Einführung in die Logik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Dipl.-Inform. D. Schwencke
Braunschweig, 26. Mai 2009
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 9 – Abgabetermin: 08. Juni 2009, 14:00 Uhr
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss09/logik
Aufgabe 27 [6 Punkte]
Es sei (A, ◦A , eA ) ein Monoid, in dem alle Quadrate eins sind. In anderen Worten: A ist eine Menge,
◦A : A × A → A eine Funktion (wird als Infix geschrieben) und eA ein Element von A, so dass die
folgenden Gleichungen gelten:
(x ◦A y) ◦A z = x ◦A (y ◦A z)
A
A
A
für alle x, y, z ∈ A
A
x◦ e =e ◦ x=x
für alle x ∈ A
x ◦A x = eA
für alle x ∈ A
Zeigen Sie, dass aus diesen Gleichungen das Kommutativgesetz, also die Gleichung
x ◦A y = y ◦A x
für alle x, y ∈ A
folgt.
Hinweis: Verwenden Sie die dritte Gleichung mit x ◦A y, d. h. eA = (x ◦A y) ◦A (x ◦A y).
Aufgabe 28 [10 Punkte]
Es seien die Gruppenaxiome
f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z)),
f (e, x) = x,
f (x, e) = x,
f (x, i(x)) = e
und f (i(x), x) = e
mit dem zweistelligen Operationssymbol f , dem einstelligen Operationssymbol i und dem nullstelligen
Operationssymbol e gegeben. Leiten Sie die folgenden Gleichungen her oder widerlegen Sie sie.
(a) i(e) = e
(b) f (i(x), y) = f (f (x, e), i(y))
(c) f (i(x), f (x, y)) = y
Aufgabe 29 [20 Punkte]
Gegeben sei die aussagenlogische Formel (s ⇒ p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (((p ⇒ s ∧ ¬q) ∨ q) ∧ (r ∨ (p ⇒ s ∧ ¬q))).
(a) [4 Punkte] Zeigen Sie mit Hilfe von Äquivalenzumformungen, dass die gegebene Formel äquivalent
zur DNF ¬s ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ ¬p ∨ (s ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) ist.
(b) [6 Punkte] Überlegen Sie sich, wie Sie mit Hilfe des Markierungsalgorithmus (und der DeMorganRegeln) beweisen können, dass die DNF aus (a) eine Tautologie ist und führen Sie den Beweis
durch.
(c) [8 Punkte] Beweisen Sie per natürlicher Deduktion, dass die DNF aus (a) Tautologie ist. Verwenden
Sie dazu LEM in Kombination mit ∨e für jede Variable. Damit der Beweis nicht zu lang wird, dürfen
Sie hier ausnahmsweise, falls die gleiche Regel mehrmal hintereinander angewendet wird, nur eine
Zeile schreiben und sie z. B. mit “3x ∨i” beschriften.
(d) [2 Punkte] Welche Bedingung muss eine DNF erfüllen, damit man mit der Methode aus (b)
entscheiden kann, ob sie eine Tautologie ist?