Einführung in die Logik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Braunschweig, 25. Mai 2011
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 09
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss2011/logik
Aufgabe 1 [10 Punkte]
Wenden Sie den Markierungsalgorithmus aus der Vorlesung auf die folgenden Horn-Formeln an um festzustellen, ob sie erfüllbar sind. Falls ja, geben Sie eine entsprechende Belegung der atomaren Aussagen
an, so dass die Formel den Wert 1 erhält.
(a) (¬p ∨ ¬q ∨ ¬w) ∧ ¬t ∧ (¬r ∨ p) ∧ r ∧ q ∧ (¬u ∨ s) ∧ u
(b) q ∧ s ∧ ¬w ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬s) ∧ (¬v ∨ s) ∧ r ∧ (¬r ∨ p)
(c) (¬p ∨ ¬q ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬s ∨ s)
Aufgabe 2 [24 Punkte]
Gegeben sei die aussagenlogische Formel (s ⇒ p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (((p ⇒ s ∧ ¬q) ∨ q) ∧ (r ∨ (p ⇒ s ∧ ¬q))).
(a) [4 Punkte] Zeigen Sie mit Hilfe von Äquivalenzumformungen, dass die gegebene Formel äquivalent
zur DNF ¬s ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ ¬p ∨ (s ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) ist.
(b) [6 Punkte] Überlegen Sie sich, wie Sie mit Hilfe des Markierungsalgorithmus (und der DeMorganRegeln) beweisen können, dass die DNF aus (a) eine Tautologie ist und führen Sie den Beweis
durch.
Hinweis: Betrachten Sie die Negation der DNF.
(c) [10 Punkte] Beweisen Sie per natürlicher Deduktion, dass die DNF aus (a) Tautologie ist. Verwenden Sie dazu LEM in Kombination mit ∨e für jede Variable. Damit der Beweis nicht zu lang wird,
dürfen Sie hier ausnahmsweise, falls die gleiche Regel mehrmal hintereinander angewendet wird,
nur eine Zeile schreiben und sie z. B. mit “3x ∨i” beschriften.
(d) [4 Punkte] Welche Bedingung muss eine DNF erfüllen, damit man mit der Methode aus (b)
entscheiden kann, ob sie eine Tautologie ist?
Aufgabe 3 [6 Punkte]
Entscheiden Sie mit Hilfe der SLD-Resolution, ob die folgenden Horn-Formeln erfüllbar sind. Falls ja,
geben Sie eine entsprechende Belegung der atomaren Aussagen an, so dass die Formel den Wert 1 erhält.
(a) [3 Punkte] (p ∨ ¬s) ∧ (q ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ ¬p ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ s
(b) [3 Punkte] (q ∨ ¬s) ∧ r ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ ¬r) ∧ (q ∨ ¬p) ∧ (s ∨ ¬r)
Aufgabe 4 [6 Punkte]
Wandeln Sie die Formel aus Aufgabe 2(b) im Blatt 8 zu einer Hornformel um und benutzen Sie den
Markierungsalgorithmus dafür.