den Verlauf der beiden Logarithmusfunktionen y ¼ log 0,5 x (Umkehrfunktion von y ¼ 0,5 x ) und y ¼ ln x (Umkehrfunktion von y ¼ e x ).
296
III Funktionen und Kurven
y
3
y = ln x
2
Bild III-166
Funktionsgraphen
der logarithmischen Funktionen
y ¼ log 0,5 x und y ¼ ln x
1
1
2
3
4
5
6
x
–1
y = log 0,5 x
–2
–3
&
Spezielle Logarithmusfunktionen
Von großer praktischer Bedeutung ist die Umkehrfunktion der e-Funktion:
y ¼ log e x ln x
ðx > 0Þ
ðIII-177Þ
(natürliche Logarithmusfunktion). Sie wird auch kurz als ln-Funktion bezeichnet. Daneben spielen die Umkehrfunktionen von y ¼ 10 x und y ¼ 2 x nur eine untergeordnete
Rolle. Auch sie werden wie folgt durch eigene Symbole gekennzeichnet:
y ¼ log 10 x lg x
ðx > 0Þ
ðIII-178Þ
y ¼ log 2 x lb x
ðx > 0Þ
ðIII-179Þ
In Bild III-167 zeigen wir, wie man die Funktionskurve von y ¼ ln x durch Spiegelung
der e-Funktion y ¼ e x an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten erhält.
y
y = ex
y=x
1
y = ln x
1
x
Bild III-167
Funktionsgraphen
der e-Funktion y ¼ e x
und ihrer
Umkehrfunktion y ¼ ln x
12 Logarithmusfunktionen
297
Weitere wichtige Rechenregeln
(1)
(2)
log a a x ¼ x log a a ¼ x
ðx 2 RÞ
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
1
x
ln e ¼ x ln e ¼ x
ðx 2 RÞ
|{z}
1
ðIII-180Þ
a log a x ¼ x
ðIII-182Þ
e ln x ¼ x
(3)
ðIII-181Þ
ðx > 0Þ
ðx > 0Þ
ln f ðxÞ ¼ ln g ðxÞ
ðIII-183Þ
)
f ðxÞ ¼ g ðxÞ
ðIII-184Þ
(Entlogarithmierung; f ðxÞ > 0, g ðxÞ > 0)
In Abschnitt 11.2 haben wir bereits erwähnt, dass sich jede Exponentialfunktion auf die
e-Funktion zurückführen lässt. Mit Hilfe der Rechenregel (III-183) können wir die Exponentialfunktion y ¼ a x wie folgt auf die e-Funktion „umschreiben“:
y ¼ a x ¼ e ln a ¼ e x ln a ¼ e ðln aÞ x ¼ e l x
x
&
ðmit l ¼ ln aÞ
ðIII-185Þ
Beispiele
(1)
Die Halbwertszeit t einer radioaktiven Substanz ist der Zeitraum, in dem genau
die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atomkerne ðn 0 Þ zerfallen ist. Aus dem
Zerfallsgesetz
n ðtÞ ¼ n 0 e l t
ðt 0Þ
folgt dann (siehe hierzu auch Bild III-152):
n ðtÞ ¼ n 0 e l t ¼
1
n0
2
oder
elt ¼
1
2
Durch Logarithmieren auf beiden Seiten erhält man schließlich
1
) ð l tÞ ln e ¼ ln 1 ln 2
ln e l t ¼ ln
|{z}
|{z}
2
1
0
l t ¼ ln 2
)
t ¼
)
ln 2
0,693
¼
l
l
Die Halbwertszeit t einer radioaktiven Substanz ist somit zur Zerfallskonstanten
l umgekehrt proportional.
298
(2)
III Funktionen und Kurven
Beim Aufladen eines Kondensators mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R gilt für die Kondensatorspannung u das folgende Zeitgesetz (vgl.
hierzu auch Bild III-156):
t u ðtÞ ¼ u 0 1 e R C
Wir berechnen für die speziellen Werte R ¼ 100 W, C ¼ 10 mF und u 0 ¼ 50 V
den Zeitpunkt T, in dem die Kondensatorspannung genau 90 % ihres Endwertes
u 0 erreicht hat:
u ðTÞ ¼ 90 % von
50 V ¼ 45 V
Mit der Zeitkonstanten
R C ¼ 100 W 10 5 F ¼ 10 3 s ¼ 1 ms
ð1 mF ¼ 10 6 FÞ
erhalten wir die folgende Bestimmungsgleichung für T:
T 45 V ¼ 50 V 1 e 1 ms
Wir dividieren jetzt durch 50 V und isolieren dann die e-Funktion:
T
0,9 ¼ 1 e 1 ms
)
T
e 1 ms ¼ 0,1
Beide Seiten werden jetzt logarithmiert:
T
T
ln e 1 ms ¼ ln 0,1 )
ln e ¼ ln 0,1
|{z}
1 ms
1
T
¼ 2,3026 ) T ¼ 2,3026 ms 2,3 ms
1 ms
)
Nach rund 2,3 ms erreicht die Kondensatorspannung 90 % ihres Endwertes
&
u 0 ¼ 50 V.
12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
Exponentialgleichungen
Eine Exponentialgleichung liegt vor, wenn die unbekannte Größe nur im Exponenten
von Potenzausdrücken auftritt. Ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen dieser
Art lässt sich leider nicht angeben. In vielen Fällen jedoch gelingt es, die Exponentialgleichung mit Hilfe von elementaren Umformungen und anschließendem Logarithmieren
zu lösen. Wir geben zwei einfache Beispiele.
12 Logarithmusfunktionen
&
299
Beispiele
(1)
Die Exponentialgleichung e cos x ¼ 1 kann wie folgt durch Logarithmieren gelöst
werden:
ln e cos x ¼ ln 1 ¼ 0
x k ¼ p=2 þ k p
)
ðcos xÞ ln e ¼ cos x ¼ 0
|{z}
1
ðk 2 ZÞ
)
Die Gleichung besitzt demnach unendlich viele Lösungen (es sind die Nullstellen
der Kosinusfunktion).
(2)
2x þ 4 2x 5 ¼ 0
2x þ
oder
4
5 ¼ 0
2x
Wir lösen diese Exponentialgleichung durch die Substitution z ¼ 2 x und erhalten
eine quadratische Gleichung mit zwei reellen Lösungen:
zþ
4
5 ¼ 0j z
z
oder
z2 5 z þ 4 ¼ 0
z2 þ 4 5 z ¼ 0
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
5
25
5
3
4 ¼
) z1 ¼ 4 ,
z 1=2 ¼
2
4
2
2
z2 ¼ 1
Nach Rücksubstitution und anschließendem Logarithmieren folgt schließlich:
2x ¼ z1 ¼ 4
)
ln 2 x ¼ ln 4 ¼ ln 2 2
x ln 2 ¼ 2 ln 2 j : ln 2
2x ¼ z2 ¼ 1
)
)
)
x1 ¼ 2
ln 2 x ¼ ln 1 ¼ 0
)
x ln 2 ¼ 0
)
x2 ¼ 0
Die Exponentialgleichung besitzt somit die Lösungen x 1 ¼ 2 und x 2 ¼ 0.
&
Logarithmusgleichungen
Gleichungen, in denen die Unbekannte nur im Argument von Logarithmusfunktionen
auftritt, werden als logarithmische Gleichungen bezeichnet. Sie können häufig nach elementaren Umformungen und einer sich anschließenden Entlogarithmierung gelöst werden, wie die folgenden Beispiele zeigen werden.
&
Beispiele
(1)
lg ð4 x 5Þ ¼ 1,5
ð4 x 5 > 0, d: h: x > 1,25Þ
Diese logarithmische Gleichung kann durch Entlogarithmierung wie folgt gelöst werden (die Basis 10 wird mit der linken bzw. rechten Seite der Gleichung potenziert):
10 lg ð4 x 5Þ ¼ 10 1,5
)
4 x ¼ 36,6228
x 1 ¼ 9,1557
)
4 x 5 ¼ 10 1,5 ¼ 31,6228
)
Die Logarithmusgleichung besitzt genau eine Lösung x 1 ¼ 9,1557.
300
(2)
III Funktionen und Kurven
ln ðx 2 1Þ ¼ ln x þ 1
Die gesuchten Lösungen dieser Gleichung müssen die Bedingungen x 2 1 > 0
und x > 0 erfüllen. Nur dann sind die logarithmischen Terme definiert. Somit
sind nur Lösungen aus dem Intervall x > 1 möglich.
Da 1 ¼ ln e ist, lässt sich die Gleichung unter Verwendung der bekannten Rechenregeln für Logarithmen wie folgt umformen:
ln ðx 2 1Þ ¼ ln x þ 1 ¼ ln x þ ln e ¼ ln ðe xÞ
Durch Entlogarithmieren erhalten wir schließlich eine quadratische Gleichung mit
zwei reellen Lösungen:
e ln ðx
x 1=2
¼ e ln ðe xÞ ) x 2 1 ¼ e x )
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
e
e2
þ 1 ¼ 1,3591 1,6874
¼
2
4
2
1Þ
x2 ex 1 ¼ 0
)
Wegen der Bedingung x > 1 kommt allerdings nur die positive Lösung
&
x 1 ¼ 1,3591 þ 1,6874 ¼ 3,0465 infrage.
13 Hyperbel- und Areafunktionen
13.1 Hyperbelfunktionen
13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen
In den Anwendungen treten vereinzelt Funktionen auf, die in der mathematischen Literatur unter der Bezeichnung Hyperbelfunktionen bekannt sind. Sie setzen sich aus den
beiden speziellen Exponentialfunktionen y ¼ e x und y ¼ e x wie folgt zusammen:
Definition: Die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen lauten:
Sinus hyperbolicus:
y ¼ sinh x ¼
1 x
ðe e x Þ
2
ðIII-186Þ
Kosinus hyperbolicus:
y ¼ cosh x ¼
1 x
ðe þ e x Þ
2
ðIII-187Þ
Tangens hyperbolicus:
y ¼ tanh x ¼
ex ex
ex þ ex
ðIII-188Þ
Kotangens hyperbolicus:
y ¼ coth x ¼
ex þ ex
ex ex
ðIII-189Þ
13 Hyperbel- und Areafunktionen
301
Anmerkungen
(1)
blich sind auch die folgenden Bezeichnungen für die vier Hyperbelfunktionen:
Hyperbelsinus, Hyperbelkosinus, Hyperbeltangens und Hyperbelkotangens.
(2)
Die Bezeichnungen dieser Funktionen lassen auf eine gewisse Verwandtschaft mit
der Hyperbel und den trigonometrischen Funktionen schließen. hnlich wie sich
die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis darstellen lassen, kann man
die Hyperbelfunktionen an der (rechtwinkligen) Einheitshyperbel erklären (wir
wollen darauf aber nicht näher eingehen). Zwischen den Hyperbelfunktionen bestehen ferner analoge Beziehungen wie zwischen den Winkelfunktionen. Durch
eine formale Substitution gewinnt man aus einer trigonometrischen Beziehung
stets eine entsprechende hyperbolische Beziehung. Im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen sind die Hyperbelfunktionen jedoch nicht-periodische
Funktionen.
13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x
Die Eigenschaften der in Bild III-168 skizzierten (überall definierten und stetigen)
Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x sind in Tabelle 9 zusammengestellt.
Tabelle 9: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x
(Bild III-168)
y ¼ sinh x
y ¼ cosh x
Definitionsbereich
1 < x < 1
1 < x < 1
Wertebereich
1 < y < 1
1 y < 1
Symmetrie
ungerade
gerade
Nullstellen
x0 ¼ 0
x 0 ¼ 0 (Minimum)
Extremwerte
Monotonie
streng monoton wachsend
y ¼
Asymptoten
1
ex
2
(für x ! 1)
y ¼
1
ex
2
(für x ! 1)
302
III Funktionen und Kurven
y
y = sinh x
y = cosh x
1
&
Bild III-168
Funktionsgraphen der Hyperbelfunktionen
y ¼ sinh x und y ¼ cosh x
1
x
Beispiele
(1)
Mit einem Taschenrechner wurden die folgenden Funktionswerte ermittelt:
sinh 1,3 ¼ 1,6984
cosh 0,8 ¼ 1,3374
sinh ð 0,5Þ ¼ 0,5211
cosh ð 1,5Þ ¼ 2,3524
sinh 10 cosh 10 (2)
1
e 10 ¼ 11 013,2329
2
Eine an zwei Punkten P 1 und P 2 in gleicher Höhe befestigte, freihängende Kette nimmt unter dem Einfluss der Schwerkraft die geometrische Form einer sog.
Kettenlinie an, die durch die hyperbolische Funktion
y ¼ a cosh ðx=aÞ
ða : Parameter mit a > 0Þ
beschrieben wird (Bild III-169).
y
P2
P1
a
Bild III-169 Kettenlinie
x
&
13 Hyperbel- und Areafunktionen
303
13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x
Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x besitzen die in Tabelle 10 aufgeführten Eigenschaften. Die zugehörigen Kurven sind in Bild III-170 dargestellt.
y
y = coth x
Asymptote
Bild III-170
Funktionsgraphen
der Hyperbelfunktionen
y ¼ tanh x und y ¼ coth x
1
y = tanh x
–1
1
x
–1
Asymptote
y = coth x
Tabelle 10: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x
(Bild III-170)
y ¼ tanh x
y ¼ coth x
Definitionsbereich
1 < x < 1
jxj > 0
Wertebereich
1 < y < 1
jyj > 1
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
x0 ¼ 0
x0 ¼ 0
Pole
Monotonie
Asymptoten
streng monoton wachsend
y ¼ 1
(für x ! 1)
y ¼ 1
(für x ! 1)
x ¼ 0
(Polgerade)
y ¼ 1
(für x ! 1)
y ¼ 1
(für x ! 1)
304
&
III Funktionen und Kurven
Beispiele
Auf einem Taschenrechner wurden folgende Funktionswerte abgelesen:
tanh 2 ¼ 0,9640
coth 1,2 ¼ 1,1995
tanh ð 1,4Þ ¼ 0,8854
coth ð 2,3Þ ¼ 1,0203
tanh 5 ¼ 0,9999 1
coth 5 ¼ 1,0001 1
&
13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen
Aus den Definitionsgleichungen (III-186) bis (III-189) folgen unmittelbar die folgenden
Beziehungen:
tanh x ¼
sinh x
,
cosh x
coth x ¼
cosh x
1
¼
sinh x
tanh x
ðIII-190Þ
Von Bedeutung sind auch die sog. Additionstheoreme für sinh x, cosh x und tanh x.
Sie lauten:
Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen
sinh ðx 1 x 2 Þ ¼ sinh x 1 cosh x 2 cosh x 1 sinh x 2
ðIII-191Þ
cosh ðx 1 x 2 Þ ¼ cosh x 1 cosh x 2 sinh x 1 sinh x 2
ðIII-192Þ
tanh ðx 1 x 2 Þ ¼
tanh x 1 tanh x 2
1 tanh x 1 tanh x 2
ðIII-193Þ
Aus ihnen gewinnt man weitere wichtige Beziehungen wie z. B.:
cosh 2 x sinh 2 x ¼ 1
ð,,Hyperbolischer Pythagoras‘‘)
ðIII-194Þ
sinh ð2 xÞ ¼ 2 sinh x cosh x
ðIII-195Þ
cosh ð2 xÞ ¼ sinh 2 x þ cosh 2 x
ðIII-196Þ
Die Exponentialfunktionen y ¼ e x und y ¼ e x lassen sich durch die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x wie folgt ausdrücken:
e x ¼ cosh x þ sinh x
und
e x ¼ cosh x sinh x
ðIII-197Þ
Ferner gilt für n 2 N* die Formel von Moivre:
ðcosh x sinh xÞ n ¼ cosh ðn xÞ sinh ðn xÞ ¼ e n x
ðIII-198Þ
13 Hyperbel- und Areafunktionen
305
13.2 Areafunktionen
13.2.1 Definition der Areafunktionen
Die hyperbolischen Funktionen y ¼ sinh x und y ¼ tanh x sind in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsende Funktionen und daher dort umkehrbar. Bei der
Hyperbelfunktion y ¼ cosh x müssen wir uns jedoch auf ein Teilintervall beschränken, in
dem die Funktion ein streng monotones Verhalten zeigt und dabei sämtliche Funktionswerte
durchläuft. Wir wählen das Intervall x 0. Die hyperbolische Funktion y ¼ coth x ist
in den Teilintervallen x < 0 und x > 0 jeweils streng monoton fallend, durchläuft dabei
den gesamten Wertevorrat und ist daher in diesen Teilintervallen umkehrbar. Die Umkehrung der Hyperbelfunktionen in den genannten Bereichen führt zu den Areafunktionen.
Definition: Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen.
Bezeichnung und Schreibweise dieser Funktionen lauten:
Areasinus hyperbolicus:
y ¼ arsinh x
Areakosinus hyperbolicus:
y ¼ arcosh x
Areatangens hyperbolicus:
y ¼ artanh x
Areakotangens hyperbolicus:
y ¼ arcoth x
Anmerkung
Auf dem Taschenrechner werden diese Funktionen häufig auch sinh 1 x, cosh 1 x
usw. bezeichnet (nicht zu verwechseln mit den Kehrwerten).
13.2.2 Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x
Die wesentlichen Eigenschaften der Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x
sind in Tabelle 11 zusammengestellt. Ihren Kurvenverlauf erhält man aus den Funktionsbildern der entsprechenden Hyperbelfunktionen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Bild III-171).
Tabelle 11: Eigenschaften der Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x
(Bild III-171)
y ¼ arsinh x
y ¼ arcosh x
Definitionsbereich
1 < x < 1
1 x < 1
Wertebereich
1 < y < 1
0 y < 1
Symmetrie
ungerade
Nullstellen
x0 ¼ 0
x0 ¼ 1
Monotonie
streng monoton wachsend
streng monoton wachsend
306
III Funktionen und Kurven
y
y = arcosh x
1
–1
1
x
–1
y = arsinh x
Bild III-171 Funktionsgraphen der Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x
13.2.3 Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x
Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x besitzen die in der Tabelle 12 aufgeführten Eigenschaften und den in Bild III-172 skizzierten Funktionsverlauf.
Tabelle 12: Eigenschaften der Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x
(Bild III-172)
y ¼ artanh x
y ¼ arcoth x
Definitionsbereich
1 < x < 1
jxj > 1
Wertebereich
1 < y < 1
jyj > 0
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
x0 ¼ 0
Pole
x 1=2 ¼ 1
Monotonie
streng monoton wachsend
Asymptoten
x ¼ 1 (Polgeraden)
x 1=2 ¼ 1
x ¼ 1
(Polgeraden)
y ¼ 0
(für x ! 1)
13 Hyperbel- und Areafunktionen
307
y
y = arcoth x
1
–1
1
x
–1
y = artanh x
y = arcoth x
Bild III-172 Funktionsgraphen der Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x
13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen
Die Areafunktionen lassen sich unter Verwendung der ln-Funktion auch wie folgt als
logarithmische Funktionen darstellen:
Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 1 < x < 1Þ
y ¼ arsinh x ¼ ln ðx þ
x 2 þ 1Þ
y ¼ arcosh x ¼ ln ðx þ
1
ln
y ¼ artanh x ¼
2
1
y ¼ arcoth x ¼
ln
2
&
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 1Þ
1þx
1x
ðIII-199Þ
ðx 1Þ
ðIII-200Þ
ðj x j < 1Þ
ðIII-201Þ
ðj x j > 1Þ
ðIII-202Þ
x þ1
x 1
Beispiele
Ein Taschenrechner liefert die folgenden Funktionswerte:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
arsinh 1,5 ¼ ln ð1,5 þ
1,5 2 þ 1Þ ¼ 1,1948
arsinh ð 3,47Þ ¼ ln ð 3,47 þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 3,47Þ 2 þ 1Þ ¼ 1,9574
308
III Funktionen und Kurven
arcosh 12,8 ¼ ln ð12,8 þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
12,8 2 1Þ ¼ 3,2411
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
arcosh 1,03 ¼ ln ð1,03 þ
1,03 2 1Þ ¼ 0,2443
1
1 þ 0,72
ln
¼ 0,9076
artanh 0,72 ¼
2
1 0,72
1
1 0,29
artanh ð 0,29Þ ¼
ln
¼ 0,2986
2
1 þ 0,29
1
14,7 þ 1
ln
¼ 0,0681
arcoth 14,7 ¼
2
14,7 1
&
13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel:
Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Im luftleeren Raum erfährt bekanntlich jeder Körper die gleiche konstante Fallbeschleunigung g, so dass die Fallgeschwindigkeit v proportional zur Fallzeit t wächst:
v ¼ v ðtÞ ¼ g ðtÞ
ðt 0Þ
ðIII-203Þ
In einem t, v-Diagramm erhält man den in Bild III-173a) skizzierten linearen Verlauf.
Wesentlich anders liegen die Verhältnisse bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes.
Wir behandeln dieses Problem ausführlich in den Anwendungen der Integralrechnung
(Kap. V) sowie im Zusammenhang mit den Differentialgleichungen in Band 2 (Kap. IV).
An dieser Stelle teilen wir nur das Ergebnis mit. Wird die Reibungskraft R proportional
zum Quadrat der Geschwindigkeit v angenommen, R ¼ k v 2 (k ist dabei eine positive Konstante), so erhält man für die Abhängigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der
Fallzeit t die hyperbolische Funktion
g
v ¼ v ðtÞ ¼ v E tanh
t
ðt 0Þ
ðIII-204Þ
vE
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m g=k Þ. Bild III-173 b) verdeutlicht, wie sich die Fallgeschwindigkeit v im
ðv E ¼
Laufe der Zeit, d. h. für t ! 1 asymptotisch ihrem Endwert
g
v 1 ¼ lim v E tanh
t
¼ vE
ðIII-205Þ
vE
t!1
nähert.
Physikalische Deutung: Die Endgeschwindigkeit v E wird erreicht, wenn sich Gewichtskraft G ¼ m g und Luftwiderstand R ¼ k v 2 das Gleichgewicht halten und die Fallbewegung damit kräftefrei geworden ist:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m g=k
ðIII-206Þ
k v 2E ¼ m g ) v E ¼
bungsaufgaben
309
v
v
vE
v = v E · tanh
g
t
vE
v = gt
t
t
a)
b)
Bild III-173 Abhängigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der Fallzeit t
a) ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes
b) mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
1) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich sowie den Wertebereich:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x
bÞ y ¼ x 2 1
cÞ y ¼ ln j x j
aÞ y ¼ 2
x þ1
dÞ
y ¼
x2
4 x 2 16
y ¼
eÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 0,5 x 3
fÞ
y ¼
x 1
x þ1
2) Bestimmen Sie den jeweils größtmöglichen Definitionsbereich und zeichnen Sie
anschließend den Funktionsgraphen:
aÞ
y ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2x þ 6
bÞ
y ¼
1
jx 1j
cÞ
y ¼ ejxj
310
III Funktionen und Kurven
3) Bei einem schwingungsfähigen mechanischen System werden folgende Auslenkungen in Abhängigkeit von der Zeit gemessen (aperiodisches Verhalten):
t=s
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y=cm
4
2,87
2,01
1,37
0,90
0,55
0,30
t=s
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
y=cm
0,12
0
0,08
0,14
0,17
0,18
0,19
t=s
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
y=cm
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,12
0,11
t=s
2,3
2,5
3
3,5
y=cm
0,08
0,06
0,03
0,01
Skizzieren Sie den Funktionsverlauf y ¼ y ðtÞ in einem geeigneten Maßstab.
4) Eine Funktion ist durch die Parametergleichungen
pﬃﬃﬃﬃ
x ðtÞ ¼ 0,5 t ,
y ðtÞ ¼ t þ t 2
ðt 0Þ
definiert. Stellen Sie die Funktion explizit, d. h. in der Form y ¼ y ðxÞ dar und skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Intervall 0 t 15 (Schrittweite: Dt ¼ 1).
Welche Koordinaten gehören zu den Parameterwerten t 1 ¼ 1,5 und t 2 ¼ 5?
Zu Abschnitt 2
1) Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen in ihrem maximalen Definitionsbereich:
x3
þ1
cÞ
y ¼ sin x cos x
x2 1
1 þ x2
fÞ
y ¼
aÞ y ¼ 4 x 2 16
bÞ
y ¼
dÞ y ¼ j x 2 4 j
eÞ
y ¼
hÞ
y ¼ 4 sin 2 x
gÞ
y ¼
1
x 1
x2
2) Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen?
x2 9
x þ1
aÞ
y ¼
cÞ
y ¼ x 4 4 x 2 45
p
bÞ y ¼ sin x 4
dÞ
y ¼ ðx 1Þ e x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 25
bungsaufgaben
3)
311
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Monotonie:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
bÞ y ¼ x 1 ðx 1Þ
cÞ y ¼ x 3 þ 2 x
aÞ y ¼ x 4
dÞ
y ¼ jx2 2x þ 1j
ðx 1Þ
fÞ
y ¼ 2 ln ð2 x 4Þ
eÞ
y ¼ e2x
ðx > 2Þ
4)
Zeigen Sie: Die Funktion y ¼ 2 sin t 4 cos t besitzt die Periode p ¼ 2 p.
5)
Wie lauten die Umkehrfunktionen von:
aÞ
y ¼
1
2x
ðx > 0Þ
bÞ y ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 x ðx > 0Þ
y ¼ 2 e x 0,5
cÞ
Zu Abschnitt 3
1) Wie ändert sich die Funktionsgleichung von y ¼ x 2 sin x þ 3
a) bei Verschieben der Kurve um drei Einheiten in positiver x-Richtung und zwei
Einheiten in negativer y-Richtung,
b) bei Verschieben der Kurve um jeweils fünf Einheiten in positiver x-Richtung
und positiver y-Richtung?
2) Führen Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung y ¼ 2 x 2 16 x þ 28,5
durch eine geeignete Koordinatentransformation (Parallelverschiebung) auf die Parabel y ¼ 2 x 2 zurück.
p
2
3) Zeigen Sie, dass die Sinuskurve mit der Funktionsgleichung y ¼ sin x 4
durch Parallelverschiebung der Sinuskurve y ¼ sin x entsteht.
4) Der Mittelpunktskreis x 2 þ y 2 ¼ 16 soll parallel zu den Koordinatenachsen so
verschoben werden, dass sein Mittelpunkt in den Punkt M ¼ ð 2; 5Þ fällt. Wie
verändert sich dabei die Kreisgleichung?
5) Wie lauten die Polarkoordinaten folgender Punkte?
P 1 ¼ ð4; 12Þ
P 2 ¼ ð 3; 3Þ
P 3 ¼ ð5; 4Þ
6) Von einem Punkt P sind die Polarkoordinaten r, j bekannt. Wie lauten seine
kartesischen Koordinaten?
aÞ
P:
r ¼ 10,
j ¼ 35
bÞ
P:
r ¼ 3,56,
j ¼ 256,5
7) Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden, in Polarkoordinaten dargestellten Kurven:
aÞ
r ðjÞ ¼ 1 þ sin j
ð0 j < 2 pÞ
bÞ
r ðjÞ ¼ e 0,5 j
ð0 j pÞ
312
III Funktionen und Kurven
8) Gegeben ist die in kartesischen Koordinaten dargestellte Kurve mit der (impliziten)
Funktionsgleichung ðx 2 þ y 2 Þ 2 2 x y ¼ 0.
a)
Wie lautet die Funktionsgleichung in Polarkoordinaten?
b)
Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Zu Abschnitt 4
1) Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der unendlichen Folgen:
aÞ
0,2; 0,04; 0,008; . . .
1 4 9
;
;
; ...
2 3 4
bÞ
cÞ
1 2 3
;
;
; ...
2 4 8
2) Zeichnen Sie den Graph der Zahlenfolge
n2
ha n i ¼
ðn 2 N*Þ
n 2 þ 10
3) Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen für n ! 1:
2
2n þ 1
n þ4
bÞ ha n i ¼
aÞ ha n i ¼
4n
n
cÞ
ha n i ¼
n2 þ 4 n 1
n2 3 n
4) Berechnen Sie (gegebenenfalls nach elementaren Umformungen) die folgenden
Grenzwerte:
aÞ
lim
x!1
dÞ
lim
x!2
fÞ
x2 1
x2 þ 1
bÞ
ðx 2Þ ð3 x þ 1Þ
4x 8
eÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1þx 1
lim
x
x!0
lim
x!3
lim
x!1
gÞ
lim
x!1
x 2 x 12
x þ3
cÞ
x!0
sin ð2 xÞ
sin x
x3 2x þ 3
x2 þ 1
x2
x2 4x þ 1
5) Welchen Grenzwert besitzt die Funktion f ðxÞ ¼
1x
pﬃﬃﬃﬃ
1 x
hÞ
lim
x!1
x4 1
x 1
für x ! 1?
Anleitung: Erweitern Sie zunächst die Funktionsgleichung mit 1 þ
6) Zeigen Sie: Die Funktion f ðxÞ ¼
Grenzwert g ¼ 0.
lim
pﬃﬃﬃﬃ
x.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃ
x þ 2 x besitzt für x ! 1 den
bungsaufgaben
313
7) An welchen Stellen besitzen die folgenden Funktionen Definitionslücken?
aÞ
y ¼
x þ2
x 4
dÞ
y ¼
1
sin x
bÞ y ¼
x2 þ 4x þ 8
x2 þ 3x þ 2
cÞ
y ¼
sin x
x
8) Zeigen Sie, dass die Funktion
8
9
x 0=
< x
f ðxÞ ¼
f ür
:
;
x 2
x > 0
an der Stelle x 0 ¼ 0 unstetig ist.
9) Zeigen Sie: Die für alle x 2 R definierte Funktion
8 2
9
x 1
>
>
>
>
>
x 6¼ 1 >
<
=
x 1
f ðxÞ ¼
f ür
>
>
>
>
>
>
:
;
2
x ¼ 1
ist an der Stelle x 0 ¼ 1 stetig.
10) Lassen sich die Definitionslücken der Funktion y ¼
x2 x
beheben?
x3 x2 þ x 1
Zu Abschnitt 5
1) Geben Sie die Funktionsgleichung der durch P 1 ¼ ð1,5; 2Þ und P 2 ¼ ð 3; 3Þ
verlaufenden Gerade in der Hauptform und in der Achsenabschnittsform an.
2) Der elektrische Widerstand R eines Leiters ist temperaturabhängig:
R ¼ R 0 ð1 þ a D#Þ
(R 0 : Widerstand bei 20 C; a > 0: Temperaturkoeffizient; D#: Temperaturänderung). Welchen Widerstand besitzt eine Kupferleitung bei 50 C, wenn ihr
Widerstand bei 20 C genau R 0 ¼ 100 W beträgt ða Cu ¼ 4 10 3 = CÞ?
3) Bringen Sie die folgenden Parabelgleichungen in die Produkt- und Scheitelpunktsform:
aÞ
y ¼ 2x2 4x þ 3
bÞ
y ¼ 5 x 2 þ 20 x þ 20
cÞ
y ¼ 2 x 2 þ 10 x
dÞ
y ¼ 4 x 2 þ 8 x 60
314
III Funktionen und Kurven
4) Gegeben sind die drei Punkte P ¼ ð1; 2Þ, Q ¼ ð4; 3Þ und R ¼ ð8; 0Þ. Wie
lautet die Gleichung der durch diese Punkte verlaufenden Parabel in der Normal-,
Produkt- und Scheitelpunktsform? Wo liegt der Scheitelpunkt S der Parabel?
5) Die Flugbahn eines Geschosses laute (der Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt):
y ðxÞ ¼ x 2 þ 5 x þ 4
a)
Welche maximale Höhe y max erreicht das Geschoss?
b)
An welcher Stelle erreicht das Geschoss die Erdoberfläche ðy ¼ 0Þ?
6) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel mit den folgenden Funktionseigenschaften:
a) Nullstellen in x 1 ¼ 1 und x 2 ¼ 5
b) Ordinate des Scheitelpunktes: y 0 ¼ 18
7) Zerlegen Sie die folgenden Polynomfunktionen in Linearfaktoren. Wie lautet die
jeweilige Produktdarstellung?
aÞ y ¼ x 3 4 x 2 þ 4 x 16
bÞ
y ¼ 0,5 ð3 x 2 1Þ
cÞ
y ¼ 3 x 3 þ 18 x 2 33 x
dÞ
y ¼ 2x3 þ 8x2 8x
eÞ
y ¼ x 3 6 x 2 12 x 8
8) Skizzieren Sie den Funktionsgraph von z ¼ 4 t 3 16 t 2 þ 16 t unter ausschließlicher Verwendung der Lage und Vielfachheit der Polynomnullstellen.
9) Die folgenden Polynomfunktionen besitzen mindestens eine ganzzahlige Nullstelle.
Bestimmen Sie die übrigen Nullstellen und geben Sie die Funktionen in der Produktform an:
aÞ
y ¼ x3 2x2 5x þ 6
bÞ
z ¼ 2t4 2t3 4t þ 8
10) Berechnen Sie den Funktionswert des Polynoms f ðxÞ an der Stelle x 0 unter Verwendung des Horner-Schemas:
aÞ
f ðxÞ ¼ 4,5 x 3 5,1 x 2 þ 4 x 3,
x 0 ¼ 1,51
bÞ
f ðxÞ ¼ 9,32 x 3 2,54 x þ 10,56,
x 0 ¼ 3,56
11) Zeigen Sie: Die Polynomfunktion y ¼ 3 x 3 þ 18 x 2 þ 9 x 30 besitzt an der
Stelle x 1 ¼ 5 eine Nullstelle. Bestimmen Sie unter Verwendung des HornerSchemas das 1. reduzierte Polynom, die übrigen Nullstellen sowie den Funktionswert an der Stelle x 0 ¼ 3,25. Skizzieren Sie grob den Funktionsverlauf.
bungsaufgaben
315
12) Von einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt:
a) y ðxÞ ist eine gerade Funktion;
b) Nullstellen liegen bei x 1 ¼ 3 und x 2 ¼ 6;
c) Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y ð0Þ ¼ 3.
Wie lautet die Funktionsgleichung?
13) Die folgenden Polynomfunktionen besitzen mindestens zwei ganzzahlige Nullstellen. Berechnen Sie unter Verwendung des Horner-Schemas sämtliche Nullstellen
der Funktionen.
aÞ y ¼ x 4 x 3 x 2 x 2
bÞ
y ¼ 2 x 4 þ 8 x 3 12 x 2 8 x þ 10
14) Bestimmen Sie das jeweilige Interpolationspolynom von Newton durch die vorgegebenen Stützpunkte:
aÞ
P 0 ¼ ð 1; 2Þ, P 1 ¼ ð1; 10Þ,
P 2 ¼ ð2; 11Þ, P 3 ¼ ð5; 10Þ
bÞ
P 0 ¼ ð 1; 13,1Þ, P 1 ¼ ð2; 17,9Þ, P 2 ¼ ð4; 32,9Þ, P 3 ¼ ð6; 322,9Þ
cÞ
A ¼ ð 4; 50,05Þ, B ¼ ð1; 7,8Þ, C ¼ ð2; 4,55Þ, D ¼ ð5; 91Þ
dÞ
P 0 ¼ ð 4; 594Þ,
P 1 ¼ ð 2; 252Þ, P 2 ¼ ð1; 96Þ,
P 3 ¼ ð3; 48Þ,
P 4 ¼ ð8; 198Þ
15) Von der logarithmischen Funktion y ¼ ln ð1 þ x 2 Þ
1 x 2 folgende fünf Werte bekannt:
sind
im
Intervall
k
0
1
2
3
4
xk
1
1,25
1,5
1,75
2
yk
0,693 147
0,940 983
1,178 655
1,401 799
1,609 438
Bestimmen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom 4. Grades durch diese
Punkte und berechnen Sie mit dieser Näherungsfunktion den Funktionswert an den
Stellen x 1 ¼ 1,1 und x 2 ¼ 1,62. Vergleichen Sie die berechneten Werte mit
den exakten Funktionswerten.
316
III Funktionen und Kurven
Zu Abschnitt 6
1) Wo besitzen die folgenden gebrochenrationalen Funktionen Nullstellen, wo Pole?
aÞ
y ¼
x2 þ x 2
x 2
bÞ y ¼
x 3 5 x 2 2 x þ 24
x3 þ 3x2 þ 2x
cÞ
y ¼
x2 2x þ 1
x2 1
dÞ y ¼
x3 4x2 4x
x4 4
eÞ
y ¼
ðx 2 1Þ ðx 2 25Þ
x3 þ 4x2 5x
2) Bestimmen Sie für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen Nullstellen, Pole
und ihre Asymptote im Unendlichen und skizzieren Sie grob den Funktionsverlauf:
aÞ
y ¼
x2 4
x2 þ 1
bÞ
y ¼
cÞ
y ¼
x3 5x2 þ 8x 4
x 3 6 x 2 þ 12 x 8
dÞ
y ¼
x 3 6 x 2 þ 12 x 8
x2 4
ðx 1Þ 2
ðx þ 1Þ 2
3) Eine gebrochenrationale Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
a) Nullstellen: x 1 ¼ 2 (einfach),
b) Pole: x 3 ¼ 1,
x 2 ¼ 4 (doppelt)
x 4 ¼ 1 (jeweils von 1. Ordnung)
c) Schnittstelle mit der y-Achse: y ð0Þ ¼ 4
Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?
4) Ein vom Strom I durchflossener Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben, dessen Feldlinien in Form konzentrischer Kreise um die Leiterachse verlaufen. Für
den Betrag der magnetischen Feldstärke H gilt dabei die Abhängigkeit vom Abstand r von der Leiterachse:
H ðrÞ ¼
I
2pr
ðr > 0Þ
Skizzieren Sie diese Funktion für I ¼ 10 A.
Zu Abschnitt 7
1) Skizzieren Sie die Potenzfunktion y ¼ x 3=2 im Intervall 0 < x 3 (Schrittweite: Dx ¼ 0,2).
2) Beim freien Fall ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes erreicht ein Körper
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
nach Durchfallen der Strecke h die Geschwindigkeit v ¼ v ðhÞ ¼
2 g h . Skizzieren Sie diese Funktion im Intervall 0 h=m 100 ðg ¼ 9,81 m=s 2 Þ.
bungsaufgaben
317
Zu Abschnitt 8
1) A ¼ ð2; 1Þ, B ¼ ð 5; 0Þ und C ¼ ð8; 2Þ sind Punkte eines Kreises. Bestimmen Sie die Kreisgleichung. Welchen Radius besitzt der Kreis und wo liegt sein
Mittelpunkt?
2) Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises, der die x-Achse in P 1 ¼ ð3; 0Þ berührt und durch den Punkt P 2 ¼ ð0; 1Þ geht.
3) Welche Kegelschnitte werden durch die folgenden algebraischen Gleichungen
2. Grades dargestellt? Wo liegt der Mittelpunkt bzw. Scheitelpunkt?
Anleitung: Durch quadratische Ergänzung bringe man die Kegelschnittgleichung
auf die jeweilige Hauptform.
aÞ
x 2 2 x þ y 2 þ 4 y 20 ¼ 0
bÞ
x2 y2 4 ¼ 0
cÞ
9 x 2 þ 16 y 2 18 x ¼ 135
dÞ
2 x 2 þ 2 y 2 þ 12 x 6 y ¼ 0
eÞ
2 y 2 9 x þ 12 y ¼ 0
fÞ
x2 2 x þ 4 y2 þ 8 y ¼ 2
gÞ
4 x 2 þ 9 y 2 4 x þ 24 y ¼ 127
hÞ
y2 þ 2 x ¼ 4 y
4) Ein parabolischer Brückenträger besitzt die Spannweite 200 m. Die Fahrbahn liegt
10 m über den Auflagern und 20 m unterhalb des Scheitelpunktes des Trägers
(Bild III-174). Bestimmen Sie die Gleichung des Brückenbogens und die Schnittpunkte von Fahrbahn und Bogen.
y
Scheitel
20 m
Bild III-174
10 m
x
200 m
Zu Abschnitt 9 und 10
1) Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogenins Gradmaß um:
Gradmaß
Bogenmaß
40,36
278,19 78,46
1,4171 5,6213
118,6
0,0843
318
III Funktionen und Kurven
2) Berechnen Sie die folgenden Funktionswerte:
sin 12,5
aÞ
bÞ
eÞ cos 1,4
cos 128,3
cot 120
3
p
jÞ sin
8
fÞ
iÞ cot ð 1,46Þ
cÞ
cos 5,2
dÞ
tan ð 3,18Þ
gÞ
tan 14,8
hÞ
sin ð 3,56Þ
3) Leiten Sie aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion die wichtige trigonometrische Beziehung sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1 her (sog. trigonometrischer Pythagoras).
4) Die Sinusfunktion y ¼ sin x ist im Intervall 0 x p durch eine Parabel zu
ersetzen, die mit ihr in den beiden Nullstellen und dem Extremwert (Maximum)
übereinstimmt. Wie lautet die Funktionsgleichung der Parabel?
5) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p und Phasenverschiebung x 0 :
p
bÞ y ¼ 5 cos ð2 x þ 4,2Þ
aÞ y ¼ 2 sin 3 x 6
p
cÞ y ¼ 10 sin ðp x 3 pÞ
dÞ y ¼ 2,4 cos 4 x 2
6) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von:
y ¼ 4 sin ð3 x þ 2Þ
aÞ
bÞ y ¼ 2 cos ð2 x pÞ
7) Von einer Sinusschwingung der Form y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ mit A > 0
und w > 0 sind folgende Daten bekannt:
a) Das 1. Maximum y max ¼ 5 cm wird nach t 1 ¼ 3 s,
b) das 1. Minimum y min ¼ 5 cm nach t 2 ¼ 10 s erreicht.
Bestimmen Sie A, w und j und skizzieren Sie den Funktionsverlauf.
8) Wie lautet die Funktionsgleichung des in Bild III-175 skizzierten sinusförmigen
Wechselstroms i ðtÞ ¼ i 0 sin ðw t þ jÞ?
i/A
2
Bild III-175
–1
4
–2
9
t / ms
bungsaufgaben
319
9) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf der folgenden harmonischen Schwingungen:
p
aÞ y ¼ 2 sin ð2 t 4Þ
bÞ y ¼ 3 cos 0,5 t 8
10) Skizzieren Sie die Funktion y ¼ 1 sin 2 x. Wie groß ist ihre Periode, wo liegen
ihre Nullstellen und relativen Extremwerte?
11) Die folgenden Schwingungen sind mit Hilfe des Zeigerdiagramms durch eine
Sinusschwingung vom Typ y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ mit A > 0 und w > 0
darzustellen (Zeigerdiagramm verwenden!):
aÞ
cÞ
y ¼ 5 cos ð3 t þ pÞ
p
y ¼ 3 cos 2 t 4
bÞ
y ¼ 3 cos ðp t pÞ
dÞ
y ¼ 4 sin ð0,5 t þ 3Þ
12) Zeigen Sie anhand des Zeigerdiagramms die Richtigkeit der folgenden trigonometrischen Beziehungen:
p
p
bÞ sin t ¼ cos t aÞ cos t ¼ sin t þ
2
2
13) Berechnen Sie die folgenden Funktionswerte:
aÞ
arcsin 0,563
dÞ
5 arcsin
gÞ
arcsin 0,926
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
0,6
bÞ
arctan ð 3,128Þ
eÞ arctan ðp=3Þ
hÞ arccos ð 3 cÞ
arccos 0,473
fÞ
arccot p
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
0,1 Þ
14) Gegeben sind die beiden gleichfrequenten Wechselspannungen u 1 ðtÞ und u 2 ðtÞ.
Berechnen Sie die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ þ u 2 ðtÞ.
aÞ
bÞ
9
u 1 ðtÞ ¼ 100 V sin ðw tÞ
=
p ðw ¼ 500 s 1 Þ
;
u 2 ðtÞ ¼ 160 V cos w t 4
p 9
>
u 1 ðtÞ ¼ 380 V sin w t >
6 =
ðw ¼ 1000 s 1 Þ
p >
>
;
u 2 ðtÞ ¼ 200 V sin w t þ
8
320
III Funktionen und Kurven
15) Bringen Sie die beiden gleichfrequenten mechanischen Schwingungen
p
y 1 ðtÞ ¼ 12 cm sin 4,5 s 1 t þ
5
und
p
y 2 ðtÞ ¼ 20 cm cos 4,5 s 1 t þ
3
zur ungestörten berlagerung und berechnen Sie die Amplitude A und Phase j
der resultierenden Schwingung. Skizzieren Sie ferner beide Einzelschwingungen
sowie die resultierende Schwingung im Zeigerdiagramm.
16) Bestimmen Sie sämtliche reellen Lösungen der folgenden trigonometrischen Gleichungen:
aÞ
sin ð2 x þ 5Þ ¼ 0,4
bÞ
tan 2 ðx þ 1Þ ¼ 1
cÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
cos ðx 1Þ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
2
dÞ
sin x ¼
17) Beweisen Sie: sin ðarccos xÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 sin 2 x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 x 2 ð 1 x 1Þ
18) x ðtÞ und y ðtÞ seien zwei aufeinander senkrecht stehende Schwingungen gleicher
Frequenz. Bestimmen Sie die durch ungestörte berlagerung entstehenden Lissajous-Figuren für:
aÞ
x ðtÞ ¼ 3 cm sin ð5 s 1 tÞ ,
bÞ
x ðtÞ ¼ 5 cm cos ð2 s 1 tÞ ,
y ðtÞ ¼ 4 cm cos ð5 s 1 tÞ
y ðtÞ ¼ 5 cm sin ð2 s 1 tÞ
Zu Abschnitt 11, 12 und 13
1) Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Zerfallsgesetz n ðtÞ ¼ n 0 e l t
ðt 0Þ. Für das Element Radon 222
86 Rn besitzt die Zerfallskonstante l den Wert
l ¼ 2,0974 10 6 s 1 . Berechnen Sie die Halbwertszeit t.
2) Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R
entladen, so nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit t nach der Gleit
chung q ðtÞ ¼ q 0 e R C mit t 0 ab. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt,
von dem an die Kondensatorladung unter 10 % ihres Anfangswertes q ð0Þ ¼ q 0
gesunken ist (Zeitkonstante R C ¼ 0,3 ms).
h
3) Bestimmen Sie aus der barometrischen Höhenformel p ðhÞ ¼ 1,013 bar e 7991 m
den Luftdruck p in den Höhen h 1 ¼ 500 m, h 2 ¼ 1000 m, h 3 ¼ 2000 m,
h 4 ¼ 5000 m und h 5 ¼ 8000 m.
bungsaufgaben
321
4) Durch die Gleichung y ðtÞ ¼ 2 e 0,2 t cos ðp tÞ mit t 0 wird eine gedämpfte Schwingung beschrieben. Skizzieren Sie den Schwingungsvorgang im
Periodenintervall 0 t 2 (Schrittweite: Dt ¼ 0,1).
5) Wir betrachten einen Stromkreis mit einer Induktivität L und einem ohmschen
Widerstand R. Beim Einschalten der Gleichspannungsquelle erreicht der Strom i
infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmschen Gesetz
erwarteten Endwert i 0 . Dabei gilt:
R ðt 0Þ
i ðtÞ ¼ i 0 1 e L t
Berechnen Sie für die Werte i 0 ¼ 4 A, R ¼ 5 W und L ¼ 2,5 H den Zeitpunkt,
in dem die Stromstärke 95 % ihres Endwertes erreicht hat. Skizzieren Sie die
Strom-Zeit-Funktion.
6) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y ¼ a e b x þ 2 so,
dass die Punkte A ¼ ð0; 10Þ und B ¼ ð5; 3Þ auf der Kurve liegen.
7) Wie sind die Parameter a und b zu wählen, damit die Kurve y ¼ a e b x
durch die Punkte A ¼ ð3,5; 12Þ und B ¼ ð8; 2,4Þ verläuft?
2
8) Eine Flüssigkeit mit der Anfangstemperatur T 0 wird durch ein Kühlmittel mit der
(konstanten) Temperatur T 1 gekühlt ðT 1 < T 0 Þ. Die Temperaturabnahme verläuft dabei exponentiell nach der Gleichung
T ðtÞ ¼ ðT 0 T 1 Þ e k t þ T 1
ðt 0Þ
wobei T ðtÞ die Temperatur der Flüssigkeit zur Zeit t ist. In einem Versuch mit
l werden bei einer Kühltemperatur von T 1 ¼ 20 C folgende Werte gemessen:
Nach 50 min beträgt die ltemperatur 85 C, nach 150 min dagegen nur noch
30 C. Bestimmen Sie T 0 und k und berechnen Sie anschließend, nach welcher
Zeit t 1 das l eine Temperatur von 60 C erreicht hat.
9) Der Kolben eines KFZ-Stoßdämpfers lege beim Einschieben einen Weg x nach
dem Zeitgesetz
t
0,5 s
x ðtÞ ¼ 30 cm 1 e
ðt 0 sÞ
zurück. Nach welcher Zeit ist der Kolben um 15,2 cm eingeschoben?
10) Der aperiodische Grenzfall einer (gedämpften) Schwingung wird durch eine Funktion vom Typ y ðtÞ ¼ ðA þ B tÞ e l t mit t 0 beschrieben. Skizzieren Sie
für A ¼ 3, B ¼ 8 und l ¼ 2 diese „Kriechfunktion“ im Intervall 0 t 3.
322
III Funktionen und Kurven
11) Ein durchhängendes Seil genüge der Gleichung y ¼ a cosh ðx=aÞ (Kettenlinie).
Berechnen Sie gemäß der Skizze (Bild III-176) den Durchhang H für die Werte
a ¼ 20 m und l ¼ 90 m.
y
H
a
Bild III-176
x
l
12) Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen:
aÞ e x
2
2x
¼ 2
bÞ
ex þ 2 ex ¼ 3
13) Welche Lösungen besitzen die folgenden logarithmischen Gleichungen?
pﬃﬃﬃﬃ
aÞ ln x þ 1,5 ln x ¼ ln ð2 xÞ
bÞ ðlg xÞ 2 lg x ¼ 2
323
IV Differentialrechnung
1 Differenzierbarkeit einer Funktion
1.1 Das Tangentenproblem
Zunächst wollen wir anhand eines einfachen und überschaubaren Beispiels die Problemstellung der Differentialrechnung aufzeigen. Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist dabei die Normalparabel mit der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 . Wir stellen uns die
Aufgabe, die Steigung der Kurventangente an der Stelle x ¼ 0,5, d. h. im Kurvenpunkt P ¼ ð0,5; 0,25Þ zu bestimmen, und lösen dieses Problem schrittweise wie folgt:
(1)
In der Umgebung von P wird ein weiterer, von P verschiedener Parabelpunkt Q
ausgewählt. Dieser kann, wie in Bild IV-1 skizziert, rechts von P oder auch links
von P liegen. Bezeichnen wir die Abszissendifferenz der beiden Punkte mit Dx,
so lauten ihre Koordinaten wie folgt ðDx 6¼ 0Þ:
Q ¼ ð0,5 þ Dx; ð0,5 þ DxÞ 2 Þ
P ¼ ð0,5; 0,25Þ,
ðIV-1Þ
y
y=x2
Sekante
2
Q
Tangente in P
Δy
1
P
0,25
a
e
Δx
0,5
1
Bild IV-1
0,5 + Δ x
x
Die durch P und Q verlaufende Sekante besitzt dann die Steigung
m s ¼ tan e ¼
¼
Dy
ð0,5 þ DxÞ 2 0,25
0,25 þ Dx þ ðDxÞ 2 0 25
¼
¼
¼
Dx
Dx
Dx
Dx þ ðDxÞ 2
Dx ð1 þ DxÞ
¼ 1 þ Dx
¼
Dx
Dx
ðIV-2Þ
324
IV Differentialrechnung
und stellt eine erste Näherung der gesuchten Tangente dar. Die Sekantensteigung m s
hängt dabei erwartungsgemäß noch von Dx, d. h. der Lage des Parabelpunktes Q ab.
(2)
Wir lassen jetzt den Punkt Q längs der Parabel auf den Punkt P zuwandern
ðQ ! PÞ. Dabei strebt die Abszissendifferenz Dx gegen Null ðDx ! 0Þ. Beim
Grenzübergang geht die Sekante in die Tangente und die Sekantensteigung m s
damit in die Tangentensteigung m t über. In unserem Beispiel erhalten wir (und zwar
unabhängig davon, ob wir den Punkt Q links oder rechts von P gewählt haben):
m t ¼ tan a ¼ lim
Dx ! 0
Dy
¼ lim ð1 þ DxÞ ¼ 1
Dx
Dx ! 0
ðIV-3Þ
Die Kurventangente im Parabelpunkt P ¼ ð0,5; 0,25Þ besitzt somit den Steigungswert m t ¼ 1. Symbolisch schreiben wir dafür:
y 0 ð0,5Þ ¼ f 0 ð0,5Þ ¼ 1
ðIV-4Þ
(gelesen: y Strich an der Stelle 0,5 bzw. f Strich an der Stelle 0,5). Man bezeichnet diesen Grenzwert als Ableitung der Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 an der
Stelle x ¼ 0,5 und nennt die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.
1.2 Ableitung einer Funktion
Wir formulieren nun das im vorangegangenen Abschnitt dargestellte Tangentenproblem in
allgemeiner Form: Gegeben sei eine Funktion y ¼ f ðxÞ, gesucht wird die Steigung der
Kurventangente an der Stelle x 0 d. h. im Kurvenpunkt P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ mit y 0 ¼ f ðx 0 Þ.
Die Lösung der gestellten Aufgabe erfolgt dabei in zwei Schritten:
(1)
Zunächst wählen wir auf der Funktionskurve in der Nachbarschaft von P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
einen weiteren, von P verschiedenen Kurvenpunkt Q aus (Bild IV-2).
y
y = f (x)
Sekante
Q
Δy
e
P
y0
x0
Δx
a
Tangente in P
x 0 + Δx
x
Bild IV-2
Zum Begriff
der Ableitung
einer Funktion
1 Differenzierbarkeit einer Funktion
325
Wird die Abszissendifferenz der beiden Punkte wieder mit Dx bezeichnet, so besitzen P und Q die folgenden Koordinaten:
P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
mit
y 0 ¼ f ðx 0 Þ
Q ¼ ðx 0 þ Dx; f ðx 0 þ DxÞÞ
ðIV-5Þ
Die Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante ist dann durch
den sog. Differenzenquotienten
m s ¼ tan e ¼
Dy
f ðx 0 þ DxÞ f ðx 0 Þ
¼
Dx
Dx
ðIV-6Þ
gegeben, wobei Dy die Ordinatendifferenz ist.
(2)
Wandert nun der Punkt Q längs der Kurve auf den Punkt P zu ðQ ! PÞ, so
strebt gleichzeitig die Abszissendifferenz Dx ! 0 und beim Grenzübergang fällt
die Sekante in die (gesuchte) Tangente. Die Tangentensteigung m t ist somit der
Grenzwert der Sekantensteigung m s , d. h. der Grenzwert des Differenzenquotienten (IV-6) für Dx ! 0:
m t ¼ tan a ¼ lim
Dx ! 0
Dy
f ðx 0 þ DxÞ f ðx 0 Þ
¼ lim
Dx
Dx
Dx ! 0
ðIV-7Þ
Man nennt diesen Grenzwert, falls er vorhanden ist, die Ableitung der Funktion
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x 0 und kennzeichnet ihn durch eines der folgenden Symbole:
dy 0
0
f ðx 0 Þ
oder
ðIV-8Þ
y ðx 0 Þ ,
dx x ¼ x 0
dy wird als Differentialquotient der Funktion
Der formale Quotient
dx x ¼ x 0
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ x 0 bezeichnet (gelesen: dy nach dx an der Stelle
x ¼ x 0 ). Wir kommen später darauf zurück.
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn
der Grenzwert
lim
Dx ! 0
Dy
f ðx 0 þ DxÞ f ðx 0 Þ
¼ lim
Dx
Dx
Dx ! 0
ðIV-9Þ
vorhanden ist. Man bezeichnet ihn als die (erste) Ableitung von
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x 0 oder als Differentialquotient von y ¼ f ðxÞ
an der Stelle x 0 und kennzeichnet ihn durch das Symbol
dy 0
0
f ðx 0 Þ
oder
y ðx 0 Þ,
dx x ¼ x 0
326
IV Differentialrechnung
Anmerkungen
(1)
Die Ableitung y 0 ðx 0 Þ wird auch als 1. Ableitung an der Stelle x 0 bezeichnet.
(2)
Der Vorgang, der zur Bestimmung der Ableitung, d. h. zur Berechnung des Grenzwertes (IV-9) führt, heißt Differentiation oder Differenzieren.
(3)
Wählt man den Punkt Q rechts (links) vom Punkte P, so erhält man beim Grenzübergang Q ! P die rechtsseitige (linksseitige) Ableitung. Nur wenn beide Ableitungen übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle x 0 differenzierbar (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (4)).
(4)
Geometrische Interpretation der Ableitung: Die Differenzierbarkeit einer Funktion
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x 0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine
eindeutig bestimmte Tangente mit endlicher Steigung besitzt.
(5)
Die Stelle x 0 ist eine beliebige Stelle aus dem Inneren des Intervalls. Wir lassen
im Folgenden wie allgemein üblich den Index „0“ weg und sprechen von
der (ersten) Ableitung der Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle x.
(6)
Die Ableitungsfunktion y 0 ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ ordnet jeder Stelle x aus einem Intervall
I als Funktionswert den Steigungswert (Grenzwert IV-9) zu. Man spricht dann kurz
von der Ableitung der Funktion y ¼ f ðxÞ.
(7)
Eine im Intervall I differenzierbare Funktion ist dort stetig (die Umkehrung gilt
nicht, siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (4)). Die Stetigkeit ist daher eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion.
(8)
Eine Funktion f ðxÞ wird als stetig differenzierbar bezeichnet, wenn sie im Intervall I eine stetige Ableitung hat.
Eine weitere sehr nützliche Schreibweise für die Ableitung einer Funktion erhält man
d
unter Verwendung des sog. Differentialoperators
. Dieser erzeugt aus der Funktion
dx
y ¼ f ðxÞ die Ableitungsfunktion y 0 ¼ f 0 ðxÞ:
d
½ f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ
dx
&
ðIV-10Þ
Beispiele
(1)
y ¼ f ðxÞ ¼ const: ¼ a
y 0 ¼ f 0 ðxÞ ¼ 0
Dy
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
aa
0
¼
¼
¼
¼ 0
Dx
Dx
Dx
Dx
Dy
y 0 ¼ lim
¼ lim 0 ¼ 0
Dx ! 0 Dx
Dx ! 0
Differenzenquotient:
1. Ableitung:
)
1 Differenzierbarkeit einer Funktion
(2)
y ¼ f ðxÞ ¼ x
1. Ableitung:
(3)
Dy
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
ðx þ DxÞ x
Dx
¼
¼
¼
¼ 1
Dx
Dx
Dx
Dx
y 0 ¼ lim
Dx ! 0
y ¼ f ðxÞ ¼ x 2
Dy
¼ lim 1 ¼ 1
Dx
Dx ! 0
y 0 ¼ f 0 ðxÞ ¼ 2 x
)
Differenzenquotient:
1. Ableitung:
y 0 ¼ f 0 ðxÞ ¼ 1
)
Differenzenquotient:
327
Dy
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
ðx þ DxÞ 2 x 2
¼
¼
¼
Dx
Dx
Dx
y 0 ¼ lim
¼
x 2 þ 2 x Dx þ ðDxÞ 2 x 2
¼
Dx
¼
2 x Dx þ ðDxÞ 2
¼ 2 x þ Dx
Dx
Dx ! 0
Dy
¼ lim ð2 x þ DxÞ ¼ 2 x
Dx
Dx ! 0
So beträgt beispielsweise die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 ¼ 0,5 bzw.
x 2 ¼ 1:
y 0 ð0,5Þ ¼ 2 0,5 ¼ 1
(4)
y 0 ð1Þ ¼ 2 1 ¼ 2
bzw:
Die in Bild IV-3 dargestellte Betragsfunktion
8
9
x 0=
< x
y ¼ f ðxÞ ¼ j x j ¼
f ür
:
;
x
x < 0
liefert ein Beispiel für eine stetige Funktion, die aber nicht überall in ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist.
y
Q1
Q2
1
Bild IV-3 Betragsfunktion
–1
P
1
x
328
IV Differentialrechnung
Diese Funktion ist an der Stelle x ¼ 0 nicht differenzierbar, da sie dort keine eindeutig bestimmte Tangente besitzt. Denn rechts- und linksseitige Ableitung in
x ¼ 0 sind zwar vorhanden, weichen jedoch voneinander ab:
Rechtsseitige Ableitung ðQ 1 ! PÞ:
lim
Dx ! 0
f ð0 þ DxÞ f ð0Þ
Dx 0
¼ lim
¼ lim ð1Þ ¼ 1
Dx
Dx
Dx ! 0
Dx ! 0
Linksseitige Ableitung ðQ 2 ! PÞ:
lim
Dx ! 0
f ð0 þ DxÞ f ð0Þ
Dx 0
¼ lim
¼ lim ð 1Þ ¼ 1
Dx
Dx
Dx ! 0
Dx ! 0
&
1.3 Ableitung der elementaren Funktionen
Die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen lassen sich auf direktem Wege
als Grenzwert des Differenzenquotienten nach der Definitionsgleichung (IV-9) gewinnen.
Sie sind in der folgenden Tabelle 1 zusammengestellt.
Tabelle 1: Erste Ableitung der elementaren Funktionen
Ableitung f 0 ðxÞ
Funktion f ðxÞ
Konstante Funktion
c ¼ const.
Potenzfunktion
xn
0
ðn 2 RÞ
n xn1
ðPotenzregelÞ
Wurzelfunktion
pﬃﬃﬃﬃ
x
2
Trigonometrische Funktionen
1
pﬃﬃﬃﬃ
x
sin x
cos x
cos x
sin x
1
cos 2 x
tan x
cot x
1
sin 2 x
1 Differenzierbarkeit einer Funktion
329
Tabelle 1 (Fortsetzung)
Ableitung f 0 ðxÞ
Funktion f ðxÞ
Arkusfunktionen
arcsin x
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 x2
arccos x
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 x2
arctan x
1
1 þ x2
arccot x
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen
Hyperbelfunktionen
1
1 þ x2
ex
ex
ax
ðln aÞ a x
ln x
1
x
log a x
1
ðln aÞ x
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
tanh x
1
cosh 2 x
coth x
Areafunktionen
1
sinh 2 x
arsinh x
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 þ 1
arcosh x
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 1
artanh x
1
1 x2
arcoth x
1
1 x2
330
IV Differentialrechnung
Wir beweisen jetzt exemplarisch die Potenzregel
d
ðx n Þ ¼ n x n 1
dx
ðIV-11Þ
für positiv-ganzzahlige Exponenten ðn 2 N*Þ. Dabei machen wir Gebrauch vom Binomischen Lehrsatz in der Form
!
n
n
n
n
n1
1
ða þ bÞ ¼ a þ
a
b þ
ðIV-12Þ
an2 b2 þ . . . þ bn
1
2
(siehe hierzu Abschnitt I.6). Für den Differenzenquotient der Potenzfunktion f ðxÞ ¼ x n
folgt dann unter Verwendung dieser Entwicklungsformel mit a ¼ x und b ¼ Dx :
Dy
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
ðx þ DxÞ n x n
¼
¼
¼
Dx
Dx
Dx
!
n
n
n
x þ
x n 2 ðDxÞ 2 þ . . . þ ðDxÞ n x n
x n 1 Dx þ
2
1
¼
¼
Dx
n
n
n1
x
Dx þ
x n 2 ðDxÞ 2 þ . . . þ ðDxÞ n
1
2
¼
¼
Dx
n
n
n1
þ
x n 2 Dx þ . . . þ ðDxÞ n 1
ðIV-13Þ
x
¼
2
1
Beim Grenzübergang Dx ! 0 dürfen wir nach der Grenzwertregel (III-32) gliedweise
vorgehen. Dabei verschwinden alle Glieder bis auf den ersten Summand. Folglich ist
d
n
n
n1
n
n1
n2
x
x
¼
ðx Þ ¼ lim
þ
Dx þ . . . þ ðDxÞ
1
2
dx
Dx ! 0
n
¼
xn1 ¼ n xn1
ðIV-14Þ
1
Damit ist die Potenzregel für positiv-ganzzahlige Exponenten bewiesen. Sie gilt jedoch
allgemein für beliebige reelle Exponenten. Auf den Beweis verzichten wir.
&
Beispiele
y0 ¼
2
2
2
pﬃﬃﬃﬃ
x 1=3 ¼
¼
3
3 3 x
3 x 1=3
(1)
y ¼ x 2=3
(2)
1
1
y ¼ pﬃﬃﬃﬃ ¼ 1=2 ¼ x 1=2
x
x
y0 ¼ )
)
1
1
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 3=2 ¼ ¼ 3=2
2
2x
2 x3
&
2 Ableitungsregeln
331
2 Ableitungsregeln
Wir behandeln in diesem Abschnitt eine Reihe von Ableitungsregeln, die das Differenzieren einer Funktion wesentlich erleichtern. Bei ihrer Herleitung benötigen wir
die in Kap. III, Abschnitt 4.2.3 aufgeführten Rechenregeln für Grenzwerte und setzen
ferner voraus, dass alle in den Formelausdrücken auftretenden Funktionen auch differenzierbar sind.
2.1 Faktorregel
Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten:
y ¼ C f ðxÞ
)
y 0 ¼ C f 0 ðxÞ
ðC : Reelle KonstanteÞ
ðIV-15Þ
Beweis der Faktorregel:
Wir setzen vorübergehend y ¼ g ðxÞ ¼ C f ðxÞ. Unter Verwendung der Grenzwertregel (III-31) gilt dann:
y 0 ¼ lim
Dx ! 0
g ðx þ DxÞ g ðxÞ
C f ðx þ DxÞ C f ðxÞ
¼ lim
¼
Dx
Dx
Dx ! 0
¼ lim C Dx ! 0
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
¼ C lim
¼
Dx
Dx
Dx ! 0
¼ C f 0 ðxÞ
&
ðIV-16Þ
Beispiele
(1)
y ¼ 10 x 4
)
y0 ¼
d
d
ð10 x 4 Þ ¼ 10 ðx 4 Þ ¼ 10 4 x 3 ¼ 40 x 3
dx
dx
(2)
y ¼ 3 ex
)
y0 ¼
d
d
ð 3 e x Þ ¼ 3 ðe x Þ ¼ 3 e x
dx
dx
(3)
x ¼ 4 sin t
)
dx
d
d
¼
ð4 sin tÞ ¼ 4 ðsin tÞ ¼ 4 cos t
dt
dt
dt
(4)
y ¼ 5 ln x
)
y0 ¼
d
d
1
5
ð5 ln xÞ ¼ 5 ðln xÞ ¼ 5 ¼
dx
dx
x
x
&
332
IV Differentialrechnung
2.2 Summenregel
Summenregel
Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden:
y ¼ f 1 ðxÞ þ f 2 ðxÞ þ . . . þ f n ðxÞ
)
ðIV-17Þ
y 0 ¼ f 01 ðxÞ þ f 02 ðxÞ þ . . . þ f 0n ðxÞ
Beweis der Summenregel:
Wir beweisen diese Ableitungsregel für f ðxÞ ¼ f 1 ðxÞ þ f 2 ðxÞ, d. h. eine Summe aus
zwei Funktionen. Unter Verwendung der Grenzwertregel (III-32) ist dann:
y 0 ¼ lim
Dx ! 0
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
¼
Dx
f 1 ðx þ DxÞ þ f 2 ðx þ DxÞ f 1 ðxÞ f 2 ðxÞ
¼
Dx
Dx ! 0
f 1 ðx þ DxÞ f 1 ðxÞ
f 2 ðx þ DxÞ f 2 ðxÞ
¼ lim
þ
¼
Dx
Dx
Dx ! 0
¼ lim
¼ lim
Dx ! 0
f 1 ðx þ DxÞ f 1 ðxÞ
f 2 ðx þ DxÞ f 2 ðxÞ
þ lim
¼
Dx
Dx
Dx ! 0
¼ f 01 ðxÞ þ f 02 ðxÞ
ðIV-18Þ
Folgerung aus der Summen- und Faktorregel: Die Ableitung einer aus n Funktionen
gebildeten Linearkombination
y ¼ C 1 f 1 ðxÞ þ C 2 f 2 ðxÞ þ . . . þ C n f n ðxÞ
ðIV-19Þ
erfolgt gliedweise, wobei die konstanten Faktoren C 1 , C 2 , . . . , C n erhalten bleiben:
y 0 ¼ C 1 f 01 ðxÞ þ C 2 f 02 ðxÞ þ . . . þ C n f 0n ðxÞ
ðIV-20Þ
Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) vom Grade n wird nach dieser Regel
differenziert, wir erhalten wieder ein Polynom (vom Grade n 1).
&
Beispiele
)
y 0 ¼ 28 x 6 3 sin x 5 e x þ
(1)
y ¼ 4 x 7 þ 3 cos x 5 e x þ ln x
(2)
y ¼ 4 arctan x 2 arccos x þ 10 sinh x þ 3 x
4
2
þ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ þ 10 cosh x þ 3
y0 ¼
2
1þx
1 x2
)
1
x
2 Ableitungsregeln
(3)
333
Wir differenzieren das Weg-Zeit-Gesetz s ðtÞ einer gleichförmig beschleunigten Bewegung und erhalten die Momentangeschwindigkeit v ðtÞ ¼ s 0 ðtÞ (siehe hierzu
auch Abschnitt 2.14.1):
s ðtÞ ¼
1
a t2 þ v0 t þ s0
2
)
v ðtÞ ¼ s 0 ðtÞ ¼
ds
¼ a t þ v0
dt
(a: Beschleunigung; s 0 ; v 0 : Wegmarke und Geschwindigkeit zu Beginn, d. h. zum
&
Zeitpunkt t ¼ 0)
2.3 Produktregel
Produktregel
Die Ableitung einer in der Produktform y ¼ u ðxÞ v ðxÞ darstellbaren Funktion
erhält man nach der Produktregel:
y 0 ¼ u 0 ðxÞ v ðxÞ þ v 0 ðxÞ u ðxÞ
ðIV-21Þ
Anmerkungen
(1)
In der Praxis verwendet man meist die folgende Kurzschreibweise:
y ¼ uv
(2)
)
y0 ¼ u0 v þ v0 u
ðIV-22Þ
Die Produktregel lässst sich auch wie folgt darstellen:
d
ðu vÞ ¼ u 0 v þ v 0 u
dx
ðIV-23Þ
Beweis der Produktregel:
Der Differenzenquotient der Produktfunktion y ¼ f ðxÞ ¼ u ðxÞ v ðxÞ lautet:
Dy
f ðx þ DxÞ f ðxÞ
u ðx þ DxÞ v ðx þ DxÞ u ðxÞ v ðxÞ
¼
¼
Dx
Dx
Dx
ðIV-24Þ
Gleichzeitig addieren und subtrahieren wir jetzt im Zähler den Term u ðxÞ v ðx þ DxÞ
und erhalten nach einer Umordnung der Glieder den folgenden Ausdruck:
Dy
u ðx þ DxÞ v ðx þ DxÞ u ðxÞ v ðx þ DxÞ þ u ðxÞ v ðx þ DxÞ u ðxÞ v ðxÞ
¼
¼
Dx
Dx
¼
½ u ðx þ DxÞ u ðxÞ v ðx þ DxÞ þ u ðxÞ ½ v ðx þ DxÞ v ðxÞ ¼
Dx
¼
½ u ðx þ DxÞ u ðxÞ v ðx þ DxÞ
u ðxÞ ½ v ðx þ DxÞ v ðxÞ þ
¼
Dx
Dx
¼
u ðx þ DxÞ u ðxÞ
v ðx þ DxÞ v ðxÞ
v ðx þ DxÞ þ u ðxÞ Dx
Dx
ðIV-25Þ
334
IV Differentialrechnung
Beim Grenzübergang Dx ! 0 beachten wir die Grenzwertregeln (III-31) bis (III-33)
und erhalten schließlich
u ðx þ DxÞ u ðxÞ
v ðx þ DxÞ v ðxÞ
v ðx þ DxÞ þ lim u ðxÞ ¼
Dx
Dx
Dx ! 0
u ðx þ DxÞ u ðxÞ
¼
lim
lim v ðx þ DxÞ þ
Dx
Dx ! 0
Dx ! 0
v ðx þ DxÞ v ðxÞ
¼
þ u ðxÞ lim
Dx
Dx ! 0
y 0 ¼ lim
Dx ! 0
¼ u 0 ðxÞ v ðxÞ þ u ðxÞ v 0 ðxÞ ¼ u 0 ðxÞ v ðxÞ þ v 0 ðxÞ u ðxÞ
&
ðIV-26Þ
Beispiele
(1)
y ¼ ð4 x 3 3 x Þ ð2 e x sin x Þ ¼ u v
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
v
u
u ¼ 4x3 3x
)
v ¼ 2 e x sin x
u 0 ¼ 12 x 2 3
)
v 0 ¼ 2 e x cos x
y 0 ¼ u 0 v þ v 0 u ¼ ð12 x 2 3Þ ð2 e x sin xÞ þ ð2 e x cos xÞ ð4 x 3 3 xÞ ¼
¼ ð8 x 3 þ 24 x 2 6 x 6Þ e x ð12 x 2 3Þ sin x ð4 x 3 3 xÞ cos x
(2)
y ¼ arctan x ln x ¼ u v
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |{z}
u
v
u ¼ arctan x
)
y0 ¼ u0 v þ v0 u ¼
u0 ¼
1
;
1 þ x2
v ¼ ln x
)
v0 ¼
1
x
1
1
ln x
arctan x
arctan x ¼
ln x þ
þ
1 þ x2
x
1 þ x2
x
&
Die Produktregel lässt sich auch für Produktfunktionen mit mehr als zwei Faktoren
formulieren. Bei drei Faktoren u ¼ u ðxÞ, v ¼ v ðxÞ und w ¼ w ðxÞ gilt beispielsweise:
Produktregel bei drei Faktorfunktionen
d
ðu v wÞ ¼ u 0 v w þ u v 0 w þ u v w 0
dx
ðIV-27Þ
2 Ableitungsregeln
&
335
Beispiel
y ¼ 5 x 3 sin x e x ¼ u v w
|{z} |ﬄ{zﬄ} |{z}
u
v
w
u ¼ 5x3
w ¼ ex
u 0 ¼ 15 x 2 ;
)
v ¼ sin x
)
v 0 ¼ cos x
w 0 ¼ ex
)
y0 ¼ u0 vw þ uv0 w þ uvw0 ¼
¼ 15 x 2 sin x e x þ 5 x 3 cos x e x þ 5 x 3 sin x e x ¼
¼ 5 x 2 e x ð3 sin x þ x cos x þ x sin xÞ
&
2.4 Quotientenregel
Quotientenregel
Die Ableitung einer Funktion, die als Quotient zweier Funktionen u ðxÞ und v ðxÞ
u ðxÞ
in der Form y ¼
darstellbar ist, erhält man nach der Quotientenregel:
v ðxÞ
y0 ¼
u 0 ðxÞ v ðxÞ v 0 ðxÞ u ðxÞ
v 2 ðxÞ
ðv ðxÞ 6¼ 0Þ
ðIV-28Þ
Anmerkungen
(1)
Die in der Praxis übliche Kurzschreibweise lautet:
y ¼
(2)
u
v
)
y0 ¼
u0v v0u
v2
ðIV-29Þ
Die Quotientenregel lässt sich auch wie folgt formulieren:
d u
u0 v v0 u
¼
dx v
v2
ðIV-30Þ
Die Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion erfolgt mit Hilfe der Quotientenregel,
man erhält wiederum eine gebrochenrationale Funktion.
Auf den Beweis der Quotientenregel wollen wir an dieser Stelle verzichten. Wir werden
ihn aber später im Zusammenhang mit der sog. logarithmischen Differentiation nachholen (vgl. hierzu Abschnitt 2.7).
336
&
IV Differentialrechnung
Beispiele
(1)
y ¼
x3 4x þ 5
u
¼
2x2 4x þ 1
v
u ¼ x3 4x þ 5
v ¼ 2x2 4x þ 1
y0 ¼
¼
¼
¼
¼
(2)
y ¼
)
)
u0 ¼ 3x2 4
v 0 ¼ 4 x 4 ¼ 4 ðx 1Þ
u0v v0u
ð3 x 2 4Þ ð2 x 2 4 x þ 1Þ 4 ðx 1Þ ðx 3 4 x þ 5Þ
¼
¼
v2
ð2 x 2 4 x þ 1Þ 2
6 x 4 12 x 3 þ 3 x 2 8 x 2 þ 16 x 4 4 ðx 4 4 x 2 þ 5 x x 3 þ 4 x 5Þ
ð2 x 2 4 x þ 1Þ 2
6 x 4 12 x 3 5 x 2 þ 16 x 4 4 ðx 4 x 3 4 x 2 þ 9 x 5Þ
ð2 x 2 4 x þ 1Þ 2
¼
6 x 4 12 x 3 5 x 2 þ 16 x 4 4 x 4 þ 4 x 3 þ 16 x 2 36 x þ 20
ð2 x 2 4 x þ 1Þ 2
¼
¼
2 x 4 8 x 3 þ 11 x 2 20 x þ 16
ð2 x 2 4 x þ 1Þ 2
ln x þ x
u
¼
x
e
v
u ¼ ln x þ x
v ¼ ex
)
u0 ¼
1
1þx
x þ1
þ1 ¼
¼
x
x
x
v 0 ¼ ex
)
x þ1
e x e x ðln x þ xÞ
u vv u
x
0
y ¼
¼
¼
v2
ðe x Þ 2
0
0
ex ¼
x þ1
ðln x þ xÞ
x
ex ex
x þ1
ðln x þ xÞ
x
¼
¼
ex
x þ 1 x ðln x þ xÞ
x þ 1 x ðln x þ xÞ
x
¼
¼
ex
x ex
&
2 Ableitungsregeln
337
2.5 Kettenregel
Die bisher bekannten Ableitungsregeln (Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel) versetzen uns in die Lage, einfache Funktionen problemlos zu differenzieren. Sie
reichen jedoch nicht mehr aus, wenn es um die Ableitung zusammengesetzter oder
ineinander geschachtelter Funktionen geht, die man auch als mittelbare oder verkettete
Funktionen bezeichnet. Ein einfaches Anwendungsbeispiel soll dies verdeutlichen. Wenn
wir uns für die Geschwindigkeit einer harmonisch nach der Gleichung
y ¼ y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ ,
t 0
schwingenden Masse interessieren, müssen wir die zeitliche Ableitung dieser Funktion
bilden 1). Dies wird uns mit den bisher bekannten Ableitungsregeln nicht gelingen. Der
Grund: Wir kennen zwar die Ableitung von sin t, nicht aber die Ableitung der aus zwei
Grundfunktionen zusammengesetzten Funktion sin ðw t þ jÞ. Diese Funktion setzt sich
aus der elementaren Sinusfunktion sin u und der linearen Funktion u ¼ w t þ j zusammen, d. h. der Sinus ist hier eine Funktion der linearen Funktion u ¼ w t þ j,
hängt also über die Hilfsvariable u noch von der Variablen t ab.
Um die gewünschte Ableitung y 0 ðtÞ bilden zu können, benötigen wir eine weitere Ableitungsregel, die unter der Bezeichnung Kettenregel bekannt ist. Bei der Herleitung dieser wichtigen Regel lassen wir uns von den folgenden berlegungen leiten:
Mit Hilfe einer geeigneten Substitution u ¼ u ðxÞ versuchen wir, die vorgegebene
Funktion y ¼ f ðxÞ in eine einfacher gebaute und möglichst elementare Funktion
y ¼ F ðuÞ umzuwandeln:
Substitution
y ¼ f ðxÞ ! y ¼ F ðuÞ
u ¼ u ðxÞ
Für die Funktionen u ¼ u ðxÞ und y ¼ F ðuÞ haben sich dabei die Bezeichnungen
u ¼ u ðxÞ: Innere Funktion
y ¼ F ðuÞ:
ußere Funktion
eingebürgert. Zwischen ihnen besteht dann der folgende Zusammenhang:
y ¼ F ðuÞ ¼ F ðu ðxÞÞ ¼ f ðxÞ
ðIV-31Þ
y ist eine von der „Hilfsvariablen“ u abhängige Funktion, wobei u wiederum von x
abhängt (y hängt also über u von x ab, ist somit eine mittelbare Funktion von x).
Die gesuchte Ableitung der Funktion y ¼ f ðxÞ nach der Variablen x lässt sich dann
als Produkt aus den Ableitungen der äußeren und der inneren Funktion gewinnen:
y0 ¼
1)
dy
dy du
¼
dx
du dx
ðIV-32Þ
In Abschnitt 2.14.1 werden wir zeigen, dass die 1. Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit ergibt.
338
IV Differentialrechnung
(sog. Kettenregel; zuerst y nach u, dann u nach x differenzieren). Wir haben somit
unsere Aufgabe gelöst, falls sowohl die äußere als auch die innere Funktion elementar,
d. h. unter Verwendung der bekannten Ableitungsregeln in Verbindung mit der Tabelle 1
differenzierbar sind.
Mit den Bezeichnungen
dy
: ußere Ableitung ðAbleitung der äußeren Funktion y ¼ F ðuÞÞ
du
du
: Innere Ableitung ðAbleitung der inneren Funktion u ¼ u ðxÞÞ
dx
lässt sich die Kettenregel allgemein wie folgt formulieren:
Kettenregel
Die Ableitung einer zusammengesetzten (verketteten) Funktion y ¼ F ðu ðxÞÞ ¼ f ðxÞ
erhält man als Produkt aus der äußeren und der inneren Ableitung:
y0 ¼
dy
dy du
¼
dx
du dx
ðIV-33Þ
Anmerkungen
(1)
Für die erfolgreiche Anwendung der Kettenregel ist von entscheidender Bedeutung,
dass es mit Hilfe einer geeigneten Substitution u ¼ u ðxÞ gelingt, die vorgegebene
Funktion y ¼ f ðxÞ in eine elementar differenzierbare Funktion y ¼ F ðuÞ überzuführen. Die nachfolgenden Beispiele werden dies unterstreichen.
(2)
Man beachte, dass die innere Funktion u ¼ u ðxÞ immer mit der Substitutionsgleichung identisch ist.
(3)
In der äußeren Ableitung, die zunächst von der „Hilfsvariablen“ u abhängt, muss
am Schluss eine Rücksubstitution durchgeführt werden.
(4)
Die Kettenregel lässt sich auch in der Form
y 0 ðxÞ ¼ F 0 ðuÞ u 0 ðxÞ
ðIV-34Þ
darstellen (F 0 ðuÞ: äußere Ableitung; u 0 ðxÞ: innere Ableitung).
Beweis der Kettenregel:
Wir wollen den Beweis dieser wichtigen Regel nur andeuten. Der Differenzenquotient
lässt sich in der Form
Dy
Dy Du
Dy Du
¼
¼
Dx
Dx Du
Du Dx
ðIV-35Þ
2 Ableitungsregeln
339
darstellen und setzt sich somit aus den Differenzenquotienten der äußeren und der inneren Funktion zusammen. Beim Grenzübergang Dx ! 0 strebt auch Du ! 0 und es
gilt unter Verwendung der Grenzwertregel (III-33):
dy
Dy
¼ lim
¼ lim
dx
Dx ! 0 Dx
Dx ! 0
¼
lim
Du ! 0
Dy Du
Dy
Du
¼
lim
lim
¼
Du Dx
Dx ! 0 Du
Dx ! 0 Dx
Dy
Du
dy du
lim
¼
Du
du dx
Dx ! 0 Dx
ðIV-36Þ
Die Kettenregel ist die wichtigste Ableitungsregel überhaupt. Die in Naturwissenschaft
und Technik auftretenden Funktionen sind (von wenigen Ausnahmen abgesehen) stets
zusammengesetzte, d. h. verkettete Funktionen, deren Ableitungen nur mit Hilfe der Kettenregel gebildet werden können.
&
Beispiele
Vorgehensweise
Zunächst muss die vorliegende Funktion genau analysiert werden, d. h. man muss den
Funktionstyp erkennen (z. B. ob es sich um eine Sinus- oder Kosinusfunktion, Wurzelfunktion, Logarithmus- oder Exponentialfunktion handelt). Dann wird die Funktion mit
Hilfe einer geeigneten Substitution auf die elementare Grundform zurückgeführt (dies
sind die in der Tabelle 1 aufgeführten elementaren Funktionen). Stellen Sie sich also vor
dem Differenzieren die folgende Frage: Wie muss ich substituieren, damit die neue von
der Hilfsvariablen u abhängige (äußere) Funktion möglichst einfach wird, d. h. in eine
der in der Tabelle 1 enthaltenen Funktionen übergeht?
In den nachfolgenden sechs Beispielen wird diese Vorgehensweise Schritt für Schritt
erläutert.
(1)
y ¼ ð3 x 4Þ 8
Grundform:
Potenzfunktion u 8
Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ 3 x 4
ußere und innere Funktion:
y ¼ F ðuÞ ¼ u 8
mit
u ¼ 3x 4
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y0 ¼
dy
dy du
¼
¼ 8 u 7 3 ¼ 24 u 7 ¼ 24 ð3 x 4Þ 7
dx
du dx
340
(2)
IV Differentialrechnung
y ¼ e ð4 x
2
3 x þ 2Þ
Grundform:
Exponentialfunktion e u
Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ 4 x 2 3 x þ 2
ußere und innere Funktion:
y ¼ F ðuÞ ¼ e u
mit
u ¼ 4x2 3x þ 2
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y0 ¼
(3)
dy
dy du
2
¼
¼ e u ð8 x 3Þ ¼ ð8 x 3Þ e ð4 x 3 x þ 2Þ
dx
du dx
y ¼ 10 ln ð1 þ x 2 Þ
Grundform:
Logarithmusfunktion ln u
Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ 1 þ x 2
ußere und innere Funktion:
y ¼ F ðuÞ ¼ 10 ln u
mit
u ¼ 1 þ x2
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y0 ¼
(4)
y ¼
dy
dy du
1
20 x
20 x
¼
¼ 10 2x ¼
¼
dx
du dx
u
u
1 þ x2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x3 þ x2 þ 1
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u
Grundform:
Wurzelfunktion
Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ x 3 þ x 2 þ 1
ußere und innere Funktion:
pﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ F ðuÞ ¼ u
mit
u ¼ x3 þ x2 þ 1
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y0 ¼
¼
dy
dy du
1
3x2 þ 2x
pﬃﬃﬃ ¼
¼
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ð3 x 2 þ 2 xÞ ¼
dx
du dx
2 u
2 u
3x2 þ 2x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2 x3 þ x2 þ 1
2 Ableitungsregeln
(5)
341
y ¼ y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðA, w, j: KonstantenÞ
Grundform:
Sinusfunktion sin u
Substitution:
u ¼ u ðtÞ ¼ w t þ j
ußere und innere Funktion:
y ¼ F ðuÞ ¼ A sin u
u ¼ wt þ j
mit
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y 0 ðtÞ ¼
dy
dy du
¼
¼ ðA cos uÞ w ¼ A w cos u ¼
dt
du dt
¼ A w cos ðw t þ jÞ
(6)
y ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3
ðx 2 4 x þ 10Þ 2 ¼ ðx 2 4 x þ 10Þ 2=3
Grundform:
Potenzfunktion u 2=3
Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ x 2 4 x þ 10
ußere und innere Funktion:
y ¼ F ðuÞ ¼ u 2=3
u ¼ x 2 4 x þ 10
mit
Kettenregel (mit nachträglicher Rücksubstitution):
y0 ¼
¼
dy
dy du
2
2 ð2 x 4Þ
¼
¼
u 1=3 ð2 x 4Þ ¼
¼
dx
du dx
3
3 u 1=3
4 ðx 2Þ
4 ðx 2Þ
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
ﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ p
3
3
3 u
3 x 2 4 x þ 10
&
In einigen Fällen müssen mehrere Substitutionen hintereinander ausgeführt werden (stets
von innen nach außen), um die vorgebebene Funktion in eine elementar differenzierbare
Funktion zu überführen. Wir geben hierfür ein Beispiel:
&
Beispiel
y ¼ ln ½ sin ð2 x 3Þ 1. Substitution:
u ¼ u ðxÞ ¼ 2 x 3
)
y ¼ ln ðsin uÞ
Diese Funktion ist noch nicht elementar differenzierbar. Erst eine weitere Substitution
führt zum Ziel.
2. Substitution:
v ¼ v ðuÞ ¼ sin u
)
y ¼ ln v
342
IV Differentialrechnung
Somit gilt:
y ¼ ln v
mit
v ¼ sin u
und
u ¼ 2x 3
Die Kettenregel besitzt jetzt die folgende Gestalt:
y0 ¼
dy
dy dv du
¼
dx
dv du dx
Erst y nach v differenzieren, dann v nach u und schließlich u nach x. Formale
Kontrolle der richtigen Schreibweise der Kettenregel: Auf der rechten Seite kürzen sich
die Differentiale du und dv heraus und wir erhalten wie auf der linken Seite den Quotienten dy=dx. Die Kettenregel liefert dann:
y0 ¼
dy
dy dv du
1
2 cos u
¼
¼
ðcos uÞ 2 ¼
dx
dv du dx
v
v
Nach stufenweiser Rücksubstitution ðv ! u ! xÞ folgt schließlich:
y0 ¼
2 cos u
2 cos u
¼
¼ 2 cot u ¼ 2 cot ð2 x 3Þ
v
sin u
&
Die nachfolgende Tabelle 2 enthält die Ableitungen einiger in den Anwendungen häufig
auftretender verketteter Funktionen.
Tabelle 2: Ableitung spezieller verketteter Funktionen ( g ðxÞ ist eine beliebige differenzierbare Funktion)
Funktion
Grundform
Ableitung
y ¼ ½ g ðxÞ n
y ¼ un
y 0 ¼ n ½ g ðxÞ n 1 g 0 ðxÞ
y ¼ sin ½ g ðxÞ y ¼ sin u
y 0 ¼ cos ½ g ðxÞ g 0 ðxÞ
y ¼ cos ½ g ðxÞ y ¼ cos u
y 0 ¼ sin ½ g ðxÞ g 0 ðxÞ
y ¼ e g ðxÞ
y ¼ eu
y 0 ¼ e g ðxÞ g 0 ðxÞ
y ¼ ln ½ g ðxÞ y ¼ ln u
y0 ¼
1
g 0 ðxÞ
g ðxÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u
y0 ¼
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ g 0 ðxÞ
2 g ðxÞ
y ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
g ðxÞ
y ¼
Anmerkung
In allen Fällen wird u ¼ g ðxÞ substituiert. In den Funktionen ln ½ g ðxÞ und
wird g ðxÞ > 0 vorausgesetzt.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
g ðxÞ
2 Ableitungsregeln
343
2.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln
Beim Differenzieren komplizierter Funktionen müssen oft mehrere Ableitungsregeln eingesetzt werden, zum Beispiel die Produkt- oder Quotientenregel in Verbindung mit der
Kettenregel. Wir zeigen das Vorgehen anhand von zwei Beispielen.
&
Beispiele
(1)
y ¼
x2
ðx 2
þ 1Þ
3
¼
u
v
Wir benötigen neben der Quotientenregel noch die Kettenregel (für die Ableitung
des Nenners):
y0 ¼
¼
u0v v0u
2 x ðx 2 þ 1Þ 3 3 ðx 2 þ 1Þ 2 2 x x 2
¼
¼
v2
½ ðx 2 þ 1Þ 3 2
ðx 2 þ 1Þ 2 ½ 2 x ðx 2 þ 1Þ 6 x 3 ðx 2 þ 1Þ 6
¼
2x3 þ 2x 6x3
¼
ðx 2 þ 1Þ 4
2x 4x3
ðx 2 þ 1Þ 4
Die Ableitung des Nenners erfolgte dabei mit Hilfe der Kettenregel:
v ¼ ðx 2 þ 1Þ 3 ¼ z 3
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
z
v0 ¼
(2)
mit
z ¼ x2 þ 1
dv
dv dz
¼
¼ 3 z 2 2 x ¼ 3 ðx 2 þ 1Þ 2 2 x
dx
dz dx
Die in Bild IV-4 skizzierte gedämpfte Schwingung eines Feder-Masse-Schwingers
genüge der Gleichung (Weg-Zeit-Gesetz)
y ðtÞ ¼ e t cos ð5 t þ 6Þ ,
t 0
Dabei beschreibt die Größe y ðtÞ die Lage (Auslenkung) der Masse zum Zeitpunkt t.
y
1
y = e –t · cos (5 t + 6)
0,5
2
1
– 0,5
t
Bild IV-4
344
IV Differentialrechnung
Wir interessieren uns für die Geschwindigkeit v ðtÞ ¼ y 0 ðtÞ der Masse (siehe
hierzu auch Fußnote 1). Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhalten wir:
y ðtÞ ¼ e t cos ð5 t þ 6Þ ¼ a b
|{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
a
b
a ¼ et
)
a 0 ¼ e t ð 1Þ ¼ e t
b ¼ cos ð5 t þ 6Þ
)
b 0 ¼ sin ð5 t þ 6Þ 5 ¼ 5 sin ð5 t þ 6Þ
v ðtÞ ¼ y 0 ðtÞ ¼ a 0 b þ b 0 a ¼
¼ e t cos ð5 t þ 6Þ 5 sin ð5 t þ 6Þ e t ¼
¼ e t ½ cos ð5 t þ 6Þ þ 5 sin ð5 t þ 6Þ &
2.7 Logarithmische Ableitung
Bei der Bildung der Ableitung von f ðxÞ ¼ x x , x > 0 ist keine der bisher bekannten
Ableitungsregeln direkt anwendbar, da die Variable x sowohl in der Basis als auch im
Exponenten auftritt 2). Dennoch gelingt die Differentiation dieser Funktion, wenn man
die Funktionsgleichung zunächst logarithmiert und anschließend beide Seiten dieser
Gleichung unter Verwendung von Ketten- und Produktregel differenziert ðSubstitution
auf der linken Seite: u ¼ f ðxÞÞ:
ln f ðxÞ ¼ ln x x ¼ x ln x
|ﬄ{zﬄ}
u
1
f 0 ðxÞ
1
f 0 ðxÞ ¼
¼ 1 ln x þ
x ¼ ln x þ 1
f ðxÞ
f ðxÞ
x
ðIV-37Þ
)
ðIV-38Þ
f 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ ðln x þ 1Þ ¼ x x ðln x þ 1Þ
Man bezeichnet diese Art des Differenzierens als logarithmische Differentiation und die
dabei auftretende Ableitung der Funktion ln f ðxÞ als logarithmische Ableitung von
f ðxÞ, wobei nach der Kettenregel gilt:
d
1
f 0 ðxÞ
½ ln f ðxÞ ¼
f 0 ðxÞ ¼
dx
f ðxÞ
f ðxÞ
2)
Man beachte, dass f ðxÞ ¼ x x weder eine Potenzfunktion noch eine Exponentialfunktion ist.
ðIV-39Þ
2 Ableitungsregeln
345
Wir fassen dieses Ergebnis wie folgt zusammen:
Logarithmische Differentiation
In vielen Fällen, beispielsweise bei Funktionen vom Typ f ðxÞ ¼ ½ u ðxÞ v ðxÞ mit
u ðxÞ > 0, gelingt die Differentiation einer Funktion nach dem folgenden Schema:
1. Logarithmieren der Funktionsgleichung.
2. Differenzieren der logarithmierten Gleichung unter Verwendung der Kettenregel.
&
Beispiele
(1)
y ¼ x sin x
ðx > 0Þ
Die Funktionsgleichung wird zunächst logarithmiert:
ln y ¼ ln x sin x ¼ sin x ln x
Jetzt wird diese Gleichung differenziert, wobei zu beachten ist, dass y eine Funktion
von x ist (Kettenregel anwenden beim Differenzieren der linken Seite, die rechte Seite
wird nach der Produktregel differenziert):
1
y0
1
x cos x ln x þ sin x
y0 ¼
sin x ¼
¼ cos x ln x þ
y
x
x
y
y0 ¼
y ðx cos x ln x þ sin xÞ
x sin x ðx cos x ln x þ sin xÞ
¼
¼
x
x
¼ x ðsin x 1Þ ðx cos x ln x þ sin xÞ
(2)
Wir wollen jetzt die Quotientenregel (IV-28) mit Hilfe der logarithmischen Diffeu
rentiation beweisen. Zunächst wird der Quotient y ¼
logarithmiert:
v
u
u
) ln y ¼ ln
¼ ln u ln v
y ¼
v
v
Beim Differenzieren der logarithmierten Funktion ist zu beachten, dass y, u und
v Funktionen von x sind (Kettenregel anwenden!):
1
1
1
y0 ¼
u0 v0
y
u
v
oder
y0
u0
v0
u0v v0u
¼
¼
uv
y
u
v
Durch Auflösen nach y 0 erhalten wir schließlich die bereits bekannte Quotientenregel:
y0 ¼ y u0 v v0 u
u u0v v0u
u0 v v0 u
¼
¼
uv
v
uv
v2
&
346
IV Differentialrechnung
2.8 Ableitung der Umkehrfunktion
Gegeben sei eine umkehrbare Funktion y ¼ f ðxÞ und ihre Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ.
Wir suchen die Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ f 1 ðxÞ ¼ g ðxÞ. Bei der Lösung
des Problems schlagen wir den folgenden Weg ein:
Zunächst lösen wir die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ nach der Variablen x auf und
erhalten die nach x aufgelöste Funktionsgleichung x ¼ f 1 ðyÞ ¼ g ðyÞ. Zwischen
den Funktionen y ¼ f ðxÞ und x ¼ g ðyÞ besteht dann der folgende Zusammenhang:
f ðxÞ ¼ f ðg ðyÞÞ ¼ y
ðIV-40Þ
Die Funktion f ðg ðyÞÞ ist dabei eine aus den beiden Funktionen f und g zusammengesetzte (verkettete) Funktion, wobei f die äußere und g die innere Funktion ist. Differenziert man die Gleichung f ðg ðyÞÞ ¼ y unter Verwendung der Kettenregel beiderseits
nach der Variablen y, so erhält man:
f 0 ðxÞ g 0 ðyÞ ¼ 1
ðIV-41Þ
Diese Beziehung lösen wir nach g 0 ðyÞ auf:
g 0 ðyÞ ¼
1
f 0 ðxÞ
ð f 0 ðxÞ 6¼ 0 Þ
ðIV-42Þ
Hieraus erhält man die gewünschte Ableitung der Umkehrfunktion, indem man zunächst
in der Ableitung f 0 ðxÞ die Variable x durch g ðyÞ ersetzt ðx ¼ g ðyÞÞ und anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Variablen x und y miteinander vertauscht
(Umbenennung der beiden Variablen).
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
Ableitung der Umkehrfunktion
Eine Funktion y ¼ f ðxÞ sei umkehrbar, x ¼ g ðyÞ die nach der Variablen x aufgelöste Form dieser Funktion. Dann besteht zwischen diesen beiden Funktionen der
folgende Zusammenhang:
g 0 ðyÞ ¼
1
f 0 ðxÞ
ð f 0 ðxÞ 6¼ 0 Þ
ðIV-43Þ
Hieraus erhält man durch die beiden folgenden Schritte die gesuchte Ableitung der
Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ:
1. In der Ableitung f 0 ðxÞ wird zunächst die Variable x durch g ðyÞ ersetzt.
2. Anschließend werden auf beiden Seiten die Variablen x und y miteinander
vertauscht (formale Umbenennung der beiden Variablen).
2 Ableitungsregeln
&
347
Beispiele
(1)
f 0 ðxÞ ¼ e x
Gegeben:
y ¼ f ðxÞ ¼ e x ,
Gesucht:
Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ ¼ ln x
Lösung: Wir lösen zunächst die Funktionsgleichung y ¼ e x nach der Variablen x
auf und erhalten x ¼ g ðyÞ ¼ ln y. Die Ableitung dieser Funktion ist nach Gleichung (IV-43):
g 0 ðyÞ ¼
1
1
1
¼ x ¼
f 0 ðxÞ
e
y
(unter Berücksichtigung von e x ¼ y). Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir hieraus die gesuchte Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ ¼ ln x.
