8.11.2013 Themen ¨Aquivalenz, Normalformen, Hornformeln Induktion

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 2 – 8.11.2013
Themen Äquivalenz, Normalformen, Hornformeln
Induktion über den Formelaufbau
1. Zeigen Sie, dass {↑} eine Junktorbasis bildet.
Der Junktor ↑ ist durch folgene Äquivalenz definiert: (A ↑ B) ≡ ¬(A ∧ B)
Gültigkeit und (Un-) Erfüllbarkeit
1. Beweisen Sie folgende Aussagen oder geben Sie ein Gegenbeispiel an:
a) Falls (F → G) gültig ist und F gültig ist, so ist G gültig.
b) Falls (F → G) gültig ist und F erfüllbar ist, so ist G erfüllbar.
c) Falls (F → G) erfüllbar ist und F erfüllbar ist, so ist G erfüllbar.
2. Gegeben sind drei Formeln F , G und H. F ist erfüllbar aber nicht gültig, G ist
unerfüllbar und H ist gültig. Klassifizieren Sie die folgenden Formeln:
a) G → H
b) H → F
c) ((G ∨ F ) ∧ ¬F )
d) ((¬G ↔ F ) ∧ H)
Äquivalenzumformung Bringen Sie folgende Formel in DNF. Geben Sie zu jedem Schritt die verwendeten Regeln an.
(B ∧ (C → A)) ∨ ¬((A ∧ D) → B)
Normalformen
1. In welcher Normalform (DNF, KNF) lässt sich besonders einfach die Erfüllbarkeit
einer Formel bestimmen? In welcher Normalform die Gültigkeit?
2. Gibt es zu jeder Formel eine eindeutige KNF bzw DNF?
3. Befindet sich die Formel A ∧ B in DNF? Befindet sie sich in KNF?
4. Beweisen Sie, dass es zu jeder aussagenlogischen Formel eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in 3-KNF gibt. (D.h. jeder Disjunktionsterm besteht aus höchstens
3 Literalen)
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Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 2 – 8.11.2013
Markierungsalgorithmus Ein neuer Abrüstungsvertrag soll unterschrieben werden. Aufgrund der vorangegangenen Verhandlungen stellt ein Beobachter folgende
Tatsachen fest:
• Russland unterschreibt den Vertrag, wenn auch die USA dies tun.
• Wenn Spanien de Vertrag unterzeichnet, dann auch Großbrittanien.
• Luxemburg unterzeichnet auf jeden Fall.
• Unterschreiben sowohl die USA als auch Großbrittanien, dann tut dies auch
Argentinien.
• Falls Russland unterschreibt, dann auch China.
• Unterschreibt Frankreich, dann tun dies auch Großbrittanien und Spanien.
• Wenn der Iran unterschreibt, dann auch Russland.
• China unterzeichnet den Vertrag nicht, wenn die USA nicht auch unterschreiben.
• Wegen der Lobbyarbeit eines Rüstungskonzerns unterschreibt höchstens eines
der beiden Länder Frankreich und Argentinien den Vertrag.
• Wenn Frankreich nicht unterschreibt, tut dies auch Luxemburg nicht.
1. Formalisieren Sie die Aussagen. Bestimmen Sie zunächst geeignete atomare
Formeln.
2. Sind diese Aussagen konsistent, d.h. gibt es ein Szenario in dem alle Aussagen
wahr sind?
3. Zeigen Sie, dass der Iran den Vertrag nicht unterzeichnet.
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