Sie lautet:
g 0 ðxÞ ¼
(2)
Gegeben:
Gesucht:
d
1
ðln xÞ ¼
dx
x
1
¼ tan 2 x þ 1
cos 2 x
Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ ¼ arctan x
y ¼ f ðxÞ ¼ tan x,
f 0 ðxÞ ¼
Lösung: Die nach der Variablen x aufgelöste Form von y ¼ tan x lautet:
x ¼ g ðyÞ ¼ arctan y
Wir bestimmen ihre Ableitung nach Gleichung (IV-43):
g 0 ðyÞ ¼
1
1
1
¼
¼ 2
f 0 ðxÞ
tan 2 x þ 1
y þ1
(unter Berücksichtigung von tan x ¼ y ). Durch Vertauschen der beiden Variablen
erhalten wir die gesuchte Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ ¼ arctan x :
g 0 ðxÞ ¼
d
1
1
ðarctan xÞ ¼ 2
¼
dx
x þ1
1 þ x2
&
2.9 Implizite Differentiation
Wir gehen von einer in der impliziten Form F ðx; yÞ ¼ 0 dargestellten Funktion aus.
Gelingt es, diese Gleichung in eindeutiger Weise nach einer der beiden Variablen aufzulösen, so lässt sich die Ableitung der Funktion mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln meist ohne Schwierigkeiten bilden. Wir geben ein einfaches Beispiel.
348
&
IV Differentialrechnung
Beispiel
Durch Auflösen der Kreisgleichung x 2 þ y 2 ¼ 1 oder F ðx; yÞ ¼ x 2 þ y 2 1 ¼ 0
nach der Variablen y erhalten wir zwei Wurzelfunktionen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
ð 1 x 1Þ
y ¼ þ
1x
Unter Verwendung der Kettenregel (Substitution: u ¼ 1 x 2 ) ergeben sich hieraus
die gesuchten Ableitungen:
pﬃﬃﬃ
mit
u ¼ 1 x2
y ¼ þ
u
y0 ¼
dy
dy du
1
x
x
¼
¼ þ
2 pﬃﬃuﬃ ð 2 xÞ ¼ þ pﬃﬃuﬃ ¼ þ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ2ﬃ
dx
du dx
1x
&
In vielen Fällen jedoch ist die Auflösung der Funktionsgleichung F ðx; yÞ ¼ 0 nicht
möglich oder nur mit großem Aufwand zu erreichen. Die Ableitung der Funktion nach
der Variablen x kann dann durch gliedweise Differentiation der impliziten Funktionsgleichung nach x gewonnen werden. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die Variable y eine von x abhängige Größe darstellt, also als eine von x abhängige Funktion zu betrachten ist. Bei der Differentiation ist daher jeder Term, der die abhängige
Variable y enthält, nach der Kettenregel zu differenzieren. Durch Auflösen dieser Gleidy
chung nach y 0 ¼
erhält man schließlich die gewünschte Ableitung. Diese Art des
dx
Differenzierens wird daher als implizite Differentiation bezeichnet.
Implizite Differentiation
Der Anstieg einer in der impliziten Form F ðx; yÞ ¼ 0 dargestellten Funktionskurve lässt sich schrittweise wie folgt bestimmen:
1. Gliedweise Differentiation der Funktionsgleichung F ðx; yÞ ¼ 0 nach x,
wobei die Variable y als eine Funktion von x anzusehen ist. Jeder Term in
der Funktionsgleichung, der die abhängige Variable y enthält, ist daher unter
Verwendung der Kettenregel zu differenzieren.
dy
2. Auflösung der differenzierten Funktionsgleichung nach y 0 ¼
führt zur
dx
gesuchten Ableitung (Anstieg der Kurventangente).
Anmerkung
dy
enthält meist beide Variable. x und y sind jedoch nicht unabdx
hängig voneinander, sondern über die implizite Funktionsgleichung F ðx; yÞ ¼ 0 miteinander verknüpft.
Die Ableitung y 0 ¼
2 Ableitungsregeln
&
349
Beispiele
(1)
Gegeben ist die in der impliziten Form dargestellte Funktion
F ðx; yÞ ¼ 2 y 3 þ 6 x 3 24 x þ 6 y ¼ 0
Wir berechnen die Steigung der Kurventangente in den Schnittpunkten der Kurve
mit der x-Achse.
Schnittpunkte mit der x-Achse: y ¼ 0
6 x 3 24 x ¼ 0
S 1 ¼ ð0; 0Þ,
)
6 x ðx 2 4Þ ¼ 0
S 2 ¼ ð2; 0Þ,
)
x 1 ¼ 0,
x 2=3 ¼ þ
2
S 3 ¼ ð 2; 0Þ
Implizite Differentiation:
d
d
½ F ðx; yÞ ¼
ð2 y 3 þ 6 x 3 24 x þ 6 yÞ ¼
dx
dx
¼ 6 y 2 y 0 þ 18 x 2 24 þ 6 y 0 ¼ 0
Die Terme 2 y 3 und 6 y wurden dabei nach der Kettenregel differenziert! Wir
lösen die Gleichung jetzt nach y 0 auf und erhalten:
ð6 y 2 þ 6Þ y 0 ¼ 24 18 x 2
y0 ¼
)
24 18 x 2
6 ð4 3 x 2 Þ
4 3x2
¼
¼
6 y2 þ 6
y2 þ 1
6 ðy 2 þ 1Þ
Damit ergeben sich die folgenden Steigungswerte für die Kurventangente in den
drei Schnittpunkten mit der x-Achse:
y 0 ðS 1 Þ ¼ 4,
(2)
y 0 ðS 2 Þ ¼ 8,
y 0 ðS 3 Þ ¼ 8
Wir bestimmen den Anstieg der Kurventangente im Punkt P ¼ ðx; yÞ des Mittelpunktskreises F ðx; yÞ ¼ x 2 þ y 2 25 ¼ 0 durch implizite Differentiation:
d
d
½ F ðx; yÞ ¼
ðx 2 þ y 2 25Þ ¼ 2 x þ 2 y y 0 ¼ 0
dx
dx
2y y0 ¼ 2x
)
y0 ¼ )
x
y
Für den Kreispunkt P 1 ¼ ð3; 4Þ beispielsweise erhalten wir damit den Steigungs&
wert y 0 ðP 1 Þ ¼ 3=4 ¼ 0,75.
350
IV Differentialrechnung
2.10 Differential einer Funktion
Wir betrachten auf dem Graph einer differenzierbaren Funktion y ¼ f ðxÞ einen beliebigen Punkt P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ. Eine nderung des Abszissenwertes um Dx zieht eine nderung des Ordinatenwertes (Funktionswertes) um Dy nach sich und wir gelangen zu
dem ebenfalls auf der Kurve gelegenen Punkt Q (Bild IV-5). P und Q besitzen dabei
die folgenden Koordinaten:
P ¼ ðx 0 ; y 0 ¼ f ðx 0 ÞÞ ,
Q ¼ ðx 0 þ Dx; f ðx 0 þ DxÞÞ
ðIV-44Þ
Für die nderung des Funktionswertes (auch Zuwachs genannt) gilt daher:
Dy ¼ f ðx 0 þ DxÞ f ðx 0 Þ
ðIV-45Þ
Die entsprechenden Koordinatenänderungen auf der in P errichteten Kurventangente
bezeichnen wir als Differentiale:
dx :
Unabhängiges Differential
dy: Abhängiges Differential, auch Differential df von f ðxÞ genannt
y
y = f (x)
Q
Tangente in P
Δy
Q′
dy
P
a
dx = Δ x
y0
x 0 + Δx
x0
x
Bild IV-5 Zum Begriff des Differentials einer Funktion
dy ist die nderung des Ordinatenwertes, wenn man von P aus längs der dortigen
Tangente um dx ¼ Dx in der (positiven) x-Richtung fortschreitet. Dabei wird der
Punkt Q 0 erreicht, der zwar ein Punkt der Tangente, im Allgemeinen jedoch kein Punkt
der Kurve ist. Aus dem in Bild IV-5 eingezeichneten Steigungsdreieck ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang zwischen den beiden Differentialen (a ist der Steigungswinkel der Tangente):
tan a ¼ f 0 ðx 0 Þ ¼
dy
dx
)
dy ¼ f 0 ðx 0 Þ dx
ðIV-46Þ
2 Ableitungsregeln
351
Wir fassen zusammen:
Differential einer Funktion (Bild IV-5)
Das Differential
dy ¼ d f ¼ f 0 ðx 0 Þ dx
ðIV-47Þ
einer Funktion y ¼ f ðxÞ beschreibt den Zuwachs der Ordinate auf der an der
Stelle x 0 errichteten Kurventangente bei einer nderung der Abszisse x um dx.
Anmerkungen
(1)
Man beachte, dass die Koordinatenänderungen auf der Funktionskurve mit Dx
und Dy, die entsprechenden Veränderungen auf der Kurventangente dagegen mit
dx und dy bezeichnet werden, wobei Dx ¼ dx angenommen wird. Die Differenz Dy dy misst dann die Ordinatenabweichung zwischen der Kurve und ihrer
Tangente bei einer nderung des Argumentes x um Dx, ausgehend vom gemeinsamen Tangentenberührungspunkt P (vgl. hierzu Bild IV-5).
(2)
Aus der Beziehung dy ¼ f 0 ðxÞ dx ziehen wir den Schluss, dass die Ableitung
einer Funktion als Quotient zweier Differentiale aufgefasst werden darf:
y 0 ¼ f 0 ðxÞ ¼
dy
Dy
¼ lim
dx
Dx
Dx ! 0
Dies rechtfertigt die in Abschnitt 1.2 eingeführte Bezeichnung „Differentialquotient“
für die Ableitung einer Funktion. Der Differentialquotient liefert somit die Steigung der im Kurvenpunkt P angelegten Tangente, dargestellt als Quotient aus der
Ordinatenänderung dy und der Abszissenänderung dx.
Zum Abschluss wollen wir aus der Gleichung (IV-47) noch eine für die Praxis wichtige
Folgerung ziehen. Für kleine Argumentsänderungen Dx ¼ dx, also kleine nderungen
der Abszisse, gilt näherungsweise:
Dy dy ¼ f 0 ðx 0 Þ dx ¼ f 0 ðx 0 Þ Dx
ðIV-48Þ
Dies aber bedeutet: Die Funktion y ¼ f ðxÞ darf in der unmittelbaren Umgebung des
Punktes P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ näherungsweise durch die dortige Kurventangente, d. h. durch
eine lineare Funktion ersetzt werden. Anwendung findet diese Näherung u. a. bei der
Linearisierung von Funktionen (z. B. von Kennlinien) sowie in der Fehlerrechnung. Beide Probleme werden an anderer Stelle eingehend behandelt (siehe hierzu Abschnitt 3.2
sowie Band 2, Kap. III, Abschnitt 2.5.5).
352
&
IV Differentialrechnung
Beispiel
y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 þ e x 1 ,
Kurvenpunkt P ¼ ð1; 2Þ
Wir groß ist die Ordinatenänderung längs der Kurve bzw. längs der im Kurvenpunkt
P ¼ ð1; 2Þ errichteten Tangente, wenn man (von P aus) in positiver x-Richtung um
Dx ¼ dx ¼ 0,1 fortschreitet?
Lösung:
Zuwachs auf der Kurve:
Dy ¼ f ð1,1Þ f ð1Þ ¼ ð1,1 2 þ e 0,1 Þ 2 ¼ 2,3152 2 ¼ 0,3152
Zuwachs auf der Kurventangente:
f 0 ðxÞ ¼ 2 x þ e x 1
f 0 ð1Þ ¼ 2 þ e 0 ¼ 2 þ 1 ¼ 3
)
dy ¼ f 0 ð1Þ dx ¼ 3 0,1 ¼ 0,3
Die Ordinatenänderungen Dy und dy unterscheiden sich nur geringfügig voneinander
&
(um rund 5 %).
2.11 Höhere Ableitungen
Durch Differenzieren gewinnt man aus einer (differenzierbaren) Funktion y ¼ f ðxÞ die
1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ. Falls auch f 0 ðxÞ eine differenzierbare Funktion darstellt, erhält man aus ihr durch nochmaliges Differenzieren die als 2. Ableitung bezeichnete
Funktion
d
d dy
00
00
0
y ¼ f ðxÞ ¼
ð f ðxÞÞ ¼
ðIV-49Þ
dx
dx dx
Sie ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ. Durch wiederholtes Differenzieren
gelangt man schließlich zu den Ableitungen höherer Ordnung:
000
d
ð f 00 ðxÞÞ
dx
3. Ableitung:
y 000 ¼ f
4. Ableitung:
.
.
.
y ð4Þ ¼ f ð4Þ ðxÞ ¼
ðxÞ ¼
d
ðf
dx
000
ðxÞÞ
d
n-te Ableitung: y ðnÞ ¼ f ðnÞ ðxÞ ¼
ð f ðn 1Þ ðxÞÞ
dx
.
.
.
(gelesen: y n Strich bzw. f n Strich von x). Sie werden der Reihe nach als Ableitungen 1., 2., 3., . . . , n-ter Ordnung usw. bezeichnet.
2 Ableitungsregeln
353
Daneben ist die Schreibweise in Form höherer Differentialquotienten möglich:
y0 ¼
dy
d2 y
d3 y
, y 00 ¼
, y 000 ¼
,
2
dx
dx
dx 3
. . . , y ðnÞ ¼
dn y
,
dx n
...
ðIV-50Þ
dn y
ist dabei der Differentialquotient n-ter Ordnung (gelesen: d n y nach d x hoch n).
dx n
&
Beispiele
(1)
Die e-Funktion y ¼ e x ist beliebig oft differenzierbar. Alle Ableitungen sind dabei gleich und ergeben wiederum die e-Funktion:
y 0 ¼ y 00 ¼ y 000 ¼ . . . ¼ y ðnÞ ¼ . . . ¼ e x
(2)
y ¼ 4 x 3 þ x cos x
Die ersten drei Ableitungen dieser Funktion lauten ( jeweils unter Verwendung der
Produktregel ):
y0 ¼
d
ð4 x 3 þ x cos xÞ ¼ 12 x 2 þ cos x x sin x
dx
y 00 ¼
d
ð12 x 2 þ cos x x sin xÞ ¼
dx
¼ 24 x sin x sin x x cos x ¼ 24 x 2 sin x x cos x
y 000 ¼
d
ð24 x 2 sin x x cos xÞ ¼
dx
¼ 24 2 cos x cos x þ x sin x ¼ 24 3 cos x þ x sin x
(3)
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel bilden wir die ersten beiden Ableitungen
der Funktion y ¼ e x sin ð2 xÞ:
y 0 ¼ e x sin ð2 xÞ þ 2 cos ð2 xÞ e x ¼
¼ e x ½ sin ð2 xÞ þ 2 cos ð2 xÞ y 00 ¼ e x ½ sin ð2 xÞ þ 2 cos ð2 xÞ þ
þ ½ 2 cos ð2 xÞ 4 sin ð2 xÞ e x ¼
¼ e x ½ sin ð2 xÞ þ 2 cos ð2 xÞ þ 2 cos ð2 xÞ þ 4 sin ð2 xÞ ¼
¼ e x ½ 3 sin ð2 xÞ þ 4 cos ð2 xÞ &
354
IV Differentialrechnung
2.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion
(Kurve)
Wir gehen von einer in der Parameterform
x ¼ x ðtÞ ,
y ¼ y ðtÞ
ða t bÞ
ðIV-51Þ
gegebenen Funktion bzw. Kurve aus und interessieren uns für den Anstieg der Kurventangente in dem zum Parameterwert t gehörenden Kurvenpunkt P ¼ ðx ðtÞ; y ðtÞÞ
(Bild IV-6).
y
Tangente in P
P
y (t)
x (t)
x
Bild IV-6
Dabei soll zunächst vorausgesetzt werden, dass es durch Elimination des Parameters t
möglich ist, die Gleichung der Funktionskurve in der expliziten Form y ¼ f ðxÞ darzustellen. y ist dann eine Funktion von x, wobei x wiederum vom Parameter t abhängt, d. h. y kann als eine mittelbare oder verkettete Funktion von t aufgefasst werden: y ¼ f ðx ðtÞÞ. Nach der Kettenregel gilt dann (zunächst wird y nach x
differenziert, dann x weiter nach t):
dy
dy dx
¼
dt
dx dt
oder
y_ ¼ y 0 x_
ðIV-52Þ
Die Ableitungen nach dem Parameter t werden dabei üblicherweise durch Punkte
ðx_, y_Þ, die Ableitungen nach der Variablen x weiterhin durch Striche gekennzeichnet.
Durch Auflösen der Gleichung (IV-52) nach y 0 erhalten wir die wichtige Beziehung
y0 ¼
y_
x_
ð x_ 6¼ 0Þ
ðIV-53Þ
die auch dann ihre Gültigkeit unverändert beibehält, wenn eine explizite Darstellung der
in der Parameterform (IV-51) gegebenen Funktion nicht möglich ist.
2 Ableitungsregeln
355
Ableitung einer in der Parameterform gegebenen Funktion (Kurve; Bild IV-6)
Die Ableitung einer Funktion bzw. Kurve mit der Parameterdarstellung
x ¼ x ðtÞ,
y ¼ y ðtÞ
ða t bÞ
ðIV-54Þ
kann aus den Ableitungen der beiden Parametergleichungen wie folgt bestimmt
werden:
y0 ¼
dy
y_
¼
dx
x_
ð x_ 6¼ 0Þ
ðIV-55Þ
Anmerkungen
&
dy
ist eine Funktion des Parameters t.
dx
(1)
Die Ableitung y 0 ¼
(2)
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen bedeutet der Parameter t
häufig die Zeit oder einen Winkel.
Beispiele
(1)
Die Parameterdarstellung eines Mittelpunktskreises mit dem Radius r ¼ 5 lautet:
x ðtÞ ¼ 5 cos t ,
y ðtÞ ¼ 5 sin t
ð0 t < 2 pÞ
(t: Winkelparameter; siehe Bild IV-7).
y
P
5
y
t
x
a
x
Bild IV-7
Zur Parameterdarstellung eines
Mittelpunktskreises vom Radius
r ¼ 5
Wir bestimmen Steigung m und Steigungswinkel a der Kreistangente im zum
Parameterwert t 0 ¼ p=4 gehörenden Kurvenpunkt P 0 ¼ ðx 0 ; y 0 Þ, dessen rechtwinklige Koordinaten wie folgt lauten:
)
x 0 ¼ 5 cos ðp=4Þ ¼ 3,54
) P 0 ¼ ð3,54; 3,54Þ
y 0 ¼ 5 sin ðp=4Þ ¼ 3,54
356
IV Differentialrechnung
Für den Anstieg der Kreistangente erhält man nach Gleichung (IV-55):
y0 ¼
y_
5 cos t
cos t
¼ ¼ cot t
¼
5 sin t
sin t
x_
m ¼ y 0 ðP 0 Þ ¼ y 0 ðt 0 ¼ p=4Þ ¼ cot ðp=4Þ ¼ 1
m ¼ tan a ¼ 1
)
a ¼ 180 þ arctan ð 1Þ ¼ 180 45 ¼ 135
Die in P 0 ¼ ð3,54; 3,54Þ errichtete Kurventangente besitzt demnach die Steigung m ¼ 1 und den Steigungswinkel a ¼ 135 .
(2)
Ein Punkt eines Kreises, der auf einer Geraden abrollt, beschreibt eine als Rollkurve oder (gewöhnliche) Zykloide bezeichnete periodische Bahnkurve (Bild IV-8).
Sie ist in der Parameterform
x ðtÞ ¼ R ðt sin tÞ ,
y ðtÞ ¼ R ð1 cos tÞ
ðt 0Þ
darstellbar (t: Parameter ¼ Wälzwinkel; R: Radius des Kreises). Nach einer vollen Umdrehung wiederholen sich die Ordinatenwerte, wobei sich der Abszissenwert um 2 p R vergrößert hat (entspricht dem Umfang des Kreises, der in der
positiven x-Richtung diese Strecke zurückgelegt hat).
y
P1
P2
2R
pR
2 pR
3 pR
4 pR
x
Bild IV-8 Gewöhnliche Zykloide (Rollkurve)
Wir wollen nun zeigen, dass die Zykloide für die Parameterwerte t 1 ¼ p,
t 2 ¼ 3 p, t 3 ¼ 5 p, . . . , d. h. t n ¼ ð2 n 1Þ p mit n 2 N* waagerechte
Tangenten besitzt. Mit den Ableitungen
x_ ¼ R ð1 cos tÞ ,
y_ ¼ R ð0 þ sin tÞ ¼ R sin t
erhalten wir für den Kurvenanstieg y 0 nach Gleichung (IV-55) die Beziehung
y0 ¼
y_
R sin t
sin t
¼
¼
R ð1 cos tÞ
1 cos t
x_
Für t ¼ t n verlaufen die Tangenten waagerecht:
y 0 ðt n Þ ¼
sin t n
sin ð2 n 1Þ p
sin p
0
¼
¼
¼ 0
¼
1 cos ð2 n 1Þ p
1 cos p
2
1 cos t n
2 Ableitungsregeln
357
Den Parameterwerten t n entsprechen dabei der Reihe nach die Kurvenpunkte
t1 ¼ p:
P 1 ¼ ðp R; 2 RÞ
t2 ¼ 3 p:
P 2 ¼ ð3 p R; 2 RÞ
t3 ¼ 5 p:
P 3 ¼ ð5 p R; 2 RÞ
usw:,
die im regelmäßigen Abstand von jeweils einer Periodendauer 2 p R aufeinander
folgen (vgl. hierzu Bild IV-8).
&
2.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve
r ¼ r ðjÞ mit a j b sei die Gleichung einer in Polarkoordinaten dargestellten
Kurve. Wir bringen diese Gleichung zunächst in die Parameterform. Bekanntlich bestehen zwischen den kartesischen Koordinaten x, y und den Polarkoordinaten r, j die
Transformationsgleichungen x ¼ r cos j und y ¼ r sin j. Setzt man nun in diese
Gleichungen für die Abstandskoordinate r die Kurvengleichung r ðjÞ ein, so erhält
man die gewünschte Parameterdarstellung der Kurve r ¼ r ðjÞ in der Form
x ¼ x ðjÞ ¼ r ðjÞ cos j ,
y ¼ y ðjÞ ¼ r ðjÞ sin j
ðIV-56Þ
mit der Winkelkoordinate j als Parameter (Bild IV-9).
y
P
Tangente in P
r ( f)
y ( f)
f
x ( f)
Bild IV-9
x
Die Ableitungen dieser Parametergleichungen nach dem Winkelparameter j führen mit
Hilfe der Produktregel zu den folgenden Gleichungen:
x_ ¼ r_ ðjÞ cos j r ðjÞ sin j
y_ ¼ r_ ðjÞ sin j þ r ðjÞ cos j
ðIV-57Þ
Mit diesen Beziehungen erhalten wir für den Anstieg der Kurventangente nach Gleichung
(IV-55):
y0 ¼
y_
r_ ðjÞ sin j þ r ðjÞ cos j
¼
x_
r_ ðjÞ cos j r ðjÞ sin j
ðIV-58Þ
358
IV Differentialrechnung
Wir fassen dieses Ergebnis zusammen:
Anstieg einer in Polarkoordinaten gegebenen Kurve (Bild IV-9)
Eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve r ¼ r ðjÞ mit a j b lässt sich
auch in der Parameterform
x ¼ r ðjÞ cos j ,
y ¼ r ðjÞ sin j
ðIV-59Þ
mit dem Winkel j als Parameter darstellen. Der Anstieg der Kurve, d. h. die Steigung der Kurventangente kann dann nach der Formel
y0 ¼
y_
r_ ðjÞ sin j þ r ðjÞ cos j
¼
x_
r_ ðjÞ cos j r ðjÞ sin j
ðIV-60Þ
berechnet werden.
Anmerkung
Die Ableitung y 0 ¼
&
dy
ist eine Funktion der Winkelkoordinate j.
dx
Beispiel
Wir untersuchen die als Kardioide oder Herzkurve bezeichnete Kurve mit der Gleichung
r ðjÞ ¼ 1 þ cos j
ð0 j < 2 pÞ
auf Stellen mit waagerechter bzw. senkrechter Tangente. Aus der Parameterdarstellung
x ðjÞ ¼ r ðjÞ cos j ¼ ð1 þ cos jÞ cos j ¼ cos j þ cos 2 j
y ðjÞ ¼ r ðjÞ sin j ¼ ð1 þ cos jÞ sin j ¼ sin j þ sin j cos j
erhalten wir durch Differentiation nach dem Winkelparameter j die benötigten Ableitungen x_ und y_. Sie lauten (unter Verwendung von Ketten- und Produktregel):
x_ ¼ sin j þ 2 cos j ð sin jÞ ¼ sin j ð1 þ 2 cos jÞ
y_ ¼ cos j þ cos j cos j sin j sin j ¼ cos j þ cos 2 j sin 2 j ¼
¼ cos j þ cos 2 j ð1 cos 2 jÞ ¼ cos j þ cos 2 j 1 þ cos 2 j ¼
¼ 2 cos 2 j þ cos j 1
(unter Berücksichtigung der Beziehung sin 2 j þ cos 2 j ¼ 1).
2 Ableitungsregeln
359
Der Anstieg der Kurve beträgt daher nach Gleichung (IV-60)
y_
2 cos 2 j þ cos j 1
¼
sin j ð1 þ 2 cos jÞ
x_
y0 ¼
Kurvenpunkte mit einer waagerechten Tangente
In einem solchen Punkt ist y 0 ¼ 0 d. h. y_ ¼ 0 und x_ 6¼ 0:
y_ ¼ 0
)
2 cos 2 j þ cos j 1 ¼ 0
Diese Gleichung lösen wir durch die Substitution u ¼ cos j:
2 u2 þ u 1 ¼ 0
)
u 1 ¼ 0,5 ,
u2 ¼ 1
Rücksubstitution führt zu zwei trigonometrischen Gleichungen, deren im Intervall
0 j < 2 p gelegene Lösungen wir mit Hilfe von Bild IV-10 wie folgt bestimmen:
cos j ¼ u 1 ¼ 0,5
)
j1 ¼ arccos 0,5 ¼ p=3 ;
j2 ¼ 2 p j1 ¼ 2 p p=3 ¼
cos j ¼ u 2 ¼ 1
)
5
p
3
j3 ¼ arccos ð 1Þ ¼ p
y
1
y = cos f
y = 0,5
0,5
f3
2p
f1
f
f2
–1
Bild IV-10 Lösungen der Gleichung cos j ¼ 0,5 im Intervall 0 j < 2 p
x_ ist sowohl für j1 ¼ p=3 als auch für j2 ¼ 5 p=3 von Null verschieden. An diesen
Stellen hat die Kardioide daher waagerechte Tangenten. Für j3 ¼ p dagegen wird
auch x_ gleich Null: x_ ðpÞ ¼ 0. Die Ableitung y 0 ist daher an dieser Stelle zunächst
unbestimmt:
y 0 ðpÞ ¼
y_ ðpÞ
0
¼
0
x_ ðpÞ
(sog. unbestimmter Ausdruck)
360
IV Differentialrechnung
Eine Grenzwertbetrachtung, auf die wir an dieser Stelle nicht näher eingehen können,
zeigt jedoch, dass die Kardioide auch für j3 ¼ p eine waagerechte Tangente besitzt 3).
Damit gibt es insgesamt drei Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sie lauten der
Reihe nach (siehe hierzu auch Bild IV-12):
j1 ¼
p
:
3
A 1 ¼ ð0,75; 1,299Þ
j2 ¼
5
p:
3
A 2 ¼ ð0,75; 1,299Þ
j3 ¼ p :
A 3 ¼ ð0; 0Þ
Kurvenpunkte mit einer senkrechten Tangente
In diesen Punkten ist der Anstieg y 0 ¼ 1 , d. h. x_ ¼ 0 und y_ 6¼ 0:
x_ ¼ 0
)
sin j ¼ 0
sin j ð2 cos j þ 1Þ ¼ 0 2 cos j þ 1 ¼ 0
Wir lösen zunächst die untere Gleichung 2 cos j þ 1 ¼ 0 oder cos j ¼ 0,5
(siehe hierzu Bild IV-11):
cos j ¼ 0,5
) j1 ¼ arccos ð 0,5Þ ¼
2
p;
3
j2 ¼ 2 p j1 ¼ 2 p 2
4
p ¼
p
3
3
y
1
y = cos f
2p
f
– 0,5
y = – 0,5
–1
f1
f2
Bild IV-11 Lösungen der Gleichung 2 cos j þ 1 ¼ 0 im Intervall 0 j < 2 p
3)
0
lässt sich mit Hilfe der Grenzwertregel von Bernoulli und de
0
L’Hospital berechnen und führt zu dem Wert 0 (siehe hierzu Beispiel (5) in Kap. VI, Abschnitt 3.3.3).
Der zunächst unbestimmte Ausdruck
2 Ableitungsregeln
361
Die 2. Gleichung sin j ¼ 0 besitzt im Intervall 0 j < 2 p die beiden Lösungen
j3 ¼ 0 und j4 ¼ p (Nullstellen der Sinusfunktion im halboffenen Intervall
0 j < 2 pÞ. Für j4 ¼ p tritt der bereits bei der Bestimmung der waagerechten
Tangenten diskutierte Sonderfall ein. An dieser Stelle liegt keine senkrechte, sondern
eine waagerechte Tangente, wie wir inzwischen wissen (Bild IV-12). Senkrechte Tangenten besitzt die Kardioide demnach in den folgenden drei Punkten:
j1 ¼
2
p:
3
B 1 ¼ ð 0,25; 0,433Þ
j2 ¼
4
p:
3
B 2 ¼ ð 0,25; 0,433Þ
j3 ¼ 0 :
B 3 ¼ ð2; 0Þ
Bild IV-12 zeigt den Verlauf der Kardioide mit ihren waagerechten und senkrechten Tangenten.
y
A1
r = 1 + cos f
1
B1
B3
–1
A3
1
2
x
B2
Bild IV-12
Kardioide mit ihren
waagerechten und
senkrechten Tangenten
–1
A2
&
2.14 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung)
Momentangeschwindigkeit eines Massenpunktes
Ein Massenpunkt bewege sich längs einer Geraden nach dem Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ.
Zur Zeit t befinde er sich an der Wegmarke s ðtÞ, in dem darauf folgenden Zeitintervall Dt lege er den Weg Ds zurück. Er erreicht somit zur Zeit t þ Dt die Wegmarke
s ðt þ DtÞ ¼ s ðtÞ þ Ds (siehe Bild IV-13):
t
Δt
t + Δt
s (t)
Δs
s (t + Δ t)
Bild IV-13 Zum Begriff der Momentangeschwindigkeit
362
IV Differentialrechnung
Seine durchschnittliche Geschwindigkeit v in diesem Zeitraum beträgt dann definitionsgemäß
v ¼
Ds
s ðt þ DtÞ s ðtÞ
¼
Dt
Dt
ðIV-61Þ
Die zur Zeit t erreichte sog. Momentangeschwindigkeit erhält man aus dieser Gleichung
für ein genügend kleines Zeitintervall Dt, d. h. für den Grenzübergang Dt ! 0:
Ds
s ðt þ DtÞ s ðtÞ
¼ lim
¼ s_
Dt
Dt
Dt ! 0
v ¼ lim
Dt ! 0
ðIV-62Þ
Die Momentangeschwindigkeit ist somit die 1. Ableitung des Weges nach der Zeit:
v ¼ s_ ¼
ds
dt
ðIV-63Þ
Momentanbeschleunigung eines Massenpunktes
Die Beschleunigung einer Bewegung misst die Geschwindigkeitsänderung Dv in dem
Zeitintervall Dt. Der Massenpunkt besitzt zur Zeit t die Geschwindigkeit v ðtÞ und
zum Zeitpunkt t þ Dt die Geschwindigkeit v ðt þ DtÞ (siehe Bild IV-14):
t
Δt
t + Δt
v (t)
Δv
v (t + Δ t)
Bild IV-14 Zum Begriff der Momentanbeschleunigung
Die durchschnittliche Beschleunigung a zwischen den Zeitmarken t und t þ Dt beträgt
dann definitionsgemäß
a ¼
Dv
v ðt þ DtÞ v ðtÞ
¼
Dt
Dt
ðIV-64Þ
Für Dt ! 0 , d. h. für ein genügend kleines Zeitintervall Dt, erhalten wir hieraus die
Momentanbeschleunigung a:
a ¼ lim
Dt ! 0
Dv
v ðt þ DtÞ v ðtÞ
¼ lim
¼ v_
Dt
Dt
Dt ! 0
ðIV-65Þ
Die Momentanbeschleunigung ist daher die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der
Zeit und damit zugleich die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit:
a ¼ v_ ¼
dv
¼ __
s
dt
ðIV-66Þ
2 Ableitungsregeln
363
Wir fassen diese wichtigen Ergebnisse zusammen:
Bestimmung von Geschwindigkeit und Beschleunigung aus der Weg-Zeit-Funktion
Geschwindigkeit v und Beschleunigung a erhält man als 1. bzw. 2. Ableitung der
Weg-Zeit-Funktion s ¼ s ðtÞ nach der Zeit t:
v ðtÞ ¼
&
ds
¼ s_ ðtÞ
dt
a ðtÞ ¼
und
dv
¼ v_ ðtÞ ¼ __
s ðtÞ
dt
ðIV-67Þ
Beispiele
(1)
Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) lautet wie folgt:
s ðtÞ ¼
1
gt2
2
ðt 0; g : ErdbeschleunigungÞ
Geschwindigkeit und Beschleunigung erhält man hieraus durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren nach der Zeit t:
v ðtÞ ¼ s_ ¼
(2)
1
g 2t ¼ gt
2
und
a ðtÞ ¼ v_ ¼ __
s ¼ g1 ¼ g
Die harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) lässt
sich durch das Weg-Zeit-Gesetz
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðt 0Þ
beschreiben. Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir hieraus durch einbzw. zweimaliges Differenzieren nach der Zeit t Geschwindigkeit v und Beschleunigung a:
v ðtÞ ¼ y_ ¼ A w cos ðw t þ jÞ
a ðtÞ ¼ v_ ¼ __
y ¼ A w 2 sin ðw t þ jÞ ¼
¼ w 2 A sin ðw t þ jÞ ¼ w 2 y
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
y
Die Rückstellkraft der Feder ist F ¼ m a ¼ m w 2 y und damit eine der Auslenkung y proportionale Größe (Hookesches Gesetz F ¼ c y). Die Federkonstante c genügt daher der Gleichung c ¼ m w 2 , aus der man für die Kreisfrequenz w und die Schwingungsdauer T die folgenden Beziehungen gewinnt:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
c
2p
m
w ¼
und
T ¼
¼ 2p m
w
c
364
(3)
IV Differentialrechnung
Ein Feder-Masse-Schwinger ist so stark gedämpft, dass gerade der aperiodische
Grenzfall eintritt (bergang vom Schwingungsfall zum aperiodischen Verhalten).
Das Weg-Zeit-Gesetz lautet dann wie folgt (siehe hierzu Bild IV-15):
y ¼ y ðtÞ ¼ ðA þ B tÞ e d t
ðt 0Þ
( y: Auslenkung; t: Zeit; d > 0: Dämpfungsfaktor; A, B: von den Anfangsbedingungen abhängige Konstanten). Wir bestimmen Geschwindigkeit v und Beschleunigung a als Funktionen der Zeit (jeweils mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ):
v ¼ y_ ðtÞ ¼ B e dt d e dt ðA þ B tÞ ¼ ðB dA dB tÞ e dt
a ¼ v_ ¼ __
y ðtÞ ¼ dB e dt d e dt ðB dA dB tÞ ¼
¼ d e d t ðB þ B d A d B tÞ ¼ d ðdA 2 B þ dB tÞ e dt
y
y = (A + Bt ) · e – dt
A
Bild IV-15
t
&
2.14.2 Induktionsgesetz
Das Induktionsgesetz der Physik lautet: Ein zeitlich veränderlicher Induktionsfluss F
erzeugt in einem elektrischen Leiter eine im Allgemeinen zeitabhängige Spannung u
nach der Gleichung
u ¼ n
dF
¼ n F_
dt
ðIV-68Þ
Die Induktionsspannung ist also der Ableitung des Induktionsflusses F nach der Zeit t
direkt proportional (n: Anzahl der Windungen). Wir wenden jetzt dieses Gesetz auf eine
in einem konstanten Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B mit der Winkelgeschwindigkeit w rotierende Spule an (Bild IV-16):
B
vt
vt
A
A: Querschnittsfläche der Spule
(senkrecht zur Papierebene)
A s : Wirksame Querschnittsfläche der
Spule (senkrecht zum Magnetfeld)
As
F: Induktionsfluss ðF ¼ B A s Þ
B
Bild IV-16 Zum Induktionsgesetz
2 Ableitungsregeln
365
Nach t Sekunden hat sich die Spule um den Winkel w t aus der Anfangsstellung (senkrecht zu den Feldlinien) herausgedreht. Die wirksame Spulenfläche A s beträgt dann
A s ¼ A cos ðw tÞ, wie man dem Bild IV-16 entnehmen kann. Nach dem Induktionsgesetz (IV-68) erhält man die folgende sinusförmige Wechselspannung:
u ¼ n
dF
d
d
¼ n
ðB A s Þ ¼ n
ðB A cos ðw tÞÞ ¼
dt
dt
dt
¼ nBA
d
ðcos ðw tÞÞ ¼ n B A w sin ðw tÞ ¼ u 0 sin ðw tÞ
dt
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
u0
ðIV-69Þ
u 0 ¼ n B A w ist der Scheitelwert der in Bild IV-17 dargestellten Induktionsspannung.
u
u = u 0 · sin ( v t)
u0
T=
2p
v
t
– u0
Bild IV-17 Induzierte sinusförmige Wechselspannung
2.14.3 Elektrischer Schwingkreis
Wir betrachten einen aus Kondensator (Kapazität C) und Spule (Induktivität L) bestehenden elektrischen Schwingkreis (Bild IV-18). Führen wir dem Kondensator zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch kurzzeitiges Aufladen auf die Spannung u 0 elektrische Feldenergie
zu, so entstehen in diesem Kreis ungedämpfte elektrische Schwingungen (der ohmsche
Widerstand sei vernachlässigbar klein): Spannung, Strom, elektrisches
und
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ magnetisches
Feld ändern sich periodisch mit der Schwingungsdauer T ¼ 2 p L C (Thomsonsche
Schwingungsgleichung).
C
Bild IV-18 Elektrischer Schwingkreis (LC-Kreis)
L
Die am Kondensator liegende Spannung beträgt dann in Abhängigkeit von der Zeit t 0:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
u ¼ u 0 cos ðw tÞ
ðw ¼ 2 p=T ¼ 1= L C Þ
ðIV-70Þ
366
IV Differentialrechnung
Für die auf den Kondensatorplatten befindliche Ladung gilt
q ¼ C u ¼ C u 0 cos ðw tÞ ¼ q 0 cos ðw tÞ
ðq 0 ¼ C u 0 Þ
ðIV-71Þ
In dem Schwingkreis fließt somit der folgende sinusförmige Wechselstrom:
i ¼ dq
d
¼ ½ q 0 cos ðw tÞ ¼ q 0 w sin ðw tÞ ¼ i 0 sin ðw tÞ
dt
dt
ðIV-72Þ
Dabei ist i 0 ¼ q 0 w ¼ C u 0 w der Scheitelwert des Wechselstromes.
3 Anwendungen der Differentialrechnung
3.1 Tangente und Normale
P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ sei ein Punkt auf der Kurve mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ. Der Anstieg
der Kurventangente in P ist dann m t ¼ f 0 ðx 0 Þ. Die Tangentengleichung lautet damit
in der Punkt-Steigungs-Form (III-43) wie folgt:
y y0
¼ f 0 ðx 0 Þ
x x0
ð y 0 ¼ f ðx 0 ÞÞ
ðIV-73Þ
y
y = f (x)
Tangente
P
y0
Bild IV-19
Tangente und Normale im Kurvenpunkt P
Normale
x0
x
Die Normale im Kurvenpunkt P ist eine Gerade, die senkrecht zur Kurventangente verläuft (Bild IV-19). Ihre Steigung m n ist daher das negativ Reziproke der Tangentensteigung m t :
mn ¼ 1
1
¼ 0
mt
f ðx 0 Þ
ðIV-74Þ
Die Gleichung der Normale lässt sich somit in der Punkt-Steigungs-Form
y y0
1
¼ 0
f ðx 0 Þ
x x0
darstellen.
ð f 0 ðx 0 Þ 6¼ 0Þ
ðIV-75Þ
3 Anwendung der Differentialrechnung
367
Wir fassen zusammen:
Tangenten- und Normalengleichung (Bild IV-19)
Tangente und Normale besitzen im Punkt P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ der Kurve y ¼ f ðxÞ die
folgenden Gleichungen:
&
Tangente:
y y0
¼ f 0 ðx 0 Þ
x x0
Normale:
y y0
1
¼ 0
f ðx 0 Þ
x x0
(IV-76)
ð f 0 ðx 0 Þ 6¼ 0Þ
(IV-77)
Beispiel
Wie lauten die Gleichungen der Tangente und Normale im Schnittpunkt der Parabel
y ¼ x 2 2 x þ 1 mit der y-Achse (Bild IV-20)?
Lösung:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Tangentensteigung:
P ¼ ð0; 1Þ
y0 ¼ 2x 2
Tangente:
y1
¼ 2
x 0
Normale:
y1
1
¼
x 0
2
)
)
)
m t ¼ y 0 ð0Þ ¼ 2
y 1 ¼ 2x
y1 ¼
1
x
2
)
)
y ¼ 2x þ 1
y ¼
1
x þ1
2
y
Tangente
Normale
1
–1
y = x 2 – 2 x +1
P
1
x
Bild IV-20 Parabel y ¼ x 2 2 x þ 1 mit Tangente und Normale im Kurvenpunkt P ¼ ð0; 1Þ
&
368
IV Differentialrechnung
3.2 Linearisierung einer Funktion
Eine nichtlineare Funktion y ¼ f ðxÞ lässt sich in der Umgebung eines Kurvenpunktes
P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ näherungsweise durch die dortige Tangente, d. h. durch eine lineare
Funktion ersetzen (Bild IV-21). Diesen Vorgang bezeichnet man als Linearisierung einer
Funktion. Die Funktionsgleichung der in P errichteten Tangente lautet nach Gleichung
(IV-76):
y y0
¼ f 0 ðx 0 Þ
x x0
ðIV-78Þ
Wir können diese Gleichung aber auch in der Form
y y 0 ¼ f 0 ðx 0 Þ ðx x 0 Þ
oder
Dy ¼ f 0 ðx 0 Þ Dx
ðIV-79Þ
mit x x 0 ¼ Dx und y y 0 ¼ Dy darstellen. Sie liefert in der unmittelbaren Umgebung des Kurvenpunktes P, der in den technischen Anwendungen meist als „ Arbeitspunkt“ bezeichnet wird, eine brauchbare lineare Näherung für den tatsächlichen Funktionsverlauf.
y
y = f (x)
P
y0
Linearisierte Funktion
(Tangente)
x0
x
Bild IV-21 Zur Linearisierung einer Funktion y ¼ f ðxÞ in der Umgebung des „Arbeitspunktes“
P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ
Wir fassen zusammen:
Linearisierung einer Funktion (Bild IV-21)
In der Umgebung des Kurvenpunktes („ Arbeitspunktes“) P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ kann die
nichtlineare Funktion y ¼ f ðxÞ näherungsweise durch die lineare Funktion (Kurventangente)
y y 0 ¼ f 0 ðx 0 Þ ðx x 0 Þ
oder
Dy ¼ f 0 ðx 0 Þ Dx
ersetzt werden. Dabei bedeuten:
Dx, Dy: Relativkoordinaten, bezogen auf den Arbeitspunkt P
ðIV-80Þ
3 Anwendung der Differentialrechnung
369
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere in der Automation
und Regelungstechnik) interessieren häufig nur die Abweichungen der Größen (Koordinaten) vom Arbeitspunkt P. Man führt dann zunächst durch Parallelverschiebung ein
neues u, v-Koordinatensystem mit dem Arbeitspunkt P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ als Koordinatenursprung ein (Bild IV-22).
y
v
y = f (x)
v = mu
P
Bild IV-22
u
y0
x
x0
Zwischen dem „alten“ x, y-System und dem „ neuen“ u, v-System bestehen dabei folgende
Transformationsgleichungen:
u ¼ x x0 ,
v ¼ y y0
ðIV-81Þ
Die linearisierte Funktion (IV-80) besitzt dann im neuen u, v-System die besonders einfache Funktionsgleichung
v ¼ mu
ðmit m ¼ f 0 ðx 0 ÞÞ
ðIV-82Þ
Die Koordinaten u und v sind die Abweichungen gegenüber dem Arbeitspunkt P
(Koordinatenursprung), also Relativkoordinaten.
&
Beispiele
(1)
Die e-Funktion y ¼ e x soll in der Umgebung der Stelle x 0 ¼ 0 durch eine
lineare Funktion angenähert werden (Bild IV-23).
Lösung:
Tangentenberührungspunkt:
Tangentensteigung:
Tangente:
y 0 ¼ ex
y1
¼ 1
x 0
)
P ¼ ð0; 1Þ
)
m t ¼ y 0 ð0Þ ¼ e 0 ¼ 1
y1 ¼ x
)
y ¼ x þ1
370
IV Differentialrechnung
y
y = ex
Tangente in P
1
–1
Bild IV-23
Zur Linearisierung
der e-Funktion
in der Umgebung des
Punktes P ¼ ð0; 1Þ
P
1
x
In der unmittelbaren Umgebung der Stelle x 0 ¼ 0 kann somit die e-Funktion
näherungsweise durch die lineare Funktion y ¼ x þ 1 ersetzt werden:
y ¼ ex x þ 1
ðf ür j x j 1Þ
Mit dieser Näherungsfunktion berechnen wir einige Funktionswerte und vergleichen sie mit den exakten Werten:
x
0,01
0,05
0,1
0,2
Näherungswert y ¼ x þ 1
1,010 000 1,050 000 1,100 000 1,200 000
Exakter Wert y ¼ e x
1,010 050 1,051 271 1,105 171 1,221 403
Folgerung: Die Näherung ist erwartungsgemäß um so besser, je weniger wir uns
vom „Entwicklungszentrum“ x 0 ¼ 0 entfernen.
(2)
Die Schwingungsdauer T einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung
wird nach der Thomsonschen Formel
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
T ¼ 2p LC
berechnet (L: Eigeninduktivität; C: Kapazität). Für die Werte L ¼ 0,1 H und
C ¼ 10 mF ¼ 10 5 F beispielsweise erhält man:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
T ¼ 2 p 0,1 H 10 5 F ¼ 6,28 10 3 s ¼ 6,28 ms
Eine geringfügige nderung der Kapazität C um DC zieht bei unveränderter Induktivität eine geringfügige nderung der Schwingungsdauer T um DT nach
sich, wobei näherungsweise der folgende lineare Zusammenhang gilt (wir ersetzen
die Kurve durch ihre Tangente):
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ
DT
dT
d
d
¼
ð2 p L C Þ ¼
ð2 p L C Þ ¼
DC
dC
dC
dC
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ 1
pﬃﬃﬃﬃﬃ d pﬃﬃﬃﬃﬃ
L
p
ﬃﬃﬃﬃﬃ
ð CÞ ¼ 2p L
¼ p
¼ 2p L
dC
C
2 C
3 Anwendung der Differentialrechnung
371
Eine Zunahme der Kapazität um beispielsweise DC ¼ 0,2 mF ¼ 2 10 7 F bewirkt eine Erhöhung der Schwingungsdauer um
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
L
0,1 H
DC ¼ p
2 10 7 F ¼ 0,06 ms
DT p
C
10 5 F
Die Schwingungsdauer beträgt somit bei einer Kapazität von C ¼ 10,2 mF näherungsweise T ¼ 6,34 ms. Der exakte Wert ist T ¼ 6,35 ms.
&
3.3 Monotonie und Krümmung einer Kurve
3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen
Das Verhalten einer (zweimal differenzierbaren) Funktion y ¼ f ðxÞ in der Umgebung
eines Kurvenpunktes P ¼ ðx 0 ; y 0 Þ wird im Wesentlichen durch die ersten beiden Ableitungen y 0 und y 00 bestimmt.
Geometrische Deutung der 1. Ableitung
Die 1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ gibt die Steigung der Kurventangente an und gestattet daher
auch Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion an der betreffenden Stelle:
f 0 ðx0 Þ > 0: Die Funktionskurve wächst streng monoton beim Durchgang durch
den Kurvenpunkt P (Bild IV-24).
f 0 ðx0 Þ < 0: Die Funktionskurve fällt streng monoton beim Durchgang durch den
Kurvenpunkt P (Bild IV-25).
Dabei wird die Kurve stets in Richtung zunehmender x-Werte durchlaufen.
y
y
y = f (x)
f ′ (x 0 ) < 0
P
Tangente
in P
P
y = f (x)
y0
f ′ (x 0 ) > 0
y0
Tangente in P
x0
x
Bild IV-24 Streng monoton wachsende Funktion
x0
x
Bild IV-25 Streng monoton fallende Funktion
372
IV Differentialrechnung
Geometrische Deutung der 2. Ableitung
Die 2. Ableitung y 00 ¼ f 00 ðxÞ ist die Ableitungsfunktion der 1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ.
Sie beschreibt daher das Monotonie-Verhalten von f 0 ðxÞ und bestimmt damit das
Krümmungsverhalten der Funktionskurve:
f 00 ðx0 Þ > 0: Die Steigung der Kurventangente nimmt beim Durchgang durch den
Kurvenpunkt P zu, d. h. die Tangente dreht sich im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn). Die Kurve besitzt daher in P Linkskrümmung (Bild IV-26).
f 00 ðx0 Þ < 0: Die Steigung der Kurventangente nimmt beim Durchgang durch den
Kurvenpunkt P ab, d. h. die Tangente dreht sich im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn). Die Kurve besitzt daher in P Rechtskrümmung (Bild IV-27).
Statt von Links- bzw. Rechtskrümmung spricht man häufig auch von einer konvex bzw.
konkav gekrümmten Kurve.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
P
P
y0
f ′′ (x 0 ) > 0
y0
x0
x0
x
Bild IV-26 Zum Begriff der Linkskrümmung
einer Kurve
f ′′ (x 0 ) < 0
x
Bild IV-27 Zum Begriff der Rechtskrümmung
einer Kurve
3.3.2 Monotonie
Mit Hilfe der 1. Ableitung lassen sich also Aussagen über das Monotonieverhalten einer
in einem Intervall I differenzierbaren Funktion y ¼ f ðxÞ gewinnen. Es gilt die folgende
Aussage:
y 0 ¼ f 0 ðxÞ > 0
) streng monoton wachsend
y 0 ¼ f 0 ðxÞ < 0
) streng monoton fallend
Für f 0 ðxÞ 0 verläuft die Funktion monoton wachsend, für f 0 ðxÞ 0 dagegen monoton fallend.
3 Anwendung der Differentialrechnung
&
373
Beispiele
(1)
Die e-Funktion y ¼ e x ist wegen y 0 ¼ e x > 0 in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend, während die Exponentialfunktion y ¼ e x
wegen y 0 ¼ e x < 0 überall streng monoton fällt (siehe hierzu auch Bild III-150
in Kap. III). Auch der natürliche Logarithmus y ¼ ln x, x > 0 ist wegen
y 0 ¼ 1=x > 0 eine streng monoton wachsende Funktion (siehe hierzu auch Bild
III-166 in Kap. III).
(2)
Die Polynomfunktion y ¼ x 3 þ 3 x þ 5 verläuft im gesamten Definitionsbereich ðx 2 RÞ streng monoton wachsend: Denn es gilt:
y 0 ¼ 3 x 2 þ 3 ¼ 3 ðx 2 þ 1Þ > 0
(3)
ðf ür alle x 2 RÞ
Wir untersuchen das Monotonieverhalten der überall differenzierbaren Funktion
y ¼ ð2 2 x x 2 Þ e 1 x
Die für die Untersuchung benötigte 1. Ableitung erhalten wir mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel:
y 0 ¼ ð 2 2 xÞ e 1 x þ e 1 x ð 1Þ ð2 2 x x 2 Þ ¼
¼ ð 2 2 x 2 þ 2 x þ x 2 Þ e 1 x ¼ ðx 2 4Þ e 1 x
Wegen e 1 x > 0 für jedes reelle x bestimmt der Faktor x 2 4 das Vorzeichen der 1. Ableitung y 0 und damit das Monotonieverhalten der Funktion. Wir
müssen daher zwei Fälle unterscheiden:
1: Fall :
x2 4 > 0
)
x2 > 4
)
jxj > 2
Die Ableitung y 0 ist hier positiv, die Funktion verläuft daher in den Intervallen
x < 2 und x > 2 streng monoton wachsend.
2: Fall :
x2 4 < 0
)
x2 < 4
)
jxj < 2
Die Ableitung ist negativ. Im Intervall 2 < x < 2 verläuft die Funktion somit
streng monoton fallend.
An den Stellen x 1=2 ¼ þ
2 verschwindet die 1. Ableitung, die Funktion besitzt
hier waagerechte Tangenten (und Extremwerte). Der Verlauf der Kurve ist in Bild
IV-28 dargestellt.
374
IV Differentialrechnung
y
40
y = ( 2 – 2x – x 2 ) · e 1– x
20
2
Bild IV-28
x
–2
&
3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve
Kurvenkrümmung
In Abschnitt 3.3.1 hatten wir bereits erkannt, dass man mit Hilfe der 2. Ableitung qualitative Aussagen über das Krümmungsverhalten einer ebenen Kurve y ¼ f ðxÞ in einem
Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ treffen kann. Das Vorzeichen dieser Ableitung entscheidet dabei wie folgt über die Art der Kurvenkrümmung (Links- oder Rechtskrümmung, siehe
Bild IV-29):
y 00 ¼ f 00 ðxÞ > 0
) Linkskrümmung
y 00 ¼ f 00 ðxÞ < 0
) Rechtskrümmung
Bei Linkskrümmung liegen die Tangenten unterhalb, bei Rechtskrümmung oberhalb der
Kurve.
y
y = f (x)
f ′′ (x) > 0
f ′′ (x) < 0
Links-
Rechts-
krümmung
krümmung
Bild IV-29
Krümmungsarten einer Kurve
(Links- und Rechtskrümmung)
x
3 Anwendung der Differentialrechnung
375
Damit wissen wir aber noch nichts über die Stärke der Kurvenkrümmung, d. h. darüber,
ob die Kurve in der unmittelbaren Umgebung des betrachteten Kurvenpunktes P stark
oder eher schwach vom geradlinigen (tangentialen) Verlauf abweicht. Ein geeignetes
quantitatives Maß für die Stärke der Kurvenkrümmung ist die aus der 1. und 2. Ableitung gebildete Größe
j ¼ h
y 00
1 þ ð y 0Þ 2
i 3=2 ¼ h
f 00 ðxÞ
1 þ ½ f 0 ðxÞ 2
ðIV-83Þ
i 3=2
Sie wird als Krümmung der Kurve y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ bezeichnet
und ist eine Funktion der Koordinate x, d. h. die Krümmung einer Kurve ändert sich
(von wenigen Ausnahmen abgesehen) von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt: j ¼ j ðxÞ.
Wir fassen zusammen:
Krümmung einer ebenen Kurve (Bild IV-29)
Die Krümmung einer ebenen Kurve y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ ist
ein Maß dafür, wie stark der Kurvenverlauf in der unmittelbaren Umgebung dieses
Punktes von einer Geraden abweicht. Sie lässt sich in Abhängigkeit von der Abszisse x des Kurvenpunktes P wie folgt berechnen:
j ¼ j ðxÞ ¼ h
y 00
1 þ ð y 0Þ 2
i 3=2 ¼ h
f 00 ðxÞ
1 þ ½ f 0 ðxÞ 2
i 3=2
ðIV-84Þ
Das Vorzeichen der Krümmung bestimmt dabei die Art der Kurvenkrümmung. Es
gilt (siehe Bild IV-29):
j > 0
, Linkskrümmung
j < 0
, Rechtskrümmung
Anmerkungen
(1)
Man beachte, dass sich die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt ändert.
Ausnahmen: Geraden und Kreise (siehe nachfolgende Beispiele).
(2)
Die Krümmung einer Kurve ist ein Maß für die „ nderungs- oder Wachstumsgeschwindigkeit “ des Steigungswinkels der Kurventangente.
(3)
Eine exakte Definition des Begriffes „Krümmung einer Kurve“ sowie die Herleitung der Berechnungsformel (IV-84) erfolgt in Band 3 im Rahmen der Vektoranalysis (Kapitel I, Abschnitt 1.6).
376
&
IV Differentialrechnung
Beispiele
(1)
Für eine lineare Funktion y ¼ m x þ b gilt y 0 ¼ m, y 00 ¼ 0 und somit nach
Formel (IV-84) auch j ¼ 0. Dieses Ergebnis war zu erwarten, da lineare Funktionen bekanntlich geradlinig verlaufen.
(2)
Der Mittelpunktskreis x 2 þ y 2 ¼ r 2 setzt sich aus zwei Halbkreisen mit den
Funktionsgleichungen
y ¼ þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r2 x2 ,
r x r
zusammen (oberer und unterer Halbkreis).
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Oberer Halbkreis: y ¼ r 2 x 2 ¼ ðr 2 x 2 Þ 1=2
Wir bilden zunächst die benötigten Ableitungen y 0 und y 00 mit Hilfe der Kettenregel bzw. der Produkt- und Kettenregel (bei der 2. Ableitung):
y0 ¼
1 2
ðr x 2 Þ 1=2 ð 2 xÞ ¼ x ðr 2 x 2 Þ 1=2
2
y 00 ¼ 1 ðr 2 x 2 Þ 1=2 1 2
ðr x 2 Þ 3=2 ð 2 xÞ ð xÞ ¼
2
¼ ðr 2 x 2 Þ 1=2 x 2 ðr 2 x 2 Þ 3=2 ¼
¼
¼
1
ðr 2 x 2 Þ 1=2
þ
r2 þ x2 x2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
x2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
¼
¼
1 ðr 2 x 2 Þ x 2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
¼
r2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
(in der vorletzten Zeile haben wir den Hauptnenner gebildet, d. h. den 1. Teilbruch
mit r 2 x 2 erweitert). Somit ist
1 þ ð y 0Þ 2 ¼ 1 þ
¼ 1þ
h
x ðr 2 x 2 Þ 1=2
x2
ðr 2 x 2Þ 1
¼
i2
¼ 1 þ x 2 ðr 2 x 2 Þ 1 ¼
1 ðr 2 x 2 Þ þ x 2
r2
¼ 2
2
2
r x
r x2
und weiter
0 2
1 þ ðy Þ
3=2
¼
r2
r2 x2
3=2
¼
ðr 2 Þ 3=2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
¼
r3
ðr 2 x 2 Þ 3=2
3 Anwendung der Differentialrechnung
377
Die Kurvenkrümmung beträgt damit nach Formel (IV-84)
r2
j ¼ h
¼
y 00
1 þ ð y 0Þ 2
i 3=2
¼
ðr 2 x 2 Þ 3=2
r2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
¼
¼
r3
r3
ðr 2 x 2 Þ 3=2
ðr 2 x 2 Þ 3=2
r2
1
¼ < 0
r3
r
(grau unterlegte Ausdrücke kürzen). Der obere Halbkreis besitzt also konstante
Rechtskrümmung (siehe Bild IV-30).
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Unterer Halbkreis: y ¼ r 2 x 2 ¼ ðr 2 x 2 Þ 1=2
Eine analoge Rechnung führt zu dem Ergebnis j ¼ 1=r > 0. Der untere Halbkreis hat demnach konstante Linkskrümmung (siehe Bild IV-30).
y
oberer Halbkreis
(Rechtskrümmung)
Bild IV-30
Zur Krümmung eines Kreises
–r
r
x
unterer Halbkreis
(Linkskrümmung)
Folgerung: Die Ergebnisse sind anschaulich einleuchtend, da beide Halbkreise jeweils von links nach rechts, d. h. in Richtung der positiven x-Achse durchlaufen
werden. Wegen j j j ¼ 1=r ¼ const: ist der Kreis eine Kurve mit konstanter
Krümmung, das unterschiedliche Vorzeichen für die Krümmung der beiden Halbkreise kennzeichnet lediglich die Art der Kurvenkrümmung (Rechts- bzw. Linkskrümmung).
(3)
Anhand des Kurvenbildes (Bild IV-31) vermuten wir, dass die logarithmische
Funktion y ¼ ln x, x > 0 überall nach rechts gekrümmt ist. Diese Vermutung
soll auf rechnerischem Wege bestätigt werden. Ferner interessieren wir uns für die
Stärke der Kurvenkrümmung.
378
IV Differentialrechnung
y
2
y = ln x
1
1
2
3
4
5
Bild IV-31
Natürlicher Logarithmus
y ¼ ln x, x > 0
x
–1
–2
Lösung: Mit Hilfe der 2. Ableitung lässt sich die Art der Kurvenkrümmung leicht
feststellen:
1
1
,
y 00 ¼ 2 < 0
y0 ¼
ðwegen x 2 > 0Þ
x
x
Diese ist stets negativ, die Kurve ist daher in jedem Punkt nach rechts gekrümmt
(wie vermutet). Die Stärke der Krümmung berechnen wir nach Formel (IV-84). Mit
2
1
1
x2 þ 1
0 2
1 þ ðy Þ ¼ 1 þ
¼ 1þ 2 ¼
x
x
x2
und somit
3=2
2
3=2
x þ1
ðx 2 þ 1Þ 3=2
ðx 2 þ 1Þ 3=2
¼
¼
¼
1 þ ð y 0Þ 2
x2
x3
ðx 2 Þ 3=2
erhalten wir für die Kurvenkrümmung in Abhängigkeit von der Koordinate x den
folgenden Ausdruck:
1
2
y 00
1
x3
x
j ðxÞ ¼ h
¼
¼
i 3=2 ¼
x 2 ðx 2 þ 1Þ 3=2
ðx 2 þ 1Þ 3=2
1 þ ð y 0Þ 2
x3
x
¼ ðx > 0Þ
2
ðx þ 1Þ 3=2
(4)
Wir bestimmen das Krümmungsverhalten der Kurve y ¼ x e x und speziell die
Krümmung im Nullpunkt. Mit den beiden Ableitungen
y 0 ¼ 1 e x e x x ¼ ð1 xÞ e x
y 00 ¼ 1 e x e x ð1 xÞ ¼ ð 1 1 þ xÞ e x ¼ ðx 2Þ e x
die wir jeweils mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhalten haben, folgt nach
Formel (IV-84):
j ðxÞ ¼ h
y 00
1 þ ð y 0Þ 2
i 3=2 ¼ h
ðx 2Þ e x
1 þ ð1 xÞ 2 e 2 x
i 3=2
3 Anwendung der Differentialrechnung
379
Das Krümmungsverhalten wird im Wesentlichen durch die 2. Ableitung y 00
bestimmt (der Nenner des Bruches ist stets positiv). Wegen e x > 0 für jedes
reelle x hängt die Krümmungsart (Links- oder Rechtskrümmung) nur vom Vorzeichen des Faktors x 2 im Zähler ab. Es dann (Bild IV-32):
y 00 > 0
Linkskrümmung:
00
x 2 > 0
)
x 2 < 0
)
x > 2
) x < 2
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
Im Nullpunkt beträgt die Krümmung j ð0Þ ¼ 2 < 0 (Rechtskrümmung).
2
Rechtskrümmung: y
< 0
)
y = x · e–x
y
0,4
0,2
1
2
3
4
x
Bild IV-32 Krümmungsverhalten der Kurve y ¼ x e x (die Drehpfeile kennzeichnen die
Art der Krümmung, d. h. den Drehsinn der Tangente)
&
Krümmungskreis
Eine ebene Kurve y ¼ f ðxÞ kann in der unmittelbaren Umgebung des Kurvenpunktes
P ¼ ðx; yÞ durch einen speziellen Kreis, den sog. Krümmungskreis, angenähert werden
(Bild IV-33). Dabei gilt: Kurve und Krümmungskreis haben im Berührungspunkt P
eine gemeinsame Tangente und dieselbe Krümmung, d. h. sie stimmen in P in ihren
ersten beiden Ableitungen überein (sog. Berührung 2. Ordnung).
y
Tangente
Normale
y = f (x)
P
r
M
Bild IV-33
Krümmungskreis einer Kurve
im Kurvenpunkt P
Krümmungskreis
x
380
IV Differentialrechnung
Der Radius r des Krümmungskreises wird als Krümmungsradius bezeichnet und ist der
Kehrwert des Betrages der Kurvenkrümmung:
h
r ¼
1
¼
jj j
1 þ ð y 0Þ 2
i 3=2
ðIV-85Þ
j y 00 j
Der Mittelpunkt M des Krümmungskreises, auch Krümmungsmittelpunkt genannt, liegt
dabei auf der Kurvennormale des Punktes P.
Wir fassen zusammen und ergänzen:
Krümmungskreis einer Kurve (Bild IV-33)
Der Krümmungskreis einer Kurve y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ berührt
die Kurve dort von 2. Ordnung (gemeinsame Tangente, dieselbe Krümmung). Der
Krümmungsradius beträgt
h
i 3=2
1 þ ð y 0Þ 2
1
¼
r ¼
ðIV-86Þ
jj j
j y 00 j
Die Koordinaten x 0 und y 0 des Krümmungsmittelpunktes M können aus den
folgenden Gleichungen berechnet werden:
x0 ¼ x y 0 1 þ ð y 0Þ 2
,
y 00
y0 ¼ y þ
1 þ ð y 0Þ 2
y 00
ðIV-87Þ
Dabei bedeuten:
x, y:
0
Koordinaten des Kurvenpunktes P
00
y , y : 1. bzw. 2. Ableitung von y ¼ f ðxÞ in P
Anmerkungen
(1)
Der Krümmungskreis ist derjenige Kreis, der sich in der Umgebung des Berührungspunktes (Kurvenpunktes) P optimal an die Kurve anschmiegt. Er ist (von
Ausnahmen abgesehen) von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt verschieden.
(2)
Der Krümmungsradius r ist eine Funktion der Koordinate x des Kurvenpunktes
P: r ¼ r ðxÞ.
(3)
Der Krümmungsmittelpunkt liegt stets auf der Kurvennormale des Berührungspunktes P.
(4)
Sonderfälle
Gerade: Es ist j ¼ 0 und somit r ¼ 1. Die Gerade kann daher als ein Kreis
mit einem unendlich großen Radius aufgefasst werden.
Kreis:
Es ist j j j ¼ 1=r und somit r ¼ r ¼ const:. Kreis und Krümmungskreis sind daher in jedem Punkt identisch.
3 Anwendung der Differentialrechnung
(5)
&
381
Die Verbindungslinie aller Krümmungsmittelpunkte einer Kurve heißt Evolute, die
Kurve selbst wird in diesem Zusammenhang als Evolvente bezeichnet. Die Gleichungen (IV-87) beschreiben die Abhängigkeit der Koordinaten x 0 und y 0 des
Krümmungsmittelpunktes M von der Abszisse x des (laufenden) Kurvenpunktes
P und bilden somit eine Parameterdarstellung der zur Kurve y ¼ f ðxÞ gehörenden Evolute (Kurvenparameter ist die Koordinate x).
Beispiel
Wir bestimmen den Krümmungskreis der Kettenlinie mit der Gleichung y ¼ cosh x im
tiefsten Kurvenpunkt P ¼ ð0; 1Þ. Die dabei benötigten Ableitungen lauten:
y 0 ¼ sinh x ,
y 00 ¼ cosh x
Damit erhalten wir für den Krümmungsradius in Abhängigkeit von der Koordinate x
den folgenden allgemeinen Ausdruck, wobei wir von der hyperbolischen Beziehung
cosh 2 x sinh 2 x ¼ 1 Gebrauch machen:
r ðxÞ ¼
¼
½ 1 þ ðy 0 Þ 2 3=2
½ 1 þ sinh 2 x 3=2
½ cosh 2 x 3=2
¼
¼
¼
j y 00 j
cosh x
cosh x
cosh 3 x
¼ cosh 2 x
cosh x
Im Kurvenpunkt P ¼ ð0; 1Þ gilt dann:
r ð0Þ ¼ cosh 2 0 ¼ 1 2 ¼ 1
Der Krümmungsmittelpunkt M liegt bekanntlich auf der Kurvennormale, hier also wegen der Achsensymmetrie der Kettenlinie auf der y-Achse und zwar im Abstand
r ð0Þ ¼ 1 oberhalb des Punktes P. Die Koordinaten von M besitzen daher die Werte
x 0 ¼ 0 und y 0 ¼ 2 (siehe Bild IV-34). Dieses Ergebnis liefern uns auch die Gleichungen (IV-87).
y
4
3
2
y = cosh x
M
1
P
Bild IV-34
–2
–1
1
2
x
&
382
IV Differentialrechnung
3.4 Charakteristische Kurvenpunkte
3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte
Wir beschäftigen uns jetzt mit jenen Stellen, in denen eine Funktion y ¼ f ðxÞ einen
größten bzw. kleinsten Funktionswert, bezogen auf die unmittelbare beidseitige Umgebung, annimmt.
Definition: Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x 0 ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung
von x 0 stets
f ðx 0 Þ > f ðxÞ
bzw:
f ðx 0 Þ < f ðxÞ
ðIV-88Þ
ist ðx 6¼ x0 Þ.
So besitzt beispielsweise die in Bild IV-35 skizzierte Funktion in x 1 und x 3 jeweils
ein relatives Maximum, an den Stellen x 2 und x 4 dagegen jeweils ein relatives Minimum (eingezeichnet ist ferner die jeweilige Kurventangente).
y
Max
Max
y = f (x)
Min
x4
x1
x2
x3
x
Min
Bild IV-35 Zum Begriff eines relativen Extremwertes
Anmerkungen
(1)
Die relativen Maxima und Minima einer Funktion werden unter dem Sammelbegriff „Relative Extremwerte“ zusammengefasst.
(2)
Ein relativer Extremwert wird auch als lokaler Extremwert bezeichnet. Damit soll
zum Ausdruck gebracht werden, dass die extreme Lage im Allgemeinen nur in der
unmittelbaren Umgebung, d. h. lokal angenommen wird.
3 Anwendung der Differentialrechnung
383
(3)
Die den relativen Maxima bzw. Minima entsprechenden Kurvenpunkten werden als
Hoch- bzw. Tiefpunkte bezeichnet.
(4)
Relative Extremwerte sind nur im Innern eines Intervalls möglich, nicht aber in
den Randpunkten.
(5)
Eine Funktion kann durchaus mehrere relative Maxima und Minima besitzen. So
hat beispielsweise die Sinusfunktion y ¼ sin x infolge ihrer Periodizität sogar unendlich viele relative Maxima und Minima (Bild IV-36). Sie liegen an den Stellen
9
p
>
þ k 2p
ðRelative MaximaÞ >
xk ¼
=
2
ðk 2 ZÞ
>
3
;
xk ¼
p þ k 2 p ðRelative MinimaÞ >
2
y
Max
Max
Max
1
–
–
p
3
p
2
2
p
3
p
2
5
p
2
2
x
–1
Min
Min
Bild IV-36 Die Sinusfunktion y ¼ sin x als Beispiel für eine Funktion mit unendlich vielen
relativen Extremwerten
Bei einer differenzierbaren Funktion verläuft die Kurventangente in einem Extremum
stets waagerecht (vgl. Bild IV-35). So ist beispielsweise in einem relativen Minimum
x 0 die Steigung der linksseitigen Sekante nie positiv, die Steigung der rechtsseitigen
Sekante dagegen nie negativ. Beim Grenzübergang fallen links- und rechtsseitige Sekante in die gemeinsame Tangente, deren Steigung daher der Bedingung 0 f 0 ðx 0 Þ 0
genügt, woraus unmittelbar f 0 ðx 0 Þ ¼ 0 folgt. Wir können damit das folgende notwendige Kriterium für einen relativen Extremwert formulieren:
Notwendige Bedingung für einen relativen Extremwert (Bild IV-35)
Eine differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt in einem relativen Extremum x 0
stets eine waagerechte Tangente. Die Bedingung f 0 ðx 0 Þ ¼ 0 ist daher eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines relativen Extremwertes an der Stelle x 0 .
Dieses Kriterium ist zwar notwendig, jedoch keinesfalls hinreichend. Mit anderen Worten: In einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Kurventangente stets waagerecht, jedoch ist nicht jeder Kurvenpunkt mit waagerechter Tangente ein Extremwert, wie das
folgende Beispiel zeigt.
384
&
IV Differentialrechnung
Beispiel
Die kubische Parabel y ¼ x 3 besitzt im Nullpunkt P ¼ ð0; 0Þ zwar eine waagerechte
Tangente, denn es ist f 0 ð0Þ ¼ 0, jedoch keinen Extremwert. Wegen der Punktsymmetrie der Kurve liegen alle Kurvenpunkte mit x > 0 oberhalb, alle Punkte mit
x < 0 jedoch unterhalb der x-Achse. In jeder noch so kleinen Umgebung des Nullpunktes gibt es daher Kurvenpunkte mit positiver und solche mit negativer Ordinate
(Bild IV-37).
y
y=x3
1
Bild IV-37 Kubische Parabel y ¼ x 3
–1
P
x
1
–1
&
Die Bedingung y 0 ¼ 0 reicht daher für die Existenz eines relativen Extremwertes
nicht aus. Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt jedoch mit Sicherheit in x 0 ein relatives
Maximum bzw. relatives Minimum, wenn die dortige Kurventangente waagerecht verläuft und die Kurve an dieser Stelle Rechts- bzw. Linkskrümmung besitzt (vgl. hierzu
Bild IV-35). Dies ist der Fall, wenn an der Stelle x 0 die 1. Ableitung verschwindet und
zugleich die 2. Ableitung entweder kleiner oder größer als Null und somit ungleich Null
ist. Diese berlegungen führen schließlich zu dem folgenden hinreichenden Kriterium
für relative Extremwerte bei einer (mindestens) zweimal differenzierbaren Funktion:
Hinreichende Bedingungen für einen relativen Extremwert (Bild IV-35)
Eine (mindestens) zweimal differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der
Stelle x 0 mit Sicherheit einen relativen Extremwert, wenn die Bedingungen
f 0 ðx 0 Þ ¼ 0
und
f 00 ðx 0 Þ 6¼ 0
ðIV-89Þ
erfüllt sind. Für f 00 ðx 0 Þ > 0 liegt dabei ein relatives Minimum vor, für
f 00 ðx 0 Þ < 0 dagegen ein relatives Maximum.
3 Anwendung der Differentialrechnung
&
385
Beispiele
(1)
Die Normalparabel y ¼ x 2 besitzt in x 0 ¼ 0 ein relatives (und sogar absolutes)
Minimum (siehe Bild IV-38; absolutes Minimum ¼ kleinster Funktionswert im gesamten Definitionsbereich):
y0 ¼ 2x,
y ¼ x2 ,
y 0 ð0Þ ¼ 0 ,
y 00 ¼ 2
y 00 ð0Þ ¼ 2 > 0
)
Relatives Maximum in ð0; 0Þ
y
y=x2
Bild IV-38
Normalparabel y ¼ x 2
Min
(2)
x
x2
. Dazu benöWir bestimmen die relativen Extremwerte der Funktion y ¼
1 þ x2
tigen wir die ersten beiden Ableitungen:
y0 ¼
y 00 ¼
¼
2 x ð1 þ x 2 Þ 2 x x 2
ð1 þ
x 2Þ 2
¼
2x þ 2x3 2x3
ð1 þ x 2 Þ 2
2 ð1 þ x 2 Þ 2 2 ð1 þ x 2 Þ ð2 xÞ 2 x
ð1 þ x 2 Þ 4
ð1 þ x 2 Þ ½ 2 ð1 þ x 2 Þ 8 x 2 ð1 þ
x 2Þ 4
¼
¼
2x
ð1 þ x 2 Þ 2
¼
2 þ 2x2 8x2
ð1 þ
x 2Þ 3
¼
2 6x2
ð1 þ x 2 Þ 3
Diese Ableitungen wurden gebildet mit Hilfe der Quotientenregel bzw. der Quotienten- und Kettenregel (bei der 2. Ableitung).
Aus der für relative Extremwerte notwendigen Bedingung y 0 ¼ 0 berechnen wir
zunächst die Stellen mit einer waagerechten Kurventangente:
y0 ¼ 0
)
2x
ð1 þ x 2 Þ 2
¼ 0
)
2x ¼ 0
)
x1 ¼ 0 , y1 ¼ 0
Der Kurvenpunkt (0; 0) ist ein Tiefpunkt, da die Kurve an dieser Stelle Linkskrümmung besitzt:
y 00 ð0Þ ¼
20
ð1 þ 0Þ 3
¼ 2 > 0
)
Minimum in ð0; 0Þ
Der Verlauf der Kurve ist in Bild IV-39 skizziert.
386
IV Differentialrechnung
y
1
y=
–1
Bild IV-39 Funktionsgraph von y ¼
(3)
x2
1+x2
x
1
x2
1 þ x2
Wo liegen die relativen Extremwerte der Funktion y ¼ x 2 e 0,5 x ?
Lösung: Zunächst bilden wir mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel die benötigten
Ableitungen y 0 und y 00 :
y 0 ¼ 2 x e 0,5 x 0,5 e 0,5 x x 2 ¼ ð2 x 0,5 x 2 Þ e 0,5 x
y 00 ¼ ð2 xÞ e 0,5 x 0,5 e 0,5 x ð2 x 0,5 x 2 Þ ¼
¼ ð2 x x þ 0,25 x 2 Þ e 0,5 x ¼ ð0,25 x 2 2 x þ 2Þ e 0,5 x
Aus der notwendigen Bedingung y 0 ¼ 0 folgt dann wegen e 0,5 x 6¼ 0:
ð2 x 0,5 x 2 Þ e 0,5 x ¼ 0
)
2 x 0,5 x 2 ¼ 0
)
)
x ð2 0,5 xÞ ¼ 0
)
)
x 1 ¼ 0,
x2 ¼ 4
An diesen Stellen besitzt die Kurve somit waagerechte Tangenten. Die zugehörigen
Ordinatenwerte sind y 1 ¼ 0 und y 2 ¼ 2,165. Wir setzen jetzt die gefundenen
x-Werte in die 2. Ableitung ein und prüfen, ob die hinreichende Bedingung für
einen relativen Extremwert erfüllt ist:
y 00 ðx 1 ¼ 0Þ ¼ 2 e 0 ¼ 2 1 ¼ 2 > 0
)
Relatives Minimum
)
Relatives Maximum
y 00 ðx 2 ¼ 4Þ ¼ ð4 8 þ 2Þ e 2 ¼
¼ 2 e 2 ¼ 0,271 < 0
Die Funktionskurve besitzt daher einen Tiefpunkt in (0; 0) und einen Hochpunkt
in (4; 2,165). Ihr Verlauf ist in Bild IV-40 skizziert.
3 Anwendung der Differentialrechnung
387
y
Max
y = x 2· e – 0,5x
1
–1
Min
1
4
x
Bild IV-40 Funktionsgraph von y ¼ x 2 e 0,5 x
(4)
f ðxÞ sei eine Polynomfunktion vom Grade n mit einer doppelten Nullstelle an
der Stelle x 0 . Wir zeigen, dass f ðxÞ an dieser Stelle einen relativen Extremwert
besitzt.
Die Polynomfunktion ist wegen der doppelten Nullstelle in der Form
f ðxÞ ¼ ðx x 0 Þ 2 g ðxÞ
mit
g ðx 0 Þ 6¼ 0
darstellbar, wobei g ðxÞ eine Polynomfunktion vom Grade n 2 ist (siehe hierzu auch Kap. III, Abschnitt 5.4). Die benötigten ersten beiden Ableitungen f 0 ðxÞ
und f 00 ðxÞ erhalten wir unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel:
f 0 ðxÞ ¼ 2 ðx x 0 Þ g ðxÞ þ ðx x 0 Þ 2 g 0 ðxÞ
f 00 ðxÞ ¼ 2 g ðxÞ þ 2 ðx x 0 Þ g 0 ðxÞ þ 2 ðx x 0 Þ g 0 ðxÞ þ
þ ðx x 0 Þ 2 g 00 ðxÞ ¼
¼ 2 g ðxÞ þ 4 ðx x 0 Þ g 0 ðxÞ þ ðx x 0 Þ 2 g 00 ðxÞ
An der Stelle x 0 gilt dann:
f 0 ðx 0 Þ ¼ 2 0 g ðx 0 Þ þ 0 2 g 0 ðx 0 Þ ¼ 0
f 00 ðx 0 Þ ¼ 2 g ðx 0 Þ þ 4 0 g 0 ðx 0 Þ þ 0 2 g 00 ðx 0 Þ ¼ 2 g ðx 0 Þ 6¼ 0
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
6¼ 0
Die hinreichende Bedingung für einen relativen Extremwert ist somit erfüllt. Für
g ðx 0 Þ > 0 erhält man ein relatives Minimum, für g ðx 0 Þ < 0 ein relatives Maximum (siehe hierzu Bild IV-41), gezeichnet für g ðx 0 Þ > 0Þ:
Tiefpunkt f ür g ðx 0 Þ > 0
ðx 0 ; 0Þ Hochpunkt f ür g ðx 0 Þ < 0
388
IV Differentialrechnung
y
Bild IV-41
Polynom mit einer doppelten
Nullstelle bei x 0
x0
x
&
3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte
Von Bedeutung sind auch jene Kurvenpunkte, in denen sich der Drehsinn der Kurventangente ändert. Sie werden als Wendepunkte bezeichnet.
Definitionen: (1) Kurvenpunkte, in denen sich der Drehsinn der Tangente ändert,
heißen Wendepunkte (Bild IV-42).
(2) Wendepunkte mit waagerechter Tangente werden als Sattelpunkte
bezeichnet (Bild IV-43).
y
y
f ′′ (x) < 0
f ′′ > 0
f ′′ (x) > 0
y = f (x)
y=x3
1
W
Wendetangente
–1
1
Sattelpunkt
x
–1
f ′′ < 0
x0
Bild IV-42 Zum Begriff des Wendepunktes
(der Drehpfeil charakterisiert den
Drehsinn der Tangente)
x
Bild IV-43 Zum Begriff des Sattelpunktes
(am Beispiel der kubischen
Parabel)
In den Wendepunkten einer Funktion findet demnach eine nderung der Krümmungsart
statt: Die Kurve geht dabei von einer Rechtskurve in eine Linkskurve über oder umgekehrt (siehe Bild IV-42). Daher ist in solchen Punkten notwendigerweise y 00 ¼ 0.
3 Anwendung der Differentialrechnung
389
Diese Bedingung reicht jedoch nicht aus. Mit Sicherheit liegt ein Wendepunkt erst dann
vor, wenn die 2. Ableitung an der betreffenden Stelle ihr Vorzeichen ändert. Dies aber
ist genau dann der Fall, wenn die Ableitung von y 00 , also die 3. Ableitung y 000 an
dieser Stelle einen von Null verschiedenen Wert annimmt.
Wir fassen diese Aussagen wie folgt zusammen:
Hinreichende Bedingungen für einen Wendepunkt (Bild IV-42)
Eine (mindestens) dreimal differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x 0 einen Wendepunkt, wenn dort die Bedingungen
f 00 ðx 0 Þ ¼ 0
und
f
000
ðx 0 Þ 6¼ 0
ðIV-90Þ
erfüllt sind.
Anmerkungen
(1)
In einem Wendepunkt verschwindet die 2. Ableitung und damit auch die Kurvenkrümmung j (notwendige Bedingung für einen Wendepunkt).
(2)
Die in einem Wendepunkt errichtete Tangente heißt Wendetangente (siehe hierzu
Bild IV-42).
(3)
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente wird als Sattel- oder Terrassenpunkt
bezeichnet. Ein solcher Punkt liegt vor, wenn an der Stelle x 0 die folgenden (hinreichenden) Bedingungen erfüllt sind:
f 0 ðx 0 Þ ¼ 0 ,
&
f 00 ðx 0 Þ ¼ 0
und
f
000
ðx 0 Þ 6¼ 0
ðIV-91Þ
Beispiele
(1)
Bei den trigonometrischen Funktionen fallen die Wendepunkte mit den jeweiligen
Nullstellen zusammen (siehe hierzu die Bilder III-112, III-113 und III-114).
Wir führen den Nachweis für die Sinusfunktion y ¼ sin x, beschränken uns dabei
auf das Periodenintervall 0 x < 2 p :
y 0 ¼ cos x ,
y 00 ¼ 0
)
y 00 ¼ sin x ,
sin x ¼ 0
)
y 000 ¼ cos x
sin x ¼ 0
)
x 1 ¼ 0, x 2 ¼ p
y 000 ðx 1 ¼ 0Þ ¼ cos 0 ¼ 1 6¼ 0
y 000 ðx 2 ¼ pÞ ¼ cos p ¼ ð 1Þ ¼ 1 6¼ 0
Die hinreichende Bedingung y 00 ¼ 0, y 000 6¼ 0 ist in den Nullstellen x 1 ¼ 0 und
x 2 ¼ p erfüllt, die Behauptung damit bewiesen (siehe hierzu auch Bild IV-44).
390
IV Differentialrechnung
y
1
W
y = sin x
W
W
–π
W
π
W
2π
3π
x
–1
Bild IV-44 Wendepunkte der Sinusfunktion y ¼ sin x
(2)
2
Behauptung: Die Funktion y ¼ x 3 þ 2 x 2 2 x þ 2 besitzt an der Stelle
3
x 0 ¼ 1 einen Sattelpunkt.
Beweis: Wir zeigen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
y 0 ð1Þ ¼ 0 ,
y 00 ð1Þ ¼ 0
und
y 000 ð1Þ 6¼ 0
Denn es gilt:
y0 ¼ 2x2 þ 4x 2
)
y 0 ð1Þ ¼ 0
y 00 ¼ 4 x þ 4
)
y 00 ð1Þ ¼ 0
y 000 ¼ 4
)
y 000 ð1Þ ¼ 4 6¼ 0
)
waagerechte Tangente
)
)
Wendepunkt
Die Funktion besitzt somit an der Stelle x 0 ¼ 1 einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d. h. also einen Sattelpunkt (die Ordinate ist y 0 ¼ 4=3). Damit ist die Behauptung bewiesen (siehe auch Bild IV-45).
y
Sattelpunkt
2
Tangente
Bild IV-45
1
(3)
x
Wo besitzt die Funktion y ¼ ðx 2 xÞ e x Wendepunkte bzw. Sattelpunkte?
Lösung: Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhalten wir die für die Untersuchung benötigten ersten drei Ableitungen:
y 0 ¼ ð2 x 1Þ e x þ e x ð 1Þ ðx 2 xÞ ¼
¼ ð2 x 1 x 2 þ xÞ e x ¼ ð x 2 þ 3 x 1Þ e x
3 Anwendung der Differentialrechnung
391
y 00 ¼ ð 2 x þ 3Þ e x þ e x ð 1Þ ð x 2 þ 3 x 1Þ ¼
¼ ð 2 x þ 3 þ x 2 3 x þ 1Þ e x ¼ ðx 2 5 x þ 4Þ e x
y 000 ¼ ð2 x 5Þ e x þ e x ð 1Þ ðx 2 5 x þ 4Þ ¼
¼ ð2 x 5 x 2 þ 5 x 4Þ e x ¼ ð x 2 þ 7 x 9Þ e x
Aus der für Wendepunkte notwendigen Bedingung y 00 ¼ 0 folgt dann wegen
e x 6¼ 0:
y 00 ¼ 0
)
x2 5x þ 4 ¼ 0
)
x1 ¼ 1 ,
x2 ¼ 4
Die 3. Ableitung ist an diesen Stellen von Null verschieden:
y 000 ðx 1 ¼ 1Þ ¼ ð 1 þ 7 9Þ e 1 ¼ 3 e 1 6¼ 0
y 000 ðx 2 ¼ 4Þ ¼ ð 16 þ 28 9Þ e 4 ¼ 3 e 4 6¼ 0
Es handelt sich also um Wendepunkte. Sie lauten:
W 1 ¼ ð1; 0Þ
und
W 2 ¼ ð4; 0,22Þ
Es sind jedoch keine Sattelpunkte, da die Wendetangenten nicht parallel zur x-Achse
verlaufen:
y 0 ðx 1 ¼ 1Þ ¼ ð 1 þ 3 1Þ e 1 ¼ e 1 6¼ 0
y 0 ðx 2 ¼ 4Þ ¼ ð 16 þ 12 1Þ e 4 ¼ 5 e 4 6¼ 0
Bild IV-46 zeigt den Verlauf der Kurve mit den beiden Wendepunkten (W 1 fällt
mit der Nullstelle bei 1 zusammen).
y
1
0,6
y = (x 2 – x) · e – x
W2
0,2
Bild IV-46
W1
2
3
4
5
x
&
392
IV Differentialrechnung
3.4.3 Ergänzungen
Die Bestimmung der relativen Extremwerte einer Funktion y ¼ f ðxÞ erfolgte bisher
nach dem folgenden Schema:
1. Zunächst werden aus der notwendigen Bedingung f 0 ðxÞ ¼ 0 alle Stellen mit einer waagerechten Tangente ermittelt.
2. Dann prüft man anhand der 2. Ableitung, wie sich die Kurvenkrümmung in diesen
Punkten verhält und ob das hinreichende Kriterium für relative Extremwerte, d. h.
die Bedingungen (IV-89) erfüllt sind.
In einigen Fällen jedoch versagt dieses Verfahren, wenn nämlich an der betreffenden
Stelle x 0 neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung verschwindet, also f 0 ðx 0 Þ ¼ 0
und f 00 ðx 0 Þ ¼ 0 gilt. Jetzt prüft man, ob an dieser Stelle vielleicht ein Sattelpunkt
vorliegt. Dies ist der Fall, wenn f 000 ðx 0 Þ 6¼ 0 ist. Verschwindet jedoch auch die 3. Ableitung an der Stelle x 0 , so muss man auf das folgende allgemeine Kriterium zurückgreifen, das wir hier ohne Beweis anführen:
Allgemeines Kriterium für einen relativen Extremwert
Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitze an der Stelle x 0 eine waagerechte Tangente,
d. h. es gelte also f 0 ðx 0 Þ ¼ 0. Die nächstfolgende an dieser Stelle nichtverschwindende Ableitung sei die n-te Ableitung f ðnÞ ðx 0 Þ (mit n > 1Þ. Dann besitzt die Funktion an der Stelle x 0 einen relativen Extremwert, falls die Ordnung
n dieser Ableitung gerade ist und zwar
ein relatives Minimum f ür
f ðnÞ ðx 0 Þ > 0
ein relatives Maximum f ür
f ðnÞ ðx 0 Þ < 0
ðIV-92Þ
Ist die Ordnung n jedoch ungerade, so besitzt die Funktion an der Stelle x 0 einen
Sattelpunkt.
&
Beispiele
(1)
Wir zeigen, dass die Funktion y ¼ x 4 an der Stelle x 0 ¼ 0 einen relativen (und
sogar absoluten) Extremwert besitzt:
y0 ¼ 4x3
)
y 0 ð0Þ
y 00 ¼ 12 x 2
)
y 00 ð0Þ ¼ 0
y 000 ¼ 24 x
)
y 000 ð0Þ ¼ 0
y ð4Þ ¼ 24
)
y ð4Þ ð0Þ ¼ 24 6¼ 0
¼ 0
ðwaagerechte TangenteÞ
Die auf y 0 nächstfolgende an der Stelle x 0 ¼ 0 nichtverschwindende Ableitung
y ð4Þ ist von vierter und damit gerader Ordnung. Daher hat die Funktion an dieser
3 Anwendung der Differentialrechnung
393
Stelle einen relativen Extremwert und zwar wegen y ð4Þ ð0Þ ¼ 24 > 0 ein relatives
Minimum (Bild IV-47).
y
y
y=x5
y=x
4
1
1
1
–1
–1
1
x
x
Sattelpunkt
Tiefpunkt
–1
Bild IV-47 Funktionsgraph von y ¼ x 4
Bild IV-48
Funktionsgraph von y ¼ x 5
(2)
Besitzt die Funktion y ¼ x 5 relative Extremwerte?
Um diese Frage zu beantworten, bestimmen wir zunächst alle Stellen mit einer
waagerechten Tangente:
y 0 ¼ 5 x4
y0 ¼ 0
)
5 x4 ¼ 0
)
x1 ¼ 0
Die Ordnung der nächsten, an der Stelle x 1 ¼ 0 nichtverschwindenden Ableitung
entscheidet darüber, ob ein relativer Extremwert oder ein Sattelpunkt vorliegt:
y 00 ¼ 20 x 3
)
y 00 ð0Þ ¼
0
y 000 ¼ 60 x 2
)
y 000 ð0Þ ¼
0
y ð4Þ ¼ 120 x
)
y ð4Þ ð0Þ ¼
0
y
ð5Þ
¼ 120
)
y
ð5Þ
ð0Þ ¼ 120 6¼ 0
Erst die 5. Ableitung besitzt für x 1 ¼ 0 einen von Null verschiedenen Wert. Die
Ordnung dieser Ableitung ist ungerade, die Funktion y ¼ x 5 besitzt somit an der
Stelle x 1 ¼ 0 einen Sattelpunkt. Relative Extremwerte sind bei dieser Funktion
nicht vorhanden (siehe hierzu Bild IV-48).
&
394
IV Differentialrechnung
3.5 Extremwertaufgaben
In zahlreichen Anwendungen stellt sich das folgende Problem: Von einer vorgegebenen
Funktion y ¼ f ðxÞ ist der größte (bzw. der kleinste) Funktionswert in einem gewissen
Intervall I zu bestimmen 4Þ . Problemstellungen dieser Art werden als Extremwertaufgaben bezeichnet. Bei der Lösung einer solchen Aufgabe geht man so vor, dass man
zunächst mit Hilfe der Differentialrechnung die im Innern des Intervalls gelegenen relativen Extremwerte berechnet. Das gesuchte absolute Maximum (oder absolute Minimum)
kann aber auch in einem Randpunkt des Intervalls I liegen (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (3)). Durch einen Vergleich der Randwerte mit den im Intervallinnern gelegenen relativen Extremwerten erhält man die Lösung der gestellten Aufgabe.
Lösungsverfahren für Extremwertaufgaben
Von einer zweimal differenzierbaren Funktion y ¼ f ðxÞ lässt sich der größte
(bzw. der kleinste) Wert in einem vorgegebenen Intervall I wie folgt bestimmen:
1. Zunächst werden mit Hilfe der Differentialrechnung die im Innern des Intervalls I liegenden relativen Maxima (bzw. relativen Minima) berechnet.
2. Durch Vergleich dieser Werte mit den Funktionswerten in den Randpunkten
des Intervalls erhält man den gesuchten größten (oder kleinsten) Wert der
Funktion y ¼ f ðxÞ im Intervall I.
Anmerkungen
(1)
Bei einem offenen Intervall kann der gesuchte größte bzw. kleinste Wert nur im
Innern des Intervalles I liegen (er ist dann einer der relativen Extremwerte).
(2)
Die Funktion y ¼ f ðxÞ, deren absolutes Maximum bzw. Minimum im Intervall I
bestimmt werden soll, heißt in diesem Zusammenhang auch Zielfunktion.
(3)
Bei zahlreichen Extremwertaufgaben ist die Gleichung der Zielfunktion y ¼ f ðxÞ
zunächst noch unbekannt und muss daher erst aufgestellt werden. Dabei kann der
Fall eintreten, dass die Größe y von mehr als einer Variablen abhängt. Diese
Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern durch sog. Nebenoder Kopplungsbedingungen miteinander verknüpft. Das Aufstellen der Nebenbedingungen ist dann oft das eigentliche Problem bei der Lösung einer Extremwertaufgabe. Man findet diese Bedingungen häufig durch Anwendung elementarer
geometrischer Lehrsätze (wie z. B. Satz des Pythagoras, Strahlensätze, Höhensatz).
Mit Hilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Größe y als eine nur noch
von der einen Variablen x abhängige Funktion y ¼ f ðxÞ darstellen (siehe hierzu
auch das nachfolgende Beispiel (4)).
4)
Der größte (bzw. kleinste) Wert einer Funktion in einem Intervall wird auch als absolutes Maximum (bzw.
absolutes Minimum) bezeichnet.
3 Anwendung der Differentialrechnung
&
395
Beispiele
(1)
Problemstellung: Einem Quadrat mit der vorgegebenen Seitenlänge a ist ein
Rechteck mit größtem Flächeninhalt einzubeschreiben (Bild IV-49). Die Rechteckseiten sollen dabei parallel zu den Flächendiagonalen des Quadrates verlaufen.
x
a–x
I
a /2
a /2
III
a
a
A
IV
A max
II
Bild IV-49
a
Bild IV-50
Lösung:
Offensichtlich gibt es unendlich viele Möglichkeiten, dem vorgegebenen Quadrat
ein Rechteck einzubeschreiben. In Bild IV-49 ist ein solches Rechteck dargestellt
(grau unterlegt). Zielgröße ist dabei der Flächeninhalt A des einbeschriebenen
Rechteckes in Abhängigkeit von der (eingezeichneten) Strecke x. Diese Funktion
bestimmen wir wie folgt: Vom Quadrat mit dem Flächeninhalt a 2 ziehen wir die
Flächen der vier Dreiecke I, II, III und IV ab. Die Dreiecke I und II ergänzen sich
dabei zu einem Quadrat vom Flächeninhalt x 2 , ebenso die Dreiecke III und IV zu
einem Quadrat vom Flächeninhalt ða xÞ 2 . Daher gilt:
A ðxÞ ¼ a 2 x 2 ða xÞ 2 ¼ a 2 x 2 a 2 þ 2 a x x 2 ¼
¼ 2ax 2x2
Wir ermitteln jetzt das im offenen Intervall 0 < x < a gelegene absolute Maximum dieser Flächenfunktion 5) :
A 0 ðxÞ ¼ 2 a 4 x ,
A 0 ðxÞ ¼ 0
)
A 00 ¼ 4
2a 4x ¼ 0
)
x 1 ¼ a=2
A 00 ðx 1 ¼ a=2Þ ¼ 4 < 0
Die hinreichende Bedingung für ein Maximum ist somit für den Wert
x 1 ¼ a=2 erfüllt. Lösung der gestellten Aufgabe ist demnach ein Quadrat vom
Flächeninhalt A ðx 1 ¼ a=2Þ ¼ a 2 =2, dessen Ecken auf den Seitenmitten des
gegebenen Quadrates liegen (Bild IV-50). Dieses spezielle Rechteck (Quadrat)
besitzt im Vergleich zu allen anderen möglichen Rechtecken den größten Flächeninhalt.
5)
Die speziellen Werte x ¼ 0 bzw. x ¼ a kommen als Lösungen nicht in Frage, da in diesen Fällen das
Rechteck entartet ist (eine der beiden Seiten hat dann jeweils die Länge 0).
396
IV Differentialrechnung
Hinweis
Die Flächenfunktion A ðxÞ ist eine quadratische Funktion von x und entspricht
der in Bild IV-51 skizzierten nach unten geöffneten Parabel mit Nullstellen bei
x ¼ 0 und x ¼ a. Das gesuchte absolute Maximum der Fläche A ðxÞ im offenen Intervall 0 < x < a ist daher die Ordinate des Scheitelpunktes S, der wegen der Symmetrie der Kurve genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen,
also an der Stelle x 1 ¼ a=2 liegen muss. Daher gilt:
A max ¼ A ðx ¼ a=2Þ ¼ a 2 =2
A(x)
S
a 2/2
Bild IV-51
0
(2)
a /2
a
x
In einem Wechselstromkreis sind ein ohmscher Widerstand R, eine Spule mit der
Induktivität L und ein Kondensator mit der Kapazität C in Reihe geschaltet (Bild
IV-52). Beim Anlegen einer sinusförmigen Wechselspannung u ¼ u 0 sin ðw tÞ
fließt in dem Kreis ein Wechselstrom i ¼ i 0 sin ðw t þ jÞ, dessen Scheitelwert
i 0 nach der Formel
u0
i 0 ¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2ﬃ
1
R2 þ w L wC
ðw > 0Þ
berechnet wird. Der im Nenner stehende Ausdruck
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2ﬃ
1
Z ¼
R2 þ w L wC
ist dabei der Scheinwiderstand des Stromkreises. Bei welcher Kreisfrequenz wr
erreicht der Scheitelwert i 0 sein Maximum?
C
R
L
u
Bild IV-52
Wechselstromkreis
in Reihenschaltung
3 Anwendung der Differentialrechnung
397
Lösung: i 0 wird am größten, wenn der Scheinwiderstand seinen kleinsten Wert
annimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der unter der Wurzel stehende Ausdruck (also der Wurzelradikand) am kleinsten wird. Es genügt daher, das (absolute)
Minimum der Zielfunktion
1 2
2
2
y ¼ f ðwÞ ¼ Z ¼ R þ w L wC
im offenen Intervall 0 < w < 1 zu bestimmen. Dazu benötigen wir die ersten
beiden Ableitungen, die wir mit der Kettenregel bzw. der Produkt- und Kettenregel
erhalten (bitte nachrechnen):
1
1
y 0 ðwÞ ¼ 2 w L Lþ 2
wC
w C
y 00 ðwÞ ¼ 2 L þ
1
2
w2 C
1
w
L
w3 C
wC
4
Aus der notwendigen Bedingung y 0 ðwÞ ¼ 0 folgt dann:
1
1
1
¼ 0 )
wL Lþ 2
¼ 0
2 wL wC
w C
wC
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
6¼ 0
wL ¼
1
wC
)
w2 ¼
1
LC
)
)
1
w r ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
LC
Auch die hinreichende Bedingung ist für diesen Wert erfüllt (der 2. Summand in
y 00 verschwindet für w ¼ w r ):
1
LC 2
00
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
0 ¼ 2 ðL þ LÞ 2 ¼ 8 L 2 > 0
y wr ¼
¼ 2 Lþ
C
LC
erreicht daher sein absolutes Maximum bei der
Der Scheitelwert i 0 despStromes
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Kreisfrequenz w r ¼ 1= L C (sog. Resonanzkreisfrequenz). Der Scheinwiderstand Z ist dann gleich dem ohmschen Widerstand R und es gilt i 0 ¼ u 0 =R.
(3)
Die Biegelinie eines einseitig eingespannten und am freien Ende durch eine Kraft
vom Betrage F auf Biegung beanspruchten Balkens der Länge l lautet wie folgt
(Bild IV-53):
F
1 3
2
ð0 x l Þ
y ðxÞ ¼
lx x
2EI
3
(siehe hierzu auch Kap. III, Abschnitt 5.7, in dem dieses Anwendungsbeispiel erstmals angesprochen wurde; E und I sind positive Konstanten). An welcher Stelle
des Balkens ist die Durchbiegung y am größten?
398
IV Differentialrechnung
x
l
y
x
Tangente
F
Biegelinie y(x)
Bild IV-53
Biegelinie
y
Lösung: Zunächst ermitteln wir die im Intervall 0 x l gelegenen relativen
Extremwerte:
y0 ¼
F
ð2 l x x 2 Þ ,
2EI
y0 ¼ 0
)
y 00 ¼
2lx x2 ¼ 0
F
F
ð2 l 2 xÞ ¼
ðl xÞ
2EI
EI
)
x1 ¼ 0 ,
x2 ¼ 2 l
Der zweite Wert ðx 2 ¼ 2 l Þ liegt außerhalb des Intervalles und kommt daher
nicht in Frage (Scheinlösung). An der Stelle x 1 ¼ 0, d. h. an der Einspannstelle
ist die Durchbiegung des Balkens wegen
y 00 ðx 1 ¼ 0Þ ¼
Fl
> 0
EI
am kleinsten:
y min ¼ y ðx 1 ¼ 0Þ ¼ 0
(physikalisch einleuchtend: wegen der Einspannung ist eine Durchbiegung nicht
möglich). Die maximale Durchbiegung erfährt der Balken daher im rechten Randpunkt x ¼ l, d. h. am freien Ende, wo auch die Kraft einwirkt:
F
1 3
F
2 3
F l3
y max ¼ y ðx ¼ lÞ ¼
¼
l3 l
l ¼
2EI
3
2EI 3
3EI
Wir haben es hier mit dem eingangs geschilderten Sonderfall eines Randextremwertes
zu tun. Mit Hilfe der Differentialrechnung können nur relative Extremwerte mit waagerechter Tangente bestimmt werden. Dies aber trifft für den am freien Ende liegenden Randpunkt des Balkens gerade nicht zu. Die dortige Tangente an die Biegelinie
verläuft gegen die Horizontale geneigt (Bild IV-53).
(4)
Wir behandeln ein weiteres Beispiel aus der Festigkeitslehre: Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt
1
so herausgeschnitten werden, dass sein Widerstandsmoment W ¼
b h 2 einen
6
größten Wert annimmt (Bild IV-54).
2R
M
h
b:
Breite des Balkens
h:
Dicke des Balkens
2 R: Durchmesser des Baumstammes
b
Bild IV-54 Zum Widerstandsmoment eines Balkens
3 Anwendung der Differentialrechnung
399
Lösung: Das Widerstandsmoment W hängt von den Größen b und h ab, die
jedoch nicht unabhängig voneinander sind, sondern über den Satz des Pythagoras
mit dem Radius R des Baumstammes wie folgt verknüpft sind:
b 2 þ h 2 ¼ ð2 RÞ 2 ¼ 4 R 2
)
h2 ¼ 4 R2 b2
Mit Hilfe dieser als Nebenbedingung oder auch Kopplungsbedingung bezeichneten
Beziehung lässt sich das Widerstandsmoment W als eine nur von der Größe b
abhängige Funktion darstellen:
W ðbÞ ¼
1
1
1
b h2 ¼
b ð4 R 2 b 2 Þ ¼
ð4 R 2 b b 3 Þ
6
6
6
ð0 < b < 2 RÞ. Die „Randwerte“ b ¼ 0 und b ¼ 2 R kommen als Lösungen
nicht infrage 6Þ . Wir bestimmen jetzt das absolute Maximum unserer Zielfunktion
W ðbÞ im offenen Intervall 0 < b < 2 R. Die dabei benötigten Ableitungen lauten:
d 2W
¼ b
db 2
dW
1
¼
ð4 R 2 3 b 2 Þ ,
db
6
Aus der für ein Maximum notwendigen Bedingung
4 R2 3 b2 ¼ 0
b2 ¼
)
4 2
4
R ¼
3 R2
3
9
3 b2 ¼ 4 R2
)
)
dW
¼ 0 folgt dann:
db
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
b 1=2 ¼ þ
3R þ
3
1,155 R
Der negative Wert scheidet dabei als Lösung aus, der positive Wert dagegen liegt
im Intervall 0 < b < 2 R und erweist sich wegen
d 2W
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3
R
¼ 3R < 0
b
¼
1
2
db
3
3
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
als das gesuchte Maximum. Der Balkenbreite b ¼
3 R entspricht eine Höhe
3
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
von h ¼
6 R (ermittelt aus der Nebenbedingung). Für diese Werte ist das
3
Widerstandsmoment des Balkens am größten. Es beträgt dann (bitte nachrechnen)
2 pﬃﬃﬃﬃﬃ
8 pﬃﬃﬃﬃﬃ 3
W max ¼ W b ¼
3R ¼
3R
3
27
Hinweis:
Das Widerstandsmoment W lässt sich sowohl durch die Balkenbreite b als auch
durch die Balkendicke h ausdrücken. Wir haben uns hier für die erste Variante
entschieden, weil dann der funktionale Zusammenhang besonders einfach ist (W ist
eine Polynomfunktion 3. Grades von b). Drückt man jedoch W durch h aus, so
erhält man (wiederum unter Verwendung der Nebenbedingung) die weitaus kompliziertere Funktion
ﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
W ðhÞ ¼
4 R2 h2 h2 ¼
4 R2 h4 h6
ð0 < h < 2 RÞ
6
6
6)
b ¼ 0: Balken der Breite 0; b ¼ 2 R: Balken der Dicke 0
400
IV Differentialrechnung
Das gesuchte absolute Maximum dieser Funktion lässt sich jedoch über die Zielfunktion
y ¼ 4 R2 h4 h6
ð0 < h < 2 RÞ
bestimmen (Radikand der Wurzel).
&
3.6 Kurvendiskussion
Der Verlauf einer Funktion lässt sich in seinen wesentlichen Zügen aus bestimmten
charakteristischen Kurvenpunkten und Funktionsmerkmalen wie beispielsweise Nullstellen,
Symmetrie, relativen Extremwerten, Wendepunkten und Asymptoten leicht erschließen.
Kurvendiskussion bedeutet daher an dieser Stelle: Untersuchung und Feststellung der Funktionseigenschaften und des Funktionsverlaufs mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung.
Wir empfehlen, die Diskussion einer Funktion nach dem folgenden Schema vorzunehmen:
Definitionsbereich/Definitionslücken
Symmetrie (gerade, ungerade Funktion)
Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse
Pole, senkrechte Asymptoten (Polgeraden)
Ableitungen (in der Regel bis zur 3. Ordnung)
Relative Extremwerte (Maxima und Minima)
Wendepunke, Sattelpunkte
Verhalten der Funktion für x ! þ
1, Asymptoten im Unendlichen
Wertebereich der Funktion
Zeichnung der Funktion in einem geeigneten Maßstab
Auch Untersuchungen des Monotonie- und Krümmungsverhaltens sind oft sehr nützlich.
&
Beispiele
(1)
y ¼
5x2 þ 5
x3
(echt gebrochenrationale Funktion; x 6¼ 0)
Definitionsbereich: Die Funktion ist für jedes reelle x 6¼ 0 definiert. An der Stelle x 0 ¼ 0 besitzt sie eine Definitionslücke.
Symmetrie: Der Zähler ist eine gerade, der Nenner eine ungerade Funktion. Daher
ist die Funktion selbst ungerade (Punktsymmetrie).
Nullstellen, Pole: Zähler und Nenner werden zunächst in Linearfaktoren zerlegt,
aus denen sich dann die Nullstellen bzw. Pole der Funktion unmittelbar ablesen
lassen:
y ¼
5x2 þ 5
5 ðx 2 1Þ
5 ðx þ 1Þ ðx 1Þ
¼
¼
3
x
x3
x3
Wir stellen fest: Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Nullstellen.
3 Anwendung der Differentialrechnung
Nullstellen: x 1 ¼ 1 ,
401
x2 ¼ 1
Pole: x 3 ¼ 0 ( Pol mit Vorzeichenwechsel wegen der Punktsymmetrie)
Senkrechte Asymptote (Polgerade): x ¼ 0 (y-Achse)
Ableitungen der Funktion ( jeweils mit Hilfe der Quotientenregel ):
y0 ¼
5 ðx 2 3Þ
,
x4
y 00 ¼
Relative Extremwerte: y 0 ¼ 0
10 ðx 2 6Þ
,
x5
y 000 ¼
30 ðx 2 10Þ
x6
und y 00 6¼ 0
y0 ¼ 0
)
y 00 ðx 4 ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
10 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 > 0
3Þ ¼
9
x2 3 ¼ 0
x 4=5 ¼ þ
)
pﬃﬃﬃﬃﬃ
3
)
pﬃﬃﬃﬃﬃ
Relatives Minimum an der Stelle x 4 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃ
10 pﬃﬃﬃﬃﬃ
Min ¼
3; 3 ¼ ð1,73; 1,92Þ
9
y 00 ðx 5 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
10 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 < 0
3Þ ¼ 9
)
pﬃﬃﬃﬃﬃ
Relatives Maximum an der Stelle x 5 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃ 10 pﬃﬃﬃﬃﬃ
Max ¼ 3 ;
3 ¼ ð 1,73; 1,92Þ
9
Wendepunkte: y 00 ¼ 0
y 00 ¼ 0
)
und
y 000 6¼ 0
x2 6 ¼ 0
)
x 6=7 ¼ þ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
6
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
5
y 000 ðx 6=7 ¼ þ
6 Þ ¼ 9 6¼ 0 ) Wendepunkte f ür x 6=7 ¼ þ
6
pﬃﬃﬃﬃﬃ
25 pﬃﬃﬃﬃﬃ
W1 ¼
6 ¼ ð2,45; 1,70Þ
6; 36
pﬃﬃﬃﬃﬃ 25 pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ ð 2,45; 1,70Þ
W2 ¼ 6 ;
6
36
Krümmungsverhalten:
Wir zerlegen zunächst den Definitionsbereich in vier Teilbereiche (Intervalle) gemäß Bild IV-55 und untersuchen dann das Krümmungsverhalten in den einzelnen
Intervallen.
402
IV Differentialrechnung
x<– 6
– 6<x<0
0<x< 6
– 6
x> 6
x
6
0
Bild IV-55
pﬃﬃﬃﬃﬃ
Im Intervall 0 < x < 6 beispielsweise gilt y 00 > 0, da Zähler und Nenner der
2. Ableitung dort positiv sind. Die Kurve ist hier also nach links gekrümmt. Für die
übrigen Teilintervalle erhalten wir analog folgende Aussagen:
Teilintervall
Krümmungsart
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 < x < 6
pﬃﬃﬃﬃﬃ
6 < x < 0
pﬃﬃﬃﬃﬃ
0 < x < 6
pﬃﬃﬃﬃﬃ
6 < x < 1
y 00 > 0
y
y
y
) Linkskrümmung
00
< 0
) Rechtskrümmung
00
> 0
) Linkskrümmung
00
< 0
) Rechtskrümmung
Verhalten der Funktion im Unendlichen:
Die Funktion ist echt gebrochen und strebt daher für x ! þ
1 asymptotisch gegen die x-Achse.
Asymptote im Unendlichen: y ¼ 0
(x-Achse)
Wertebereich: 1 < y < 1
Zeichnung der Funktion:
Der Funktionsverlauf ist in Bild IV-56 dargestellt. Dabei wurde auf beiden Achsen
der gleiche Maßstab gewählt.
y
5
y=
W2
– 5x 2 + 5
x3
Max
1
–10
–5
–1
–1
10
1
5
Min
W1
–5
Bild IV-56 Funktionsgraph von y ¼
5x2 þ 5
, x 6¼ 0
x3
x
3 Anwendung der Differentialrechnung
(2)
403
Wir untersuchen den Verlauf einer durch die Funktionsgleichung
y ¼ y ðtÞ ¼ 3 e 0,1 t cos t
ðt 0Þ
beschriebenen gedämpften Schwingung 7Þ .
Definitionsbereich: t 0 (aus physikalischen Gründen)
Nullstellen: y ¼ 0
3 e 0,1 t cos t ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
6¼ 0
)
cos t ¼ 0
Lösungen sind die positiven Nullstellen der Kosinusfunktion:
tk ¼
p
þ kp
2
ðk 2 NÞ
Ableitungen der Funktion (mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel):
y ¼ 3 e 0,1 t cos t ¼ 3 ðu vÞ
|ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄ{zﬄ}
u
v
y_ ¼ 3 ðu_ v þ v_ uÞ ¼ 3 ½ 0,1 e 0,1 t cos t sin t e 0,1 t ¼
¼ 3 e 0,1 t ðsin t þ 0,1 cos tÞ
Analog erhält man die 2. und 3. Ableitung:
__y ¼
3 e 0,1 t ð0,2 sin t 0,99 cos tÞ
___y ¼
3 e 0,1 t ð0,97 sin t þ 0,299 cos tÞ
Relative Extremwerte: y_ ¼ 0
y_ ¼ 0
)
__y 6¼
0
3 e 0,1 t ðsin t þ 0,1 cos tÞ ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
6¼ 0
sin t þ 0,1 cos t ¼ 0
sin t
¼ 0,1
cos t
und
)
)
sin t ¼ 0,1 cos t
)
)
tan t ¼ 0,1
Die im Intervall t 0 gelegenen Lösungen dieser trigonometrischen Gleichung
lassen sich anhand der folgenden Skizze leicht bestimmen (Bild IV-57):
7)
Mechanisches Modell: Feder-Masse-Schwinger. y ðtÞ ist dann die Auslenkung (Lagekoordinate) in Abhängigkeit von der Zeit t.
404
IV Differentialrechnung
y
–
p
p
2
2
3
p
2
5
p
2
t
– 0,1
y = – 0,1
arctan (– 0,1)
t0
t1
Bild IV-57 Positive Lösungen der Gleichung tan t ¼ 0,1 (Skizze)
Die erste positive Lösung liegt bei t 0 ¼ arctan ð 0,1Þ þ p ¼ 3,04, alle weiteren (positiven) Lösungen in Abständen von jeweils einer Periode:
t k ¼ 3,04 þ k p
ðk 2 NÞ
Wie verhält sich die 2. Ableitung an diesen Stellen? Für gerades k (einschließlich
y positiv:
k ¼ 0Þ ist __
__y ð3,04 þ
k pÞ ¼ 3 e 0,1 ð3,04 þ k pÞ ½ 0,2 sin ð3,04 þ k pÞ 0,99 cos ð3,04 þ k pÞ ¼
¼ 3 ½ 0,2 sin 3,04 0,99 cos 3,04 e 0,1 ð3,04 þ k pÞ ¼
¼ 3,016 e 0,1 ð3,04 þ k pÞ > 0
ðk ¼ 0, 2, 4, . . .Þ
(Wir erinnern: Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der primitiven
Periode 2 p).
An diesen Stellen liegen daher relative Minima. Sie beginnen mit
Min 1 ¼ ð3,04;
2,20Þ
Min 2 ¼ ð9,32;
1,17Þ
Min 3 ¼ ð15,61; 0,63Þ
usw:
Für ungerades k ist die 2. Ableitung negativ:
__y ð3,04
þ k pÞ ¼ 3,016 e 0,1 ð3,04 þ k pÞ < 0
Wir erhalten an diesen Stellen daher relative Maxima:
Max 1 ¼ ð6,18; 1,61Þ
Max 2 ¼ ð12,47; 0,86Þ
Max 3 ¼ ð18,75; 0,46Þ
usw:
ðk ¼ 1, 3, 5, . . .Þ
3 Anwendung der Differentialrechnung
405
Minima und Maxima folgen daher abwechselnd aufeinander im Abstand einer halben Periode.
Wendepunkte: __
y ¼ 0
__y ¼ 0
und
___y 6¼
0
3 e 0,1 t ð0,2 sin t 0,99 cos tÞ ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
6¼ 0
)
0,2 sin t 0,99 cos t ¼ 0
sin t
0,99
¼
¼ 4,95
cos t
0,2
)
)
)
0,2 sin t ¼ 0,99 cos t
)
tan t ¼ 4,95
Die positiven Lösungen dieser Gleichung lauten nach Bild IV-58:
t k ¼ arctan 4,95 þ k p ¼ 1,37 þ k p
y
ðk 2 NÞ
y = 4,95
4,95
–
p
p
2
2
arctan 4,95
3
p
2
t1
5
p
2
t
t2
Bild IV-58 Positive Lösungen der Gleichung tan t ¼ 4,95 (Skizze)
Die 3. Ableitung ist an diesen Stellen abwechselnd positiv und negativ und damit
von Null verschieden, so dass tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Sie beginnen mit
W 1 ¼ ð 1,37; 0,52Þ
W 2 ¼ ð 4,51; 0,38Þ
W 3 ¼ ð 7,65; 0,28Þ
W 4 ¼ ð10,80; 0,20Þ
W 5 ¼ ð13,94; 0,15Þ
usw:
Wertebereich: 2,20 y 3
(Der größte Wert wird dabei für t ¼ 0, der kleinste im 1. Minimum angenommen!).
Zeichnung der Funktion:
Der Funktionsverlauf ist in Bild IV-59 skizziert, wobei auf beiden Achsen der gleiche Maßstab verwendet wurde.
406
IV Differentialrechnung
y
y = 3 · e – 0,1t · cos t
3
Max
Max
1
–1
10
1
15
t
5
Min
Min
–3
Min
Bild IV-59 Verlauf einer gedämpften Schwingung, dargestellt am Beispiel der Funktion
y ¼ 3 e 0,1 t cos t für t 0
&
3.7 Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem
Tangentenverfahren von Newton
3.7.1 Iterationsverfahren
Die Bestimmung der Lösungen einer Gleichung f ðxÞ ¼ 0 mit der Unbekannten x
gehört zu den wichtigsten Aufgaben der „praktischen“ Mathematik 8). Ist x 1 eine solche
Lösung, d. h. f ðx 1 Þ ¼ 0, so kann der Wert x 1 auch als eine Nullstelle der Funktion
y ¼ f ðxÞ aufgefasst werden. Daher ist das Problem, die Lösungen einer Gleichung
vom Typ f ðxÞ ¼ 0 zu bestimmen, dem Problem, die Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ
zu ermitteln, völlig gleichwertig.
Das von Newton stammende Näherungsverfahren zur Berechnung der reellen Nullstellen
einer Funktion y ¼ f ðxÞ ist ein sog. Iterationsverfahren, das von einem Näherungswert x 0 (auch Anfangswert, Startwert oder Rohwert genannt) ausgeht und durch wiederholtes Anwenden einer bestimmten Rechenvorschrift eine Folge von Näherungswerten x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . konstruiert, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen
die exakte Lösung x konvergiert:
x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . ! x
ðIV-93Þ
Diese Rechenvorschrift (Iterationsvorschrift) ist in Form einer Gleichung vom Typ
x n ¼ F ðx n 1 Þ
ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ
ðIV-94Þ
darstellbar. Durch Einsetzen des Startwertes x 0 in die Rechenvorschrift erhält man die
1. Näherung x 1 ¼ F ðx 0 Þ. Fasst man jetzt x 1 als einen neuen (verbesserten) „Anfangswert“ für die (unbekannte) exakte Lösung (Nullstelle) x auf, so erhält man durch
Einsetzen von x 1 in die Iterationsgleichung (IV-94) die 2. Näherung x 2 ¼ F ðx 1 Þ usw..
8)
In den Anwendungen sind in der Regel nur die reellen Lösungen einer Gleichung von Bedeutung. Daher
beschränken wir uns auf diesen wichtigsten Fall.
3 Anwendung der Differentialrechnung
407
Die so konstruierte Folge von Näherungswerten konvergiert dann unter gewissen Voraussetzungen gegen die gesuchte exakte Lösung x.
3.7.2 Tangentenverfahren von Newton
Das Newtonsche Tangentenverfahren geht von den folgenden berlegungen aus:
(1)
Ist x 0 irgendein geeigneter Näherungswert für die (unbekannte) Nullstelle x einer
Funktion y ¼ f ðxÞ, so wird im 1. Schritt der Funktionsgraph von y ¼ f ðxÞ durch
die im Kurvenpunkt P 0 ¼ ðx 0 ; y 0 Þ errichtete Kurventangente mit der Gleichung
y y0
¼ f 0 ðx 0 Þ
ðmit y 0 ¼ f ðx 0 ÞÞ
ðIV-95Þ
x x0
ersetzt. Diese Tangente schneidet dabei die x-Achse an der Stelle x 1 , die in der
Regel eine bessere Näherung für die gesuchte Nullstelle darstellt als der Startwert
x 0 (Bild IV-60). Der Wert x 1 wird dabei aus der Gleichung
0 y0
¼ f 0 ðx 0 Þ
x1 x0
ðIV-96Þ
berechnet (Schnittpunkt mit der x-Achse: S 1 ¼ ðx 1 ; 0ÞÞ.
y
y = f (x)
Tangente in P 0
Tangente in P 1
P0
P1
y0
y1
x
x2
x1
x0
x
Bild IV-60 Zum Tangentenverfahren von Newton
Durch Auflösen dieser Gleichung nach x 1 erhält man den 1. Näherungswert
x1 ¼ x0 y0
f ðx 0 Þ
¼ x0 0
f ðx 0 Þ
f 0 ðx 0 Þ
ðIV-97Þ
der eine Verbesserung gegenüber dem Startwert x 0 darstellt. Bild IV-60 verdeutlicht diese Aussage. Dabei muss ausdrücklich f 0 ðx 0 Þ 6¼ 0 vorausgesetzt werden.
Auf dieses Thema gehen wir später noch ein.
408
(2)
IV Differentialrechnung
Den Näherungswert x 1 fassen wir nun als Anfangswert eines weiteren Iterationsschrittes auf. Die im Kurvenpunkt P 1 ¼ ðx 1 ; y 1 Þ errichtete Kurventangente besitzt die Gleichung
y y1
¼ f 0 ðx 1 Þ
ðmit y 1 ¼ f ðx 1 ÞÞ
ðIV-98Þ
x x1
Ihr Schnittpunkt S 2 ¼ ðx 2 ; 0Þ mit der x-Achse liefert die 2. Näherung x 2 für
die gesuchte Nullstelle der Funktion:
0 y1
¼ f 0 ðx 1 Þ
x2 x1
)
x2 ¼ x1 y1
f ðx 1 Þ
¼ x1 0
f ðx 1 Þ
f ðx 1 Þ
0
ðIV-99Þ
Dieser Wert ist eine bessere Näherung als der Wert x 1 aus der 1. Näherung.
(3)
Jetzt wird x 2 als Startwert betrachtet und das beschriebene Verfahren wiederholt.
Nach n Schritten gelangen wir schließlich zur n-ten Näherung x n , die aus der
allgemeinen Iterationsvorschrift
xn ¼ xn1 f ðx n 1 Þ
f 0 ðx n 1 Þ
ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ
ðIV-100Þ
berechnet wird (Newtonsches Tangentenverfahren).
Bevor wir das Newtonsche Iterationsverfahren auf konkrete Beispiele anwenden, wollen
wir noch auf drei wichtige Punkte näher eingehen:
Konvergenzkriterium
Die Konvergenz der nach dem Newtonschen Tangentenverfahren konstruierte Folge von
Näherungswerten x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . gegen die exakte Lösung x ist mit Sicherheit
gewährleistet, wenn im Intervall ½ a, b , in dem alle Näherungswerte liegen sollen, die
Bedingung
f ðxÞ f 00 ðxÞ ð f 0 ðxÞ 6¼ 0Þ
ðIV-101Þ
< 1
½ f 0 ðxÞ 2 stets erfüllt ist (hinreichende Konvergenzbedingung). Dabei wird vorausgesetzt, dass
f ðxÞ (mindestens) zweimal differenzierbar ist.
„Günstig“ ist somit ein Startwert x 0 , bei dem sowohl der Funktionswert f ðx 0 Þ als
auch die 2. Ableitung f 00 ðx 0 Þ möglichst klein sind (dann nämlich ist der Zähler der
Konvergenzbedingung klein). Die 1. Ableitung f 0 ðx 0 Þ sollte dagegen nicht zu klein sein
(sonst wird der Nenner der Konvergenzbedingung zu klein und der Bruch damit zu
groß). Mit anderen Worten: Der dem Startwert entsprechende Kurvenpunkt sollte eine
möglichst kleine Ordinate haben, die Kurve an dieser Stelle möglichst schwach gekrümmt sein und die dortige Kurventangente nicht zu flach verlaufen.
Ist die Konvergenzbedingung jedoch bereits für den Startwert x 0 nicht erfüllt, so ist
dieser Wert als Startwert „ungeeignet“, d. h., es ist nicht sichergestellt, dass die aus diesem Startwert x 0 resultierende Folge von Näherungswerten gegen die gesuchte Lösung
strebt. In einem solchen Fall ist es in der Regel günstiger, sich nach einem neuen, „besseren“ Startwert umzusehen.
3 Anwendung der Differentialrechnung
409
Ungeeignete Startwerte
Völlig ungeeignet sind dagegen Startwerte, in deren unmittelbarer Umgebung die Kurventangente nahezu parallel zur x-Achse verläuft. In solchen Punkten ist nämlich f 0 ðxÞ nur
wenig von Null verschieden: Der Schnittpunkt der nur schwach geneigten Kurventangente
mit der x-Achse liegt daher meist in großer Entfernung vom Startwert x 0 . Die Folge der
Näherungswerte konvergiert daher in diesem Falle im Allgemeinen nicht gegen die gesuchte Lösung. Dies folgt auch unmittelbar aus dem Konvergenzkriterium (IV-101). Denn der
Ausdruck der linken Seite in diesem Kriterium wird immer dann sehr groß sein, wenn der
Nenner und damit die Ableitung f 0 ðxÞ sehr klein ist. Dieser Fall wird aber genau dann
eintreten, wenn die Kurventangente flach verläuft (wie beispielsweise in der Nähe eines
relativen Extremwertes oder eines Sattelpunktes, siehe hierzu Bild IV-61). Das Konvergenzkriterium (IV-101) kann daher in einem solchen Fall nicht erfüllt werden.
y
Tangente in P 0
P0
x
x0
x1
x
Bild IV-61 Ungeeigneter Startwert in der Nähe eines Extremwertes
Beschaffung eines geeigneten Startwertes x 0
Zu Beginn dieses Abschnittes haben wir bereits darauf hingewiesen, dass man die
Lösungen einer Gleichung f ðxÞ ¼ 0 auch als Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ auffassen kann, deren ungefähre Lage sich in vielen Fällen auf graphischem Wege durch
Zeichnen des zugehörigen Funktionsgraphen ermitteln lässt.
Bei komplizierter gebauten Gleichungen kann man versuchen, diese durch Termumstellungen auf folgende Form zu bringen:
f ðxÞ ¼ 0
,
f 1 ðxÞ ¼ f 2 ðxÞ
ðIV-102Þ
(Aufspalten der Funktion f ðxÞ in zwei einfacher gebaute Funktionen f 1 ðxÞ und
f 2 ðxÞÞ. Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich dann auf zeichnerischem Wege als
Schnittpunkte der beiden Kurven y ¼ f 1 ðxÞ und y ¼ f 2 ðxÞ. Da die Funktionen
y ¼ f 1 ðxÞ und y ¼ f 2 ðxÞ wesentlich einfacher gebaut sind als die Ausgangsfunktion
y ¼ f ðxÞ, ist das Zeichnen der zugehörigen Kurven im Allgemeinen kein großes Problem. Die Abszissenwerte der Kurvenschnittpunkte liefern dann geeignete Rohwerte
(Startwerte) für die gesuchten Lösungen der Gleichung f ðxÞ ¼ 0 und können direkt
aus der Skizze abgelesen werden.
410
IV Differentialrechnung
Wir fassen diese wichtigen Ergebnisse wie folgt zusammen:
Tangentenverfahren von Newton (Bild IV-60)
Ausgehend von einem geeigneten Startwert x 0 , der die Konvergenzbedingung
f ðx Þ f 00 ðx Þ 0
0 ðIV-103Þ
< 1
½ f 0 ðx 0 Þ 2 erfüllen soll, erhält man aus der Iterationsvorschrift
xn ¼ xn1 f ðx n 1 Þ
f 0 ðx n 1 Þ
ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ
ðIV-104Þ
eine Folge von Näherungswerten x 0 , x 1 , x 2 , . . . für die (unbekannte) Lösung der
Gleichung f ðxÞ ¼ 0. Diese Folge konvergiert mit Sicherheit gegen die gesuchte
Lösung, wenn die Konvergenzbedingung (IV-103) für jeden dieser Näherungswerte
erfüllt ist.
Den für dieses Verfahren benötigten Startwert x 0 erhält man in vielen Fällen am
bequemsten auf graphischem Wege nach einer der beiden folgenden Methoden:
1. Methode: Man zeichnet grob den Verlauf der Funktion y ¼ f ðxÞ und liest aus
der Skizze die ungefähre Lage der (gesuchten) Nullstelle ab. Dieser
Näherungswert wird dann als Startwert x 0 verwendet.
2. Methode: Zunächst wird die Gleichung f ðxÞ ¼ 0 durch Termumstellungen in
eine geeignetere Form vom Typ
f 1 ðxÞ ¼ f 2 ðxÞ
ðIV-105Þ
gebracht. Dann werden die Kurven y ¼ f 1 ðxÞ und y ¼ f 2 ðxÞ grob
skizziert und der Abszissenwert des Kurvenschnittpunktes abgelesen.
Er liefert den benötigten Startwert x 0 .
Anmerkungen
(1)
Die Anzahl der gültigen Dezimalstellen der Näherungslösungen verdoppelt sich nahezu mit jedem Iterationsschritt.
(2)
Besitzt die Gleichung f ðxÞ ¼ 0 mehrere Lösungen, so muss man zu jeder (gesuchten) Lösung einen geeigneten Startwert bestimmen und dann das NewtonVerfahren für die einzelnen Startwerte getrennt anwenden.
Wir werden nun die Brauchbarkeit des Newtonschen Tangentenverfahrens an zwei
ausgewählten Beispielen demonstrieren.
3 Anwendung der Differentialrechnung
&
411
Beispiele
(1)
f ðxÞ ¼ 2,2 x 3 7,854 x 2 þ 6,23 x 22, 2411 ¼ 0
Um uns einen berblick über die Lage der Nullstellen von f ðxÞ zu verschaffen
(bis zu drei Nullstellen sind möglich), berechnen wir einige Funktionswerte und
skizzieren in diesem Bereich grob den Funktionsverlauf (Bild IV-62):
Wertetabelle:
x
y
0
1
2
3
4
22,24
21,67
23,60
14,84
þ 17,81
y
20
10
1
2
3
4
x
–10
–20
x ≈ 3,5
Bild IV-62
–30
Anhand der Skizze erkennt man, dass eine Lösung der Gleichung zwischen x ¼ 3
und x ¼ 4 liegen muss. Wir wählen daher als Startwert x 0 ¼ 3,5. Bevor wir
mit der Newton-Iteration beginnen, prüfen wir noch mit Hilfe des Konvergenzkriteriums (IV-103), ob dieser Wert auch als Startwert „geeignet“ ist. Für das Kriterium
benötigen wir noch den Funktionswert f ð3,5Þ sowie die Ableitungswerte f 0 ð3,5Þ
und f 00 ð3,5Þ:
f ðxÞ
¼ 2,2 x 3 7,854 x 2 þ 6,23 x 22,2411
0
) f ð3,5Þ
¼ 2,3226
0
f ðxÞ ¼ 6,6 x 15,708 x þ 6,23
) f ð3,5Þ ¼ 32,1020
f 00 ðxÞ ¼ 13,2 x 15,708
) f 00 ð3,5Þ ¼ 30,4920
2
Das Konvergenzkriterium (IV-104) führt dann zu dem folgenden Ergebnis:
f ð3,5Þ f 00 ð3,5Þ ð 2,3226Þ 30,4920 ¼ 0,0687 < 1
¼ 32,1020 2
½ f 0 ð3,5Þ 2 Folgerung: Der Startwert x 0 ¼ 3,5 ist also „geeignet“. Mit der Iterationsformel
(IV-104) erhalten wir im 1. Schritt einen verbesserten Näherungswert:
x1 ¼ x0 f ðx 0 Þ
f ð3,5Þ
2,3226
¼ 3,5724
¼ 3,5 0
¼ 3,5 f 0 ðx 0 Þ
f ð3,5Þ
32,1020
412
IV Differentialrechnung
Die weiteren Näherungswerte lauten dann:
n
xn1
f ðx n 1 Þ
f 0 ðx n 1 Þ
xn
2,3226
32,1020
3,5724
1
3,5
2
3,5724
0,0823
34,3442
3,5700
3
3,5700
0,0000
Bereits nach zwei Iterationsschritten erhalten wir die (sogar exakte) Lösung
x ¼ 3,5700.
Anmerkung zum verwendeten Startwert
Hätten wir als Startwert z. B. den gröberen Wert x 0 ¼ 4 gewählt, so wäre ein
weiterer Interationsschritt nötig gewesen:
n
xn1
f ðx n 1 Þ
f 0 ðx n 1 Þ
xn
17,8149
48,9980
3,6364
1
4
2
3,6364
2,3453
36,3839
3,5719
3
3,5719
0,0652
34,3285
3,5700
4
3,5700
0,0000
Allgemein gilt daher die Faustregel: Je genauer der Startwert x 0 , um so weniger
Iterationsschritte werden benötigt.
Besitzt die vorgegebene Gleichung 3. Grades noch weitere Lösungen (bis zu drei
Lösungen sind ja bekanntlich möglich)? Um diese Frage zu beantworten, reduzieren wir die Gleichung zunächst mit Hilfe des Horner-Schemas (Abspaltung des
Linearfaktors x 3,57, der zur bereits bekannten Lösung 3,57 gehört):
2,2
x ¼ 3,57
2,2
7,854
6,23
22,2411
7,854
0
22,2411
0
6,23
0
Das 1. reduzierte Polynom f 1 ðxÞ ¼ 2,2 x 2 þ 0 x þ 6,23 ¼ 2,2 x 2 þ 6,23 hat
keine reellen Nullstellen. Damit besitzt die Ausgangsgleichung genau eine reelle
Lösung an der Stelle x ¼ 3,57.
(2)
Die Lösungen der transzendenten Gleichung x 2 þ 2 e x ¼ 0 oder (nach einer
Termumstellung) x 2 þ 2 ¼ e x können als die Abszissenwerte der Schnittpunkte
der Parabel y ¼ x 2 þ 2 mit der Exponentialfunktion y ¼ e x aufgefasst werden.
Aus der graphischen Darstellung in Bild IV-63 folgt, dass genau eine Lösung in
der Nähe von x 0 ¼ 1,5 existiert.
3 Anwendung der Differentialrechnung
413
y
y = ex
y=x2+2
5
Bild IV-63
Graphische Ermittlung
einer Näherungslösung
der Gleichung x 2 þ 2 ¼ e x
1
–1
1
2
x
≈ 1,5
Dieser Wert ist als Startwert geeignet, da er das Konvergenzkriterium erfüllt:
f ðxÞ
¼ x2 þ 2 ex
f 0 ðxÞ ¼ 2 x e x
)
f ð1,5Þ
¼ 0,2317
)
f 0 ð1,5Þ ¼ 1,4817
f 00 ðxÞ ¼ 2 e x
) f 00 ð1,5Þ ¼ 2,4817
f ð1,5Þ f 00 ð1,5Þ ð 0,2317Þ ð 2,4817Þ ¼ ¼ 0,2619 < 1
2
2
0
½ f ð1,5Þ ð 1,4817Þ
Damit ergeben sich aus der Iterationsformel (IV-104) folgende Näherungswerte:
n
xn1
f ðx n 1 Þ
f 0 ðx n 1 Þ
xn
1
2
3
4
1,5
1,3436
1,3195
1,3190
0,2317
0,0276
0,0005
þ 0,0000
1,4817
1,1456
1,1026
1,3436
1,3195
1,3190
Die einzige Lösung der transzendenten Gleichung x 2 þ 2 e x ¼ 0 liegt daher
an der Stelle x ¼ 1,3190.
&
414
IV Differentialrechnung
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
1) Berechnen Sie auf dem direkten Wege über den Differenzenquotienten die Ableitung
der Funktion f ðxÞ ¼ x 3
a) an der Stelle x 0 ¼ 1 ,
b) an der Stelle x 0 :
2) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen von x nach der Potenzregel:
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4
aÞ y ¼ 4 x 5
bÞ y ¼ 2 x a þ 1
cÞ y ¼ x 3
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2
3
ﬃﬃﬃﬃ
fÞ y ¼ x 1=2
dÞ y ¼ p
eÞ
y
¼
x4
3
x
Zu Abschnitt 2
1) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen nach der Summenregel:
aÞ
y ¼ 10 x 4 þ 2 x 3 2
cÞ
y ¼
bÞ
10
3 lg x þ tan x
x3
dÞ
z ðtÞ ¼ a cos t t 2 þ e t þ 1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
3
y ¼ 4 x 5 4 e x þ sin x
2) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen nach der Produktregel:
aÞ
y ¼ ð4 x 3 2 x þ 1Þ ðx 2 2 x þ 5Þ
bÞ
y ¼ tan 2 x
cÞ
eÞ
y ¼ 2 x ln x
hÞ
y ¼ ln x cosh x
dÞ
y ¼ ð3 x þ 5 x 2 1Þ 2
fÞ y ¼ e t cos t
gÞ
y ¼ xn ex
iÞ y ¼ x 2 arcsin x
jÞ
y ¼ 2 x e x cos x
y ¼ sin x cos x
3) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen nach der Quotientenregel:
aÞ
y ¼
5x5 6x2 þ 1
x2 þ 2x þ 1
bÞ
dÞ
y ¼
2x3 6x2 þ x 3
x3 5x
gÞ
y ¼ cot x ¼
cos x
sin x
hÞ
jÞ
y ¼ tanh x ¼
sinh x
cosh x
cÞ
y ¼
ln x
x2
eÞ y ¼ e x ln x
fÞ
y ¼
ln x
x
y ¼
1 þ cos x
1 sin x
iÞ
y ¼
arctan x
ex
kÞ y ¼
x 1=2 x 2
x2 þ 1
lÞ y ¼
y ¼
10 x
x2 þ 1
ex
x 1
bungsaufgaben
415
4) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen nach der Kettenregel:
10
2x þ 5
aÞ
y ¼ 5 ð4 x 3 x 2 þ 1Þ 5
bÞ y ¼
cÞ
y ¼ sin ðx þ 2Þ
dÞ
y ¼ 2 cos ð10 t p=3Þ
eÞ
y ¼ 3 e4x
fÞ
y ¼ sin 2 ð2 x 4Þ
hÞ
y ¼ ex
jÞ
y ¼ arctan ðx 2 þ 1Þ
lÞ
y ¼ ðx 3 4 x þ 5Þ 5=3
nÞ
y ¼ ln j cos x j
y ¼ 2 ln ðx 3 2 xÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
iÞ y ¼ arccos x 2 1
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3
kÞ y ¼
ðx 2 4 x þ 10Þ 2
gÞ
mÞ
y ¼ 5 cos ðx 2 þ 2 x 1Þ 2
x3
2
2xþ5
5) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen:
aÞ
y ¼ e 2 t cos t
bÞ
u ¼ e x sin x
cÞ
y ¼ ðx 2 1Þ 2 ðx þ 5Þ 3
dÞ
y ¼ ð2 x 2 4 x þ 5Þ sin ð2 xÞ
eÞ
y ¼ e 2 x arcsin ðx 1Þ
fÞ
z ¼ ð2 3 tÞ e 5 t
gÞ
y ¼ x ln ðx þ e x Þ 2
hÞ
y ¼ 4 x ln x
jÞ
y ¼ 4 cos ðx 4Þ þ sin ð2 x þ 3Þ
lÞ
y ¼ ln ðtanh tÞ
nÞ
y ¼ 2x y ¼ sin ðx 2 þ 1Þ cos ð4 xÞ
1
x þ4
þ ln
kÞ y ¼ ln
x2
x
n
1þx
mÞ y ¼
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
oÞ y ¼ sin x
iÞ
qÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 1
pÞ y ðtÞ ¼ A e a t þ B e b t
y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ
rÞ
v ðtÞ ¼ ðA þ B tÞ e d t
6) Bestimmen Sie die jeweiligen Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente:
aÞ
y ¼ 5 ex
cÞ
y ¼ sin x cos x
dÞ y ¼ ½ 1 e x þ 2 2
eÞ
y ¼ 4x3 6x2 9x
fÞ y ðtÞ ¼ ð2 tÞ e 5 t
2
bÞ
y ¼ 3 ðx 2Þ 2 ðx 1Þ
1 3
x x ver7) In welchen Punkten der Kurve mit der Funktionsgleichung y ¼
3
1
x 2?
laufen die Tangenten parallel zur Geraden y ¼
4
416
IV Differentialrechnung
8) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen diejenigen Kurvenpunkte, in denen
die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen:
aÞ
y ¼ x ex
2
bÞ
y ¼ 5 þ 3x2 1 4
x
2
9) Bestimmen Sie den auf der Kurve y ¼ 2 e 3 t gelegenen Punkt, dessen Tangente
mit der positiven t-Achse einen Winkel von 30 bildet.
10) Bilden Sie die 1. Ableitung der nachstehenden Funktionen durch logarithmische
Differentiation:
aÞ
y ¼ x cos x
bÞ
y ¼ e x cos x
cÞ
y ¼ 2 e 1=x
11) Beweisen Sie die Potenzregel mit Hilfe der logarithmischen Differentiation.
Hinweis: y ¼ x n erst logarithmieren, dann differenzieren.
12) Bilden Sie die 1. Ableitung über die jeweilige Umkehrfunktion:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
aÞ y ¼ arcsin x
bÞ y ¼ x þ 1
cÞ y ¼ ln x
dy
der folgenden
13) Durch implizite Differentiation gewinne man die Ableitung y 0 ¼
dx
Funktionen (Kurven):
aÞ
Kreis :
x2 þ y2 ¼ r2
bÞ
Ellipse :
b2 x2 þ a2 y2 ¼ a2 b2
cÞ
Kardioide : ðx 2 þ y 2 Þ 2 2 x ðx 2 þ y 2 Þ ¼ y 2
dÞ
x2 ¼ y3
eÞ
y3 2 x y2 ¼
1
x
14) Bestimmen Sie durch implizite Differentiation den Anstieg der Kreistangente im
Punkte P 0 ¼ ð4; y 0 > 0Þ des Kreises ðx 2Þ 2 þ ðy 1Þ 2 ¼ 25.
15) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen zweimal:
aÞ
y ¼ e 0,8 t cos t
bÞ
y ¼ x 3 ln x x arctan x
x2
1 þ x2
dÞ
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
fÞ
y ¼
cÞ y ¼
eÞ
y ¼ 4 x sin x
ðx 2Þ ðx þ 5Þ
x3 þ x2 2
bungsaufgaben
417
16) Bilden Sie die jeweils verlangte Ableitung:
__y ð0Þ
aÞ
y ¼ e 2 t sin ð4 t þ 5Þ ,
bÞ
y ¼ x ln x ,
y 000 ðxÞ ¼ ? ,
x 1 2
y ¼
,
y 0 ð0Þ ¼ ? ,
x þ1
cÞ
¼ ?
y 000 ð1Þ ¼ ?
y 00 ð0Þ ¼ ? ,
y 000 ð0Þ ¼ ?
dy
17) Bilden Sie den 1. Differentialquotient
¼ y 0 für die folgenden in der Paramedx
terform dargestellten Funktionen:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃ
aÞ y ¼ t ,
y ¼ t þ1,
t 0,
y 0 ðt 0 ¼ 1Þ ¼ ?
x ¼ cos 3 t ,
bÞ
Astroide :
cÞ
x ¼ arcsin t ,
dÞ
x ¼ t 2,
y ¼ sin 3 t ,
y ¼ t2 ,
y ¼ t 3,
1 < t < 1
1 < t < 1
1 < t < 1,
y 0 ðt 0 ¼ 3Þ ¼ ?
18) Die Mittelpunktsellipse mit den Halbachsen a und b besitzt die Parameterdarstellung x ¼ a cos t, y ¼ b sin t ð0 t < 2 pÞ. Bestimmen Sie den
Anstieg der zum Parameterwert t 1 ¼ p=4 gehörenden Ellipsentangente. Wo besitzt die Ellipse waagerechte bzw. senkrechte Tangenten?
19) Die durch die Parameterdarstellung
x ¼
t2 1
,
t2 þ 1
y ¼
t ðt 2 1Þ
,
t2 þ 1
1 < t < 1
definierte Kurve heißt Strophoide. Bestimmen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter bzw. senkrechter Tangente und skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
dy
20) Bilden Sie die 1. Ableitung y 0 ¼
der nachstehenden in Polarkoordinaten dardx
gestellten Funktionen (Kurven):
aÞ
r ¼ ej
bÞ
r ¼ e j sin j
cÞ
r ¼
1
j
21) Bestimmen Sie die waagerechten und
senkrechten
Tangenten der in Polarkoordinapﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
ten dargestellten Lemniskate r ¼
cos ð2 jÞ und skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
22) Für die logarithmische Spirale r ¼ e j bestimme man alle im Intervall
0 j 2 p gelegenen Punkte mit waagerechter bzw. senkrechter Tangente.
23) Die Weg-Zeit-Funktion s ðtÞ ¼ 1,8 ms 2 t 2 þ 4 ms 1 t þ 10 m beschreibe
die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes. Berechnen Sie den Weg s, die
Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a nach t ¼ 10 s.
418
IV Differentialrechnung
24) Die gedämpfte Schwingung eines elastischen Federpendels werde durch die Gleichung y ðtÞ ¼ 2 e 0,1 t sin ð4 tÞ beschrieben. Berechnen Sie Auslenkung y,
Geschwindigkeit v und Beschleunigung a zur Zeit t ¼ 3 (in willkürlichen Einheiten).
25) Eine ungedämpfte mechanische Schwingung unterliege dem Weg-Zeit-Gesetz
y ðtÞ ¼ 10 cm cos ð2 s 1 t p=3Þ. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit-ZeitFunktion v ¼ v ðtÞ und die Beschleunigung-Zeit-Funktion a ¼ a ðtÞ und berechnen Sie ihre Werte nach 3,2 s.
Zu Abschnitt 3
1) Bestimmen Sie die Tangenten- und Normalengleichung an der angegebenen Stelle:
y ¼ 10 ð1 e 0,2 t Þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
bÞ y ¼ 16 x 2
in
aÞ
t0 ¼ 2
in
x 0 ¼ 1,2
cÞ y ¼ 4 ln ðx 2 4 x þ 3Þ
x0 ¼ 4
in
2) Zeigen Sie: Die an der Stelle t 0 ¼ 0 errichtete Kurventangente der Funktion
y ¼ A ð1 e t=T Þ schneidet die Asymptote y ¼ A an der Stelle t 1 ¼ T.
3) Linearisieren Sie die folgenden Funktionen in der Umgebung der jeweils genannten Stelle:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
aÞ y ¼
1 þ x4 ,
x0 ¼ 1
bÞ
y ¼ 3 ln ð1 þ 3 x 5 Þ ,
cÞ r ¼ 2 cos j ,
x0 ¼ 3
j0 ¼ p=4
ðKurve in Polarkoordinatendarstellung)
4) Die Funktion y ¼ ln x ist in der unmittelbaren Umgebung der Stelle x 0 ¼ 5 zu
linearisieren, d. h. durch die dortige Kurventangente zu ersetzen. Berechnen Sie
mit dieser Näherungsfunktion die Funktionswerte an den Stellen x 1 ¼ 4,8 und
x 2 ¼ 5,3 und vergleichen Sie das Ergebnis mit den exakten Werten.
5) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Polynomfunktion
2 3
x 4 x 2 þ 9 x þ 1.
y ¼
3
6) Wie lautet die Gleichung derpTangente,
die vom Punkte A ¼ ð 1; 0Þ aus an den
ﬃﬃﬃﬃ
Funktionsgraphen von y ¼ x gelegt wird?
7) Zeigen Sie, dass die e-Funktion überall Linkskrümmung hat. Wie groß sind Krümmung und Krümmungsradius an der Stelle x ¼ 0?
bungsaufgaben
419
8) Welche Krümmung und welchen Krümmungsradius besitzt die Mittelpunktellipse
mit den Halbachsen a und b im Schnittpunkt mit der positiven y-Achse?
9) Berechnen Sie die Krümmung der Gauß-Funktion y ¼ e 0,5 x
Wendepunkten (diese liegen bei 1 und þ 1).
2
in den beiden
10) Bestimmen Sie den jeweiligen Krümmungskreis (Angabe von Radius r und Mittelpunkt M):
aÞ
Sinusfunktion y ¼ sin x ,
bÞ
Normalparabel y ¼ x 2 ,
cÞ
y ¼ ð1 e
x 2
Þ ,
Hochpunkt P ¼ ðp=2; 1Þ
Scheitelpunkt S ¼ ð0; 0Þ
P ¼ ð0; 0Þ
2a
a2
2 , r > 0 an der Stelle
r
r
r 0 ¼ a ein relatives (und sogar absolutes) Minimum besitzt (a und D sind positive Konstanten).
11) Zeigen Sie, dass die Funktion V ðrÞ ¼ D
12) Wo besitzen die folgenden Funktionen relative Extremwerte?
bÞ
z ¼ t 4 8 t 2 þ 16
cÞ
y ¼ 8 x 3 þ 12 x 2 þ 18 x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
u ¼ 1þz þ 1z
dÞ
y ¼ x ex
eÞ
y ¼ sin x cos x
fÞ
y ¼
aÞ
2x 2x2
x2 x 6
13) Es ist zu zeigen, dass die Funktion
y ¼ x 6 16 x 5 þ 105 x 4 360 x 3 þ 675 x 2 648 x þ 243
an der Stelle x 1 ¼ 3 einen Sattelpunkt besitzt.
14) Zeigen Sie, dass bei den vier trigonometrischen Funktionen die Wendepunkte mit
den Nullstellen zusammenfallen und berechnen Sie die Steigung der Wendetangenten.
15) Ein Balken auf zwei Stützen (Stützweite l) hat bei gleichmäßig verteilter Last q
im Abstand x vom linken Auflager das Biegemoment
M ðxÞ ¼
q
ðl xÞ x
2
ð0 x lÞ
An welcher Stelle ist das Biegemoment am größten?
16) Zeigen Sie: Eine Parabel besitzt in ihrem Scheitelpunkt S ¼ ðx 0 ; y 0 Þ die größte
Krümmung.
Hinweis: Gehen Sie von der Scheitelpunktsform der Parabel aus.
420
IV Differentialrechnung
17) Die Bremskraft einer Wirbelstromscheibenbremse ist durch die Gleichung
K ðvÞ ¼
a2 v
þ b2
ðv 0Þ
v2
als Funktion der Umfangsgeschwindigkeit v gegeben (a, b: Konstanten).
a)
Bei welcher Umfangsgeschwindigkeit ist die Bremskraft am größten?
b)
Wie groß ist dann die Bremskraft?
18) Die Leistungsaufnahme eines Verbrauchers vom Widerstand R, der durch eine
Zweipolquelle (Innenwiderstand R i ; Quellspannung U 0 ) gespeist wird, beträgt
P ðRÞ ¼ U 02
R
ðR þ R i Þ 2
Zeigen Sie, dass der Verbraucherwiderstand R die größtmögliche Leistung aufnimmt, wenn R ¼ R i gewählt wird (sog. Leistungsanpassung).
19) Einem Kreis vom Radius R soll ein Rechteck mit größtem Flächenmoment
1
Ia ¼
a b 3 einbeschrieben werden (a, b: Seitenlängen des Rechtecks).
12
Hinweis: Das Flächenmoment ist bezogen auf eine zur Rechteckseite a parallele,
durch den Flächenschwerpunkt verlaufende Bezugsachse.
20) Wie ist der rechteckige Querschnitt eines Kanals zu dimensionieren, damit der Materialverbrauch am kleinsten wird? (Querschnittsfläche des Kanals: A ¼ 4 m 2 )
21) Einer Kugel vom Radius R ¼ 2 m ist ein senkrechter Kreiszylinder größten Volumens einzubeschreiben.
22) Zwei Massenpunkte A und B bewegen sich längs der beiden Koordinatenachsen
gleichförmig mit den Geschwindigkeiten v A ¼ 0,5 m/s bzw. v B ¼ 0,6 m/s in
Richtung Koordinatenursprung. Zu Beginn (d. h. zur Zeit t ¼ 0 s) befinden sie
sich an den Orten x ð0Þ ¼ 15 m bzw. y ð0Þ ¼ 12 m. Nach welcher Zeit ist ihr
gegenseitiger Abstand am kleinsten?
23) Unter sämtlichen Kreiszylindern vom Rauminhalt V ¼ 1000 cm 3 ist derjenige
mit minimaler Gesamtoberfläche zu bestimmen.
24) Diskutieren Sie unter Verwendung der Hilfsmittel der Differentialrechnung den
Verlauf der folgenden Funktionen:
x2 þ 1
x 3
ln x
dÞ y ¼
x
aÞ
y ¼
gÞ y ¼ ð1 e 2 x Þ 2
bÞ y ¼
ðx 1Þ2
x þ1
eÞ y ¼ sin 2 x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
x þ 9 x2
2
cÞ
y ¼
fÞ
y ¼ sin x þ cos x
bungsaufgaben
421
25) Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden aperiodischen Bewegungen eines FederMasse-Schwingers:
aÞ
y ¼ 4 ðe t e 3 t Þ
ðt 0Þ
bÞ
y ¼ 5 ð1 3 tÞ e 2 t
ðt 0Þ
26) Eine sog. Parabel 3. Ordnung vom Typ y ¼ a x 3 þ b x 2 þ c x þ d geht durch
den Koordinatenursprung und besitzt im Punkt (1; 2) einen Wendepunkt. Die
Wendetangente schneidet dabei die x-Achse an der Stelle x 1 ¼ 2. Bestimmen Sie
aus diesen Funktionseigenschaften die vier Koeffizienten a, b, c und d.
27) Bestimmen Sie nach dem Tangentenverfahren von Newton sämtliche (reellen)
Lösungen der folgenden Gleichungen mit einer Genauigkeit von vier Dezimalstellen nach dem Komma:
pﬃﬃﬃﬃ
bÞ ln x ¼ 4 e 0,3 x
aÞ x 2 2 cos x ¼ 0
cÞ
u 3 ¼ 1,5 u þ 1
dÞ
x e x ¼ 0,5
28) Bestimmen Sie nach dem Newtonschen Tangentenverfahren die im Intervall
p p
liegenden Lösungen der Gleichung tan x ¼ x þ 2.
;
2 2
422
V Integralrechnung
1 Integration als Umkehrung der Differentiation
Das Grundproblem der in Kapitel IV behandelten Differentialrechnung besteht in der
Bestimmung der Ableitung einer vorgegebenen Funktion y ¼ f ðxÞ. Dieser Vorgang
wird als Differentiation bezeichnet und lässt sich schematisch wie folgt darstellen:
y ¼ f ðxÞ
Differentiation
"
y 0 ¼ f 0 ðxÞ
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stellt sich aber auch häufig das
umgekehrte Problem: Von einer zunächst noch unbekannten Funktion y ¼ f ðxÞ ist die
Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ bekannt und die Funktion selbst ist zu bestimmen. Die Aufgabe
besteht also darin, von der gegebenen Ableitung auf die Funktion zu schließen:
y 0 ¼ f 0 ðxÞ
!"
y ¼ f ðxÞ
Auf ein solches Problem stößt man beispielsweise in der Mechanik, wenn von einer
Bewegung das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v ¼ v ðtÞ bekannt ist und daraus dann das
Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ ermittelt werden soll. Denn bekanntlich ist die Geschwindigkeit die 1. Ableitung des Weges nach der Zeit: v ¼ s_ (siehe hierzu auch Kap. IV, Abschnitt 2.13.1). Auch hier soll also von der bekannten Ableitung s_ einer noch unbekannten Funktion s ¼ s ðtÞ auf die Funktion selbst geschlossen werden:
s_ ¼ v ðtÞ
&
!"
s ¼ s ðtÞ
Beispiele
Auf Grund der Kenntnisse aus der Differentialrechnung lassen sich die folgenden Aufgaben leicht lösen.
(1)
Gegeben: y 0 ¼ 1
Gesucht: Sämtliche Funktionen y ¼ f ðxÞ mit der 1. Ableitung y 0 ¼ 1
Lösung: Jede lineare Funktion vom Typ y ¼ x þ C ist wegen
y0 ¼
d
ðx þ CÞ ¼ 1 þ 0 ¼ 1
dx
eine Lösung der gestellten Aufgabe (C: beliebige reelle Zahl). Es handelt sich
dabei um die in Bild V-1 skizzierte parallele Geradenschar. Für jeden Wert des
1 Integration als Umkehrung der Differentiation
423
Parameters C erhält man genau eine Gerade. Weitere Lösungen gibt es nicht.
Geometrische Bedeutung des Parameters C: Schnittstelle mit der y-Achse (Achsenabschnitt).
y
Bild V-1
Geradenschar y ¼ x þ C
x
(2)
Gegeben: y 0 ¼ 2 x
Gesucht: Sämtliche Funktionen y ¼ f ðxÞ mit der 1. Ableitung y 0 ¼ 2 x
Lösung:
y ¼ x2 þ C
(Parabelschar, siehe Bild V-2)
Denn für jedes (reelle) C ist
y0 ¼
d
ðx 2 þ CÞ ¼ 2 x þ 0 ¼ 2 x
dx
Geometrische Bedeutung des Parameters C: Er bestimmt die Lage des Scheitelpunktes auf der y-Achse.
y
Bild V-2
Parabelschar y ¼ x 2 þ C
x
(3)
Bewegung einer Masse mit konstanter Beschleunigung a längs einer Geraden
Aus dem als bekannt vorausgesetzten Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ¼ a t þ v 0
für t 0 schließen wir wie folgt auf das Weg-Zeit-Gesetz:
v ¼ s_ ¼ a t þ v 0
)
s ¼
1
a t2 þ v0 t þ C
2
424
V Integralrechnung
(v 0 ¼ v ðt ¼ 0Þ: Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0). Denn es gilt:
d 1
1
a t 2 þ v 0 t þ CÞ ¼
a 2 t þ v0 þ 0 ¼ a t þ v0
s_ ¼
dt 2
2
Die Konstante C ermitteln wir aus der Anfangslage s ðt ¼ 0Þ ¼ s 0 :
s ðt ¼ 0Þ ¼ s0
)
1
a 02 þ v0 0 þ C ¼ s0
2
)
C ¼ s0
Somit:
s ¼
1
a t2 þ v0 t þ s0
2
ðf ür t 0Þ
&
Wir nehmen noch folgende Umbenennungen vor:
f ðxÞ:
Vorgegebene 1. Ableitung einer (zunächst noch unbekannten) Funktion
F ðxÞ:
Jede Funktion mit der 1. Ableitung F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
Eine Funktion F ðxÞ mit dieser Eigenschaft wird als eine Stammfunktion von f ðxÞ
bezeichnet.
Wir definieren daher:
Definition: Eine differenzierbare Funktion F ðxÞ heißt eine Stammfunktion von
f ðxÞ, wenn
F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðV-1Þ
gilt.
&
Beispiele
(1)
f ðxÞ ¼ 2 x
)
F ðxÞ ¼ x 2 þ C
(C 2 R; Parabelschar aus Bild V-2)
Denn die 1. Ableitung von F ðxÞ ergibt genau f ðxÞ:
F 0 ðxÞ ¼
(2)
f ðxÞ ¼ cos x
d
ðx 2 þ CÞ ¼ 2 x þ 0 ¼ 2 x ¼ f ðxÞ
dx
)
F ðxÞ ¼ sin x þ C
ðC 2 RÞ
Denn es ist:
F 0 ðxÞ ¼
d
ðsin x þ CÞ ¼ cos x þ 0 ¼ cos x ¼ f ðxÞ
dx
1 Integration als Umkehrung der Differentiation
(3)
f ðxÞ ¼ e x þ
1
1 þ x2
)
425
F ðxÞ ¼ e x þ arctan x þ C
ðC 2 RÞ
Denn es gilt:
d
1
þ0 ¼
ðe x þ arctan x þ CÞ ¼ e x þ
dx
1 þ x2
1
¼ ex þ
¼ f ðxÞ
1 þ x2
F 0 ðxÞ ¼
(4)
f ðxÞ ¼
1
cos 2 x
)
F ðxÞ ¼ tan x þ C
ðC 2 R; cos x 6¼ 0Þ
Denn die erste Ableitung von F ðxÞ ergibt genau die Funktion f ðxÞ:
F 0 ðxÞ ¼
(5)
d
1
1
þ0 ¼
¼ f ðxÞ
ðtan x þ CÞ ¼
2
dx
cos x
cos 2 x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
F ðxÞ ¼ ln ðx þ
a 2 þ x 2 Þ ist eine Stammfunktion von f ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ,
2 þ x2
a
denn es gilt (unter Verwendung der Kettenregel):
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
d
1
2x
0
2
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 þ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼
ln ðx þ
a þx Þ ¼
F ðxÞ ¼
dx
x þ a2 þ x2
2 a2 þ x2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2 þ x2 þ x
1
1
¼
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ f ðxÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
2
2
2
2
a þx
a þ x2
x þ a þx
&
Anhand dieser Beispiele lassen sich die wesentlichen Eigenschaften der Stammfunktionen erkennen. Wir fassen sie wie folgt zusammen:
Eigenschaften der Stammfunktionen
1. Es gibt zu jeder stetigen Funktion f ðxÞ unendlich viele Stammfunktionen.
2. Zwei beliebige Stammfunktionen F1 ðxÞ und F2 ðxÞ von f ðxÞ unterscheiden
sich durch eine additive Konstante:
F1 ðxÞ F2 ðxÞ ¼ const:
ðV-2Þ
3. Ist F1 ðxÞ eine beliebige Stammfunktion von f ðxÞ, so ist auch F1 ðxÞ þ C
eine Stammfunktion von f ðxÞ. Daher lässt sich die Menge aller Stammfunktionen in der Form
F ðxÞ ¼ F1 ðxÞ þ C
darstellen (C ist dabei eine beliebige reelle Konstante).
ðV-3Þ
426
V Integralrechnung
Der zum Auffinden sämtlicher Stammfunktionen führende Prozess heißt Integration:
Definition: Das Aufsuchen sämtlicher Stammfunktionen F ðxÞ zu einer vorgegebenen stetigen Funktion f ðxÞ wird als Integration bezeichnet:
f ðxÞ
Integration
!"
F ðxÞ
mit
F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðV-4Þ
Wir können daher die Integration als Umkehrung der Differentiation auffassen. Während
der Differentiationsprozess aus einer vorgegebenen Funktion die Ableitung erzeugt, wird
durch den Prozess der Integration aus einer vorgegebenen Ableitungsfunktion die Gesamtheit der Stammfunktionen ermittelt.
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem sog. Flächenproblem, d. h. der Aufgabe, die Fläche zwischen einer Kurve y ¼ f ðxÞ und der x-Achse im Intervall
a x b zu bestimmen. Die Lösung dieser Aufgabe wird uns dabei zu dem wichtigen Begriff des bestimmten Integrals einer Funktion f ðxÞ führen.
Zunächst aber soll das Problem an einem einfachen Beispiel näher erläutert werden.
2.1 Ein einführendes Beispiel
Wir stellen uns die Aufgabe, den Flächeninhalt A zwischen der Normalparabel y ¼ x 2
und der x-Achse im Intervall 1 x 2 zu berechnen (Bild V-3).
y
y=x2
4
Bild V-3
Zur Bestimmung der Fläche zwischen
der Parabel y ¼ x 2 und der x-Achse
im Intervall 1 x 2
A
1
1
2
x
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
427
Dabei verfahren wir wie folgt:
(1)
Das Flächenstück wird zunächst durch Schnitte parallel zur y-Achse in n Streifen
gleicher Breite Dx zerlegt.
(2)
Anschließend wird jeder Streifen in geeigneter Weise durch ein Rechteck ersetzt
(der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich nämlich elementar als Produkt der
beiden Seiten berechnen). Der gesuchte Flächeninhalt A ist dann näherungsweise
gleich der Summe aller Rechtecksflächen.
(3)
Dabei gilt: Je größer die Anzahl der Streifen, umso besser die Näherung! Beim
Grenzübergang n ! 1 strebt die Summe der Rechtecksflächen gegen den gesuchten Flächeninhalt A.
Wir wollen jetzt das beschriebene Verfahren für eine Zerlegung der Fläche in 5, 10 bzw.
20 Streifen näher studieren.
Zerlegung der Fläche in n ¼ 5 Streifen
Dx ¼ 0,2
Streifenbreite:
Die Teilpunkte P 0 , P 1 , . . . , P 5 auf der Parabel besitzen die folgenden Koordinaten
(siehe hierzu die Bilder V-4 und V-5):
x
y
P0
P1
1
1,2
1
2
P2
P3
1,4
2
1,6
2
1,2
P4
1,8
2
1,4
2
1,6
y
P5
1,8
2
22
y
y=x
2
4
4
P4
P4
P3
P3
P2
P2
P1
P1
1
y=x2
P5
P5
P0
1
1
2
Bild V-4 Zum Begriff der Untersumme
P0
x
1
2
x
Bild V-5 Zum Begriff der Obersumme
Untersumme (Bild V-4)
Jeder Streifen wird durch ein zu klein ausfallendes Rechteck ersetzt (die Höhe entspricht
dem Ordinatenwert im jeweiligen linken Randpunkt, siehe hierzu Bild V-4). Die Summe
dieser Rechtecksflächen bezeichnet man daher als Untersumme U5. Es ist:
U 5 ¼ 1 2 0,2 þ 1,2 2 0,2 þ 1,4 2 0,2 þ 1,6 2 0,2 þ 1,8 2 0,2 ¼
¼ ð1 2 þ 1,2 2 þ 1,4 2 þ 1,6 2 þ 1,8 2 Þ 0,2 ¼ 2,04
ðV-5Þ
428
V Integralrechnung
Obersumme (Bild V-5)
Jetzt ersetzen wir jeden Streifen durch ein zu groß ausfallendes Rechteck (als Höhe wählen wir den Ordinatenwert im jeweiligen rechten Randpunkt, siehe hierzu Bild V-5). Die
Summe dieser Rechtecksflächen heißt daher Obersumme O5. Es ist:
O 5 ¼ 1,2 2 0,2 þ 1,4 2 0,2 þ 1,6 2 0,2 þ 1,8 2 0,2 þ 2 2 0,2 ¼
¼ ð1,2 2 þ 1,4 2 þ 1,6 2 þ 1,8 2 þ 2 2 Þ 0,2 ¼ 2,64
ðV-6Þ
Flächeninhalt A
In beiden Fällen (Unter- bzw. Obersumme) haben wir den tatsächlichen Kurvenverlauf
durch eine treppenförmige Kurve ersetzt.
Der gesuchte Flächeninhalt A liegt dabei zwischen Unter- und Obersumme:
U5 A O5 ,
d: h:
2,04 A 2,64
ðV-7Þ
Die Abweichung zwischen den beiden Summen beträgt 0,6, d. h. diese Näherung ist
noch viel zu grob.
Zerlegung der Fläche in n ¼ 10 Streifen
Streifenbreite:
Dx ¼ 0,1
Für Unter- und Obersumme ergeben sich jetzt folgende Werte:
U 10 ¼ 1 2 0,1 þ 1,1 2 0,1 þ 1,2 2 0,1 þ . . . þ 1,9 2 0,1 ¼
¼ ð1 2 þ 1,1 2 þ 1,2 2 þ . . . þ 1,9 2 Þ 0,1 ¼ 2,185
ðV-8Þ
O 10 ¼ 1,1 2 0,1 þ 1,2 2 0,1 þ 1,3 2 0,1 þ . . . þ 2 2 0,1 ¼
¼ ð1,1 2 þ 1,2 2 þ 1,3 2 þ . . . þ 2 2 Þ 0,1 ¼ 2,485
ðV-9Þ
Dabei gilt für den Flächeninhalt A:
U 10 A O 10 ,
d: h:
2,185 A 2,485
ðV-10Þ
Die Abweichung zwischen Ober- und Untersumme beträgt jetzt nur noch 0,3, hat sich
also genau halbiert. Eine weitere Verbesserung erhält man durch abermalige Verdoppelung der Streifenanzahl.
Zerlegung der Fläche in n ¼ 20 Streifen
Streifenbreite:
Dx ¼ 0,05
U 20 ¼ ð1 2 þ 1,05 2 þ 1,10 2 þ . . . þ 1,95 2 Þ 0,05 ¼ 2,258 75
ðV-11Þ
O 20 ¼ ð1,05 2 þ 1,10 2 þ 1,15 2 þ . . . þ 2 2 Þ 0,05 ¼ 2,408 75
ðV-12Þ
U 20 A O 20 ,
ðV-13Þ
d: h:
2,258 75 A 2,408 75
Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme beträgt jetzt nur noch 0,15.
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
429
Grenzübergang für n ! 1
Bei einer Vergrößerung der Streifenanzahl n nehmen offensichtlich die Untersummen
zu und die Obersummen ab, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme wird dabei
immer kleiner, wie die folgenden Rechenergebnisse für Zerlegungen in 5, 10, 20, 50,
100 und 1000 Streifen deutlich zeigen:
n
5
10
20
50
100
1000
Un
2,04
2,185
2,258 75
2,3034
2,318 35
2,331 833 5
On
2,64
2,485
2,408 75
2,3634
2,348 35
2,334 833 5
On Un
0,6
0,3
0,15
0,06
0,03
0,003
Bei beliebig feiner Zerlegung, d. h. für den Grenzübergang n ! 1 streben Ober- und
Untersumme gegen einen gemeinsamen Grenzwert, der geometrisch den gesuchten Flächeninhalt A darstellt. In unserem Beispiel ergibt sich dabei, wie wir später noch zeigen
werden, der folgende Wert:
7
¼ 2,3 . . .
3
A ¼ lim U n ¼ lim O n ¼
n!1
n!1
ðV-14Þ
2.2 Das bestimmte Integral
Wir verallgemeinern jetzt das im vorherigen Abschnitt dargelegte Flächenproblem. Um
zu einer möglichst anschaulichen Deutung des Integralbegriffes zu gelangen, wollen
wir zunächst von der stetigen Funktion y ¼ f ðxÞ voraussetzen, dass sie im gesamten
Intervall a x b oberhalb der x-Achse verläuft und dabei monoton wächst
(Bild V-6).
y
y = f(x)
Pn
P n–1
Pk
f(x n )
P k –1
P2
f(x n–1 )
P1
P0
f(x 1 )
f(x 0 )
Dx 1
x0 = a
f(x 2 )
f(x k –1 )
Dx2
x1
Dxk
x2
x k –1
f(x k )
Dxn
xk
Bild V-6 Zum Flächenproblem der Integralrechnung
x n –1 x n = b
x
430
V Integralrechnung
Unsere Aufgabe besteht nun darin, den Flächeninhalt A zwischen der Kurve y ¼ f ðxÞ
und der x-Achse im Intervall a x b zu berechnen. Dabei verfahren wir wiederum
wie folgt:
(1)
Zunächst zerlegen wir die Fläche in n achsenparallele Streifen, deren Breite wir
der Reihe nach mit Dx 1 , Dx 2 , . . . , Dx k , . . . , Dx n bezeichnen. Die Streifenbreiten dürfen also durchaus unterschiedlich sein.
(2)
Dann ersetzen wir jeden Streifen durch ein Rechteck. Wählt man als Höhe des
Rechtecks den jeweils kleinsten Funktionswert (Ordinate des linken Randpunktes),
so besitzen die in Bild V-6 grau unterlegten Rechtecke der Reihe nach den folgenden Flächeninhalt:
A 1 ¼ f ðx 0 Þ Dx 1
A 2 ¼ f ðx 1 Þ Dx 2
..
.
A k ¼ f ðx k 1 Þ Dx k
..
.
ðV-15Þ
A n ¼ f ðx n 1 Þ Dx n
Der gesuchte Flächeninhalt A ist dann gewiss nicht kleiner als die als Untersumme U n bezeichnete Summe dieser Rechtecksflächen:
Un ¼ A1 þ A2 þ . . . þ Ak þ . . . þ An ¼
¼ f ðx 0 Þ Dx 1 þ f ðx 1 Þ Dx 2 þ . . . þ f ðx k 1 Þ Dx k þ . . . þ f ðx n 1 Þ Dx n ¼
¼
n
X
f ðx k 1 Þ Dx k A
ðV-16Þ
k¼1
Wählt man jedoch als Rechteckshöhe den jeweils größten Funktionswert (Ordinate
des rechten Randpunktes), so ist der Flächeninhalt dieser zu groß ausfallenden
Rechtecke der Reihe nach
A 1 ¼ f ðx 1 Þ Dx 1
A 2 ¼ f ðx 2 Þ Dx 2
..
.
A k ¼ f ðx k Þ Dx k
..
.
A n ¼ f ðx n Þ Dx n
ðV-17Þ
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
431
Der Flächeninhalt A ist dann gewiss nicht größer als die als Obersumme O n
bezeichnete Summe dieser Rechtecksflächen:
On ¼ A1 þ A2 þ . . . þ Ak þ . . . þ An ¼
¼ f ðx 1 Þ Dx 1 þ f ðx 2 Þ Dx 2 þ . . . þ f ðx k Þ Dx k þ . . . þ f ðx n Þ Dx n ¼
¼
n
X
f ðx k Þ Dx k A
ðV-18Þ
k¼1
Die gesuchte Fläche A liegt damit zwischen Unter- und Obersumme:
Un A On
(3)
ðV-19Þ
Mit zunehmender Verfeinerung der Zerlegung nehmen die Untersummen zu, die
Obersummen jedoch ab. Wir zeigen dies am Beispiel der Verdoppelung der Streifenanzahl ðn ! 2 nÞ. Jeder Streifen der Breite h soll dabei durch Halbierung in
zwei gleichbreite neue Streifen mit der Breite h=2 übergehen (Bild V-7).
y
y
y = f (x)
y = f (x)
h/2
h/2
x
x
h
h
a)
b)
Bild V-7 Halbierung der Streifen bewirkt eine Zunahme der Untersumme
Das in Teilbild a) grau unterlegte Rechteck gehört zur alten Untersumme und wird
durch die beiden in Teilbild b) hell- bzw. dunkelgrau unterlegten Rechtecke ersetzt,
deren Gesamtfläche größer ist als die Fläche des ursprünglichen Rechtecks in Teilbild
a). Daher nimmt die Untersumme zu. Analog kann man zeigen, dass die Obersumme
bei einer Verdoppelung der Streifenanzahl abnimmt (jedes Rechteck wird durch zwei
neue Rechtecke mit einer kleineren Gesamtfläche ersetzt). Beim Grenzübergang
n ! 1 streben Unter- und Obersumme gegen einen gemeinsamen Grenzwert, wenn
zugleich die Breite Dx k sämtlicher Streifen gegen Null geht ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ.
Diesen Grenzwert bezeichnet man dann als das bestimmte Integral der Funktion f ðxÞ
in den Grenzen von x ¼ a bis x ¼ b und schreibt dafür symbolisch:
ðb
lim U n ¼ lim O n ¼
n!1
n!1
f ðxÞ dx
a
ðV-20Þ
432
V Integralrechnung
In unserer geometrischen Betrachtungsweise bedeutet er den Flächeninhalt A zwischen der Kurve mit der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ und der x-Achse im Intervall a x b. Es gilt daher (wir können uns auf den Grenzwert der Obersumme beschränken):
A ¼ lim O n ¼ lim
n!1
n
X
n!1 k¼1
ðb
f ðx k Þ Dx k ¼
f ðxÞ dx
ðV-21Þ
a
Wir führen noch die folgenden allgemein üblichen Bezeichnungen ein:
x:
Integrationsvariable
f ðxÞ:
Integrandfunktion (kurz: Integrand )
a:
Untere Integrationsgrenze
b:
Obere Integrationsgrenze
Das bestimmte Integral einer Funktion f ðxÞ in den Grenzen von x ¼ a bis
x ¼ b lässt sich somit allgemein wie folgt definieren:
Definition: Der Grenzwert
lim
n
X
n!1 k¼1
f ðx k Þ Dx k
ðV-22Þ
heißt, falls er vorhanden ist, das bestimmte Intergral der Funktion
f ðxÞ in den Grenzen von x ¼ a bis x ¼ b und wird durch das
ðb
Symbol f ðxÞ dx gekennzeichnet.
a
Anmerkungen
(1)
Das bestimmte Integral ist also der Grenzwert einer Folge von Summen. Dieser
Grenzwert ist vorhanden, wenn der Integrand f ðxÞ im endlichen Integrationsintervall a x b beschränkt 1Þ ist und dort höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen, hebbare Unstetigkeiten) besitzt. Für stetige Funktionen sind
diese Bedingungen stets erfüllt.
(2)
Eine Funktion f ðxÞ, deren bestimmtes Integral existiert, heißt integrierbar. Stetige
Funktionen sind demnach stets integrierbar.
(3)
Der Integralwert kann positiv, negativ oder null sein. Er ist dabei unabhängig von
der vorgenommenen Streifenzerlegung, sofern nur die Breite eines jeden Streifens
gegen Null strebt (Dx k ! 0 für n ! 1).
1)
Es gilt in diesem Intervall also j f ðxÞ j < K, wobei K eine positive Konstante ist.
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
(4)
433
Man beachte, dass das Integrationsintervall a x b endlich ist. In der Regel
ist a b ist
möglich (jetzt wird von rechts nach links, d. h. in negativer x-Richtung integriert).
Eine geometrisch anschauliche Interpretation des bestimmten Integrals als Flächeninhalt ist nur für f ðxÞ 0 und a < b möglich.
Anschauliche Interpretation der symbolischen Schreibweise
Wir möchten noch auf eine zwar nicht ganz präzise, dafür jedoch sehr anschauliche
Interpretation der in der Integralrechnung verwendeten Symbolik hinweisen. Der in Bild
V-8 skizzierte (dick umrandete) infinitesimal schmale Streifen der Breite dx besitzt einen Flächeninhalt, der näherungsweise mit dem Flächeninhalt dA ¼ f ðxÞ dx des eingezeichneten (grau unterlegten) rechteckigen Flächenelementes übereinstimmt. Deutet man
das Integralzeichen als eine Art gestrecktes Summenzeichen, so kann das bestimmte
ðb
Integral
f ðxÞ dx als Summe aller zwischen x ¼ a und x ¼ b gelegenen infinitesia
mal schmalen Streifenflächen vom Flächeninhalt dA ¼ f ðxÞ dx aufgefasst werden:
ðb
xð
¼b
dA ¼
A ¼
x¼a
f ðxÞ dx
ðV-23Þ
a
(„Summiere über alle Flächenelemente dA ¼ f ðxÞ dx, die in der Fläche zwischen
x ¼ a und x ¼ b liegen“). Die Fläche A wird gewissermaßen aus unendlich vielen
Flächenelementen zusammengesetzt, wobei das „erste“ Element bei x ¼ a und das
„letzte“ Element bei x ¼ b liegt. Bild V-9 verdeutlicht diese geometrische Interpretation.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
f(x)
dA
a
x
dx
b
Bild V-8
Zur anschaulichen geometrischen
Interpretation des bestimmten Integrals
x
a
b
dx
Bild V-9
Das bestimmte Integral als unendliche
Summe von Flächenelementen
x
434
&
V Integralrechnung
Beispiel
Wir kehren jetzt zu dem Beispiel des vorangegangenen Abschnitts zurück und wollen den Flächeninhalt zwischen der Parabel y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 und der x-Achse im
Intervall 1 x 2 als Grenzwert der Obersumme O n berechnen. Da der Integralwert unabhängig von der Art der Zerlegung ist, wählen wir hier zweckmäßigerweise eine Unterteilung in Streifen gleicher Breite Dx (sog. äquidistante Zerlegung,
Bild V-10).
y
y=x2
k-ter Streifen
f(x k )
Dx
x 0 = 1 x1
Dx
Dx
x k –1 x k
x n –1 x n = 2
x
ð2
x 2 dx als Grenzwert der Obersumme
Bild V-10 Zur Berechnung des bestimmten Integrals
1
Bei n Streifen beträgt die Streifenbreite Dx ¼ ð2 1Þ=n ¼ 1=n. Die Abszissenwerte der insgesamt n þ 1 Teilpunkte auf der x-Achse lauten dann der Reihe nach wie
folgt:
x0
x1
x2
...
xk
...
xn
1
1 þ Dx
1 þ 2 Dx
...
1 þ k Dx
...
2
Für den in Bild V-10 dunkelgrau unterlegten k-ten Streifen gilt dann näherungsweise:
k 2
2
2
Streifenhöhe:
f ðx k Þ ¼ x k ¼ ð1 þ k DxÞ ¼ 1 þ
n
1
Streifenbreite: Dx ¼
n
k 2 1
Streifenfläche: f ðx k Þ Dx ¼ 1 þ
n
n
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
435
Damit erhält man für die Obersumme nach Gleichung (V-18):
n
n n X
X
X
k 2 1
2k
k2
1
f ðx k Þ Dx ¼
1þ
1þ
On ¼
¼
þ 2 ¼
n
n
n
n
n
k¼1
k¼1
k¼1
n n
n
n
X
X
1
2k
k2
1
2 X
1 X
k þ 3 k2
þ 2 þ 3 ¼
þ 2 ¼
n
n
n
n
n
n
k¼1
k¼1
k¼1
k¼1
Die dabei auftretenden endlichen Summen werden unter Verwendung der folgenden Formelausdrücke berechnet, die wir der Formelsammlung entnommen haben (Abschnitt
I.3.4):
n
X
1
1
1
1
1
¼ n
¼
þ þ ... þ
¼ 1
n
n
n
n
n
k¼1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
n Summanden
n
X
k ¼ 1 þ 2 þ 3 þ ... þ n ¼
k¼1
n
X
n ðn þ 1Þ
2
k 2 ¼ 12 þ 22 þ 32 þ . . . þ n2 ¼
k¼1
n ðn þ 1Þ ð2 n þ 1Þ
6
Mit diesen Ausdrücken lässt sich die Obersumme auch wie folgt schreiben:
2 n ðn þ 1Þ
1 n ðn þ 1Þ ð2 n þ 1Þ
þ 3 ¼
n2
2
n
6
nþ1
1 nþ1
2n þ 1
þ
¼
¼ 1þ
n
6
n
n
1
1
1
1
¼ 1þ 1þ
þ
1þ
2þ
¼
n
6
n
n
1
1
1
1
þ
1þ
2þ
¼ 2þ
n
6
n
n
On ¼ 1 þ
Beim Grenzübergang n ! 1 strebt die Streifenbreite Dx ¼ 1=n gegen Null und die
ð2
Obersumme O n geht dabei definitionsgemäß in das bestimmte Integral
x 2 dx über,
das den gesuchten Flächeninhalt A darstellt:
1
ð2
x 2 dx ¼ lim O n ¼ lim
A ¼
n!1
n!1
2þ
1
1
þ
n
6
1
1
2þ
¼
1þ
n
n
1
¼ 2þ0þ
1
1
1
7
ð1 þ 0Þ ð2 þ 0Þ ¼ 2 þ 0 þ
12 ¼ 2þ
¼
6
6
3
3
436
V Integralrechnung
Fazit: Die direkte Berechnung eines bestimmten Integrals über den Grenzwert (V-22)
ist –– wie dieses einfache Beispiel bereits zeigt –– eine meist schwierige und aufwändige
Angelegenheit.
&
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
Unter den in Abschnitt 2.2 genannten Voraussetzungen repräsentiert das bestimmte Inteðb
gral f ðtÞ dt den Flächeninhalt A zwischen der Kurve y ¼ f ðtÞ und der t-Achse im
a
Intervall a t b (Bild V-11) 2).
y
y
y = f(t)
y = f(t)
I (x)
A
a
b
Bild V-11 Das bestimmte Integral
als Flächeninhalt
t
a
x
t
Bild V-12 Zum Begriff des unbestimmten
Integrals (Flächenfunktion)
Betrachtet man in diesem Integral die untere Integrationsgrenze a als fest, die obere
Integrationsgrenze b dagegen als variabel, so hängt der Integralwert nur noch von der
oberen Grenze ab: Der Integralwert ist daher eine Funktion der oberen Grenze. Um
auch nach außen hin zu dokumentieren, dass die obere Grenze variabel ist, ersetzen wir
b durch x und erhalten die Funktion
ðx
I ðxÞ ¼
f ðtÞ dt
ðV-24Þ
a
(siehe Bild V-12). Sie wird als ein unbestimmtes Integral von f ðtÞ bezeichnet, da die
obere Grenze unbestimmt ist (im Sinne von variabel).
2)
Die Bezeichnung der Integrationsvariablen ist dabei ohne jede Bedeutung. Um im Folgenden Missverständnisse zu vermeiden, kennzeichnen wir in diesem Abschnitt die Integrationsvariable durch das Buchstabensymbol t (anstatt von x).
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
437
Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals
ðx
Das unbestimmte Integral I ðxÞ ¼
f ðtÞ dt beschreibt für x a den Flächeninhalt
a
zwischen der Kurve y ¼ f ðtÞ und der t-Achse im Intervall a t x in Abhängigkeit von der oberen Grenze x und wird daher auch als Flächenfunktion bezeichnet
(Bild V-12). Für verschiedene x-Werte erhält man im Allgemeinen verschiedene Flächeninhalte. Aus dem unbestimmten Integral wird dabei jeweils ein bestimmtes Integral (die
obere Integrationsgrenze besitzt dann einen festen Wert). In Bild V-13 sind die Funktionswerte der Flächenfunktion I ðxÞ für zwei verschiedene obere Grenzen x 1 und
x 2 geometrisch als Flächeninhalte dargestellt.
Grau unterlegte Fläche:
y
ð
x1
I ðx 1 Þ ¼
y = f(t)
f ðtÞ dt
a
Stark umrandete Fläche:
ð
x2
I ðx 2 Þ ¼
f ðtÞ dt
a
a
x1
t
x2
Bild V-13 Das unbestimmte Integral als Funktion
der oberen Integrationsgrenze
Wählt man als untere Grenze a* (anstatt von a), so ist auch
ðx
f ðtÞ dt
I * ðxÞ ¼
ðV-25Þ
a
ein unbestimmtes Integral (eine Flächenfunktion) von f ðtÞ. Zwischen I ðxÞ und I * ðxÞ
besteht dabei der folgende Zusammenhang, den man unmittelbar aus Bild V-14 entnehmen kann:
ðx
I ðxÞ I * ðxÞ ¼
f ðtÞ dt a
að
ðx
f ðtÞ dt ¼
a
f ðtÞ dt
a
ðV-26Þ
438
V Integralrechnung
y
I (x)
I*(x)
y = f(t)
Bild V-14
Flächenfunktionen
(unbestimmte Integrale)
unterscheiden sich in der
unteren Grenze voneinander
a
a*
x
t
Die beiden Flächenfunktionen unterscheiden sich demnach durch das bestimmte Integral
að
f ðtÞ dt, d. h. durch eine Konstante. Ihr Wert ist nichts anderes als der Flächeninhalt
a
zwischen der Kurve y ¼ f ðtÞ und der t-Achse im Intervall a t a* ( grau unterlegte Fläche in Bild V-14; Voraussetzung: a* > a). Da aber für die Wahl der unteren Integrationsgrenze a, von der an die Flächenberechnung erfolgt, grundsätzlich
beliebig viele Möglichkeiten existieren, gibt es entsprechend auch unendlich viele unbestimmte Integrale der Funktion y ¼ f ðtÞ. Sie unterscheiden sich in der unteren
Grenze voneinander.
Wir können daher den folgenden Satz aussprechen:
Eigenschaften der unbestimmten Integrale
ðx
1. Das unbestimmte Integral I ðxÞ ¼
f ðtÞ dt repräsentiert den Flächeninhalt
a
zwischen der Funktion y ¼ f ðtÞ und der t-Achse im Intervall a t x in
Abhängigkeit von der oberen Grenze x.
2. Zu jeder stetigen Funktion f ðtÞ gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale,
die sich in ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden.
3. Die Differenz zweier unbestimmter Integrale I 1 ðxÞ und I 2 ðxÞ von f ðtÞ ist
eine Konstante.
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
439
Anmerkungen
&
(1)
Die geometrische Deutung eines unbestimmten Integrals als Flächenfunktion ist
nur möglich, wenn f ðxÞ 0 und x a ist. Denn nur dann liegt die Kurve und
damit das Flächenstück oberhalb der x-Achse, wobei die Integration von links nach
rechts, d. h. in positiver x-Richtung erfolgt. Diese Einschränkungen werden später
fallen gelassen.
(2)
Man beachte den fundamentalen Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral:
Bestimmtes Integral:
Reeller Zahlenwert
Unbestimmtes Integral:
Funktion der oberen Grenze
Beispiel
ðx
I 1 ðxÞ ¼
ðx
t dt und I 2 ðxÞ ¼
2
0
t 2 dt sind zwei unbestimmte Integrale der Normal1
parabel f ðtÞ ¼ t 2 und repräsentieren die in Bild V-15 dargestellten Flächen (die Flächenberechnung beginnt bei t ¼ 0 bzw. t ¼ 1 und endet an der Stelle x 1). Sie
ð1
unterscheiden sich dabei durch das bestimmte Integral t 2 dt, d. h. durch eine Konstante,
0
deren Wert der im Bild grau unterlegten Fläche entspricht:
ðx
I 1 ðxÞ I 2 ðxÞ ¼
ðx
t dt 0
ð1
t dt ¼
2
t 2 dt ¼ const:
2
1
0
Die Konstante besitzt –– wie wir später in Abschnitt 6 (1. Beispiel) noch zeigen werden
–– den Wert 1=3 (Fläche unter der Normalparabel y ¼ t 2 zwischen t ¼ 0 und
t ¼ 1).
y
y=t2
I 1 (x)
1
I 2 (x)
Bild V-15
1
x
t
&
440
V Integralrechnung
4 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung
ðx
Wird die obere Grenze x im unbestimmten Integral I ðxÞ ¼
ßert, so wächst der Flächeninhalt nach Bild V-16 um
f ðxÞ dx um Dx vergröa
DI ¼ I ðx þ DxÞ I ðxÞ
ðV-27Þ
(grau unterlegte Fläche in Bild V-16) 3).
y
y = f(x)
f(x + D x)
Bild V-16
Zur Herleitung des Fundamentalsatzes
der Differential- und Integralrechnung
f(x)
Dx
a
x
x + Dx
x
Dieser Flächenzuwachs liegt zwischen den Flächeninhalten der beiden eingezeichneten
Rechtecke gleicher Breite Dx. Das kleinere Rechteck besitzt die Höhe f ðxÞ und damit
den Flächeninhalt f ðxÞ Dx, das größere Rechteck die Höhe f ðx þ DxÞ und damit den
Flächeninhalt f ðx þ DxÞ Dx. Zwischen den drei Flächeninhalten besteht daher die Beziehung
f ðxÞ Dx DI f ðx þ DxÞ Dx
ðV-28Þ
Nach Division durch Dx wird daraus:
f ðxÞ DI
f ðx þ DxÞ
Dx
ðV-29Þ
Beim Grenzübergang Dx ! 0 bleibt diese Ungleichung erhalten:
lim f ðxÞ lim
Dx ! 0
3)
Dx ! 0
DI
lim f ðx þ DxÞ
Dx
Dx ! 0
ðV-30Þ
Wir lassen die unterschiedliche Kennzeichnung zwischen der Integrationsvariablen und der oberen Grenze
fallen. Ferner nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Funktion f ðxÞ im gesamten Integrationsbereich oberhalb der x-Achse verläuft und dabei monoton wächst.
4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
441
Der in der Mitte eingeschlossene Grenzwert ist dabei definitionsgemäß die 1. Ableitung
I 0 ðxÞ der Flächenfunktion I ðxÞ, während die beiden äußeren Grenzwerte wegen der
vorausgesetzten Stetigkeit von f ðxÞ jeweils den Funktionswert f ðxÞ ergeben:
lim
Dx ! 0
DI
I ðx þ DxÞ I ðxÞ
¼ lim
¼ I 0 ðxÞ
Dx
Dx
Dx ! 0
lim f ðxÞ ¼ lim f ðx þ DxÞ ¼ f ðxÞ
Dx ! 0
Dx ! 0
ðV-31Þ
ðV-32Þ
Damit erhält man die Ungleichung
f ðxÞ I 0 ðxÞ f ðxÞ
ðV-33Þ
die aber nur dann bestehen kann, wenn
I 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðV-34Þ
ist. Damit haben wir nachgewiesen, dass die erste Ableitung eines unbestimmten Inteðx
grals I ðxÞ ¼ f ðxÞ dx zum Integranden f ðxÞ führt. Dies aber bedeutet, dass I ðxÞ
a
eine Stammfunktion von f ðxÞ ist.
Wir fassen diese bedeutende Aussage in dem sog. Fundamentalsatz der Differential- und
Integralrechnung wie folgt zusammen:
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
ðx
Jedes unbestimmte Integral I ðxÞ ¼
Stammfunktion von f ðxÞ:
ðx
f ðxÞ dx
I ðxÞ ¼
)
f ðxÞ dx der stetigen Funktion f ðxÞ ist eine
a
I 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
ðV-35Þ
a
Die Aussage des Fundamentalsatzes lässt sich auch wie folgt verdeutlichen:
ðx
I ðxÞ ¼
a
!
f ðxÞ dx
Differentiation
ðV-36Þ
442
V Integralrechnung
Wir ziehen noch einige Folgerungen aus dem Fundamentalsatz:
(1)
I ðxÞ ist wegen I 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ eine stetig differenzierbare Funktion.
(2)
Jedes unbestimmte Integral I ðxÞ der Funktion f ðxÞ lässt sich in der Form
ðx
I ðxÞ ¼
f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ þ C 1
ðV-37Þ
a
darstellen, wobei F ðxÞ irgendeine (spezielle) Stammfunktion von f ðxÞ und C 1
eine geeignete (reelle) Konstante bedeutet, deren Wert noch von der unteren Grenze a abhängen wird.
(3)
Da es zu einer stetigen Funktion f ðxÞ unendlich viele unbestimmte Integrale gibt,
kennzeichnet man diese Funktionenschar durch Weglassen der Integrationsgrenzen
in folgender Weise:
ð
f ðxÞ dx: Menge aller unbestimmten Integrale von f ðxÞ
Sie ist stets in der Form
ð
f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ þ C
ðF 0 ðxÞ ¼ f ðxÞÞ
ðV-38Þ
darstellbar, wobei F ðxÞ irgendeine (spezielle) Stammfunktion zu f ðxÞ bedeutet
und der Parameter C alle reellen Werte durchläuft. Die Konstante C heißt in
diesem Zusammenhang auch Integrationskonstante.
(4)
&
Für stetige Funktionen besteht kein Unterschied zwischen den Begriffen „Stammfunktion“ und „unbestimmtes Integral“.
Beispiele
ð
(1)
ð2 x þ 1Þ dx ¼ ?
Wir wissen: Es genügt, irgendeine Stammfunktion F ðxÞ von f ðxÞ ¼ 2 x þ 1 zu
finden. Die Funktion F ðxÞ ¼ x 2 þ x besitzt die geforderte Eigenschaft:
F 0 ðxÞ ¼
d
ðx 2 þ xÞ ¼ 2 x þ 1 ¼ f ðxÞ
dx
Daher gilt:
ð
ð2 x þ 1Þ dx ¼ F ðxÞ þ C ¼ x 2 þ x þ C
ðC 2 RÞ
4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
443
ð
e x dx ¼ ?
(2)
Eine Stammfunktion zum Integranden f ðxÞ ¼ e x ist F ðxÞ ¼ e x , da
F 0 ðxÞ ¼
d
ðe x Þ ¼ e x ¼ f ðxÞ
dx
ergibt. Daher ist:
ð
e x dx ¼ F ðxÞ þ C ¼ e x þ C
ðC 2 RÞ
die Gesamtheit der unbestimmten Integrale von f ðxÞ ¼ e x .
ð
(3)
4
dx ¼ ?
1 þ x2
F ðxÞ ¼ 4 arctan x ist eine Stammfunktion des Integranden f ðxÞ ¼
F 0 ðxÞ ¼
4
:
1 þ x2
d
1
4
ð4 arctan xÞ ¼ 4 ¼
¼ f ðxÞ
dx
1 þ x2
1 þ x2
Daraus folgt:
ð
(4)
4
dx ¼ F ðxÞ þ C ¼ 4 arctan x þ C
1 þ x2
ðC 2 RÞ
Aus einer Integraltafel entnehmen wir die folgende Integralformel:
ð
ln x dx ¼ x ln x x þ C
ðC 2 RÞ
Wir überprüfen diese Formel, indem wir die Ableitung der auf der rechten Seite
stehenden Funktion bilden. Sie führt (wie erwartet) zum Integranden ln x :
d
1
ðx ln x x þ CÞ ¼ 1 ln x þ x 1 ¼ ln x þ 1 1 ¼ ln x
dx
x
Damit haben wir nachgewiesen, dass die Funktion F ðxÞ ¼ x ln x x þ C
in der Tat eine Stammfunktion von f ðxÞ ¼ ln x ist. Die Integralformel ist somit
richtig. Man bezeichnet diese Art der Beweisführung auch als „Verifizierung“.
444
(5)
V Integralrechnung
Fallgesetze im luftleeren Raum
Aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v ðtÞ ¼ g t þ v0
ðf ür t 0Þ
erhält man wegen v ðtÞ ¼ s_ ðtÞ durch Integration das folgende Zeitgesetz für den
Fallweg s des frei fallenden Körpers:
ð
ð
ð
s ðtÞ ¼ s_ ðtÞ dt ¼ v ðtÞ dt ¼ ðg t þ v 0 Þ dt ¼
¼
1
1
g t2 þ v0 t þ C ¼
g t2 þ v0 t þ s0
2
2
( g: Erdbeschleunigung; v 0 : Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0; C ¼ s 0 :
Wegmarke zur Zeit t ¼ 0). Denn es gilt:
d 1
g t 2 þ v 0 t þ s 0 ¼ g t þ v 0 ¼ v ðtÞ
s_ ðtÞ ¼
&
dt 2
5 Grund- oder Stammintegrale
In Kap. IV, Abschnitt 1.3 wurden die Ableitungen der elementaren Funktionen in tabellarischer Form zusammengestellt. Die dortige Tabelle 1 enthält in der linken Spalte die
jeweilige Funktion f ðxÞ und in der rechten Spalte die zugehörige Ableitung f 0 ðxÞ.
Nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung besteht dann zwischen der (stetig differenzierbaren) Funktion f ðxÞ und ihrer Ableitung f 0 ðxÞ der Zusammenhang
ð
f 0 ðxÞ dx ¼ f ðxÞ þ C
ðC 2 RÞ
ðV-39Þ
So gelten beispielsweise die folgenden Beziehungen (mit C 2 R):
ð
x n dx ¼
ð
xnþ1
þC
nþ1
ðf ür n 6¼ 1Þ ;
ð
ð
e x dx ¼ e x þ C ;
cos x dx ¼ sin x þ C
1
dx ¼ tan x þ C
cos 2 x
Mit anderen Worten: Die in der linken Spalte der Ableitungstabelle aus Kap. IV aufgeführte Funktion ist eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral der in der
rechten Spalte stehenden Funktion. Die auf diese Weise erhaltenen (unbestimmten) Integrale heißen Grund- oder Stammintegrale. Wir haben sie in der nachfolgenden Tabelle zusammengetragen.
5 Grund- oder Stammintegrale
445
Tabelle 1: Grund- oder Stammintegrale ðC, C 1 , C 2 2 RÞ
ð
ð
0 dx ¼ C
ð
1 dx ¼ x þ C
ð
xnþ1
x dx ¼
þC
nþ1
ðn 6¼ 1Þ
n
1
dx ¼ ln j x j þ C
x
(Potenzregel)
ð
ð
e x dx ¼ e x þ C
a x dx ¼
ð
ð
sin x dx ¼ cos x þ C
ð
ð
1
dx ¼ tan x þ C
cos 2 x
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼
1 x2
arcsin x þ C 1
cos x dx ¼ sin x þ C
ð
ð
arccos x þ C 2
1
dx ¼ cot x þ C
sin 2 x
1
dx ¼
1 þ x2
arctan x þ C 1
arccot x þ C 2
ð
ð
cosh x dx ¼ sinh x þ C
sinh x dx ¼ cosh x þ C
ð
ax
þC
ln a
1
dx ¼ tanh x þ C
cosh 2 x
ð
1
dx ¼ coth x þ C
sinh 2 x
ð
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ arsinh x þ C ¼ ln x þ
x2 þ 1 þ C
x2 þ 1
ð
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ arcosh j x j þ C ¼ ln x þ x 2 1 þ C
x2 1
ð
8
1
1þx
>
>
ln
þ C1
artanh x þ C 1 ¼
>
>
2
1x
<
1
dx ¼
>
1 x2
>
>
1
x þ1
>
: arcoth x þ C 2 ¼
ln
þ C2
2
x 1
ðj x j > 1Þ
9
>
jx j < 1>
>
>
=
f ür
>
>
>
;
jx j > 1>
446
V Integralrechnung
6 Berechnung bestimmter Integrale
unter Verwendung einer Stammfunktion
ðb
f ðxÞ dx genügt –– wie wir gleich zeigen
Zur Berechnung eines bestimmten Integrals
a
werden –– die Kenntnis einer beliebigen Stammfunktion des Integranden f ðxÞ. Zuðx
nächst aber betrachten wir das unbestimmte Integral I ðxÞ ¼ f ðxÞ dx. Es ist bekanntlich in der Form
a
ðx
I ðxÞ ¼
f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ þ C
ðV-40Þ
a
darstellbar, wobei F ðxÞ irgendeine spezielle (als bekannt vorausgesetzte) Stammfunktion
von f ðxÞ bedeutet und C eine geeignete reelle Konstante. Diese wird aus der Gleichung
ða
I ðaÞ ¼
f ðxÞ dx ¼ F ðaÞ þ C ¼ 0
a
zu C ¼ F ðaÞ bestimmt 4). Somit ist
ðx
f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ F ðaÞ
I ðxÞ ¼
ðV-41Þ
a
Für x ¼ b erhält man hieraus den Wert des gesuchten bestimmten Integrals als Differenz der Funktionswerte von F ðxÞ an der oberen und unteren Integrationsgrenze:
ðb
f ðxÞ dx ¼ F ðbÞ F ðaÞ
ðV-42Þ
a
Der Integralwert ist dabei völlig unabhängig von der getroffenen Wahl der Stammfunktion.
Wählt man statt F ðxÞ die Stammfunktion F1 ðxÞ, so unterscheiden sich diese Funktionen
bekanntlich nur durch eine additive Konstante K, d. h. es gilt F ðxÞ ¼ F1 ðxÞ þ K. Die
Berechnung des bestimmten Integral nach Formel (V-42) ergibt dann:
ðb
f ðxÞ dx ¼ F ðbÞ F ðaÞ ¼ ½ F1 ðbÞ þ K ½ F1 ðaÞ þ K ¼
a
¼ F1 ðbÞ þ K F1 ðaÞ K ¼ F1 ðbÞ F1 ðaÞ
4)
ðV-43Þ
Fallen die Integrationsgrenzen zusammen ða ¼ bÞ, so ist der Integralwert (Flächeninhalt!) gleich Null.
6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion
447
Die Konstante K fällt somit bei der Differenzbildung heraus. Der Wert des bestimmten
Integrals kann daher auch mit der Stammfunktion F1 ðxÞ, d. h. mit einer beliebigen
Stammfunktion berechnet werden.
Ein bestimmtes Integral lässt sich daher wie folgt schrittweise berechnen:
ðb
f ðxÞ dx
Berechnung eines bestimmten Integrals
a
Die Berechnung eines bestimmten Integrals erfolgt in zwei Schritten:
1. Zunächst wird irgendeine Stammfunktion F ðxÞ zum Integranden f ðxÞ bestimmt ðF 0 ðxÞ ¼ f ðxÞÞ.
2. Mit dieser Stammfunktion berechnet man die Werte F ðaÞ und F ðbÞ an den
beiden Integrationsgrenzen und daraus die Differenz F ðbÞ F ðaÞ. Dann gilt:
ðb
f ðxÞ dx ¼
h
F ðxÞ
a
h
Dabei ist das Symbol
renz F ðbÞ F ðaÞ.
ib
¼ F ðbÞ F ðaÞ
a
F ðxÞ
ðV-44Þ
ib
a
eine verkürzte Schreibweise für die Diffe-
Anmerkung
In der Praxis liegt das Hauptproblem in der Bestimmung einer Stammfunktion des Integranden. Gelingt dieses Vorhaben, so hat man das Integral in „geschlossener Form“ dargestellt.
In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht so ohne Weiteres möglich. Man ist dann auf
spezielle Verfahren wie z. B. Integralsubstitutionen oder numerische Integrationsmethoden
angewiesen. In Abschnitt 8 kommen wir auf dieses Problem ausführlich zurück.
&
Beispiele
(1)
ð1
Wir berechnen das Integral
n ¼ 2):
ð1
x 2 dx ¼
0
1 3
x
3
1
¼
0
x 2 dx unter Verwendung der Potenzregel (für
0
1
1
0 ¼
3
3
448
V Integralrechnung
ð2
ðx 3 2 x 2 þ 5Þ dx ¼ ?
(2)
1
Eine Stammfunktion F ðxÞ lässt sich leicht unter Verwendung der Potenzregel der
Integralrechnung bestimmen (wir dürfen dabei C ¼ 0 setzen):
F ðxÞ ¼
1 4
2 3
x x þ 5x
4
3
Für den Integralwert erhält man dann nach Gleichung (V-44):
ð2
ðx 3 2 x 2 þ 5Þ dx ¼
1
2
¼
1
16
1
2
þ 10 þ5 ¼
3
4
3
16
3 8 þ 60
¼ 14 ¼
3
12
¼
¼
(3)
1 4
2 3
x x þ 5x
4
3
4
42 16
55
26
55
104 55
49
¼
¼
¼
3
12
3
12
12
12
Der Flächeninhalt unter der Sinuskurve y ¼ sin x im Bereich der ersten Halbðp
periode lässt sich mit Hilfe des bestimmten Integrals A ¼ sin x dx berechnen
(grau unterlegte Fläche in Bild V-17).
0
y
y = sin x
1
Bild V-17
Zur Berechnung der Fläche unter der
Sinuskurve im Intervall 0 x p
A
p
0
x
Eine Stammfunktion des Integranden f ðxÞ ¼ sin x ist F ðxÞ ¼ cos x, da
F 0 ðxÞ ¼ sin x ¼ f ðxÞ ist. Daher gilt:
ðp
sin x dx ¼
A ¼
h
cos x
ip
0
h
ip
¼ cos x
¼ ðcos p cos 0Þ ¼
0
¼ ð1 1Þ ¼ ð 2Þ ¼ 2
0
6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion
(4)
449
Die Stirnflächen eines Rohres der Länge l besitzen die (konstanten) Temperaturen T 1 bzw. T 2 > T 1 (Bild V-18). Wie sieht die Temperaturverteilung T ðxÞ
längs des Rohres aus, wenn bekannt ist, dass die 2. Ableitung T 00 ðxÞ dieser Funktion verschwindet?
T1
T(x)
T2 > T1
x
l
0
x
Rohr
Bild V-18 Zur Bestimmung der Temperaturverteilung längs eines Rohres
Lösung: Die Temperaturverteilungsfunktion T ðxÞ erhält man aus T 00 ðxÞ ¼ 0
durch zweimalige (unbestimmte) Integration:
ð
ð
T 0 ðxÞ ¼ T 00 ðxÞ dx ¼ 0 dx ¼ C 1
ð
T ðxÞ ¼
T 0 ðxÞ dx ¼
ð
C 1 dx ¼ C 1 x þ C 2
Die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 werden aus den vorgegebenen
Temperaturwerten an den beiden Stirnflächen des Rohres wie folgt berechnet:
T ð0Þ ¼ T 1
)
C1 0 þ C2 ¼ T1
)
C2 ¼ T1
T ðxÞ ¼ C 1 x þ T 1
T ðlÞ ¼ T 2
)
C1 l þ T1 ¼ T2
)
C1 ¼
T2 T1
l
Die Temperaturverteilung T ðxÞ längs des Rohres verläuft somit linear ansteigend
nach der Funktionsgleichung
T ðxÞ ¼
T2 T1
x þ T1
l
ð0 x lÞ
und besitzt den in Bild V-19 skizzierten Verlauf.
T
T2
T(x)
T1
Bild V-19
Temperaturverteilung
längs eines Rohres
l
x
Rohr
&
450
V Integralrechnung
7 Elementare Integrationsregeln
Für den Umgang mit bestimmten Integralen gelten gewisse Rechenregeln, die wir im
Folgenden ohne Beweis mitteilen. Sie ergeben sich unmittelbar aus der Definition des
bestimmten Integrals als Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme.
REGEL 1: Faktorregel
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden:
ðb
ðb
C f ðxÞ dx ¼ C a
&
f ðxÞ dx
ðC: KonstanteÞ
ðV-45Þ
a
Beispiel
ðp
ðp
4 sin x dx ¼ 4 0
sin x dx ¼ 4
h
cos x
ip
0
h
ip
¼ 4 cos x
¼
0
0
¼ 4 ðcos p cos 0Þ ¼ 4 ð 1 1Þ ¼ 8
&
REGEL 2: Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden:
ðb
ðb
ð f 1 ðxÞ þ . . . þ f n ðxÞÞ dx ¼
a
ðb
f 1 ðxÞ dx þ . . . þ
a
f n ðxÞ dx
a
ðV-46Þ
Anmerkungen
(1)
Faktor- und Summenregel gelten sinngemäß auch für unbestimmte Integrale.
(2)
Folgerung aus den beiden Regeln: Eine Linearkombination von Funktionen darf
gliedweise integriert werden, wobei die konstanten Faktoren erhalten bleiben (d. h.
vor die Teilintegrale gezogen werden). Ganzrationale Funktionen (Polynome) werden auf diese Weise integriert. Aus einem Polynom vom Grade n wird dabei ein
solches vom Grade n þ 1.
7 Elementare Integrationsregeln
&
451
Beispiel
ð1
ð1
ð3 e 2 xÞ dx ¼
0
ð1
3 e dx þ
x
0
h
¼ 3 ex
i1
0
2
ð1
ð 2 xÞ dx ¼ 3 x
0
1 2
x
2
1
e dx 2 0
h
¼ 3 ex
0
ð1
i1
0
x dx ¼
x
0
h
x2
i1
0
¼
¼ 3 ðe 1Þ ð1 0Þ ¼ 3 e 3 1 ¼ 3 e 4 ¼ 4,1548
&
REGEL 3: Vertauschungsregel
Vertauschen der beiden Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
ða
ðb
f ðxÞ dx ¼ &
f ðxÞ dx
ðV-47Þ
a
b
Beispiel
ð0
p=2
ð
cos x dx ¼ p=2
0
h
i p=2
cos x dx ¼ sin x
¼ ½ sin ðp=2Þ sin 0 ¼ 1
0
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z}
1
0
&
REGEL 4: Fallen die Integrationsgrenzen zusammen ða ¼ bÞ, so ist der Integralwert gleich Null:
ða
f ðxÞ dx ¼ 0
ðV-48Þ
a
Anmerkung
Geometrisch einleuchtende Deutung: Zwischen den seitlichen Begrenzungen liegt keine
Fläche mehr, der Flächeninhalt verschwindet somit.
&
Beispiel
ð1
1
2
dx ¼ 2 x
ð1
1
h
i1
1
¼ 2 ðln 1 ln 1Þ ¼ 0
dx ¼ 2 ln j x j
1
x
&
452
V Integralrechnung
REGEL 5: Zerlegung des Integrationsintervalls in zwei Teilintervalle (Bild V-20)
Für jede Stelle c aus dem Integrationsintervall a c b gilt:
ðc
ðb
ðb
f ðxÞ dx ¼
a
f ðxÞ dx þ
a
f ðxÞ dx
ðV-49Þ
c
Diese Regel besagt anschaulich, dass die Fläche A unter der Kurve y ¼ f ðxÞ auch als
Summe zweier Teilflächen A 1 und A 2 darstellbar ist (Bild V-20):
ðb
A ¼ A1 þ A2
)
ðc
f ðxÞ dx ¼
a
ðb
f ðxÞ dx þ
a
f ðxÞ dx
ðV-50Þ
c
y
y = f(x)
A
a
&
Bild V-20
Zur Zerlegung des Integrationsintervalles in zwei Teilintervalle
A2
A1
c
b
x
Beispiel
Die in Bild V-21 skizzierte Fläche muss als Summe zweier Teilflächen berechnet werden,
da sich die obere Flächenberandung nicht durch eine einzige Funktionsgleichung
beschreiben lässt, sondern nur abschnittsweise durch (unterschiedliche) Gleichungen
beschrieben werden kann:
8
9
< x2
0 x 1=
y ¼
f ür
:
;
x þ 2
1 x 2
ð1
A ¼ A1 þ A2 ¼
x dx þ
0
¼
1
0
3
ð2
ð x þ 2Þ dx ¼
2
1
1 3
x
3
1
1
þ x2 þ 2x
2
0
2
¼
1
1
1
3
1
1
5
þ ð 2 þ 4Þ þ2
¼
þ2
¼
þ
¼
2
3
2
3
2
6
8 Integrationsmethoden
453
y
1
y = – x +2
y=x2
A1
A2
Bild V-21
1
2
x
&
8 Integrationsmethoden
In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Methoden zur Berechnung von unbestimmten und bestimmten Integralen dargestellt. Zu diesen Integrationstechniken gehören:
Die
Die
Die
Die
Integration durch Substitution
Methode der Partiellen Integration
Integration echt gebrochenrationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung
numerische Integration
Den ersten drei aufgeführten Integrationstechniken liegt dabei das gemeinsame Ziel zugrunde, komplizierter gebaute Integrale auf einfachere Integrale, im Idealfall auf die in
Abschnitt 5 behandelten Grund- oder Stammintegrale zurückzuführen.
8.1 Integration durch Substitution
Viele der in den Anwendungen auftretenden Integrale lassen sich mit Hilfe einer geeigneten Variablen-Substitution in einfacher gebaute und häufig sogar in Grund- oder
Stammintegrale überführen. Wir wollen zunächst die wesentlichen Züge dieser Integrationsmethode an einem einfachen Beispiel näher erläutern.
8.1.1 Ein einführendes Beispiel
ð
Das unbestimmte Integral
x cos ðx 2 Þ dx gehört nicht zu den Grundintegralen, lässt
sich jedoch durch die Substitution u ¼ x 2 in ein solches Integral überführen (u ist eine
Hilfsvariable). Dabei ist zu beachten, dass auch das „alte“ Differential dx durch die „neue“
Variable u und deren Differential du auszudrücken ist. Dies geschieht (nicht nur in diesem Beispiel) durch Differentiation der Substitutionsgleichung, wobei wir die Ableitung als
Differentialquotient schreiben und diesen dann nach dem Differential dx auflösen:
u ¼ x2
)
du
¼ 2x
dx
)
dx ¼
du
2x
ðV-51Þ
454
V Integralrechnung
Die vollständige Substitution besteht dann aus den beiden Gleichungen
u ¼ x2
und
dx ¼
du
2x
ð
ðV-52Þ
Unter Verwendung dieser Beziehungen geht das Integral
x cos ðx 2 Þ dx in ein elementar lösbares Integral (Grundintegral) über:
ð
ð
ð
du
1
1
2
x cos ðx Þ dx ¼ x cos u ¼ cos u du ¼
sin u þ C ðV-53Þ
2x
2
2
Nach Rücksubstitution erhält man schließlich:
ð
1
ðC 2 RÞ
sin ðx 2 Þ þ C
x cos ðx 2 Þ dx ¼
2
ðV-54Þ
Die gestellte Aufgabe ist damit gelöst.
8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen
Der anhand des einführenden Beispiels dargelegte Lösungsmechanismus besteht demnach aus vier hintereinander auszuführenden Schritten:
Berechnung eines (unbestimmten) Integrals mittels einer geeigneten Substitution
1. Aufstellung der Substitutionsgleichungen:
u ¼ g ðxÞ ,
du
¼ g 0 ðxÞ ,
dx
dx ¼
du
g 0 ðxÞ
ðV-55Þ
2. Durchführung der Integralsubstitution durch Einsetzen
der Substitutionsgleið
chungen in das vorgegebene (unbestimmte) Integral
f ðxÞ dx :
ð
ð
f ðxÞ dx ¼ jðuÞ du
ðV-56Þ
Das neue Integral enthält nur noch die „Hilfsvariable“ u und deren Differential
du. Der Integrand ist eine nur noch von u abhängige Funktion jðuÞ.
3. Integration (Berechnung des neuen Integrals):
ð
jðuÞ du ¼ F ðuÞ
ðF 0 ðuÞ ¼ jðuÞÞ
ðV-57Þ
4. Rücksubstitution ðmittels der Substitutionsgleichung u ¼ g ðxÞÞ:
ð
f ðxÞ dx ¼ F ðuÞ ¼ F ðg ðxÞÞ ¼ F ðxÞ
ðF 0 ðxÞ ¼ f ðxÞÞ
ðV-58Þ
8 Integrationsmethoden
455
Anmerkungen
(1)
Vorausgesetzt werden muss, dass die Substitutionsfunktion im Integrationsintervall
stetig differenzierbar und umkehrbar ist.
(2)
Eine Integralsubstitution wird als „geeignet“ oder „sinnvoll“ angesehen, wenn sie
zu einer Vereinfachung des Integrals führt. Im Idealfall erhält man ein Grund- oder
Stammintegral.
(3)
Die Substitution muss vollständig sein, d. h. nach Einsetzen der Substitutionsgleichungen darf die „alte“ Variable x im Integral nicht mehr vorkommen.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
In bestimmten Fällen (z. B. bei Integralen mit Wurzelausdrücken wie
x2 a2 )
ist es günstiger, die Hilfsvariable u durch eine Substitution vom Typ x ¼ h ðuÞ
einzuführen. In dieser Gleichung ist die „neue“ Variable u die unabhängige und
die „alte“ Variable x die abhängige Größe. Die Substitutionsgleichungen lauten
dann wie folgt:
(4)
dx
¼ h 0 ðuÞ ,
du
x ¼ h ðuÞ ,
(5)
&
dx ¼ h 0 ðuÞ du
ðV-59Þ
Bei einem bestimmten Integral kann auf die Rücksubstitution verzichtet werden,
wenn man die Integrationsgrenzen unter Verwendung der Substitutionsgleichung
u ¼ g ðxÞ bzw. x ¼ h ðuÞ mitsubstituiert (siehe hierzu das nachfolgende Beispiel).
Beispiel
ð1
Wir lösen das bestimmte Integral I ¼
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ x 2 dx wie folgt durch Substitution,
0
wobei wir die Integrationsgrenzen mitsubstituieren:
du
¼ 2x,
dx
u ¼ 1 þ x2 ,
dx ¼
du
2x
Untere Grenze : x ¼ 0
)
u ¼ 1 þ 02 ¼ 1
x ¼ 1
)
u ¼ 1 þ 12 ¼ 2
Obere Grenze :
ð1
I ¼
uð
¼2
ð2
ð2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
ﬃﬃ
ﬃ
p
ﬃﬃ
ﬃ
du
1
1
u 1=2 du ¼
¼
x 1 þ x 2 dx ¼
x u
u du ¼
2x
2
2
u¼1
0
¼
1
2
u 3=2
3=2
2
¼
1
1
1
1 h pﬃﬃﬃﬃﬃ3 i2
1 pﬃﬃﬃ
u
ð 8 1Þ ¼ 0,6095
¼
1
3
3
&
In der folgenden Tabelle 2 geben wir eine bersicht über einige besonders häufig auftretende Integraltypen, die unter Verwendung einer geeigneten Substitution gelöst werden
können. Zu jedem Integraltyp wird eine Reihe von Beispielen angeführt.
456
V Integralrechnung
Tabelle 2: Integralsubstitutionen
Integraltyp
Substitution
Beispiele
u ¼ ax þ b
1.
ð
f ða x þ bÞ dx
(A)
Merkmal: Die Variable x
tritt in der linearen Form
a x þ b auf ða 6¼ 0Þ
dx ¼
du
a
ð
ð2 x 3Þ 6 dx
u ¼ 2x 3
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2.
4 x þ 5 dx
u ¼ 4x þ 5
ð
3.
ð
(B)
f ðxÞ f 0 ðxÞ dx
ð
(C)
f 0 ðxÞ
dx
f ðxÞ
Merkmal: Im Zähler
steht die Ableitung des
Nenners
ð
f ðx;
(D)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 2 x 2 Þ dx
Merkmal: Der Integrand
enthält
eine Wurzel vom
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Typ
a2 x2
ð
f ðx;
(E)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 þ a 2 Þ dx
Merkmal: Der Integrand
enthält
Wurzel vom
peine
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Typ
x2 þ a2
ð
(F)
f ðx;
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 a 2 Þ dx
Merkmal: Der Integrand
enthält
eine Wurzel vom
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Typ
x2 a2
dx ¼
du
f 0 ðxÞ
ð
2.
u ¼ f ðxÞ
dx ¼
ð
1.
du
f 0 ðxÞ
ð
2.
x ¼ a sin u
1.
dx ¼ a cos u du
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2 x2 ¼
¼ a cos u
2.
dx ¼ a cosh u du
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 þ a2 ¼
¼ a cosh u
x ¼ a cosh u
dx ¼ a sinh u du
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 a2 ¼
¼ a sinh u
u ¼ 4x þ 2
sin x cos x dx
u ¼ sin x
ln x
dx
x
u ¼ ln x
2x 3
dx
x2 3x þ 1
u ¼ x2 3x þ 1
ex
dx
ex þ 5
u ¼ ex þ 5
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 dx
ð
x
ð
3.
x ¼ a sinh u
e 4 x þ 2 dx
ð
u ¼ f ðxÞ
1.
Merkmal: Der Integrand
ist das Produkt aus einer
Funktion f ðxÞ und ihrer
Ableitung f 0 ðxÞ
Substitution
1.
ð
dx
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x2 þ 4
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 9 dx
ð
2.
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx
4 x2
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 þ 1 dx
2.
1.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 dx
x
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx
x 2 25
x ¼ r sin u
x ¼ r sin u
x ¼ 2 sin u
x ¼ sinh u
x ¼ 2 sinh u
x ¼ 3 cosh u
x ¼ 5 cosh u
8 Integrationsmethodenn
457
Anmerkungen zur Tabelle 2
&
(1)
Integrale vom Typ (B) bzw. (C) sind in geschlossener Form wie folgt lösbar:
ð
1
½ f ðxÞ 2 þ C
f ðxÞ f 0 ðxÞ dx ¼
2
ð 0
f ðxÞ
dx ¼ ln j f ðxÞ j þ C
f ðxÞ
(2)
Integrale vom Typ (D) bis (F): Die angegebenen Substitutionen beseitigen die
Wurzeln. Man erhält Integrale mit trigonometrischen bzw. hyperbolischen Funktionen, die in der Regel noch keine Grund- oder Stammintegrale sind und daher (gegebenenfalls) mit einer anderen Methode bzw. unter Verwendung von Umrechnungsformeln weiterbehandelt werden müssen.
(3)
Weitere Integralsubstitutionen findet der Leser in der Mathematischen Formelsammlung (Kap. V, Abschnitt 3.1).
Beispiele
(1)
I ¼
ð
6x2
dx ¼ ?
ð1 4 x 3 Þ3
Die Substitution u ¼ 1 4 x 3 scheint geeignet, da sie eine deutliche Vereinfachung im Nenner des Integranden bewirkt:
Substitutionsgleichungen:
u ¼ 1 4 x 3,
du
¼ 12 x 2 ,
dx
dx ¼
du
du
¼
2
12 x
2 ð6 x 2 Þ
Integralsubstitution:
ð
ð
ð
6x2
6x2
du
1
1
I ¼
dx ¼
du
¼ 3
3
3
2
2
u3
u
ð1 4 x Þ
2 ð6 x Þ
Integration und Rücksubstitution:
Das neue Integral ist bereits ein Grundintegral. Mit Hilfe der Potenzregel der Integralrechnung erhalten wir:
ð
ð
1
1
1
1 u2
du
¼
I ¼ þC ¼
u 3 du ¼ 3
2
u
2
2 2
¼
1
1
þC ¼
þC
2
4u
4 ð1 4 x 3 Þ2
Lösung:
ð
6x2
1
dx ¼
þC
ð1 4 x 3 Þ3
4 ð1 4 x 3 Þ2
ðC 2 RÞ
458
V Integralrechnung
ð
(2)
I ¼
2 sin x cos x dx ¼ ?
Dieses Integral ist vom Typ (B) (der Faktor 2 stört nicht, da er vor das Integral
gezogen werden darf) und lässt sich daher wie folgt lösen:
du
du
u ¼ sin x ,
¼ cos x ,
dx ¼
dx
cos x
ð
ð
I ¼ 2 sin x cos x dx ¼ 2 u cos x ¼ 2
du
¼ 2
cos x
ð
u du ¼
1 2
u þ C ¼ u2 þ C
2
Rücksubstitution führt zur gesuchten Lösung:
ð
I ¼ 2 sin x cos x dx ¼ sin 2 x þ C
ð
(3)
I ¼
x3
3x2 6
dx ¼ ?
6x þ 1
Dieses unbestimmte Integral ist vom Integraltyp (C) aus Tabelle 2, da im Zähler
des Integranden genau die Ableitung des Nenners steht. Wir lösen dieses Integral
schrittweise wie folgt:
Substitutionsgleichungen (Nenner substituieren):
u ¼ x3 6x þ 1,
du
¼ 3x2 6,
dx
dx ¼
du
3x2 6
du
¼
Integralsubstitution:
ð
I ¼
3x2 6
dx ¼
3
x 6x þ 1
ð
3x2 6
u
3x2
6
ð
1
du
u
Integration und Rücksubstitution:
Das neue Integral ist bereits ein Grund- oder Stammintegral:
ð
1
I ¼
du ¼ ln j u j þ C ¼ ln j x 3 6 x þ 1 j þ C
u
Lösung:
ð
3x2 6
dx ¼ ln j x 3 6 x þ 1 j þ C
x3 6x þ 1
p=2
ð
(4)
I ¼
0
cos x
dx ¼ ?
1 þ sin 2 x
ðC 2 RÞ
8 Integrationsmethoden
459
1. Lösungsweg: Wir lösen das bestimmte Integral durch die Substitution u ¼ sin x
mit anschließender Rücksubstitution, wobei wir zunächst unbestimmt integrieren.
Substitutionsgleichungen:
u ¼ sin x ,
du
¼ cos x ,
dx
dx ¼
du
cos x
Integralsubstitution (ohne Grenzen, d. h. unbestimmt):
ð
cos x
dx ¼
1 þ sin 2 x
ð
cos x
1 þ u2
du
¼
cos x
ð
1
du
1 þ u2
Integration und Rücksubstitution:
ð
1
du ¼ arctan u þ C ¼ arctan ðsin xÞ þ C
1 þ u2
Berechnung des bestimmten Integrals (C ¼ 0 gesetzt, da die Berechnung eines
bestimmten Integrals mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion des Integranden
erfolgen kann):
p=2
ð
I ¼
0
h
i p=2
cos x
¼
dx
¼
arctan
ð
sin
xÞ
0
1 þ sin 2 x
¼ arctan ðsin ðp=2Þ Þ arctan ð sin 0 Þ ¼
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄ{zﬄ}
1
0
p
p
0 ¼
¼ arctan 1 arctan 0 ¼
4
4
2. Lösungsweg: Wir verwenden die gleiche Substitution, verzichten aber auf die
Rücksubstitution. Dafür müssen die Integrationsgrenzen auf die neue Hilfsvariable
u umgeschrieben werden.
Untere Grenze:
x ¼ 0
)
u ¼ sin 0 ¼ 0
Obere Grenze:
x ¼ p=2
)
u ¼ sin ðp=2Þ ¼ 1
Somit gilt:
p=2
ð
I ¼
0
cos x
dx ¼
1 þ sin 2 x
¼ arctan 1 arctan 0 ¼
ð1
0
h
i1
1
du ¼ arctan u
¼
2
0
1þu
p
p
0 ¼
4
4
460
(5)
V Integralrechnung
Wir berechnen den Flächeninhalt eines Kreises vom Radius r (Bild V-22).
y
y = r2– x2
Bild V-22
Zur Berechnung des Flächeninhaltes
eines Kreises
0
r
x
Aus Symmetriegründen beschränken wir uns dabei auf den im 1. Quadranten
liegenden Viertelkreis (in Bild V-22 grau unterlegt):
A Kreis
ðr pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 dx
¼ 4
0
Dieses Integral ist vom Typ (D) der Tabelle 2 und wird durch die Substitution
x ¼ r sin u,
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 ¼ r cos u
dx ¼ r cos u du,
gelöst, wobei wir die Integrationsgrenzen mitsubstituieren wollen. Wir lösen daher
die Substitutionsgleichung x ¼ r sin u zunächst nach u auf:
x ¼ r sin u
)
sin u ¼
x
r
)
u ¼ arcsin
x
r
Mit dieser Beziehung berechnen wir dann die neuen Integrationsgrenzen:
Untere Grenze:
x ¼ 0
)
u ¼ arcsin 0 ¼ 0
Obere Grenze:
x ¼ r
)
u ¼ arcsin 1 ¼ p=2
Nach Durchführung der Substitution erhält man das folgende Integral:
A Kreis
p=2
ð
ðr pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 dx ¼ 4 ¼ 4
r cos u r cos u du ¼
0
0
p=2
ð
¼ 4
p=2
ð
r cos u du ¼ 4 r 2
0
2
2
cos 2 u du
0
8 Integrationsmethoden
461
Dieses Integral ist zwar noch kein Grundintegral, kann jedoch mit Hilfe der aus der
Mathematischen Formelsammlung entnommenen trigonometrischen Beziehung
cos 2 u ¼
1
ð1 þ cos ð2 uÞÞ
2
wesentlich vereinfacht werden:
p=2
ð
A Kreis ¼ 4 r 2
1
cos u du ¼ 4 r 2
2
p=2
ð
ð1 þ cos ð2 uÞÞ du ¼
2
0
0
p=2
ð
¼ 2r p=2
ð
1 du þ 2 r 2
cos ð2 uÞ du ¼
2
0
0
p=2
ð
h i p=2
2
¼ 2r u
þ 2r cos ð2 uÞ du ¼
2
0
0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
¼ 2r2
p
0 þ 2r2 0 ¼ p r2
2
p=2
ð
cos ð2 uÞ du auch tatsächlich
Wir müssen noch zeigen, dass das Integral
0
verschwindet. Dieses Integral ist vom Typ (A) aus Tabelle 2 und wird durch
die folgende lineare Substitution gelöst (die Substitutionsvariable bezeichnen wir
mit t ):
t ¼ 2u,
dt
¼ 2,
du
du ¼
1
dt
2
Die neuen Integrationsgrenzen in t sind dabei ðt ¼ 2 uÞ:
Untere Grenze:
u ¼ 0
)
t ¼ 0
Obere Grenze:
u ¼ p=2
)
t ¼ p
Daher ist
p=2
ð
1
cos ð2 uÞ du ¼
2
ðp
cos t dt ¼
ip
1 h
1
sin t
ðsin p sin 0Þ ¼
¼
0
2
2
0
0
¼
1
ð0 0Þ ¼ 0
2
&
462
V Integralrechnung
8.2 Partielle Integration oder Produktintegration
Aus der Produktregel der Differentialrechnung in der speziellen Form
d u ðxÞ v ðxÞ ¼ u 0 ðxÞ v ðxÞ þ u ðxÞ v 0 ðxÞ
dx
ðV-60Þ
gewinnt man durch Umformung und anschließende Integration eine unter der Bezeichnung Partielle Integration oder Produktintegration bekannte Integrationsmethode. Zunächst wird Gleichung (V-60) wie folgt umgestellt:
u ðxÞ v 0 ðxÞ ¼
d u ðxÞ v ðxÞ u 0 ðxÞ v ðxÞ
dx
ðV-61Þ
Unbestimmte Integration auf beiden Seiten führt dann zu
ð
u ðxÞ v 0 ðxÞ dx ¼
ð
ð
d u ðxÞ v ðxÞ dx u 0 ðxÞ v ðxÞ dx
dx
ðV-62Þ
Dabei gilt:
ð
d u ðxÞ v ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v ðxÞ
dx
ðV-63Þ
Denn die (unbestimmte) Integration ist ja bekanntlich die Umkehrung der Differentiation,
hebt diese also auf. Die Integrationskonstante wird an dieser Stelle üblicherweise weggelassen, muss jedoch gegebenenfalls im Endergebnis hinzugefügt werden. Gleichung
(V-62) kann daher auch in der Form
ð
0
u ðxÞ v ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v ðxÞ ð
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx
ðV-64Þ
geschrieben werden. Diese Beziehung wird in der mathematischen Literatur als Formel
der partiellen Integration bezeichnet (auch Produktintegration genannt) und ermöglicht
unter gewissen Voraussetzungen die Integration einer Funktion f ðxÞ, wie wir gleich zeigen werden 5).
ð
Bei der Berechnung eines Integrals
f ðxÞ dx mittels partieller Integration wird der
Integrand f ðxÞ zunächst in „geeigneter“ Weise in zwei Faktorfunktionen zerlegt, die
wir mit u ðxÞ und v 0 ðxÞ bezeichnen wollen:
f ðxÞ ¼ u ðxÞ v 0 ðxÞ
0
ðV-65Þ
Dabei ist v ðxÞ die Ableitung einer (zunächst noch unbekannten) Funktion v ðxÞ.
5)
Der Nutzen dieser etwas seltsamen Formel ist auf den ersten Blick nur schwer zu erkennen.
8 Integrationsmethoden
463
ð
Das Integral
f ðxÞ dx lässt sich dann auch wie folgt schreiben:
ð
ð
f ðxÞ dx ¼
u ðxÞ v 0 ðxÞ dx
ðV-66Þ
Unter Verwendung der Formel (V-64) wird hieraus schließlich:
ð
ð
f ðxÞ dx ¼
u ðxÞ v 0 ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v ðxÞ ð
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx
ðV-67Þ
Damit haben wir Folgendes erreicht:
ð
ð
Das Ausgangsintegral
f ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v 0 ðxÞ dx lässt sich nach dieser Formel
ð
auf „indirektem“ Wege über das Hilfsintegral
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx der rechten Gleichungsseite berechnen, wenn die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind:
1. Zu der Faktorfunktion v 0 ðxÞ lässt sich problemlos eine Stammfunktion v ðxÞ finden.
ð
2. Das auf der rechten Seite stehende Hilfsintegral
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx ist elementar
lösbar und im Idealfall ein Grund- oder Stammintegral.
Die Erfahrung zeigt, dass man dieses Ziel in vielen (aber nicht allen) Fällen mit Hilfe
einer „geeigneten“ Zerlegung des Integranden erreichen kann.
Wir fassen diese wichtigen Ergebnisse wie folgt zusammen:
Berechnung eines Integrals mittels partieller Integration
(auch „Produktintegration“ genannt)
Der Integrand f ðxÞ des vorgegebenen unbestimmten Integrals
ð
f ðxÞ dx wird
I
zunächst in „geeigneter“ Weise in ein Produkt aus einer Funktion u ðxÞ und der
Ableitung v 0 ðxÞ einer (zunächst noch unbekannten) Funktion v ðxÞ zerlegt:
ð
ð
f ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v 0 ðxÞ dx
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄ{zﬄ}
Zerlegung in ein Produkt
464
V Integralrechnung
Dieses Integral lässt sich dann auch wie folgt darstellen (sog. Formel der partiellen
Integration):
ð
ð
ð
0
f ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v ðxÞ dx ¼ u ðxÞ v ðxÞ u 0 ðxÞ v ðxÞ dx ðV-68Þ
Die Integration gelingt, wenn die Faktorfunktionen u ðxÞ und v 0 ðxÞ die folgenden
Voraussetzungen erfüllen:
1. Zu der Faktorfunktion v 0 ðxÞ lässt sich problemlos eine Stammfunktion v ðxÞ
bestimmen.
2. Das aufð der rechten Seite der Integrationsformel (V-68) auftretende „Hilfsintegral“
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx ist elementar lösbar, im Idealfall sogar ein Grundoder Stammintegral.
Anmerkungen
(1)
Ob die Integration nach der Formel (V-68) gelingt, hängt im Wesentlichen von der
„richtigen“, d. h. sinnvollen Zerlegung des Integranden f ðxÞ in die beiden Faktorfunktionen u ðxÞ und v 0 ðxÞ ab. Insbesondere v 0 ðxÞ muss so gewählt werden,
dass sich ohne Schwierigkeiten eine Stammfunktion v ðxÞ angeben lässt (v 0 ðxÞ
ist der „kritische“ Faktor).
(2)
In einigen Fällen muss man das Integrationsverfahren mehrmals nacheinander anwenden, ehe man auf ein Grundintegral stößt (siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (3)).
(3)
Häufig führt die Partielle Integration zwar auf ein einfacheres Integral, das aber
noch kein Grund- oder Stammintegral darstellt. In diesem Fall muss das „neue“
Integral nach einer anderen Integrationsmethode (z. B. mittels einer Integralsubstitution) weiterbehandelt werden, bis man schließlich auf ein Grundintegral
stößt.
(4)
Die Formel der partiellen Integration gilt sinngemäß auch für bestimmte Integrale.
Sie lautet dann:
ðb
ðb
f ðxÞ dx ¼
a
0
u ðxÞ v ðxÞ dx ¼
a
h
u ðxÞ v ðxÞ
ib
a
ðb
u 0 ðxÞ v ðxÞ dx
a
ðV-69Þ
(5)
Die Integrale in der Formel (V-68) müssen natürlich existieren. Dies ist der Fall,
wenn u ðxÞ und v ðxÞ stetig differenzierbare Funktionen sind.
8 Integrationsmethoden
&
465
Beispiele
ð
(1)
x e x dx ¼ ?
Wir zerlegen den Integrand f ðxÞ ¼ x e x wie folgt:
u ðxÞ ¼ x , v 0 ðxÞ ¼ e x
)
u 0 ðxÞ ¼ 1 , v ðxÞ ¼ e x
Die Formel der partiellen Integration liefert dann unmittelbar ein elementar lösbares Integral:
ð
ð
ð
x e x dx ¼ x e x 1 e x dx ¼ x e x e x dx ¼
# #
" "
" "
u v0
u v
u0 v
¼ x e x e x þ C ¼ ðx 1Þ e x þ C
ðC 2 RÞ
Um zu zeigen, dass die Art der Zerlegung des Integranden von entscheidender Bedeutung ist, wollen wir diesmal im gleichen Integral eine andere Zerlegung des
Integranden f ðxÞ ¼ x e x vornehmen und zwar:
f ðxÞ ¼ x e x
# #
v0 u
Auch bei dieser Zerlegung lässt sich zum „kritischen“ Faktor v 0 ðxÞ ¼ x problemlos eine Stammfunktion bestimmen:
u ðxÞ ¼ e x ,
v 0 ðxÞ ¼ x
)
u 0 ðxÞ ¼ e x , v ðxÞ ¼
1 2
x
2
Die Formel der Partiellen Integration führt diesmal aber zu einem „Hilfsintegral“,
das nicht etwa (wie gewünscht) einfacher, sondern sogar komplizierter gebaut ist
als das Ausgangsintegral:
ð
ð
ð
1 2
1 2
1 2
1
x e x dx ¼ e x x ex x dx ¼
x ex x 2 e x dx
2
2
2
2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
# #
"
"
"
"
Dieses Integral
0
0
u
v
u
v
v u
ist komplizierter
gebaut als das
Ausgangsintegral
Die vorgenommene Zerlegung des Integranden ist keineswegs „falsch“, offensichtlich jedoch
„ungeeignet“, d. h. mit dieser Zerlegung lässt sich das Ausgangsinteð
gral
x e x dx nicht in ein elementar lösbares Integral bzw. in ein Grund- oder
Stammintegral überführen (die Potenz im Integral hat sich bei dieser Zerlegung
erhöht: x ! x 2 ).
466
(2)
V Integralrechnung
ð
Das unbestimmte Integral ln x dx lässt sich auch in der Form
ð
ð
ln x dx ¼ ðln xÞ 1 dx
darstellen („mathematischer Trick“: Faktor 1 ergänzen). Wir nehmen jetzt die folgende Zerlegung des Integranden f ðxÞ ¼ ðln xÞ 1 vor:
u ðxÞ ¼ ln x, v 0 ðxÞ ¼ 1
u 0 ðxÞ ¼
)
1
, v ðxÞ ¼ x
x
Damit gilt nach Formel (V-68):
ð
ð
ð
1
ln x dx ¼ ðln xÞ 1 dx ¼ ðln xÞ x x dx ¼
x
#
#
"
"
" "
u
v
u0 v
u
v0
ð
¼ x ln x 1 dx ¼ x ln x x þ C ¼
¼ x ðln x 1Þ þ C
ðC 2 RÞ
ð
(3)
x 2 cos x dx ¼ ?
Mit der Zerlegung
u ðxÞ ¼ x 2 ,
v 0 ðxÞ ¼ cos x
)
u 0 ðxÞ ¼ 2 x , v ðxÞ ¼ sin x
erhält man zunächst:
ð
ð
x 2 cos x dx ¼ x 2 sin x 2 x sin x dx ¼
#
#
"
"
"
"
u
v
u0
v
u
v0
ð
¼ x 2 sin x 2 x sin x dx ¼ x 2 sin x 2 I
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
I
ð
Das dabei auftretende Hilfsintegral I ¼ x sin x dx ist zwar einfacher gebaut
als das Ausgangsintegral (Potenzerniedrigung: x 2 ! x), aber leider noch kein
Grundintegral. Es lässt sich aber nach der gleichen Integrationstechnik weiterbehandeln. Wir zerlegen nun wie folgt (konsequenterweise müssen wir wieder die
Potenz –– hier also x –– mit u bezeichnen):
u ðxÞ ¼ x , v 0 ðxÞ ¼ sin x
)
u 0 ðxÞ ¼ 1 , v ðxÞ ¼ cos x
8 Integrationsmethoden
Dann gilt:
467
ð
ð
I ¼
x sin x dx ¼ x ð cos xÞ #
#
"
"
0
u
v
u
v
ð
¼ x cos x þ cos x dx ¼ x 1 ð cos xÞ dx ¼
"
"
0
u
v
cos x þ sin x þ C 1
ð
Damit haben wir das Ausgangsintegral x 2 cos x dx gelöst:
ð
x 2 cos x dx ¼ x 2 sin x 2 I ¼
¼ x 2 sin x 2 ð x cos x þ sin x þ C 1 Þ ¼
¼ x 2 sin x þ 2 x cos x 2 sin x 2 C 1 ¼
¼ x 2 sin x þ 2 x cos x 2 sin x þ C
(4)
Dabei wurde C ¼ 2 C 1 gesetzt ðC 1 , C 2 RÞ.
ð
ðn 2 N*; a 2 RÞ
x n e a x dx ¼ ?
Wir nehmen zunächst die folgende Zerlegung vor:
u ðxÞ ¼ x n , v 0 ðxÞ ¼ e a x
)
u 0 ðxÞ ¼ n x n 1 , v ðxÞ ¼
1
eax
a
und erhalten nach der Formel der Partiellen Integration (V-68):
ð
ð
ð
1
n
xn eax x n 1 e a x dx
x n e a x dx ¼ u v u 0 v dx ¼
a
a
ð
Damit haben wir das Ausgangsintegral
x n e a x dx gegen ein einfacher gebautes Integral vom gleichen Typ eingetauscht (der Exponent hat sich um 1 verkleinert!). Formeln dieser Art bezeichnet man als Rekursionsformeln. Durch mehrmaliges Anwenden dieser
Formel (hier: n-mal) gelangt man schließlich zu dem
ð
„Grundintegral“
e a x dx .
Rechenbeispiel
ð
x 2 e 4 x dx ¼ ?
n ¼ 2,
a ¼ 4
Der 1. Schritt führt zu:
ð
ð
1 2
2
1 2
1
x e4x x e 4 x dx ¼
x e4x I
x 2 e 4 x dx ¼
4
4
4
2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
I
468
V Integralrechnung
Im 2. Schritt wenden wir dieselbe Rekursionsformel auf das neue (aber einfachere)
Integral der rechten Seite an (diesmal ist n ¼ 1 und a ¼ 4):
ð
ð
1
1
I ¼ x e 4 x dx ¼
x e4x 1 e 4 x dx ¼
4
4
¼
1
1
x e4x e4x þ C1
4
16
Damit erhalten wir die folgende Lösung:
ð
1 2
1
x e4x I ¼
x 2 e 4 x dx ¼
4
2
1 2
1 1
1
¼
x e4x x e4x e4x þ C1 ¼
4
2 4
16
1 2
1
1
1
¼
x e4x x e4x þ
e4x C1 ¼
4
8
32
2
1
1
1
¼
x2 x þ
e4x þ C
4
2
8
Dabei wurde C ¼ C 1 =2 gesetzt ðC 1 , C 2 RÞ.
&
8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion
durch Partialbruchzerlegung des Integranden
Für echt gebrochenrationale Funktionen ist eine spezielle Integrationstechnik unter der
Bezeichnung „Integration durch Partialbruchzerlegung“ entwickelt worden. Wir werden
sie im Folgenden ausführlich behandeln.
Ist die Funktion jedoch unecht gebrochen, so muss sie zunächst in eine ganzrationale und
eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt werden. Diese Zerlegung ist stets möglich
und eindeutig (siehe hierzu Kap. III, Abschnitt 6.3). Wir geben zunächst ein Beispiel.
&
Beispiel
2 x 3 14 x 2 þ 14 x þ 30
wird durch
x2 4
Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil zerlegt:
Die unecht gebrochenrationale Funktion y ¼
ð2 x 3 14 x 2 þ 14 x þ 30Þ : ðx 2 4Þ ¼ 2 x 14 þ
ð2 x 3
8 xÞ
22 x 26
x2 4
14 x 2 þ 22 x þ 30
ð 14 x 2 þ
þ 56Þ
22 x 26
Ganzrationaler Anteil:
p ðxÞ ¼ 2 x 14
Echt gebrochenrationaler Anteil:
r ðxÞ ¼
22 x 26
x2 4
&
8 Integrationsmethoden
469
8.3.1 Partialbruchzerlegung
Z ðxÞ
lässt sich mit Hilfe alN ðxÞ
gebraischer Methoden in eindeutiger Weise in eine endliche Summe aus sog. Partialoder Teilbrüchen zerlegen, die dann ohne große Schwierigkeiten gliedweise integriert
werden können (Z ðxÞ: Zählerpolynom, N ðxÞ: Nennerpolynom).
Jede echt gebrochenrationale Funktion vom Typ f ðxÞ ¼
Wir gehen dabei wie folgt vor:
Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion
Z ðxÞ
lässt sich schrittN ðxÞ
weise wie folgt in eine Summe aus Partial- oder Teilbrüchen zerlegen:
Eine echt gebrochenrationale Funktion vom Typ f ðxÞ ¼
1. Zunächst werden die reellen Nullstellen des Nennerpolynoms N ðxÞ nach Lage und Vielfachheit bestimmt 6).
2. Jeder Nullstelle des Nennerpolynoms wird ein Partialbruch in folgender Weise zugeordnet:
A
x 1 : Einfache Nullstelle "
x x1
A1
A2
x 1 : Zweifache Nullstelle "
þ
x x1
ðx x 1 Þ 2
..
.
A1
A2
Ar
"
þ
þ ... þ
x 1 : r-fache Nullstelle
2
x x1
ðx
x 1Þ r
ðx x 1 Þ
A, A 1 , A 2 , . . . , A r sind dabei (zunächst noch unbekannte) Konstanten.
Z ðxÞ
ist dann als Summe
N ðxÞ
aller Partialbrüche darstellbar (Anzahl der Partialbrüche ¼ Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms N ðxÞ).
3. Die echt gebrochenrationale Funktion f ðxÞ ¼
4. Bestimmung der in den Partialbrüchen auftretenden Konstanten: Zunächst
werden alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) gebracht.
Durch Einsetzen geeigneter x-Werte (z. B. der Nennernullstellen) erhält man
ein einfaches lineares Gleichungssystem für die unbekannten Konstanten, das
z. B. mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gelöst werden kann.
Eine weitere Methode zur Bestimmung der Konstanten ist der Koeffizientenvergleich.
6)
Wir setzen hier voraus, dass der Nenner ausschließlich reelle Nullstellen besitzt (zum Vorgehen bei komplexen Nullstellen siehe Formelsammlung, Kap. V, Abschnitt 3.3).
470
&
V Integralrechnung
Beispiele
(1)
Der Nenner einer echt gebrochenrationalen Funktion besitze die folgenden einfachen Nullstellen: x 1 ¼ 2, x 2 ¼ 5 und x 3 ¼ 4. Die zugehörigen Partialbrüche lauten dann der Reihe nach:
A
,
x 2
(2)
B
,
x 5
C
x þ4
Wie lautet die Partialbruchzerlegung der echt gebrochenrationalen Funktion
y ¼ f ðxÞ ¼
x þ1
?
x3 5x2 þ 8x 4
Lösung: Wir berechnen zunächst die Nennernullstellen:
N ðxÞ ¼ x 3 5 x 2 þ 8 x 4 ¼ 0
)
x1 ¼ 1 ,
x 2=3 ¼ 2
(x 1 ¼ 1 durch Probieren gefunden; das Horner-Schema liefert dann das 1. reduzierte Polynom, aus dem sich die weiteren Nullstellen ergeben). Ihnen ordnen wir
die folgenden Partialbrüche zu:
A
"
x 1 ¼ 1 (einfache Nullstelle)
x 1
B
C
þ
x 2=3 ¼ 2 (doppelte Nullstelle) "
x 2
ðx 2Þ 2
Damit lässt sich die Funktion f ðxÞ wie folgt darstellen (Zerlegung in Partialbrüche):
f ðxÞ ¼
¼
x þ1
x þ1
¼
¼
x3 5x2 þ 8x 4
ðx 1Þ ðx 2Þ 2
A
B
C
þ
þ
x 1
x 2
ðx 2Þ 2
Um die Konstanten A, B und C bestimmen zu können, müssen die Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden (Hauptnenner: ðx 1Þ ðx 2Þ 2 ; die Brüche müssen der Reihe nach mit ðx 2Þ 2 , ðx 1Þ ðx 2Þ bzw. ðx 1Þ erweitert werden):
x þ1
ðx 1Þ ðx 2Þ 2
¼
A ðx 2Þ 2 þ B ðx 1Þ ðx 2Þ þ C ðx 1Þ
ðx 1Þ ðx 2Þ 2
Aus dieser Gleichung folgt dann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner:
x þ 1 ¼ A ðx 2Þ 2 þ B ðx 1Þ ðx 2Þ þ C ðx 1Þ
8 Integrationsmethoden
471
Wir setzen jetzt der Reihe nach die Werte x ¼ 1, x ¼ 2 (also die beiden Nullstellen des Nenners) und x ¼ 0 ein und erhalten ein eindeutig lösbares lineares
Gleichungssystem für die drei Unbekannten A, B und C:
x ¼ 1
)
2 ¼ A
)
A ¼ 2
x ¼ 2
)
3 ¼ C
)
C ¼ 3
x ¼ 0
)
1 ¼ 4A þ 2B C
)
1 ¼ 5 þ 2B
)
)
1 ¼ 4 2 þ 2B 3
2B ¼ 4
)
B ¼ 2
Die gesuchte Partialbruchzerlegung lautet damit:
x þ1
2
2
3
þ
¼
x3 5x2 þ 8x 4
x 1
x 2
ðx 2Þ 2
&
8.3.2 Integration der Partialbrüche
Die in der Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion auftretenden
Funktionen sind vom Typ 7)
1
x x1
bzw:
1
ðx x 1 Þ n
ðn 2Þ
ðV-70Þ
du
¼ 1 und somit dx ¼ du ist ihre Integradx
tion elementar durchführbar und liefert die folgenden Lösungen ðC 1 , C 2 2 RÞ:
Mit Hilfe der Substitution u ¼ x x 1 ,
ð
ð
dx
¼
x x1
ð
dx
¼
ðx x 1 Þ n
¼
7)
du
¼ ln j u j þ C 1 ¼ ln j x x 1 j þ C 1
u
ð
du
¼
un
ð
u n du ¼
1
ð1 nÞ ðx x 1 Þ n 1
ðV-71Þ
unþ1
1
þ C2 ¼
þ C2 ¼
ð1 nÞ u n 1
n þ 1
þ C2
ðV-72Þ
Die in den Partialbrüchen auftretenden Konstanten können bei der Integration vor das Integral gezogen
werden und haben somit keinen Einfluss auf die nachfolgenden berlegungen.
472
V Integralrechnung
Bevor wir das beschriebene Verfahren zur Integration gebrochenrationaler Funktionen
durch Partialbruchzerlegung des Integranden auf konkrete Beispiele anwenden, fassen
wir die einzelnen Schritte, die zur Integration führen, wie folgt zusammen:
Integration einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung
Z ðxÞ
Die Integration einer gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ ¼
wird nach dem
N
ðxÞ
folgenden Schema durchgeführt:
1. Zerlegung von f ðxÞ in eine ganzrationale Funktion p ðxÞ und eine echt gebrochenrationale Funktion r ðxÞ (z. B. durch Polynomdivision) 8) :
f ðxÞ ¼ p ðxÞ þ r ðxÞ
ðV-73Þ
2. Darstellung des echt gebrochenrationalen Anteils r ðxÞ als Summe von Partialbrüchen (sog. Partialbruchzerlegung).
3. Integration des ganzrationalen Anteils p ðxÞ und sämtlicher Partialbrüche.
&
Beispiele
ð
2 x 3 14 x 2 þ 14 x þ 30
dx ¼ ?
(1)
x2 4
Der Integrand ist unecht gebrochenrational und wird durch Polynomdivision in
einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil zerlegt (diese Zerlegung wurde bereits zu Beginn dieses Abschnitts durchgeführt):
f ðxÞ ¼
2 x 3 14 x 2 þ 14 x þ 30
22 x 26
¼ 2 x 14 þ
x2 4
x2 4
Zerlegung des echt gebrochenrationalen Anteils in Partialbrüche
r ðxÞ ¼
22 x 26
x2 4
Nullstellen des Nenners:
x2 4 ¼ 0
)
x 1 ¼ 2, x 2 ¼ 2
Zuordnung der Partialbrüche:
8)
x 1 ¼ 2 (einfache Nullstelle)
"
A
x 2
x 2 ¼ 2 (einfache Nullstelle)
"
B
x þ2
Diese Zerlegung entfällt, wenn die Funktion f ðxÞ bereits echt gebrochenrational ist.
8 Integrationsmethoden
473
Partialbruchzerlegung:
22 x 26
22 x 26
A
B
¼
¼
þ
2
x 4
ðx 2Þ ðx þ 2Þ
x 2
x þ2
Bestimmung der Konstanten A und B (zunächst Hauptnenner bilden):
22 x 26
A ðx þ 2Þ þ B ðx 2Þ
¼
ðx 2Þ ðx þ 2Þ
ðx 2Þ ðx þ 2Þ
)
22 x 26 ¼ A ðx þ 2Þ þ B ðx 2Þ
Wir setzen für x der Reihe nach die Werte der beiden Nennernullstellen ein:
x ¼ 2
)
18 ¼ 4 A
)
A ¼ 4,5
x ¼ 2
)
70 ¼ 4 B
)
B ¼ 17,5
Die Partialbruchzerlegung ist damit abgeschlossen. Sie lautet:
22 x 26
4,5
17,5
¼
þ
2
x 4
x 2
x þ2
Durchführung der Integration
ð
ð
ð
2 x 3 14 x 2 þ 14 x þ 30
22 x 26
dx
¼
ð2
x
14Þ
dx
þ
dx ¼
x2 4
x2 4
ð
4,5
17,5
2
þ
dx ¼
¼ x 14 x þ
x 2
x þ2
¼ x 2 14 x þ 4,5 ln j x 2 j þ 17,5 ln j x þ 2 j þ C
ð
(2)
ðC 2 RÞ
x2 5x þ 8
dx ¼ ?
x4 6x2 þ 8x 3
Der Integrand ist bereits echt gebrochenrational. Wir zerlegen ihn in Partialbrüche.
Zunächst werden die Nullstellen des Nenners ermittelt:
x4 6x2 þ 8x 3 ¼ 0
)
x 1 ¼ 1 ð3-fachÞ , x 2 ¼ 3
Die zugehörigen Partialbrüche lauten daher:
x 1 ¼ 1 (3-fache Nullstelle)
"
A1
A2
A3
þ
þ
2
x 1
ðx 1Þ
ðx 1Þ 3
x 2 ¼ 3 (einfache Nullstelle)
"
B
x þ3
474
V Integralrechnung
Die Integrandfunktion ist daher in der Form
x4
x2 5x þ 8
x2 5x þ 8
¼
¼
2
6x þ 8x 3
ðx 1Þ 3 ðx þ 3Þ
¼
A1
A2
A3
B
þ
þ
þ
x þ3
x 1
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3
darstellbar.
Bestimmung der Konstanten A 1 , A 2 , A 3 und B (Hauptnenner bilden):
x2 5x þ 8
ðx 1Þ 3 ðx þ 3Þ
¼
¼
A 1 ðx 1Þ 2 ðx þ 3Þ þ A 2 ðx 1Þ ðx þ 3Þ þ A 3 ðx þ 3Þ þ B ðx 1Þ 3
ðx 1Þ 3 ðx þ 3Þ
Die Gleichung wird beiderseits mit dem Hauptnenner ðx 1Þ 3 ðx þ 3Þ multipliziert:
x2 5x þ 8 ¼
¼ A 1 ðx 1Þ 2 ðx þ 3Þ þ A 2 ðx 1Þ ðx þ 3Þ þ A 3 ðx þ 3Þ þ B ðx 1Þ 3
x ¼ 1
)
4 ¼ 4 A3
)
x ¼ 3
)
32 ¼ 64 B
x ¼ 0
)
A3 ¼ 1
)
B ¼ 0,5
8 ¼ 3 A1 3 A2 þ 3 A3 B
8 ¼ 3 A 1 3 A 2 þ 3 þ 0,5
4,5 ¼ 3 A 1 3 A 2 j : 3
ðIÞ
x ¼ 1
)
1,5 ¼ A 1 A 2
oder
A 1 A 2 ¼ 1,5
14 ¼ 8 A 1 4 A 2 þ 2 A 3 8 B
14 ¼ 8 A 1 4 A 2 þ 2 þ 4
8 ¼ 8 A1 4 A2 j : 4
ðIIÞ
2 ¼ 2 A1 A2
oder
2 A1 A2 ¼ 2
Aus den Gleichungen (I) und (II) folgt durch Differenzbildung:
)
ðIÞ
A 1 A 2 ¼ 1,5
ðIIÞ
2 A1 A2 ¼ 2
A1
¼ 0,5
)
A 1 ¼ 0,5
)
A2 ¼ 1
8 Integrationsmethoden
475
Die Partialbruchzerlegung ist damit vollzogen:
x4
x2 5x þ 8
0,5
1
1
0,5
¼
þ
2
3
x 1
x
þ3
6x2 þ 8x 3
ðx 1Þ
ðx 1Þ
Durchführung der (gliedweisen) Integration:
ð
x2 5x þ 8
dx ¼
x4 6x2 þ 8x 3
ð
ð
ð
ð
0,5
dx
dx
0,5
dx dx ¼
¼
þ
x 1
x þ3
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3
¼ 0,5 ln j x 1 j þ
1
1
0,5 ln j x þ 3 j þ C ¼
x 1
2 ðx 1Þ 2
x 1
1
þ 1 þC
¼ 0,5 ln x þ3
x 1
2 ðx 1Þ 2
ðC 2 RÞ
&
8.4 Numerische Integrationsmethoden
In vielen Fällen ist die Integration einer stetigen Funktion in geschlossener Form nicht
möglich oder aber vom Arbeits- und Rechenaufwand her nicht vertretbar. So sind wir
beispielsweise nicht in der Lage, das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik so
ðx
2
bedeutende Integral F ðxÞ ¼ e t dt durch einen analytischen Funktionsausdruck zu
0
beschreiben. In diesem Fall ist man dann auf die punktweise Berechnung der Stammfunktion unter Verwendung spezieller Näherungsverfahren angewiesen (sog. numerische
Integration) 9). Numerische Integrationstechniken sind daher ihrem Charakter nach stets
Näherungsverfahren und können in den folgenden Fällen zur Lösung des Problems herangezogen werden:
––
––
––
––
Das Integral ist elementar, d. h. in geschlossener Form nicht lösbar.
Der Integrand ist in Form einer Wertetabelle gegeben.
Der Integrand liegt als Funktionskurve (Funktionsgraph) vor.
Die Integration ist in geschlossener Form zwar grundsätzlich durchführbar, jedoch zu
aufwändig.
Wir behandeln in diesem Abschnitt zwei Näherungsverfahren zur Berechnung bestimmter Integrale (Trapezformel, Simpsonsche Formel ). In beiden Fällen setzen wir bei der
Herleitung der Formelausdrücke voraus, dass die stetige Integrandfunktion y ¼ f ðxÞ im
Integrationsintervall a x b oberhalb der x-Achse verläuft, so dass das bestimmte
9)
Eine weitere Möglichkeit besteht in der Potenzreihenentwicklung des Integranden und anschließender
(gliedweiser) Integration (siehe hierzu Kap. VI, Abschnitt 3.3.2).
476
V Integralrechnung
ðb
f ðxÞ dx als Flächeninhalt interpretiert werden darf. Die Fläche wird dann
Integral
a
(ähnlich wie bei der Einführung des Begriffes „bestimmtes Integral“ in Abschnitt 2) in
achsenparallele Streifen gleicher Breite zerlegt. Anschließend werden die oberen Berandungen der Streifen durch möglichst einfache Kurven ersetzt (Geraden, Parabeln).
8.4.1 Trapezformel
Wir zerlegen das Integrationsintervall a x b in n Teilintervalle gleicher Länge h
(auch Schrittweite genannt):
h ¼
ba
n
ðV-74Þ
Die Randpunkte der Teilintervalle werden als Stützstellen bezeichnet. Sie lauten der Reihe nach (Bild V-23):
x0 ¼ a ,
x1 ¼ x0 þ h ¼ a þ h , x2 ¼ x0 þ 2 h ¼ a þ 2 h ,
xk ¼ x0 þ k h ¼ a þ k h ,
...,
...
. . . , xn ¼ b
ðV-75Þ
Die zugehörigen Funktionswerte y k heißen Stützwerte:
y k ¼ f ðx k Þ ¼ f ðx 0 þ k hÞ ¼ f ða þ k hÞ
y
ðV-76Þ
P n–1
y = f(x)
Pn
P0
P2
P1
y n–1
y0
y1
yn
y2
h
x0 = a
ðk ¼ 0, 1, 2, . . . , nÞ
h
x1
h
x2
x n –1
xn = b
x
Bild V-23 Zur Herleitung der Trapezformel
Die Fläche unter der Kurve y ¼ f ðxÞ, a x b zerfällt damit in n achsenparallele
Streifen der Breite h. Ersetzt man in jedem Streifen den dortigen Kurvenbogen durch
die Sehne (diese verläuft geradlinig durch die beiden Randpunkte), so erhält man eine
Näherung in Form eines Trapezes.
8 Integrationsmethoden
477
y
P0
Sehne
y0
P1
h
y = f(x)
Bild V-24
Zur näherungsweisen Berechnung
des 1. Flächenstreifens bei der Trapezformel
y1
x1
x0
x
So wird beispielsweise der 1. Streifen durch das in Bild V-24 grau unterlegte Trapez
vom Flächeninhalt
A1 ¼
y0 þ y1
h
2
ðV-77Þ
ersetzt 10). Analog erhält man für die Flächeninhalte der übrigen n 1 Streifen näherungsweise
A2 ¼
y1 þ y2
y2 þ y3
h , A3 ¼
h,
2
2
. . . , An ¼
yn1 þ yn
h
2
ðV-78Þ
Für großes n ist die Summe aller Trapezflächen eine gute Näherung für den gesuchten
Flächeninhalt. Wir erhalten somit die folgende Näherungsformel:
ðb
f ðxÞ dx A 1 þ A 2 þ A 3 þ . . . þ A n ¼
a
y0 þ y1
y1 þ y2
y2 þ y3
yn1 þ yn
hþ
hþ
h þ ... þ
h ¼
2
2
2
2
h
¼
¼ ðy 0 þ y 1 Þ þ ðy 1 þ y 2 Þ þ ðy 2 þ y 3 Þ þ . . . þ ðy n 1 þ y n Þ
2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
2 y1
2 y2
2 yn1
2 y3
h
¼ y0 þ 2 y1 þ 2 y2 þ 2 y3 þ . . . þ 2 yn1 þ yn
ðV-79Þ
2
¼
Die inneren Ordinaten (Stützwerte) treten dabei doppelt auf. Wir können diesen Ausdruck noch wie folgt vereinfachen:
10)
Der Flächeninhalt eines Trapezes wird nach der aus der
Elementarmathematik bekannten Formel
A ¼
aþb
h
2
berechnet (siehe hierzu Bild V-25).
a
A
b
Bild V-25
h
478
V Integralrechnung
h
¼
ðy 0 þ y n Þ þ 2 ðy 1 þ y 2 þ y 3 þ . . . þ y n 1 Þ
2
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
S1
S2
h
1
¼ S1 þ 2 S2
¼
S1 þ S2 h
2
2
ðb
f ðxÞ dx a
ðV-80Þ
Diese Formel gestattet die näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals, wenn
von der Integrandfunktion n þ 1 Stützwerte (Funktionswerte) bekannt sind (sog. Trapezformel).
Wir fassen zusammen:
Trapezformel (Bild V-23)
ðb
a
#
1
ðy 0 þ y n Þ þ ðy 1 þ y 2 þ y 3 þ . . . þ y n 1 Þ h ¼
f ðxÞ dx 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
S1
S2
1
ðV-81Þ
¼
S1 þ S2 h
2
"
Dabei bedeuten:
y k : Stützwerte der Funktion y ¼ f ðxÞ, berechnet an den Stützstellen
xk ¼ a þ k h
ðk ¼ 0, 1, . . . , nÞ
ba
h: Streifenbreite (Schrittweite) h ¼
n
S 1 : Summe der beiden äußeren Stützwerte (Ordinaten der beiden Randpunkte)
S 2 : Summe der inneren Stützwerte
Anmerkungen
(1)
Die Näherung durch die Trapezformel (V-81) ist umso besser, je feiner die Intervallunterteilung ist. Sie liefert für n ! 1 den exakten Integralwert.
(2)
Die Trapezformel gilt unabhängig von der geometrischen Interpretation, sofern der
Integrand f ðxÞ eine stetige Funktion ist.
(3)
Die Randkurve y ¼ f ðxÞ, a x b wird bei diesem Näherungsverfahren
durch einen Streckenzug ersetzt (stückweise geradlinige Berandung).
(4)
Man beachte: Die Stützwerte gehen mit unterschiedlichen Gewichtungsfaktoren in
die Rechnung ein (Randordinaten mit dem Faktor 1=2, innere Ordinaten mit dem
Faktor 1).
8 Integrationsmethoden
&
479
Beispiel
ð1
Wir berechnen das Integral
fen.
e x dx näherungsweise für n ¼ 5 bzw. n ¼ 10 Strei2
0
Zerlegung in n ¼ 5 Streifen (siehe Bild V-26)
ð1
e
x2
dx 1
1
1
y0 þ y1 þ y2 þ y3 þ y4 þ
y5 h ¼
S1 þ S2 h
2
2
2
0
y
1
y = e– x
2
Bild V-26
Näherungsweise Berechnung des Integrals
ð1
2
e x dx nach der Trapezformel
0
für n ¼ 5 Streifen der Breite h ¼ 0,2
0,2
1
x
Streifenbreite (Schrittweite): h ¼ 0,2
Stützwerte y k ¼ e x k
2
k
Stützstellen x k
0
0
1
0,2
0,9608
2
0,4
0,8521
3
0,6
0,6977
4
0,8
0,5273
5
1
1
0,3679
S 1 ¼ 1,3679
S 2 ¼ 3,0379
Die Trapezformel liefert damit für n ¼ 5 Streifen den folgenden Näherungswert:
ð1
e x dx 2
1
1
S1 þ S2 h ¼
1,3679 þ 3,0379 0,2 ¼ 0,7444
2
2
0
Die Abweichung des Näherungswertes 0,7444 vom exakten Wert 0,7468 (auf vier Stellen nach dem Komma genau) beträgt rund 0,3 %.
480
V Integralrechnung
Zerlegung in n ¼ 10 Streifen
ð1
e x dx 2
1
1
1
y0 þ y1 þ y2 þ . . . þ y9 þ
y 10 h ¼
S1 þ S2 h
2
2
2
0
Streifenbreite (Schrittweite): h ¼ 0,1
Stützwerte y k ¼ e x k
2
k
Stützstellen x k
0
0
1
0,1
0,9900
2
0,2
0,9608
3
0,3
0,9139
4
0,4
0,8521
5
0,5
0,7788
6
0,6
0,6977
7
0,7
0,6126
8
0,8
0,5273
9
0,9
0,4449
10
1
1
0,3679
S 1 ¼ 1,3679
S 2 ¼ 6,7781
Hinweis zu dieser Tabelle
Die Stützwerte aus der vorherigen Zerlegung in n ¼ 5 Streifen konnten unverändert
übernommen werden, die zusätzlich benötigten Ordinatenwerte befinden sich in den grau
unterlegten Zeilen (es handelt sich dabei um die Stützwerte y 1 , y 3 , y 5 , y 7 und y 9 .
Die Trapezformel (V-81) liefert dann für n ¼ 10 Streifen den folgenden Näherungswert, der nur noch um rund 0,1% unterhalb des exakten Wertes 0,7468 liegt:
ð1
e x dx 2
1
1
S1 þ S2 h ¼
1,3679 þ 6,7781 0,1 ¼ 0,7462
2
2
0
&
8 Integrationsmethoden
481
8.4.2 Simpsonsche Formel
Die nach der Trapezformel (V-81) berechneten Näherungswerte konvergieren relativ
langsam gegen den exakten Integralwert: Die geradlinige Berandung der Streifen durch
die Sehne ist offenbar eine zu grobe Näherung. Zu besseren Ergebnissen gelangt man,
wenn man nach Simpson die krummlinige obere Begrenzung der einzelnen Flächenstreifen durch parabelförmige Randkurven ersetzt.
Das numerische Integrationsverfahren nach Simpson geht dabei von den folgenden berlegungen aus: Zunächst wird das Integrationsintervall a x b in eine gerade Anzahl 2 n von Teilintervallen gleicher Länge (Schrittweite)
h ¼ ðb aÞ=2 n
ðV-82Þ
zerlegt. Dies führt zu den 2 n þ 1 Stützstellen
x0 ¼ a , x1 ¼ x0 þ h ¼ a þ h ,
... ,
x2 ¼ x0 þ 2 h ¼ a þ 2 h ,
xk ¼ x0 þ k h ¼ a þ k h ,
...
. . . , x2n ¼ b
ðV-83Þ
ðk ¼ 0, 1, 2, . . . , 2 nÞ
ðV-84Þ
mit den Stützwerten (Funktionswerten)
y k ¼ f ðx k Þ ¼ f ða þ k hÞ
(Bild V-27). Man erhält auf diese Weise genau 2 n sog. „einfache“ Streifen. Dann
werden jeweils zwei benachbarte (einfache) Streifen zu einem sog. Doppelstreifen
zusammengefasst. Aus 2 n einfachen Streifen der Breite h entstehen daher genau n
Doppelstreifen der Breite 2 h (in Bild V-27 abwechselnd hell- und dunkelgrau unterlegt)
und es ist unmittelbar einleuchtend, warum das Integrationsintervall a x b in eine
gerade Anzahl von Teilintervallen zerlegt werden muss.
y
P0
y = f(x)
P4
P 2n–2
P3
P1
y0
y1
x0 = a
P 2n–1
P2
y3
y2
x1
x2
x3
y 2n–2
y4
P 2n
y 2n–1
y 2n
x4
x 2n –2 x 2n –1 x 2n = b
x
Bild V-27 Zur Herleitung der Simpsonschen Formel
(Zerlegung der Fläche in 2 n „einfache“ Streifen der Breite h)
Wir gehen jetzt zur näherungsweisen Berechnung des Flächeninhalts der n Doppelstreifen über. In dem 1. Doppelstreifen (hellgrau unterlegt in Bild V-28) wird die krummlinige Berandung durch eine durch die drei Kurvenpunkte P 0 , P 1 und P 2 verlaufende
Parabel mit der Funktionsgleichung
y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0
ersetzt (Bild V-28).
ðV-85Þ
482
V Integralrechnung
Die Koeffizienten a 2 , a 1 , a 0 in der Parabelgleichung (V-85) sind dabei eindeutig durch
die Koordinaten der drei Punkte bestimmt. Sie brauchen jedoch (wie sich etwas später
noch zeigen wird) nicht berechnet zu werden, da sie nur indirekt in die Endformel eingehen.
y
Parabel
P0
y = f(x)
P1
P2
y0
y1
h
x0
Bild V-28
Zur näherungsweisen Berechnung
des 1. Doppelstreifens bei der
Simpsonschen Formel
y2
h
x1
x2
x
Der Flächeninhalt A 1 zwischen der Parabel und der x-Achse im Teilintervall
x 0 x x 0 þ 2 h liefert dann einen Näherungswert für den tatsächlichen Flächeninhalt des 1. Doppelstreifens. Er lässt sich mittels elementarer Integration wie folgt berechnen:
x0 þ
ð2h
A1 ¼
ða 2 x þ a 1 x þ a 0 Þ dx ¼
2
1
1
a2 x3 þ
a1 x2 þ a0 x
3
2
x0
¼
x0 þ 2 h
¼
x0
1
1
a 2 ðx 0 þ 2 hÞ 3 þ
a 1 ðx 0 þ 2 hÞ 2 þ a 0 ðx 0 þ 2 hÞ 3
2
1
1
a 2 x 03 a 1 x 02 a 0 x 0
3
2
ðV-86Þ
Wir entwickeln noch die Binome mit Hilfe der bekannten binomischen Formel aus Kap. I
(Abschnitt 6), ordnen die Glieder und fassen zusammen:
A 1 ¼ ð6 a 2 x 02 þ 12 a 2 x 0 h þ 8 a 2 h 2 þ 6 a 1 x 0 þ 6 a 1 h þ 6 a 0 Þ
h
3
ðV-87Þ
Der in der Klammer stehende Ausdruck ist dabei nichts anderes als die Summe
y 0 þ 4 y 1 þ y 2 ¼ f ðx 0 Þ þ 4 f ðx 1 Þ þ f ðx 2 Þ
ðV-88Þ
gebildet aus den Ordinaten der drei Punkte P 0 , P 1 und P 2 und jeweils berechnet mit
Hilfe der Parabelgleichung (V-85):
8 Integrationsmethoden
483
y 0 ¼ f ðx 0 Þ ¼ a 2 x 02 þ a 1 x 0 þ a 0
y 1 ¼ f ðx 1 Þ ¼ f ðx 0 þ hÞ ¼ a 2 ðx 0 þ hÞ 2 þ a 1 ðx 0 þ hÞ þ a 0
ðV-89Þ
y 2 ¼ f ðx 2 Þ ¼ f ðx 0 þ 2 hÞ ¼ a 2 ðx 0 þ 2 hÞ 2 þ a 1 ðx 0 þ 2 hÞ þ a 0
(bitte nachrechnen!). Denn an den Stützstellen x 0 , x 1 ¼ x 0 þ h und x 2 ¼ x 0 þ 2 h
stimmen die Funktionswerte von Kurve und Parabel überein. Der 1. Doppelstreifen besitzt daher näherungsweise den Flächeninhalt
h
A1 ¼ y0 þ 4 y1 þ y2
3
ðV-90Þ
Analog erhält man für die übrigen n 1 Doppelstreifen näherungsweise folgende Flächeninhalte:
h
h
A2 ¼ y2 þ 4 y3 þ y4
, A3 ¼ y4 þ 4 y5 þ y6
, ...,
3
3
h
. . . , An ¼ y2n2 þ 4 y2n1 þ y2n
3
ðV-91Þ
Durch Summation über sämtliche Doppelstreifen erhält man schließlich den folgenden
Näherungswert für den gesuchten Flächeninhalt 11Þ :
ðb
f ðxÞ dx A 1 þ A 2 þ . . . þ A n ¼
a
h
¼
ðy 0 þ 4 y 1 þ y 2 Þ þ ðy 2 þ 4 y 3 þ y 4 Þ þ . . . þ ðy 2 n 2 þ 4 y 2 n 1 þ y 2 n Þ
3
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
2 y2
2 y2n2
2 y4
h
¼ y0 þ 4 y1 þ 2 y2 þ 4 y3 þ 2 y4 þ . . . þ 2 y2n2 þ 4 y2n1 þ y2n
¼
3
¼
h
¼
ðy 0 þ y 2 n Þ þ 4 ðy 1 þ y 3 þ . . . þ y 2 n 1 Þ þ 2 ðy 2 þ y 4 þ . . . þ y 2 n 2 Þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3
S0
S1
S2
h
¼ S0 þ 4 S1 þ 2 S2
ðV-92Þ
3
¼
11)
Wir gehen ähnlich vor wie bei der Herleitung der Trapezformel. Den allen Summanden gemeinsamen
Faktor h=3 haben wir bereits ausgeklammert. Dann berücksichtigen wir, dass die beiden Randordinaten
einfach, die inneren Stützwerte abwechselnd mit dem Faktor 4 bzw. 2 auftreten.
484
V Integralrechnung
ðb
Diese als Simpsonsche Formel bezeichnete Näherung für das bestimmte Integral
lässt sich dann auch wie folgt darstellen:
f ðxÞ dx
a
Simpsonsche Formel (Bild V-27)
ðb
f ðxÞ dx a
ðy 0 þ y 2 n Þ þ 4 ðy 1 þ y 3 þ . . . þ y 2 n 1 Þ þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
S0
S1
þ 2 ðy 2 þ y 4 þ . . . þ y 2 n 2 Þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
S2
¼
h
S0 þ 4 S1 þ 2 S2
3
h
¼
3
ðV-93Þ
Dabei bedeuten:
yk :
h:
Stützwerte der Funktion y ¼ f ðxÞ, berechnet an den 2 n þ 1 Stützstellen
xk ¼ a þ k h
ðk ¼ 0, 1, . . . , 2 nÞ
ba
Breite eines einfachen Streifens (Schrittweite) h ¼
2n
S 0 : Summe der beiden äußeren Stützwerte (Ordinaten der beiden Randpunkte)
S 1 : Summe der inneren Stützwerte mit einem ungeraden Index
S 2 : Summe der inneren Stützwerte mit einem geraden Index
Anmerkungen
(1)
Auch diese Formel gilt unabhängig von der geometrischen Interpretation für jede
stetige Integrandfunktion f ðxÞ.
(2)
Beim Grenzübergang n ! 1 streben die Näherungswerte gegen den exakten Integralwert.
(3)
Nachteil der Simpsonschen Formel: Sie ist nur anwendbar für eine Zerlegung in
eine gerade Anzahl von (einfachen) Streifen, d. h. man benötigt stets eine ungerade Anzahl von Stützwerten.
(4)
Beachten Sie die unterschiedlichen Gewichtungsfaktoren der Stützwerte (symmetrische Verteilung: 1, 4, 2, 4, 2, . . . , 2, 4, 2, 4, 1).
8 Integrationsmethoden
(5)
485
Einen verbesserten Näherungswert I v erhält man folgendermaßen: Ist I h der Näherungswert bei der Schrittweite h und I 2 h der Näherungswert bei der doppelten
Schrittweite 2 h, so ist der Fehler DI von I h näherungsweise durch
1
Ih I2h
ðV-94Þ
DI ¼
15
gegeben. Einen gegenüber der Schrittweite h verbesserten Wert I v erzielt man
dann nach der Formel
I v ¼ I h þ DI
ðV-95Þ
(Voraussetzung: 2 n ist durch 4 teilbar).
&
Beispiel
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Wir wollen den Flächeninhalt unter der Kurve y ¼ f ðxÞ ¼
1 þ e 0,5 x 2 im Intervall 1 x 2,6 näherungsweise mit Hilfe der Simpsonschen Formel für eine Zerlegung in 2 n ¼ 8 einfache Streifen und damit n ¼ 4 Doppelstreifen berechnen
(siehe Bild V-29).
y
6
5
4
y = 1 + e 0,5 x
2
3
Bild V-29
Zur Berechnung des Flächeninhaltes
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
unter der Kurve y ¼
1 þ e 0,5 x 2
2
1
im Intervall 1 x 2,6
1
2
2,6
x
0,2
Um den dabei begangenen Fehler abschätzen zu können und um gleichzeitig einen verbesserten Näherungswert zu erhalten, wird eine sog. Zweitrechnung mit halber Streifenanzahl (also vier einfachen und damit zwei Doppelstreifen) durchgeführt. Der Mehraufwand an Rechenarbeit ist dabei relativ gering, da die bei der Zweitrechnung benötigten
Stützwerte bereits aus der Erstrechnung bekannt sind. Die Schrittweiten betragen somit:
Erstrechnung:
ð2 n ¼ 8, d: h: n ¼ 4Þ:
Zweitrechnung: ð2 n * ¼ 4, d: h: n * ¼ 2Þ:
h ¼ 0,2
h * ¼ 2 h ¼ 0,4
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
1
2
3
4
5
6
7
8
S *0 ¼ 7,1385
S 2 ¼ 7,8740
S 0 ¼ 7,1385
S 1 ¼ 11,1256
3,4994
2,4603
1,9143
1,6275
S *1 ¼ 5,4137
3,4994
2,4603
S *2 ¼ 2,4603
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
1 þ e 0, 5 x k
1,9143
Stützwerte y k ¼
5,5110
4,3375
2,8964
2,1440
1,7477
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
1 þ e 0, 5 x k
5,5110
1,6275
Stützwerte y k ¼
Zweitrechnung (Schrittweite: h * ¼ 2 h ¼ 0,4)
Hinweis zur Tabelle: Die grau unterlegten Stützstellen und Stützwerte der Erstrechnung entfallen bei der Zweitrechnung.
1
Stützstellen x k
0
k
Erstrechnung (Schrittweite: h ¼ 0,2)
486
V Integralrechnung
9 Uneigentliche Integrale
487
Erstrechnung: 2 n ¼ 8, n ¼ 4, h ¼ 0,2
2ð,6
Ih ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
h
2
0
,
5
x
¼
1þe
dx ¼ S 0 þ 4 S 1 þ 2 S 2
3
1
0,2
¼ 4,4926
¼ 7,1385 þ 4 11,1256 þ 2 7,8740 3
Zweitrechnung: 2 n * ¼ 4, n * ¼ 2,
h * ¼ 2 h ¼ 0,4
h*
2h
¼
S *0 þ 4 S *1 þ 2 S *2
¼ S *0 þ 4 S *1 þ 2 S *2
3
3
0,4
¼ 4,4952
¼ 7,1385 þ 4 5,4137 þ 2 2,4603 3
I 2 h ¼ I *h ¼
Der Fehler für die Erstrechnung beträgt damit rund
1
DI ¼
15
Ih I2h
1
¼
15
4,4926 4,4952 ¼ 0,0002
Einen verbesserten Wert liefert die Formel (V-95):
I v ¼ I h þ DI ¼ 4,4926 0,0002 ¼ 4,4924
&
9 Uneigentliche Integrale
Bei den bisher behandelten bestimmten Integralen haben wir stets die folgenden Eigenschaften vorausgesetzt:
1. Der Integrand f ðxÞ ist eine stetige Funktion;
2. Die Integrationsgrenzen a und b und damit auch das Integrationsintervall sind
endlich.
Solche Integrale werden auch als „eigentliche“ Integrale bezeichnet. In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen treten aber auch Integrale auf, bei denen mindestens eine der beiden genannten Eigenschaften nicht vorhanden ist. Integrale dieser Art,
mit denen wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen wollen, werden als „uneigentliche“
Integrale bezeichnet.
488
V Integralrechnung
9.1 Unendliches Integrationsintervall
In den Anwendungen treten vereinzelt Integrale mit einem unendlichen Integrationsintervall auf. Sie sind zunächst nicht definiert (vgl. hierzu die Integraldefinition (V-22)). Formal lassen sie sich auf einen der folgenden Integraltypen zurückführen:
ða
1
ð
f ðxÞ dx ,
1
ð
f ðxÞ dx ,
f ðxÞ dx
1
a
1
Wir geben zunächst zwei anschauliche Anwendungsbeispiele.
&
Beispiele
(1)
Im Gravitationsfeld der Erde soll eine Masse m aus der Entfernung r 0 (vom
Erdmittelpunkt aus gemessen) ins Unendliche ðr ¼ 1Þ gebracht werden ( Bild
V-30; siehe hierzu auch Beispiel (3) im späteren Abschnitt 10.6).
r →∞
m
Erde
r0
Bild V-30
Arbeit im Gravitationsfeld der Erde
M
Die Berechnung der dabei aufzuwendenden Arbeit W führt zu dem folgenden uneigentlichen Integral:
1
ð
W ¼
mM
f
dr ¼ f m M r2
r0
1
ð
1
dr
r2
r0
( f: Gravitationskonstante; M: Erdmasse).
(2)
1
1 þ x2
und der x-Achse stößt man auf das folgende uneigentliche Integral (siehe Bild V-31):
Bei der Bestimmung des Flächeninhaltes A zwischen der Kurve y ¼
1
ð
A ¼
1
1
dx
1 þ x2
y
1
–1
y=
1
1+x2
1
1
Bild V-31 Zur Berechnung der Fläche unterhalb der Kurve y ¼
1 þ x2
x
&
9 Uneigentliche Integrale
489
Um einem uneigentlichen Integral einen Wert zuweisen zu können, muss der in Abschnitt 2 erklärte Integralbegriff erweitert werden. Wir beschränken uns dabei auf Inte1
ð
grale vom Typ
f ðxÞ dx, wobei wie bisher die Stetigkeit des Integranden f ðxÞ im
a
Integrationsintervall x a vorausgesetzt wird. Im Einzelnen wird dabei wie folgt
verfahren:
1
ð
f ðxÞ dx
Berechnung eines uneigentlichen Integrals vom Typ
a
1. Zunächst wird über das endliche Intervall a x l integriert ðl > aÞ.
Das Integral ist vorhanden, sein Wert hängt aber noch von der gewählten oberen Grenze l ab:
ðl
I ðlÞ ¼
f ðxÞ dx
ðV-96Þ
a
2. Dann wird der Grenzwert von I ðlÞ für l ! 1 berechnet. Ist er vorhanden, so setzt man definitionsgemäß
ðl
1
ð
f ðxÞ dx ¼ lim I ðlÞ ¼ lim
a
l!1
l!1
f ðxÞ dx
ðV-97Þ
a
und nennt das uneigentliche Integral konvergent. Andernfalls spricht man von
einem divergenten uneigentlichen Integral.
Anmerkung
ða
1
ð
f ðxÞ dx und
Analog werden die uneigentlichen Integrale
1
f ðxÞ dx durch
1
Grenzwerte erklärt. Bei letzterem Integral wird das unendliche Integrationsintervall durch
einen beliebigen Teilpunkt x ¼ c zunächst in zwei Teilintervalle zerlegt und dann die
beiden uneigentlichen Integrale (wie oben geschildert) berechnet. Wenn beide Integrale
(Grenzwerte) existieren, gilt dies auch für das Ausgangsintegral.
490
&
V Integralrechnung
Beispiele
1
ð
(1)
1
dx ¼ ?
x3
1
Wir integrieren zunächst von x ¼ 1 bis zur Stelle x ¼ l > 1 und erhalten nach
der Potenzregel der Integralrechnung:
ðl
I ðlÞ ¼
1
dx ¼
x3
1
ðl
x
3
dx ¼
1
x2
2
l
¼
1
1
2x2
l
¼
1
1
1
2
2 l2
Im zweiten Schritt vollziehen wir den Grenzübergang für l ! 1:
1
1
1
1
¼
lim I ðlÞ ¼ lim
0 ¼
2
2
2
2
2l
l!1
l!1
Das uneigentliche Integral ist daher konvergent und besitzt den Wert 1=2:
1
ð
1
(2)
1
dx ¼ lim
x3
l!1
ðl
1
1
1
dx ¼ lim I ðlÞ ¼
x3
2
l!1
Wir berechnen das zu Beginn erwähnte Arbeitsintegral (Arbeit an einer Masse im
Gravitationsfeld der Erde)
1
ð
W ¼
mM
f 2 dr ¼ f m M r
r0
1
ð
1
dr
r2
r0
und erhalten zunächst mit der (endlichen) oberen Grenze r ¼ l:
ðl
W ðlÞ ¼ f m M 1
1 l
1
1
dr ¼ f m M ¼ f mM
r2
r r0
r0
l
r0
Der Grenzwert für l ! 1 ist vorhanden und führt zu
1
1
1
f mM
lim W ðlÞ ¼ lim f m M
0 ¼
¼ f mM
r
l
r
r0
l!1
l!1
0
0
Die aufzuwendende Arbeit gegen die Gravitationskraft beträgt daher:
1
ð
W ¼
r0
mM
f 2 dr ¼ f m M r
1
ð
r0
1
f mM
dr ¼ lim W ðlÞ ¼
r2
r0
l!1
9 Uneigentliche Integrale
491
1
ð
(3)
Das uneigentliche Integral
pﬃﬃﬃﬃ
x dx ist dagegen divergent, wie wir gleich zeigen
0
werden. Zunächst aber integrieren wir von x ¼ 0 bis hin zu x ¼ l > 0 (grau
unterlegte Fläche in Bild V-32):
ðl
I ðlÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃ
x dx ¼
0
ðl
x 1=2 dx ¼
2 h 3=2 i l
2
2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼
x
ðl 3=2 0Þ ¼
l3
0
3
3
3
0
Beim Grenzübergang l ! 1 strebt der Integralwert I ðlÞ jedoch über alle
Grenzen:
2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
lim I ðlÞ ¼ lim
l3 ¼ 1
l!1
l!1 3
pﬃﬃﬃﬃ
Geometrische Interpretation: Die von der Kurve y ¼ x und der positiven
x-Achse eingeschlossene Fläche ist unendlich groß (siehe Bild V.32):
y
2
y= x
1
→∞
I ( l)
Bild V-32
l
1
(4)
x
1
und der x-Achse (siehe hierzu
1 þ x2
auch Bild V-31) erhalten wir den folgenden Wert:
Für die Fläche A zwischen der Kurve y ¼
1
ð
A ¼
1
1
dx ¼ 2 1 þ x2
h
1
ð
0
1
dx ¼ 2 lim
1 þ x2
l!1
ðl
0
1
dx ¼
1 þ x2
il
¼ 2 lim ðarctan l arctan 0Þ ¼
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
l!1
0
p
¼ 2 lim ðarctan lÞ ¼ 2 ¼ p
2
l!1
¼ 2 lim
l!1
arctan x
0
Bei der Flächenberechnung haben wir dabei die Achsensymmetrie von Kurve und
&
Fläche berücksichtigt (Faktor 2).
492
V Integralrechnung
9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol)
Der Integrand f ðxÞ soll an der oberen Integrationsgrenze x ¼ b eine Unendlichkeitsðb
stelle (Polstelle) besitzen (Bild V-33). Das Integral f ðxÞ dx ist daher wegen des unbeschränkten Integranden zunächst nicht definiert.
a
y
y = f (x)
b–l
a
Bild V-33
Integrand f ðxÞ mit einer Polstelle an der
oberen Grenze b
b
x
Man geht dann in diesem Sonderfall wie folgt vor:
Uneigentliches Integral mit einer Unendlichkeitsstelle im Integranden
ðb
f ðxÞ dx hat an der oberen
Der Integrand f ðxÞ des uneigentlichen Integrals
a
Grenze x ¼ b eine Unendlichkeitsstelle (Pol). Wir gehen dann wie folgt vor:
1. Zunächst wird von der Stelle x ¼ a bis zur Stelle x ¼ b l integriert
(mit l > 0; siehe Bild V-33). Das bestimmte Integral ist vorhanden, der Integralwert hängt aber noch vom Parameter l ab:
bð
l
I ðlÞ ¼
f ðxÞ dx
ðV-98Þ
a
2. Ist der Grenzwert dieses Integrals für l ! 0 vorhanden, so setzt man definitionsgemäß
bð
l
ðb
f ðxÞ dx ¼ lim I ðlÞ ¼ lim
a
l!0
l!0
f ðxÞ dx
ðV-99Þ
a
und nennt das uneigentliche Integral konvergent. Anderenfalls spricht man von
einem divergenten uneigentlichen Integral.
9 Uneigentliche Integrale
493
Anmerkungen
(1)
Analog verfährt man, wenn die Polstelle an der unteren Grenze x ¼ a liegt. Man
integriert dann zunächst von x ¼ a þ l (mit l > 0) bis hin zu x ¼ b und
bestimmt dann den Grenzwert für l ! 0.
(2)
Liegt der Pol im Innern des Integrationsbereiches an der Stelle x ¼ c, so muss
das Integral zunächst in zwei Teilintegrale aufgespalten werden. Man integriert
von x ¼ a bis hin zu x ¼ c l und dann weiter von der Stelle x ¼ c þ m
bis hin zu x ¼ b (l > 0, m > 0; Bild V-34). Dann werden die Grenzwerte für
l ! 0 bzw. m ! 0 bestimmt. Das uneigentliche Integral konvergiert nur, wenn
beide Grenzwerte vorhanden sind (Integralwert ¼ Summe der beiden Grenzwerte).
y
y = f (x)
y = f (x)
a
&
Bild V-34
Integrand f ðxÞ mit einer Polstelle bei c
im Innern des Integrationsintervalls
c–l c c+m
b
x
Beispiele
ð1
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ ?
1x
(1)
0
Der Integrand hat an der oberen Integrationsgrenze x ¼ 1 eine Unendlichkeitsstelle (Bild V-35).
y
10
5
y=
1
1–x
1
1–l
Bild V-35
1
x
494
V Integralrechnung
Zunächst integrieren wir daher von x ¼ 0 bis x ¼ 1 l
1ð
l
I ðlÞ ¼
0
mit l > 0:
h pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ i 1 l
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ 2
¼
1x
0
1x
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 2 ð l 1 Þ ¼ 2 ð l 1Þ ¼ 2 ð1 l Þ
Das Integral haben wir dabei durch die lineare Substitution u ¼ 1 x gelöst (bitte
nachrechnen). Jetzt führen wir den Grenzübergang l ! 0 durch und erhalten:
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
lim 2 ð1 l Þ ¼ 2 ð1 0 Þ ¼ 2 ð1 0Þ ¼ 2
l!0
Das uneigentliche Integral ist also konvergent und es gilt definitionsgemäß:
ð1
0
(2)
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ lim
1x
l!0
1ð
l
0
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ lim I ðlÞ ¼ 2
1x
l!0
pﬃﬃﬃ
e x
Die Berechnung des Flächeninhaltes unter der Kurve y ¼ pﬃﬃﬃﬃ , 0 x 4
x
führt auf das uneigentliche Integral
pﬃﬃﬃ
e x
pﬃﬃﬃﬃ dx
x
ð4
A ¼
0
da die Funktionsgleichung an der Stelle x ¼ 0 nicht definiert ist (Bild V-36).
y
3
2
1
y=
l
1
e
– x
x
2
3
4
Bild V-36
x
Wir integrieren daher zunächst von der Stelle x ¼ l > 0 bis hin zur Stelle
x ¼ 4. Das anfallende Integral
ð4
A ðlÞ ¼
l
pﬃﬃﬃ
e x
pﬃﬃﬃﬃ dx
x
10 Anwendungen der Integralrechnung
495
lösen wir dabei wie folgt durch Substitution (die Integrationsgrenzen werden mitsubstituiert):
u ¼
pﬃﬃﬃﬃ
x,
du
1
¼ pﬃﬃﬃﬃ ,
dx
2 x
Untere Grenze:
x ¼ l
)
Obere Grenze:
x ¼ 4
)
dx ¼ 2
pﬃﬃﬃﬃ
x du ¼ 2 u du
pﬃﬃﬃﬃﬃ
l
pﬃﬃﬃ
u ¼ 4 ¼ 2
u ¼
ð2
A ðlÞ ¼
ð2
h
i2
eu
e u du ¼ 2 e u pﬃﬃﬃ ¼
2 u du ¼ 2 l
u
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
l
pﬃﬃﬃ l
¼ 2 e2 þ e
l
pﬃﬃﬃ
¼ 2 e l e 2
Der Grenzwert für l ! 0 führt zu dem folgenden Ergebnis:
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
A ¼ lim A ðlÞ ¼ lim 2 ðe l e 2 Þ ¼ 2 ðe 0 e 2 Þ ¼
l!0
l!0
¼ 2 ðe 0 e 2 Þ ¼ 2 ð1 e 2 Þ
Das Flächenstück hat also einen endlichen Flächeninhalt (konvergentes uneigent&
liches Integral).
10 Anwendungen der Integralrechnung
10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik
10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung
In Kap. IV (Abschnitt 2.14.1) haben wir uns bereits mit der Bewegung eines Massenpunktes beschäftigt und dabei gezeigt, dass man Geschwindigkeit v und Beschleunigung a durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren der als bekannt vorausgesetzten
Weg-Zeit-Funktion s ¼ s ðtÞ erhalten kann:
v ¼
ds
¼ s_ ,
dt
a ¼
dv
s
¼ v_ ¼ __
dt
ðV-100Þ
Umgekehrt lassen sich Weg s und Geschwindigkeit v einer Bewegung durch Integration der Beschleunigung-Zeit-Funktion a ¼ a ðtÞ gewinnen. Unterliegt ein Körper der
Masse m einer zeitlich veränderlichen Kraft vom Betrage F ¼ F ðtÞ, so folgt aus der
Newtonschen Bewegungsgleichung F ¼ m a für die Beschleunigung-Zeit-Funktion
a ¼ a ðtÞ ¼
F ðtÞ
m
ðV-101Þ
496
V Integralrechnung
Ist F ðtÞ und damit a ðtÞ bekannt, so erhält man aus dieser Gleichung durch Integration die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
ð
ð
ðV-102Þ
v ¼ v ðtÞ ¼ v_ dt ¼ a ðtÞ dt
und hieraus durch nochmalige Integration die Weg-Zeit-Funktion
ð
ð
s ¼ s ðtÞ ¼ s_ dt ¼ v ðtÞ dt
ðV-103Þ
Die dabei auftretenden Integrationskonstanten werden in der Regel durch die Anfangswerte s ð0Þ ¼ s 0 und v ð0Þ ¼ v 0 festgelegt, wobei s 0 die Wegmarke zu Beginn (d. h.
zur Zeit t ¼ 0) und v 0 die Anfangsgeschwindigkeit bedeuten.
Wir fassen dieses Ergebnis wie folgt zusammen:
Integration der Bewegungsgleichung F ¼ F ðtÞ bzw. a ¼ a ðtÞ
ðF ¼ m aÞ
Geschwindigkeit v und Weg s erhält man durch ein- bzw. zweimalige Integration
der Beschleunigung-Zeit-Funktion a ¼ a ðtÞ:
ð
ð
v ¼ a ðtÞ dt ,
s ¼ v ðtÞ dt
ðV-104Þ
&
Beispiele
(1)
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Eine Bewegung erfolge mit konstanter Beschleunigung a längs einer Geraden.
Weg und Geschwindigkeit zu Beginn (d. h. zur Zeit t ¼ 0) seien s ð0Þ ¼ s 0
und v ð0Þ ¼ v 0 . Dann gilt für die Geschwindigkeit v:
ð
ð
v ¼ a dt ¼ a 1 dt ¼ a t þ C 1
Die Integrationskonstante wird aus dem Anfangswert v ð0Þ ¼ v 0 berechnet:
v ð0Þ ¼ v 0
)
a 0 þ C1 ¼ v0
)
C1 ¼ v0
v ¼ a t þ v0
Durch nochmalige Integration erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz:
ð
ð
1
a t2 þ v0 t þ C2
s ¼ v ðtÞ dt ¼ ða t þ v 0 Þ dt ¼
2
Aus dem Anfangswert s ð0Þ ¼ s 0 folgt C 2 ¼ s 0 , und das Weg-Zeit-Gesetz
nimmt damit die folgende Gestalt an:
s ¼
1
a t2 þ v0 t þ s0
2
ðf ür t 0Þ
10 Anwendungen der Integralrechnung
(2)
497
Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Wir untersuchen die Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Fallzeit t unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes. Der Schwerkraft (dem Gewicht) m g wirkt
dabei die Reibungskraft k v 2 entgegen (k > 0: Reibungskoeffizient). Nach dem
Grundgesetz der Mechanik erhält man damit die folgende Bewegungsgleichung für
den freien Fall:
m a ¼ m g k v2
a ¼ g
oder
k 2
v
m
Bevor wir diese Gleichung integrieren, bringen wir sie noch unter Berücksichtidv
gung von a ¼
auf die folgende Gestalt:
dt
dv
k 2
k 2
dv
¼ dt
)
¼ g
v ¼ g 1
v
k 2
dt
m
mg
v
g 1
mg
Mit Hilfe der Substitution
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
k
v,
x ¼
mg
dx
¼
dv
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
k
,
mg
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
mg
dv ¼
dx
k
erhalten wir schließlich:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
mg
dx
m
dx
¼
¼ dt
k
g ð1 x 2 Þ
g k ð1 x 2 Þ
Unbestimmte Integration auf beiden Seiten führt zu:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð
ð
m
dx
¼
dt
gk
1 x2
)
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m
artanh x ¼ t þ C
gk
Nach Rücksubstitution ergibt sich hieraus:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m
artanh
gk
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !
k
v ¼ t þC
mg
Der freie Fall erfolge aus der Ruhe heraus, d. h. zur Zeit t ¼ 0 sei v ð0Þ ¼ 0.
Aus diesem Anfangswert erhält man für die Integrationskonstante den Wert
C ¼ 0 (da artanh 0 ¼ 0 ist). Somit gilt:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m
artanh
gk
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !
k
v ¼ t
mg
)
artanh
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
k
gk
v ¼
t
mg
m
498
V Integralrechnung
Durch Umkehrung erhalten wir schließlich das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
k
gk
mg
gk
v ¼ tanh
t
) v ¼ v ðtÞ ¼
tanh
t
mg
m
k
m
Für t ! 1 strebt die Fallgeschwindigkeit gegen die konstante Endgeschwindigkeit
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ !!
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
mg
gk
mg
tanh
t
¼
v E ¼ lim v ðtÞ ¼ lim
k
m
k
t!1
t!1
( Zur Erinnerung: Für x ! 1 strebt bekanntlich tanh x gegen 1).
Gewichtskraft und Reibungskraft sind dann im Gleichgewicht und der Körper fällt
kräftefrei, d. h. mit konstanter Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
lässt sich damit auch in der Form
g
v ¼ v ðtÞ ¼ v E tanh
t
ðt 0Þ
vE
darstellen. Ihr Verlauf ist in Bild V-37 skizziert.
v
vE
v = v E · tanh
g
t
vE
Bild V-37
Fallgeschwindigkeit v als Funktion
der Fallzeit t unter Berücksichtigung
des Luftwiderstandes
t
&
10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens
Wir beschäftigen uns jetzt mit einem typischen Problem aus der Festigkeitslehre: Ein
einseitig fest eingespannter homogener Balken der Länge l mit konstanter Querschnittsfläche werde durch eine am freien Balkenende einwirkende Kraft vom Betrage F auf
Biegung beansprucht (Bild V-38).
x
l
x
y
y = y(x)
F
y
Bild V-38 Biegelinie y ¼ y ðxÞ eines einseitig eingespannten Balkens unter dem Einfluss einer
konstanten Kraft vom Betrage F am freien Ende
10 Anwendungen der Integralrechnung
499
Die Durchbiegung y ist dabei von Ort zu Ort verschieden, d. h. eine Funktion y ¼ y ðxÞ
der Ortskoordinate x (wir messen x vom eingespannten Balkenende aus). In der Festigkeitslehre wird gezeigt, dass die 2. Ableitung der elastischen Linie der Biegegleichung 12)
y 00 ¼ Mb
EI
ðV-105Þ
genügt. In dieser Gleichung bedeuten:
E:
Elastizitätsmodul (Materialkonstante)
I:
Flächenmoment des Balkenquerschnitts
M b:
Biegemoment (von Ort zu Ort verschieden)
In unserem Beispiel ist das Produkt E I (Biegesteifigkeit genannt) eine Konstante. Für
das Biegemoment an der Stelle x gilt dabei:
M b ¼ F ðl xÞ
ðV-106Þ
(die konstante Kraft wirkt im Abstand l x von der betrachteten Stelle). Damit nimmt
die Biegegleichung die folgende Gestalt an:
y 00 ¼
F
ðl xÞ
EI
ð0 x lÞ
ðV-107Þ
Die Gleichung der gesuchten Biegelinie y ¼ y ðxÞ erhält man nach zweimaliger Integration der Biegegleichung (V-107):
ð
ð
F
F
1 2
y 0 ¼ y 00 dx ¼
ðV-108Þ
ðl xÞ dx ¼
lx x þ C1
EI
EI
2
ð
ð F
1 2
y ¼ y 0 dx ¼
lx x þ C 1 dx ¼
EI
2
F
1
1 3
2
ðV-109Þ
lx x þ C1 x þ C2
¼
EI 2
6
Die Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen wir aus den Randwerten
y ð0Þ ¼ 0
ðkeine Durchbiegung am eingespannten Ende x ¼ 0Þ
y 0 ð0Þ ¼ 0
ðwaagerechte Tangente am eingespannten Ende x ¼ 0Þ
(V-110)
wie folgt:
12)
y 0 ð0Þ ¼ 0
)
F
F
ð0 0 þ C 1 Þ ¼
C1 ¼ 0
EI
EI
y ð0Þ ¼ 0
)
F
F
ð0 0 þ 0 þ C 2 Þ ¼
C2 ¼ 0
EI
EI
)
C1 ¼ 0
)
C2 ¼ 0
Die Biegegleichung ist eine sog. Differentialgleichung 2. Ordnung (siehe hierzu Kap. IV in Band 2). Sie
gilt nur näherungsweise unter der Voraussetzung, dass die Durchbiegungen klein sind gegen die Balkenlänge, d. h. y l ist.
500
V Integralrechnung
Die Biegelinie lautet damit (Polynomfunktion 3. Grades):
F
1
1 3
F
¼
lx2 x
ð3 l x 2 x 3 Þ
y ¼
EI 2
6
6EI
ð0 x lÞ
ðV-111Þ
Die Durchbiegung ist am freien Ende ðx ¼ lÞ am größten. Sie beträgt dort
y max ¼ y ðx ¼ lÞ ¼
F
F
F l3
ð3 l 3 l 3 Þ ¼
2 l3 ¼
3EI
6EI
6EI
ðV-112Þ
Es handelt sich dabei um ein Randmaximum (siehe hierzu auch das Beispiel (3) aus Kap.
IV, Abschnitt 3.5).
10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes
Wir betrachten das elektrostatische Feld in der Umgebung einer positiven Punktladung
Q. Es besitzt die in Bild V-39 skizzierte radiale Struktur.
Feldlinie
Bild V-39
Elektrostatisches Feld
in der Umgebung einer
positiven Punktladung Q
(ebener Schnitt durch Q)
P2
P1
+Q
Äquipotentialfläche
Die elektrische Feldstärke vom Betrage E hängt dabei aus Symmetriegründen nur vom
Abstand r von der Punktladung Q ab. In unserem Beispiel ist
E ¼ E ðrÞ ¼
Q
4 p e0 er r2
ðr > 0Þ
ðV-113Þ
(e 0 : Elektrische Feldkonstante; e r : Relative Dielektrizitätskonstante des Mediums).
Auch das Potential eines Punktes des elektrischen Feldes ist kugelsymmetrisch: Die
quipotentialflächen sind konzentrische Kugelschalen (Mittelpunkt: Ladung Q). Zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 des Feldes mit den Abständen r 1 bzw. r 2 von der
felderzeugenden Ladung Q besteht dann definitionsgemäß die folgende Potentialdifferenz (Spannung):
ð
r2
U 12 ¼
E ðrÞ dr
r1
ðV-114Þ
10 Anwendungen der Integralrechnung
501
Für die Feldstärke setzen wir den Ausdruck (V-113) ein und erhalten schließlich:
ð
ð
r2
U 12 ¼
r2
E ðrÞ dr ¼
r1
r1
ð
r
dr
¼
r2
r1
r2
Q
¼
4 p e0 er
ð
r2
Q
Q
dr ¼
2
4 p e0 er r
4 p e0 er
2
1
r 2
Q
r
Q
1 r2
dr ¼
¼
¼
4 p e 0 e r 1 r1
4 p e0 er
r r1
r1
Q
¼
4 p e0 er
1
1
r1
r2
ðV-115Þ
10.2 Flächeninhalt
10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen)
ðb
f ðxÞ dx als Flächeninhalt A zwischen
Im Abschnitt 2 wurde das bestimmte Integral
a
der Kurve y ¼ f ðxÞ, der x-Achse und den Parallelen x ¼ a und x ¼ b eingeführt
(Bild V-40). Diese geometrische Interpretation ist jedoch nur zulässig, wenn die (stetige)
Integrandfunktion f ðxÞ überall im Integrationsbereich die Bedingung f ðxÞ 0 erfüllt, die Kurve also oberhalb der x-Achse verläuft und ferner a < b ist.
y
y = f(x)
A
Bild V-40
Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
a
&
x
b
Beispiel
Wir suchen den Flächeninhalt A, der von der Parabel y ¼ x 2 2 x þ 3, der x-Achse
und den Parallelen x ¼ 0 und x ¼ 3 begrenzt wird (Bild V-41). Da die Parabel im
Intervall 0 x 3 oberhalb der x-Achse verläuft, gilt:
ð3
A ¼
ðx 2 2 x þ 3Þ dx ¼
0
1 3
x x2 þ 3x
3
3
¼ ð9 9 þ 9Þ ð0Þ ¼ 9
0
502
V Integralrechnung
y
y = x 2 – 2x + 3
5
Bild V-41
Zur Berechnung der Fläche unter der Parabel
y ¼ x 2 2 x þ 3 im Intervall 0 x 3
A
1
1
3
x
&
Liegt das Flächenstück jedoch, wie in Bild V-42 skizziert, vollständig unterhalb der
ðb
x-Achse, so ist der Integralwert f ðxÞ dx negativ und kann daher nicht dem gesuchten
a
Flächeninhalt A entsprechen. In diesem Fall geht man wie folgt vor: Man spiegelt die
Fläche an der x-Achse und erhält das in Bild V-43 dunkelgrau unterlegte Flächenstück
vom gleichen Flächeninhalt A.
y
y = – f(x)
y
A
a
b
a
x
b
x
A
A
y = f(x)
y = f(x)
Bild V-42
Bild V-43
Dieses Flächenstück liegt oberhalb der x-Achse und wird von der gespiegelten Kurve
mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ und der x-Achse berandet 13). Den gesuchten Flächeninhalt A erhalten wir damit durch Integration über die Funktion y ¼ f ðxÞ in den
Grenzen von x ¼ a bis x ¼ b:
ðb
A ¼
½ f ðxÞ dx ¼ a
13)
ðb
f ðxÞ dx
ðV-116Þ
a
Bei der Spiegelung einer Kurve an der x-Achse multiplizieren sich die Ordinaten (Funktionswerte) mit 1.
10 Anwendungen der Integralrechnung
503
Die gespiegelte Kurve können wir aber auch durch die Gleichung y ¼ j f ðxÞ j beschreiben. Der Flächeninhalt A lässt sich daher auch durch das Integral
b
ð
ðb
ðV-117Þ
A ¼ j f ðxÞ j dx ¼ f ðxÞ dx a
a
berechnen, wobei Betragsbildung und Integration miteinander vertauschbar sind.
&
Beispiel
y
Welchen Flächeninhalt A bildet
die Tangenskurve y ¼ tan x
im Intervall 1 x 0
mit der x-Achse (Bild V-44)?
y = tan x
1
–1
Bild V-44
–p
2
p
x
2
Lösung (unter Verwendung einer Integraltafel):
ð0
tan x dx ¼ A ¼ h
ln j cos x j
i0
1
¼
h
ln j cos x j
i0
1
¼
1
¼ ln j cos 0 j ln j cos ð 1Þ j ¼ ln 1 ln 0,54 ¼ 0 ð 0,62Þ ¼ 0,62
&
Der allgemeinste Fall tritt ein, wenn die Fläche teils oberhalb und teils unterhalb der
x-Achse liegt. Wir müssen dann die Fläche so in Teilflächen zerlegen, dass diese entweder vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der x-Achse liegen (Bild V-45). Die
entsprechenden Integralbeiträge sind daher positiv oder negativ, je nachdem, ob die Kurve gerade oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft (die positiven Beiträge sind in
Bild V-45 dunkelgrau, die negativen Beiträge hellgrau unterlegt).
y
y = f(x)
A2
A4
a
A1
x1
x2
A3
x3
b
Bild V-45 Zur Berechnung des Flächeninhaltes im allgemeinsten Fall
( Zerlegung der Fläche in Teilflächen)
x
504
V Integralrechnung
Für die Berechnung dieser Teilflächen benötigen wir daher als zusätzliche Information
die im Integrationsintervall a x b gelegenen Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ.
So besitzt z. B. die in Bild V-45 skizzierte Funktion genau drei im Integrationsintervall
liegende Nullstellen x 1 , x 2 und x 3 (nach steigender Größe geordnet). In den Teilintervallen a x x 1 und x 2 x x 3 liegt dabei die Kurve unterhalb der x-Achse,
die entsprechenden Integralbeiträge I 1 und I 3 sind daher negativ. In den Teilintervallen x 1 x x 2 und x 3 x b dagegen verläuft die Kurve oberhalb der x-Achse,
die entsprechenden Integralbeiträge I 2 und I 4 sind somit positiv. Die Gesamtfläche A
ist dann als Summe der Beträge aller Teilintegrale darstellbar:
A ¼ A1 þ A2 þ A3 þ A4 ¼ j I1 j þ I2 þ j I3 j þ I4 ¼
x1
x2
xð3
ð
ðb
ð
¼ f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx
x
a
x
x
1
2
ðV-118Þ
3
Wir fassen die Ergebnisse über die Flächenberechnung wie folgt zusammen:
Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse
Bei der Berechnung des Flächeninhaltes A zwischen einer Kurve y ¼ f ðxÞ,
a x b und der x-Achse sind die folgenden Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: Die Kurve verläuft oberhalb der x-Achse (Bild V-40). Dann gilt:
ðb
f ðxÞ dx
A ¼
ðV-119Þ
a
2. Fall: Die Kurve verläuft unterhalb der x-Achse (Bild V-42). Dann gilt:
b
ð
ðb
A ¼ f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx
ðV-120Þ
a
a
3. Fall: Die Kurve verläuft teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse (Bild V-45).
In diesem Fall muss die Fläche zunächst so in Teilflächen zerlegt werden,
dass diese entweder vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der
x-Achse liegen. Dazu werden die Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ im
Intervall a x b benötigt. Anhand einer Skizze lässt sich dann die
Zerlegung der Fläche in Teilflächen mit den genannten Eigenschaften problemlos durchführen. Die Berechnung der Teilflächen erfolgt dabei mit
Hilfe der Integralformeln (V-119) und (V-120). Die gesuchte Gesamtfläche
ist dann die Summe aller Teilflächen.
10 Anwendungen der Integralrechnung
&
505
Beispiel
Wir berechnen den in Bild V-46 skizzierten Flächeninhalt zwischen der Polynomfunktion
y ¼ x 3 3 x 2 6 x þ 8, der x-Achse und den Parallelen x ¼ 2,5 und x ¼ 3.
y
10
y = x 3 – 3x 2 – 6x + 8
A2
2
– 2,5
–3
– 2 –1
3
1
2
4
x
A3
A1
Bild V-46 Zur Berechnung der Fläche zwischen der Kurve y ¼ x 3 3 x 2 6 x þ 8,
der x-Achse und den Parallelen x ¼ 2,5 und x ¼ 3
Die Nullstellen der Funktion sind der Reihe nach x 1 ¼ 2, x 2 ¼ 1 und x 3 ¼ 4
(die Nullstelle bei x ¼ 1 findet man leicht durch Probieren, die restlichen mit Hilfe des
Horner-Schemas). Sie liegen bis auf den letzten Wert im Intervall 2,5 x 3 (Bild
V-46). Die Fläche zerfällt damit in drei Teilflächen, die jeweils abwechselnd unter- und oberhalb der x-Achse liegen. Es sind daher die folgenden drei Teilintegrale zu berechnen 14) :
ð2
I1 ¼
ðx 3 3 x 2 6 x þ 8Þ dx ¼
1 4
x x3 3x2 þ 8x
4
2
2,5
2,5
ð1
I2 ¼
ðx 3 3 x 2 6 x þ 8Þ dx ¼
1 4
x x3 3x2 þ 8x
4
1
2
2
ð3
I3 ¼
ðx 3 3 x 2 6 x þ 8Þ dx ¼
1
1 4
x x3 3x2 þ 8x
4
¼ 2,64
¼ 20,25
3
¼ 14
1
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt damit:
A ¼ A 1 þ A 2 þ A 3 ¼ j I 1 j þ I 2 þ j I 3 j ¼ j 2,64 j þ 20,25 þ j 14 j ¼
¼ 2,64 þ 20,25 þ 14 ¼ 36,89
14)
Die Integrale unterscheiden sich nur in den Grenzen, Integrand und Stammfunktion sind gleich.
&
506
V Integralrechnung
10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven
Wir betrachten ein Flächenstück, das von den Kurven y o ¼ f o ðxÞ und y u ¼ f u ðxÞ sowie den beiden Parallelen x ¼ a und x ¼ b berandet wird (Bild V-47). Dabei soll überall im Intervall a x b die Bedingung f o ðxÞ f u ðxÞ erfüllt sein, d. h. die Kurve
y o ¼ f o ðxÞ verläuft zwischen x ¼ a und x ¼ b oberhalb der Kurve y u ¼ f u ðxÞ (dieses Verhalten wird durch die Indizes zum Ausdruck gebracht: o ¼ oben, u ¼ unten).
y
y o = f o (x)
A
Bild V-47
Zur Berechnung der zwischen zwei Kurven
gelegenen Fläche A
y u = f u (x)
a
b
x
Wir berechnen den Flächeninhalt A zwischen den beiden Kurven als Differenz zweier
Flächen. Nach Bild V-47 gilt nämlich:
ðb
ðb
y o dx A ¼
a
ðb
y u dx ¼
a
ðb
f o ðxÞ dx a
f u ðxÞ dx
ðV-121Þ
a
Das erste Integral beschreibt dabei die unterhalb der Kurve y o ¼ f o ðxÞ liegende Fläche,
das zweite Integral entsprechend den Flächeninhalt unterhalb der Kurve y u ¼ f u ðxÞ. Die
Integraldifferenz (V-121) lässt sich noch zu einem Integral zusammenfassen:
Flächeninhalt zwischen zwei Kurven (Bild V-47)
ðb
ðb
ðy o y u Þ dx ¼
A ¼
a
½ f o ðxÞ f u ðxÞ dx
a
Dabei bedeuten:
y o ¼ f o ðxÞ:
Gleichung der oberen Randkurve
y u ¼ f u ðxÞ:
Gleichung der unteren Randkurve
Voraussetzung: f o ðxÞ f u ðxÞ im Intervall a x b
ðV-122Þ
10 Anwendungen der Integralrechnung
507
Anmerkungen
(1)
Die Lage des Flächenstücks spielt dabei keine Rolle, solange überall im Intervall
a x b die Bedingung f o ðxÞ f u ðxÞ erfüllt ist. Der Formelausdruck
(V-122) bleibt daher auch für die in den Bildern V-48 a) und V-48 b) skizzierten
Flächen gültig. Denn in beiden Fällen liegt y o oberhalb von y u , in positiver
y-Richtung gesehen.
y
y o = f o (x)
y
a
A
b
x
y o = f o (x)
a
b)
A
a)
(2)
y u = f u (x)
b
x
y u = f u (x)
Bild V-48 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven
Die Integralformel (V-122) gilt nur unter der Voraussetzung, dass sich die beiden
Randkurven der Fläche an keiner Stelle des Intervalls a x b durchschneiden, d. h. überall in diesem Intervall muss die Bedingung f o ðxÞ f u ðxÞ erfüllt
sein. Andernfalls ist die Fläche so in Teilflächen zu zerlegen, dass die beiden
Randkurven einer jeden Teilfläche diese Bedingung erfüllen. Zur Berechnung dieser Teilflächen werden daher die im Intervall a x b gelegenen Schnittpunkte
beider Kurven benötigt. Bild V-49 verdeutlicht das Vorgehen bei zwei Teilflächen
A 1 und A 2 , d. h. bei einem im Innern des Intervalls a x b gelegenen
Schnittpunkt S mit dem Abszissenwert x 1 .
y
y = f 2 (x)
A1
S
y = f 1 (x)
A2
y = f 2 (x)
y = f 1 (x)
Bild V-49
a
x1
b
x
508
V Integralrechnung
In den beiden Teilintervallen gelten dann folgende Beziehungen:
Im Intervall a x x 1 :
f 2 ðxÞ f 1 ðxÞ
Im Intervall x 1 x b:
f 1 ðxÞ f 2 ðxÞ
Mit anderen Worten: Im ersten Intervall liegt f 2 ðxÞ oberhalb von f 1 ðxÞ, im
zweiten Intervall ist es genau umgekehrt.
Die Gesamtfläche A berechnet sich daher wie folgt:
xð1
A ¼ A1 þ A2 ¼
ðb
½ f 2 ðxÞ f 1 ðxÞ dx þ
a
½ f 1 ðxÞ f 2 ðxÞ dx ¼
x1
ðb
xð1
¼ ½ f 2 ðxÞ f 1 ðxÞ dx þ ½ f 2 ðxÞ f 1 ðxÞ dx x
a
ðV-123Þ
1
&
Beispiele
(1)
Man bestimme den Flächeninhalt zwischen der Parabel y ¼ 0,5 x 2 þ 6 und
der Geraden y ¼ 1,5 x þ 2 (Bild V-50).
y
6
y = – 0,5 x 2 + 6
A
– 4,7
1
1 1,7
x
y = 1,5 x + 2
–5
Bild V-50 Zur Berechnung der Fläche zwischen der Parabel y ¼ 0,5 x 2 þ 6
und der Geraden y ¼ 1,5 x þ 2
10 Anwendungen der Integralrechnung
509
Lösung: Zunächst berechnen wir die Kurvenschnittpunkte:
0,5 x 2 þ 6 ¼ 1,5 x þ 2
x 1 ¼ 4,7 ,
)
x2 þ 3x 8 ¼ 0
)
x 2 ¼ 1,7
Das Flächenstück wird im Intervall 4,7 x 1,7 oben von der Parabel und
unten von der Geraden begrenzt. Daher gilt für den Flächeninhalt:
1ð,7
½ ð 0,5 x 2 þ 6Þ ð1,5 x þ 2Þ dx ¼
A ¼
4,7
1ð,7
1ð,7
ð 0,5 x þ 6 1,5 x 2Þ dx ¼
¼
ð 0,5 x 2 1,5 x þ 4Þ dx ¼
2
4,7
4,7
1,7
1 3
3 2
¼ 3,81 ð 18,06Þ ¼ 21,87
¼ x x þ 4x
6
4
4,7
(2)
Wir berechnen die zwischen der Sinus- und Kosinuskurve liegende Fläche im Bereich zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte. Die in Bild V-51 grau unterlegten Teile sind wegen der Periodizität der Randkurven flächengleich.
y
y = sin x
1
5 p
4
A
p
x
4
–1
y = cos x
Bild V-51 Flächenstück zwischen der Sinus- und Kosinuskurve im Bereich zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte
Aus der trigonometrischen Gleichung
sin x ¼ cos x
oder
sin x
¼ tan x ¼ 1
cos x
berechnen wir zunächst die Kurvenschnittpunkte. Sie liegen an den Stellen
x k ¼ arctan 1 þ k p ¼
p
þk p
4
ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
510
V Integralrechnung
Wir entscheiden uns dabei für den in Bild V-51 skizzierten dunkelgrau unterlegten
Bereich zwischen den ersten beiden positiven Schnittpunkten, d. h. für das Interp
5
vall
x p. In diesem Intervall verläuft die Sinuskurve oberhalb der
4
4
\mittheta Kosinuskurve. Der gesuchte Flächeninhalt wird daher über das folgende
Integral berechnet:
5 p=4
ð
ðsin x cos xÞ dx ¼
A ¼
h
cos x sin x
i 5 p=4
p=4
¼
p=4
¼
cos
¼
(3)
5
p
4
sin
5
p
4
!
!
p
p
cos
sin
¼
4
4
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 þ
2 þ
2 þ
2 ¼ 2 2 ¼ 2,83
2
2
2
2
Wir interessieren uns für den Flächeninhalt A zwischen der Parabel
y ¼ 2,5 x 2 8,75 x und der Kurve y ¼ 2 x 3 12 x 2 þ 16 x. Zunächst aber
bestimmen wir die dabei benötigten Kurvenschnittpunkte:
2 x 3 12 x 2 þ 16 x ¼ 2,5 x 2 8,75 x
2 x 3 14,5 x 2 þ 24,75 x ¼ x ð2 x 2 14,5 x þ 24,75Þ ¼ 0
x 1 ¼ 0,
)
x 2 ¼ 2,75, x 3 ¼ 4,5
Die gesuchte Fläche A besteht somit aus zwei Teilflächen A 1 und A 2 , die wir
jetzt berechnen wollen (Bild V-52).
y
10
y = 2 x 3 –12 x 2 + 16 x
5
2,75
1
2
3
A1
–5
–10
y = 2,5 x 2 – 8,75 x
4
A2
4,5
Bild V-52
x
10 Anwendungen der Integralrechnung
511
Im Intervall 0 x 2,75 ist die Parabel die untere, im Intervall 2,75 x 4,5
dagegen die obere Berandung der Fläche. Daher gilt:
2,ð75
A1 ¼
½ ð2 x 3 12 x 2 þ 16 xÞ ð2,5 x 2 8,75 xÞ dx ¼
0
2,ð75
¼
ð2 x 3 14,5 x 2 þ 24,75 xÞ dx ¼
0
¼
1 4
14,5 3
24,75 2
x x þ
x
2
3
2
2,75
¼ 21,6634
0
4ð,5
A2 ¼
½ ð2,5 x 2 8,75 xÞ ð2 x 3 12 x 2 þ 16 xÞ dx ¼
2,75
4ð,5
ð 2 x 3 þ 14,5 x 2 24,75 xÞ dx ¼
¼
2,75
1
14,5 3
24,75 2
x x
¼ x4 þ
2
3
2
4,5
2,75
¼ 6,4759
Somit erhalten wir eine Gesamtfläche von
A ¼ A 1 þ A 2 ¼ 21,6634 þ 6,4759 ¼ 28,1393 28,14
(4)
Die in Bild V-53 skizzierte geschlossene Kurve wird durch die Gleichung
y 2 ¼ 25 x 2 x 4 beschrieben. Sie ist sowohl zur x-Achse als auch zur y-Achse
spiegelsymmetrisch. Bei der Berechnung der eingeschlossenen Fläche können wir
uns auf den 1. Quadranten beschränken.
y
y 2 = 25 x 2 – x 4
12
8
4
Bild V-53
–5
–4
–3
–2
–1
1
–4
–8
–12
2
3
4
5
x
512
V Integralrechnung
Die obere Randkurve lautet dann:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ 25 x 2 x 4 ¼ x 2 ð25 x 2 Þ ¼ x 25 x 2 ,
0 x 5
Das anfallende Integral
ð5
x A ¼ 4
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
25 x 2 dx
0
lösen wir durch Substitution wie folgt, wobei wir die Integrationsgrenzen mitsubstituieren wollen:
du
¼ 2 x,
dx
u ¼ 25 x 2 ,
dx ¼
du
2x
Untere Grenze:
x ¼ 0
)
u ¼ 25 0 ¼ 25
Obere Grenze:
x ¼ 5
)
u ¼ 25 25 ¼ 0
uð
¼0
A ¼ 4
pﬃﬃﬃﬃﬃ
x u u ¼ 25
2ð5
¼ 2
du
¼ 2 2 x
u
1=2
u 3=2
du ¼ 2
3=2
0
¼
25
¼
0
ð0
25
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u du ¼ 2 25
ð
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u du ¼
0
pﬃﬃﬃﬃﬃ i 25
4 h pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ3ﬃ i 25
4 h
u
¼
¼
u u
0
0
3
3
4
4
500
ð25 5 0Þ ¼
125 ¼
3
3
3
&
10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen)
Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse. Zu ihnen gehören beispielsweise die Kugel, der Kreiskegel, der
Zylinder, das Rotationsparaboloid und der Torus.
Rotation einer Kurve um die x-Achse
Die über dem Intervall a x b gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung
y ¼ f ðxÞ erzeuge bei Rotation um die x-Achse den in Bild V-54 skizzierten Rotationskörper. Dieser wird jetzt durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große Anzahl n
von Scheiben gleicher Dicke Dx zerlegt.
10 Anwendungen der Integralrechnung
513
Im Folgenden betrachten wir eine wahllos herausgegriffene Scheibe (in Bild V-54 grau
unterlegt).
y
y = f(x)
DV x
Bild V-54
Zerlegung eines Rotationskörpers
in Zylinderscheiben gleicher
Dicke Dx
a
b
x
Dx
Sie wird durch eine kreisförmige Zylinderscheibe gleicher Dicke ersetzt, die durch Rotation des in Bild V-55 skizzierten Rechtecks mit den Seitenlängen y ¼ f ðxÞ und Dx
um die x-Achse entsteht.
y
y = f(x)
y
a
x
b
x
Dx
Bild V-55 Durch Rotation des eingezeichneten Rechtecks um die x-Achse entsteht eine kreisförmige
Zylinderscheibe vom Volumen DV x ¼ p y 2 Dx
Das Volumen dieser zylindrischen Ersatzscheibe ist dann
DV x ¼ ðGrundflächeÞ ðHöheÞ ¼ p y 2 Dx
ðV-124Þ
(Scheibenradius: y; Scheibendicke: Dx; Querschnittsfläche der Scheibe: p y 2 ).
514
V Integralrechnung
Ebenso verfährt man mit den übrigen Scheiben. Die Summation über sämtliche Zylinderscheiben liefert dann einen Näherungswert für das Rotationsvolumen V x , der bei beliebiger
Verfeinerung der Zerlegung gegen den exakten Wert strebt. Beim Grenzübergang n ! 1
geht die Scheibendicke Dx gegen Null und man erhält für V x die folgende Integralformel:
Rotationsvolumen bei Drehung einer Kurve um die x-Achse (Bild V-54)
Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ, a x b um die x-Achse
entsteht ein Rotationskörper vom Volumen
ðb
Vx ¼ p ðb
½ f ðxÞ 2 dx
y dx ¼ p 2
a
ðV-125Þ
a
Zu diesem Ergebnis gelangt man auch durch eine in den technischen Anwendungen übliche und sehr beliebte formale Betrachtungsweise. Wir gehen dabei von einer infinitesimal dünnen Scheibe der Dicke dx aus (in Bild V-56 grau unterlegt):
y
infinitesimal
dünne Scheibe
Bild V-56
Der Rotationskörper wird
aus infinitesimal
dünnen Zylinderscheiben
der Dicke dx
zusammengesetzt
y = f(x)
a
b
x
dx
Das Volumen einer solchen nahezu zylindrischen Scheibe (auch Volumenelement genannt) beträgt dann
dV x ¼ p y 2 dx
ðV-126Þ
Jetzt summieren, d. h. integrieren wir über sämtliche zwischen x ¼ a und x ¼ b gelegenen infinitesimal dünnen Scheiben und erhalten schließlich für das Rotationsvolumen
die bereits bekannte Formel
xð
¼b
Vx ¼
ðb
dV x ¼
x¼a
ðb
p y 2 dx ¼ p a
ðb
½ f ðxÞ 2 dx
y 2 dx ¼ p a
a
ðV-127Þ
10 Anwendungen der Integralrechnung
515
Rotation einer Kurve um die y-Achse
Analog verfährt man bei Körpern, die durch Rotation eines Kurvenstücks um die y-Achse entstanden sind (Bild V-57).
y
d
x = g(y)
Bild V-57
Zur y-Achse rotationssymmetrischer
Körper
c
x
Die entsprechende Integralformel für das Rotationsvolumen lautet:
Rotationsvolumen bei Drehung einer Kurve um die y-Achse (Bild V-57)
Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung x ¼ g ðyÞ, c y d um die y-Achse
entsteht ein Rotationskörper vom Volumen
ðd
Vy ¼ p ðd
½ g ðyÞ 2 dy
x dy ¼ p 2
c
ðV-128Þ
c
Anmerkung
Die Gleichung der rotierenden Kurve liegt meist in der Form y ¼ f ðxÞ vor und muss
dann erst noch nach der Variablen x aufgelöst werden. Die auf diese Weise erhaltene
Funktion x ¼ g ðyÞ ist die „nach der Variablen x aufgelöste Form von y ¼ f ðxÞ“.
&
Beispiele
(1)
Durch Drehung der über dem Intervall 0 x p=2 gelegenen Kosinuskurve
y ¼ cos x um die x-Achse entsteht der in Bild V-58 skizzierte Rotationskörper.
Sein Volumen beträgt nach Integralformel (V-125):
p=2
ð
Vx ¼ p ¼ p
cos x dx ¼ p 2
0
p
1
þ
sin p
4
4 |ﬄ{zﬄ}
0
1
1
x þ
sin ð2 xÞ
2
4
p=2
¼
0
1
p
p2
0þ
sin 0
¼ p ¼
4
4 |ﬄ{zﬄ}
4
0
516
V Integralrechnung
y
y = cos x
1
Bild V-58
Rotationskörper, entstanden
durch Drehung der Kurve
y ¼ cos x, 0 x p=2
um die x-Achse
p
x
2
(2)
Durch Rotation des in Bild V-59 skizzierten Kreisabschnitts der Höhe h um die
x-Achse entsteht ein sog. Kugelabschnitt (auch Kugelkappe oder Kalotte genannt)
mit dem folgenden Volumen:
ðr
Vx ¼ p ðr
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2
2
2
ð r x Þ dx ¼ p ðr 2 x 2 Þ dx ¼
rh
rh
1 3
¼ p r x x
3
r
2
1 3
1
¼ p r r r 2 ðr hÞ þ
ðr hÞ 3
3
3
3
rh
2 3
1 3
3
2
2
2
3
¼ p
r r þr hþ
ðr 3 r h þ 3 r h h Þ ¼
3
3
1 3
1 3
1 3
r þ r2 h þ
r r2 h þ r h2 h ¼
¼ p 3
3
3
1 3
1
p 2
¼ p r h2 ¼ p h2 r h
h ¼
h ð3 r hÞ
3
3
3
y
y = r2– x2
Bild V-59
Der grau unterlegte Kreisabschnitt
erzeugt bei Rotation um die x-Achse
einen Kugelabschnitt
r–h
r
h
x
¼
10 Anwendungen der Integralrechnung
517
Im Grenzfall h ¼ 2 r erhält man eine Vollkugel mit dem (bekannten) Volumen
V Kugel ¼
(3)
p
p
4
ð2 rÞ 2 ð3 r 2 rÞ ¼
4r2 r ¼
pr3
3
3
3
Welchen Rauminhalt besitzt der Körper, der durch Drehung der in Bild V-60 skizzierten (grau unterlegten) Fläche um die y-Achse entsteht?
y/cm
P
18
Parabel
y = ax 2 + b
10
Bild V-60
–4
x /cm
4
Lösung: Zunächst bestimmen wir die Gleichung der Parabel, die wir wegen der Achsensymmetrie in der Form y ¼ a x 2 þ b ansetzen dürfen:
b ¼ 10 cm ;
P ¼ ð4 cm; 18 cmÞ ist ein Punkt der Parabel
2
18 cm ¼ a ð4 cmÞ þ 10 cm
)
a ¼ 0,5 cm
)
1
Die Parabelgleichung lautet somit:
y ¼ 0,5 cm 1 x 2 þ 10 cm
Das gesuchte Rotationsvolumen V berechnen wir nach der aus Bild V-60 ersichtlichen Formel
V ¼ V Zylinder V Paraboloid
Dabei ist V Zylinder das Volumen des Zylinders mit dem Radius r ¼ 4 cm und
der Höhe h ¼ 18 cm:
V Zylinder ¼ p r 2 h ¼ p ð4 cmÞ 2 18 cm ¼ 904,78 cm 3
V Paraboloid ist das Volumen des Rotationsparaboloids, das durch Drehung der über
dem Intervall 10 y=cm 18 gelegenen Parabel um die y-Achse entsteht und
mit Hilfe der Integralformel (V-128) berechnet werden kann. Dazu lösen wir zunächst die Parabelgleichung nach x 2 auf:
0,5 cm 1 x 2 ¼ y 10 cm j 2 cm
)
x 2 ¼ 2 cm ð y 10 cmÞ
518
V Integralrechnung
Diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die Volumenformel (V-128) ein und erhalten
damit für das Volumen des Rotationsparaboloids:
18ðcm
18ðcm
V Paraboloid ¼ p x dy ¼ 2 p cm ð y 10 cmÞ dy ¼
2
10 cm
10 cm
¼ 2 p cm
1 2
y 10 cm y
2
18 cm
¼
10 cm
¼ 2 p cm ð162 180Þ ð50 100Þ cm 2 ¼
¼ 2 p ð 18 þ 50Þ cm 3 ¼ 2 p 32 cm 3 ¼ 201,06 cm 3
Für das gesuchte Rotationsvolumen V ergibt sich damit der folgende Wert:
V ¼ V Zylinder V Paraboloid ¼ 904,78 cm 3 201,06 cm 3 ¼ 703,72 cm 3
&
10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve
Wir stellen uns die Aufgabe, die Länge einer über dem Intervall a x b gelegenen
Kurve mit der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ zu berechnen, und bedienen uns dabei der
bereits in Abschnitt 10.3 erwähnten formalen Betrachtungsweise. Zunächst zerlegen wir
die Kurve in eine große Anzahl von Segmenten. Wahllos greifen wir ein von den beiden
Randpunkten P und Q begrenztes, infinitesimal kurzes Kurvenstück (Segment) heraus
und ersetzen den Kurvenbogen durch das Linienelement ds, d. h. durch die entsprechende Strecke auf der in P errichteten Kurventangente (Bild V-61).
y
y = f(x)
Q
Q′
ds
P
dy
dx
y
a
Tangente
in P
x
x + dx
b
x
Bild V-61 Zur Bestimmung der Bogenlänge eines ebenen Kurvenstücks
10 Anwendungen der Integralrechnung
519
Aus dem eingezeichneten Steigungsdreieck mit den beiden Katheten dx und dy und
der Hypotenuse ds folgt dann nach dem Satz des Pythagoras:
"
#
ðdxÞ 2
ðdyÞ 2
2
2
2
2
2
¼ 1þ
ðdxÞ 2 ¼
ðdsÞ ¼ ðdxÞ þ ðdyÞ ¼ ðdxÞ þ ðdyÞ ðdxÞ 2
ðdxÞ 2
"
2#
dy
¼ 1þ
ðV-129Þ
ðdxÞ 2 ¼ ½ 1 þ ð y 0 Þ 2 ðdxÞ 2
dx
Damit ist
ds ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ ð y 0 Þ 2 dx ¼
1 þ ½ f 0 ðxÞ 2 dx
ðV-130Þ
Mit den restlichen Segmenten verfahren wir in gleicher Weise.
Durch Summation, d. h. Integration über sämtliche Linienelemente 15) erhält man schließlich die folgende Integralformel für die Bogenlänge der Kurve y ¼ f ðxÞ im Intervall
a x b:
Bogenlänge einer ebenen Kurve (Bild V-61)
Eine ebene Kurve mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ, a x b besitzt die Bogenlänge
ðb qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðb qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
0
s ¼
1 þ ð y Þ dx ¼
1 þ ½ f 0 ðxÞ 2 dx
a
&
ðV-131Þ
a
Beispiel
Wir wollen die bereits aus der Schulmathematik bekannte Formel für den Umfang eines
Kreises vom Radius r herleiten (Bild V-62).
y
y = r2– x2
Bild V-62
Zur Berechnung des Kreisumfangs
0
15)
r
x
Andere übliche Bezeichnungen für das Linienelement sind Bogenelement oder Bogendifferential.
520
V Integralrechnung
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Lösung: Aus der Kurvengleichung y ¼ r 2 x 2 (Gleichung des oberen Halbkreises) erhalten wir durch Differentiation mit Hilfe der Kettenregel
x
y 0 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r2 x2
und weiter
1 þ ð y 0Þ 2 ¼ 1 þ
r2
x2
r2 x2 þ x2
r2
¼
¼ 2
2
2
2
x
r x
r x2
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ ð y 0 Þ 2 des bei der Umfangsberechnung anfallenden Integrals
Für den Integrand
(V-131) bekommen wir damit den folgenden Ausdruck:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r
1 þ ð y 0 Þ 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
r x2
Bei der Integration beschränken wir uns wegen der Achsensymmetrie der Kreislinie auf
den im 1. Quadranten gelegenen Viertelkreis und müssen daher den Integralwert noch
mit dem Faktor 4 multiplizieren. Somit gilt:
ðr
r
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ 4 r 2
r x2
s ¼ 4
0
ðr
0
dx
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r2 x2
Dieses Integral lässt sich durch eine Substitution vom Typ (D) der Tabelle 2 aus Abschnitt 8.1.2 wie folgt lösen (die Grenzen werden mitsubstituiert):
x ¼ r sin u ,
dx ¼ r cos u du ,
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r 2 x 2 ¼ r cos u ,
u ¼ arcsin ðx=rÞ
Untere Grenze:
x ¼ 0
)
u ¼ arcsin 0 ¼ 0
Obere Grenze:
x ¼ r
)
u ¼ arcsin 1 ¼ p=2
Wir erhalten die aus der Elementarmathematik bereits bekannte Formel für den Umfang
eines Kreises:
ðr
s ¼ 4r 0
dx
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 4 r r2 x2
h i p=2
¼ 4r u
¼ 2pr
0
p=2
ð
0
r cos u du
r cos u
p=2
ð
¼ 4r 1 du ¼
0
&
10 Anwendungen der Integralrechnung
521
10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche)
Die durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse
entstehende Fläche heißt Mantelfläche oder Rotationsfläche des Drehkörpers.
Rotation einer Kurve um die x-Achse
Der Rotationskörper entstehe durch Drehung der Kurve y ¼ f ðxÞ, a x b um die
x-Achse (Bild V-63). Wir zerlegen ihn wiederum in eine große Anzahl dünner Scheiben.
y
infinitesimal
dünne Scheibe
y = f(x)
a
b
x
dx
Bild V-63 Zerlegung eines Rotationskörpers in infinitesimal dünne Scheiben der Dicke dx
Eine solche (in Bild V-63 grau unterlegte) Scheibe der Dicke dx erhalten wir durch
_
Drehung des in Bild V-64 skizzierten Kurvenbogens PQ um die x-Achse. Ersetzen wir
diesen Bogen durch das zugehörige Linienelement ds, so erzeugt dieses bei der Rotation um die x-Achse einen Kegelstumpf, dessen Mantelfläche einen Näherungswert für
die Mantelfläche der Scheibe darstellt.
y
y = f(x)
Q
Q′
ds
P
dx
y
x
Tangente
in P
y + dy
x + dx
x
Bild V-64 Zur Bestimmung der Mantelfläche eines zur x-Achse symmetrischen Rotationskörpers
522
V Integralrechnung
Für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes liefert uns die Elementarmathematik die bekannte
Formel 16)
M Kegelstumpf ¼ p ðr 1 þ r 2 Þ s
ðV-132Þ
Wir übertragen diese Formel auf unseren durch Drehung des Linienelementes ds um
die x-Achse erzeugten infinitesimal dünnen Kegelstumpf. Für diesen gilt:
r1 ¼ y ,
r 2 ¼ y þ dy
s ¼ ds
und
ðV-133Þ
Seine Mantelfläche dM x beträgt somit
dM x ¼ p ½ y þ ðy þ dyÞ ds ¼ p ð2 y þ dyÞ ds
ðV-134Þ
und weiter, da dy y angenommen werden darf:
dM x ¼ p 2 y ds ¼ 2 p y ds
ðV-135Þ
Berücksichtigt man noch die Beziehung (V-130) für das Linienelement ds, so ist die
Mantelfläche des Kegelstumpfes und damit auch (näherungsweise) die Mantelfläche der
infinitesimal dünnen Scheibe durch das Differential
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
dM x ¼ 2 p y 1 þ ð y 0 Þ 2 dx ¼ 2 p f ðxÞ 1 þ ½ f 0 ðxÞ 2 dx ðV-136Þ
gegeben. Durch Integration erhält man schließlich:
Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche bei Drehung einer Kurve
um die x-Achse; Bild V-63)
Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ, a x b um die x-Achse
entsteht ein Rotationskörper mit der Mantel- oder Rotationsfläche
ðb
Mx ¼ 2 p ðb
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
0
y
1 þ ð y Þ dx ¼ 2 p f ðxÞ 1 þ ½ f 0 ðxÞ 2 dx
a
16)
Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes
wird nach der Formel
a
ðV-137Þ
y
s
M Kegelstumpf ¼ p ðr 1 þ r 2 Þ s
berechnet (siehe hierzu Bild V-65). r 1
und r 2 sind dabei die Radien der beiden
Kreisflächen, s die Länge der Mantellinie.
Bild V-65 Kegelstumpf
r2
r1
x
10 Anwendungen der Integralrechnung
523
Rotation einer Kurve um die y-Achse
Bei Rotation einer Kurve x ¼ g ðyÞ, c y d um die y-Achse erhält man nach analogen berlegungen den folgenden Formelausdruck für die Mantel- oder Rotationsfläche
des entstandenen Drehkörpers (siehe hierzu Bild V-57):
Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche bei Drehung einer Kurve
um die y-Achse; Bild V-57)
Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung x ¼ g ðyÞ, c y d um die
y-Achse entsteht ein Rotationskörper mit der Mantel- oder Rotationsfläche
ðd
My ¼ 2 p ðd
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
0
x 1 þ ðx Þ dy ¼ 2 p g ðyÞ 1 þ ½ g 0 ðyÞ 2 dy
c
&
c
ðV-138Þ
Beispiele
(1)
Die Aufgabe besteht in der Berechnung der Oberfläche (Mantelfläche) einer Kugel
vom Radius r. Die Kugeloberfläche soll dabei durch Drehung des in Bild V-66
skizzierten Halbkreises um die x-Achse erzeugt werden.
y
y = r2– x2
Bild V-66
Durch Rotation eines Halbkreises
um die x-Achse entsteht eine Kugel
–r
r
x
Wir erhalten nach Formel (V-137) mit
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ r2 x2 ,
x
y ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ,
2
r x2
0
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r
1 þ ðy 0 Þ 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
r x2
das folgende Ergebnis, wobei wir uns wegen der Achsensymmetrie auf das Integrationsintervall 0 x r beschränken durften (Faktor 2):
Mx ¼ 2 2 p ðr
¼ 4pr ðr pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðr
r
r 2 x 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx ¼ 4 p r dx ¼
r2 x2
0
0
h ir
1 dx ¼ 4 p r x
¼ 4 p r ðr 0Þ ¼ 4 p r 2
0
0
524
(2)
V Integralrechnung
Durch Rotation der Normalparabel y ¼ x 2 um die y-Achse entsteht ein Rotationsparaboloid. Es ist die Mantelfläche dieses Drehkörpers zu berechnen für den Fall,
dass das Paraboloid in der Höhe h ¼ 2 abgeschnitten wird (Bild V-67).
y
2
y=x2
Bild V-67
Rotationsparaboloid
mit der Höhe h ¼ 2
x
Lösung: Zunächst lösen wir die Parabelgleichung nach x auf und erhalten:
y ¼ x2
)
x ¼ g ðyÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃ
y
ð1: QuadrantÞ
Ferner ist:
x 0 ¼ g 0 ðyÞ ¼
2
1
pﬃﬃﬃﬃ ,
y
1 þ ðx 0 Þ 2 ¼ 1 þ
1
4y þ 1
¼
4y
4y
Für die Mantelfläche M y folgt dann nach Formel (V-138):
ð2
My ¼ 2 p pﬃﬃﬃﬃ
y sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4y þ 1
4y þ 1
dy ¼ 2 p dy ¼
y 4y
4y
0
0
ð2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4y þ 1
4y þ 1
¼ 2p dy ¼ 2 p dy ¼ p 4 y þ 1 dy
4
2
0
0
0
Dieses Integral wird durch die folgende lineare Substitution gelöst (Typ (A) der
Tabelle 2 aus Abschnitt 8.1.2):
u ¼ 4y þ 1,
du
¼ 4,
dy
dy ¼
du
4
Untere Grenze:
y ¼ 0
)
u ¼ 0þ1 ¼ 1
Obere Grenze:
y ¼ 2
)
u ¼ 8þ1 ¼ 9
10 Anwendungen der Integralrechnung
525
Für die Mantelfläche des Rotationsparaboloids ergibt sich damit der folgende Wert:
ð2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð9
ð9
pﬃﬃﬃﬃﬃ du
pﬃﬃﬃﬃﬃ
p
u u du ¼
4 y þ 1 dy ¼ p My ¼ p ¼
4
4
0
p
¼
4
1
ð9
u
1=2
1
¼
1
9
p u 3=2
p hpﬃﬃﬃﬃﬃﬃ3ﬃi 9
p h pﬃﬃﬃﬃ i9
u
u u ¼
du ¼
¼
¼
1
1
4 3=2 1
6
6
p
p
13
ð27 1Þ ¼
26 ¼
p ¼ 13,61
6
6
3
&
10.6 Arbeits- und Energiegrößen
~ längs einer Geraden um die
Wird ein Massenpunkt m durch eine konstante Kraft F
Strecke ~
s verschoben, so ist die dabei verrichtete Arbeit definitionsgemäß gleich dem
~ und dem Verschiebungsvektor ~
Skalarprodukt aus dem Kraftvektor F
s:
~~
~j j~
W ¼ F
s ¼ jF
s j cos j ¼ F s cos j ¼ Fs s
ðV-139Þ
(siehe hierzu die Definitionsformel (II-87) aus Kap. II, Abschnitt 3.3.5). Fs ist dabei
die Kraftkomponente in der Wegrichtung und j der Winkel zwischen der Kraft- und
der Wegrichtung (Bild V-68).
F
m
f
Fs
s
s
s1
s2
Bild V-68 Zum Begriff der physikalischen Arbeit an einem Massenpunkt
Im Allgemeinen jedoch ist die Kraft nicht konstant, sondern noch von Ort zu Ort ver~¼ F
~ðsÞ. Als Beispiel sei die Gravitaschieden, d. h. eine Funktion des Ortes s: F
tionskraft genannt (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel (3)). Bei der Berechnung
~ðsÞ mit der in der Wegrichtung wirkenden
der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft F
Komponente Fs ðsÞ bei einer Verschiebung des Massenpunktes längs einer Geraden von
s 1 nach s 2 verrichtet, gehen wir wie folgt vor. Die Wegstrecke wird so in eine große
Anzahl von Teilstrecken zerlegt, dass die Kraft längs einer jeden Teilstrecke als nahezu
konstant angenommen werden kann. Die in dem infinitesimal kleinen Wegintervall von s
bis s þ ds verrichtete Arbeit ist dann definitionsgemäß durch das Skalarprodukt
~ d~
dW ¼ F
s ¼ Fs ðsÞ ds
gegeben (siehe hierzu Bild V-69).
ðV-140Þ
526
V Integralrechnung
m
0
s1
Fs
s + ds
s
s2
s
ds
Bild V-69 Zur Herleitung des Arbeitsintegrals bei einer ortsabhängigen Kraft
Die längs des geradlinigen Weges von s 1 nach s 2 geleistete Arbeit W erhält man
dann durch Integration:
Arbeit einer ortsabhängigen Kraft (Arbeitsintegral; Bild V-68)
~¼ F
~ðsÞ verrichtet bei einer geradlinigen VerEine vom Ort s abhängige Kraft F
schiebung eines Massenpunktes die Arbeit
sð2
sð2
dW ¼
W ¼
s1
~ d~
F
s ¼
s1
sð2
Fs ðsÞ ds
ðV-141Þ
s1
Dabei bedeuten:
Fs ðsÞ:
Kraftkomponente in Wegrichtung (ortsabhängig)
s 1, s 2 :
Wegmarken vor bzw. nach der Verschiebung
Anmerkung
Das durch Gleichung (V-141) definierte Arbeitsintegral wird auch als Wegintegral der
Kraft bezeichnet. Die Integration erfolgt über die ortsabhängige Kraftkomponente in
Wegrichtung.
&
Beispiele
(1)
Kinetische Energie einer Masse
Wir wollen die kinetische Energie eines Körpers der Masse m berechnen, der
~ aus der Ruhe heraus auf die
durch eine (konstante oder ortsabhängige) Kraft F
Endgeschwindigkeit v 0 beschleunigt wird (Bild V-70).
m
F
Bild V-70
ds
s
10 Anwendungen der Integralrechnung
527
Für die beschleunigende Kraft vom Betrage F gilt nach dem Grundgesetz der
Mechanik:
dv
dv
a ¼
F ¼ ma ¼ m
dt
dt
(a: Beschleunigung; v: Geschwindigkeit). Sie verrichtet dabei auf der infinitesimal kleinen Wegstrecke ds die Arbeit
dW ¼ F ds ¼ m
dv
ds
ds ¼ m
dv ¼ m v dv
dt
dt
Denn der Differentialquotient ds=dt ist nichts anderes als die Momentangeschwindigkeit v. Durch Integration erhält man schließlich die Beschleunigungsarbeit
v¼
ðv 0
W ¼
vð0
dW ¼
v¼0
vð0
m v dv ¼ m 0
1 2
v dv ¼ m
v
2
0
v0
0
¼
1
m v 20
2
Definitionsgemäß besitzt dann die Masse m kinetische Energie vom gleichen Betrage.
(2)
Spannungsarbeit an einer elastischen Feder
Um eine elastische Feder aus der Gleichgewichtslage heraus um die Strecke s 0
zu dehnen, muss man mit einer Kraft F ðsÞ einwirken, die in jeder Lage der momentanen Rückstellkraft F * ¼ c s (Hookesches Gesetz) das Gleichgewicht hält
(Bild V-71) 17) :
F ðsÞ ¼ F * ¼ c s
ðc : FederkonstanteÞ
Gleichgewichtslage
s=0
s
F*
m
F
17)
Alle Kräfte wirken in der Längsrichtung der Feder.
Bild V-71
Zur Berechnung der Spannungsarbeit
an einer elastischen Feder
528
V Integralrechnung
Die dabei verrichtete Arbeit beträgt dann nach Formel (V-141) unter Berücksichtigung von Fs ðsÞ ¼ F ðsÞ ¼ c s:
sð0
sð0
Fs ðsÞ ds ¼
W ¼
0
sð0
c s ds ¼ c 0
s ds ¼ c
0
1 2
s
2
s0
¼
0
1
c s 20
2
Die gespannte Feder besitzt jetzt Spannungsenergie vom gleichen Betrage.
(3)
Arbeit im Gravitationsfeld der Erde
Wir berechnen die Arbeit, die man im Gravitationsfeld der Erde aufwenden
muss, um eine auf der Erdoberfläche liegende Masse m entgegen der Schwerkraft um die Strecke h in radialer Richtung anzuheben (Bild V-72; r 0 ist der
Erdradius).
r
r0 + h
Endlage der Masse m
M:
Erdmasse (im Erdmittelpunkt konzentriert)
r0:
Erdradius
h
r0
Anfangslage der Masse m
M
r0
Bild V-72
Arbeit im Gravitationsfeld der Erde
Erde
Dazu benötigen wir eine Kraft F ðrÞ, die der in Richtung Erdmittelpunkt wirkenden Gravitationskraft
F * ðrÞ ¼ f
mM
r2
ðr > 0Þ
das Gleichgewicht hält. Somit gilt:
F ðrÞ ¼ F * ðrÞ ¼ f
mM
r2
Dabei ist f die Gravitationskonstante und r der Abstand der Masse m vom Erdmittelpunkt.
10 Anwendungen der Integralrechnung
529
Beim Anheben um die Strecke h wird dabei die Arbeit
r 0ðþ h
W ¼
r 0ðþ h
F ðrÞ dr ¼ f m M r0
r 0ðþ h
r0
r1
¼ f mM
1
¼ f mM
1
dr ¼ f m M r2
r0 þ h
r0
r 2 dr ¼
r0
1 r0 þ h
1
1
¼
¼ f mM ¼ f mM
r r0
r0
r0 þ h
r0 þ h r0
r 0 ðr 0 þ hÞ
¼ f mM
h
r 0 ðr 0 þ hÞ
verrichtet. Für h r 0, d. h. in Erdnähe gilt r 0 þ h r 0 und man erhält hieraus die bereits aus der Schulphysik bekannte Formel für die Hubarbeit (bzw. potentielle Energie):
h
M
W f mM 2 ¼ m f 2 h ¼ mgh
r0
r
|{z}0
g
g ist dabei die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche folgt aus der Gleichung
mM
mg ¼ f 2 .
r0
(4)
Arbeit eines Gases
Wir betrachten eine in einem zylindrischen Gefäß eingeschlossene Gasmenge, deren Zustand durch die drei Zustandsvariablen p (Druck), V (Volumen) und T
(absolute Temperatur) beschrieben wird. Das Gefäß sei dabei durch einen (beweglichen) Kolben abgeschlossen (Bild V-73).
beweglicher Kolben
Gas: p, T, V
Volumenänderung d V
dx
Bild V-73 Zur Berechnung der isothermen Ausdehnungsarbeit eines Gases
Der Gasdruck p erzeugt eine auf den Kolben nach außen wirkende Kraft vom Betrage F ¼ p A (A: Querschnittsfläche des Kolbens). Durch eine gleich große Gegenkraft wird zunächst eine Ausdehnung des Gases verhindert. Ist die äußere Kraft jedoch
etwas kleiner als die Druckkraft des Gases, so dehnt sich dieses aus und verrichtet bei
einer Verschiebung des Kolbens um die infinitesimal kleine Strecke dx die Arbeit
dW ¼ F dx ¼ p A dx ¼ p dV
530
V Integralrechnung
Dabei ist dV ¼ A dx die differentielle Zunahme des Gasvolumens bei dieser Verschiebung. Die bei einer isothermen Ausdehnung vom Anfangsvolumen V 1 auf
das Endvolumen V 2 insgesamt vom Gas verrichtete Arbeit erhält man dann durch
Integration 18) :
V¼
ðV 2
W ¼
Vð2
dW ¼
V ¼ V1
p ðVÞ dV
V1
Wir berechnen jetzt mit dieser Integralformel die isotherme Ausdehnungsarbeit eines realen Gases, dessen Verhalten in vielen Fällen in guter Näherung durch die
sog. van der Waalssche Zustandsgleichung
a
p þ 2 ðV bÞ ¼ n R T
V
beschrieben werden kann (a und b sind dabei zwei stoffabhängige positive Konstanten; n: Molzahl; R: allgemeine Gaskonstante). Durch Auflösen dieser Gleichung nach p erhält man
p ¼
nRT
a
2
V b
V
ðmit
V > 0Þ
und damit bei isothermer Prozessführung (T ¼ constant):
Vð2
W ¼
Vð2
p ðVÞ dV ¼
V1
V1
nRT
a
2
V b
V
dV ¼
h
i V2
a i V2
1 1 V2
¼ n R T ln ðV bÞ
þ
¼
V1
V V1
a V V1
1
1
1
¼
¼ n R T ½ ln ðV 2 bÞ ln ðV 1 bÞ þ
a V2
V1
V2 b
1
1
þa
¼ n R T ln
V1 b
V2
V1
¼
h
n R T ln ðV bÞ þ
Für ein ideales Gas ist a ¼ b ¼ 0 und die van der Waalssche Zustandsgleichung
geht in die bekannte Zustandsgleichung eines idealen Gases über:
pV ¼ nRT
Die isotherme Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases beträgt dann
V2
W ¼ n R T ln
V1
18)
Isotherm bedeutet: bei konstanter Temperatur. Der Druck p hängt dann nur vom Volumen V ab.
&
10 Anwendungen der Integralrechnung
531
10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte
Mittelwerte spielen in Naturwissenschaft und Technik eine bedeutende Rolle (z. B.:
mittlere Geschwindigkeit eines Fahrzeugs in einem bestimmten Zeitraum, Effektivwerte
von Strom und Spannung bei Wechselströmen usw.). Wir unterscheiden dabei zwischen
linearen und quadratischen Mittelwerten.
Linearer Mittelwert
Definition: Unter dem linearen Mittelwert einer Funktion y ¼ f ðxÞ im Intervall
a x b versteht man die Größe
ylinear
1
¼
ba
ðb
f ðxÞ dx
ðV-142Þ
a
Anmerkung
Man beachte, dass der lineare Mittelwert vom Intervall a x b abhängig ist.
Der lineare Mittelwert einer Funktion lässt sich wie folgt geometrisch deuten (wir setzen
dabei f ðxÞ > 0 voraus):
ber dem Intervall a x b soll ein Rechteck mit der (zunächst noch unbekannten)
Höhe h errichtet werden und zwar so, dass es den gleichen Flächeninhalt besitzt wie
das von der Kurve y ¼ f ðxÞ, der x-Achse und den beiden Parallelen x ¼ a und
x ¼ b begrenzte Flächenstück (Bild V-74).
y
y = f(x)
h = y linear
a
b
x
Bild V-74 Zum Begriff des linearen Mittelwertes einer Funktion y ¼ f ðxÞ im Intervall a x b
(die beiden grau unterlegten Teilflächen sind flächengleich)
Somit muss gelten:
ðb
f ðxÞ dx
h ðb aÞ ¼
a
ðV-143Þ
532
V Integralrechnung
Für die Höhe h erhalten wir daraus den Wert
1
h ¼
ba
ðb
f ðxÞ dx
ðV-144Þ
a
Dies aber ist genau der lineare Mittelwert der Funktion y ¼ f ðxÞ im Intervall
a x b, d. h. es gilt h ¼ ylinear . Der lineare Mittelwert ist somit eine Art mittlere
Ordinate der Kurve y ¼ f ðxÞ im Intervall a x b.
Quadratischer Mittelwert
Definition: Unter dem quadratischen Mittelwert einer Funktion y ¼ f ðxÞ im Intervall a x b versteht man die Größe
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
u
ðb
u
u 1
½ f ðxÞ 2 dx
ðV-145Þ
yquadratisch ¼ t
ba
a
Zeitliche Mittelwerte
In der Elektrotechnik werden lineare und quadratische Mittelwerte von zeitabhängigen
periodischen Funktionen y ¼ f ðtÞ benötigt. Sie werden jeweils über eine Periodendauer T gebildet. Beispiele dafür sind der Effektivwert eines Wechselstroms bzw. einer
Wechselspannung sowie die durchschnittliche Wirkleistung eines Wechselstroms.
Zusammenfassend gilt somit:
Linearer und quadratischer zeitlicher Mittelwert einer periodischen Funktion
Der lineare bzw. quadratische zeitliche Mittelwert einer periodischen Funktion
y ¼ f ðtÞ mit der Periodendauer T lässt sich wie folgt berechnen (die Integration
erfolgt über ein Periodenintervall der Länge T ):
ð
1
ylinear ¼
f ðtÞ dt
ðV-146Þ
T
ðTÞ
yquadratisch
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð
u1
¼ u
½ f ðtÞ 2 dt
t
T
ðTÞ
ðV-147Þ
10 Anwendungen der Integralrechnung
&
533
Beispiele
(1)
Wir berechnen den linearen Mittelwert der Logarithmusfunktion y ¼ ln x im Intervall 1 x 5 (Bild V-75)
ylinear
1
¼
51
¼
1
4
ð5
ln x dx ¼
i5
1 h
x ðln x 1Þ
¼
1
4
1
5 ðln 5 1Þ 1 ðln 1 1Þ
y
¼
1
4
3,0472 þ 1 1,012
y = ln x
1
y linear ≈ 1,01
Bild V-75
1
(2)
2
3
4
5
x
Durchschnittsgeschwindigkeit eines Fahrzeugs in einem Zeitintervall
Aus der Physik ist bekannt: Die Durchschnittsgeschwindigkeit v eines Fahrzeugs
in einem Zeitintervall Dt ¼ t 2 t 1 wird ermittelt, indem man den in diesem
Zeitintervall zurückgelegten Weg Ds ¼ s 2 s 1 durch das Zeitintervall dividiert:
v ¼
Ds
s2 s1
¼
Dt
t2 t1
(siehe hierzu Bild V-76).
t1
Dt
t2
s1
Ds
s2
Bild V-76
s
v ist aber nichts anderes als der lineare Mittelwert des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes v ¼ v ðtÞ im Zeitintervall Dt ¼ t 2 t 1 . Denn aus der Definitionsformel
(V-142) folgt unmittelbar unter Beachtung der bereits aus Abschnitt 10.1.1 bekannð
ten Beziehung s ðtÞ ¼ v ðtÞ dt :
v linear ¼
¼
1
t2 t1
tð2
v ðtÞ dt ¼
t1
h
i t2
1
¼
s ðtÞ
t1
t2 t1
1
s2 s1
Ds
¼ v
½ s ðt 2 Þ s ðt 1 Þ ¼
¼
t2 t1
Dt
t2 t1
(unter Beachtung von s ðt 1 Þ ¼ s 1 und s ðt 2 Þ ¼ s 2 ).
534
(3)
V Integralrechnung
Durchschnittliche Leistung P eines sinusförmigen Wechselstroms
In einem Wechselstromkreis erzeuge die (zeitabhängige) sinusförmige Wechselspannung u ðtÞ ¼ u 0 sin ðw tÞ
den phasenverschobenen Wechselstrom
i ðtÞ ¼ i 0 sin ðw t þ jÞ gleicher Kreisfrequenz w (u 0 , i 0 : Scheitelwerte; j:
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung). Die momentane (zeitabhängige) Leistung p ist dann definitionsgemäß das Produkt aus Spannung u und
Stromstärke i:
p ¼ p ðtÞ ¼ u ðtÞ i ðtÞ ¼ u 0 i 0 sin ðw tÞ sin ðw t þ jÞ ¼
¼ u 0 i 0 sin ðw tÞ ½ sin ðw tÞ cos j þ cos ðw tÞ sin j ¼
¼ u 0 i 0 ½ cos j sin 2 ðw tÞ þ sin j sin ðw tÞ cos ðw tÞ (wir haben dabei das Additionstheorem der Sinusfunktion verwendet). Den linearen
zeitlichen Mittelwert während einer Periode T berechnet man definitionsgemäß
aus Gleichung (V-146), wobei wir p linear ¼ P setzen:
P ¼ p linear
1
¼
T
ðT
1
p ðtÞ dt ¼
T
0
u0 i0
¼
T
ðT
u ðtÞ i ðtÞ dt ¼
0
ðT
½ cos j sin 2 ðw tÞ þ sin j sin ðw tÞ cos ðw tÞ dt ¼
0
8
9
ðT
ðT
=
u0 i0 <
¼
cos j sin 2 ðw tÞ dt þ sin j sin ðw tÞ cos ðw tÞ dt
;
T :
0
0
In der Integraltafel der Formelsammlung finden wir für die beiden Integrale die
folgenden Lösungen:
ð
sin 2 ðw tÞ dt ¼
1
1
t sin ð2 w tÞ
2
4w
ð
sin ðw tÞ cos ðw tÞ dt ¼
1
sin 2 ðw tÞ
2w
ðIntegral Nr: 205Þ
ðIntegral Nr: 254Þ
Für die durchschnittliche Wirkleistung während einer Periode erhalten wir damit
unter Berücksichtigung von w T ¼ 2 p und sin 0 ¼ sin ð2 pÞ ¼ sin ð4 pÞ ¼ 0
den folgenden Ausdruck für die Wirkleistung:
10 Anwendungen der Integralrechnung
u0 i0
P ¼
T
(
535
T)
T
1
1
1
2
¼
cos j
t sin ð2 w tÞ þ sin j
sin ðw tÞ
2
4w
2w
0
0
1
1
1
2
T sin ð2 w TÞ þ sin j sin ðw TÞ ¼
cos j
2
4w
2w
u0 i0
T
1
sin j
2
sin ð4 pÞ þ
sin ð2 pÞ ¼
¼
cos j
2
4w
2w
T
u0 i0
¼
T
¼
u0 i0
T
u0 i0
cos j cos j
¼
T
2
2
Die Scheitelwerte u 0 und i 0 lassen sich noch wie folgt durch die Effektivwerte
U und I ausdrücken (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel):
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u0 ¼ U 2 ,
i0 ¼ I 2
Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen erhält man für den Mittelwert der
Wirkleistung eines sinusförmigen Wechselstroms
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
u0 i0
U 2 I 2
P ¼
cos j ¼
cos j ¼ U I cos j
2
2
(4)
Effektivwerte von Strom und Spannung (quadratische Mittelwerte)
Der Effektivwert eines Wechselstroms bzw. einer Wechselspannung ist definitionsgemäß der quadratische zeitliche Mittelwert während einer Periode T:
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
u
u
ðT
ðT
u
u
u1
u1
2
½ i ðtÞ dt ,
½ u ðtÞ 2 dt
U ¼ t
I ¼ t
T
T
0
0
Für einen sinusförmigen Wechselstrom i ðtÞ ¼ i 0 sin ðw tÞ erhält man unter Berücksichtigung von w T ¼ 2 p und sin 0 ¼ sin ð4 pÞ ¼ 0
ðT
ðT
½ i ðtÞ 2 dt ¼ i 20 0
sin 2 ðw tÞ dt ¼ i 20
0
T
1
1
t sin ð2 w tÞ ¼
2
4w
0
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
Integral Nr: 205
T
1
T
1
i2 T
sin ð2 w TÞ ¼ i 20
sin ð4 pÞ ¼ 0
2
4w
2
4 w |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
2
0
Der Effektivwert des Wechselstroms beträgt somit:
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
u
ðT
u
1 i 20 T
i0
u1
2
½ i ðtÞ dt ¼
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,707 i 0
I ¼ t
T
2
T
2
¼ i 20
0
536
V Integralrechnung
Analog berechnet sich der Effektivwert einer sinusförmigen Wechselspannung
u ðtÞ ¼ u 0 sin ðw tÞ zu
u0
U ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,707 u 0
2
&
10.8 Schwerpunkt homogener Flächen und Körper
10.8.1 Grundbegriffe
Statisches Moment einer Kraft
Ein Massenpunkt der Masse m besitze von einer (vertikalen) Bezugsachse den senkrechten Abstand r (Bild V-77). Dann erzeugt die Gewichtskraft G ¼ m g definitionsgemäß ein statisches Moment 19) vom Betrage
M ¼ Gr ¼ mgr
ðV-148Þ
Bei einem räumlichen Körper muss die Masse m zunächst in eine große Anzahl von
Teilmassen zerlegt werden. Wir betrachten jetzt ein solches infinitesimal kleines Massenelement dm im senkrechten Abstand r von der Bezugsachse (Bild V-78).
Bezugsachse
Bezugsachse
Körper der Masse m
r
m
r
dm
dG = (dm) g = g dm
G = mg
Bild V-77
Bild V-78
Dieses Massenelement liefert dann zum Gesamtmoment M den folgenden Beitrag:
dM ¼ ðdGÞ r ¼ ðdmÞ g r ¼ g r dm
ðV-149Þ
(dG ¼ dm g ¼ g dm ist das Gewicht des Massenelementes dm).
Durch Aufsummieren sämtlicher Teilbeträge dM, d. h. durch Integration erhält man
schließlich das Gesamtmoment M:
ð
ð
M ¼
dM ¼
g r dm
ðV-150Þ
ðmÞ
19)
ðmÞ
Andere, übliche Bezeichnungen sind Drehmoment oder Moment 1. Ordnung.
10 Anwendungen der Integralrechnung
537
Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt eines Körpers
Unter dem Schwerpunkt S eines Körpers (auch Massenmittelpunkt genannt) wird definitionsgemäß derjenige Punkt verstanden, in dem die Gesamtmasse des Körpers vereinigt
gedacht werden muss, damit dieser fiktive Massenpunkt ein gleich großes statisches Moment erzeugt wie der reale Körper selbst (Bild V-79).
Bezugsachse
Körper der Masse m (Volumen V)
rS
S
Bild V-79
Schwerpunkt eines
räumlichen Körpers
r
Massenelement dm
(Volumenelement dV)
Ist r S der senkrechte Abstand des Schwerpunktes S von der Bezugsachse (bzw. Bezugsebene), so gilt also
ð
ð
M ¼ m g rS ¼
g r dm ¼ g r dm
ðV-151Þ
ðmÞ
ðmÞ
und weiter (nach Kürzen durch g)
ð
r dm
m rS ¼
ðV-152Þ
ðmÞ
Bei allen weiteren Betrachtungen gehen wir von einem homogenen Körper der konstanten Dichte r aus. Da m ¼ r V und somit dm ¼ r dV ist, lässt sich die Beziehung
(V-152) auch auf die Form
ð
ð
ð
r r dV ¼ r r dV
oder
V rS ¼
r dV
ðV-153Þ
r V rS ¼
ðVÞ
ðVÞ
ðVÞ
bringen. dV ist dabei das Volumen des Massenelementes dm und wird daher auch als
Volumenelement bezeichnet, V ist das Gesamtvolumen des Körpers mit der Masse m.
Die Integration ist über das gesamte Volumen zu erstrecken (Summation über sämtliche
Volumenelemente). Aus dieser Gleichung gewinnt man für den Schwerpunktsabstand r S
die wichtige Integralformel
ð
1
r dV
ðV-154Þ
rS ¼
V
ðVÞ
538
V Integralrechnung
Durch Wahl einer geeigneten Bezugsachse in jeder der drei Koordinatenebenen erhält
man hieraus die folgenden Formeln für die Schwerpunktskoordinaten x S , y S und z S :
Schwerpunkt eines homogenen räumlichen Körpers (Bild V-79)
Für die Schwerpunktskoordinaten x S , y S und z S eines homogenen räumlichen
Körpers vom Volumen V gelten die folgenden Integralformeln:
ð
ð
ð
1
1
1
x dV ,
yS ¼
y dV ,
zS ¼
z dV
xS ¼
V
V
V
ðVÞ
ðVÞ
ðVÞ
ðV-155Þ
10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche
Bei flächenhaften Körpern mit konstanter Dicke h wie z. B. dünnen Scheiben oder
Platten liegt der Schwerpunkt S im Abstand h=2 oberhalb der (ebenen) Grundfläche
vom Flächeninhalt A (die Grundfläche legen wir in die x, y-Ebene). Die Schwerpunktskoordinaten x S , y S und z S lassen sich dann aus den Gleichungen (V-155) unter Berücksichtigung von V ¼ A h und dV ¼ ðdAÞ h ¼ h dA wie folgt bestimmen:
ð
ð
ð
ð
1
1
h
1
xS ¼
x dV ¼
x h dA ¼
x dA ¼
x dA
V
Ah
Ah
A
yS ¼
zS ¼
1
V
ðVÞ
ðAÞ
ðAÞ
ð
ð
ð
y dV ¼
ðVÞ
1
Ah
y h dA ¼
ðAÞ
h
Ah
ðAÞ
y dA ¼
ðAÞ
1
A
ð
y dA
ðV-156Þ
ðAÞ
h
2
Dabei ist die Integration über die gesamte Grundfläche A zu erstrecken. Für h ! 0
erhält man eine in der x, y-Ebene liegende Fläche vom Flächeninhalt A, deren Schwerpunktskoordinaten x S und y S wie folgt berechnet werden (z S ¼ 0 für h ! 0; siehe
Bild V-80):
Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche (Bild V-80)
Für die Schwerpunktskoordinaten x S und y S einer homogenen ebenen Fläche
vom Flächeninhalt A gelten die folgenden Integralformeln:
ð
ð
1
1
x dA ,
yS ¼
y dA
ðV-157Þ
xS ¼
A
A
ðAÞ
ðAÞ
10 Anwendungen der Integralrechnung
539
y
Flächenhafter Körper
(Flächeninhalt A)
A
yS
y
xS
S
x
Flächenelement d A
yS
xS
Bild V-80
Schwerpunkt S eines
flächenhaften Körpers
konstanter Dichte
y
x
x
Anmerkungen
(1)
Modell einer homogenen Fläche: hauchdünne homogene Platte.
(2)
Summiert, d. h. integriert wird über alle Flächenelemente dA in der Fläche A.
(3)
Die in den Gleichungen (V-157) auftretenden Integrale sind die wie folgt definierten statischen Momente der Fläche A:
ð
ð
Mx ¼
dM x ¼
y dA ¼ y S A: Statisches Moment bezüglich der x-Achse
ðAÞ
ðAÞ
ð
My ¼
ð
dM y ¼
ðAÞ
x dA ¼ x S A:
Statisches Moment bezüglich der y-Achse
ðAÞ
dM x ¼ y dA und dM y ¼ x dA sind dabei die statischen Momente des Flächenelementes dA bezüglich der x-Achse bzw. y-Achse.
Wir gehen jetzt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten x S und y S einer homogenen ebenen Fläche über, die von der Kurve y ¼ f ðxÞ, der x-Achse und den Geraden
x ¼ a und x ¼ b berandet wird (Bild V-81).
y
y = f(x)
Flächenelement d A
R
a
x
dx
Bild V-81
Zur Berechnung des Schwerpunktes
einer homogenen ebenen Fläche
y
b
x
540
V Integralrechnung
In der bereits bekannten Weise zerlegen wir zunächst die Fläche in eine große Anzahl
von rechteckigen Streifen. Das im Bild V-81 skizzierte (grau unterlegte) Flächenelement
besitzt die Breite dx, die Höhe y und somit den Flächeninhalt dA ¼ y dx. Der
Schwerpunkt R dieses Streifens liegt dann aus Symmetriegründen im Schnittpunkt der
beiden Flächendiagonalen. Seine Koordinaten x R und y R lauten daher wie folgt:
xR ¼ x ,
1
y
2
yR ¼
ðV-158Þ
Zu den statischen Momenten M x und M y der Gesamtfläche A liefert dieses Flächenelement dann die folgenden Beiträge:
dM x ¼ y R dA ¼
1
1 2
y ðy dxÞ ¼
y dx
2
2
ðV-159Þ
dM y ¼ x R dA ¼ x ðy dxÞ ¼ x y dx
Durch Summation über sämtliche in der Fläche liegenden streifenförmigen Flächenelemente, d. h. durch Integration in den Grenzen von x ¼ a bis x ¼ b erhalten wir
schließlich folgende Integralformeln für die statischen Momente M x und M y der Fläche:
ð
Mx ¼
ðAÞ
1
dM x ¼
2
1
y dx ¼
2
ðAÞ
f 2 ðxÞ dx
a
ðb
dM y ¼
ðb
2
a
ð
My ¼
ðb
ðV-160Þ
ðb
x y dx ¼
a
x f ðxÞ dx
a
Andererseits ist M x ¼ y S A und M y ¼ x S A. Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen gehen die Gleichungen (V-160) über in
1
yS A ¼
2
ðb
1
y dx ¼
2
a
ðb
xS A ¼
f 2 ðxÞ dx
a
ðb
x y dx ¼
a
ðb
2
ðV-161Þ
x f ðxÞ dx
a
Durch Auflösen nach x S bzw. y S gewinnt man hieraus die folgenden Integralformeln
für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes S:
10 Anwendungen der Integralrechnung
541
Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche zwischen einer Kurve und der
x-Achse (Bild V-81)
Die Koordinaten x S und y S des Schwerpunktes einer homogenen ebenen Fläche,
die von einer Kurve y ¼ f ðxÞ, a x b und der x-Achse berandet wird, lassen sich wie folgt berechnen:
1
xS ¼
A
ðb
1
x y dx ¼
A
a
yS ¼
1
2A
ðb
x f ðxÞ dx
a
ðb
y 2 dx ¼
1
2A
a
ðV-162Þ
ðb
f 2 ðxÞ dx
a
A: Flächeninhalt, berechnet nach der Integralformel (V-119)
Voraussetzung: Die Kurve y ¼ f ðxÞ liegt im Intervall a x b oberhalb der
x-Achse.
Auf analoge Art und Weise lassen sich Formelausdrücke für die Schwerpunktskoordinaten x S bzw. y S einer Fläche herleiten, die von den beiden Kurven y o ¼ f o ðxÞ und
y u ¼ f u ðxÞ und den beiden Geraden x ¼ a und x ¼ b berandet wird (Bild V-82).
Wir setzen dabei voraus, dass überall im Intervall a x b die Bedingung
f o ðxÞ f u ðxÞ erfüllt ist.
y o = f o (x)
y
yS
S
Bild V-82
Schwerpunkt einer von zwei Kurven
berandeten homogenen Fläche
y u = f u (x)
a
xS
b
x
542
V Integralrechnung
Die Integralformeln für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes lauten dann wie
folgt:
Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche zwischen zwei Kurven (Bild V-82)
Die Koordinaten x S und y S des Schwerpunktes einer homogenen ebenen Fläche,
die von den Kurven y o ¼ f o ðxÞ und y u ¼ f u ðxÞ und den beiden Parallelen
x ¼ a und x ¼ b berandet wird, lassen sich wie folgt berechnen:
1
xS ¼
A
ðb
1
x ðy o y u Þ dx ¼
A
a
yS ¼
1
2A
ðb
x ½ f o ðxÞ f u ðxÞ dx
a
ðb
ðy 2o y 2u Þ dx ¼
1
2A
a
ðV-163Þ
ðb
½ ð f o ðxÞÞ 2 ð f u ðxÞÞ 2 dx
a
A: Flächeninhalt, berechnet nach der Integralformel (V-122)
Voraussetzung: f o ðxÞ f u ðxÞ im Intervall a x b
Anmerkung
Ist die untere Berandung die x-Achse, also y u ¼ f u ðxÞ ¼ 0, so erhält man aus den
Integralformeln (V-163) den bereits bekannten Sonderfall (V-162).
&
Beispiele
(1)
Wir berechnen die Schwerpunktskoordinaten einer oberhalb der x-Achse liegenden
homogenen Halbkreisfläche vom Radius R (hauchdünne halbkreisförmige Platte
aus einem homogenen Material; Bild V-83).
y
y = R2 – x 2
S
yS
–R
R
x
Bild V-83 Zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten einer homogenen Halbkreisfläche
Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt S auf der y-Achse, also ist x S ¼ 0
(eine Rechnung ist somit überflüssig). Für die Ordinate y S des Flächenschwer-
10 Anwendungen der Integralrechnung
543
punktes S erhalten wir nach Formel (V-162) mit A ¼ p R 2 =2 und unter Berücksichtigung der Achsensymmetrie:
1
yS ¼
p R2
ðR
1
ðR x Þ dx ¼
2
p R2
2
R
ðR
ðR 2 x 2 Þ dx ¼
2
0
2
1 3 R
2
1 3
2
2 3
2
3
¼
x
R
R ¼
¼
R x ¼
R 2
2
p R2
3
p
R
3
p
R
3
0
¼
4
R ¼ 0,424 R
3p
Flächenschwerpunkt: S ¼ ð0; 0,424 RÞ
(2)
Die Aufgabe besteht in der Berechnung des Schwerpunktes S des in Bild V-84
skizzierten flächenhaften Werkstückes aus einem homogenen Material.
y/cm
y o = 3 cm
3
yu = x
S
Bild V-84
–2
3
x /cm
–2
y u = – 2 cm
Lösung: Wir berechnen zunächst auf elementarem Wege den Flächeninhalt A des
Werkstückes, das sich aus einem Rechteck (hellgrau unterlegt) und einem gleichschenkligen Dreieck (dunkelgrau unterlegt) zusammensetzt:
A ¼ 2 cm 5 cm þ
1
3 cm 3 cm ¼ 10 cm 2 þ 4,5 cm 2 ¼ 14,5 cm 2
2
Das Flächenstück wird im Intervall 2 x=cm 3 oben von der Geraden
y o ¼ f o ðxÞ ¼ 3 cm berandet. Die untere Berandung besteht dagegen aus zwei
Teilstücken:
8
9
2 x=cm 0 =
< 2 cm
f ür
y u ¼ f u ðxÞ ¼
:
;
x
0 x=cm 3
544
V Integralrechnung
Wir berechnen zunächst die Schwerpunktskoordinate x S , wobei wir das Integral in
zwei Teilintegrale aufspalten müssen:
0 0 cm
1
3ð
cm
ð
1
@
xS ¼
x ð3 cm þ 2 cmÞ dx þ
x ð3 cm xÞ dxA ¼
14,5 cm 2
2 cm
0 cm
0 0 cm
1
3ð
cm
ð
1
2
@
¼
5 cm x dx þ
ð3 cm x x Þ dxA ¼
14,5 cm 2
2 cm
1
¼
14,5 cm 2
¼
0 cm
0 cm
2,5 cm x
2
1 3
x
þ 1,5 cm x 3
3 cm !
¼
2
2 cm
0 cm
1
5,5 cm 3
ð 10 cm 3 þ 4,5 cm 3 Þ ¼
¼ 0,38 cm
2
14,5 cm
14,5 cm 2
Für die Schwerpunktskoordinate y S erhält man analog:
0 0 cm
1
3ð
cm
ð
1
@
ð9 cm 2 4 cm 2 Þ dx þ
ð9 cm 2 x 2 Þ dxA ¼
yS ¼
29 cm 2
2 cm
0 cm
0 0 cm
1
3ð
cm
ð
1
@
¼
5 cm 2 dx þ
ð9 cm 2 x 2 Þ dxA ¼
29 cm 2
2 cm
1
¼
29 cm 2
¼
0 cm
0 cm
5 cm x
2
1 3
þ 9 cm x x
3
3 cm !
¼
2
2 cm
0 cm
1
28 cm 3
3
3
ð10
cm
þ
18
cm
Þ
¼
¼ 0,97 cm
29 cm 2
29 cm 2
Der Flächenschwerpunkt S besitzt damit die folgenden Koordinaten:
x S ¼ 0,38 cm ,
y S ¼ 0,97 cm :
&
10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers
Bei einem homogenen Rotationskörper liegt der Schwerpunkt stets auf der Drehachse.
Fällt ferner die Rotationsachse in eine der Koordinatenachsen (x-Achse oder y-Achse),
so besitzen zwei der drei Schwerpunktskoordinaten den Wert Null.
10 Anwendungen der Integralrechnung
545
Rotation einer Kurve um die x-Achse
Der Rotationskörper wird durch Drehung des Kurvenstücks y ¼ f ðxÞ, a x b um
die x-Achse erzeugt (Bild V-85).
y
y = f(x)
Bild V-85
Zur Berechnung des Schwerpunktes
eines zur x-Achse symmetrischen
homogenen Rotationskörpers
a
S
b
x
Der Schwerpunkt S liegt daher auf der x-Achse, d. h. es ist y S ¼ z S ¼ 0. Für die
x-Koordinate folgt dann aus Gleichung (V-155) unter Berücksichtigung des Volumenelementes dV x ¼ p y 2 dx (Zylinderscheibe der Dicke dx, Radius y):
1
xS ¼
Vx
ð
ðVÞ
1
x dV x ¼
Vx
ðb
p
x p y dx ¼
Vx
ðb
2
a
x y 2 dx
ðV-164Þ
a
Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers (Rotationsachse ¼ x-Achse;
Bild V-85)
Der Schwerpunkt S eines homogenen Rotationskörpers, der durch Drehung einer
Kurve y ¼ f ðxÞ, a x b um die x-Achse entsteht, liegt auf der Drehachse
(hier also auf der x-Achse). Daher verschwinden die Schwerpunktskoordinaten y S
und z S :
yS ¼ 0
zS ¼ 0
und
ðV-165Þ
Die x-Koordinate des Schwerpunktes lässt sich wie folgt berechnen:
p
xS ¼
Vx
ðb
p
x y dx ¼
Vx
ðb
x ½ f ðxÞ 2 dx
2
a
a
V x : Rotationsvolumen, berechnet nach der Integralformel (V-125)
ðV-166Þ
546
V Integralrechnung
Rotation einer Kurve um die y-Achse
Analoge Formeln erhält man bei Drehung der Kurve x ¼ g ðyÞ, c y d um die
y-Achse (Bild V-86).
y
d
S
x = g(y)
Bild V-86
Zur Berechnung des Schwerpunktes
eines zur y-Achse symmetrischen
homogenen Rotationskörpers
c
x
Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers (Rotationsachse ¼ y-Achse;
Bild V-86)
Der Schwerpunkt S eines homogenen Rotationskörpers, der durch Drehung einer
Kurve x ¼ g ðyÞ, c y d um die y-Achse entsteht, liegt auf der Drehachse
(hier also auf der y-Achse). Daher verschwinden die Schwerpunktskoordinaten x S
und z S :
xS ¼ 0
zS ¼ 0
und
ðV-167Þ
Die y-Koordinate des Schwerpunktes lässt sich wie folgt berechnen:
p
yS ¼
Vy
ðd
p
y x dy ¼
Vy
ðd
y ½ g ðyÞ 2 dy
2
c
ðV-168Þ
c
V y : Rotationsvolumen, berechnet nach der Integralformel (V-128)
Anmerkung
In der Regel liegt die Funktionsgleichung in der Form y ¼ f ðxÞ vor und muss dann
noch nach x aufgelöst werden ! x ¼ g ðyÞ.
&
Beispiele
(1)
Wo liegt der Schwerpunkt S des homogenen Drehkörpers, der durch Rotation der
in Bild V-87 a) grau unterlegten Fläche um die x-Achse entsteht?
10 Anwendungen der Integralrechnung
547
y
y
y= 4–x
2
2
1
1
1
x
4
S
a)
4
x
b)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Bild V-87 Durch Drehung der Kurve y ¼ 4 x , 0 x 4 (Bild a)) um die x-Achse
entsteht der in Bild b) skizzierte homogene Drehkörper
Lösung: Aus Symmetriegründen ist y S ¼ z S ¼ 0. Für die Berechnung der
Schwerpunktskoordinate x S benötigen wir noch das Rotationsvolumen V x , für
das uns die Integralformel (V-125) den folgenden Wert liefert:
ð4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð4
1 2 4
2
V x ¼ p ð 4 x Þ dx ¼ p ð4 xÞ dx ¼ p 4 x x
¼
2
0
0
0
¼ p ð16 8Þ ¼ 8 p
Damit erhalten wir für die Schwerpunktskoordinate x S nach der Formel (V-166)
xS ¼
p
8p
1
¼
8
ð4
ð4
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
x ð 4 x Þ 2 dx ¼
x ð4 xÞ dx ¼
8
0
ð4
0
1
ð4 x x Þ dx ¼
8
2
1 3
2x x
3
0
¼
2
4
1
¼
8
0
64
32 ¼
3
1 96 64
1 32
4
¼
¼
8
3
8 3
3
Der Schwerpunkt S des Rotationskörpers besitzt demnach die Koordinaten
x S ¼ 4=3, y S ¼ 0 und z S ¼ 0.
(2)
Durch Rotation des in Bild V-88 skizzierten Geradenstücks um die x-Achse entsteht ein (homogener) gerader Kreiskegel mit dem Grundflächenradius r und der
Höhe h.
548
V Integralrechnung
y
y
r
y= x
h
r
h
S
x
a)
h
x
b)
Bild V-88 Zur Berechnung des Schwerpunktes eines homogenen geraden Kreiskegels
r
a) Geradenstück mit der Gleichung y ¼
x, 0 x h
h
b) Durch Rotation des Geradenstücks um die x-Achse erzeugter Kegel
Der Schwerpunkt S liegt aus Symmetriegründen auf der x-Achse, d. h. es gilt
y S ¼ z S ¼ 0. Für die Koordinate x S erhalten wir nach Formel (V-166) den folgenden Wert (das Kegelvolumen beträgt bekanntlich V ¼ p r 2 h=3):
xS ¼
p
1
p r2 h
3
ðh
x
r
h
2
x
dx ¼
ðh
3
r2
h
0
r2
¼ 2 2 r h h
3
ðh
x r2
x 2 dx ¼
h2
0
3
x dx ¼ 3
h
3
1 4
x
4
0
h
¼
0
3 1 4
3
h ¼
h
3
h
4
4
Der Schwerpunkt des Kegels liegt also auf der Symmetrieachse im Abstand 3 h=4
von der Kegelspitze (von der Grundfläche aus gemessen beträgt der Abstand h=4).
(3)
Wir berechnen die Lage des Schwerpunktes einer homogenen Halbkugel vom Radius r. Dieser Rotationskörper lässt sich durch Drehung der in Bild V-89 skizzierten Viertelkreisfläche um die y-Achse erzeugen.
y
y
x = r2– y2
r
S
r
a)
x
x
b)
Bild V-89 Durch Rotation der in Bild a) gezeichneten Viertelkreislinie um die y-Achse entsteht die in Bild b) skizzierte homogene Halbkugel
10 Anwendungen der Integralrechnung
549
Die Funktionsgleichung der rotierenden Kreislinie erhält man durch Auflösen der
Kreisgleichung x 2 þ y 2 ¼ r 2 nach x:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð0 y rÞ
x ¼ g ðyÞ ¼
r2 y2
Wegen der Rotationssymmetrie liegt der Schwerpunkt diesmal auf der y-Achse:
x S ¼ z S ¼ 0. Für y S liefert die Integralformel (V-168) den folgenden Wert (das
Volumen einer Halbkugel ist bekanntlich V ¼ 2 p r 3 =3):
yS ¼
ðr pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2
ðr
3
2
2
y
r y
dy ¼
y ðr 2 y 2 Þ dy ¼
2r3
p
2
p r3 0
0
3
ðr
3
3
1 2 2
1 4 r
2
3
r y y
ðr y y Þ dy ¼
¼
¼
2r3
2r3 2
4
0
3
¼
2r3
0
1 4
1 4
r r
2
4
¼
3
1 4
3
r ¼
r
2r3 4
8
Der Schwerpunkt einer Halbkugel liegt daher auf der Symmetrieachse im Abstand
&
von 3=8 r oberhalb der Grundfläche.
10.9 Massenträgheitsmomente
10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele
Massenträgheitsmomente treten im Zusammenhang mit Drehbewegungen von punktförmigen, flächenhaften oder räumlichen Massen auf. Sie spielen dort eine ähnliche Rolle
wie die Massen bei Translationsbewegungen.
Ein Massenpunkt der Masse m besitze bezüglich einer vorgegebenen Drehachse (Bezugsachse) den senkrechten Abstand r (Bild V-90). Dann versteht man definitionsgemäß unter dem Massenträgheitsmoment J bezüglich dieser Achse das Produkt
ðV-169Þ
J ¼ r2 m
Bezugsachse
Bezugsachse
Körper der Masse m (Volumen V)
r
m
r
dm
Massenelement dm
(Volumenelement dV)
Bild V-90
Bild V-91 Zum Begriff des Massenträgheitsmomentes
eines räumlichen Körpers
550
V Integralrechnung
Bei kontinuierlichen Massen wird der Körper in eine große Anzahl infinitesimal kleiner
Massenelemente dm zerlegt. Jedes Massenelement dm steuert dann den Beitrag
d J ¼ r 2 dm
ðV-170Þ
zum Gesamtmassenträgheitsmoment J des Körpers bei (r ist der senkrechte Abstand
des Massenelementes von der Bezugsachse, siehe hierzu Bild V-91). Durch Summation,
d. h. Integration über sämtliche Beiträge d J erhält man schließlich bei homogener Massenverteilung, d. h. konstanter Dichte r und unter Berücksichtigung der Beziehung
dm ¼ r dV das Massenträgheitsmoment J des räumlichen Körpers:
Massenträgheitsmoment eines homogenen räumlichen Körpers (Bild V-91)
ð
ð
ð
dJ ¼
r 2 dm ¼ r r 2 dV
ðV-171Þ
J ¼
ðmÞ
ðmÞ
ðVÞ
Dabei bedeuten:
r:
Senkrechter Abstand des Massenelementes dm bzw. Volumenelementes dV
von der gewählten Bezugsachse
r:
Konstante Dichte des Körpers
Man beachte: Das Massenträgheitsmoment ist keine absolute Größe, sondern stets abhängig von der gewählten Bezugsachse (siehe hierzu auch den sog. Satz von Steiner im
folgenden Abschnitt 10.9.2).
&
Beispiele
(1)
Für eine homogene kreisförmige Scheibe vom Radius R und der Dicke h ist das
Massenträgheitsmoment J bezüglich der Symmetrieachse (Zylinderachse) zu berechnen (die konstante Dichte sei r).
Lösung: Wir zerlegen zunächst die Scheibe in eine große Anzahl konzentrischer
Ringe (Bild V-92).
R
r
dm
dr
Bild V-92
Zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes
einer homogenen kreisförmigen Scheibe
(Zerlegung in ringförmige Elemente)
10 Anwendungen der Integralrechnung
551
Ein solcher infinitesimal schmaler Ring vom Innenradius r und der Breite dr (in
Bild V-92 dunkelgrau unterlegt) besitzt die Querschnittsfläche
dA ¼ 2 p r dr
Begründung: Wenn man den Kreisring an einer Stelle aufschneidet und „gerade“
biegt, erhält man einen nahezu rechteckigen Streifen mit den Seitenlängen 2 p r
und dr.
Der Kreisring besitzt damit den Masseninhalt
dm ¼ r dV ¼ r ðdAÞ h ¼ r ð2 p r drÞ h ¼ 2 p r h r dr
Sein Beitrag zum Trägheitsmoment J der Scheibe beträgt definitionsgemäß
d J ¼ r 2 dm ¼ r 2 2 p r h r dr ¼ 2 p r h r 3 dr
Durch Summation, d. h. Integration über alle zwischen r ¼ 0 und r ¼ R gelegenen Ringelemente erhält man schließlich
dJ ¼ 2prh ðmÞ
ðR
ð
J ¼
r 3 dr ¼ 2 p r h
1 4
r
4
R
0
¼
0
1
p r h R4
2
Beachtet man, dass die Scheibenmasse durch m ¼ r V ¼ r p R 2 h gegeben ist,
so lässt sich das Massenträgheitsmoment der Scheibe auch wie folgt durch Masse
m und Radius R ausdrücken:
J ¼
(2)
1
1
1
p r h R4 ¼
ðr p R 2 hÞ R 2 ¼
m R2
2
2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
2
m
Es ist das Massenträgheitsmoment eines homogenen zylindrischen Stabes bezüglich
der Schwerpunktachse zu bestimmen, die senkrecht zur Stabachse verläuft (Bild
V-93). Dabei wird vorausgesetzt, dass der Durchmesser des Stabes klein ist gegenüber der Stablänge (l: Stablänge; A: Querschnittsfläche des Stabes; r: Konstante Dichte des Materials).
y
dx
dm
S
l
–
2
x
x
l
2
Bild V-93 Zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines homogenen Stabes
(Zerlegung in Zylinderscheiben)
552
V Integralrechnung
Lösung: Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt S in der Stabmitte. Wir
wählen ihn daher als Ursprung des Koordinatensystems (Bild V-93). Die y-Achse
ist dann die Bezugsachse (Schwerpunktachse).
Der Stab wird nun durch Schnitte senkrecht zur Stabachse in eine große Anzahl von Zylinderscheiben zerlegt. Ein solches infinitesimal dünnes Scheibchen
der Dicke dx besitzt den Masseninhalt
dm ¼ r dV ¼ r A dx
und liefert damit zum Gesamtträgheitsmoment J den Beitrag
d J ¼ x 2 dm ¼ x 2 r A dx ¼ r A x 2 dx
Denn der Abstand dieser in Bild V-93 dunkelgrau unterlegten Scheibe von der
gewählten Bezugsachse ( y-Achse) ist durch die Koordinate x gegeben. Durch Integration sämtlicher zwischen x ¼ l=2 und x ¼ l=2 gelegener Elemente erhält man schließlich das gesuchte Massenträgheitsmoment 20) :
l=2
ð
ð
dJ ¼ rA J ¼
ðmÞ
¼ 2rA
x dx ¼ 2 r A l=2
"
1
3
l=2
ð
x 2 dx ¼ 2 r A
2
0
#
3
l
0
2
¼ 2rA 1 3
x
3
l=2
¼
0
1 l3
1
r A l3
¼
3 8
12
Wir drücken das Massenträgheitsmoment J noch durch die Zylindermasse
m ¼ r V ¼ r A l und die Stablänge l aus und bekommen die aus der Mechanik
bereits bekannte Formel
J ¼
1
1
1
r A l3 ¼
ðr A lÞ l 2 ¼
m l2
12
12 |ﬄﬄ{zﬄﬄ}
12
m
&
10.9.2 Satz von Steiner
Von besonderer Bedeutung sind in den Anwendungen Massenträgheitsmomente, die auf
eine durch den Körperschwerpunkt S verlaufende Achse bezogen werden (sog. Schwerpunktachsen). Trägheitsmomente dieser Art werden im Folgenden durch das Symbol J S
gekennzeichnet. Ist nun das Trägheitsmoment J S (bezogen auf eine bestimmte Schwerpunktachse) bekannt, so lässt sich daraus mit Hilfe einer von Steiner stammenden Bezie-
20)
Aus Symmetriegründen können wir die Integration auf das Intervall von x ¼ 0 bis x ¼ l=2 beschränken ( Faktor 2).
10 Anwendungen der Integralrechnung
553
hung das Trägheitsmoment J A bezüglich einer zur gewählten Schwerpunktachse parallel verlaufenden Bezugsachse A wie folgt berechnen (Bild V-94):
Satz von Steiner für Massenträgheitsmomente (Bild V-94)
JA ¼ JS þ m d 2
ðV-172Þ
Dabei bedeuten:
JS:
Massenträgheitsmoment des Körpers, bezogen auf eine (spezielle) Schwerpunktachse S
JA:
Massenträgheitsmoment des Körpers, bezogen auf eine zu dieser speziellen
Schwerpunktachse S parallele Bezugsachse A
m:
Masse des homogenen Körpers
d:
Abstand der beiden ( parallelen) Achsen
Bezugsachse A
Schwerpunktachse S
S
Körper der
Masse m
Bild V-94 Zum Satz von Steiner
d
Anmerkungen
(1)
Der Summand m d 2 im Steinerschen Satz ist das Massenträgheitsmoment der im
Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse m bezüglich der neuen Bezugsachse A.
(2)
Der Satz von Steiner ermöglicht die Berechnung eines Massenträgheitsmomentes
bezüglich einer (beliebigen) Achse A, wenn das Trägheitsmoment bezüglich der
zu A parallelen Schwerpunktachse S bekannt ist.
(3)
Verschiebt man eine Schwerpunktachse parallel zu sich selbst, so vergrößert sich
das Massenträgheitsmoment. Das Massenträgheitsmoment hat somit seinen kleinsten
Wert, wenn die Bezugsachse durch den Schwerpunkt geht (im Vergleich zu allen
Parallelachsen).
554
&
V Integralrechnung
Beispiel
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir das Massenträgheitsmoment J S eines homogenen zylindrischen Stabes der Länge l bezüglich einer Schwerpunktachse senkrecht
zur Stabachse berechnet:
JS ¼
1
m l2
12
Jetzt interessieren wir uns für das Massenträgheitsmoment J A des gleichen Stabes bezüglich einer zu dieser Schwerpunktachse parallelen Bezugsachse durch einen der beiden Endpunkte des Stabes (neue Bezugsachse ist die y-Achse, siehe Bild V-95).
y
Bezugsachse A
d=
Schwerpunktachse
l
2
S
x
l
Bild V-95 Anwendung des Steinerschen Satzes auf einen homogenen Zylinderstab
Der Abstand der beiden Achsen beträgt d ¼ l=2. Aus dem Steinerschen Satz folgt
dann:
2
1
l
1
1
JA ¼ JS þ m d 2 ¼
¼
m l2 þ m
m l2 þ
m l2 ¼
12
2
12
4
¼
1
1
þ
12
4
m l2 ¼
1þ3
4
1
m l2 ¼
m l2 ¼
m l2
12
12
3
Das Massenträgheitsmoment hat sich demnach bei der Achsenverschiebung vervierfacht!
&
10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers
Rotation einer Kurve um die x-Achse
Wir betrachten einen homogenen Rotationskörper, der durch Drehung des Kurvenstücks
y ¼ f ðxÞ, a x b um die x-Achse entstanden ist und zerlegen ihn wiederum in
der bereits bekannten Weise in eine große Anzahl dünner Scheiben (siehe hierzu auch
Bild V-56). Ein solches Zylinderscheibchen der Dicke dx erhält man, wenn man das in
Bild V-96 skizzierte (grau unterlegte) Rechteck mit den Seitenlängen y und dx um die
x-Achse rotieren lässt.
10 Anwendungen der Integralrechnung
555
y
y = f(x)
y
a
dx
b
x
Bild V-96 Zur Bestimmung des Massenträgheitsmomentes eines zur x-Achse
symmetrischen homogenen Rotationskörpers bezüglich dieser Achse
Für das Massenträgheitsmoment einer Zylinderscheibe haben wir in Abschnitt 10.9.1,
Beispiel (1) bereits den Formelausdruck
J Zylinder ¼
1
m R2
2
ðV-173Þ
hergeleitet (m: Zylindermasse; R: Radius der kreisförmigen Grundfläche). Aus dieser
Formel erhält man den Beitrag dJ x , den unser Zylinderscheibchen zum Trägheitsmoment J x , des Rotationskörpers beisteuert, mit Hilfe der formalen Substitutionen
R ! y ¼ f ðxÞ
m ! dm
und
ðV-174Þ
Es ist also
d Jx ¼
1
1 2
ðdmÞ y 2 ¼
y dm
2
2
ðV-175Þ
Das Massenelement dm lässt sich noch durch die Dichte r des homogenen Körpers
und das Volumenelement dV ¼ p y 2 dx ausdrücken ðdm ¼ r dVÞ. Dies führt zu dem
Ausdruck
d Jx ¼
1 2
1 2
1 2
1
y dm ¼
y ðr dVÞ ¼
y r p y 2 dx ¼
p r y 4 dx
2
2
2
2
ðV-176Þ
Durch Summation, d. h. Integration über die Beiträge sämtlicher zwischen x ¼ a und
x ¼ b liegender Scheibchen erhält man schließlich für das Massenträgheitsmoment J x
des Rotationskörpers den Formelausdruck
xð
¼b
Jx ¼
x¼a
1
d Jx ¼
pr 2
ðb
1
y dx ¼
pr 2
ðb
½ f ðxÞ 4 dx
4
a
a
ðV-177Þ
556
V Integralrechnung
Wir fassen zusammen:
Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers (Rotations- und
Bezugsachse: x-Achse; siehe hierzu auch Bild V-56 und Bild V-96)
Durch Drehung einer Kurve y ¼ f ðxÞ, a x b um die x-Achse entsteht ein
Rotationskörper, dessen Massenträgheitsmoment J x bezüglich der Rotationsachse
(d. h. hier der x-Achse) sich wie folgt berechnen lässt:
1
Jx ¼
pr 2
ðb
1
y dx ¼
pr 2
a
r:
ðb
½ f ðxÞ 4 dx
4
ðV-178Þ
a
Konstante Dichte des (homogen gefüllten) Rotationskörpers
Rotation einer Kurve um die y-Achse
Ein analoger Ausdruck lässt sich herleiten für das Massenträgheitsmoment J y eines zur
y-Achse rotationssymmetrischen homogenen Körpers, der durch Drehung der Kurve
x ¼ g ðyÞ, c y d um die y-Achse entstanden ist (siehe hierzu auch Bild V-57).
Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers (Rotations- und
Bezugsachse: y-Achse; siehe hierzu auch Bild V-57)
Durch Drehung einer Kurve x ¼ g ðyÞ, c x d um die y-Achse entsteht ein
Rotationskörper, dessen Massenträgheitsmoment J y bezüglich der Rotationsachse
(d. h. hier der y-Achse) sich wie folgt berechnen lässt:
1
Jy ¼
pr 2
ðd
c
r:
&
1
x dy ¼
pr 2
ðd
½ g ðyÞ 4 dy
4
ðV-179Þ
c
Konstante Dichte des (homogen gefüllten) Rotationskörpers
Beispiele
(1)
Man berechne das Massenträgheitsmoment J x eines homogenen stromlinienförmigen
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Körpers der konstanten Dichte r, der durch Rotation der Kurve y ¼ ð4 xÞ 2 x
im Bereich ihrer beiden Nullstellen um die x-Achse entsteht (Bild V-97).
10 Anwendungen der Integralrechnung
557
y
5
y = (4 – x) 2 x
1
4
1
x
Bild V-97
Der skizzierte homogene Körper
entsteht durchpDrehung
der Kurve
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ ð4 xÞ 2 x , 0 x 4
um die x-Achse
Lösung: Wir berechnen zunächst die benötigten Nullstellen der Funktion:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ 0 ) ð4 xÞ 2 x ¼ 0 ) x 1 ¼ 0 ,
x2 ¼ 4
Unter Verwendung der Integralformel (V-178) erhalten wir dann für das gesuchte
Massenträgheitsmoment zunächst:
ð4
1
Jx ¼
pr 2
ð4
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4
1
dx ¼
ð4 xÞ 2 x
p r ð4 xÞ 4 4 x 2 dx ¼
2
0
0
ð4
ð4 xÞ 4 x 2 dx
¼ 2pr 0
Das Binom ð4 xÞ 4 entwickeln wir nach der aus Kap. I, Abschnitt 6 bekannten
binomischen Formel (bitte nachrechnen):
ð4 xÞ 4 ¼ ðx 4Þ 4 ¼ x 4 16 x 3 þ 96 x 2 256 x þ 256
Damit erhalten wir für das gesuchte Massenträgheitsmoment:
ð4
J x ¼ 2p r ðx 4 16 x 3 þ 96 x 2 256 x þ 256Þ x 2 dx ¼
0
ð4
ðx 6 16 x 5 þ 96 x 4 256 x 3 þ 256 x 2 Þ dx ¼
¼ 2pr 0
¼ 2pr
¼ 2pr
1 7
8 6
96 5
256 3
x x þ
x 64 x 4 þ
x
7
3
5
3
4
¼
0
1
8
96
256
47 46 þ
4 5 64 4 4 þ
43
7
3
5
3
¼
558
V Integralrechnung
1
2
6
1
47 47 þ
47 47 þ
47
7
3
5
3
1
2
6
1
¼ 2 47 p r
þ
1þ
¼
7
3
5
3
¼ 2pr
(2)
¼ 2 47 p r 15 70 þ 126 105 þ 35
¼
105
¼ 2 47 p r 1
2 47
¼
p r ¼ 980,42 r
105
105
¼
Die Aufgabe besteht in der Berechnung des Massenträgheitsmomentes einer homogenen
Kugel bezüglich eines beliebigen Kugeldurchmessers ( Radius der Kugel: R; Konstante
Dichte: r). Als Bezugsachse wählen wir den in die y-Achse fallenden Kugeldurchmesser. Aus Symmetriegründen können wir uns bei der Rechnung auf die in Bild V-89 skizzierte Halbkugel beschränken. Diese entsteht durch Rotation der im 1. Quadranten liegenden Viertelkreislinie mit der nach der Variablen x aufgelösten Funktionsgleichung
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x ¼ g ðyÞ ¼
R2 y2
ð0 y RÞ
um die y-Achse. Für das Massenträgheitsmoment J y der Vollkugel erhält man somit unter Verwendung der Integralformel (V-179) den folgenden Ausdruck:
1
pr Jy ¼ 2 2
ðR pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðR
4
2
2
ð R y Þ dy ¼ p r ðR 2 y 2 Þ 2 dy ¼
0
0
ðR
¼ pr ðR 4 2 R 2 y 2 þ y 4 Þ dy ¼ p r R 4 y 2 2 3
1 5
R y þ
y
3
5
0
R
¼
0
2 5
1 5
2
1
¼ p r R5 1 ¼
¼ p r R5 R þ
R
þ
3
5
3
5
¼ p r R5 15 10 þ 3
8
8
¼ p r R5 ¼
p r R5
15
15
15
(der Faktor 2 tritt auf, weil wir uns bei der Integration auf eine Halbkugel beschränkt
haben). Berücksichtigt man noch, dass Volumen V und Masse m einer Kugel durch
die Formeln
V ¼
4
p R3
3
und
m ¼ rV ¼ r 4
4
p R3 ¼
p r R3
3
3
gegeben sind, so erhält man schließlich für das gesuchte Massenträgheitsmoment
einer Kugel, bezogen auf einen (beliebigen) Kugeldurchmesser, die aus der Physik
bekannte Formel
8
2 4
2
p r R5 ¼
p r R3 R2 ¼
m R2
Jy ¼
15
5 3
5
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
&
m
bungsaufgaben
559
bungsaufgaben
Hinweis: In den Abschnitten 1 bis 7 wurden die wichtigsten Grundbegriffe der Integralrechnung behandelt (Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral,
Grundintegrale usw.). Dem Leser wird daher empfohlen, diese Abschnitte
gründlich durchzuarbeiten, bevor er sich erstmals mit den nachfolgenden
bungsaufgaben auseinandersetzt.
Zu Abschnitt 1 bis 7
1) Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen zu:
aÞ
f ðxÞ ¼ 4 x 5 6 x 3 þ 8 x 2 3 x þ 5
cÞ
f ðtÞ ¼ 2 e t eÞ
f ðzÞ ¼
gÞ
f ðuÞ ¼ 3 sin u 5
þ1
t
5
1 4
z
2
3 þ 3z
4
6
þ 7 u2
u
bÞ
f ðtÞ ¼ 3 sin t 4 cos t
dÞ
f ðxÞ ¼
fÞ
2
1
f ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos 2 x
1 x2
hÞ
f ðxÞ ¼ 3 e x cos x
1 2x2 4x3
þ3
2x
2) Lösen Sie die nachstehenden unbestimmten Integrale (Grundintegrale):
ð
ð
1
dx
aÞ
ðe x þ x 2 2 x þ sin xÞ dx
bÞ
10 x sin 2 x
ð
ð
cÞ
ð2 x 3Þ 2 dx
dÞ
2 cos x dx
eÞ
ð
ð
gÞ
3
1
2
1þt
t
5
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du
2
u 1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃ
ð p
3
x5 x
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
iÞ
dx
5
x4
ð
tan x
dx
kÞ
sin ð2 xÞ
ð
dt
fÞ
10
3 a x b sin x
cosh 2 x
hÞ
ð
5 3x jÞ
ð qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃ
x x dx
1
pﬃﬃﬃﬃ
2 x
dx
dx
560
V Integralrechnung
3) Welchen Wert besitzen die folgenden bestimmten Integrale?
ðe
ð4
ðx 5 x þ 1,5 x 10Þ dx
3
aÞ
2
bÞ
0
1
ðp
ð2
ða sin t b cos tÞ dt
dÞ
eÞ
0
ð5
3 ð1 e Þ dx
x
hÞ
0, 5
0
p=4
ð
jÞ
0
cÞ
pﬃﬃﬃﬃ
5 x dx
ð2
1 cos 2 x
dx
2 cos 2 x
ð4
kÞ
iÞ
0
1 u2
pﬃﬃﬃﬃﬃ du
u
cos j dj
fÞ
p
0ð,5
4
dt
t
1 z2
dz
z
1
1
ð2
gÞ
ð4
dt
t
ð9
lÞ
1
3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx
1 x2
pﬃﬃﬃﬃ
x ð2 xÞ dx
1
4) Wie lautet die Funktionsgleichung der durch den Punkt P 1 ¼ ð0; 2Þ verlaufenden
Kurve mit der folgenden Ableitung?
y 0 ¼ sin x þ 3 e x 1 2
4
x þ
3
1 þ x2
ða
x 3 dx mit a > 0 als Grenzwert der
5) Berechnen Sie das bestimmte Integral
0
Obersumme nach Definitionsgleichung (V-18).
Anleitung: Man unterteile das Integrationsintervall 0 x a mit Hilfe der Teila
mit k ¼ 0, 1, . . . , n in n gleiche Teile und
punkte x k ¼ k n
verwende ferner die Formel
n
X
k¼1
k 3 ¼ 13 þ 23 þ . . . þ n3 ¼
n 2 ðn þ 1Þ 2
4
bungsaufgaben
561
6) Die im Folgenden aufgeführten Integralformeln haben wir einer Integraltafel entnommen. Zeigen Sie nach dem sog. „Verifizierungsprinzip“ die Gültigkeit dieser
Beziehungen ðdie Ableitung der auf der rechten Seite stehenden Funktion F ðxÞ
muss in diesem Fall zum Integrand f ðxÞ führen, d. h. es muss F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
gelten):
ð
aÞ
e x ð1 xÞ dx ¼ x e x þ C
bÞ
ﬃ
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
x2 4
2
dx ¼ x 4 2 arccos
þC
x
x
ð
cos x e sin x dx ¼ e sin x þ C
cÞ
ð
dÞ
sin ð3 xÞ cos ð3 xÞ dx ¼
1
sin 2 ð3 xÞ þ C
6
7) Zeigen Sie: F1 ðxÞ ¼ x 2 e x þ 2 ist eine Stammfunktion von
f ðxÞ ¼ ðx 2 þ 2 xÞ e x . Wie lautet die Gesamtheit der Stammfunktionen?
8) Welchen Flächeninhalt schließt der Funktionsgraph von y ¼ 0,25 x 2 þ 4 mit
der x-Achse ein?
9) Berechnen Sie die im Intervall p=2 x p=2 unter der Kosinuskurve liegende Fläche.
10) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Parabel y ¼ 3 ðx 2Þ 2 þ 5 und der
x-Achse.
11) Für den Zerfall einer radioaktiven Substanz gilt:
dn
¼ ln
dt
Dabei ist n die Anzahl der zur Zeit t noch vorhandenen Atomkerne, l > 0 die
sog. Zerfallskonstante. Wie lautet das Zerfallsgesetz n ¼ n ðtÞ, wenn zur Zeit
t ¼ 0 genau n 0 Atomkerne vorhanden sind?
562
V Integralrechnung
Zu Abschnitt 8
1) Lösen Sie die folgenden Integrale unter Verwendung einer geeigneten Substitution:
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð
ð
x2
3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx
cÞ
1 t dt
bÞ
ð5 x þ 12Þ 0,5 dx
aÞ
1 þ x3
ð
dÞ
ð
gÞ
ð1
jÞ
1
x e
x3 2
fÞ
0
ð
ð
x sin ðx Þ dx
2
hÞ
iÞ
ð1
p=2
ð
t dt
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ t2
2
ð
cos 3 x sin x dx
eÞ
dx
x ln x
ð
mÞ
ðp
arctan z
dz
1 þ z2
sin ð3 t p=4Þ dt
kÞ
lÞ
1
0
ð
dx
nÞ
tan ðz þ 5Þ
dz
cos 2 ðz þ 5Þ
0ð,5
x 2) Lösen Sie das bestimmte Integral
substitution x ¼ sin u.
2x þ 6
dx
x 2 þ 6 x 12
3x2 2
dx
2x3 4x þ 2
5þx
dx
5x
ﬃ
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4 x2
dx
x2
oÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 x 2 dx mit Hilfe der Variablen-
0
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3) Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve y ¼ 6 2 x mit den beiden Koordinatenachsen ein?
ð
2x
pﬃﬃﬃﬃ dx mit Hilfe der Substitution
4) Zeigen Sie,
dass sich das Integral
pﬃﬃﬃﬃ
1
þ x
u ¼ 1 þ x lösen lässt.
5) Lösen Sie die folgenden Integrale durch „Partielle Integration“:
ð
ð
x ln x dx
aÞ
ð5
x cos x dx
bÞ
ln t dt
cÞ
1
ð
x sin ð3 xÞ dx
dÞ
x e x dx
eÞ
0
ð
gÞ
ð
0ð,8
sin 2 ðw tÞ dt
fÞ
arctan x dx
bungsaufgaben
563
6) Lösen Sie die folgenden Integrale durch zweimalige partielle Integration:
ð
ð
aÞ
e x cos x dx
bÞ
x 2 e x dx
7) Lösen Sie die folgenden Integrale durch Partialbruchzerlegung des Integranden:
ð
ð
1
4x3
dx
dx
bÞ
aÞ
x2 a2
x3 þ 2x2 x 2
ð
cÞ
ð
eÞ
ð
3z
dz
3
z þ 3 z2 4
dÞ
x2
4x 2
dx
2 x 63
2x þ 1
dx
x3 6x2 þ 9x
8) Berechnen Sie die zwischen den Kurven y ¼ ln x, y ¼ 0 und x ¼ 5 liegende
Fläche.
x2 4
9) Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve mit der Funktionsgleichung y ¼
x 5
mit der x-Achse ein (Skizze)?
10) Lösen Sie die folgenden Integrale unter Verwendung einer geeigneten Integrationsmethode:
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð
ð
ln x
aÞ
dx
bÞ
cot x dx
cÞ
x cosh x dx
x
ð
sin x e
dÞ
ð
gÞ
jÞ
ð
cos x
dx
ðln xÞ 3
dx
x
ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
x 2 2 x dx
eÞ
ð
hÞ
x3
dx
ðx 2 1Þ ðx þ 1Þ
12 x 2
dx
2x3 1
ð
kÞ
x3
8x2
ð2
fÞ
0
x 4
dx
x þ1
ð
iÞ
x arctan x dx
x2
dx
þ 21 x 18
11) Zeigen Sie: Der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen a und b beträgt
A ¼ p a b.
564
V Integralrechnung
ðp
sin ðm xÞ sin ðn xÞ dx für
12) Welchen Wert besitzt das Integral
p
aÞ
m ¼ n,
bÞ m 6¼ n
ðm, n 2 NÞ ?
Anleitung: Umformung des Integranden mit Hilfe der trigonometrischen Formel
1
cos ða bÞ cos ða þ bÞ .
sin a sin b ¼
2
ð2
13) Berechnen Sie das Integral
1 ex
dx näherungsweise
x
1
a) nach der Trapezformel,
b) nach der Simpsonschen Formel
für jeweils 10 (einfache) Streifen.
14) Berechnen Sie die folgenden Integrale näherungsweise nach Simpson (n: Anzahl
der Doppelstreifen):
aÞ
ð4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ 2 t 4 dt ,
ð1
n ¼ 10
bÞ
0, 5
1
ð3
cÞ
ex
dx ,
x2
ex
x3
dx ,
1
n ¼ 5
n ¼ 5
1
Zu Abschnitt 9
1) Bestimmen Sie den Wert der folgenden (konvergenten) uneigentlichen Integrale:
1
ð
aÞ
e
0
x
1
ð
dx
x e
bÞ
x
ð2
dx
1
0
1
ð
2) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
ist und den Wert 2=a 3 besitzt.
e x dx
cÞ
x 2 e a x dx ða > 0Þ konvergent
0
3) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die drei Kurven mit den Funktionsgleichungen y ¼ e a x , y ¼ e b x und y ¼ 0 miteinander einschließen (a > 0; b > 0;
Skizze anfertigen).
bungsaufgaben
565
4) Bestimmen Sie den Wert der folgenden uneigentlichen Integrale (falls sie existieren):
ð0
aÞ
1
1
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dx
1þx
ð1
bÞ
1
1
dx
x2
10
ð
cÞ
0
ex
dx
ex 1
Zu Abschnitt 10
1) Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ und das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ¼ v ðtÞ eines Fahrzeugs für den Fall
a) einer konstanten Bremsverzögerung a ¼ 2 m=s 2 ,
b) einer periodischen Bremsverzögerung a ¼ ð1 þ cos ðp s 1 tÞÞ m=s 2 ,
wenn in beiden Fällen die Anfangsbedingungen wie folgt lauten: sð0Þ ¼ 0 m,
v ð0Þ ¼ 30 m=s.
2) Die Bewegungsgleichung eines Federpendels laute: a ðtÞ ¼ w 2 cos ðw tÞ.
Gewinnen Sie hieraus durch Integration die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
v ¼ v ðtÞ und die Weg-Zeit-Funktion s ¼ s ðtÞ für die Anfangswerte sð0Þ ¼ 1
und v ð0Þ ¼ 0.
3) Die Biegegleichung eines Balkens der Länge l, der in den beiden Endpunkten
unterstützt wird, lautet bei gleichmäßiger Streckenlast F wie folgt:
y 00 ¼ F
ðl x x 2 Þ
2EI
ð0 x lÞ
(E: Elastizitätsmodul; I: Flächenmoment). Bestimmen Sie durch Integration dieser Gleichung die Biegelinie für die Randwerte y ð0Þ ¼ 0 und y 0 ðl = 2Þ ¼ 0.
4) Die Fallgeschwindigkeit v eines aus der Ruhe heraus frei fallenden Körpers hängt
bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes wie folgt von der Fallzeit t ab:
g
v ¼ v E tanh
t
ðt 0Þ
vE
( g: Erdbeschleunigung; v E : Endgeschwindigkeit). Bestimmen Sie durch Integration den Fallweg s als Funktion der Fallzeit t (zu Beginn sei s ð0Þ ¼ 0Þ.
5) Welche Fläche schließt die Kurve y ¼ 4 x ðx 2 4Þ mit der x-Achse im Intervall
4 x 4 ein?
6) Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Parabeln y ¼ x 2 2 und
y ¼ x 2 þ 2 x þ 2.
566
V Integralrechnung
7) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Parabel y ¼ x 2 2 x 1 und
der Geraden y ¼ 3 x 1.
8) Berechnen Sie die von den Kurven y ¼ 2 cosh x 2 und y ¼ x 2 þ 3 eingeschlossene Fläche.
Hinweis: Bestimmung der Kurvenschnittpunkte näherungsweise nach dem Newtonschen Tangentenverfahren.
9) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Kreis ðx 2Þ 2 þ y 2 ¼ 4 und
der Parabel y ¼ x 2 .
10) Zeigen Sie, dass das durch Rotation der Ellipse b 2 x 2 þ a 2 y 2 ¼ a 2 b 2 um die
y-Achse entstandene Rotationsellipsoid das Volumen V y ¼ 4 p a 2 b=3 besitzt.
11) Welches Volumen besitzt der Drehkörper, der durch Rotation des von der Kurve
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y ¼ ðx 2Þ 2 3 x und der x-Achse berandeten Flächenstücks um die x-Achse
entsteht?
pﬃﬃﬃﬃ
12) Durch Rotation der Kurve y ¼ x um die y-Achse entsteht ein trichterförmiger
Drehkörper. Bestimmen Sie sein Volumen, wenn er in der Höhe y ¼ 5 abgeschnitten wird.
13) Bestimmen Sie das
Rotationsvolumen
eines Körpers, der durch Drehung des Kurpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
2
venstücks y ¼ x 9 , 3 x 5
a) um die x-Achse,
b) um die y-Achse
entsteht.
14) Welche Länge besitzt ein Drahtseil, das gemäß der Funktion y ¼ 5 cosh ðx=5Þ
(Kettenlinie) durchhängt, wenn beide Aufhängepunkte die gleiche Höhe und einen
Abstand von 14,3 voneinander besitzen?
15) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve y ¼ 4,2 ln x 3 im Intervall von x ¼ 1
bis x ¼ e.
16) Wie lang ist der Bogen des Funktionsgraphen von y ¼ x 3=2 über dem Intervall
1 x 7,45 ?
17) Bestimmen Sie die Länge des Sinusbogens über dem Intervall ½ 0, p .
Anleitung: Berechnung des Integrals nach der Simpsonschen Formel für n ¼ 10
Doppelstreifen.
18) Berechnen Sie die Mantelfläche, die durch Rotation der Kurve y ¼
um die y-Achse entsteht.
pﬃﬃﬃﬃ
x, 0 x 4
bungsaufgaben
567
pﬃﬃﬃﬃ
19) Welche Rotationsfläche (Mantelfläche) erzeugt die Kurve y ¼ ln x , 1 x 3
bei Drehung um die x-Achse? (Näherungsweise Berechnung des Integrals nach Simpson für n ¼ 10 Doppelstreifen.)
20) Zeigen Sie: Durch Rotation des in
Bild V-98 skizzierten Kreisabschnittes
der Breite h um die x-Achse entsteht
eine Kugelschicht der Dicke h mit
der Mantelfläche M x ¼ 2 p r h.
y
h
Bild V-98
a
r
x
21) Welche Arbeit muss aufgebracht werden, um eine dem Hookeschen Gesetz genügende elastische Stahlfeder mit der Federkonstanten c ¼ 8,45 10 5 N=m um 17,3 cm
zusammenzudrücken?
22) Für eine adiabatische Zustandsänderung eines idealen Gases gilt die Poissonsche
Gleichung p V k ¼ p 0 V 0k ¼ constant. Berechnen Sie die Ausdehnungsarbeit
Vð1
p ðVÞ dV für ein solches Gas (V 0 , V 1 : Anfangs- bzw. Endvolumen).
W ¼
V0
23) Ein ideales Gas besitzt im Ausgangszustand das Volumen V 1 ¼ 2,75 m 3 und
den Druck p 1 ¼ 1250 N=m 2 . Es wird isotherm, d. h. unter Konstanthaltung der
Temperatur auf das Volumen V 2 ¼ 0,76 m 3 komprimiert. Welche Arbeit wurde
dabei am Gas verrichtet?
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
24) Durch Rotation der Kurve y ¼ 1 m x um die y-Achse entsteht ein trichterförmiger Behälter (vgl. hierzu auch Aufgabe 12). Er soll von einem Wasserreservoir
aus bis zu einer Höhe von 5 m gefüllt werden. Berechnen Sie die erforderliche
Mindestarbeit ( Dichte des Wassers: r ¼ 1 g=cm 3 ¼ 1000 kg=m 3 ).
Anleitung: Der Wasserpegel im Trichter habe die Höhe y erreicht. Um den Pegel
geringfügig um dy zu erhöhen, muss die Wassermenge dm aus dem Reservoir
ðy ¼ 0Þ in diese Höhe gebracht werden. Die dabei verrichtete Hubarbeit beträgt definitionsgemäß dW ¼ ðdmÞ g y (siehe hierzu Bild V-99).
y
dm
dy
y
Bild V-99
x
568
V Integralrechnung
25) Berechnen Sie den linearen und den quadratischen Mittelwert der Sinusfunktion
im Intervall 0 x p.
26) Ein Einweggleichrichter erzeuge den in Bild V-100 skizzierten Strom mit der Periodendauer T ¼ 2 p=w. Berechnen Sie den linearen Mittelwert während einer Periode (er wird als Gleichrichtwert bezeichnet).
i
i0
i = i 0 · sin ( v t)
T
2
T
3
T
2
2T
t
Bild V-100
27) In einem Wechselstromkreis erzeuge die Wechselspannung u ðtÞ ¼ u 0 sin ðw tÞ
den Wechselstrom i ðtÞ ¼ i 0 cos ðw tÞ. Berechnen Sie die mittlere Leistung P
während einer Periode T ¼ 2 p=w (linearer Mittelwert).
Hinweis: Für die momentane Leistung gilt definitionsgemäß p ðtÞ ¼ u ðtÞ i ðtÞ.
28) Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes der Fläche, die von den Parabeln mit
den Funktionsgleichungen y ¼ x 2 und y ¼ x 2 4 eingeschlossen wird.
29) Bestimmen Sie den Flächenschwerpunkt
der in Bild V-101 skizzierten Figur
(Quadrat mit aufgesetztem Halbkreis).
y
a
x
2a
Bild V-101
30) Wo liegt der Schwerpunkt einer homogenen Viertelkreisfläche ( Radius R)?
31) Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Fläche, die von der Geraden y ¼ x þ 2 und
der Parabel y ¼ x 2 4 berandet wird.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
32) Durch Rotation der Kurve y ¼ cos x , 0 x p=2 um die x-Achse entsteht
ein Drehkörper. Wo befindet sich der Schwerpunkt des Körpers?
bungsaufgaben
569
33) Für den durch Drehung des im 1. Quadranten gelegenen Teils der Ellipse mit der
Gleichung b 2 x 2 þ a 2 y 2 ¼ a 2 b 2 um die y-Achse entstandenen Rotationskörper
ist der Schwerpunkt zu bestimmen.
34) Wo liegt der Schwerpunkt des Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve
y ¼ ln x, 1 x e um die x-Achse entsteht?
35) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationsellipsoids,
das durch Drehung der Ellipse b 2 x 2 þ a 2 y 2 ¼ a 2 b 2 um die y-Achse entsteht
( Dichte r).
36) Für einen homogenen geraden Kreiskegel (Radius R, Höhe H, Dichte r) ist das
auf die Symmetrieachse bezogene Massenträgheitsmoment zu berechnen.
37) Berechnen Sie unter Verwendung des Satzes von Steiner das Massenträgheitsmoment eines homogenen Vollzylinders bezüglich einer Mantellinie (Zylinderhöhe
H, Grundkreisradius R, Dichte r).
570
VI Potenzreihenentwicklungen
1 Unendliche Reihen
1.1 Ein einführendes Beispiel
Wir betrachten die unendliche geometrische Zahlenfolge
ha n i ¼ 1; 0,2; 0,2 2 ; 0,2 3 ; . . .
ðVI-1Þ
mit dem Bildungsgesetz
a n ¼ 0,2 n 1
ðn 2 N*Þ
ðVI-2Þ
Aus den Gliedern dieser Folge bilden wir sog. Partial- oder Teilsummen, indem wir
Glied für Glied aufsummieren. Die ersten Partialsummen lauten dann wie folgt:
s1 ¼ 1
s 2 ¼ 1 þ 0,2 ¼ 1,2
s 3 ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 2 ¼ 1,24
ðVI-3Þ
s 4 ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 þ 0,2 ¼ 1,248
..
.
2
3
Wir fassen sie zu einer neuen (unendlichen) Folge, der sog. Partialsummenfolge
hs n i ¼ s 1 , s 2 , s 3 , s 4 ,
...
ðVI-4Þ
mit dem Bildungsgesetz
s n ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 2 þ . . . þ 0,2 n 1 ¼
n
X
0,2 k 1
ðVI-5Þ
k¼1
zusammen. s n ist dabei die n-te Partialsumme, d. h. die Summe der ersten n Glieder
der Zahlenfolge (VI-1). Für die Partialsummenfolge hs n i führen wir die neue Bezeichnung „Unendliche Reihe“ ein und schreiben dafür symbolisch 1) :
1 þ 0,2 þ 0,2 2 þ 0,2 3 þ . . . þ 0,2 n 1 þ . . . ¼
1
X
0,2 n 1
ðVI-6Þ
n¼1
1)
Zur Erinnerung: Summen enthalten immer endlich viele Summanden. Die gewählte (allgemein übliche)
Schreibweise für eine unendliche Reihe suggeriert, dass hier eine Summe mit unendlich vielen Gliedern (Summanden) gebildet wird. Dies jedoch ist allein aus zeitlicher Sicht nicht möglich! Um Missverständnissen gleich
vorzubeugen: Die bekannten Rechenregeln für Summen dürfen nicht auf unendliche Reihen übertragen werden (siehe hierzu die späteren Ausführungen über den Umgang mit unendlichen Reihen in Abschnitt 1.2.2).
1 Unendliche Reihen
571
Es stellt sich nun die Frage nach dem „Summenwert“ einer unendlichen Reihe. Bei einer
endlichen Reihe wird dieser durch Addition der endlich vielen Reihenglieder ermittelt.
Bei einer unendlichen Reihe dagegen bilden wir den Grenzwert der Partialsummenfolge
hs n i und fassen ihn (falls er überhaupt vorhanden ist) als Summenwert der Reihe auf.
Wir kehren jetzt zu unserem Beispiel zurück und untersuchen, ob die Partialsummenfolge (VI-4) für n ! 1 konvergiert, d. h. einen Grenzwert besitzt. Zunächst jedoch leiten
wir eine Berechnungsformel für den Summenwert der n-ten Partialsumme
s n ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 2 þ . . . þ 0,2 n 1
ðVI-7Þ
her, die wir für die spätere Grenzwertbildung benötigen. Dazu wird die Partialsumme s n
beiderseits gliedweise mit 0,2 multipliziert und anschließend wie folgt die Differenz
s n 0,2 s n gebildet:
9
=
s n ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 2 þ . . . þ 0,2 n 1
0,2 s n ¼
0,2 þ 0,2 2 þ . . . þ 0,2 n 1 þ 0,2 n ;
s n 0,2 s n ¼ 1 þ 0
þ0
þ ... þ 0
0,2 n
0,8 s n ¼ 1 0,2 n
(die jeweils grau markierten untereinander stehenden Glieder heben sich bei der Differenzbildung jeweils auf).
Wir lösen jetzt diese Gleichung nach s n auf und erhalten damit eine einfache Berechnungsformel für die n-te Partialsumme:
s n ¼ 1,25 ð1 0,2 n Þ
ðVI-8Þ
Diese Formel liefert uns beispielsweise für n ¼ 5 bzw. n ¼ 10 die folgenden Summenwerte:
s 5 ¼ 1,25 ð1 0,2 5 Þ ¼ 1,25 ð1 0,00032Þ ¼ 1,2496
s 10 ¼ 1,25 ð1 0,2 10 Þ ¼ 1,25 ð1 0,000 000 102Þ ¼ 1,249 999 872
Selbstverständlich erhalten wir diese Werte auch auf dem direkten Wege, d. h. durch
Aufaddieren der ersten 5 bzw. 10 Reihenglieder (bitte nachrechnen).
Für n ! 1 strebt die Partialsummenfolge gegen den Grenzwert
lim s n ¼ lim 1,25 ð1 0,2 n Þ ¼ 1,25
n!1
n!1
ðVI-9Þ
da lim 0,2 n ¼ 0 ist. Die unendliche Reihe (VI-6) besitzt somit definitionsgemäß den
n!1
Summenwert s ¼ 1,25. Wir schreiben dafür symbolisch:
1
X
0,2 n 1 ¼ 1 þ 0,2 þ 0,2 2 þ 0,2 3 þ . . . ¼ 1,25
ðVI-10Þ
n¼1
Durch diese Schreibweise wollen wir zum Ausdruck bringen, dass sich die Partialsummen
mit zunehmender Anzahl von Gliedern immer weniger von der Zahl 1,25 unterscheiden.
572
VI Potenzreihenentwicklungen
1.2 Grundbegriffe
1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe
Wir gehen aus von einer unendlichen Zahlenfolge
ha n i ¼ a 1 , a 2 , a 3 ,
... ,
a n,
...
ðVI-11Þ
und bilden aus den Gliedern dieser Folge wie folgt Partial- oder Teilsummen:
s1 ¼ a1
s2 ¼ a1 þ a2
s3 ¼ a1 þ a2 þ a3
..
.
sn ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼
n
X
ðVI-12Þ
ak
k¼1
..
.
Die Folge hs n i dieser Teilsummen heißt dann „Unendliche Reihe“.
Definition: Die Folge hs n i der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge
ha n i heißt unendliche Reihe. Symbolische Schreibweise:
1
X
an ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an þ . . .
ðVI-13Þ
n¼1
Anmerkungen
(1)
a n ist das n-te Reihenglied.
(2)
Der Laufindex n im Summensymbol kann auch bei der Zahl 0 oder einer anderen natürlichen Zahl beginnen.
(3)
Die Glieder einer unendlichen Reihe sind (reelle) Zahlen. Daher spricht man in
diesem Zusammenhang auch von einer Zahlenreihe oder numerischen Reihe.
(4)
Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe
1
X
n¼1
a n versteht man einen
funktionalen Zusammenhang a n ¼ f ðnÞ, aus dem sich die Reihenglieder in
Abhängigkeit von der natürlichen Zahl n berechnen lassen. Die Zuordnung
f ðnÞ ¼ a n kann auch als eine Funktion der diskreten Variablen n aufgefasst werden (mit n 2 N*).
1 Unendliche Reihen
&
573
Beispiele
(1)
Aus der unendlichen Zahlenfolge
1
1 1
1
¼ 1, , , . . . , , . . .
an ¼
n
2 3
n
ðn 2 N*Þ
entsteht durch Partialsummenbildung die sog. harmonische Reihe
1
X
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ ...
n
2
3
n
n¼1
(2)
Aus der geometrischen Folge
ha n ¼ a q n 1 i ¼ a,
a q 2,
a q,
... ,
a q n 1, . . .
ðn 2 N*Þ
erhalten wir durch Partialsummenbildung die sog. geometrische Reihe
1
X
a qn1 ¼ a þ a q þ a q2 þ . . . þ a qn1 þ . . .
n¼1
(3)
Die Glieder der unendlichen Reihe
2,1 þ 2,01 þ 2,001 þ 2,0001 þ . . .
genügen dem folgenden Bildungsgesetz:
a n ¼ 2 þ 0,1 n
ðn 2 N*Þ
&
1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
In dem einführenden Beispiel haben wir den „Summenwert“ der vorgegebenen unendlichen Zahlenreihe als Grenzwert der zugehörigen Partialsummenfolge bestimmt. Dies
führt zu der folgenden Definition:
Definition: Eine unendliche Reihe
Partialsummen s n ¼
1
X
a n heißt konvergent, wenn die Folge ihrer
n¼1
n
X
a k einen Grenzwert s besitzt:
k¼1
lim s n ¼ lim
n!1
n
X
n!1 k¼1
ak ¼ s
ðVI-14Þ
Dieser Grenzwert wird als Summenwert der unendlichen Reihe bezeichnet. Symbolische Schreibweise:
1
X
an ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an þ . . . ¼ s
ðVI-15Þ
n¼1
Besitzt die Partialsummenfolge hs n i jedoch keinen Grenzwert, so
heißt die unendliche Reihe divergent.
574
VI Potenzreihenentwicklungen
Anmerkungen
(1)
Der Summenwert einer unendlichen Reihe ist also definitionsgemäß der Grenzwert
einer unendlichen Folge, nämlich der Grenzwert der Partialsummenfolge hs n i.
Die Konvergenz einer unendlichen Reihe wird damit auf die Konvergenz einer unendlichen Folge zurückgeführt (vgl. hierzu Kap. III, Abschnitt 4.1.2).
(2)
Eine konvergente unendliche Reihe besitzt also stets einen (eindeutigen) Summenwert, einer divergenten unendlichen Reihe lässt sich dagegen kein Summenwert
zuordnen. Ist s ¼ þ 1 oder s ¼ 1, so nennt man die unendliche Reihe
auch bestimmt divergent.
(3)
Eine unendliche Reihe heißt absolut konvergent, wenn die aus den Beträgen ihrer
Glieder gebildete Reihe konvergiert. Eine absolut konvergente Reihe ist stets kon1
X
vergent, d. h. aus der Konvergenz der Reihe
j a n j folgt stets die Konvergenz
1
n¼1
X
a n (die Umkehrung jedoch gilt nicht).
der Reihe
n¼1
&
Beispiele
(1)
Wir zeigen, dass die als geometrische Reihe 2) bezeichnete unendliche Reihe
1
X
qn1 ¼ 1 þ q1 þ q2 þ . . . þ qn1 þ . . .
n¼1
für j q j < 1 konvergiert, für j q j 1 dagegen divergiert.
Zunächst bilden wir mit der n-ten Partialsumme
sn ¼ 1 þ q1 þ q2 þ q3 þ . . . þ qn1
die Differenz s n q s n und erhalten daraus eine einfache Formel für den Summenwert von s n :
9
=
sn ¼ 1 þ q1 þ q2 þ q3 þ . . . þ qn2 þ qn1
q sn ¼
q1 þ q2 þ q3 þ . . . þ qn2 þ qn1 þ qn ;
sn q sn ¼ 1 qn
s n ð1 qÞ ¼ 1 q n
sn ¼
1 qn
1q
ðq 6¼ 1Þ
(die jeweils grau markierten untereinander stehenden Summanden heben sich bei
der Differenzbildung jeweils auf).
2)
Eine unendliche Reihe heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant
ist. Die hier vorliegende Reihe besitzt den Quotienten q.
1 Unendliche Reihen
575
Die Folge der Partialsummen s n besitzt dann für j q j < 1 den Grenzwert
1 qn
1
lim ð1 q n Þ ¼
¼
1 q n!1
n!1
n!1 1 q
1
1
1
1 lim q n ¼
ð1 0Þ ¼
¼
1q
1q
1q
n!1
s ¼ lim s n ¼ lim
da in diesem Fall lim q n ¼ 0 ist. Für j q j 1 dagegen divergiert die Zahlenn!1
folge hq n i. Die unendliche geometrische Reihe besitzt somit für j q j < 1 den
Summenwert
1
X
qn1 ¼ 1 þ q1 þ q2 þ . . . þ qn1 þ . . . ¼
n¼1
1
1q
Zahlenbeispiel für q ¼ 1=3
0 1 2
n1
1 n1
X
1
1
1
1
1
¼
þ
þ
þ ... þ
þ ... ¼
3
3
3
3
3
n¼1
1
1
¼ 1þ
þ
þ ... þ
3
9
(2)
n1
1
þ ... ¼
3
1
1
1
3
¼
1
3
¼
2
2
3
Auf eine geometrische Reihe stößt man auch bei der Lösung der folgenden Aufgabe: Aus Halbkreisen soll, wie in Bild VI-1 dargelegt, eine Spirale gebildet werden, wobei die Radien von Halbkreis zu Halbkreis um jeweils 20 % abnehmen.
Welche Gesamtlänge L besitzt diese aus unendlich vielen Halbkreisen gebildete
Spirale, wenn der Radius des 1. Halbkreises R ist?
1. Halbkreis
3. Halbkreis
5. Halbkreis
4. Halbkreis
2. Halbkreis
Bild VI-1 Zur Längenberechnung einer Spirale, zusammengesetzt aus 1 vielen Halbkreisen
576
VI Potenzreihenentwicklungen
Lösung: Die ersten n Halbkreise haben der Reihe nach folgende Längen:
L1 ¼ p R ,
L 2 ¼ p 0,8 R ¼ 0,8 p R ,
L 3 ¼ 0,8 p 0,8 R ¼ 0,8 2 p R,
. . . , L n ¼ 0,8 n 1 p R
Damit beträgt die Gesamtlänge der ersten n Halbkreise ðwir bezeichnen diese
Partialsumme mit L ðnÞÞ:
L ðnÞ ¼ L 1 þ L 2 þ L 3 þ . . . þ L n ¼
¼ p R þ 0,8 p R þ 0,8 2 p R þ . . . þ 0,8 n 1 p R ¼
¼ p R ð1 þ 0,8 þ 0,8 2 þ . . . þ 0,8 n 1 Þ ¼ p R n
X
0,8 n 1
k¼1
Vergrößert man die Anzahl n der Halbkreise beliebig, d. h. lässt man n ! 1
laufen, so entsteht eine geometrische Reihe (Quotient zweier aufeinander folgender
Reihenglieder: q ¼ 0,8):
p R ð1 þ 0,8 þ 0,8 2 þ . . . þ 0,8 n 1 þ . . .Þ ¼ p R 1
X
0,8 n 1
n¼1
Der Summenwert dieser Reihe entspricht der gesuchten Länge L der Spirale:
L ¼ p R ð1 þ 0,8 þ 0,8 2 þ . . . þ 0,8 n 1 þ . . .Þ ¼ p R 1
¼ 5pR
1 0,8
Die Spirale hat also, obwohl aus unendlich vielen Halbkreisen zusammengesetzt,
eine endliche Länge!
(3)
Wir zeigen, dass die unendliche Reihe
1
X
n ¼ 1 þ 2 þ 3 þ ... þ n þ ...
n¼1
bestimmt divergent ist. Die für die Grenzwertbildung benötigte n-te Partialsumme
s n kann dabei nach der Formel
sn ¼
n
X
k ¼ 1 þ 2 þ 3 þ ... þ n ¼
k¼1
n ðn þ 1Þ
2
berechnet werden (diese Formel für die Summe der ersten n positiven ganzen
Zahlen haben wir der Formelsammlung entnommen ! Kap. I, Abschnitt 3.4).
Beim Grenzübergang n ! 1 erhalten wir hieraus:
s ¼
1
X
n¼1
n ¼ lim s n ¼ lim
n!1
n!1
n ðn þ 1Þ
¼ 1
2
Die Reihe ist somit –– wie behauptet –– bestimmt divergent.
&
1 Unendliche Reihen
577
1.2.3 ber den Umgang mit unendlichen Reihen
Die formale (symbolische) Schreibweise einer unendlichen Reihe in Form einer Summe
aus unendlich vielen Summanden führt häufig zu Missverständnissen. Eine unendliche
Reihe darf nämlich nicht als eine Erweiterung des Summenbegriffes von endlich vielen
Summanden auf unendlich viele Summanden aufgefasst werden! Denn die für endliche
Summen (d. h. Summen mit endlich vielen Summanden) gültigen Rechenregeln gelten
im Allgemeinen nicht für unendliche Reihen. Bei einer (endlichen) Summe ist der Summenwert unabhängig von der Reihenfolge der Summanden (diese dürfen bekanntlich beliebig umgestellt werden) und auch unabhängig davon, ob und wie Klammern gesetzt
werden 3). Bei einer unendlichen Reihe kann sich jedoch der Summenwert der Reihe
(sofern er überhaupt vorhanden ist) ändern, wenn man z. B. die Reihenfolge der Glieder
verändert oder Glieder durch Klammern zusammenfasst.
Ein einfaches Beispiel soll diese wichtige Aussage verdeutlichen. Wir unterstellen zunächst, dass die für (endliche) Summen geltenden Rechenregeln auch für unendliche
Reihen (unendliche Summen) gültig sind. Dann aber müsste der Summenwert der unendlichen Reihe
1 1 þ 1 1 þ 1 1 þ ...
unabhängig vom eingeschlagenen Rechenweg sein 4). Es bieten sich beispielsweise folgende Rechenvarianten an:
1. Variante: Wir setzen wie folgt Klammern:
ð1 1Þ þ ð1 1Þ þ ð1 1Þ þ . . . ¼ 0 þ 0 þ 0 þ . . . ¼ 0
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
0
0
0
Der Summenwert der Reihe wäre somit s ¼ 0, da alle Klammern verschwinden.
2. Variante: Wir beginnen mit der Klammerbildung erst nach dem 1. Glied:
1 þ ð 1 þ 1Þ þ ð 1 þ 1Þ þ . . . ¼ 1 þ 0 þ 0 þ . . . ¼ 1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
0
Wiederum verschwinden alle Klammern, die Reihe hätte damit den Summenwert s ¼ 1.
Fazit: Wir erhalten also –– je nach dem eingeschlagenen Rechenweg –– unterschiedliche
Ergebnisse!
Daraus folgern wir:
Die bekannten Rechenregeln für endliche Summen (endliche Reihen) gelten im
Allgemeinen nicht für unendliche Reihen (unendliche Summen).
3)
4)
Zur Erinnerung: Die Addition ist eine kommutative und assoziative Rechenoperation (siehe Kap. I, Abschnitt 2.1).
Es handelt sich hier um eine sog. alternierende Reihe, bei der die Glieder laufend ihr Vorzeichen ändern.
Alle Glieder haben hier den gleichen Betrag (¼ 1).
578
VI Potenzreihenentwicklungen
1.3 Konvergenzkriterien
Bei einer unendlichen Reihe ergeben sich automatisch zwei Fragestellungen:
1. Ist die vorliegende unendliche Reihe konvergent, d. h. besitzt sie einen (endlichen)
Summenwert oder ist sie divergent 5)?
2. Welchen Summenwert besitzt die unendliche Reihe im Falle der Konvergenz?
Zur 1. Fragestellung: Die Frage nach dem Konvergenzverhalten einer Reihe lässt sich
in der Regel mit Hilfe von sog. Konvergenzkriterien beantworten. Sie ermöglichen eine
Entscheidung darüber, ob eine vorliegende unendliche Reihe konvergiert oder divergiert
(siehe hierzu die in den nächsten Abschnitten besprochenen Kriterien).
Zur 2. Fragestellung: Der Summenwert einer konvergenten unendlichen Reihe lässt sich
nur in wenigen Fällen exakt bestimmen, meist leider nur näherungsweise unter erheblichem Rechenaufwand und mit Unterstützung von Computern. Der Summenwert wird
dabei durch eine Partialsumme angenähert (Abbruch der Reihe, sobald die gewünschte
Genauigkeit erreicht ist).
Notwendiges Konvergenzkriterium
Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe
1
X
a n ist die Bedingung
n¼1
lim a n ¼ 0
n!1
ðVI-16Þ
notwendig, nicht aber hinreichend 6). Mit anderen Worten: Damit die unendliche Reihe
konvergiert, müssen die Reihenglieder diese Bedingung erfüllen. Jedoch darf man aus
lim a n ¼ 0 keineswegs folgern, dass die unendliche Reihe konvergiert. Es gibt Rein!1
hen, die die Bedingung (VI-16) erfüllen und trotzdem divergieren. Eine Reihe jedoch,
die das notwendige Konvergenzkriterium (VI-16) nicht erfüllt, kann nicht konvergent
sein und ist daher divergent. Mit einem notwendigen Konvergenzkriterium kann also
nur die Divergenz, nicht aber die Konvergenz einer unendlichen Reihe festgestellt werden!
Wir erläutern dieses Kriterium an zwei einfachen Beispielen.
&
Beispiele
(1)
Sowohl die geometrische Reihe
1
X
0,2 n 1 ¼ 1 þ 0,2 1 þ 0,2 2 þ . . . þ 0,2 n 1 þ . . .
n¼1
5)
6)
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen sind in der Regel nur konvergente Reihen von Bedeutung.
Diese Bedingung besagt, dass die Reihenglieder eine sog. Nullfolge bilden.
1 Unendliche Reihen
579
als auch die harmonische Reihe
1
X
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ ...
n
2
3
n
n¼1
erfüllen das notwendige Konvergenzkriterium (VI-16):
lim 0,2 n 1 ¼ 0
bzw:
n!1
1
¼ 0
n
lim
n!1
Aber nur die geometrische Reihe ist konvergent, d. h. besitzt einen Summenwert,
wie wir aus dem einführenden Beispiel aus Abschnitt 1.1 bereits wissen (der Summenwert ist s ¼ 1,25). Die harmonische Reihe dagegen ist divergent, wie man
zeigen kann (auf den Beweis wollen wir verzichten). Die Bedingung (VI-16) reicht
also für die Konvergenz einer Reihe nicht aus.
(2)
Die unendliche Zahlenreihe
2,1 þ 2,01 þ 2,001 þ 2,0001 þ . . .
mit dem Bildungsgesetz
a n ¼ 2 þ 0,1 n
ðn 2 N*Þ
ist divergent, da die Reihenglieder das für die Konvergenz notwendige Kriterium
(VI-16) nicht erfüllen. Denn es gilt:
lim a n ¼ lim ð2 þ 0,1 n Þ ¼ 2 þ lim 0,1 n ¼ 2 þ 0 ¼ 2 6¼ 0
n!1
n!1
n!1
Die Reihenglieder bilden also keine Nullfolge.
&
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit den wichtigsten hinreichenden Konvergenzkriterien.
1.3.1 Quotientenkriterium
Bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer unendlichen Reihe erweist sich
das folgende als Quotientenkriterium bezeichnete Kriterium als besonders geeignet:
Quotientenkriterium
Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe
n 2 N* die Bedingung
anþ1 ¼ q < 1
lim an n!1
1
X
a n mit a n 6¼ 0 für alle
n¼1
so ist die Reihe konvergent. Ist aber q > 1, so ist die Reihe divergent.
ðVI-17Þ
580
VI Potenzreihenentwicklungen
Anmerkungen
(1)
Für q ¼ 1 versagt das Quotientenkriterium, d. h. eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz ist mit diesem Kriterium nicht möglich. Die Reihe kann also
konvergieren oder auch divergieren. In einem solchen Fall muss das Konvergenzverhalten der Reihe mit Hilfe anderer Kriterien untersucht werden.
(2)
Das Quotientenkriterium liefert eine hinreichende Bedingung für die Reihenkonvergenz. Sie ist jedoch nicht notwendig, d. h. es gibt Reihen, für die der Grenzwert
anþ1 nicht vorhanden ist und die trotzdem konvergieren.
lim a n!1
n
(3)
&
Ist die Konvergenzbedingung (VI-17) erfüllt, so ist die unendliche Reihe sogar absolut konvergent.
Beispiele
(1)
Wir zeigen anhand des Quotientenkriteriums, dass die unendliche Reihe
1
X
n¼1
1
1
1
1
1
1
¼
þ
þ
þ ... þ
þ
þ ...
ð2 nÞ!
2!
4!
6!
ð2 nÞ!
ð2 n þ 2Þ!
konvergiert. Mit
an ¼
1
ð2 nÞ!
und
anþ1 ¼
1
ð2 n þ 2Þ!
liefert das Kriterium (VI-17) den folgenden Wert für den Grenzwert q:
1
anþ1 ð2 nÞ!
¼ lim ð2 n þ 2Þ! ¼ lim
q ¼ lim ¼
ð2
n þ 2Þ!
a
1
n!1
n!1
n!1
n
ð2 nÞ!
¼ lim
n!1
ð2 nÞ!
1
¼ 0
¼ lim
ð2 nÞ! ð2 n þ 1Þ ð2 n þ 2Þ n ! 1 ð2 n þ 1Þ ð2 n þ 2Þ
Dabei haben wir von der „Zerlegung“
ð2 n þ 2Þ! ¼ ð2 nÞ! ð2 n þ 1Þ ð2 n þ 2Þ
Gebrauch gemacht (Bild VI-2). Die Reihe ist daher wegen q ¼ 0 < 1 konvergent, besitzt also einen Summenwert.
1 Unendliche Reihen
581
(2 n)!
1
·
3
2
(2 n + 1) · (2 n + 2)
2n
2n + 1
2n + 2
x
(2 n + 2)!
Bild VI-2 Zerlegung des Ausdrucks ð2 n þ 2Þ! in ein Produkt mit dem Faktor ð2 nÞ!
(2)
Das Quotientenkriterium versagt bei der harmonischen Reihe
1
X
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ
þ ...
n
2
3
n
nþ1
n¼1
Mit a n ¼
1
1
und a n þ 1 ¼
erhalten wir nämlich nach (VI-17):
n
nþ1
1
anþ1 n
1
n
þ
1
¼ lim
¼ lim
¼ lim
¼ 1
q ¼ lim an
1
1
n!1
n!1
n!1 n þ 1
n!1
1þ
n
n
Mit diesem Kriterium lässt sich das Konvergenzverhalten der harmonischen Reihe
nicht feststellen (die Reihe ist –– wie bereits erwähnt –– divergent).
(3)
Die unendliche Reihe
1
X
n¼1
1
1
1
1
1
¼
þ
þ
þ ... þ
þ ...
n ðn þ 1Þ
12
23
34
n ðn þ 1Þ
ist konvergent, obwohl auch hier das Quotientenkriterium (VI-17) versagt:
1
anþ1 n ðn þ 1Þ
ðn
þ
1Þ
ðn þ 2Þ
¼ lim
q ¼ lim ¼ lim
¼
an
1
n!1
n!1
n ! 1 ðn þ 1Þ ðn þ 2Þ
n ðn þ 1Þ
¼ lim
n!1
n
¼ lim
nþ2
n!1
1
2
1þ
n
¼ 1
(Faktor n þ 1 kürzen, dann Zähler und Nenner gliedweise durch n dividieren).
Um die Konvergenz der Reihe nachzuweisen, zerlegen wir das n-te Reihenglied
zunächst in zwei Summanden (Partialbruchzerlegung). Der Ansatz lautet:
1
A
B
ðn þ 1Þ A þ n B
¼
þ
¼
n ðn þ 1Þ
n
nþ1
n ðn þ 1Þ
582
VI Potenzreihenentwicklungen
Somit gilt:
ðn þ 1Þ A þ n B ¼ n A þ A þ n B ¼ ðA þ BÞ n þ A ¼ 1
n ist hier eine diskrete Variable mit n 2 N*. Wir ergänzen auf der rechten Seite
den (verschwindenden) Summanden 0 n ¼ 0 und erhalten dann durch einen
Koeffizientenvergleich 2 Gleichungen für die Unbekannten A und B:
ðA þ BÞ n þ A ¼ 0 n þ 1
)
A þ B ¼ 0,
A ¼ 1
Somit lautet die Lösung: A ¼ 1, B ¼ 1. Damit können wir die Reihe auch
wie folgt schreiben:
1
1 X
X
1
1
1
¼
n ðn þ 1Þ
n
nþ1
n¼1
n¼1
Die ersten n Partialsummen lauten dann:
1
1
1
¼ 1
1
2
2
1
1
1
1
1
s2 ¼
þ
¼ 1
1
2
2
3
3
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
1
1
1
1
1
1
1
s3 ¼
þ
þ
¼ 1
1
2
2
3
3
4
4
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
0
..
.
s1 ¼
sn ¼
1
1
1
2
þ
1
1
2
3
þ ... þ
1
1
n1
n
þ
1
1
¼
n
nþ1
1
1
1
1
1
1
1
þ
þ ... þ
þ
¼
2
2
3
n1
n
n
nþ1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
0
1
¼ 1
ðf ür alle n 2 N*Þ
nþ1
1 1 1
1
, , , ...,
In der n-ten Partialsumme s n treten die „inneren“ Glieder
2 3 4
n
jeweils doppelt, aber mit unterschiedlichem Vorzeichen auf und heben sich daher auf.
Die Partialsummenfolge hs n i konvergiert für n ! 1 gegen den Grenzwert 1:
1
¼ 1
lim s n ¼ lim 1 nþ1
n!1
n!1
¼ 1
Die vorliegende Reihe ist somit konvergent mit dem Summenwert s ¼ 1.
&
1 Unendliche Reihen
583
1.3.2 Wurzelkriterium
Ein weiteres nützliches Konvergenzkriterium ist das folgende sog. Wurzelkriterium.
Wurzelkriterium
Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
lim n j a n j ¼ q < 1
1
X
a n die Bedingung
n¼1
n!1
ðVI-18Þ
so ist die Reihe konvergent. Ist aber q > 1, so ist die Reihe divergent.
Anmerkungen
&
(1)
Für q ¼ 1 versagt das Wurzelkriterium.
(2)
Die Bedingung (VI-18) ist hinreichend, nicht aber notwendig für die Konvergenz
einer Reihe.
(3)
Ist die Bedingung (VI-18) erfüllt, so ist die unendliche Reihe sogar absolut konvergent.
Beispiel
Wir zeigen mit Hilfe des Wurzelkriteriums, dass die unendliche Reihe
1
X
1
1
1
1
1
¼ 1 þ 2 þ 3 þ ... þ n þ ...
n
n
1
2
3
n
n¼1
1
liefert das Kriterium (VI-18) den folgenden Wert für q:
nn
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
ﬃﬃﬃﬃﬃ
n
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1
n 1
n
j a n j ¼ lim
¼ 0
q ¼ lim
¼ lim p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ lim
n
n
n
n
n!1
n!1
n!1
n!1 n
n
konvergiert. Mit a n ¼
Aus q ¼ 0 < 1 folgt die Konvergenz der vorliegenden Reihe, die somit einen (endlichen, aber noch unbekannten) Summenwert besitzt (Näherungswerte erhält man durch
Aufaddieren der Reihenglieder und Abbruch nach Erreichen der gewünschten Genauigkeit).
&
1.3.3 Vergleichskriterien
Das (noch unbekannte) Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe lässt sich häufig
auch durch einen Vergleich mit einer anderen Reihe, deren Konvergenzverhalten bekannt
ist, bestimmen. Kriterien dieser Art werden daher als Vergleichskriterien bezeichnet. Von
Bedeutung sind dabei das Majoranten- und das Minorantenkriterium (ohne Beweis).
584
VI Potenzreihenentwicklungen
Vergleichskriterien für unendliche Reihen mit positiven Gliedern
1
X
Das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe
a n mit positiven Gliedern
n¼1
lässt sich oft mit Hilfe einer geeigneten (konvergenten bzw. divergenten) Vergleichs1
X
b n nach den folgenden Kriterien bestimmen:
reihe
n¼1
Majorantenkriterium
Die vorliegende Reihe konvergiert, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Vergleichsreihe ist konvergent.
2. Zwischen den Gliedern beider Reihen besteht die Beziehung (Ungleichung)
an bn
ðf ür alle n 2 N*Þ
ðVI-19Þ
Die (konvergente) Vergleichsreihe wird als Majorante oder Oberreihe bezeichnet.
Minorantenkriterium
Die vorliegende Reihe divergiert, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Vergleichsreihe ist divergent.
2. Zwischen den Gliedern beider Reihen besteht die Beziehung (Ungleichung)
an bn
ðf ür alle n 2 N*Þ
ðVI-20Þ
Die (divergente) Vergleichsreihe wird als Minorante oder Unterreihe bezeichnet.
Anmerkungen
&
(1)
Es genügt, wenn die Bedingung (VI-19) bzw. (VI-20) von einem gewissen n 0 an,
d. h. erst für alle Reihenglieder mit n n 0 erfüllt wird.
(2)
Mit dem Majorantenkriterium kann die Konvergenz, mit dem Minorantenkriterium
die Divergenz einer Reihe festgestellt werden.
Beispiele
(1)
Wir zeigen, dass die unendliche Reihe
1
X
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ
þ ... þ
þ ...
n
!
2
!
3
!
4
!
n
!
n¼1
konvergent ist. Eine konvergente Majorante zu dieser Reihe lässt sich wie folgt
finden.
1 Unendliche Reihen
585
Das n-te Glied der Reihe kann auch als Produkt der Kehrwerte aller natürlichen
Zahlen von 1 bis n dargestellt werden:
an ¼
1
1
1 1 1 1
1
¼
¼
... n!
1 2 3 4 ... n
1 2 3 4
n
Wir verändern dieses Produkt jetzt wie folgt: Die ersten beiden Faktoren werden
1
beibehalten, alle weiteren durch die größere Zahl
ersetzt. Es entsteht dann die
2
Ungleichung
1
1 1
1 1
1
1
1 1
1
¼
...
1
...
¼
n!
1 2
3 4
n
2
2 2
2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
" "
"
diese ðn 2Þ
Faktoren werden
durch 1/2 ersetzt
n1
1
2
ðn 1Þ Faktoren
Somit erhalten wir für das n-te Reihenglied die Abschätzung (Ungleichung)
an ¼
1
n!
n1
1
2
ðf ür alle n 2 N*Þ
Dabei gilt das Gleichheitszeichen nur für die ersten beiden Glieder. Ab dem
3. Glied gilt sogar
an ¼
1
<
n!
n1
1
2
ðf ür alle n 3Þ
Dies aber bedeutet, dass die Glieder der Reihe vom 3. Glied an kleiner sind als die
entsprechenden Glieder der konvergenten geometrischen Reihe
2 3
n1
1 n1
X
1
1
1
1
1
þ
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ ...
2
2
2
2
2
n¼1
(geometrische Reihe für q ¼ 1=2 mit dem Summenwert s ¼ 2; siehe hierzu
Beispiel (1) in Abschnitt 1.2.2). Damit ist die Konvergenzbestimmung (VI-19) des
Majorantenkriteriums erfüllt. Die geometrische Reihe für q ¼ 1=2 ist somit eine
Majorante der vorliegenden Reihe und diese daher konvergent (sie besitzt im brigen den Summenwert s ¼ e 1 1,7183.
586
(2)
VI Potenzreihenentwicklungen
Es lässt sich relativ leicht zeigen, dass die unendliche Reihe
1
X
1
1
1
1
1
pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1 þ pﬃﬃﬃﬃﬃ þ pﬃﬃﬃﬃﬃ þ pﬃﬃﬃﬃﬃ þ . . . þ pﬃﬃﬃﬃﬃ þ . . .
n
n
3
2
4
n¼1
pﬃﬃﬃﬃﬃ
divergent ist. Für jedes natürliche n 1 gilt
n n und somit (nach Kehrwertbildung) die Ungleichung
1
1
pﬃﬃﬃﬃﬃ n
n
ðf ür alle n 2 N*Þ
Vom 2. Reihenglied an sind die Glieder der vorliegenden Reihe sogar größer als
die entsprechenden Glieder der harmonischen Reihe
1
X
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ
þ ... þ
þ ...
n
2
3
4
n
n¼1
Die Bedingung (VI-20) des Minorantenkriteriums ist somit erfüllt. Aus der (bekannten) Divergenz der harmonischen Reihe folgt dann die Divergenz der vorlie&
genden Reihe.
1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen
Wir beschäftigen uns nun mit alternierenden Reihen, d. h. Reihen, deren Glieder
abwechselnd positiv und negativ sind. Eine solche Reihe ist in der Form
1
X
ð 1Þ n þ 1 a n ¼ a 1 a 2 þ a 3 a 4 þ . . .
ðVI-21Þ
n¼1
mit a n > 0 darstellbar. Der Faktor ð 1Þ n þ 1 ist dabei abwechselnd positiv und negativ und bestimmt somit das Vorzeichen der Glieder. Es wird daher auch als Vorzeichenfaktor bezeichnet.
Für alternierende Reihen existiert ein spezielles von Leibniz stammendes Konvergenzkriterium. Es lautet (ohne Beweis):
Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen
Eine alternierende Reihe vom Typ
1
X
ð 1Þ n þ 1 a n ¼ a 1 a 2 þ a 3 a 4 þ . . .
ðVI-22Þ
n¼1
mit a n > 0 für alle n 2 N* ist konvergent, wenn die Reihenglieder die folgenden Bedingungen erfüllen:
1:
2:
a1 > a2 > a3 > . . . > an > anþ1 > . . .
lim a n ¼ 0
n!1
ðVI-23Þ
1 Unendliche Reihen
587
Anmerkung
Eine alternierende Reihe ist demnach konvergent, wenn die Beträge ihrer Glieder eine
monoton fallende Nullfolge bilden (hinreichende Konvergenzbedingung).
&
Beispiele
(1)
Die alternierende Reihe
1
X
ð 1Þ n þ 1 n¼1
1
1
1
1
1
¼
þ
þ ...
n!
1!
2!
3!
4!
ist konvergent, da die Beträge ihrer Glieder eine monoton fallende Nullfolge bilden
und somit das hinreichende Leibnizsche Konvergenzkriterium (VI-23) erfüllen:
1
1
1
1
1
1
>
>
>
> ... >
>
> ...
1!
2!
3!
4!
n!
ðn þ 1Þ!
lim a n ¼ lim
n!1
(2)
n!1
1
1
¼ lim
¼ 0
n!
1
2
3
... n
n!1
Auch die sog. alternierende harmonische Reihe
1
X
ð 1Þ n þ 1 n¼1
1
1
1
1
¼ 1
þ
þ ...
n
2
3
4
konvergiert, da sie die Konvergenzbedingungen (VI-23) erfüllt:
1
1
1
1
1
>
>
> ... >
>
> ...
2
3
4
n
nþ1
1 >
lim a n ¼ lim
n!1
(3)
n!1
1
¼ 0
n
Die alternierende geometrische Reihe
1
X
ð 1Þ n þ 1 ¼ 1 1 þ 1 1 þ . . .
n¼1
dagegen ist divergent, da sie keine der beiden im Leibnizschen Konvergenzkriterium
(VI-23) genannten Bedingungen erfüllt:
9
a n ¼ 1 f ür alle n 2 N* >
=
) Die unendliche Zahlenfolge ha n ¼ 1i
lim a n ¼ lim 1 ¼ 1 >
ist keine monoton fallende Nullfolge!
;
n!1
n!1
&
588
VI Potenzreihenentwicklungen
1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen
Konvergente Reihen besitzen die folgenden bemerkenswerten Eigenschaften, die wir
ohne Beweis anführen.
Eigenschaften konvergenter Reihen
1. Eine konvergente Reihe bleibt konvergent, wenn man endlich viele Glieder weglässt oder hinzufügt oder abändert.
Dabei kann sich jedoch der Summenwert der Reihe ändern.
Klammern dagegen dürfen im Allgemeinen nicht weggelassen werden, ebenso
wenig darf die Reihenfolge der Glieder verändert werden.
2. Aufeinander folgende Glieder einer konvergenten Reihe dürfen durch eine Klammer zusammengefasst werden, wobei der Summenwert der Reihe erhalten
bleibt.
3. Eine konvergente Reihe mit ausschließlich nichtnegativen Gliedern (d. h.
a n 0 für alle n 2 N*) ist stets absolut konvergent.
4. Rechenregeln für konvergente Reihen
a) Eine konvergente Reihe darf gliedweise mit einer Konstanten c multipliziert
werden, wobei sich auch der Summenwert s der Reihe mit dieser Konstanten multipliziert:
c
1
X
1
X
an ¼
n¼1
c an ¼ c s
ðVI-24Þ
n¼1
b) Zwei konvergente Reihen mit den Summenwerten s a und s b dürfen gliedweise addiert bzw. subtrahiert werden, wobei sich die Summenwerte addieren
bzw. subtrahieren:
1
X
an þ
n¼1
1
X
bn ¼
n¼1
1
X
n¼1
ða n þ
b nÞ ¼ s a þ
sb
ðVI-25Þ
Für absolut konvergente Reihen gelten sogar (sinngemäß) die gleichen Rechenregeln wie
für endliche Summen! Die Glieder einer solchen Reihe dürfen beliebig angeordnet werden, eine solche Umordnung hat keinen Einfluss auf den Summenwert der Reihe. Für
ein Produkt zweier absolut konvergenter Reihen mit den Summenwerten s a und s b
gilt:
1
X
n¼1
!
an
1
X
n¼1
!
bn
¼
1
X
n¼1
cn ¼ sa sb
ðVI-26Þ
1 Unendliche Reihen
589
Das Ausmultiplizieren erfolgt gliedweise wie bei endlichen Summen und kann z. B. nach
dem folgenden Schema erfolgen:
b1
b2
b3
...
a1
a1 b1
a1 b2
a1 b3
...
a2
a2 b1
a2 b2
a2 b3
...
a3
a3 b1
a3 b2
a3 b3
...
..
.
..
.
..
.
..
.
a 1 b 1 þ ða 1 b 2 þ a 2 b 1 Þ þ ða 1 b 3 þ a 2 b 2 þ a 3 b 1 Þ þ . . .
|ﬄ{zﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
c1
c2
c3
&
Beispiel
In Abschnitt 1.3.4 haben wir bereits gezeigt, dass die alternierende harmonische Reihe
konvergent ist. Wir dürfen daher aufeinander folgende Reihenglieder durch eine Klammer zu einem (neuen) Glied zusammenfassen. Wir erhalten auf diese Weise eine neue
Darstellungsform der Reihe:
1
X
ð 1Þ n þ 1 n¼1
1
1
1
1
1
1
¼ 1
þ
þ
þ ... ¼
n
2
3
4
5
6
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
1
1
1
1
1
¼ 1
þ
þ
þ ... ¼
2
3
4
5
6
21
43
65
þ
þ
þ ... ¼
¼
12
34
56
¼
1
1
1
þ
þ
þ ... ¼
12
34
56
Das Bildungsgesetz dieser Reihe lautet offensichtlich:
an ¼
1
ð2 n 1Þ 2 n
ðf ür alle n 2 N*Þ
Somit gilt:
1
X
n¼1
ð 1Þ n þ 1 1
1
X
1
1
1 X
1
¼
¼
n
ð2
n
1Þ
2
n
2
ð2
n
1Þ n
n¼1
n¼1
Der Summenwert der alternierenden harmonischen Reihe hat sich dabei nicht geändert.
Wir werden in Abschnitt 3.2.2 zeigen, dass die Reihe den Summenwert s ¼ ln 2 besitzt
(diese Reihe entsteht, wenn man die Logarithmusfunktion ln x um die Stelle x 0 ¼ 1 in
eine Taylor-Reihe entwickelt und für die Variable x dann den Wert x ¼ 2 einsetzt).
&
590
VI Potenzreihenentwicklungen
2 Potenzreihen
2.1 Definition einer Potenzreihe
Potenzreihen unterscheiden sich von den bisher behandelten Zahlenreihen dadurch, dass
ihre Glieder Potenzen und somit Funktionen einer unabhängigen Variablen x darstellen.
Definition: Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ
P ðxÞ ¼
1
X
an xn ¼ a0 þ a1 x1 þ a2 x2 þ . . . þ an xn þ . . .
n¼0
ðVI-27Þ
Die reellen Zahlen a 0 , a 1 , a 2 , . . . heißen Koeffizienten der Potenzreihe.
Zu einer etwas allgemeineren Darstellungsform der Potenzreihen gelangt man durch die
Definitionsvorschrift
P ðxÞ ¼
1
X
a n ðx x 0 Þ n ¼
n¼0
¼ a 0 þ a 1 ðx x 0 Þ 1 þ a 2 ðx x 0 Þ 2 þ . . . þ a n ðx x 0 Þ n þ . . .
ðVI-28Þ
Die Stelle x 0 heißt „Entwicklungspunkt“ oder auch „Entwicklungszentrum“. Für
x 0 ¼ 0 erhalten wir die in den Anwendungen meist auftretende spezielle Form
1
X
a n x n („Entwicklung um den Nullpunkt“). Die allgemeine Form (VI-28) kann dabei
n¼0
stets mit Hilfe der formalen Substitution z ¼ x x 0 auf die spezielle Form (VI-27)
zurückgeführt werden, so dass wir uns im Wesentlichen auf diesen Potenzreihentyp beschränken können.
&
Beispiele
(1)
P ðxÞ ¼
1
X
xn ¼ 1 þ x1 þ x2 þ ... þ xn þ ...
n¼0
(2)
P ðxÞ ¼
(3)
P ðxÞ ¼
1
X
xn
x1
x2
xn
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ ...
n!
1!
2!
n!
n¼0
1
X
n¼1
ð 1Þ n þ 1 ðx 1Þ n
ðx 1Þ 1
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3
¼
þ
þ ...
n
1
2
3
&
2 Potenzreihen
591
2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
Bei einer Potenzreihe P ðxÞ ¼
1
X
a n x n hängt der Wert eines jeden Gliedes und damit
n¼0
auch der Summenwert (falls er überhaupt vorhanden ist) noch vom Wert der unabhängigen Variablen x ab. Wir beschäftigen uns daher in diesem Abschnitt mit dem Konvergenzverhalten einer Potenzreihe und untersuchen insbesondere, für welche x-Werte die
Reihe konvergiert.
Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Nach den Ausführungen in Abschnitt 1.2.2 konvergiert eine Potenzreihe P ðxÞ definitionsgemäß an einer Stelle x 1 , wenn die Partialsummenfolge
P 0 ðx 1 Þ ¼ a 0
P 1 ðx 1 Þ ¼ a 0 þ a 1 x 1
P 2 ðx 1 Þ ¼ a 0 þ a 1 x 1 þ a 2 x 12
..
.
P n ðx 1 Þ ¼ a 0 þ a 1 x 1 þ a 2 x 12 þ . . . þ a n x 1n
..
.
ðVI-29Þ
einem Grenzwert, dem sog. Summenwert P ðx 1 Þ, zustrebt. Besitzt diese Folge jedoch
keinen Grenzwert, so ist die Potenzreihe an der Stelle x 1 divergent. Wir definieren daher:
Definition: Die Menge aller x-Werte, für die eine Potenzreihe
giert, heißt Konvergenzbereich der Potenzreihe.
1
X
a n x n konver-
n¼0
Für x ¼ 0 konvergiert jede Potenzreihe und besitzt dort den Summenwert P ð0Þ ¼ a 0 .
Es gibt Potenzreihen, die nur für x ¼ 0 konvergieren und solche, die für alle x 2 R
konvergieren. Beispiele hierzu werden wir später noch kennenlernen. Allgemein lässt sich
zeigen, dass eine Potenzreihe stets in einem bestimmten, zum Nullpunkt symmetrisch
angeordneten Intervall j x j < r konvergiert und außerhalb dieses Intervalls divergiert,
wobei wir zunächst einmal vom Konvergenzverhalten der Reihe in den beiden Randpunkten j x j ¼ r absehen wollen (Bild VI-3).
Divergenz
?
Konvergenz
x1 = – r
Bild VI-3 Konvergenzbereich einer Potenzreihe
0
?
x2 = r
Divergenz
x
592
VI Potenzreihenentwicklungen
Geometrische Deutung des Konvergenzbereiches
Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe lässt sich geometrisch wie folgt konstruieren.
Wir schlagen um den Nullpunkt der Zahlengerade (x-Achse) einen Kreis mit dem Radius r, den sog. Konvergenzkreis (Bild VI-3). Er schneidet die Zahlengerade an den
Stellen x 1 ¼ r und x 2 ¼ þ r. Der Konvergenzbereich der Potenzreihe ist dann der
im Innern des Konvergenzkreises liegende Bereich der Zahlengerade. Außerhalb dieses
Bereiches divergiert die Reihe. Der Radius r des Konvergenzkreises heißt daher in diesem Zusammenhang auch Konvergenzradius.
ber das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe in den beiden Randpunkten lassen
sich jedoch keine allgemeingültigen Aussagen machen. Es gibt Potenzreihen, die in
einem der beiden Randpunkte oder sogar in beiden Randpunkten konvergieren, und
solche, die in keinem der beiden Randpunkte konvergieren. Zur Feststellung des
Konvergenzverhaltens in den Randpunkten bedarf es daher stets weiterer Untersuchungen.
ber das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe (Bild VI-3)
Zu jeder Potenzreihe
1
X
a n x n gibt es eine positive Zahl r, Konvergenzradius
n¼0
genannt, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert überall im Intervall j x j < r.
2. Die Potenzreihe divergiert dagegen für j x j > r.
3. ber das Konvergenzverhalten der Potenzreihe in den Randpunkten j x j ¼ r
lassen sich jedoch keine allgemeingültigen Aussagen machen. Es bedarf hierzu weiterer Untersuchungen.
Anmerkungen
(1)
(2)
(3)
Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe besteht somit aus dem Intervall
j x j < r, zu dem gegebenenfalls noch ein oder sogar beide Randpunkte hinzukommen.
Konvergiert eine Potenzreihe nur an der Stelle x ¼ 0, so setzt man r ¼ 0.
Eine beständig, d. h. für alle x 2 R konvergierende Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius r ¼ 1.
Berechnung des Konvergenzradius
Wir wollen nun eine Formel herleiten, mit der wir den Konvergenzradius r einer Po1
X
a n x n berechnen können, wobei wir voraussetzen, dass sämtliche Koeffitenzreihe
n¼0
zienten a n von Null verschieden sind. Nach dem Quotientenkriterium (VI-17) konver-
2 Potenzreihen
593
1
X
giert die Reihe
b n , wenn ihre Glieder die Bedingung
n¼0
bnþ1 < 1
lim b n!1
ðVI-30Þ
n
erfüllen. Mit b n ¼ a n x n und b n þ 1 ¼ a n þ 1 x n þ 1 erhalten wir hieraus die folgende
Konvergenzbedingung für unsere Potenzreihe:
bnþ1 anþ1 xnþ1 anþ1
¼ lim ¼ lim x ¼
lim n
bn
an x
an
n!1
n!1
n!1
anþ1 ¼ j x j lim a n þ 1 < 1
¼ lim j x j ðVI-31Þ
an
an n!1
n!1
Durch Auflösen dieser Ungleichung nach j x j erhalten wir schließlich
1 an 1
¼ r
jxj <
¼ nlim
a n þ 1 ¼ nlim
!1 anþ1 !1 anþ1
lim a an
n
n!1
ðVI-32Þ
wobei wir noch
an
r ¼ lim n!1 a
nþ1
gesetzt haben. Die Potenzreihe
ðVI-33Þ
1
X
a n x n konvergiert somit für j x j < r, d. h. r ist
n¼0
der gesuchte Konvergenzradius der Reihe.
Wir fassen dieses wichtige Ergebnis wie folgt zusammen:
Konvergenzradius einer Potenzreihe (Bild VI-3)
Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe
an r ¼ lim n!1 anþ1
1
X
a n x n lässt sich nach der Formel
n¼0
ðVI-34Þ
berechnen (Voraussetzung: alle Koeffizienten a n 6¼ 0 und der Grenzwert ist vorhanden). Die Reihe konvergiert dann für j x j < r und divergiert für j x j > r
(vgl. hierzu auch Bild VI-3). In den beiden Randpunkten x 1 ¼ r und
x 2 ¼ þ r ist das Konvergenzverhalten der Potenzreihe zunächst unbestimmt. Es
bedarf hier weiterer Untersuchungen.
594
VI Potenzreihenentwicklungen
Anmerkungen
(1)
Der Konvergenzradius lässt sich auch nach der Formel
r ¼
1
p
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
lim n j a n j
ðVI-35Þ
n!1
berechnen, die man aus dem Wurzelkriterium (VI-18) erhält.
(2)
Die Formeln (VI-34) und (VI-35) gelten auch für den Konvergenzradius r einer
1
X
a n ðx x 0 Þ n . Diese Reihe konvergiert
Potenzreihe vom allgemeinen Typ
n¼0
dann für j x x 0 j < r, d. h. im Intervall ðx 0 r, x 0 þ rÞ und divergiert für
j x x 0 j > r, während das Konvergenzverhalten in den beiden Randpunkten
x 1 ¼ x 0 r und x 2 ¼ x 0 þ r zunächst unbestimmt ist (Bild VI-4).
Divergenz
?
x0 – r
?
Konvergenz
x0
Divergenz
x0 + r
Bild VI-4 Konvergenzbereich einer Potenzreihe vom allgemeinen Typ
x
1
X
a n ðx x 0 Þ n
n¼0
&
Beispiele
(1)
Wir untersuchen das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe
1
X
xn ¼ 1 þ x1 þ x2 þ . . . þ xn þ xnþ1 þ . . .
n¼0
Mit a n ¼ 1 und a n þ 1 ¼ 1 erhalten wir für den Konvergenzradius dieser Reihe
nach Formel (VI-34):
an ¼ lim 1 ¼ lim 1 ¼ 1
r ¼ lim n!1 anþ1
n!1 1
n!1
Die geometrische Reihe konvergiert damit für j x j < 1 und divergiert für
j x j > 1. Wir untersuchen jetzt das Konvergenzverhalten der Reihe in den beiden
Randpunkten:
Randpunkt x 1 ¼ 1:
1 1 þ 1 1 þ ...
Randpunkt x 2 ¼ þ 1:
1 þ 1 þ 1 þ 1 þ ...
2 Potenzreihen
595
Beide Zahlenreihen sind divergent. Die erste Reihe wurde bereits im Anschluss an
das Leibnizsche Konvergenzkriterium untersucht und dort als divergent erkannt (siehe
hierzu Abschnitt 1.3.4). Die zweite Reihe besitzt den „ Summenwert “ s ¼ 1 und
ist daher bestimmt divergent. Die geometrische Reihe konvergiert demnach im offenen Intervall 1 < x < 1.
(2)
Der Konvergenzradius der Potenzreihe
1
X
xn
x1
x2
xn
xnþ1
¼ 1þ
þ
þ ... þ
þ
þ ...
n!
1!
2!
n!
ðn þ 1Þ!
n¼0
1
1
beträgt nach Formel (VI-34) mit a n ¼
und a n þ 1 ¼
:
n!
ðn þ 1Þ!
an
r ¼ lim n!1 a
nþ1
¼ lim
n!1
¼ lim
n!1
1
n!
ðn þ 1Þ!
¼ lim
¼
n!
1
n!1
ðn þ 1Þ!
n ! ðn þ 1Þ
¼ lim ðn þ 1Þ ¼ 1
n!
n!1
Die Reihe ist daher beständig konvergent, d. h. sie konvergiert für jedes reelle x.
(3)
Wir untersuchen die Potenzreihe
1
X
ð 1Þ n þ 1 n¼1
ðx 1Þ n
ðx 1Þ 1
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3
¼
þ
þ ...
n
1
2
3
auf Konvergenz. Zunächst bringen wir die Reihe mit Hilfe der Substitution
z ¼ x 1 in die etwas „bequemere“ Form
1
X
ð 1Þ n þ 1 n¼1
zn
z1
z2
z3
¼
þ
þ ...
n
1
2
3
Der Konvergenzradius dieser alternierenden Reihe beträgt dann mit
1
1
a n ¼ ð 1Þ n þ 1 und
a n þ 1 ¼ ð 1Þ n þ 2 n
nþ1
nach Formel (VI-34):
1
ð 1Þ n þ 1 n
¼ lim 1
n!1 nþ1
nþ2
ð 1Þ
nþ1
an
r ¼ lim n!1 a
1
¼ lim
n!1
1
n
1
n
nþ1
1
¼ lim
¼ lim 1 þ
¼ 1
¼ lim
n
n
1
n!1
n!1
n!1
nþ1
1
n
¼
1
þ1
596
VI Potenzreihenentwicklungen
Die Reihe konvergiert daher mit Sicherheit für j z j < 1. Wir untersuchen jetzt
das Konvergenzverhalten in den beiden Randpunkten:
1
1
1
1
Randpunkt z 1 ¼ 1: 1 ... ¼ 1 þ
þ
þ ...
2
3
2
3
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
harmonische Reihe
Die Reihe divergiert für z ¼ 1, da die harmonische Reihe bekanntlich divergiert (siehe hierzu Beispiel (2) aus Abschnitt 1.3.1).
Randpunkt z 2 ¼ þ 1:
1
1
1
þ
þ ...
2
3
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
alternierende
harmonische Reihe
Wir erhalten im rechten Randpunkt Konvergenz, da die alternierende harmonische
Reihe bekanntlich konvergiert (siehe hierzu auch Abschnitt 1.3.4). Damit konvergiert die Potenzreihe für alle z-Werte aus dem Intervall 1 < z 1. Nach
Rücksubstitution ergibt sich daher für die ursprüngliche Potenzreihe der folgende
Konvergenzbereich:
1 < x 1 1
oder
0 < x 2
&
2.3 Eigenschaften der Potenzreihen
Eine Potenzreihe P ðxÞ kann im Innern ihres Konvergenzkreises als eine Funktion der
unabhängigen Variablen x aufgefasst werden, die jedem x aus dem Konvergenzinter1
X
a n x n genau einen Funkvall ð r, rÞ mit Hilfe der Definitionsvorschrift P ðxÞ ¼
n¼0
tionswert zuordnet. Potenzreihen besitzen bemerkenswerte Eigenschaften, von denen wir
an dieser Stelle nur einige besonders wichtige aufzählen wollen:
Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen
1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.
2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches beliebig oft gliedweise differenziert und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.
3. Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der Reihen gliedweise addiert, subtrahiert und miteinander multipliziert werden. Die neuen
Potenzreihen konvergieren dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich
der beiden Ausgangsreihen.
3 Taylor-Reihen
597
Anmerkung
Potenzreihen dürfen somit innerhalb ihres Konvergenzbereiches wie Polynomfunktionen
behandelt werden, d. h. sie dürfen gliedweise addiert, subtrahiert, miteinander multipliziert, differenziert und integriert werden.
&
Beispiel
Aus Abschnitt 2.2 ist bekannt, dass die geometrische Reihe
P ðxÞ ¼ 1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . . þ x n þ . . . ¼
1
X
xn
n¼0
den Konvergenzradius r ¼ 1 besitzt. Dies gilt auch für die durch gliedweise Differentiation bzw. Integration gewonnenen Potenzreihen:
P 0 ðxÞ ¼
d
ð1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . . þ x n þ . . .Þ ¼
dx
¼ 0 þ 1 þ 2 x1 þ 3 x2 þ . . . þ n xn1 þ . . . ¼
¼
1
X
n xn1 ¼
n¼1
ð
1
X
ðn þ 1Þ x n
n¼0
ð
P ðxÞ dx ¼
ð1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . . þ x n þ . . .Þ dx ¼
¼ x1 þ
¼
1
X
n¼0
1 2
1 3
1 4
1
x þ
x þ
x þ ... þ
xnþ1 þ . . . ¼
2
3
4
nþ1
1
X
1
1 n
xnþ1 ¼
x
nþ1
n
n¼1
&
3 Taylor-Reihen
Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass Potenzreihen in vieler Hinsicht ähnlich
einfache Eigenschaften besitzen wie Polynomfunktionen. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass es unter gewissen Voraussetzungen grundsätzlich möglich ist, eine
vorgegebene Funktion f ðxÞ in eine Potenzreihe zu „entwickeln“. Aus einer solchen Reihenentwicklung lassen sich dann durch Abbruch der Reihe einfache Näherungsfunktionen für f ðxÞ in Form von Polynomen gewinnen.
598
VI Potenzreihenentwicklungen
Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion erweist sich in den naturwissenschaftlichtechnischen Anwendungen als ein außerordentlich nützliches mathematisches Hilfsmittel
und wird z. B. bei der Lösung der folgenden Problemstellungen herangezogen:
Annäherung einer Funktion durch eine Polynomfunktion (z. B. durch eine lineare oder
quadratische Funktion)
Näherungsweise Berechnung von Funktionswerten
Herleitung von Näherungsformeln für die „praktische“ Mathematik
Integration einer Funktion durch Potenzreihenentwicklung des Integranden und anschließender gliedweiser Integration
Näherungsweises Lösen von Gleichungen
Auswertung sog. „unbestimmter Ausdrücke“
3.1 Ein einführendes Beispiel
Als einführendes Beispiel betrachten wir die besonders einfach gebaute Potenzreihe
P ðxÞ ¼ 1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . . ¼
1
X
ðVI-36Þ
xn
n¼0
Es handelt sich dabei um die bereits aus den Abschnitten 1.2.2 und 2.2 bekannte geometrische Reihe mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert nur für j x j < 1.
2. Die Reihe besitzt in diesem Konvergenzbereich den „Summenwert“
1
.
1x
Daher gilt im Intervall 1 < x < 1:
1 þ x1 þ x2 þ x3 þ ... ¼
1
1x
ðVI-37Þ
Diese Gleichung lässt sich aber auch als „Gleichheit“ zweier Funktionen interpretieren.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die gebrochenrationale Funktion
1
X
1
, auf der linken Seite die Potenzreihe P ðxÞ ¼
x n . Beide Funktionen
f ðxÞ ¼
1x
n¼0
stimmen überall im Intervall 1 < x < 1 in ihren Funktionswerten miteinander
1
X
x n als eine
überein. Wir können daher in diesem Intervall die Potenzreihe P ðxÞ ¼
n¼0
1
ansehen.
1x
Man bezeichnet diese Art der Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe als Potenzreihenentwicklung. Dabei ist jedoch zu beachten, dass eine solche Darstellung stets auf ein
bestimmtes Intervall beschränkt bleibt. In unserem Fall gilt die Potenzreihenentwicklung
spezielle Darstellungsform der gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ ¼
f ðxÞ ¼
1
¼ 1 þ x1 þ x2 þ x3 þ ...
1x
ðVI-38Þ
3 Taylor-Reihen
599
1
mit Ausnah1x
me von x ¼ 1 auch außerhalb dieses Intervalls definiert ist (siehe hierzu Bild VI-5).
nur für das Intervall 1 < x < 1, obwohl die Funktion f ðxÞ ¼
y
5
y=
1
, |x| < 1
1–x
1
–1
–1
1
2
x
–5
1
Bild VI-5 Zur Potenzreihenentwicklung der echt gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ ¼
im
1
x
Intervall 1 < x < 1 (grau unterlegter Bereich)
3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion
3.2.1 Mac Laurinsche Reihe
Bei unseren berlegungen gehen wir zunächst von den folgenden Annahmen aus:
1. Die Entwicklung der Funktion f ðxÞ in eine Potenzreihe vom Typ
f ðxÞ ¼ a 0 þ a 1 x 1 þ a 2 x 2 þ a 3 x 3 þ a 4 x 4 þ . . .
ðVI-39Þ
ist grundsätzlich möglich und eindeutig.
2. Die Funktion f ðxÞ ist in einer gewissen Umgebung von x ¼ 0 beliebig oft
differenzierbar und die Funktions- bzw. Ableitungswerte f ð0Þ, f 0 ð0Þ, f 00 ð0Þ,
f 000 ð0Þ, . . . sind bekannt (oder können zumindest aus der Funktionsgleichung und
deren Ableitungen berechnet werden).
Wir wollen jetzt zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen die Koeffizienten
a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , . . . in der Potenzreihenentwicklung (VI-39) eindeutig durch die Funktions- und Ableitungswerte f ð0Þ, f 0 ð0Þ, f 00 ð0Þ, f 000 ð0Þ, . . . bestimmt sind. Ist r der
Konvergenzradius der Potenzreihe, so konvergieren auch sämtliche durch gliedweise Differentiation gewonnenen Reihenentwicklungen für j x j < r.
600
VI Potenzreihenentwicklungen
Die ersten Ableitungen lauten dabei:
f 0 ðxÞ ¼ a 1 þ 2 a 2 x 1 þ 3 a 3 x 2 þ 4 a 4 x 3 þ . . .
f 00 ðxÞ ¼ 1 2 a 2 þ 2 3 a 3 x 1 þ 3 4 a 4 x 2 þ . . .
f
000
(VI-40)
ðxÞ ¼ 1 2 3 a 3 þ 2 3 4 a 4 x 1 þ . . .
..
.
An der Stelle x ¼ 0 gilt dann:
f ð0Þ
¼ a 0 ¼ 1 a 0 ¼ ð0 !Þ a 0
f 0 ð0Þ ¼ a 1 ¼ 1 a 1 ¼ ð1 !Þ a 1
f 00 ð0Þ ¼ 1 2 a 2 ¼ ð2 !Þ a 2
f
000
ðVI-41Þ
ð0Þ ¼ 1 2 3 a 3 ¼ ð3 !Þ a 3
..
.
Aus diesen Beziehungen lassen sich die Koeffizienten wie folgt berechnen:
a0 ¼
f ð0Þ
,
0!
a1 ¼
f 0 ð0Þ
,
1!
a2 ¼
f 00 ð0Þ
,
2!
a3 ¼
f
000
ð0Þ
, ...
3!
ðVI-42Þ
Offensichtlich genügen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung (VI-39) dem allgemeinen Bildungsgesetz
an ¼
f ðnÞ ð0Þ
n!
ðn ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
ðVI-43Þ
und sind durch die Funktions- und Ableitungswerte von f ðxÞ an der Stelle x ¼ 0 eindeutig bestimmt. 7) Für die Potenzreihenentwicklung einer Funktion gilt daher unter den
genannten Voraussetzungen:
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe (Mac Laurinsche Reihe)
Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich eine Funktion f ðxÞ in eine Potenzreihe der Form
f ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
1
X
f 0 ð0Þ 1
f 00 ð0Þ 2
f n ð0Þ n
x þ
x þ ... ¼
x
1!
2!
n!
n¼0
entwickeln (sog. Mac Laurinsche Reihe).
7)
f ð0Þ ð0Þ ¼ f ð0Þ: Die Funktion f ðxÞ wird hier (rein formal) als „nullte Ableitung“ aufgefasst.
ðVI-44Þ
3 Taylor-Reihen
601
Anmerkungen
&
(1)
Nicht jede Funktion ist in eine Mac Laurinsche Reihe entwickelbar. Eine für die
Potenzreihenentwicklung notwendige Bedingung haben wir bereits erkannt: Die zu
entwickelnde Funktion f ðxÞ muss in der Umgebung der Entwicklungsstelle
x ¼ 0 beliebig oft differenzierbar sein. Diese Bedingung ist jedoch keinesfalls
hinreichend, d. h. nicht jede beliebig oft differenzierbare Funktion ist in Form einer
Potenzreihe darstellbar. Im Rahmen dieser Darstellung können wir auf Einzelheiten
nicht näher eingehen und verweisen den Leser auf die spezielle mathematische
Literatur. Im Zusammenhang mit der Restgliedabschätzung bei Näherungspolynomen werden wir dieses Thema aber nochmals kurz streifen (siehe hierzu Abschnitt 3.3.1).
(2)
Die Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ist die Potenzreihenentwicklung von f ðxÞ
um den Nullpunkt x ¼ 0, der daher in diesem Zusammenhang auch als Entwicklungspunkt oder Entwicklungszentrum bezeichnet wird. Sie ist ein Sonderfall einer
allgemeineren Potenzreihenentwicklung nach Taylor, mit der wir uns in Abschnitt
3.2.2 noch eingehend beschäftigen werden.
(3)
Der Konvergenzradius r der Mac Laurinschen Reihe von f ðxÞ kann nach der
Formel (VI-34) oder (VI-35) berechnet werden. Innerhalb des Konvergenzbereiches, d. h. für j x j < r wird die Funktion f ðxÞ dabei durch ihre Mac Laurinsche
Reihe dargestellt.
(4)
Die Symmetrieeigenschaften einer Funktion spiegeln sich auch in ihrer Mac Laurinschen Reihe wider: In der Reihenentwicklung einer geraden Funktion treten nur
gerade, in der Reihenentwicklung einer ungeraden Funktion dagegen nur ungerade
Potenzen auf.
Beispiele
(1)
Mac Laurinsche Reihen von f ðxÞ ¼ e x und f ðxÞ ¼ e x
Für die e-Funktion ist
f ðnÞ ðxÞ ¼ e x
und somit
f ðnÞ ð0Þ ¼ e 0 ¼ 1
ðn ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
Die Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ¼ e x lautet demnach wie folgt:
ex ¼ 1 þ
¼ 1þ
1 1
1 2
1 3
x þ
x þ
x þ ... ¼
1!
2!
3!
1
X
x1
x2
x3
xn
þ
þ
þ ... ¼
1!
2!
3!
n!
n¼0
Ihr Konvergenzradius beträgt r ¼ 1, d. h. die Reihe konvergiert beständig (siehe
hierzu auch Beispiel (2) aus Abschnitt 2.2).
602
VI Potenzreihenentwicklungen
Ersetzen wir in der Reihenentwicklung von f ðxÞ ¼ e x die Variable x formal
durch x, so erhalten wir die Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ¼ e x :
ð xÞ 1
ð xÞ 2
ð xÞ 3
þ
þ
þ ... ¼
1!
2!
3!
ex ¼ 1 þ
¼ 1
1
X
x1
x2
x3
xn
ð 1Þ n þ
þ ... ¼
1!
2!
3!
n!
n¼0
Sie konvergiert ebenfalls für alle x 2 R, d. h. beständig.
(2)
Mac Laurinsche Reihen von f ðxÞ ¼ cos x und f ðxÞ ¼ sin x
Wir entwickeln zunächst die Kosinusfunktion f ðxÞ ¼ cos x in eine Mac Laurinsche Reihe. Es ist:
9
f ðxÞ ¼ cos x
)
f ð0Þ ¼ cos 0 ¼ 1
>
>
>
f 0 ð0Þ ¼ sin 0 ¼ 0 =
f 0 ðxÞ ¼ sin x )
Viererzyklus
f 00 ðxÞ ¼ cos x ) f 00 ð0Þ ¼ cos 0 ¼ 1 >
>
>
;
f 000 ðxÞ ¼ sin x
) f 000 ð0Þ ¼ sin 0 ¼ 0
f ð4Þ ðxÞ ¼ cos x
)
f ð4Þ ð0Þ ¼ cos 0 ¼ 1
Ab der vierten Ableitung wiederholen sich die Ableitungswerte. In einem regelmäßigen Viererzyklus werden dabei der Reihe nach die Werte 1, 0, 1 und 0
durchlaufen. Die Mac Laurinsche Reihe der Kosinusfunktion besitzt demnach die
folgende Gestalt:
cos x ¼ 1 1
X
x2
x4
x6
x2n
þ
þ ... ¼
ð 1Þ n 2!
4!
6!
ð2 nÞ!
n¼0
Sie enthält wegen der Spiegelsymmetrie der Kosinuskurve zur y-Achse ausschließlich gerade Potenzen. Eine Berechnung des Konvergenzradius nach Formel (VI-34)
ist zunächst nicht möglich, da in der Reihenentwicklung jeder zweite Koeffizient
verschwindet. Wir helfen uns mit einem mathematischen „Trick“ und bringen die
Reihe mit Hilfe der Substitution t ¼ x 2 auf eine neue Gestalt:
1
1
X
t1
t2
t3
tn
ð 1Þ n þ
þ ... ¼
2!
4!
6!
ð2 nÞ!
n¼0
Diese Potenzreihe in der neuen Variablen t enthält alle Potenzen, ihr Konvergenzradius kann daher mit Hilfe der Formel (VI-34) berechnet werden:
ð 1Þ n ð2 n þ 2Þ! an ð2 n þ 2Þ!
¼
r ¼ lim ¼ lim ¼ lim
n
þ
1
ð2 nÞ!
n!1 anþ1
n!1 n!1
ð2 nÞ! ð 1Þ
¼ lim
n!1
ð2 nÞ! ð2 n þ 1Þ ð2 n þ 2Þ
¼ lim ð2 n þ 1Þ ð2 n þ 2Þ ¼ 1
ð2 nÞ!
n!1
3 Taylor-Reihen
603
pﬃﬃﬃﬃ
Die Reihe konvergiert somit für alle t 2 R. Wegen x 2 ¼ t und somit x ¼ t
gilt dies auch für alle x 2 R, d. h. die Kosinusreihe konvergiert (erwartungsgemäß) beständig.
Die Mac Laurinsche Reihe der Sinusfunktion erhalten wir am bequemsten durch
gliedweise Differentiation der Kosinusreihe (bekanntlich ist ðcos xÞ 0 ¼ sin x
und damit sin x ¼ ðcos xÞ 0 ):
d
d
x2
x4
x6
sin x ¼ ðcos xÞ ¼ 1
þ
þ ... ¼
dx
dx
2!
4!
6!
2x1
4x3
6x5
þ
þ ... ¼
¼ 0
2!
4!
6!
¼
¼
2 x1
4 x3
6 x5
x1
x3
x5
þ
þ ... ¼
þ
þ ... ¼
1 2
3! 4
5! 6
1!
3!
5!
1
X
ð 1Þ n n¼0
x2nþ1
ð2 n þ 1Þ!
Sie konvergiert ebenso wie die Mac Laurinsche Reihe der Kosinusfunktion beständig. Auch diese Potenzreihe lässt sich natürlich auf direktem Wege über die Mac
Laurinsche Entwicklungsformel (VI-44) herleiten. Wegen der Punktsymmetrie der
Sinusfunktion treten in der Potenzreihenentwicklung nur ungerade Potenzen auf.
(3)
n
Binomische Reihe ð1 þ
xÞ
Wir entwickeln zunächst die Funktion f ðxÞ ¼ ð1 þ xÞ n mit n 2 R in eine
Mac Laurinsche Reihe. Die dabei benötigten Ableitungen und ihre Werte an der
Stelle x ¼ 0 lauten:
f ðxÞ ¼ ð1 þ xÞ n
)
f ð0Þ ¼ 1
f 0 ðxÞ ¼ n ð1 þ xÞ n 1
)
f 0 ð0Þ ¼ n
f 00 ðxÞ ¼ n ðn 1Þ ð1 þ xÞ n 2
)
f 00 ð0Þ ¼ n ðn 1Þ
)
f
f
000
ðxÞ ¼ n ðn 1Þ ðn 2Þ ð1 þ xÞ n 3
000
ð0Þ ¼ n ðn 1Þ ðn 2Þ
..
.
Die Mac Laurinsche Reihenentwicklung nach Formel (VI-44) beginnt daher wie
folgt:
ð1 þ xÞ n ¼ 1 þ
¼ 1þ
n 1
n ðn 1Þ 2
n ðn 1Þ ðn 2Þ 3
x þ
x þ
x þ ... ¼
1!
2!
3!
n 1
n ðn 1Þ 2
n ðn 1Þ ðn 2Þ 3
x þ
x þ
x þ ...
1
12
123
604
VI Potenzreihenentwicklungen
Die Koeffizienten dieser Reihe sind die bereits aus Kap. I (Abschnitt 6) bekannten
Binomialkoeffizienten
n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ
n
¼
k
1 2 3... k
Die Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ¼ ð1 þ xÞ n ist damit in der Form
1 X
n
n
n
n
xk
ð1 þ xÞ n ¼ 1 þ
x1 þ
x2 þ
x3 þ ... ¼
k
1
2
3
k¼0
darstellbar und wird als Binomische Reihe oder auch Binomialreihe bezeichnet.
Bei der Berechnung des Konvergenzradius r dieser Reihe müssen wir die Fälle
n 2 N* und n 2
= N* unterscheiden.
1: Fall : n 2 N*
Die Binomische Reihe bricht nach der n-ten Potenz, d. h. nach dem ðn þ 1Þ-ten
Glied ab, da ð1 þ xÞ n in diesem Sonderfall ein Polynom n-ten Grades darstellt.
Die „Reihenentwicklung“ konvergiert selbstverständlich für jedes x 2 R.
2: Fall : n 2
= N*
Wir erhalten jetzt eine echte Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r ¼ 1:
n
k
ak ¼
lim
r ¼ lim ¼
n
k!1 akþ1
k!1
k þ1 n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ
1 2 3 ... k
¼ lim ¼
k ! 1 n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ ðn kÞ 1 2 3 . . . k ðk þ 1Þ
n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ 1 2 3 . . . k ðk þ 1Þ ¼ lim ¼
k ! 1 n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ ðn kÞ 1 2 3 . . . k 1
1þ
k þ 1
k
¼ lim ¼ lim n
n
k
k!1
k!1
1
k
1 þ 0
¼ j 1j ¼ 1
¼ 0 1
(die grau unterlegten Faktoren im Bruch kürzen sich heraus). Die Binomialreihe
konvergiert daher für j x j < 1 und im Falle n > 0 sogar für j x j 1 (siehe
hierzu auch Tabelle 1 in Abschnitt 3.2.3).
3 Taylor-Reihen
605
Die Potenzreihenentwicklung von f ðxÞ ¼ ð1 xÞ n erhalten wir auf formalem
Wege aus der Binomischen Reihe ð1 þ xÞ n , indem wir dort x durch x ersetzen:
n
n
n
ð xÞ 1 þ
ð xÞ 2 þ
ð xÞ 3 þ . . . ¼
ð1 xÞ n ¼ 1 þ
1
2
3
n
n
n
1
2
x þ
x x3 þ ... ¼
¼ 1
1
2
3
1
X
n
¼
ð 1Þ k xk
k
k¼0
Wir fassen die Potenzreihenentwicklungen von ð1 þ xÞ n und ð1 xÞ n noch in
einer Formel zusammen:
n
n
n
n
1
2 þ
3
þ
ð1 þ
xÞ
¼
1
þ
x
x
3 x þ ...
1
2
Zahlenbeispiele
Für n ¼ 1=2 erhalten wir beispielsweise die Binomischen Reihen
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 1
1 2
1 3
1=2
¼
1þ
ð1 þ
xÞ
16 x . . .
x ¼ 1þ
2 x 8 x þ
Sie konvergieren im Intervall j x j 1.
Für n ¼ 1 lauten die Binomischen Reihen wie folgt:
1
1
1
2
3
4
¼ 1
¼
ð1 þ
þx þx þx þx þ ...
xÞ
1þ
x
Beide Reihen konvergieren für j x j < 1.
Anmerkung
n
Das etwas allgemeinere Binom ða þ
bÞ mit n 2 R lässt sich stets wie folgt
n
þ
auf die Binomische Reihe ð1 xÞ zurückführen:
n
b
b n
n
n
n
þ
þ
þ
ða bÞ ¼ a 1 ¼ a 1
¼ a n ð1 þ
xÞ
a
a
wobei x ¼ b=a gesetzt wurde.
(4)
Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ¼
ex
1x
Die Herleitung der gesuchten Potenzreihe auf dem direkten Wege über die Entwicklungsformel (VI-44) wäre sehr mühsam (hoher Aufwand bei Differenzieren
mit Hilfe der Quotienten- und Kettenregel). Wir beschreiben daher einen anderen
Weg (Reihenmultiplikation genannt).
606
VI Potenzreihenentwicklungen
Diese Funktion lässt sich auch wie folgt als Produkt zweier relativ einfacher Funktionen darstellen:
f ðxÞ ¼
ex
1
¼ ex ¼ e x ð1 xÞ 1
1x
1x
Wir gehen im Weiteren von den bereits bekannten Mac Laurinschen Reihen der
beiden Faktorfunktionen f 1 ðxÞ ¼ e x und f 2 ðxÞ ¼ ð1 xÞ 1 aus:
ex ¼ 1 þ
x1
x2
x3
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
ðj x j < 1Þ
1
¼ ð1 xÞ 1 ¼ 1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . .
1x
ðj x j < 1Þ
Durch gliedweise Multiplikation dieser Reihen erhalten wir die gewünschte Reihenex
entwicklung der Funktion f ðxÞ ¼
. Beim gliedweisen Ausmultiplizieren
1x
(wie bei endlichen Summen) sollen dabei nur Potenzen bis einschließlich 3. Grades
berücksichtigt werden. Die Potenzreihenentwicklung beginnt dann wie folgt:
ex
¼ e x ð1 xÞ 1 ¼
1x
x1
x2
x3
þ
þ
þ . . . ð1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . .Þ ¼
¼ 1þ
1!
2!
3!
1 2
1 3
x þ
x þ . . . ð1 þ x 1 þ x 2 þ x 3 þ . . .Þ ¼
¼ 1 þ x1 þ
2
6
¼ 1 þ x1 þ
x2 þ
x3 þ ...
þ x1 þ
x2 þ
x3 þ ...
þ
1 2
1 3
x þ
x þ ...
2
2
1 3
x þ ... ¼
6
1
1
1
þ
x2 þ 2 þ
x3 þ ... ¼
¼ 1 þ 2x1 þ 2 þ
2
2
6
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
þ
5=2
¼ 1 þ 2x1 þ
16=6 ¼ 8=3
5 2
8 3
x þ
x þ ...
2
3
Diese Reihe konvergiert im Intervall j x j < 1.
&
3 Taylor-Reihen
607
3.2.2 Taylorsche Reihe
Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f ðxÞ um den Nullpunkt x 0 ¼ 0 führte
uns zur Mac Laurinschen Reihe von f ðxÞ. Sie ist ein in den Anwendungen besonders
wichtiger Sonderfall einer allgemeineren, nach Taylor benannten Reihenentwicklung.
Denn grundsätzlich kann man eine Funktion f ðxÞ um eine beliebige Stelle x 0 entwickeln, wenn dort die gleichen Voraussetzungen wie bei der Mac Laurinschen Reihe
vorliegen. Die dann als Taylorsche Reihe von f ðxÞ bezeichnete Potenzreihenentwicklung von f ðxÞ besitzt dabei die folgende Gestalt:
Taylorsche Reihe einer Funktion
f ðxÞ ¼ f ðx 0 Þ þ
¼
f 0 ðx 0 Þ
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . . ¼
1!
2!
1
X
f ðnÞ ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ n
n
!
n¼0
ðVI-45Þ
x 0 : Entwicklungszentrum oder Entwicklungspunkt
Anmerkungen
&
(1)
Für das Entwicklungszentrum x 0 ¼ 0 geht die Taylorsche Reihe (VI-45) in die
Mac Laurinsche Reihe (VI-44) über, die somit nichts anderes darstellt als eine spezielle Form der Taylorschen Reihe.
(2)
Der Konvergenzradius r der Taylorschen Reihe wird nach der Formel (VI-34) oder
(VI-35) bestimmt. Die Reihe konvergiert dann für jedes x aus j x x 0 j < r, d. h.
überall im Intervall x 0 r < x < x 0 þ r.
Beispiel
Die Entwicklung der logarithmischen Funktion f ðxÞ ¼ ln x in eine Mac Laurinsche
Reihe ist nicht möglich, da der Logarithmus an der Stelle x ¼ 0 bekanntlich nicht definiert ist. Wir wählen daher x 0 ¼ 1 als Entwicklungszentrum. Für die benötigten
Funktions- und Ableitungswerte an dieser Stelle erhalten wir:
f ðxÞ ¼ ln x
f 0 ðxÞ ¼
1
¼ x1
x
f 00 ðxÞ ¼ x 2
f
000
ðxÞ ¼ 2 x 3
f ð4Þ ðxÞ ¼ 2 3 x 4
..
.
)
f ð1Þ ¼ ln 1 ¼ 0
)
f 0 ð1Þ ¼ 1
)
f 00 ð1Þ ¼ 1
)
f
)
f ð4Þ ð1Þ ¼ 2 3
000
ð1Þ ¼ 2
608
VI Potenzreihenentwicklungen
Die gesuchte Taylorsche Reihe von f ðxÞ ¼ ln x um das Entwicklungszentrum x 0 ¼ 1
lautet somit:
ln x ¼ 0 þ
1
1
2
23
ðx 1Þ 1 ðx 1Þ 2 þ
ðx 1Þ 3 ðx 1Þ 4 þ . . . ¼
1!
2!
3!
4!
¼
2 ðx 1Þ 3
2 3 ðx 1Þ 4
ðx 1Þ 1
ðx 1Þ 2
þ
þ ... ¼
1
2
1 2 3
1 2 3 4
¼
ðx 1Þ 1
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3 ðx 1Þ 4
þ
þ ... ¼
1
2
3
4
¼
1
X
n¼1
ð 1Þ n þ 1 ðx 1Þ n
n
Die sehr langsam konvergierende Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius r ¼ 1 und
den Konvergenzbereich 0 < x 2. In diesem und nur diesem Intervall repräsentiert
die Reihe den natürlichen Logarithmus. So erhalten wir beispielsweise an der Stelle
x ¼ 2 eine Darstellung des Funktionswertes ln 2 durch die bekannte alternierende
harmonische Reihe:
ln 2 ¼ 1 1
1
1
þ
þ ...
2
3
4
Der Summenwert beträgt 0,6931 (auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau).
&
3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen
Der Leser findet in der nachfolgenden Tabelle 1 eine Zusammenstellung der Potenzreihenentwicklungen einiger besonders wichtiger Funktionen.
Tabelle 1: Potenzreihenentwicklungen einiger besonders wichtiger Funktionen
Funktion
n
ð1 þ
xÞ
Potenzreihenentwicklung
Konvergenzbereich
Allgemeine Binomische Reihe8)
n
n
n
n
1
2 þ
3
x
1þ
x
þ
x
þ
x4 þ
3
...
1
2
4
n > 0 : jxj 1
n < 0 : jxj < 1
Spezielle Binomische Reihen
1 1
11 2
113 3
1135 4
1þ
2 x 24x þ
246x 2468x þ
...
jxj 1
1=2
1 1
13 2 135 3
1357 4 ð1 þ
xÞ
x þ
x þ
x þ
x þ ...
1
þ
2
24
246
2468
jxj < 1
1=2
ð1 þ
xÞ
8)
Für den Sonderfall n 2 N* erhalten wir ein Polynom n-ten Grades, das selbstverständlich für jedes
x 2 R „konvergiert“.
3 Taylor-Reihen
609
Tabelle 1: Fortsetzung
Funktion
Potenzreihenentwicklung
Konvergenzbereich
1
ð1 þ
xÞ
1
2
3
4
1
þx þx þ ...
þx þx jxj < 1
2
ð1 þ
xÞ
1
2
3
4
1
þ 4x þ 5x þ ...
þ 2x þ 3x jxj < 1
Trigonometrische Reihen
sin x
x1
x3
x5
x7
x9
þ
þ
þ ...
1!
3!
5!
7!
9!
cos x
1
tan x
x1 þ
jxj < 1
x2
x4
x6
x8
þ
þ
þ ...
2!
4!
6!
8!
jxj < 1
1 3
2 5
17 7
62 9
x þ
x þ
x þ
x þ ...
3
15
315
2835
jxj <
p
2
Exponential- und logarithmische Reihen
x1
x2
x3
x4
þ
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
4!
jxj < 1
ex
1þ
ln x
ðx 1Þ 1
ðx 1Þ 2
ðx 1Þ 3
ðx 1Þ 4
þ
þ ...
1
2
3
4
ln
1þx
1x
2
x1
x3
x5
x7
x9
þ
þ
þ
þ
þ ...
1
3
5
7
9
0 < x 2
jxj < 1
Reihen der Arkusfunktionen
arcsin x
arccos x
arctan x
1
13
135
x3 þ
x5 þ
x7 þ ...
23
245
2467
p
1
13
135
x1 þ
x3 þ
x5 þ
x7 þ ...
2
23
245
2467
x1 þ
x1
x3
x5
x7
x9
þ
þ
þ ...
1
3
5
7
9
jxj < 1
jxj < 1
jxj 1
Reihen der Hyperbelfunktionen
sinh x
x1
x3
x5
x7
x9
þ
þ
þ
þ
þ ...
1!
3!
5!
7!
9!
cosh x
1þ
tanh x
x1 x2
x4
x6
x8
þ
þ
þ
þ ...
2!
4!
6!
8!
1 3
2 5
17 7
62 9
x þ
x x þ
x þ ...
3
15
315
2835
jxj < 1
jxj < 1
jxj <
p
2
610
VI Potenzreihenentwicklungen
3.3 Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen
3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion
In den praktischen Anwendungen besteht häufig der Wunsch, eine vorgegebene Funktion f ðxÞ durch eine Polynomfunktion anzunähern bzw. zu ersetzen. Denn Polynomfunktionen besitzen bekanntlich besonders einfache und überschaubare Eigenschaften.
Mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung lässt sich diese Aufgabe in vielen Fällen wie
folgt lösen. Wir entwickeln zunächst die Funktion f ðxÞ in eine Mac Laurinsche
Reihe 9) :
f ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ 1
f 00 ð0Þ 2
f ðnÞ ð0Þ n
x þ
x þ ... þ
x þ ...
1!
2!
n!
ðVI-46Þ
Durch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das folgende Näherungspolynom n-ten Grades für f ðxÞ (auch Mac Laurinsches Polynom genannt):
f n ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ 1
f 00 ð0Þ 2
f ðnÞ ð0Þ n
x þ
x þ ... þ
x
1!
2!
n!
ðVI-47Þ
Die dabei vernachlässigten (unendlich vielen!) Glieder fassen wir zu einem sog. Restglied R n ðxÞ zusammen:
R n ðxÞ ¼
f ðn þ 1Þ ð0Þ n þ 1
f ðn þ 2Þ ð0Þ n þ 2
x
x
þ
þ ...
ðn þ 1Þ!
ðn þ 2Þ!
ðVI-48Þ
Das Restglied erfasst somit alle Reihenglieder der Entwicklung (VI-46) ab der
ðn þ 1Þ-ten Potenz. Die Funktion f ðxÞ unterscheidet sich also von ihrem Näherungspolynom f n ðxÞ durch das Restglied R n ðxÞ. Daher gilt:
f ðxÞ ¼ f n ðxÞ þ R n ðxÞ ¼
¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ 1
f 00 ð0Þ 2
f ðnÞ ð0Þ n
x þ
x þ ... þ
x þ R n ðxÞ
1!
2!
n!
ðVI-49Þ
Diese Darstellungsform der Funktion f ðxÞ als Summe aus einem Polynom n-ten Grades
und einem Restglied wird allgemein als Taylorsche Formel bezeichnet.
Taylorsche Formel
f ðxÞ ¼ f n ðxÞ þ R n ðxÞ
ðVI-50Þ
Dabei bedeuten:
f n ðxÞ:
R n ðxÞ:
9)
Mac Laurinsches Polynom vom Grade n nach Gleichung (VI-47)
Restglied nach Gleichung (VI-48)
Die folgenden berlegungen gelten sinngemäß auch für Potenzreihenentwicklungen um eine (beliebige)
Stelle x 0 , wobei wir dann von der Taylorschen Reihe von f ðxÞ ausgehen müssen.
3 Taylor-Reihen
611
Die Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich dabei durch Hinzunahme
weiterer Glieder stets noch verbessern. Gleichzeitig verliert das Restglied R n ðxÞ immer
mehr an Bedeutung und wird schließlich vernachlässigbar klein 10). Das Restglied beschreibt somit den Fehler, den man begeht, wenn man die Funktion f ðxÞ durch ihr
Näherungspolynom f n ðxÞ ersetzt. Es ist in der Praxis jedoch nahezu unmöglich, den
exakten Wert des Restgliedes R n ðxÞ zu bestimmen. Der durch die Vernachlässigung
des Restgliedes entstandene Fehler kann daher in der Regel nur abgeschätzt werden.
Meist wird hierzu die folgende von Lagrange stammende Form des Restgliedes R n ðxÞ
herangezogen:
Restglied nach Lagrange
R n ðxÞ ¼
f ðn þ 1Þ ð# xÞ n þ 1
x
ðn þ 1Þ!
ð0 < # < 1Þ
ðVI-51Þ
Anmerkung
Neben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen des Restgliedes, z. B.
die nach Cauchy und Euler benannten Formen. Im Rahmen dieser (einführenden) Darstellung können wir darauf nicht näher eingehen.
Geometrische Deutung der Näherungspolynome
Das Restglied R n ðxÞ verschwindet stets für x ¼ 0 : R n ð0Þ ¼ 0. Daher stimmen
Funktion f ðxÞ und Näherungspolynom f n ðxÞ an dieser Stelle in ihren Funktions- und
Ableitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedes n 2 N* :
f ð0Þ ¼ f n ð0Þ
und
f ðkÞ ð0Þ ¼ f nðkÞ ð0Þ
ðk ¼ 1, 2, . . . , nÞ
ðVI-52Þ
Wir deuten diese Gleichungen geometrisch wie folgt:
Die erste Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den Kurvenpunkt
P ¼ ð0; f ð0ÞÞ verlaufen, in dessen Umgebung die Reihenentwicklung vorgenommen
wurde. Aus der zweiten Gleichung folgern wir speziell für n ¼ 1 bzw. n ¼ 2:
Für n ¼ 1 :
Die Kurve y ¼ f ðxÞ wird in der Umgebung von P näherungsweise durch ihre Kurventangente, d. h. durch die lineare Funktion
f 1 ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ
x
1!
ðVI-53Þ
ersetzt (Bild VI-6).
10)
Bei einer konvergenten Reihe werden die Glieder mit zunehmender „Platzzifffer“ n kleiner: Sie bilden
eine sog. Nullfolge. Dies ist eine notwendige Bedingung für die Reihenkonvergenz!
612
VI Potenzreihenentwicklungen
Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer Funktion“ 11).
y
y = f(x)
y = f 1 (x)
P
1
–1
Bild VI-6
Zur Linearisierung einer Funktion
ðgezeichnet: e-Funktion und ihre
Tangente in P ¼ ð0; 1ÞÞ
1
x
Für n ¼ 2 :
Die Kurve y ¼ f ðxÞ wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d. h. durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung
f 2 ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ
f 00 ð0Þ 2
x þ
x
1!
2!
ðVI-54Þ
angenähert (Bild VI-7). Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente und gleiche Kurvenkrümmung.
y
y = f(x)
y = f 2 (x)
P
–1
11)
1
Bild VI-7
Näherungspolynom 2. Grades ðParabelÞ
ðgezeichnet: e-Funktion und ihre
Näherungsparabel in P ¼ ð0; 1ÞÞ
1
x
Das Problem der Linearisierung einer Funktion wurde bereits in Kap. IV (Abschnitt 3.2) eingehend behandelt.
3 Taylor-Reihen
613
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
Näherungspolynome einer Funktion (Mac Laurinsche Polynome)
Von einer Funktion f ðxÞ lassen sich mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung wie
folgt Näherungspolynome gewinnen (sog. Mac Laurinsche Polynome):
1. Zunächst wird f ðxÞ um den Nullpunkt x 0 ¼ 0 in eine Mac Laurinsche
Reihe entwickelt.
2. Durch Abbruch der Reihe nach der n-ten Potenz erhält man dann ein Polynom f n ðxÞ vom Grade n, das in der Umgebung des Nullpunktes näherungsweise das Verhalten der Funktion f ðxÞ beschreibt:
f n ðxÞ ¼ f ð0Þ þ
f 0 ð0Þ 1
f 00 ð0Þ 2
f ðnÞ ð0Þ n
x þ
x þ ... þ
x
1!
2!
n!
ðVI-55Þ
3. Fehlerabschätzung: Der durch Abbruch der Potenzreihe entstandene Fehler
ist durch das Restglied R n ðxÞ gegeben und lässt sich in manchen Fällen mit
Hilfe der Lagrangeschen Restgliedformel (VI-51) abschätzen. Er liegt in der
Größenordnung des größten Reihengliedes, das in der Näherung nicht mehr
berücksichtigt wurde.
Anmerkungen
(1)
Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von f ðxÞ erhalten wir durch Abbruch der
Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, die 2. Näherung durch Abbruch nach dem zweiten nicht-konstanten Glied usw. .
(2)
Wird f ðxÞ durch ein Polynom 1. Grades, d. h. durch eine lineare Funktion angenähert, so sagt man, man habe die Funktion f ðxÞ linearisiert. Geometrische Deutung: Die Kurve wird in der Umgebung der Stelle x 0 ¼ 0 durch die dortige Kurventangente ersetzt.
(3)
Allgemein gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umso besser, je mehr Reihenglieder berücksichtigt werden.
(4)
Alle Aussagen gelten sinngemäß auch für Taylorsche Reihenentwicklungen, d. h.
Potenzreihenentwicklungen um ein (beliebiges) Entwicklungszentrum x 0 . Die Näherungsfunktionen heißen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ
f n ðxÞ ¼ f ðx 0 Þ þ
...
þ
f 0 ðx 0 Þ
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . .
1!
2!
f ðnÞ ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ n
n!
ðVI-56Þ
614
(5)
VI Potenzreihenentwicklungen
Eine Funktion f ðxÞ ist unter den folgenden Voraussetzungen in eine (unendliche)
Mac Laurinsche Reihe entwickelbar:
1. f ðxÞ ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes x 0 ¼ 0 beliebig oft
differenzierbar.
2. Das (Lagrangesche) Restglied R n ðxÞ verschwindet beim Grenzübergang
n ! 1, d. h. es gilt
lim R n ðxÞ ¼ 0
ðVI-57Þ
n!1
&
Beispiele
(1)
Berechnung der Eulerschen Zahl e
Wir gehen von der Mac Laurinschen Reihe der e-Funktion aus:
ex ¼
1
X
xn
x1
x2
x3
xn
¼ 1þ
þ
þ
þ ... þ
þ ...
n!
1!
2!
3!
n!
n¼0
ðj x j < 1Þ
Durch Abbruch der Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das folgende Näherungspolynom n-ten Grades für e x :
ex n
X
xk
x1
x2
x3
xn
¼ 1þ
þ
þ
þ ... þ
k!
1!
2!
3!
n!
k¼0
Der dabei begangene Fehler ist durch das Lagrangesche Restglied gegeben. Es
lautet:
R n ðxÞ ¼
f ðn þ 1Þ ð# xÞ n þ 1
e#x
x
xnþ1
¼
ðn þ 1Þ!
ðn þ 1Þ!
ð0 < # < 1Þ
Für x ¼ 1 erhalten wir aus dem Mac Laurinschen Näherungspolynom eine Formel zur näherungsweisen Berechnung der Eulerschen Zahl e:
e1 ¼ e n
n
X
X
1k
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ
þ ... þ
¼
k!
1!
2!
3!
n!
k!
k¼0
k¼0
Das Lagrangesche Restglied liefert die folgende Fehlerabschätzung:
R n ð1Þ ¼
e#1
e#
e
3
<
1nþ1 ¼
<
ðn þ 1Þ!
ðn þ 1Þ!
ðn þ 1Þ!
ðn þ 1Þ!
(wegen e # < e < 3 für 0 < # < 1).
3 Taylor-Reihen
615
Wir geben jetzt zwei Rechenbeispiele.
Rechenbeispiel 1:
Wir berechnen die Eulersche Zahl e näherungsweise für n ¼ 5 und erhalten:
e 5
X
1
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ
þ
þ
¼
k
!
1
!
2
!
3
!
4
!
5
!
k¼0
¼ 1þ1þ
1
1
1
1
þ
þ
þ
¼ 2,716 667
2
6
24
120
Die Fehlerabschätzung liefert:
R 5 ð1Þ <
3
3
1
¼
¼
¼ 0,0042 < 0,5 10 2
ð5 þ 1Þ!
6!
240
Wir haben damit die Eulersche Zahl auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma
genau berechnet: e 2,71.
Rechenbeispiel 2:
Wir wollen nun die Eulersche Zahl auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau berechnen. Für das Restglied R n ð1Þ gilt dann die Abschätzung
R n ð1Þ < 0,5 10 4
und somit
3
< 0,5 10 4
ðn þ 1Þ!
Durch Auflösen nach ðn þ 1Þ! folgt weiter:
ðn þ 1Þ! >
3
¼ 3 2 10 4 ¼ 60 000
0,5 10 4
ðn þ 1Þ! > 60 000
)
n 8
Wir müssen somit n ¼ 8 wählen, d. h. die ersten 9 Reihenglieder aufaddieren,
um eine Genauigkeit von vier Dezimalstellen nach dem Komma zu erreichen:
e 8
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
¼ 1þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
¼
k
!
1
!
2
!
3
!
4
!
5
!
6
!
7
!
8
!
k¼0
¼ 1þ1þ
1
1
1
1
1
1
1
þ
þ
þ
þ
þ
þ
¼ 2,718 279
2
6
24
120
720
5040
40 320
Damit ist e 2,7182.
616
(2)
VI Potenzreihenentwicklungen
Wir kehren zu unserem einführenden Beispiel, der echt gebrochenrationalen Funk1 ,
zurück. Aus ihrer Potenzreihenentwicklung
tion f ðxÞ ¼
1x
f ðxÞ ¼
1
¼ 1 þ x1 þ x2 þ x3 þ ... þ xn þ ...
1x
ðj x j < 1Þ
erhalten wir durch Reihenabbruch die folgenden Näherungspolynome 1., 2. und
3. Grades:
9
>
>
=
1: N äherung: f 1 ðxÞ ¼ 1 þ x
2: N äherung: f 2 ðxÞ ¼ 1 þ x þ x 2
3: N äherung: f 3 ðxÞ ¼ 1 þ x þ x 2 þ x
>
>
;
3
jxj < 1
Bild VI-8 zeigt deutlich, wie die Güte der Näherungsfunktion mit zunehmendem
Polynomgrad wächst.
y
f 3 (x) = 1 + x + x 2 + x 3
f (x) =
f 2 (x) = 1 + x + x 2
1
1–x
2
f 1 (x) = 1 + x
P
–1
1
1
x
Bild VI-8 Die ersten Näherungspolynome der gebrochenrationalen Funktion
1
f ðxÞ ¼
im Intervall 1 < x < 1
1x
3 Taylor-Reihen
(3)
617
Aus der Mac Laurinschen Reihe der Kosinusfunktion
cos x ¼ 1 x2
x4
x6
þ
þ ...
2!
4!
6!
ðj x j < 1Þ
erhalten wir der Reihe nach die folgenden Näherungspolynome 2., 4., 6., . . . Grades für f ðxÞ ¼ cos x, deren Verlauf in Bild VI-9 wiedergegeben ist:
1. Näherung:
f 2 ðxÞ ¼ 1 x2
x2
¼ 1
2!
2
2. Näherung:
f 4 ðxÞ ¼ 1 x2
x4
x2
x4
þ
¼ 1
þ
2!
4!
2
24
3. Näherung:
f 6 ðxÞ ¼ 1 x2
x4
x6
x2
x4
x6
þ
¼ 1
þ
2!
4!
6!
2
24
720
..
.
Anmerkung
Wegen der Achsensymmetrie der Kosinusfunktion bezüglich der y-Achse treten in
der Mac Laurinschen Reihe von cos x nur gerade Potenzen auf. Näherungspolynome 1., 3., 5., . . . Grades kann es daher nicht geben.
y
1
y = cos x
y = f 4 (x)
y = f 4 (x)
–p
p
–1
y = cos x
x
y = cos x
y = f 6 (x)
y = f 6 (x)
y = f 2 (x)
y = f 2 (x)
Bild VI-9 Näherungspolynome 2., 4. und 6. Grades für die Kosinusfunktion
618
VI Potenzreihenentwicklungen
Die mit diesen Näherungsfunktionen an den Stellen x ¼ 0,1, x ¼ 0,5 und
x ¼ 1 berechneten Funktionswerte lauten:
Näherung
x ¼ 0,1
x ¼ 0,5
x ¼ 1
f 2 ðxÞ
0,995 000
0,875 000
0,500 000
f 4 ðxÞ
0,995 004
0,877 604
0,541 667
f 6 ðxÞ
..
.
0,995 004
0,877 582
0,540 278
0,995 004
0,877 583
0,540 302
Exakter
Funktionswert
ðcos xÞ
Wir stellen fest: Je weiter wir uns vom Entwicklungszentrum (hier x 0 ¼ 0) entfernen, umso mehr Reihenglieder müssen berücksichtigt werden, um vergleichbare
Genauigkeit zu erreichen. Bild VI-9 verdeutlicht diese Aussage.
(4)
Wir linearisieren die Funktion f ðxÞ ¼ A ðe l x 1Þ in der Umgebung von
x 0 ¼ 0, wobei wir auf die folgende bekannte Mac Laurinsche Reihe von
f ðzÞ ¼ e z zurückgreifen (A, l sind reelle Parameter):
ez ¼ 1 þ
z1
z2
z3
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
Abbruch nach dem linearen Glied führt zur linearen Näherung
ez 1 þ
z1
¼ 1þz
1!
Wir substituieren noch z ¼ l x :
elx 1 þ l x
Diesen Ausdruck setzen wir in die Ausgangsfunktion ein und erhalten die gewünschte lineare Näherungsfunktion. Sie lautet:
f ðxÞ ¼ A ðe l x 1Þ A ½ ð1 þ l xÞ 1 ¼
¼ A ð1 þ l x 1Þ ¼ A l x ¼ c x
(mit c ¼ A l).
3 Taylor-Reihen
(5)
619
2
2
Die Kurve mit der Gleichung f ðxÞ ¼ 1 e ðx 2Þ ¼ 1 e x þ 2
soll in
der unmittelbaren Umgebung ihres (absoluten) Minimums x 0 ¼ 2 durch eine
Parabel angenähert werden. Aus diesem Grunde entwickeln wir zunächst die
Funktion um die Stelle x 0 ¼ 2 in der Taylorschen Reihe und brechen diese dann
nach dem quadratischen Reihenglied ab. Die für diese Entwicklung benötigten
Ableitungen 1. und 2. Ordnung lauten (unter Verwendung der Kettenregel):
f 0 ðxÞ ¼ 2 1 e x þ 2 e x þ 2 ¼ 2 e x þ 2 e 2 x þ 4
f 00 ðxÞ ¼ 2 e x þ 2 þ 2 e 2 x þ 4
Somit ist
2
2
f ð2Þ ¼ 1 e 0 ¼ 1 1 ¼ 0 ,
f 0 ð2Þ ¼ 2 e 0 e 0 ¼ 2 ð1 1Þ ¼ 0 ,
f 00 ð2Þ ¼ 2 e 0 þ 2 e0 ¼ 2 ð1 þ 2Þ ¼ 2
und die Reihenentwicklung beginnt wie folgt:
1 exþ2
2
¼ 0þ
1
2
2
0 2 x 2 þ
x 2 þ ... ¼ x 2 þ ...
1!
2!
Durch Abbruch nach dem quadratischen Glied erhalten wir die gewünschte Näherung durch eine Parabel. Sie lautet:
2
2
1 exþ2 x 2
ðj x 2 j 1Þ
Bild VI-10 zeigt den Verlauf der gegebenen Funktion mit ihrer Näherungsparabel
im Intervall 1,7 x 2,3.
y
0,10
y = (1 – e – x + 2) 2
Näherungsparabel
0,05
Bild VI-10
1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3
x
&
620
VI Potenzreihenentwicklungen
In der nachfolgenden Tabelle 2 findet der Leser eine Zusammenstellung der ersten beiden Näherungspolynome für einige besonders wichtige Funktionen. Man erhält sie aus
den entsprechenden Potenzreihenentwicklungen durch Abbruch nach dem 1. bzw. 2.
nichtkonstanten Glied (vgl. hierzu auch Tabelle 1). Sie gelten nur in der unmittelbaren
Umgebung des jeweiligen Entwicklungszentrums.
Tabelle 2: Näherungspolynome wichtiger elementarer Funktionen
Funktion
Entwicklungszentrum
1. Näherung
2. Näherung
n
ð1 þ
xÞ
x0 ¼ 0
1þ
nx
1þ
nx þ
sin x
x0 ¼ 0
x
x 1 3
x
6
cos x
x0 ¼ 0
1
1
1 2
1 4
x þ
x
2
24
tan x
x0 ¼ 0
x
x þ
1 3
x
3
ex
x0 ¼ 0
1þx
1þx þ
1 2
x
2
ln x
x0 ¼ 1
x 1
x 1
1
ðx 1Þ 2
2
arcsin x
x0 ¼ 0
x
x þ
arccos x
x0 ¼ 0
p
x
2
p
1 3
x x
2
6
arctan x
x0 ¼ 0
x
x 1 3
x
3
sinh x
x0 ¼ 0
x
x þ
1 3
x
6
cosh x
x0 ¼ 0
1þ
1þ
1 2
1 4
x þ
x
2
24
tanh x
x0 ¼ 0
x
x 1 3
x
3
1 2
x
2
1 2
x
2
n ðn 1Þ 2
x
2
1 3
x
6
3 Taylor-Reihen
&
621
Beispiele
(1)
Näherungsformeln für den Wurzelausdruck
ne x-Werte, d. h. für j x j 1:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1. Näherung:
1þ
x 1þ
2 x
2. Näherung:
(2)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1=2
für sehr klei1þ
xÞ
x ¼ ð1 þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1 2
1þ
x 1þ
2 x 8 x
Die Kettenlinie y ¼ a cosh ðx=aÞ mit a > 0 darf in der unmittelbaren Umgebung ihres Minimums x 0 ¼ 0 in 1. Näherung durch die Parabel
1 x 2
x2
1 2
¼ a 1þ
¼
x þa
y ¼ a 1þ
2
2 a
2a
2a
ersetzt werden (Bild VI-11).
y
Kettenlinie
3a
2a
a
Näherungsparabel
Bild VI-11
–2a
–a
a
2a
x
&
3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden
Bei der Behandlung der numerischen Integrationsmethoden in Kap. V (Abschnitt 8.4)
hatten wir bereits darauf hingewiesen, dass es eine Reihe wichtiger Integrale gibt, die
mit den herkömmlichen Integrationstechniken wie beispielsweise der Substitutionsmethode oder der Partiellen Integration nicht gelöst werden können. Zu diesen Integralen
gehört auch das im Zusammenhang mit statistischen Problemen auftretende und häufig
ðx
2
als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnete (unbestimmte) Integral F ðxÞ ¼ e t dt. In
0
diesem, aber auch in zahlreichen anderen Fällen gelingt die Integration, indem man die
Integrandfunktion zunächst in eine Potenzreihe entwickelt und diese dann anschließend
gliedweise integriert.
622
VI Potenzreihenentwicklungen
Man bezeichnet diese spezielle Integrationsmethode daher als „Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden“.
Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden
In zahlreichen Fällen lässt sich ein elementar nicht lösbares Integral
schrittweise wie folgt lösen:
Ð
f ðxÞ dx
1. Die Integrandfunktion f ðxÞ wird zunächst in eine Mac Laurinsche oder Taylorsche Potenzreihe entwickelt.
2. Die Reihe wird anschließend gliedweise unter Verwendung der Potenzregel
integriert. Das Integral liegt dann in Form einer Potenzreihe vor.
Anmerkung
Die gliedweise Integration ist nur zulässig, wenn die Potenzreihe des Integranden im
Integrationsbereich konvergiert. In diesem Fall konvergiert auch die durch gliedweise Integration entstandene Reihe.
Das beschriebene Integrationsverfahren soll nun am Beispiel des Gaußschen Fehlerintegrals näher erläutert werden.
&
Beispiel
Wir lösen das Gaußsche Fehlerintegral
ðx
e t dt
2
F ðxÞ ¼
0
wie folgt. Ausgehend von der bekannten Mac Laurinschen Reihe der Exponentialfunktion f ðzÞ ¼ e z in der Form
ez ¼ 1 þ
z1
z2
z3
z4
z5
þ
þ
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
4!
5!
ðj z j < 1Þ
erhalten wir mit Hilfe der formalen Substitution z ¼ t 2 die gewünschte Potenzreihe
2
des Integranden f ðtÞ ¼ e t :
et ¼ 1 2
t2
t4
t6
t8
t 10
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
4!
5!
3 Taylor-Reihen
623
Diese Reihe konvergiert beständig und darf daher gliedweise integriert werden. Wir gewinnen schließlich für das Gaußsche Fehlerintegral die folgende Potenzreihenentwicklung:
ðx
F ðxÞ ¼
e
t2
0
0
¼
ðx t2
t4
t6
t8
t 10
dt ¼
1
þ
þ
þ . . . dt ¼
1!
2!
3!
4!
5!
t ¼ x t3
t5
t7
t9
t 11
þ
þ
þ ...
3 1!
5 2!
7 3!
9 4!
11 5 !
x
¼
0
x3
x5
x7
x9
x 11
þ
þ
þ ...
3 1!
5 2!
7 3!
9 4!
11 5 !
(an der unteren Grenze verschwinden sämtliche Reihenglieder).
Rechenbeispiel
Mit dieser Potenzreihe berechnen wir die unter der Gaußschen Glockenkurve y ¼ e x
im Intervall 0 x 1 gelegene Fläche A (in Bild VI-12 grau unterlegt):
ð1
e x dx ¼ F ð1Þ ¼ 1 2
A ¼
0
¼ 1
13
15
17
19
1 11
þ
þ
þ ... ¼
3 1!
5 2!
7 3!
9 4!
11 5 !
1
1
1
1
1
þ
þ
þ ...
3
10
42
216
1320
y
1
–1
y = e–x
2
2
1
x
Bild VI-12 Zur Berechnung der Fläche unter der Gaußschen Glockenkurve
2
y ¼ e x im Intervall 0 x 1
624
VI Potenzreihenentwicklungen
Durch Abbruch dieser unendlichen Zahlenreihe nach dem 1., 2., . . . , 6. Glied erhalten
wir der Reihe nach die folgenden Näherungswerte für den gesuchten Flächeninhalt A:
1;
0,6667; 0,7667; 0,7429; 0,7475; 0,7467
Der „exakte“ Flächeninhalt beträgt A ¼ 0,7468 (auf vier Dezimalstellen nach dem
Komma genau).
&
3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
Mit dem Begriff des Grenzwertes einer Funktion haben wir uns bereits ausführlich in
Kap. III (Abschnitt 4.2) auseinandergesetzt und dabei die wichtigsten Rechenregeln für
Grenzwerte kennengelernt. In diesem Abschnitt werden wir uns speziell mit Grenzwerten
vom allgemeinen Typ
lim
x ! x0
f ðxÞ
g ðxÞ
bzw:
lim
x ! þ 1
f ðxÞ
g ðxÞ
ðVI-58Þ
beschäftigen, die auf einen in seinem Wert zunächst „unbestimmten Ausdruck“ wie bei0“
1“
oder
führen 12).
spielsweise
„1
„0
&
Beispiele
(1)
ex 1
bleibt zunächst unbestimmt, da sowohl die Zählerx
x!0
funktion f ðxÞ ¼ e x 1 als auch die Nennerfunktion g ðxÞ ¼ x beim Grenzübergang x ! 0 dem Grenzwert 0 zustreben. Wir verwenden dafür die symbolische Schreibweise
Der Grenzwert lim
lim
x!0
(2)
ex 1
0
!
x
0
ln x
1“
, da soführt zu dem unbestimmten Ausdruck
x
„1
x!1 e
wohl ln x als auch e x für x ! 1 gegen Unendlich streben. Symbolische
Schreibweise:
Der Grenzwert
lim
x!1
lim
ln x
1
!
ex
1
&
12)
Zur Erinnerung: Die Division durch die Zahl 0 ist verboten, das Symbol 1 ist keine Zahl.
3 Taylor-Reihen
625
Ein unbestimmter Ausdruck kann in verschiedenen Formen wie z. B.
1
,
1
0
,
0
0 1,
1 1,
1 1,
10
0 0,
ðVI-59Þ
auftreten. Grenzwerte vom Typ (VI-58), die zu einem unbestimmten Ausdruck der Form
0“
1“
oder
führen, lassen sich in vielen ( jedoch nicht allen) Fällen nach einer von
„1
„0
Bernoulli und de L’Hospital stammenden Regel berechnen, die wir jetzt für den Fall
0“
herleiten wollen. Es sei also f ðx 0 Þ ¼ g ðx 0 Þ ¼ 0 und somit
„0
lim
x ! x0
f ðxÞ
0
!
g ðxÞ
0
ðVI-60Þ
Wir entwickeln jetzt die beiden Funktionen f ðxÞ und g ðxÞ jeweils um die Stelle x 0
nach Taylor und beachten dabei, dass nach Voraussetzung f ðx 0 Þ ¼ g ðx 0 Þ ¼ 0 ist. Der
f ðxÞ
besitzt dann die folgende Gestalt:
Quotient
g ðxÞ
f ðxÞ
¼
g ðxÞ
¼
f ðx 0 Þ þ
f 0 ðx 0 Þ
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . .
1!
2!
g 0 ðx 0 Þ
g 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . .
g ðx 0 Þ þ
1!
2!
f 0 ðx 0 Þ
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . .
1!
2!
¼
ðVI-61Þ
g 0 ðx 0 Þ
g 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ
ðx x 0 Þ 2 þ . . .
1!
2!
Wir kürzen noch den allen Summanden in Zähler und Nenner gemeinsamen Faktor
ðx x 0 Þ:
f ðxÞ
¼
g ðxÞ
f 0 ðx 0 Þ þ
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ . . .
2!
ðVI-62Þ
g 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ . . .
g 0 ðx 0 Þ þ
2!
Beim Grenzübergang x ! x 0 verschwinden in Zähler und Nenner sämtliche Terme bis
auf den jeweils 1. Term. Wir erhalten somit
lim
x ! x0
f ðxÞ
¼ lim
g ðxÞ
x ! x0
f 0 ðx 0 Þ þ
g0
f 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ . . .
2!
g 00 ðx 0 Þ
ðx x 0 Þ 1 þ . . .
ðx 0 Þ þ
2!
¼
f 0 ðx 0 Þ
g 0 ðx 0 Þ
ðVI-63Þ
626
VI Potenzreihenentwicklungen
Dies ist die von Bernoulli und de L’Hospital stammende Grenzwertregel, die wir auch in
der Form
lim
x ! x0
f ðxÞ
f 0 ðxÞ
f 0 ðx 0 Þ
¼ 0
¼ lim 0
g ðxÞ
g ðx 0 Þ
x ! x 0 g ðxÞ
ðVI-64Þ
schreiben können. Sie zeigt uns, wie man bei einem unbestimmten Ausdruck der Form
0“
zu verfahren hat: Zunächst werden Zählerfunktion f ðxÞ und Nennerfunktion
„0
g ðxÞ für sich getrennt nach x differenziert, anschließend wird dann der Grenzwert von
f 0 ðxÞ
für x ! x 0 berechnet. Ist dieser vorhanden, so ist er gleich dem gesuchten
g 0 ðxÞ
f ðxÞ
.
Grenzwert lim
x ! x 0 g ðxÞ
Wir fassen zusammen:
Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
0“
1“
oder
Für Grenzwerte, die auf einen unbestimmten Ausdruck der Form
„1
„0
führen, gilt die Bernoulli-de L’Hospitalsche Regel
lim
x ! x0
f ðxÞ
f 0 ðxÞ
¼ lim 0
g ðxÞ
x ! x 0 g ðxÞ
ðVI-65Þ
Anmerkungen
(1)
Die Bernoulli-de L’Hospitalsche Regel setzt voraus, dass die Funktionen f ðxÞ und
g ðxÞ in der Umgebung von x 0 stetig differenzierbar sind und der Grenzwert der
rechten Seite existiert.
(2)
Die Bernoulli-de L’Hospitalsche Regel gilt sinngemäß auch für Grenzübergänge
vom Typ x ! 1 oder x ! 1.
(3)
In einigen Fällen führt erst eine mehrmalige Anwendung der Grenzwertregel zum
Ziel (siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (3)).
(4)
Es gibt jedoch auch Fälle, in denen die Regel versagt.
3 Taylor-Reihen
627
Wir weisen nochmals darauf hin, dass diese Grenzwertregel nur auf unbestimmte Aus0“
1“
oder
anwendbar ist. Alle anderen Formen lassen sich in
drücke der Form
„1
„0
der Regel wie folgt durch elementare Umformungen auf eine dieser speziellen Formen
zurückführen:
Tabelle 3: Elementare Umformungen für „unbestimmte Ausdrücke“
Funktion jðxÞ
(A)
&
u ðxÞ v ðxÞ
Grenzwert lim jðxÞ
x ! x0
0 1 bzw:
(B)
u ðxÞ v ðxÞ
11
(C)
u ðxÞ v ðxÞ
0 0,
10
Elementare Umformung
u ðxÞ
1
v ðxÞ
bzw:
v ðxÞ
1
u ðxÞ
1
1
v ðxÞ
u ðxÞ
1
u ðxÞ v ðxÞ
1 0, 1 1
e v ðxÞ ln u ðxÞ
Beispiele
(1)
lim
x!0
ex 1
0
!
x
0
Wir dürfen die Bernoulli-de L’Hospitalsche Regel anwenden und erhalten:
lim
x!0
(2)
lim
x!1
ex 1
ðe x 1Þ 0
ex
¼ lim e x ¼ e 0 ¼ 1
¼
lim
¼ lim
ðxÞ 0
x
x!0
x!0 1
x!0
ln ð2 x 1Þ
1
!
ex
1
Durch Anwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de L’Hospital folgt:
2
ln ð2 x 1Þ
½ ln ð2 x 1Þ 0
1 ¼
lim
¼ lim
¼ lim 2 x ex
ex
ðe x Þ 0
x!1
x!1
x!1
¼ lim
x!1
2
¼ 0
ð2 x 1Þ e x
(der Nenner wird beim Grenzübergang unendlich groß).
628
VI Potenzreihenentwicklungen
(3)
lim
x!0
1
1
x
sin x
! 11
ðTyp ðBÞÞ
Die Bernoulli-de L’Hospitalsche Regel ist zunächst nicht anwendbar. Nach einer
elementaren Umformung (Hauptnenner x sin x bilden) folgt dann:
lim
x!0
1
1
x
sin x
¼ lim
x!0
sin x x
0
!
x sin x
0
Die Grenzwertregel darf nun angewandt werden, führt jedoch wiederum zu einem
0“
:
unbestimmten Ausdruck der Form
„0
lim
x!0
sin x x
ðsin x xÞ 0
cos x 1
0
¼ lim
¼ lim
!
0
x sin x
0
x ! 0 ðx sin xÞ
x ! 0 sin x þ x cos x
Durch nochmalige Anwendung der Bernoulli-de L’Hospitalschen Regel erhalten
wir schließlich:
lim
x!0
cos x 1
ðcos x 1Þ 0
¼
¼ lim
0
sin x þ x cos x
x ! 0 ðsin x þ x cos xÞ
¼ lim
x!0
sin x
sin x
0
¼ lim
¼
¼ 0
cos x þ cos x x sin x
2
x ! 0 2 cos x x sin x
Somit ist
lim
x!0
(4)
1
1
x
sin x
¼ 0
1 x
lim 1 þ
! 11
x
x!1
ðTyp ðCÞÞ
Unter Verwendung der Identität z ¼ e ln z ðz > 0Þ und der Rechenregel
ln u n ¼ n ln u lässt sich der Funktionsausdruck wie folgt umformen:
1
1þ
x
x
¼ e ln
1
1þ x
x
¼ e x ln
1
1þ x
3 Taylor-Reihen
629
Daher ist
1
1 x
1þ
¼ lim e x ln 1 þ x
x
x!1
x!1
lim
Der Grenzübergang darf dabei im Exponenten der e-Funktion vollzogen werden,
d. h. es gilt nach der Rechenregel (III-37) aus Kap. III:
lim
x!1
1
e x ln 1 þ x
¼ e
1
lim x ln 1 þ x
x!1
Wir formen den Exponenten noch geringfügig um:
1
ln 1 þ
x
1
¼
x ln 1 þ
x
1
x
0“
. Wir dürfen
„0
daher die Bernoulli-de L’Hospitalsche Grenzwertregel anwenden. Sie führt zu
Für x ! 1 geht dieser Ausdruck gegen die unbestimmte Form
lim
1
ln 1 þ
x
x!1
1
x
0
1 1
1
0
@
1
x2
1A
ln 1 þ
1þ
x
x
¼ lim
¼ lim
0
x!1
x!1
1
1
2 ¼
x
x
1
¼ lim
x!1
1þ
1
x
¼
1
¼ 1
1þ0
(den Zähler haben wir nach der Kettenregel differenziert). Somit gilt:
1 x
1þ
¼ e1 ¼ e
x
x!1
lim
(5)
Die Kardioide mit der in Polarkoordinaten ausgedrückten Gleichung r ¼ 1 þ cos j,
0 j < 2 p besitzt den vom Winkel j abhängigen Kurvenanstieg
y0 ¼
dy
2 cos 2 j þ cos j 1
2 cos 2 j þ cos j 1
¼
¼
dx
sin jð1 þ 2 cos jÞ
sin j 2 sin j cos j
(siehe hierzu das Beispiel in Kap. IV, Abschnitt 2.13).
630
VI Potenzreihenentwicklungen
Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung
sin ð2 jÞ ¼ 2 sin j cos j
lässt sich der Nenner dieses Ausdrucks auf eine für unsere Zwecke günstigere
Form bringen:
y0 ¼
2 cos 2 j þ cos j 1
2 cos 2 j þ cos j 1
¼
sin j 2 sin j cos j
sin j sin ð2 jÞ
Wir vermuten anhand von Bild IV-12 aus Kap. IV, dass die Kurve an der Stelle
j ¼ p eine waagerechte Tangente hat. Die Berechnung des Kurvenanstiegs in
dem zum Winkel j ¼ p gehörigen Kurvenpunkt (Schnittpunkt mit der negativen
x-Achse) führt jedoch zunächst zu dem unbestimmten Ausdruck
y 0 ðj ¼ pÞ ¼ lim
j!p
2 cos 2 j þ cos j 1
0
!
sin j sin ð2 jÞ
0
da Zähler und Nenner an dieser Stelle verschwinden:
Zähler :
2 cos 2 p þ cos p 1 ¼ 2 ð 1Þ 2 1 1 ¼ 2 2 ¼ 0
Nenner :
sin p sin ð2 pÞ ¼ 0 0 ¼ 0
Durch Anwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de L’Hospital erhalten wir
schließlich:
y 0 ðj ¼ pÞ ¼ lim
j!p
¼ lim
j!p
¼
2 cos 2 j þ cos j 1
ð2 cos 2 j þ cos j 1Þ 0
¼ lim
¼
sin j sin ð2 jÞ
ð sin j sin ð2 jÞÞ 0
j!p
4 cos j sin j sin j
4 cos p sin p sin p
¼
¼
cos j 2 cos ð2 jÞ
cos p 2 cos ð2 pÞ
4 ð 1Þ 0 0
0
¼
¼ 0
ð 1Þ 2 1
1
Die Kardioide besitzt demnach (wie wir bereits vermutet haben) für j ¼ p eine
waagerechte Tangente.
&
3.4 Ein Anwendungsbeispiel:
Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Wir haben uns bereits an verschiedenen Stellen mit dem physikalischen Problem des
freien Falls unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes beschäftigt und dabei für die
Fallgeschwindigkeit v die folgende Abhängigkeit von der Zeit t 0 hergeleitet:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
g
mg
v ¼ v ðtÞ ¼ v E tanh
ðVI-66Þ
t
mit
vE ¼
vE
k
( g: Erdbeschleunigung; v E : Endgeschwindigkeit; m: Masse des fallenden Körpers;
k: Reibungskoeffizient der Luft).
3 Taylor-Reihen
631
Die Fallgeschwindigkeit nähert sich dabei asymptotisch ihrem Endwert v E (siehe hierzu
Bild VI-13).
v
vE
v = v E · tanh
g
t
vE
t
Bild VI-13 Zeitlicher Verlauf der Fallgeschwindigkeit unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Einfache Näherungsfunktionen für diese relativ komplizierte Geschwindigkeit-Zeit-Funktion erhalten wir durch eine Potenzreihenentwicklung der in Gleichung (VI-66) auftretenden hyperbolischen Funktion. Wir gehen dabei zunächst von der elementaren Funktion tanh x aus. Ihre Mac Laurinsche Reihe entnehmen wir der Tabelle 1:
tanh x ¼ x 1 3
2 5
x þ
x þ ...
3
15
ðj x j < p=2Þ
ðVI-67Þ
g
t zu setzen und wir erhalten schließlich aus (VI-66)
vE
und (VI-67) die folgende Reihenentwicklung für v ðtÞ:
"
#
3
5
g
g
1
g
2
g
t ¼ vE
t t þ
t þ ... ¼
v ðtÞ ¼ v E tanh
vE
vE
3 vE
15 v E
In unserem Beispiel ist x ¼
¼ gt g3
2 g5
3
t
t5 þ ...
þ
3 v 2E
15 v 4E
ðVI-68Þ
Durch Abbruch der Reihe nach dem 1., 2. bzw. 3. Glied erhalten wir die folgenden einfachen Näherungspolynome für die Zeitabhängigkeit der Fallgeschwindigkeit:
1. Näherung:
v1 ¼ g t
2. Näherung:
v2 ¼ g t 3. Näherung:
g3
t3
3 v 2E
3 g
2 g5
3
t þ
t5
v3 ¼ g t 3 v 2E
15 v 4E
Zu beachten ist dabei, dass diese Näherungen nur im Zeitintervall 0 t ðVI-69Þ
p vE
gelten.
2g
632
VI Potenzreihenentwicklungen
Die 1. Näherung liefert das für den luftleeren Raum gültige und bereits aus der Schulphysik bekannte lineare Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ¼ g t. In Bild VI-14 haben wir den
Verlauf dieser Näherungspolynome für eine angenommene Endgeschwindigkeit von
v E ¼ 60 m=s ð¼ 216 km=hÞ dargestellt. Die Näherungen gelten aber nur für t < 3 p s.
Man erkennt deutlich, dass diese Näherungen nur für kleine Fallzeiten sinnvoll sind. Durch
Hinzunahme weiterer Reihenglieder lassen sich diese Näherungsfunktionen jedoch noch
verbessern.
Durch gliedweise Integration der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion (VI-68) erhalten wir
das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls in Form einer Reihenentwicklung:
3 ðt g
2 g5
3
5
t
t
s ðtÞ ¼
gt þ
þ
.
.
.
dt ¼
3 v 2E
15 v 4E
0
1
¼
gt2 2
5 g3
g
4
t þ
t6 þ ...
2
12 v E
45 v 4E
ðVI-70Þ
In 1. Näherung gewinnen wir hieraus das bekannte Fallgesetz für den luftleeren Raum:
1
p vE
gt2
ðVI-71Þ
0 t <
s ðtÞ ¼
2
2g
v
m/s
70
v 1 (t)
v 3 (t)
60
50
v(t)
40
v 2 (t)
30
20
Bild VI-14
Näherungsfunktionen
für den zeitlichen
Verlauf der
Fallgeschwindigkeit
10
1
5
10
t /s
Sonderfall: Freier Fall im luftleeren Raum
Im luftleeren Raum gilt k ¼ 0. Die dann geltenden Fallgesetze erhalten wir aus den
Gleichungen (IV-68) und (VI-70) für den Grenzübergang k ! 0. Dabei wird die Endgeschwindigkeit v E des frei fallenden Körpers unendlich groß:
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
mg
! 1
ðf ür k ! 0Þ
ðVI-72Þ
vE ¼
k
bungsaufgaben
633
In den Potenzreihenentwicklungen (VI-68) und (VI-70) verschwinden dann bis auf den
1. Summand alle Summanden und wir erhalten die aus der Schulphysik bekannten Fallgesetze:
v ¼ gt
s ¼
und
Sie gelten wegen t <
1
gt2
2
ðt 0Þ
ðVI-73Þ
p vE
! 1 für v E ! 1 für alle Zeiten, d. h. für t 0.
2g
bungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
1) Berechnen Sie den Summenwert der folgenden geometrischen Reihen:
1 1
1
X
X
X
1 n1
2 n1
n1
bÞ
0,3
cÞ
4 aÞ
8
3
n¼1
n¼1
n¼1
2) Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegen die folgenden Reihen? Untersuchen Sie diese Reihen mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw.
Divergenz:
aÞ
cÞ
1þ
10
100
1000
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
1
3
5
7
þ 2 þ 3 þ 4 þ ...
2
2
2
2
3) Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe
wert hat die Reihe?
bÞ
1
1
1
1
þ
þ
þ
þ ...
1 21
3 23
5 25
7 27
dÞ
ln 2
ðln 2Þ 2
ðln 2Þ 3
þ
þ
þ ...
1!
2!
3!
1
X
n¼1
1
. Welchen Summenðn þ 1Þ ðn þ 2Þ
Hinweis: Das allgemeine Glied zunächst durch Partialbruchzerlegung in Teilbrüche
zerlegen, dann die Partialsumme s n bestimmen.
1
X
1
þ1 .
4) Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe
ln
n
n¼1
Hinweis: Zunächst das allgemeine Reihenglied umformen (Rechenregeln für Logarithmen anwenden), dann die Partialsumme s n bestimmen.
5) Zeigen Sie: Die folgenden Reihen erfüllen nicht das (bekannte) notwendige Konvergenzkriterium und sind somit divergent.
1 1
X
X
n þ 1 n
1
aÞ
bÞ
ln 3 þ
n
2n
n¼1
n¼1
634
VI Potenzreihenentwicklungen
6) Untersuchen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren:
aÞ
1
1
1
1
þ
þ
þ
þ ...
11
101
1001
10 001
cÞ
1þ
eÞ
1
X
n
n
5
n¼1
bÞ
1
1
1
þ 4 þ 6 þ ...
22
2
2
dÞ
21
22
23
24
þ
þ ...
1
2
3
4
fÞ
1
X
n¼1
n
n1
1
2
1
X
32n
ð2 nÞ!
n¼1
7) Untersuchen Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren:
aÞ
bÞ
1
2
3
n
þ 2 þ 3 þ ... þ
þ ...
1
2
3
4
ðn þ 1Þ n
1
X
n¼1
5n
4n n2
cÞ
2
1 X
n þ 1 n
n
n¼1
8) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten konvergenten Vergleichsreihe (Majorante)
die Konvergenz der folgenden Reihen:
aÞ
1
X
0,5 n cos ð2 nÞ
bÞ
n¼1
1
X
2
n¼0
ðn þ 3Þ 2
9) Zeigen Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen divergieren:
aÞ
1
X
na
ðmit a 1Þ
bÞ
n¼1
1
X
n¼1
1
ln ðn þ 1Þ
10) Welche der folgenden alternierenden Reihen konvergieren, welche divergieren?
Verwenden Sie bei der Untersuchung das Konvergenzkriterium von Leibniz.
aÞ
cÞ
1
1
X
n¼1
1
1
1
þ
þ ...
1!
2!
3!
bÞ
1
n2
dÞ
ð 1Þ n þ 1 1
1
X
n¼1
1
1
1
þ
þ ...
3
5
7
ð 1Þ n þ 1 1
n 52n1
bungsaufgaben
635
Zu Abschnitt 2
1) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und Konvergenzbereich der folgenden
Potenzreihen:
aÞ
P ðxÞ ¼ x þ 2 x 2 þ 3 x 3 þ 4 x 4 þ . . .
bÞ
P ðxÞ ¼
1
X
ð 1Þ n n¼1
cÞ
P ðxÞ ¼
eÞ
P ðxÞ ¼
x1
x2
x3
þ
þ
þ ...
12
22
32
1
X
n¼0
n
xnþ1
nþ1
xn
n
dÞ
P ðxÞ ¼
1
X
xn
2n
n¼0
fÞ
P ðxÞ ¼
1
X
nþ1 n
x
n!
n¼0
2) Berechnen Sie den Konvergenzradius und Konvergenzbereich der Potenzreihe
P ðxÞ ¼ 1 x 2 þ x 4 x 6 þ . . .
Anleitung: Setzen Sie zunächst z ¼ x 2 und untersuchen Sie anschließend das
Konvergenzverhalten der neuen (z-abhängigen) Reihe.
Zu Abschnitt 3
1) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Mac Laurinsche Reihe:
aÞ
f ðxÞ ¼ sinh x
bÞ f ðxÞ ¼ arctan x
cÞ
f ðxÞ ¼ ln ð1 þ x 2 Þ
2) Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion f ðxÞ ¼ cosh x :
a) auf direktem Wege nach Formel (VI-44),
b) aus den Potenzreihenentwicklungen von e x und e x unter Berücksichtigung
1 x
ðe þ e x Þ.
der Definitionsformel cosh x ¼
2
1
3) Entwickeln Sie die Wurzelfunktion f ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ unter Verwendung der Bi1 x3
nomischen Reihe in ein Mac Laurinsches Polynom (Abbruch nach dem 3. Glied).
Berechnen Sie anschließend mit dieser Näherungsfunktion den Funktionswert an
der Stelle x ¼ 0,2 und schätzen Sie den Fehler ab.
636
VI Potenzreihenentwicklungen
4) Bestimmen Sie die Mac Laurinschen Reihen der folgenden Funktionen, indem Sie
die Potenzreihen der beiden Faktoren gliedweise multiplizieren. In welchem Bereich konvergieren die Reihen?
aÞ
f ðxÞ ¼ e 2 x cos x
bÞ f ðxÞ ¼ sin 2 x
cÞ
f ðxÞ ¼
sinh x
1 þ x2
5) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um die Stelle x 0 in eine Taylor-Reihe:
aÞ
f ðxÞ ¼ cos x,
cÞ
f ðxÞ ¼
1
2
,
x2
x
x0 ¼
p
3
bÞ
f ðxÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃ
x,
x0 ¼ 1
x0 ¼ 1
6) Die Funktion f ðxÞ ¼ x e x soll in der Umgebung des Nullpunktes durch einfache Polynomfunktionen bis maximal 3. Grades angenähert werden. Bestimmen
Sie diese Näherungsfunktionen mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung
und skizzieren Sie ihren Verlauf.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
7) Berechnen Sie den Funktionswert von f ðxÞ ¼ 1 x an der Stelle x ¼ 0,05
auf sechs Dezimalstellen nach dem Komma genau.
8) Berechnen Sie cos 8 mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung von
cos x auf vier Dezimalstellen genau.
Hinweis: Winkel erst ins Bogenmaß umrechnen!
9) Ersetzen Sie die Sinusfunktion in der Umgebung ihres 1. Maximums im positiven
x-Bereich durch eine Parabel.
Anleitung: Taylor-Reihe von f ðxÞ ¼ sin x um die betreffende Stelle bestimmen
und nach dem quadratischen Glied abbrechen.
10) Lösen Sie die Gleichung cosh x ¼ 4 x 2 näherungsweise durch Potenzreihenentwicklung von cosh x und Abbruch dieser Reihe nach der 4. Potenz.
ðx
11) Lösen Sie das (unbestimmte) Integral F ðxÞ ¼
0
1
dt, indem Sie den Inte1 þ t2
granden zunächst in eine Mac Laurinsche Reihe entwickeln (Binomische Reihe
verwenden!) und diese anschließend gliedweise integrieren. Bestimmen Sie den
Konvergenzbereich der durch Integration gewonnenen Potenzreihe, die eine
Ihnen bekannte elementare Funktion darstellt. Um welche Funktion handelt es
sich?
bungsaufgaben
637
12) Die folgenden bestimmten Integrale sind elementar, d. h. in geschlossener Form
nicht lösbar. Sie lassen sich jedoch durch Potenzreihenentwicklung des Integranden
und anschließender gliedweiser Integration berechnen. Bestimmen Sie den Wert
dieser Integrale auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau.
0ð,5
aÞ
0ð,2
pﬃﬃﬃﬃ
cos ð x Þ dx
bÞ
0
0
ex
dx
x þ1
ð1
cÞ
sin x
dx
x
0
13) Zeigen Sie, wie man aus der als bekannt vorausgesetzten Potenzreihe von
1
gewinnen
ln ð1 xÞ durch Differentiation die Mac Laurinsche Reihe von
1x
kann.
Anleitung: Gehen Sie von der folgenden Entwicklung aus:
ln ð1 xÞ ¼ x x2
x3
x4
...
2
3
4
ð 1 x < 1Þ
14) Zwischen Luftdruck p und Höhe h (gemessen gegenüber dem Meeresniveau)
besteht unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang
(sog. barometrische Höhenformel):
p ðhÞ ¼ p 0 e h
7991 m
ðh 0 mÞ
Leiten Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung einen linearen Zusammenhang
zwischen den Größen p und h her. Bis zu welcher Höhe h max liefert diese
Näherung Werte, die um maximal 1 % vom tatsächlichen Luftdruck abweichen?
15) Die Schwingungsdauer T eines konischen Pendels (Bild VI-15) hängt bei gegebener Fadenlänge l und festem Ort nur noch vom Winkel j zwischen Faden und
Vertikale ab:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
l
cos j
T ¼ T ðjÞ ¼ 2 p g
f
( g: Erdbeschleunigung).
l
Zeigen Sie:
Für kleine Winkel j ist die
Schwingungsdauer T nahezu
winkelunabhängig.
Bild VI-15 Konisches Pendel
638
VI Potenzreihenentwicklungen
16) Die Schwingungsdauer T einer ungedämpften
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ elektromagnetischen Schwingung
lässt sich nach der Beziehung T ¼ 2 p L C aus der Induktivität L und der
Kapazität C berechnen (Bild VI-16).
C
Bild VI-16
Elektromagnetischer Schwingkreis
L
L 0 ¼ 0,1 H
und
a)
Berechnen Sie die Schwingungsdauer für die Werte
C 0 ¼ 10 mF.
b)
Bei einer Kapazitätsänderung um DC ändert sich die Schwingungsdauer um
DT (die Induktivität bleibe konstant). Leiten Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung einen linearen Zusammenhang zwischen diesen Größen her.
c)
Berechnen Sie mit dieser linearen Näherungsformel die nderung DT der
Schwingungsdauer für den Fall einer Kapazitätszunahme um DC ¼ 0,6 mF
und vergleichen Sie diesen Wert mit dem exakten Wert.
17) In der Relativitätstheorie wird gezeigt, dass die Elektronenmasse m mit der Elektronengeschwindigkeit v nach der Formel
m0
m ¼ m ðvÞ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 ðv=cÞ 2
zunimmt (m 0 : Ruhemasse des Elektrons; c: Lichtgeschwindigkeit). Zeigen Sie
mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung, dass zwischen den Größen m und v in
1. Näherung der folgende Zusammenhang besteht:
v2
m m0 1 þ
2 c2
18) Die folgenden Grenzwerte führen zunächst auf einen unbestimmten Ausdruck vom
0“
1“
Typ
bzw.
. Berechnen Sie diese Grenzwerte unter Anwendung der
„0
„1
Regel von Bernoulli und de L’Hospital:
aÞ
dÞ
lim
tan x
x
bÞ
lim
x ex
1 ex
eÞ
x!0
x!0
lim
cos x 1
x
cÞ
lim
xn an
x a
fÞ
x!0
x!a
lim
sin x
x
lim
ln x
x2
x!0
x!1
bungsaufgaben
gÞ
jÞ
639
3 tan x
sin ð2 xÞ
lim
x!p
hÞ
x3 2
lim
e2x
x!1
lim
x!0
ln ð1 þ xÞ
x
iÞ
lim ðe x kÞ
x!1
pﬃﬃﬃﬃ
xÞ
fÞ
1
1
tan x
x
lim
x!0
x!1
ln x
ex
pﬃﬃﬃﬃ
tanh ð x Þ
p
ﬃﬃﬃﬃ
lim
x
x!0
19) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
x
1
aÞ lim ð2 xÞ x
bÞ lim
x
x!0
x!0
dÞ
lim
eÞ
lim ðx pÞ tan
x!p
cÞ
lim ðx 2 ln xÞ
x!0
x
2
Anleitung: Die Grenzwerte sind von einem Typ, auf den die Regel von Bernoulli
und de L’Hospital zunächst nicht anwendbar ist. Mit Hilfe elementarer Umformun0“
1“
gen gelingt es jedoch, die unbestimmte Form
bzw.
herzustellen, auf
„0
„1
die man dann die Grenzwertregel anwenden darf.
20) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe einer geeigneten Potenzreihenentwicklung:
aÞ
cÞ
lim
1 cos x
x2
bÞ
lim
cosh x 1
x
dÞ
x!0
x!0
lim
2 ðx sin xÞ
e x 1 þ sin x
lim
sin 2 x
x
x!0
x!0
21) Bestimmen Sie den Grenzwert
lim ðx e x Þ
x!1
vom Typ „1 1“ durch Ausklammern der Exponentialfunktion und Verwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de L’Hospital.
640
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlenmenge R dar und
erweisen sich in den technischen Anwendungen als ein sehr nützliches mathematisches
Hilfsmittel. Ein wichtiges Beispiel dafür bietet die komplexe Wechselstromrechnung der
Elektrotechnik, auf die wir im Anwendungsteil näher eingehen werden.
1.1 Definition einer komplexen Zahl
Alle bisherigen Rechenoperationen beruhen auf den reellen Zahlen, die sich in umkehrbar eindeutiger Weise durch Punkte auf einer gerichteten Geraden, Zahlengerade genannt, darstellen lassen. Die reelle Zahl x wird dabei durch den Punkt P ðxÞ repräsentiert (Bild VII-1).
–1,5
5/3
P(x)
Bild VII-1
–3
–2
–1
0
1
2
x
Bereits beim Lösen einfachster quadratischer Gleichungen können jedoch Probleme auftreten, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen werden. Während die Gleichung x 2 ¼ 1 im
Bereich der reellen Zahlen lösbar ist (ihre Lösungen sind x 1=2 ¼ 1), lässt sich die ebenso einfache Gleichung x 2 ¼ 1 im Reellen nicht lösen, da bekanntlich das Quadrat einer
reellen Zahl (ob positiv oder negativ) stets größer oder gleich Null, niemals aber negativ ist:
(
Keine reellen Lösungen ,
2
x ¼ 1 )
da x 2 0 f ür jedes x 2 R ist :
Es besteht jedoch der Wunsch, auch diese einfache Gleichung lösen zu können. Da dies
im Reellen nicht möglich ist, müssen wir den Zahlenbereich in geeigneter Weise erweitern, d. h. neue Zahlen „erfinden“, mit deren Hilfe auch Gleichungen wie x 2 ¼ 1
gelöst werden können. berlegungen in dieser Richtung werden uns auf eine neue Zahlenmenge, die sog. „komplexen Zahlen“, führen. Von diesen Zahlen erwarten wir, dass
man mit ihnen ähnlich rechnen kann wie mit reellen Zahlen, und sie sollten in gewisser
Weise die reellen Zahlen als „Sonderfall“ mitenthalten.
An dieser Stelle sei daran erinnert, dass auch die uns inzwischen so vertrauten reellen
Zahlen nicht einfach „vom Himmel gefallen“ sind, sondern vielmehr das Ergebnis mehrmaliger Erweiterungen eines Zahlenbereiches sind. In Bild VII-2 wird dieser Erweiterungsprozess in anschaulicher Weise dargestellt.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
a)
b)
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
–3
–2
–1
– 5/3
– 0,5
3/2
Rationale Zahlen
c)
–3
–2
0
–1
– 5/3
d)
641
1
– 0,5
e π
2
Reelle Zahlen
–3
–2
–1
0
1
2
3
Bild VII-2 Erweiterung des Zahlenbereichs von den natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen
Ausgangspunkt sind dabei die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, . . .). Durch Hinzunahme
der negativen ganzen Zahlen (entstanden durch Spiegelung der natürlichen Zahlen am
Nullpunkt) gelangt man zu den ganzen Zahlen (0, 1, 2, 3, . . .). Noch ist jedoch
auf dem Zahlenstrahl genügend Platz für weitere Zahlen. Die nächste Erweiterung des
Zahlenbereiches führt zu den rationalen Zahlen (alle Brüche vom Typ m=n, wobei m
eine ganze und n eine positive ganze Zahl bedeuten). Noch immer gibt es freie Plätze
auf
pﬃﬃﬃﬃﬃ der Zahlengeraden. Erst durch die Hinzunahme der irrationalen Zahlen (wie z. B.
2 , e, p) werden die noch vorhandenen Lücken auf der Zahlengeraden geschlossen:
Jeder Punkt auf dieser Geraden repräsentiert jetzt eine reelle Zahl in umkehrbar eindeutiger Weise. Der Erweiterungsprozess ist damit (zunächst) abgeschlossen.
Erweiterung des Zahlenbereichs
Analog zu den reellen Zahlen sollen auch die neuen sog. „komplexen Zahlen“ durch
Bildpunkte dargestellt werden. Da auf dem Zahlenstrahl keine freien Plätze mehr vorhanden sind (jeder Platz ist bereits mit einer reellen Zahl belegt), müssen wir in die Ebene
„ausweichen“. Dort stehen noch genügend freie Plätze für weitere Zahlen zur Verfügung.
Wir führen jetzt die neuen Zahlen wie folgt ein:
In der x, y-Ebene soll der Punkt P ¼ ðx; yÞ mit den kartesischen Koordinaten x und
y die neue sog. „komplexe Zahl“ z repräsentieren, für die wir die symbolische Schreibweise
z ¼ x þ jy
ðVII-1Þ
wählen, wobei j als „imaginäre Einheit“ bezeichnet wird (Bild VII-3). Die komplexe
Zahl z ist damit durch das geordnete (relle) Zahlenpaar (x; y) eindeutig beschrieben:
z ¼ x þ j y $ P ðzÞ ¼ ðx; yÞ
642
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
y
y
P(z) = (x ; y)
Bild VII-3
Darstellung einer komplexen Zahl
durch einen Bildpunkt der Ebene
x
x
Komplexe Zahl
Unter einer komplexen Zahl z versteht man ein geordnetes Paar (x; y) aus zwei
reellen Zahlen x und y. Symbolische Schreibweise:
z ¼ x þ jy
ðVII-2Þ
Die komplexe Zahl z ¼ x þ j y wird dabei durch den Punkt P ðzÞ ¼ ðx; yÞ der
x, y-Ebene eindeutig repräsentiert (Bild VII-3).
Anmerkungen
(1)
In der Mathematik wird die imaginäre Einheit meist durch das Symbol i gekennzeichnet. Wir werden dieses Symbol jedoch nicht verwenden, um Verwechslungen
mit der Stromstärke i zu vermeiden.
(2)
Die Darstellungsform z ¼ x þ j y ist die Normalform einer komplexen Zahl. Sie
wird auch als algebraische oder kartesische Form bezeichnet (siehe hierzu auch
den späteren Abschnitt 1.4.1).
(3)
Die reellen Bestandteile x und y der komplexen Zahl z ¼ x þ j y werden als
Realteil und Imaginärteil von z bezeichnet. Symbolische Schreibweise:
(4)
Realteil von z:
Re ðzÞ ¼ x
Imaginärteil von z:
Im ðzÞ ¼ y
Die Menge
C ¼ fz j z ¼ x þ j y
mit
x, y 2 Rg
ðVII-3Þ
heißt Menge der komplexen Zahlen.
Hinweis zur symbolischen Schreibweise
Die gewählte Schreibweise z ¼ x þ j y für eine komplexe Zahl erinnert – formal
betrachtet – an eine Summe aus zwei Zahlen x und j y, von denen die 1. Zahl eine
reelle Zahl ist, während wir über die Art der 2. Zahl zunächst wenig wissen (sie ist
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
643
jedenfalls nicht reell). Das Verknüpfungszeichen „+“ in z ¼ x þ j y bedeutet an dieser Stelle keine Addition (wir haben für komplexe Zahlen noch keinerlei Rechenoperationen festgelegt). Man hätte also auch ein (beliebiges) anderes Verknüpfungszeichen
wählen können. Es ist jedoch kein Zufall, dass man sich für das Additionszeichen
„+“ entschieden hat. Etwas später werden wir sehen, dass die komplexe Zahl
z ¼ x þ j y in der Tat als eine Summe zweier spezieller komplexer Zahlen aufgefasst
werden kann.
1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene
Alle Punkte der x-Achse haben den Ordinatenwert y ¼ 0, repräsentieren also komplexe
Zahlen mit einem verschwindenden Imaginärteil Im ðzÞ ¼ y ¼ 0 und können daher als
reelle Zahlen identifiziert werden:
reelle Zahl:
z ¼ x þ j0 x
Die reellen Zahlen sind also ein Sonderfall der komplexen Zahlen. Ihre Bildpunkte liegen auf der x-Achse, die daher zu Recht in reelle Achse umbenannt wird (Re ðzÞ; siehe
Bild VII-4).
Die auf der y-Achse liegenden Bildpunkte haben den Abszissenwert x ¼ 0 und repräsentieren somit komplexe Zahlen mit einem verschwindenden Realteil Re ðzÞ ¼ x ¼ 0.
Sie werden (wegen der enthaltenen imaginären Einheit j) als imaginäre Zahlen bezeichnet:
imaginäre Zahl:
z ¼ 0 þ jy jy
Die bisherige y-Achse wird daher im Folgenden als imaginäre Achse bezeichnet
(Im ðzÞ; siehe Bild VII-4). Auch die imaginären Zahlen sind demnach ein Sonderfall
der komplexen Zahlen. Aus den genannten Gründen bezeichnen wir fortan die x, y-Ebene als komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene (Bild VII-5).
Im (z)
Im (z)
y
z = x + jy
z = j y (Imaginäre Zahl)
z=x
(Reelle Zahl)
Re (z)
Bild VII-4 Bildliche Darstellung einer reellen
bzw. imaginären Zahl
x
Bild VII-5 Komplexe oder Gaußsche
Zahlenebene
Re (z)
644
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
In den technischen Anwendungen werden komplexe Zahlen oft durch sog. Zeiger dargestellt. Es handelt sich dabei um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl z in
Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P ðzÞ gerichtet ist
(Bild VII-6). Wir kennzeichnen ihn durch das Symbol z ¼ x þ j y (unterstrichene
komplexe Zahl).
Im (z)
z = x + jy
y
Bild VII-6
Bildliche Darstellung einer
komplexen Zahl durch einen
Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene
x
Re (z)
Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene
Eine komplexe Zahl z ¼ x þ j y lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch
den Bildpunkt P ðzÞ ¼ ðx; yÞ (Bild VII-5) oder durch den Zeiger z ¼ x þ j y
(Bild VII-6) geometrisch darstellen. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen dabei
auf der reellen Achse, die Bildpunkte der imaginären Zahlen auf der imaginären
Achse.
Anmerkungen
&
(1)
Der Zeiger z ist eine geometrische Darstellungsform der komplexen Zahl z und
nicht mit einem Vektor zu verwechseln (Vektoren und Zeiger unterliegen unterschiedlichen Rechengesetzen).
(2)
Sowohl die Menge der reellen Zahlen als auch die Menge der imaginären Zahlen
sind echte Teilmengen der Menge C.
(3)
Wir kennzeichnen den Bildpunkt P ðzÞ einer komplexen Zahl z meist durch das
Zahlensymbol selbst.
Beispiele
(1)
Bild VII-7 zeigt die Lage der Bildpunkte von
z1 ¼ 2 þ 4 j ,
z2 ¼ 4 þ j ,
z3 ¼ 3 j , z4 ¼ 3 , z5 ¼ 6 þ 2 j ,
z6 ¼ 3 4 j , z7 ¼ 2 3 j ,
in der Gaußschen Zahlenebene.
z8 ¼ 2 þ 4 j
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
645
Im (z)
5
z8
z1
z3
z5
z2
1
z4
–5
–1
1
5
Re (z)
–1
z7
z6
–5
Bild VII-7
(2)
Die komplexen Zahlen
z1 ¼ 9 þ 3 j ,
z2 ¼ 4 þ 5 j ,
z5 ¼ 3 3 j ,
z3 ¼ 3 þ 4 j ,
z6 ¼ 3 2 j ,
z4 ¼ 7 ,
z7 ¼ 4 j
sind in Bild VII-8 durch Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt.
Im (z)
z2
5
z3
z1
z4
–5
5
10
Re (z)
z6
z5
z7
–5
Bild VII-8
&
646
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
1.3 Weitere Grundbegriffe
Wir behandeln in diesem Abschnitt die folgenden Grundbegriffe: Gleichheit zweier komplexer Zahlen, Betrag einer komplexen Zahl, konjugiert komplexe Zahl.
Gleichheit zweier komplexer Zahlen
Definition: Zwei komplexe Zahlen z 1 ¼ x 1 þ j y 1 und z 2 ¼ x 2 þ j y 2 heißen
gleich, z 1 ¼ z 2 , wenn
x1 ¼ x2
y1 ¼ y2
und
ðVII-4Þ
ist.
Zwei komplexe Zahlen sind demnach gleich, wenn sie sowohl in ihrem Realteil als auch
in ihrem Imaginärteil übereinstimmen. Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger fallen
dann zusammen.
Betrag einer komplexen Zahl
Definition: Unter dem Betrag j z j der komplexen Zahl z ¼ x þ j y versteht
man die Länge des zugehörigen Zeigers (Bild VII-9):
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðVII-5Þ
jzj ¼
x2 þ y2
Im (z)
z = x + jy
|z
|
y
Bild VII-9
Zum Begriff des Betrages einer
komplexen Zahl
x
Re (z)
Anmerkungen
(1)
Definitionsgleichung (VII-5) folgt unmittelbar aus Bild VII-9 durch Anwendung
des Satzes von Pythagoras auf das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck.
(2)
Der Betrag j z j einer komplexen Zahl z ist eine Abstandsgröße (Abstand des
Bildpunktes von z vom Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene). Daher ist
j z j 0.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
&
647
Beispiel
Die komplexen Zahlen z 1 ¼ 3 4 j , z 2 ¼ 3 j und z 3 ¼ 2 8 j besitzen folgende Beträge:
j z1 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3 2 þ ð 4Þ 2 ¼ 25 ¼ 5 ;
j z3 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 2Þ 2 þ ð 8Þ 2 ¼ 68 ¼ 8,25
j z2 j ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
02 þ 32 ¼ 9 ¼ 3 ;
&
Konjugiert komplexe Zahl
Definition: Die komplexe Zahl
z * ¼ ðx þ j yÞ * ¼ x þ j ð yÞ ¼ x j y
ðVII-6Þ
heißt die zu z ¼ x þ j y konjugiert komplexe Zahl.
Der bergang von der komplexen Zahl z zur konjugiert komplexen Zahl z * bedeutet
(formal betrachtet) einen Vorzeichenwechsel im Imaginärteil, während der Realteil unverändert bleibt. Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen daher spiegelsymmetrisch
zur reellen Achse (Bild VII-10).
Im (z)
y
z = x + jy
Bild VII-10
Zum Begriff der
konjugiert komplexen Zahl
Re (z)
x
–y
z* = x – j y
Anmerkungen
(1)
Formal lässt sich der bergang von der komplexen Zahl z ¼ x þ j y zur konjugiert komplexen Zahl z * ¼ x j y durch die Substitution j ! j beschreiben. z und z * haben den gleichen Betrag: j z j ¼ j z * j.
(2)
Für zwei zueinander konjugiert komplexe Zahlen z 1 und z 2 gilt:
z 1 ¼ z *2
und
z 2 ¼ z *1
ðVII-7Þ
648
(3)
&
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Es ist stets ðz *Þ * ¼ z (zweimalige Spiegelung an der reellen Achse führt zum
Ausgangspunkt zurück).
Beispiele
(1)
Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 ¼ 3 þ 3 j , z2 ¼ 2 3 j , z3 ¼ 5 2 j , z4 ¼ 4 j ,
z5 ¼ 8
Die konjugiert komplexen Zahlen lauten:
z *1 ¼ ð3 þ 3 jÞ * ¼ 3 3 j
z *2 ¼ ð 2 3 jÞ * ¼ 2 þ 3 j
z *3 ¼ ð5 2 jÞ * ¼ 5 þ 2 j
z *4 ¼ ð 4 jÞ * ¼ 4 j
z *5 ¼ ð8Þ * ¼ 8
Bild VII-11 zeigt die Lage der zugehörigen Bildpunkte und Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene (Zeigerspitze ¼ Bildpunkt).
Im (z)
z *4
z 2*
z1
z 3*
1
z 5 = z *5
–1
5
Re (z)
–1
z3
z2
z *1
z4
Bild VII-11
(2)
Wir zeigen geometrisch, dass eine komplexe Zahl z mit der Eigenschaft z ¼ z *
reell ist.
Die Zeiger zweier konjugiert komplexer Zahlen z und z * liegen bekanntlich spiegelsymmetrisch zur reellen Achse (siehe hierzu auch Bild VII-10).
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
649
Die Gleichung z ¼ z * bedeutet, dass die zugehörigen Zeiger z und z * zusammenfallen. Beide Bedingungen sind nur miteinander in Einklang zu bringen, wenn der
Zeiger z in der reellen Achse liegt und somit eine reelle Zahl darstellt (Bild VII-12).
Im (z)
z = z*
&
Bild VII-12
Re (z)
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl
1.4.1 Algebraische oder kartesische Form
In Abschnitt 1.1 wurde die komplexe Zahl z (formal gesehen) als algebraische Summe
aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl j y eingeführt:
z ¼ x þ jy
ðVII-8Þ
Diese Darstellungsform heißt daher „algebraisch“. Auch für die ebenfalls übliche Bezeichnung kartesische Form gibt es eine einleuchtende Erklärung: Real- und Imaginärteil
der komplexen Zahl z repräsentieren die kartesischen Koordinaten des zugehörigen
Bildpunktes P ðzÞ ¼ ðx; yÞ in der Gaußschen Zahlenebene. Die algebraische oder kartesische Form ist die Normalform einer komplexen Zahl.
1.4.2 Trigonometrische Form
Den Bildpunkt P ðzÞ einer komplexen Zahl z ¼ x þ j y können wir auch durch Polarkoordinaten r und j festlegen (Bild VII-13). Mit Hilfe der aus dem Bild ersichtlichen
Transformationsgleichungen
x ¼ r cos j,
y ¼ r sin j
ðVII-9Þ
lässt sich die komplexe Zahl z aus der kartesischen Form in die sog. trigonometrische Form
z ¼ x þ j y ¼ r cos j þ j r sin j ¼ r ðcos j þ j sin jÞ
ðVII-10Þ
überführen (Bezeichnung „trigonometrische“ Form wegen der auftretenden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus).
Im (z)
z = x + jy
r
y
Bild VII-13
Zur trigonometrischen Form einer
komplexen Zahl
f
x
Re (z)
650
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Für r und j sind in der komplexen Rechnung die Bezeichnungen
r:
Betrag von z (also r ¼ j z j)
j:
Argument 1), Winkel oder Phase von z
üblich. Für die Abstandsgröße r gilt stets r 0. Die Winkelkoordinate j ist unendlich
vieldeutig, denn jede weitere volle Umdrehung führt zum gleichen Bildpunkt. Man beschränkt sich daher bei der Winkelangabe meist auf den im Intervall 0 j < 2 p gelegenen Hauptwert. Dies entspricht einer Drehung aus der positiven reellen Achse heraus
im Gegenuhrzeigersinn (positiver Drehsinn) um einen Winkel zwischen 0 und 360 .
Wichtiger Hinweis zum Begriff „Hauptwert eines Winkels“
Vereinbarungsgemäß liegt unser Winkelhauptwert im Intervall 0 j < 2 p. Im technischen Bereich (insbesondere in der Elektrotechnik) wird jedoch häufig der kleinstmögliche Drehwinkel als Hauptwert angegeben. Den 1. und 2. Quadranten erreicht man dabei durch Drehung im Gegenuhrzeigersinn (positiver Drehwinkel von 0 bis 180 bzw.
von 0 bis p), den 3. und 4. Quadranten dagegen durch Drehung im Uhrzeigersinn
(negativer Drehwinkel von 0 bis 180 bzw. von 0 bis p), wobei die Drehung
jeweils aus der positiv-reellen Achse heraus erfolgt. Der Hauptwert des Winkels liegt bei
dieser Festlegung dann im Intervall p < j p.
Der bergang von der komplexen Zahl z zur konjugiert komplexen Zahl z * bedeutet
geometrisch eine Spiegelung des Bildpunktes P ðzÞ an der reellen Achse (Bild VII-14).
Dabei tritt ein Vorzeichenwechsel im Argument (Winkel) j ein (Drehung im mathematisch negativen Drehsinn), während der Betrag r unverändert bleibt. Die zu
z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ konjugiert komplexe Zahl z * lautet daher in der trigonometrischen Darstellungsform wie folgt:
z * ¼ r ½ cos ð jÞ þ j sin ð jÞ ¼ r ðcos j j sin jÞ
ðVII-11Þ
Formal kann der bergang von z nach z * auch durch die Substitution j ! j beschrieben werden.
Im (z)
z
|z
|=
r
Bild VII-14
Zur trigonometrischen Darstellungsform
der konjugiert komplexen Zahl
f
–f
Re (z)
| z*
|=
r
z*
1Þ
Schreibweise: j ¼ arg ðzÞ
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
&
651
Beispiele
(1)
Die in der trigonometrischen Form vorliegenden komplexen Zahlen
3
3
p þ j sin
p ,
z 1 ¼ 2 ðcos 30 þ j sin 30 Þ ,
z 2 ¼ 3 cos
4
4
z 3 ¼ 5 ðcos p þ j sin pÞ ,
z 4 ¼ 3 ðcos 250 þ j sin 250 Þ ,
p
p þ j sin
, z 6 ¼ 4 ½ cos ð 45 Þ þ j sin ð 45 Þ z 5 ¼ 3 cos
2
2
sind in Bild VII-15 durch Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt.
Im (z)
3
z5
z2
z1
1
z3
–5
–1
1
Re (z)
–2
z4
(2)
h
p
p i
þ j sin
,
z 1 ¼ 3 cos
3
3
z6
Bild VII-15
z 2 ¼ 4 ½ cos ð 160 Þ þ j sin ð 160 Þ Wie lauten die zugehörigen konjugiert komplexen Zahlen?
Lösung:
h
p
p i
z *1 ¼ 3 cos
j sin
,
3
3
z *2 ¼ 4 ½ cos ð 160 Þ j sin ð 160 Þ ¼ 4 ðcos 160 þ j sin 160 Þ
(wegen cos ð 160 Þ ¼ cos 160 und sin ð 160 Þ ¼ sin 160 Þ
In Bild VII-16 ist die Lage der Bildpunkte und Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene anschaulich dargestellt.
652
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Im (z)
z1
z 2*
1
1
Re (z)
–1
z2
z 1*
Bild VII-16
&
1.4.3 Exponentialform
Unter Verwendung der von Euler stammenden Formel 2)
e j j ¼ cos j þ j sin j
ðVII-12Þ
erhält man aus der trigonometrischen Form z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ die als Exponentialform bezeichnete (knappe) Darstellungsform
z ¼ r ðcos j þ j sin j Þ ¼ r e j j
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ejj
2)
ðVII-13Þ
Die Eulersche Formel erhält man am bequemsten aus der Mac Laurinschen Reihe von e x , indem man x
durch j j ersetzt und dabei die Beziehung j 2 ¼ 1 beachtet, die wir in Abschnitt 2.1.2 herleiten werden:
ejj ¼ 1 þ
ðj jÞ 1
ðj jÞ 2
ðj jÞ 3
ðj jÞ 4
ðj jÞ 5
ðj jÞ 6
ðj jÞ 7
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ ... ¼
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
j2
j3
j4
j5
j6
j7
j
þ
þj
j
þ ... ¼
2!
3!
4!
5!
6!
7!
j2
j4
j6
j3
j5
j7
¼ 1
þ
þ ... þ j j þ
þ ... ¼
2!
4!
6!
3!
5!
7!
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
cos j
sin j
¼ 1 þ jj ¼ cos j þ j sin j
Die in den Klammern stehenden Potenzreihen sind nämlich genau die Mac Laurinschen Reihen von cos j
und sin j.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
653
Diese Schreibweise wird sich später noch als besonders vorteilhaft bei der Ausführung
der Rechenoperationen Multiplikation und Division erweisen.
Die zu z ¼ r e j j konjugiert komplexe Zahl z * lautet in der Exponentialform:
z * ¼ ½ r e j j * ¼ r e j ð jÞ ¼ r e j j
ðVII-14Þ
Anmerkungen
(1)
Die in der Eulerschen Formel (VII-12) auftretende komplexe Exponentialfunktion
ist eine komplexwertige Funktion der reellen Variablen j und im Gegensatz zur
reellen e-Funktion periodisch mit der Periode 2 p :
e j ðjþ k 2 pÞ ¼ cos ðj þ k 2 pÞ þ j sin ðj þ k 2 pÞ ¼
¼ cos j þ j sin j ¼ e j j
ðk 2 ZÞ
ðVII-15Þ
(da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode 2 p sind).
(2)
&
Wiederum gilt: Ersetzt man formal j durch j, so erhält man aus z die konjugiert komplexe Zahl z *.
Beispiele
(1)
Die in der Exponentialform vorliegenden komplexen Zahlen
2
z 1 ¼ 3 e j 45 ,
3
z2 ¼ 4 ej 3 p ,
z3 ¼ 4 ej 2 p ,
z5 ¼ 6 ejp ,
z 6 ¼ 4 e j 340
z 4 ¼ 3 e j 110 ,
sind in der Gaußschen Zahlenebene durch Bildpunkte und Zeiger bildlich darzustellen. Die Lösung findet der Leser in Bild VII-17.
Im (z)
4
z2
z1
1
z5
–5
1
–1
–1
z4
–4
Bild VII-17
4
z3
z6
Re (z)
654
(2)
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir bestimmen die zu
p
z1 ¼ 3 ej 3 ,
z 2 ¼ 5 e j 160
und
z 3 ¼ 6 e j 20
konjugiert komplexen Zahlen. Sie lauten:
p
z1 ¼ 3 ej 3
z 2 ¼ 5 e j 160
z 3 ¼ 6 e j 20
)
z *1 ¼ 3 e j ð 3 Þ ¼ 3 e j 3
)
z *2 ¼ 5 e j ð 160
)
z *3 ¼ 6 e j ð 20 Þ ¼ 6 e j 20
p
p
Þ
¼ 5 e j 160
In Bild VII-18 ist die Lage der Bildpunkte und Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt.
Im (z)
z1
z 3*
z2
1
–5
1
5
Re (z)
–1
z 2*
z3
z *1
&
Bild VII-18
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen
Die nachfolgende Zusammenfassung enthält die verschiedenen Darstellungsformen einer
komplexen Zahl.
Darstellungsformen einer komplexen Zahl
1. Algebraische oder kartesische Form (Normalform)
z ¼ x þ jy
x: Realteil von z
y: Imaginärteil von z
ðVII-16Þ
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
655
2. Trigonometrische Form
z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ
ðVII-17Þ
r: Betrag von z (also r ¼ j z j)
j: Argument (Winkel, Phase) von z
3. Exponentialform
z ¼ r ejj
ðVII-18Þ
r: Betrag von z (also r ¼ j z j)
j: Argument (Winkel, Phase) von z
Anmerkungen
(1)
Sowohl der trigonometrischen als auch der exponentiellen Darstellungsform liegen
Polarkoordinaten zugrunde. Wir fassen diese Schreibweisen daher unter der Sammelbezeichnung „Polarformen“ zusammen. Die Exponentialform ist dabei gewissermaßen eine Kurzschreibweise für die trigonometrische Form.
(2)
Für alle drei Darstellungsformen gilt: Ersetzt man formal j durch j, so geht
die komplexe Zahl z in die zugehörige konjugierte komplexe Zahl z * über.
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen
Umrechnung: Polarform ! Kartesische Form
Die komplexe Zahl liege in der trigonometrischen oder in der Exponentialform vor und
soll in die kartesische Form umgerechnet werden. Dies geschieht wie folgt:
Umrechnung einer komplexen Zahl: Polarform ! Kartesische Form
Eine in der Polarform z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ oder z ¼ r e j j vorliegende
komplexe Zahl lässt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen
x ¼ r cos j ,
y ¼ r sin j
ðVII-19Þ
in die kartesische Form z ¼ x þ j y überführen.
Anmerkung
Die Transformationsgleichungen (VII-19) beschreiben den bergang von den Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten. In der Praxis geht man dabei wie folgt
vor:
656
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Zunächst wird die komplexe Zahl von der Exponentialform in die trigonometrische
Form gebracht, dann wird nach den aus der reellen Rechnung bekannten Regeln „ausmultipliziert“ 3) :
z ¼ r e j j ¼ r ðcos j þ j sin jÞ ¼ ðr cos jÞ þ j ðr sin jÞ ¼ x þ j y
|ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ}
|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ}
x
y
&
Beispiele
Die folgenden in der trigonometrischen Form bzw. Exponentialform vorliegenden komplexen Zahlen sind in der Normalform (kartesischen Form) darzustellen:
3
z 1 ¼ 2 ðcos 30 þ j sin 30 Þ , z 2 ¼ 3 e j 4 p ,
z 3 ¼ 5 ðcos p þ j sin pÞ ,
h
p
p i
z 5 ¼ 4 cos
þ j sin
,
2
2
z 4 ¼ 3 e j 250 ,
z 6 ¼ 4 e j 45
Lösung:
z1 ¼ 2
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 þ j 0,5
2
z2 ¼ 3 e
j 34 p
¼ 3 cos
pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 þ j 1 ¼ 1,73 þ j
¼
3
p
4
þ j sin
3
p
4
¼
1 pﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃ
3 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 3 2þj
2 ¼ 2 þ
2 j ¼ 2,12 þ 2,12 j
2
2
2
2
z 3 ¼ 5 ð 1 þ j 0Þ ¼ 5
ðreelle ZahlÞ
z 4 ¼ 3 e j 250 ¼ 3 ðcos 250 þ j sin 250 Þ ¼ 1,03 2,82 j
z 5 ¼ 4 ð0 þ j 1Þ ¼ 4 j
ðimaginäre ZahlÞ
z 6 ¼ 4 e j 45 ¼ 4 ½ cos ð 45 Þ þ j sin ð 45 Þ ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃ
2j
2 ¼ 2 2 2 2 j ¼ 2,83 2,83 j
¼ 4
2
2
3)
Der erste Schritt entfällt, wenn die komplexe Zahl bereits in der trigonometrischen Form vorliegt.
&
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
657
Umrechnung: Kartesische Form ! Polarform
Die komplexe Zahl liege in der kartesischen Form (Normalform) vor und soll in die
Polarform, d. h. in die trigonometrische oder in die Exponentialform umgerechnet werden. Anhand von Bild VII-19 ergeben sich dabei die folgenden Transformationsgleichungen:
Umrechnung einer komplexen Zahl: Kartesische Form ! Polarform
Eine in der kartesischen Form z ¼ x þ j y vorliegende komplexe Zahl lässt sich
mit Hilfe der Transformationsgleichungen
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
y
tan j ¼
r ¼ jzj ¼
x2 þ y2 ,
ðVII-20Þ
x
und unter Berücksichtigung des Quadranten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt,
in die trigonometrische Form z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ bzw. in die Exponentialform z ¼ r e j j überführen (Bild VII-19).
Im (z)
z = x + jy
|z
|=
r
Bild VII-19
Zur Transformation einer komplexen
Zahl aus der kartesischen Form in
eine Polarform
y
f
x
Re (z)
Bei der Winkelbestimmung ist besondere Sorgfalt geboten. Wir beschränken uns dabei
vereinbarungsgemäß auf den im Intervall 0 j < 2 p gelegenen Hauptwert. Dieser Winkel lässt sich bequem anhand einer Lageskizze der komplexen Zahl über einen
Hilfswinkel in einem rechtwinkligen Hilfsdreieck berechnen (siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (1)). Allgemein ergeben sich für den Hauptwert des Winkels j in
Abhängigkeit vom Quadranten die folgenden Berechnungsformeln (Winkelangabe im
Bogenmaß):
Quadrant
j¼
I
arctan
y
x
II, III
y
arctan
þp
x
IV
y
arctan
þ 2p
x
Bei Verwendung des Gradmaßes muss p durch 180 ersetzt werden.
658
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Zur Herleitung dieser Formeln
Wir beschränken uns auf den 2. Quadranten. Anhand von Bild VII-20 berechnen wir
zunächst den Hilfswinkel a im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten j x j ¼ x
und y:
y y
y
y
tan a ¼
¼
) a ¼ arctan
¼ arctan
jxj
x
x
x
Für den Hauptwert j folgt dann:
j ¼ 180 a ¼ 180 þ arctan
y
x
¼
b p þ arctan
y
x
Im (z)
z = x + jy
y
y
ϕ
α
x
Bild VII-20
|x | = – x
Re (z)
Anmerkungen
(1)
Werden die Hauptwerte im Intervall p < j p angegeben (wie in der Technik, insbesondere der Elektrotechnik oft üblich), so erhält man die folgende Berechnungsformel:
j¼
(2)
8
>
<
>
: arccos ðx=rÞ
f ür
9
y 0>
=
ðVII-21Þ
>
y < 0;
Für die reellen Zahlen z ¼ x þ 0 j ¼ x gilt:
r ¼ jxj
(3)
arccos ðx=rÞ
und
j¼
8
>
<
>
:
x > 0
0
unbestimmt
f ür
p
x ¼ 0
x < 0
Für die imaginären Zahlen z ¼ 0 þ j y ¼ j y gilt:
r ¼ jyj
und
j¼
8
p=2
>
<
>
: 3 p=2
f ür
9
y > 0>
=
>
y < 0;
ðNullpunktÞ
9
>
=
>
;
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
&
Beispiele
(1)
Die komplexe Zahl z ¼ 659
pﬃﬃﬃﬃﬃ
3 j liegt im 3. Quadranten (Bild VII-21).
Im (z)
– 3
f
3
Bild VII-21
a
Re (z)
1
–1
z=– 3 – j
Ihr Betrag ist
r ¼ jzj ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 3 Þ 2 þ ð 1Þ 2 ¼ 3 þ 1 ¼ 4 ¼ 2
Der Phasenwinkel j liegt zwischen 180 und 270 (Hauptwert). Wir berechnen
ihn über den Hilfswinkel a:
j 1j
1
pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
tan a ¼
j 3j
3
)
a ¼ arctan
j ¼ 180 þ a ¼ 180 þ 30 ¼ 210 ¼
b
1
pﬃﬃﬃﬃﬃ
3
¼ 30
7
p
6
Die Anwendung der weiter vorne angegebenen Berechnungsformel für den 3. Quadranten führt selbstverständlich zum gleichen Ergebnis:
j ¼ p þ arctan
(2)
1
pﬃﬃﬃﬃﬃ
3
1
p
7
¼ p þ arctan pﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ p þ
¼
p
6
6
3
Die in der kartesischen Schreibweise gegebenen komplexen Zahlen
z1 ¼ 3 þ 4 j , z2 ¼ 4 þ 2 j , z3 ¼ 8 3 j , z4 ¼ 4 4 j
sind in der trigonometrischen und exponentiellen Form darzustellen und in der
Gaußschen Zahlenebene durch Bildpunkte bzw. Zeiger zu veranschaulichen.
Lösung: Die Bildpunkte und Zeiger der Zahlen z 1 bis z 4 besitzen die in Bild
VII-22 skizzierte Lage in der Gaußschen Zahlenebene.
660
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Im (z)
z1
4
z2
–8
2
–4
3
4
Re (z)
–3
z3
–4
z4
Bild VII-22
z1 ¼ 3 þ 4 j
(1: Quadrant)
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4
2
2
¼ 53,13 ¼
r1 ¼ j z1 j ¼
3 þ 4 ¼ 5; j1 ¼ arctan
b 0,927
3
z 1 ¼ 3 þ 4 j ¼ 5 ðcos 53,13 þ j sin 53,13 Þ ¼ 5 e j 53,13 ¼
¼ 5 ðcos 0,927 þ j sin 0,927Þ ¼ 5 e j 0,927
z2 ¼ 4 þ 2 j
(2: Quadrant)
r2 ¼ j z2 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 4Þ 2 þ 2 2 ¼ 20 ¼ 4,47
2
þ p ¼ arctan ð 0,5Þ þ p ¼ 0,464 þ p ¼ 2,678
j2 ¼ arctan
4
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
z 2 ¼ 4 þ 2 j ¼ 20 ðcos 2,678 þ j sin 2,678Þ ¼ 20 e j 2,678
z3 ¼ 8 3 j
(3: Quadrant)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 8Þ 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 73 ¼ 8,544
r3 ¼ j z3 j ¼
3
3
j3 ¼ arctan
þ p ¼ arctan
þ p ¼ 0,359 þ p ¼ 3,500
8
8
z 3 ¼ 8 3 j ¼ 8,544 ðcos 3,500 þ j sin 3,500Þ ¼ 8,544 e j 3,500
2 Komplexe Rechnung
z4 ¼ 4 4 j
661
(4: Quadrant)
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
4 2 þ ð 4Þ 2 ¼ 4 2
r4 ¼ j z4 j ¼
4
p
7
þ 2 p ¼ arctan ð 1Þ þ 2 p ¼ þ 2p ¼
p
j4 ¼ arctan
4
4
4
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
7
7
7
p þ j sin
p
¼ 4 2 ej 4 p
z 4 ¼ 4 4 j ¼ 4 2 cos
4
4
&
2 Komplexe Rechnung
2.1 Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Auf der Zahlenmenge C lassen sich – wie bei den reellen Zahlen – vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten erklären. Es sind dies:
Addition (+) und Subtraktion () als Umkehrung der Addition,
Multiplikation () und Division (:) als Umkehrung der Multiplikation.
Bei der Festlegung dieser Operationen ist jedoch zu beachten, dass die reellen Zahlen
einen Sonderfall der komplexen Zahlen darstellen ðR CÞ. Die vier Grundrechenarten
müssen daher so definiert werden, dass die Rechenregeln für komplexe Zahlen im Reellen mit den bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen übereinstimmen (sog. Permanenzprinzip). Mit anderen Worten: Die vier Grundrechenarten müssen so festgelegt werden,
dass reelle und komplexe Zahlen den gleichen Grundgesetzen genügen. Mit einer einzigen Ausnahme: Für komplexe Zahlen lässt sich kein Anordnungsaxiom formulieren.
Daher haben Ungleichungen wie etwa z 1 < z 2 oder z 1 > z 2 für komplexe Zahlen
keinen Sinn.
2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Die Rechenoperationen Addition und Subtraktion sind in der kartesischen Darstellungsform wie folgt definiert:
Definition: Summe z 1 þ z 2 und Differenz z 1 z 2 zweier komplexer Zahlen
z 1 ¼ x 1 þ j y 1 und z 2 ¼ x 2 þ j y 2 werden nach den folgenden
Vorschriften gebildet:
z 1 þ z 2 ¼ ðx 1 þ x 2 Þ þ j ðy 1 þ y 2 Þ
ðVII-22Þ
z 1 z 2 ¼ ðx 1 x 2 Þ þ j ðy 1 y 2 Þ
ðVII-23Þ
662
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Anmerkungen
(1)
Realteile und Imaginärteile werden jeweils für sich addiert bzw. subtrahiert.
(2)
Addition und Subtraktion lassen sich nur in der kartesischen Form durchführen.
Gegebenenfalls müssen daher die Zahlen erst in diese Form umgerechnet werden
(vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (2)).
(3)
Die Addition ist kommutativ: z 1 þ z 2 ¼ z 2 þ z 1 .
Wichtige Folgerung
Addieren wir die beiden speziellen komplexen Zahlen
z 1 ¼ x þ j 0 ¼ x ðreellÞ
und
z 2 ¼ 0 þ j y ¼ j y ðimaginärÞ
so erhalten wir nach Gleichung (VII-22) die komplexe Zahl z ¼ x þ j y:
z 1 þ z 2 ¼ ðx þ j 0Þ þ ð0 þ j yÞ ¼ ðx þ 0 Þ þ j ð0 þ y Þ ¼
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
|ﬄﬄ{zﬄﬄ}
x
y
¼ x þ jy ¼ z
ðVII-24Þ
Wir können daher die komplexe Zahl z ¼ x þ j y im Sinne der komplexen Addition
als Summe aus der reellen Zahl x und der rein-imaginären Zahl j y auffassen. Dies
erklärt, warum bei der Definition der komplexen Zahl die Schreibweise z ¼ x þ j y
mit dem Additionszeichen „+“ als Verknüpfungssymbol gewählt wurde.
&
Beispiele
(1)
Wir bilden mit den Zahlen z 1 ¼ 4 5 j und z 2 ¼ 2 þ 11 j die Summe
z 1 þ z 2 und die Differenz z 1 z 2 :
z 1 þ z 2 ¼ ð4 5 jÞ þ ð2 þ 11 jÞ ¼ ð4 þ 2Þ þ ð 5 þ 11Þ j ¼ 6 þ 6 j
z 1 z 2 ¼ ð4 5 jÞ ð2 þ 11 jÞ ¼ ð4 2Þ þ ð 5 11Þ j ¼ 2 16 j
(2)
Gegeben: z 1 ¼ 3 e j 30 ,
Gesucht:
z1 þ z2
und
h
p
p i
þ j sin
z 2 ¼ 2 cos
4
4
z 1 z 2.
Lösung: Die Zahlen müssen zunächst in die kartesische Form gebracht werden:
z 1 ¼ 3 e j 30 ¼ 3 ðcos 30 þ j sin 30 Þ ¼ 2,598 þ 1,500 j
h
p
p i
þ j sin
¼ 1,414 þ 1,414 j
z 2 ¼ 2 cos
4
4
2 Komplexe Rechnung
663
Addition und Subtraktion sind jetzt leicht durchführbar. Wir erhalten:
z 1 þ z 2 ¼ ð2,598 þ 1,500 jÞ þ ð1,414 þ 1,414 jÞ ¼
¼ ð2,598 þ 1,414Þ þ ð1,500 þ 1,414Þ j ¼ 4,012 þ 2,914 j
z 1 z 2 ¼ ð2,598 þ 1,500 jÞ ð1,414 þ 1,414 jÞ ¼
¼ ð2,598 1,414Þ þ ð1,500 1,414Þ j ¼ 1,184 þ 0,086 j
&
Geometrische Deutung der Addition und Subtraktion
Die Summen- bzw. Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen komponentenweise,
d. h. nach den gleichen Regeln wie bei 2-dimensionalen Vektoren (vgl. hierzu Kap. II,
Abschnitt 2.2.2). Den beiden Vektorkomponenten entsprechen dabei Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl. Die Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen
kann daher auch geometrisch nach der aus der Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel erfolgen (Bild VII-23).
Im (z)
z1 + z2
z2
z1 –
z
2
z1
Bild VII-23
Zur geometrischen Addition
und Subtraktion zweier
komplexer Zahlen
Re (z)
2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen
Multiplikation und Division in kartesischer Form
Definition: Unter dem Produkt
z1 z2
zweier
komplexer Zahlen
z 1 ¼ x 1 þ j y 1 und z 2 ¼ x 2 þ j y 2 wird die komplexe Zahl
z 1 z 2 ¼ ðx 1 x 2 y 1 y 2 Þ þ j ðx 1 y 2 þ x 2 y 1 Þ
verstanden.
Anmerkung
Die Multiplikation ist kommutativ: z 1 z 2 ¼ z 2 z 1 .
ðVII-25Þ
664
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Die Rechenvorschrift (VII-25) ist für die Praxis wenig geeignet: Wer kann sich schon
diese Formel merken? Die Multiplikation lässt sich jedoch wie im Reellen durchführen,
wenn man dabei eine bestimmte Eigenschaft der imaginären Einheit j beachtet, die wir
jetzt herleiten wollen. Wir zeigen durch Anwendung der Rechenvorschrift (VII-25), dass
das Quadrat der imaginären Einheit j, also das Produkt j j, die reelle Zahl 1 ergibt:
j 2 ¼ j j ¼ ð0 þ j 1Þ ð0 þ j 1Þ ¼ ð0 0 1 1Þ þ j ð0 1 þ 0 1Þ ¼
¼ 1 þ j0 ¼ 1
ðVII-26Þ
Analog erhalten wir: ð jÞ 2 ¼ ð jÞ ð jÞ ¼ 1
Eigenschaft der imaginären Einheit j
Für das Quadrat der imaginären Einheit j gilt:
j2 ¼ j j ¼ 1
ðVII-27Þ
Wenn wir diese wichtige Beziehung beachten, lässt sich die Multiplikation zweier komplexer Zahlen wie im Reellen durchführen („Ausmultiplizieren“ der beiden Klammern):
z 1 z 2 ¼ ðx 1 þ j y 1 Þ ðx 2 þ j y 2 Þ ¼ x 1 x 2 þ j x 1 y 2 þ j x 2 y 1 þ j 2 y 1 y 2 ¼
¼ x 1 x 2 þ j ðx 1 y 2 þ x 2 y 1 Þ 1 y 1 y 2 ¼
¼ ðx 1 x 2 y 1 y 2 Þ þ j ðx 1 y 2 þ x 2 y 1 Þ
(VII-28)
Berechnung des Produktes z 1 z 2
Das Produkt z 1 z 2 ¼ ðx 1 þ j y 1 Þ ðx 2 þ j y 2 Þ zweier komplexer Zahlen z 1
und z 2 wird wie im Reellen durch „Ausmultiplizieren“ der Klammern unter Beachtung der Beziehung j 2 ¼ 1 berechnet.
&
Beispiele
(1)
z1 ¼ 2 4 j , z2 ¼ 3 þ 5 j , z3 ¼ 1 þ 2 j , z1 z2 ¼ ? , z2 z3 ¼ ?
Lösung:
z 1 z 2 ¼ ð2 4 jÞ ð 3 þ 5 jÞ ¼ 6 þ 10 j þ 12 j 20 j 2 ¼
¼ 6 þ 22 j þ 20 ¼ 14 þ 22 j
z 2 z 3 ¼ ð 3 þ 5 jÞ ð 1 þ 2 jÞ ¼ 3 6 j 5 j þ 10 j 2 ¼
¼ 3 11 j 10 ¼ 7 11 j
2 Komplexe Rechnung
(2)
665
Wir berechnen die ersten Potenzen von j:
j 1 ¼ j;
j 2 ¼ 1; j 3 ¼ j 2 j ¼ ð 1Þ j ¼ j ;
j 4 ¼ j 2 j 2 ¼ ð 1Þ ð 1Þ ¼ 1 ;
j5 ¼ j4 j ¼ 1 j ¼ j ; . . .
Die ersten vier Potenzen besitzen der Reihe nach die Werte j , 1, j und 1.
Von der 5. Potenz an wiederholen sich diese Werte. Daher gilt für jedes natürliche n:
j1þ4n ¼ j ;
(3)
j2þ4n ¼ 1 ;
j3þ4n ¼ j ;
j4þ4n ¼ 1
Wir berechnen das Produkt aus z und z * und erhalten:
z z * ¼ ðx þ j yÞ ðx j yÞ ¼ x 2 j x y þ j x y j 2 y 2 ¼
¼ x2 þ y2 ¼ j z j2
Folgerung: Für z 6¼ 0 ist z z * stets eine positive reelle Zahl.
Für den Betrag j z j einer komplexen Zahl z ¼ x þ j y können wir daher auch
schreiben:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
&
jzj ¼
x2 þ y2 ¼
z z*
Wir beschäftigen uns jetzt mit der Umkehrung der Multiplikation, der Division. Dazu
betrachten wir die Gleichung
z z2 ¼ z1
mit vorgegebenen Zahlen z 1 ¼ x 1 þ j y 1 und z 2 ¼ x 2 þ j y 2 (wobei z 2 6¼ 0 vorausgesetzt wird). Sie hat – wie wir gleich zeigen werden – genau eine Lösung
z ¼ x þ j y, die wie im Reellen als Quotient aus z 1 und z 2 bezeichnet wird:
z1
ðz 2 6¼ 0Þ
ðVII-29Þ
z z2 ¼ z1 ) z ¼
z2
Dieser Quotient lässt sich auf relativ einfache Art wie folgt berechnen. Zunächst erweitern wir den Bruch mit z *2 , also dem konjugiert komplexen Nenner. Dadurch wird der
Nenner des Bruches reell (z 2 z *2 ist immer eine positive reelle Zahl) und wir können
jetzt die Division wie im Reellen gliedweise vornehmen ( j 2 ¼ 1 beachten):
z1
z1 z2 *
ðx 1 þ j y 1 Þ ðx 2 j y 2 Þ
¼
¼
¼
*
z2
ðx 2 þ j y 2 Þ ðx 2 j y 2 Þ
z2 z2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
3. Binom
¼
x1 x2 j x1 y2 þ j x2 y1 j2 y1 y2
x 1 x 2 þ j ðx 2 y 1 x 1 y 2 Þ þ y 1 y 2
¼
¼
2 2
2
x 22 þ y 22
x2 j y2
¼
ðx 1 x 2 þ y 1 y 2 Þ þ j ðx 2 y 1 x 1 y 2 Þ
x1 x2 þ y1 y2
x2 y1 x1 y2
¼
þj
x 22 þ y 22
x 22 þ y 22
x 22 þ y 22
(VII-30)
666
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Berechnung des Quotienten z 1 =z 2
Der Quotient z 1 =z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 in kartesischer Form
lässt sich schrittweise wie folgt berechnen:
1. Der Bruch z 1 =z 2 wird zunächst mit z *2 , also dem konjugiert komplexen Nenner, erweitert:
z1
z 1 z *2
ðx 1 þ j y 1 Þ ðx 2 j y 2 Þ
¼
¼
z2
ðx 2 þ j y 2 Þ ðx 2 j y 2 Þ
z 2 z *2
ðVII-31Þ
2. Zähler und Nenner werden dann nach den aus dem Reellen bekannten Regeln
„ausmultipliziert“ unter Beachtung der Beziehung j 2 ¼ 1. Der Nenner des
Bruches wird dadurch (positiv) reell.
3. Die im Zähler stehende komplexe Zahl wird jetzt gliedweise durch den (reellen)
Nenner dividiert.
Anmerkung
Man beachte: Wie im Reellen so ist auch im Komplexen die Division durch die Zahl
Null nicht erlaubt.
&
Beispiele
(1)
Mit z 1 ¼ 4 8 j und z 2 ¼ 3 þ 4 j berechnen wir den Quotienten z 1 =z 2 :
z1
4 8j
ð4 8 jÞ ð3 4 jÞ
12 16 j 24 j þ 32 j 2
¼
¼
¼
¼
3 þ 4j
ð3 þ 4 jÞ ð3 4 jÞ
z2
9 þ 16
¼
(2)
20 40 j
20
40
¼ j ¼ 0,8 1,6 j
25
25
25
Wir berechnen den Kehrwert der imaginären Einheit j:
1
1 ð jÞ
j
j
j
¼
¼
¼
¼ j
¼
j
j ð jÞ
ð 1Þ
1
j2
&
Multiplikation und Division in der Polarform
Multiplikation und Division lassen sich in der trigonometrischen bzw. exponentiellen
Schreibweise besonders einfach durchführen. In der Exponentialform erhalten wir:
z 1 z 2 ¼ ðr 1 e j j1 Þ ðr 2 e j j2 Þ ¼ ðr 1 r 2 Þ e j j1 e j j2 ¼
¼ ðr 1 r 2 Þ e j j1 þ j j2 ¼ ðr 1 r 2 Þ e j ðj1 þ j j2 Þ
ðVII-32Þ
Zwei komplexe Zahlen werden also multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert
und ihre Argumente (Winkel) addiert.
2 Komplexe Rechnung
667
Analog gilt für die Division:
z1
r 1 e j j1
¼
¼
z2
r 2 e j j2
r1
r1
e j j1 e j j2 ¼
e j ðj1 j2 Þ
r2
r2
ðVII-33Þ
Zwei komplexe Zahlen werden somit dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und
ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
In der trigonometrischen Darstellung lauten diese Rechenregeln wie folgt:
z 1 z 2 ¼ r 1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ r 2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ ¼
¼ ðr 1 r 2 Þ ½ cos ðj1 þ j2 Þ þ j sin ðj1 þ j2 Þ z1
r 1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ
¼
¼
r 2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ
z2
r1
½ cos ðj1 j2 Þ þ j sin ðj1 j2 Þ ¼
r2
ðVII-34Þ
ðVII-35Þ
Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:
Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen in der trigonometrischen
bzw. exponentiellen Darstellung
Bei der Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 erweist
sich die trigonometrische bzw. exponentielle Darstellungsweise als besonders vorteilhaft. Es gilt dann:
1. Für die Multiplikation:
z 1 z 2 ¼ ðr 1 r 2 Þ ½ cos ðj1 þ j2 Þ þ j sin ðj1 þ j2 Þ ¼
¼ ðr 1 r 2 Þ e j ðj1 þ j2 Þ
ðVII-36Þ
Regel: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge
multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
2. Für die Division:
z1
r1
½ cos ðj1 j2 Þ þ j sin ðj1 j2 Þ ¼
¼
z2
r2
r1
e j ðj1 j2 Þ
¼
r2
ðVII-37Þ
Regel: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
668
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Geometrische Deutung der Multiplikation und Division
Die Rechenoperationen Multiplikation und Division lassen sich in anschaulicher Weise
wie folgt geometrisch deuten:
(1)
Multiplikation mit einer reellen Zahl
Die Multiplikation der komplexen Zahl z 1 ¼ r 1 e j j1 mit der positiven reellen
Zahl r ðr > 0Þ bedeutet eine Streckung des Zeigers z 1 um das r-fache, wobei
der Winkel j1 erhalten bleibt (Bild VII-24). Dabei gilt:
r > 1
) Dehnung (Zeiger wird verlängert)
r < 1
) Stauchung (Zeiger wird verkürzt)
Erfolgt die Multiplikation jedoch mit einer negativen reellen Zahl r ðr < 0Þ, so
ist der Zeiger z 1 um das j r j-fache zu strecken und anschließend um 180 (in
positiver oder negativer Richtung) zu drehen (Richtungsumkehr).
(2)
Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag Eins
Die Multiplikation der komplexen Zahl z 1 ¼ r 1 e j j1 mit der komplexen Zahl
e j j entspricht einer Drehung des Zeigers z 1 um den Winkel j (Bild VII-25).
Für j > 0 erfolgt die Drehung im positiven Drehsinn (im Gegenuhrzeigersinn),
für j < 0 dagegen im negativen Drehsinn (im Uhrzeigersinn). Die Länge des
Zeigers bleibt dabei unverändert, da j e j j j ¼ 1 ist.
Im (z)
z = z 1 · e jj
Im (z)
z = r · z1
r
z
·|
|=
r·
r1
r1
1
r1
z1
j
j1
j1
Re (z)
Bild VII-24
(3)
z1
Re (z)
Bild VII-25
Multiplikation mit der imaginären Einheit j
Die Multiplikation der komplexen Zahl z 1 ¼ r 1 e j j1 mit der imaginären Ein
heit j bewirkt wegen j ¼ 1 e j 90 eine reine Vorwärtsdrehung des Zeigers z 1
um 90 . Multipliziert man mit j n , so beträgt der Drehwinkel n 90 (mit
n 2 N *). Die Zeigerlänge bleibt dabei erhalten.
2 Komplexe Rechnung
(4)
669
Multiplikation mit einer komplexen Zahl (allgemeiner Fall)
Die Multiplikation der komplexen Zahl z 1 ¼ r 1 e j j1 mit der komplexen Zahl
z ¼ r e j j lässt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z 1 darstellen:
Zunächst wird der Zeiger z 1 um das r-fache gestreckt (Streckung) und anschließend um den Winkel j gedreht (Drehung). Bild VII-26 zeigt die einzelnen Phasen dieser geometrischen Operation.
Im (z)
z · z1
r r1
r r1
r1
f
r· z 1
Bild VII-26
Zur Multiplikation zweier
komplexer Zahlen
z1
f1
Re (z)
Wir fassen zusammen:
Geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
Die Multiplikation der komplexen Zahl z 1 ¼ r 1 e j j1 mit der komplexen Zahl
z ¼ r e j j bedeutet geometrisch eine Drehstreckung des Zeigers z 1 (Bild
VII-26). Dabei wird der Zeiger z 1 nacheinander den folgenden geometrischen
Operationen unterworfen:
1. Streckung um das r-fache.
2. Drehung um den Winkel j im positiven Drehsinn für j > 0.
Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z z 1 .
Anmerkungen
(1)
Die Operationen dürfen auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgeführt werden:
Zuerst erfolgt die Drehung, dann die Streckung des Zeigers. Diese Reihenfolge erklärt auch die Bezeichnung „Drehstreckung“ für die zusammengesetzte Operation.
(2)
Da die Multiplikation eine kommutative Rechenoperation ist ðz 1 z ¼ z z 1 Þ,
kann man bei der geometrischen Konstruktion des Produktes z 1 z auch vom
Zeiger z ausgehen.
670
(3)
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Die Division zweier komplexer Zahlen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen.
So bedeutet der Quotient z 1 =z das Produkt aus z 1 und dem Kehrwert von z:
z1
1
1
1 jj
j j1
e
ðVII-38Þ
¼
ðr
e
Þ
¼ z 1 ¼ ðr 1 e j j1 Þ 1
z
r ejj
r
z
Damit erhalten wir für den Quotienten z 1 =z die folgende geometrische Konstruktion: Zunächst wird der Zeiger z 1 um das 1/r-fache gestreckt, dann um den Winkel j zurückgedreht oder umgekehrt (Bild VII-27). Für j > 0 erfolgt die Drehung im negativen Drehsinn (Zurückdrehung des Zeigers, d. h. Drehung im
Uhrzeigersinn), für j < 0 dagegen im positiven Drehsinn (Vorwärtsdrehung des
Zeigers, d. h. Drehung im Gegenuhrzeigersinn).
Im (z)
z1
r1
z1
r
z1
z
f
Bild VII-27
Zur Division zweier
komplexer Zahlen
f1
Re (z)
&
Beispiele
(1)
Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 ¼ 3 e j 30
berechnen und konstruieren das Produkt z 1 z 2 .
und z 2 ¼ 2 e j 80 . Wir
Rechnerische Lösung:
z 1 z 2 ¼ ð3 e j 30 Þ ð2 e j 80 Þ ¼ ð3 2Þ e j ð30
þ 80 Þ
¼ 6 e j 110
Konstruktion des Zeigers z 1 z 2 :
Mit dem Zeiger z 1 führen wir nacheinander die folgenden geometrischen Operationen durch (Bild VII-28):
1. Streckung auf das 2-fache (Verdoppelung der Zeigerlänge).
2. Drehung um den Winkel 80 im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn).
Das Ergebnis dieser Drehstreckung ist der Zeiger von z 1 z 2 ¼ 6 e j 110 .
2 Komplexe Rechnung
671
Im (z)
z1 · z2
5
6
2 · z1
6
3
z1
80°
30°
–1
(2)
Bild VII-28
1
5
Re (z)
Wir berechnen den Quotienten aus z 1 ¼ 4 e j 140 und z 2 ¼ 2 e j 90 .
Wie sieht die geometrische (zeichnerische) Lösung aus?
Rechnerische Lösung:
z1
4 e j 140
¼
¼
z2
2 e j 90
4
e j ð140 90 Þ ¼ 2 e j 50
2
Geometrische Lösung:
Der Zeiger z 1 wird zunächst um das 1/2-fache gestreckt (d. h. auf die Hälfte verkürzt) und anschließend um 90 zurückgedreht (Bild VII-29):
Im (z)
z1
4
z1
z2
1
· z1
2
90°
2
2
50°
140°
Bild VII-29
–1
(3)
1
Re (z)
Die Division einer komplexen Zahl z durch die imaginäre Einheit j ¼ e j 90 be1
¼ e j 90 .
deutet eine Multiplikation von z mit
j
672
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Geometrische Deutung: Der Zeiger z 1 ist um 90 zurückzudrehen (Bild VII-30):
z
r ejj
¼ j 90 ¼ r e j j e j 90 ¼ r e j ðj 90 Þ
j
e
Im (z)
1
z
·z=
j
j
z
Bild VII-30
Zur Division
einer komplexen Zahl z
durch die imaginäre
Einheit j
90°
Re (z)
&
2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung)
Die vier Grundrechenoperationen für komplexe Zahlen genügen den folgenden Grundgesetzen:
Eigenschaften der Menge der komplexen Zahlen
1. Summe z 1 þ z 2 , Differenz z 1 z 2 , Produkt z 1 z 2 und Quotient z 1 =z 2
zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 ergeben wiederum komplexe Zahlen.
Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist nicht erlaubt.
2. Addition und Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen z 1 , z 2 2 C gilt stets:
)
z1 þ z2 ¼ z2 þ z1
Kommutativgesetze
ðVII-39Þ
z1 z2 ¼ z2 z1
3. Addition und Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen. Für beliebige
Zahlen z 1 , z 2 , z 3 2 C gilt stets:
)
z 1 þ ðz 2 þ z 3 Þ ¼ ðz 1 þ z 2 Þ þ z 3
Assoziativgesetze
ðVII-40Þ
z 1 ðz 2 z 3 Þ ¼ ðz 1 z 2 Þ z 3
4. Addition und Multiplikation sind über das Distributivgesetz miteinander verbunden:
z 1 ðz 2 þ z 3 Þ ¼ z 1 z 2 þ z 1 z 3
Distributivgesetz
ðVII-41Þ
2 Komplexe Rechnung
673
2.2 Potenzieren
Wir erheben die komplexe Zahl z ¼ r e j j ¼ r ðcos j þ j sin jÞ in die n-te Potenz
und erhalten ðn ¼ 2, 3, 4, . . .Þ:
z n ¼ ½ r e j j n ¼ ðr e j j Þ ðr e j j Þ . . . ðr e j j Þ ¼
¼ ðr r . . . rÞ e j ðj þ j þ ... þ jÞ ¼ r n e j n j
ðVII-42Þ
(Faktor r und Summand j treten jeweils n-mal auf). Diese nach Moivre benannte
Formel lautet in der trigonometrischen Schreibweise:
z n ¼ ½ r ðcos j þ j sin jÞ n ¼ r n ½ cos ðn jÞ þ j sin ðn jÞ ðVII-43Þ
Wir folgern: Eine komplexe Zahl z wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren
Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (ihren Winkel) j mit dem Exponenten n multipliziert.
Wir fassen zusammen:
Potenzieren einer komplexen Zahl in der Polarform
Eine in der Polarform vorliegende komplexe Zahl z wird nach der Formel von
Moivre wie folgt potenziert ðn ¼ 2, 3, 4, . . .Þ:
In exponentieller Schreibweise:
z n ¼ ½ r e j j n ¼ r n e j n j
ðVII-44Þ
In trigonometrischer Schreibweise:
z n ¼ ½ r ðcos j þ j sin jÞ n ¼ r n ½ cos ðn jÞ þ j sin ðn jÞ ðVII-45Þ
Regel: Eine komplexe Zahl wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (ihren Winkel) j mit
dem Exponenten n multipliziert.
Anmerkungen
(1)
Die Operation „Potenzieren“ bedeutet eine wiederholte Multiplikation. Dem entspricht in der geometrischen Betrachtungsweise eine wiederholte Drehstreckung.
(2)
Die Operation „Potenzieren“ kann auch in der kartesischen Form durchgeführt werden, ist jedoch im Allgemeinen wesentlich aufwendiger. Die Berechnung erfolgt
dann mit Hilfe der aus dem Reellen bekannten Binomischen Formeln.
674
&
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Beispiele
(1)
h
p
p i
Wir erheben die komplexe Zahl z ¼ 2 cos
þ j sin
in die 3. Po3
3
tenz:
z3 ¼
h
p
p i 3
h
p
p i
2 cos
¼ 2 3 cos 3 þ j sin
þ j sin 3 ¼
3
3
3
3
¼ 8 ðcos p þ j sin pÞ ¼ 8 ð 1 þ j 0Þ ¼ 8
In Bild VII-31 haben wir diese Operation geometrisch dargestellt. Es handelt sich
um zwei nacheinander ausgeführte Drehstreckungen. Die Zeigerlänge wird dabei
jeweils verdoppelt ð2 ! 4 ! 8Þ, der Zeiger jeweils um 60 weitergedreht
ð60 ! 120 ! 180 Þ.
Im (z)
z2
4
z
2
60°
8
z
(2)
60°
3
60°
–1
z ¼ 1,2 2,5 j ,
Bild VII-31
1
Re (z)
z6 ¼ ?
Zunächst bringen wir z in die Exponentialform (Bild VII-32):
r ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1,2 2 þ ð 2,5Þ 2 ¼ 2,7731
tan j ¼
2,5
¼ 2,0833
1,2
)
Im (z)
1,2
f
1
Re (z)
j ¼ arctan ð 2,0833Þ þ 2 p ¼ 5,160
–1
r
Daher ist
z ¼ 1,2 2,5 j ¼ 2,7731 e j 5,160
Bild VII-32
–2
– 2,5
z = 1,2 – 2,5 j
Nach der Formel von Moivre folgt weiter:
z 6 ¼ ð2,7731 e j 5,160 Þ 6 ¼ 2,7731 6 e j 6 5,160 ¼ 454,77 e j 30,96 ¼
¼ 454,77 ðcos 30,96 þ j sin 30,96Þ ¼ 408,32 200,23 j
2 Komplexe Rechnung
(3)
675
Für r ¼ 1 besitzt die Formel von Moivre (VII-45) die spezielle Form
ðcos j þ j sin jÞ n ¼ cos ðn jÞ þ j sin ðn jÞ
Aus dieser wichtigen Beziehung lassen sich z. B. Formelausdrücke für cos ðn jÞ
und sin ðn jÞ herleiten. Wir zeigen dies für n ¼ 2:
ðcos j þ j sin jÞ 2 ¼ cos ð2 jÞ þ j sin ð2 jÞ
cos 2 j þ j 2 sin j cos j þ j 2 sin 2 j ¼ cos ð2 jÞ þ j sin ð2 jÞ
cos 2 j sin 2 j þ j ð2 sin j cos jÞ ¼ cos ð2 jÞ þ j sin ð2 jÞ
Durch Vergleich der Real- bzw. Imaginärteile auf beiden Seiten erhalten wir die
folgenden (aus Kap. III) bereits bekannten trigonometrischen Formeln:
cos ð2 jÞ ¼ cos 2 j sin 2 j ¼ cos 2 j ½ 1 cos 2 j ¼ 2 cos 2 j 1
sin ð2 jÞ ¼ 2 sin j cos j
&
2.3 Radizieren (Wurzelziehen)
Aus der Algebra ist bekannt, dass eine algebraische Gleichung n-ten Grades
an xn þ an1 xn1 þ . . . þ a1 x þ a0 ¼ 0
ðVII-46Þ
mit reellen Koeffizienten höchstens n reelle Lösungen, auch Wurzeln genannt, besitzt
(x 2 R; vgl. hierzu Kap. III, Abschnitt 5.4). Werden auch komplexe Lösungen zugelassen, so gibt es genau n Lösungen (komplex oder reell). Dies gilt auch bei komplexen
Koeffizienten a i (mit i ¼ 0, 1, 2, . . . , n).
Diese wichtige Aussage halten wir in dem Fundamentalsatz der Algebra wie folgt fest
(die Unbekannte bezeichnen wir wie im Komplexen üblich mit z statt x):
Fundamentalsatz der Algebra
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades
an zn þ an1 zn1 þ . . . þ a1 z þ a0 ¼ 0
ðVII-47Þ
besitzt in der Menge C der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen, wobei
mehrfache Lösungen entsprechend oft gezählt werden.
Anmerkungen
(1)
Die linke Seite der algebraischen Gleichung (VII-47) ist ein Polynom vom Grade
n mit i. A. komplexen Koeffizienten a i ði ¼ 0, 1, . . . , nÞ. Es lässt sich auch im
komplexen Zahlenbereich wie folgt in Linearfaktoren zerlegen:
a n ðz z 1 Þ ðz z 2 Þ ðz z 3 Þ . . . ðz z n Þ
ðVII-48Þ
676
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
z 1 , z 2 , . . . , z n sind dabei die n Polynomnullstellen, d. h. die n Lösungen der
algebraischen Gleichung (VII-47). Die Zerlegung (VII-48) in Linearfaktoren wird
wie im Reellen auch als Produktdarstellung des Polynoms bezeichnet (vgl. hierzu
auch Kap. III, Abschnitt 5.4).
(2)
Bei ausschließlich reellen Koeffizienten a i ði ¼ 0, 1, . . . , nÞ treten komplexe Lösungen immer paarweise auf, nämlich als Paare zueinander konjugiert komplexer
Zahlen. Mit z 1 ist daher stets auch z *1 eine Lösung der Gleichung. Ein Beispiel
liefert die quadratische Gleichung
z2 þ p z þ q ¼ 0
ðmit p, q 2 RÞ
Die Art der Lösungen hängt dabei bekanntlich vom Vorzeichen der sog. Diskriminante D ¼ p 2 =4 q ab:
D > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen
D ¼ 0: Eine (doppelte) reelle Lösung
Im Fall D < 0 gibt es zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie lauten:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
p
p
ðVII-49Þ
q j
jDj ¼ j
z 1=2 ¼ 4
2
2
&
Beispiel
Die algebraische Gleichung 3. Grades (mit ausschließlich reellen Koeffizienten)
z3 z2 þ 4 z 4 ¼ 0
besitzt nach dem Fundamentalsatz genau drei Lösungen. Durch Probieren finden wir
eine reelle Lösung bei z 1 ¼ 1. Den zugehörigen Linearfaktor z 1 spalten wir nach
dem aus Kap. III bekannten Horner-Schema ab:
1
z1 ¼ 1
1
1
4
4
1
0
4
0
4
0
Die Nullstellen des 1. reduzierten Polynoms z 2 þ 0 z þ 4 ¼ z 2 þ 4 liefern die beiden
übrigen Lösungen:
z2 þ 4 ¼ 0
)
z2 ¼ 4
)
z 2=3 ¼ 2 j
Die algebraische Gleichung 3. Grades besitzt somit eine reelle Lösung und zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen:
z3 z2 þ 4 z 4 ¼ 0
)
z 1 ¼ 1,
z2 ¼ 2 j ,
z 3 ¼ z *2 ¼ 2 j
2 Komplexe Rechnung
677
Das Polynom z 3 z 2 þ 4 z 4 ist daher auch in der Produktform
z 3 z 2 þ 4 z 4 ¼ ðz 1Þ ðz 2 jÞ ðz þ 2 jÞ
&
darstellbar („ Zerlegung in Linearfaktoren“).
Eine besonders einfache Struktur besitzt die algebraische Gleichung z n ¼ a ða 2 CÞ.
Ihre Lösungen werden als n-te Wurzeln aus a bezeichnet. Dies führt zu der folgenden
Definition:
Definition: Eine komplexe Zahl z heißt n-te Wurzel aus a, wenn sie der algebraischen Gleichung
z n ¼ a genügt ða 2 CÞ. Symbolische Schreibﬃﬃﬃﬃﬃ
p
n
weise: z ¼ a .
Wir beschäftigen uns nun mit den Lösungen der Gleichung
zn ¼ a ¼ a0 eja
ða 0 > 0Þ
ðVII-50Þ
Mit dem Lösungsansatz in der Polarform
z ¼ r ðcos j þ j sin jÞ ¼ r e j j
und unter Berücksichtigung der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion geht
Gleichung (VII-50) über in
r n e j n j ¼ a 0 e j a ¼ a 0 e j ða þ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
ðVII-51Þ
Somit gilt:
r n ¼ a0
und
nj ¼ a þ k 2p
Alle Lösungen besitzen daher den gleichen Betrag
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r ¼ n a0
ðVII-52Þ
ðVII-53Þ
Ihre Argumente (Winkel) sind
jk ¼
a þ k 2p
n
ðk 2 ZÞ
ðVII-54Þ
Allerdings erhalten wir – im Einklang mit dem Fundamentalsatz der Algebra – insgesamt
nur n verschiedene Werte. Diese werden beispielsweise für k ¼ 0, 1, 2, . . . , n 1
angenommen 4). Die Bildpunkte der n Lösungen liegen
ﬃ der Gaußschen Zahlenebene
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃin
auf einem Mittelpunktskreis mit dem Radius R ¼ n a 0 und bilden dabei die Ecken
eines regelmäßigen n-Ecks (vgl. hierzu auch die nachfolgenden Beispiele).
4)
Für k ¼ n, n þ 1, n þ 2, . . . wiederholen sich die Werte, ebenso für negative Werte von k. Der Grund
dafür liegt in der Periodizität der Kosinus- und Sinusfunktionen (bzw. in der Periodizität der komplexen
e-Funktion).
678
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Lösungen der speziellen algebraischen Gleichung z n ¼ a (mit a 2 C)
Die Gleichung
zn ¼ a ¼ a0 eja
ða 0 > 0; n ¼ 2, 3, 4, . . .Þ
ðVII-55Þ
besitzt im Komplexen genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln)
z k ¼ r ðcos jk þ j sin jk Þ ¼ r e j jk
ðVII-56Þ
mit
r ¼
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
n
a0
und
jk ¼
a þ k 2p
n
ðVII-57Þ
ðk ¼ 0, 1, 2, . . . , n 1Þ. Die zugehörigen Bildpunkte liegen in
der Gaußschen
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Zahlenebene auf dem Mittelpunktskreis mit dem Radius R ¼ n a 0 und bilden
die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.
Anmerkungen
(1)
Im Reellen kann man nur aus positiven Zahlen Wurzeln ziehen: Die n-te Wurzel
aus a > 0 ist dabei definitionsgemäß diejenige positive Zahl b, die in die n-te
Potenz erhoben die Zahl a ergibt:
pﬃﬃﬃﬃﬃ
bn ¼ a , b ¼ n a
ða > 0; b > 0Þ
Das Radizieren ist im Reellen stets eindeutig (für a > 0), im Komplexen jedoch
immer mehrdeutig.
&
(2)
Für reelles a gilt: Ist z 1 eine komplexe Lösung der Gleichung z n ¼ a, dann ist
auch die konjugiert komplexe Zahl z *1 eine Lösung dieser Gleichung.
(3)
Die n Lösungen der speziellen Gleichung z n ¼ 1 werden auch als n-te Einheitswurzeln bezeichnet. Sie liegen auf dem Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene
an den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.
Beispiele
(1)
Die Gleichung z 6 ¼ 1 hat genau sechs verschiedene Lösungen, deren Bildpunkte
in der Gaußschen Zahlenebene an den Ecken eines regelmäßigen Sechsecks liegen
(Bild VII-33). Wir berechnen zunächst mit Hilfe der Gleichungen (VII-57) ihre
Beträge und Argumente ð1 ¼ 1 e j 0 ) a 0 ¼ 1, a ¼ 0; n ¼ 6Þ:
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
r ¼ n a0 ¼ 6 1 ¼ 1
jk ¼
a þ k 2p
0 þ k 2p
p
¼
¼ k n
6
3
ðk ¼ 0, 1, 2, . . . , 5Þ
2 Komplexe Rechnung
679
Damit erhalten wir folgende Lösungen:
p
p
z k ¼ cos k þ j sin k 3
3
k ¼ 0:
z 0 ¼ cos 0 þ j sin 0 ¼ 1
k ¼ 1:
z 1 ¼ cos
p
3
2p
3
þ j sin
ðk ¼ 0, 1, 2, 3, 4, 5Þ
p
3
z 2 ¼ cos
k ¼ 3:
z 3 ¼ cos p þ j sin p ¼ 1
k ¼ 4:
z 4 ¼ cos
k ¼ 5:
z 5 ¼ cos
4p
3
5p
3
þ j sin
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
3j
2
2p
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
þ j sin
¼ 0,5 þ
3j
3
2
k ¼ 2:
¼ 0,5 þ
4p
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 0,5 3j
3
2
5p
1 pﬃﬃﬃﬃﬃ
þ j sin
¼ 0,5 3j
3
2
Die Lösungen z 0 und z 3 sind reell, während z 1 und z 5 bzw. z 2 und z 4
Paare zueinander konjugiert komplexer Lösungen darstellen. Bild VII-33 zeigt die
Lage der zugehörigen Bildpunkte und Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene.
Im (z)
z2
z1
z3
z0
1
z4
z5
Re (z)
Bild VII-33
Bildliche Darstellung der
Lösungen der Gleichung
z6 ¼ 1
680
(2)
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir bestimmen die Wurzeln der Gleichung z 4 ¼ 3 þ 2 j. Es ist
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
z 4 ¼ 3 þ 2 j ¼ 13 e j 33,69
(wie man leicht nachrechnet) und somit
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a 0 ¼ 13
und
a ¼ 33,69 ¼
b 0,588
Für die Beträge und Argumente (Winkel) der komplexen Lösungen folgt dann aus
den Gleichungen (VII-57):
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
n
13 ¼ ðð13Þ 1=2 Þ 1=4 ¼ 13 1=8 ¼ 8 13 ¼ 1,378
r ¼ a0 ¼
jk ¼
a þ k 2p
0,588 þ k 2 p
¼
n
4
j0 ¼ 0,147,
j1 ¼ 1,718,
ðk ¼ 0, 1, 2, 3Þ
j2 ¼ 3,289,
j3 ¼ 4,859
Wir erhalten damit vier verschiedene Lösungen. Sie lauten der Reihe nach:
z 0 ¼ r e j j0 ¼ 1,378 e j 0,147 ¼ 1,378 ðcos 0,147 þ j sin 0,147Þ ¼
¼ 1,363 þ 0,202 j
z 1 ¼ r e j j1 ¼ 1,378 e j 1,718 ¼ 1,378 ðcos 1,718 þ j sin 1,718Þ ¼
¼ 0,202 þ 1,363 j
z 2 ¼ r e j j2 ¼ 1,378 e j 3,289 ¼ 1,378 ðcos 3,289 þ j sin 3,289Þ ¼
¼ 1,363 0,202 j
z 3 ¼ r e j j3 ¼ 1,378 e j 4,859 ¼ 1,378 ðcos 4,859 þ j sin 4,859Þ ¼
¼ 0,202 1,363 j
Zwischen den vier Lösungen bestehen die folgenden Zusammenhänge:
z0 ¼ z2
bzw:
z2 ¼ z0
z1 ¼ z3
bzw:
z3 ¼ z1
Die Lage der zugehörigen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene entnimmt man
Bild VII-34. Zwei aufeinander folgende Zeiger bilden dabei jeweils einen rechten
Winkel.
2 Komplexe Rechnung
681
Im (z)
z1
1 ,3 7 8
z2
Bild VII-34
Bildliche Darstellung der
Lösungen der Gleichung
z4 ¼ 3 þ 2 j
z0
8,4°
Re (z)
z3
&
2.4 Natürlicher Logarithmus
Im Bereich der reellen Zahlen wird der natürliche Logarithmus einer (positiven) Zahl a
als diejenige Zahl x erklärt, mit dem die Basiszahl e potenziert werden muss, um die
Zahl a zu erhalten:
a ¼ ex
,
x ¼ ln a
ða > 0Þ
ðVII-58Þ
(vgl. hierzu Kap. III, Abschnitt 12.1). Wir übertragen diesen Begriff nun sinngemäß unter Beachtung des Permanenzprinzips auf den komplexen Bereich. Jede von Null verschiedene komplexe Zahl z ist nach den Ausführungen aus Abschnitt 1.4.3 in der Exponentialform
z ¼ r e j ðjþ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
ðVII-59Þ
mit r > 0 und 0 j < 2 p (Hauptwert) darstellbar. Unter ihrem natürlichen Logarithmus verstehen wir die (unendlich vielen!) komplexen Zahlen
ln z ¼ ln ½ r e j ðjþ k 2 pÞ ¼ ln r þ ln e j ðjþ k 2 pÞ ¼
¼ ln r þ j ðj þ k 2 pÞ ln e ¼ ln r þ j ðj þ k 2 pÞ
|{z}
1
ðVII-60Þ
Für k ¼ 0 erhält man den Hauptwert
Ln z ¼ ln r þ j j
ð0 j < 2 pÞ
ðVII-61Þ
Sein Realteil ist der natürliche Logarithmus ln r des Betrages r, sein Imaginärteil das
Argument j der komplexen Zahl z (Hauptwert). Die übrigen Werte heißen Nebenwerte.
Sie ergeben sich aus dem Hauptwert durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 2 p j:
ln z ¼ Ln z þ k 2 p j
ðk 2 ZÞ
ðVII-62Þ
682
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl
Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl z ¼ r e j ðjþ k 2 pÞ mit r > 0
und 0 j < 2 p ist unendlich vieldeutig:
ln z ¼ ln r þ j ðj þ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
ðVII-63Þ
Der Hauptwert wird für k ¼ 0 angenommen:
Ln z ¼ ln r þ j j
ð0 j < 2 pÞ
ðVII-64Þ
Für k ¼ 1, 2, 3, . . . erhält man die sog. Nebenwerte.
Anmerkungen
&
(1)
ln z ist für jede komplexe Zahl z 6¼ 0 erklärt, also beispielsweise auch für negative reelle Zahlen (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (3)).
(2)
Die verschiedenen Werte von ln z stimmen im Realteil ð¼ ln rÞ überein und unterscheiden sich im Imaginärteil um ganzzahlige Vielfache von 2 p.
(3)
Man beachte, dass die komplexe Zahl z vor dem Logarithmieren zunächst in die
Exponentialform gebracht werden muss.
(4)
Die Rechengesetze für Logarithmen komplexer Zahlen sind die gleichen wie im
Reellen.
(5)
Wie wir aus dem Hinweis aus Abschnitt 1.4.2 bereits wissen, wird in der Technik
häufig der Hauptwert des Winkels j auf das Intervall p < j p beschränkt.
Bei dieser Festlegung ändern sich natürlich auch der Haupt- und die Nebenwerte
des Logarithmus einer komplexen Zahl entsprechend.
Beispiele
(1)
z ¼ 8 þ 6j,
ln z ¼ ?
Lösung: Wir stellen z zunächst in der Exponentialform dar:
z ¼ 8 þ 6 j ¼ 10 e j ð2,50 þ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
(bitte nachrechnen). Für den natürlichen Logarithmus von z erhalten wir damit
die unendlich vielen Werte
ln z ¼ ln ½ 10 e j ð2,50 þ k 2 pÞ ¼ ln 10 þ j ð2,50 þ k 2 pÞ ln e ¼
¼ ln 10 þ j ð2,50 þ k 2 pÞ ¼ 2,30 þ j ð2,50 þ k 2 pÞ
Der Hauptwert von ln z ist damit
Ln z ¼ 2,30 þ 2,50 j
ðk 2 ZÞ
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
(2)
683
Für den natürlichen Logarithmus der reellen Zahl 1 erhalten wir im Reellen den
Wert ln 1 ¼ 0, im Komplexen dagegen unendlich viele Werte wegen der Darstellung 1 ¼ 1 e j ð0 þ k 2 pÞ mit k 2 Z:
ln ð1 e j ð0 þ k 2 pÞ Þ ¼ ln 1 þ ln e j k 2 p ¼ ln 1 þ j k 2 p ln e ¼ j ðk 2 pÞ
|{z}
|{z}
0
1
Wir berechnen den natürlichen Logarithmus von z ¼ 5. Es ist
(3)
z ¼ 5 ¼ 5 e j ðp þ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
und daher
ln ð 5Þ ¼ ln ½ 5 e j ðp þ k 2 pÞ ¼ ln 5 þ j ðp þ k 2 pÞ ln e ¼
¼ ln 5 þ j ðp þ k 2 pÞ ¼ 1,609 þ j ðp þ k 2 pÞ
ðk 2 ZÞ
Der Hauptwert von ln ð 5Þ ist somit
Ln ð 5Þ ¼ ln 5 þ j p ¼ 1,609 þ j p
&
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
3.1 Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen
im Zeigerdiagramm
3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger
Wir gehen bei unseren Betrachtungen von einer sich mit der Zeit t sinusförmig verändernden Größe (Schwingung)
y ðtÞ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðt 0Þ
ðVII-65Þ
aus (Bild VII-35).
y
y = A · sin ( v t + f)
A
f/v
–A
t
T=
2p
v
Bild VII-35 Zeitlicher Verlauf einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung)
684
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Es kann sich dabei beispielsweise um eine mechanische Schwingung, eine Wechselspannung oder einen Wechselstrom handeln. Die in der periodischen Funktion
(VII-65) enthaltenen Größen A, w und j besitzen die folgende physikalische Bedeutung:
A: Schwingungsamplitude oder Scheitelwert (in der Wechselstromtechnik; A > 0)
w: Kreisfrequenz ðw > 0Þ
j: Phase, Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel
Zwischen der Perioden- oder Schwingungsdauer T, der Frequenz f und der Kreisfrequenz w bestehen die folgenden Beziehungen:
T ¼
1
2p
¼
f
w
w ¼ 2pf ¼
bzw:
2p
T
ðVII-66Þ
Die durch die Funktion y ¼ A sin ðw t þ jÞ beschriebene harmonische Schwingung
lässt sich in einem sog. Zeigerdiagramm durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit w
im positiven Drehsinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Länge A anschaulich
darstellen (Bild VII-36) 5).
(2)
A
v
y( t )
(1)
vt
f
A
y(0)
Bild VII-36 Zur Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden Zeiger
5)
Die Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden Zeiger wurde bereits in reeller
Form in Band 1 (Kap. III, Abschnitt 9.5.2) behandelt.
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
685
Der Zeiger befindet sich dabei zu Beginn (d. h. zum Zeitpunkt t ¼ 0) in der Position
(1): Sein Richtungswinkel gegenüber der (horizontalen) Bezugsachse ist der Nullphasenwinkel j. In der Zeit t dreht er sich um den Winkel w t weiter und befindet sich
dann in der Position (2). Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse beträgt nunmehr j þ w t. Der Ordinatenwert der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert y ¼ A sin ðw t þ jÞ. Bei der Rotation des Zeigers um den
Nullpunkt durchläuft daher die Ordinate nacheinander sämtliche Funktionswerte der Sinusschwingung (somit alle Werte aus dem Intervall A y A).
Wir deuten nun die Ebene, in der die Rotation des Zeigers erfolgt, als Gaußsche Zahlenebene und beschreiben die augenblickliche Lage des Zeigers durch die zeitabhängige
komplexe Zahl
y ¼ A ½ cos ðw t þ jÞ þ j sin ðw t þ jÞ ¼ A e j ðw t þ jÞ ¼
¼ A ejwt ejj ¼ A ejj ejwt ¼ A ejwt
|ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ}
A
ðVII-67Þ
(Bild VII-37) 6). Der komplexe Zeiger y enthält demnach einen zeitunabhängigen Faktor A ¼ A e j j und einen zeitabhängigen Faktor e j w t, für die wir noch die folgenden Bezeichnungen einführen:
A ¼ A e j j : Komplexe Amplitude
ejwt :
Zeitfunktion
Die komplexe Amplitude A besitzt den Betrag j A j ¼ A und den Richtungswinkel
(Phasenwinkel) j und legt die Anfangslage des rotierenden Zeigers fest. Die ZeitfunkIm (z)
v
y( t ) = A · e jvt
A
vt
f
A
y(0) = A
Re (z)
Bild VII-37
Darstellung der harmonischen
Schwingung y ¼ A sin ðw t þ jÞ
durch den rotierenden Zeiger
y ¼ A ejwt
6)
Bezugsachse ist die reelle Achse.
686
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
tion e j w t beschreibt die Rotation des Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit w um
den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene. Der Momentanwert der Sinusschwingung
(VII-65) entspricht dann dem Imaginärteil des rotierenden komplexen Zeigers y:
y ¼ Im ð yÞ ¼ Im ½ A e j w t ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðVII-68Þ
Wir fassen zusammen:
Darstellung einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger
Eine sich sinusförmig mit der Zeit t ändernde Größe (Schwingung)
y ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðA > 0; w > 0Þ
ðVII-69Þ
kann in symbolischer Form durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit w um den
Nullpunkt der Gaußen Zahlenebene rotierenden komplexen Zeiger
y ¼ A e j ðw t þ jÞ ¼ A e j w t
ðVII-70Þ
dargestellt werden (Bild VII-37).
Dabei bedeuten:
A ¼ A e j j : Komplexe Schwingungsamplitude
ejwt :
Zeitfunktion der Schwingung
Anmerkungen
(1)
Die Rotation des Zeigers erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn ðw > 0Þ.
(2)
Wir haben uns zunächst bewusst auf sinusförmige Schwingungen beschränkt. Denn
eine Kosinusschwingung vom allgemeinen Typ
y ðtÞ ¼ A cos ðw t þ jÞ
ðVII-71Þ
lässt sich stets wegen cos ðw tÞ ¼ sin ðw t þ p=2Þ auf eine Sinusschwingung zurückführen:
p
ðVII-72Þ
y ðtÞ ¼ A cos ðw t þ jÞ ¼ A sin w t þ j þ
2
Mit anderen Worten: Eine Kosinusschwingung kann als eine Sinusschwingung mit
einem um p=2 vergrößerten Nullphasenwinkel aufgefasst werden.
Bei der Behandlung von Schwingungsproblemen ist die komplexe Rechnung der reellen
Rechnung aufgrund der einfacheren komplexen Rechengesetze überlegen. Ein Beispiel
dafür bietet die Superposition (ungestörte berlagerung) zweier gleichfrequenter Schwingungen oder Wechselströme, die wir im nächsten Abschnitt ausführlich behandeln werden. Die komplexe Rechnung spielt daher insbesondere in der Wechselstromtechnik eine
bedeutende Rolle.
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
&
687
Beispiel
Wir transformieren die Gleichungen für Wechselspannung und Wechselstrom aus der
reellen Form in die komplexe Form:
Wechselspannung
u ðtÞ ¼ u^ sin ðw t þ ju Þ ! u ðtÞ ¼ u^ e j w t
u^ ¼ u^ e j ju : Komplexer Scheitelwert der Spannung
Wechselstrom
i ðtÞ ¼ i^ sin ðw t þ ji Þ ! i ðtÞ ¼ i^ e j w t
^
i ¼ ^
i e j ji : Komplexer Scheitelwert des Stroms
&
3.1.2 Ungestörte berlagerung gleichfrequenter Schwingungen
Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit der ungestörten berlagerung (Superposition) zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen unter Verwendung der komplexen
Rechnung 7). Nach dem Superpositionsprinzip der Physik überlagern sich die beiden
Schwingungen
y 1 ¼ A 1 sin ðw t þ j1 Þ
und
y 2 ¼ A 2 sin ðw t þ j2 Þ
ðVII-73Þ
ungestört und ergeben eine resultierende Schwingung gleicher Frequenz:
y ¼ y1 þ y2 ¼
¼ A 1 sin ðw t þ j 1 Þ þ A 2 sin ðw t þ j 2 Þ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðVII-74Þ
Amplitude A und Phase j lassen sich dabei schrittweise wie folgt aus den Amplituden A 1 und A 2 und den Phasenwinkeln j1 und j2 der Einzelschwingungen berechnen:
1. Schritt: bergang von der reellen Form zur komplexen Form
Die Einzelschwingungen y 1 und y 2 werden durch komplexe Zeiger dargestellt:
y1 ! y1 ¼ A1 ejwt
und
y2 ! y2 ¼ A2 ejwt
ðVII-75Þ
A 1 und A 2 sind dabei die komplexen Schwingungsamplituden:
A 1 ¼ A 1 e j j1
7)
und
A 2 ¼ A 2 e j j2
ðVII-76Þ
Dieses Thema wurde bereits im Band 1 (Kap. III, Abschnitt 9.5.3) auf trigonometrischer Basis erörtert.
688
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
2. Schritt: Superposition in komplexer Form
Die komplexen Zeiger y 1 und y 2 werden jetzt zur berlagerung gebracht und ergeben
den resultierenden komplexen Zeiger
y ¼ y1 þ y2 ¼ A1 ejwt þ A2 ejwt ¼
¼ ðA 1 þ A 2 Þ e j w t ¼ A e j w t
ðVII-77Þ
Wir stellen dabei fest: Die komplexen Amplituden der Einzelschwingungen addieren sich
zur komplexen Amplitude der resultierenden Schwingung:
A ¼ A1 þ A2
ðVII-78Þ
Ferner gilt: y 1 , y 2 und y besitzen dieselbe Zeitfunktion e j w t .
3. Schritt: Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form
Die resultierende Schwingung y ¼ A sin ðw t þ jÞ ist der Imaginärteil des resultierenden komplexen Zeigers y:
y ¼ Im ð yÞ ¼ Im ðA e j w t Þ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðVII-79Þ
Für die Berechnung der komplexen Amplitude A aus A 1 und A 2 wird die Zeitfunktion e j w t nicht benötigt. Es genügt daher, die Einzelschwingungen y 1 und y 2 im
Zeigerdiagramm durch ihre komplexen Amplituden A 1 und A 2 , d. h. durch zeitunabhängige Zeiger darzustellen. Durch geometrische Addition der komplexen Schwingungsamplituden A 1 und A 2 erhält man dann die komplexe Schwingungsamplitude A
der resultierenden Schwingung (Bild VII-38).
Im (z)
A = A1 + A 2
A2
A
A1
Bild VII-38
Zur geometrischen Addition der
komplexen Schwingungsamplituden
f
Re (z)
Die komplexen Schwingungsamplituden entsprechen dabei einer Momentanaufnahme
der rotierenden Zeiger zum Zeitpunkt t ¼ 0. Sie beschreiben daher die Anfangslage
der Zeiger zu Beginn der Rotation.
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
689
Wir fassen wie folgt zusammen:
berlagerung zweier gleichfrequenter sinusförmiger Schwingungen
Durch ungestörte berlagerung der gleichfrequenten Sinusschwingungen
y 1 ¼ A 1 sin ðw t þ j1 Þ
und
y 2 ¼ A 2 sin ðw t þ j2 Þ
ðVII-80Þ
entsteht nach dem Superpositionsprinzip der Physik eine resultierende Schwingung
mit der gleichen Frequenz:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðVII-81Þ
Die Berechnung der Schwingungsamplitude A und des Phasenwinkels j erfolgt
dabei im Komplexen in drei Schritten:
1. bergang von der reellen Form zur komplexen Form
Die Einzelschwingungen y 1 und y 2 werden in komplexer Form dargestellt:
y1 ! y1 ¼ A1 ejwt
ðVII-82Þ
y2 ! y2 ¼ A2 ejwt
2. Addition der komplexen Amplituden (siehe Bild VII-38)
A ¼ A1 þ A2
ðVII-83Þ
Die resultierende Schwingung lautet dann in komplexer Form:
y ¼ y1 þ y2 ¼ A ejwt
ðVII-84Þ
3. Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ Im ð yÞ ¼ Im ðA e j w t Þ ¼ A sin ðw t þ jÞ
ðVII-85Þ
Anmerkungen
(1)
Liegen beide Einzelschwingungen als Kosinusschwingungen vor,
y 1 ¼ A 1 cos ðw t þ j1 Þ
und
y 2 ¼ A 2 cos ðw t þ j2 Þ
ðVII-86Þ
so ergeben sich für die Berechnung der resultierenden Schwingung y ¼ y 1 þ y 2
prinzipiell zwei Möglichkeiten:
1.
Die Schwingungen y 1 und y 2 werden zunächst als sinusförmige Schwingungen dargestellt. Anschließend erfolgen die weiter oben angegebenen drei Rechenschritte. Die resultierende Schwingung liegt dann in der Sinusform vor.
690
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
2.
Die Schwingungen y 1 und y 2 werden in der Kosinusform belassen. Dann
erfolgen die ersten beiden der oben angegebenen Rechenschritte und anschließend die Rücktransformation aus dem Komplexen ins Reelle. Diesmal jedoch
ist der Realteil des resultierenden komplexen Zeigers y zu nehmen:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ Re ð yÞ ¼ Re ðA e j w t Þ ¼ A cos ðw t þ jÞ
ðVII-87Þ
Die resultierende Schwingung liegt jetzt als Kosinusschwingung vor.
(2)
Das Verfahren gilt sinngemäß auch bei einer ungestörten berlagerung mehrerer
gleichfrequenter Einzelschwingungen.
3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel:
berlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen
Auf einem Oszillographen werden die gleichfrequenten technischen Wechselspannungen
u 1 ðtÞ ¼ 100 V sin ðw tÞ
5
u 2 ðtÞ ¼ 200 V sin w t þ
p
6
u 3 ðtÞ ¼ 150 V cos ðw tÞ
ungestört zur berlagerung gebracht (Frequenz f ¼ 50 Hz; w ¼ 2 p f ¼ 314 s 1 ).
Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselspannung u ðtÞ?
Lösung: Zunächst stellen wir die Wechselspannung u 3 ðtÞ in der Sinusform dar:
p
u 3 ðtÞ ¼ 150 V cos ðw tÞ ¼ 150 V sin w t þ
2
Die komplexe Rechnung erfolgt nun in drei Schritten.
(1)
bergang von der reellen Form zur komplexen Form
u 1 ! u 1 ¼ 100 V e j w t
u 2 ! u 2 ¼ 200 V e j ðw t þ 6 pÞ ¼ 200 V e j 6 p e j w t
5
5
u 3 ! u 3 ¼ 150 V e j ðw t þ 2 Þ ¼ 150 V e j 2 e j w t
p
p
Die komplexen Scheitelwerte lauten damit der Reihe nach:
u^ 1 ¼ 100 V;
5
u^ 2 ¼ 200 V e j 6 p ;
p
u^ 3 ¼ 150 V e j 2
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
(2)
691
Addition der komplexen Scheitelwerte
5
p
u^ ¼ u^ 1 þ u^ 2 þ u^ 3 ¼ 100 V þ 200 V e j 6 p þ 150 V e j 2 ¼
5
5
¼ 100 V þ 200 V cos
p þ j sin
p
þ j 150 V ¼
6
6
¼ 100 V 173,2 V þ j 100 V þ j 150 V ¼ 73,2 V þ j 250 V
Wir berechnen jetzt den reellen Scheitelwert u^ ¼ j u^ j und den Nullphasenwinkel
j der resultierenden Wechselspannung u und daraus den komplexen Scheitelwert
u^ in der Exponentialform (^
u liegt im 2. Quadranten):
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
j u^ j ¼ u^ ¼
ð 73,2 VÞ 2 þ ð250 VÞ 2 ¼ 260,5 V
tan j ¼
250 V
¼ 3,4153
73,2 V
)
j ¼ arctan ð 3,4153Þ þ 180 ¼ 106,3 ¼
b 1,86
u^ ¼ u^ e j j ¼ 260,5 V e j 1,86
Die resultierende Wechselspannung lautet daher in der komplexen Form:
u ¼ u^ e j w t ¼ 260,5 V e j 1,86 e j w t ¼ 260,5 V e j ðw t þ 1,86Þ
(3)
Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form
u ¼ Im ðuÞ ¼ Im ½ 260,5 V e j ðw t þ 1,86Þ ¼ 260,5 V sin ðw t þ 1,86Þ
Mit w ¼ 314 s 1 erhalten wir schließlich für die resultierende Wechselspannung:
u ¼ u 1 þ u 2 þ u 3 ¼ 260,5 V sin ð314 s 1 t þ 1,86Þ
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises
3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik
In einem Wechselstromkreis erzeugt die sinusförmige Wechselspannung
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u ¼ u ðtÞ ¼ u^ sin ðw t þ ju Þ ¼ 2 U sin ðw t þ ju Þ
den gleichfrequenten sinusförmigen Wechselstrom
pﬃﬃﬃﬃﬃ
i ¼ i ðtÞ ¼ ^i sin ðw t þ ji Þ ¼ 2 I sin ðw t þ ji Þ
692
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Dabei sind u^,pi^ﬃﬃﬃﬃdie
und U, I die Effektivwerte von Spannung und Stromﬃ Scheitelwerte
pﬃﬃﬃﬃﬃ
stärke ð^
u ¼ 2 U; i^ ¼ 2 IÞ. Die zugehörigen komplexen Zeiger lauten dann:
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u ¼ u^ e j ðw t þ ju Þ ¼ u^ e j ju e j w t ¼ u^ e j w t ¼ 2 U e j w t
ðVII-88Þ
i ¼ i^ e j ðw t þ ji Þ ¼ ^i e j ji e j w t ¼ i^ e j w t ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 I ejwt
ðVII-89Þ
u^, ^i sind dabei die komplexen Scheitelwerte, U, I die komplexen Effektivwerte von
Spannung und Strom, wobei gilt 8Þ :
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
^i ¼ ^
und
ðVII-90Þ
i e j ji ¼ 2 I
u^ ¼ u^ e j ju ¼ 2 U
Das Verhältnis der komplexen Spannung u zur komplexen Stromstärke i wird in der
Elektrotechnik als komplexer Widerstand bezeichnet und durch das Symbol Z gekennzeichnet. Definitionsgemäß ist also
pﬃﬃﬃﬃﬃ
u
U
U e j ju
U
2 U ejwt
e j ðju ji Þ
¼
Z ¼ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼
¼
ðVII-91Þ
j
j
j
w
t
i
I
i
I
I e
2I e
Der komplexe Widerstand Z ist demnach ein zeitunabhängiger komplexer Zeiger. Seine
exponentielle Form ist
Z ¼ Z ejj
ðVII-92Þ
mit dem als Scheinwiderstand oder Impedanz bezeichneten Betrag
Z ¼ jZ j ¼
U
Effektivwert der Spannung
¼
I
Effektivwert des Stroms
ðVII-93Þ
und dem Phasenwinkel
j ¼ ju ji ¼ Spannungsphase minus Stromphase
ðVII-94Þ
(Bild VII-39). In der kartesischen Schreibweise besitzt der komplexe Widerstand die Form
Z ¼ R þ jX
ðVII-95Þ
Im (Z)
Z = R + jX
Z=
|Z
|
X
Bild VII-39
Komplexer Widerstand Z
f
R
8)
Re (Z)
Der Effektivwert eines Wechselstroms bzw. einer Wechselspannung ist der quadratische zeitliche Mittelwert
pﬃﬃﬃﬃﬃ
während einer Periode (vgl. hierzu auch Kap. V, Abschnitt 10.7). Der Scheitelwert ist stets das
2 -fache
des Effektivwertes. Dies gilt sowohl im reellen als auch im komplexen Bereich.
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
693
Für Realteil R und Imaginärteil X sind dabei die Bezeichnungen
R: Wirkwiderstand
X: Blindwiderstand
üblich. Aus der Zeigerdarstellung in Bild VII-39 folgt dann unmittelbar:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
X
R2 þ X 2
und
tan j ¼
jZ j ¼ Z ¼
R
ðVII-96Þ
Zwischen den komplexen Größen U, I und Z besteht dabei nach Gleichung (VII-91)
die wichtige Beziehung
U ¼ Z I
ðVII-97Þ
die uns an das Ohmsche Gesetz der Gleichstromlehre erinnert und daher als Ohmsches
Gesetz der Wechselstromtechnik bezeichnet wird. Die Gleichung U ¼ Z I stellt somit
das Ohmsche Gesetz in komplexer Form dar.
Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik
U ¼ Z I
ðVII-98Þ
Dabei bedeuten:
U : Komplexer Effektivwert der Spannung
I : Komplexer Effektivwert des Stroms
Z : Komplexer Widerstand mit Z ¼ R þ j X ¼ Z e j j
(R: Wirkwiderstand; X: Blindwiderstand)
3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte
Wechselstromwiderstände und elektrische Leitwerte lassen sich in symbolischer Form
durch zeitunabhängige komplexe Zeiger beschreiben. Diese Art der Darstellung besitzt
den großen Vorteil, dass die aus der Gleichstromlehre bekannten physikalischen Gesetze
wie beispielsweise das Ohmsche Gesetz oder die Kirchhoffschen Regeln (Knotenpunktsregel, Maschenregel usw.) auch für Wechselstromkreise unverändert gültig bleiben.
Bei den folgenden Betrachtungen wählen wir den Stromzeiger I als Bezugszeiger und
legen ihn in die positiv-reelle Achse. Dann folgt unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz
U ¼ Z I, dass der Spannungszeiger U mit dem Zeiger des komplexen Widerstandes
Z in eine gemeinsame Richtung fällt: U und Z besitzen den gleichen Phasenwinkel
j, der Spannungszeiger U geht aus dem Zeiger Z durch Streckung um fas I-fache
hervor (Bild VII-40).
694
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
imaginär
U=Z·I
Z
Bild VII-40
Zum Ohmschen Gesetz
der Wechselstromtechnik
I
reell
Komplexe Wechselstromwiderstände
Der Wechselstromkreis kennt drei verschiedene Grundschaltelemente:
R: Ohmscher Widerstand
C: Kapazität
L: Induktivität
Sie werden durch die folgenden komplexen Widerstände beschrieben.
(1)
Ohmscher Widerstand R
Für einen Ohmschen Widerstand R gilt bekanntlich
u ¼ Ri
u ¼ Ri
bzw:
ðVII-99Þ
Mit
u ¼ u^ e j w t ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 U ejwt
erhalten wir hieraus
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 U ejwt ¼ R 2 I ejwt
U ¼ RI
)
Z ¼
und
j :
i ¼ i^ e j w t ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 ejwt
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 I ejwt
)
U
¼ R
I
ðVII-100Þ
Ein ohmscher Widerstand wird somit im Wechselstromkreis durch den reellen Widerstand (Wirkwiderstand) R beschrieben (Bild VII-41). Spannung und Strom sind
dabei in Phase: ju ¼ ji , d: h: j ¼ 0:
Im ( Z )
Z=R
Bild VII-41 Ohmscher Widerstand
Re ( Z )
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
(2)
695
Kapazität C (kapazitiver Widerstand)
Bei einem Kondensator besteht zwischen der Ladung q, der Kapazität C und der
Spannung u der folgende Zusammenhang:
q ¼ C u
bzw:
q ¼ C u
ðVII-101Þ
Wir differenzieren diese Gleichung nach der Zeit t und beachten dabei, dass die
zeitliche Ableitung der Ladung q die Stromstärke i ergibt:
d
d
ðqÞ ¼ C ðuÞ
dt
dt
Mit
u ¼ u^ e j w t ¼
i ¼ C oder
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 U ejwt
und
d
ðuÞ
dt
ðVII-102Þ
i ¼ ^
i ejwt ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 I ejwt
folgt dann 9) :
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
d pﬃﬃﬃﬃﬃ
ð 2 U e j w tÞ ¼ C 2 U e j w t j w ¼
2 I ejwt ¼ C dt
pﬃﬃﬃﬃﬃ
ðVII-103Þ
¼ j w C U 2 ejwt
pﬃﬃﬃﬃﬃ
Nach kürzen des gemeinsamen Faktors
2 e j w t erhalten wir
I ¼ jwC U
oder
U ¼
1
1
I ¼ j
I
jwC
wC
ðVII-104Þ
Eine Kapazität C wird somit durch den komplexen Widerstand
Z ¼
U
1
¼ j XC
¼ j
wC
I
mit
XC ¼ 1
wC
ðVII-105Þ
beschrieben. Der Zeiger fällt dabei in die negativ-imaginäre Achse (Bild VII-42).
X C wird als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet, sein Betrag ist
j X C j ¼ X C ¼ 1=w C. Bei einer (verlustfreien) Kapazität läuft der Spannungszeiger U dem Stromzeiger I um 90 in der Phase hinterher: j ¼ 90 .
Im ( Z )
Re ( Z )
Bild VII-42
Kapazitiver Blindwiderstand
Z = –j
9)
1
vC
Aus dem Permanenzprinzip folgt, dass die Differentiation nach den gleichen Regeln verläuft wie im Reellen.
Die komplexe Funktion e j w t wird daher nach der Kettenregel differenziert, die imaginäre Einheit j ist
dabei als ein konstanter Faktor zu betrachten.
696
(3)
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Induktivität (induktiver Widerstand)
Aus dem Induktionsgesetz
u ¼ L
di
dt
bzw:
u ¼ L
di
dt
ðVII-106Þ
erhalten wir mit
u ¼ u^ e j w t ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 U ejwt
und
i ¼ i^ e j w t ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 I ejwt
den folgenden Zusammenhang zwischen den komplexen Größen (Zeigern) U und I :
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ
d pﬃﬃﬃﬃﬃ
2 U ejwt ¼ L ð 2 I e j w tÞ ¼ L 2 I e j w t j w ¼
dt
pﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ j w L I 2 ejwt )
U ¼ jwL I
ðVII-107Þ
Eine Induktivität L wird somit durch den komplexen Widerstand
Z ¼
U
¼ j w L ¼ j XL
I
mit
XL ¼ w L
ðVII-108Þ
beschrieben. Der Zeiger fällt dabei in die positiv-imaginäre Achse (Bild VII-43).
X L ¼ w L wird als induktiver Blindwiderstand bezeichnet. Der Spannungszeiger
U läuft dem Stromzeiger I um 90 in der Phase voraus: j ¼ 90 .
Im ( Z )
Z = j vL
Bild VII-43
Induktiver Blindwiderstand
Re ( Z )
Komplexe Leitwerte
In der Gleichstromlehre wird der Kehrwert eines (ohmschen) Widerstandes als Leitwert
bezeichnet. Entsprechend wird der komplexe Leitwert Y als Kehrwert des komplexen
Widerstands Z erklärt:
1
1
1
ejj
¼
Y ¼
¼
ðVII-109Þ
j
j
Z e
Z
Z
Geometrisch erhält man Y durch Spiegelung des Zeigers Z an der reellen Achse
ðj ! jÞ und anschließender Streckung um das 1=Z 2 -fache (sog. Inversion, vgl. Bild
VII-44).
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
Im ( Z )
697
Z
Bild VII-44
Der Zeiger Y entsteht durch
Inversion des Zeigers Z
ϕ
–ϕ
Y=
Re ( Z )
1
Z
Z*
Der komplexe Leitwert lautet in der kartesischen Darstellung:
Y ¼ G þ jB
ðVII-110Þ
Realteil G und Imaginärteil B werden dabei wie folgt bezeichnet:
G: Wirkleitwert
B: Blindleitwert
Für die drei Grundschaltelemente R, C und L erhalten wir aus den entsprechenden
komplexen Widerständen der Reihe nach die folgenden komplexen Leitwerte:
Y ¼
1
,
R
Y ¼ jwC,
Y ¼
1
1
¼ j
jwL
wL
ðVII-111Þ
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Berechnung eines Wechselstromkreises mit Hilfe komplexer Widerstände und
Leitwerte
In einem Wechselstromkreis werden die Grundschaltelemente R (Ohmscher Widerstand), C (Kapazität) und L (Induktivität) wie folgt durch komplexe Widerstände
und Leitwerte, d. h. durch zeitunabhängige komplexe Zeiger dargestellt:
Schaltelement
Komplexer Widerstand
Komplexer Leitwert
R
1
R
Ohmscher Widerstand R
Kapazität C
Induktivität L
j
1
wC
jwL
jwC
j
1
wL
Die Berechnung der elektrischen Größen des Wechselstromkreises erfolgt dann
nach den aus der Gleichstromlehre bekannten physikalischen Gesetzen (z. B. Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln usw.).
698
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel:
Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung
Der in Bild VII-45 dargestellte Wechselstromkreis enthält je einen Ohmschen Widerstand R, eine Kapazität C und eine Induktivität L in Reihenschaltung.
C
R
L
Bild VII-45 Wechselstromkreis in Reihenschaltung
Nach den Kirchhoffschen Regeln addieren sich dabei die komplexen Widerstände der
drei Schaltelemente zum komplexen Widerstand Z des Gesamtkreises (w: Kreisfrequenz der angelegten Wechselspannung):
1
1
¼ Z ejj
Z ¼ R þ jwL j
ðVII-112Þ
¼ R þ j wL wC
wC
Bild VII-46 zeigt die Lage der komplexen Widerstände im Zeigerdiagramm.
Im ( Z )
j vL
Z
Z
vL – 1
vC
f
R
–j
R
Bild VII-46
Zeigerdiagramm eines Wechselstromkreises in Reihenschaltung
Re ( Z )
1
vC
Wirk- und Blindwiderstand der Reihenschaltung lauten:
Wirkwiderstand:
Re ðZÞ ¼ R
(VII-113)
Blindwiderstand:
1
Im ðZÞ ¼ X ¼ w L wC
(VII-114)
Für den Scheinwiderstand (auch Impedanz genannt) erhalten wir damit:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 2
2
2
2
jZ j ¼ Z ¼
R þX ¼
R þ wL wC
ðVII-115Þ
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
699
Die Phasenverschiebung j ¼ ju ji zwischen Spannung und Strom lässt sich nach
Bild VII-46 aus der Beziehung
X
tan j ¼
¼
R
wL 1
wC
ðVII-116Þ
R
berechnen 10) :
0
1
1
w
L
@
X
w CA
¼ arctan
j ¼ arctan
R
R
ðVII-117Þ
Ob die Spannung dem Strom oder umgekehrt der Strom der Spannung vorauseilt, hängt
vom Verhältnis der beiden Blindwiderstände X L ¼ w L und X C ¼ 1=w C zueinander ab. Dabei gilt:
XL > j XC j : j > 0
ð0 < j 90 Þ
XL ¼ j XC j : j ¼ 0
ðsog: ResonanzfallÞ 11Þ
XL < j XC j : j < 0
ð 90 j < 0 Þ
Aus dem Ohmschen Gesetz erhalten wir für den Effektivwert des Stroms:
I ¼
U
U
¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Z
1 2
2
R þ wL wC
ðVII-118Þ
(U: Effektivwert der angelegten Wechselspannung). Die an den Schaltelementen R, C und
L abfallenden Teilspannungen U R , U C und U L lassen sich aus dem Ohmschen Gesetz für
den jeweiligen Teilwiderstand berechnen. Wir erhalten für die Effektivwerte der Reihe nach
UR ¼ R I ,
&
UC ¼
I
,
wC
UL ¼ w L I
ðVII-119Þ
Rechenbeispiel
An einem Wechselstromnetz ðU ¼ 220 V, f ¼ 50 HzÞ liegen in Reihenschaltung der
Ohmsche Widerstand R ¼ 100 W, die Kapazität C ¼ 20 mF und die Induktivität
L ¼ 0,1 H. Zu berechnen sind:
a) Der Scheinwiderstand Z und der Effektivwert I des Wechselstroms,
b) die Phasenverschiebung j zwischen Spannung und Strom und
c) die Effektivwerte der Spannungsabfälle an den Einzelwiderständen.
10)
Der Phasenwinkel j liegt im 1. oder 4. Quadranten.
11)
Der Gesamtwiderstand Z erreicht für X L ¼ j X C j seinen kleinsten und die Stromstärke I damit ihren
größten Wert (bei vorgegebener Spannung U ).
700
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Lösung:
a) w ¼ 2 p f ¼ 2 p 50 s 1 ¼ 100 p s 1
XC ¼
1
1
¼
¼ 159,15 W
1
wC
100 p s
20 10 6 F
X L ¼ w L ¼ 100 p s 1 0,1 H ¼ 31,42 W
Der komplexe Widerstand Z lautet damit (Bild VII-47):
1
¼
Z ¼ R þ j X ¼ R þ j ðX L þ X C Þ ¼ R þ j w L wC
¼ 100 W þ j ð31,42 W 159,15 WÞ ¼ 100 W j 127,73 W
Im ( Z )
Ω
j 31,42
100
f
Re ( Z )
Ω
Z
– j 127,73
Z = 100 Ω – j 127,73 Ω
Bild VII-47
– j 159,15
Sein Betrag liefert den Scheinwiderstand Z. Wir erhalten:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Z ¼ jZ j ¼
ð100 WÞ 2 þ ð 127,73 WÞ 2 ¼ 162,22 W
Die Berechnung des Phasenwinkels j ergibt nach Bild VII-47:
tan j ¼
1
w C ¼ 127,73 W ¼ 1,2773
R
100 W
wL )
j ¼ arctan ð 1,2773Þ ¼ 51,9
Der komplexe Widerstand lautet daher in der Exponentialform wie folgt:
Z ¼ Z e j j ¼ 162,22 W e j 51,9
4 Ortskurven
701
Der Spannungszeiger U besitzt die gleiche Richtung wie der Widerstandszeiger
Z. Somit ist:
U ¼ U e j j ¼ 220 V e j 51,9
Aus dem Ohmschen Gesetz (VII-98) folgt dann für den Stromzeiger I :
I ¼
U
220 V e j 51,9
220 V
¼
¼ 1,356 A
¼
j
51
,
9
Z
162,22 W e
162,22 W
Der Effektivwert des Wechselstroms beträgt somit I ¼ 1,356 A.
b) Strom- und Spannungsanzeiger besitzen die folgenden Darstellungen:
I ¼ 1,356 A e j 0 ¼ 135,6 A
U ¼ 220 V e j 51,9
Der Stromzeiger liegt in der positiv-reellen Achse. Daher eilt der Strom der Spannung um 51,9 in der Phase voraus.
c)
Für die komplexen Effektivwerte der an den Schaltelementen R, C und L abfallenden Spannungen folgt aus dem Ohmschen Gesetz:
U R ¼ R I ¼ 100 W 1,356 A ¼ 135,6 V
UC ¼ j
1
I ¼ j 159,15 W 1,356 A ¼ j 215,8 V ¼
wC
¼ 215,8 V e j 90
U L ¼ j w L I ¼ j 31,42 W 1,356 A ¼ j 42,6 V ¼ 42,6 V e j 90
Die reellen Effektivwerte der abfallenden Spannungen betragen daher der Reihe
nach:
U R ¼ 135,6 V ,
U C ¼ 215,8 V ,
U L ¼ 42,6 V
&
4 Ortskurven
4.1 Ein einführendes Beispiel
In den physikalisch-technischen Anwendungen, insbesondere in der Wechselstrom- und
Regelungstechnik, treten häufig komplexe Größen auf, die noch von einem reellen Parameter abhängen. Wie das folgende Beispiel zeigen wird, lassen sich solche Abhängigkeiten
in anschaulicher Weise durch sog. Ortskurven in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.
Wir betrachten im Folgenden eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R
und einer Induktivität L (Bild VII-48).
702
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
R
L
Bild VII-48 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivität L
Nach den Kirchhoffschen Regeln addieren sich dabei die komplexen Widerstände der
beiden Schaltelemente zum komplexen Widerstand Z des Gesamtkreises. Bei festen
Werten für R und L hängt der komplexe Widerstand Z noch wie folgt von der Kreisfrequenz w ab:
Z ¼ Z ðwÞ ¼ R þ j w L
ðw 0Þ
ðVII-120Þ
Jedem Wert der Kreisfrequenz w entspricht dabei genau ein komplexer Widerstandszeiger in der Gaußschen Zahlenebene. Beim Durchlaufen sämtlicher Werte von w ¼ 0 bis
hin zu w ¼ 1 bewegt sich die Zeigerspitze auf einer Halbgeraden, die im Abstand R
parallel zur positiv-imaginären Achse verläuft (Bild VII-49). Sie wird als Ortskurve des
Widerstandes Z ¼ Z ðwÞ bezeichnet und beschreibt in anschaulicher Weise die Abhängigkeit des komplexen Widerstandes Z von der Kreisfrequenz w.
Im ( Z )
Z (v)
v
Z3
v3
Z2
v2
Z1
Z0
v
v1
Bild VII-49
Widerstandsortskurve der Reihenschaltung aus Bild VII-48
v=0
Re ( Z )
4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe
z sei eine von einem reellen Parameter t abhängige komplexe Zahl mit der Darstellung
z ¼ z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j y ðtÞ
ða t bÞ
ðVII-121Þ
Durch diese Gleichung wird jedem Parameterwert t aus dem Intervall ½ a, b in eindeutiger Weise eine komplexe Zahl z ðtÞ zugeordnet. Eine solche Vorschrift definiert
eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen.
4 Ortskurven
703
Definition: Die von einem reellen Parameter t abhängige komplexe Zahl
z ¼ z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j y ðtÞ
ða t bÞ
ðVII-122Þ
heißt komplexwertige Funktion z ðtÞ der reellen Variablen t.
Real- und Imaginärteil einer komplexwertigen Funktion z ðtÞ sind somit Funktionen
ein- und derselben reellen Variablen t. Mit dem Parameterwert t verändert sich auch
die Lage der komplexen Zahl z ¼ z ðtÞ in der Gaußschen Zahlenebene. Die Spitze des
zugehörigen Zeigers z ¼ z ðtÞ bewegt sich dabei auf einer Kurve, die als Ortskurve der
komplexen Zahl (Größe) z ¼ z ðtÞ bezeichnet wird (Bild VII-50).
Im (z)
t1
t
t2
t3
t4
z = z (t)
Re (z)
Bild VII-50
Zum Begriff der Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Zahl
Zu jedem Parameterwert gehört genau ein Zeiger und damit genau ein Kurvenpunkt. Die
Kennzeichnung (Bezifferung) der Kurvenpunkte kann daher durch den Parameter selbst
erfolgen, wie dies in Bild VII-50 geschehen ist.
Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Zahl
Die Ortskurve einer von einem reellen Parameter t abhängigen komplexen Zahl
z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j y ðtÞ
ða t bÞ
ðVII-123Þ
ist die Bahnkurve, die der zugehörige Zeiger z ¼ z ðtÞ in der Gaußschen Zahlenebene beschreibt, wenn der Parameter t alle Werte aus dem Intervall ½ a, b durchläuft (Bild VII-50).
704
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Anmerkung
Die Ortskurve von z ¼ z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j y ðtÞ mit a t b lässt sich auch durch
die Parametergleichungen
x ¼ x ðtÞ ,
y ¼ y ðtÞ
ða t bÞ
beschreiben.
&
Beispiele
(1)
Die Ortskurve der vom Parameter t abhängigen komplexen Zahl
z ðtÞ ¼ a þ j b t
ð 1 < t < 1Þ
mit a > 0 und b > 0 ist eine im Abstand a zur imaginären Achse parallel
verlaufende Gerade (Bild VII-51).
Im (z)
t
z (t) = a + j · b t
Bild VII-51
Ortskurve von z ðtÞ ¼ a þ j b t
ð 1 < t < 1Þ
t=0
a
(2)
Re (z)
Der vom reellen Parameter t abhängige komplexe Zeiger
z ðtÞ ¼ a t þ j b
ð0 t < 1Þ
beschreibt für a > 0, b > 0 eine im Abst

Zugehörige Unterlagen

UE 7

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band1

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